1

Emerson Alex Figueroa Flores

Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes Considerando a Variabilidade Espacial do Solo

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Alberto S. F. Jardim Sayão

Rio de Janeiro, fevereiro de 2008

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Emerson Alex Figueroa Flores

Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes Considerando a Variabilidade Espacial do Solo

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Alberto S. F. Jardim Sayão Orientador

Puc - Rio

Prof. Sérgio Augusto B. Fontoura Puc - Rio

Prof. Leonardo B. Becker UFRJ

Prof. Michéle Dal Toé Casagrande UFCE

Prof. José Eugênio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, 29 de fevereiro de 2008

3

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Emerson Alex Figueroa Flores Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidad Ricardo Palma (Lima-Perú) em 2003. Trabalhou na área de projetos, construção e supervisão de obras de Mineração. Ingressou em 2006 no curso de mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro, na área de Geotecnia, desenvolvendo dissertação de mestrado na linha de pesquisa experimental.

Ficha Catalográfica

Emerson Alex Figueroa Flores

Flores, Emerson Alex Figueroa

Análises probabilísticas da estabilidade de taludes considerando a variabilidade espacial do solo / Emerson Alex Figueroa Flores ; orientador: Alberto S. F. Jardim Sayão. – 2008. v., 178 f. : il. ; 29,7 cm Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2008. Inclui referências bibliográficas 1. Engenharia civil – Teses. 2. Estabilidade de taludes. 3. Análises probabilísticas. 4. Variabilidade espacial. 5. Probabilidade de ruptura. I. Sayão, Alberto S. F. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD 624

4

A minha esposa Kathia com amor Para os meus queridos pais, Benito e Domitila.

5

Agradecimentos

Agradeço a Deus por estar sempre quando mais necessite, e por todas as graças

recebidas.

Agradeço à Kathia, minha Esposa, por tudo o apoio, compreensão e por ter sido

minha fonte de inspiração e motivação.

Aos meus queridos pais Benito e Domitila pelo grande apoio, confiança e amor.

Graças por acreditar em meus sonhos e por a ajuda recebida durante todos meus

projetos.

A meu querido irmão Enrique, graças pelo apoio e confiança.

Aos meus sogros Felipe e Erenia, pelo apoio e ajuda para lograr este objetivo.

Ao Professor Alberto Sayão, pela orientação, amizade e grande ajuda para o

desenvolvimento desta pesquisa.

Aos Professores da PUC-Rio, graças pela formação.

A todos os amigos e companheiros de estudos do curso de Mestrado em

Engenharia Civil da PUC-Rio.

À CAPES pela ajuda financeira indispensável ao desenvolvimento deste trabalho.

6

Resumo

Flores, Emerson Alex Figueroa; Jardim, Alberto de Sampaio Ferraz. Análises Probabilísticas da Estabilidade de Taludes Considerando a Variabilidade Espacial do Solo. Rio de Janeiro, 2008. 178p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Freqüentemente as análises de estabilidade de taludes são feitas por métodos

determinísticos, nos quais é obtido um Fator de Segurança (FS). Estes métodos

não quantificam as incertezas existentes nas variáveis de entrada (parâmetros de

resistência) na análise. Tampouco mostram detalhes sobre qual variável afeta mais

o resultado. Os métodos probabilísticos permitem superar estes problemas. A

presente pesquisa tem como objetivo comparar dois métodos probabilísticos

geralmente utilizados (Estimativas Pontuais e Segundo Momento). Três projetos

utilizados comumente na geotecnia são analisados: barragem de rejeitos, talude de

solo e aterro sobre argila mole.Um aspecto importante na análise probabilística é a

quantificação adequada do desvio padrão. É sabido que as propriedades dos solos

mostram uma correlação no espaço, pelo que o desvio padrão calculado por

métodos clássicos da estatística é superestimado em comparação ao valor real no

campo. El-Ramly (2001) desenvolveu uma metodologia para o cálculo da

probabilidade de ruptura considerando a correlação espacial das propriedades do

solo. Esta metodologia é de difícil aplicação prática. Serão, portanto, avaliadas na

presente pesquisa as técnicas geralmente usadas de probabilidade e estabilidade de

taludes, juntamente com um fator de correção proposto por Vanmarcke (1977a).

Estas técnicas de probabilidade de estabilidade de taludes são factíveis de serem

utilizadas junto com este fator de correção. Verificou-se que o Método de

Segundo Momento é de mais fácil utilização, e portanto adequado para emprego

em projetos geotécnicos.

Palavras-chave Estabilidade de Taludes, Análises Probabilísticos, Variabilidade Espacial,

Probabilidade de Ruptura.

7

Abstract

Flores, Emerson Alex Figueroa; Jardim, Alberto de Sampaio Ferraz. Probabilistic Analysis of Slope Stability Considering Spatial Variability of Soil. Rio de Janeiro, 2008. 178p. Msc. Dissertation - Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The analysis of slope stability is often determined by deterministic methods,

in which a Factor of Security (FS) is obtained. These methods do not quantify the

uncertainty in the input variables (strength parameters). Neither these methods

show details which variable affects mostly the outcome results. The probabilistic

methods allow overcoming these restrictions. This study aims at comparing two

probabilistic methods of general use (Point Estimates and First Order Second

Moment). Three projects commonly used in geotechnical engineering are

analyzed: tailings dam, slope soil and embankment on soft clay. An important

aspect of the probabilistic analysis is the proper quantification of the standard

deviation. It is known that the soil properties show a correlation in space, so the

standard deviation, calculated by traditional methods of statistics, is overestimated

when compared to the real field value. El-Ramly (2001) developed a methodology

for calculating the probability of failure considering the spatial correlation of the

soil properties. This methodology is difficult to apply in practice. The present

study will therefore evaluate the techniques generally used in probability of failure

of slopes. These probability techniques applied to slope stability can be used

together with a correction factor proposed by Vanmarcke (1977b). The Second

Moment Method was found to be easier to use, and therefore more suitable for

geotechnical projects.

keywords Slope Stability, Probabilistic Analysis, Spatial Variability, Probability of

failure.

8

Sumário

1 INTRODUÇÃO 19 

2 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 22 

2.1. Introdução 22 

2.2. Variáveis Aleatórias 22 

2.3. Função Densidade de Probabilidade 23 

2.4. Tratamento Estatístico dos Dados 27 

3 INCERTEZAS E VARIABILIDADE ESPACIAL DAS PROPRIEDADES

DOS SOLOS 38 

3.1. Introdução 38 

3.2. Fontes de Incerteza 39 

3.3. Variabilidade Espacial dos Parâmetros dos Solos 45 

3.4. Estimativa dos Erros Sistemáticos 56 

3.5. Uso da Média Espacial na Quantificação da Variabilidade Espacial

dos Solos 58 

4 ANÁLISES DETERMINÍSTICA E PROBABILÍSTICA DA ESTABILIDADE

DE TALUDES 71 

4.1. Introdução 71 

4.2. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes 72 

4.3. Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes 73 

4.4. Superfície de Deslizamento Critica 98 

5 BARRAGEM DE REJEITOS SYNCRUDE 99 

5.1. Considerações do Projeto 100 

5.2. Descrição da Pilha 23 101 

5.3. Estratigrafia 102 

5.4. Parâmetros de Resistência 102 

5.5. Poropressões 107 

9

5.6. Análise Determinística da Estabilidade do Talude 111 

5.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes 112 

5.8. Conclusões 121 

6 DESLIZAMENTO EM LODALEN, NORUEGA (1954) 122 

6.1. Introdução 122 

6.2. Estratigrafia e Propriedades do Solo 123 

6.3. Poropressões 125 

6.4. Análises Determinísticas de Estabilidade de Taludes 129 

6.5. Análises Probabilísticas da Estabilidade 130 

6.6. Análises Probabilísticas com Variações da inclinação do Talude 140 

6.7. Análises Probabilísticas Considerando Coeficientes de Correlação

entre os Parâmetros de Resistência 145 

6.8. Conclusões 147 

7 INVESTIGAÇÃO DO ATERRO EM MUAR 149 

7.1. Introdução 149 

7.2. Estratigrafia do Terreno e Características do Aterro 150 

7.3. Propriedades de Resistência do Solo de Fundação 151 

7.4. Propriedades de Resistência do Aterro 153 

7.5. Fator de Correção de Bjerrum 154 

7.6. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes 155 

7.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes 156 

7.8. Análises Probabilísticas para Diferentes Alturas do Aterro 161 

7.9. Conclusões 164 

8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 165 

8.1. Conclusões 165 

8.2. Sugestões 167 

BIBLIOGRAFÍA 168 

10

Lista de figuras

Figura 2.1 – Função de distribuição cumulativa. 23

Figura 2.2 - Variação de uma densidade de probabilidade normal, para

vários valores de μ, σ2. 24

Figura 2.3 - Distribuições log-normal da variável x. 26

Figura 2.4 – Histograma típico. 28

Figura 2.5 – “Three Sigma Rule” , Daí e Wand (1992). 31

Figura 2.6 – “Three Sigma Rule” aplicado graficamente na obtenção dos

parâmetros de resistência c e Ø, Duncan (2000). 31

Figura 2.7 – Correlação negativa forte entre duas varáveis, Holtz e Krizek

(1972). 34

Figura 2.8 - Correlação positiva baixa entre duas variáveis, Holtz e Krizek

(1972). 34

Figura 2.9 – Efeito da não remoção da tendência no cálculo da variância

ou Cov, em dados de N do SPT em areias, Baecher e Christian (2003). 37

Figura 3.1 – Perfil da permeabilidade do solo de um depósito glacial,

Terzaghi, Peck e Mesri (1996). 39

Figura 3.2 – Fontes de incerteza nos parâmetros, El-Ramly (2001). 40

Figura 3.3 – Fator de correção da resistência não drenada Su, Bjerrum

(1972). 43

Figura 3.4 – Distribuição espacial em dois conjuntos de dados com

histogramas semelhantes, El-Ramly (2001). 46

Figura 3.5 – Variação espacial das propriedades em dois solos,

modificado de Baecher e Christian (2003) 46

Figura 3.6 – Modelo de variabilidade espacial, aplicados a medidas de

pressão de um dilatômetro, DeGroot (1996). 47

Figura 3.7 – Modelo de variabilidade espacial sem tendência. 48

Figura 3.8 - Modelo de variabilidade do solo, Neter et al (1990). 49

Figura 3.9 - Funções usuais de uma tendência, Baecher e Christian

(2003). 50

11

Figura 3.10 – Componentes da função de autocovariância, DeGroot

(1996). 54

Figura 3.11 – Semivariograma de dados de palheta, Baecher e Christian

(2003). 55

Figura 3.12 – Redução do desvio padrão produto de incrementos de zi,

modificado de Vanmarcke (1983). 59

Figura 3.13 - Variabilidade espacial inerente do solo, Phoon e Kulhawy

(1999a). 60

Figura 3.14 – Definição de fator de redução da variância, Vanmarcke

(1983). 61

Figura 3.15 – Função de variância versus a média de intervalos Δz,

normalizados com respeito à escala de flutuações, Vanmarcke (1983). 63

Figura 3.16 – Coeficiente de correlação entre dois pares de médias locais

1 2( , )z zΔ Δ , modificado de Vanmarcke (1983). 64

Figura 3.17 – Distância de autocorrelação horizontal ou vertical, El-Ramly

(2001). 65

Figura 3.18 – Definição de escala de flutuações. 68

Figura 3.19 – Determinação de escala de flutuações vertical, Phoon e

Kulhawy (1999a). 69

Figura 4.1 – Probabilidade de ruptura de estacas, Lacasse e Nadim

(1996). 73

Figura 4.2 – Conceito de análise probabilísticas de estabilidade de

taludes. 74

Figura 4.3 – Probabilidade de ruptura vs Indice de confiabilidade ( )β . 77

Figura 4.4 – Probabilidades de ruptura admissíveis, Baecher (1982b). 79

Figura 4.5 - Probabilidades de ruptura, US Army Corps of Engineers

(1995). 79

Figura 4.6 - Risco social aceitável proposto pelo departamento de

planejamento de Hong Kong para deslizamentos, Baecher e Christian

(2003). 80

Figura 4.7 - Probabilidade de ruptura crítica para barragens, proposta pela

British Columbia Hydro, Canadá, Nielsen et al (1994). 80

Figura 4.8 – Estimativas pontuais da função f(x). 88

12

Figura 4.9 – Subdivisão da superfície de deslizamento dentro de uma

camada, El-Ramly (2001). 95

Figura 4.10 – Modelagem da variabilidade espacial de um parâmetro de

entrada sobre uma superfície de deslizamento, El-Ramly (2001). 96

Figura 5.1 – Vista em planta das pilhas e lagoa de rejeitos. 100

Figura 5.2 – Geometria e estratigrafia da seção 53+00E. 102

Figura 5.3 – Resultados do ensaio de cisalhamento direto para o material

Kca. 104

Figura 5.4 – Localização dos piezômetros na zona de estúdio. 107

Figura 5.5 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Kca 107

Figura 5.6 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Pgs.109

Figura 5.7 – Posição da linha freática dentro do rejeito. 110

Figura 5.8 – Superfícies de ruptura críticas. 111

Figura 5.9 – Contribuição de cada variável na variância de FS. 115

Figura 5.10 – Análise probabilística pelo método de segundo momento,

com distribuição normal do fator de segurança. 117

Figura 5.11 - Análise probabilística pelo método de segundo momento

com distribuição log-normal do fator de segurança. 118

Figura 5.12 - Análise probabilística pelo método de estimativas pontuais,

com distribuições normal e log-normal do fator de segurança. 118

Figura 5.13 - Contribuição de cada variável na variância de FS, para uma

distância de autocorrelação (ro) de 33m. 120

Figura 6.1 – Seção transversal do talude em estudo. 124

Figura 6.2 – Correlação entre ângulo de atrito e a coesão da argila

marinha de Oslo. 125

Figura 6.3 – Posição dos piezômetros e da linha freática no talude. 126

Figura 6.4 – Distribuição das cargas de pressão, considerando todos os

piezômetros. 126

Figura 6.5 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro A. 127

Figura 6.6 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro B. 127

Figura 6.7 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro C. 128

Figura 6.8 – Superfícies de deslizamento determinísticas. 130

13

Figura 6.9 – Distribuições de carga piezométrica com a profundidade –

piezômetro A. 131

Figura 6.10 – Contribuição na variância do fator de segurança das cinco

variáveis, considerando o total do desvio padrão. 133

Figura 6.11 – Contribuição na variância do fator de segurança das três

variáveis, considerando o total do desvio padrão. 134

Figura 6.12 – Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo

momento com distribuição normal do FS. 136

Figura 6.13 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo

momento, com distribuição log-normal do FS. 137

Figura 6.14 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo

momento, com distribuição normal do FS. 137

Figura 6.15 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo

momento, com distribuição log-normal do FS. 138

Figura 6.16 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas

pontuais, com distribuição normal e log-normal do FS. 138

Figura 6.17 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas

pontuais, com distribuição normal e log-normal do FS. 139

Figura 6.18 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança

para diferentes inclinações de taludes: método de Bishop. 141

Figura 6.19 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança

para diferentes inclinações de taludes: método de Spencer. 142

Figura 6.20 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para

diferentes distâncias de autocorrelação (r0), método de segundo

momento. 143

Figura 6.21 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para

diferentes distâncias de autocorrelação (r0), método de estimativas

pontuais. 144

Figura 6.22 – Valores de probabilidade de ruptura em função do

coeficiente de correlação. 146

Figura 7.1 - Superfície de ruptura observada no aterro sobre solo mole,

Brand e Premchitt (1989) 150

14

Figura 7.2 – Estratigrafia e resistência não drenada encontrada no campo.

151

Figura 7.3 – Ruptura do aterro após 100 dias de construção. 152

Figura 7.4 – Fator de correção da resistência não drenada. 154

Figura 7.5 – Superfície de ruptura segundo Bishop. 156

Figura 7.6 – Probabilidade de ruptura, método de Bishop. 157

Figura 7.7 – Contribuição na variância do fator de segurança dos

parâmetros. 157

Figura 7.8 – Probabilidade de ruptura, método de segundo momento,

distribuição normal do fator de segurança. 159

Figura 7.9 - Probabilidade de ruptura, método de segundo momento,

distribuição log-normal do fator de segurança. 159

Figura 7.10 - Probabilidade de ruptura, método de estimativas pontuais,

distribuição normal e log-normal do fator de segurança. 160

Figura 7.11 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança

para diferentes alturas do aterro, distribuição normal do FS. 162

Figura 7.12 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança

para diferentes alturas do aterro, distribuição log-normal do FS. 162

Figura 7.13 – Variação da probabilidade de ruptura para diferentes

distâncias de autocorrelação numa altura do aterro de 4.0m. 163

15

Lista de tabelas

Tabela 2.1 – Proporção de área sobre a distribuição normal. 25

Tabela 2.2 – Valores do fator Nn para estimar o desvio padrão, Burintong

e May (1970). 30

Tabela 2.3 – Coeficientes de variação típicos de solos. 36

Tabela 3.1 – Funções de correlação e variância. 62

Tabela 3.2 – Relação entre distância de autocorrelação e escala de

flutuações. 66

Tabela 3.3 – Distâncias de autocorrelações ro, El-Ramly (2001). 67

Tabela 3.4 – Valores de escala de flutuações reportadas na literatura. 69

Tabela 4.1 – Importância da análise probabilística de estabilidade de

taludes, Duncan (2001). 74

Tabela 4.2 – Representação esquemática do método de estimativas

pontuais. 90

Tabela 5.1 – Características geotécnicas do argilito (kca). 103

Tabela 5.2 – Características geotécnicas da areia glacial (Pgs). 105

Tabela 5.3 – Coeficiente de poropressão ru, nos intervalos propostos na

camada kca. 108

Tabela 5.4 – Coeficiente de poropressão ru, camada Pgs. 110

Tabela 5.5 – Resultados das análises determinísticas. 111

Tabela 5.6 – Propriedades das variáveis aleatórias consideradas na

análise. 112

Tabela 5.7 – Probabilidades de ruptura, considerando distribuição normal.

113

Tabela 5.8 - Probabilidades de ruptura, considerando distribuição log-

normal. 113

Tabela 5.9 – Probabilidades de ruptura encontradas com o método de

Bishop. 119

Tabela 5.10 – Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.120

Tabela 6.1 – Parâmetros de resistência, argila aarinha. 124

16

Tabela 6.2 – Valores de carga piezométrica no talude. 128

Tabela 6.3 – Fatores de segurança determinísticos. 129

Tabela 6.4 – Combinações da tendência das cargas piezométricas. 131

Tabela 6.5 – Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias,

distribuição normal. 132

Tabela 6.6 - Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias,

distribuição log-normal. 132

Tabela 6.7 - Análises probabilística com 3 variáveis aleatórias. 134

Tabela 6.8 – Probabilidade de ruptura com o método de Bishop. 136

Tabela 6.9 - Probabilidade de ruptura com o método de Spencer. 136

Tabela 6.10 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.140

Tabela 6.11 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.140

Tabela 6.12 – Comparação das probabilidades de ruptura, segundo

momento. 144

Tabela 6.13 - Comparação das probabilidades de ruptura, segundo

momento. 144

Tabela 6.14 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas

pontuais. 144

Tabela 6.15 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas

pontuais. 145

Tabela 7.1 - Propriedades físicas e mecânicas das camadas argilosas. 152

Tabela 7.2 – Linhas de tendência da resistência não drenada (Su). 153

Tabela 7.3 – Propriedades de resistência do aterro. 153

17

Lista de Símbolos

ƒx(x) Função densidade de probabilidade

Fx(x) Função acumulativa da densidade de probabilidade

E(x) Média da amostra

μ Média populacional

V(x) Variância da amostra

σ Desvio padrão da amostra

σ´ Desvio padrão da população

σ´2 Variância da população

Z Variável aleatória padronizada

FS Fator de segurança

E(FS) Média do fator de segurança

σ(FS) Desvio padrão do fator de segurança

Cov(X) Coeficiente de variação

rx Amplitude da amostra

xmax Máximo valor da amostra

xmin Mínimo valor da amostra

Su Resistência ao cisalhamento não drenada do solo

c Coesão do solo

Ø Ângulo de atrito do solo

C(x, y) Covariância entre duas variáveis

18

ρ(x, y) Coeficiente de correlação entre duas variáveis

x, y Variáveis aleatórias

Cx(r) Auto-covariância de uma variável

Rx(r) Coeficiente de auto-correlação de uma variável

ti Tendência de uma variável aleatória

εi Componente residual da variável aleatória

eiε Erros aleatórios das propriedades dos solos

viε Erros inerentes à variabilidade das propriedades dos solos

a0 Intercepto da linha de tendência

a1 Pendente da linha de tendência

n Número de dados

γx(r) Semivariograma

δ Escala de flutuações

r0 Distância de autocorrelação

r0h Distância de autocorrelação horizontal

r0v Distância de autocorrelação vertical

r0-e Distância de autocorrelação isotrópica equivalente

Γ Fator de redução na variância

)β Índice de confiabilidade

P(r) Probabilidade de ruptura

( )βΦ − Curva normal padronizada

19

1 INTRODUÇÃO

As análises de estabilidade de taludes são tradicionalmente feitas mediante

métodos determinísticos, que são baseados na obtenção de um fator de segurança

(FS). O valor de FS depende dos valores estimados para os parâmetros do solo.

Portanto o próprio fator de segurança é uma variável aleatória que depende de

outras variáveis.

Análises determinísticas são influenciadas pelo julgamento do engenheiro e

não expressam mais que um só dado (Fator de Segurança). Isto dificulta a análise

sobre qual variável (parâmetros de resistência do solo, poro pressões, espessuras

do material, etc.) pode afetar mais a estabilidade. Ferramentas adicionais precisam

ser usadas para permitir ao engenheiro tomar uma melhor decisão sobre a

performance da estrutura.

Os métodos probabilísticos de análise de estabilidade de taludes podem

permitir superar os problemas encontrados nas análises tradicionais de

estabilidade de taludes, por métodos determinísticos. Além do valor de FS, a

avaliação da probabilidade de ruptura é muito útil, podendo indicar os parâmetros

que influenciam mais a estabilidade.

Estes métodos probabilísticos não são novos, na realidade existem há

algumas décadas. São poucos os engenheiros, porém que os usam na pratica da

engenharia. Um dos objetivos principais desta presente dissertação é, portanto,

mostrar casos reais da engenharia geotécnica, nos quais as análises probabilísticas

devem ou podem ser feitas com conhecimentos adequados de probabilidade e

estatística.

20

Um dos principais problemas encontrados no momento de fazer as análises

probabilísticas é quantificar adequadamente o valor do desvio padrão e da média

dos parâmetros. Estes valores são influenciados pela quantidade de amostras a ser

analisadas, a qual depende das limitações do orçamento do projeto.

Devido a esta limitação o valor do desvio padrão obtido em geral é maior

que o valor real encontrado no campo. Ademais, os métodos mais usuais de

probabilidade de estabilidade de taludes não consideram o efeito de uma

correlação espacial das propriedades do solo. Assim, uma propriedade num ponto

Xi pode ter as mesmas características num ponto Xi+1 que se encontra a uma

distância r0 (Distância de Autocorrelação). Quanto menor é esta distância ro maior

é a correlação (igualdade) entre as propriedades. A maiores distâncias, esta

correlação diminui gradativamente.

O principal erro cometido em não considerar esta correlação das

propriedades do solo é superestimar o desvio padrão do parâmetro no

comprimento ou distância de interesse. Isto leva à obtenção de probabilidades de

rupturas elevadas. El-Ramly (2001) desenvolveu uma metodologia de análises de

probabilidade de ruptura de taludes, mediante o método de Monte Carlo,

considerando a correlação espacial das propriedades do solo dentro de sua

estrutura.

Duncan et al (2003) criticaram o uso da técnica de El-Ramly (2001), devido

às dificuldades práticas para o uso diário na engenharia. Os autores argumentaram

que as técnicas usuais de probabilidade de estabilidade de taludes podem ser

usadas junto com um fator de correção que considere as distâncias de

autocorrelação existentes na área de estudo, para poder quantificar a redução do

desvio padrão.

Por todo o exposto, o objetivo desta dissertação é apresentar o uso das

técnicas tradicionais de probabilidade de estabilidade de taludes (por exemplo,

Segundo Momento ou Estimativas Pontuais), incorporando um fator de correção

devido à correlação espacial das propriedades do solo. São considerados projetos

21

tradicionais na pratica geotécnica, de forma a quantificar melhor as incertezas

existentes na obtenção dos valores médios dos parâmetros.

A presente dissertação está composta por 8 capítulos. No 2º capítulo, são

expostos os conceitos tradicionais de probabilidade e estatística utilizados

engenharia. No 3º capítulo, apresentam-se os conceitos principais da variabilidade

espacial das propriedades do solo e as incertezas associadas na obtenção das

médias. No 4º capítulo são apresentados os métodos tradicionais de análise

probabilística de estabilidade de taludes, e um resumo das probabilidades de

ruptura aceitáveis recomendadas na literatura técnica.

No capítulo 5 apresenta-se um exemplo de análises probabilísticas de

estabilidade de taludes, referente a uma barragem de rejeitos no Canadá. No

capítulo 6, é exposta outra análise probabilística sobre um talude de solo natural, o

qual foi inicialmente escavado com inclinação pronunciada e levada por

sucessivas re–escavações até a ruptura.

No capítulo 7, apresenta-se outro exemplo de análise probabilística aplicada

à construção de aterros construídos sobre argilas moles, amplamente utilizados na

construção de estradas. No capítulo 8, são listadas as conclusões obtidas sobre a

presente dissertação.

