EL MUNDO EN LA ESTADISTICADOMINGO 24 DE JULIO DE 2011

MEDIDAS DE TENDENCIASUnidad 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA MEDIDAS DE TENDENCIA Una medida de posición o de tendencia es un número que se toma como orientación para referirnos a un conjunto de datos. Media Aritmética muestral La media aritmética muestral representa el centro físico del conjunto de datos y se define como la suma de los valores observados, dividido por el total de observaciones. Si son observaciones numéricas, entonces la media aritmética de estas observaciones, se define como: Caso de datos agrupados Cuando se trata de datos agrupados (tabla de frecuencias) la media aritmética se puede aproximar mediante la expresión: donde y son respectivamente el punto medio y la frecuencia del intervalo. Ejemplo Se toman 10 mediciones del diámetro interno de los tornillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm) son: 74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74.002, 74.005, 74.001, 74.001, 74.002, 74.004. La media muestral del diámetro interno de los tornillos es Caso de datos agrupados Ejemplo La media aritmética para la siguiente tabla de frecuencias esta dada por Clases Marca de clase ( ) Frecuencias ( ) 33-34 33.5 6 34-35 34.5 13 35-36 35.5 22 36-37 36.5 12 37-38 37.5 6 38-39 38.5 5 Ejercicios Caso de datos agrupados Suponga que la distancia recorrida por un automóvil marca A, antes de que presente la primera falla mecánica es dada en la siguiente tabla. Distancia recorrida (miles de millas) Frecuencia 0-20 6 20-40 11 40-60 16 60-80 25 80-100 34 100-120 46 120-140 33 140-160 16 160-180 12 180-200 2 Calcule la media aritmética e interprétela. MEDIA PONDERADA En algunos casos cada una de las observaciones tiene una importancia relativa (peso) respecto de los demás elementos. Cuando esto sucede la media está dada por: en donde son los pesos o ponderaciones de las observaciones . Esta media se llama media aritmética ponderada. Propiedades de la Media Aritmética 1. Una de las más importantes es que la suma de las desviaciones respecto de la media es igual a cero, esto es 2. Otra propiedad importante es que si se tiene la media de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante y se le suma una constante , entonces la nueva media de los datos se obtiene multiplicando a la media de los datos por y sumandoles Se suele interpretar esta propiedad como el hecho de que la media no se altera por una transformación lineal de escala. Ejemplo Si la asignatura A tiene un valor de 2 créditos y la asignatura B tiene un valor de 3 créditos. Entonces, para un estudiante que haya obtenido una calificación de 4 en

la asignatura A y de 5 en la asignatura B, la nota promedio ponderado está dada por Ejemplo Suponga que en el año 2000 los empleados de una empresa industria tienen salario promedio de $2.500.000 y para el año 2001 se les hizo un aumento de 15 %. Además se les da una bonificación mensual de $50.000 por aniversario de la empresa. ¿ Cúal es el salario promedio del año 2001?. Solución Suponga que es la variable salario del año 2000 , luego el salario promedio se denota por . Ahora sea el salario del año 2001 dado por la variable que es el resultado de la transformación de la variable . y asi el salario promedio del año 2001 es PRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOS Cuando se manejan variables cualitativas, las respuestas categóricas se pueden presentar en tablas de frecuencia o tablas resumen y después presentarlas en forma gráfica. En esta sección se presentan algunas gráficas de frecuente uso en la presentación de datos cualitativos. Tabla de frecuencia o tabla resumen La construcción de una tabla de frecuencia para datos cualitativos requiere solo del conteo del número de elementos o individuos que caen dentro de cierta clase o categoría. Ejemplo Se pidió a cada miembro de una muestra de 20 personas, dueños de motocicletas, que dieran el nombre del fabricante de su máquina. Los datos aparecen registrados en la siguiente tabla Tabla 5. Datos sobre los tipos de motocicleta Persona Tipo de motocicleta 1 HONDA 2 OTRA 3 HARLEY-DAVIDSON 4 YAMAHA 5 YAMAHA 6 HARLEY-DAVIDSON 7 YAMAHA 8 YAMAHA 9 HARLEY-DAVIDSON 10 SUZUKY 11 SUZUKY 12 SUZUKY 13 SUZUKY 14 YAMAHA 15 SUZUKY 16 YAMAHA 17 YAMAHA 18 KAWASAKY 19 SUZUKY 20 KAWASAKY La tabla de distribución de frecuencias se presentan a continuación. Tabla 6. Distribución de fecuencias de los tipos de motocicleta Tipo de Motocicleta Número de personas Harley-Davinson 3 Honda 1 Kawasaki 2 Otra 1 Suzuki 6 Yamaha 7 Total 20 Procedimiento para elaborar tablas de frecuencias en excel DIAGRAMA DE BARRAS Este gráfico consiste de una serie de barras horizontales o verticales asignadas a cada categoría de la variable cualitativa cuyas alturas son dadas por la frecuencia de la categoría. A continuación se dan algunas sugerencias para la elaboración de gráficas de barras. 1. Para respuestas categóricas cualitativas, las barras se deben diseñar en forma horizontal y para respuestas categóricas numéricas, en forma vertical. 2. Todas las barras deben ser del mismo ancho para no confundir al lector. 3. Los espacios entre barras deben ser igual a la mitad del ancho de las barras. 4. Se deben incluir las escalas y algunas indicaciones para que ayuden a la lectura de las gráficas. 5. Los ejes de las gráficas se deben identificar en forma clara. 6. Se deben incluir dentro del cuerpo de la

