Eindhoven University of Technology

MASTER

In vivo bepaling van de wandverschuiving in 1D, 2D en 3D met behulp van magnetischeresonantie

Melman, N.A.

Award date:1998

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

Afstudeerbegeleider: ir. D.W. Kaandorp

Afstudeerhoog leraar: prof.dr.ir. P.F.F. Wijn

In vivo bepaling van de wandafschuiving in 1 D, 2D en 3D met behulp van

Magnetische Resonantie

N.A. Meiman

februari 1998 NF/KFM 98-06 AV

samenvatting

SAMENVATTING Magnetische Resonantie Imaging (MRI) is een afbeeldingstechniek waarmee anatomische afbeeldingen van de bloedvaten verkregen kunnen worden. Daarnaast biedt MRI de mogelijkheid om kwantitatief en tijdsafhankelijk bloedstroomsnelheden te bepalen. Dit wordt een cardiac triggered Quantitative Flow meting genoemd. Deze metingen kunnen in 2D en 3D worden uitgevoerd. Men kan hierbij alle cartesische componenten van de snelheden bepalen; dus het totale snelheidsvectorveld als functie van de tijd en plaats.

In dit onderzoek is een methode beschreven waarop een dergelijke 3D-dataset gebruikt kan worden voor de bepaling en visualisatie van de wandafschuiving (plaatsafgeleide van het snelheidsprofiel in radiale richting) op een 3D-vaatboom. Deze wandafschuiving vormt een belangrijke parameter bij de ontwikkeling van de vaatziekte atherosclerose. De methode geeft in gebieden waar de grenslaag loslaat een onderschatting die afhankelijk is van de aanwezige wervelstroming.

De gebruikte methode is onderzocht in "eenvoudigere" lD- en 2D-datasets. Waar mogelijk zijn de data vergeleken met ultrageluidsdata van het Academisch Ziekenhuis Maastricht zoals die zijn gemeten bij dezelfde vrijwilligers. Er is een kwantitatief en kwalitatief goede overeenkomst tussen snelheids- en afschuivingdata waargenomen. Hierbij is gemiddeld over twee posities op de vaatwand. Het blijkt dat onzekerheid in de snelheidsbepaling sterk doorwerkt in de bepaling van de wandafschuiving. Zonder lokale middeling blijkt de totale meetonzekerheid hierbij groter dan de waargenomen fysiologische spreiding op een transversale vaatwanddoorsnede van één vrijwilliger. De kwantitatieve waarde van de bepaalde wandafschuiving is derhalve niet bruikbaar.

Er is een 3D-acquisitie voor de totale tijdgemiddelde snelheidsvector ontwikkeld voor de carotisbifurcatie, die qua tijdsduur, plaatsresolutie en signaal-ruis-verhouding voldoet om, zonder exacte bepaling van de vaatwandpositie, een kwalitatief beeld van de afschuivingsverdeling te verkrijgen. De gevisualiseerde afschuiving in het 3D-meetvolume laat een lagere afschuiving zien op plaatsen die bekend staan als voorkeursplekken voor de ontwikkeling van de ziekte atherosclerose, hetgeen in overeenstemming is met de theorie over de vorming van de atherosclerose. De waarde in de klinische praktijk van een dergelijk kwalitatief beeld is echter twijfelachtig.

1

samenvatting

2

inhoud

Inhoud HOOFDSTUK 1 INLEIDING ......•.•...•..................................•...................•.............•.•.................... 5

HOOFDSTUK 2 ATHEROSCLEROSE EN HEMODYNAMIEK •...•............................•..•..•..... 9

2.1 lNLEIDING ............................................................................................................................... 9 2.2 ATHEROSCLEROSE ................................................................................................................. 9

2.2.1 Lage Wal/ Shear Stress-hypothese ............................................................................... 1 0 2.3 STROMINGSVERGELIJKINGEN ............................................................................................... 11

2.3.1 Bloedstromingen in een rechte buis ............................................................................. 12 2.3.2 Tijdgemiddelde snelheidsprofielen in een rechte buis ................................................. 13

2.4 WALLSHEARRATE .............................................................................................................. 15

HOOFDSTUK 3 MAGNETIC RESONANCE .............................•...•.............•.•..•.•....•.....•.•........ 19

3.1 lNLEIDING ............................................................................................................................. 19 3.2 HET PRINCIPE VAN MAGNETIC RESONANCE lMAGING ........................................................ 19 3.3 HET PRINCIPE VAN MR ANGIOGRAPHY ............................................................................... 22

3.3.1 Quantitative Flow Phase Contrast Angiography ......................................................... 22 3.3.1.1 Cardiac triggering ................................................................................................ 25

3.3.2 Fouten bij Quantiralive Flow Phase Contrast Angiography ....................................... 25 3.3.2.1 Ruis ...................................................................................................................... 25 3.3.2.2 Aliasing ................................................................................................................ 26 3.3.2.3 Intra-voxel dephasing ........................................................................................... 27 3.3.2.4 Partial volume effecten ........................................................................................ 27 3.3.2.5 Verschuivingartefact ............................................................................................ 29

HOOFDSTUK 4 BEPALINGVAN DE W ALL SHEAR RA TE MET BEHULPVAN MR .. 31

4.1 lNLEIDING ............................................................................................................................. 31 4.2 SHEAR RATE ......................................................................................................................... 32 4.3 SHEAR RATE BEPALING IN 1D, 2D OF 3D ............................................................................ 34

4.3.1 Shear Rate in 1D .......................................................................................................... 34 4.3.1.1 Partial volume effecten en dynamische Wall Shear Rate bepaling ...................... 35 4.3.1.2 Intermezzo: Dynamische of tijdgemiddelde Shear Rate ...................................... 36

4.3.2 Shear Rate in 2D .......................................................................................................... 37 4.3.3 Shear Rate in 3D .......................................................................................................... 38

4.4 BEPALING VAN WALL SHEAR RATE OP EEN 3D-VAATBOOM: DE PRAKTIJK ....................... .44

HOOFDSTUK 5 FOUTEN BIJ SHEAR RATE BEPALING MET MR •......•.•.•............•..•...... 47

5.1 lNLEIDING ............................................................................................................................. 47 5.2 FOUT IN DE BEPALINGVAN DE SHEAR RA TE BIJ EEN 1D-PROFIEL ...................................... .48

5.2.1 Dynamisch .................................................................................................................... 48 5.2.2 Tijdge1niddeld .............................................................................................................. 51

5.3 FOUT BIJ DE BEPALING VAN DE SHEAR RATE IN 3D ............................................................ 52 5.3.1 Tensormethode ............................................................................................................. 53 5.3.2 Gradiëntlnethode .......................................................................................................... 55

3

samenvatting

HOOFDSTUK 6 RESULTATEN ................................................................................................. 57

6.1 INLEIDING ............................................................................................................................. 57 6.2 10-PROFIELEN ...................................................................................................................... 58

6.2.1 Shear Rate profielen ..................................................................................................... 58 6.2.2 Wall shear rate bepaling .............................................................................................. 59