22

2 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

2.1. Introdução

As propriedades físicas e mecânicas de solos e rochas são em geral

naturalmente dispersas. Os métodos probabilísticos podem ajudar na analise

destas dispersões, facilitando o entendimento dos dados. Neste capítulo são

fornecidos conceitos básicos de probabilidade ligados à analise geotécnica. Em

especial, serão abordadas as aplicações as análises de estabilidade de taludes.

Estes conceitos são detalhados em livros clássicos de probabilidade e

estatística, tais como Ang e Tang (1975), e mais recentemente, Baecher e

Christian (2003).

2.2. Variáveis Aleatórias

Uma variável é aleatória quando puder assumir diferentes valores como

resultado de um experimento aleatório. As variáveis aleatórias se dividem em

discretas e continuas:

• Variável Aleatória Discreta: admite apenas um número limitado de

valores.

• Variável Aleatória Contínua: admite qualquer valor dentro de um

intervalo dado, ou pode tomar todos os valores de um intervalo.

Na maioria das situações na engenharia geotécnica as variáveis utilizadas

são as variáveis aleatórias contínuas.

23

2.3. Função Densidade de Probabilidade

Para uma variável aleatória contínua, a função utilizada para representar a

distribuição de probabilidade é a função densidade de probabilidade (ƒx(x)). Esta

função descreve a forma da curva de distribuição da probabilidade de ocorrência

de cada valor da variável aleatória contínua.

Existem vários tipos de função de densidade de probabilidade, sendo que as

distribuições mais utilizadas em engenharia são: Normal, Log-normal,

Exponencial, Gamma, Beta. Dentre estas distribuições, as mais usadas em

engenharia geotécnica são a distribuição Normal (ou gaussiana) e a distribuição

Log-normal.

Uma forma alternativa de poder visualizar os dados (análogo á função de

densidade de probabilidade) é mediante uma função de distribuição cumulativa

(CDF), que indica a probabilidade de uma variável ter um valor menor ou igual a

um valor selecionado (figura 2.1), na realidade CDF é a integral da

correspondente função de densidade de probabilidade.

A função cumulativa da densidade de probabilidade (Fx(x)), e definida por:

( ) ( ) ( )ix

x i i xF x P x x f x x−∞

= ≤ = ∂∫ (2.1)

Figura 2.1 – Função de distribuição cumulativa.

24

2.3.1. Distribuições de Variáveis Aleatórias

Neste trabalho, são apresentadas a distribuição Normal (ou gaussiana) e

Log-normal, por serem as mais usadas em engenharia geotécnica.

2.3.1.1. Distribuição Normal

A distribuição Normal é a mais familiar das distribuições de probabilidade e

também uma das mais importantes em estatística. Esta distribuição tem a forma de

sino (Figura 2.2).

A equação da curva Normal é especificada usando-se dois parâmetros: a

média populacional μ e o desvio padrão populacional σ´, (ou a variância

populacional σ´2). Denota-se N(μ, σ2) a curva Normal com média μ e variância σ2.

A média refere-se ao centro da distribuição, e o desvio padrão (ou variância) ao

espalhamento de curva. A distribuição normal é simétrica em relação à média.

Figura 2.2 - Variação de uma densidade de probabilidade normal, para vários valores de

μ, σ2.

ƒx(x)

σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(4)

(2)

(3)

(1)

25

A equação que descreve o comportamento da função de densidade normal é:

21

22

1( )2

x

xf x eμ

σ

πσ

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= (2.2)

A área sob a curva normal é sempre unitária. Então, para quaisquer dois

valores específicos pode-se determinar a proporção de área sob a curva entre esses

dois valores. Para a distribuição Normal, a proporção de valores abrangida por

um, dois ou três desvios padrão da média, é indicada na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 – Proporção de área sobre a distribuição normal.

Faixa de valores Proporção

μ±1σ 68,3%

μ±2σ 95,5%

μ±3σ 99,7%

Pode-se observar nesta tabela que o 99,7% de todos os dados estão dentro

de ±3σ. Esta é a principal justificação da “Three-Sigma Rule”, proposta por Daí e

Wang (1992) e usada por Duncan (1999, 2000) para obter o desvio padrão de uma

amostra.

Na prática deseja-se calcular a probabilidade de uma variável (por exemplo,

o fator de segurança FS) ser menor ou igual a certo valor (por exemplo, 1,0). Para

isso, a variável x cuja distribuição é N(μ, σ2) e transformada numa forma

padronizada Z com distribuição N(0,1).

Onde Z é dada por:

( )

FS

x FS E FSZ μσ σ

⎛ ⎞− −= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.3)

Z é a probabilidade de que FS possa ser menor ou igual a qualquer número

(por exemplo, FS = 1).

26

2.3.1.2. Distribuição Log-Normal

Uma variável aleatória x tem a distribuição Log-Normal quando seu

logaritmo possuir a forma de uma distribuição Normal. Uma das características

mais importante desta distribuição é não admitir dados negativos.

A função de densidade está caracterizada por ter dois parâmetros, média

populacional μ, e o desvio padrão populacional σ, a equação que caracteriza esta

função de densidade é:

2

2

1 ln( )( ; , ) exp22xf x

xμμ σ

σσ π⎡ ⎤−

= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.4)

A Figura 2.3 ilustra algumas distribuições Log-Normal com diferentes

valores de σ.

Figura 2.3 - Distribuições log-normal da variável x.

ƒx(x)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

(6)

27

2.3.1.3. Distribuição de Parâmetros Geotécnicos

Como foi mencionado, a distribuição Log-Normal é sempre positiva, como

os parâmetros usados em problemas geotécnicos, por exemplo, o valor do fator de

segurança, sempre podem ter valores positivos, então esta distribuição é

usualmente adequada.

Baecher e Christian (2003) demonstraram que a probabilidade do fator de

segurança ser negativo quando se usa uma distribuição normal é muito baixa, pelo

que a distribuição normal também é válida para problemas geotécnicos.

Na realidade, deveriam se fazer provas de adequabilidade para poder

determinar o melhor ajuste dos dados. As mais usadas são:

- Método Chi Quadrado;

- Método Kolmogorov Smirnov;

- Método Andersen Darling.

2.4. Tratamento Estatístico dos Dados

2.4.1. Analise Gráfico da Amostra

A maneira mais comum de representar os dados é mediante um histograma,

também denominada gráfico de barras, onde os dados são agrupados em

intervalos. A altura da barra em cada intervalo, mostra a quantidade de valores

dentro deste intervalo. A Figura 2.4 apresenta um gráfico de barras típico.

Pode-se observar que o histograma é dividido em intervalos de igual

largura. A dificuldade que se encontra na hora de fazer um histograma é definir o

valor dos intervalos quando se tem poucos dados. Sturges (1926) sugere o uso da

equação 2.5 para definir o número de intervalos (k), onde n é o número de dados.

101 3.3logk n= + (2.5)

28

Figura 2.4 – Histograma típico.

O uso de histogramas é muito limitado quando se dispõe de um número

pequeno de dados. Recomenda-se por tanto o uso de funções de distribuição de

probabilidade (Normal ou Log-normal), ou ainda o uso de funções de distribuição

cumulativa (CDF).

2.4.2. Análise da Amostra

Os parâmetros comumente utilizados para a análise da amostra são a média

e a variância da amostra.

A média da amostra também denominada média aritmética é representado

por:

1

1( )n

ii

E x xn =

= ∑ (2.6)

A média da amostra indica o centro de gravidade de uma distribuição de

probabilidade.

A variância da amostra relaciona-se com os quadrados dos desvios da

variável x em relação à média E(x), sendo definida por:

Limite de Plasticidade

N

úmer

o de

med

idas

29

2

1

1( ) ( ( ))1

n

ii

V x x E xn =

= −− ∑ (2.7)

Onde o desvio padrão da amostra (σ) é definido como a raiz quadrada da

variância, denotado por:

2

1

1 ( ( ))1

n

ii

x E xn

σ=

= −− ∑ (2.8)

O desvio padrão expressa a dispersão de uma variável aleatória com respeito

ao valor esperado ou a média.

Uma maneira mais conveniente de expressar a dispersão dos dados é com o

coeficiente de variação da amostra Cov(X), definido pela equação 2.9.

( )( )( )xCov X

E xσ

= (2.9)

Uma estimativa rápida do desvio padrão pode ser alcançada mediante o uso

da amplitude da amostra (rx), que é definida por:

max minxr x x= − (2.10)

Onde rx é a diferença entre os valores máximo e mínimo da amostra. Se os

dados são normalmente distribuídos, pode-se obter uma estimativa de σ’, com

base na amplitude da amostra rx e num fator Nn, o qual é definido por:

( )max minnN x xσ = − (2.11)

A equação 2.11 foi proposta por Burington e May (1970) e o fator Nn pode

ser obtido pela Tabela 2.2, onde n é o número de amostras.

30

Tabela 2.2 – Valores do fator Nn para estimar o desvio padrão, Burintong e May (1970).

n Nn n Nn n Nn

2 0,886 11 0,315 20 0,268

3 0,510 12 0,307 30 0,244

4 0,486 13 0,300 50 0,222

5 0,430 14 0,294 75 0,208

6 0,395 15 0,288 100 0,199

7 0,370 16 0,283 150 0,19

8 0,351 17 0,279 200 0,18

9 0,337 18 0,275

10 0,325 19 0,271

Este método de estimativa rápida do desvio padrão somente pode ser usado

quando a dispersão dos dados é simétrica (Baecher e Christian, 2003), devido a

ser afetado fortemente pelos extremos. Para dispersões assimétricas, este método

não é recomendado. Em geral, as propriedades geotécnicas são simétricas, no caso

de propriedades hidráulicas, a distribuição é usualmente assimétrica.

Duncan (1999, 2000) descreveu o uso da “Three Sigma Rule” proposta por

Daí e Wand (1992), para o cálculo do desvio padrão em geotecnia. É baseada no

fato de que o 99.7% (Figura 2.5) dos dados normalmente distribuídos estão dentro

de ±3σ, sendo o desvio padrão (σ) obtido pela expressão 2.12.

6HCV LCVσ −

= (2.12)

Onde HCV é o maior valor concebível para o parâmetro em questão e LCV

é o menor valor concebível (ou possível).

31

Figura 2.5 – “Three Sigma Rule” , Daí e Wand (1992).

Duncan (2000) estendeu o uso da “Three Sigma Rule” a um método gráfico,

como apresentado na figura 2.7, que é um caso prático encontrado na geotecnia.

Figura 2.6 – “Three Sigma Rule” aplicado graficamente na obtenção dos parâmetros de

resistência c e Ø, Duncan (2000).

Funç

ão d

e de

nsid

ade

de p

roba

bilid

ade

Nor

mal

Valor da variável

Menor Valor

Concebível

(LCV)

Valor

Provável

32

Duncan (2000) sugere o uso da “Three Sigma Rule” para obtenção do

desvio padrão, e pode ser usada quando dados limitados são fornecidos ou quando

nenhum dado é encontrado, e também para julgar razoáveis coeficientes de

variação publicados na literatura.

O método de “Three Sigma Rule” foi criticado por Christian e Baecher

(2001) devido ao fato de que a obtenção dos valores mais alto e mais baixo (HCV,

LCV), dos parâmetros requer engenheiros com bom senso e experiência.

Utilizando a equação 2.11 para uma obtenção rápida do desvio padrão na

forma:

( )max min

n

x xN

σ−

= (2.13)

Para 10 ensaios (n=10) o valor de Nn* é 3,078 (inverso de Nn na Tabela 2.2).

Ao usar a “Three Sigma Rule” (equação 2.12), o valor de Nn* tem que ser igual a

6,0. Duncan (2001) sugere que o uso da “Three Sigma Rule” tem que ser

acompanhado com a Tabela 2.2 e requer um engenheiro experiente, na

determinação do provável desvio padrão do parâmetro.

2.4.3. Análise da Correlação entre Variáveis

Em qualquer análise geotécnica é usual se lidar com mais de uma variável

aleatória (coesão, ângulo de atrito, peso específico do solo, poropressões, largura

da camada, etc.). A incerteza de uma variável pode estar associada à incerteza de

outra, não sendo independente, o que pode afetar significativamente o resultado da

análise.

O coeficiente de correlação entre duas variáveis define como a variação em

um parâmetro pode afetar o valor da outra variável.

Vieira (1999) comenta sobre o uso indiscriminado, ou o mau uso que pode

ser dado à interpretação da correlação entre variáveis. Segundo o autor, a

*

33

correlação entre duas variáveis nem sempre significa uma relação de causa e

efeito. Muitas vezes existe uma terceira variável, não estudada, que determina

tanto os aumentos em x como os aumentos (ou diminuições) em y.

Portanto, a correlação entre variáveis não indica que uma causa a outra,

mostra apenas que existe uma relação linear acidental entre elas.

Wolff e Harr (1987), Mostyn e Li (1993), e Mais, Giasi e Cherubini (2003)

mostraram a grande sensibilidade que existe na probabilidade de ruptura para a

consideração de algum tipo de coeficiente de correlação.

No caso dos parâmetros de resistência de Mohr Coulomb (c, Ø), é atribuído

algum tipo de correlação. Quanto maior é o ângulo de atrito (Ø), menor pode ser a

coesão (c). Assim poderia haver uma correlação negativa, e a incerteza no ângulo

de atrito estaria muito influenciada na incerteza da coesão.

O coeficiente de correlação sempre deve ser obtido quando houver

suficientes dados disponíveis. Na ausência de dados suficientes, não é

recomendável a obtenção de algum tipo de coeficiente de correlação.

Antes de definir o coeficiente de correlação é preciso definir a covariância

entre duas variáveis (x, y), dada por:

( ) ( )1

1( , ) ( ) . ( )1

n

i ii

C x y x E x y E yn =

= − −− ∑ (2.14)

No caso em que x e y sejam independentes, C(x, y) é igual a zero. Agora se

pode definir o coeficiente de correlação ρ(X, Y) dado por:

( , )( , )x y

C x yx yρσ σ

= (2.15)

Onde σx e σy são os desvios padrão das variáveis x, y.

34

É importante deixar claro que o coeficiente de correlação é uma medida só

da associação linear entre variáveis. Assim duas variáveis altamente dependentes

de uma forma não linear podem ter um coeficiente de correlação igual a zero.

O intervalo do coeficiente de correlação (equação 2.15) é entre +1 e -1,

indicando perfeita correlação linear positiva para ρ= +1. Por outro lado ρ = -1

indica perfeita correlação linear negativa, enquanto ρ= 0 indica que não há

associação entre as variáveis consideradas.

Holtz e Krizek (1972) mostram um coeficiente de correlação negativo entre

o teor de umidade e a densidade seca (Figura 2.7). Eles também mostram um

baixo coeficiente de correlação positivo entre a densidade seca e a resistência à

compressão não confinada (Figura 2.8).

Figura 2.7 – Correlação negativa forte entre duas varáveis, Holtz e Krizek (1972).

Figura 2.8 - Correlação positiva baixa entre duas variáveis, Holtz e Krizek (1972).

Teor de Umidade %

Den

sida

de S

eca

(t/m

3 )

Densidade Seca (t/m3)

Coeficiente de

Correlação (ρ) = -0,96

Coeficiente de

Correlação (ρ) = 0,25

Esf

orço

à c

ompr

essã

o nã

o

conf

inad

a (t

/m3 )

35

No caso de problemas de estabilidade de taludes, as variáveis usuais são os

parâmetros de resistência, peso específico do solo e condições de poropressão,

porem suas incertezas não são independentes e devem ser determinadas.

Alonso (1976) mostra que a contribuição da incerteza da densidade do solo

é insignificante às demais incertezas presentes numa análise de estabilidade de

taludes. Isto é devido ao fato de que a determinação do peso específico do solo,

obtida em laboratório, geralmente é precisa e mostra um pequeno desvio padrão.

As análises de estabilidade de taludes são pouco sensíveis às variações do

peso específico do solo, pelo que este parâmetro geralmente é tomado como um

dado determinístico e não uma variável aleatória. É usual, por tanto que o

coeficiente de correlação do peso específico com as propriedades de resistência do

solo seja desprezado.

2.4.4. Valores de Coeficiente de Variação Usuais em Solos

Na literatura encontra-se diferentes valores de coeficiente de variação (Cov),

definidos pela equação 2.13. Estes valores de Cov podem ser de grande utilidade

para se validar um determinado parâmetro de solo. Valores típicos estão

apresentados na Tabela 2.3.

O coeficiente de variação (Cov) descreve quanto os dados estão longe da

média, sendo, portanto função da variação espacial dos dados. Segundo Phoon e

Kulhawy (1999a), o maior problema em usar os coeficientes de variação

encontrados comumente na literatura é que estes não removem a tendência que

podem apresentar os dados de solo (por exemplo, com a profundidade).

A não remoção da tendência dos dados pode superestimar o Cov, a menos

que o parâmetro não mostre uma tendência com a profundidade, ou seja,

constante, como mostrado na Figura 2.9.

36

Tabela 2.3 – Coeficientes de variação típicos de solos.

Características do Solo Cov(%) Referência

Densidade 3-7 Harr (1987), Kulhawy (1992)

Ângulo de Atrito Efetivo (Ø’)

(Areias)

2-13 Harr (1987), Kulhawy (1992), Duncan (2000)

5-15 Lumb (1974), Hoeg e Murarka (1974), Singh

(1971).

Ângulo de Atrito (argilas) 12-56 Lumb (1974), Singh (1971)

Resistência não Drenada (Su)

13-40

Harr (1987), Kulhawy (1992), Lacasse e

Nadim (1996)

20-50 Lumb (1974), ), Singh (1971)

Resistência não drenada (Su),

Ensaio de palheta.

10-20 Kulhawy (1992)

10-40 Phoon e Kulhawy (1999a)

N de SPT 15-45 Harr (1987), Kulhawy (1992)

10-70 Phoon e Kulhawy (1999a)

Coeficiente de adensamento 33-68 Duncan (2000)

Pressão de Pré adensamento

(σ’a) 10-35

Harr (1984), Duncan (2000), Lacasse e

Nadim (1996)

Limite de Liquidez 2-48 Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),

Mitchell (1993).

Limite de Plasticidade 9-29 Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),

Mitchell (1993).

Índice de Plasticidade 7-79 Lumb (1974), Singh (1971), Kuhn (1971),

A Figura 2.9 mostra uma variância total de 45 bpf2 considerando tendência

nula com a profundidade. Quando é considerada uma tendência linear, obtida por

métodos de regressão, a variância residual encontrada é de 11bpf2. Isto representa

só 25% da variância total, mostrando claramente que a consideração da tendência

diminui em 75% a variância da variável NSPT.

37

Figura 2.9 – Efeito da não remoção da tendência no cálculo da variância ou Cov, em

dados de N do SPT em areias, Baecher e Christian (2003).

Todos os métodos descritos neste capítulo não consideram a existência de

uma tendência para o cálculo da variância (ou desvio padrão ou covariância) pelo

que ferramentas adicionais devem ser desenvolvidas para a melhor quantificação

da variância. Estas ferramentas estão descritas no Capítulo 3.

Valor de N (SPT)

Pro

fund

idad

e (m

)

Linha de Tendência

Variância total = 45bpf2

Variância residual = 11bpf2

Blows per foot = bpf

38

3 INCERTEZAS E VARIABILIDADE ESPACIAL DAS PROPRIEDADES DOS SOLOS

3.1. Introdução

Na geotecnia, existe uma incerteza inerente ao cálculo das propriedades

médias dos solos, devido ao fato de que a quantidade de ensaios disponíveis para

poder quantificar estas propriedades é sempre limitada, tanto no campo como no

laboratório.

Incertezas são devidas também às conseqüências da perturbação do solo nos

parâmetros de resistência, devido à instalação de instrumentação ou à extração de

amostras. A mais importante fonte de incerteza são as condições geológicas, as

quais estão relacionadas à variabilidade espacial das propriedades do solo.

A Figura 3.1 apresenta um perfil típico de um depósito glacial onde se pode

notar a grande variabilidade espacial das características do solo, em especial a

permeabilidade.

Na realidade as características dos solos apresentam uma estruturação

espacial. As características podem ser similares em pontos próximos, mas podem

modificar-se significativamente para pontos mais afastados. Existe, portanto, uma

distância de autocorrelação que define a distância até onde as propriedades do

solo mostram forte correlação.

Deve-se deixar claro que em geotecnia é mais importante se considerar a

variação espacial de uma propriedade de trecho a outro, não importando a

variação espacial de um ponto a outro.

39

Figura 3.1 – Perfil da permeabilidade do solo de um depósito glacial, Terzaghi, Peck e

Mesri (1996).

A seguir apresentam-se as principais fontes de incerteza. Cada uma delas é

quantificada pela variância do parâmetro em torno de seu valor médio, e a soma

de todas as incertezas é a variância total do parâmetro, a ser utilizada na análise

probabilística.

3.2. Fontes de Incerteza

Vanmarcke (1977a) propõe que as fontes de incerteza na caracterização de

estruturas de solo sejam divididas em três fontes. A primeira é devido à natural

heterogeneidade ou variabilidade dos solos in-situ. A segunda diz respeito à

limitação das informações disponíveis para a caracterização do solo. A terceira

fonte de incerteza deve-se aos erros nas medições das propriedades dos solos.

40

Lacasse e Nadim (1996) dividiram as incertezas geotécnicas em dois

grupos: inerente (ou natural) e devido à carência de conhecimento.

Morgenstern (1995) propõe separar a incerteza geotécnica em três distintas

categorias: incerteza nos parâmetros, incerteza nos modelos e incerteza humana.

Neste capítulo serão descritas brevemente as categorias propostas por

Morgenstern.

3.2.1. Incerteza nos Parâmetros

Baecher (1987) atribui a incerteza dos parâmetros do solo a duas fontes:

dispersão dos dados e erro sistemáticos. A dispersão dos dados é referida à

dispersão ao redor da média, e pode ser subdividida em variabilidade espacial e

erros aleatórios. Erros sistemáticos são referidos ao desvio na tendência medida,

em relação à tendência verdadeira (não conhecida). Os erros sistemáticos por sua

vez, se subdividem em erro estatístico e desvio (“bias”) nas medidas. A Figura 3.2

ilustra estas definições.

Figura 3.2 – Fontes de incerteza nos parâmetros, El-Ramly (2001).

41

3.2.1.1. Dispersão dos Dados: Variabilidade Espacial

A variabilidade espacial representa as variações inerentes que as

propriedades do solo apresentam em regiões distintas, mesmo em depósitos

homogêneos.

Um dado parâmetro do solo mantém-se constante ou com pouca variação

em posições adjacentes (numa distância r). Porém, com o incremento da distância

(r), a variação deste parâmetro pode ser significativa. Assim a variabilidade

espacial não é um processo aleatório, pois é controlado por alguma forma de

correlação, relacionando os parâmetros do solo com a posição no espaço (EL-

Ramly, 2001).

Os métodos usuais de avaliação probabilística da estabilidade de taludes não

consideram este aspecto da variação da variabilidade espacial das propriedades do

solo em uma distância r. Isto é relevante devido ao fato que a não consideração

deste aspecto leva à super-estimativa da probabilidade de ruptura.

Lacasse e Nadim (1996) consideram que a variabilidade espacial dos solos

pode ser causada por variações na composição mineralógica, história de tensões,

processos físicos e mecânicos em sua decomposição e condições ambientais

durante sua deposição ou formação.

3.2.1.2. Dispersão dos Dados: Erros Aleatórios

Os erros aleatórios (“Random Testing Errors”) são originados durante as

medições feitas no campo ou no laboratório, devido a erros humanos ou

deficiências no aparelho onde se determinou a propriedade do solo. Estes erros

mudam de lugar onde foram determinadas as propriedades, e podem dar dados

acima ou abaixo da média. Este tipo de erro pode ser minimizado assegurando que

os procedimentos utilizados são corretos e de acordo com as normas

internacionais, como ASTM, ABNT, etc.

42

Uma forma de determinar estes tipos de erro é fazendo uma série de ensaios

com o mesmo equipamento, mesmo operador e mesma amostra. Na realidade, isto

não é possível fazer na prática quando os ensaios são destrutivos. Limites de

Atterberg (Limite de Liquidez e Limite de Plasticidade) são exemplos de ensaios

não destrutivos cuja repetição permite determinar este tipo de erro. Erros

aleatórios não constituem uma variação real das propriedades do solo e devem ser

eliminados da análise.

3.2.1.3. Erros Sistemáticos: Erros Estatísticos

O cálculo do valor médio é função da quantidade de dados disponíveis para

a análise. Quanto maior a quantidade de dados, menor é a incerteza no cálculo da

média, mas como se cita na prática diária da engenharia, o cálculo do valor médio

dos dados é sempre baseado em pequena quantidade de dados, que é somente uma

estimativa do valor médio da população.

Este problema geralmente origina-se do fato de que os programas de

investigação são sempre limitados e controlados pelo orçamento.

Resumindo, o erro estatístico é a incerteza na estimação da média, devido a

uma quantidade limitada de dados, onde a verdadeira média representante da

população pode ser outra (Figura 3.2).

3.2.1.4. Erros Sistemáticos: Desvio (“bias”) nas Medidas

O desvio (“bias”) nas medidas é relacionado ao fato de que as medidas do

valor de um parâmetro podem ser superestimadas ou subestimadas nos ensaios de

laboratório ou de campo, devido a amolgamento do solo, uso inadequado de um

equipamento ou modelos (correlações) para interpretar os dados.

43

Os modelos de desvio (“bias”) de um parâmetro são em geral estimados

empiricamente, comparando-se os valores medidos com previsões do parâmetro,

em casos reais de obras geotécnicas, como por exemplo, uma ruptura por

deslizamento.

Um dos exemplos mais clássicos e conhecidos de desvios (“bias”) nas

medidas é o fator de correção (μ) proposta por Bjerrum (1972), ilustrada na

(Figura 3.3). Ele observou que a resistência não drenada obtida em ensaios de

palheta é superestimada em argilas altamente plásticas, sendo necessária sua

correção pelo fator.

