몬테 카를로 실험에 의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근 검정법의 ...kostat.go.kr/attach/journal/10-1-8.pdf · 2010-09-10 · adf 단위근 검정법을 적용하여

통계청「통계연구」제10권 제1호, 2005, pp. 165-188

몬테 카를로 실험에 의한 Augmented Dickey-Fuller

단 근 검정법의 검정력에 한 연구

조성일* ․ 최종수**

< 요 약 >1) 이 연구에서는 몬테 카를로 실험 (Monte Carlo Experiment)을 통하여 Augmented Dickey-Fuller 단위근 검정법의 검정력을 측정하였다. 컴퓨터 시뮬레이션을 통한 자료생성과정에 있어서 상수항과 시간추세의 포함여부에 따라 세 가지 형태를 가정하였다. 이는 관찰 가능한 현실의 시계열에 대하여 단위근 검정을 적용할 때 그 시계열의 자료생성과정을 알 수 없다는 점을 반영한 것이다. 한편 이러한 시도는 기존의 연구에서 상수항과 시간추세가 없는 자료생성과정만을 가정한 것과 차별화된다. 자료생성과정에서 자기회귀항의 모수는 1.00부터 0.80까지 다양하게 부여하였다. 연구의 결과 비록 검정력은 흔히 우려하는 것처럼 낮지는 않으나 주어진 유의수준 하에서 검정력을 높이기 위해서는 자료생성과정에 잘 부합하는 검정모형을 선택하는 것이 가장 중요하다는 점이 확인되었다. 특히 시간추세가 포함된 자료생성과정이나 자기회귀항의 모수가 1에 가까운 준단위근 (near unit-root)의 상태에서는 적절하지 못한 검정모형을 사용할 경우 검정력이 급속히 감소함을 확인하였다.

핵심주제어 : ADF 단위근 검정, 검정력, 몬테 카를로 실험.

* 전주대학교 경제학과 겸임조교수 (email: [email protected], 전화번호 : 017-212-1986) - 제 1저자

** 전주대학교 경제학과 부교수 (email: [email protected], 전화 : 063-220-2714) - 공동저자

「통계연구」제10권 제1호, 2005

Ⅰ. 서 론 이미 널리 알려진 바와 같이 단위근 검정(unit root test)란 어떤 시계열이 안정적(stationary) 시계열인지 불안정적(nonstationary) 시계열인지 판단하기 위한 분석방법이다. 미국의 대표적인 거시 및 금융변수 14개의 시계열중 실업율을 제외한 13개의 시계열이 단위근을 가진 불안정적 시계열이라는 Nelson and Plosser (1982)의 연구 이후 시계열자료를 이용한 대부분의 실증분석에서 단위근 검정은 필수불가결한 요소로 자리 잡게 되었다.

이 연구의 목적은 단위근 검정에서 가장 일반적으로 사용되는 기본적인 검정방법인 Augmented Dickey-Fuller (이하, ADF) 단위근 검정법의 검정력이 어느 정도인가를 알아보고자 하는 것이다. 특히 국내의 연구에서도 근래 거시경제학이나 금융경제학의 대부분 실증적 연구는 단위근의 문제를 연구에 적용시키고 있다. 그러나 단위근 검정의 중요성이나 사용빈도에 비하여 그 검정력에 관한 고찰은 거의 연구된 바 없는 실정이다. 해외의 연구에서도 자료생성과정(data generating process, 이하 DGP)에서 오차항이 자기상관이나 이동평균 혹은 이분산의 특징을 보이고 있을 때 각종 단위근 검정법의 검정력을 비교하는 방식의 연구가 주로 수행되었다.1) ADF 검정법은 오차항의 자기상관을 보정하기 위하여 Dickey-Fuller 검정법을 보완한 것이다. Phillips-Perron 검정법2)도 Dickey-Fuller 단위근 검정법에서 오차항에 내재하고 있을지도 모를 자기상관과 이분산의 문제를 해결하기 위하여 검정통계량을 비모수적으로 조정한 것이다. 또한, 단위근의 부재를 귀무가설로 하는 KPSS 검정법3)도 결국은 Dickey-Fuller 검정법의 검정력에 대한 비판에서 파생되었다. 그러나 여러 가지 단위근 검정법은 검정력(power of test)에 있어서 나름대로의 문제점이 있는 것으로 알려져 있다. 1) 예컨대 Schwert (1989), DeJong et al. (1992), Cochrane (1991), Gonzalo and Lee (1996)2) Phillips (1987), Phillips and Perron (1988)3) Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, and Shin (1992)

몬테 카를로 실험에 의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근 검정법의 검정력에 관한 연구

검정력이란 통계적 의사결정에 있어서 귀무가설(null hypothesis)이 거짓인 경우 이를 기각하는 가능성을 의미한다.4) 만약 검정력을 높이고자 하면 되도록 주어진 귀무가설을 빈번하게 기각해야 하는데 이렇게 된다면 귀무가설이 참인 경우에도 이를 기각하는 오류 또한 빈번하게 나타날 것이다. 흔히 “단위근의 존재”를 귀무가설로 하는 검정법의 경우 검정력이 낮다고 알려져 있으며 또한 이러한 점은 단위근 검정을 적용하는 실증적 연구에서도 종종 인용되곤 한다. 즉 실제로는 단위근이 없는데도 불구하고 단위근이 존재한다는 그릇된 귀무가설을 잘 기각시키지 못한다는 것이다. 따라서 단위근이 없는 시계열에 대해서도 단위근이 존재하는 것으로 그릇된 통계적 결정을 내리게 되는 오류을 범할 가능성이 높다는 것이다. 실제로 많은 실증적 연구에서 단위근 검정을 수행하는 경우 대상이 되는 시계열 자료의 생성과정(DGP)을 알고 있는 경우는 거의 없다. 그러나 이 연구에서는 컴퓨터 시뮬레이션을 통하여 가상의 시계열 자료들을 생성하여 ADF 단위근 검정법을 적용하여 봄으로서5) 과연 그 검정력이 어느 정도인지 알아보고 실제 ADF 단위근 검정법을 수행할 때 검정력을 높일 수 있는 시사점을 도출하고자 한다.