gráfica, o debajo, todo tipo de ``claves'' para la interpretación de las gráficas. 7. El título de la gráfica debe aparecer debajo del cuerpo. 8. Las notas de pie de página, o sobre fuentes, cuando sean necesarias, se deben colocar después del título. DIAGRAMAS CIRCULARES Son utilizados en aquellos casos donde nos interesa no sólo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total. Ejemplo Continuando con el ejemplo de las motocicletas, el gráfico de pastel o torta o circular es dado en la figura 5. Figura 5. Diagrama circular para los datos de las motocicletas Para construir el diagrama circular anterior, se parte del hecho de que el círculo encierra un total de 360 grados. Luego a cada categoría se le asigna sus grados en el círculo, mediante una regla de tres simple, por ejemplo para la característica Harley-Davinson, el sector correspondiente es: Procedimiento para construir diagramas circular o de pastel en Excel Elabore la tabla de frecuencias como se hizo anteriormente. Sombrear la tabla de frecuencias editada y escoger el icono de barras en el menú principal (barras superiores de la ventana de Excel). Esto muestra inmediatamente una ventana titulada Asistente para gráficos. paso 1 de 4:tipo de gráfico. Aquí elija circular y luego el tipo de diagrama circular deseado. Haga click en Siguiente y se presentan nuevas ventanas en la cuales debe entrar la información necesaria. Por último en la ventana de paso 4 hacer click en Finalizar. Ejercicios El número de empleados de una empresa se distribuye porcentualmente de acuerdo con su tiempo de vinculación. Tiempo de vinculación Porcentaje (%) Menos de 5 años 20 Entre 5 y menos de10 años 50 Entre 10 y menos de 15 años 15 Entre 15 y menos de 20 10 Más de 20 años 5 Construya el diagrama circular o de pastel y haga algún comentario de la gráfica Situaciones Propuestas 1. En cada una de las siguientes situaciones del ejercicio anterior además de realizar lo solicitado en el ejercicio, responda las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el valor aproximado al cual tienden los datos? 2. ¿Cuál es el comportamiento de la distribución de los datos? 3. ¿Parece ser que los datos son muy variables? 4. ¿ Cuál gráfico es más recomendado para presentar los datos?. Solucione las siguientes situaciones: Ejercicio 2.1 de Mendenhall. Página 20 (gráficas de datos cualitativos) Ejercicio 1.16 página 15 de Montgomery. Propone la elaboración de un diagrama de Pareto Ejercicio 2.7 página 23 de Mendenhall. Propone la elaboración de un diagrama de Pareto. Elabore un diagrama de flujo y un diagrama de causa-efecto para alguna situación de interés de tal manera que le permita identificar problemas. OTRAS REPRESENTACIONES

GRAFICAS Existen otras gráficas para presentar datos, las cuales no se abordaran en este curso. A continuación trataremos una de estas. Diagrama de Pareto Los diagramas de pareto son una importante herramienta en los procesos de mejoramiento de la calidad. Alfredo Pareto, un economista italiano en la era 1848-1923, encontró que la riqueza se encuentra en pocas personas. Esta observación le llevo a formular el principio de Pareto " Un pequeño segmento de la población es dueño de la mayoría de las riquezas". Este principio aplica al mejoramiento de la calidad. En las organizaciones de manufactura o servicios, por ejemplo el problema de áreas o tipos de defectos siguen de distribuciones similares. De todos los problemas que ocurren, solamente unos pocos son realmente frecuentes, los otros raramente ocurren. Así, agrupando las áreas de esos problemas en dos categorías, ellas son denominadas como la poco vital y la muy trivial. El principio de Pareto también imparte soporte para la regla de , que dice que el de los problemas (inconformidad o defectos) son ocasionados por el de las causas. Los diagramas de Pareto ayudan a identificar rápidamente las áreas críticas (aquellas que causan más problemas) que merecen inmediata atención. La identificación de esos problemas cuya resolución puede llevar a un sustancial mejoramiento en la calidad. Los diagramas de Pareto arreglan los problemas en orden de importancia, la "importancia", por ejemplo, puede referirse al impacto financiero de un problema o el número relativo de ocurrencia del problema. Los pasos para construir un diagrama de Pareto son: Paso 1: Determine la categorización del sistema de datos, es decir, por tipo de problema, tipo de inconformidad (crítica, grave, menor), o cualquier otra que también veamos apropiada. Paso 2:Determine como será juzgada la importancia relativa. Esto es, si se debería basar sobre valores monetarios o la frecuencia de ocurrencia. Paso 3:Establezca el rango de las categorías de la más importante a la menos importante. Paso 4:Calcule la frecuencia acumulativa de las categorías de los datos en el orden seleccionado. Paso 5: Dibuje un gráfico de barras, mostrando la importancia relativa de cada problema en orden descendente. Identificando lo poco vital que merece inmediata atención. Ejemplo Un problema de interés para la División de Economía Comercial (DEC) del Departamento de Trabajo de Estados Unidos. Cada año, la DEC monitorea la empresas que fracasan y clasifica cada fracaso en una de las seis siguientes categorías: (1) falta de experiencia en la línea de producción, (2) falta de experiencia gerencial, (3) experiencia desequilibrada, (4) incompetencia, (5) otras causas (como negligencia, fraude y desastres naturales) y (6) causas desconocidas. Estas

