Energía de terremotos ydeondas sísmicas

Energía de terremotos y de ondas sísmicasEnergy of earthquakes and seismie sources

Jii-í ZAHRADNIK

Cátedra de Geofísica. Facultad de Matemáticas y Física

Universidad Carolina, Praga (República Checa)

SUMMARY

Determinations of the seismic energy E are difficult due te the heterogeneityof the Earth, its free surface, and absorption. The zero-order ray theory (i.e. thefar-field approximation) is an useful toel for these purposes. The mest reliabledeterminations of E are those based en the seurce time functions. e.g. the moment-tensor functien Mpq(t). Due te the absorption, any energy determination should beregarded as an estimate within a certain frequency window only. The employmentof the strong-motion records enlarges this window, but it yields problems with thenear-field effects. The seismic energy E serves mainly for classifying the earthquakesize, independently of the seismic moment M0. No censideratiens of the prestressare required for such classification, although the relatien between E and M0 has aclese connection to the stress drop Aa. Studies of the mechanical work at the faultrequire correct relatiens between E and Aa. They include quantities difficult toevaluate, e.g. the stress rate at the fault. The seismo-tectonic applications of E arevery limited unless the dynamical modeis including the fracture energy, and thethermal energy, are studied. toe.

RESUMEN

Determinaciones de la energía sísmica E son difíciles debido a la heterogeni-dad de la Tierra, su superficie libre y atenuación. El aparato muy útil para este fines la teoría de rayos en su apoximación nula, o sea la aproximación del campe le-jano. Las más fiables determinaciones de E son las realizadas a partir de las fun-cienes temporales del foco, p. ej. el tenser momento sísmico Mpq(t). Por causa dela atenuación, cada determinación de E representa sólo una estimación de la ener-gía para cierto intervalo de frecuencias. El uso de los movimientos fuertes amplia

Física ¿le la Tierra, Núm. 6. 72-111, Editorial Complutense, Madrid, 1994

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este intervalo, pero [eva complicaciones por tos efectos del campo cercano. Laenergía sísmica sirve para clasificar el tamaño del terremoto, independientemen-te del momento sísmico M~. Esta clasificación no necesita consideraciones del es-fuerzo inicial, a pesar de que la relación entre E y M~ tiene una conexión estrechacon la caída del esfuerzo bo. Para los estudios del trabajo mccánico en la fajín scnecesitan relaciones correctas entre E y S~. Estos incluyen cantidades difíciles deevaluar, p. ej. la variación temporal del esfuerzo en la latía. Las aplicaciones sis-mo-tectónicas de E son de uso muy limitado si no se cuenta con los modelos diná-micos, incluso la energía de fractura y la energía t&mica.

1, INTRODUCCION

En este articulo estamos intercsados en (a energía mecánica (potencialy cinética) en la tierra, en conexión con los terremotos. No considerarnostransformaciones de la energía mecánica a otros tipos de energía, por ejem-Pío la energía térmica. Distinguiremos entre la energía mecánica de todala tierra y la de un volúmen en particular, p. ej. cl volúmen de la llamadaesfera focal. Estudiaremos el flujo de energía a través de varias superficies,como la superficie terrestre, y otros. Mostraremos cuál es la relación entrela energía mecánica de la Ticrra, la energía de un terremoto, y la energíade las ondas sísmicas, llamada también la energía sísmica. Discutiremos va-rias posibilidades de definir la energía sísmica y los principios de su deter-minación, o medición, a partir de sismogramas. Atención especial se daráa la relación entre la energía sísmica y el trabajo efectuado por los esfuer-zos elásticos en las fallas, sobre todo la relación entre la energía sísmica yla caída de los esfuerzos durante un terremoto. No omitiremos las consi-deraciones del esfuerzo inicia!. Se revisaran brevemente las complicacio-nes prácticas causadas por (a heterogenidad dc la Tierra, el amortigua-miento y la existencia de la superficie libre. Se mostrará cómo emplear lasrelaciones entre la energía sísmica y la caída de esfuerzos para mejorar laclasificación de terremotos por medio de las magnitudes. Terminaremoscon una discusión sobre cómo emplear en la determinación de la energíalas desviaciones de terremotos desde el modelo de cizafla pura.

E artículo representa un intento dei autor para unificar el tratamien-lo de la energía sísmica que actualmente se halla poco tratada, o desperdi-gada en lidias (1985 y 1989), Aki y Richarda (1980), Kostrov y Das (1988),Madariaga (1983), Boatwright (1980). Zahradnfk (1989). y otros.

Partimos de que el lector no sólo conoce los conceptos básicos dc sis-niología, como: magnitud, foco y mecanismo focal, fallas y fracturas, mo-mento sísmico, etc., sino que también posee un buen entrenamiento en me-cánica del medio continuo (p.ej., en los tensores dc esfuerzo y deformación,el tensor de Creen, etc.). La lectura de este artículo será más fácil para losque conocen la descripción matemática del foco sísmico, sobre todo los mo-delos cinemáticos.

3. Energía de terremotos y de ondas sísmicas 75

2. SUMARIO DE CANTIDADES BASICAS

Para facilitar el tratamiento, presentaremos primero un resumen de lascantidades físicas básicas que tienen relación con este artículo, mostrandotambién su flotación.

u, el vector del desplazamiento (la componente i=1 ,2,3)la derivada del desplazamiento respecto al tiempola derivada del desplazamiento respecto a la coordenadajel tensor de esfuerzo completo, incluso el inicialel tensor de esfuerzo incremental

1 la derivada del esfuerzo respecto a la coordenada

el tensor de deformación; ~ = —y(u~~ + u~~)cllkl el tensor de los parámetros elásticos para el medio ani-

sótropocukEkl sumatoria por los índices repetidos k y 1 (la regla de Eins-

tein)c~~kEkI = c~~kLuk,l la relación que sigue desde la simetría del tensor c~~kIX, i’ los parámetros elásticos para el medio isótropoa, I~ las velocidades de propagación de ondas longitudinales

(1’) y transversales (5)p la densidad

la normal de una superficie (el vector unitario)el vector de esfuerzo; 1, = t~ v~

Y la superficie de la falla[u~] la discontinuidad del desplazamiento en la falla[u~]=Aun~ la representación a partir de su magnitud y el vector uni-

tarioel radio vector de un punto de la fallael radio vector de un punto de observación, o receptorel radio vector relativo entre un punto de falla y el recep-tor (el vector unitario)la caída de esfuerzos de cizalla (el valor promedio sobrela falla)el valor promedio de ¡i sobre la fallael momento sísmico escalar

L el tamaño característico lineal de la falla (longitud de falla)W la energía mecánica de un volumenE la energía sísmica (o la energía de ondas sísmicas, o el

flujo de la energía sísmica)E~, ES la energía sísmica de las ondas P y SM la magnitud (de ondas superficiales)

la magnitud de momento=1(t) la función temporal del foco (para la cizalla pura)Mpq el tensor momento sísmico

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Mpq(t) la función temporal dcl foco (analogía tensorial dc =1(t))F~, F5 los patrones de radiación de las ondas P y 5 (para la ci-

zalla pura)el valor promedio espacial de (F~)2

el tensor de Creen* la convolución en el tiempo

3. MEDIO SIN FALLA

Antes de tratar la energía en el medio tomando en cuenta los procesosen las fallas sísmicas, trataremos algunos casos más sencillos.

Consideremos un volúmen y rodeado por una superficie 5. La superfi-cie no es libre y no existe ninguna falla sísmica dentro deS. La figura 1 mues-tra un ejemplo de V y S dentro de la Tierra, junto con una falla Y no rode-ada por 5. En la falla X tiene lugar un terremoto, mejor dicho, los procesosde fractura generadores del campo de las ondas sísmicas. Se estudia estecampo dentro del volúmen V y en la superficie 5. El proceso de deforma-ción en V tiene una duración finita, o sea, t~(t

0, t1), en lo siguiente elegidocómo t0 = O y tí 1. Para simplificar el problema respecto a la realidad, quees mucho más compleja, supongamos que en el momento t0 (o sea en el es-tado nulo) el medio elástico en V no tiene ningún esfuerzo, deformación, nidesplazamiento: tj = u? O. En el momento t1, estado uno, supongamosque, en general, tiene lugar r~ != !=u~ !=0.Las fuerzas de volúmen no seconsideran aquí. Los estados nulo y uno son los de equilibrio: tj,~ = tk = 0.Además, cl estado uno es estático: iii O Durante el proceso tiene lugar laecuación de movimiento, de forma r0~ = pU. La energia mecánica está com-puesta de la energía potencial y cinética. Su densidad de volumen o(x,t), lacual depende de la posición y tiempo, se expresa por

2 qSlJ±2 pu1ui (1)

La energía total o, mejor dicho, la diferencia entre el estado final 1 y ini-cial O viene dada por

WJ(wI—wo)dVzzJwtdV~~~ Jtbrbdv-4--- Jti1ufldv (2)

Después de una manipulación formal obtendremos

W = + J(tijuQj dV --4- Jtb1u~ dV{ J~(rijuI).j dV (3)

donde la integral con el término rL desapareció por causa del equilibrioarriba mencionado. Finalmente, usando el teorema de Gauss, la energía scpuede escribir de forma equivalente

3. Energíade terremotos y de ondas sísmicas

Figura 1. Un volUmenhalla dentro de S.

V rodeado por una supcrticie 8, dentro de la Tierra. La falla Y no se

Wzz{ J’tbulvidS=-{- u\ dS (4)

Hemos encontrado que la energía mecánica W se puede expresar comoel trabajo efectuado en la superficieS por el esfuerzo promedio hÁT~+T~)=

1T~, en conexión con el desplazamiento final (estático) ul. Por supuesto,2esta representación es de una forma bastante formal, o sea, dice poco so-bre el proceso de deformación, porque no da ninguna descripción de la va-riación temporal u(x,t). Sin embargo, es muy valioso ver que, como se mues-tra en (4), el valor final de W no cambiará rara cualquier variación de u

1(,t)que se señala por los mismos valores de ~T1y u~. Cuando una onda sísmi-ca está propagándose a través de V, este volumen cambia su energía entrelos momentos O y 1 sólo en caso que u~ (~) no desaparece en y.

