Electromagnetic Field

Electromagnetic Field

Textbook ： Electromagnetic Field Theory Fundamentals ， Bh

ag Singh Guru ， Huseyin R. Hiziroglu ，机械工业出版社

Reference Books ：

(1) 《电磁场与电磁波》，谢处方，高等教育出版社

(2) 《电磁场理论》，毕德显，电子工业出版社

Textbook and Reference Books

总评成绩的组成：考核成绩占 50% ，平时成绩占 50% 。

有下列情况之一者，取消其考试资格：

1 、全学期缺交作业三分之一以上；

2 、旷课达 10 学时以上（课堂点名 6 次缺席）。

Electric Field and Magnetic Field

introduction

运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导体有力的作用，这种场称为磁场。不随时间变化的磁场称为静磁场。

静止电荷产生的场表现为对其它带电体有力的作用，这种场称为电场。不随时间变化的电场称为静电场。

静电场与静磁场相互无关、彼此独立，可以分别进行研究。

如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场及磁

场也是随时间变化的。时变的电场与时变的磁场可以

相互转化，两者不可分割，构成统一的时变电磁场。

时变电场与时变磁场之间的相互转化作用，在空间中

形成了电磁波。

Electromagnetic Wave

本课程先讨论静电场和静磁场，然后介绍时变电磁场。

Properties of Medium

电磁场与电磁波的存在和传播无需依赖于任何媒质。在没有物质存在的真空环境中，电磁场与电磁波的存在和传播会更加“自由”。因此对于电磁场与电磁波而言，真空环境通常被称为“自由空间 ”。

电磁场与电磁波虽然不能看见，但是客观存在的一种物质，因为它具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁场与电磁波的能量特性。

当空间中存在媒质时，在电磁场的作用下媒质中会发

生极化与磁化现象，结果在媒质中产生二次电场及磁

场，从而改变了媒质中原先的场分布，这就是场与媒

质的相互作用现象。

Relationship between Electro-

magnetic Field and Medium

电荷及电流是产生电磁场惟一的源。至今，人们尚未发现自然界中存在磁荷及磁流。然而，有时引入磁荷及磁流的概念是十分有益的，但是，它们仅是假想的。研究场与源的关系是电磁理论的基本问题之一。我们将详述场与源，以及场与媒质之间的关系，并且给予严格的数学描述。

Sources of Electromagnetic Field

19 世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现象，人们没有发现电与磁的联系。

1785: Coulomb’s law

1820: magnetic effect of current (Oersted), Ampere’s fo

rce law

1831: Faraday’s law of induction

1863: displacement current, Maxwell’s equations

1888: Hertz proved the existence of electromagnetic

wave by experiment.

Review of Events in History

Important events

Applications of Electromagnetic

Field and Electromagnetic Wave

当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线因特网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为媒介传输信息的。

静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电场对于带电粒子具有力的作用。

电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。

无线通信系统

发射机末级回路产生的高频振荡电流经过馈线送到发射天线，通过发射天线将其转换成电磁波辐射出去；到了接收端，电磁波在接收天线上感生高频振荡电流，再经馈线将高频振荡电流送到接收机输入回路，这就完成了信息的传递。整个过

程中，经历了电磁波的传输、发射、传播、接收等过程。

接收机

接收天线

馈线下行波

发射机

发射天线

馈线

导行波

传输——导行电磁波 ( 导波理论 )

发射和接收——天线 ( 天线理论 )

传播——入射、反射、透射、绕射 ( 电波传播 )

电磁场的基本属性及其运动规律

电磁波与物质的相互作用

电磁场问题的计算方法

Main Contents of This Course

掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律

掌握宏观电磁场问题的基本求解方法

Aims, Methods and Requirements

训练分析问题、归纳问题的科学方法

培养用数学工具解决实际问题的能力

精读教材，做好预习和复习

独立完成作业

Difficulty

Methods to analyze and deal with problems

—— Process of mathematical treatment

Vector Analysis

Chapter 1 Vector Analysis

矢量的基本概念和运算常用坐标系场论基础（标量场的梯度，矢量

场的散度和旋度）

Main Contents

1.1 Introduction of Vector Analysis

Vector analysis is the language used in the study of electromagnetic fields. It’s useful

to simplify and unify field equations. For example, the cross product of two vectors

isA B C

When expressed in scalar form, this equation yields a set of three scalar equations.