informaciones se basan en las opiniones de acreedores informados y los informes de la DEC. En fechas recientes, la DEC determinó la causa de 1463 fracasos de empresas constructoras. Los fracasos se muestran en la siguiente tabla. Tabla 7. Distribución de frecuencias de los fracasos de empresas constructoras Causas subyacentes Frecuencia Frecuencia relativa Proporción acumulativa Incompetencia 698 0.477 0.477 Experiencia desequilibrada 314 0.215 0.692 Falta de experiencia gerencial 236 0.161 0.853 Falta de experiencia de línea 111 0.076 0.929 Causa desconocida 83 0.057 0.986 Otras causas 21 0.014 1.000 TOTALES 1463 1.000 Figura 6. Diagrama de pareto para la tabla DIAGRAMA DE FLUJO El diagrama de flujo muestra la secuencia de eventos en un proceso. Ellos son usados para operaciones de manufactura y servicio. Los diagramas de flujos son frecuentemente usados para diagramar procedimientos operacionales que simplifican el sistema. Ellos pueden identificar embotellamientos, pasos redundantes, actividades que no adicionan valor. Un diagrama de flujo real puede ser construido usando el conocimiento del personal que está directamente relacionado con un proceso particular . Información importante de los procesos es obtenida a través de la construcción de los diagramas de flujo. En la figura 3, se presenta un diagrama de flujo para el procesamiento de nuevos pedidos. El diagrama de flujo identifica donde pueden ocurrir demoras, por ejemplo , cuando una orden de compra no ha sido recibida. Figura 8. Diagrama de flujo para el procesamiento de un orden de pedido DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO Los diagramas de causa efecto fueron desarrollados por Kaoru Ishikawa en 1943 y son frecuentemente llamados Diagramas de Ishikawa o diagramas de espina por su apariencia gráfica. Básicamente los diagramas de causa y efecto son usados para identificar y listar sistemáticamente las diferentes causas que pueden ser atribuidas a un problema (o un efecto) . Esos diagramas ayudan a determinar cuáles de las causas tienen mayor efecto. Un diagrama de causa y efecto puede ayudar en la identificación del porque un proceso se sale de control. Alternativamente, si un proceso es estable, los diagramas puede ayudar a la gerencia en la decisión sobre que causas deben ser investigadas para mejoramiento de procesos. Existen tres aplicaciones principales de los diagramas de causa y efecto: enumeración de causa, análisis de dispersión y análisis de procesos. Enumeración de causas Es una de las técnicas gráficas más ampliamente usada en el control de calidad y el mejoramiento. Es usualmente desarrollada a través de una sesión de ideas geniales en la cual todos los posibles tipos de causas (por más remotas que sean) son listadas para mostrar su influencia sobre los problemas (o efectos) en

cuestión. Los procedimientos consisten en primero definir el problema o la característica de calidad seleccionada para el estudio de tal manera que cada uno conozca que inicia la línea. Luego se registra la causa más grave que influye sobre la característica. En un proceso de manufactura, por ejemplo, la causa más grave para una irregularidad (por decir la longitud no reúne las especificaciones) podrían ser el equipo, operador, métodos, ambientes y otras como estas. Posteriormente se listan las subcausas dentro de las más graves. Antes de evaluar cada causa se deben definir, identificar claramente y evaluar métodos apropiados de medida. Seguidamente, una causa es escogida y analizada. Esto se hace sistemáticamente, de tal manera que la causa predominante es analizada primero. Una ventaja obtenida al usar el diagrama de causa y efecto, es que el método de su construcción permite un mejor entendimiento de los componentes de los procesos y sus relaciones, y así un mejor entendimiento del mismo. Ejemplo La resistencia de una viga de cemento para la construcción de un puente podría ser la característica de calidad que representa el efecto principal. Las proporciones de varios ingredientes usados para hacer el cemento son causas, en la categoría de material, que tiene impacto sobre la resistencia de la viga. Ver la figura 2 Figura 7. Diagrama de causa-efecto para la viga de un puente EL DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS TABLA DE FRECUENCIAS Una tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica en que se han dividido los datos. A continuación se dan algunas definiciones relacionadas en la construcción de la tabla de frecuencias Definición 1 Un intervalo de clase, es cada uno de los rangos de valores en que se ha decidido agrupar parcialmente los datos con el propósito de hacer un resumen de ellos. Definición 2 El número de mediciones que quedan dentro del intervalo se llama frecuencia del intervalo y se denota por . La diferencia entre el extremo mayor y el extremo menor del intervalo se llama longitud o ancho del intervalo. Definición 3 La marca de clase, es el punto medio del intervalo de la clase, se denota por Su valor es obtenido al promediar los extremos del intervalo. Definición 4 La frecuencia absoluta acumulada de la clase , es el número resultante de sumar la frecuencia de la clase con la frecuencia de las clases antecedentes y se denota Definición 5 La frecuencia relativa de la clase es el cociente entre la frecuencia de la clase y el número de datos total, se denota por . Definición 6 La frecuencia acumulada relativa, de la clase es el cociente entre la frecuencia acumulada de la clase y el número de observaciones, se denota por Todas las anteriores clases de distribuciones reciben el nombre de distribuciones empíricas. Sugerencias para la construcción de

la tabla de distribución de frecuencias La construcción de una tabla de frecuencias para datos cuantitativos presenta como su punto de mayor importancia la determinación del número de intervalos (clases) que la conformaran. Este número depende de la cantidad y de la naturaleza de los datos a resumir y del propósito que se busca con el resumen. A continuación se presentan ciertas pautas para la construcción de una tabla de frecuencias. 1. El número de intervalos debe escogerse de acuerdo con el número de datos. 2. Una vez escogido el número de intervalos, se determina la longitud que deben tener los intervalos, dividiendo el rango en el número de clases o intervalos. Rango/Número de clases. 3. El primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Para los datos del ejemplo 1, constrúyase una tabla de frecuencias. EL DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS El histograma es una técnica gráfica utilizada para presentar gran cantidad de datos. Se le atribuye a Karl Pearson en 1895. El histograma puede ser: de frecuencias absolutas, de frecuencias relativas, de frecuencias absolutas acumuladas y de frecuencias relativas acumuladas. Para la construcción del histograma se requiere elaborar una tabla de distribución de frecuencias, lo cual se desarrollará a continuación. Histogramas El gráfico de la distribución de frecuencias, se llama histograma. El histograma de frecuencias es una representación visual de los datos en donde se evidencian fundamentalmente tres características: forma, acumulación o tendencia posicional y dispersión o variabilidad. El histograma (de frecuencias) en si es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas de la siguiente manera: 1. Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo. 2. Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical y corresponden a las frecuencias de los intervalos. 3. Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases. Polígono Otro recurso gráfico para ilustrar el comportamiento de los datos es el polígono de frecuencias. Este se construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas, al colocar sobre cada marca de clase un punto a una altura igual a la frecuencia asociada a esa clase; luego se unen dichos puntos por segmentos de recta. Para elaborar el Polígono en Excel, haga click derecho sobre el histograma y elija Tipo de gráfico, lo cual despliega una ventana, donde usted debe elegir la opción Líneas (Elija como subtipo de gráfico el que aparece por defecto). Luego haga click en Aceptar. Otra forma de polígono es la Ojiva, la cual es el polígono que se obtiene de unir por segmentos de recta los puntos situados a una altura igual a la frecuencia acumulada a partir de la marca de clase como se hace con el