A determinação do parâmetro de correção foi realizada comparando os

valores de Su medidos com a palheta, com os resultados de Su em retro análises de

rupturas.

Figura 3.3 – Fator de correção da resistência não drenada Su, Bjerrum (1972).

Índice de Plasticidade, IP (%)

.campo palhetau us sμ=

44

3.2.2. Incerteza nos Modelos

Um dos problemas do engenheiro é definir o melhor modelo para

representar as condições reais, em uma determinada situação. Geralmente estes

modelos apresentam simplificações e aproximações, e podem só capturar algumas

das características da realidade. Assim, é preciso o julgamento do engenheiro para

poder tomar a decisão de qual modelo deve ser utilizado.

A incerteza nos modelos é uma das maiores fontes de incerteza em

engenharia geotécnica (Morgenstern, 1995; Whitman, 1996).

Em análises de probabilidade e confiabilidade, em especial no caso de

estabilidade de taludes, a incerteza no modelo se relaciona com a distribuição de

densidade de probabilidade a ser utilizada (Normal ou Lognormal), para melhor

representar as variáveis aleatórias.

3.2.3. Incerteza Humana

A incerteza humana é devido à carência ou falta de conhecimento, ou à

comunicação inapropriada entre as pessoas responsáveis pelo projeto. Este tipo de

incerteza é freqüentemente aleatório e imprevisível.

De todas estas fontes de incertezas, as que podem ser quantificadas são as

incertezas nos parâmetros. As incertezas no modelo e as incertezas humanas são

de difícil quantificação e são geralmente desprezadas na prática.

45

3.3. Variabilidade Espacial dos Parâmetros dos Solos

As propriedades de todos os solos variam de um lugar a outro ainda se tenha

um depósito homogêneo. Como mencionado anteriormente, a variabilidade é

atribuída a variações mineralógicas, geológicas, história de tensões, representando

a maior fonte de incerteza em uma análise.

Na realidade, as propriedades dos solos não variam aleatoriamente no

espaço. As variações são graduais e seguem uma conduta que pode ser

quantificada usando estruturas de correlações espaciais, onde as propriedades dos

solos são tratadas como variáveis aleatórias (Elkated et al, 2003).

As propriedades dos solos têm uma forte correlação em locais adjacentes,

sendo medido pela distância de autocorrelação ou distância em que as

propriedades mostram forte dependência. Porém, quando a distância é

incrementada esta correlação diminui até desaparecer. A distância de correlação é

geralmente maior na direção horizontal do que na vertical, devido principalmente

aos processos de formação dos solos.

El-Ramly (2001), através do uso do software geoestatístico GSLIB mostrou

a distribuição de dois sistemas de dados artificiais numa superfície, que têm

semelhantes histogramas, médias e desvio padrão (Figura 3.4). Pode-se observar

que o gráfico superior (3.4.a) mostra uma errática distribuição com pequenas

distâncias de correlação, enquanto que o gráfico inferior (3.4.b) mostra uma alta

continuidade espacial, com maiores distâncias de autocorrelação.

O uso apenas da média e do desvio padrão (Capítulo 2) não é suficiente para

quantificar a estrutura da variabilidade espacial, sendo necessárias ferramentas

adicionais.

Uma grande distância de autocorrelação indica um material uniforme ou

homogêneo, o qual pode ser caracterizado por alguns ensaios separados. Por outro

lado, uma pequena distância de autocorrelação implica um material cujas

46

propriedades mudam rapidamente sobre pequenas distâncias (Christian et al 1992,

1994).

Baecher e Christian (2003) mostraram as medidas de propriedades

executadas num dado comprimento (Figura 3.5) em dois diferentes tipos de solos,

que têm uma mesma distribuição normal e valores iguais de média e desvio

padrão. Pode-se notar que uma modelagem dos parâmetros só com a média e o

desvio padrão não permite quantificar adequadamente as propriedades dos solos

num ponto de interesse, requerendo, portanto, ferramentas adicionais.

Figura 3.4 – Distribuição espacial em dois conjuntos de dados com histogramas

semelhantes, El-Ramly (2001).

Figura 3.5 – Variação espacial das propriedades em dois solos, modificado de Baecher e

Christian (2003)

( )Parâmetro ξ

( )Parâmetro ξ

Direção X

Direção X

Freq

üênc

ia

Dire

ção

Y

Dire

ção

Y

Freq

üênc

ia

( )Escala do Parâmetro ξ

( )Escala do Parâmetro ξ

Número de dados: 2500 E(ξ )= 2,58

σ(ξ )= 3,99

Cov(ξ )= 1,55 Maximo= 30,00 Mínimo= 0,00

Número de dados: 2500 E(ξ )= 2,48

σ(ξ )= 4,85

Cov(ξ )= 1,96 Maximo= 30,00 Mínimo= 0,00

Solo I Solo II

3.4a

3.4b

47

3.3.1. Modelo Simplificado para a Quantificação da Variabilidade Espacial

Na engenharia, é preciso que a quantificação da variabilidade espacial seja

prática para que a maioria dos engenheiros possa usar esta ferramenta na análise

probabilística. Pioneiramente Vanmarcke (1977a) sugere um modelo simplificado,

onde uma quantidade xi medida numa posição i pode ser decomposta em duas

parcelas: a componente da tendência ti e a componente residual εi.

Baecher (1987), DeGroot e Baecher (1993), DeGroot (1996), Baecher e

Christian (2003) sugerem também o uso de este modelo como método de

aproximação. A Figura 3.6 mostra o modelo descrito pela seguinte equação:

i i ix t ε= + (3.1)

Onde i ei viε ε ε= + . A componente residual (εi), por sua vez pode ser

decomposta em duas parcelas: os erros aleatórios eiε e os erros provenientes da

variabilidade inerente das propriedades dos solos viε .

Figura 3.6 – Modelo de variabilidade espacial, aplicados a medidas de pressão de um

dilatômetro, DeGroot (1996).

A quantificação da tendência é feita por métodos de regressão como os

mínimos quadrados, sendo uma medida determinística. A quantificação da

xi

ti

zi

48

componente residual é realizada estatisticamente, sendo assumido um valor médio

igual a zero e um valor constante de desvio padrão, independente da posição.

Só serão quantificadas as incertezas provenientes dos parâmetros, já que é

mais fácil de ser quantificada, onde a parcela dos erros aleatórios (“Random

Testing Error”) também será desprezada e é recomendável seguir procedimentos

adequados para poder diminuir a incerteza gerada. A parcela de incerteza dos

erros sistemáticos é quantificada na tendência ou valor médio.

A Figura 3.6 mostra que a pressão vai aumentando com a profundidade,

pelo que a tendência é obtida a partir de análise de regressão. Porém este não

sempre é o caso, como mostra a Figura 3.7. Pode-se observar que não existe uma

tendência com a profundidade. Existe apenas um valor médio sendo que a

equação 3.1 pode ser reescrita como:

( )i ix E x ε= + (3.2)

Onde E(x) é o valor médio ou valor esperado, definido no capítulo 2.

Em resumo, só serão quantificadas as incertezas provenientes dos erros

sistemáticos e da variabilidade espacial inerente aos dados.

Figura 3.7 – Modelo de variabilidade espacial sem tendência.

xi= E(x) + εi

E(x)

49

As propriedades dos solos são em geral consideradas como variáveis

aleatórias, com um valor médio ou uma tendência e uma variância. A tendência ou

média é uma função da localização e é obtida deterministicamente. Na realidade, a

média ou tendência não é uma variável aleatória e deve ser eliminada da análise.

A variância é estimada englobando a dispersão inerente dos dados dos solos

ao redor da média ou tendência (componente residual), e é assumida como

constante em todas as localizações. Esta componente é uma variável aleatória

Em geral a variabilidade espacial dos parâmetros é representada pela

estrutura de correlação da componente residual e não pela tendência ou média. A

componente residual é modelada como uma variável aleatória com média nula e

uma variância ou desvio padrão constante.

A Figura 3.8 ilustra estes conceitos.

Figura 3.8 - Modelo de variabilidade do solo, Neter et al (1990).

Distância z

50

3.3.1.1. Estimação da Tendência

Geralmente as propriedades dos solos mostram alguma tendência nas

direções vertical ou horizontal, como está apresentado nas figuras 3.6 ou 3.7.

Esta tendência pode ser ajustada a uma função linear, polinomial ou

qualquer outro tipo de função. Quanto maior é a ordem do polinômio (quadrática,

cúbica), menor é a componente residual e a tendência é mais aproximada aos

dados (Figura 3.9). Segundo Baecher e Christian (2003), a ordem do polinômio

que representa a tendência deveria ser um número menor que a quantidade de

dados representados. A Figura 3.9 mostra uma função linear e quadrática de um

mesmo sistema de dados. Pode-se observar a menor componente residual da

função quadrática.

Figura 3.9 - Funções usuais de uma tendência, Baecher e Christian (2003).

Segundo Baecher e Christian (2003), a seleção de uma tendência linear ou

polinomial é uma decisão que corresponde à quantidade de dados a serem

modelados como uma função determinística, e à quantidade de dados a serem

tratados estatisticamente.

A função recomendável é aquela que tem menos coeficientes, como a linear.

As demais são mais complicadas para uso na prática, devido ao limitado sistema

de dados para a determinação de seus coeficientes.

M

edid

a

M

edid

a

Localização Localização

Função Linear Função Quadrática

51

Segundo El-Ramly (2001), quanto maior for o número de parâmetros na

função de tendência, maior será a incerteza associada na determinação destes

parâmetros.

Usando a função linear e métodos de regressão linear, tais como os mínimos

quadrados, a tendência é obtida através de:

0i l it a a z= + (3.3)

A equação 3.1 pode ser reescrita como:

0i l i ix a a z ε= + + (3.4)

Onde ao e al são coeficientes de regressão que representam o intercepto e a

inclinação da linha, respectivamente, e zi é uma variável independente

(profundidade).

( )( )( ) 02

( ) ( )( ) ( )

( )i i

l li

z E z x E xa a E x a E z

z E z

− −= = −

−∑

∑K K (3.5)

No caso que o modelo linear tenha um intercepto na origem, a quantidade a0

é igual a zero e a quantidade al pode ser reescrita como:

( )2

i il

i

z xa

z= ∑∑

(3.6)

Em qualquer dos casos, a variância de observações ao redor da tendência ou

média pode ser calculado como:

( )2

( )2

i ix tV x

n−

=−

∑ (3.7)

52

A equação 3.7 descreve a variação de x devido à inerente variabilidade

espacial (εi). A componente residual εi é assumida com média nula, e uma

variância constante, que pode ser determinada por esta mesma equação (El-Ramly

2001).

Uma equação similar à 3.7 foi proposta por Phoon e Kulhawy (1999a), com

a diferença que a componente residual εi é dividida por n-1, e não por n-2, como

mostrado na seguinte equação:

2

( )1iV x

nε

=−

∑ (3.8)

Segundo Christian, Ladd e Baecher (1992, 1994), a equação 3.7, para o caso

de médias (sem tendência, Figura 3.7) pode ser reescrita como:

( )2( )( )

1ix E x

V xn−

=−

∑ (3.9)

3.3.2. Correlação Espacial entre Componentes Residuais

A componente residual é a que muda de uma zona a outra. Uma vez que seja

quantificada a tendência ou média, a variabilidade espacial descreve a correlação

entre medidas de componentes residuais de solos no espaço. Uma das melhores

formas para quantificar esta variabilidade espacial é através de autocovariância e

semivariograma.

3.3.2.1. Autocovariância

A autocovariância ( )xC r mede o grau de similitude ou correlação entre duas

componentes residuais do mesmo tipo, separados por uma distância r, podendo ser

expressa como:

( )( )( )x i i i r i rC r E x t x t+ += − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (3.10)

53

Nesta equação, xi e ti são valores medidos na posição i, enquanto xi+r e ti+r

são dados medidos numa posição i+r.

Em pequenas distâncias de separação, o material mostra forte correlação e a

função de autocovariância é alta. À medida que a distância de separação entre os

dois pontos é incrementada, a função de autocovariância decai até zero, não

mostrando nenhuma correlação entre os dados, ou mostrando dados

independentes.

A relação entre ( )xC r e r é referida como função de autocovariância, que

descreve a continuidade espacial das variáveis com respeito à distância.

A função de autocovariância pode ser definida como:

( )1

1( ) ( ).1

n

x i i i r i ri

C r x t x tn + +

=

= − −− ∑ (3.11)

Na equação 3.11, para r=0, os residuais são os mesmos e a autocovariância

se reduz à variância dos dados V(x). De acordo com o modelo proposto na

equação 3.1, a componente residual é decomposta em erros aleatórios eiε e na

inerente variabilidade espacial viε , pelo que a autocovariância da componente

residual pode ser reescrita como a soma das duas autocovariâncias.

( ) ( ) ( )x ei viC r C r C r= + (3.13)

Onde Cei(r) é referido à função de autocovariância resultado dos erros

aleatórios e Cvi(r) é referido à função de autocovariância da variabilidade espacial

inerente dos dados. Quando Cei(r) e Cvi(r) são calculados para r=0, obtém-se a

variância dos erros aleatórios Vei(x), e a variância da inerente variabilidade

espacial Vvi(x). Estes conceitos são ilustrados na figura 3.10. Pode-se notar que

Cei(r) é zero para qualquer valor de r, diferente de zero.

54

Figura 3.10 – Componentes da função de autocovariância, DeGroot (1996).

Segundo DeGroot (1993), a função de autocovariância poderia ser expressa

através de expressões numéricas. Dentro de estas expressões numéricas, existem

várias funções que descrevem o decaimento da função de autocovariância com

respeito ao incremento da distância r. As mais usadas em engenharia geotécnica

são as funções exponencial, esférica e exponencial quadrática Lacasse e Nadim

(1996).

0( ) ( )r

rxC r V x e Exponencial

−

= → (3.14)

2

0( ) ( )r

rxC r V x e Exponencial Quadrado

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= → − (3.15)

3

30 0

3( ) ( ) 12 2x

r rC r V x Esfericar r

⎡ ⎤= − + →⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.16)

De todas estas funções, a função exponencial ou gaussiana é a mais usada,

de acordo com Lacasse e Nadim (1996), Vanmarcke (1977a), Christian et al

(1994). Da função exponencial (Figura 3.10), pode-se obter a distância de

autocorrelação r0, que é a distância em que Cx(r) decai até 1e

(ou seja, 37%) da

variância da inerente variabilidade espacial Vvi(x).

55

3.3.2.2. Semivariograma

O semivariograma, junto com a autocovariância, define o grau de correlação

ou similitude entre dados separados por uma distância r. Enquanto a

autocovariância é definida como o valor esperado de um produto de duas

observações, o semivariograma é usualmente definido como o valor esperado do

quadrado das diferenças entre duas observações, conforme indicado na equação

3.17 e ilustrado na Figura 3.11.

21( ) ( ) ( )2x i jr E z x z xγ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (3.17)

Segundo Baecher (1987) o semivariograma requer menos hipóteses ou

restrições estatísticas em estacionaridade que a autocovariância. Porém uso do

semivariograma é mais difícil de ser usado em aplicações de engenharia, e,

portanto a autocovariância deve ser preferida.

Segundo El-Ramly (2001), o uso do semivariograma no estudo da

variabilidade espacial só deve ser usado em casos onde os dados mostram só uma

média ou onde a tendência pode ser eliminada das observações.

Mais informações sobre o uso do semivariograma para aplicação nas

propriedades de solos podem ser encontradas em Elkateb et al (2003).

Figura 3.11 – Semivariograma de dados de palheta, Baecher e Christian (2003).

56

3.4. Estimativa dos Erros Sistemáticos

Estes erros são divididos em erros estatísticos e desvio (“bias”) nas

medidas.

3.4.1. Erros Estatísticos na Tendência ou Média

Como mencionado na seção 3.2.1.3. este erro é devido à limitação do

número de observações (Ensaios de laboratório ou de campo), para a

determinação da verdadeira tendência ou média das propriedades dos solos.

A tendência ou média é considerada como uma só variável (média), não

mostrando uma variância. Isto é correto somente quando o número de observações

(n) é maior. Quando é limitado, a tendência ou média obtida talvez não seja

representativa de toda a população, sendo preciso considerar a variância devido à

pequena quantidade de observações.

A tendência, segundo a equação 3.1, mostra dois componentes: a0 e al. A

variância da tendência é devido à variância destes dois componentes, sendo

definidos como:

( ) ( )

2

02 2( ) 1 ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )li i

V x E zV a V a V xnz E z z E z

⎧ ⎫⎪ ⎪= = +⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑

K K (3.18)

Quando a tendência passa pela origem, a0 é zero, e a outra parcela pode ser

reescrita como:

2

( )( )li

V xV az

=∑

(3.19)

Quando os parâmetros não mostram uma tendência, os dados podem ser

representados por uma média como visto na Figura 3.7. O modelo pode ser

representado segundo a equação 3.2, e a variância da média é obtida como:

57

[ ] 2

1( ) ( )n n

iji j

V E x C rn

= ∑∑ (3.20)

Onde Cij(r) é a função autocovariância, para uma distância r entre duas

posições i e j (Baecher, 1987).

Baecher (1987) sugere que a equação 3.20 pode ser simplificada segundo a

equação 3.21, e só deve ser utilizada quando as observações estão bastante

espaçadas. Esta condição se aplica muito bem às verdadeiras condições

encontradas no campo ou no laboratório.

[ ] ( )( ) V xV E xn

= (3.21)

Nesta equação, n representa o número de observações.

3.4.2. Desvios (“bias”) nas Medidas

Os desvios nas medidas são calculados através de retro análises, onde são

comparados os valores medidos em ensaios de campo e laboratório contra aqueles

obtidos de deslizamentos ocorridos.

El-Ramly (2001) sugere a modificação das equações 3.1 ou 3.2 para a

consideração do desvio (B) no valor médio. Segundo ele, poderiam ser utilizadas

3 combinações:

i i vi eix B t ε ε= + + (3.22)

i i vi eix B t ε ε+ = + + (3.23)

( )i i vi eix B t ε ε= + + (3.24)

58

3.5. Uso da Média Espacial na Quantificação da Variabilidade Espacial dos Solos

Uma das maiores contribuições para a quantificação da variabilidade

espacial das propriedades dos solos foi realizada por Vanmarcke (1977a, 1977b,

1983). Segundo ele uma das melhores formas de lidar com a variabilidade

espacial dentro de uma massa de solo “estatisticamente homogênea”, é mediante o

uso de médias espaciais (“Spatial Averages”) de comprimentos, superfícies ou

volumes. Diz-se que um solo é estatisticamente homogêneo em relação a um

parâmetro, se seus valores médios e dispersão não se alteram ao longo de uma

dada direção, e se a correlação entre os desvios em duas diferentes localizações é

uma função só da distância de separação e não de sua posição absoluta.

Tipicamente, os ensaios no laboratório e no campo são realizados com

amostras de solo de volumes pequenos comparados com o volume total de solo a

representar. Assim, os valores obtidos podem ser considerados pontuais, sendo a

variância e o desvio padrão obtidos do conjunto de todos os dados pontuais da

área de estudo.

Em engenharia geotécnica é mais importante a representação das

propriedades dos solos sobre comprimentos, superfícies ou volumes maiores, que

possam representar melhor suas características. O funcionamento de uma estrutura

é mais influenciado por suas propriedades médias de todo o comprimento,

superfície ou volumem, e não pelas características pontuais.

No caso especial de estabilidade de taludes, a resistência do solo é

controlada pela resistência média de toda a massa de solo e não pela resistência

média do solo numa particular localização dentro da superfície de deslizamento,

exceto nos casos de ruptura progressiva.

Com o aumento do comprimento ou superfície ou volume sobre os quais são

tiradas as médias espaciais, as flutuações dos parâmetros tendem a se compensar,

causando uma redução do desvio padrão das médias espaciais com respeito ao

desvio padrão dos dados de campo (os quais são considerados pontuais). Os

59

valores médios, porém, permanecem constantes. A figura 3.12 ilustra este

conceito, em comprimentos zi:

Figura 3.12 – Redução do desvio padrão produto de incrementos de zi, modificado de

Vanmarcke (1983).

Em resumo, a consideração de todos os ensaios de campo e laboratório que

representam a variância ou desvio padrão total da zona em estudo e que são iguais

em qualquer ponto da zona em estudo, exagera o desvio padrão que é encontrado

em comprimentos, superfícies ou volumes médios.

Do modelo proposto no item 3.3.1 para a quantificação da variabilidade

espacial é preciso adicionar o parâmetro (δ ), denominado escala de flutuações

(Figura 3.13). Este define a distância até onde as propriedades do solo mostram

forte correlação ou dependência, e pode estar acima ou por abaixo da média.

A escala de flutuações (δ ) e a distância de autocorrelação r0 têm o mesmo

significado, mas diferem em quantidade.

σ2<σ1<σ

z1<z2

σ1>σ2

60

Figura 3.13 - Variabilidade espacial inerente do solo, Phoon e Kulhawy (1999a).

3.5.1. Fator de Redução na Variância

O fator de redução na variância (Γ ) mede o decaimento da variância total

da zona de análise (ou pontual) de volume de solo (V(x)), sobre um volume de

solo médio (VΔV(x)) e é definido como:

( )( )

VV

V xV xΔ

ΔΓ = (3.25)

Para análises bidimensionais, como em estabilidades de taludes, a variância

média de volume de solo (VΔV(x)) pode ser mudada por VLV(x) que é a variância

média de um comprimento, e pode ser expresso em função dos desvios padrões

como:

( )z

zσσΔ

ΔΓ = (3.26)

61

A equação 3.26 descreve o decaimento do desvio padrão num comprimento,

produto das médias espaciais, como mostrado na Figura 3.14. Nesta figura a

média do intervalo Δz é igual à média de todo o comprimento (z). Porém, o desvio

padrão σz é menor que o desvio padrão de todo o comprimento σ, e diminui à

medida que a distância Δz se incrementa.

Quando o comprimento Δz é zero, o valor σΔz é igual a ( )σ e o fator de

redução torna-se igual a 1,0. A equação 3.25 pode ser generalizada a superfícies

ou volumes de solos.

Figura 3.14 – Definição de fator de redução da variância, Vanmarcke (1983).

Vanmarcke (1977a) e Baecher (1987) sugerem que no caso de taludes o

fator de redução da variância pode ser aproximado como a proporção entre a

distância de autocorrelação r0 e o comprimento de deslizamento unidimensional

(L) na camada do solo, descrita pela equação 3.27.

02rfL

= (3.27)

Vários autores usaram a equação 3.27 em análises de confiabilidade e

probabilidade de ruptura de taludes pelos métodos descritos no capítulo 4

(Vanmarcke 1977b, Lacasse e Nadim 1996, Christian et al 1994), com o intento

de avaliar a redução da variância da variabilidade espacial das propriedades dos

solos, resultante das médias espaciais.

62

Segundo Vanmarcke (1977a) uma maneira útil de interpretar a equação 3.27

é considerar 2ro como a distância elementar (mínima) que pode ser usada para

medir L.

Quando a equação 3.26 é elevada ao quadrado, resulta numa função de

variância 2( )zΔΓ que descreve o decaimento da variância das médias espaciais com

o aumento do intervalo de medição Δz (Figura 3.15).

A função da variância 2( )zΔΓ está relacionada à função de correlação ρ(r),

onde r é a separação de dados de solos:

2( ) 0

2 1 ( )z

zr r dr

z zρ

Δ

Δ⎛ ⎞Γ = −⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠∫ (3.28)

As funções de correlação comumente usadas na prática são: Exponencial,

Exponencial Quadrática, como descritas na seção 3.3.2.1 e definidas na Tabela

3.1.

Tabela 3.1 – Funções de correlação e variância.

Função de correlação Função de variância

Exponencial

( ) 2r

ar e a δρ−

= → =

22( ) 2 1 z

az

a z ez a

−Δ

Δ

Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Exponencial Quadrática

(Gaussiana)

( )2( )r

br e b δρπ

−= → =

( )22

2 1z

bz

b z zE ez b b

πΔ−

Δ

⎡ Δ Δ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

63

Figura 3.15 – Função de variância versus a média de intervalos Δz, normalizados com

respeito à escala de flutuações, Vanmarcke (1983).

Segundo Vanmarcke (1983), a função de variância pode ser aproximada por

uma única função (Função 4, Figura 3.15), indicando nenhuma redução na

variância ( )

2 1zΔ

Γ = , devido a médias locais Δz, quando a escala de flutuações ( )δ

é menor ou igual a Δz, indicando uma correlação perfeita ( ) 1rρ = . Segundo o

autor lidar com médias locais (Δz) menores que a distância de flutuações ( )δ é

pouco prático e desnecessário, devido ao fato que, nas aplicações práticas as

distância de observação são maiores.

Em resumo o modelo de Vanmarcke (1977a) é descrito como:

( )

21

z

z

zz

δδ δΔ

→ Δ ≤⎧⎪Γ = ⎨

→ Δ ≥⎪⎩Δ

(3.29)

64

Vanmarcke (1983) propõe uma expressão para obter o coeficiente de

correlação entre dois pares de médias locais 1 2( , )z zΔ Δ , separados uma distância

0( )z . O esquema, e é definido pela equação 3.30 e ilustrado na Figura 3.16.

( )

2 2 2 20 0 3 3 4 4 5 5

1 2 0.51 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )( , )2 ( ) ( )

z z z z z z z zz zz z z z

ρ Γ − Γ + Γ − ΓΔ Δ =

Δ Δ Γ Δ Γ Δ (3.30)

Figura 3.16 – Coeficiente de correlação entre dois pares de médias locais 1 2( , )z zΔ Δ ,

modificado de Vanmarcke (1983).

Estes últimos conceitos foram à base para o desenvolvimento do método de

probabilidade de ruptura de taludes, considerando a variabilidade espacial dos

parâmetros dos solos, e o uso da técnica de Monte Carlo. Este método, proposto

por El-Ramly (2001), está explicado no capítulo 4.

