Elemente de calcul diferențial

8/13/2019 Elemente de calcul diferenial

1/297

ELEMENTE DE CALCUL DIFERENTIAL PE

DREAPTA REALA

Paul GEORGESCU

March 20, 2012


2/297

Cuprins

1 NOTIUNI GENERALE 6

1.1 Teoria multimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Constructia axiomatica a multimii numerelor reale . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Minoranti, majoranti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Multimi marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Multimea R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Intervale nRsi R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Vecinatati n R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Inegalitati ntre numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 SIRURI DE NUMERE REALE 31

2.1 Proprietati generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Moduri de definire a unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Subsiruri ale unui sir dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.3 Siruri marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.4 Siruri monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Siruri cu limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.2 Proprietati ale sirurilor cu limita . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.3 Relatii intre convergenta, monotonie si marginire . . . . . . 492.2.4 Operatii cu siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.5 Operatii cu siruri cu limita infinita . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.6 Calculul unor limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.7 Puncte limita ale unui sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.8 Siruri fundamentale (Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2


3/297

2.2.9 Criterii de convergenta utiliznd raportulxn+1

xn. . . . . . . . 69

2.2.10 Teoremele Stolz-Csaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.11 Siruri cu limita numarule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 SERII NUMERICE 86

3.1 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.1.1 Criteriul de condensare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1.2 Criterii de comparatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.1.3 Criterii ale radicalului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.1.4 Criterii ale raportului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.1.5 Criteriul Raabe-Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.2 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2.1 Criteriul lui Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2.2 Criteriul lui Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2.3 Serii alternante. Criteriul Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2.4 Serii absolut convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.2.5 Produsul dupa Cauchy a doua serii . . . . . . . . . . . . . . 129

3.3 Estimarea restului de ordinp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4 PROPRIETATI TOPOLOGICE SI DE NUMARARE ALE LUI R 139

4.1 Proprietati topologice ale lui R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.1.1 Puncte de acumulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.1.2 Puncte aderente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.1.3 Puncte interioare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.1.4 Puncte de frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.1.5 Multimi deschise, multimi nchise, multimi compacte . . . . 147

4.2 Proprietati de numarare ale lui R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.2.1 Numere cardinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.2.2 Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.2.3 Multimi de puterea continuului . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5 LIMITE DE FUNCTII 161

5.1 Limita unei functii ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.1.1 Caracterizari analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.1.2 Teorema de caracterizare cu siruri . . . . . . . . . . . . . . . 163


4/297

5.1.3 Limite laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.1.4 Criterii de existenta a limitei unei functii ntr-un punct . . . 167

5.1.5 Proprietati ale functiilor cu limita . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.2 Proprietati de calcul ale limitelor de functii . . . . . . . . . . . . . . 175

5.2.1 Operatii cu limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2.2 Limitele functiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2.3 Limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6 FUNCTII CONTINUE 198

6.1 Continuitatea unei functii ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.1.1 Continuitate laterala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.1.2 Functii continue pe o multime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.1.3 Puncte de discontinuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016.1.4 Prelungirea prin continuitate a unei functii ntr-un punct . . 2046.1.5 Caracterizarea cu siruri a continuitatii unei functii ntr-un

punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.1.6 Caracterizarea cu a continuitatii unei functii ntr-un

punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.7 Operatii cu functii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1.8 Proprietati locale ale functiilor continue . . . . . . . . . . . . 207

6.2 Proprietati ale functiilor continue pe o mult ime . . . . . . . . . . . . 2076.2.1 Proprietatea lui Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2.2 Functii uniform continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.2.3 Functii Lipschitz. Contractii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.2.4 Functii continue definite pe intervale nchise si marginite . . 213

7 DERIVATE. DIFERENTIALE 219

7.1 Functii derivabile. Functii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . 2207.1.1 Operatii cu functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.1.2 Derivatele functiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.1.3 Derivata functiei compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.1.4 (fg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.1.5 Derivata unui determinant functional . . . . . . . . . . . . . 2307.1.6 Derivata functiei inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.1.7 Diferentiala unei functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233


5/297

7.1.8 Operatii cu functii diferentiabile . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.1.9 Diferentiala functiei compuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.2 Derivate si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2.1 Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.2.2 Formula lui Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2.3 Diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.3 Teoremele fundamentale ale calculului diferential . . . . . . . . . . 2427.3.1 Teorema lui Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.3.2 Teorema lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.3.3 Teorema lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.3.4 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.3.5 Regulile lui LHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2547.3.6 Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2647.3.7 Puncte de extrem ale unei functii. Conditii necesare si sufi-

ciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.4 Aspecte grafice n studiul variatiei functiilor . . . . . . . . . . . . . . 273

7.4.1 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.4.2 Convexitate. Concavitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278


6/297

Capitolul 1

NOTIUNI GENERALE

1.1 Teoria multimilor

Daca A este o multime, vom nota prin x A faptul ca x este un element almultimii A(sau x apartinelui A), respectiv prin x Afaptul ca xnu este unelement al multimiiA(saux nu apartineluiA). Multimea care nu contine niciunelement se va numimultimea vidasi se va nota .

Submultimi, supramultimi

Fiind date doua multimiA siB, vom spune caA este osubmultimea luiB(sivom notaA B), sauB este osupramultimea lui A(si vom notaB A) dacaorice element al lui Aeste si un element al lui B. Desigur, Apentru oricemultimeA. DacaA este o submultime a luiB, darA= B, atunciA se numestesubmultime propriea luiB, ceea ce se noteazaA B. Data o multimeA, se va notacu P(A)multimea submultimilor(partilor) sale. Se observa ca ,A P(A).

Egalitatea a doua multimi

Doua multimiA,B vor fi numiteegaledaca au aceleasi elemente, acest lucrufiind notat A = B. Se observa ca A = Bdaca si numai daca A BsiB A,aceasta caracterizare fiind utila pentru demonstrarea practica a multor egalita tide multimi. Daca A si Bnu sunt egale, acest lucru se noteaza A= B, ceea cerevine, conform observatiei anterioare, fie laA B, fie laB A.

6


7/297

ELEMENTE DE CALCUL DIFERENTIAL PE DREAPTA REALA 7

Operatii cu multimi

FieXo multime siA, B P

(X). Definim multimile

A B={xX; xA xB} ,A B={xX; xA xB} ,

numitereuniunea, respectiv intersectia lui A si B. Daca A B = , A si B senumescdisjuncte.

Aceste operatii cu multimi au urmatoarele proprieta ti

A A= A, A A= AA

B= B

A, A

B= B

A

(A B) C= A (B C), (A B) C= A (B C)A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C)

(idempotenta, comutativitate, asociativitate, respectiv distributivitate). Proprietatilede asociativitate asigura faptul ca scrierile A B C si A B Cnu sunt am-

bigue.Operatiile de reuniune si intersectie se pot extinde la familii nu neaparat finite

de multimi. n acest sens, data o familie(Ai)iI, undeIeste o multime oarecarede indici, finita sau nu, vom defini

iIAi ={xX; existaiIastfel caxA i} ,

iI

Ai ={xX; xA ipentru oriceiI} .

Multimile

A\B={xX; xA xB} ,AB= (A\B) (B\A)

se numescdiferenta, respectivdiferenta simetricaa multimilorAsiB. MultimeacXA={xX; xA}

se numestecomplementaraluiAfata deX; daca nu exista pericol de confuzie,cXAse noteazacA. Se observa atunci ca

A\B= A cB


8/297

8 Capitolul 1 NOTIUNI GENERALE

si au loc urmatoarele proprietati, numiteformulele lui de Morgan

ciI

Ai= iI

cAi

c

iI

Ai

=

iI

cAi.

Vom numiprodus cartezianal multimilorAsiB (n aceasta ordine) multimeatuturor perechilor ordonate(x,y), cuxA, iaryB, adica

A B={(x,y); xA yB} .

n general, A B= B A. Doua elemente (x1,y1) si (x2,y2)ale produsuluicartezianA Bsunt egale daca si numai dacax1=x2siy1=y2.

Date multimileA1, A2, . . . ,An, numimprodus cartezianal acestora multimeatuturor perechilor ordonate cunelemente (denumite sin-uple)(a1, a2, . . . , an), cuaiA ipentru orice 1in, adica

A1 A2. . . An ={(a1, a2, . . . , an), aiA ipentru orice 1in} .

DacaAi=Apentru 1in, se utilizeaza notatia prescurtata

A A . . . A= An

.Multimi de numere

nceleceurmeaza, vom presupune cunoscute proprietatile urmatoarelor multimide numere:

N ={0 ,1 ,2 , . . .} - multimea numerelor naturale;Z ={0,1, 1,2, 2 , . . .} - multimea numerelor ntregi;Q =pq ;p, q Z, q=0 - multimea numerelor rationale.ntre acestea au loc urmatoarele relatii de incluziune

N Z Q.

PentruA{N,Z,Q}, se noteaza cu A = A\ {0}multimea numerelor nenuledinA.


9/297


1.2 Constructia axiomaticaamultimii numerelor reale

Intuitiv, multimea numerelor reale poate fi nteleasacamultimea tuturor fractiilorzecimale infinite, sub forma

R={r, r1r2. . . rn. . .; rZ, r1, r2, . . . , rn, . . .{0 , 1 , . . . , 9}}=

r+r110

+ r2102

+ + rn10n

+

.

Definitia de mai sus (ndeajuns de explicita, dar totusi pur algebrica) este nsagreu de folosit n analiza matematica, necesitnd unele completari. Din punctulde vedere al analizei matematice, multimea numerelor reale, notata R, va fi un

corp comutativ total ordonat, a carui relatie de ordine este compatibila cu operati-ile de adunare si nmultire si care n plus satisface o anumita axioma de completi-tudine. Aceste proprietati, ce vor fi clarificate n cele de mai jos, sunt motivatede necesitatea de a efectua operatiile elementare cu numere (structura de corp),necesitatea de a putea compara numere si de a putea lucra convenabil cu ine-galitatile rezultate (structura de ordine, mpreuna cu relatiile de compatibilitatecu operatiile), precum si de a diferentia multimea numerelor reale de multimeanumerelor rationale (axioma de completitudine).

Vom numi multimea numerelor reale o multime Rnzestrata cu doua operatiialgebrice +" (adunarea) si " (nmultirea) precum si cu o relatie de ordine "care satisfac grupurile de axiome (I), (II) si (III) de mai jos.

Axiomele structurii algebrice

(I) R este un corp comutativ, adica

(I.1) x+ (y+z) = (x+y) +zpentru oricex,y, z R.(asociativitatea adunarii)

(I.2) x+y= y+xpentru oricex,yR.

(comutativitatea adunarii)

(I.3) Exista 0 R astfel ca 0+x= x+0= xpentru oricex R.(existenta elementului neutru la adunare)

(I.4) Pentru oricexR exista xR astfel cax+ (x) = (x) +x= 0.(existenta simetricului oricarui element n raport cu adunarea)


10/297


(I.5) x (y z) = (x y) zpentru oricex,y, zR.(asociativitatea nmultirii)

(I.6) x+y= y+xpentru oricex,yR.(comutativitatea nmultirii)

(I.7) Exista 1 R astfel ca 1 x= x 1= xpentru oricex R.(existenta elementului neutru la nmultire)

(I.8) Pentru oricexR,x=0 exista 1x R astfel cax 1x = 1x x= 1.(existenta simetricului (inversului) oricarui element nenul n raport cu

nmultirea)

(I.9) x (y+z) =x y+x zpentru oricex,y, z R.(distributivitatea nmultirii fata de adunare)

(II) R este total ordonat, adica

(II.1) xxpentru oricex R.(II.2) xysiyx = x= y.(II.3) xysiyz = xz

(" este o relatie de ordine pe R)(II.4) Pentru oricex,y R, are loc fiexy, fieyx.