거시경제학이나 금융경제학에서 시계열자료를 이용하여 실증분석을 실시하는 경우 이용하는 자료가 안정적 시계열인가 불안정적 시계열인가를 판단하는 것은 매우 중요하다. 왜냐하면 불안정적 시계열들에 대하여 회귀분석 등의 전통적인 계량분석방법을 적용하는 경우 가성적 회귀(spurious regression)의 문제를 야기시켜 그릇된 통계적 추론을 할 수 있기 때문이다. 따라서 단위근 검정법의 검정력과 한계를 명확하게 이해하는 것은 대부분의 거시 및 금융 시계열분석에 있어 중요한 선결과제이다.

4) 한편 검정력은 유의수준(significance level)과 밀접한 관계에 있음은 잘 알려진 사실이다. 유의수준이란 귀무가설이 참임에도 불구하고 이를 기각하는 오류를 범할 가능성인데 흔히 제1종 오류 혹은α 오류라고 표시하고 있다. 반대로 귀무가설이 거짓임에도 불구하고 이를 수락하는 오류는 흔히

제2종 오류 혹은 β 오류라고 한다. 따라서 검정력이란 결국 (1-β ) 라고 할 수 있다. 5) 이처럼 컴퓨터 모의실험(simulation)을 통하여 자료를 생성하는 경우 연구자 자신은 통계 검정 결

과와는 별개로 이미 자료생성과정(data generating process, DGP)와 모수를 모두 알고 있으므로 통

계 결정이 옳았는지 틀렸는지를 단할 수 있게 된다.


이 연구의 구성은 다음과 같다. Ⅰ장의 서론에 이어 Ⅱ장에서는 실험의 설계와 방법에 관해서 언급하고 있다. Ⅲ장에서는 검정모형과 귀무가설 그리고 임계치의 선택에 관한 문제를 다룬다. Ⅳ장에서는 모의실험의 결과를 살펴보고 해석한다. Ⅳ장에서는 연구의 결론과 더불어 실제 ADF 단위근 검정을 수행할 때 검정력을 높이기 위한 시사점을 언급하고자 한다.


Ⅱ. 실험의 설계 및 방법 이 연구에 적용된 몬테 카를로 실험은 다음과 전형적인 컴퓨터 시뮬레이션 절차에 의거하였다. <1> 특정한 DGP를 가정한다. 구체적으로 상수(constant)와 확정적 시간추세(trend)의 포함여부에 따라 다음과 같은 세 가지 형태의 DGP를 가정한다. 상수와 확정적 시간추세에 대한 모수는 0.3으로 가정하였다.

DGP1 y t=0.3+0.3 t+ρy t-1+u t (1)DGP2 y t=0.3+ρy t-1+u t (2)DGP3 y t= ρy t-1+u t (3)

식(1)은 상수와 확정적 시간추세를 모두 가지고 있는 경우이며, 만약 ρ < 1 이라면 추세 안정적인 경우이다. 식(2)는 상수만 포함하고 있는 경

우이다. 식(3)은 시간추세는 물론 상수도 포함하고 있지 않은 경우이다. 만약 ρ=1 이라면 순수 무작위 보행과정(random walk)이다.

<2> 특정한 자기회귀모수 (ρ ) 을 부여한다. 이 연구에는 1.00, 0.95, 0.90, 0.85, 0.80을 차례대로 가정하였다. 여기서 ρ=1.00 인 경우가 단위근이 존재하는 불안정적인 시계열인 경우이다.

<3> 교란항 u t 를 300개 생성한다. 교란항 ut 의 분포는 상호 독립적이고 자기상관이 없고, 평균이 0이며, 시간과 관계없이 분산이 1로 일정하다.6) ( u t∼ iid (0,σ 2 ), σ 2=1 )

<4> 위 <2>, <3> 단계에서 주어진 DGP와 주어진 자기회귀모수

6) 단위근 검정이 유효하기 위하여 반드시 정규분포일 필요는 없다.


(ρ ) 에 대하여 세 번째 단계에서 생성된 교란항을 이용하여 축차대입 함으로써 300개의 관측치를 생성한다.7)

<5> 상수와 시간추세의 유무에 따른 세 가지 검정모형을 적용하여 검정통계량을 얻는다. 구체적으로 다음과 같은 검정모형을 적용한다.

