EDITURA DIDACTICA I PEDAGOGICA. R A BUCURETI 1995
•
MINISTERUL lNVATAMANTULUI
•
•
•
ManualuJ eate In concordantA cu progl"llma ,colarl .ctuu
\
Praf. D. OOREZEANU Praf M. CHIRI Praf M. RDULESCU Praf S. RDULESCU
ISBN 973·30·3058·9
•
•
•
I ntrodul'l're
Ce!, mai m~re parte a acestui capitol se referli la noiuni pe care le.ai InlAlnlt In studIul algebrei eau geometriei. Inainte de orice, enunlm c4teva probleme a cmr rezolvare se poate da prin (sau numai prin) metode de analizli matematicli.
!-) In <:~Icule aproximative se pune adeseori problema de a afla valoarea unel funcII ( Intr·un punct a, procedându-se ast! el: se alege o apl'Qximare "
a lui a, b '" a ,i se calculeaz (b) r de exemplu, pentru (x) = i (x + 1) ,i
a = 1<, se alege b = 3,14 ,i {(1<) '" i (3.14 + 1) = 1.38]. Mai InlA; este neceaar
un anumit control al erorilor fcute In astfel de aproximri, mai ales In cazul unor calcule lungi In care apar fenomene de .. propagare" a erorilor; apoi, ce ne asigur c dac b '" a, atunci {(b) '" ((a)?
Rspunsul la astfel de Intrebri poate fi dat cu metode de analid. mate· matic.
b) Presupunem c trebuie construit o cistern de forma indicat In figura 1.1 (redus la un cilindru circular drept cu deuA emisfere) având o arie total prescris A. Soluia nu este unic ,i poate fi de folos s construim o astfel de cistern, astfel IncAt volumul ei s fie cel mai mare pOlitii. Pentru a formula matematic aceast problem, notm cu x raza bazei cilindrului (egal cu raza fiecrei emisfere) i cu h Inlimea cilindrului. Atunci
A - 4",,' VII' . f' A = 21<xh + 41<x', de unde h = . o umu Clsternel va 1: 21tz
4"". A - 4",,' 4"-" t V(x) = 1<x'h + = 1<X" + = - (3Ax -41<x').
3 2,,% 3 6
Prohlema pUR revine atunci I~ . determinarea valorii ~axi~e a lui V când x ia divene valori strict pozItIve. Se poate da o 80Iule dIreotll, luând
VA deci V(x )= ..!... A "3 i arlAnd c V(x)" V(xo) pentru orice x>O; x .. 2V-;;' o 6 V ..
Intr-adevr, aceasta revine la i (3Ax-4nx') ..
... \ A A, t 41<:r;I-3Ax + A tA .. 0, ~ 6 "
.. , ( ~ ,
•
elllr .. \'tldar, "" (x) <. ~ ( .. roL pt.·utru ur·i .. ·.,.1.· .. O ,i ,,·ulull1ul IHHXIIII Hlte oLtlllut ))$ntru X' .t
o . Dari In situaii !Ilai cumplil'titt • U Hltf~l dh lihol'lhuu direct
nu est~ p".ibiIA. In <,spitulul V, pug, ~()O, vom li" o metod prllctlcA, ,,,tll~dnd .\ntt.liztl \lftl{"IlUltit-A. J.wulru rtlLolvRrtHl prubleTllt'lur !It." f:lxtrtJm, ophcalul In
situaii lIlai genertlle. d Considerm o functi. 1· (a, h) ~ It ~i fixm.cu (a, b) Io, •
. I/.(x., {(xo» punctul corespum.tor pe liraficul lui {, rapurt't la Ull .,.te ortogonal .tOy de axe (figul'a 1.21.
Se pune problema ea dintr.. tooto drpptele
I
a
b It
trecând prin punctul MosII gsI"', dac es'. posibil, tangenta In .llo la grafic, aJic r1reapLa care .. aproximeaz cel mai bine gr.lhcul " {In jurul lui xo". Ecuaia oricrei drepte lrech<l pl'in .\10 este y = ((xo) + m(x - xo) i problerflb revine la a gsi numrul real m astfel IncAI s aib loc aproximarea ((x) '" {(xo) + m(x -- xo) 'n jurul punctului xo' Intr-un sens care va fi precizat.
In cazul când funcia f descrie un proces lidc, problema anterioar corespunde .. liniarizrii" acelui
proces In jurul poziieI x., fapt utilizat In mod curent in aplicaii. Rspunsul matematic la aceast problem va fi dat In capitolul I\'_
d) In algebr i In trigonometrie au fost considerate unele funcii cu valori \'eale de vartabil real, foarte importante pentru aplicaiile matema­ tieii -funciile polinomi~le, raionale, exponeniale, logaritmice, trigono­ metrice etc. In analiz va fi adtincit studIUl 8('estora.
