8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 1/16

พื ้นฐานทางคณิตศาสตร 2

▶ พื ้นฐานทางเรขาคณิต

 ในทางเรขาคณิตมีการใชสัญลักษณยอเพื ่อความสะดวก  ไดแก

[ABC] = [ABCD] =

(ABC) = (ABCD) =

AB//CD AB⊥CD

AB ∩ CD = X

หรับสามเหลี ่ยม ABC ที ่มีดานยาว a, b, c แลว

S =

R = r =

O = I =

G = H =

หมายเหตุ : สี ่เหลี ่ยมที ่สามารถมวีงกลมลอมรอบได, มุมตรงขามคู  ใดๆรวมกันได 180 องศา

สี ่เหลี ่ยมที ่สามารถมวีงกลมแนบในได, ผลรวมความยาวดานตรงขามเทากัน 2 ค ู

- 1 -

Digitally signed by Perathorn Pooksombat

DN: cn=Perathorn Pooksombat, o, ou,

email=peast.16@hotmail.com, c=TH

Date: 2011.12.29 23:01:59 +07'00'

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 2/16

▶ สามเหลี ่ยมคลายและสามเหลี ่ยมเทากันทุกประการ

● การเทากันทุกประการของสามเหลี ่ยม

● การคลายของสามเหลี ่ยม

- 2 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 3/16

▶ ทฤษฎีบท ลังสองของสามเหลี ่ยม

- 3 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 4/16

ตัวอยางเชน สามเหลี ่ยม ABC มีดาน AB, BC, CA ยาว 6, 8, 10 ตาม ดับ สรางสี ่เหลี ่ยมจัตรัุส ACDE บน

ดาน AC (สรางดานนอกเทียบกับ ABC) จงหาความยาวดาน BD

สี ่เหลี ่ยม ABCD มเีสนทะแยงมมุ AC ต ้ังฉากกับ BD ตัดกันที ่จุด X ถาลากเสนจากจดุ X มาต ้ังฉากดาน AB,

BC, CD ยาว 2, 5, 3 จงหาความยาวเสนที ่ลากจากจุด X มาต ้ังฉากดาน DA

- 4 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 5/16

▶ ตรี โกณมติิเบื ้องตน

Sine's law & Cosine's law

- 5 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 6/16

▶ ตรี โกณมติิพื ้นฐาน

 โดยทฤษฎี ลังสองสามเหลี ่ยมได sin2θ + cos

2θ = 1

ถาหาร sin2θ ตลอดได 1 + tan

2θ = cosec

2θ

แตถาหาร cos2θ ตลอดได cot

2θ + 1 = sec

2θ

สูตรและสมบัตพิ ้ืนฐานของตรี โกณมติิ

sin(–θ) = – sinθ cos(–θ) = cosθ

sin(180o

– θ) = sinθ cos(180o

– θ) = – cosθ

sin2θ = 2 sinθ cosθ cos2θ = cos2θ – sin2θ = 2cos2θ – 1 = 1 – 2sin2θ

- 6 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 7/16

ตรี โกณมติิสามารถชวยในการหา ตอบบางสมการได เชน จงหารากจริงจากสมการ

 1 x2

 x

= 1  x2−1

- 7 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 8/16

▶ ทฤษฎีอื ่นๆเกี ่ยวกับสามเหลี ่ยม

● อัตราสวนเสนแบงครึ ่งมมุ

● สูตรพื ้นที ่และ Heron's formula

● Menelaus's theorem & Ceva's theorem

- 8 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 9/16

▶ วงกลมกับทฤษฎบีท

 รูปผีเสื ้อ มุมสองเทา

เรือใบ ขวาน

จดุตัดเสนทะแยงมมุ (Power of Point)

เปลี ่ยนจดุตัดเปนเสนสัมผัส

- 9 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 10/16

▶ รูปทรง, พื ้นผิว และปริมาตร

ทรงกลมรัศมี R

กรวยสูง h รัศมทีี ่ ฐาน r

พรีะมิดสูง h พื ้นที ่ที ่ ฐาน a

- 10 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 11/16

ตัวอยางโจทย ทรงกลมที ่มพีื ้นผิว  π ตารางหนวย มลูีกบาศกแนบในทรงกลมนี ้ จงหาพื ้นที ่ของทรงลูกบาศกนี ้

จงหาปริมาตรกรวยยอดตัดที ่สูง h รัศมทีี ่ ฐาน R และรัศมยีอดตัด r

- 11 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 12/16

▶ เทคนิคโจทยตางๆ

- 12 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 13/16

- 13 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 14/16

- 14 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 15/16

- 15 -

8/3/2019 Elementary for Posn 2

http://slidepdf.com/reader/full/elementary-for-posn-2 16/16

▶ เรขาคณิตวิเคราะหพื ้นฐาน

คอืการวิเคราะหเราขาคณิตโดยใชพีชคณิตเขามาชวยในการพจิารณาบนระนาบ xy

● สมการเสนตรง อย ู ในรูปของ l ; Ax + By + C = 0 หรือจัดรูปไดเปน y = mx + c

ความชันของเสนตรง l ดังกลาวเปน m = -A/B

ถาเสนตรง l1 และ l2 มคีวามชันเปน m1 และ m2 แลว l1 // l2 ก็ตอเมื ่อ m1 = m2

l1⊥ l2 ก็ตอเมื ่อ m1m2 = -1

● ระยะทางระหวาง 2 จดุ คอืจดุ A(x1,y1) และจดุ B(x2,y2) โดยทฤษฎี ลังสองสามเหลี ่ยมไดวา

● ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง (ลากจากจดุมาต ้ังฉาก)

● ระยะทางระหวางเสนขนาน

- 16 -