The appearance of these scalar equations depends upon the coordinate system.

Three scalar equations are

y z z y xA B A B C z x x z yA B A B C x y y x zA B A B C

( , , )x y zA A A A

( , , )x y zB B B B

( , , )x y zC C C CIn the rectangular coordinate system,

1.2 Scalar and Vector Quantities

1.2.1 Scalar

a physical quantity that can be completely described by its magnitude

1.2.2 Vector

a physical quantity having a magnitude as well as a direction

force F

velocity v

electric field intensity E

mass ( m ), time ( t ), work ( W ), electric charge ( q )

1. Graphical representation of a vector

A vector quantity is depicted

by a line segment. The

magnitude of the vector is

represented by the length of

the line segment. The

direction of the vector is

indicated by an arrow.

Parallel arrows of equal

length in the same direction

represent the same vector.

A B

2. means having the same magnitude and direction

3. Zero vector a vector of magnitude zero

4. Unit vector a vector of unit magnitude

( 0)AA Aa A

A is the magnitude

/ ( 0)Aa A A A

∴

The direction of zero vector is arbitrary.

Aa

is the unit vector in the same direction of A

1.3 Vector Operations

1.3.1 Vector Addition C A B

1. Parallelogram Method

2. Triangle Method

A

B C

A

BC

3. Commutative Law of Addition

4. Associative Law of Addition

A B B A

( ) ( )A B C A B C

1.3.2 Vector Subtraction C A B

A

B

C

1.3.3 Multiplication of a Vector by a Scalar B kA

1. | | | | | |B k A

3. ||B A

B

is a dependent vector.

is in the same direction as .2. k > 0, B

A

k < 0, is in the opposite direction from .B

A

4. | | 1,k B A ； | | 1,k B A

or | |B k A

1.3.4 Product of Two Vectors

Angle between two axes ( axis : a straight line having a

direction )

(1) 若两轴 l1 和 l2 相交于点 S ，在两轴决定

的平面上，把其中一轴绕点 S 旋转，使它的正向与另一轴的正向重合时所需要旋转的角度，称为两轴间的夹角。一般规定两轴间的夹角限定在 0 与之间，且不区分轴的顺序。

(2) 若两轴不相交，则可自空间中的任一点

S 引两轴 l1 和 l2 ，使之分别与平行，且

有相同指向， l1 和 l2 的夹角即为间的夹角。

1 2,l l

1 2,l l

1 2,l l

Angle between two vectors?

1. Dot Product

cos ( [0, ]) A B AB

(1) Dot product is a scalar. ( scalar product )

(2) The dot product is maximum when the

two vectors are parallel. (=0, )

(3) If the dot product of two nonzero vectors is zero, the two vectors

are orthogonal. (= /2 )

∵ Zero vector is thought to be orthogonal to any vector.

∴ 0A B A B

(4) Basic Properties of the Dot Product

Commutative: A B B A

Distributive:

Scaling:

( )A B C A B A C

( ) ( ) ( )k A B kA B A kB

(5) the scalar projection of onB

A

cos A

A BB B a

A

(6) the vector projection of onB

A

( cos ) ( )A A AB a B a a

Scalar projection may be positive or negative.

cosA B AB

(7) angle between and B

A

cos A B

A Ba a

AB

( 0, 0)A B

(8) 2cosA B AB A A A A A A

cosA B AB

2. Cross Product

| sin | ( [0, ])nA B AB a

：垂直于和决定na

A

B

的平面的单位矢量。右手四指由的正向旋转角角角

角角角角角角角角角角角角角角角角角

A

B

na

na

绝对值符号可去掉

角angle between and B

A

sin the area of the parallelogramAB

确定的平面是黑板面,A B

垂直黑板面向内A B

垂直黑板面向外B A

A B B A

A

B

(1) The cross product of two vectors is a vector. ( vector product )

(2) 0A A

(3) || 0A B A B

two nonzero vectors are parallel 0 or

two cases:(1) 0, 0A B (2) 0 or (and) 0A B

(4) If and are the two sides of a parallelogram, then A

B

| | the area of the parallelogramA B

| sin | nA B AB a

(5) Basic Properties of the Cross Product

A B B A Commutative law

doesn’t exist.