65

3.5.2. Distância de Autocorrelação (r0)

A distância de autocorrelação é à distância até onde as propriedades dos

solos mostram forte correlação ou persistência. È difícil de ser obtida devido à

limitação do número de observações feitas no campo ou no laboratório. Assim é

preciso fazer aproximações com o intento de poder quantificar a variabilidade

espacial dos parâmetros de incerteza.

As distâncias de autocorrelação não são iguais nas direções horizontal e

vertical, sendo na realidade anisotrópicas. Como foi dito a distância horizontal é

sempre maior que a vertical, devido a processos geológicos. Na prática, é comum

considerar distâncias de autocorrelação horizontais e verticais.

Journel e Huijbregts (1978) representam numa elipse (Figura 3.17) as

distâncias de autocorrelação verticais e horizontais 0 0( , )v hr r .

Figura 3.17 – Distância de autocorrelação horizontal ou vertical, El-Ramly (2001).

Segundo El-Ramly (2001), é preciso determinar que distância de

autocorrelação é mais importante na análise. No caso de estruturas de retenção,

onde a pressão de terra está controlada pela variabilidade do solo com a

profundidade (z), o uso da distância de autocorrelação vertical é muito mais

importante que a horizontal. No caso em que a distância de autocorrelação

horizontal e vertical for importantes na análise, a variabilidade das propriedades

dos solos pode ser obtida aproximadamente por uma estrutura espacial isotrópica

66

mediante uma distância de autocorrelação isotrópica equivalente (r0-e), definida

como:

0 0 0e h vr r r− = (3.31)

El-Ramly (2001) resumiu as principais distâncias de autocorrelação

encontradas na literatura na Tabela 3.3. Ele sugere o uso destes dados como uma

boa aproximação para a quantificação da variabilidade espacial dos solos, mas

também sugere análises de sensibilidade das distâncias de autocorrelação. Onde

estas distâncias de autocorrelação influírem muito nas análises, é recomendável a

determinação de distâncias de autocorrelações locais, mediante um programa de

exploração da zona considerada.

A escala de flutuações e a distância de autocorrelações estão relacionadas

mediante a função de correlação descrita na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 – Relação entre distância de autocorrelação e escala de flutuações.

Função de Correlação Escala de Flutuações δ

Exponencial 2r0

Gaussiana √πr0

A distância de autocorrelação r0 é definida como a distância em que a

função de autocorrelação ou a função de autocovariância, descritas no item

3.3.2.1, diminui 37% da variância da data (V(x)) em qualquer destas duas funções.

Segundo Christian et al (1992), a função de autocovariância vertical para

determinar a distância de autocorrelação vertical ( 0vr ), deve ser quantificada

utilizando a informação de uma mesma sonda. Para obter a função de

autocovariância horizontal, são usados dados de diferentes sondas a uma mesma

cota de terreno, para se obter a distância de autocorrelação horizontal ( 0hr ).

67

Tabela 3.3 – Distâncias de autocorrelações ro, El-Ramly (2001).

Ensaio de Medição

Tipo de Solo r0v

(m) r0h

(m) Fonte

Palheta

Argila orgânica

mole 1,21 – 3,11 - Asaoka e A-Grivas, 1982

Argila Sensitiva 3,0 30,0 Soulie et al, 1990

Argila muito

mole 1,05 22,10 Bergado et al, 1994

Argila Sensitiva 2,0 - Chiasson et al, 1995

Compressão

não confinada

Argila de

Chicago 0,4 - Wu, 1974

Argila Mole 2,0 40,0 Honjo e Kuroda, 1991

Laboratório

Triaxial 3,57 - Keaveny et al, 1989

Cisalhamento

direto 1,39 - Keaveny et al. 1989

Piezocone

(CPT)

Argila do Mar - 30,0 Tang, 1979

Areia limpa 1,56 - Kulatilake et al, 1988

Solo de Mar - 13,89 Keaveny et al, 1989

Solo de Mar - 37,51 Keaveny et al, 1989

Argila siltosa 1,0 - Lacasse e Lamballerie,

1995

Argila Sensitiva 2,0 - Chiasson et al,1995

Argila Laminada - 9,6 Lacasse e Nadim, 1996

Arena Densa - 37,5 Lacasse e Nadim, 1996

Dilatômetro Argila

estratificada 1,03 - DeGroot, 1996

Segundo El-Ramly (2001), do observado na Tabela 3.3 em resumo a

distância de autocorrelação vertical varia entre 1-3m, e as distâncias de

autocorrelação horizontal variam entre 20-40m. E segundo o sumario feito na

Tabela 3.4, a escala de flutuações vertical em média estão num intervalo de 1-6m,

e a escala de flutuações horizontal estão entre 40-60m e em média 02rδ ≈ .

68

Segundo Vanmarcke (1977b) a escala de flutuações verticais pode ser até

5m e a escala de flutuações horizontais até 46m, segundo Phoon e Kulhawy

(1999a) a escala de flutuações verticais para diferentes propriedades de solos se

encontra entre 1 e 6, e a escala de flutuações horizontal entre 40 e 50m. Segundo

Giasi, Masi e Cherubini (2003) a escala de flutuações vertical, se encontra entre

0.5 a 2.0m e a escala de flutuações horizontais entre 30 e 60m.

Em geral, para quantificar melhor os intervalos de distância de

autocorrelação a serem considerados, é preciso o conhecimento geológico do solo.

Solos marinhos e solos lacustres tendem a apresentar estrutura homogênea, com

maiores distâncias de autocorrelação. Por outro lado, solos residuais e solos

fluviais têm estruturas mais erráticas e menores distâncias de autocorrelação

(Baecher e Christian 2003).

3.5.3. Escala de Flutuações

A escala de flutuações δ (Figura3.18) é definida como a distância em que a

propriedade do solo mostra forte correlação ou persistência e se pode encontrar

acima ou abaixo da média. A escala de flutuações e a distância de autocorrelação

têm o mesmo significado, mas diferem em magnitude.

Figura 3.18 – Definição de escala de flutuações.

Vanmarcke (1977a) define vários métodos práticos para poder determinar

esta escala de flutuações. O mais usual é 0.8v dδ ≈ , onde d e uma distância média

definida como:

69

7

1

17 i

id d

=

= ∑ (3.32)

A Figura 3.19 mostra a aplicação deste método:

Figura 3.19 – Determinação de escala de flutuações vertical, Phoon e Kulhawy (1999a).

A Tabela 3.4 mostra escalas de flutuações reportadas na literatura.

Tabela 3.4 – Valores de escala de flutuações reportadas na literatura.

Fonte Solo Direção Parâmetro δ (m)

Alonso

(1976)

Areia

Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 2,2

Vertical Razão de atrito

(ensaio de cone) 1,3

Argila Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 1,1

Silte

Argiloso

- Teor de umidade 12,7

- Fração argila 8,7

- Fração silte 6,5

- Peso específico 7,9

- Índice de vazios 10,5

- Limite de liquidez 8,7

Cascalho - Porosidade 14,7

70

Continuação da Tabela 3.4

Baecher et al.

(1987)

Areia Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 5,0

Argila Horizontal Peso específico seco 5,0

Areia - NSPT 20,0

Argila

plástica Vertical Peso específico seco 1,3

Areia Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 0,36

Argila Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 1,91

Silte

argiloso - Teor de umidade 0,16

Ladd (1983) Argila Vertical Resistência não

drenada 1,0

Vanmarcke

(1977a)

Argila Vertical Resistência de ponta

(ensaio de cone) 1,2

Areia

Vertical Teor de umidade 2,7

Vertical Índice de vazios 3,0

Vertical Índice de

compressibilidade

2.4

Horizontal 55,0

Phoon et al.

(1995)

Areia

Argila Vertical Piezocone

(Resistência à

penetração)

0,9

Areia

Argila Horizontal 47,9

Argila Vertical Palheta

3,8

Argila Horizontal 50,7

Argila Vertical Resistência ao não

Drenada (laboratório) 2,5

71

4 ANÁLISES DETERMINÍSTICA E PROBABILÍSTICA DA ESTABILIDADE DE TALUDES

4.1. Introdução

As análises tradicionais de estabilidade de taludes são baseadas no método

de equilíbrio limite obtendo-se um fator de segurança (FS). Geralmente o FS deve

ser igual ou maior que 1,5 para garantir a segurança. Os dados utilizados na

análise são geralmente os valores médios, mas nem sempre estes dados são os

mais representativos, devido às incertezas existentes, e principalmente às

diferentes condições de composição dos solos. É, portanto, preciso o bom

julgamento do engenheiro na determinação destes dados.

Como foi exposto nos Capítulos 2 e 3, os solos mostram uma incerteza

inerente em suas propriedades devido principalmente às condições geológicas.

Ferramentas adicionais como análise probabilística deveriam ser implementados,

pois permitem quantificar as incertezas dos parâmetros de análise.

Os parâmetros de entrada na análise probabilística são tratados como

variáveis aleatórias. Cada variável pode ter qualquer valor dentro de um intervalo

determinado, com uma probabilidade de ocorrência especificada. Segundo El-

Ramly (2001), uma análise probabilística é uma reflexão de nosso conhecimento

imperfeito.

Em geral a análise probabilística é baseada na obtenção do índice de

confiabilidade β , que permite quantificar a probabilidade de ruptura.

72

4.2. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes

As análises determinísticas de estabilidade de taludes, usadas comumente na

geotecnia, são baseadas em métodos de equilíbrio limite (Bishop, 1955; Spencer,

1967; Morgenstern-Price, 1965; Janbu, 1973). Estes métodos consideram as

melhores quantificações dos parâmetros de entrada (valores médios). O fator de

segurança (FS), obtido geralmente deve ser suficiente para garantir a segurança.

Este tipo de análise não leva em consideração as incertezas devido a

pequenas quantidades de amostras ou observações feitas para se definir o valor

médio. Desconsideram-se também os erros nos procedimentos de ensaios, como

descrito nos Capítulos 2 e 3.

Muitos autores discutiram o uso de análises de estabilidade determinísticas

já que sempre estão influenciadas pelo julgamento do engenheiro e não fornecem

nada além do valor de FS. Este valor não indica nada sobre o funcionamento do

talude ou os parâmetros com mais influência na estabilidade.

Lacasse e Nadim (1996) mostraram na Figura 4.1, que não sempre um fator

de segurança maior a 1,5, fornece um adequado parâmetro para quantificar a

segurança.

Segundo a Figura 4.1, um fator de segurança (FS) igual a 1,79 tem uma

probabilidade de ruptura de 5x10-3 enquanto que um fator de segurança (FS) igual

a 1,4 tem uma probabilidade de ruptura de 10-4. Este última análise mostra,

entretanto menos incerteza no cálculo do fator de segurança e é mais confiável

que a análise com FS de 1,79.

73

Figura 4.1 – Probabilidade de ruptura de estacas, Lacasse e Nadim (1996).

4.3. Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes

Este tipo de análise é baseado em alguns princípios dos métodos

determinísticos (equilíbrio limite), mas sua maior vantagem é que podem ser

quantificadas as incertezas inerentes. Como resultado a análise probabilística

fornece informação sobre os parâmetros que influenciam mais significativamente

o problema.

Duncan (2001) fez um resumo das principais vantagens de análise de

probabilidade aplicadas à geotecnia, segundo várias fontes (Tabela 4.1).

Em geral as análises de probabilidade de ruptura de taludes consistem

primeiro em definir os dados para obter uma função de probabilidade

representativa (Normal, Log Normal) de cada parâmetro que represente uma

incerteza na análise, ou aqueles que influíam muito no resultado final. Logo, as

distribuições de probabilidade dos parâmetros são integradas na análise de

estabilidade para estimar a distribuição de probabilidade do fator de segurança.

A Figura 4.2 mostra esquematicamente este conceito.

FATOR DE SEGURANÇA

FUN

ÇÃ

O D

E D

EN

SID

AD

E D

E

PRO

BA

BIL

IDA

DE

Elevada Incerteza

Baixa Incerteza

Probabilidade

de Ruptura

74

Figura 4.2 – Conceito de análise probabilísticas de estabilidade de taludes.

Tabela 4.1 – Importância da análise probabilística de estabilidade de taludes, Duncan

(2001).

Autor Benefícios da Análise de Probabilidade,

Confiabilidade

Christian e Baecher

Fornece uma estrutura para estabelecer

apropriados fatores de segurança e dirige melhor a

um entendimento da relativa importância das

incertezas.

Ladd e Da Re

- Fornece um método sistemático para avaliar

combinadas influências de incertezas dos

parâmetros que afetam o fator de segurança.

- Fornece um sistemático método de determinação

do grado de segurança, ao menos em términos

relativos.

Moriwaki e Barneich - Quantifica a contribuição de todas as incertezas

de cada parâmetro.

Koutsoftas - Fornece uma ferramenta útil para avaliar o risco

associado com recomendações de desenho.

75

4.3.1. Quantificação da Probabilidade de Ruptura

O termo probabilidade de ruptura não significa necessariamente que a

estrutura possa ter uma falha catastrófica. É geralmente mal compreendido por

pessoal não técnico ou não especialista no tema.

O corpo de engenheiros dos EUA (U.S. Army Corps of Engineers, 1995)

usa o termo de “probabilidade de uma performance insatisfatória (Pu)” no lugar de

“probabilidade de ruptura ou falha”. É definido como a probabilidade de um valor

da função de performance ou desempenho (fator de segurança) ultrapassar o limite

de estado. Em análise de estabilidade de taludes, o limite de estado é tipicamente

associado à FS=1,0.

Em geral a probabilidade de ruptura (Pr) pode ser obtida através do cálculo

do índice de confiabilidade ( )β . O índice de confiabilidade pode ser definido

como:

M

M

μβσ

= (4.1)

Onde M é à margem de segurança, Mμ é o valor médio, e Mσ é o desvio

padrão da margem de segurança.

A margem de segurança (M) geralmente é igual à diferença entre a

resistência disponível (R) e a carga ou tensão à qual o sistema é exposto (Q).

M R Q= − (4.2)

No caso em que R e Q sejam normalmente distribuídos, a margem de

segurança M também será normalmente distribuída e, na equação 4.1, o índice de

confiabilidade ( )β pode ser obtido como:

76

[ ] 1

FS

E FSβ

σ−

= (4.3)

Note que a equação 4.3 só é válida no caso em que o fator de segurança

pode ser considerado como normalmente distribuído.

No caso em que R e Q tenham distribuições log-normais, a margem de

segurança M também será log-normal. Na equação 4.1, o índice de confiabilidade

( )β pode ser obtido como:

[ ]ln

ln

FS

E FSβ

σ= (4.4)

Onde:

[ ] [ ]( )2lnln ln2

FSE FS E FS σ= − (4.5)

( )2ln ln 1FS FSCovσ = + (4.6)

Onde CovFS é o coeficiente de variação do fator de segurança, que pode ser

obtido como:

[ ]( ) FSCov FS

E FSσ

= (4.7)

A probabilidade de ruptura em qualquer caso pode ser obtida como:

( )( )P u β= Φ − (4.8)

Onde ( )βΦ − é obtido de funções de densidade de probabilidade normal

N(0,1), com média nula e uma desvio padrão de 1,0.

77

A Figura 4.3 mostra a probabilidade de ruptura contra o índice de confiabilidade.

Pode-se observar claramente que, para um índice de confiabilidade ( )β menor o

igual a 2, existem pequenas diferenças entre os resultados de probabilidade de

ruptura obtidas, para as diferentes funções de probabilidade mostradas.

Figura 4.3 – Probabilidade de ruptura vs Indice de confiabilidade ( )β .

Da Figura 4.3 também pode-se observar que, para pequenos valores de

índice ( )β , a probabilidade de ruptura é ligeiramente maior quando se tem uma

distribuição de probabilidade normal. Assim assumir distribuições de

probabilidade normais na ausência de dados é um procedimento a favor da

segurança, pois a probabilidade de ruptura estará ligeiramente superestimada.

78

4.3.2. Probabilidades de Ruptura Aceitáveis

Uma vez calculada a probabilidade de ruptura, as perguntas a fazer são: (i)

será esta probabilidade de ruptura aceitável?, (ii) Quais são os intervalos de

probabilidade aceitáveis para um determinado problema?

Antes de se responder estas perguntas, é preciso antes responder a uma

terceira pergunta: Qual é o risco que pode ser admitido?

O risco por definição é:

Na equação 4.9 o risco é função da probabilidade de ocorrência (ou de

ruptura) e das conseqüências associadas à ocorrência.

Portanto, a probabilidade de ruptura admissível deve ser função do risco que

se queira assumir e das conseqüências associadas a estes.

Vários autores e instituições desenvolveram gráficos (“F-N Charts”) para o

gerenciamento do risco, em função da probabilidade de ruptura (ou performance

insatisfatória) e das conseqüências (vidas humanas, construções afetadas,

prejuízos, etc.), como se pode observar nas Figuras 4.4 a 4.7, para diferentes tipos

de construções.

Baecher 1982b (Figura 4.4) mostra diferentes probabilidades de ruptura

admissíveis, de acordo com o tipo de estrutura a ser construída. No caso de

barragens uma probabilidade de ruptura de 10-4 pode ser aceitável e recomendada,

segundo o autor.

Risco = (Probabilidade x Conseqüência) = (pc) (4.9)

79

Figura 4.4 – Probabilidades de ruptura admissíveis, Baecher (1982b).

Figura 4.5 - Probabilidades de ruptura, US Army Corps of Engineers (1995).

80

Figura 4.6 - Risco social aceitável proposto pelo departamento de planejamento de Hong

Kong para deslizamentos, Baecher e Christian (2003).

Figura 4.7 - Probabilidade de ruptura crítica para barragens, proposta pela British

Columbia Hydro, Canadá, Nielsen et al (1994).

81

Wolff (1996) propôs que, em análises de estabilidade de taludes comuns,

seja designada uma probabilidade de ruptura de 10-3 (índice de confiabilidade de

3), como aceitável. No caso de taludes críticos, como os das barragens, sugere

uma probabilidade de ruptura de 3x10-5 (índice de confiabilidade de 4), como

aceitável.

O “US Army Corps of Engineers (1995)” recomenda valores de

probabilidade de ruptura de 3x10-5 como níveis aceitáveis de performance para

taludes. A Figura 4.5 mostra os diferentes níveis propostos.

A “British Columbia Hydro” (Nielsen et al, 1994) propôs probabilidades de

ruptura de 10-4 como aceitáveis para barragens (Figura 4.7).

Sandroni e Sayão (1992), baseados em retro-análises de taludes estáveis e

rompidos de mineração de ferro, concluem pela adoção de uma probabilidade de

ruptura de 2.3x10-2, como valor mínimo de projeto.

Segundo El-Ramly (2001) a maior desvantagem destes gráficos é que

nenhum considera as condições particulares de geometrias, instrumentação, fontes

e níveis de incertezas (variabilidade dos solos, profundidades de investigação,

exatidão do modelo de projeto, qualidade da construção, etc.), pelo que tais

critérios podem não valer em qualquer talude.

O mesmo autor conclui que probabilidades de ruptura críticas reportadas na

literatura geotécnica são conservativas. Uma probabilidade de ruptura crítica de

2x10-2 (ou seja, 2%), ou um índice de confiabilidade de 2,0, podem ser

considerados como um limite para uma performance satisfatória de taludes.

Esta probabilidade de ruptura crítica (2%) não considera todos os casos de

performance, quando se requeira estruturas que não possam suportar excessivas

deformações ou fissuras (“cracking”) têm que ser adotados critérios de projeto

mais rigorosos.

82

Em resumo, a adoção de um valor máximo de probabilidade de ruptura para

um projeto, não está bem esclarecida. Na realidade, depende muito do tipo de

projeto a ser executado e da quantidade de informação disponível para a análise.

Num projeto que disponha de muita informação de boa qualidade e cujo

risco não seja muito grande (perda de vidas), podem ser adotados maiores valores

de probabilidade de ruptura como aceitáveis.

A execução de análises probabilísticas de estabilidade de taludes para

determinar a probabilidade de ruptura, e posteriormente o risco associado, não

deve substituir a análise determinística, onde se obtém o fator de segurança. As

duas análises devem ser feitas e usadas em conjunto para fornecer uma melhor

aceitabilidade do projeto. Por exemplo, nos casos onde probabilidades de ruptura

reduzidas sejam obtidas, pode ser justificada a adoção de menores fatores de

segurança no projeto.

4.3.3. Métodos de Análises Probabilísticas

Existem muitos tipos de análise de probabilidade desenvolvidos nestes

últimos anos, mas em geral podem ser reunidos em três grupos: métodos

analíticos, métodos aproximados e simulação de Monte Carlo.

4.3.3.1. Métodos Analíticos

Neste tipo de análise, a função de densidade de probabilidade das variáveis

de entrada na análise são expressas matematicamente. Logo, é integrado

analiticamente num modelo de estabilidade de talude para poder desenvolver uma

expressão matemática da função de densidade do fator de segurança.

Este método tem uma matemática complexa, e não é prático na maioria dos

problemas. Este método está descrito em McMahon (1975), Marek e Savely

(1978), Tobutt e Richards (1979).

83

4.3.3.2. Métodos Aproximados

Em geral estes métodos são baseados em versões modificadas de Método do

Segundo Momento de Primeiro Ordem (FOSM), e Método das Estimativas

Pontuais (EP). Estas duas técnicas estarão consideradas neste estudo, onde só é

preciso o conhecimento do valor médio e desvio padrão de todas as variáveis de

entrada, além da função de performance g(x1, x2, x3,...xn), que define o fator de

segurança (método de Bishop etc.), onde x1, x2, x3,...xn são as variáveis de entrada

(propriedades dos solos etc.).

Estes tipos de análise não precisam do conhecimento das funções de

densidade de probabilidade das variáveis de entrada. Na função de performance, é

considerada uma função de densidade de probabilidade do fator de segurança com

distribuição Normal ou Log Normal.

A maior desvantagem é a não consideração da variabilidade espacial, pois

assumem distâncias de autocorrelação infinitas para as propriedades dos solos.

4.3.3.2.1. Método do Segundo Momento de 1ª Ordem

Segundo Harr (1987), a idéia básica do método do Segundo Momento de 1ª

Ordem (chamado a partir de agora como Segundo Momento) é expressar a função

de performance (fator de segurança) como uma função de diferentes variáveis

aleatórias consideradas na análise estatística.

Seja a função de performance definida como:

1 2 3( , , ... )ng g x x x x= (4.8)

Onde os valores médios da função e do vetor x são dados por:

1 2 3( , , ... )

nX X X X Xμ μ μ μ μ= (4.9)

84

Se esta função de performance é expandida ao redor de seus valores médios

das variáveis aleatórias, mediante as series de Taylor, obtém-se:

( ) ( )2

22

1 1( ) ( ) ........1¡ 2¡X X X

dg d gg x g x xdx dx

μ μ μ= + − + − (4.10)

Mantendo-se somente a primeira derivada (linear), obtém-se:

( )1( ) ( )1¡X X

dgg x g xdx

μ μ− = − (4.11)

Elevando-se ao quadrado a equação 4.11, e fazendo-se manipulações

algébricas, obtém-se a variância da função de performance (fator de segurança)

como:

[ ]1 1

i j i j

n n

X X X Xi j i j

dFS dFSV FSdx dx

ρ σ σ= =

=∑∑ (4.12)

A equação 4.12 pode ser expandida como:

[ ]2

1 1 12

i i j i j

j ni n i n

X X X X Xi i ji i j

dFS dFS dFSV FSdx dx dx

σ ρ σ σ== =

= = =

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑∑ (4.13)

A equação 4.13 é usada quando as variáveis xi, xj são correlacionadas. No

caso em que estas variáveis sejam independentes, a equação 4.13 se transforma

em:

[ ]2

1i

i n

Xi i

dFSV FSdx

σ=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (4.14)

O valor médio ou esperado do fator de segurança é obtido com todos os

dados médios de cada variável aleatória, definida como:

1 1 1( ) ( , , .... )

nX X X XE FS f μ μ μ μ= (4.15)

85

A equação 4.15, junto com a equação 4.13 ou 4.14, pode fornecer o índice

de confiabilidade ( )β , definido nas equações 4.3 ou 4.4, dependendo da função

de densidade de probabilidade a ser considerada para o fator de segurança.

O método é chamado de Segundo Momento porque usa a variância

(segundo momento da função de performance). É também referido como sendo de

1ª ordem porque usa só a primeira derivada da série de Taylor (Linear). As

equações 4.12 e 4.15 são válidas somente se a função de performance for linear.

No caso de estabilidade de taludes, esta condição não é satisfeita.

Entretanto, é considerada como uma aproximação aceitável. Em geral, quanto

maior é a não linearidade da função de performance, menor é a precisão do

método de Segundo Momento.

Como se observa nas equações 4.13 ou 4.14, é preciso obter as derivadas

parciais da função de performance, em relação aos parâmetros xi i

dFSdx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Christian et al (1992, 1994) e Sandroni e Sayão (1992) utilizaram o método das

diferenças divididas (ascendentes ou descendentes) como aproximação

matemática para a obtenção dos valores das derivadas parciais. O procedimento

consiste em variar separadamente cada parâmetro, observando-se a variação

correspondente do valor da função de performance ou desempenho FS. A

aproximação da derivada parcial de cada parâmetro é então obtida através da

razão entre a variação observada de FS e a variação estipulada para cada

parâmetro. A aproximação da derivada parcial é expressa por:

( ) ( )iX i

i

FS x E FSdFSdx dx

μ δ± −= (4.16)

Segundo Baecher e Christian (2003), para uma melhor estimativa das

derivadas, a variação dos parâmetros deve ser suficientemente pequena para que a

razão i

dFSdx seja considerada constante, ou seja, independente do valor de idx .