(relatia de ordine este totala, adica oricare doua elemente x,yse potcompara)

(II.5) Dacaxy, atuncix+zy+zpentru oricez R.(relatia de ordine este compatibila cu operatia de adunare)

(II.6) Dacaxyiar 0z, atuncix zy z.(relatia de ordine este compatibila cu operatia de nmultire)

Proprietatile de mai sus definesc structura algebrica a lui R. Pentru a enunta ceade-a treia axioma, care face posibila demonstrarea rezultatelor specifice analizei

matematice, vor fi facute mai nti cteva preparative suplimentare.

1.2.1 Minoranti, majoranti

Fie A R, A= . Spunem ca Aesteminoratadaca exista m R astfel cam x pentru orice x A. Un astfel de elementm (care nu este unic deter-minat) se va numiminorantal multimii A. Similar, spunem ca Aestemajorata


11/297


daca existaM Rastfel cax Mpentru oricex A, un astfel de element M(care de asemenea nu este unic determinat) numindu-semajorantal multimiiA.

Minorantii si majorantii unei multimi Anu apartin neaparat acestei multimi.Exemplu

FieA =

x= nn+1 ; nN

. AtunciAeste majorata, 1 fiind un majorant al lui A,deoarecex 1 pentru oricexA. Se observa ca 1 nu este element al multimiiA,

ntruct toate elementele lui Asunt subunitare, iar oricey R pentru care 1yeste de asemenea un majorant al multimiiA. n particular, 2, 3, . . . sunt majorantiai multimiiA.

Similar, Aeste minorata, 0 fiind un minorant al lui A, deoarece 0 xpen-tru oricex

A. Se observa ca 0 nu este element al multimii A, deoarece toate

elementele lui A sunt strict pozitive, iar orice y R pentru care y 0 estede asemenea un minorant al lui A. n particular,1, 2, . . . sunt minoranti aimultimiiA.

Margine inferioara, margine superioara

Se observa ca daca o multimeAeste minorata, nu exista un cel mai mic mi-norant al lui A, deoarece se pot preciza minoranti orict de mici. Similar, dacao multime Aeste majorata, nu exista un cel mai mare majorant, ntruct se potpreciza majoranti orict de mari.

n schimb, dacaA este minorata si exista un cel mai mare minorant al lui A,acesta se va numimargine inferioaraa luiA, notata infA, iar dacaAeste majoratasi exista un cel mai mic majorant al luiA, acesta se va numimargine superioaraa luiA, notata supA. Daca marginea inferioara, respectiv marginea superioara a uneimultimi Aexista, atunci acestea sunt unice, unicitatea derivnd din caracterulacestora de a fi cea mai mare", respectiv cea mai mica".

Axioma de completitudine

n aceste conditii, se poate enunta cea de-a treia axioma, numita axioma de

completitudine, sauaxioma Cantor-Dedekind.

(III) Orice submultime nevida majorataA a lui Radmite o margine superioaran R.

Se poate demonstra ca proprietatile de mai sus definesc existenta si unicitatea(pna la un izomorfism de corpuri total ordonate) lui R. Elementele multimii


12/297


Rastfel definite se numescnumere reale. Elementele multimii R\Qse vor numinumere irationale.

Notatii

Vom preciza n cele ce urmeaza cteva notatii utilizate n calculul cu numerereale. Mai nti, este utila introducerea notatiei x 0 (respec-tiva


13/297


istam,MR astfel ca

mxM pentru oricexA.Caracterizari analitice pentru marginea superioara si marginea inferioaraaunei

multimi

Cu notatiile de mai sus, are loc urmatoareateorema de caracterizare a marginiisuperioare a unei multimi, care descrie caracteristica acesteia de a fi cel mai mic ma-

jorant prin intermediul a doua inegalitati, cea dinti preciznd faptul ca margineasuperioara este majorant, iar cea de-a doua preciznd faptul ca niciun numar maimic dect marginea superioara nu este majorant.

Teorema 1.1. Fie A= . Un numarR este margine superioara a multimii A dacasi numai daca

1. xpentru orice xA.2. Pentru orice > 0exista xA astfel ca x > .

Demonstratie." Daca =supM, atunci este majorant, decix pentru oricex A.

Cum este cel mai mic majorant, nu este majorant, deci exista macar unxAastfel cax > .

" Conform 1., A este majorata (de), deci, conform axiomei de completi-tudine,Aadmite o margine superioara; fie aceastaM . DeoareceM este cel maimic majorant,M . Presupunem prin reducere la absurd caM < . Atunci,notnd = M, obtinem ca existax Aastfel cax > ( M) = M,deciMnu este majorant, contradictie. Urmeaza deci caM = , ceea ce ncheiedemonstratia.

n mod absolut similar se demonstreaza urmatoareateorema de caracterizare a

marginii inferioare a unei multimi.Teorema 1.2. Fie A= . Un numar R este margine inferioara a multimii A dacasi numai daca

1. x pentru orice xA.2. Pentru orice > 0exista xA astfel ca x


14/297


Proprietatea lui Arhimede si consecinte ale sale

O consecinta importanta a teoremei de caracterizare a marginii superioare esteurmatorul rezultat, numitproprietatea lui Arhimede.

Teorema 1.3. Fie x,y numere reale fixate, cu x > 0. Exista atunci n Nastfel canx >y.

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd ca nu exista un astfel den.Atunci, notndA ={nx; nN}, obtinem caAeste majorata (dey), deci, con-form axiomei de completitudine, admite un cel mai mic majorantM. Din teoremade caracterizare a marginii superioare, aplicata pentru = x, obtinem ca existax

Aastfel cax > M

x. Cumxeste un element al luiA,

nNastfel ca

x =nx, decinx >M xsi atunci(n+1)x >M , contradictie. Parte ntreaga, parte fractionara

Printre consecintele proprietatii lui Arhimede mentionam urmatoarele rezul-tate utile.

Corolar 1.3.1. Pentru orice x Rexista n Zunic determinat astfel ca n x 1ba . Atunci 1n < b a. Fier = [na]+1n .Evident,r

Q, iar

r >na 1+1n

=a.

Cumr na+1n , avem ca

ra+1n< a+ (b a) =b,

decia < r < b.


15/297


Teorema de mai sus afirma faptul ca multimea Q estedensan R, n sensul cantre orice doua numere reale se afla macar un numar rational. Folosind notiuni

de asa-numita teorie a numerelor cardinale, se poate demonstra ca R\Q este deasemenea densa n R, adica ntre orice doua numere reale se afla si un numarirational.

Maxim, minim, signum

Pentru oricex,yR, definimmaximulelementelorx,yprin

max(x,y) =

x, dacaxyy, dacax


16/297


M5|x+y| |x| + |y| pentru oricex,y R.

M6|x y| |x| |y| pentru oricex,y R.M7|x| M MxM pentru oricexR.

M7|x|


17/297


si vom numi aceastamultime dreapta reala ncheiata, observnd caeaestedeaseme-nea total ordonata.

Operatiile aritmetice se extind (partial) la Rn urmatorul mod:

x+ =x () = + xR;x+ () =x = xR;

x =+, dacax > 0, dacax < 0 ;

x () =

, dacax > 0+, dacax < 0

;

x

= x =0 xR;

respectiv

+ = ;

() + () = ();

= (

)

() = +;

() =.

Operatiilor 0 (), , (),nu li se atribuie niciun sens.

1.3.1 Intervale nR si R

Intervale n R

Fiea, b

R. Numimintervalen R multimi de forma

[a, b] ={xR; axb} (interval nchis);

(a, b) ={xR; a < x < b} (interval deschis);

[a, b) ={xR; ax < b}; (interval semideschis; interval nchis la dreapta sideschis la stnga)


18/297


(a, b] ={xR; a < xb}(interval semideschis; interval deschis la dreapta sinchis la stnga);

(a, +) ={xR; a < x < } (interval deschis nemarginit la dreapta; semidreaptadeschisa nemarginita la dreapta);

(, a) ={xR; < x < a} (interval deschis nemarginit la stnga; semidreaptadeschisa nemarginita la stnga);

[a, +) ={xR; ax < } (semidreapta nchisa nemarginita la dreapta);

(

, a] =

{x

R;

< x

a

}(semidreapta nchisa nemarginita la stnga);

(, +) = R (axa reala).

Intervale centrate

Numim intervale centrate intervalele simetrice fata de un punct ade pe axareala, de forma[a r, a + r]si(a r, a + r). Acestea pot fi caracterizate cu ajutorulfunctiei modul sub forma

[a , a+] ={xR, |x a| } ;(a , a+) ={xR, |x a| < } .

Intervale n R

Daca a, b R, putem extinde notatiile pentru intervale definite mai sus siobtine

[a, b] =

xR; axb,(a, b) ={x R; a < x < b};[a, b) ={xR; ax < b},(a, b] ={xR; a < xb},

pastrnd denumirile de intervale nchise, deschise, respectiv semideschise. Deasemenea

[, +] = R (dreapta reala ncheiata).Conform proprietatilor de densitate ale lui Qsi R\Q, se va observa ca nici Q niciR\Q nu contin intervale.


19/297


Supremumul si infimumul unei multimi n R

FieA= . Cu aceste notatii, vom spune ca

supA= + dacaAnu este majorata (este nemarginita superior)

respectiv

infA= dacaAnu este minorata (este nemarginita inferior).

sivomobservaca nR orice multime nevida admite un supremum si un infimum.

Exemple supN= +, infZ=, supZ= +;

A=

x; x= n2 +1, nN nu este marginita superior, deci supA= +.A={x; x=n+2, nN} nu este marginita inferior, deci infA=.

1.3.2 Vecinatati n R

1. Numimvecinatatea unui punctxR orice multimeV R care contine uninterval deschis incluzndu-l pex, adica pentru care existaa, bR astfel ca

x(a, b)V.

2. Numimvecinatatea lui+orice multimeV Rcare contine un intervalde forma(a,], cuaR.

3. Numimvecinatatea luiorice multimeV Rcare contine un intervalde forma[, a), cuaR.

Exemple Multimile(2, 4],(0, 6],(, 2],(2, 5] (6,)sunt vecinatati ale lui

x= 1 deoarece contin intervalul deschis(0, 2)care-l include pe 1.

MultimeaA ={2, 1,0,1,2,3}nu este vecinatate a luix =1 deoarece ea nucontine intervale.

MultimeaB = [1, 3]nu este vecinatate a luix = 1 deoarece nu existaa, b Rastfel ca 1(a, b)B(ar trebui caa < 1 si atunci(a, b) B).


20/297


Teorema 1.5. Fie x R. Atunci V R este o vecinatate a lui x daca si numai daca eacontine un interval deschis centrat n x, adica exista > 0astfel ca

x(x , x+)V.Demonstratie. " Se poate lua = min(x a, b x).