Pân arum ,tii 8 repl'elentai graficul unor funcii reale simple, Anali.a matematic va da melode lIenerale de determinare a unor puncte (puncte de maxim, de minim, inflexiuni etc,) ,i a unor drepte (de exemplu, asimptote) ata,ate In mod r.orespunztor funciilor real .. dintr-o clas larg de funcii, permind studiul acestor+uncii ,i trnsarea graficului lor. Desenul constituie un excelent mijloc vizual de concentrare de informaie, iar In cazul graficelor de luncii descriind procese fizice, desenul permite s se obin dintr-o privire o idee (i "hiar mai mulb) asupra evoluiei acelor procese.
- ,
§ 1. Numere reale
Daci privim cu atenie, In toate Rcelte probleme, obiectele matematice au Ioa' numerele ~,i funciile). In clalele primare ai Invlat calculele
ea IIIImlaar", n.turale, deaentnd In fond operaii cu mulimi 'inite iIIr In gimn.· • ali In1'la' II relOlni ecu~,ii d. tipul a + x - " cu a, " ~tu ... le da'l ti
qr p, u p, q nUIIWra Intra"i datc, q " O. CU Klta CUVinte, IlU fOlt conai­ derata urm toarel" mulimi de lIunu'"" (naturale, Intreg. ti relpectiv raionale): !\ - tO, 1,2, ... }. Z { ... , - :.1, 1,0,1,2, .1. Q = {! p, q E Z, 9"O},
Dar multe probl~me d~ tipul celor considerate mai aua' nu pot fi rewlvate In <ad~ul m~lll~nll Q I sunt necesare numerele irationale. Ace8lta a impua, atAt dm ralum practICe cAt i prin resorturile interne ale dezvoltArii mate­ matieii, lrgirea conceptului de numllr ca msurII a mllrimilor din realitatea fi.iei! d .. r ,. CII. obiect malematic de studiu . Elaborarea noiunii matematice de numilr reala constituit un proces lung, sinuos, Incheiat abia In secolul trecut prin IUt' rrile matematicienilor K. Weierstrass (1815- 1897), R. Dedekind (1831-1916), G. Cantor (1845- 1918). Fundamentarea anali.ei mete­ mali"e pe baze teoretice solide este necesar pentru cI!. exist o multitudine de probleme care nu pot fi rezolvate prin metode intuit ive i numai conceptele matematice definite riguros confer valabilitatea rezu)ate lor ,i permit studiul unor situaii mai complicate In acest manual vom adAnci conceptele de numAr real i funcie real II de o variabil II realII, care otau la bua rezultatelor analizei matematice.
Reamintim c mulimea R a numerelor reale este o mulime care includ.
mulimea Q (deci 3, - 2, .! . .!.., _! sunt numere reale) . Pe mul imea B 3 10' ,
lunt d.finit. o operaie de adunare, o 0pHa\i. de Inmulire i o relaie de ordine Se mai spune cii 8unt delinite o structurII algebric i o structur de ordine. Precizm aceti termeni. In general, dac f: A - B este o funcie oare­ carP. atunci oricllrui element" E A i 8. a80ciaz fIu) E B ~i vom scrie uneori u ..... fIu). Dac JI este o mulime, prin operat" IIlliebricd (binard) pe M cu et cheIA .. Inel.gem O funcie JI X M - M, (x, y) 1- x. y; prin relatie (b,narrl) p' JI Inelegem o submulime R 8 produsulUI cartezian M X M ; pentru x, '1 E It scriem TRy In loc de (x, y) E R ,i citim: X este In relaia R cu il Relaia R se numete "laIi .. de ordme dacii .ote reflexivA (xR>: pentru orice>: €:: It), tranziti\' (x, y, z E .'tI, xRy. yR: = xR.) " antioimetricl (x, y -_ 1'; :rRy. yRI = x = y).
f:J/ 111 pl,
1, Pe mulimea .11 Z a numerelor Intregi sunt definite operaiile
81/!')hflce de .dunare (cu eticheta +) i Inmulire (cu eticheta.), precum ,. relaia .le ordine "mai mic 8au egal", notat cu ~'. .. .
2) 1 n mod 8imilar, pe mulimea M Q 8Unt deflmte o perallle algebrICe de arlunAre t, Inmulire . i relaia de ordine ", cu proprieUile uzuale care vA aunt binecunoscute.