polígono de frecuencia. Ejemplo La siguiente tabla resume la demanda diaria de cierto producto durante 40 días seguidos Tabla 2. Distribución de frecuencias de la demanda diaria de un producto. Intervalo 4.5-9.5 4 9.5-14.5 11 14.5-19.5 13 19.5-24.5 10 24.5-29.5 2 La tabla anterior corresponde a una frecuencia para datos cuantitativos. Los distintos intervalos son: (4.5, 9.5], (9.5, 14.5], (14.5, 19.5], (19.5, 24.5], (19.5, 24.5], (24.5, 29.5]. La longitud de los intervalos es 5; los números 4, 11, 13, 10 y 2, representan las respectivas frecuencias. A continuación se presenta el porcentaje de algodón en un material utilizado para la fabricación de camisas para caballeros. 1. Construya: el diagrama de tallos y hojas, el histograma, el polígono y la ojiva. 2. ¿ A que valor se puede aproximar la tendencia de los datos?. 3. ¿ Parecen ser los datos muy variables?. 4. ¿ Los datos son más frecuentes cuando los valores son pequeños?. 5. ¿Es posible conocer con la ojiva el valor aproximado del número para el cual el 50% de los porcentaje de algodón es inferior a ese número? ¿Sería recomendable el diagrama de puntos si se tiene muchos datos y cada uno aparece una sola vez? PRESENTACION DE DATOS CUANTITATIVOS Cuando se recogen datos ya sean de una muestra o población se deben presentar en forma resumida, elaborando tablas y gráficas apropiadas. Así, de éstas se pueden extraer las principales características de los datos. En esta sesión se mostrará cómo se pueden organizar y presentar conjuntos de datos, tanto cuantitativos como cualitativos en forma de tablas y gráficas apropiadas para su análisis. EL DIAGRAMA DE PUNTOS El diagrama de puntos es una gráfica muy útil para visualizar un conjunto pequeño de datos; por ejemplo, de unas 20 observaciones. La gráfica permite ver rápidamente la tendencia y variabilidad de los datos. Para su elaboración dibuje una línea horizontal demarcada con los valores encontrados en los datos, luego coloque tantos círculos pequeños rellenos (o esfera) encima uno de otro sobre el número del eje correspondiente al dato. Ejemplo Se toman 10 mediciones del diámetro interno de los tornillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm) son: 74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74.002, 74.005, 74.001, 74.001, 74.002 y 74.004. El diagrama de puntos correspondiente se presenta en la figura 1. Haga comentarios con respecto a los datos. EJERCICIO Un artículo del Journal of Structural Engineering (Vol. 115, 1989) describe un experimento para probar la resistencia de tubos circulares con tapas soldadas en los extremos. Los primeros resultados obtenidos (en KN) son los siguientes: 96, 96, 102, 102, 102, 104, 104, 108, 126, 126, 128, 128, 140, 156, 160, 160, 164 y 170. Construya el diagrama de puntos para estos datos. ¿Sería recomendable el diagrama de puntos si se tiene

muchos datos y cada uno aparece una sola vez? MEDIA GEOMETRICA La media geométrica (MG), de un conjunto de números positivos se define como la n- del producto de los números. Por tanto, la fórmula para la media geométrica es dada por Existen dos usos principales de la media geométrica: 1. Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y 2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro. Ejemplo Supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿ Cual es la media geométrica de las ganancias?. En este ejemplo y así la media geométrica es determinada por y así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%. La media aritmética de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no es muy grande, hace que la media aritmética se incline hacia valores elevados. La media geométrica no se ve tan afectada por valores extremos. Ejercicios Se ha calculado que, durante el primer año de uso, cierta máquina sufre una depreciación del 16% respecto a su valor de costo, y que, durante el segundo año, la depreciación es del 9% del valor que tenía al comenzar dicho segundo año. Encuéntrese un tanto por ciento promedio de depreciación anual. MEDIA ARMONICA La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos: Este valor se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo. Observaciones sobre la media Geométrica y la media Armónica El empleo de la media geométrica o de la armónica equivale a una transformación de la variable en log ó , respectivamente, y el cálculo de la media aritmética de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variación muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto químico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocasiones llega incluso al 1% o más, puede ser ventajoso el empleo de log en lugar de para obtener una distribución más simétrica y que se aproxime más a una distribución normal. La media aritmética de log es el logaritmo de la media geométrica de , de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geométrica como valor medio de . 1. Construya la columna con los datos en Excel. 2. Ingrese a f y seleccione estadísticas y luego active MEDIA. GEOM o MEDIA. ARMO, entonces aparecerá una ventana en la que se le pide Número 1: ingrese el rango de los datos Número 2: ingrese el rango de otro conjunto de datos Ejemplo Supóngase que una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada. LA MEDIANA Sea una muestra aleatoria de

observaciones. Mediante la escritura se indica el elemento menor de la muestra; por el elemento que le sigue al menor y así sucesivamente hasta llegar a que representa al elemento mayor. La Mediana, de un conjunto de observaciones es el valor para el cual, cuando todas las observaciones se ordenan de manera creciente, la mitad de éstas es menor que este valor y la otra mitad mayor. Sea una muestra aleatoria de observaciones, la Mediana de estos datos se denota y se define de la siguiente manera: Ejemplo Suponga que se tienen las duraciones en horas de un cierto tipo de lámparas incandescentes 612,623, 666, 744, 883, 898, 964, 970, 983, 1003, 1016, 1022, 1029, 1058, 1085, 1088, 1122, 1135, 1197, 1201. Como hay 20 datos y se encuentran ordenados, entonces la mediana es dada por

Unidad 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVAMEDIDAS DE TENDENCIAUna medida de posición o de tendencia es un número que se toma como orientación para referirnos a un conjunto de datos.Media Aritmética muestral 