" Se poate lua(a, b) = (x , x+). DacaVeste o vecinatate a luixR, notam acest lucru prinV V(x). MultimeaV(x)se numestemultimea tuturor vecinatatilorpunctuluix. Aceasta multime areurmatoarele proprietati:

(V1) FieV V(x). AtuncixV.(V2) FieV V(x)siWV. AtunciW V(x).(V3) FieV1, V2 V(x). AtunciV1 V2 V(x).(V4) FieV V(x). Exista atunciW V(x)astfel ca V V(y)pentru orice

y W.Conform(V1), dacaVeste vecinatate a luix, atunciVl contine pe x. Datorita(V2), orice multime care contine o vecinatate a luixeste de asemenea o vecinatatea luix. Conform(V3), intersectia a doua vecinatati ale lui xeste de asemenea o

vecinatate a luix, (V4)reprezentnd faptul ca dacaVeste o vecinatate a luix ,atunciVeste de fapt o vecinatate nu doar pentru x , ci si pentru toate puncteledintr-o multimeW, care la rndul ei este o vecinatate a luix.

Proprietatea de separatie Hausdorff

Orice doua punctea, b Rpot fi separate prin vecinatati. n acest sens, areloc urmatoarea proprietate, numitaproprietatea de separatie Hausdorff.

Teorema 1.6. Fie a, bR. Exista atunci Va V(a)si Vb V(b)astfel ca Va Vb =.

Demonstratie. Dacaa, bR, atunci putem nota = ba3 si consideraVa = (a , a+), respectivVb= (b , b+).

Dacaa =,b R, atunci putem consideraVa = [, b 2),Vb = (b 1, b+1). Daca a R, b = +, atunci putem considera Va = (a 1, a+1),Vb = (a+2, +]. Daca a =, b = +, putem consideraVa = [, 1),Vb = (1, +].


21/297


A fost mentionat anterior ca axioma de completitudine deosebesteR de multimeaQ a numerelor rationale. Acest lucru se poate observa din urmatorul exemplu.

Exemplu

Fie multimeaA =

xQ; x2 2. Evident, A= , deoarece 0 A. Ca sub-multime a luiR, ea este majorata (de exemplu de 2), avnd deci, conform axiomeide completitudine, un cel mai mic majorant supA. n acest sens, se poate arata casupA =

2. Ca submultime a lui Q,A este de asemenea majorata, de exemplu

de 2 si de oricare alta aproximare zecimala prin adaus a lui

2: 1.42, 1.415, 1.4143,s.a.m.d. Totusi, niciun numar rationalqmai mic dect

3 nu poate fi nici macar

majorant datorita definitiei multimii A, care va contine o aproximare zecimalaprin lipsa a lui

2 mai buna dectq, iar niciun numar rational mai mare dect

2 nu poate fi cel mai mic majorant, ntruct va exista o aproximare zecimalaprin adaus a lui

2 mai buna dectq.

1.4 Inegalitati ntre numere reale

Inegalitatea mediilor

FienN,n 2 si fiea1, a2, . . . , annumere reale strict pozitive. Definim

An = a1+a2+. . .+ann ,

Gn = n

a1a2. . .an,

Hn = n

1a1

+ 1a2+. . .+ 1an

,

An,Gn,Hnnumindu-se respectivmedia aritmetica,media geometricasimedia armon-icaa numerelora1, a2, . . . , an. Are loc atunci inegalitatea

AnGnHn,

numitainegalitatea mediilor, egalitatile atingndu-se doar dacaa1=a2 =. . .= an.

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz

FienN,n 2 si fiea1, a2, . . . , an,b1, b2, . . . , bnnumere reale. Atunci

(a1b1+a2b2+. . .+anbn)2

a21+a

22+. . .+a

2n

2 b21+b

22+. . .+bn

2,


22/297


egalitatea atingndu-se doar dacaa1, a2, . . . , ansib1, b2, . . . , bnsunt proportionale,adica existak

R astfel caa1 =kb1,a2 =kb2, . . . an =kbn.

Pentrub1 =b2 = . . .= bn =1, se obtine ca

(a1+a2+. . .+an)2 n

a21+a

22+. . .+a

2n

2,

egalitatea atingndu-se doar dacaa1 = a2 = . . .= an.

Inegalitatea Bernoulli

FieaR,a > 1. Atunci, pentru oricenN,

(1+a)n 1+na.

1.5 Functii

FieX, Y= . Numimfunctiedefinita pe multimeaXcu valori n multimeaYocorespondenta (notata de exemplu f) prin care oricarui element din multimeaXi se asociaza un singur element din multimeaY. n aceasta situatie, se noteazaf : X Y, Xnumindu-sedomeniul de definitieal functiei f, iar Y codomeniul

acesteia. Daca luixXi corespunde prin functiafelementuly Y, acest lucruse va notay = f(x)sau x

f y. n acest caz, yse numesteimaginealui x prinfunctia f, sauvaloarealui f nx, iarx se numesteargumentulfunctiei. Multimeatuturor functiilor definite peXcu valori nYse va nota F(X, Y).Egalitatea a doua functii

Ofunctieftrebuie conceputa ca un ansamblu format din domeniul de definitieX, codomeniulYsi corespondenta propriu-zisa ntre argumente si imagini. nacest sens, doua functii f : AB sig: CD vor fiegaledacaA =C siB = D

(domeniile, respectiv codomeniile functiilor sunt egale), iar f(x) = g(x)pentruoricex A, adica oricaruix din domeniul comun de definitie i se asociaza prinfsigun acelasi element.

Restrictia si prelungirea unei functii

Daca f : X Yeste o functie, iar A X, numim restrictia functiei f lamultimeaAfunctia notata f|Acu domeniulAsi codomeniulYcare pastreaza pe


23/297


Acorespondenta definita def, adica f|A(x) = f(x) xA. Dacag: A Yesteo functie data, iarA

X, orice functief :X

Ypentru caref

|A=gse numeste

prelungirealuiAlaX.

Exemplu

Fief :[0,)R,f(x) =xsig: R R,g(x) =|x|. Atuncigeste o prelungire aluif(respectivfeste o restrictie a luig), deoarece[0,) R, iarf(x) =g(x) =xpentru oricex[0,).Imagine si contraimagine

Fie functia f :X Y. DacaAX, notam

f(A) ={yB; xAastfel ca f(x) =y}

imagineamultimiiA prin functia f. Multimea f(X)se va numiimagineafunctieifsi se va nota Imf.

DacaB Y, notam

f1(B) ={xA;f(x)B}

contraimaginea(imaginea inversa,preimaginea) multimiiBprin functia f. DacaB =

{y}, se foloseste notatia f1(y)n loc de f1({y}). Cum multimea f1(y)poatesa fie multimea vida sau sa contina mai mult de un element, simbolul f1 nudefineste n general o functie.

Exemplu

Fie f : R R, f(x) = x2 2x+3. Vom determina Imf. Fiey Rastfel cay = f(x), cux R, adicay = x2 2x+3. Urmeaza cax2 2x+3 y = 0.Conditia de existenta a lui x este = (2)2 4(3 y) 0, de unde y 2.Urmeaza ca Imf = [2, +).

Grafic, functie identica

Multimea

Gf ={(x,y)X Y;y= f(x)}

sevanumigraficul functieif. Fiind dataomultimeA, functia1A: AAdefinitaprin 1A(x) =x xAse va numifunctia identicaa multimiiA.


24/297


Functii injective, functii surjective, functii bijective

O functie f :X

Yse numesteinjectivadaca

x,yX, x=y = f(x)= f(y)

(la argumente diferitex,ycorespund prinfimagini diferite), ceea ce este echiva-lent cu

x,yX,f(x) = f(y) = x= y(daca imaginile f(x) si f(y)sunt egale, atunci sunt egale si argumentele core-spunzatoarex siy). Aceasta conduce la faptul ca feste injectiva daca si numai

daca f1

(y)contine cel mult un element pentru oriceyB.O functie f :X Yse numestesurjectivadaca f(X) =Y, adica orice elementydin codomeniul Yal functiei este imaginea cel putin a unui argumentx. Aceastaconduce la faptul ca feste surjectiva daca si numai daca f1(y)contine cel putinun element pentru oriceyB.

O functie f : X Yse numeste bijectiva daca ea este att injectiva ct sisurjectiva. Din cele de mai sus, se observa ca feste bijectiva daca si numai dacaf1(y)contine exact un element pentru oricey B. n aceste conditii, simbolulf1 defineste o functie f1 : Y Xprin f1(y) = x, undex,y sunt n asa felncty = f(x). Functia f1 astfel definita se numeste functiainversaa functiei f,iar fse numesteinversabila.

Compunerea a doua functii

Fie functiile f : X Y, g : Y Z. Functia g f : X Zdefinita pring f(x) =g(f(x)) xXse numestecompunerea(n aceasta ordine) functiilorgsi f. Se poate observa ca operatia de compunere a functiilor nu este comutativa,dar este asociativa, n sensul ca daca f : X Y,g :Y Z,h : Z M, atunci(h g) f =h (g f).Functii numerice

O functie f :EF se va numifunctie numerica(functie reala de variabila reala)dacaE,FR.Functii pare, functii impare

FieD R omultime simetrica, adica o multime pentru carexD xD.


25/297


O functie f :DR se numesteparadaca f(x) = f(x)pentru oricexD.Deoarece

(a, b)Gfb = f(a)b = f(a)(a, b)Gf,

urmeaza caGfeste simetric fata deOy.O functie f : D Rse numesteimparadaca f(x) =f(x)pentru orice

xD. Deoarece

(a, b)Gfb = f(a) b= f(a)(a, b)Gf,

urmeaza caGfeste simetric fata deO.

Exemplu

Functia f : R R, f(x) = x2 este para, deoarece f(x) = (x)2 =x2 = f(x),n timp ce functiag: R R,g(x) =x3 este impara, deoareceg(x) = (x)3 =x3 =g(x).Functii periodice

FieDR. O functie f :D R se numesteperiodicadaca existaT Rastfelca f(x+T) = f(x)pentru oricex R. Orice astfel de Tse numesteperioadaafunctiei f. Se observa ca dacaTeste o perioada a functiei f, atunci sinT,n

Z

este de asemenea o perioada a functiei f. Daca exista o cea mai mica perioadapozitivaT0a functiei f, atunci aceasta se numesteperioada principalaa functiei f.Pentru a studia comportarea unei functii periodice de perioadaT, este suficientsa se analizeze comportarea acestei functii pe intervalul[0, T].

Functii marginite

FieD Rsi f :D R. Atunci

fse numestemarginita superiordaca f(D)este majorata, adica exista M Rastfel ca f(x)Mpentru oricexD.

fse numestemarginita inferiordacaf(D)este minorata, adica existamR astfelcam f(x)pentru oricexD.

Daca feste att marginita inferior ct si marginita superior, adica existam,MR astfel cam f(x)Mpentru oricexD, atuncifse numeste marginita.


26/297


Conform caracterizarii multimilor marginite cu ajutorul functiei modul (Teorema1.4), feste marginita daca si numai daca exista M

R astfel ca

|f(x)

| M

pentru oricexD.Exemple f : [1, 2] R, f(x) = 2x+1 este marginita, deoarece 3 f(x) 5

pentru oricex[1, 2].

f : R R, f(x) =2+3 sin xeste marginita, deoarece |f(x)| 2+3| sin x| 5pentru oricexR.