A,,, rum am mai spus, pe muli'."ea R _unt date dou operaii algebrice CAre extind op .. aiile din Q. OricrUI cuplu (x, y) de numere ..... ale I le asoCla- 7.A suma " t il ,i produsul "y ,i oe defInesc aoUel operaIIle de adunare R X R _ R. (T, 11) - :r: +11 ti Inmulire R X R - R, (:r:, 11) - '"li·
5
I I Prop".t61i1. algebrice ale lUI R (allomel. adun6rl , Inmull r )
1° . • 1dllllart'a t'ste asociativll ~t t-omutulifl(1. 2" EXIsti! nnmdrul "al [) (zero) aslf/'l 'r,,·at;L t {) ... x, pmlru ,,,,ce :t €"' It ,lo. Pmtru orice x E R exi.t,l n"mllrul .r E It aSlf"l tnrdt x 1- ( z) (1.
~um/lrul O este unic având proprietuteu 2°: Intr· adevr, d .. cll (J' e: It i x + O' = x, V x E R, atunci pentru x O, o'ezu lt O + O' () ,i, p. de altII parte, din 2°, pentru x ~ O' rezultll O' +-0 O'. A~ .. ,,~o· (, O'. In mod similar, se araU c pentru orice x E R rixat exist un uniti ,·I"rll"nt y astrel IncAt x + y = O, anume y = -x; In plus, -( ·x) = x. Dac r, y c: It , atunci se noteaz x _ y = x + (-y) (diferenta numerelor x, y). Ecuaia a + x = b (a, b E R tiind date) are o soluie i aceasta este unie", anume
x = b - a. 4°. Inmultirea este asociativd r camutaliv. 50. Existi! numdrul reali (1 >F O) ostfellncdt x . 1 = x pmtru oric" x E R.
60. Pmtru orice x E R. x >F O ezistd numrul z' (notat L :) dm R,
astfel/ncdt x . x- ' = 1. 70. Inmulfirea este distributiv {fi raport cu adunarea, adicd x(y-+- z) =
= xy + xz, pentru orice x, y, zER. Din aceste proprieti rezult cA 1 este unic, având proprietatea 5° I, de
asemenea, pentru x ~ O dat inversul z" este unic. Apoi X' O = O. V % E R [lntr.adevAr , % . O = %(0 + O) = % . O + x . O, conrorm 7°; notând %. O = II,
rezultA aadar" = u + u, deci II = O]. H.ema rcAm c dac xy = O, atunci x = O sau y = O [lntr·adevr, dac xy = O i x >F O, atunci exist x·, i Inmulind cu x ' l relaia anterioarA obinem x - I(xy) = O, adicA (x IX)y = 0, i . Y = O, deci y = 0].
Dac x, y E R i Y ~ O, se noteazA ~ = xy- ' (edlu! numerelor x i y). y
Reinem c ImpArirea cu zero nu este derinit. Este evident cA pentru orice
a, b E R, a ~ O, ecuaia ax = b are soluie unic, anume % = ! . a
Proprietile 1°_7° se pot exprima pe scurt spunând c ,",ilrimra R are o structurd de carp comutativ (relativ la oppraiile de adunare ,i Inmulire).
1.2. Propriatlil. da ordine ale lui R (aliomel. da ordin.)
•
nAm acum proprititAile de cumpatibilitate Intre Itructura alrebricl ,i Itructura de ordine pe mulimea B.
Il lla 1/ Il, /" '1 P , Iru fir, z R. II fla I 1/ , '/ '" ,-, , II P ntrll Qn ( R. O. Din proprietile algebrice W _7°) i de ordine (8°_11°) le deduc, afli
cum tii de fapt din manualele de algebr ale claselor anterioare, toate regu­ lile calculului algebric i ale calculului cu inegaliti. In analiza matematicA e.te utilizat sistematic calculul cu inegaliti i este esenial mânuirea lui corect. Proprietile anterioare sunt satisfcute nu numai de elementele mulimii B: de exemplu, ~Iementele lui Q au aceleai proprieti. Se mai spune c B ,i Q Bunt corpuri comutative total ordonate. Ceea ce deosebete mulimea B de mulimea Q esle axioma lui Cantor a marginii superioare, care st la baza obinerii tuturor rezultatelor profunde ale analizei matematice i pe car.e o enunm mai jos. Sunt necesare unele pregtiri i incepem cu un exemplu. S considerm mulimile urmtoare:
A = {x E Q I x' .; 3) i B = {.x E B I x· .. 3).
