ELECTROSTÁTICA DE DIELÉCTRICOSplasmalab.aero.upm.es/~jmdv/FisicaII/Lectures/Donoso...Material Dieléctrico: Física II- Electrostática de dieléctricos 3 • Un dieléctrico o aislante,

Dr. José Manuel Donoso

http://plasmalab.aero.upm.es/~jmdv/

Dpto. Física Aplicada, ETSIAE, Universidad Politécnica de Madrid

ELECTROSTÁTICA DE DIELÉCTRICOS

Física II 2019-2020

TOPICS: dipolo eléctrico, Dieléctricos, Polarización, Carga de polarización, Vector desplazamiento, Medios lineales

Programa. (Primer tema de PEI 2 según programa antiguo)

2Física II- Electrostática de dieléctricos

0 0 0.

1 1 1( ) (( )

)4 4

( )4

p

v

p

ol S v

r dV r P r dv

r r r rr

rS

rdvσ ρ

πε πε πε′ ′= − ⋅∇ = +

′ ′ ′− −

′ ′ ′ ′

−∫ ∫ ∫

0

0 0 ( ); rr D ED E P E E ρρ ε

εε ε ε ε ∇ ⋅ = → ∇ ⋅ == + = =

Energía electrostática almacenada:

1 1( )2 2

1 12 2

ev

v v

U dqV r dv V

dvV D D E dv

ρ= =

= ∇⋅ = ⋅

∫ ∫

∫ ∫

Material Dieléctrico:


• Un dieléctrico o aislante, es un medio en el que en la práctica NO hay cargas librescapaces de originar corrientes ante la acción de campos.

• Aun sin movimiento neto macroscópico de carga, la acción de un campo E producedesplazamientos microscópicos a nivel atómico-molecular, apareciendo dipolosinducidos (incluso si las especies químicas son apolares, el campo induce dipolo osi son polares los orienta) .

• El medio se dice polarizado si surgen dipolos inducidos orientados o se orientan losexistentes: el campo interior y exterior al medio se modifica.

Efecto: (posible inducción)orientación de dipolos de carga

apl ind

apl diel aplE E E E= + →

= − <

E E E

Potencial creado por un dipolo a gran distancia


-q +q

r

(C m)( )j j B Aj

q r q rp qdr= − =≡∑

2

0 0 0

2 2 2 22

22 1/2:Taylor a primer orden en

( ) 1 14 4 4 / 2 / 2

/ 2 / 4 (1 )

1 1 1 112( )/ 2

B A

r d

r

si d

q q qVr r r r r d r d

r dr d r r d d rrr

r dr rr r dr d

πε πε πε

⋅

− = + = −− − − +

⋅± = ± ⋅ + ±

⋅

± ⋅±

AB d

p q d

=

=

d=r d

• Dipolo: dos cargas de signo opuesto con vector de posición relativo d de la negativa a la positiva. El potencial creado por el dipolo a gran distancia en su aproximación dipolar es:

O

A B

2. 3 30 0 0

11 14 4

14dip r

q d r p rV pr rrπε π πεε

∝⋅ ⋅

= = − ⋅∇

El momento dipolar es: (vector de –q a q, medido en C m, expresión extensible y válida para sistemas con N cargas j=1,2,…,N con carga total nula )

Modelo clásico de dieléctrico. Campo.


• El medio dieléctrico se puede modelizar como un conjunto de N dipolos con centros en Ojy momentos dipolares pj , el potencial V será la suma de los potenciales Vj de cada dipolo:

3 310 0 0

( ) ( )1 1 1 1( )4 4 4

Nj j j j

j jj j jj j

p r r p r rV V r p

r rr r r rπε πε πε=

⋅ − ⋅ −= ⇒ = = − ∇

−− −∑ ∑

• Paso al continuo: Si en un volumen elemental con centro en posición r’ hay n<<Ndipolos, se define la densidad de dipolos por unidad de volumen, que da el vector depolarización P del medio en r’ (posición promedio de los rj de ese elemento de volumen)

2

'

1, ( C/m )

',

'( ')

,'

( ')j

jrj r

jj n en

r r r V dV

si v dv vp P r dv

pP r

v

α

→

=

= → →

∆ → → ≈

≡ =∆ ∑∑

P

0 0' . .