En realidad, los desplazamientos finales diferentes de cero se conocen,p. ej. a partir de las mediciones geodésicas cerca de las fallas después degrandes terremotos. (Por supuesto, éstos, no deben confundirse con los des-plazamientos en las fallas, mejor dicho por las discontinuidades del des-plazamiento, o fracturas). Los desplazamientos no nulos fuera de las fallaspueden explicarse con la teoría de la elasticidad y los llamados efectos del

campo cercano. Estos disminuyen con la distancia hipocentral r como r.Estos efectos no se tratan en la mayoría de los problamas prácticos de sis-mología. Mejor dicho, estos efectos se desprecian respecto a los efectos del

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campo lejano. Sin embargo, el desplazamiento del campo lejano disminu-ye como r’ y nunca se señala por ul !=0. En otras palabras, si se aceptarauna aproximación del campo lejano. nuestro problema (el de este capítu-lo) siempre resulta en W 0.

4. FLUJO DE ENERGIA

La siguiente etapa de nuestro estudio es entender qué pasa con la ener-gía mecánica W en el volúmen V durante el proceso de deformación, osca,para t~(t0, t1). Se puede escribir la energía de forma

W f W(~, t1) dV = t 10’>’ (~, t)dtdV (5)

donde se expresa la derivada temporal de la densidad como1. 1

W= -~ -r~jr,1 + -y- ~ + pUiU1 dS1. 1

-§ t1u1 +-y- ‘r,3u,~ + pU1ú~ (6)

Tomando en cuenta que

= c~~kL u k.I u1~ = ckl~~u Uk~ cjkl Ú Ukí cHkl ukj u = r~~u h (7)

la derivada W viene dada por

• 12 T1U11 + 2 ~ + ~ u, (r~ú¡),1 (8)

Si resumimos los resultados (5) y (8). obtenemos1 1

W = •j~ % (t1~ú1) dtdV = is ID r13ú~v~ dtdS (9)

Esta ecuación representa la ley de conservación de energia. La cual di-ce que un cambio de energía dentro del volumen y es igual al flujo de ener-gía a través de la superficie 5 que rodea V. Observemos que la función den-tro de la integral x¡~ú1v1 = T~ú~ expresa la densidad superficial del flujo depotencia, efectuado por el esfuerzo (o tracción) T~.

Comparando las ecuaciones (4) y (9), que expresan la misma energíaW, llegamos a

W = ~ JTu?dS =Jjf<,T1ú1 dtdS (10)

Esta relación hace posible entender mejor el caso especial cuando W=O,mencionado en el capítulo 3. La ecuación (lO) nos dice que, en la aproxi-

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mación del campo lejano, cada caso cuando W = Oes equivalente a que to-da la energía que fluye dentro de Ves igual a la que fluye fuera de y, a tra-vés de 5. Sin embargo, una vez considerados los efectos del campo cerca-no, W !=0,los dos flujos son diferentes.

En este momento, hay que mencionar un caso especial de W Oque sepodría encontrar a pesar de que se tome en consideración el campo cerca-no. Como se ve en (10), éste es el caso de la llamada superficie libre, o sea

= O en 5. La superficie 5 que se muestra en la figura 1 no es libre porquese halla dentro de la Tierra. El caso de la superficie terrestre libre consi-derada como 5 se abordará más adelante.

Debe darse cuenta también que la ecuación (10) puede aplicarse en elcaso de un vohimen V rodeado por dos superficies, una interna y otra ex-terna, es decir 5 =

5int + 5ext, véase figura 2. La ecuación (10) dice que sólocuando W = O los flujos a través de 5int Y 5ext se igualan uno al otro. (Mejordicho, son del mismo tamaño, pero del signo opuesto, gracias a la orienta-ción opuesta de la normal externa de las dos superficies.)

Figura 2. Un volumen Y rodeado por dos superticics, S~< y S~, dentro de la Tierra.

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Queda por decidir cuál de las tres expresiones propuestas para W seríamejor para una eventual ‘medida’ de W. Las tres expresiones son:

CC’ 1 CCW = Jú(túú¡),j dtdv y .i. r~uIv~ dS = j j~, x1~ú~v~ dtdS (II)

La integral de volúmen en la primera expresión es, en general, muy po-co útil, o difícil, porque su evaluación necesitaría las ‘medidas’ dentro detodo el volúmen estudiado. La integral de superficie en la segunda expre-sión, que contiene u~, es igualmente poco útil, ya que los desplazamientosfinales son difíciles de observar, porque éstos tienen valores bajos y soncantidades estáticas. (Típicamente, los instrumentos sísmicos no extiendensus características hasta la frecuencia nula.) La última expresión de W quese encuentra en la ecuación (11), esto es la doble integral sobreS y el tiem-po, es la más útil. Es muy probable que debido a estas razones la doble in-tegral (con signo opuesto) sea denominada en sismología como la energíasísmica. Equivalentemente se le llama la energía de las ondas sísmicas. Si-guiendo esta tradición la definimos como

E = - f ft t ú~ dtdS = -110 ~ dtdS (12)

Comparándola con la ecuación (10), nuestro modelo sencillo (figuras 1y 2) nos proporciona una ley de la conservación de la energía en la forma

W=-E (13)

Esta ecuación indica que, por ejemplo, una caída de energía pertene-ciente al volúmen y (eso es W < O), está compensada por un flujo dentrode V (eso es el flujo negativo), o la energía sísmica positiva. Lo contario(W>0, E <0) equivale a lo mismo.

Hay que enfatizar que, la energía sísmica está definida en (12) por el ten-sor de esfuerzo incremeníal ~. Esto es una propiedad típica de la definicionde E que tiene lugar siempre, incluso en el caso cuando se cuenta con la pre-sencia del esfuerzo inicial. Volveremos a este problema más adelante.

Respecto a la definición (12) hay que especificar de forma más concre-ta cómo elegir el volúmen V y la superficieS para poder calcular en la prác-tica la energía sísmica. ¿Es éste un volúmen dentro de la Tierra, como enla figura l,o debe igualarse 5 con la superficie terrestre? Hasta el momento,en nuestra formulación del problema, no podemos conceder ninguna su-perficie 5 que contenga la falla. Por lo tanto, en este momento no podemosdiscutir una aplicación práctica de (13) en absoluto. Sin embargo, hay quemencionar, que cuando lleguemos al caso de permitir la falla dentro dc 8.la relación entre W y E aparecerá mucho más compleja que (13).

Otro punto de interés referiéndose a la definición (12) es cómo en-tender el desplazamiento u,. Este problema tiene una estrecha relación


con la elección de 5. Como ya se discutió en base a la figura 2 y la ecua-ción (10), para tener W !=0,el flujo a través de Sñ~, es diferente al flujo através de 5ext Al mismo tiempo, W !=0está relacionado con u? !=0,ésto es,con los efectos del campo cercano. Esto quiere decir que E no dependede la elección de la superficie 5 sólo en el caso cuando se desprecian enu1 los efectos del campo cercano. Para lo que sigue, u1 en la ecuación (12)

es el desplazamiento en la aproximación del campo lejano, por definición.Por supuesto, en el caso sencillo estudiado en este capitulo, una vez des-preciados los efectos del campo cercano llegaremos al resultado trivial deW = ErO.

5. MEDIO PRETENSADO

Nuestras consideraciones precedentes se señalaron con fuertes simpli-ficaciones. Ahora nos acercaremos más a la situación real de la Tierra. Pri-mero, vamos a eliminar el supuesto en el cual el medio está sin esfuerzo ydeformación. Ahora supondremos el medio sin deformación, pero con al-gún esfuerzo inicial.

El esfuerzo inicial será una función de la posición que durará desde tohasta t1 sin cambios temporales, o sea c~% (x). De forma similar a lo que hi-cimos antes supondremos que en el estado O todas las deformaciones y des-plazamientos son nulos, Lb = 0, u9 0. Además, para simplificar el proble-ma, vamos a suponer que el esfuerzo incremental t1~ está relacionado conla deformación ~ por la ley de Hooke r~ = C¡jkLSkI. En realidad, para los me-dios con el esfuerzo inicial, la relación entre t1~ y e~j es más complicada, yviene dada por el llamado tensor de Piola y Kirchhoff; véase Dahíen, (1967).Entonces, el esfuerzo completo es de siguiente forma:

= ~%(~) + r~/,t) (14)

Los estados O y 1 son de equilibrio, dl~ = ~bi O. Bajo estas condiciónes ladensidad de la energía mecánica viene dada por una relación más comple-ja que (1), esto es

1 1W = + c¡j~,1 + —y- c1kIsklE0 + —y pu1u1 (15)

Ahora la energía potencial se ha representado en (15) por una funcióncuadrática de e~j (a diferencia de la función lineal que aparece en (1)). Lostérminos W

0 + &bLlj, que se adjuntaron al término estándar de ‘rue¡~, pue-den explicarse sin dificultad. Basta recordar una importante propiedad ge-neral de la energía potencial (o sea, la energía de deformación). La ener-gía potencial es una función de la deformación LIJ, cuya derivada respectoa es el esfuerzo (Landau y Lifshitz, 1965). Como se puede ver en (15),

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derivando la energía potencial respecto a L1 se obtiene justamente el es-fuerzo a% + t~1, postulado en la ecuación (14):

a(w’ + abs,¡ + -&wcÓ) ob-f-+ c,¡kí Ckí = + tt = (16)

En forma análoga a (2), el cambio total de energía entre los estados O y 1viene dado por

C C 1w = j~ (W - W9dV •j~ (o%~~ + —y- tgEl¡)dV (17)

Introduciendo rl1 o~ - o~ a partir de la ecuación (14) tenemos

W = f~ (a?, + 111—y- a~ - -r &-)s’-dV — -4-1 (ab + ol¡)sbdV (18)

Si, además, la deformación se expresa por el desplazamiento, obtendremosque

El último término, que contiene ok y ~ desaparecerá gracias a la con-dición de equilibrio. Finalmente, aplicando el teorema de Gauss,

±o~)uI v~ dS (20)

Es sumamente interesante comparar este resultado con él de la ecua-ción (4). Como se puede apreciar en (20), el hecho de considerar el esfuerzocondujo a que el término {r11 se sustituyera por el promedio de los esfuer-zos iniciales y finales Bdb+ob). En otras palabras, en ambas ecuaciones (4)y (20) aparecen las cantidades análogas, es decir, los valores promedios en-tre los valores iniciales y finales, los cuáles, por supuesto, poseen forma di-ferente para cada problema. Su forma para el caso que considera sin eles-fuerzo inicial es i¶j, mientras que para el caso que considera el esfuerzo2inicial es 1(ob+a¡~); véase figura 3.