Ambele mulimi sunt majorate de numrul 2, In sensul c pentru orice x E A. avem x .. 2 i pentru orice x E B avem x .. 2. Se observ c ele sunt majo­ rate i de numerele 1,8; 1,74; 1,733 etc. (orice element din A. sau din B este mai mic decât fiecare din aceste numere). Luând aadar aproximaiile succe. sive pl'in adaos ale lui V3 , se gsesc majoralli "din ce In ce mal mici" ai mulimilor A, B. Remarcm c Ac Q, B c R. Deoarece V3 este iraional (adiC l/3 E Q), rezult c Va EA; dar V3 E B.
O submulime ne vid CeR se numete majorat (sau mrginit superior) dac exist cel puin un numr real k astfellncât pentru orice x E C s avem x .. k. Un astfel de numr k 'e numete un majoran! al lui C.
Putem acum formula proprietatea urmtoare, a crei Inelegere cere oarecare ~rort·
1 J. Or ~'.l'>m I 'ni' J I
r f .. , 1 (nI, r). Acest , n lptrWar tj Il r.
J r .1 •
n num&.r rea) UnIC
t. p r
maJo­ numit
tn exemplul Rnlt-rior 2!uJimile A. ~ ca submu)imi ale lui R, sunt majorate i 8'3 pORII" ar;lIa cA sup A .... li 3, sup B = li 3. Se observA r.A 8UP A e A i sup B e B. De 8.Spmenea. se observ cA, In general, submulimile lui Q nu au proprietatea 12° (lnlr-ade­ vAr, Ac Q este mRjorat In Q, dRr nu admite un ce) mai mir majorant numAr raional}.
La pUllctul 41 vom reveni asupra acestor noiuni i le vom fixa mai bine. CII .u·t"asta dMiniia Hxiomalic-A a mulimii R este Incheiat il. Pe scurt, ea se rezumA
astrel R Sft1isrl;lce proprietAile 1 ° - 12° sau er.hivalent, este Ull corp comutatip totalordonat, tn cart orte" lubmu1ltmt nevtdd majorald are rnar6inll 8uperioar4, aparint1nd lui R.
Re pun In mod natural dO\l IntrebAri: Il \ EXI!ltA o m1llime R avand proprietAile 1° 12°? bl Pol. exiata moi multe mulimi satisrAcAnd proprletll~ilf\ 1 0_ t~O' La primA. lnlrebare le poate rAspunde construind prin operaii de teoria mulimilor
PQrnind dr. Ia Q o mulimp avind proprif't.AiJe 1° - 12°. In acest sensle ('unosc rONlrucia
7
-
, J' Pt'lh·kllld ,lolVIJlld ,\Altol\irtot'l" tn 11IuJI'ffi . l N t'Vualrur\Ul III '1 I d' blll II
let:mutiA Il Itll \\ CJ.It'r:, rH.! . irurih' dtlIlUJllt'rt· ralQna" lecare In f:I,('eslt! COJlalrUI' ,i cUllalrul'itl lui cantor (roJOIwd ~ ~d fiilld hlborioaSA II. ti il NI~ fIIltl d.,!lc'ltt Allum6',a& poa P GrA'a ti d
d I IntrtlbMtI ""VIIJI I I 1 r~ le, 1.H ('elli C'II (OIlH. d ,.t &8l1afA('llld axiolllK U \An-or alune. ~ll- tath total ur OI ~ta o
S ."e un all <orp <00111 tr 1 In"Al ((. 1- yl - (1"1 + ({yl. (ry f(~I('~1 V' 1 .plic.lie bijectivQ (: S ~ It "' '. I .. lua d."n J < y, oluII'1 (Izi < fivi V'tco '~'I"
. S ((OI O (II) 1 ', "r ' ~"'I or.ce z,!I.' -. J din S Vonl~ h tflwsful'llIat IlIlr UII ('tilcul cu 1ltHn+'ftl ,redual CII elemcnl~ L" Y". • t" S ~ pOtlltt idl'fltith:8 prin lIumArul rt!&J ( "
1 (1 (1) ((,) I Orice elemeo ., 1" rea e ~).!I. "'. . 10 1.20 caraderizeazA rouJlluea R "pAnA la 11.OlJlorfLa .. Se mal apune cA proprietIle - m
. 'let'ilor 1°_12° se poate 8tlthih urr.lit'Jrul "Hult"t Ca o con.eCln a propr , . •
. 't' tatea (sau Intr·un alt cont~xt, a.numa) Iu! Arhirntd Important, numi prop"e ' (287-212 1. Cr.):
P _ Rex!·.·ta·u/tnumdrfntregnufUcast{ellll 1'11" X "l-I
entru o",cP. x oJ
Acest n,mar este numIt partealntreag a lui.r I rste /totat [xl· . Exemple: [2, 67J = 2, [31 = 3, [,:1 = 3, [-Tt] - 4, -0,6347J =-\,
DeI mulimea Q nu satisface proprietatea lUI Cantor totu,1 In Q are loc
proprietatea lui Arhimede.