Functii monotone

FieD Rsi f :D R. Atunci

fse numestecrescatoaredaca

x,yD, xy = f(x) f(y).

fse numestestrict crescatoaredaca

x,yD, x 0 pentru oricex,yD, x=y,

proprietati analoage avnd loc si pentru functii descrescatoare, respectiv strictdescrescatoare. De asemenea, se poate observa ca daca feste strict monotona,atnci feste injectiva.


27/297


Aplicatii

1.1. Fie a R. Aratati camax(a, a) =|a|.1.2. Daca x,y R, |x| < 1, |y| < 1, aratati ca

x+y1+xy < 1.1.3. Demonstrati ca

2+

3este numar irational.

1.4. Daca a, bQ, iar a+b2= 0, atunci a= b = 0.1.5. Daca a1, a2, b1, b2 Q, iar a1+b1

2= a2+b2

2, atunci a1=a2, b1 = b2.

1.6. Rezolvati ecuatia x2 5|x| +6= 0.1.7. Rezolvati sistemul

|x 1| + |y+2|= 6x= 1+ |y+2| .

1.8. Determinati a R astfel ca sistemul|x| + |y|= 2x2 +y2 =a sa aiba exact patru solutii.

1.9. Daca x,y R, xy+pentru orice > 0, atunci xy.

1.10. Daca a, b, c, d(0,), atunciab+ bc + cd+ da 4.1.11. Daca a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn(0,), atunci

a21b1

+a22b2

+. . .+a2nbn

(a1+a2+. . .+an)2

b1+b2+. . .+bn.

1.12. Daca a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn(0,), atuncin

(a1+b1)(a2+b2) . . . (an+bn) na1a2. . .an+ n

b1b2. . . bn.

1.13. Fie a, b(0, 1). Demonstrati caloga

2aba+b

+logb2ab

a+b 2.

1.14. Determinati m R astfel ca

x2 +y2 +4x 2y+m 0pentru orice x,yR.


28/297


1.15. Daca AR este marginita, aratati ca orice submultime a lui A este marginita.

1.16. Daca A, BR sunt marginite, aratati ca A B, A B, A\B, B\A sunt margi-nite.

1.17. Aratati ca A este marginita, unde

1. A= [0, 1) (2, 5];

2. A=

x; x= 2+u2, u[1, 3];3. A=

x; x= 2+ (1)

n

n+1 , nN;

4. A= x; x= 1n+1+ 1n+2+. . .+ 1n+n , n N;5. A={x; x= sin u+cos(2u), u R}.

1.18. Fie A={tg1,tg2,tg3,tg4}. PrecizatiminA,maxA.

1.19. Fie A=

sinn4 ; nN

. PrecizatiminA,maxA.

1.20. Fie A=

6+x26x2 ; x[2, 1]

. DeterminatiinfA,supA.

1.21. Fie d: RR

R, d(x,y) =

|x

y

|. Aratati ca d are urmatoarele proprietati

1. d(x,y) 0; d(x,y) =0x = y.

2. d(x,y) =d(y, x).

3. d(x, z)d(x,y) +d(y, z).

1.22. Fie f : R R, f(x) = x21x2+1 . Determinati f(2x),2f(x), f(x2), f(x)2.

1.23. Determinati valorile minime ale urmatoarelor functii:

1. f : R R, f(x) =3x2

+2x+3;

2. f : R R, f(x) =

12

x2+4x3;

3. f : R R, f(x) = 3sin x+cos x.

1.24. Fie f : R R o functie oarecare.


29/297


1. Daca f este simultan monoton crescatoare si monoton descrescatoare, atunci ea esteconstanta.

2. Daca f este simultan para si impara, atunci ea este functia nula.

1.25. Fie f,g: R R.

1. Daca f,g sunt (strict) crescatoare, atunci f+g, fg sunt (strict) crescatoare.

2. Daca f,g sunt (strict) descrescatoare, atunci f+g este (strict) descrescatoare, iarfg este (strict) crescatoare.

1.26. Fie f : R

R, f(x) = x

2+2x2+1 .

1. Demonstratica f este strict crescatoare pe(, 0]si strict descrescatoare pe[0,).

2. Determinati f([2, 1]), f([3, 4]), f([1, 1]).

1.27. Determinati care dintre urmatoarele functii sunt pare sau impare:

1. f : R R, f(x) =x5 +x3;

2. f : R R, f(x) =x5 +cos x;

3. f : R R, f(x) =x4

+ |x| x2

+1;4. f : R R, f(x) =x sin2 x;

5. f : R R, f(x) =sin2 2x+cos x.

6. f : R R, f(x) =ln

1x1+x

.

1.28. Determinati fg si g f pentru f,g: R R date prin:

1. f(x) =x2, g(x) =x+2;

2. f(x) =sin x, g(x) =x2 +1.

1.29. Determinati doua functii f,g: R R astfel ca h = fg, daca

1. h: R R, h(x) =sin(x2 +1);

2. h: R R, h(x) = x4 +x2 +13.


30/297


31/297

Capitolul 2

SIRURI DE NUMERE REALE

2.1 Proprietati generale

FieA= o multime data. Se numestesir de elemente din Ao functie f : NA.Daca A = R, sirul respectiv se va numi sir de numere reale,sir numericsau, maisimplu,sir. Fiind dat un sir f : N R, se vor numitermeni ai siruluinumerelef(0), f(1), f(2), . . ., notate de obicei cu ajutorul unui indice sub forma

f(0) =x0,f(1) =x1,f(2) =x2, . . . ,f(n) =xn, . . . ,

xn numindu-setermenul general al sirului, sautermenul de rang n. Un sir cu ter-menul generalxnse va nota si(xn)n0. Daca primiiktermenix0, x1, . . . , xk1nusunt definiti (ceea ce corespunde unei functii f :{k, k+1, . . .} R), vom notasirul sub forma(xn)nk.

2.1.1 Moduri de definire a unui sir

Un sir poate fi definit preciznd formula termenului general, prin intermediul

unei recurente sau n mod descriptiv.Exemple

Siruri definite prin formula termenului general:

(xn)n0: xn =3n+1; x0 = 1,x1 =4,x2 =7, . . .

(xn)n0: xn =

1, dacanpar0, dacanimpar; x0=1,x1 = 0,x2 = 1, . . ..

31


32/297

32 Capitolul 2 SIRURI DE NUMERE REALE

Siruri definite prin intermediul unei recurente

Daca pentru un sir (xn)n0se cunosc primii k termeni x0, x1, . . . , xk1, fiind

data de asemenea o relatie prin care termenul generalxnse exprima n functie dexn1,xn2, . . . , xnkpentru oricen k , se spune ca(xn)n0este definit printr-orecurenta de ordinul k.

Siruri definite n mod descriptiv.

Sirul(xn)n1,xn=aproximarea prin lipsa cu n zecimale exacte a lui

2 este definitn mod descriptiv. Se obtine cax1=1.4,x2=1.41,x3=1.414, s.a.m.d.

Progresii aritmetice

Sirul(xn)n0definit prin recurenta de ordinul nti data de

x0=a sixn+1 = xn+r, n 0,

a sir Rfiind date, se numesteprogresie aritmetica,r numindu-seratia progre-siei(din orice termen al sirului se obtine termenul care-l succede prin adaugirearatiei). Se obtine ca formula termenului general este xn = a+nr, n 0. Deasemenea, suma primilorn+1 termeni este

Sn =x0+x1+. . .+xn

=a+ (a+r) +. . .+ (a+nr)= (n+1)a+ (r+2r+. . .+nr)

= (n+1)a+n(n+1)

2 r.

Din cele de mai sus, se observa si ca

Sn=n(a0+an)

2 .

Progresii geometrice

Sirul(xn)n0definit prin definit prin recurenta de ordinul nti data de

x0 =bsixn+1=xnq, n 0,

bsiq Rfiind date, se numesteprogresie geometrica,q numindu-seratia progre-siei(din orice termen al sirului se obtine termenul care-l succede prin nmultirea


33/297


cu ratia). Se obtine ca formula termenului general este xn = bqn, n 0. Deasemenea, suma primilorn+1 termeni este

Sn =x0+x1+. . .+xn

=b+bq+. . . bqn

=b(1+q+. . .+qn)

=bqn+1 1

q 1 , dacaq=1,

n vreme ce dacaq= 1, atunciSn = (n+1)b.

Exercitiu

Determinati termenul general al sirului(xn)n0dat prin

1)xn+1=2xn 1, n 0, x0 = 2; 2)xn+1=

3xn, n 0, x0 = 1.

Solutie

1) Relatia de recurenta este asemanatoare celei care defineste o progresie geo-metrica, diferenta fiind data de prezenta termenului liber 1. Acest termen liberva fi eliminat prin scaderea a doua relatii de recurenta scrise pentru indici succe-sivi.

Punndn = 0 n relatia de recurenta se obtine cax1 = 3. Scriind relatia derecurenta pentrun =k+1, respectivn =k, si scaznd cele doua relatii obtinutese deduce caxk+2 xk+1 =2(xk+1 xk). Notndyn = xn+1 xn, observam cayk+1 = 2yk, deci (yk)k0este o progresie geometrica cu ratie 2. Deoarecey0 =x1 x0=1, se deduce cayn =y02n =2n.

Cumyk =xk+1 xk, urmeaza caxk+1 xk =2k. Punnd succesivk =0, k =1 , . . . , k= n 1 si sumnd relatiile obtinute deducem ca

xn

x0 = 1+2+. . .+2n =

2n 12

1 =2n

1,

decixn =x0+2n 1=2n +1.Similar, putem determinacR astfel ca(xn+c)n0sa fie progresie geomet-

rica. n acest scop, adunm mai nti cn ambii membri ai relatiei de recurenta.Obtinem ca

xn+1+c= 2xn 1+c= 2(xn+ c 12 ).


34/297


n concluzie, pentruc = c12 , adica pentruc =1, urmeaza ca(xn+c)n0esteprogresie geometrica de ratie 2. De aici,

xn 1= 2n(x0 1) =2n,de undexn=2n +1.

2) Punndn = 0 n relatia de recurenta se obtine cax1 =

3. Prin logarit-marea relatiei de recurenta se obtine ca

ln xn+1 =12

ln 3+12

ln xn+1.

Cu notatia zn = ln xn, se obtine ca zn+1 = 12 zn+ 12ln3, z1 = ln x1 =

12ln3,

z0=ln x0 =0.Scriind relatia de recurenta pentru n = k+1, respectiv n = k, si scazndcele doua relatii obtinute se deduce cazk+2 zk+1 = 12 (zk+1 zk). Notndyn =zn+1 zn, observam cayk+1 = 12yk, deci(yk)k0este o progresie geometrica curatie 12 . Deoarecey0=z1 z0= 12ln 3, se deduce cayn =y02n = 12n+1ln3.

Cumyk = zk+1 zk, urmeaza cazk+1 zk = 12k+1ln 3. Punnd succesivk =0, k= 1, . . . , k= n 1 si sumnd relatiile obtinute deducem ca

zn z0= 12ln 3+ 122

ln 3+. . .+ 12n

ln 3=12

ln 3

1+12

+. . .+ 12n1

= 12

ln 31 12n1 12

=

1 12n

ln3.

decizn =z0+

1 12n

ln 3=

1 12n

ln3. Cumzn =ln xn, urmeaza ca

xn =ezn =e(1 12n ) ln 3 =eln 3

(1 12n )=31

12n .

