加速器の基本概念III : 高エネルギービームの力学 (2)

髙田耕治KEK

koji.takata@kek.jphttp://research.kek.jp/people/takata/home.html

総研大加速器科学専攻2011年度「加速器概論Ｉ」講義

2011年 4月 14日

加速器基本概念 II

目次

I 粒子加速器のあけぼのI 高エネルギービームの力学 (1)

I 高エネルギービームの力学 (2)I コライダーI 加速空洞I シンクロトロン放射

I 高周波加速の基礎I これからの高エネルギー加速器I 参考文献

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学 (2)

コライダー

コライダーの着想

I 高エネルギー素粒子反応を観測する場合、加速されたビームを実験室に置かれた標的に衝突させた :　　固定標的実験：fixed target experiment

I しかし反応は実験室系のエネルギーではなく、ビームと標的粒子の重心系エネルギーで決まる

I ビーム衝突型加速器（コライダー）:　　 1960年にイタリア Frascati研究所の Touschekが提案

I コライダー第１号 : AdA ( Frascati, 1961)

200MeV e− ⇒⇐ 200MeV e+

I 以降、コライダーは高エネルギー加速器の規準型となる

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学 (2)

コライダー

重心系エネルギーECM

簡単のため同じ静止質量m0の粒子どうしの衝突を考える：I ビーム中の各粒子のエネルギーは γm0c

2

I 2粒子系の全エネルギーET = (1 + γ)m0c2

I 2粒子系の全運動量 pT = βγm0c =√

γ2 − 1m0c

I E2 − c2p2T はローレンツ不変量 → 重心系では

ECM (fixed target) =√

2γ + 2m0c2 ≈

√2γ m0c

2

I しかし同じエネルギーの粒子のコライダーでは

ECM(collider) = 2γm0c2≫ECM(fixed target)

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学 (2)

コライダー

Luminosity

I 衝突点でのビーム断面積 S、反応断面積 σとすると 1回の衝突で反応がえられる確率は

σ/S

I 粒子数がそれぞれ N+ と N− のビームどうしが毎秒 f回衝突していると、観測される反応数は毎秒

f × N+ ×N−

Sσ

I ここで σの係数をルミノシティLという

L = f × N+ ×N−

S

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (1)

多様な加速空洞が使われるが、ほとんどはTM010という基本モードに共振する円筒空洞 (pillbox 空洞) の変形とみなされる

Hθ Ez

2b

r=b

0

d

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Hθ

Ez

χ01r/b

0

arb

itra

ry s

cale

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (2)

KEK Photon Factory 2.5GeV Storage Ringで使われている単セル空洞：fRF = 500MHz, Vpeak = 0.7MV

R234.69mm

R91.375mm

R50mm

220mm

300mm

R130mm

R10mm

Ez (r=0)

z

r

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (3)

共振空洞の大局的な振舞いを記述するために L、C、Rの 3個の素子からなる等価回路 がつかわれる

L

C

R

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (4)

I しかし集中定数回路ではない空洞の場合、L、C、Rを空洞形状に関連づけて解釈するのはむつかしい。

I 単に磁場エネルギー、電場エネルギー、空洞壁の電力損失にそれぞれ関係した 3個の独立なパラメータと考えること

I これらのパラメータは共振モードごとに観測される量から決めてゆく

I まず共振周波数 ω0と共振幅から決まるQ値から次の 2個の方程式が得られる:

ω0 = 1/√LC

Q = ω0RC

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (5)

I 残るはシャントインピーダンスRを決めることI さてRは空洞壁の電力損失PwとR = V 2/(2Pw)の関係にある。

I 回路電圧 V の合理的な定義が必要

I ここで空洞はビーム Iが通過している場合を考える

I ただしビームの粒子の運動量は十分に大きく、空洞内の電磁場による変動は無視できるとする

I そうするとビームが誘起する電磁場は Iを外部電流としたマクスウェル方程式から求められる

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (6)