86

Dell’avanzi (1995) concluiu que, para variações dos parâmetros em torno de 10%

do seu valor médio (acréscimo ou decréscimo), esta condição é satisfeita.

Mostyn e Li (1993), U.S. Army Corps of Engineers (1995), Wolff et al

(1996), Hassan e Wolff (1999, 2000), Duncan (2000) recomendam que a

avaliação de i

dFSdx seja feita por diferenças finitas central, com a variação de

cada parâmetro sendo igual ao respectivo desvio padrão iσ . A equação 4.16 é

reescrita como:

( ) ( )

2i i

i

i X i X

X

FS E X FS E XdFSdx

σ σ

σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= (4.17)

Segundo estes autores, apesar das derivadas parciais ficarem mais precisas

quando a avaliação é com pequenos incrementos, avaliar as derivadas sobre um

intervalo de mais ou menos um desvio padrão poderia capturar melhor algo da

conduta não linear da função sobre um intervalo de valores prováveis.

Baecher e Christian (2003) resumiram o método de Segundo Momento nas

seguintes sete etapas:

1. Identificar as variáveis significativas que contribuem nas incertezas.

2. Encontrar os valores médios, desvios padrão, coeficientes de

correlação e distâncias de autocorrelação das variáveis.

3. Determinar como as variâncias são distribuídas entre incertezas

espaciais e sistemáticas e minimizar os erros no possível.

4. Calcular o valor esperado da função de performance (FS) com os

valores médios das variáveis.

5. Calcular as derivadas parciais da função FS com respeito às

variáveis.

6. Calcular a variância total da função FS (equações 4.13 ou 4.14).

7. Calcular o índice de confiabilidade β e a probabilidade de ruptura.

87

Uma das maiores vantagens desta técnica é sua simplicidade, especialmente

quando se consideram várias fontes de incerteza. Não é preciso o conhecimento da

função de densidade das variáveis aleatórias, nem da função de performance, que

geralmente é assumida com distribuição Normal.

Outro aspecto importante do método é que se pode obter a contribuição de

cada variável aleatória na variância de FS, fazendo uma inspeção da equação 4.13

ou 4.14.

Usando a equação 4.17 como aproximação das derivadas parciais, são

necessárias só 2n+1 análises determinísticas para se obter a probabilidade de

ruptura, onde n é o numero de variáveis aleatórias. Se for usada a equação 4.16, o

número de análises determinísticas cai para n+1.

Entretanto, a exatidão desta técnica pode ser questionada quando se lida

com relações não lineares e variabilidades acentuadas do solo, devido ao

truncamento da primeira derivada na série de Taylor.

A variabilidade espacial dos parâmetros dos solos não é considerada

diretamente na análise, segundo Duncan, Navin e Wolff (2003), a redução na

variância que resulta da variabilidade espacial (médias espaciais) pode ser

agregada na análise, usando fatores de correção, como mostrado na equação 3.27,

do Capítulo 3.

Segundo El-Ramly, Morgenstern e Cruden (2003b), o método de Segundo

Momento é aplicado primeiramente a problemas onde não existam correlações.

Com um esforço extra, o método pode ser aplicado quando existir correlação entre

dois parâmetros. Porém quanto maior for a quantidade de parâmetros

correlacionados, mais difícil ou trabalhosa passa a ser a análise.

88

4.3.3.2.2. Método das Estimativas Pontuais

Este método é uma aproximação numérica de técnicas de integração,

desenvolvido por Rosenblueth (1975). Neste método, a distribuição de

probabilidade de cada variável aleatória contínua é representada por dois pontos

x+ e x-, com concentrações de probabilidade P+ e P-. A Figura 4.8 ilustra este

conceito.

Figura 4.8 – Estimativas pontuais da função f(x).

Na realidade, o método consiste em transformar uma variável contínua x em

uma variável discreta, considerando apenas dois pontos x+ e x- com concentrações

de probabilidade P+e P- formando uma equivalente distribuição de probabilidade

da variável aleatória. Os pontos e concentrações de probabilidade são

selecionados de tal forma que o primeiro e segundo momentos (média e variância)

da distribuição discreta são os mesmos que os da função original.

O método usa uma função geradora de momentos para poder obter os

primeiros momentos probabilísticos da distribuição. Esta função geradora é obtida

através da subdivisão do processo determinístico em 2n análises determinísticas,

onde n indica o número de variáveis aleatórias consideradas.

89

As 2n análises são obtidas através da combinação dos pontos x+e x-, obtidos

como:

[ ][ ]

i

i

i i x

i i x

x E x

x E x

σ

σ+

−

= +

= − (4.18)

O valor de E[ ]x é o valor médio do parâmetro x e o valor de ( )xσ é o

correspondente desvio padrão.

Após obtidos os pontos (equação 4.18), a função de performance (fator de

segurança) é calculada nestes dois pontos ( ),FS FS+ − .

As concentrações de probabilidade são obtidas como:

( )1 12 ijnP ρ± = ±∑ (4.19)

Onde ijρ é o coeficiente de correlação. A função geradora de momentos

pode ser definida como:

( )m m mE FS P FS P FS+ + − −= + (4.20)

Onde m é a ordem do momento probabilístico de interesse. No caso de m=1,

obtém-se o valor médio da função FS. A variância do fator de segurança pode ser

obtida como:

( ) [ ]( )22V FS E FS E FS⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (4.21)

A parte inicial desta equação pode ser obtida na equação 4.20 com m=2. O

índice de confiabilidade ( )β pode ser obtido segundo as equações 4.3 ou 4.4.

90

Como exemplo, quando se tem um talude com duas variáveis aleatórias

( ),c φ , são necessárias quatro análises, executadas conforme a Tabela 4.2.

Tabela 4.2 – Representação esquemática do método de estimativas pontuais.

Análise Valor de c Valor de φ Fator de Segurança

1 cc σ+ φφ σ+ FS++

2 cc σ+ φφ σ− FS+−

3 cc σ− φφ σ+ FS−+

4 cc σ− φφ σ− FS−−

Segundo a equação 4.20, o valor médio do fator de segurança é obtido

como:

( )E FS P FS P FS P FS P FS++ ++ +− +− −+ −+ −− −−= + + + (4.22)

Logo, para m=2, é obtido:

( )2 2 2 2 2E FS P FS P FS P FS P FS++ ++ +− +− −+ −+ −− −−= + + + (4.23)

A variância é obtida através da equação 4.21. Neste caso, as concentrações

de probabilidade são:

2

12

P P P P++ +− −+ −−= = = = (4.24)

No caso que se tenha um coeficiente de correlação ( )cφρ entre as duas

variáveis aleatórias ( ),c φ , as concentrações de probabilidade são:

91

( )

( )

2

2

1 121 12

c

c

P P

P P

φ

φ

ρ

ρ

++ −−

−+ +−

= = +

= = − (4.25)

Quando se tem duas camadas de solo, cada uma com dois parâmetros de

resistência ( ) ( )1 1 2 2, , ,c cφ φ⎡ ⎤⎣ ⎦ , os procedimentos para obter a média e variância do

fator de segurança são os mesmos que os indicados na Tabela 4.2 e nas equações

4.22, 4.23. A diferença está na obtenção adequada das concentrações de

probabilidade. Neste caso, para variáveis não correlacionadas, obtém-se:

4

12

P P P P P PP P P P P P

P P P P

++++ ++++− ++−+ +−++ −+++ ++−−

+−−+ −−++ +−−− −+−− −−+− −−−+

−++− +−+− −−−− −+−+

= = = = = == = = = = =

= = = =

(4.26)

No caso de existência de correlação entre os parâmetros de resistência

( )1 1 2 2,c cϕ ϕρ ρ , o cálculo das concentrações de probabilidade pode ser obtido como:

( )

( )

( )

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

4

4

4

4

1

21

21

21

2

c c

c c

c c

c c

P P P P

P P P P

P P P P

P P P P

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

++++ −−−− ++−− −−++

+++− −−−+ ++−+ −−+−

+−−− −+++ +−++ −−+−

+−+− −+−+ +−−+ −++−

+ += = = =

+ −= = = =

− += = = =

− −= = = =

(4.27)

Como pode ser observado, este método tem como desvantagem o fato de

requer um número muito elevado de análises quando a quantidade de variáveis

aumenta.

92

Rosenblueth (1975) propõe uma técnica para reduzir o número de cálculos

(de 2n para 2n+1), quando as variáveis são não correlacionadas e quando sua

assimetria (Quarto momento da função de densidade) pode ser ignorada.

Harr (1989) propõe um método que pode ser usado quando as variáveis são

correlacionadas, mas o quarto momento da função tem que ser zero. Neste método

que é baseado no cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de

autocorrelação, são necessários 2n cálculos.

Hong (1996, 1998) propõe um método que é usado para o caso de variáveis

não correlacionadas com assimetria significante, reduzindo a quantidade de

cálculos para 2n+1.

De igual maneira ao método de Segundo Momento este método

(Estimativas Pontuais) não requer o conhecimento da forma da distribuição das

variáveis aleatórias (Normal, Log normal). A função de performance (FS) também

é geralmente assumida como Normal.

O método de estimativas pontuais pode dar valores adequados dos dois

primeiros momentos da função de performance, com somente dois pontos e suas

respectivas concentrações de probabilidade. Segundo Rosenblueth (1975), para

casos práticos, o método fornece resultados satisfatórios.

Segundo Harr (1987) e Baecher e Christian (2003), o método (EP) não pode

ser usado para obter momentos maiores da função (FS) do que o segundo. É

recomendável também que o coeficientes de variação, seja pequeno (Cov ≤ 0,2), e

que a função FS a ser integrada possa ser aproximada por um polinômio de

terceira ordem. Se estas três condições são satisfeitas, o método é muito adequado.

Segundo Baecher e Christian (2003), o método de estimativas pontuais é

mais preciso que o método de Segundo Momento, devido a que este método é

baseado em uma baixa ordem de expansão. Harr (1989) comenta que o método de

estimativas pontuais evita alguns dos defeitos dos outros métodos (serie de Taylor

e Monte Carlo).

93

Discussões detalhadas sobre a exatidão e limitações do método de

estimativas pontuais podem ser encontradas em Christian e Baecher (1999).

4.3.3.3. Método de Simulação de Monte Carlo

Como mencionado anteriormente, os métodos de Estimativa Pontual e do

Segundo Momento não precisam do conhecimento da forma da função de

densidade de probabilidade da variável aleatória (Normal, Log Normal),

tampouco da função de performance que geralmente é assumida Normal.

No método de Monte Carlo, é preciso o prévio conhecimento das funções de

densidade de probabilidade só das variáveis aleatórias. Em cada análise ou

simulação, o método atribui um valor a cada variável aleatória desde sua

distribuição de probabilidade, e obtém um resultado da função de performance

que é armazenado. Depois de muitas simulações (tipicamente mais que 10 000), é

construído um histograma com todos os dados armazenados de cada análise,

obtendo-se o tipo de função de probabilidade da função FS, para então calcular a

probabilidade de ruptura.

A seleção dos valores usados para solucionar a função de performance é

aleatória. Este método pode ser representado pela Figura 4.2

Uma das maiores vantagens deste método é que fornece a forma da

distribuição de probabilidade do fator de segurança e, consequentemente, a

probabilidade de ruptura. Este método elimina a necessidade de assumir a forma

da distribuição. Outra diferença para os métodos aproximados é que a

complexidade da análise não é amplificada pelo incremento do número de

variáveis aleatórias.

O número de iterações necessárias é muito influenciado pela quantidade de

variáveis e suas variâncias. No caso de eventos de baixa probabilidade de

94

ocorrência, esta influência é maior. Quanto maior é a quantidade de iterações,

menor é o erro obtido na análise.

4.3.3.4. Método de Simulação de Monte Carlo com Variabilidade Espacial dos Solos

Até agora, só foram mostrados métodos que não consideram a variabilidade

espacial dos solos dentro de sua estrutura. No caso de métodos aproximados,

pode-se considerar a variabilidade espacial apenas mediante fatores de correção.

El-Ramly (2001) desenvolveu um método de análise de estabilidade de taludes

considerando a variabilidade espacial dos solos proposta por Vanmarcke (1983),

usando a simulação de Monte Carlo e o “software” de estatística @Risk, que é

apresentado em uma planilha eletrônica (Excel).

Este método tem os mesmos princípios descritos no item 4.3.3.3, mas são

agregadas as considerações feitas no Capítulo 3. O método usa a equação 3.24 que

representa melhor as incertezas nas variáveis, que é reescrita como:

( )i i vi eix B t ε ε= + + (4.28)

Onde xi é a variável aleatória corrigida por desvios (“bias”, B), na

localização i, ti é a tendência e pode ser calculada pelo método de mínimos

quadrados. No caso de tendência linear, a inclinação e intercepto são calculados

usando a equação 3.5. As variâncias da inclinação e intercepto, devido à

insuficiência de dados (erro estatístico), podem ser calculadas através da equação

3.18.

No caso de média constante, a variância da média é estimada usando a

equação 3.21, nos dois casos, tendência linear e média constante, a variância

estimada é baseada na hipótese de que os residuais são independentes e constantes

em qualquer localização.

95

A tendência é admitida como uma variável determinística, pelo que a

variabilidade espacial do parâmetro só é representada pela estrutura de correlação

das componentes residuais.

Como apresentado no Capítulo 3, a variabilidade espacial das propriedades

dos solos desde um ponto a outro é de pouca importância em geotecnia, pois o

comportamento da estrutura é função das propriedades médias.

Usando os conceitos descritos no Capítulo 3, El-Ramly (2001) propôs que a

superfície de deslizamento seja dividida em segmentos não maiores que a escala

de flutuação δ . Desta maneira, o fator de redução da variância é igual a

1, ( )2( ) 1zΔΓ = , pelo que a porção de superfície de deslizamento dentro de uma

camada de solo é dividida em segmentos l iguais à escala de flutuações ( )l δ= ,

mais um segmento residual, como mostrado na Figura 4.9.

Figura 4.9 – Subdivisão da superfície de deslizamento dentro de uma camada, El-Ramly

(2001).

A média dos parâmetros x(l) sobre qualquer destes segmentos pode ser

representada por uma função de distribuição acumulativa Fx(x). O coeficiente de

correlação entre qualquer destas medias locais pode ser calculado utilizando a

equação 3.28. Para segmentos adjacentes de igual longitude ( )l δ= , os

Distância (m)

E

leva

ção

(m)

Argila

96

coeficientes de correlação são iguais a zero, o que simplifica a análise. A Figura

4.10 ilustra estes conceitos.

Figura 4.10 – Modelagem da variabilidade espacial de um parâmetro de entrada sobre

uma superfície de deslizamento, El-Ramly (2001).

Em resumo, a incerteza devida à variabilidade espacial de um parâmetro ao

longo da superfície de deslizamento é quantificada por um número de variáveis

correlacionadas, que representam a média local do parâmetro sobre um segmento

da superfície de deslizamento.

Uma das maiores vantagens deste método é sua facilidade de ser

programado numa planilha, sem maiores conhecimentos de probabilidade e

estatística. Ademais, os conceitos de variabilidade espacial podem ser

considerados em sua estrutura e não por um fator de correção.

O método pode ser usado em diferentes tipos de superfície de deslizamento,

superfícies complexas e uma quantidade maior de variáveis aleatórias, sem

complicar a análise.

Sua principal limitação é que o método é baseado numa aproximação da

função da variância proposta por Vanmarcke (1977a). A função implica uma

perfeita correlação ( ) 1.0rρ = das propriedades do solo, para distâncias de

separação r, menores que a escala de flutuações. E nenhuma correlação ( ) 0rρ = ,

para valores de r maiores que δ . O qual não é totalmente verdadeiro, a correlação

Porção da superfície de ruptura

Dentro da camada de solo (L)

97

entre propriedades de solos em dois diferentes localizações, decresce

gradualmente com o incremento da distância de separação r.

Ademais, o método trata a variabilidade espacial da poropressão na

superfície de deslizamento similar as propriedades dos solos. Na realidade esta

hipótese não e totalmente verdadeira, mas não existem suficientes investigações

acerca da relação entre a variabilidade espacial dos solos e da poropressão.

Em geral a variabilidade espacial da poropressão é muito influenciada por

várias variáveis e fenômenos de interação, tais como: intensidade das chuvas,

padrão de fluxo, variabilidade espacial da condutividade hidráulica e estado de

tensão.

A variabilidade espacial das poropressões é considerada similar à dos

parâmetros do solo em todos os métodos aproximados, devido principalmente à

falta de estudos detalhados.

Mais informações acerca das limitações do método podem ser encontradas

em El-Ramly (2001) e em Duncan, Navin e Wolff (2003).

98

4.4. Superfície de Deslizamento Critica

A superfície de deslizamento correspondente ao valor mínimo de FS, obtida

com uma análise determinística, nem sempre coincide com a superfície de

deslizamento que corresponde ao valor mínimo do índice de confiabilidade ( )β .

Comumente as análises probabilísticas são realizadas na superfície de

deslizamento critica indicada pela análise determinística.

Numa análise de simulação de Monte Carlo, seria melhor impor um sistema

de superfícies. Desta maneira, a incerteza na localização da superfície de

deslizamento crítica estaria incorporada na análise, mas esta consumiria muito

tempo e seria pouco prática.

Segundo El-Ramly (2001) nos casos em que as incertezas dos parâmetros de

entrada contribuem igualmente para o valor de FS, as duas superfícies de

deslizamento críticas (determinísticas e probabilísticas) tendem a coincidir.

Porém, quando uma variável é mais importante, as duas superfícies de

deslizamento podem ser significativamente diferentes.

Hassan e Wolff (1999) e mais recentemente Bhattacharya, Jana, Ojha and

Chakraborty (2003) propuseram algoritmos de busca, para localizar a superfície

de deslizamento com mínimo índice de confiabilidade. Em geral estes métodos

utilizam uma formulação similar àquela usada para encontrar a superfície de

deslizamento crítica com métodos determinísticos convencionais.

Segundo Vanmarcke (1977b), Alonso (1976), Yucemen e Al-Homoud

(1990), usar a superfície de deslizamento crítica da análise determinística para

quantificar a probabilidade de ruptura é razoável. Conclusão similar foi também

reportada por Sandroni e Sayão (1992) e Dell’avanzi (1995) para o caso de taludes

de grande altura.

99

5 BARRAGEM DE REJEITOS SYNCRUDE

Neste capítulo será apresentada a análise probabilística de uma barragem de

rejeitos. Este tipo de barragem tem grande importância devido principalmente à

quantidade de material depositado e armazenado no reservatório.

A ruptura deste tipo de estrutura pode causar grandes perdas econômicas e

ambientais, Por isso estudos para a garantia da estabilidade destas estruturas são

de suma importância.

Devido ao seu processo construtivo, as barragens de rejeito apresentam

grandes dispersões nas propriedades de resistência e nas propriedades hidráulicas.

Assim, as análises probabilísticas são relevantes, pois permitem uma melhor

quantificação das incertezas.

A barragem pesquisada encontra-se no Canadá e pertence à “Syncrude

Canadá Limited”. Nesta barragem já foram feitas análises probabilísticas da

estabilidade dos taludes por El-Ramly (2001), aplicando a metodologia de Monte

Carlo e considerando a variabilidade espacial (descrita no Capítulo 4).

Christian et al (1992, 1994) mostraram a necessidade de contabilizar a

variabilidade espacial nas análises probabilísticas. A não consideração da

variabilidade espacial pode levar a erros no cálculo da probabilidade de ruptura.

Duncan et al (2003) consideraram que o uso da metodologia proposta por

El-Ramly (2001) não é necessário para a quantificação da variabilidade espacial, e

que as técnicas descritas no Capítulo 4 (Segundo Momento, Estimativas

Pontuais), podem ser utilizadas junto com um fator de correção, como descrito no

Capítulo 3 (equação 3.27), para a contabilização do efeito da variabilidade

espacial.

100

Pelo exposto, neste Capítulo será avaliado o uso das técnicas usuais de

análise de probabilidade, junto com o fator de correção da variabilidade espacial

(equação 3.27) de forma a se comparar com os resultados reportados por EL-

Ramly (2001).

5.1. Considerações do Projeto

O Projeto Syncrude consiste na construção de uma lagoa de rejeitos para

armazenar 350hm3 de materiais. Esta lagoa está formada pela construção de

diques de areia com uma circunferência aproximada de 18 km, elevação média de

40m e elevação máxima de 88m.

Para um melhor entendimento da zona de análise o dique é dividido em 30

pilhas, cada uma com 700m de comprimento (Figura 5.1). Será avaliada apenas a

pilha 23.

Figura 5.1 – Vista em planta das pilhas e lagoa de rejeitos.

Pilha 23

101

5.2. Descrição da Pilha 23

No projeto inicial do dique, a elevação da pilha 23 era de 44m, tendo sido

construída mediante o método de montante, originalmente com um talude de 4h:

1v. Foram instalados inclinômetros para o monitoramento dos movimentos

horizontais do talude.

Em 1981, foram localizados movimentos no contato entre dois materiais

(Kca e Kcw). Em 1984, quando a elevação do dique era de 23m, foram medidos

19cm de deslocamento. Isto levou a uma completa revisão do projeto, com um

programa detalhado de investigação que incluía furos, amostragem, provas de

laboratório e piezômetros.

As investigações mostraram a presença de uma camada glacial perturbada

de argilito (Kca), com planos de corte bem pronunciados embaixo do talude de

montante. Os movimentos foram notados principalmente ao longo de planos

discretos de cisalhamento na camada Kca imediatamente sobre uma camada pré-

adensada (Kcw).

Um incremento substancial da poropressão foi observado perto da interface

Kca/Kcw. A seção 53+00E (Figura 5.1) foi considerada como a mais crítica da

pilha 23.

A revisão do projeto indicou que a geometria original (inclinação 4h:1v)

correspondia a um fator de segurança inaceitável (FS= 1,09), requerendo

modificações adicionais.

O objetivo era garantir um fator de segurança mínimo de 1,30. Este foi

obtido com uma inclinação de talude de 6,8h:1v, para uma elevação de 352m

(altura do dique 44m). Em 1993, o movimento máximo registrado foi de 43,7cm

na seção 53+00E.

102

Nesta seção 53+00E, foram então executadas as análises probabilísticas

descritas a seguir.

5.3. Estratigrafia

A seção 53+00E mostra uma estratigrafia variada, que compreende uma

camada superficial de areia, de origem glacial-fluvial (Pf4), com uma espessura

média de 3,0m. Esta encontra-se sobre uma camada de areia glacial (Sandy Till,

Pgs), que apresenta espessura variada, desde 3m no meio do dique, até 10m no pé.

Abaixo se encontra uma fundação composta por dois materiais, uma argila glacial

(Pgc) e um argilito laminado (Clay Shale, kca).

O material Pgc encontra-se sob a crista do dique e se estende até jusante. O

material Kca encontra-se sob o talude de montante. Ambas as camadas têm uma

espessura média de 6,0m. Sob estas camadas encontra-se a argila pré-adensada

(Kcw).

A Figura 5.2 mostra o perfil estratigráfico da seção 53+00E.

Figura 5.2 – Geometria e estratigrafia da seção 53+00E.

5.4. Parâmetros de Resistência

Como foi exposto, nas investigações de campo foi encontrado um

deslizamento concentrado na camada Kca, justo sobre a camada Kcw. O

conhecimento dos parâmetros de resistência de pico e residual passou a ter

103

importância, sendo realizados ensaios triaxiais e ensaios de cisalhamento direto

em amostras intactas e em amostras com planos preexistentes de cisalhamento.

Ensaios de laboratório também foram realizados nos materiais Pgs, Pgc, TS

(rejeito), Kcw, mas nenhum ensaio foi feito no material Pf4.

5.4.1. Argilito Laminado (Clay Shale, kca)

Como fora registrado um deslocamento nesta camada, estudos prévios

(Thurber, 1989; Nicol, 1994) concluíram que a estabilidade do dique estaria

controlada pela resistência residual deste material.

Ensaios de cisalhamento direto foram considerados adequados para obter a

resistência residual do material. No total, foram realizados 82 ensaios em amostras

coletadas da pilha 23.

A Tabela 5.1 mostra um resumo das propriedades físicas e mecânicas desde

material.

Tabela 5.1 – Características geotécnicas do argilito (kca).

Parâmetro do Solo Intervalo Valor

Médio Mínimo Máximo

Teor de Umidade % 17,0 40,0 26,4

Limite de Liquidez % 59,0 162,0 110,0

Limite de Plasticidade 16,0 30,0 23,8

Peso Específico kN/m3 18,1 20,7 19,5

Ângulo de Atrito Residual (graus) 3,8 13,8 7,5

Ângulo de Atrito Pico (graus) 6,8 36,7 18,6

A Figura 5.3 mostra a envoltória de resistência ao cisalhamento residual

para as 82 amostras de solo. A envoltória corresponde a um ângulo de atrito

residual (7,5º), com coesão efetiva nula.

104

Figura 5.3 – Resultados do ensaio de cisalhamento direto para o material Kca.

Segundo os critérios descritos no Capítulo 3, foi obtida a tendência e,

posteriormente, definido o desvio padrão de cada componente.

Pode-se observar que a dispersão dos dados ao redor da tendência é

inevitável e a seleção de um ângulo de atrito médio corresponde a um valor

elevado de incerteza.

O desvio padrão do ângulo de atrito, resultado da dispersão dos dados

(variabilidade espacial, considerando distâncias de autocorrelação infinitas) foi

estimado em 2,13º e o erro estatístico (dados insuficientes no cálculo da

tendência) foi de 0,25º. O desvio padrão produto das duas componentes é obtido

como a raiz quadrada da soma ao quadrado das duas componentes, obtendo-se o

valor de 2,1º.