검정모형 1 : 상수항과 확정적 시간추세를 포함하는 경우

y t= α+β t+γy t-1+ ∑p

i=1∇y t- i+e t (4)

검정모형 2 : 상수항만 포함하는 경우

y t= α+γy t-1+ ∑p

i=1∇y t- i+e t (5)

검정모형 3 : 상수항과 확정적 시간추세가 모두 없는 경우

y t= γy t-1+ ∑p

i=1∇y t- i+ e t (6)

<6> 위의 세 번째부터 다섯 번째까지의 과정을 1,000번 반복한다. 결국 어떤 특정한 DGP와 특정한 자기회귀모수 (ρ ) 에 대하여 300개의 관측치를 가진 1,000개의 자료(series)를 생성하는 셈이다. 1,000개의 자료들 각각 대하여 세 가지 식(4)~식(6)의 단위근 검정모형을 모두 적용시켜 본다. 단위근이 존재한다는 귀무가설 (ρ=1) 을 10%, 5% 그리고 1%의 유의수준 하에 대하여 1,000번 중에서 기각되는 횟수를 계산한다.

7) 세 가지 형태의 DGP에 대하여 ρ=1.00, 0.95, 0.80 으로 가정한 대표적인 실현치(realization)의 시계열 그림이 <그림1-a>~<그림1-c>에 제시되어 있다.


<7> 특정한 자기회귀모수 (ρ) 대하여 여섯 번째까지의 분석이 끝나면 다시 <2>단계로 돌아가 또 다른 특정한 자기회귀모수 (ρ) 를 부여한다.8) 가정했던 자기회귀모수 (ρ) 전부에 대하여 <2>단계부터 <6>단계까지 반복한다. 이때 DGP는 일정한 형태를 계속 유지하게 된다. 따라서 자기회귀모수 (ρ) 의 차이에 따른 검정력의 차이만을 고려할 수 있게 된다. ρ 가 1인 경우를 제외한 나머지 경우, 즉 ρ= 0.95, 0.90, 0.85, 0.80 의 경우에 대하여,“단위근이 있다”는 귀무가설을 기각하는 횟수가 바로 검정력이 된다.

<8> 앞의 <1>단계에서 제시된 식(1)~식(3) 의 세 가지의 DGP 모두에 대하여 <7>단계까지의 과정을 적용시킨다. 이상의 과정을 다시 한번 요약하면 다음과 같다. 식(1)의 DGP에서 ρ

를 1로 부여하여 1,000개의 자료(series)들를 생성한다. 그리고 생성된 1,000개의 각각의 자료들9)에 대하여 식(4)~식(6)의 세 가지 검정모형을 모두 적용하여 단위근 검정을 실시한다. 여기서 귀무가설이 기각되는 횟수를 계산한다. 그리고 동일한 과정을 ρ=1 대신 ρ= 0.95, 0.90, 0.85, 0.80 을 차례대로 부여하여 반복한다. 식(1)의 DGP에 대하여 분석이 끝나고 식(2)와 식(3)의 DGP에 대해서도 동일한 절차를 수행한다. 이로서 서로 다른 세 가지 형태의 DGP와 서로 다른 다섯 가지 크기의ρ 에 대하여 세 가지 검정모형에 의한 ADF 단위근 검정법의 검정력을

알아볼 수 있다.

8) 즉, 1.00 → 0.95 → 0.90 → 0.85 → 0.80 의 순서로 자기회귀모수 (ρ) 를 부여한다.9) 즉 특정한 DGP와 특정한 ρ 에 대하여 300개의 관측치를 가진 1,000개의 자료(series)들의 집합

인 ensemble이 구성된다. 즉, 한개의 ensemble, y it 에서 i =1,...,1000, t= 1,...,300 이다. 이 연구에서는 3가지 형태의 DGP와 5가지의 값의 ρ 를 가정하였으므로 총 15개의 ensemble이 실험의 대상이 된다. 각각의 ensemble은 1,000개의 자료(series)들로 이루어져 있다. 따라서 1개의 ensemble에 대하여 단위근 검정을 1,000번 수행하게 된다.


Ⅲ. 검정 모형과 귀무가설 및 임계치 위의 식(4)~식(6)에서 살펴보았듯이 ADF 단위근 검정을 위한 검정모형(test model)은 상수(constant)와 시간추세(trend)의 포함여부에 따라 세 가지로 구별할 수 있다. 각각의 검정모형과 검정통계량 그리고 귀무가설과 대립가설은 다음 <표1>과 같다. τ τ, τ μ, τ 통계량은 계산된 검정통계량(test statistic)이 임계치보다 작은 경우 귀무가설(null)을 기각하고 대립가설(alternative)을 받아들인다. 귀무가설은 단위근을 포함하는 불안정적 시계열이라는 것이며 대립가설은 단위근이 존재하지 않는 안정적 시계열이라는 것이다. 한편 Φ

i통계량은 F-검정으로 단위근의 존재 이외에도 상수

항이나 시간추세의 유무에 대한 결합가설을 검정한다. 귀무가설과 대립가설은 역시 <표1>에 제시된 바와 같다. 검정통계량에 대한 임계치, τ τ, τ μ, τ 은 Fuller (1976)에 보고 되어 있다. 그러나 Fuller (1976)의 경우 사용할 수 있는 관측치의 개수가 제한적이라는 단점이 있다.10) 따라서 실제 관측치의 개수가 Fuller (1976)의 경우와 상이할 경우 관측치의 개수를 근사적으로 準用하여 사용해야 하는 어려움이 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 MacKinnon (1991)은 표면반응 회귀분석 (surface response regression)방법에 의하여 임계치를 직접 계산할 수 있는 방법을 제시하였다. MacKinnon의 임계치는 관측치 T의 개수에 따라 다음과 같이 계산된다.