2.1.2 Subsiruri ale unui sir datNumimsubsiral sirului(xn)n0un sir(xkn )n0ai carui termeni sunt elemente alemultimii termenilor sirului(xn)n0,A ={x0, x1, . . . , xn, . . .}, cu k0


35/297


Exemple

Fie sirul(xn)n0. Atunci subsirul(x2n)n0: x0, x2, x4, . . . , x2n, . . . se numestesub-

sirul termenilor de rang par ai sirului. Subsirul(x2n+1)n0: x1, x3, x5, . . . , x2n+1, . . .se numestesubsirul termenilor de rang impar ai sirului. Un alt subsir este(xn+3)n0:x3, x4, x5, . . ., obtinut prin eliminarea primilor trei termeni ai sirului.

Cum pentru oricekNputem construi sirul(xkn)n0:x0, xk, x2k, . . . , xkn, . . .al termenilor de rang divizibil cuk, urmeaza ca orice sir are o infinitate de sub-siruri.

2.1.3 Siruri marginite

Fie un sir(xn)n0de numere reale siA={x0, x1, . . . , xn, . . .} multimea termenilorsai. Vom spune ca(xn)n0se numestemarginitdacaA este marginita, respectivca(xn)n0estemarginit superior(respectivmarginit inferior) dacaA este majorata(respectiv minorata). Un sir care nu este marginit (respectiv nu este marginitsuperior sau nu este marginit inferior) se numeste nemarginit (respectiv nemarginitsuperiorsaunemarginit inferior).

Conform caracterizarii multimilor marginite, aplicata multimiiAa termenilorsirului, se obtin urmatoarele proprietati.

Teorema 2.1. Fie sirul de numere reale(xn)n0.

1. (xn)n0este marginit superior daca si numai daca exista b R astfel ca xn bpentru orice nN.

2. (xn)n0este marginit inferior daca si numai daca exista a Rastfel ca a xnpentru orice nN.

3. (xn)n0este marginit daca si numai daca exista a, b Rastfel ca a xn b

pentru orice n 0daca si numai daca exista M >0astfel ca|xn| M pentruorice nN.

Exemple 1. (xn)n0,xn =sinn3 este marginit, deoarece1 xn 1 pentruoricenN.

2. (xn)n0,xn =2 + (1)nn+1 este marginit, deoarece |xn| 3 pentru oricenN.


36/297


3. (xn)n0,xn = n3n este marginit, deoarece conform inegalitatii lui Bernoulli,3n = (1+2)n

1+2n, deci n3n b.2. (xn)n0este nemarginit inferior daca si numai daca pentru orice aR exista un

rang na N astfel ca xn < a.

2.1.4 Siruri monotone

Fie un sir de numere reale (xn)n0. Spunem ca (xn)n0estecrescator(respectivstrict crescator) dacaxn xn+1pentru oricen 0 (respectiv xn < xn+1pentru

oricen0), adica orice termen al sirului este mai mic (respectiv strict mai mic)dect termenul care-l succede.De asemenea, spunem ca(xn)n0estedescrescator(respectivstrict descrescator)

dacaxnxn+1pentru oricen 0 (respectivxn > xn+1pentru oricen 0), adicaorice termen al sirului este mai mare (respectiv strict mai mare) dect termenulcare-l succede.

Un sir (xn)n0 crescator sau descrescator se va numi sirmonoton, iar un sir(xn)n0strict crescator sau strict descrescator se va numi sirstrict monoton. De-sigur, orice sir strict monoton este si monoton; nu si reciproc.

Pentru a preciza monotonia unui sir(xn)n0se pot folosi urmatoarele metode.Studierea semnului diferentei xn+1 xn.

Dacaxn+1 xn 0 pentru oricen 0, atunci(xn)n0este crescator. Dacaxn+1 xn0 pentru oricen0, atunci(xn)n0este descresca-

tor.


37/297


Compararea raportului xn+1xn cu 1, daca(xn)n0este un sir cu termeni strict pozitivi.

Daca xn+1

xn 1 pentru oricen 0, atunci(xn)n0este crescator. Daca xn+1xn 1 pentru oricen 0, atunci(xn)n0este descrescator.

Folosind inegalitati stricte n locul inegalitatilor nestricte se obtin criteriile core-spunzatoare de monotonie stricta.

Legatura ntre monotonia si marginirea unui sir

Daca(xn)n0este un sir crescator, atunci

x0x1x2. . .xn. . . ,

deci x0 xn pentru oricen N, iar (xn)n0 este marginit inferior de primultermenx0.

Similar, daca(xn)n0este un sir descrescator, atunci

x0x1x2. . .xn. . . ,

decix0 xnpentru oricen N, iar (xn)n0este marginit superior de primultermenx0. Au loc atunci urmatoarele proprietati.

Teorema 2.3. Fie(xn)n0un sir.1. Daca(xn)n0este crescator, atunci el este marginit inferior.

2. Daca(xn)n0este descrescator, atunci el este marginit superior.

2.2 Siruri cu limita

Notiunea de limita este unul dintre cele mai importante concepte ale analizeimatematice, preciznd tendinta termenilor unui sir de a se apropia de un anumit

numar (cazul sirurilor cu limita finita), sau de a deveni orict de mari, respectivorict de mici (cazul sirurilor cu limita infinita).

Fie(xn)n0un sir de numere reale. Spunem ca(xn)n0are limita l Rdacaorice vecinatateV V(l)lasa n afara ei cel mult un numar finit de termeni aisirului, adica exista un rangnV N astfel caxn Vpentru oricennV(altfelspus, vecinatateaVcontine toti termenii sirului de la rangulnVncolo). n acest


38/297


caz, vom nota xn l pentru n sau limn xn = l, spunndu-se si ca sirul

(xn)n

0(sau termenul sau generalxn)tindelal.

Se poate observa ca adaugarea sau eliminarea unui numar finit de termeniai sirului nu-i schimba acestuia natura de a avea sau nu limita si nici limita, dacaaceasta exista, putndu-se modifica doar rangul ncepnd cu care termenii siruluiapartin unei vecinatati date.

Exemple 1. Un sir constant (xn)n0: xn = c,c R, este convergent lac, n-truct orice vecinatateV V(c)contine toti termenii sirului.

2. Sirul (xn)n0: xn = n are limita +. Pentru a demonstra acest lucru,observam ca orice vecinatate V

V(+) contine un interval de forma

(MV, +]. FienV = [MV] +1. AtuncinV> M, decixnV (M, +]V.Analog,xnVpentru oricen > nV, deci(xn)n0are limita+.

3. n mod asemanator se poate demonstra ca sirul(xn)n0:xn=nare limita.

Unicitatea limitei unui sir

n cele ce urmeaza, se va observa mai nti ca limita unui sir, daca exista, esteunica.

Teorema 2.4. Fie(xn)n0un sir. Daca limn xn =l1 Rsi limn xn =l2 R, atuncil1=l2.

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd cal1=l2. Conform propri-etatii de separatie Hausdorff, l1 sil2pot fi separate prin vecinatati, adica existaV1 V(l1) siV2 V(l2)astfel caV1 V2 = . Cum att l1 ct sil2sunt lim-ite ale sirului(xn)n0, urmeaza ca exista doua rangurinV1 sinV2 Nastfel caxn V1pentru oricen nV1 , respectivxn V2pentru oricen nV2 . Urmeazaca xn

V1

V2 pentru orice n

max(nV1 , nV2 ), ceea ce contrazice faptul ca

V1 V2 = .

Subsiruri ale unui sir cu limita

Este usor de observat ca proprietatile de monotonie si marginire se transmitde la un sir catre subsirurile sale. Astfel, daca un sir este monoton, orice subsiral sau este de asemenea monoton, cu acelasi sens de monotonie, iar daca un sir


39/297


este marginit, orice subsir al sau este de asemenea marginit, multimea termenilorsubsirului fiind inclusa n multimea (marginita) a termenilor sirului. Pe aceeasi

linie de gndire, proprietatea unui sir de a avea limita se transmite de asemeneacatre subsirurile sale.

Teorema 2.5. Fie(xn)n0un sir de numere reale. Daca limn xn =l R, atunci orice

subsir(xkn )n0al sau are aceeasi limita.

Demonstratie. Fie(xkn )n0un subsir al lui(xn)n0 si fieV V(l)o vecinatatearbitrara a luil. Deoarece lim

n xn =l,Vcontine toti termenii sirului(xn)n0dela un rang ncolo, adica existanV Nastfel ca xn Vpentru oricen nV.Deoareceknnpentru oricenN, urmeaza caknVnVsi decixkn Vpentrukn knV, de undeVcontine toti termenii subsirului(xkn )n0 de la rangul knV

ncolo. CumVera arbitrara, urmeaza ca limn xkn =l.

Conform teoremei de mai sus, se observa ca daca un sir (xn)n0 are douasubsiruri care tind la limite diferite, atunci el nu are limita, deoarece daca(xn)n0ar avea limital, atunci si cele doua subsiruri ar avea aceeasi limital.

Exemplu

Sirul(xn)n0:xn= (1)n nu are limita, deoarece subsirul termenilor de rang par(x2n)n0: x2n = 1 si subsirul termenilor de rang impar (x2n+1)n0: x2n+1 =1au limitele diferitel1=1, respectivl2=1.

2.2.1 Siruri convergente

Un sir (xn)n0 cu limita finita l se numeste sir convergent, spunndu-se si ca(xn)n0 este convergent catre l. Orice sir care nu este convergent se numestedi-vergent.

n acest sens, sirurile divergente pot fi deci siruri cu limita infinita sau sirurifara limita. n plus, orice subsir al unui sir convergent este convergent la aceeasi

limita ca si sirul initial, conform Teoremei 2.5. De aici, daca un sir(xn)n0contineun subsir cu limita infinita, sau doua subsiruri cu limite diferite, atunci el estedivergent.

Exemplu

Sirul(xn)n0:xn = 1+(1)n

2 neste divergent, deoarece subsirul termenilor de rangpar(x2n)n0:x2n =2nare limita+.


40/297


Caracterizarea analitica a limitei unui sir

Definitia cu vecinatati a limitei unui sir, desi utila teoretic, este greu de veri-ficat sau folosit n aplicatii. Vom prezenta n cele ce urmeaza cteva caracterizariechivalente cu un pronuntat aspect numeric, utile pentru demonstrarea unor pro-prietati verificabile practic. Mai nti, este abordata situatia sirurilor convergente.

Teorema 2.6. Fie(xn)n0un sir de numere reale si l R. Atunci(xn)n0este con-vergent catre l daca si numai daca pentru orice > 0exista un rang n N astfel nct|xn l| < pentru orice nn.

Demonstratie.

" Fie limn

xn =l . Fie de asemenea > 0 arbitrar. Pentru acest

, vom consideraV = (l , l+)o vecinatate a luil. Conform definitiei limiteiunui sir, exista un rangnV(notat n continuaren) astfel caxnVpentru oricenn. Atuncil < xn < l+ pentru oricenn, de unde |xn l| < pentruoricenn.

" Presupunem ca sirul are proprietatea din enunt si fieVo vecinatate ar-bitrara a luil . Aceasta vecinatate contine un interval deschis centrat n l , adicaexista >0 astfel ca(l , l+) V. Pentru acest , conform proprietatii dinenunt, exista un rangn N astfel nct |xn l| < pentru oricenn, de unde

xn (l , l+) Vpentru oricen n. n concluzie, vecinatateaVcontinetoti termenii sirului de la rangulnncolo.