6. MEDIO CON FALLA

Una generalización que debe hacerse para aproximarse a las condicio-nes reales de la Tierra, es considerar la existencia de una falla. En tal casoel problema es similar al modelo tratado en la figura 2, donde el volúmen

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83

0.ji

tFigura 3. Una ilustraciónesquemática de la analogía entre las ecuaciones (4) y (20). Fn ambasecuaciones ocurre el promedio entre los esfuerzos inicialcs y finales, mostrado por la cruz.

V estaba limitado externa e internamente por dos superficies. La superfi-cie de la falla Y, que estamos introduciendo, jugará aquí un papel similaral de la superficie Sn~ de la figura 2, con la única diferencia de que Y es lasuperficie ‘degenerada’, de volúmen cero (figura 4). A ésta se le llama lasuperficie doble, denotándola por Y = Y+ + E.

Por esto, el volúmen V estudiado ahora está limitado externamente porla superficie 5 e internamente por la falla Y. Este hecho se puede repre-sentar por la ecuación (20), sustituyendo en ella 5 por 5 + Y = 5 + Y+ + Y.Las normales externas de E y E, son de signo opuesto: V. = &. Introdu-ciendo sólo una normal para ambas superficies, V = V, la cuál es interna res-pecto a Y~, nos lleva a que en la integración sobre Y+ la normal externa vie-ne dada por - ÑU Por consiguiente:

1 t

84 JiPi Zahradník

Figura 4. Un volúmen V dentro de la Tierra. El volúmen Y está rodeado externamente porla superficie Se internamente por la falla Y.

W= 4 ~(o’~+ ol1)u~ y1 dS + —4— jj (~±~b)(u; - u)’v1dX (21)

Para simplificar el problema, suponemos que los esfuerzos son conti-nuos a través de la falla, por lo cual los a, ab y ob aparecen en (21) sin sig-nos. Por otro lado, los desplazamientos son discontinuos, lo cual se denotapor u - uj = [u¡] !=0. Y, apareciendo en el límite inferior de la integral, seentiende como el tamaño de la falla. Finalmente obtendremos que

W= + ~ (al1 + cb)u~ y1 dS + -4--- J~ (&ij + oL[uWv1dY (22)

Comparando (22) con (20), la expresión de W se ha generalizado porla adición de la integral que expresa el trabajo de las fuerzas superficialesactuando en Y en relación con el desplazamiento discontinuo.

En este momento cabe prevenir sobre un error muy corriente, el de en-tender este trabajo en Y como el trabajo de las fuerzas tectónicas que ori-ginaron la fractura [u¡]. Esto no es tan fácil. Nuestro problema es el llama-do problema cinemático, es decir, no se toma en cuenta el proceso deformación de [u], ni las necesarias fuerzas, ni su trabajo. Se puede decirque estamos estudiando el medio con la fractura impresa. La generación oformación de [u,(x,t)], que puede estudiarse en los llamados problemas di-


FiguraS. El volUmen de toda la Tierra, y la superficie libreS. Este cscogimiento deY y 8 noes útil para los cálculos de la energía sísmica E, ya que conlieva E = O.

námicos (no tratados en este articulo), tiene una relación estrecha con losprocesos tectónicos.

Ahora volveremos al caso trivial mencionado en el capitulo 4, el casode la superficie 5 libre. A diferencia del capítulo 4 ahora estamos conside-rando dos superficies, la superficie libre 5 y la falla Y, en forma similar alcaso real de la tierra (véase figura 5). Mientras que la superficie libre 5 enel capítulo 4 implicó, a partir de la ecuación (10) el resultado de W = 0, aquí,en el volúmen de toda la tierra ese resultado no tiene cabida. Como se mues-tra en (22>, la desaparición de la integral sobreS conduce a que W = Iy ...dY.Esto indica que cada caída de la energía mecánica de la Tierra, W < O, es-tá compensada por un trabajo en la falla Y. Se puede decir que el volúmenestá proporcionando la energía a la falla. Pero, se puede decir también loopuesto, que si la falla trabaja (por una ‘fuente interna’ de energía, que flu-ye ‘a través de Y’, dentro y), se aumenta por este motivo la energía del yo-lúmen de la tierra.

El lector debe sentir que cada una de estas dos formulaciones expresasólo una parte de la verdad. En realidad, ambos mecanismos mencionados(y algunos otros más) están funcionando en conjunto. En el nivel más o me-nos Intuitivo podemos esperar lo siguiente: en los lugares de terremotos fu-turos, en fallas y cerca de ellas, la tierra aumenta su energía potencial. Es-to ocurre como consequencia de los movimientos de las placas, en partes

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de la falla donde el movimiento relativo es nulo, mientras que en otras par-tes de la misma falla se da el movimiento no nulo. Es decir, en los lugaressín movimiento, la energía cinética de las placas móviles se transforma enenergía potencial (o sea en la energía de deformación). Durante el terre-moto, la energía potencial del medio disminuye, W < 0, lo cual, a partir de(22), equivale al flujo de energía en la falla. Al mismo tiempo, sin embar-go, la falla está utilizando esta fuente de energía para el trabajo relaciona-do con el desplazamiento discontinuo en la falla, así como con las ondasgeneradas en la falla. Las ondas que se propagan dentro del volúmen V dela Tierra devuelven la energía hacia atrás. Si la superficie 5 fuera transpa-rente, la energía fluiría a través de 5, disminuyendo W. Pero, para una su-perficie libre 5, las ondas vuelven adentro, no permitiendo la disminucionde W. Despreciando las transformaciónes de la energía mecánica durantelos procesos inelásticos en la falla y durante la propagación de las ondas, laenergía mecánica de la tierra se conserva. En los capítulos que vienen va-mos a discutir algunas de estas ideas en forma mas exacta.

Parece posible suponer que la superficie 5 es la superficie libre de latierra (figura 5). Sin embargo, no lo haremos por ahora. Si supusiéramos 5libre, la ecuación (22) nos proporcionaría una relación interesante entre laenergía de la tierra W y el trabajo en la fallaS ...dY, pero, tal relación notendría ningún significado práctico porque ninguna de estas cantidades sepuede medir. Por esa razón continuaremos con la suposición de que 5 esuna superficie interna en la tierra, como se recoge en la figura 4. Luegomostraremos cómo medir un flujo de energía en 5 y cómo elegirla en lapráctica.

Similarmente al caso de la ecuación (4), no nos satisface que en la ecua-ción (22) se haya descrito W solamente por los valores relacionados a losestados inicial y final, sin representar el desarrollo del proceso en el tiem-po. Nos gustaría representar W de forma análoga a (9) para el caso mos-trado en la figura 4. Todo el desarrollo matemático es bastante complica-do (véase, p. ej., Kostrov y Das, 1988). Afortunadamente, una simple ideanos llevará al resultado (aunque sólo aproximado) muy rápidamente. Co-menzaremos observando las analogías entre (4) y (22):

en la ecuación (4):

ven la ecuación (22):

1 1w (o> + ~b) = Ob + ~. t¡~

En otras palabras, en ambos problemas aparece el valor promedio en-tre el esfuerzo inicial y final (véase también figura 3). Por eso, en vez delesfuerzo resultante t>~ en el primer problema debe, en el segundo proble-


ma, considerarse el esfuerzo a%- + = a~. Si se toma en cuenta también laotra analogía


w=f5u¡...ds


W=f5ui... dS-fiuj... dY

llegamos a la generalización de (9) en forma de

SS aj~ ú¡v1dtdS - J4ft aj4ú~]v~dtdY (23)

Esta deducción parece muy lógica, pero, similarmente a muchas otrassuposiciones basadas en analogías, el resultado no es correcto. Nuestra con-sideración salió de las ecuaciónes (4), (22), en que se tratan sólo los esta-dos estáticos O y 1. No se trata en absoluto la energía relacionada con la pe-netración de la falla en el medio, la llamada energía de fractura (Kostrov yDas, 1988, capítulo 4.4). Desde este punto de vista la ecuación (23) debeconsiderarse sólo como una aproximación. Madariaga (1983, capítulo 10)mostró que esta aproximación es aceptable para los eventos más grandes,p. ej. para la magnitud mayor que 6.

La siguiente tarea, similar a la tratada en el capítulo 4, es estudiar re-laciones entre la energía mecánica W y la energía sísmica E. Seguimos cony y 5 elegidos en la forma mostrada en la figura 4. Escribiendo el primertérmino de (23) en forma de a~ = + t1~, e integrando el esfuerzo iniciala~ (independiente del tiempo), se obtiene

W= f~ ft (a~ + tu) úy1dtdS - fi J~ a~ [ú1]v>dtdl =

f~ ctj~ ulv1 dS + 5550 ‘rÚ ú~v1dtdS - fi f0a~ [ú1]v1dtdY (24)

Ahora ya ha aparecido la energía sísmica E = - f~ fttjjújvjdtdS en la ecua-ción (24) en forma explícita. Además, el último término lo integraremos porpartes. Así mismo, consideraremos que al comienzo del proceso estudiadono existe ningúna discontinuidad del desplazamiento, [u?] = 0. Eso dará

W = -E±tnijuivjdS- fi ai~ [u~1v1 dY + fi f~ ú~ [u¡ ]v1 dtdZ (25)

Hemos llegado a una ecuación sumamente importante, generalizando laecuación (13), W = - E, para el caso de un medio con esfuerzo inicial y conla falla. otra vez, es la ley de conservación de la energía mecánica. La ecua-ción (25) indica que la energía del volúmen V no cambia (W = O) sólo cuan-

88 JiPi Zahradník

do el trabajo en la falla (o sea el flujo de energía a través de Y. dentro de V)está compensado por el trabajo efectuado en 5 (es decir, el flujo de energíaa través de 5 fuera de y). El flujo de energía fuera de V a través de 5 estácompuesto de dos partes. E y L..dS. Evidentemente, ambas partes se po-drían reunir en un solo término. Tal término podría comprenderse e intro-ducirse como una nueva definición de la energía sísmica. Pero, en la prácti-ca, ésto no se hace porque los valores del desplazamiento final u~ y los delesfuerzo inicial clj, que aparecen en ft... dS, usualmente no se conocen.