1 1( ) ( ) ( ) '4 4r vol vol

V r dV P r dv P r dvr r r rπε πε

′ ′ ′ ′= = − ⋅∇ = ⋅∇′ ′− −∫ ∫ ∫

• Finalmente, el potencial inducido por el dieléctrico polarizado, en un punto r del espacio,se aproxima como:

Potencial inducido por dieléctrico polarizado


unitario nor del material al extermal a S ior1 1 ; ' ' ( ) d S n dS n

r r r r′∇ = −∇ =

′ ′− −

( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( )P r P r P rP r P rr r r r r r r r r r

′ ′ ′ ′ ′∇ ⋅ ∇ ⋅′ ′ ′ ′∇ ⋅ = + ⋅∇ = − ⋅∇′ ′ ′ ′ ′− − − − −

0 0

0 0

' '

0 0

1 ( ) 1 ( )( )4 4

( ) ( )

1 ( ) 1 ( )( )4 4

1 14 4

v v

S v

dq en Superficie dq en volumen

S

p p

P r P rV r dv dvr r r r

n P r P rV r d

r dS r dv

S dvr r r r

r r

πε πε

πε πε

πε πεσ ρ

′ ′ ′∇ ⋅′ ′ ′= ∇ ⋅ − =′ ′− −

′ ′ ′⋅ −∇ ⋅′ ′= + ≡′ ′−

′ ′ ′=

′

−

+′−

∫ ∫

∫ ∫

∫

v r r′−∫

• Puede reescribirse usando “integración por partes” en términos de integrales en volumendel medio polarizado y a sobre su superficie aplicando:

• Con el Teorema de la divergencia, V se descompone en dos sumandos, uno desuperficie y otro de volumen, que responden a superposición de potenciales creadospor distribuciones superficial y volumétrica de carga real no libre, o ligada, debidasa la polarización:

Potencial inducido por dieléctrico polarizado


0 0

densidad superficial de carga de polarización en S

densidad volumétrica de carga de

va

polarización en

del mater

( ) ( )

1 14 4

( )

( ) (

)

)

(.

p

p

S v

p

p

v

r n P r

r

Vr r

r dS r dv

rn

r

Def P

r

σ

ερ

πσ

π

ρ

ε′

= +′ ′−

= →

= ∇

′ ′

−

→

′

−

∫ ∫

ial diléctrico a su exterior

• Las fuentes del campo son densidades de carga de polarización en superficie y en volumen(carga ligada también se dice) definidas como:

• Significado físico: la proyección de P sobre la superficie da lugar a densidad de cargaen ella. El flujo de P por unidad de volumen en el interior (div P) puede ser no nulo,originado carga efectiva de polarización. La carga total de polarización es NULA.

( )

0

p p pS v

S v

S S

Q dS dv

P n dS P dv

P dS P dS

σ ρ= + =

= ⋅ + −∇ ⋅ =

= ⋅ − ⋅ =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Ecuaciones de Maxwell en medio dieléctrico. Energía Ue


• En el interior de un volumen con dieléctrico, en el que además puede alojarse carga libre dedensidad ρ, la carga neta por unidad de volumen será ρ+ ρp, lo que lleva a las ecuaciones deMaxwell para la electrostática de medios:

0

0pE y Eρ ρε+

∇ ⋅ = ∇× =

( )00 P E PEε ρ ε ρ∇ ⋅ = −∇ +⋅ + ∇ ⋅ =⇔

0D E Pε= +

• Conviene expresar la Ley de Poisson en términos sólo de la carga libre , para ello se reescribe como

• El término entre paréntesis define un vector, llamado vector desplazamiento electrostático D, cuya divergencia es la densidad de carga libre: sus fuentes son las cargas libres

• Así, las ecuaciones de Maxwell anteriores se reescriben (formas diferencial e integral):

int ( )

0 0S v

Ley de GaussD dS dv QD

E E dl

ρρ ⋅ = =∇ ⋅ = ⇔

∇× = ⋅ =

∫ ∫

∫

( )

( int .)


1 1( )2 2

1 12 2

ev

v v

con DV V D D V V D E

Gauss

U dqV r dv V

dvV D D E dv

ρ

ρ

∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ∇ = − ⋅

= =

= ∇ ⋅ = ⋅

∫ ∫

∫ ∫

0Nótese que, en general , ( ) ( ) 0rot D D E P Pε= ∇ ∧ = ∇ ∧ + = ∇ ∧ ≠

Medios lineales (homegéneos e isótropos)


• En general P es función del campo E, para muchos dieléctricos no hay polarización sincampo, P(E=0) =0 (medios sin polarización permanente) , lo que sugiere dependencia linealde P con E :

20

0

( ) (0) ( ) 0 ...E

DPP E P E O E EDE

ε χ=

= + + = + +

χe = susceptibilidadεr =constante dieléctrica o permitividad relativa del medio es > 1 (para el agua es 80)