Distributive: ( )A B C A B A C

Scaling: ( ) ( ) ( )kA B k A B A kB

3. Scalar Triple Product

( ) sin cosC A B ABC

(1) If the three vectors represent

the sides of a parallelepiped, then

the scalar triple product yields

its volume.

( ) ( ) ( )C A B A B C B C A

(2)

1.4 The Coordinate Systems

1.4.1 Rectangular coordinate system

variables: , ,x y z

position vector (directed from the origin O to point P )

x y zr Xa Ya Za

X, Y, and Z are the scalar projections of

the position vector on the x, y, and z axes.

constant vectors

x y zX r a Y r a Z r a 角角角

, ,x y za a a

unit vectors:

1. 0x y y z x za a a a a a

1x x y y z za a a a a a

x y za a a

y z xa a a

z x ya a a xa x

常数的平面，且指向 x 增大的方向。

A

x x y y z zA A a A a A a

注意：上式中的与点 P 的位置无关。, ,x y za a a

2. Representation of a vector

在点分解成沿 A

( , , )P X Y Z

三个相互正交方向的分量，

, ,x y za a a A

3. ,x x y y z z x x y y z zA A a A a A a B B a B a B a

, then

( ) ( ) ( )x x x y y y z z z x x y y z zC A B A B a A B a A B a C a C a C a

x x y y z zA B A B A B A B

x y z

x y z

x y z

a a a

C A B A A A

B B B

( )x y z

x y z

x y z

A A A

A B C B B B

C C C

4.2 2 2x y zA A A A A A

Angles makes with the x, y, and z axes are .5. A

, ,x y z

cos / , cos / , cos /x x y y z zA A A A A A

∵ 和的夹角由下式计算：A

B

cos A B B

Aa a a

A

现在分别是。, ,x y za a a

B

A

xA

yA

zA

x

y

z

z

oy

x

1.4.2 Cylindrical Coordinate System

1. variables , , z

角角角 OP 在 xy 平面的投影

角 x轴至平面 OTPM 的夹角

z ：位矢 OP 在 z 轴上的标投影

0

20

z

cos

sin

x

y

2 2

arctan( / )

x y

y x

2. unit vectors , , za a a

For example,0

a d a

3. position vector

zr a za

在 P 点上，常数的圆柱面，且指向增大的方向；

常数的平面，且指向增大的方向。

a

a

is a constant vector, an

d change directions as

varies.

za

a

a

a a

T

PP

4.

z

z

z

a a a

a a a

a a a

三个相互正交方向的分量，

在点分解成沿 A

( , , )P z

, , za a a

注意：上式中的与点 P 的坐标有关。,a a

5. Representation of a vector

z zA A a A a A a

A

A

6. If two vectors and are defined either at a common

point or in a plane, we can add,

subtract, and multiply these vectors as we did in the

rectangular coordinate system.