6.2.2.1 Dynamisch gedrag ................................................................................................ 59 6.2.2.2 Tijdgemiddeld gedrag .......................................................................................... 61

6.3 20-PROFIELEN ...................................................................................................................... 64 6.3.1 Secondaire strolningen ................................................................................................. 64 6.3.2 Bepaling van de WSR ................................................................................................... 65

6.4 3D-VOLUMES ........................................................................................................................ 70 6.4.1 3D-visualisatie van de SR ............................................................................................ 71

6.4.1.1 Slice imaging ........................................................................................................ 71 6.4.1.2 Rendering ............................................................................................................. 73

HOOFDSTUK 7 DISCUSSIE, CONCLUSIE& AANBEVELINGEN ....•........••.......••.......•.••.... 77

7.1 DYNAMISCHEWALLSHEARRATEIN 10 ............................................................................. 77 7.2 TIJDGEMIDDELDE WALL SHEAR RATE IN 10, 20 EN 30 ..................................................... 77 7.3 CONCLUSIES ......................................................................................................................... 78 7.4 AANBEVELINGEN .................................................................................................................. 79

LITERATUUR ............................................................................................................................... 81

APPENDIX A ................................................................................................................................. 83

APPENDIX B ................................................................................................................................. 85

APPENDIX C ................................................................................................................................. 87

APPENDIX D ................................................................................................................................. 91

APPENDIX E ................................................................................................................................. 93

TECHNOLOGY ASSESSMENT ..............•..........................•.........•....•.....••.•.•......•.••......••......••.•• 95

4

inleiding

Hoofdstuk 1 INLEIDING

Vaataandoeningen in het algemeen en atherosclerose in het bijzonder vormen de belangrijkste doodsoorzaak in de westerse wereld [DIA 91]. Atherosclerose in zijn algemene vorm is het proces dat leidt tot aantasting van de slagadervaatwand. Als gevolg hiervan kan er een pathologische vernauwing (stenose) of zelfs een gehele afsluiting (occlusie) van het bloedvat ontstaan. De mate waarin de doorsnede van het bloedvat (het lumen) hierdoor wordt aangetast is een belangrijk gegeven bij de verdere behandeling van patiënten [DOR 89], [EUR 91]. Het afbeelden van bloedvaten en het onderzoek aan de hemodynamiek vormen derhalve een belangrijk terrein van medisch angiografisch onderzoek. Hierbij verdienen vooral bifurcaties (vaatsplitsingen) speciale aandacht, aangezien dat dé voorkeursplaatsen zijn voor de ontwikkeling van atherosclerose [STR 93].

Er zijn verschillende methoden om de hemodynamiek in de bloedvaten vast te leggen. Een mogelijke procedure is met behulp van gemeten drukken en veronderstelde gemiddelde geometrieën vanuit theoretische stromingsmodellen de hemodynamische parameters afschatten [REU 91], [PAL 97]. Echter, de geometrie van de vaatboom verschilt van individu tot individu significant. Het zijn juist deze verschillen die vaak de oorzaak zijn van medisch interessante, afwijkende stromingen en dus afwijkende hemodynamiek. Met het gebruik van gemiddelde geometrieën boet men dus in aan het vermogen om de hemodynamiek per individu nauwkeurig vast te kunnen leggen. Een ander nadeel van deze methode is dat vooral die gebieden die vanuit medisch oogpunt interessant zijn, zoals bifurcaties en gekromde vaten, complexe stromingen bevatten die niet makkelijk meer te beschrijven zijn met bovengenoemde theoretische modellen. Afgezien daarvan vereist deze methode invasieve drukmetingen hetgeen belastend is voor de patiënt [OSH 95]. Het biedt derhalve grote voordelen om de hemodynamiek van een patiënt op directe wijze te meten. Magnetic Resonance Angiography is een techniek die bij uitstek de mogelijkheid biedt om per individu non-invasief zowel de stroming in als de geometrie van een vaatboom te bepalen zonder verdere veronderstellingen.

In de medische wereld kent men al (Doppler) ultrageluid en röntgen Digital Subtraction Angiography (DSA) als diagnostische middelen voor bloedbaanonderzoek. Hierbij maakt DSA gebruik van verschillen in absorptie van röntgenstraling tussen omliggend weefsel en bloed met een contrastvloeistof (jodium), om de anatomie van het vat af te beelden. Ultrageluid maakt gebruik van Doppier-verschuivingen van ingestraalde geluidsgolven om de hemodynamiek vast te leggen. MRA biedt om de volgende redenen vaak een welkome aanvulling hierop. Waar ultrageluid afhaakt bij dieper liggende weefsels door een gebrek aan indringdiepte van de geluidsgolven kan MRA in het hele lichaam worden toegepast. De bij DSA noodzakelijke catheter die moet worden aangebracht in de arteriën om het contrastmiddel in de arteriën te spuiten, brengt het risico met zich mee dat de vaatwand beschadigd wordt en er bloedpropjes kunnen losschieten. Deze bloedpropjes kunnen vervolgens vastlopen in de haarvaten van de hersenen en daar de zuurstofvoorziening in gevaar brengen. De kracht van MRA schuilt in het feit dat men gelijktijdig zonder al deze nadelen de anatomie én de hemodynamiek van de vaatboom kan meten. Toch bieden zowel ultrageluid als röntgen natuurlijk ook specifieke voordelen ten opzichte van MRA. Ultrageluid bijvoorbeeld is een relatief goedkope modaliteit die in korte tijd, zelfs real-time, afbeeldingen genereert in tegenstelling tot een dure MR-scanner, waarbij het maken van afbeeldingen bovendien al snel enkele minuten kost. DSA is om historische redenen de "gouden standaard" [DOR 89]. Dat wil zeggen dat de techniek al geheel is ingeburgerd in de medische

5

inleiding

diagnostiek. De interpretatie van deze beelden is eenduidig. MRA-afbeeldingen kunnen door allerlei complexe artefacten moeilijk en niet altijd even eenduidig te interpreteren zijn.

Er zijn inmiddels al vele methoden ontwikkeld om een indruk te krijgen van de conditie van een vaatstelsel en de aangetaste plekken te lokaliseren en kwalificeren. Voor het lokaliseren en kwalificeren kan men grofweg twee wegen onderscheiden. Ten eerste kan men met behulp van afbeeldingstechnieken als DSA, of Magnetic Resonance Angiography (MRA) het lumen afbeelden. Met beide technieken is het mogelijk om de afbeelding van de vaatboom direct visueel te controleren op de aanwezigheid van stenoses. Deze methoden zijn gericht op de anatomie van het vaatstelsel. Ten tweede kunnen metingen gedaan worden aan de bloedstroming zelf, zoals het meten van snelheid en debiet (flow) als functie van de tijd. Uit de vorm van de gemeten (flow)golfvormen kan men een indirect beeld krijgen van de toestand van het proximale (stroomopwaartse) of distale (stroomafwaartse) traject. Dergelijke metingen worden nu veelal uitgevoerd met ultrageluid. Er zijn verschillende indices ontwikkeld om de mate van stenoses te kwantificeren [SME 96]. Tot op heden echter, worden dergelijke indices in de klinische praktijk te weinig betrouwbaar geacht voor het vaststellen van de aan- of afwezigheid van significante arteriële obstructies in bijvoorbeeld de benen [KIT 95]. Met metingen van de sytolische bloedrukken in de enkels kan men wel de voor de kliniek gewenste betrouwbaarheid bereiken.