¿Y qué pasa en el caso especial de la superficie libre 5, ya mencionadoanteriormente 2 En tal caso desaparace no sólo E, sino también SSéS~ ental situación la ecuación (25) nos proporciona una igualdad entre W y eltrabajo en Y. Estas son justamente las integrales 11...dI en (25) las que po-dríamos llamar la energía mecánica del terremoto. Sin embargo, la relaciónW = Jy...dY no daría ninguna posibilidad de determinar haY porque tam-poco conocemos W. Una conclusión parcial es que tal vía para estimar laenergía del terremoto no es la correcta. Pero, ¿hay alguna otra?

Si volvemos a la ecuación (25), podemos ver que cualquier otra super-ficie 5, que no sea libre, (es decir, una superficie dentro de la tierra, comose presenta en figura 4) nos da la posibilidad de medir el flujo correspon-diente, o determinar E. (En lo que sigue veremos cómo hacerlo en la prác-tica, p. ej., en la llamada esfera focal.) Sin embargo, este procedimientotampoco nos informará sobre el trabajo en Y debido al valor desconocidode W en la ecuación (25). Una posible solución a este problema se mues-tra en el capítulo siguiente.

7. ENERGIA MECANICA Y SíSMICA

Una vía de cómo emplear los valores de la energía sísmica E para co-nocer el trabajo en la falla, consiste en eliminar la desconocida energía Wde nuestras fórmulas. Esto se puede hacer al combinar el análisis estático(22) con el dinámico (25), lo cual da:

+ J5olju~v~dS + -} j5a~¡u~v1 dS -4- fiot-[uUvjdY- + ficVí[ujv,dY=

- E + J5al~u~vjdS - fi aj~[uJv1dY + fi JJú~ [u, ]v~ dtdY (26)

o seaE—

1 J( 1 P/Q ~‘~~dY+ IIÚ[u]v-dtdY2 ab- cb)u~v

1dS ±yj~flr ~VL’-tJ¾ jyjú’li (27)

Ya que E representa algún flujo a través deS, y por tanto puede sumarsecon la integral L...dS en la parte derecha de (27), toda la ecuación puedecomprenderse como una igualdad entre dos flujos:

3. Energía de terremotosy de ondas sísmicas 89

un flujo a través de 5- un flujo a través de Y = O.

Quizás, este resultado parece un poco sorprendente, teniendo en cuen-ta que la ecuación (25) nos dice que

un flujo a través de 5 - un flujo a través de Y = W.

Por supuesto, eso es sólo una contradicción aparente, porque los flujostratados en las últimas ecuaciones simbólicas son flujos relacionados concantidades diferentes. El flujo gracias al cual hemos eliminado W en (27) esel flujo relacionado con la diferencia entre los valores iniciales y finales delesfuerzo total, a%- ab = - ti. Por la misma razón, el flujo a través de Y en (27)es también diferente del flujo en (25), lo que significa que la denominadaenergía mecánica del terrremoto, introducida en (25), tampoco se puede de-terminar a base de (27). No obstante, la ecuación (27) nos promete deter-minar, a partir de E, por lo menos la integral h(ci~- o~)[ujjjv~dY, que, sin du-da, también representa una característica importante de los procesos en lafalla (quizás otra definición de la energía mecánica del terremoto).

Ahora, concentrarémonos en la ecuación (27), con la finalidad de em-plearla para determinar SNZ...dY a partir de E. Primero, tenemos que volvernuevamente al problema de elegir la superficieS. Consideraremos tres po-sibilidades presentadas en la figura 6, señalándose por la ‘distancia’ dife-rente entre 5 y Y.

El caso e) es un caso límite, en el que la superficieS coincide con la su-perficie terrestre, pero, sólo en el sentido geométrico, sin ser libre. Llama-remos a este caso la superficie terrestre transparente. Esto nos dá la posi-bilidad de trabajar con la superficie donde se registran los sismogramas, y,al mismo tiempo, ésto evita el caso inútil de E = O. Para la realizacion prác-tica de la superficie transparente, basta saber cómo evaluar (con base a me-diciones en la superficie real) el movimiento sísmico correspondiente a lasondas incidentes y reflejadas, utilizando luego para el cálculo del flujo só-lo las ondas incidentes. Para más detalles véase el capítulo 10.

En otras palabras, en los tres casos incluidos en la figura 6, la superfi-cie 5 tiene un flujo diferente de cero. Ahora nos concentraremos en el pri-mer término de (27), escrito como - { S

5’r~ uj y> dS. El desplazamiento finalu~, relacionado con los efectos del campo cercano, decae con la distanciacomo r’. Empleando la ley de Hooke, lo mismo vale para ‘r~. Entonces, to-da la función dentro de la integral 1~.. .dS disminuye cómo r’, y toda la in-tegral como r

2. El valor de 1~.. .dS por tanto depende de la posición actualde 5 (figuras 6a y 6b): 1

51...dS !=Con relación a la integral que define E (véase la ecuación (12)), como

hemos discutido en el capítulo 4, esa integral es independiente de la posi-ción de 5 cuando el desplazamiento u~, se considera en la aproximación delcampo lejano. Justamente éste es el caso más típico en las determinacionesprácticas de E, y también el caso aceptado en nuestro tratamiento por de-

90 JiPi Zahradník

a)

b)

s

c)Figura 6. Tres ejemplos de la superficies, para la cual se calcula el nujo de energía. Los trescasos difieren en la distancia entreS y Y. El casoc) es la superficie terrestre ‘transparente’.Esto es el caso que puede utilizarse en la práctica para los cálculos dc ta energía sísmica E.


finición. Por eso, dos opciones diferentes de S,SI y S2 (figuras 6a,b), llevana las energías iguales, El = E2. Ya que la integral Sy...dY no tiene por queser dependiente de 5, la ecuación (27) resulta en

El =551...dS+fi...dY-4-552...dS+fi...dY=E2 (28)

o sea, 151...dS 152...dS. Sin embargo, ésto es una contradicción con lo di-cho arriba. La contradicción surge de nuestro tratamiento de E en la apro-ximación del campo lejano junto con la ecuación (27). En otras palabras,el tratamiento de E en el sentido del campo lejano, junto con la considera-ción deis.. .dS en (27), representa una violación de la conservación de ener-gía. Hay dos salidas a esta situación:

a) Tratar E en su forma completa, sin despreciar los efectos del cam-po cercano. Queda claro, en tal caso, que el valor de E depende de la posi-ción actual deS (Una pregunta surge inmediatamente: ¿Cómo elegir la po-sición de 5? Es decir, ¿cómo redefinir E?). Además, cada tratamiento delcampo cercano conlíeva una complicación seria de todas las fórmulas. Porestas razones, esta vía no se utiliza en la práctica, todavía.

b) Tratar E en la aproximación del campo lejano y hacer lo mismo enla parte derecha de la ecuación (27), o sea, despreciar la integral I~.. .dS, esla vía más práctica.

Siguiendo el método (b), con E independiente de la posición particu-lar de 5, tenemos

E { J~ (aij- a~)[uflv1dY+ fi50ú1[u]vjdtdY (29)

La independencia de E respecto a 5, no significa que 5 sea completa-mente arbitrario. Para despreciar el campo cercano la superficies debe ha-llarse suficientemente lejos de Y. Mejor dicho, a mayor distancia, más co-rrecta es la ecuación (29). Desde este punto de vista nuevamente llegamosa la conclusión que una superficie terrestre transparente (figura 6c) seríamuy útil para calcular E.

8. ENERGíA SíSMICA Y PROCESOS EN LA FALLA

Supongamos que la energía sísmica ha sido ya determinada y mostra-mos cómo emplearla para estudiar los procesos sobre la falla a base de laecuación (29). Una complicación seria surge del último término que con-tiene la derivada temporal del esfuerzo completo ú~1, normalmente desco-nocido. Afortunadamente, esta integral es despreciable respecto al restode la ecuación, como mostró Kostrov y Das (1988, el capitulo 4.4), supo-niendo los cambios no demasiado rápidos de cv~. La relación aproximadaque resulta de (29) es

92 JiPi Zahradník

E—--4--fi(ob- aI~)[uUv3dX (30)

Esta ecuación ya sirve para un fin muy práctico, es decir, para relacio-nar E con la llamada caída de esfuerzos. Teniendo en cuenta que dentro dela integral se halla una cantidad escalar, ésta se puede representar en cual-quier sistema de coordenadas sin perder generalidad o cambiar el resulta-do. Utilizaremos el sistema cartesiano con el tercer eje coincidiendo con lanormal a la falla: O = (0,0,1). Para la cizalla pura [14= AuF, donde el vec-tor unitario R es perpendicular a 0, ~ = (1,0,0), llegamos a

E = ~ fi(a?3- a~3)[uUdY (31)

Denotando (sin depender del sistema de coordenadas) el esfuerzo de ci-zalla por a, la ecuación (31) se transforma en

12 E (a’- a )[u’ ]dY (32)

Utilizando el valor promedio de a- o’ sobre la falla, es decir la llamada caLda de esfuerzo Aa, obtendremos

E——4-- Aofi[u]dY (33)

Según (33) la energía sísmica E i~uala al trabajo efectuado en la falla porla fuerza superficial de densidad 3Ao, en conexión con la fractura final [u’].En este sentido la energía sísmica está caracterizando directamente el pro-ceso focal. La integral en (23) también puede escribirse a partir del mo-mento sísmico escalar M0 = S~ gAu(~kt,)dY = iibIu’]dE.

E=~i~AoMo (34)

2

Podemos ver que la energía sísmica depende del momento sísmico y dela caída del esfuerzo. Si la caída fuera la misma para todos los terremotos,E seria proporcional a Mc, implicando, que en tal caso basta caracterizarlos terremotos por sólo un parámetro. M0 o E. Por esta razón vale la penaresumir aquí los resultados dcl estudio de la caída de esfuerzo y de sus va-riaciones de un terremoto a otro.