La media aritmética muestral representa el centro físico del conjunto de datos y se define como la suma de los valores observados, dividido por el total de observaciones. Si son observaciones numéricas, entonces la media aritmética de estas observaciones, se define como:Caso de datos agrupadosCuando se trata de datos agrupados (tabla de frecuencias) la media aritmética se puede aproximar mediante la expresión:donde y son respectivamente el punto medio y la frecuencia delintervalo. EjemploSe toman 10 mediciones del diámetro interno de los tornillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm) son: 74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74.002, 74.005, 74.001, 74.001, 74.002, 74.004. La media muestral del diámetro interno de los tornillos es

Caso de datos agrupados EjemploLa media aritmética para la siguiente tabla de frecuencias esta dada por

Clases Marca de clase ( ) Frecuencias ( )33-34 33.5 634-35 34.5 1335-36 35.5 2236-37 36.5 1237-38 37.5 638-39 38.5 5

EjerciciosCaso de datos agrupadosSuponga que la distancia recorrida por un automóvil marca A, antes de que presente la primera falla mecánica es dada en la siguiente tabla.

Distancia recorrida(miles de millas)

Frecuencia

0-20 620-40 1140-60 1660-80 2580-100 34100-120 46120-140 33140-160 16160-180 12180-200 2

Calcule la media aritmética e interprétela.

MEDIA PONDERADA En algunos casos cada una de las observaciones tiene una importancia relativa (peso) respecto de los demás elementos. Cuando esto sucede la media está dada por:en donde son los pesos o ponderaciones de las observaciones . Esta media se llama media aritmética ponderada.Propiedades de la Media Aritmética1. Una de las más importantes es que la suma de las desviaciones respecto de la media es igual a cero, esto es2. Otra propiedad importante es que si se tiene la media de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante y se le suma una constante , entonces la nueva media de los datos se obtiene multiplicando a la

media de los datos por y sumandoles Se suele interpretar esta propiedad como el hecho de que la media no se altera por una transformación lineal de escala.EjemploSi la asignatura A tiene un valor de 2 créditos y la asignatura B tiene un valor de 3 créditos. Entonces, para un estudiante que haya obtenido una calificación de 4 en la asignatura A y de 5 en la asignatura B, la nota promedio ponderado está dada porEjemploSuponga que en el año 2000 los empleados de una empresa industria tienen salario promedio de $2.500.000 y para el año 2001 se les hizo un aumento de 15 %. Además se les da una bonificación mensual de $50.000 por aniversario de la empresa. ¿ Cúal es el salario promedio del año 2001?.SoluciónSuponga que es la variable salario del año 2000 , luego el salario promedio se denota por .Ahora sea el salario del año 2001 dado por la variable que es el resultado de la transformación de la variable .y asi el salario promedio del año 2001 es

PRESENTACION DE DATOS CUALITATIVOSCuando se manejan variables cualitativas, las respuestas categóricas se pueden presentar en tablas de frecuencia o tablas resumen y después presentarlas en forma gráfica. En esta sección se presentan algunas gráficas de frecuente uso en la presentación de datos cualitativos.Tabla de frecuencia o tabla resumenLa construcción de una tabla de frecuencia para datos cualitativos requiere solo del conteo del número de elementos o individuos que caen dentro de cierta clase o categoría.Ejemplo Se pidió a cada miembro de una muestra de 20 personas, dueños de motocicletas, que dieran el nombre del fabricante de su máquina. Los datos aparecen registrados en la siguiente tablaTabla 5. Datos sobre los tipos de motocicleta

Persona Tipo de motocicleta1 HONDA2 OTRA

Persona Tipo de motocicleta3 HARLEY-DAVIDSON4 YAMAHA5 YAMAHA6 HARLEY-DAVIDSON7 YAMAHA8 YAMAHA9 HARLEY-DAVIDSON10 SUZUKY11 SUZUKY12 SUZUKY13 SUZUKY14 YAMAHA15 SUZUKY16 YAMAHA17 YAMAHA18 KAWASAKY19 SUZUKY20 KAWASAKY

La tabla de distribución de frecuencias se presentan a continuación.Tabla 6. Distribución de fecuencias de los tipos de motocicleta

Tipo de Motocicleta Número de personasHarley-Davinson 3Honda 1Kawasaki 2Otra 1Suzuki 6Yamaha 7

Total 20

Procedimiento para elaborar tablas de frecuencias en excel

DIAGRAMA DE BARRAS Este gráfico consiste de una serie de barras horizontales o verticales asignadas a cada categoría de la variable cualitativa cuyas alturas son dadas por la

frecuencia de la categoría. A continuación se dan algunas sugerencias para la elaboración de gráficas de barras.

1.     Para respuestas categóricas cualitativas, las barras se deben diseñar en forma horizontal y para respuestas categóricas numéricas, en forma vertical.

2.     Todas las barras deben ser del mismo ancho para no confundir al lector.3.     Los espacios entre barras deben ser igual a la mitad del ancho de las barras.4.     Se deben incluir las escalas y algunas indicaciones para que ayuden a la

lectura de las gráficas.5.     Los ejes de las gráficas se deben identificar en forma clara.6.     Se deben incluir dentro del cuerpo de la gráfica, o debajo, todo tipo de

``claves'' para la interpretación de las gráficas.7.     El título de la gráfica debe aparecer debajo del cuerpo.8.     Las notas de pie de página, o sobre fuentes, cuando sean necesarias, se deben

colocar después del título.

DIAGRAMAS CIRCULARESSon utilizados en aquellos casos donde nos interesa no sólo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.EjemploContinuando con el ejemplo de las motocicletas, el gráfico de pastel o torta o circular es dado en la figura 5.