CV (T )= α+β

1

T+β

2

T2

(7)

여기서 CV는 임계치이며 T는 관측치의 개수이다. 그리고 세 가지 검정모형에 대한 α, β 1, β 2

의 값은 MacKinnon (1991)의 <Table1>에 제시

10) 관측치가 25, 50, 100, 250, 300, ∞ 인 경우의 임계치가 각각 1%, 5%, 10% 수준의 유의수준하에서 제시되어 있다.


되어 있다.

검정모형

통계량 귀무가설 립가설

식(4)

τ τ γ=1 γ < 1

Φ2

α=β=0 &γ=1

α≠0 , β≠0 , γ < 1중 적어도 하나에 해당Φ

3 β=0 & γ=1β≠0 , γ < 1중 적어도 하나에 해당

식(5)τ μ γ=1 γ < 1

Φ1 α=0 & γ=1

α≠0 , γ < 1중 적어도 하나에 해당식(6) τ γ=1 γ < 1

<표1> 검정모형과 검정통계량 귀무가설과 립가설

한편 MacKinnon의 임계치는 Cheung and Lai (1995)에 의하여 더욱 정밀하게 보완되었다. Cheung and Lai 임계치를 계산하기 위한 추정모수는 MacKinnon 임계치와 동일하게 표면반응 회귀분석 방법에 의하여 구해질 수 있는데 다음과 같이 관측치의 개수( T ) 이외에 1차 차분 자기회귀항의 차수(lag order) p 에도 영향을 받도록 다음과 같이 수정되었다.11)

CV (T,p )=α+β

1

T+β

2

T2 +w 1(

p-1T

)+w 2(p-1T

) 2 (8)

T는 관측치의 개수이고 p 는 검정모형의 회귀식에 포함되는 1차 차분

11) 단위근 검정모형에 1차 차분된 자기회귀항이 포함되는 이유는 잔차항에 자기상관이 있는 경우를 보정하기 위한 것이다.


자기회귀항의 차수(lag order)이다. 물론 α, β 1, β 2, w 1, w 2의 값은

Cheung and Lai (1995)의 <Table1>에 제시되어 있으므로 주어진 관측치 개수와 산택된 래그(lag order), p 하에서 임계치를 직접 계산할 수 있다. 관측치 T=250 의 경우 임계치는 다음 <표2> 과 같이 계산되었다.12) 임계치를 살펴보면 τ τ, τ μ, τ 통계량 모두 Dickey-Fuller, MacKinnon, Cheung-Lai 모두의 경우에 큰 차이가 없음을 알 수 있다13). 그러나 Cheung-Lai 임계치는 관측치의 개수 (T ) 뿐만 아니라 1차 차분된 자기회귀의 차수(lag order)인 (p) 도 함께 고려하여 자유롭게 계산될 수 있는 장점이 있다. 따라서 이 연구에서의 임계치는 Cheung-Lai의 임계치를 사용하고자 한다.14)

Ⅳ. 실험의 결과와 해석 모든 실험의 결과는 <표3-a>～<표3-c> 및 <표4>에 보고되어 있다15). 먼저 <표4>에서 각각의 DGP에 대하여 ρ=1 인 경우, 즉 단위근이 존재하는 경우를 살펴보자. 첫 번째는 DGP에 상수와 추세가 포함된 경우이다. τ τ, τ μ 통계량의 경우 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각하는 오류를 범할 경우는 없었다. 그러나 상수와 추세가 없는 검정모형을 적용12) <표2>의 Cheung and Lai (1995) 임계치의 경우에는 시차 (p) 가 2인 경우로 가정하여 계산되

었다. 13) 그 이유는 관측치의 개수를 250로 동일하게 유지했으며 시차 p=2 로 계산했기 때문이다. 만

약 시차 p 가 커질수록 임계치는 서로 다르게 나타날 것이다.14) 한편 이상의 모든 임계치는 다음과 같은 DGP하에서 (α, β, ρ )= (0, 0, 1 ) 이라는 제약이

주어진 가운데 계산된 것이다. y t= α+β t+ρy t-1+u t , u t∼ iid (0,σ 2 )

통계학에서 모든 임계치는 주어진 귀무가설, 즉 일정한 제약하에서 계산된다. 위의 DGP에서 α

혹은 β 의 값에 대한 제약이 달라지면 ρ=1 이라는 귀무가설에 대한 임계치도 변하게 된다.15) 실험의 추정과정에서 관측치는 250개로 하였다. 실제로 생성된 자료의 관측치는 300개이지만 추

정상의 초기효과를 제거하기 위하여 처음 50개의 자료는 제외하였다.