A

B

( , , ) P z constant

For example, if the two vectors at point ( , , )P z are and ,

then ，z zA A a A a A a

z zB B a B a B a

( ) ( ) ( )z z zA B A B a A B a A B a

z zA B A B A B A B

z

z

z

a a a

A B A A A

B B B

A

B

P

7. 若定义在点上，定义在点上，且，则必须首先把和转换成矩坐标系中的矢量，然后进行运算。

A

B

( , , )P z

( , , )P z

A

B

8. Transformation of Unit Vectors

cos sinx ya a a

sin cosx ya a a

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x

y

z z

a a

a a

a a

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x

y

z z

a a

a a

a a

matrixA A

For example,

0 0 0 0(cos sin ) cos sin 2x y x y ya d a a d a d a d a

矢量的起始点 P 的坐标

9. Transformation of a Vector

x x y y z z z zA A a A a A a A a A a A a

∵ cos sinx x x x z z xA A a A a a A a a A a a A A

sin cosy y y y z z yA A a A a a A a a A a a A A

∴

zz

y

x

A

A

A

A

A

A

100

0cossin

0sincos

z

y

x

z A

A

A

A

A

A

100

0cossin

0sincos

矢量的起始点 P 的坐标

cos sin sin cosx y x ya a a a a a

1.4.3 Spherical Coordinate System

1. variables , ,r

r 角角角 OP 的大小

：位矢 OP 与 + z 轴的夹角

： + x 轴至平面 OMPN 的夹角

0 r

20

0

sin cos

sin sin

cos

x r

y r

z r

2 2 2

arccos( / )

arctan( / )

r x y z

z r

y x

2. unit vectors , ,ra a a

all change

directions

asorvaries.

, ,

ra a and a

3. position vector

rr ra 在 P 点上，常数的球面，

且指向 r增大的方向；

常数的圆锥面，且指向增大的方向。

ra r

a

P

4.

r

r

r

a a a

a a a

a a a

5. 若矢量和定义在同一点或同一径向线的不同点上，则矢量加法、减法和乘积运算规则与矩坐标系中的相同。

A

B

( , , )P r

( ) ( ) ( )r r rA B A B a A B a A B a

r rA B A B A B A B r

r

r

a a a

A B A A A

B B B

否则，需首先把和转换成矩坐标系中的矢量，然后进行运算。A

B

6. Transformation of Unit Vectors

sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos 0

r x

y

z

a a

a a

a a

矢量的起始点 P 的和坐标

7. Transformation of a Vector

x x y y z z r rA A a A a A a A a A a A a

A

A

A

A

A

A r

z

y

x

0sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

z

y

xr

A

A

A

A

A

A

0cossin

sinsincoscoscos

cossinsincossin

矢量的起始点 P 的和坐标

A

A

xa ya

za

aa

za

ra

a

a

( , , )P x y z

x x y y z zA A a A a A a

, ,x y za a a

与点 P 的位置无关

( , , )P z

z zA A a A a A a

,a a

与点 P 的坐标有关

( , , )P r

r rA A a A a A a

, ,ra a a

与点 P 的角坐标有关

A

P

1.5 Scalar and Vector Fields

1. Field Concept

如果在空间中某个区域内的每一点都有一物理量（如温度、电场、磁场）的确定值与之对应，则在这个区域中就构成该物理量的场。

2. Classifications

according to the properties of the physical quantity

according to the variability of the physical quantity

Time-Varying Fields 物理量随时间的变化而变化 ( )( , ), ( , )E r t H r t

Scalar Fields 物理量为标量（温度场、电位场） Vector Fields 物理量为矢量（电场、磁场）

Static Fields 物理量不随时间的变化而变化

3. Vector Calculus

(1) 对于矢量场，( )F s

0

( ) ( )lim

s

dF F s s F s

ds s

(2) 对于矢量场，( , , , )F x y z t

0

( , , , ) ( , , , )lim

x

F F x x y z t F x y z t

x x

(3) ，，则( )f f s ( )F s

( )d fF dF dff F

ds ds ds

fF

的导数在形式上与两个标量函数之积的导数运算法则相同

(4) ，，则1 2 3( , , , )f f u u u t1 2 3( , , , )F F u u u t

1 1 1

( )fF F ff F

u u u

例如：矩坐标系中，( , , , ) x x y y z zA x y z t A a A a A a , ,x y zA A A

均为的函数。则, , ,x y z t

( ) y yx x z zx x y y z z x x y y z z

yx zx y z

a Aa A a AAA a A a A a A a A a A a

x x x x x x x xAA A

a a ax x x

o o o

Conclusions

在矩坐标系中，矢量函数对某一变量的偏导数（或导数）仍是矢量，其各个分量等于原矢量函数各分量对该变量的偏导数（或导数）（∵坐标单位矢量是常矢量）。简言之，只需将坐标单位矢量提到微分符号外即可。