Un resultado sumamente importante desde este punto de vista, es la re-lación empírica establecida entre la dimensión característica de falla L (la lla-mada ‘longitud’ de falla, habitualmente determinada por la frecuencia de es-quina), y el momento sísmico escalar M0. Para el rango ancho de M0 elmomento M0 es proporcional a L-’, véase p.ej. la iigura 16 de Madariaga (1985).En la teoría de fracturas tal resultado también se ha encontrado. Por ejem-pío, para las fallas homogéneas circulares, de cizalla pura, y en régimen está-tico, la relación viene dada por M0 — ‘

6AoL-t En otras palabras, el papel de la


constante de proporcionalidad lo juega ¿Xc. Para terremotos, esto quiere de-cir que la proporcionalidad entre M0 y U implica que ¿Xc es constante. En otraspalabras, dado que la relación entre M0 y U tiene alguna dispersión, implicaque ¿Xci se encuentra entre límites relativamente estrechos (de 1 a 10 MPa)para terremotos grandes (M0 > 10” Nm). Desde este punto de vista pareceinútil estudiar dos parámetros de cada terremoto, E y M0, es decir, parece su-ficiente sólo uno de ellos (o la magnitud; véase el capítulo siguiente). Sin em-bargo, en realidad la proporcionalidad entre M0 y L

3 debe entenderse comoun resultado ‘suavizado’, o generar. Si estamos estudiando terremotos de lasregiones tectónicas estables, como un grupo, y los de regiones tectónicos jó-venes como otro, se observan diferencias sistemáticas entre ellas (mayoresvalores de ¿Xc para las regiones estables). Así mismo, si extendemos el rangode M

0 a eventos menos fuertes, ¿Xc tampoco resulta constante. Desde este pun-to de vista más detallado podemos decir que la caída de esfuerzo ¿Xc no es unaconstante universal, implicando por tanto la independencia de E y M0.

9. ENERGIA SíSMICA Y MAGNITUD

En este momento sólo analizaremos el casosimplificado de E dependientede M0 (arriba discutido). Supongamos que tiene lugar la ecuación (34)

E~~i!~AcMo (35)2 ji

con ¿Xc encontrándose en el intervalo de 1 a 10 MPa. Mostraremos cómoen tal caso el tamaño del terremoto puede caracterizarse con sólo un pa-rámetro, la magnitud M. Un resultado empírico bien conocido (según Gu-tenberg y Richter) dice que la energía sísmica E (en J) y la magnitud de on-das superficiales M están relacionadas por

log>,~E = 4.8 + 1.5M (36)

Esta relación ha sido establecida por regresión estadística de terremotospara los cuáles se determinaron ambos parámetros, E y M. Ella suele em-plearse en la práctica para computar E si a partir del sismograma se deter-minó sólo M

Supongamos un valor razonable del, p. ej., It = 5.10’ Pa. A partir de(35) tenemos que

E = (1 + 1O)1O-’M,~ (37)

o sea

log10E = ( -4 + -5) + log10Mo = - 4.5 + (38)

94 Jipi Zahrad,,ík

Esta relación, junto con (36). muestra que la magnitud es proporcional allogaritmo del momento:

M = 0.67 log1oMo- 6.2 (39)

Sin embargo, para terremotos muy grandes la escala de M se satura(Udías 1989), y por tanto, la magnitud M pierde su significado. quedándo-se en los valores cercanos a 8 independientemente del tamaño del terre-moto. ¿De qué sirve la ecuación (39) en tal caso? Esa ecuación sirve paradefinir una nueva cantidad, denotada habitualmente por M~0 y llamada lamagnitud de momento. En otras palabras, teniendo un valor de Mo, calcu-lamos M0, evitando por tanto la saturación. (Es decir, aumentando M0, au-menta también M~,) l-lanks y Kanamori (1979) definieron M6 por la rela-ción similar a (39):

0.67 log1<,Mo - 6.03 (40)

De esta manera M~> sirve para cuantificar el tamaño de terremotos, in-cluso los muy grandes. Como ejemplo, comparemos los terremotos de Ca-lifornia 1906 y Chile 1960, iguales desde el punto de vista de la magnitudsaturada, M=8.3, pero sustancialmente diferentes a partir de M0= 8 y 9.5.respectivamente. Hay que recalcar que la escala de ~ se ha introducidopor (35), empleando la simplificación de ¿Xci constante (es decir, E propor-cional a M0). En el capítulo siguiente volveremos al caso más realístico deE independiente de M0.

10. PRINCIPIOS DE DETERMINACION DE LA ENERGíASíSMICA

En los capítulos precedentes hemos discutido el significado físico de laenergía sísmica E. Hemos concluido que E puede servir para mejorar la cla-sificación de terremotos, formando, con M0, un par de cantidades inde-pendientes. E y M0 tienen una relación estrecha con los procesos en la fa-lía, sobre todo con la caída de esfuerzos. Ahora hay que mostrar cómodeterminar E a partir de los sismogramas, osca cómo ‘medir E’.

Nuestro punto de partida es la definición (12), que dice que

E -Jfir,úv, dtdS (41)

Comenzaremos por representar la densidad del flujo de potencia r,1u~v1por el desplazamiento. Ya que la función integrada es un escalar, indepen-diente del sistema de coordenadas, vamos a utilizar el sistema local. En ca-da punto de la superficieS ese sistema cartesiano tiene sus ejes x1,x2,x3 ele-


gidos de tal manera que el eje X3 coincide con la normal local: V= (0,0,1);véase figura la. Ahora, como ya hemos decidido antes, utilizaremos la apro-ximación del campo lejano. Eso nos permite estudiar separadamente lasondas P y 5. Para simplificar, supongamos en este momento sólo la onda 1’incidente perpendicularmente a la superficie S (figura 7b): 11% u~V = (0,0,un). Por tanto, x,1úrv1 = r33ú~ donde t33 = (X+2p)233 = &pau”/8x3. En el cam-po lejano la onda P tiene, localmente, el carácter de una onda plana,u” = u “(t - x3/a). Entonces, auvax3 = - (1/cx)u”, y finalmente

t~1útv~ csp (ú”)2 (42)

Ya que en ésta fórmula se ha descrito la densidad superficial del flujoperpendicular a 5, entonces una onda incidente con un ángulo A !=O res-pecto a la normal (figura 7c), tiene su densidad en 5 representada por laproyección: -ap (ú9z cos O. Entonces, la energía sísmica de la onda P vie-ne dada por

E”=JJ0ap(ú”ycosedtds (43)

Notaremos que para el flujo fuera de V la energía E es siempre positi-va, [oque nuevamente da verificación al signo ‘-‘ en la definición (12). Deigual manera puede representarse la energía de las ondas 5, que da la ener-gía completa en forma de

E = JJ~ (ap (ú9~ +3p (úO»cos 6 dtdS (44)

Aunque ya la ecuación (44) en principio permite determinar la energíaE a partir de mediciónes sísmicas en la superficie terrestre, la realizaciónpráctica de esto no es fácil. Seguidamente se mencionarán las complica-ciones más serias.

a) La superficie 5, introducida en el capítulo 7 (figura 6c), es una su-perficie terrestre transparente. Es decir, el u” en la expresión (43) no es eldesplazamiento completo de la onda 1’, sino el desplazamiento correspon-diente a la onda incidente a la superficie por debajo. La onda incidente pue-de calcularse a partir de los llamados coeficientes de conversión (Cervenyet al., 1977). Ese procedimiento se llama la corrección respecto a la super-ficie libre.

b) En todo nuestro tratamiento de la energía hemos despreciado trans-formaciones de la energía mecánica en otros tipos, p. ej. en la energía tér-mica. Sin embargo, los desplazamientos medidos en la superficie están in-fluenciados por tales transformaciones, conocidas como atenuación, oamortiguamiento de las ondas sísmicas. Si nos interesa sólo el flujo actuala través de S, basta utilizar los desplazamientos medidos, sin correciones.Claro está que un flujo de este tipo, calculado en la superficie tranparente

96 JiPi Zahradník

a)

b)

e)

Figura 7. Una superficie 5, sudesplazamiento de la onda It

47x3

jiji

p

sit

ji

s

normal V. el sistema loca? de coerde d

3. Energía de terremotos y de ondas sismicas 97

de la Tierra, seria menor que el flujo a través de otra superficie que se en-cuentre más cerca de la fuente. Además, utilizando los desplazamientosreales afectados por la atenuación, no puede emplearse la ecuación (34)para estimaciones de la caída de esfuerzo ¿Xci, porque esa ecuación fue ob-tenida sin considerar la atenuación. Resumiendo, llegamos a la conclusiónque u” en (43) debe entenderse como el desplazamiento corregido por laatenuación. Hay muchos métodos que pueden emplearse para este fin. Elmétodo (aproximado) más sencillo es multiplicar el desplazamiento medi-do por el factor exponencial, exp(nft0/Q~), donde t~, es el tiempo de reco-rrido desde Z hasta la superficie 5, fía frecuencia predominante, y Q~ re-presenta el llamado factor de calidad de las ondas P. Ya que Q~ depende dela profundidad de manera poco conocida una corrección aún más conve-niente será exp(,tft*), donde U”, la integral de 1/(aQ~) a lo largo de la tra-yectoria, varía relativamente poco en la tierra.

e) El desplazamiento ocurrido en la ecuación (43) es el movimientodel terreno. Es decir, se obtiene desde los desplazamientos medidos sólodespués de la corección instrumental. Sin embargo, tal correción es, en ge-neral, bastante difícil. Esto se refiere sobre todo a las frecuencias poco am-plificadas por el instrumento, p. ej. f —* O. Por otro lado, los aparatos mo-demos proporcionan los registros proporcionales al movimiento del terrenoen una banda de frecuencias bastante ancha. Por lo tanto, la corrección ins-trumental no es siempre necesaria. (Nótese que, para las distancias epi-centrales cortas, de unas docenas de kilómetros, una banda ‘suficientementeancha’ puede ser del orden de 1 + 30 Hz, mientras que para las distanciastelesísmicas puede ser en el rango de 0.001 ÷0.2Hz.

