Eléments finis P1-Lagrange en dimension 2 - club.macs.free.frclub.macs.free.fr/public/cours/macs2/FEM2D.pdf · Problème modèle Formulation variationnelle Formulation variationnelle

Problème modèleFormulation variationnelle

Formulation variationnelle discrétiséeEcriture matricielle

Calculs sur un triangle

Eléments finis P1-Lagrange en dimension 2

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et ApplicationsInstitut Galilée

Université Paris XIII.

8 octobre 2007

Cuvelier Eléments finis P1-Lagrange en dimension 2




Plan

1 Problème modèle2 Formulation variationnelle

Formules de GreenThéorème de Lax-MilgramMéthodologieExistence et unicité

3 Formulation variationnelle discrétiséeMaillageStructure de données associée au maillageEspace H1

h pΩhq

4 Ecriture matricielle5 Calculs sur un triangle





Problème modèle

∆u f dans Ω (1)u gD sur ΓN (2)

BuBn

gN sur ΓN (3)

où n désigne la normale à Γ orientéevers l’extérieur de Ω.

Ω

ΓD

ΓN

Disque unitéCuvelier Eléments finis P1-Lagrange en dimension 2




Formules de GreenThéorème de Lax-MilgramMéthodologie

Plan




h pΩhq







Théorème

Soit Ω un ouvert borné connexe de Rd de frontière Γ, C1 parmorceaux. Alors, @u P H2pΩq, @v P H1pΩq,

»Ω

p∆uqvdx d

i1

»Ω

BuBxi

BvBxi

dx

»Γ

BuBn

vdσ. (4)






Théorème (Théorème de Lax-Milgram)

On suppose

1 V un espace de Hilbert sur R de norme .V .

2 L est une application linéaire de V à valeurs réelles.

3 L est une application continue sur V , c’est à dire qu’il existe une constante C ¡ 0 telle que

@v P V , |Lpvq| ¤ C vV . (5)

4 A est une application bilinéaire de V V à valeurs réelles.

5 A est une application continue sur V V , c’est à dire qu’il existe une constante M ¡ 0 telle que

@u, v P V , |Apu, vq| ¤ M uV vV . (6)

6 A est V -elliptique (coercive sur V V), c’est à dire qu’il existe une constante ν ¡ 0 telle que

@v P V , Apv, vq| ¥ ν v2V . (7)

Alors, le problème variationnel "Trouver u P V tel queApu, vq Lpvq, @v P V (8)

admet une unique solution.






Définition

On définit H1g,ΓDpΩq par

H1g,ΓDpΩq

!u P H1pΩq | u|ΓD g

)(9)

1 on multiplie (1) par v une fonction test quelconque deH1

0,ΓDpΩq puis on intègre sur le domaine,

2 on utilise une formule de Green pour «tuer» les dérivéesd’ordre 2,

3 on utilise les conditions aux limites pour «tuer» le terme enBuBn .

et on obtient...






Résultat

trouver u P H1gD ,ΓDpΩq, tel que

Apu, vq Lpvq @v P H10,ΓDpΩq, (10)

avec

Apu, vq

»Ω

@∇∇∇ vp~xxxq,∇∇∇ uqqp~xxxq

DdΩp~xxxq

et

Lpvq »Ω

f p~xxxqvp~xxxqdΩp~xxxq »ΓN

gNp~xxxqvp~xxxqdΓp~xxxq.





MaillageStructure de données associée au maillageEspace H1

h pΩhq

RemarqueGrâce à une utilisation indirecte du théorème de Lax-Milgram etsous certaines hypothèses sur les données, on peut prouverque la formulation variationnelle (10) admet une uniquesolution.






h pΩhq

Plan




h pΩhq







h pΩhq

Soit Ω un ouvert borné connexe de R2 de frontière Γ.

DéfinitionOn appelle triangulation de Ω, une famille Th de triangles Tk , k 1, . . . , nt , ayant les propriétés suivantes :

(i) l’intersection entre deux triangles distincts est soit vide, soit réduite à une coté entier ou à un point ;

(ii) tous les coins de la frontière Γ sont des sommets de triangles de Th ;

(iii) réciproquement, soit

Ωh

nt¤k1

Tk (11)

(remarquer que Ωh est fermé) ; tous les coins de Γh BΩh doivent être sur Γ;

(iv) les triangles ne sont pas dégénérés, ie. ils ne sont pas d’aire nulle.






h pΩhq

nom type dimension descriptifns entier 1 nombre total de noeuds du maillagent entier 1 nombre de trianglesna entier 1 nombre d’arêtes sur le bord Γh,q réels 2 ns qpα, jq est α-ème coordonnée du j-ème

sommet, α P t1, 2u et i P t1, . . . , nsu.Le j-ème sommet sera aussi noté qj

avec qjx qp1, jq et qj

y qp2, jq

me entier 3 nt mepβ, kq indice de stockage, dans letableau q, du β-ème sommet du tri-angle d’indice k , β P t1, 2, 3u et k Pt1, . . . , ntu.






