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Equação de Movimento de
Foguete
Descrevemos o movimento de um foguete lançado verticalmente em termos dos seguintes
parâmetros:
- t = tempo de acionamento;
- y(t) = altitude do foguete no instante t;
- v(t) = (dy/dt)(t) = velocidade do foguete no instante t.
- M(t) = massa do foguete no instante t (incluindo a massa de combustível ainda armazenada);
- Mo = massa inicial do foguete (incluindo a massa total do combustível);
- mc = massa total de combustível (mc < Mo);
- g = g(y) = aceleração da gravidade na altitude y (acima do ponto de lançamento do foguete);
- go = aceleração da gravidade na superfície da Terra (ponto de lançamento do foguete);
- f = f(y,v) = força de resistência do ar (dependente da altitude e velocidade do foguete);
- A(t)= -(dM/dt)(t) = taxa de combustão (taxa com que a massa de combustível é transformada
em gases propelentes);
- u(t) = rapidez de exaustão dos gases propelentes (a velocidade de exaustão é - u);
A equação de movimento do foguete é dada por:
Modelo 1
Modelo que considera (i) a aceleração da gravidade constante, (ii) a taxa de combustão con-
stante, (iii) a velocidade de exaustão constante, (iv) a força de resistência do ar desprezível.
Nesse caso, a equação de movimento do foguete se reduz a seguinte:
Modelo 1
Modelo 1
Modelo que considera (i) a aceleração da gravidade constante, (ii) a taxa de combustão constante,
(iii) a velocidade de exaustão constante, (iv) a força de resistência do ar desprezível. Nesse caso, a
equação de movimento do foguete se reduz a seguinte:
Parâmetros
Mo
mc
A
u
g
Equação de movimento (na velocidade)
E1 = v'@tD � u * A � HMo - A * tL - g
Out[1]= v¢@tD � -g +
A u
Mo - A t
Resolução com condição inicial
DSolve@8E1, v@0D � 0<, v@tD, 8t<DOut[3]= 88v@tD ® -g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tD<<In[5]:= v1@t_D = 88v@tD ® -g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tD<<P1, 1, 2T
Out[5]= -g t + u Log@MoD - u Log@Mo - A tDAltitude (posição, com condição inicial y1[0]=0)
In[6]:= y1@t_D = Integrate@v1@sD, 8s, 0, t<D
Out[6]= ConditionalExpressionB-
g t2
2
+ t u Log@MoD - u
Mo Log@MoDA
+
-A t + H-Mo + A tL Log@Mo - A tDA
,
Mo
A t
Ï Reals ÈÈ ReB Mo
A t
F > 1 ÈÈ ReB Mo
A t
F < 0 &&
Mo
A t
Ï Reals ÈÈ ReB Mo
A t
F ³ 1 ÈÈ ReB Mo
A t
F £ 0 &&
Im@MoD ³ 0 ÈÈ Im@MoDIm@tD Re@AD + Im@AD Re@tD ³ 1 ÈÈ Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD ³ 0 ÈÈ
Im@AD Im@MoD Im@tD + Im@tD Re@AD Re@MoD + Im@AD Re@MoD Re@tD £
Im@MoD Re@AD Re@tD &&
Im@MoDIm@tD Re@AD + Im@AD Re@tD ³ 1 ÈÈ
Im@AD Im@MoD Im@tD + Im@tD Re@AD Re@MoD + Im@AD Re@MoD Re@tD ³
Im@MoD Re@AD Re@tD ÈÈ Im@MoD £ 0 ÈÈ Im@tD Re@AD + Im@AD Re@tD £ 0 FExemplo numérico ilustrativo
2 modelo-mecanica_equacao-foguete.nb
Mo = 10
mc = 5
A = 0.5
u = 500
g = 10
K = u * A � Mo - g
T = mc � A
yn1@t_D = Integrate@v1@sD, 8s, 0, t<DOut[35]= 10
Out[36]= 5
Out[37]= 0.5
Out[38]= 500
Out[39]= 10
Out[40]= 15.
Out[41]= 10.
Out[42]= ConditionalExpressionBH1497.87 - 5. tL t - 500. H59.9146 - 1. t + H-20. + tL Log@20. - 1. tDL,
Re@tD < 20. && Re@tD > 0 && ReB 1
t
F > 0.05 ÈÈ 1
t
Ï Reals ÈÈ
HRe@tD < 0 ÈÈ t Ï RealsL && ReB 1
t
F ³ 0.05 ÈÈ ReB 1
t
F £ 0 ÈÈ 1
t
Ï Reals F
In[43]:= Plot@8v1@tD, yn1@tD<, 8t, 0, 10<, PlotStyle -> 8Red, Blue<,
PlotLegends ® 8"velocidade", "altitude"<,
Background ® [email protected], 0.92, 1.D, ImageSize ® LargeD
Out[43]=
2 4 6 8 10
200
400
600
800
1000
velocidade
altitude
modelo-mecanica_equacao-foguete.nb 3