한 τ 통계량의 경우 10%의 유의수준 하에서 1,000번 중에서 308번 기각되는 오류를 나타내었다. 두 번째는 DGP에 상수만 포함된 경우이다.τ μ, τ 통계량의 경우 단위근이 있다는 귀무가설을 기각하는 잘못된 결정

을 내릴 가능성은 매우 낮은 것으로 나타났다. 그러나 상수와 추세가 포함된 검정모형을 적용시킨 τ τ 통계량은 10% 유의수준하에서 단위근이 있다는 귀무가설을 1,000번 중에서 120번 기각시켰다. 세 번째는 DGP에 상수와 추세가 없는 경우이다. 즉 순수 무작위 보행과정을 검정대상으로 하고 있다. 이 경우에는 어떤 검정모형을 적용시키는가에 무관하게 τ τ, τ μ, τ

통계량 모두 비교적 양호한 결과를 보이고 있다. 즉 단위근이 있다는 귀무가설을 기각하는 오류를 범할 확률이 10%유의수준 하에서 각각 9.9%, 10.2%, 11.4%에 불과하다. <표3-a>~<표3-c>는 각각의 DGP에 대하여 ρ < 1 인 경우, 즉 DGP에 단위근이 존재하지 않는 ρ=0.95,0.90, 0.85, 0.80 인 경우를 살펴보자. 실험의 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 유의수준이 10%→5%→1%로 낮아질수록 검정력은 감소하였다. 이는 유의수준과 검정력은 상충관계에 있음을 고려할 때 당연한 결과이다. 둘째, DGP에서 ρ 값의 크기가 작아질수록 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각시키는 검정력이 증가하였다. 여기서 ρ≈1 인 이른바 준단위근 (near unit-root)의 상황에서는 단위근 검정의 검정력이 급격하게 감소하여 통계적 판단이 쉽지 않음을 알 수 있다. 셋째, 어떤 DGP를 막론하고 실제 DGP와 동일한 검정모형을 적용하는 경우가 그렇지 못한 경우보다 검정력이 증가한다. 따라서 주어진 유의수준 하에서 검정력을 증가시키려면 검정모형에 상수나 시간추세를 포함할 것인가 제외할 것인가 여부를 고려하는 것이 중요하다는 시사점을 얻을 수 있다. 특히 DGP에 상수와 시간추세가 포함된 경우에는 비록ρ=0.8 로서 단위근과는 커다란 차이가 있다고 해도 시간추세가 제외된

검정모형을 적용하는 τ μ 통계량은 10%의 유의수준 하에서도 단위근이 있다는 귀무가설을 전혀 기각할 수 없는 결과를 초래하였다. 이는 추세안정적 시계열과 차분안정적 시계열의 차이를 극명하게 나타내는 예로 볼 수


있다. 넷째, 그러나 DGP에 상수만 포함되어 있거나 상수도 포함되어 있지 않은 경우에는 어떤 검정모형을 적용시키더라도 검정력에 있어서 비교적 큰 차이가 없는 것으로 나타났다. 비교적 준단위근 (near unit-root)에 가까운 ρ=0.95 의 예을 들어 실험의 결과를 분석해 보기로 한다. 첫째, <표3-a>은 DGP에 상수와 추세가 모두 포함된 경우이다. DGP에 상수와 추세가 포함된 검정모형을 적용한 τ τ 통계량은 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각하는 옳은 결정을 유의수준 10%에서 1,000번 중에서 519번 얻을 수 있었다. 이는 ρ=1 인 경우 1,000번 중에서 단 1번만 기각하는 것과 비추어 볼 때 그리 불만스럽지 않은 검정력이라고 할 수 있다. 그러나 상수만 포함된 검정모형을 적용한 τ μ 통계량이나 상수도 제외된 검정모형을 적용한 τ 통계량의 경우에는 1,000번 중에서 단 한번도 귀무가설을 기각할 수 없는 결과를 초래하였다. 이러한 결과는 시간추세가 포함된 자료에 대하여 시간추세가 포함되지 않은 검정모형을 적용시키는 경우 검정력이 급격하게 감소함을 의미한다. 둘째, <표3-b>는 DGP에 상수항만이 포함되어 있는 경우이다. 10% 유의수준을 가정할 때, 검정모형에 상수만 포함시킨 τ μ 통계량의 경우에는 단위근이 있다는 귀무가설을 기각시키는 검정력은 65.6%이다. 또한 τ τ, τ 통계량의 검정력은 각각 43.8%와 10.8%이다. 셋째, <표3-c>은 DGP에 상수항과 시간추세가 포함되어 있지 않은 경우이다. 10%의 유의수준에서 τ τ, τ μ, τ 통계량은 각각 44.1%, 63.7% 97.7%의 검정력을 보이고 있다. <표1>에서 제시된 바와 같이 F-검정인 Φ

i통계량은 각각의 검정모형

에서 단위근이 존재한다는 귀무가설 이외에 상수항과 시간추세의 유무를 동시에 귀무가설로 하는 결합가설을 검정하기 위한 통계량이다. Φ

2통계

량과 Φ3

통계량은 시간추세와 상수항이 포함된 검정모형을 대상으로 하고 있다. Φ

2통계량은 단위근의 존재 및 시간추세와 상수항의 부재를 동시에

귀무가설로 하는 검정통계량이다. 또한 Φ3

통계량은 단위근의 존재와 시


간추세의 부재를 동시에 귀무가설로 하는 검정통계량이다. Φ1

통계량은 상수항만이 포함된 검정모형을 대상으로 하여 단위근의 존재와 상수항의 부재를 동시에 귀무가설로 하는 검정통계량이다. Φ

i통계량을 이용하여

적정한 검정모형을 선택할 수 있다. Φi

의 검정력을 알아보기 위하여 각각의 DGP에서 단위근이 존재하는 ρ=1 인 경우를 다시 <표4>에서 살펴보기로 한다.16) 첫 번째는 DGP에 상수와 시간추세가 포함된 경우이다.Φ