h pΩhq

ar entier 2 na arpα, lq indice de stockage, dans le ta-bleau q, du α-ème sommet de l’arêted’indice l appartenant au bord Γh, α Pt1, 2u et l P t1, . . . , nau.

ng entier 1 ns ngpiq indique si le ième sommet est unpoint strictement intérieur du domaineΩ (ngpiq 0 ô qi R Γh sinon indique lenuméro du bord, i P t1, . . . , nsu.

nga entier 1 na ngaplq indique le numéro du bord d’ap-partenance de l’arête l , l P t1, . . . , nau.

ngt entier 1 nt ngtpkq indique la region dans laquelleest le triangle Tk , k P t1, . . . , ntu.






h pΩhq

Génération d’un maillage avec FreeFEM++

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

Listing 1 – fichier disque4.edprea l R=1.0 ; / / rayon du disquei n t N=3; / / nombre de discretisation pour un quart de cercleborder gamma1( t =0 , p i / 2 ) / / Bord Γ1

x=R∗cos ( t ) ; y=R∗sin ( t ) ; label = 1 ; ;border gamma2( t = p i / 2 , p i ) / / Bord Γ2

x=R∗cos ( t ) ; y=R∗sin ( t ) ; label = 2 ; ;border gamma3( t =pi ,3∗ p i / 2 ) / / Bord Γ3

x=R∗cos ( t ) ; y=R∗sin ( t ) ; label = 3 ; ;border gamma4( t =3∗p i /2 ,2∗ p i ) / / Bord Γ4

x=R∗cos ( t ) ; y=R∗sin ( t ) ; label = 4 ; ;

mesh Th = buildmesh ( gamma1(N) +gamma2(N)+gamma3(N) +gamma4(N) ) ;

plot ( Th , ps=" disque4 . eps " , wait= t rue ) ;

savemesh ( Th , " disque4"+R+""+N+ " .msh " ) ;






h pΩhq

Fichier .msh

Listing 2 – fichier disque4-1-3.msh20 26 12 / / ns, nt , na0.866025403784 0.5 2 / / q1

x , q1y , ngp1q

0.579246826544 0.262259524467 0 / / q2x , q2

y , ngp2q. . . / / ...0.866025403784 0.5 4 / / q19

x , q19y , ngp19q

0.5 0.866025403784 4 / / q20x , q20

y , ngp20q17 20 19 0 / / mep1, 1q, mep2, 1q, mep3, 1q, ngtp1q15 19 16 0 / / mep1, 2q, mep2, 2q, mep3, 2q, ngtp1q. . . / / ...17 15 12 0 / / mep1, 25q, mep2, 25q, mep3, 25q, ngtp25q15 11 10 0 / / mep1, 26q, mep2, 26q, mep3, 26q, ngtp26q18 20 4 / / arp1, 1q, arp2, 1q, ngap1q20 19 4 / / arp1, 2q, arp2, 2q, ngap2q. . . / / ...11 6 1 / / arp1, 11q, arp2, 11q, ngap11q6 5 1 / / arp1, 12q, arp2, 12q, ngap12q






h pΩhq

Structure associée

q : [2x20 double]me : [3x26 int32]ng : [2 0 2 3 2 1 0 0 3 0 1 0 0 3 0 4 0 4 4 4]ngt : [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]ar : [2x12 double]nga : [4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1]ns : 20nt : 26na : 12






h pΩhq

Maillage avec numérotation

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11 12

13

14

15

16

17

18

1920

21

22

23

24

25

26

1

2

34

5

6

7

8

9 10

11

12

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

Numéro des arêtes

Numéro des triangles

Numéro des sommets






h pΩhq

Maillage avec numérotation : triangle T1

2

8

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5 6

7

8

13

14

16

17

18

1920

23

25

26

1

2

3

5

6

10

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

Triangle T1

q17 : 1er sommet de T1

q20 : 2eme sommet de T1

et 1er sommet de l’arete N°2

q19 : 3eme sommet de T1

et 2eme sommet de l’arete N°2

Arete N°2 du bord






h pΩhq

H1h pΩhq tvh : Ωh Ñ R | vh P C0pΩhq

et @k P v1, ntw vh|Tk P P1pTk q(

(12)où C0pΩhq est l’espace des fonctions continues sur Ωh etP1pTk q est l’espace des polynômes de degrès 1 sur Tk .






h pΩhq

Proposition (Lucquin-Pironneau, page 43)

Les fonctions de H1h pΩhq sont entièremment déterminées par

leurs valeurs en chacun des sommets du maillage. Ladimension de l’espace H1

h pΩhq est égale au nombre desommets ns de la triangulation.






h pΩhq

Définition (Lucquin-Pironneau, page 44)

Soit i P v1, nsw. Définissons la i-ème fonction chapeau ϕiassocié au noeud d’indice i de la manière suivante :

1 ϕi est continue de Ωh dans R,

2 ϕi est affine sur Tk , pour chaque indice k P v1, ntw

3 ϕipqjq δi,j .






h pΩhq

Proposition (Lucquin-Pironneau, page 45)

L’ensemble tϕiuiPv1,nswforme une base de H1

h pΩhq.