0 0 0

0

( ) ( 1) ... ( )e r rP E E E con rε χ ε ε ε ε ε ε>

= = − + = =

• Para medios isótropos homogéneos, la matriz adimensional χ (tensor) es diagonal deelementos iguales, queda:

• Por lo que el desplazamiento D queda aproximadamente proporcional a E y el campo(εr E) en el medio juega el papel de E en el vacío:

0

0 0 ( ); rr EDD EE P E ρρ

εε

εε ε ε ∇ ⋅ = ⋅ =→ ∇+ = ==

• Para resolución de problemas, conviene operar con D (para aplicar ley de Gauss, p.e.en casos con simetrías definidas) que tiene por fuente la carga libre y de él obtener E yel potencial V. En algunos medios lineales εr puede depender de r.

NOTA:Acción de campo externo sobre un dipolo


3

.

0

( ) ( )(( ( ) ( )) ) ( ) ( 0) Medio Polari

F por me e P E rU d p E y q E r E rF pU E rθ

τ θ + − ⋅∇= − ⋅ = − = →−∇ ⋅∇ ≈∫

2/ 2 (

2| | 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; )( )B A B A

r dr d r

rrr qE r r q E r q r r E r p E rτ ±+ −

⋅== × + × − − × = ×

• Un campo eléctrico E aplicado a un dipolo ejerce una fuerza de intensidad pequeña, en cambio, produce un momento (torque) que tiende a alinear al dipolo con el campo: (Problema 5.1)

• A primer orden en la distancia |d| entre las cargas, el torque (par de fuerzas) ejercidos por un campo externo E(r) sobre un dipolo es: (dipolo p tiende a alinearse a E aplicado)

• El campo eléctrico creado por el dipolo decae con el cubo de la sistancia, a gran distancia del mismo vale (comprobadlo con el gradiente del potencial Vdip ):

3 3 3 5 3 30 00

1 ( ) 1 1 ( ) 1( ) ( ) 34 44dip

p r p r p r r pE r p rr r r r rr πε πεπε

⋅ − ∇ ⋅ ⋅ = −∇ = + ⋅ ∇ = −

• La energía electrostática del dipolo inmerso en una región de potencial V y la fuerza del campo externo sobre él se aproximan por: (si el campo es uniforme, no ejerce fuerza sobre el dipolo pero un material dieléctrico es atraído débilmente por distribuciones de carga lejanas pues crean campo variable con r )

Capacidad de un condensador con dieleléctrico (Problemas 5.5 y 5.6)


. sin ,

0

| | | |

con diel diel

r rQE dS E dS E Eε εε

′ ′⋅ = = ⋅ → = ⇒∫ ∫

• Condensador con carga fija (Q = cte): El dieléctrico disminuye el campo eléctrico y, como consecuencia, disminuye la diferencia de potencial entre placas y aumenta la capacidad del condensador en un factor εr

(y supuesto uniforme en medio homegéneo)1, rε >

• Condensador a potencial fijo (V0=V = cte.) : El dieléctrico aumenta la carga del condensador y, como consecuencia, aumenta la capacidad del condensador en un factor εr

0 0r r r

Q QE dS Q Qε ε εε ε′

′⋅ = = → =∫

'' r rQ QC C CV V

ε ε= = = >

'

''

r

r r

VV

Q QC C CV V

ε

ε ε

=

= = = >

El resultado es general:el dieléctrico aumenta lacapacidad.¿Y la energíaque puede almacenar?


1 1( )2 2

1 12 2

ev

v v

U dqV r dv V

dvV D D E dv

ρ= =

= ∇⋅ = ⋅

∫ ∫

∫ ∫

Ejemplos


S

1

2

2n GaussianaDS S iσ σ= → =D

0 0

= =r r

DE σε ε ε ε

0

2 2

1 1

( 1)( 1) 0

( 1) ( 1)( ) 0

( 1) ( 1) 0

rr p

r

r rp

r r

r rp

r r

dPP E idx

P n i i

P n i i

ε σε ε ρε

ε σ ε σσε ε

ε σ ε σσε ε

−= − = ⇒ = − =

− −

= ⋅ = ⋅ − = − < − −

= ⋅ = ⋅ = >

1n i=

CONDENSADOR PLANO de separación entre placas d, diferencia de potencial ΔV y

dieléctrico εr. . Capacidad y carga de polarización:

2 2

0 01 1

∆ = − ⋅ = − =∫ ∫

r r

V E dl dl dσ σε ε ε ε

0 0; ( 1)rr r

SQ V C CS d d

ε ε εσ ε ε= = ∆ = > =

Observad que el vector normal se elige saliente del dieléctrico.