De fapt, proprietatea din enuntul Teoremei 2.6 este echivalenta cu proprietateade definitie a sirurilor convergente, putnd fi folosita n locul acesteia pentrudefinirea notiunii de sir convergent.

Exercitiu

Fie(xn)n0:xn = 2n+5n+2. Aratati ca limnxn=2.

Solutie

Fie > 0 arbitrar. Au loc relatiile

|xn 2|= 1n+2 <

cu conditia ca1

n+2< n+21

n >1

2.


41/297


Atuncin = [

1

2] +1= [1

]

1,

iar pentrunn, |xn 2| < , de unde limnxn =2.

Exercitiu

Fie(xn)n0un sir convergent de numere ntregi. Aratati ca(xn)n0este constantde la un rang ncolo.

Solutie

Fie limnxn = l R. Pentru =

14 , exista n Nastfel ca|xn l| < 14

pentru oricenn, decixn (l 14 , l+ 14 )pentru oricenn. Cum intervalul

(l 1

4 , l+1

4 )are lungime1

2 , el nu poate contine dect un singur numar ntreg, deci(xn)n0este constant ncepnd cu ranguln, termenii sai fiind egali cu numarulntreg respectiv.

Siruri cu limita infinita (1)

n continuare, este abordata situatia sirurilor cu limita infinita, observndu-seca sirurile cu limita+ au termeni orict de mari" de la un rang ncolo, respectivsirurile cu limita au termeni orict de mici" de la un rang ncolo.

Teorema 2.7. Fie(xn)n

0un sir de numere reale. Atunci

1. (xn)n0 are limita +daca si numai daca pentru orice M > 0exista un rangnM N astfel ca xn >M pentru orice nnM.

2. (xn)n0 are limitadaca si numai daca pentru orice M > 0exista un rangnM N astfel ca xn < M pentru orice nnM.

Demonstratie. 1. " Fie limnxn = +. Fie de asemeneaM > 0 arbitrar. Pentru

acestM, vom consideraVM= (M, +]o vecinatate a lui+. Conform definitieilimitei unui sir, exista un rangnVM (notat n continuare nM) astfel ca xn

VM

pentru orice n nM. Atuncixn > M pentru orice n nM, ceea ce trebuiademonstrat.

1. " Presupunem ca sirul are proprietatea din enunt si fieVo vecinatatearbitrara a lui +. Aceasta vecinatate contine un interval de forma (M, +];fara a restrnge generalitatea, Mpoate fi luat pozitiv. Pentru acest M, conformproprietatii din enunt, exista un rangnM Nastfel nctxn > Mpentru orice


42/297


nnM, de undexn(M,]Vpentru oricennM. n concluzie, vecinatateaVcontine toti termenii sirului de la rangulnMncolo.

Demonstratia celei de-a doua afirmatii este asemanatoare.

Exercitiu

Fie(xn)n0:xn = n2+2n+3

n+1 . Aratati ca limnxn = +.

Solutie

FieM > 0 arbitrar. Au loc relatiile

xn=n+1+ 2n+1

>M

cu conditia ca

n+1 >Mn >M 1.AtuncinM = [M 1] +1= [M], iar pentrunnM,xn >M, de unde limnxn =+.

Siruri cu limita0

n aceste conditii, studiul sirurilor convergente carora le este cunoscuta limitapoate fi redus la studiul unor siruri convergente la 0, observndu-se ca un sir

(xn)n0are limital R daca si numai daca diferenta dintre sir si limita sa tindela 0; acesta este doar un alt fel de a spune ca termenii unui sir convergent devinapropiati" de limita sirului de la un rang ncolo.

Teorema 2.8. Fie(xn)n0un sir de numere reale si l R. Atunci limnxn =l daca si

numai daca limn(xn l) =0.

Demonstratie. Conform teoremei de caracterizare a sirurilor convergente (Teo-rema 2.6),

limnxn =l > 0nastfel nct |xn l| < nn

> 0nastfel nct |(xn l) 0| < nn lim

n(xn l) =0.


43/297


Proprietatea de pastrare a semnului

Se poate observa ca termenii unui sir cu limita au, cu exceptia eventuala aunui numar finit dintre ei, acelasi semn cu limita sirului.

Teorema 2.9. Fie(xn)n0un sir de numere reale cu limita l R.

1. Daca l > 0, atunci toti termenii sirului sunt strict pozitivi de la un rang ncolo.

2. Daca l < 0, atunci toti termenii sirului sunt strict negativi de la un rang ncolo.

3. Daca l=0, atunci toti termenii sirului sunt nenuli de la un rang ncolo.

Demonstratie. 1. Dacal = , alegemM = 1 n Teorema 2.7 si obtinem ca existan1 Nastfel caxn > 1 pentru oricen n1, de unde concluzia. Dacal R,lund = l2 , obtinem ca existan N astfel ca |xn l| < l2pentru oricenn,deci l2 0 pentru oricenn.

Cea de-a doua proprietate se demonstreaza analog, iar cea de-a treia se obtineprin combinarea primelor doua.

Siruri cu limita infinita (2)

Teorema 2.10. Fie(xn

)n0

un sir de numere reale.

1. Daca limnxn = + (respectiv limnxn =), atunci limn

1xn

=0.

2. Daca limnxn = 0, iar xn > 0(respectiv xn < 0) de la un rang ncolo, atunci

limn

1xn

= + (respectiv limn

1xn

=).

Demonstratie. 1. Presupunem ca limnxn = . Fie > 0 arbitrar. Deoarece

limnxn = +, exista un rangn1N astfel caxn >

1pentru oricenn1. Atunci

0 < 1xn < pentru oricenn1. Cumera arbitrar, urmeaza ca limn

1xn

=0. Daca

limnxn =, demonstratia este analoaga.2. Presupunem ca exista un rangn1Nastfel caxn > 0 pentru oricenn1.

FieM > 0 arbitrar. Cum limnxn =0, urmeaza ca exista un rangn2 N astfel ca

|xn 0| < 1Mpentru oricenn2. Atunci

0 < xn < 1M

pentru oricen max(n1, n2),


44/297


deci 1xn > M pentru orice n max(n1, n2). Cum M era arbitrar, urmeaza calim

n

1xn

= +. Dacaxn < 0 de la un rang ncolo, demonstratia este analoaga.

Rezulatele teoremei de mai sus pot fi prezentate sub forma prescurtata

1

+=0,

1

=0, 1

0+= +,

1

0 =.

Cu ajutorul Teoremei 2.6, se poate acum obtine urmatorul rezultat frecventfolosit n aplicatii.

Teorema 2.11.Fie(xn)n0un sir monoton crescator de numere reale care este nemarginitsuperior. Atunci

limnxn= +, limn 1xn

=0.

Demonstratie. FieM > 0 arbitrar. Cum(xn)n0este nemarginit superior, existanM N astfel caxnM >M , iar deoarece(xn)n0este monoton crescator, urmeazacaxn > Mpentru oricen nM. Conform Teoremei 2.7, limnxn = +. Pentrua demonstra cea de-a doua parte a teoremei, se poate folosi Teorema 2.10, saurationamentul de mai jos.

Fie acum >0 arbitrar si fieM1 = 1 . Cum limnxn = +, urmeaza ca exista

nM1

Nastfel caxn > M1pentru oricen

nM1

. De aici, 1

xn >0 pentru orice

nnM1 . n plus, 1xn < 1M =pentru oricennM1 . De aici, | 1xn | < pentru oricennM1 , de unde limn

1xn

=0.

Cu un rationament asemanator, se poate demonstra si urmatoarea teoremacomplementara celei de mai sus.

Teorema 2.12.Fie(xn)n0un sir monoton descrescator de numere reale care este nemarginitinferior. Atunci

limn

xn=, limn

1xn

=0.

Exemple Pentruk (0,), limnn

k = , limn

1nk

=0. De exemplu, limnn

2 = ,

limn

1n

=0.

Pentruq > 1, limnq

n = , limn

1qn

=0. De exemplu, limn5

n = , limn

12n

=0.


45/297


Pentruq(0, 1), limnq

n =0 (deoarecep = 1q > 1, iar limn1

pn (= limnqn) =0).

limnn2 +n+1= +, limn1

n2+n+1 =0.Criterii de majorare-minorare

Conform teoremei anterioare, pentru a arata ca limita unui sir (xn)n0 estel R, poate fi studiata diferenta dintre termenii sirului si limita acestuia. Teo-rema urmatoare afirma faptul ca daca aceasta diferenta poate fi estimata potrivit,cu valori din ce n ce mai mici (nde mai jos poate fi nteles ca o eroare de aprox-imare), atunci ntr-adevar sirul(xn)n0are limital.


0un sir de numere reale si lR. Daca exista un sir(n)n

0

de numere reale pozitive si un rang oarecare n0N astfel ca

|xn l| npentru orice nn0, iar limnn =0

atunci limnxn=l.

Demonstratie. Fie >0 arbitrar. Cum(n)n0este convergent la 0, urmeaza caexistan N astfel ca |n 0| < pentru oricenn. De aici, |xn l| n < pentru oricen max(n0, n), iar lim

nxn =l.

ExercitiuFie sirul(xn)n0:xn= 2n+3n+1. Aratati ca limnxn =2.

Solutie

Are loc relatia

|xn 2|= 1n+1, iar limn1

n+1=0,

deoarece(xn)n0:xn =n+1 este un sir crescator si nemarginit superior. De aici,lim

n

xn =2.

Exercitiu

Fie sirul(xn)n1:xn= sin nn . Demonstrati ca limnxn =0.

Solutie

Au loc relatiile sin nn 0 1n , iar limn1n =0


46/297


deci limnxn=0.

Se va observa acum ca daca termenii unui sir(xn)n0pot fi minorati cu ter-meni orict de mari" ai unui sir(an)n0(i.e. (an)n0are limita +), atunci eisunt de asemenea orict de mari" (i.e. (xn)n0are tot limita+). De asemenea,daca termenii unui sir(xn)n0pot fi majorati cu termeni orict de mici" ai unuisir (bn)n0 (i.e. (bn)n0 are limita), atunci ei sunt de asemenea orict demici" (i.e.(xn)n0are tot limita ).Teorema 2.14. Fie(xn)n0un sir de numere reale.

1. Daca exista un sir de numere reale(an)n0cu proprietatea ca limnan= +si un

rang na

N astfel ca an

xnpentru orice n

na, atunci limn

xn = +.

2. Daca exista un sir de numere reale(bn)n0cu proprietatea ca limnbn =si unrang nbN astfel ca xnbnpentru orice nnb, atunci limnxn=.

Demonstratie. 1. Fie(an)n0cu proprietatea ca limnan = +si fie M > 0 ar-

bitrar. Exista atunci un rangnMastfel caan > Mpentru oricen nM. De aici,xn an > Mpentru oricen max(na, nM), de unde limnxn = +. Demon-stratia celei de-a doua proprietati este asemanatoare.

Exercitiu

Fie sirul(xn)n0:xn=n+ (1)n. Demonstrati ca limnxn= .Solutie

Are loc inegalitateaxn n 1 pentru oricen 0, iar limn(n 1) = , de

unde concluzia.