En conséquence, toute fonction de H1h pΩhq peut s’exprimer

comme combinaison linéaire des fonctions de base.






h pΩhq

fonction de base ϕ12

19

20

1

16

2

6

13

18

14

17

15

7

11

25

26

5

23

3

14

12

13

12

10

17

4

19

6

9

16

8

8

9

15

7

20

22

18

5

2

10

21

4

24

11

3

1






h pΩhq


19

20

1

16

2

6

13

18

14

17

15

7

11

25

26

5

23

3

14

12

13

12

10

17

4

19

6

9

16

8

8

9

15

7

20

22

18

5

2

10

21

4

24

11

3

1






h pΩhq


19

20

1

16

2

6

13

18

14

17

15

7

11

25

26

5

23

3

14

12

13

12

10

17

4

19

6

9

16

8

8

9

15

7

20

22

18

5

2

10

21

4

24

11

3

1






h pΩhq

NotonsID

h !

i P v1, nsw | qi P ΓhD)

etIh v1, nswzID

h

Par construction, nous avons

IDh X Ih H et ID

h Y Ih v1, nsw

Notons Vh l’espace des fonctions tests donné par

Vh vh P H1

h pΩhq | @ qi P ΓD, vhpqiq 0(

(13)

LemmeL’espace Vh est un espace de Hilbert de dimension # Ih. L’ensembletϕiuiPIh

forme une base de Vh.






h pΩhq

Formulation variationnelle discrétisée

Formulation variationnelle discrétiséetrouver uh P H1

h pΩhq X H1gD,ΓD tel que

Ahpuh, vhq Lhpvhq, @vh P Vh (14)

avec

Ahpuh, vhq

»Ωh

@∇∇∇ vhp~xxxq,∇∇∇ uhqp~xxxq

D(15)

Lhpvhq

»Ωh

f p~xxxqvhp~xxxqdΩhp~xxxq »ΓR

gNp~xxxqvhp~xxxqdΓhp~xxxq. (16)





Plan




h pΩhq






Etape 1 : vh Ñ ϕi

trouver uh P H1h pΩhq tel que

@i P IhAhpuh, ϕiq Lhpϕiq, (17)

@i P IDh

uhpqiq gDpqiq (18)





Etape 2 : uhpx , yq Ñns

j1

UUU jϕjpx , yq

Trouver UUU P Rns tel que@i P Ih

ns

j1

Ahpϕj , ϕiqUUU j Lhpϕiq, (19)

@i P IDh

UUU i gDpqiq (20)





LemmeTrouver uh solution de la formulation variationnelle discrétisée (??)est équivalent à :Trouver UUU P Rns tel que

AUUU bbb

où A PMns,nspRq et bbb P Rns vérifient, @pi , jq P v1, nsw2,

Ai,j

"Ahpϕj , ϕiq, si i P Ih,δi,j , si i P ID

h ,

bbbi

"Lhpϕiq, si i P Ih,gDpqiq si i P ID

h

et l’on a

uhpx , yq ns

j1

UUU jϕjpx , yq.





Plan




h pΩhq






Aire d’un triangle

Soit T un triangle régulier défini par ses 3 sommets (dans lesens direct) pq1, q2, q3q.

LemmeL’aire du triangle T , notée |T |, est

|T | 12

det

q1

x q1y 1

q2x q2

y 1q3

x q3y 1

. (21)





Polynôme passant par 3 points

LemmeSoit Ppx , yq ax by c le polynôme vérifiant Ppqαq Pα,@α P t1, 2, 3u. Alors

a 12|T | det

P1 q1

y 1P2 q2

y 1P3 q3

y 1

, b 1

2|T | det

q1

x P1 1q2

x P2 1q3

x P3 1

, et

c 12|T | det

q1

x q1y P1

q2x q2

y P2q3

x q3y P3

.





Fonctions de base locales

Définition (Fonctions de base locales)

Sur un triangle, nous appelons fonctions de base locales lestrois fonctions affines pϕ1, ϕ2, ϕ3q vérifiant @pα, βq P t1, 2, 3u2

ϕαpqβq δα,β.





Expressions des fonctions de base locales

Lemme

@px , yq P T

ϕ1px , yq 1

2|T |

pq2

y q3y qx pq2

x q3x qy pq2

x q3y q2

y q3x q

ϕ2px , yq 1

2|T |

pq3

y q1y qx pq1

x q3x qy pq1

x q3y q1

y q3x q

ϕ3px , yq 1

2|T |

pq1

y q2y qx pq1

x q2x qy pq1

x q2y q1

y q2x q

.





Gradients des fonctions de base locale

Lemme

@px , yq P T

∇ϕ1px , yq 1

2|T |

q2

y q3y

q3x q2

x

∇ϕ2px , yq 1

2|T |

q3

y q1y

q1x q3

x

∇ϕ3px , yq 1

2|T |

q1

y q2y

q2x q1

x

.





Intégration des fonctions de base locale

Lemme »T

ϕm1 ϕn

2ϕp3dT

2|T |m!n!p!

pm n p 2q!(22)


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