Een mogelijk interessante bemadynamische parameter vormt verder de wandschuifspanning (Wall Shear Stress, WSS). Volgens de huidige inzichten zou de aanwezigheid van een lage tijdgemiddelde WSS, of een in de tijd sterk oscillerende WSS de vorming van atherosclerose bevorderen [CAR 71], [NER 92]. Deze hypothese verklaart bekende voorkeursplekken voor de vorming van atherosclerose in de mens, namelijk achter bifurcaties van de vaatboom. Hier ontstaan als gevolg van loslaatverschijnselen gebieden waar het bloed nagenoeg stilstaat en dus een lage WSS heerst [VOS 97]. Let wel, de WSS kan dus niet zo zeer gebruikt worden als diagnostiseerbare parameter om atherosclerose te lokaliseren, maar dient vooral gezien te worden als parameter bij de vorming van atherosclerose.

De eerste stap in de richting van het bepalen van de WSS bij patiëntenpopulaties is het meten van de Wall Shear Rate (de plaatsafgeleide van de snelheid op de vaatwand, de afschuiving) bij vrijwilligers [SAM 97], [OSH 95]. Sedert enkele jaren beschikt het Sint Joseph Ziekenhuis in Veldhoven over een Magnetic Resonance (MR) scanner (Philips TlO-NT). In samenwerking met de Technische Universiteit Eindhoven wordt er onderzoek verricht aan verschillende MR-technieken. Dit onderzoek zal zich toespitsen op de toepassing van MRA-technieken, waarmee de bemadynamiek van de bloedbaan wordt vastgelegd. Met name de toepassing van een bepaalde scantechniek, cardiac triggered 3D Phase Contrast Angiography (PCA) [BEC 95], voor de bepaling van de WSR is hierbij onderzocht. Met deze techniek is het mogelijk om een meetvolume, grofweg ter grootte van 100x200x150 mm3

, op te delen in volume-elementen (voxels) ter grootte van ongeveer 0,8x0,8x0,8 mm3

• Van ieder van deze voxels wordt vervolgens de signaalintensiteit bepaald. Hiermee wordt het anatomische beeld van het vat gevormd. In ieder voxel wordt tevens de snelheid in de drie cartesische richtingen bepaald. Hiermee is het snelheidsvectorveld vastgelegd. Tevens kan met behulp van cardiac triggering op verschillende momenten in de hartslag een afbeelding gemaakt worden. Men kan aldus het volledige snelheidsvectorveld als functie van de tijd bepalen. De vraag: hoe, met welke ruis, scantijd en plaats- en tijdresolutie dan gemeten dient te worden voor de bepaling van de WSR in 3D, staat centraal. Hiervoor is naast een MRI-scanner gebruik gemaakt van het medisch visualisatiepakket Analyze™. Met dit pakket kunnen 3D-datasets

6

inleiding

ingeladen worden en vervolgens bewerkt met zelf geschreven C-routines. Tenslotte kunnen de resultaten gevisualiseerd worden.

Het verslag is als volgt opgebouwd. Hoofdstuk 2 verschaft de nodige theoretische basis in de hemodynamica, waarbij in het bijzonder ingegaan wordt op de (Wall) Shear Rate (SR). Vervolgens worden in hoofdstuk 3 de principes van de MR-techniek behandeld. De methode waarmee de (Wall) SR bepaald kan worden met behulp van MR wordt besproken in hoofdstuk 4. De opzet is telkens dat wordt begonnen in het "eenvoudige" lD-geval om vervolgens via 2D­metingen naar het uiteindelijke doel van 3D-bepalingen te gaan. Hierbij worden de optredende problemen en gekozen oplossingen uitgebreid behandeld. In hoofdstuk 5 zal een foutenanalyse worden gegeven van de voorgestelde methode om in 3D de WSR te bepalen. Vervolgens worden de bereikte resultaten behandeld in hoofdstuk 6. Hierbij zal ook aandacht worden besteed aan de mogelijke visualisatietechnieken. Hoofstuk 7 rondt af met een discussie, enkele conclusies en aanbevelingen voor toekomstig onderzoek.

7

inleidin~:

8

hemodynamica en atherosclerose

Hoofdstuk 2 ATHEROSCLEROSE EN

HEMDDYNAMIEK

2.1 Inleiding

In dit hoofdstuk wordt de noodzakelijke theoretische achtergrond verschaft in de (bloed)stromingsleer. De voor dit onderzoek van belang zijnde stationaire stromingsprofielen in rechte buizen worden afgeleid. Als eerste wordt echter de vaatziekte atherosclerose nader beschreven. Hiervoor is het nodig kort in te gaan op de morfologie van bloedvaten. Van groot belang hierbij is de toestand van de slagadervaatwand, verder te noemen vaatwand en de wandschuifspanning, verder te noemen Wall Shear Stress (WSS). Deze parameter blijkt lineair afhankelijk van de wandafschuiving, de Wall Shear Rate (WSR).

2.2 Atherosclerose

De vaatwand is opgebouwd uit verschillende cellagen. De binnenste laag wordt de intima genoemd. Deze laag is opgebouwd uit langwerpige endotheelcellen (de beschermlaag aan de binnenkant van het vat, ook wel endothelium genoemd) en collageen (bestanddeel van bindweefsel). Daaromheen zit de media die onder andere gladde spiercellen (smooth muscle cells, SMCs) bevat. De buitenste laag bestaat voornamelijk uit langgerekte elastische vezels en wordt de adventitia genoemd. Een en ander is weergegeven in figuur 2.1.

Endothelium

Lumen

intima

media

SM Cs adventitia

figuur 2.1 De opbouw van de vaatwand [DIA 91].