Figura 5. Diagrama circular para los datos de las motocicletasPara construir el diagrama circular anterior, se parte del hecho de que el círculo encierra un total de 360 grados. Luego a cada categoría se le asigna sus grados en el círculo, mediante una regla de tres simple, por ejemplo para la característica Harley-Davinson, el sector correspondiente es:Procedimiento para construir diagramas circular o de pastel en ExcelElabore la tabla de frecuencias como se hizo anteriormente.Sombrear la tabla de frecuencias editada y escoger el icono de barras en el menú principal (barras superiores de la ventana de Excel). Esto muestra inmediatamente una ventana titulada Asistente para gráficos. paso 1 de 4:tipo de gráfico. Aquí elija circular y luego el tipo de diagrama circular deseado. Haga click en Siguiente y se presentan nuevas ventanas en la cuales debe entrar la información necesaria. Por último en la ventana de paso 4 hacer click en Finalizar.Ejercicios

El número de empleados de una empresa se distribuye porcentualmente de acuerdo con su tiempo de vinculación.

Tiempo de vinculación Porcentaje (%)Menos de 5 años 20Entre 5 y menos de10 años 50Entre 10 y menos de 15 años 15Entre 15 y menos de 20 10Más de 20 años 5

Construya el diagrama circular o de pastel y haga algún comentario de la gráficaSituaciones Propuestas 

1.     En cada una de las siguientes situaciones del ejercicio anterior además de realizar lo solicitado en el ejercicio, responda las siguientes preguntas:

1.     ¿Cuál es el valor aproximado al cual tienden los datos?2.     ¿Cuál es el comportamiento de la distribución de los datos?3.     ¿Parece ser que los datos son muy variables?4.     ¿ Cuál gráfico es más recomendado para presentar los datos?.

Solucione las siguientes situaciones:Ejercicio 2.1 de Mendenhall. Página 20 (gráficas de datos cualitativos)Ejercicio 1.16 página 15 de Montgomery. Propone la elaboración de un diagrama de ParetoEjercicio 2.7 página 23 de Mendenhall. Propone la elaboración de un diagrama de Pareto.Elabore un diagrama de flujo y un diagrama de causa-efecto para alguna situación de interés de tal manera que le permita identificar problemas.

OTRAS REPRESENTACIONES GRAFICAS Existen otras gráficas para presentar datos, las cuales no se abordaran en este curso. A continuación trataremos una de estas.Diagrama de Pareto

Los diagramas de pareto son una importante herramienta en los procesos de mejoramiento de la calidad. Alfredo Pareto, un economista italiano en la era 1848-1923, encontró que la riqueza se encuentra en pocas personas. Esta observación le llevo a formular el principio de Pareto " Un pequeño segmento de la población es dueño de la mayoría de las riquezas". Este principio aplica al mejoramiento de la calidad. En las organizaciones de manufactura o servicios, por ejemplo el problema de áreas o tipos de defectos siguen de distribuciones similares. De todos los problemas que ocurren, solamente unos

pocos son realmente frecuentes, los otros raramente ocurren. Así, agrupando las áreas de esos problemas en dos categorías, ellas son denominadas como la poco vital y la muy trivial. El principio de Pareto también imparte soporte para la regla de , que dice que el de los problemas (inconformidad o defectos) son ocasionados por el de las causas.Los diagramas de Pareto ayudan a identificar rápidamente las áreas críticas (aquellas que causan más problemas) que merecen inmediata atención. La identificación de esos problemas cuya resolución puede llevar a un sustancial mejoramiento en la calidad. Los diagramas de Pareto arreglan los problemas en orden de importancia, la "importancia", por ejemplo, puede referirse al impacto financiero de un problema o el número relativo de ocurrencia del problema. Los pasos para construir un diagrama de Pareto son:Paso 1: Determine la categorización del sistema de datos, es decir, por tipo de problema, tipo de inconformidad (crítica, grave, menor), o cualquier otra que también veamos apropiada.Paso 2:Determine como será juzgada la importancia relativa. Esto es, si se debería basar sobre valores monetarios o la frecuencia de ocurrencia.Paso 3:Establezca el rango de las categorías de la más importante a la menos importante.Paso 4:Calcule la frecuencia acumulativa de las categorías de los datos en el orden seleccionado.Paso 5: Dibuje un gráfico de barras, mostrando la importancia relativa de cada problema en orden descendente. Identificando lo poco vital que merece inmediata atención.Ejemplo Un problema de interés para la División de Economía Comercial (DEC) del Departamento de Trabajo de Estados Unidos. Cada año, la DEC monitorea la empresas que fracasan y clasifica cada fracaso en una de las seis siguientes categorías: (1) falta de experiencia en la línea de producción, (2) falta de experiencia gerencial, (3) experiencia desequilibrada, (4) incompetencia, (5) otras causas (como negligencia, fraude y desastres naturales) y (6) causas desconocidas. Estas informaciones se basan en las opiniones de acreedores informados y los informes de la DEC. En fechas recientes, la DEC determinó la causa de 1463 fracasos de empresas constructoras. Los fracasos se muestran en la siguiente tabla.Tabla 7. Distribución de frecuencias de los fracasos de empresas constructoras

Causas subyacentes FrecuenciaFrecuenciarelativa

Proporciónacumulativa

Incompetencia 698 0.477 0.477Experiencia desequilibrada 314 0.215 0.692Falta de experiencia gerencial 236 0.161 0.853Falta de experiencia de línea 111 0.076 0.929Causa desconocida 83 0.057 0.986Otras causas 21 0.014 1.000TOTALES 1463 1.000

Figura 6. Diagrama de pareto para la tabla

DIAGRAMA DE FLUJO El diagrama de flujo muestra la secuencia de eventos en un proceso. Ellos son usados para operaciones de manufactura y servicio. Los diagramas de flujos son frecuentemente usados para diagramar procedimientos operacionales que simplifican el sistema. Ellos pueden identificar embotellamientos, pasos redundantes, actividades que no adicionan valor. Un diagrama de flujo real puede ser construido usando el conocimiento del personal que está directamente relacionado con un proceso particular . Información importante de los procesos es obtenida a través de la construcción de los diagramas de flujo. En la figura 3, se presenta un diagrama de flujo para el procesamiento de nuevos pedidos. El diagrama de flujo identifica donde pueden ocurrir demoras, por ejemplo , cuando una orden de compra no ha sido recibida.