在圆柱坐标系或球坐标系中，由于某些坐标单位矢量不是常矢量，对矢量函数求偏导数（或导数）时，不能直接将坐标单位矢量提到微分符号之外。

( ) yx zx x y y z z x y z

AA AAA a A a A a a a a

x x x x x

圆柱坐标系cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

x

y

z z

a a

a a

a a

∴ 各坐标单位矢量对空间坐标变量的偏导数为

aa

a

a

0z z za a a a a a a

z z z

例如： ( , , ) z zA z A a A a A a

( ) ( ) zz

A A AAa A a A a

球坐标系sin cos sin sin cos

cos cos cos sin sin

sin cos 0

r x

y

z

a a

a a

a a

∴ 各坐标单位矢量对空间坐标变量的偏导数为

0, , sinr r ra a aa a

r

0, , cosr

a a aa a

r

0, 0, cos sinr

a a aa a

r

1.6 Differential Elements of Length, Surface, and Volume

1.6.1 Rectangular Coordinate System

( , , )P x y z( , , )Q x dx y dy z dz

0, 0, 0dx dy dz

(1) differential volume element

dv dxdydz非负标量

| |dx x , ∵ dx is a differential element

(2) differential surface area element: 面积很小的有向曲面

矢量

nds dsa�� ds：面元面积，其值可认为无限小非负

na

：面元法线方向的单位矢量

开曲面上的面元：假设开曲面由封闭曲线 l 围成，选定绕行 l 的方向，运用右手螺旋法则，大拇指所指方向为面元方向

na

的方向闭曲面上的面元：封闭曲面的外法线方向

x xds dydza��

y yds dxdza��

z zds dxdya��

(3) differential length

element from P to Q

zyx adzadyadxdl

1.6.2 Cylindrical

Coordinate System

( , , )P z ( , , )Q d d z dz

0, 0, 0d d dz

The differential volume is

bounded by six surfaces:

,

,

,

P P

P P

P P

d

d

z z z z dz

O


dv d d dz 非负标量

(2) differential surface area element

z z

ds d dza

ds d dza

ds d d a

��

��

��

zdl d a d a dza ��


element from P to Q

1.6.3 Spherical

Coordinate System Q

( , , )P r ( , , )Q r dr d d

0, 0, 0dr d d

The differential volume is

bounded by six surfaces:

,

,

,

P P

P P

P P

r r r r dr

d

d


2 sindv r dr d d

非负标量

(2) differential surface area element

2 sin

sin

r rds r d d a

ds r drd a

ds rdrd a

��

2 sindv r dr d d 2 sinr rds r d d a ��

volume of a sphere of radius a :

22 3

0 0 0

4sin

3

av dv r dr d d a

surface area of a sphere of radius a :