Bij het ontstaan van atherosclerose (in de volksmond: aderverkalking) spelen de intima en media een cruciale rol. De eigenschap dat de SMCs naar de intima kunnen migreren en zich aldaar kunnen vermenigvuldigen, wordt hierbij aangewezen als de oorzaak voor de vorming van

9

atherosclerose en henwdynamiek

atherosclerose [DIA 91]. Atherosclerose is de algemene verzamelnaam voor pathologische afwijkingen van de vaatwand. Deze afwijking uit zich uiteindelijk in een lokale vernauwing van het bloedvat of zelfs totale afsluiting. Men spreekt dan van een stenose respectievelijk een occlusie. Dit proces van atherosclerose start vanaf de geboorte van de mens en kan opgesplitst worden in verschillende ontwikkelingsfases [STR 93]. Fase één is de vorming van Fatty Streaks; deze worden al gevonden bij kinderen op jonge leeftijd (±10 jaar). Hierbij zijn bifurcaties (vaatsplitsingen) bekende voorkeursplekken. De Fatty Streak bestaat uit een opeenhoping van SMCs in de intima, omgeven door lipiden (vetten, zoals cholesterol). De Fatty Streaks ontwikkelen zich tot Fibrous Plaques die duidelijk uitpuilen in het bloedvat. Het endothelium is dan echter nog steeds intact. De Fibrous Plaques, bestaande uit SMCs, collageen en fagocyten (zogenaamde eetcellen), treft men over het algemeen niet aan vóór het 15e-20e levensjaar. Dit zijn over het algemeen de eerste tekenen dat de ziekte atherosclerose zich ontwikkelt. In de laatste fase ontstaat een Complicated Lesion. Dit wordt gevormd door calcificatie, ontsteking of vorming van een thorombus, bij een Fibrous Plaque. Dit wordt een stenose genoemd en kan uiteindelijk leiden tot een occlusie (afsluiting van het vat).

Een van de belangrijke taken van bloedtransport is de zuurstofvoorziening van de verschillende weefsels. Een stenose brengt deze op twee manieren in gevaar. Ten eerste kan het, als het optreedt in de coronaire hartvaten, leiden tot een zuurstoftekort van de hartspier en uiteindelijk uitmonden in een hartinfarct. Als het optreedt in de femoraliën (beenslagader) kan het leiden tot een zuurstoftekort in de benen (perifere ischemie). Het tweede dreigende gevaar ontstaat als een stenose optreedt in één van de carotiden (halsslagaders) die de hersenen van bloed voorzien. De zuurstoftoevoer van de hersenen komt dan niet direct in gevaar, omdat deze overgenomen wordt door andere slagaders. Er kan echter wel een thrombus (bloedprop) losschieten van de stenose die vervolgens in de kleine haarvaten van de hersenen vast komt te zitten. Hierdoor komt de zuurstofvoorziening van een gedeelte van de hersenen alsnog in gevaar. Men spreekt van een herseninfarct.

Bepaalde risicofactoren vergroten het tempo van de vorming van atherosclerose, zonder dat voor alle factoren een afdoende verklaring bestaat. Bekende voorbeelden hiervan zijn [DIA 91]: hoog cholesterol, zwaarlijvigheid, roken, gebrek aan lichaamsbeweging, hypertensie (hoge bloeddruk), diabetes en genetische factoren. Het effect van alcohol op de vorming van atherosclerose is nog niet duidelijk. Er worden in de literatuur zowel positieve als negatieve correlaties tussen alcoholgebruik en atherosclerose gemeld [DIA 91].

2.2.1 Lage Wall Shear Stress-hypothese

Door de jaren heen zijn vele theorieën over de oorzaak van atherosclerose geformuleerd [SID 97]. Al deze theorieën zoeken een verklaring voor het lokale karakter van atherosclerose. Géén van de theorieën geeft echter een complete verklaring voor alle types atherosclerose. Echter, een wijdverbreide en algemeen geaccepteerde verklaring is de lage Wall Shear Rate hypothese.

Over het algemeen zullen de endotheelcellen in de intima zorgdragen voor de noodzakelijke uitwisseling van stoffen tussen het bloed en de onderliggende weefsels. Tevens bieden de endotheelcellen bescherming tegen het binnendringen van schadelijke stoffen in de onderliggende weefsels. Volgens de huidige inzichten speelt de oriëntatie en vorm van de endotheelcellen bij deze beschermende werking een belangrijke rol. Bij celbiologisch onderzoek is vastgesteld dat de endotheelcellen zich "richten" en "rekken" onder invloed van de afschuifspanning (WSR) van de snelheid van het langsstromende bloed [NER 92]. Door deze WSR gaan de endotheelcellen op een rijtje langs elkaar liggen in de lengterichting van het vat. Bij een dergelijke configuratie biedt de

10

herrwdynamica en atherosclerose

intima een optimale beschenning. Ook blijkt de functionaliteit van de endotheelcel sterk samen te hangen met de WSR [SID 97]. Als de WSR laag is of sterk oscilleert in de tijd gaan de endotheelcellen zich chaotisch oriënteren. Als gevolg hiervan vallen er "gaten" in de beschenningslaag die de intima moet bieden. Ook zijn er aanwijzingen dat de opname van lipiden hoger wordt bij een lage WSR [SID 97]. Beide bovengenoemde processen dragen er toe bij dat stoffen als Low Density Lipiden, de intima binnen kunnen dringen. De intima kan dan gaan vergroeien rondom de gemigreerde SMCs. Er ontstaat dan Fatty Streak, die zich verder kan ontwikkelen tot een Complicated Lesion.

Er moet, wellicht ten overvloede, op gewezen worden dat het hierboven beschreven model van de aanleiding tot de vonning van atherosclerose nog steeds niet onomstotelijk bewezen is. In verschillende medische onderzoeken, zoals in [OSH 95], wordt geprobeerd om de WSR te kunnen correleren aan bekende voorkeursplekken van atherosclerose. Onderzoek aan de WSR heeft dus niet zo zeer een directe diagnostische waarde. Echter, meer duidelijkheid over de ontstaanswijze van atherosclerose zal wellicht kunnen leiden tot (betere) preventie.

2.3 Stromingsvergelijkingen

Uitgaande van behoud van respectievelijk impuls en massa kunnen de volgende twee differentiaalvergelijkingen worden opgesteld voor de snelheidsvector v in een stroming met dichtheidp [VOS 97]:

av ( )v - -p- + p V • V = pf +V . (i ' at (2.1)

Hierin is f een tensor die de volumekrachten beschrijft, <J een stress-tensor die de oppervlaktekrachten beschrijft en p de dichtheid van de vloeistof. Met de nodige randvoorwaarden

van snelheid of stress, bestaat er een unieke oplossing voor v. In het vervolg wordt de notatie h gebruikt voor een vector en h voor een tensor. In visceuze vloeistoffen kan de stress-tensor ontbonden worden in drukkrachten en krachten ten gevolge van de viscositeit [VOS 97]:

- -- --<J =-pi +T(D). (2.2)

Hierin is Ï de identiteitsmatrix, p de druk en T(D) de visceuze stress-tensor, die afhankelijk is van

de rheologische eigenschappen van het bloed en deformatie-tensor ( D) ter plaatse. Dit wordt de constitutieve vergelijking genoemd. Om de oppervlaktekrachten op een oppervlak met uitgaande normaalvector n te kunnen bepalen, dient men het product van de visceuse stress-tensor met de normaalvector te nemen. De vector die daarmee wordt berekend geeft de grootte en richting van de oppervlaktekrachten weer. Deze vector kan ontbonden worden in een normale en een tangentiële component. De tangentiële component wordt de Wall Shear Stress (WSS) genoemd [VOS 97]. In §2.4 wordt hier verder op in gegaan. Vooralsnog wordt volstaan met de mededeling dat in het geval van een stroming met slechts één snelheidscomponent in de lengterichting van het vat van