d) El cómputo de la energía E” mediante (43) se efectúa por una in-tegración sobre una superficie y, por tanto, necesita en principio una bue-na cobertura de 5, realizada por las observaciones de muchas estacionessísmicas. Este requerimiento surge del hecho de que la radiación sísmicano es igual en todas direcciones. Dos factores contribuyen a la desiguali-dad espacial de la radiación: el mecanismo focal (descrito por el bien co-nocido patrón de radiación) y las dimensiones finitas del foco (la llamadadirectividad, similar al efecto de Doppler). Mientras que el primer factortiene lugar siempre, el segundo importa más, cuanto menor es la longitudde onda respecto de la falla. Si estamos interesado por varias razones prác-ticas en las ondas relativamente largas, X»L, la directividad debida a la di-mension finita de la falla se puede despreciar. otro punto de vista (más prac-tico) es despreciar la directividad, porque el cómputo sin directividad esmenos complicado, y entender el resultado como una aproximación que esmejor cuanto más larga es la longitud de onda. La complicación más seriaes el desconocimiento de la dirección en que se propaga la fractura así co-mo de su velocidad. (Nótese, que en general, la dirección de propagaciónde la fractura no tiene nada en común con el deslizamiento en la falla, o seacon el vector unitario [iT]1 ¿Xu = iS obtenido a partir del análisis del meca-

98 JiPi Zohradník

nismo focal.) Existe un solo caso donde no tenemos que interesarnos porla dirección de propagación de la fractura: el caso de terremotos débiles.Estos a menudo permiten una modelización a base de una falla circular, sindirección preferida de la propagación de fractura (la fractura está propa-gándose radialmente).

Debido a la variabilidad espacial de la radiación sísmica (el patrón deradiación y la directividad, arriba mencionados) es bastante convenienteincluir de forma explícita dicha variabilidad en la ecuación (43). Dc estemodo se logrará reducir sustancialmente el requerimiento de una densa co-bertura de la superficie 5 por medio de observaciones.

U. DETERMINACION DE LA ENERGíA SISMICAA PARTIR DE UNA ESTACION

Mostraremos que el número de observaciones necesarias en 5 para cal-cular E se puede reducir en principio hasta una estación. Por supuesto, és-to no quiere decir que en la práctica nos satisface una sola medición, sinoque las mediciones de muchas estaciones se hacen independientemente. Siademás estamos en posición de evaluar los errores de cada una, todas sepueden procesar por los métodos estadísticos para obtener el valor resul-tante de E. Por ejemplo, es claro que las estaciones que se hallan cerca delos planos nodales tienen poca fiabilidad. Igualmente problemáticas sonlas observaciones cerca de los llamados ángulos críticos dc los coeficientesde conversión de las ondas 5 (Cerveny et al., 1977). Hay también otros re-querimientos respecto al número relativamente grande de estaciones, quese refieren a la localización del sismo, y determinación de su mecanismofocal. La localización así cómo el mecanismo, se necesitan con alta exacti-tud en la determinación de la energía sísmica.

En lo que sigue en este capitulo supondrémos los terremotos de ciza-lladura pura. El tratamiento se basará en el concepto de la llamada esferafocal. Este es el concepto conocido desde los métodos de determinacióndel mecanismo focal. Vamos a discutirlo un poco más porque a veces el mis-mo concepto crea dudas. Por la esfera focal se comprende una esfera ho-mogénea por dentro (%, ge, po) con su centro en el hipocentro, y teniendoel radio pequeño, pero finito, r<,. El tamaño actual den, no es de importan-cia ya que, como veremos adelante, su valor desaparece en las fórmulas re-sultantes. Por este motivo a veces se le llama la esfera de ‘radio unitario’,o mejor, se habla sólo sobre la integración por dos ángulos esféricos eA>

¿Cuáles son los problemas, a menudo poco entendidos, en relación conla esfera focal? Este concepto conlíeva dudas si no es contradictorio res-pecto del pequeño radio de la esfera focal y los grandes tamaños de los fo-cos reales. También aparece oscuro cómo se combina el pequeño radio dela esfera focal con la suposición del campo lejano. Mostraremos que ni los


— — ——e-

4.

11

¡¡ $

53 ¡6 ¿1 1

4. a.

e-— a-

— —

FiguraS. La esfera focal S0 consu centro en el hipocentro H. Se muestra de forma esquemáticaque las observaciones sísmicas sc proyectan desde la superficie terrestre (‘transparente’) Ssobre &, a lo largo de los rayos.

tamaños finitos ni la consideración del campo lejano son contradictorioscon el empleo de la esfera focal.

Un ejemplo de la esfera focal5o, con su centro en el hipocentro 1-tse re-

presenta en la figura 8. Las observaciones sísmicas se proyectan desde lasuperficie terrestre sobre So. En este procedimiento, efectuado a base de lateoría de rayos, puede tomarse en cuenta la conocida estructura heterogé-nea de la Tierra, incluso no sólo las velocidades variables y discontinuas,sino también la atenuación y la presencia de la superficie libre (véase elconcepto arriba mencionado de la superficie transparente). El uso de laaproximación del campo lejano es fundamental en este procedimiento deproyección. Por supuesto, se proyectan de ese modo las mediciones del des-plazamiento real en la Tierra, que contienen algunos efectos del campo cer-cano. Se procesan a partir de las fórmulas de la teoría de rayos que (en lallamada aproximación nula) desprecian estos efectos. Así mismo, el cam-po real de las ondas sísmicas está influenciado siempre por el tamaño fini-to de la falla. Proyectando las mediciones a la esfera focal, pueden emplear-se las fórmulas de diversos tipos que más o menos tienen este tamaño finitoen cuenta.

El procedimiento bastante complicado de la proyección se justifica porlas sencillas fórmulas resultantes. Suponiendo que las mediciones ya se co-nocen en S~, no importa ahora si éstos son los valores proyectados desde la

4.

a.

101) JiPi Zahradník

superficie terrestre, o valores obtenidos al propagar las ondas a50 ‘por den-tro’. Lo último por supuesto es formalmente más fácil debido a la horno-genidad de la esfera focal. Según Aki y Richards (1980), trabajando con elvalor absoluto del vector de desplazamiento [ú]= u, y con su derivada tem-poral ú, tenemos que

útzzz ~ II fi¿Xú(~vt =fl)óY (45)

4itp,>a~ r>, a0

donde la llamada función temporal del foco viene dada por

a

Esta fundión depende en general de dos ángulos esféricos eA> debi-do al tamaño finito de la falla (véase la directividad mencionada arriba).Por esta misma razón, la función análoga para las ondas 5, Q5, no igualaa f=r’.Expresando el elemento superficial en un sistema de coordenadasesféricas como rtsen®d®ddt y siguiendo la ecuacion (44), tenemos fi-nalmente que

_______ (F92 y (F>~ri(4t)’por~ 4040 Ó’ (OP)2 cl~ + j (os)2dt)rtsenededcl~ (47)

Si denotarémos

= j. (flP)2 dt, ? = 12 (~t dt, (48)

la ecuación (47) se transforma a

Jalo (F v~ <)senededb (49)(4zt)’p0

Es evidente que nos acercamos a nuestro objetivo en cl sentido que laecuación (49) ya contiene la dependencia espacial de la radiación debida


al mecanismo focal, incluida en forma explícita mediante los patrones deradiación F. El siguiente procedimiento depende de nuestra opción si des-preciamos la directividad debida al tamaño finito de la falla, o no.

11.1. Despreciando el tamaño finito de la falla

Si estamos interesados en ondas cuya longitud es mucho más granderespecto a la falla, A » L, la distancia r en la integral en (46) puede susti-tuirse por un valor de referencia r0, y por tanto la función ~?‘ pierde total-mente su variación angular. Por la misma razón tiene lugar =flt±r&a)=£2~ (t+rnl I~), diciendo que la forma de ambas funciones temporales para lasondas P y 5 es igual. Por lo mismo tenemos también ijí = x}É. Entonces laecuación (49) se transforma en

_____ (F92

(4ltyp0wíoíÚ(a~ + )senOdE~dQ (50)

Introduciendo los valores promedios espaciales < ... >, es decir, los prome-dios sobre todos los e y 0, designados por < (E”)>> y < (E

5)>> llegamos a

‘ls” ¡.tlE— <(E”)>> ——+ <(F9’>—=E”+E5 (51)(4 4itp

0 13t

La energía sísmica se descompone en energías de las ondas P y 5, los cua-les, a partir de ii¡” = , vienen proporcionales una a la otra:

E5 _ <(F5)>i’(4

EF <(F”y>133 —q (52)

La constante de proporcionalidad q depende de la razón de los velocida-des deP y 5, rIn! 3<> y de los valores promedios de los patrónes de radiación.Con < (E”)>> = 4/15, y <(E5)» = 2/5, y suponiendo que aol It = -03, la ecua-ción da el valor aproximado de q = 20. En otras palabras, una fuente pun-tual de cizalla está radiando las ondas 5 con la energía 20 veces más gran-de que P. Finalmente tenemos

E=E”-i-qE”=E”(l ÷q) (53)

102 JIPI Zuít¡raclntk

La ecuación (53) sugiere que para determinar E, es suficiente determinarLP, que a partir de (51) viene dado por

gil>E” = —————----= < (Ef> N”’ (54)4~p<>a~

Aquí, ya se muestra que el radio de la esfera focal no tiene ningún sig-nificado físico, es decir que el resultado no depende de un valor definidode r<~, ya que y0 no aparece en (54) en absoluto. La energía ha sido repre-sentada por el valor de iy’= f(Q”)

2dt independiente de los ángulos esféri-cos. En otras palabras se ha demostrado que la integral f(092dt es de im-portancia fundamental para las determinaciones de E. (Nótese que unaintegral similar, la defO”dt, es de igual importancia para la determinacióndel momento sísmico escalar M«.)

En las ecuaciones (47)-(54) se comprobó que la determinación de laenergía sísmica es sumamente fácil si se conoce la función temporal del te-rremoto, 0(t). En la práctica, no es necesario añadir ninguna corrección aestas ecuaciónes. Claro que esta simplicidad tiene su contraparte en todaslas complicaciones (mencionadas en los puntos a-d del capítulo 10) con loscuales debe contarse en la determinación práctica de 0(t).