Figura 8. Diagrama de flujo para el procesamiento de un orden de pedido

DIAGRAMA DE CAUSA Y EFECTO Los diagramas de causa efecto fueron desarrollados por Kaoru Ishikawa en 1943 y son frecuentemente llamados Diagramas de Ishikawa o diagramas de espina por su apariencia gráfica. Básicamente los diagramas de causa y efecto son usados para identificar y listar sistemáticamente las diferentes causas que pueden ser atribuidas a un problema (o un efecto) . Esos diagramas ayudan a determinar cuáles de las causas tienen mayor efecto. Un diagrama de causa y efecto puede ayudar en la identificación del porque un proceso se sale de control. Alternativamente, si un proceso es estable, los diagramas puede ayudar a la gerencia en la decisión sobre que causas deben ser investigadas para mejoramiento de procesos. Existen tres aplicaciones principales de los diagramas de causa y efecto: enumeración de causa, análisis de dispersión y análisis de procesos.Enumeración de causasEs una de las técnicas gráficas más ampliamente usada en el control de calidad y el mejoramiento. Es usualmente desarrollada a través de una sesión de ideas geniales en la cual todos los posibles tipos de causas (por más remotas que sean) son listadas para mostrar su influencia sobre los problemas (o efectos) en cuestión.Los procedimientos consisten en primero definir el problema o la característica de calidad seleccionada para el estudio de tal manera que cada uno conozca que inicia la línea. Luego se registra la causa más grave que influye sobre la característica. En un proceso de manufactura, por ejemplo, la causa más grave para una irregularidad (por decir la longitud no reúne  las especificaciones) podrían ser el equipo, operador, métodos, ambientes y otras como estas. Posteriormente se listan las subcausas  dentro de las más graves. Antes de evaluar cada causa se deben definir, identificar claramente y evaluar métodos apropiados de medida. Seguidamente, una causa es escogida y analizada. Esto se hace sistemáticamente, de tal manera que la causa predominante es analizada primero.Una ventaja obtenida al usar el diagrama de causa y efecto, es que el método de su construcción permite un mejor entendimiento de los componentes de los procesos y sus relaciones, y así un mejor entendimiento del mismo.EjemploLa resistencia de una viga de cemento para la construcción de un puente podría ser la característica de calidad que representa el efecto principal. Las proporciones de varios ingredientes usados para hacer el cemento son causas, en la categoría de material, que tiene impacto sobre la resistencia de la viga. Ver la figura 2

Figura 7. Diagrama de causa-efecto para la viga de un puente

EL DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS TABLA DE FRECUENCIASUna tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica en que se han dividido los datos. A continuación se dan algunas definiciones relacionadas en la construcción de la tabla de frecuenciasDefinición 1Un intervalo de clase, es cada uno de los rangos de valores en que se ha decidido agrupar parcialmente los datos con el propósito de hacer un resumen de ellos.Definición 2El número de mediciones que quedan dentro del intervalo se llama frecuencia del intervalo y se denota por . La diferencia entre el extremo mayor y el extremo menor del intervalo se llama longitud o ancho del intervalo.Definición 3La marca de clase, es el punto medio del intervalo de la clase, se denota por Su valor es obtenido al promediar los extremos del intervalo.Definición 4La frecuencia absoluta acumulada de la clase , es el número resultante de sumar la frecuencia de la clase con la frecuencia de las clases antecedentes y se denotaDefinición 5La frecuencia relativa de la clase es el cociente entre la frecuencia de la clase y el número de datos total, se denota por .Definición 6La frecuencia acumulada relativa, de la clase es el cociente entre la frecuencia acumulada de la clase y el número de observaciones, se denota porTodas las anteriores clases de distribuciones reciben el nombre de distribuciones empíricas.  Sugerencias para la construcción de la tabla de distribución de frecuencias  La construcción de una tabla de frecuencias para datos cuantitativos presenta como su punto de mayor importancia la determinación del número de intervalos (clases) que la conformaran. Este número depende de la cantidad y de la naturaleza de los datos a resumir y del propósito que se busca con el

resumen. A continuación se presentan ciertas pautas para la construcción de una tabla de frecuencias.1. El número de intervalos debe escogerse de acuerdo con el número de datos.2. Una vez escogido el número de intervalos, se determina la longitudque deben tener los intervalos, dividiendo el rango en el número de clases o intervalos. Rango/Número de clases.3. El primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor.Para los datos del ejemplo 1, constrúyase una tabla de frecuencias.

EL DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJASEl histograma es una técnica gráfica utilizada para presentar gran cantidad de datos. Se le atribuye a Karl Pearson en 1895. El histograma puede ser: de frecuencias absolutas, de frecuencias relativas, de frecuencias absolutas acumuladas y de frecuencias relativas acumuladas. Para la construcción del histograma se requiere elaborar una tabla de distribución de frecuencias, lo cual se desarrollará a continuación.HistogramasEl gráfico de la distribución de frecuencias, se llama histograma. El histograma de frecuencias es una representación visual de los datos en donde se evidencian fundamentalmente tres características: forma, acumulación o tendencia posicional y dispersión o variabilidad.El histograma (de frecuencias) en si es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas de la siguiente manera:

1.     Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo.

2.     Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical y corresponden a las frecuencias de los intervalos.

3.     Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases.PolígonoOtro recurso gráfico para ilustrar el comportamiento de los datos es el polígono de frecuencias. Este se construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas, al colocar sobre cada marca de clase un punto a una altura igual a la frecuencia asociada a esa clase; luego se unen dichos puntos por segmentos de recta.Para elaborar el Polígono en Excel, haga click derecho sobre el histograma y elija Tipo de gráfico, lo cual despliega una ventana, donde usted debe elegir la opción Líneas (Elija como subtipo de gráfico el que aparece por defecto). Luego haga click en Aceptar.

Otra forma de polígono es la Ojiva, la cual es el polígono que se obtiene de unir por segmentos de recta los puntos situados a una altura igual a la frecuencia acumulada a partir de la marca de clase como se hace con el polígono de frecuencia.Ejemplo La siguiente tabla resume la demanda diaria de cierto producto durante 40 días seguidosTabla 2. Distribución de frecuencias de la demanda diaria de un producto. 