11

atherosclerose en hemodynamiek

een newtonse vloeistof door een rechte buis, aangetoond kan worden dat de grootte van de WSS gegeven is door de radiale afgeleide van de axiale snelheid vermenigvuldigd met de dynamische viscositeit van het bloed. Het bewijs hiervoor zal in §2.4 worden geleverd. De bovenstaande vergelijkingen vormen de basis voor ieder stromingsprobleem. Tezamen met een aantal veronderstellingen en randvoorwaarden kunnen (analytische) oplossingen worden gevonden. De bekendste hiervan is de Poiseuilie-stroming in een rechte buis, die een stationair parabolisch snelheidsprofiel als oplossing heeft. In [MIL 89] worden met meename van een aantal eigenschappen van het bloed en de bloedvaten ook stromingsprofielen afgeleid die het dynamische gedrag beschrijven. Deze worden de Womersley-profielen genoemd. Deze zijn opgebouwd uit verschillende zogenaamde harmonische componenten.

In hoofdstuk 4 zal een methode worden ontwikkeld die op grond van de aanwezige 3D­snelheidsinformatie uit een MR-scan automatisch de WSR bepaalt van een willekeurig georiënteerde vaatboom. Deze methode zal gevalideerd worden in rechte vaten waar een stroming heerst met slechts één snelheidscomponent in de lengterichting van het vat. De invloed van een eventueel secondair snelheidsveld, door snelheidscomponenten in het vlak loodrecht op de lengterichting van het vat, zal hierop een verwaarloosbare invloed blijken te hebben. Het zal duidelijk zijn dat het voor de bepaling van de afgeleide van de axiale snelheid van wezenlijk belang is een idee te hebben van de vorm van de snelheidsprofielen, zoals men die in de vaten van de mens verwacht aan te treffen. Op basis daarvan kunnen fouten worden afgeschat die bijvoorbeeld gemaakt worden met het lineair benaderen van het snelheidsprofiel. Het zal blijken dat hierbij vooral een tijdgemiddeld stromingsprofiel van belang is (zie de overwegingen in §4.3.1). Dit wordt in §2.3.1 nader behandeld. Daarvoor is het noodzakelijk te beschikken over enige kennis van dynamische bloedstromingen.

Er dient aangetekend te worden dat in de verdere studie het bloed als incompressibel is

beschouwd, dus ap = 0. ar

2.3.1 Bloedstromingen in een rechte buis

Het bloedvat wordt (voorlopig) voorgesteld als een starre rechte buis in de z-richting, waarin zich een stroming bevindt, vrij van een secondair stromingsveld. Voorts wordt het bloed (voorlopig) als een newtonse vloeistof beschouwd. De straal van de buis is R. Het hart veroorzaakt een periodieke druk en flow (debiet) in de arteriën. Als gevolg hiervan zullen drukgolven en pulserende debietstromen ontstaan, met een golfsnelheid c en een golflengte Ç . Indien nu wordt overgestapt op cilindercoördinaten, kan uit (2.1 ), met de veronderstelling dat axiale snelheid Vz veel kleiner is dan de golfsnelheid c en de straal van het vat vele malen kleiner is dan de golflengte Ç, de volgende differentiaalvergelijking worden verkregen voor Vz [VOS 97]:

Hierbij is v = 11 de kinematische viscositeit p

(2.3)

De harmonische oplossingen van (2.3) met hoekfrequentie co en golfgetal k, kunnen gevonden worden door de volgende vergelijkingen te substitueren:

12

hemodynamica en atherosclerose

p( û), z,t) = pei(wt-kz)

( ) _ ".. ( ) i(wt-kz) vl ro,z,r,t - vl re .

Men kan de volgende randvoorwaarden voor differentiaalvergelijking (2.3) opstellen:

vz(r,z,t)I,=R =0

dv z ( r, z, t) I = 0 .

dr r=O

(2.4)

(2.5)

Hierbij is de eerste randvoorwaarde het gevolg van de visceuze no-slip conditie en de tweede volgt uit symmetrie-overwegingen. Uit (2.3), (2.4) met randvoorwaarde (2.5) volgt [VOS 97]:

3

J ( ·2 r) k oza-li(r)=-1- R ·P.

z pro 3

10 (i2a)

(2.6)

Hierin is a= R~ de zogenaamde Womersley parameter.

In (2.6) wordt het harmonische stromingsprofiel weergegeven met een hoekfrequentiero. In [MIL 89] is aangetoond dat, indien men de druk, flow en snelheden lineair opgebouwd denkt uit dergelijke harmonische (Fourier-)componenten, voor een goede benadering van een aortastroming acht harmonische nodig zijn. Het reële deel van de sommatie van (2.6) over de eerste acht harmonische geeft derhalve al een benadering van het instationaire stromingsprofiel op postitie z=O:

n=8

vz(r,t) z L,.Re(lizeiw.r ), (2.7) n=O

waarbij een verschuiving van positie z slechts een extra fase term zou veroorzaken. De

harmonische hoekfrequentie wordt gegeven door ron = 2

7t · n, met T de tijdsduur van één T

hartslag. Het blijkt dat een dergelijke analyse voor rechte, maar elastische buizen tot een bijna gelijke betrekking als (2.6) leidt, waarbij de tweede term tussen de haken vermenigvuldigd wordt met een term N die slechts weinig afwijkt van 1 [VOS 97].

2.3.2 Tijdgemiddelde snelheidsprofielen in een rechte buis

Zoals eerder in deze paragraaf gemeld, zullen tijdgemiddelde snelheidsprofielen in rechte vaten een belangrijke rol gaan spelen in het onderzoeken van methoden voor Wall Shear Rate bepalingen in 3D.

13

atherosclerose en hemodynamiek

Uit het Womersley-model, waarin het hemodynamisch gedrag in een bloedvat wordt voorgesteld als een lineaire sommatie over verschillende harmonische, kan het volgende worden afgeleid. Het snelheidsprofiel gemiddeld over één hartslag van een duur T zal worden gegeven door:

1 T \i~ (r) =-J vz (r,t)dt.

To (2.8)

Met (2.7) en (2.8) kan men inzien dat het tijdgemiddelde profiel slechts gegeven wordt door het nulde harmonische snelheidsprofiel (de andere worden als gevolg van de integratie over T nul). Met andere woorden: het tijdgemiddelde stromingsprofiel wordt benaderd door de nulde harmonische, die wordt gegeven door de oplossing van het stationaire geval van differentiaalvergelijking (2.3).

Voordat verder wordt ingegaan op de oplossing van dit tijdgemiddelde (stationaire) snelheidsprofiel, wordt echter eerst aandacht besteed aan de visceuze eigenschappen van bloed.