Probablemente por esta razón también continúa el interés en los méto-dos que no necesitan la determinación de 0(t). (La situación es análoga ala determinación de la dimensión de falla, L. La determinación más exactade Les a base de 0(t), pero, suelen utilizarse aún métodos menos exactos ymás faciles a partir de la frecuencia de esquina.) Con el fin de determinar Esin conocer O tenemos que introducir en la expresión para E las cantidadesrelacionadas con los desplazamientos medidos en la superficie de tierra. Elvalor absoluto del desplazamiento para un punto de observación en la su-perficie libre de la tierra no homogénea se puede escribir de forma

fi» p9cie E”(E)_c)u” = ——— —— ——____

4np<,at PiUi y —ONO, t (55)

Esto es la aproximación del campo lejano y de la fuente puntual. Las cons-tantes a!, Pise refieren al medio bajo la superficie. Esas constantes han apa-recido en la ecuación (55) por razones puramente formales, que se aclararána continuación. Resulta sumamente importante el término designado por (y)que describe los efectos de heterogenidad (el coeficiente de la expansión geo-métrica, los coeficientes de reflexión y transmisión en las discontinuidadesinternas), el efecto de la superficie libre (los coeficientes de conversión), así


como la atenuación. El cómputo de rse realiza mediante los programas abase de la teoría de rayos. El desplazamiento u” en la ecuación (55) se en-tiende como el movimiento del terreno, sin efectos del instrumento, o el re-gistro corregido por el instrumento. Se supone también que u” es el despla-zamiento correspondiente auna onda P (un rayo) solamente, es decir la onda‘directa’. Sin embargo, lo que realmente se registra al inicio del sismogramahabitualmente no es sólo la onda directa P, sino una superposición de másfases, p. ej. P + pP ±sP.Este hecho importante no se puede tomar en cuentaa partir de la ecuación (55) sin emplear términos adicionales con E””, P’, O””y OS”. Para una generalización, véase el capitulo 12. Por tanto, lo que siguecon sólo la onda directa es una aproximacion.

Utilizando (55) para computar w”~ y sustituyendo en (54>, obtendremos

(4rr)~poa~ PU, ~ J~(ú”ydt (56)

go

PíUí 4 (ú”)2 dt <(E”)2> (5)O (Ft

Como se puede ver en el presente método de determinación de EP se-gún (57), la única cantidad que debe obtenerse a partir de los sismogramases f(ú”f dt. Esta se puede medir en una estación. En este sentido, hemosllegado a una solución práctica, bastante sencilla.

El significado físico de la ecuación (57> se comprende mejor en un ca-so simplificado (no realista), esto es, para un modelo de la tierra homogé-nea sin absorción, con la superficie transparente y, además, con un focosís-mico situado en su centro. En tal caso a~ = a

1, Po Pi, f = R (donde R denotael radio de la tierra), y

E” = ~irIí U (ú”)2 dt 4itR2

40 (F”y (58)

La ecuación (58) dice que la energía de ondas P viene djida por el pro-ducto de tres factores: la densidad local de la energía p

1cz< S~ (ú”)2 dt, la su-

perficie de la esfera 4nR’, y el factor que está corrigiendo la densidad localrespecto al mecanismo focal del terremoto -< (F”)2> / (F”)2. (Nótese quejus-tamente aquínecesitamos a<, Pi incluido formalmente en (55), para dar unainterpretación simple al primer término de (58).)

104 JiPi Zahradník

El significado físico de la ecuación (57) es igualmente claro. Sin em-bargo. siendo más realista, la ecuación (57) es un poco más complicada. Co-mo ya hemos dicho, el término res de gran importancia. Es de interés versu interpretación física; Ya que los valores de E’ en la superficie de la es-fera focal s<> (con f = r<,) y en la superficie transparente de tierraS son igua-les, podemos escribir a partir de (57) para una dirección arbitraria OA> (esdecir, para un rayo) que

Es l~2—-————=1 (59)Es1> r(<

donde c s y e denotan los términos pu I$ú”»dt en 5 y en S,,, respective-mente. Esta ecuación también puede comprenderse como la definición def.

11.2. Tomando en cuenta el tamaño finito de la falta

Este caso se señala por una mayor complejidad. Sin embargo, nueva-mente podemos partir desde la ecuación (49):

4» (60)

E= (1<11 + (P» ~úsenedOd~ (61)

Aquí hemos introducido una nueva denotación ‘lJc~ mientras que los ~it”yiJ tienen la misma definición que se les dió anteriormente. Sin embargo, aho-ralos ly” y i~í> son dependientes de los ángulos esféricos, y 9”(SA>) es diferentea vs(es), reflejando los efectos de la propagación de fractura para las lon-gitudes de onda comparables o menores que la longitud de la falla, X =L.

A pesar de que la ecuación (60) ya ha tomado en cuenta todo lo nece-sano para computar la energía, su uso es bastante difícil. La dificultad es-tá en que para emplear (60) se necesita el conocimiento completo de la de-pendencia espacial de dos funciones diferentes, Q”(O,4) y W(®,1). Sinembargo, el último requerimiento no indispensable necesita muchas me-diciones. Mostraremos cómo emplear, con fines prácticos, unas pocas me-diciones compensadas con más modelado teórico. Combinando las ecua-ciones (60) y (56) llegamos a


atpi%F2 rí. ‘Yo(E”»

10(u”»dt (62)

que puede representarse de manera artificial como

E = E”(sin directividad) (63)N 4it< (F”)

2>

Aquí E” tiene el significado físico de la energía de ondas P evaluada sintomar en cuenta la directividad (expresada por (57)). La razón de E/E”,proporcional a ‘~¡,>/ ‘Y” véase (63), fue estudiado por Boatwright (1980) pa-ra fallas circulares, quien ha mostrado que esa función espacial es bastan-te simple y suave. Entonces, en modelización de terremotos débiles por lasfuentes circulares la energía E puede computarse a base de la ecuación (63)sin problemas, y la única cantidad que debe determinarse a prrtir de sis-mogramas es (de nuevo) la densidad local de la energía ~íPí 1

0(úP)2dt me-dida (perpendicular al rayo) en una estacion.

Por otro lado, para terremotos fuertes, que no permiten modelizaciónpor medio de una falla circular, la determinación de la función ‘Vn! qs” es di-fícil. Aplicando (63) en la práctica, tenemos que suponer algún modelo defalla finita (incluso algúna dirección de propagación de fractura, etc.), ycomputar O” y O>, que resultará en las requeridas funciones v”~ VS y en larequerida razón ‘Yo! M”’ Por supuesto, tal aceptación de ‘algún modelo’ defalla es bastante difícil, o peligroso, porque, sin conocimiento de O”(t,eA>),0

5(t Oc»> el modelo no se puede verificar. (De nuevo hay que recalcar lasemejanza con las evaluaciónes de L: La estimación de La partir de la fre-cuencia de esquina equivale al uso de alguna fórmula que implicitamenterefleja un sólo modelo de la fuente, sin posibilidad de verificarla durantesu aplicación.) Claro que por estas razones el presente método (a base de(63)) es de uso limitado. Concluimos que para la determinación de la ener-gía que cuente correctamente con el tamaño finito de la falla el conoci-miento de Q”(t,O$), f25(t,6A>), no se puede evitar, lo cual nos lleva atrásal método más complejo descrito por las ecuaciónes (60) y (61).

12. ENERGíA SíSMICA Y TENSOR MOMENTO SISMICO

En los capítulos precedentes hemos discutido varios métodos para de-terminar la energía sísmica bajo suposición de la cizalladura pura, es decir,[fi] perpendicular a V. El tamaño del sismo ha sido representado por el mo-

106 JPí Zahradník

mento sísmico escalar M0. El mecanismo focal ha sido descrito por los pa-trones de radiación F”(O, c»), E

5(O, c»), relacionados con los vectores [U] yy en un sólo punto, el hipocentro. La función temporal ha sido expresadapor 0”(t, O, c») y 0%t, e, c»), tomando en cuenta su directividad debida alas dimensiones finitas de la falla, ono.

En realidad, durante los terremotos los vectores [U] y 0 hay que com-prenderles como funciones de posición en la falla. El deslizamiento [új va-ria por causa de la heterogenidad de la falla. Así mismo, ya que la superfi-cie de falla X no es siempre plana, la normal O también varia. Y además, [áJno tiene por qué ser perpendicular a O, en general. Por éste motivo la des-cripción de un terremoto por el momento sísmico escalar M

0, los patronesde radiación Eje, c»), F

5(e, c»), y las funciones temporales 0”, 0> necesi-tan una generalización.

Esto nos lleva al uso del llamado tensor momento sísmico Mpq (Udías,1985), y su función temporal Mpq(t), relacionados por Mpq Mpq(ti). Exis-ten diversos métodos para determinar los Mpq y M~

9(t) a partir de sismo-gramas, o sus espectros, en una red de estaciones (por lo menos 2 estacio-nes, cada una de tres componentes, para determinar 6 componentesindependientes de estos tensores simétricos). El principio de estos métodosse verá más adelante en la ecuación (64). Las dificultades prácticas de estosmétodos son similares a las mencionadas anteriormente en relación con 0(t).Sin embargo hay que mencionar una diferencia sustancial entre 0(t) y Mpq(t):Mpq(t) es una función siempre definida en la aproximación del foco puntual.

Por tanto, Mpq(t) es siempre independiente de e, O a diferencia deQ(t,e,c») que depende de O, O en general. Aunque pareciera que, desde es-te punto de vista, el uso de Mpq(t) es similar al uso de 0(t) sin directividad,eso no es así. El concepto del tensor momento sísmico, a pesar de ser unaaproximación puntual, es mejor respecto al caso de 0(t) sin directividad.Eso es porque Mpq incluye la información sobre [U] y <no sólo de un pun-to concreto de la falla (el hipocentro) sino de un punto en sentido prome-dio. Si los vectores reales [U] y <varían sobre la superficie de la falla, puesincluso [U] no es perpendicular a 0, el tensor Mpq representa esta variabili-dad en el sentido del promedio sobre la falla X. Esta propiedad de Mpq yM29(t) se refleja también en el hecho que éstos tensores se calculan siem-pre a partir de unas porciones relativamente largas de sismogramas a dife-rencia del método de los signos de primeros impulsos.