2통계량과 Φ

3통계량은 1%의 유의수준 하에서도 100%의 검정력이

나타내고 있다. Φ1

통계량은 10%의 유의수준 하에서 84.5%의 기각력을 보이고 있다. 두 번째는 상수만 포함된 DGP를 대상으로 하고 있다. Φ

2

통계량과 Φ3

통계량은 10%의 유의수준에서 각각 95.5%와 11.1%의 기각력을 보이고 있는데 이는 각 통계량의 귀무가설에 비추어 볼 때 매우 만족할 만한 수준이다. 왜냐하면 Φ

2통계량은 시간추세는 물론 상수항의 부재

도 귀무가설로 삼고 있기 때문에 당연히 기각되어야 한다. 그러나 Φ3

통계량은 상수항이 존재한다는 가정하에서 시간추세의 부재를 귀무가설로 삼고 있기 때문에 기각하지 않는 것이 옳은 결정이기 때문이다. Φ

1통계량

은 98.1%의 높은 기각률을 보여 주고 있다. 세 번째는 상수항이나 시간추세가 포함되지 않은 DGP를 대상으로 한 경우이다. Φ

2, Φ

3, Φ

1각각의

통계량은 10%의 유의수준에서 단지 9.3%, 8.8%, 11.4%의 기각률을 보이고 있다. 이는 어떠한 귀무가설도 기각하지 않는 것이 옳은 결정이라는 점에 미루어 보았을 때 만족할 만한 결과이다.

Ⅴ. 결론 및 시사점

16) 단위근이 존재하는 DGP를 대상으로 하였기 때문에 만약 Φi

검정이 기각된다면 이는 γ=1

이라는 귀무가설 때문이 아니라 α=0 혹은 β=0 이라는 귀무가설 때문이다. 따라서α, β 에 대한 Φ

i검정의 검정력을 판단할 수 있다.


다른 모든 통계적 의사결정과 마찬가지로 단위근 검정에 있어서도 역시 그 통계적 의사결정이 오류일 가능성을 배제할 수는 없다. 따라서 일정한 유의수준 하에서 검정력 또한 완전할 수가 없음은 물론이다. 그러나 ADF 단위근 검정법이 이를 적용하는 많은 실증적 연구에서 인용하고 있는 것처럼 검정력이 낮은 것은 아닌 것으로 여겨진다. 문제는 일정한 유의수준 하에서 검정력을 최대한 높이도록 하는 것이다. ADF 단위근 검정법의 검정력을 높이기 위한 방법은 다음과 같다. 첫째, 적절한 임계치를 사용하는 것이다. 기존에 제시된 Fuller (1976)의 임계치는 관측치의 개수가 주어져 있는데 반하여 MacKinnon (1991)이나 Cheung and Lai (1995)의 임계치는 실제 사용되는 자료의 개수에 따라 자유롭게 임계치를 계산할 수 있는 장점이 있다. 더우기 Cheung and Lai (1995)의 경우에는 오차항의 자기상관을 조정하기 위하여 포함되는 1차 차분 자기상관항의 차수에 대하여도 임계치를 조정할 수 있는 장점이 있으므로 ADF 검정에 있어 더욱 정확한 임계치를 제시한다고 할 수 있다.17) 둘째, Perron (1988) 및 Dickey and Rossana (1994)와 Dolado et al. (1990)18)에 따르면 단위근 검정의 절차가 중요하다고 한다. 본 연구에서도 DGP의 성격에 가장 잘 부합하는 검정모형을 적용했을 때19) 검정력은 보다 높아지며 특히 준단위근(near unit-root)의 상황에서는 더욱 그러하다는 점이 확인되었다. 단위근 검정의 절차는 다음과 같이 제시되어 있다. 첫 단계에서는 가장 덜 제약적인, 즉 상수항과 시간추세가 포함된 검정모형을 적용한다. 만약 여기서 단위근이 존재한다는 귀무가설이 기각되면 안정적인 시계열로 간주한다. 그러나 만약 귀무가설을 기각할 수 없다면Φ

2, Φ3통계량을 이용하여20) 시간추세의 존재 유무를 결정하여야 한다.

여기서 시간추세가 존재하는 것으로 나타난다면 정규분포의 임계치를 이용

17) Phillips-Perron 검정법도 동일한 임계치를 사용한다.18) 예를 들면, Dolado, Jenkinson, and Rivero (1990)의 pp.25519) 실제 단위근 검정을 실시하기 전에 대상 시계열에 대한 그림을 그려 봄으로서 DGP에 대한 단서를

얻을 수 있다.20) 상수항이나 시간추세의 유무에 대한 가설검정은 결합가설이 아니라 개별적인 가설에 대해서도 직

접 판단할 수 있다. Dickey and Fuller (1981)의 table1, table2, table3 은 단위근이 존재하는 상태에서 상수항의 부재와 시간추세의 부재라는 귀무가설에 대한 임계치를 제시하고 있다.