Voor newtonse vloeistoffen wordt een lineair verband (zie (2.2)) tussen de deformatie-tensor Den de visceuze stress-tensor 't en een constante viscositeit 11 verondersteld [VOS 97]. In bloed is als

gevolg van zijn samenstelling de veronderstelling, dat 11 constant is, niet zondermeer correct. Als

bijvoorbeeld de SR klein is zal er cohesie optreden tussen de verschillende cellen waaruit het bloed is opgebouwd, met als gevolg dat de viscositeit hoger wordt. Voor grotere waarden van SR geldt dat de viscositeit juist kleiner wordt. In figuur 2.2 staan experimenteel bepaalde viscositeiten als functie van de SR dubbellogaritmisch uit.

:m Pas)

t 2

10

10

·1 10 10

2 10

figuur 2.2 De in menselijk bloed experimenteel bepaalde afhankelijkheid van de viscositeit van de SR bij een temperatuur van 37° en een massapercentage rode bloedcellen van 45% [STR 93 ].

Indien deze effecten worden meegenomen bij het oplossen van de stromingsvergelijkingen, spreekt men van een gegeneraliseerde newtonse stroming [VOS 97]. Uit het verband dat in figuur 2.2 wordt aangegeven kan worden afgeleid dat de visositeit 11 van bloed voor een range van de SR van ongeveer 10° tot 103 1/s betrekkelijk lineair is. Aangezien de grafiek dubbellogaritmisch is uitgezet kan men het gedrag als volgt benaderen:

14

herruldynamica en atherosclerose

(2.9)

av Daarbij is de SR gedefinieerd als y = _z , À is een tijdscontante en n een nader te bepalen macht. ar De macht n moet kleiner zijn dan 1 om het in figuur 2.2 getoonde gedrag te beschrijven. Met deze viscositeit is een tijdgemiddeld stromingsprofiel te berekenen aan de hand van het stationaire geval van (2.3), met de randvoorwaarde uit (2.5) (zie appendix B):

(()p R f R ((' '(n+

1

J v z (r) = {)z 21loÀn-I ) Yn + 1 R ) -I . (2.10)

Hierbij is ()p de drukgradiënt in de z-richting. {)z

Er is een machtsverband tussen de snelheid Vz en de positie r. Voor het geval dat n=l (newtonse vloeistof) krijgt men de eerder gemelde Poiseuille-paraboolstroming. In de metingen zoals die zijn verricht in de carotide en de aorta van enkele vrijwilligers zijn deze machtsverbanden inderdaad aangetroffen (zie figuur 5.5). Door nu een met MR gemeten tijdgemiddeld stromingsprofiel te "fitten" aan een dergelijke machtsfunctie van r, kan een indruk verkregen worden van de fout die gemaakt wordt bij het lineair benaderen van dat snelheidsprofiel. Een en ander zal in de volgende hoofdstukken nader worden toegelicht.

2.4 Wall Shear Rate

Aan het begin van dit hoofdstuk is gewezen op het mogelijke belang van de WSS in verband met de ontwikkeling van atherosclerose. In deze paragraaf zal nader worden ingegaan op de theoretische uitdrukking WSS. De WSS is hierbij gedefinieerd als de tangentiële component van de stressvector op de vaatwand.

Een correcte beschrijving van het verband tussen de visceuze stress-tensor en de deformatie­tensor, zoals dat is aangegeven in (2.2), is zoals eerder gezegd voor niet-newtonse vloeistoffen niet makkelijk op te stellen. Om toch de stress-tensor uit te kunnen rekenen wordt uitgegaan van een gegeneraliseerde newtonse vloeistof. De stress-tensor wordt dan lineair afhankelijk verondersteld

van de deformatie-tensor D. Vervolgens kunnen er in de literatuur diverse modellen worden gevonden (Quamada model, Walhum Schneck model, [STR 93]), die een correctie voor de SR­afhankelijkheid van viscositeit in rekening te brengen, bij de berekening van de WSS:

WSS = Tl(WSR) · WSR , (2.11)

waarin WSS de Wall Shear Stress (Nm-2) voorstelt.

Deze laatste stap is echter in dit onderzoek buiten beschouwing gelaten. Het hier gepresenteerde onderzoek zal alleen de (Wall) SR bepalen. Men dient zich hierbij dan wel te realiseren dat lokale verschillen die gevonden worden in de WSR door de gecorrigeerde viscositeit zullen worden verkleind. Een lagere SR zal namelijk een hogere viscositeit tot gevolg hebben (en dus een hogere WSS) en een hogere SR zaljuist een lagere viscositeit tot gevolg hebben (en dus een lagere WSS).

15

atherosclerose en hemodynamiek

De stressvector T voor een willekeurig oppervlak met een uitgaande normaalvector n wordt uitgaande van bovengenoemde veronderstellingen in het algemene geval gegeven door [VOS 97]:

2 avx a x (

avx + avy) ay ax (

avx + avz J az ax

T =n ·T =n · 211D=n ·11\Vv+ Vv) =n·11 _x+-> ~ ~ (, ( V ) ( av av . ) ay ax

avy 2-ay

(avy + avz)

(a;;+~;) .(2.121

(avx + avz J az ax

Het superschrift T staat voor de getransponeerde tensor.

az ay avz

2-az

Zoals gezegd zal in deze studie verder de WSS en dus viscositeit buiten beschouwing worden gelaten. Om meer gevoel te krijgen voor de WSR zullen eerst enkele berekeningen worden uitgevoerd aan de eerder vermelde stroming in rechte buizen, waarbij het vat in de z-richting staat, om daarna over te stappen naar een algemener geval waarbij het vat een willekeurige oriëntatie heeft. Voor het eenvoudige geval van een buisstroming in de z-richting, waarbij de stromingscomponent in de radiale richting wordt verwaarloosd, geldt dan dat de WSR op de wand van de buis met straal R berekend kan worden met (2.12) en een triviale normaalvector. In cilindercoördinaten geldt dan dat de SR-vector "' wordt gegeven door:

0 av(j) avz ar ar

"'=n·2D= [1 0 0 av(j) ~av(j) (! dv, + dv,) =[o av(j) dv' ] .(2.13) ar r a<p r a<p az ar ar

r=R

avz (!dv,+dv,) 2 avz ar r a<p az az

r=R

Daarbij is de vector gegeven door opeenvolgend de radiale-, azimutale- en z-component. Dit is feitelijk niets anders dan de stress-vector zonder meename van de viscositeit. Men ziet duidelijk dat deze SR-vector slechts uit een azimutale- en axiale-component bestaat, beide zijn in tangentiële richting (lokaal parallel aan de vaatwand). De lengte van de SR-vector zou in dit geval de grootte van de WSR gegeven, aangezien deze gedefinieerd is als de tangentiële component van de vector [VOS 97]. In het algemeen echter zijn in bloedstromingen ook normale stresscomponenten mogelijk, waardoor de WSR overschat zou worden als men de lengte van de stressvector neemt als waarde voor de WSR. Op meer algemene wijze kan gesteld worden dat de lengte van het uitprodukt van de SR-vector en de normaalvector de lengte van de tangentiële component geeft. Dus geldt voor een willekeurige stroming in 3D en vervolgens voor het specifieke geval van (2.13):

WSR =j(n ·2D) = xnj = [o av(j) avz] x[l 0 oj = (av(j) )2

+(avz J2

'R ar ar ar ar r=R r=R

(2.14)

Hierbij gaat wel de richtingsinformatie van de afschuifkrachten verloren.