Exercitiu

Fie sirul(xn)n0:xn= 11+ 1

2+. . .+ 1

n. Demonstrati ca lim

nxn = .

Solutie

Mai nti, sa observam ca

1k> 2

k+

k+1=2(k+1 k)pentru oricek 1,

deci, prin sumare dupakde la 1 lan,

xn > 2(

n+1 1)pentru oricen 1,iar cum lim

n2(

n+1 1) = , urmeaza concluzia.


47/297


Siruri continnd functia modul

Prezentam n continuare cteva consecinte ale Teoremei 2.13, exprimnd fap-tul ca functia modul pastreaza convergenta sirurilor.

Teorema 2.15. Fie(xn)n0un sir de numere reale. Atunci

1. Daca limnxn =l, iar l R, atunci limn|xn|= l.

2. Daca limnxn =0, atunci limn|xn|= 0.

3. Daca limn|xn|= 0, atunci limnxn=0.

Demonstratie. 1. Fie limnxn = l Rsi fie >0 arbitrar. Exista atuncin Nastfel ca |xn l| < pentru oricenn. Cum

||xn| |l|| |xn l| < pentru oricenn,

conform inegalitatilor modulului, urmeaza ca limn|xn| = l. Cea de-a doua afir-

matie rezulta din prima pentrul=0.3. Fie lim

n|xn| =0 si fie >0 arbitrar. Exista atuncin N astfel ca||xn| 0| < pentru oricenn. Deoarece ||xn||=|xn|, urmeaza ca |xn 0| < pentru

oricenn, deci limnxn=0.

Se va observa ca reciproca primei afirmatii nu este adevarata. n acest sens, fie(xn)n0: xn = (1)n. Atunci |xn| 1 pentrun , dar(xn)n0nu are limita.De asemenea, daca (xn)n0este un sir de numere reale astfel ca lim

nxn =,atunci lim

n|xn|= +, cu un rationament asemanator celui de mai sus.

Limita sirului(qn)n0

Din cele de mai sus, se obtine ca

limnq

n =0 pentruq(1, 1).

Acest lucru a fost observat deja pentruq(0, 1), conform Teoremei 2.11. Pentruq (1, 0),|qn| =|q|n, iar|q| (0, 1), deci lim

n|qn| = 0, de unde lim

nqn = 0,

conform celei de-a treia proprietati de mai sus. n fine, proprietatea este evidentapentruq= 0.


48/297


Fie acumq(, 1). Cumq2n iarq2n+1 , urmeaza ca nu existalim

n

qn. Se observa n mod analog ca nu exista limn

qn nici pentruq=

1.

Discutia de mai sus poate fi sistematizata sub urmatoarea forma prescurtata

limnq

n =

nu exista, dacaq 10, dacaq(1, 1)1, dacaq= 1

+, dacaq > 1

.

2.2.2 Proprietati ale sirurilor cu limita

Teorema ce urmeaza, numita si teorema de trecere la limita n inegalitatiexprimafaptul ca inegalitatile (nestricte) dintre termenii a doua siruri se pastreaza printrecere la limita.

Teorema 2.16. Fie doua siruri(xn)n0si(yn)n0cu proprietatile

1. Exista un rang n0astfel ca xnynpentru nn0.2. lim

nxn=xR, limnyn=y R.Atunci x

y.

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd cax >y. Conform propri-etatii de separatie Hausdorff, x si y pot fi separate prin vecinatati, adica existaVx V(x)siVy V(y)astfel caVx Vy = (si deciz1 > z2pentru oricez1Vxsiz2Vy).

Conform definitiei limitei, existanx Nastfel caxn Vxpentrun nx siny Nastfel cayn Vypentrun ny, ambele relatii fiind satisfacute pentrun max(nx, ny). Rezulta de aici ca xn > yn pentru orice n > max(nx, ny),contradictie.

Inegalitatile nestricte dintre termenii a doua siruri nu se pastreaza neaparatprin trecere la limita. Aceasta se poate observa considernd sirurile(xn)n0:xn=

1n+2 si(yn)n0: yn =

1n+1 , pentru carexn


49/297


Teorema 2.17.Fie trei siruri de numere reale(an)n0,(xn)n0,(bn)n0cu proprietatile

1. Exista un rang n0astfel ca anxnbnpentru nn0.2. lim

nan= limnbn=l R.

Atunci exista limnxn, iar limnxn=l.

Demonstratie. Dacal = +, atunci limnxn = +, folosind faptul caan xn

pentru oricenn0, limnan = + si Teorema 2.14. Pentru situatia n carel=se rationeaza analog.

Fie acuml R. Exista atunci doua rangurina,nb Nastfel ca|an l| < pentru oricen na, respectiv|bn l| < pentru oricen nb. Urmeaza atuncica

< an lxn lbn l < pentrun max(na, nb, n0),de unde lim

nxn=l.

Exercitiu

Fie sirul(xn)n1:xn= 1n2+1+ 1n2+2+. . .+

1n2+n . Aratati ca limnxn=0.

Solutie

Observam ca dintre cei n termeni continuti n suma care defineste xn, 1n2+neste cel mai mic, iar 1n2+1este cel mai mare. Urmeaza can 1n2+n xnn 1n2+1 ,deci

1n+1

xn nn2 +1 0 arbitrar. Deoarecel = supA, conform Teoremei 2.7,existax

Aastfel ca x > l

. Cumx

A, exista un rangn0

Nastfel ca

x = xn0 , decixn0 >l si, deoarece(xn)n0este monoton crescator,xn >l pentru oricenn0. Deoarecel =supA, urmeaza caxnl pentru oricen0.Combinnd aceste relatii, urmeaza cal < x l pentru orice n n0, deci|xn l| < pentru orice n n0. Cum era arbitrar, urmeaza ca lim

nxn = l.Daca (xn)n0 este monoton descrescator si marginit inferior, demonstratia esteanaloaga.

Din cele de mai sus, se observa de asemenea ca toti termenii unui sir mono-ton crescator si marginit superior (xn)n0sunt mai mici sau egali cu valoareal

a limitei sirului. Similar, toti termenii unui sir monoton descrescator si marginitinferior(xn)n0sunt mai mari sau egali cu valoarea limitei sirului.

Exercitiu

Fie sirul(xn)n1:xn= 112 + 122 +. . .+

1n2 . Aratati ca(xn)n1este convergent.

Solutie

Vom arata ca (xn)n1este monoton si marginit. n acest scop, sa observamca, deoarece xn+1 xn = 1(n+1)2 > 0, sirul(xn)n1 este strict crescator, deci simarginit inferior. De asemenea, 1n2 0. Exista atunci rangulnN astfel ca

|xn x| <

|c|pentru oricenn.Atunci, pentru oricenn,

|cxn cx|=|c||xn x| < |c| |c| =,

deci limn(cxn) =cx= climnxn.


53/297


3. Mai nti, se observa ca au loc inegalitatile

|xnyn xy| |xnyn xny+xny xy| |xnyn xny| + |xny xy| |xn||yn y| + |xn x||y|.Cum (xn)n0 este convergent, el este si marginit, deci exista M > 0 astfel ca|xn| Mpentru oricen 0.

Fie > 0. Exista atunci ranguln1 Nastfel ca|yn y| < 2M pentru oricenn.

Dacay= 0, atunci, pentru oricenn1 ,|xnyn xy| 0. Exista atunci un rangn Nastfel ca|xn x| < |x|22 . Atunci,pentru oricen max(nx, n), 1xn 1x

< |x|22 2|x| 1|x| =,deci lim

n1

xn = 1x =

1lim

nxn.


54/297


Exercitiu

Fie sirul (xn)n0 definit prin xn+1 = 12 xn

1, n

0, x0 = 1. Demonstrati ca

(xn)n0este convergent.Solutie

Mai nti, se observa cax1=12 < x0. n plus,

xn+1 xn= 12 xn 1 12

xn1+1=12

(xn xn1) ,

deci

sgn(xn+1 xn) =sgn (xn xn1)= . . .= sgn(x1 x0).

Cumx1 < x0, urmeaza ca sirul(xn)n0este strict descrescator, deci si marginitsuperior dex0 =1.

Deoarecexn+1 2, iar(xn)n0estesi marginit inferior. Cum(xn)n0este monoton si marginit, el este convergent.Fiellimita sa; atunci sirul( 12 xn)n0are limita

12 l, iar sirul(xn+1)n0are tot limita

l. Trecnd la limita n relatia de recurenta, obtinem cal = 12 l 1, decil =2. Proprietatile de mai sus se pot extinde n mod imediat la operatii cu un numar

mai mare (dar constant) de siruri. De exemplu, daca(x1n)n0,(x2n)n0, . . . ,(xkn)n0

sunt siruri convergente, cu limitele respectivl1, l2, . . . , lk, atunci sirul suma(x1

n+x2n+. . .+xkn)n0este convergent, iar

limn

x1n+x

2n+. . .+x

kn

= lim

nx1n+ limnx

2n+. . .+ limnx

kn.

Cazul operatiilor cu un numar variabil de siruri trebuie tratat cu atentie, asa cumse observa din urmatorul exemplu

1= limn

1n

+1n

+. . .+1n

= lim

n1n

+ limn

1n

+. . .+ limn

1n

=0,

diferenta provenind din faptul ca paranteza

1n+

1n+. . .

1n

contine un numar

densiruri,nfiind variabil.

Teorema 2.23. Fie(xn)n0si(yn)n0doua siruri convergente de numere reale astfel calim

nxn =x, limnyn =y. Atunci sirul diferenta(xn yn)n0este convergent, iar dacay=0, atunci si sirul raport( xnyn)n0este convergent. n plus, au loc relatiile


55/297


1. limn(xn yn) = limnxn limnyn=x y(limita diferentei este egala cu diferenta limitelor).

2. limn

xnyn

=lim

nxnlim

nyn = xy , daca limnyn=0

(limita raportului este egala cu raportul limitelor).

Demonstratie. 1. Deoarecexn yn =xn+ (1)yn, iar((1)yn)n0este conver-gent cu limita y(din teorema de mai sus), urmeaza ca

limn(xn yn) = limnxn+ limn((1)yn) = limnxn limnyn.

2. Ca mai sus, sirul xnyneste bine definit, cu exceptia eventuala a unui numarfinit de termeni. Deoarece( 1yn )n0este convergent cu limita 1y , urmeaza calim

nxn

yn= lim

nxn 1yn

= limnxn limn

1yn

=lim

nxnlim

nyn.

Se poate demonstra de asemenea urmatorul rezultat.


0si(yn)n

0doua siruri convergente de numere reale astfel calim

nxn = x >0, limnyn = y. Atunci sirul putere(xynn )n0este convergent. n plus,

are loc relatia

limn(x

ynn ) =

lim

nxn lim

nyn (limita puterii se distribuie att bazei si exponentului).

Alegnd sirurile constante(bn)n0:bn =k,kN, respectiv(bn)n0:bn= 1p ,p N,p 2, se obtine urmatoarea consecinta a teoremei de mai sus.

Corolar 2.24.1. Fie(xn)n0un sir convergent de numere reale astfel ca limn

xn =x >

0, kN, p N, p 2. Atunci1. lim

nxkn=

lim

nxnk

=xk (limita puterii este egala cu puterea limitei).

2. limn

p

xn= p

limnxn=

p

x (limita radicalului este egala cu radicalul limitei).

Analizam acum cazul n care (xn)n0are limita 0.