Intervalo4.5-9.5 49.5-14.5 1114.5-19.5 1319.5-24.5 1024.5-29.5 2

La tabla anterior corresponde a una frecuencia para datos cuantitativos. Los distintos intervalos son: (4.5, 9.5], (9.5, 14.5], (14.5, 19.5], (19.5, 24.5], (19.5, 24.5], (24.5, 29.5]. La longitud de los intervalos es 5; los números 4, 11, 13, 10 y 2, representan las respectivas frecuencias.

A continuación se presenta el porcentaje de algodón en un material utilizado para la fabricación de camisas para caballeros.

1.     Construya: el diagrama de tallos y hojas, el histograma, el polígono y la ojiva.2.     ¿ A que valor se puede aproximar la tendencia de los datos?.3.     ¿ Parecen ser los datos muy variables?.4.     ¿ Los datos son más frecuentes cuando los valores son pequeños?.5.     ¿Es posible conocer con la ojiva el valor aproximado del número para el cual

el 50% de  los porcentaje de algodón es inferior a ese número? 

¿Sería recomendable el diagrama de puntos si se tiene muchos datos y cada uno aparece una sola vez?PRESENTACION DE DATOS CUANTITATIVOSCuando se recogen datos ya sean de una muestra o población se deben presentar en forma resumida, elaborando tablas y gráficas apropiadas. Así, de éstas se pueden extraer las principales características de los datos. En esta sesión se mostrará cómo se pueden organizar y presentar conjuntos de datos,

tanto cuantitativos como cualitativos en forma de tablas y gráficas apropiadas para su análisis.EL DIAGRAMA DE PUNTOSEl diagrama de puntos es una gráfica muy útil para visualizar un conjunto pequeño de datos; por ejemplo, de unas 20 observaciones. La gráfica permite ver rápidamente la tendencia y variabilidad de los datos. Para su elaboración dibuje una línea horizontal demarcada con los valores encontrados en los datos, luego coloque tantos círculos pequeños rellenos (o esfera) encima uno de otro sobre el número del eje correspondiente al dato. Ejemplo Se toman 10 mediciones del diámetro interno de los tornillos para los pistones del motor de un automóvil. Los datos (en mm) son: 74.001, 74.003, 74.015, 74.000, 74.002, 74.005, 74.001, 74.001, 74.002 y 74.004. El diagrama de puntos correspondiente se presenta en la figura 1.Haga comentarios con respecto a los datos.EJERCICIOUn artículo del Journal of Structural Engineering (Vol. 115, 1989) describe un experimento para probar la resistencia de tubos circulares con tapas soldadas en los extremos. Los primeros resultados obtenidos (en KN) son los siguientes: 96, 96, 102, 102, 102, 104, 104, 108, 126, 126, 128, 128, 140, 156, 160, 160, 164 y 170. Construya el diagrama de puntos para estos datos.¿Sería recomendable el diagrama de puntos si se tiene muchos datos y cada uno aparece una sola vez?

 MEDIA GEOMETRICA La media geométrica (MG), de un conjunto de números positivos se define como la n- del producto de los números. Por tanto, la fórmula para la media geométrica es dada porExisten dos usos principales de la media geométrica:1. Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y2. Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.EjemploSupóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿ Cual es la media geométrica de las ganancias?.En este ejemplo y así la media geométrica es determinada pory así la media geométrica de las utilidades es el 3.46%.

La media aritmética de los valores anteriores es 3.75%. Aunque el valor 6% no es muy grande, hace que la media aritmética se incline hacia valores elevados. La media geométrica no se ve tan afectada por valores extremos.Ejercicios

Se ha calculado que, durante el primer año de uso, cierta máquina sufre una depreciación del 16% respecto a su valor de costo, y que, durante el segundo año, la depreciación es del 9% del valor que tenía al comenzar dicho segundo año. Encuéntrese un tanto por ciento promedio de depreciación anual.MEDIA ARMONICA La media armónica se define como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos:Este valor se emplea para promediar variaciones con respecto al tiempo.Observaciones sobre la media Geométrica y la media ArmónicaEl empleo de la media geométrica o de la armónica equivale a una transformación de la variable en log ó , respectivamente, y el cálculo de la media aritmética de la nueva variable; por ejemplo, si la variable abarca un campo de variación muy grande, tal como el porcentaje de impureza de un producto químico, por lo general alrededor del 0.1%, pero que en ocasiones  llega incluso al 1% o más, puede ser ventajoso el empleo de log en lugar de para obtener una distribución más simétrica y que se aproxime más a una distribución normal. La media aritmética de log es el logaritmo de la media geométrica de , de forma que la media empleada es equivalente al empleo de la media geométrica como valor medio de .1. Construya la columna con los datos en Excel.2. Ingrese a f y seleccione estadísticas y luego active MEDIA. GEOM o MEDIA. ARMO, entonces aparecerá una ventana en la que se le pideNúmero 1: ingrese el rango de los datosNúmero 2: ingrese el rango de otro conjunto de datosEjemploSupóngase que una familia realiza un viaje en automóvil a un ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad media realizada.

LA MEDIANA Sea una muestra aleatoria de observaciones. Mediante la escritura se indica el elemento menor de la muestra; por el elemento que le sigue al menor y así sucesivamente hasta llegar a que representa al elemento mayor.

La Mediana, de un conjunto de observaciones es el valor para el cual, cuando todas las observaciones se ordenan de manera creciente, la mitad de éstas es menor que este valor y la otra mitad mayor.Sea una muestra aleatoria de observaciones, la Mediana de estos datos se denota y se define de la siguiente manera:EjemploSuponga que se tienen las duraciones en horas de un cierto tipo de lámparas incandescentes612,623, 666, 744, 883, 898, 964, 970, 983, 1003, 1016, 1022, 1029, 1058, 1085, 1088, 1122, 1135, 1197, 1201.Como hay 20 datos y se encuentran ordenados, entonces la mediana es dada por