105

5.4.2. Areia Glacial (Pgs)

Neste material só foram realizados 5 ensaios para obter a resistência ao

cisalhamento, sendo 4 ensaios triaxiais e 1 cisalhamento direto. Os ensaios

triaxiais foram realizados seguindo diferentes técnicas: 1 isotropicamente

consolidado não drenado, 2 anisotropicamente consolidado não drenados, 1

isotropicamente consolidado drenado.

Como pode ser observado o ângulo de atrito de pico foi obtido de diferentes

ensaios de laboratório (diferentes populações). Agrupando estes dados, podem-se

incrementar as incertezas presentes. É julgado que, assumindo-se as incertezas de

cada grupo separadamente, pode levar a um maior erro na determinação da

incerteza total, pelo que é decidido agrupar os dados.

A Tabela 5.2 mostra um resumo das propriedades físicas e mecânicas do

material.

Tabela 5.2 – Características geotécnicas da areia glacial (Pgs).

Parâmetro do Solo Intervalo

Média Mínimo Maximo

Teor de Finos % 34 76 46,1

Limites de Atterberg Material de baixa plasticidade

Peso Específico (kN/m3) 21,3 22,6 22,1

Ângulo de atrito de Pico (graus) 33,3 39,2 35,74

Os desvios padrão do ângulo de atrito, devido à variabilidade espacial

inerente, foi de 1,97 e o produto do erro estatístico foi de 0,50. Estes valores

foram computados de acordo aos critérios mostrados no Capítulo 3. O desvio

padrão, produto das duas componentes, é obtido como a raiz quadrada da soma ao

quadrado das duas componentes, obtendo-se o valor de 2,03º.

106

5.4.3. Rejeito de Areia (TS)

Neste material foram realizados poucos ensaios, ou seja, os dados são

limitados. Análises paramétricas mostram que o efeito da resistência ao

cisalhamento deste material tem efeito reduzido no resultado da análise de

estabilidade do dique. O ângulo de atrito não foi, portanto, considerado como uma

variável aleatória.

Pelo exposto, considera-se uma coesão efetiva nula, e um ângulo de atrito de

34º (c’=0, Ø’=34º). Nenhum ensaio de laboratório foi realizado na areia glacial-

fluvial (Pf4). Portanto, os parâmetros de resistência não são conhecidos, mas o

impacto de estes parâmetros na análise é mínimo, sendo, portanto, considerados

iguais aos parâmetros dos rejeitos.

5.4.4. Argila Glacial (Pgc) e Argilito (Kcw)

A análise de estabilidade determinística mostra que a superfície de ruptura

crítica não passa através destes materiais. Não é, portanto necessária à

quantificação destes parâmetros.

107

5.5. Poropressões

Diversos piezômetros foram instalados durante a construção do dique nas

diferentes camadas de solo, tendo maior importância os colocados na camada Kca.

A Figura 5.4 mostra os piezômetros colocados nas diferentes camadas.

Figura 5.4 – Localização dos piezômetros na zona de estúdio.

5.5.1. Poropressões na Camada Kca

Como foi exposto, nesta camada encontraram-se os maiores deslocamentos.

A superfície de deslizamento passa, portanto, através desta camada, e o

conhecimento das poropressões é de muita importância. Foram instalados 18

piezômetros na seção 53+00E, como mostrados na Figura 5.5.

Figura 5.5 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Kca

108

Como pode-se observar na Figura 5.5, existe uma grande dispersão dos

dados ao redor da tendência (linha tracejada). O coeficiente de determinação R2 é

muito baixo, já que, como se sabe, uma linha de tendência é mais confiável

quando o coeficiente de determinação aproxima-se de 1,0.

A equação da linha de tendência da reta tracejada, (ru = -0,001 D + 0,859,

onde D é a distância), que representa a variação do coeficiente de poropressão

com a distância, foi obtida segundo os procedimentos descritos no Capítulo 3.

Porém, estas não podem ser utilizadas desta maneira devido ao programa Slope/W

não considerar a variação do coeficiente de poropressão com a distância na análise

de estabilidade. Portanto, procedimentos adicionais devem ser efetuados.

Da Figura 5.5, pode-se dizer que os dados se encontram num intervalo de

0,20 ate 0,72, com uma média de 0,45. Pode-se observar também um valor de

0,17 a uma distancia de 465m, aproximadamente. Este valor foi eliminado da

análise, por ser excessivamente baixo.

Para poder usar os dados dos coeficientes de poropressões na análise com o

programa Slope/W, é preciso fazer algumas modificações. Na realidade a linha de

tendência tracejada foi trocada por quatro linhas continuas, como mostrados na

Figura 5.5. As médias e desvios padrão foram calculados segundo os critérios

descritos no Capítulo 3. A Tabela 5.3 mostra os intervalos propostos com seus

respectivos desvios padrão e valores médios.

Tabela 5.3 – Coeficiente de poropressão ru, nos intervalos propostos na camada kca.

Intervalo (m) Média

(ru)

Desvio Padrão

Inerente Variabilidade Espacial Erro Estatístico

236 - 300 0,58 0,11 0,066

300 - 350 0,53 0,15 0,056

350 - 400 0,48 0,05 0,026

400-500 0,44 0,07 0,033

109

Todos os intervalos mostram coeficientes de poropressão (ru) superiores aos

dos calculados com a tendência (Linha tracejada), mas do lado da segurança.

5.5.2. Poropressões na Camada Pgs

Nesta camada foram instalados 14 piezômetros em diferentes

profundidades, e localizados ao longo da seção 53+00E, como se apresenta na

Figura 5.6.

Figura 5.6 – Poropressões ao longo da seção 53+00E na camada Pgs.

Como se pode observar na Figura 5.6, os coeficientes de poropressão (ru) se

encontram num intervalo de 0,10 até 0,46, com valor médio de 0,30. Pode-se

observar também que existe uma clara tendência dos valores, entre as distâncias

150m e 350m (meio do talude), e desde 350m até 550m (pé do talude). Assim, foi

decidido subdividir os coeficientes de poropressão nestes dois intervalos. A

Tabela 5.4 mostra as médias e desvios padrão dos intervalos propostos. Todos

estes dados foram obtidos segundo os procedimentos mostrados no Capítulo 3.

110

Tabela 5.4 – Coeficiente de poropressão ru, camada Pgs.

Intervalo (m) Média Desvio Padrão

Inerente Variabilidade Espacial Erro Estatístico

150 – 350 0,21 0,06 0,023

350 – 550 0,40 0,03 0,010

5.5.3. Poropressões no Rejeito

Baseados nos dados de 3 piezômetros, a superfície freática no rejeito foi

inferida, como mostrado na Figura 5.7. Como os dados dos piezômetros têm

pouca dispersão, e a superfície de deslizamento tem pouca extensão, a linha

freática foi considerada determinística e não uma variável aleatória.

Figura 5.7 – Posição da linha freática dentro do rejeito.

5.5.4. Poropressões na Camada Pf4

Nesta camada foram instalados 4 piezômetros e devido às mesmas

considerações encontradas no rejeito (pequena dispersão dos dados e superfície de

deslizamento com pequena extensão nesta camada), decidiu-se que as

poropressões podem ser tratadas como variáveis determinísticas.

Os dados dos piezômetros foram divididos em dois intervalos: o primeiro se

encontra embaixo do rejeito e o segundo no Pé do dique, como mostrado na

Figura 5.7. Os valores de coeficiente de poropressão (ru) foram respectivamente

iguais a 0,11 e 0,30.

111

5.6. Análise Determinística da Estabilidade do Talude

Com os dados médios de resistência ao cisalhamento e os coeficientes de

poropressão descritos nas seções 5.4 e 5.5, foram calculados os fatores de

segurança determinísticos, pelos métodos de Bishop, Spencer e Morgenstern-Price

(considerando-se função constante ou senoidal). As superfícies de ruptura críticas

e seus respectivos valores de FS são mostrados na Figura 5.8 e na Tabela 5.5.

Figura 5.8 – Superfícies de ruptura críticas.

Foram realizadas análises de estabilidade de taludes pelo método de

Morgenstern-Price (Função constante), porque o método de Spencer resulta em

probabilidades de ruptura ligeiramente inferiores às obtidas com o método de

Morgenstern-Price (Função seno) ou de Bishop.

Tabela 5.5 – Resultados das análises determinísticas.

Método de Análise Fator de Segurança Superfície de Ruptura

Bishop 1,307 Linha Continua

Spencer 1,328 Linha Tracejada

M. Price (F. seno) 1,288 Linha Continua

M. Price (F. const.) 1,328 Linha Tracejada

Uma das diferenças entre os métodos de Spencer e de Morgenstern-Price é a

função que descreve a variação de forças entre fatias. As análises e principais

conclusões estão apresentadas nos seguintes itens.

112

5.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes

Aqui serão apresentados os resultados das análises probabilísticas pelos

métodos de Segundo Momento e de Estimativas Pontuais. Inicialmente

considerando-se toda a inerente variabilidade espacial das propriedades dos solos

(considerando-se perfeita autocorrelação ou distâncias de autocorrelação

infinitas). A seguir, aplicou-se o fator de correção (ƒ) da inerente variabilidade

espacial, para avaliar sua relevância neste caso.

A Tabela 5.6 mostra um resumo das propriedades consideradas como

variáveis aleatórias e seus respectivos desvios padrão.

O desvio padrão total é calculado como a raiz quadrada da soma dos

quadrados de cada componente (Inerente variabilidade Espacial, Erro Estatístico).

Como pode ser observado, foram considerados 8 variáveis aleatórias em cada

análise.

Tabela 5.6 – Propriedades das variáveis aleatórias consideradas na análise.

Solo Variável

Aleatória

Valor

Médio

Desvio Padrão

Inerente Variabilidade

Espacial

Erro

Estatístico Total

Kca

ØKca 7,5 2,13 0,25 2,15

ru (236-300) 0,58 0,11 0,066 0,13

ru (300-350) 0,53 0,15 0,056 0,16

ru (350-400) 0,48 0,05 0,026 0,05

ru (400-500) 0,44 0,07 0,033 0,07

Pgs

ØPgs 35,74 1,97 0,50 2,03

ru (150-350) 0,24 0,06 0,023 0,06

ru (350-550) 0,40 0,03 0,010 0,03

113

5.7.1. Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita Correlação das Variáveis Aleatórias

Este tipo de análise contempla uma perfeita autocorrelação das propriedades

dos solos, em qualquer direção (distâncias de autocorrelação infinita). Portanto, o

desvio padrão da inerente variabilidade espacial não é reduzido, como foi

explicado no Capítulo 3. Isto não é totalmente correto, pois as propriedades dos

solos só mostram uma perfeita autocorrelação até uma determinada distância,

desaparecendo com o incremento da distância de autocorrelação (ro), pelo que

poderia ser considerada alguma redução no desvio padrão.

Na análise de Segundo Momento também foi pesquisado o efeito dos

incrementos utilizados no cálculo das derivadas parciais. Estes incrementos

foram: valor do desvio padrão, 50% do desvio padrão, 10% do valor do

parâmetro, 5% do valor do parâmetro.

Tabela 5.7 – Probabilidades de ruptura, considerando distribuição normal.

Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do Parâmetro 5% do Parâmetro2,28% 2,19% 2,42% 2,42% 2,10%1,54% 1,51% 1,67% 1,60% 1,45%1,54% 1,51% 1,67% 1,60% 1,45%2,23% 2,03% 2,13% 2,31% 2,18%

BishopSpencer

M. Price (FC)M. Price (FS)

Segundo Momento - Valor do Incremento Estimativas PontuaisMétodo de Análisis

Tabela 5.8 - Probabilidades de ruptura, considerando distribuição log-normal.

Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do Parâmetro 5% do Parâmetro1,30% 1,23% 1,40% 1,39% 1,16%0,75% 0,73% 0,83% 0,79% 0,69%0,75% 0,73% 0,83% 0,79% 0,69%1,30% 1,16% 1,23% 1,37% 1,26%

BishopSpencer

M. Price (FC)M. Price (FS)

Método de Análisis Segundo Momento - Valor do Incremento Estimativas Pontuais

As Tabelas 5.7 e 5.8 mostram os distintos resultados encontrados. Pode-se

notar que a hipótese de uma distribuição normal de FS corresponde a maiores

probabilidades de ruptura. Portanto, esta é uma hipótese conservativa, a favor da

segurança.

A diferença encontrada entre os métodos de Segundo Momento e de

Estimativas Pontuais é mínima, podendo ser considerada desprezível.

114

As análises feitas pelo método de Spencer resultaram em probabilidades de

ruptura ligeiramente inferiores aos encontrados pelo método de Bishop e

Morgenstern-Price (Função seno). Assim, foram calculadas as probabilidades de

ruptura por Morgenstern-Price com função constante, para comparação com o

método de Spencer.

Uma das diferenças entre os métodos de Spencer e Morgenstern-Price é a

função que descreve a variação das forcas entre fatias. O método de Morgenstern-

Price com função constante deveria fornecer as mesmas probabilidades de ruptura

que o método de Spencer. A pequena diferença na probabilidade de ruptura é

atribuída à escolha da função.

Na análise de Segundo Momento (FOSM) pode-se observar que os

incrementos escolhidos para o cálculo da derivada parcial têm pouco efeito no

cálculo da probabilidade de ruptura.

Uma das principais vantagens do método FOSM é poder observar por

inspeção a contribuição de cada parâmetro (variável aleatória) na variância total

de FS. Como mostrado na Figura 5.9, resultados similares foram encontrados nos

demais métodos. Outro aspecto importante é poder visualizar qual parâmetro

contribui mais para a probabilidade de ruptura (inerente variabilidade espacial ou

erro estatístico).

A probabilidade de ruptura está muito influenciada pelos parâmetros na

camada Kca, sendo o parâmetro de resistência (ângulo de atrito) o que mais

contribui, seguido pelos coeficientes de poropressão (ru).

115

Figura 5.9 – Contribuição de cada variável na variância de FS.

Em geral, a contribuição da variância ou desvio padrão da variabilidade

espacial é a que mais contribui na probabilidade de ruptura, pelo que seu cálculo

deveria ser o mais exato possível.

Todas as análises feitas neste item foram realizadas na superfície crítica

obtida deterministicamente. Como foi exposto no Capítulo 4, é razoável

considerá-la como a mais desfavorável (Sandroni e Sayão 1992).

5.7.2. Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos Parâmetros do Solo.

Como visto no Capítulo 3, as variâncias resultantes da dispersão dos dados

(inerente variabilidade espacial) ao redor da tendência mostram uma correlação no

espaço. Esta correlação não é infinita e depende da distância de autocorrelação e

da escala de flutuações do material, devendo ser considerada na análise e não

podendo ser desprezada.

Para considerar esta correção na componente da variância da inerente

variabilidade espacial, foi utilizada a equação 3.27 (Capítulo 3), que é função da

distância de autocorrelação e a extensão da superfície de deslizamento na camada

de análise. Esta equação é multiplicada à componente da variância da

variabilidade espacial de cada parâmetro em análise.

116

No caso do Método de Segundo Momento (FOSM) o fator de correção será

multiplicado só à componente da variância da inerente variabilidade espacial, já

que o método permite visualizar esta componente (equação 5.1).

2

2( ) ( )dFSV FS x fdx

σ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.1)

No Método de Estimativas Pontuais não se pode multiplicar o fator de

correção só à inerente variabilidade espacial, devido a que o método não

quantifica por separado esta parcela. No método, a variância ou desvio padrão do

fator de segurança contém as duas parcelas (inerente variabilidade espacial, erro

estatístico). Assim, o fator de correção é aplicado à variância do fator de

segurança obtido (equação 5.2).

( ) [ ]( )22V FS E FS E FS f⎡ ⎤= − ×⎣ ⎦ (5.2)

A Figura 5.8 mostra que cerca de 70% da superfície de ruptura se encontram

na camada Kca, pelo que só será utilizado o fator de correção (equação 3.27) nas

variâncias resultantes das variáveis aleatórias deste material (ØKca, ruKca),

enquanto as demais variáveis permanecem invariáveis (ØPgs, ruPgs).

Um dos aspectos mais importantes no uso do fator de correção (ƒ) é a

determinação da distância de autocorrelação, como foi exposto no Capítulo 3. Os

solos na direção horizontal apresentam uma distância de autocorrelação média

entre 20m ate 50m e, na direção vertical, desde 1m até 6m.

A superfície de deslizamento que atravessa a camada Kca é em sua maioria

horizontal. Assim, a análise é controlada pela variabilidade espacial das

propriedades dos solos nesta direção. Ademais, considera-se que esta argila tem

uma estrutura contínua (e não errática) nesta direção horizontal, podendo-se

esperar distâncias de autocorrelação maiores.

117

Segundo El-Ramly (2001), uma distância de autocorrelação horizontal entre

28m e 38m é razoável neste caso, com uma média de 33m. Estes valores foram

usados na análise.

Similar às análises feitas no item 5.7.1, a superfície de deslizamento

determinística foi considerada como a mais crítica na análise.

As Figuras 5.10 a 5.12 mostram os diferentes cálculos feitos pelos métodos

de Segundo Momento e Estimativas pontuais, considerando-se diferentes

distâncias de autocorrelação e distribuições de probabilidade do fator de

segurança.

Figura 5.10 – Análise probabilística pelo método de segundo momento, com distribuição

normal do fator de segurança.

El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a) reportaram uma probabilidade

de ruptura (Pr) de 0,13%, numa distância de autocorrelação (ro) de 33m. Eles

fizeram uma análise de sensibilidade com respeito à distância de autocorrelação

dentro do intervalo proposto (28m a 38m), encontrando uma variação da

probabilidade de ruptura (Pr) entre 0,10% e 0,30%. Esta variação, do ponto de

vista prático é bastante reduzida.

118

Figura 5.11 - Análise probabilística pelo método de segundo momento com distribuição

log-normal do fator de segurança.

Figura 5.12 - Análise probabilística pelo método de estimativas pontuais, com

distribuições normal e log-normal do fator de segurança.

119

Um resumo das Figuras 5.10 a 5.12, é mostrado na Tabela 5.9.

Tabela 5.9 – Probabilidades de ruptura encontradas com o método de Bishop.

Distância de

Autocorrelação

(r0)

Segundo Momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr) El-Ramly Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

28 m 0,19% 0,05% 0,05% 0,01% 0,10%

33 m 0,30% 0,10% 0,11% 0,03% 0,13%

38 m 0,46% 0,17% 0,22% 0,07% 0,30%

As probabilidades de ruptura foram somente calculadas segundo o método

de Bishop, já que este foi o único método utilizado por El-Ramly (2001) e El-

Ramly et al (2003a). Como indicado no item 5.7.1, os diversos métodos de

probabilidade não mostram muita diferença na magnitude de Pr, podendo-se,

portanto, esperar resultados similares.

A análise feita pelo método de Segundo Momento com distribuição log-

normal do fator de segurança teve resultado mais próximo aos obtidos por El-

Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a). Assumindo uma distribuição normal os

resultados de probabilidade de ruptura foram superiores, mas à favor da

segurança. Em geral o método do Segundo Momento e o fator de correção

mostrou-se aceitável.

No caso do método de Estimativas Pontuais, assumindo distribuição Normal

do fator de segurança, os resultados foram muito próximos aos encontrados por

El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2003a). Admitindo distribuição Log-Normal,

os resultados foram muito baixos e, portanto, contra a segurança.

Em geral, os dois métodos mostraram-se aceitáveis. O principal aspecto

refere-se ao tipo de distribuição do fator de segurança (Normal ou Log-Normal) a

ser utilizado. Como exposto no Capítulo 4, a hipótese de uma distribuição Normal

do fator de segurança corresponde a probabilidades de ruptura maiores que com

distribuição Log-Normal. Isto foi verificado nestas análises que, portanto,

120

permitem a recomendação para o uso da distribuição Normal em análises

probabilísticas de estabilidade de taludes.

A Tabela 5.10 mostra a comparação dos resultados de probabilidade de

ruptura obtidos fazendo a correção da variância da variabilidade espacial, e a não

correção de esta variância (item 5.7.1 e 5.7.2). Pode-se observar que a não

redução da variância leva a uma superestimativa da probabilidade de ruptura.

Tabela 5.10 – Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.

Método de

Bishop

Probabilidade de Ruptura

(sem redução na variância)

Probabilidade de Ruptura

(com redução na variância)

Distribuição

Normal 2,21% 0,12% - 0,34%

As contribuições da cada variável foram obtidas com o Método de Segundo

Momento numa distância de autocorrelação r0 = 33m (Figura 5.13). Observa-se

que a contribuição do ângulo de atrito do material kca é a mais importante.

Figura 5.13 - Contribuição de cada variável na variância de FS, para uma distância de

autocorrelação (ro) de 33m.

121

5.8. Conclusões

Os métodos de Bishop e Morgenstern–Price (Função Seno) deram

probabilidades de ruptura maiores do que Spencer, ou seja, a favor da segurança.

São usualmente considerados como aceitáveis fatores de segurança de 1,5

em condições estáticas. Neste caso foi aceito um fator de segurança de 1,31

(Bishop) já que este mostra uma probabilidade de ruptura baixa (0,12% - 0,34%),

considerando redução da variância da variabilidade espacial. Aqui é grande a

importância do uso de métodos probabilísticos.

Em geral, os métodos probabilísticos aproximados (Segundo Momento,

Estimativas Pontuais) junto com o fator de correção (equação 3.27), mostraram-se

aceitáveis, desde que se considere uma distribuição Normal do fator de segurança.

Obtém-se, assim, probabilidades de ruptura maiores, ou seja, a favor da

segurança.

A hipótese de um intervalo provável de distância de autocorrelação (ro)

mostra pouco efeito no valor final da probabilidade de ruptura nas distintas

análises. É recomendável, porém, trabalhar com um intervalo de distâncias de

autocorrelação, pois esta também é uma variável aleatória.

O efeito da não redução da variância da variabilidade espacial (Tabela 5.10)

produz um incremento significativo da probabilidade de ruptura. Isto pode

inviabilizar um projeto ou fazer uma interpretação inadequada da verdadeira

performance da estrutura.

122

6 DESLIZAMENTO EM LODALEN, NORUEGA (1954)

Neste Capítulo serão apresentadas as análises probabilísticas realizadas

pelos métodos de Segundo Momento e das Estimativas Pontuais, para um

deslizamento de talude ocorrido em Lodalen, Noruega, em 1954.

São apresentadas as análises de probabilidade de ruptura contemplando a

geometria original e várias situações com diferentes inclinações do talude,

estabelecendo relações entre a inclinação do talude, fator de segurança e

probabilidade de ruptura. Isto permite avaliar a melhor inclinação para evitar a

ruptura, desde os pontos de vista probabilístico e determinístico. Este exemplo

demonstra a eficiência de métodos probabilísticos como complemento das

análises determinísticas.

Este talude já foi analisado por El-Ramly (2001) e El-Ramly et al (2006),

com a metodologia descrita no Capítulo 4 (item 4.3.3.4). Como esta metodologia

é de difícil aplicação prática, os métodos do Segundo Momento e das Estimativas

Pontuais foram também utilizados juntamente com o fator de correção por médias

espaciais (equação 3.27). Os resultados são comparados aos obtidos por El-

Ramly, mostrando a eficiência das técnicas usuais com o uso do fator de correção.

6.1. Introdução

A ruptura do talude de argila ocorreu perto da estação de trem em Oslo

(Noruega), cujo talude inicialmente foi escavado 30 anos antes de iniciadas as

obras de expansão da estação. O talude foi escavado incrementado sua inclinação,

de forma que no instante da ruptura, o talude tinha uma altura de 17m, e uma

inclinação de 26º (2h:1v). A Figura 6.1 mostra uma seção transversal típica.

123

O talude foi investigado pelo NGI (Instituto Geotécnico de Noruega), que

instalou uma série de piezômetros, ensaios de laboratório, e investigações de

campo. A ruptura do talude foi de forma circular, e envolveu aproximadamente

10.000m3 de material.

6.2. Estratigrafia e Propriedades do Solo

A seção transversal na Figura 6.1 mostra a estratigrafia do terreno, com dois

materiais: uma argila de aproximadamente 1m de espessura sobre uma argila

marinha. A inclinação do talude foi de 2h:1v antes da ruptura. O NGI realizou 7

perfurações para a coleta de mostras e instalação posterior de 4 piezômetros, os

quais mediram a carga de pressão em diferentes profundidades.

As investigações de campo indicaram pequenas camadas de silte

intercaladas entre a argila marinha, mas esta foi considerada como um material

homogêneo, com teor de umidade de 30%, LL = 35%, e LP = 20%. A

sensitividade da argila varia entre de 3 e 15.

Nestas duas camadas foram feitos ensaios triaxiais não drenados, com

medição da poropressão. Na argila superior, foram realizados dois ensaios onde

foram obtidos os parâmetros de resistência efetivos: ângulo de atrito de 32º e

coesão de 11,8 kPa. A Figura 6.1 mostra a superfície de deslizamento

determinística. Observa-se que esta camada não atravessa esta superfície pelo que

seus parâmetros de resistência não são considerados como variáveis aleatórias.

Na camada de argila marinha foram realizados dez ensaios. Os resultados

encontram-se resumidos na Tabela 6.1. O ângulo de atrito efetivo foi de 27,1º,

com um desvio padrão de 1,72º (devido à variabilidade espacial), e de 0,54º

(devido ao erro estatístico). A coesão efetiva foi de 10,0 kPa, com um desvio

padrão de 2,22kPa (variabilidade espacial) e de 0,70 (erro estatístico). Todos estes

cálculos foram feitos com os procedimentos descritos no Capítulo 3.

124

Figura 6.1 – Seção transversal do talude em estudo.

Tabela 6.1 – Parâmetros de resistência, argila aarinha.