16

herrwdynamica en atherosclerose

Uit (2.14) kan men afleiden dat zonder een secondaire stroming de WSR in een rechte buis wordt gegeven door:

WSR=0vzl . dT lr=R

(2.15)

Met behulp van een MR 3D-acquisitie, waarbij de totale snelheidsvector van ieder voxel bepaald wordt, kan men natuurlijk prima in ieder voxel de stress-tensor bepalen. Er dient nu nog een normaalvector te worden gedefinieerd om de stressvector te kunnen bepalen. In het volgende hoofdstuk wordt een methode beschreven om de normaalvector te bepalen aan de hand van de 3D­snelheidsinformatie. Samen met (2.14) vormt de in het volgende hoofdstuk gegeven normaalvector de zogenaamde tensormethode.

17

atherosclerose en herrwdynamiek

18

MR

Hoofdstuk 3 MAGNETIC RESONANCE

3.1 Inleiding

In dit hoofdstuk zal in beknopte vorm ingegaan worden op de theorie van Magnetic Resonance Imaging (MRI) in het algemeen. Meer in het bijzonder zullen ook de scantechnieken die gebruikt worden voor Magnetic Resonance Angiography (MRA), waarbij de bloedvaten worden afgebeeld, behandeld worden.

Er dient wel aangetekend te worden dat de theorie van MRI buitengewoon complex is. Voor een uitputtende beschrijving ervan wordt verwezen naar [VLA 95]. Informatie over de technieken van MRA en vooral de toepassing in de medische praktijk kan gevonden worden in [POT 93]. Een minder uitgebreide, maar zeker wel interessante introductie in Magnetic Resonance Imaging is te vinden in [PHI]. Hier zullen slechts de voor het begrip noodzakelijke principes besproken worden.

3.2 Het principe van Magnetic Resonance Imaging

MRI-technieken zijn gebaseerd op (verschillen in) magnetische eigenschappen van weefsels waarin waterstofkernen voorkomen. Op macroscopisch niveau kan gesteld worden dat MR de weke, waterhoudende delen kan afbeelden. De magnetische eigenschappen hangen af van zowel de concentratie waterstofkernen, als de fysische toestand van het water en zijn omgeving. Gebaseerd op deze verschillen is het mogelijk om weefsels te onderscheiden.

Om MRI beter te begrijpen dient echter ook op microniveau te worden gekeken. Zoals gezegd, beeldt MR de magnetische eigenschappen van waterstofkernhoudende weefsels af. Elk van deze waterstofkernen bezit een magnetisch spinmoment. In het sterke stationaire (hoofd)magneetveld B 0

van een MR-scanner (orde van 1 Tesla) gaat een gedeelte van deze magnetische momenten (vanaf nu: spins) zich als kleine kompasnaaldjes zoveel mogelijk "richten" naar het hoofdveld, omdat dat de toestand van de laagste energie is. Door dit richten wordt er in de hoofdveldrichting een extra veldcomponent M gecreëerd. Dit wordt de magnetisatie(vector) van het materiaal genoemd. De grootte van de magnetisatievector hangt af van het aantal spins dat zich gaat richten en dus van de waterstofconcentratie. Buiten het feit dat ze zich gaan richten draaien de spins ook rondom het sterke hoofdmagneetveld (precederen). Zie hiervoor figuur 3.1.

19

MR

Figuur 3.1 De precessie van meerdere spins m een statisch magneetveld B0, die samen de magnetisatievector M vormen.

Deze draaiing voeren ze uit met de zogenaamde Larmor-frequentie roL , die afhankelijk is van de

grootte van het hoofdmagneetveld B0 en de gyromagnetische verhouding"(, die voor een

waterstofkern een waarde heeft van 42.57 MHzJT:

(3.1)

Doordat de fase van de individuele spins willekeurig is, staat de magnetisatievector in de richting van het hoofdveld. Dit wordt de longitudinale richting genoemd. Het vlak hier loodrecht op wordt het transversale vlak genoemd. De volgende stap tijdens een MR-scan is het toedienen van een magnetisch resonante Radio Frequente (RF) puls. Deze RF-puls heeft een frequentie ter grootte van de Larmorfrequentie met een magneetcomponent in het transversale vlak, waardoor de magnetisatievector beïnvloed wordt. De spins ondervinden namelijk een kracht van de magnetische RF-component die in het transversale vlak ligt en binnen een bepaalde bandbreedte meedraait met dezelfde Larmor­frequentie. Afhankelijk nu van de amplitude en duur van de RF-puls zal de magnetisatievector uit de longitudinale richting omklappen ("flippen") naar het transversale vlak. De magnetisatievector M bevat dan een longitudinale en een transversale component (ML en Mr). De hoek waaronder dit flippen gebeurt heet de fliphoek a . Een fliphoek van 90° betekent dat de totale

magnetisatievector in het transversale vlak wordt gebracht. Een en ander is in figuur 3.2 afgebeeld.

voor na figuur 3.2 De magnetisatievector M vóór en ná een RF-puls waardoor de magnetisatie over een hoek a is geflipt. De magnetisatievector zal in de tijd blijven precederen en dus een fase <I>

bezitten.

20

MR

Als de RF-puls wordt uitgeschakeld, zullen de spins onder voortdurende precessie weer naar hun evenwichtstoestand van vóór de RF-puls terugvallen. Dit zal zich op twee manieren manifesteren. Ten eerste zal de longitudinale magnetisatie exponentieel relaxeren naar zijn evenwichtstoestand in de longitudinale richting. Dit wordt Tl-relaxatie of spin-rooster-relaxatie genoemd. De tijdsconstante van dit aangroeiproces is Tl. Bij de voor MRI gebruikelijke veldsterktes van 1 Tesla, is deze Tl in de orde van grootte van enkele honderden milliseconden. Hierbij dient natuurlijk aangetekend te worden dat deze afhankelijk is van het weefseltype. Ten tweede zal de transversale magnetisatie exponentieel afnemen tot nul. Dit wordt T2-relaxatie of spin-spin-relaxatie genoemd. Hierbij gaan de verschillende spins door onderlinge wisselwerking steeds verder uit fase lopen (defaseren), waardoor steeds minder netto transversale magnetisatie overblijft. De tijdsconstante van dit exponentiële verval is T2 en ligt in de orde van grootte tot honderd milliseconden.