22 2

0 0sin 4rs ds a d d a


element from P to Q

adrardadrdl r

sin

小知识

矩坐标系、圆柱坐标系和球坐标系都属于三维正交曲线坐标系。凡是具有三个坐标变量，而且其坐标单位矢量相互正交的坐标系，都统称为三维广义正交曲线坐标系。

1 2 3( , , )q q q

1 2 3( , , )a a a

三种坐标系中长度元、面元和体积元的统一公式

矩坐标系：

1q x 2q y 3q z

1 xa a

2 ya a

3 za a

1 1h 2 1h 3 1h 拉梅系数

圆柱坐标系：

1q 2q 3q z

1a a

2a a

3 za a

1 1h 2h 3 1h

球坐标系：

1q r 2q 3q

1 ra a

2a a

3a a

1 1h 2h r 3 sinh r

长度元：1 1 1 2 2 2 3 3 3dl h dq a h dq a h dq a

��

面元：

1 2 3 2 3 1

2 1 3 1 3 2

3 1 2 1 2 3

ds h h dq dq a

ds h h dq dq a

ds h h dq dq a

��

体积元：1 2 3 1 2 3dv h h h dq dq dq

单位矢量表示方向；( , )n la a

面积 (线 ) 元非负；( 0, 0)ds dl

例如：已知点 O (0, 0, 0) 和点 A

(1, 0, 0) 是 x 轴上的两点，则矢量沿有向线段的线积分为

F

OA��

1

0

( ) ( )xOAF dl F dxa dl dx

��

面元和长度元是矢量，计算面 ( 线 )积分时，应注意：

ds��

dl��

积分限的选取。

,n lds dsa dl dla ��

��dl

��dl

路径 c 是从 A 点到 B 点的一段圆弧，圆弧的半径为 a 。

路径 c ： , 0, 02

a z

zdl d a d a dza ��

0, 0d dz

dl ad a ��

, | |dl dla dl ad ��

∵ 从 A 点到 B 点， d 角0,2

, ��

dl ad dl dla ad a

0

2

( )c

F dl F ad a ��

角角

注意：

?c

F dl ��

角

��dl

1.7 Line, Surface, and Volume Integrals The basic laws of electromagnetic fields are often expressed in terms of

integrals of field quantities over various curves, surfaces, and volumes in

a region.

Examples:

In static electric field, the potential difference between point a an

d point b is defined as b

ab aV E dl

��

vsI J ds

��

The current through a conductor is defined as the surface integra

l of volume current density,

1.7.1 The Line Integral

1. the line integral of a scalar field f from point a to point b along a

curve c in three-dimensional space

i

n

ii

lnc

lfdlfi

10,

lim

:if the value of f within the length

segment il��

vector

2. the scalar line integral of a vector field

i

n

ii

lnc

lFdlFi

10,

lim

scalar

3. the vector line integral of a vector field

i

n

ii

lnc

lFdlFi

10,

lim

vector

When c is a closed curve, the integral sign is denoted as ∮.

1.7.2 The Surface Integral

1. the surface integral of a scalar field f

i

n

ii

sns

sfdsfi

10,

lim

vector

:if the value of f over the

elemental surface is��

2. the scalar surface integral of a vector field

i

n

ii

sns

sFdsFi

10,

lim

scalar

3. the vector surface integral of a vector field

i

n

ii

sns

sFdsFi

10,

lim

vector

1.7.3 The Volume Integral

1. the scalar volume integral of a scalar field

i

n

ii

vnv

vffdvi

10,

lim

2. the volume integral of a vector field

i

n

ii

vnv

vFdvFi

10,

lim

1.8 The Gradient of a Scalar Function 为考察标量场在空间的分布和变化规律，引入等值面、方向导数和梯度的概念。

1.8.1 the equivalence surface of a scalar field

由所有场值相等的点所构成的曲面

标量场可用标量函数来表示。例如，矩坐标系中标量场 f 可以表示成或。方程表示一个曲面（ C 是任意常数），曲面上每个点的函数值相同，都等于 C 。这个曲面就是标量场 f 的等值面。

),,( zyxff )(rff

Czyxf ),,(

For example, isothermal surface of a temperature field (温度场的等温面 ) , equipotential surface of a electric potential field ( 电位场的等位面 )

.

f (x, y, z) = C1

f = C2

f = C3

根据标量场的定义，空间中每一点上只对应场函数的一个确定值。因此，充满整个标量场所在空间的众多等值面互不相交，即场中的一个点只能在一个等值面上。

notice

若某一标量场 f 是坐标变量 x 和 y 的函数，这样的场称为平面标量场。 ( C 为任意常数 ) 称为等值线方程，在几何上表示一组等值曲线。场中的等值线 ( contour line ) 也是互不相交的。