1,3. Reprezentarea geometric a lui R
Convenim s spunem c o mulime P admite o reprezentare pe o mulime Q dac exist o aplicaie bijectiv de In P la Q, adic o coreRp('ndpn bijec, tiv Intre elementele mulimilor P i Q. . '
Considerând o ad a vând oril(inea A. i vectorul unitate u - A.I (figura 1.3) i notând cu Il mulimea punctelor a xei, se delinete, aa cum de altfel s.a fcut In clasele anterioare, aplicaia /1.: R - Il care asociaz oricrui
.. u
Fig. 1 3
num~r real x acel unic punct 11 E Il astfel Incât A.i, = .r~, A,adar, II(I) :=.V '1, In parllcular, «(O) = A., 11(1) = A" Aplicaia '" ~.le bijel'li" ~i SI' numelle
repr.zent.or~geo':'ftriclia lui R pe Il (depinzAnd de -;;); i;, pr8a ei ,,-1: ~_II ASOCiaz orICrUI punct al lui Il abacisa acestui pund. Dnd\ a, I, bEII, faptUl. c a < x:, b .tnl!eamn c punctul lI(xl estI' situat Intre punclele "(a) '1 "'~b). A:phcala ~ ~ fost stabilit pentru prima datA de R, De8carlea
(1,1~96-:165?) ,I·a constItUIt punctlll de ple,'are In elllborarea geonwtriei ,tii' lUce '1 In IOterpretarea ""om t . • t'" E . " . ,,- p rlC" a unOr retultate al~ analilci matfma .... '
x .. tena aphcalPI II, care permite O id tT t. V ele' mentele Ivi B 'u tOI' A I ~n I ICartlll punl'telor de pe drtt1"c
, I • IIC aptul cA mi" R ' rMl4 iar numerele I ' u ,lm~8 "ate uneori numIti
, reR e le mal num~ac Punc/c,
I
~l~n5i,hfAn.t Ull plan P fi Ull siateJIIlJl'tO!!0nal d. axe In acel plaD, le poate .tablla (a,a CUlll ,tii) o aplicaie bijectivA de la P la R' =< R X R, alociind orI rUI punet tiin planul P perechea ordonatA a coordonatelor lui. Altfel de repre,entrl !(.urll.trice au fo.t fon.itl.rate In e1a._le anterioare; ele au avan. \1\1 0 cOllsiderabil. III pr'ivina comuni",lrii rezultatelor analizei matematice ~i vor fi utilizate sistematic In corrtilluare.
Ln prima ved"re, tlreapta realrl. are o descriere foarte aimpll, dar la o cer. l'etare mai alt'Iltll so remarc coexistena pe R a cel puiri treI atructuri _ .tructura al!(~bl·icrl., structura de ordine, precum ,i structura de convergenA care va fi definitrl. In capitolul urmtor.
Presupunem crl. a, b E R, a < b. Se pot considera intervalele mil.rginite (a, b) = {x E Ra '<. X < bl (interval deschis); la, b] = {x E R I a .. x .;; b) (interval fnchis i ntdrginit); [a,b)= {X E Rl l a.;;x < b} , (a, b] ={x E R la< x .. b} (intervale
semideschise) . De asemenea, se definesc (a, a) = [a, a) = (a, a] = " i [a, a] = (a}. Pentru un interval ca mai sus, numrul real b - a se numete lungimea intervalului respectiv; dac I este un interval mrginit, vom nota cu 1(/) lungimea acelui interval. Intervalele Incbise i mrginite se mai numesc intervale compacte. De exemplu , [O, 1J, [--5,3], [ ~, ltl'sunt intervale compacte.
S. utilizeazA de a.emenea intervale nrmdrginite p. dreapta real, de forma (--00. rt) II C" R x <. al, ( 00. aJ = Ix .: R x.;; a}, (a, oo)-,{x"'Rlx>a}, la,oo)=IxE=R :r~a}, (-00, 00)=R,
unde a este un numr real. In general, un intrr"al este o submulime le R, astfel IncAt a, bEI, a .;; r .; b ~ cEI (i .e prate arllta c~ singurele inter. vale sunt cele indicate anterior)
Reamintim ci! o mulime F se nume,t. ftnitl1 dac F = 0 sau s.xistA n .. 1 Intreg i o funcie bijectIv f: {I, 2, ... nI - F; In acest…