56/297


Teorema 2.25.Fie(xn)n0un sir convergent de numere reale pozitive astfel ca limnxn =

0si fie(yn)n

0un sir convergent de numere reale astfel ca limnyn =y

=0. Atunci

1. Daca y > 0, atunci limn(x

ynn ) =0.

2. Daca y < 0, atunci limn(x

ynn ) = +.

Consideratii asemanatoare se pot formula n cazul n care (xn)n0este un sirconvergent de numere reale negative cu limita 0, sau macar contine termeni neg-ativi, cu rezerva ca (xynn )n0 trebuie mai nti sa fie bine definit. De exemplu,pentruxn= 1n siyn = 12n ,xynn = 2n

1nnu este definit pentru nicio valoare a lui

n. Totusi, daca(xn)n0 si (yn)n0au ambele limita 0, nu se poate afirma nimicdespre convergenta sau divergenta sirului(xynn )n0, spunndu-se ca 00 este uncaz de nedeterminare. Acest lucru se poate observa din urmatoarele exemple.

Dacaxn = 12n ,yn = 1n , atuncixynn =

12 12 .

Dacaxn = 12n2 ,yn=1n , atuncix

ynn =2n +.

Dacaxn = 12n ,yn =(1)n

n atuncixynn =2(1)

nnici macar nu are limita.

2.2.5 Operatii cu siruri cu limita infinita

Teorema 2.26. Fie(xn)n0si(yn)n0doua siruri de numere reale.

1. Daca limnxn = +si limnyn=y R\ {}, atunci limn(xn+yn) = +.

2. Daca limnxn =si limnyn=y R\ {+}, atunci limn(xn+yn) =.

Rezutatul Teoremei 2.26 poate fi prezentat si sub forma prescurtata

+c= , + = ,

+c=, + () =, c R.

Teorema 2.27. Fie(xn)n0si(yn)n0doua siruri de numere reale.

1. Daca limnxn = +si limnyn=y R, y > 0, atunci limnxnyn = +.


57/297


58/297


2. Daca limnxn = +si limnyn=y R, y < 0, atunci limnx

ynn =0.

Rezutatul Teoremei 2.30 poate fi prezentat si sub forma prescurtatac.p. = , c.n. =0.

Daca(xn)n0are limita iar(yn)n0are limita 0, nu se poate afirma nimic despreconvergenta sau divergenta sirului(xynn )n0, spunndu-se ca 0 este uncaz denedeterminare. Acest lucru se poate observa din urmatoarele exemple.

Dacaxn =2n,yn = 1n , atuncixynn =22.

Dacaxn =2n

2,yn= 1

n, atuncixynn =2n

+.

Dacaxn =2n,yn = (1)n

n atuncixynn =2(1)

nnici macar nu are limita.

n general, nu se poate afirma nimic despre convergenta sau divergenta pro-dusului dintre un sir convergent si un alt sir care nu are neaparat limita. Totusi,sub ipoteze aditionale, are loc urmatorul rezultat.

Teorema 2.31.Produsul dintre un sir marginit(xn)n0si un sir(yn)n0convergent la0este un sir convergent la0.

Demonstratie. Fie > 0 arbitrar. Cum(xn)n0este marginit, existaM > 0 astfelca|xn| Mpentru oricen N. Deoarece(yn)n0este un sir convergent la 0,exista un rangn N astfel ca

|yn 0| < Mpentru oricenn.

Atunci|xnyn 0|=|xn||yn|


59/297


2.2.6 Calculul unor limite fundamentale

Limitele functiilor polinomiale

FiePo functie polinomiala de gradk 1,

P: R R, P(x) =akxk +ak1xk1 +. . .+a1x+a0, ak=0.

Consideram sirul(xn)n0,xn = P(n). Pentru calculul limitei sirului(xn)n0seva scoate factor comun fortatnk (k= grad P). Se obtine ca

limnxn = limnakn

k +ak1nk1 +. . .+a1n+a0

= limnnkak+ak1 1n+. . .+a1 1nk1 +a0 1nk

= ak=+, dacaak > 0, dacaak < 0 .

Sa observam ca limita termenului de grad maxim al lui Peste de asemenea

limnakn

k = ak= limnxn,

de unde se poate remarca faptul calimita lui P(n)este egala cu limita termenului degrad maxim al lui P.

Exemple 1. limn

n3 2n2 +n 1 = +, deoarece coeficientul termenului

de grad maximn3 este pozitiv.

2. limn(n

4 +3n3 2n+5) =, deoarece coeficientul termenului degrad maximn4 este negativ

Limitele functiilor rationale

FieP,Qdoua functii polinomiale de gradk, respectivl, undek, l

1,

P: R R, P(x) =akxk +ak1xk1 +. . .+a1x+a0, ak=0,Q: R R, Q(x) =blxl +bl1xl1 +. . .+b1x+b0, bl=0.

Consideram sirul(xn)n0, xn = P(n)Q(n) . Pentru calculul limitei sirului(xn)n0seva scoate factor comun fortatnk de la numarator (k =grad P), respectivnl de la


60/297


61/297


Subsiruri ale sirurilor marginite si nemarginite

A fost deja observat ca nu orice sir monoton este convergent. Totusi, cu aju-torul teoremei de convergenta a sirurilor monotone, putem arata ca din orice sirmarginit se poate extrage un subsir convergent, acest lucru reprezentnd obiectulurmatorului rezultat, numit siLema lui Csaro.

Teorema 2.32. Orice sir marginit(xn)n0contine un subsir convergent.

Demonstratie. Fie(xn)n0un sirmarginit sifieA={x0, x1, . . . , xn, . . .} multimeatermenilor sai. Notama0 =infA,b0 =supA. Conform definitiilor marginii in-ferioare si marginii superioare,a0 xn b0pentru oricen0, deci, n partic-ular, a0 < x0 < b0; fiek0 = 0. n plus, macar unul dintre intervalele [a0,

a0+b0

2

]

si[ a0+b02 , b0]contine o infinitate de termeni ai sirului(xn)n0, deci si o infinitatede elemente ale multimii A1 ={xn; n > k0}. Pentru fixarea ideilor, fie acesta[a0,

a0+b02 ]. Notam atuncia1=a0sib1=

a0+b02 si observam ca

b1 a1 = b0 a02 , a1a0, b1b0.

De asemenea, putem alege un termenxk1 al sirului astfel ca xk1 [a1, b1]. Dinnou, macar unul dintre intervalele [a1,

a1+b12 ] si[

a1+b12 , b1]contine o infinitate de

elemente ale multimiiA2={xn, n > k1}; notam acest interval[a2, b2]si observamca

b2 a2 = b0 a022 , a2a1a0, b2b1b0,putnd alege un termenxk2al sirului,k2 >k1, astfel caxk2 [a2, b2]. Procednditerativ, putem construi trei siruri(an)n0,(bn)n0si(xkn )n0astfel nct(an)n0este crescator,(bn)n0este descrescator,

anxknbnpentru oricen 0, iarbn an =b0 a0

2n .

Mai mult, deoarece[an, bn][a0, b0]pentru oricen0, sirurile(an)n0,(bn)n0sunt marginite. Fiind si monotone, ele sunt convergente; fie limnan =l1, limnbn=l2. Deoarecebn an = b0a02n , urmeaza cal1 =l2, iar ntruct

anxknbnpentru oricen 0, iar limnan = limnbn =l1urmeaza conform Teoremei 2.17 (criteriul clestelui) ca lim

nxkn este convergent,avnd aceeasi limital1.


62/297


n mod asemanator, putem observa ca sirurile nemarginite contin subsiruri culimita infinita.

Teorema 2.33. Fie(xn)n0un sir.

1. Daca(xn)n0este nemarginit superior, atunci el contine un subsir cu limita+.

2. Daca(xn)n0este nemarginit inferior, atunci el contine un subsir cu limita .

Demonstratie. 1. FieA={x0, x1, . . . , xn, . . .} multimea termenilor sirului(xn)n0.Cum Aeste nemarginita, existax Aastfel ca x > 0. Deoarecex Aexista

k0 N astfel cax =xk0 . CumA1 ={xk; k > k0} este de asemenea nemarginita,existay Aastfel cay > 1, deci existak1 > k0astfel caxk1 > 1. Procednditerativ, putem construi un sir(xkn )n0astfel nct xkn > npentru oricen N,iar conform criteriului majorarii (Teorema 2.14) se obtine ca lim

nxkn = . Ceade-a doua afirmatie se demonstreaza analog.

2.2.7 Puncte limita ale unui sir

Fie (xn)n

0 un sir dat. Vom numimultimea punctelor limitaale sirului (xn)n

0,

notata LIMn xn, multimea tuturor limitelor de subsiruri ale lui(xn)n0.Mai nti se observa ca multimea punctelor limita ale unui sir (xn)n0 dat

este totdeauna nevida. Mai precis, daca sirul este marginit, atunci el contine unsubsir convergent (Teorema 2.32), cu o limita oarecare l, iar n aceasta situatiel LIM

n xn. Daca sirul este nemarginit superior (respectiv superior), atunci+ LIMn xn(respectiv LIMnxn), conform Teoremei 2.33.Exemplu

Fie (xn)n0: xn = (1)n. Atunci LIMn

xn ={1, 1}. n acest scop, se observaca orice subsir cu limita (care este n mod necesar finita, deoarece (xn)n0 estemarginit)(xkn )n0al lui (xn)n0este constant de la un rang ncolo, fiind un sirconvergent de numere ntregi. Fiind constant de la un rang ncolo, termenii saisunt toti egali cu 1 sau 1 ncepnd cu acel rang, iar(xkn )n0poate avea fie limita1, fie limita 1.

Conform definitiei, se pot observa urmatoarele proprietati.


63/297


1. Daca o infinitate de termeni ai unui sir (xn)n0 sunt egali cu un acelasinumar realx, atunci putem construi un subsir convergent lax cu termenii

n cauza, decix LIMnxn.2. Daca un sir(xn)n0are limital, finita sau nu, atuncilLIMnxn, pe post de

subsir convergent lalputnd lua chiar sirul(xn)n0.

3. Exista siruri care au o infinitate de puncte limita. De exemplu, pentru

(xn)n0: 1, 1, 2,1 ,2, 3, 1,2 ,3, 4, . . . , 1, 2, 3, . . . n, . . . ,

orice numar natural este punct limita, ntruct (xn)n0 contine toate nu-

merele naturale, repetate de o infinitate de ori.

4. Dacal LIMn xn, atunci orice vecinatateVa lui l contine o infinitate de

termeni ai sirului(xn)n0, deoarece exista un subsir(xkn )n0al lui(xn)n0care este convergent lal si deciVcontine toti termenii subsirului(xkn )n0de la un rang ncolo.

Teorema 2.34. Fie(xn)n0un sir de numere reale. Atunci (xn)n0are limita daca sinumai dacaLIM

nxnse reduce la un singur element.

Demonstratie. " Fie limnxn =l . Deoarece(xn)n0are limital, orice subsir alsau are aceeasi limita, iar LIM

n xn=l." Fie LIM

n xn =l siV V(l)o vecinatate arbitrara a luiV. Atunci n afaraluiVse pot afla doar un numar finit de termeni ai sirului, n caz contrar din acestitermeni putndu-se extrage un sir cu limita, alta dectl, deoarece acesti termenise afla n afara vecinata

Documents

Elemente de calcul diferențial