( , )f x y C

( , )T x y C

经度，纬度

1.8.2 the directional derivative of a scalar field

标量场的等值面或等值线可形象地帮助了解物理量在场中总的分布情况。但研究标量场时，还需要知道场在不同方向上变化的情况。为此，引入方向导数来描述标量场在空间某个方向上变化的情况。

f = C1

f = C2

1. Definition

0 0 0 0( , , )M x y z 为标量场 ( , , )f x y z

中的一点，从点出发，朝任一方向引射线，在上靠近点取一动点，点到点 M 的距离为。

0M

l

l

0M

0 0 0( , , )M x x y y z z

0M l

l

MfMf

l

fl

M

)()(lim 0

00

0Ml

f

称为函数在点沿方向的方向导数( , , )f x y z0M l

由偏导数定义，

l

MfMf

l

fl

M

)()(lim 0

00

因为，说明在点 M0 处函数 f (x, y, z) 沿0l 0f

l

方向是增加的；反之说明函数值是减小的。l

方向导数是函数 f (x, y, z) 在给定点沿某一方向对

距离的变化率。

例如，就是函数 f (x, y, z) 沿三个坐标轴方向的方向导数。

/ , / , /f x f y f z

2. 矩坐标系中方向导数的计算公式/f l

2 2 2( ) ( ) ( )l x y z

cos /

cos /

cos /

x l

y l

z l

cos ,cos ,cos 是的方向l

余弦。

,, 分别是与 x 轴、y 轴和 z 轴的夹角。

l

0 cos cos cos

角

��

l x y zla a a

M Ma方向的单位矢量l

0 x y zM M xa ya za ��

根据多元函数的全增量和全微分的关系，有

lzz

fy

y

fx

x

fMfMff

MMM

000

)()( 0

0l 时， 0

coscoscos)()(

lim000

0

0MMM

l z

f

y

f

x

f

l

MfMf

由方向导数定义式，略去下标M0 ，可得任意点上沿

方向的方向导数的表达式：

l

coscoscosz

f

y

f

x

f

l

f

l

0 ( , , )M x y z

0M

f

l

1.8.3 the gradient of a scalar function

方向导数是标量函数在给定点沿某个方向对距离的变化率。从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向。函数沿其中哪个方向的变化率最大？这个最大的变化率是多少？

f = C2

f = C1

coscoscosz

f

y

f

x

f

l

f

l

( , , )M x y z

1. Definition of the Gradient

cos cos cos

( ) (cos cos cos )x y z x y z

l n l

f f f f

l x y z

f f fa a a a a a

x y z

N a Na a

其中，n x y z

f f fN Na a a a

x y z

la

是方向的单位矢量l

标量函数 f (x, y, z) 在任意点 M 上沿方向的方向导数为：l

l

( , , )M x y z

n x y z

f f fN Na a a a

x y z

与 M 点的位置 M (x, y, z) 有关。在给定点 M ( x0, y0, z0 ) 上，

是一个确定矢量，是从点 M 出发沿任一方向的单位矢量。N

la

N 可变

l n l

fN a Na a

l

在上的标投影＝函数 f (x, y, z) 沿方向的方向导数N

l

l

当与方向相同时， f (x, y, z) 沿方向的方向导数最大la

N

l

（当）NNl

f

||max

1n la a

lN

l

l

( , , )M x y z

l

is defined as the gradient of f (x, y, z)N

grad f = N

Grad is the abbreviation of gradient.

2. properties of the gradient

标量场的梯度是一个矢量函数。在给定点，梯度的方向是函数变化率最大的方向，梯度的模等于函数在该点的最大变化率的数值。

说明梯度总是指向函数值增大的方向！

与坐标位置有关

max

| grad | 0f

f Nl

函数 f 沿梯度方向的方向导数为 lN

l

l

( , , )M x y z

l

标量函数沿方向的方向导数＝梯度l

la

grad l

ff a

l

梯度在上的标投影l

在任一点 M ，标量场 f 的梯度垂直于过该点的等值面，即垂直于过 M 点的等值面的切平面。

右图中切平面的法线矢量是

M

zyx az

fa

y

fa

x

fn

可见法线矢量恰好等于在点 M 处函数 f 的梯度，即

n

gradn f

∴ 在点 M ， f 的梯度垂直于过点 M 的等值面

grad f

( , , )f x y z C

n

电力线等位面

gradE V

带电平行板

gradV

3. Hamilton operator ▽

矩坐标系中▽算符定义为：

za

ya

xa zyx

注意：▽既是一个微分算子，又可以看作一个矢量，称之为矢性微分算子。

del 或 nabla

矩坐标系中：

( )