Así, nuestra finalidad en este capítulo es representar la energía sísmi-ca a partir de la función MN(t). Trabajando en la aproximación del campolejano, el desplazamiento de onda P es deforma (Udías, 1985)

= G’~p,q(t) * Mpq(t) (64)

donde0ip.q es el tensor de Green derivado respecto a la coordenada de la

fuente. Nótese que justamente ésta es la ecuación que también se emplea


para determinar Mpq(t) y Mpq. Los desplazamientos vienen de las medicio-nes sísmicas, la funciónde Oreen se calcula, habitualmente por la teoría derayos, que permite tomar en cuenta la heterogeneidad de la Tierra, su ate-nuación y Ja superficie libre. Hay que acentuar la sumatoria sobre los ín-dices p y q en la parte derecha de (64), diciendo que un valor de u< depen-de en general de los seis componentes independientes de M~9 Por eso, ladeterminación de Mpq necesita las soluciones de sistemas de ecuaciones al-gebraicas (Correig y Lana, 1985).

La formulación (64) permite resolver un problema práctico, ya breve-mente mencionado en el capitulo precedente. Es el problema de la multi-puridad de fases que forman el comienzo de los sismogramas. En tal casola ecuación (64) debe generalizarse para dar cuenta de la superposición delas fases P, pP, sP, etc., las cuáles, llegando con un pequeño desfase, formanun complejo de interferencia. En tal caso, cada fase tiene su función de Ore-en, correspondiente a su mismo rayo, con su misma amplitud y tiempo dellegada. Lo más importante es que, debido a la aproximación puntual delfoco, los efectos de propagación (las funciónes de Oreen) y de la fuente (lafunción Mpq) están perfectamente separadas una de la otra, es decir, todaslas funciones de Oreen se combinan con la misma función temporal deMpq(t). Entonces, en vez de (64), tenemos

= orp,q (t) * Mpq (65)

En este sentido la superposición de fases no representa ninguna complica-ción fundamental en la práctica. No obstante, para simplificar el trata-miento, volveremos al caso de (64).

Supongamos que la función M~~(t) ya se ha determinado a partir de me-diciones sísmicas. Lo siguiente es mostrar cómo se emplearía esta funciónpara determinar la energía sísmica. Mpq(t) trae información pura sobre lafuente. Todos los efectos del medio ya se tuvieron en cuenta durante loscálculos de Mpq(t). Por tanto, la determinación de la energía es bastante fá-cd porque puede efectuarse mediante la esfera focal homogénea. La si-tuación es semejante a la precedente con 0(t) en el capítulo 11. Para el me-dio homogéneo tenemos que, en So

= N GP0 * Mpq(t) = =Gr~ * Mpq(t) =a0 a0

Yq Y<Y0___________ - )* M pq(t)

ct0 4npoatro a0(66)

tos JiPi Zahrcídník

Aquí 9 y es el radio vector unitario desde la fuente al observador, elcual, ahora (en el medio homogéneo y con el observador en la superficiede la esfera focal ), es 9 = <. La derivada viene dada por

.~

u~=— pq(t~) (67)a0

y empleando la definición de la energía de ondas P (43), con O = O, llega-mos a

E”— Jtft~ypyq)?senededc»•~ (M~

9(t)fldt (68)(4ir)

2pcut

En esta ecuación estamos empleando la ventajosa propiedad de Mpq(t)mencionada arriba, de no ser espacialmente variable, por lo que no se in-tegra respecto a e y c». Introduciendo el promedio espacial < ... >, el re-sultado es

___________ < (yp~yq)2 >j~1 (Mpq(t))’ dt (69)

La energía E5 de las ondas 5 viene dada por una ecuación análoga uti-lizando la misma función Mpq(t) y, por tanto, proporcional a E% Podemosver que la cantidad más importante para determinar la energía sísmica esla integral hM

002dt, cuyo papel jugado en (69) es similar al de S(Q)idt enla ecuación (54).

Claro que la determinación de la función Mpq(t) es bastante laboriosa.Sin embargo, los métodos correspondientes reciben día a día más atencióny desarrollo en sismología práctica. Por tanto, y sobre todo para conside-rar las variaciónes del mecanismo sobre la falla (incluso sus potencialesdesviaciónes desde la cizalla pura), hay que preferir el presente método so-bre los descritos en el capítulo precedente. Por supuesto no tenemos queolvidar que el uso de Mpq automáticamente implica el no considerar la di-rectividad de las ondas sísmicas a partir de las dimensiones finitas de la fa-lía. Este hecho requiere determinar la función M~«(t) a partir de medicio-nes sísmicas en numerosas estaciones para evitar desvalorizar la estimaciónde la energía debido a que las observaciones representan sólo las direccio-nes particulares, p. ej. los de mínimos o máximos de la radiación.


En conclusión podemos comprobar que en el caso especial de la ciza-lía pura la ecuación (69) lleva al resultado mostrado en el capítulo prece-dente. Para la cizalla pura tenemos

Mpq(t) J> mpq(~,t)dS = J~ ~(npvq+nqvp)Au($t)dY (70)

que, aproximando S y <por sus valores en el hipocentro, equivale a

Mpq(t) = (npvq+nqvp) f~ gAu(~,t)dX (71)

Empleando tambien el momento escalar M0 y la funcion temporal Q(t), lasegunda derivada del M~9 es

Mpq(t) = (npvq+nqvp)Mo(t) = (npvq+nqvphiÓ (t) (72)

Finalmente, a partir de la ecuacción (69):

E”— 4zrpoat <CYpYq)’ (npvq±nqvp)2>J~ £22dt (73)

y empleando F” = 2(~ 0fr7

(74)4~rpoat

que equivale al resultado previo de la ecuación (54).

13. DISCUSION Y PROBLEMAS ABIERTOS

Sin duda, la determinación de la energía sísmica E pertenece a las ta-reas sismológicas más dificiles. Los problemas resultan de la necesidad decontar con la heteragenidad de la Tierra, así como con la superficie libre yatenuación. Muchos de ellos se pueden resolver empleando la teoría de ra-yos en la aproximación del campo lejano. Los cálculos más confiables de Eson los que se basan en la función temporal del foco, sobre todo la funcióntemporal del tensor momento sísmico Mpq(t).

El problema más serio entretodos los mencionados es el de la atenuación.Primero, aún no se conoce bien ni la distribución de Q en la tierra ni su de-pendencia de la frecuencia. Segundo, y lo más importante, parte de la energía

11.0 JiPi Zahradník

radiada por la fuente no se puede determinar en absoluto (la parte de fre-cuencias altas) porque se pierde totalmente por atenuación a lo largo del ca-mino, sin posibilidad de ‘restablecerse’ a partir de correcciones aplicadas a losregistros sísmicos. Este no es el problema de un bueno mal método, o una me-jor o peor instrumentación, pero es el problema fundamental. Por tanto todaslas determinaciones de la energía sísmica sirven sólo cómo una estimación deE, refiriéndose a un limitado rango de frecuencias. Este hecho destaca la im-portancia de completar las observaciones sísmicas en distancias telesismicaspor las de distancias muy cercanas al foco (los registros de movimientos fuer-tes) en las cuales aparecen las frecuencias relativamente altas.

Por otro lado, el uso de los movimientos fuertes conlíeva complicacio-nes muy serias debidas a la presencia de efectos del campo cercano. Losmétodos de cálculo de la energía sísmica que consideren el campo cercanono se han desarrollado todavía lo suficiente, aunque los primeros trabajosya aparecieron (Vavrycuk, en prensa).

Una vez que la energía sísmica ha sido determinada para un terremoto,su empleo es múltiple. Por supuesto, el empleo práctico consiste en la clasi-ficación relativa de los terremotos. Esta aplicación de E está relacionadacon el perfeccionamiento de las escalas de las magnitudes sísmicas. Sin em-bargo, lo más importante es que la energía sísmica tiene un significado físi-co muy profundo y tiene una relación estrecha con los procesos en la falla.Como se muestra a partir de las correlaciones empíricas entre el momentosísmico escalar M,> y la longitud de la falla L, la caída de esfuerzo Aa en lafalla no es una constante universal, implicando que la energía sísmica E y elmomento M0 son independientes uno del otro. Por tanto, la importanciapráctica de la energía sísmica E es que, junto con el momento sísmico, re-presenta una descripción más completa del tamaño de un terremoto.

Otra aplicación de la energía sísmica E permite cuantificar el trabajo(30) en la falla relacionado con la caída de esj>ierzo Aa (es decir, una for-ma posible de la definición de la llamada energía mecánica del terremoto).Pero, como hemos visto, la relación entre E, Aa y M0. dada por las ecua-ciones (30)-(34), contienen muchas simplificaciones que provocan dudassobre su aplicación. Por tanto estas ecuaciones necesitan reconsideracio-nes teóricas más detalladas. P. ej., debe reconsiderarse el desprecio del cam-po cercano, de la energía de fractura, y del miembro que contiene ú~. Pa-rece que las mediciones continuas de esfuerzos en el campo. sobre todo enfallas sísmicas contribuirán a resolver los problemas mencionados.

Problemas totalmente ignorados en este texto, pero de una importan-cia enorme para mejorar nuestra comprensión de los terremotos, se refie-ren a la energía mecánica no elástica y a la energía térmica. Estos tipos deenergía, que, sin duda,juegan un papel muy importante en los procesos dela fracturación y fricción en las fallas, deben estudiarse más para entenderlas relaciones entre sismos y procesos tectónicos. El actual nivel del cono-cimiento sismológico mantiene este problema muy abierto.


AGRADECIMIENTOS

El autor agredece a los estudiantes que participaron en el curso “Ge-neración de ondas sfsmicas” por su interés en este tema. El curso se reali-zó en el año 1992 en la Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica, dentrodel proyecto sísmico centroamericano (CEPREDENAC), dirigido por Prof.Ota Kulhánek (Universidad de Uppsala, Suecia). Un agradecimiento es-pecial a mis amigos Victor Gonzales Salas, Jaime Toral Boutet y RonnieQuintero Quintero quienes corregieron el lenguaje. El trabajo ha sido par-cialmente financiado por el grant No. 0507 de la República Checa y elgrant No. 321 de la Universidad Carolina.

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