+ -

, ,D E P

Problemas. Ejemplos:


CONDENSADOR ESFÉRICO de Radios R1 y R2 , carga Q y dieléctrico interpuesto εrPor ley de Gauss al vector D :

εr

r

Gaussiana

12

24D r Qπ = 20 04r r

D QErε ε π ε ε

= =

Q

2 2

1 1

2 1 20

0 2 1

4

1 14

R R

rR R

r

QV V Edr drr

QR R

π ε ε

πε ε

− = − = − =

= −

∫ ∫

0 2 1

2 1

4( ) (1) (1)( )

rr r

R RC C C CR Rπε εε ε= = = >

−

1 1 2 1 2 2 22 2

1 2

0 2

( 1) ( 1)( ) ( ) , ( ) ( )

4 4

( 1)( 1) 04

r rp p ext

r r

rr r p

r

Q QR P R n R P R n

R R

QP E u Pr

ε εσ σ

ε π ε π

εε ε ρε π

→ →

− −= ⋅ = − = ⋅ =

−= − = → = −∇⋅ =

Condiciones de frontera :


( sup . de signos opuestos)( 1)r

pr

densidadesεσ σε−

= −

• Relación entre densidades superficiales de carga en contacto dielectrico conductor : aplicandoLey Gauss a superficie tipo caja-píldoras con sendas bases S en ambos medios:

0( 1) ( 1)( ) ( )r r

pr r

n DP n D E n ε εσ ε σε ε− −

= ⋅ = − ⋅ =⋅= −

σDieléctrico

Conductorpσ

el versor normal va del dieléctrico a su exterior

( ) (0 )conductor

n

n D n D S n D S Sσ⋅ − ⋅ = − ⋅ =

0D =

0rD Eε ε=

0= ⋅ = ⋅

n D E nσ ε

σConductor

n0

ahora va del conductor a su exterior

( 0)D n S S n D S E n S

n

σ ε− ⋅ = = ⋅ = ⋅

0D =

VacíoD

• En un conductor D=0, por lo que en el exterior de la superficie conductora con densidadsuperficial de carga se tiene:

NOTA:Condiciones de frontera o contorno en separación de medios:


n

1

2S∆

2D

1D

1 2:S

Gauss en S de a D dS Q⋅ =∫

1 2( )D n S D n S Sσ⋅ − ∆ + ⋅ ∆ = ∆

1 1 22( ) n nD D n D D σ− =− ⋅ =

• En la superficie de separación de dos medios las componentes normales de D difieren enla densidad superficial de carga libre, mientras que hay continuidad en las componentestangenciales de E :

n

1

2S∆

2E

0S v

dS E dv E× = ∇× =∫ ∫

2 10 ( )n S E n S E= ∆ × + − ∆ ×

2 2 11( ) 0 t tE En E E× − = ⇒ =

Obviamente, E = - grad(V) siendo el potencial V pues continuo en la superficie de separación 1-2

Problemas (5.2 y 5.3 en uno: Poner q0 en origen de caso 5.3)


Sugerencia: Repetir el problema 5.2 suponiendo que la esfera de carga tiene un hueco esférico de radio R/2 y centro en (0,0,R/2). (indicación: operar con el vector D creado por esferas de carga superpuestas).

Problemas (ejm. De examen, solo para trabajo personal)


Problemas (ejm. De examen)


Hoy en Física:


De la Real Sociedad Española de Física https://rsef.es/publicaciones/boletin-electronico-de-la-rsef

Transporte cuántico del calor. Un equipo formado por ingenierosde la Universidad de Michigan, físicos de la Universidad deConstanza y un profesor de la UAM, ha logrado medir, porprimera vez, el transporte de calor en circuitos de tamañoatómico. El estudio se ha publicado en Science. Utilizaron unmicroscopio de efecto túnel que permite fabricar hilos metálicosde dimensiones reducidas hasta tener tan solo un átomo en suparte más estrecha. Además, también permite medirsimultáneamente las corrientes eléctrica y de calor.

Pudieron observar cómo en un hilo metálico de un solo átomo el calor se transporta en unidades discretas de una cantidadfundamental conocida como cuanto de conductancia de calor. Este es un fenómeno puramente cuántico que hemos observado porprimera vez a temperatura ambiente detalla Jose Carlos Cuevas investigador del IFIMAC (UAM).

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