I さて、この誘起電場によりビームは定常的にエネルギーを失っているが、それを Pbとしよう

I そうするとビームにとってのこの電磁場の電圧は Pb/I に等しい

I ところでビームのエネルギー損失は空洞壁損とつり合わなければならない、すなわち

I 定常状態では Pw = Pb

I このように　軌道に沿ってビームが受ける電場の積分として与え　られる電圧で空洞を回路とみなした場合の電圧 Vと定義する。

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学加速空洞

加速空洞 (7)

I この定義は外部電流項を含むマクスウェル方程式と電力流保存則∫∫∫

V

J · E dV +

∫∫S

(E×H) · ndS = 0

を満足するものである。

I ただし：　・J : ビーム電流分布　　　　　・E×H : ポインティングベクトル　　　　　　　　　　 (poynting vector)

　　　　　・V : 空洞体積　　　　　・S : 空洞壁面

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

シンクロトロン放射：原理I シンクロトロン放射 [synchrotro radiation (SR)]は加速中 (v = 0) の電荷 qの粒子の出す電気双極子放射

I 粒子の瞬時静止系でみた放射電力はラーマー (Larmor)の公式

P =q2

6πε0mec3

(dv

dt

)2

であたえられる。I とくに電子の場合、 re(古典電子半径)を使えば

P =2reme

3c

(dv

dt

)2

である。ただしre ≡ e2/(4πε0mec

2) = 2.82× 10−15m

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

電気双極子放射 (1)

静止系での電気双極子の放射パターン :　　　　- - z軸にかんし回転対称 - -

0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

PSfrag replacements

#0

#1

#2

#3

#4

#5

#6

x/x0

xe/x0

x!/k

! (m)

s = 0

s = 0 + nLs = L

2

s = L

4

s = 0+ + nL

s = 0+

s = 0+

s = L" + nL = 0" + (n + 1)L

s/L

s (m)

f = 1.6L

" = 50 m

L = 2 m

z/#

r/#

1

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

電気双極子放射 (2) :ラーマー公式をローレンツ不変形へI P はある時間幅に放出されたエネルギーであるが、時間もエネルギーもローレンツ変換で同型に変換される→　　　　　 P はローレンツ不変量

I そうするとラーマーの公式

P =q2

6πε0mec3

(dv

dt

)2

右辺の ( )2は次のような不変形でなければならない：

(dp/dτ)2 − (dE/dτ)2 /c2

ここで dτ は個有時間の微分

dτ =√

dt2 − (dx2 + dy2 + dz2) /c2 = dt/γ.

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

電気双極子放射 (3) : 実験室系での公式I こうして実験室系での放射電力は

P =2reme

3cγ2

[d (γv)

dt

]2−[d (γc)

dt

]2

I 円軌道（半径 ρ）1周で放射されるエネルギー∆Eは∆E

mec2=

4π

3

reρβ3γ4

I ∆E(keV)、E(GeV)および ρ(m) で表した実用式

∆E(keV) ≈ 88.5 [E(GeV)]4 /ρ(m).

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

電気双極子放射 (4) : 実験室系での公式I 電子静止系（x′, y′, z′, ct′） での放射パターン

dP/dΩ ∝ sin2 θ

ここでΩは立体角、 θは z′軸からの角度I 実験室系へ変換：

x′ = x, y′ = y, z′ = γ (z − vt) , ct′ = γ (ct− vz/c) .

I z軸への x′軸と y′軸の角度 ∼ 1/γ.

I 前方放射電力は全角∼ 2/γのコーン内I 光は円弧長∼ 2ρ/γに電子がいるときだけI ドップラー効果で波長短縮：(1− v/c) ∼ 1/2γ2.

加速器基本概念 II

高エネルギービームの力学シンクロトロン放射

電気双極子放射 (5) : 臨界波長

I 放射電力スペクトルは波長が短くなるにつれ増加するが、あるところから急激に減少する

I その目安となる波長を臨界波長 λc という

I Schwinger-Jackson流の定義では

λc ≡ 4πρ/3γ3