Ensaio Coesão

c´ (Kpa)

Ângulo de Atrito

Ø´ (graus)

1 9,8 27,5

2 7,8 24,9

3 9,8 28,1

4 9,8 27,7

5 7,8 26,6

6 12,8 24,0

7 9,8 26,3

8 6,9 29,4

9 11,8 27,2

10 13,7 29,2

É comumente atribuída uma correlação negativa entre os parâmetros de

resistência (c, Ø). Como foi exposto no Capítulo 3, o uso desta correlação pode

alterar o valor da probabilidade de ruptura. Da Tabela 6.1, pode-se fazer o cálculo

de coeficiente de correlação (ρ) entre estes os parâmetros de resistência, conforme

indica a Figura 6.2.

Superfície de Deslizamento

Determinística

Argila Marinha

Distância

Ele

vaçã

o

125

Figura 6.2 – Correlação entre ângulo de atrito e a coesão da argila marinha de Oslo.

Como pode ser observado, quase não existe correlação entre estes dois

parâmetros. Portanto, nas análises preliminares, não é considerada nenhuma

correlação. Posteriormente, será feita uma análise de sensibilidade com respeito à

adoção de um coeficiente de correlação.

6.3. Poropressões

Os quatro piezômetros instalados estão mostrados na Figura 6.3. Os dados

do piezômetro D foram excluídos da análise devido a que se encontraram dados

mais elevados aos reportados pelos outros, e foi atribuído a que se encontrava na

zona de deslizamento e seus valores poderiam ser afetados. Cada piezômetro

mediu cargas piezométricas distintas com a profundidade, como mostrado na

Figura 6.3.

Dos dados obtidos, foi inferida uma linha freática e traçado o gráfico de

carga de pressão versus profundidade abaixo da linha freática. Este gráfico foi

realizado de duas maneiras distintas: (a) com os dados de todos os piezômetros

(Fig. 6.4); (b) com os dados de cada piezômetro individualmente (Figuras 6.5 a

6.7). Nestas figuras estão também indicadas as respectivas linhas de tendência,

segundo os conceitos propostos no Capítulo 3.

Coeficiente de Correlação:

126

Figura 6.3 – Posição dos piezômetros e da linha freática no talude.

Figura 6.4 – Distribuição das cargas de pressão, considerando todos os piezômetros.

Pressão hidrostática

u= 1,37z

R2=0,9956

Carga Piezométrica (m)

Distância (m)

127

Figura 6.5 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro A.

Figura 6.6 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro B.

Pressão hidrostática

Pressão hidrostática

128

Figura 6.7 – Distribuição das cargas de pressão, no piezômetro C.

Das Figuras 6.4 a 6.7 pode-se observar que todos os piezômetros reportam

condições de poropressão acima da condição hidrostática.

As linhas de tendência em geral mostram resultados com pequena dispersão

ao redor da tendência (variabilidade espacial inerente). Isto é corroborado pelos

valores de R2 que são muito próximos a 1,0.

Estas pequenas dispersões, na realidade, são pouco usuais ou pouco

prováveis. A Tabela 6.2 mostra os diferentes valores de desvio padrão e as médias

obtidas das linhas de tendência, segundo os critérios propostos no Capítulo 3.

Tabela 6.2 – Valores de carga piezométrica no talude.

Piezômetro Valor

Médio

Desvio Padrão

V. Espacial Erro Estatístico

A, B, C 1,337z 0,2980 0,0153

A 1,299z 0,2779 0,0397

B 1,319z 0,3703 0,0279

C 1,368z 0,2859 0,0229

Pressão hidrostática

129

Inicialmente as análises probabilísticas são feitas considerando só 3

variáveis aleatórias: as propriedades de resistência (c´, Ø´) da argila marinha e as

cargas de pressão de todos os dados piezométricos (Figura 6.4). Em seguida, são

consideradas 5 variáveis aleatórias, as propriedades de resistência e as cargas de

pressão individuais de cada piezômetro (Figuras 6.5 a 6.7).

As análises com 5 variáveis permitem visualizar qual piezômetro influencia

mais a probabilidade de ruptura (no método do Segundo Momento). A análise

com 3 variáveis, entretanto, não permite esta visualização, mostrando unicamente

a contribuição conjunta de todas as cargas piezométricas.

Por inspeção da superfície de ruptura (Figura 6.3), pode-se observar que os

dados do piezômetro B são os que devem influenciar mais a análise.

6.4. Análises Determinísticas de Estabilidade de Taludes

Com os valores médios dos dados descritos nos itens 6.2 e 6.3 foram

calculados os fatores de segurança determinísticos usando o software Slope/W,

utilizando os métodos de Bishop, Spencer e Morgenstern-Price. Os resultados se

encontram resumidos na Tabela 6.3. As superfícies críticas de ruptura são

mostradas na Figura 6.8.

Tabela 6.3 – Fatores de segurança determinísticos.

Método de Análise Fator de Segurança Superfície de Ruptura

Bishop 0,956 Linha Tracejada

Spencer 0,969 Linha Continua

M. - Price 0,968 Linha Tracejada

As poropressões médias foram calculadas das linhas de tendência obtidas

nas Figuras 6.5 a 6.7, para as diferentes profundidades.

130

Figura 6.8 – Superfícies de deslizamento determinísticas.

6.5. Análises Probabilísticas da Estabilidade

Com as superfícies determinísticas, foram realizadas as análises

probabilísticas. Inicialmente desprezou-se a redução da variância da variabilidade

espacial inerente (assumindo-se autocorrelação perfeita). Posteriormente,

considerou-se a redução, como exposto no Capítulo 5, para os diferentes métodos

(Segundo Momento e Estimativas Pontuais).

6.5.1. Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita correlação das variáveis aleatórias

A análise pelo método de Segundo Momento foi feita considerando quatro

metodologias distintas para as derivadas parciais por diferenças finitas centrais:

total do desvio padrão, 50% do desvio padrão, 10% do desvio padrão e 5% do

desvio padrão.

Foram consideradas porcentagens dos desvios padrões e não dos valores dos

parâmetros, porque a tendência das cargas de poropressões está em função da

profundidade.

131

Pelo exposto, e segundo os conceitos mostrados no Capítulo 3, as equações

que descrevem a tendência das cargas de poropressões segundo as diferentes

combinações estão listadas na Tabela 6.4.

A Figura 6.9 mostra as diferentes combinações no piezômetro A, utilizados

nas análises probabilísticas. Estas combinações estão mostradas na Tabela 6.4.

Resultados semelhantes foram encontrados para os demais piezômetros.

Tabela 6.4 – Combinações da tendência das cargas piezométricas.

Piez. Desvio Padrão 50% do Desvio Padrão

A,B,C µ = (1,337 ± 0,0153)z ± 0,2980 µ = (1,337 ± 0,0077)z ± 0,149

A µ = (1,299 ± 0,0397)z ± 0,2779 µ = (1,299 ± 0,0199)z ± 0,139

B µ = (1,319 ± 0,0279)z ± 0,3703 µ = (1,319 ± 0,0140)z ± 0,185

C µ = (1,368 ± 0,0229)z ± 0,2859 µ = (1,368 ± 0,0115)z ± 0,143

Piez. 10% do Desvio Padrão 5% do Desvio Padrão

A,B,C µ = (1,337 ± 0,00153)z ± 0,02980 µ = (1,337 ± 0,00077)z ± 0,0149

A µ = (1,299 ± 0,00397)z ± 0,02779 µ = (1,299 ± 0,00199)z ± 0,0139

B µ = (1,319 ± 0,00279)z ± 0,03703 µ = (1,319 ± 0,00139)z ± 0,0185

C µ = (1,368 ± 0,00229)z ± 0,02859 µ = (1,368 ± 0,00115)z ± 0,0143

Figura 6.9 – Distribuições de carga piezométrica com a profundidade – piezômetro A.

Pressão hidrostática

132

As Tabelas 6.5 e 6.6 mostram os resultados das análises probabilísticas

considerando 5 variáveis aleatórias. Em resumo, a probabilidade de ruptura, com

distribuição Normal ou Log-normal do fator de segurança, deu valores muito

próximos para os métodos de análise (Bishop, Spencer ou Morgenstern-Price).

Isto foi devido aos valores baixos do índice de confiabilidade ( β ), conforme

descrito no Capítulo 4.

Tabela 6.5 – Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias, distribuição normal.

Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do D. Padrão 5% do D. PadrãoBishop 67,57% 67,50% 67,51% 66,99% 67,29%

Spencer 62,65% 62,75% 62,90% 62,87% 62,63%M. Price 63,08% 63,05% 63,30% 63,27% 62,94%

Probabilidade de RupturaMétodo de Análises

Segundo Momento Estimativas Pontuais

Tabela 6.6 - Análises probabilísticas com 5 variáveis aleatórias, distribuição log-normal.

Desvio P. 50% do D. Padrão 10% do D. Padrão 5% do D. PadrãoBishop 69,04% 68,98% 68,99% 68,55% 68,78%

Spencer 64,35% 64,43% 64,55% 64,53% 64,32%M. Price 64,76% 64,73% 64,94% 64,91% 64,62%

Probabilidade de RupturaMétodo de Análises

Segundo Momento Estimativas Pontuais

A probabilidade de ruptura segundo Bishop foi mais elevada ao encontrada

nos métodos de Spencer e Morgenstern-Price, mas a favor da segurança. O

Método de Morgenstern-Price considerou uma função senoidal para descrever a

variação de forças entre fatias.

No método de Segundo Momento, para diferentes configurações da derivada

parcial (σ, 50%σ, 10%σ ou 5%σ), foram encontradas probabilidades de ruptura

muito semelhantes em qualquer dos métodos (Bishop, Spencer ou Morgenstern-

Price). Não se observa nenhum efeito do tipo de configuração da derivada parcial.

Os dois métodos de análise probabilística (Segundo Momento e Estimativas

Pontuais) mostraram-se muito próximos, devido principalmente aos pequenos

coeficientes de variação (COV) dos parâmetros de resistência (COV(ΦMC) = 0,07,

COV(CMC) = 0,23), e também à pequena dispersão nas cargas de poropressão ao

redor da tendência fixada.

133

Devido à probabilidade de ruptura ser muito alta, a ruptura do talude foi

iminente. A Figura 6.10 mostra a contribuição na variância do fator de segurança

de cada componente no método de Segundo Momento, em análise feita por

Bishop, considerando o total do desvio padrão. Resultados similares foram

encontrados nas demais análises.

As maiores contribuições são encontradas nos parâmetros de resistência,

seguido pelas variações de cargas de pressão do piezômetro B. As variações de

cargas de pressão dos piezômetros A e C não têm influência significativa, devido

à distância em relação à superfície de deslizamento.

Foram também realizadas análises probabilísticas com 3 variáveis aleatórias

(parâmetros de resistência e dados piezométricos), pelo método de Segundo

Momento, com variações das derivadas parciais considerando o desvio padrão

total. Os resultados estão mostrados na Tabela 6.7.

Figura 6.10 – Contribuição na variância do fator de segurança das cinco variáveis,

considerando o total do desvio padrão.

134

Tabela 6.7 - Análises probabilística com 3 variáveis aleatórias.

Distribuição Normal Distribuição Log-NormalBishop 68,40% 69,75%

Spencer 63,34% 64,92%M. Price 63,79% 65,35%

Probab. de Ruptura (Método de Segundo Momento)Método de Análises

Derivadas Parciais com o Desvio Padrão

Os resultados das duas modelagens, resumidos nas Tabelas 6.5 a 6.7,

mostram diferenças pequenas, o que indica que ambas as modelagens são corretas.

A forma de modelar é uma decisão do engenheiro projetista, mas é recomendável

considerar as diferentes variáveis aleatórias para identificar qual tem maior

contribuição para a estabilidade.

A Figura 6.11 mostra as contribuições na variância do fator de segurança de

cada componente na análise com 3 variáveis. Pode-se observar que os resultados

são semelhantes aos mostrados na Figura 6.10.

Figura 6.11 – Contribuição na variância do fator de segurança das três variáveis,

considerando o total do desvio padrão.

135

6.5.2. Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos Parâmetros do Solo.

Na análise com 5 variáveis aleatórias foram corrigidas as variâncias da

variabilidade espacial produto das médias espaciais de cada variável, como

exposto no Capítulo 5, nos dois métodos probabilísticos (Segundo Momento e

Estimativas Pontuais).

El-Ramly (2001, 2006) mostra a análise probabilística para este talude, mas

considerando a variabilidade espacial pelo método de Morte Carlo, como exposto

no Capítulo 4. Ele utilizou os métodos de Bishop e Spencer, os quais serão

comparados. Resultados similares são esperados com o método de Morgenstern-

Price.

Para utilizar a equação 3.27 (Capítulo 3) é preciso determinar a distância de

autocorrelação a ser utilizada. Das pesquisas de campo, conclui-se que esta argila

marinha poderia ser considerada homogênea, o que é confirmado pelos pequenos

coeficientes de variação encontrados nos parâmetros de resistência (COVØ= 0,07,

COVC= 0,23). Ademais, as cargas de pressão apresentam dispersão reduzida ao

redor da tendência.

Por todo o exposto, as distâncias de autocorrelação na direção horizontal

estão entre 30 ate 40m e, na direção vertical, entre 1 e 3m. Observando a

superfície de deslizamento na Figura 6.8, pode-se supor que não existe uma

estrutura espacial dominante em nenhuma direção.

Utilizando uma distância de autocorrelação equivalente r0-e, (equação 3.31),

pode-se chegar num intervalo de 5 ate 15m, com valor médio de 10m. Estes

mesmos dados foram utilizados por El-Ramly em sua metodologia.

As Tabelas 6.8 e 6.9 sumarizam os resultados encontrados. As Figuras 6.12,

a 6.17 mostram o impacto das diferentes distâncias de autocorrelação

consideradas na análise probabilística.

136

Tabela 6.8 – Probabilidade de ruptura com o método de Bishop.

Distância de

Correlação

ro (m)

Segundo Momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr)

Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

5 80,97% 81,17% 83,55% 83,61%

10 74.72% 75.37% 75.50% 76.07%

15 71,1% 72,16% 71,35% 72,31%

Tabela 6.9 - Probabilidade de ruptura com o método de Spencer.

Distância de

Correlação

ro (m)

Segundo momento (Pr) Estimativas Pontuais (Pr)

Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

Distribuição

Normal

Distribuição

Log-Normal

5 73.3% 73.85% 75.86% 76.23%

10 68.17% 69.4% 69.01% 69.88%

15 65.4% 66.67% 65.73% 66.95%

Figura 6.12 – Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento com

distribuição normal do FS.

137

Figura 6.13 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com

distribuição log-normal do FS.

Figura 6.14 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com

distribuição normal do FS.

138

Figura 6.15 - Probabilidade de ruptura obtida no método de segundo momento, com

distribuição log-normal do FS.

Figura 6.16 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas pontuais, com

distribuição normal e log-normal do FS.

139

Figura 6.17 - Probabilidade de ruptura obtida no método de estimativas pontuais, com

distribuição normal e log-normal do FS.

A probabilidade de ruptura calculada pelo método de Segundo Momento

segundo Bishop deu em geral resultados comparáveis aos calculados por El-

Ramly (2001), para uma distância de autocorrelação de 10m. O efeito da distância

de autocorrelação causou uma variação grande da probabilidade de ruptura, mas

em qualquer caso a ruptura do talude era iminente.

A probabilidade de ruptura calculada pelo método de Segundo Momento

segundo Spencer deu resultados muito próximos que os calculados por El-Ramly

(2006) melhor as de Bishop, para uma distância de autocorrelação de 10m. O

efeito distância de autocorrelação acarretou uma variação da probabilidade de

ruptura menor que a de Bishop.

Outro aspecto importante a ser mencionado no método do Segundo

Momento, é que a hipótese sobre as diferentes amplitudes no cálculo das

derivadas parciais tem pouco efeito nas probabilidades de ruptura encontradas.

No método de Estimativas Pontuais, segundo Bishop ou Spencer, as

conclusões encontradas foram iguais às do método de Segundo Momento.

140

As probabilidades de ruptura por qualquer método probabilístico, com

distribuição Normal ou Log-normal do fator de segurança, deram diferenças

desprezíveis, devido aos pequenos valores de índice de confiabilidade encontrados

( β ) e às pequenas incertezas encontradas nos parâmetros considerados como

variáveis aleatórias.

As Tabelas 6.10 e 6.11 mostram o efeito da não correção da variância da

variabilidade espacial. Analisando as probabilidades de ruptura obtidas com os

métodos de Bishop ou Spencer, pode-se observar que a não redução da variância

da variabilidade espacial ocasiona probabilidades de ruptura obtidas subestimadas,

ou seja, contra a segurança.

Tabela 6.10 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.

Método de

Bishop

Probabilidade de Ruptura

(sem redução na variância)

Probabilidade de Ruptura

(com redução na variância)

Distrib. Normal 67,42% 82,26 – 71,23%

Distrib. Log-normal 68,91% 82,39 – 72,24%

Tabela 6.11 - Efeito da correção da variância da variabilidade espacial.

Método de

Spencer

Probabilidade de Ruptura

(sem redução na variância)

Probabilidade de Ruptura

(com redução na variância)

Distrib. Normal 62,71% 74,58 – 65,57%

Distrib. Log-normal 64,40% 75,04 – 66,81%

6.6. Análises Probabilísticas com Variações da inclinação do Talude

Os resultados constataram que a ruptura do talude com inclinação de 2h:1v

(Figura 6.1) era iminente. Neste capítulo, foram apresentadas análises

probabilísticas considerando diferentes inclinações de taludes, permitido a

determinação da configuração associada a critérios aceitáveis de projeto dos

taludes.

141

As inclinações de taludes consideradas foram de 2.5h:1v, 3.0h:1v, 3.5h:1v e

4.0h:1v. As análises probabilísticas foram executadas pelo método de Segundo

Momento, com os mesmos parâmetros de resistência e condições de poropressão

descritos no itens 6.2 e 6.3. Todas as análises foram realizadas na superfície

crítica de deslizamento, determinada pelos métodos determinísticos. Também

foram considerados os efeitos da redução da variância da variabilidade espacial,

para as mesmas distâncias de autocorrelação propostas. Foi considerada apenas a

hipótese de probabilidade de ruptura com distribuição normal de FS.

Dos resultados obtidos podem-se estabelecer uma relação entre o fator de

segurança (FS) determinístico, a probabilidade de Ruptura (Pr%) e a inclinação do

talude. Foram considerados os métodos de Bishop e de Spencer. Os resultados

estão mostrados nas Figuras 6.18 e 6.19, respectivamente.

Figura 6.18 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes

inclinações de taludes: método de Bishop.

FS

Pr(%)

142

Figura 6.19 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes

inclinações de taludes: método de Spencer.

Como pode ser observado nas Figuras 6.18 e 6.19, é desprezível o

incremento de probabilidade de ruptura entre os taludes de 4,0h:1v e 3,5h:1v,

apesar dos fatores de segurança serem diferentes (1,32 e 1,22). Também pode ser

observado um maior incremento da probabilidade de ruptura entre as inclinações

de 3,0h:1v e 2,5h: 1v. Pode-se constatar a utilidade dos métodos probabilísticos

quando usados em conjunto com os métodos determinísticos.

Outro aspecto a ser comentado é o efeito de reduzir a variância da

variabilidade espacial. Todas as inclinações analisadas mostram menor

probabilidade de ruptura utilizando distintas distâncias de autocorrelação. O efeito

da distância de autocorrelação é maior com probabilidades de ruptura maiores

(2.5h:1v).No caso de taludes com probabilidades de ruptura baixas (4h:1v ou

3.5h:1v), o efeito da distância de autocorrelação é menor.

Em resumo, as Figuras 6.18 e 6.19 mostram que a não redução da variância

da variabilidade espacial, para probabilidades de ruptura menores que 50%,

resulta em uma superavaliação da probabilidade de ruptura. Para probabilidades

de ruptura maiores que 50%, os valores de Pr são subestimados, ou seja,

contrários à segurança.

FS Pr(%)

143

São comumente sugeridos como aceitáveis os taludes com FS entre 1,4 a

1,5. Neste caso, será aceito o talude com inclinação 4h:1v, que tem FS = 1,32,

pois ele mostra uma probabilidade de ruptura reduzida.

Nesta inclinação do talude (4h:1v), foram calculados também as

probabilidades de ruptura pelo método de Estimativas Pontuais, para os dois

métodos de estabilidade de taludes (Bishop e Spencer). Também foram

consideradas distribuições de probabilidade Normais e Log Normais do fator de

segurança. Todos estes resultados serão comparados aos obtidos pelo método do

Segundo Momento.

As Figuras 6.20 e 6.21 mostram os resultados de Pr obtidos. As Tabelas

6.12 a 6.15 resumem as comparações dos valores obtidos e os publicados por El-

Ramly (2001, 2006).

Figura 6.20 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para diferentes

distâncias de autocorrelação (r0), método de segundo momento.

1 2 3 4 5 64

3 6

1

2

5

144

Figura 6.21 – Variação da probabilidade de ruptura no talude 4h:1v, para diferentes

distâncias de autocorrelação (r0), método de estimativas pontuais.

Tabela 6.12 – Comparação das probabilidades de ruptura, segundo momento.

Método de Bishop FS Pr Pr - r0(5m) Pr - r0(10m) Pr-r0(20m)

Distrib. Normal 1,315 7,27E-03 1,12E-08 6.19E-06 5.23E-04

Distrib. Log-Normal 1,315 2,97E-03 9,19E-11 3,29E-07 1,01E-04

El-Ramly 2001 1,33 3,0E-04 3,52E-09 6,17E-07 8.84E-05

Tabela 6.13 - Comparação das probabilidades de ruptura, segundo momento.

Método de Spencer FS Pr Pr - r0(5m) Pr - r0(10m) Pr-r0(20m)

Distrib. Normal 1,322 6,11E-03 4,23E-09 3,37E-06 3.68E-04

Distrib. Log-Normal 1,322 2,33E-03 2,32E-11 1,41E-07 6,20E-05

El-Ramly 2001 1,34 11,0E-02 6,34E-10 1.94E-07 4.65E-05

Tabela 6.14 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas pontuais.

Método de Bishop FS Pr Pr - r0(5m) Pr - r0(10m) Pr-r0(20m)

Distrib. Normal 1,316 7,12E-03 6,01E-12 8,17E-07 3,50E-04

Distrib. Log-Normal 1,316 2,88E-03 5,00E-15 2,37E-08 5,99E-05

El-Ramly 2001 1.33 3.0E-04 3,52E-09 6,17E-07 8.84E-05

1 2 3 4 5 6

4 2

3 1

5 6

145

Tabela 6.15 - Comparação das probabilidades de ruptura, estimativas pontuais.

Método de Spencer FS Pr Pr - r0(5m) Pr - r0(10m) Pr-r0(20m)

Distrib. Normal 1,323 6,03E-03 1,50E-12 4,03E-07 2,43E-4

Distrib. Log-Normal 1,323 2,28E-03 1,78E-15 8,71E-09 3,59e-05

El-Ramly 2001 1.34 11.0E-02 6,34E-10 1.94E-07 4.65E-05

Pode-se observar que os resultados têm grande correspondência e a equação

3.27 (Capítulo 3) mostra-se aceitável para quantificar a redução da variância da

variabilidade espacial.

A Tabela 6.13 (Método de Spencer) mostra uma grande diferença entre as

probabilidades de ruptura (Pr) obtidas sem redução da variância da variabilidade

espacial, com respeito ao publicado por El-Ramly (2006) e ao calculado. Porém,

na Tabela 6.12 (Método de Bishop), a diferença é pequena, podendo-se supor que

o valor reportado por El-Ramly (Pr = 11.0E-02) está incorreto.

Os dois métodos probabilísticos utilizados (Segundo Momento e

Estimativas Pontuais) mostraram-se aceitáveis para distâncias de autocorrelação

maiores que 10m. Para menores distâncias de autocorrelação, o método de

Segundo Momento mostra resultados concordantes com os reportados por El-

Ramly. No entanto, o método de Estimativas Pontuais não mostra esta

concordância.

6.7. Análises Probabilísticas Considerando Coeficientes de Correlação entre os Parâmetros de Resistência

Como foi mostrado na Figura 6.2, não existe correlação entre os parâmetros

de resistência. Neste Capítulo são feitas análises probabilísticas na inclinação

original do talude (2h:1v), mediante os distintos métodos (Segundo Momento,

Estimativas Pontuais e Monte Carlo), para poder quantificar o efeito da hipótese

de algum tipo de correlação.

146

Nos métodos de Segundo Momento e Estimativas Pontuais foram,

calculadas as probabilidades de ruptura assumindo distribuições de probabilidade

Normal e Log-normal. Para a análise de Monte Carlo, foi utilizado o programa

Slope/W. Neste programa, a probabilidade de ruptura só pode ser obtida

considerando-se uma distribuição Normal do fator de segurança.

Para facilitar as análises, só foram consideradas as duas variáveis aleatórias

verificadas anteriormente como sendo as mais relevantes para este caso: os

parâmetros de resistência (c`, Ø`). As condições de poropressões foram as médias

obtidas pelas linhas de tendência.

A Figura 6.22 mostra os resultados obtidos com o método de Bishop.

Resultados similares podem ser obtidos com os métodos de Spencer.

Observa-se na Figuras 6.22 que a consideração de algum tipo de coeficiente

de correlação negativa influencia muito a probabilidade de ruptura, enquanto a

hipótese de coeficiente de correlação positiva não gera grandes diferenças. No

caso de ausência de dados, é recomendável não considerar nenhum coeficiente de

correlação.

Figura 6.22 – Valores de probabilidade de ruptura em função do coeficiente de

correlação.

147

6.8. Conclusões

O método de Segundo Momento mostra-se prático e eficiente, fornecendo

resultados aceitáveis em comparação aos demais métodos, mas com menos

esforço computacional.

No caso inicial do talude 2:1, a probabilidade de ruptura sem redução na

variância foi muito elevada (em média 65%). Aplicando-se a redução na

variância, o valor é maior (em média 75%). Isto mostra que o efeito da redução da

variância da viabilidade espacial não necessariamente leva a probabilidades de

ruptura superestimadas. Em qualquer caso, a ruptura do talude era iminente, e não

tinha importância haver reduções na variância da variabilidade espacial.