grad

x y z

x y z

f a a a fx y z

f f fa a a

x y z

f

则梯度可表示为： gradf f

圆柱坐标系中：

1z

f f ff a a a

z

球坐标系中：

1 1

sinr

f f ff a a a

r r r

矩坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中梯度的表达式

1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1f f ff a a a

h q h q h q

扩展内容

可根据公式，推导矩坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中的梯度计算公式。

l

ff a

l

圆柱坐标系中：z zf A a A a A a

z z

A f a

A f a

A f a

角

角

角

教材 Exercises 2.31 的解

0 0: ,f

A f a l z zl

fl

角

0 0: ,

1d d

fA f a l z z

lf

l l

角

0 0: ,z z

fA f a l

lf

l zz

角

1z

f f ff a a a

z

球坐标系中：r rf A a A a A a

0 0: ,r r

fA f a l

lf

l rr

角

0 0: ,

1d d

fA f a l r r

lf

l l r rr

角

0 0: ,

1sin d sin

sin

fA f a l r r

lf

l r rr

角

1 1

sinr

f f ff a a a

r r r

4. basic formulae of the gradient

2

0 ( is a constant)

( ) ( is a constant)

( )

( )

( / ) ( ) /

[ ( )] ( )

C C

Cu C u C

u v u v

uv u v v u

u v v u u v v

f u f u u

这些公式与对一般函数求导数的法则类似

For example, , then .rr a

2 2

1 1 rar

r r r

Example: Using the expression for the gradient of a

scalar function, verify that .rr a

Solution:

1 2 31 1 2 2 3 3

1 1 1f f ff a a a

h q h q h q

1 1

sinr

r r rr a a a

r r r

0

0

rr a

f r

Please prove that

2)/1()/1(

R

aRR R

za

ya

xa zyx

denotes the differentiation of a function with

respect to variables , , , and x y z

Example: , is the distance

vector from point to point ( x, y, z ) .

2 2 2( ) ( ) ( )R x x y y z z

( , , )x y z

R

Solution:

1 12 2 2 2 2 22 2

1 12 2 2 2 2 22 2

(1/ ) [( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

[( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

x

y z

R x x y y z z a x x y y z zx

a x x y y z z a x x y y z zy z

1 112 2 2 2 2 22 2

32 2 2 2

1[( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ] 2( )

2

[( ) ( ) ( ) ]

x x y y z z x x y y z z x xx

x x

x x y y z z

∵

2 2 2( ) ( ) ( )R x x y y z z

12 2 2 2

32 2 2 2

[( ) ( ) ( ) ]

[( ) ( ) ( ) ]

x xx x y y z z

xx x y y z z

∵

( ) ( ) ( )R x y zR Ra a x x a y y a z z

1 12 2 2 2 2 22 2

12 2 2 2

32 2 2 2

3 2

(1/ ) [( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

[( ) ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( )

[( ) ( ) ( ) ]

x y

z

x y z

R

R a x x y y z z a x x y y z zx y

a x x y y z zz

a x x a y y a z z

x x y y z z

aR

R R

∴

2 2 2( ) ( ) ( )R x x y y z z

1 12 2 2 2 2 22 2

1 12 2 2 2 2 22 2

2 2 2

(1/ ) [( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

[( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ]

( ) ( ) ( )

[( ) ( ) ( )

x

y z

x y z

R x x y y z z a x x y y z zx

a x x y y z z a x x y y z zy z

a x x a y y a z z

x x y y z z

3

2

3 2

]

RaR

R R

∴ 2)/1()/1(

R

aRR R

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Electromagnetic Field