하여 단위근 검정을 다시 수행한다. 만약 시간추세가 없는 것으로 나타난다면 둘째 단계로 이행한다. 둘째 단계에서는 상수항만이 포함되는 검정모형을 적용한다. 만약 단위근의 존재를 기각할 수 있다면 안정적인 시계열로 판단할 수 있다. 그러나 기각할 수 없는 경우에는 Φ

1통계량을 이용하

여 상수항의 존재 유무에 대하여 판단하여야 한다. 상수항이 존재하는 것으로 나타나면 다시 정규분포의 임계치에 따라 다시 단위근 검정을 실시해야 한다.21) 만약 상수항이 유의하지 않은 것으로 판단되는 경우에는 상수항과 시간추세가 모두 포함되지 않은 검정모형을 적용하는 세 번째 단계로 이행한다. 셋째, 단위근의 존재를 귀무가설로 하는 검정법과 단위근의 부재를 귀무가설로 하는 검정법을 동시에 교차적으로 적용해 볼 수 있다. 그러나 이 경우도 마찬가지로 두 가지 검정법이 서로 일치하는 않은 결과를 도출하는 경우도 충분히 있을 수 있음을 염두에 두어야 한다.22) 이 연구에서는 몬테 카를로 실험을 통하여 ADF 단위근 검정법의 검정력을 알아보고 검정력을 높이기 위한 시사점을 도출해 보았다. 그러나 ADF 검정법을 포함한 모든 단위근 검정법에 있어서 실제로는 단위근이 존재하지 않는 안정적 시계열임에도 불구하고 단위근이 존재한다는 귀무가설을 기각하지 못하는 오류를 범할 가능성은 존재하기 마련이다. 따라서 개별 실증분석에서 단위근 검정을 적용하는 경우 단위근 검정의 한계와 검정력을 정확하게 이해하는 것이 중요하며 주어진 유의수준에서 검정력을 최대한 높이기 위하여 단위근 검정의 절차를 세심하게 고려하는 것이 필요하다.

21) West (1988)에 의하면 α≠0 이거나 β≠0 인 경우 ρ=1 이라는 귀무가설에 대한 임계치는 점근적(asymptotically)으로 정규분포를 따르게 된다. 또한 Hyllberg and Mizon (1989)에 따르면 α≠0 이고 β≠0 인 경우에는 ρ=1 이라는 귀무가설에 대한 임계치는 α 의 크기에는 영향을 받지 않으며 β 의 크기에만 영향을 받고 역시 점근적(asymptotically)으로 정규분포를 따르게 된다.

22) 예를 들면 Dickey-Fuller 검정에서도 ‘단위근이 존재’한다는 귀무가설을 기각하지 못하였으나 KPSS 검정에서도 역시 ‘단위근의 부재’라는 귀무가설을 기각하지 못하는 경우이다.


<그림1-a> DGP : y t=0.3+0.3 t+ρy t-1+u t

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

50 100 150 200 250 300

rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95

DGP includes constant and trend

<그림1-b> DGP : y t=0.3+ρy t-1+u t

-20

0

20

40

60

80

100

120

50 100 150 200 250 300

rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95

DGP includes constant

<그림1-c> DGP : y t= ρy t-1+ ε t

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

50 100 150 200 250 300

rho=1.0 rho=0.80 rho=0.95

DGP includes none


<표2> 여러 가지 임계치의 비교

검정 모형 통계량 귀무가설임계치 (T=250)

10% 5% 1%

t-testDickey-Fuller (1976) *

식(4) τ τ 단위근 존재 -3.13 -3.43 -3.99식(5) τ μ 단위근 존재 -2.57 -2.88 -3.47식(6) τ 단위근 존재 -1.62 -1.95 -2.58

MacKinnon (1991) **식(4) τ τ 단위근 존재 -3.138 -3.429 -3.998식(5) τ μ 단위근 존재 -2.573 -2.873 -3.458식(6) τ 단위근 존재 -1.616 -1.941 -2.574

Cheung and Lai (1995) **식(4) τ τ 단위근 존재 -3.130 -3.419 -3.984식(5) τ μ 단위근 존재 -2.569 -2.865 -3.448식(6) τ 단위근 존재 -1.609 -1.935 -2.574

F-Test : Dickey-Fuller (1981) *

식(5)Φ

3

시간추세 없음 및

단위근 존재5.39 6.34 8.43

Φ2

시간추세와 상수 없음 및 단위근 존재4.07 4.75 6.22

식(6) Φ1

상수항 없음 및 단위근 존재 3.81 4.63 6.52* Dickey and Fuller (1976, 1981)에서 각각 옮김.

** 직 계산하여 소수 4자리에서 반올림. Cheung and Lai (1995)에서 시차는 2.


ρ= 검정모형 통계량기각률 (%)

10% 5% 1%

0.95식(4)

τ τ 51.9 33.8 10.4Φ

2100 100 100

Φ3

49.2 29.5 8.6식(5) τ μ 0.0 0.0 0.0

Φ1

100 100 100식(6) τ 0.0 0.0 0.0

0.90식(4)

τ τ 88.3 74.2 37.8Φ

2100 100 100

Φ3

80.6 63.3 26.1식(5) τ μ 0.0 0.0 0.0

Φ1

100 100 100식(6) τ 0.0 0.0 0.0

0.85식(4)

τ τ 99.6 97.2 79.5Φ

2100 100 100

Φ3

98.8 94.3 69.9식(5) τ μ 0.0 0.0 0.0

Φ1

100 100 100식(6) τ 0.0 0.0 0.0

0.80식(4)

τ τ 99.9 99.7 97.1Φ

2100 100 100

Φ3

99.8 99.2 93.3식(5) τ μ 0.0 0.0 0.0

Φ1

100 100 100식(6) τ 0.0 0.0 0.0

<표3-a> 상수와 시간추세를 포함한 안정 DGP의 경우 (DGP1)

귀무가설에 한 기각률 (%)



10% 5% 1%

0.95식(4)