A decisão de quantas variáveis aleatórias vai ser usada na análise depende

do engenheiro projetista. Na realidade, devem ser utilizadas todas aquelas

variáveis que influenciam a análise. Neste Capítulo, a utilização de 3 ou 5

variáveis não mostra diferenças significativas no resultado final já que só foram

considerados dois parâmetros: resistência ao cisalhamento e condições de

poropressão. De fato, a existência de outro parâmetro (cargas externas) poderia

afetar o resultado final.

A utilização de um intervalo de distâncias de autocorrelação (ro) não

mostrou maior importância quando a probabilidade de ruptura era reduzida

(Figuras 6.18 e 6.19). Quanto maior é a probabilidade de ruptura, maior é a

importância da distância de autocorrelação para os resultados.

Do ponto de vista prático, como os projetos geotécnicos buscam sempre

valores reduzidos de probabilidade de ruptura, o uso de um intervalo de distâncias

de autocorrelação poderia ser descartado. É, porem, recomendável a utilização de

um intervalo de distâncias de autocorrelação, pois este parâmetro representa

também uma incerteza. É mais adequado definir um intervalo provável do valor

de Pr do que tentar estabelecer um resultado absoluto.

148

Nas Figuras 6.18 e 6.19 também pode ser observado que a não redução da

variabilidade espacial tem um efeito significativo: para probabilidade de ruptura

menor que 50%, ocorre uma superestimativa de Pr; para valores maiores que 50%,

o valor de Pr é subestimado.

No caso do talude com inclinação 4h:1v, os métodos probabilísticos

(Segundo Momento e Estimativas Pontuais), com o fator de correção (Equação

3.27), mostraram-se aceitáveis, desde que as distâncias de autocorrelação sejam

maiores que 10m (Figuras 6.20 e 6.21). Para distâncias menores que 10m, o

Método de Segundo Momento foi o único que mostrou concordância com os

resultados publicados por El-Ramly.

O uso de um coeficiente de correlação entre os parâmetros de resistência do

solo não é recomendado, no caso de dados insuficientes. Como foi mostrado na

Figura 6.20, o uso de algum tipo de correlação, sobretudo um valor negativo, afeta

de forma significativa o resultado final da probabilidade de ruptura.

149

7 INVESTIGAÇÃO DO ATERRO EM MUAR

As técnicas probabilísticas tradicionais de probabilidade de estabilidade de

taludes (Segundo Momento e Estimativas Pontuais) serão aplicadas para a

avaliação da probabilidade de ruptura de um aterro experimental na Malásia.

Análises probabilísticas neste aterro foram realizadas por El-Ramly (2001)

utilizando a metodologia descrita no Capítulo 4. Como esta técnica é pouco

prática para uso na engenharia, serão avaliadas as técnicas usuais com o fator de

redução da variância da variabilidade espacial, como descrito no Capítulo 3

(equação 3.27).

Uma vez determinada a probabilidade de ruptura correspondente à

instabilidade do aterro, serão calculados os valores de Pr para diferentes alturas do

aterro. Isto permitirá estabelecer uma relação entre a probabilidade de ruptura, a

altura do aterro e o fator de segurança determinístico, mostrando a eficiência dos

métodos probabilísticos como complementos das análises determinísticas.

7.1. Introdução

O Departamento de Estradas da Malásia construiu um aterro de grande

escala sobre um depósito de argila marinha muito mole, com o objetivo de

otimizar o procedimento de projeto. As investigações constaram de uma série de

ensaios e instrumentação de campo para monitorar o comportamento do aterro.

Nesta investigação, foram convidados 30 engenheiros geotécnicos para

fazer previsões sobre a conduta do aterro durante os diferentes estágios da

construção até a ruptura. As conclusões e previsões destes engenheiros foram

discutidas e resumidas por Brand e Premchitt (1989).

150

7.2. Estratigrafia do Terreno e Características do Aterro

O aterro foi construído sobre um área de 55 x 90m, com taludes de 2h:1v.

Na construção foram usadas argilas arenosas e areias argilosas compactadas. No

instante da ruptura, a altura do aterro era de 5,4m.

A estratigrafia do terreno era composta inicialmente por uma crosta de

aproximadamente 2m de espessura de uma argila resistente. Embaixo, encontrava-

se uma argila siltosa de alta compressibilidade, com espessura de 6m, seguida por

outra camada de argila siltosa mole de 9m de espessura aproximadamente.

Posteriormente foi encontrada uma lente de turfa altamente compressível de

0,70m de espessura, sobre uma densa argila arenosa. As Figuras 7.1 e 7.2

mostram a geometria do aterro e a estratigrafia do terreno respectivamente.

Figura 7.1 - Superfície de ruptura observada no aterro sobre solo mole, Brand e

Premchitt (1989)

151

Figura 7.2 – Estratigrafia e resistência não drenada encontrada no campo.

7.3. Propriedades de Resistência do Solo de Fundação

Do inicio da construção até a ruptura transcorreram apenas 100 dias, e a

ruptura ocorreu um dia depois que se desenvolveu uma trinca longitudinal perto

do centro do aterro (Figura 7.3). Consideraram-se assim as análises de

estabilidade de taludes sob condições não drenadas.

Brand e Premchitt (1989) indicaram a superfície de ruptura desenvolvida, a

qual foi determinada pelos inclinômetros (Figura 7.1). Pode-se apreciar

claramente que a superfície de deslizamento foi circular, e que a estabilidade do

aterro estava fortemente controlada pelas propriedades de resistência da argila

siltosa muito mole.

Argila Resistente

Argila Siltosa

Muito Mole

Argila Siltosa

Mole

Turfa

Argila Arenosa Densa

Resistência ao cisalhamento não Drenado Su (kPa)

Prof

undi

dade

(m)

152

Figura 7.3 – Ruptura do aterro após 100 dias de construção.

No local, foi feita uma série de ensaios de palheta para determinar a

resistência não drenada dos materiais (Figura 7.2).

Pode-se observar uma diminuição da resistência não drenada com a

profundidade na argila da crosta. Posteriormente, registra-se um incremento

constante com a profundidade na argila siltosa muito mole, e na argila siltosa

mole, os incrementos de resistência não drenada nestas duas argilas moles

parecem ter uma tendência com a profundidade única, pode-se, portanto,

estabelecer uma tendência nestas duas camadas.

A Tabela 7.1 resume as principais propriedades físicas e mecânicas

encontradas nestes materiais.

Tabela 7.1 - Propriedades físicas e mecânicas das camadas argilosas.

Camada Limite de

Liquidez (%)

Limite de

Plasticidade (%)

Índice de

Compressibilidade

Peso Específico

(kN/m3)

Argila na crosta 90 30 ------ 15,5

Argila siltosa muito mole 80 27 1,75 14,0

Argila siltosa mole 55 23 1,05 16,0

153

A Tabela 7.1 mostra claramente que todas as camadas de argila são

altamente plásticas, e as camadas de argila mole são altamente compressíveis, em

especial a camada de argila siltosa muito mole.

Da Figura 7.2 podem-se obter duas linhas de tendência da resistência não

drenada com a profundidade. A primeira encontra-se na argila da crosta, e a

segunda nas argilas moles, já que estas apresentam um incremento constante

como visto na Figura 7.2.

A Tabela 7.2, mostra os parâmetros das linhas de tendência obtidas segundo

os critérios descritos no Capítulo 3.

Tabela 7.2 – Linhas de tendência da resistência não drenada (Su).

Tipo de Solo Média Desvio Padrão

Variabilidade Espacial Erro Estatístico

Argila da Crosta

Inclinação 15,73 ----- 2,49

Intercepto 2,79 ------ 3,62

Residuais ----- 4,55 ------

Argila Mole

Inclinação -1,77 ----- 0,07

Intercepto 7,21 ------ 0,63

Residuais ----- 2,45 ------

7.4. Propriedades de Resistência do Aterro

Os materiais utilizados neste aterro foram de origem granítica, descritos

como argilas arenosas a areias argilosas. Neste material foram realizados três

ensaios triaxiais não consolidados não drenados (UU), e dois triaxiais drenados

(CD). Os resultados estão mostrados na Tabela 7.3.

Tabela 7.3 – Propriedades de resistência do aterro.

Ensaio Triaxial Ângulo de Atrito (º) Coesão (kPa)

UU 12 -26 64 - 19

CD 31 14

154

Condições não drenadas foram consideradas adequadas neste material. A

resistência não drenada (Su) foi estabelecida em 60kPa. A incerteza associada

nesta determinação é grande, devido principalmente à incompatibilidade de

deformações necessárias para mobilizar a resistência máxima do aterro e do

terreno de fundação.

A escolha da resistência a ser considerada é deixada a cargo da experiência

e julgamento do engenheiro. Alguns engenheiros consideram alguma porcentagem

da resistência do aterro, e outros não consideram nenhuma contribuição, pelo que

considerar esta variável como uma variável aleatória é de suma importância. Foi

considerado um desvio padrão de 12 kPa (COV = 0,2) adequado neste material.

7.5. Fator de Correção de Bjerrum

A resistência não drenada obtida pelo ensaio de palheta é em geral

superestimada, sendo comum a utilização do fator de correção proposto por

Bjerrum (Figura 7.4), o qual é função do índice de plasticidade do solo.

Figura 7.4 – Fator de correção da resistência não drenada.

ÍNDICE DE PLASTICIDADE (%)

FAT

OR

DE

CO

RR

EÇ

ÃO

155

Da Tabela 7.1 podem ser obtidos os índices de plasticidade. A argila na

crosta tem um índice de plasticidade de 60%, enquanto que a argila mole tem IP=

50%. Com estes resultados, foram obtidos fatores de correção de 0,75 e 0,80,

respectivamente.

Da Figura 7.4 pode-se apreciar a grande dispersão dos dados ao redor da

tendência. Na realidade, este fator de correção não é uma variável determinística,

pelo que foi modelada como uma variável aleatória, com um desvio padrão de

0,15 (COV= 0,2).

Em geral a equação que descreve a resistência não drenada com a

profundidade nos dois materiais segue os princípios propostos no Capítulo 3. A

equação 7.1 mostra como foram considerados os dados:

[ ]( ) ( ) ( )B A D VESu B A z Dσ σ σ σ= + + + + + (7.1)

Onde as letras A e D são os parâmetros da linha de tendência, σA e σD são os

desvios padrões devido ao erro estatístico, σVE é o desvio padrão da variabilidade

espacial (dispersão dos dados ao redor da meia), B é o fator de correção de

Bjerrum e σB é o desvio padrão.

7.6. Análise Determinística de Estabilidade de Taludes

Como mostra a Figura 7.1, a superfície de ruptura na fundação é circular.

Assim, o fator de segurança é obtido segundo Bishop, utilizando as médias das

propriedades dos materiais (itens 7.3 a 7.5.).

O fator de segurança foi calculado como 1,106. A Figura 7.5 mostra a

superfície de ruptura encontrada, o fator de segurança obtido se encontra

ligeiramente superior à unidade indicando uma estabilidade precária. Como

ocorreu a ruptura, algum parâmetro de resistência ao cisalhamento foi

superestimado. A resistência ao cisalhamento no aterro a qual foi determinada

sem muita precisão é talvez a mais provável de ter sido superestimada.

156

Figura 7.5 – Superfície de ruptura segundo Bishop.

7.7. Análises Probabilísticas de Estabilidade de Taludes

As análises probabilísticas foram realizadas pelos métodos de Segundo

Momento e de Estimativas Pontuais na superfície crítica determinística obtida. As

análises foram realizadas inicialmente sem redução da variância da variabilidade

espacial, e posteriormente com a redução.

No método de Segundo Momento foram consideradas quatro metodologias

distintas para as derivadas parciais: desvio padrão, 50% do desvio padrão, 20% do

desvio padrão e 10% do desvio padrão.

7.7.1. Análises Probabilísticas Assumindo Perfeita Autocorrelação dos Parâmetros

Nesta análise não foram corrigidas as variâncias da variabilidade espacial.

As análises probabilísticas foram feitas considerando 5 variáveis aleatórias: as

resistências ao cisalhamento não drenado (Su) de todos os materiais (aterro, argila

na crosta e argila mole), seguindo a equação 7.1, junto com os fatores de correção

de Bjerrum da argila da crosta e da argila mole.

A Figura 7.6 mostra os resultados obtidos. As diferenças encontradas na

obtenção da probabilidade de ruptura no método do Segundo Momento devido às

diferentes amplitudes das derivadas parciais são desprezíveis.

157

A diferença entre as probabilidades de ruptura encontradas nos métodos de

Segundo Momento e Estimativas Pontuais é mínima, seja com a hipótese de

distribuição Normal ou Log-Normal do fator de segurança.

Figura 7.6 – Probabilidade de ruptura, método de Bishop.

A Figura 7.7 mostra a contribuição na variância do fator de segurança de

cada componente, no método de Segundo Momento. Pode ser observado que a

resistência não drenada da argila mole (Suc) e do aterro (Sufill) são as que mais

contribuem, seguido pelo fator de correção Bc na argila mole. As propriedades da

argila na crosta têm pouco efeito no calculo.

Figura 7.7 – Contribuição na variância do fator de segurança dos parâmetros.

158

7.7.2. Análises Probabilísticas Considerando a Variabilidade Espacial dos Parâmetros de Solo

Para avaliar o efeito da redução da variância da variabilidade espacial nas

análises probabilísticas, foi utilizado à equação 3.27 (Capítulo 3) como fator de

correção. Nos métodos de Segundo Momento de Estimativas pontuais, como

descritos no Capítulo 5.

Antes da utilização de este fator de correção ( )f é preciso determinar as

distâncias de autocorrelação representativas neste material. Esta argila marinha

mostra uma estrutura continua antes que errática, portanto podem-se esperar

distâncias de autocorrelação maiores.

Distâncias de autocorrelação entre 30 e 40m na direção horizontal e de 1 até

3m na direção vertical, são consideradas possíveis neste material. Como

observado na Figura 7.5, mais de 75% da superfície de ruptura se encontra na

argila mole. Portanto, será somente considerada a redução neste material.

A Figura 7.5 mostra também que superfície de ruptura na argila mole não

tem uma estrutura espacial numa direção especifica (vertical ou horizontal).

Portanto é preciso assumir uma estrutura espacial isotrópica a traves de uma

distância de autocorrelação isotrópica, a qual pode ser obtida da equação 3.31. É

considerado apropriado uma distância de autocorrelação isotrópica entre 5 – 15m,

com uma média de 10m, estas distâncias de autocorrelação são as mesmas

utilizadas por El-Ramly (2001).

As Figuras 7.8 e 7.9 mostram as probabilidades de ruptura encontradas no

método de Segundo Momento, considerando distintas amplitudes das derivadas

parciais e distribuições de probabilidade do fator de segurança (Normal e Log-

normal).

159

Figura 7.8 – Probabilidade de ruptura, método de segundo momento, distribuição normal

do fator de segurança.

As diferences entre a hipótese de uma distribuição de probabilidade normal

ou Log-Normal do fator de segurança é pequena. Em resumo a probabilidade de

ruptura encontra-se entre 22,19% e 27,02 %, para distâncias de autocorrelação

entre 5 e 15m.

Figura 7.9 - Probabilidade de ruptura, método de segundo momento, distribuição log-

normal do fator de segurança.

160

A Figura 7.10 mostra as probabilidades de ruptura no método de

Estimativas Pontuais, as quais se encontram entre 14 e 26% para distâncias de

autocorrelação entre 5 e 15m. A diferença de probabilidade encontrada neste

método é maior que do Segundo Momento, mas a probabilidade de ruptura para

uma distância de autocorrelação de 10m foi de 22% em média, o qual é muito

próximo ao valor de 23,79%, reportado por El-Ramly 2001.

Figura 7.10 - Probabilidade de ruptura, método de estimativas pontuais, distribuição

normal e log-normal do fator de segurança.

Os dois métodos (Segundo Momento e Estimativas Pontuais) junto com o

fator de correção (Equação 3.27) mostram-se adequados para o cálculo da

probabilidade de ruptura numa distância de autocorrelação de 10m.

O método de Estimativas Pontuais mostra uma maior sensitividade no

calculo da probabilidade de ruptura, para distâncias de autocorrelação menores a

10m, o qual também foi observado no Capítulo 6.

161

7.8. Análises Probabilísticas para Diferentes Alturas do Aterro

Serão apresentados os valores de Pr obtidos para diferentes alturas do aterro

utilizando o método de Segundo Momento, de forma a se obter uma relação entre

a altura do aterro, fator de segurança e probabilidade de ruptura.

Na análise são consideradas alturas de 3,2m, 4,0m, 4,2m e 4,7m.

Inicialmente são obtidas probabilidades de ruptura sem redução da variância da

variabilidade espacial. A seguir, são calculados os valores considerando a

redução, considerando distâncias de autocorrelação de 5m, 10m e 15m.

As Figuras 7.11 e 7.12 mostram os resultados obtidos. Pode-se observar a

grande diferença de probabilidade de ruptura quando a elevação passa de 4,7 a

5,4m, e um menor incremento da probabilidade quando a altura do aterro passa de

3,2m a 4,0m.

Neste tipo de obras são considerados adequados fatores de segurança

determinístico entre 1,3 e 1,4 ao final da construção. A altura do aterro de 4,0m

satisfaz este requerimento (FS = 1,38). Sua probabilidade de ruptura com uma

distância de autocorrelação de 10m, assumindo uma distribuição Normal do fator

de segurança é de 3,17% (Figura 7.11), e assumindo uma distribuição Log-

Normal de 1,73% (Figura 7.12).

El-Ramly 2001 reportou uma probabilidade de ruptura de 1,29%, numa

distância de autocorrelação de 10m, ligeiramente superior ao encontrado pelo

método de Segundo Momento assumindo uma distribuição Log-normal do fator

de segurança. Para distâncias de autocorrelação de 5m e 15m, ele reportou

probabilidades de ruptura de 1,06% e 1,67%, respectivamente.

162

Figura 7.11 – Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes

alturas do aterro, distribuição normal do FS.

Figura 7.12 - Variação da probabilidade de ruptura e fator de segurança para diferentes

alturas do aterro, distribuição log-normal do FS.

FS Pr(%)

FS Pr(%)

163

Devido as diferenças de probabilidade de ruptura encontradas no aterro com

altura de 4,0m, nas distintas distâncias de autocorrelação propostas, foram

também calculadas as probabilidades de ruptura pelo método de Estimativas

Pontuais. Assumindo também distribuição Normal e Log-Normal do fator de

segurança.

A Figura 7.13 mostra os resultados obtidos. Pode-se apreciar que o método

de Segundo Momento com distribuição Log-Normal do fator de segurança, junto

com o método de Estimativas Pontuais com distribuição Normal, mostram

probabilidades de ruptura comparáveis aos reportados por El-Ramly, numa

distância de autocorrelação de 10m.

Neste caso, para distâncias de autocorrelação menores a 10m o método de

Estimativas Pontuais mostra-se inadequado para o calculo da probabilidade de

ruptura.

O método de Segundo Momento com distribuição Log-Normal do fator de

segurança foi quem se mostrou mais conveniente neste caso para o cálculo da

probabilidade de ruptura.

Figura 7.13 – Variação da probabilidade de ruptura para diferentes distâncias de

autocorrelação numa altura do aterro de 4.0m.

164

7.9. Conclusões

O método de Segundo Momento foi o que se mostrou mais aceitável nos

intervalos de distâncias de autocorrelação propostos. O método de Estimativas

Pontuais mostra uma grande diferença nas probabilidades de ruptura obtidas para

distâncias de autocorrelação menores que 10m. Isto pode ser devido ao fator de

correção ser aplicado a toda a variância do FS (variabilidade espacial, erro

estatístico).

No caso do aterro com altura de 4m, pode ser observado que existe uma

maior sensitividade sobre qual distância de autocorrelação deve-se usar. Em

especial quando é assumida uma função Normal do FS (Figura 7.13), onde

probabilidades de rupturas elevadas são obtidas, mas a favor da segurança. A

função Normal seria recomendada, mas neste caso existe uma forte

superestimativa da probabilidade de ruptura com respeito á assunção de uma

distribuição de probabilidade Log – Normal e ao publicado por El-Ramly. Em

geral e recomendável trabalhar com um intervalo de distâncias de autocorrelação,

e consequentemente com um intervalo de probabilidades de ruptura. Deve-se

também fazer os cálculos considerando distintas distribuições de probabilidade do

FS (Normal ou Log – Normal), o que permitiria uma melhor quantificação dos

intervalos de probabilidade de ruptura existentes.

As Figuras 7.11 e 7.12 mostram o efeito da redução da variância da

variabilidade espacial. Numa altura do aterro de 4m, nenhuma redução implicaria

em probabilidades de ruptura não aceitáveis. Assumindo uma redução com uma

distância de autocorrelação de 10m a menos, obtém-se um talude seguro. É

preciso, por tanto assumir algum tipo de redução na variância da variabilidade

espacial dos dados, pois as propriedades dos solos não têm correlação infinita.

165

8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

8.1. Conclusões

Atualmente não existe um intervalo de probabilidades de ruptura aceitável,

para as diferentes obras geotécnicas. Os questionamentos feitos por El-Ramly

(2001) parecem ser corretos, devido principalmente a que os intervalos

recomendados pelos organismos internacionais (US Army Corps of Engineers,

etc.) não incluem aspectos importantes, como a quantidade e qualidade de

informação disponível, e as condições existentes no projeto. Portanto o valor

máximo de probabilidade de ruptura aceitável é função do julgamento do

engenheiro, para o caso específico em consideração.

Das análises probabilísticas realizadas conclui-se que não existe uma

diferença significativa entre as probabilidades de ruptura obtidas pelos diferentes

métodos aproximados (Segundo Momento, Estimativas Pontuais) e o método de

Monte Carlo, quando as variâncias da variabilidade espacial são ou não reduzidas.

Portanto os dois métodos aproximados são aceitáveis para a prática,

recomendando-se principalmente o método de Segundo Momento, devido à sua

simplicidade de cálculo e à obtenção de informações adicionais (porcentagens de

cada parâmetro na variância do fator de segurança).

A metodologia utilizada no cálculo das derivadas parciais no método de

Segundo Momento foi a de diferenças finitas centrais, nos três casos analisados.

Diferentes amplitudes de variação de cada parâmetro (Desvio padrão total,

Metade do Desvio Padrão, Porcentagens do Parâmetro) não influíram na

amplitude de variação, já que todas praticamente deram valores similares de

probabilidade de ruptura.

166

O efeito da redução da variância da variabilidade espacial nas variáveis

aleatórias é muito importante. Sobretudo quando se tem probabilidades de ruptura

muito baixas, já que a não redução implicaria em probabilidades de ruptura não

aceitáveis. Isto leva a erros na determinação da performance real da estrutura. Em

geral, é recomendável fazer a redução na variância só quando a probabilidade de

ruptura é baixa. Para probabilidades de ruptura elevadas a redução da variância

não é importante, já que a estrutura seria potencialmente instável.

É recomendável reduzir a variância da variabilidade espacial, nas variáveis

aleatórias, só onde se encontre a maior superfície de ruptura. Devido a que esta

superfície influencia mais a análise.

A redução da variância da variabilidade espacial da variável aleatória leva

em geral a probabilidades de ruptura menores, o que seria contra a segurança. Isto

é verificado só para probabilidades de ruptura menores que 50%. Para

probabilidades de ruptura maiores que 50% o efeito é inverso, mas a favor da

segurança.

A equação 3.27, se mostrou aceitável para quantificar a redução necessária

na variância da variabilidade espacial nas diferentes análises probabilísticas. O

método de Segundo Momento (FOSM) registrou menores dispersões nas

probabilidades de ruptura (para distâncias de autocorrelação menores que 10m)

em comparação ao método de Estimativas Pontuais (EP). Isto poderia ser

atribuído a que o fator de redução foi aplicado diretamente na parcela da variância

da variabilidade espacial, enquanto que, no método de EP, não foi possível, pois

este método não quantifica esta parcela separadamente.

Os valores reduzidos de probabilidades de ruptura obtidas para as distintas

distâncias de autocorrelação propostas (utilizando a equação 3.27) nas análises,

não tiveram muita dispersão nestes tipos de materiais, os quais apresentam uma

estrutura continua ou homogênea (distâncias de autocorrelação maiores, r0) ao

invés de errática ou heterogênea.

167

A magnitude e os intervalos de distância de autocorrelação a serem usados

nas análises probabilísticas devem estar fundamentadas nas condições geológicas

encontradas na zona de análise e também no julgamento do engenheiro. Esta

variável é considerada como uma variável aleatória e é recomendada a utilização

de intervalos de distâncias de autocorrelação, ao invés de um valor único. Obtém-

se assim intervalo de probabilidades de ruptura. Como primeira aproximação,

podem ser usadas as distâncias de autocorrelação (r0) indicadas no Tabela 3.3.

As análises probabilísticas de estabilidade de taludes não devem substituir

as análises tradicionais de estabilidade de taludes (determinísticas). È

recomendável fazer as duas análises conjuntamente, para uma avaliação mais

adequada da segurança ou estabilidade da estrutura.

8.2. Sugestões

A primeira sugestão a ser feita para futuras pesquisas é a obtenção de níveis

de probabilidade aceitáveis para as distintas obras geotécnicas realizadas,

considerando a quantidade e qualidade das informações disponíveis. Isto pode ser

feito através de retroanálises de estabilidade de taludes rompidos.

A segunda sugestão é analisar o efeito da distância de autocorrelação

(utilizando a equação 3.27) no cálculo da probabilidade de ruptura em solos com

uma estrutura errática ou heterogênea, tais como taludes de encostas em solos

residuais.

168

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