τ τ 43.8 26.5 9.4Φ

225.3 15.2 3.4

Φ3

34.6 19.8 5.9식(5) τ μ 65.5 46.6 15.5

Φ1

54.2 36.0 11.1식(6) τ 10.8 2.0 0.0

0.90식(4)

τ τ 89.1 74.8 40.6Φ

272.5 55.8 22.8

Φ3

83.5 66.1 29.1식(5) τ μ 98.6 93.7 65.4

Φ1

96.2 88.3 55.1식(6) τ 88.4 58.3 12.0

0.85식(4)

τ τ 99.7 96.7 78.9Φ

296.1 90.3 61.7

Φ3

98.4 94.5 69.7식(5) τ μ 100 99.8 94.2

Φ1

100 99.6 90.7식(6) τ 99.6 97.7 62.4

0.80식(4)

τ τ 100 99.8 96.1Φ

299.7 98.8 89.2

Φ3

100 99.6 92.6식(5) τ μ 100 100 99.5

Φ1

100 100 99.1식(6) τ 100 100 100

<표3-b> 상수항만을 포함한 안정 DGP의 경우 (DGP2)

귀무가설에 한 기각률 (%)



10% 5% 1%

0.95식(4)

τ τ 44.1 26.6 8.5Φ

224.8 14.6 3.3

Φ3

35.0 19.4 4.8식(5) τ μ 63.7 45.1 14.3

Φ1

51.8 35.6 9.9식(6) τ 97.7 88.8 50.0

0.90식(4)

τ τ 89.2 74.5 37.5Φ

272.1 51.6 21.1

Φ3

81.7 62.7 28.0식(5) τ μ 98.1 92.4 62.6

Φ1

95.7 88.1 52.1식(6) τ 100 100 96.1

0.85식(4)

τ τ 99.0 95.5 76.4Φ

294.9 87.3 57.2

Φ3

97.9 92.5 66.3식(5) τ μ 99.9 99.5 93.0

Φ1

99.8 98.9 87.8식(6) τ 100 100 99.9

0.80식(4)

τ τ 99.9 97.7 96.1Φ

299.7 98.3 88.2

Φ3

99.8 99.1 93.0식(5) τ μ 100 100 99.5

Φ1

100 100 98.5식(6) τ 100 100 100

<표3-c> 상수항이나 시간추세가 포함되지 않은 안정 DGP

경우 (DGP3) 귀무가설에 한 기각률 (%)


<표 4> 단 근을 포함한( ρ=1 ) 세 가지 형태의 불안정 DGP에 한

가설검정

DGPTestModel

검정통계량 옳은 결정기각율

10% 5% 1%

상수와 시간추세

포함 (DGP1)

식(4)τ τ 기각 불가 0.1 0.0 0.0Φ

2기각 100 100 100

Φ3

기각 100 100 100

식(5)τ μ 기각 불가 0.0 0.0 0.0Φ

1기각 84.5 27.1 0.0

식(6) τ 기각 불가 30.8 2.30 0.0

상수만 포함

(DGP2)

식(4)τ τ 기각 불가 12.0 6.0 1.2Φ

2기각 97.5 95.7 82.2

Φ3

기각 불가 11.1 5.0 1.0

식(5) τ μ 기각 불가 1.4 0.9 0.1Φ

1기각 98.1 95.3 84.8

식(6) τ 기각 불가 0.0 0.0 0.0

상수와 시간추세 모두 없음 (DGP3)

식(4)τ τ 기각 불가 9.9 4.3 0.5Φ

2기각 불가 9.3 3.5 0.6

Φ3

기각 불가 8.8 3.8 0.5

식(5) τ μ 기각 불가 10.2 4.9 0.7Φ

1기각 불가 10.5 5.4 0.8

식(6) τ 기각 불가 11.4 5.6 0.7


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A Monte Carlo Experiment on the Power of Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test

Sung-il Cho* . Jong-Soo Choi**2)

< ABSTRACT >

The empirical power of Augmented Dickey-Fuller unit-root test is investigated in Monte Carlo experiment framework. Data-generating process are specified into three types ; included drift and time trend, included drift only, and included none of them. The innovation term is drawn from independently and identically distributed standard normal with unity variance and zero mean. The values of parameter coefficients of autoregressive term are assumed to be 1.00, 0.95, 0.90, 0.85, and 0.80 in each data-generating process. To calculate the power of the test, three types of test model, suggested by Fuller (1976) and Dickey and Fuller (1979, 1981), are applied to each data-generating process with assumed value of parameter coefficients. Cheung and Lai (1995) critical value is adopted. At usual significant levels, it is counted that how many times the null of unit root is rejected among 1,000 realizations of each ensemble. As a result, the power of Augmented Dickey-Fuller unit-root test is not so poor as imagined as it would be usually expected. But choice of appropriate test model is still vital to increase the power of the test, especially when data-generating process contains near

* Adjunct Assistant Professor, Department of Economics, Jeonju University (email: [email protected], TEL : 017-212-1986) - First Author

** Associate Professor, Department of Economics, Jeonju University (email: [email protected], TEL : 063-220-2714) - Co-author


unit-root and/or time trend. The step by step strategy for choosing proper test model is suggested in conclusion.

Key Words : Augmented Dickey-Fuller, Unit Root Test, Power of Test, Monte Carlo Experiment.

Documents

몬테 카를로 실험에 의한 Augmented Dickey-Fuller 단위근 검정법의 ...kostat.go.kr/attach/journal/10-1-8.pdf · 2010-09-10 · adf 단위근 검정법을 적용하여