Door nu gebruik te maken van ontvangstspoelen kan op basis van inductieverschijnselen de grootte en fase van deze transversale magnetisatie gemeten worden. Samen met de verschillen in grootte van de totale magnetisatie (oe waterstofconcentratie) zorgen de verschillen in T 1- en T2-tijden ervoor dat elk weefsel zijn eigen transversale magnetisatie en dus signaalintensiteit heeft. Belangrijk hierbij is het moment waarop men de transversale magnetisatie meet (echotijd gemeten vanaf de excitatie, TE) en de tijd die men de magnetisatievector geeft om te relaxeren van een vorige excitatie (repetitietijd tijd tussen excitaties, TR). Door deze TE en TR te variëren kan men voor het genereren van contrast tussen weefsels verschillen in Tl, T2 of waterstofconcentratie in meer of mindere mate laten meewegen.

Tot zover is er slechts aandacht besteed aan de manier waarop men de verschillende weefsels kan onderscheiden. Er is hierbij nog geen aandacht besteed aan plaatsinformatie. Voor het maken van een afbeelding dient ook plaatsinformatie verkregen te worden. Voor de plaatscodering is het nodig om gradiënten te schakelen op het hoofdmagneetveld. Hiermee wordt bedoeld dat kleine, lineair van de plaats afhankelijke magneetvelden op het hoofdveld gesuperponeerd worden. Met deze lokale veranderingen van het hoofdmagneetveld verandert ook de Larmor-frequentie als functie van de plaats (zie (3.1)). Door deze gradiënten tijdens de MRI-metingen aan en uit te schakelen, zogenaamde pulssequenties, zullen de frequentie­en fasecomponenten van het ontvangen signaal, informatie verschaffen over de plaats van herkomst. In wiskundige vorm ziet dat er als volgt uit. Uitgaande van een 2D-acquisitie wordt het gemeten signaal S(t) in het met de Larmor-frequentie mee roterend assenstelsel [DHE 94]:

S (t) = Jf f (x, y )e -iwr dxdy. (3.2)

Hierbij is f(x,y) een functie die voor iedere positie x,y de waterstofkerndichtheid geeft. Er wordt hiervoor geïntegreerd over het aangelegde meetvolume. De betrekking (3.2) geeft feitelijk aan dat het gemeten signaal gegeven wordt door een sommatie over het signaal van alle spins in het meetvolume. De frequentie w wordt hier gegeven door:

(3.3)

waarbij Gx en Gy de gradiëntvelden zijn die op het hoofdveld zijn gesuperponeerd. Indien men golfgetallen kx en ky als volgt definieert:

21

MR

TE

kx = Y J Gx(t)dt, 0

TE

ky = y f G)'(t)dt, 0

kan men door (3.2), (3.3) en (3.4) te combineren de volgende expressie verkrijgen [DHE 94]:

De Fourriergetransformeerde van (3.5) levert de volgende betrekking:

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Aan (3.6) is te zien dat met MRI altijd in de Fouriergetransformeerde "k-ruimte" van de echte cartesische beeldruimte wordt gemeten. Een Fouriertransformatie van het gemeten signaal, bestaande uit de gehele range van k-waarden, zal derhalve de gewenste afbeelding opleveren.

In concreto: met MRI is het mogelijk om een 3D-volume of 2D-plak op te delen in volume­elementen (voxels). Ieder element zal dan een signaalintensiteit (transversale magnetisatie) bezitten, die afhankelijk is van de magnetische eigenschappen ter plaatse.

3.3 Het principe van MR Angiography

MR Angiografische toepassingen zijn erop gericht om bloedvaten af te beelden. Door gebruik te maken van het stromende karakter van het bloed kan een groot contrast gegenereerd worden met het omliggende (stilstaande) weefsel. Een acquisitie die hiervan gebruik maakt, is de zogenaamde Phase Contrast Angiography (PCA). Met PCA is het niet alleen mogelijk om kwalitatief aan te geven waar bloed stroomt en waar weefsel stilstaat, maar er kan aan de hand van de fase ook kwantitatief de snelheid bepaald worden. Dit wordt Quantitative Flow (QF) PCA genoemd. Deze techniek zal nader worden uitgewerkt.

3.3.1 Quantitative Flow Phase Contrast Angiography

Zoals eerder vermeld zullen de spins onder invloed het magneetveld precederen. Daardoor zullen de spins in de loop van de tijd een faseverdraaiing vertonen (precessie). Ook de som van deze spins, in de vorm van de transversale component van de magnetisatievector, voert een dergelijk precessie uit. Met (3.1) is in te zien dat deze faseverdraaiing van de transversale component van de magnetisatievector in het stilstaande coördinatenstelsel afhankelijk is van het magneetveld B ter plaatse en de tijdsduur.

TE

<j>(x, y, z) = y J B(x, y, z)dt, (3.7) 0

waarbij het veld B(x,y,z) is opgebouwd uit het hoofmagneetveld, geschakelde gradiënten en veldinhomogeniteiten.

22

MR

Dit fenomeen wordt gebruikt voor de bepaling van snelheden. Er kan bewezen worden dat deze

faseverdraaiing <!> onder invloed van de geschakelde gradiënt G(t) in de x-richting, er van

uitgaande dat de spins ook in de x-richting bewegen, gegeven wordt door [DHE 94]:

TE

<)>(x)=<!> B. + <Pinh + î' I x(t)G(t)dt = <!> B. + <Pinh + x(texp )Mo + v(texp )MI + a(texp )M2 + j(texp )M3 .. 0

(3.8)

waarbij x(texp), v(texp), a(fexp), j(texp) respectievelijke de positie, snelheid, versnelling en ruk van de

spins in de x-richting is. G( t) beschrijft de gradiënt als functie van de tijd en <!> 80 en <!> inh zijn de

fase-verdraaiinggen ten gevolge van respectievelijk het hoofdmagneetveld en de lokale veldinhomogeniteiten. De expansietijd fexp is hier een willekeurig gekozen tijdstip, waarop een Taylorreeks-benadering is gegeven van de positie van de spins (hier tot de derde orde). Mn wordt hierbij gegeven door:

TE

Mn Ctexp) = ]_ fG(t) · (t- texp r dt. n' • 0

(3.9)

Men kan nu een zogenaamde stromingsgevoelige bipolaire gradiënt aan leggen, zoals weergegeven is in figuur 3.3 linksboven. Een dergelijke gradiënt bestaat uit twee "lobben" met beide een gelijke grootte G en duur K . Als gevolg hiervan wordt de faseverdraaiing voor stilstaande spins onafhankelijk van het gekozen expansiepunt door beide lobben gecompenseerd. Dit uit zich in het feit dat men, als men Mo met behulp van (3.9) voor de aangegeven gradiënt berekend, op een waarde van nul komt, voor willekeurige fexp· De faseverdraaing ten gevolge van een dergelijke stromingsgevoelige gradiënt wordt dus gegeven door:

(3.10)

Let wel, door het slim kiezen van het expansiepunt fexp valt ook de versnellingsterm weg (M2). Dit is uitgebreid beschreven in [KOU 95]. Het blijkt dat, als men voor het expansiepunt het zwaartepunt van de gradiënt kiest, de zogenaamde t8 ("time of gravity"), deze versnellingsterm

altijd wegvalt. Het zwaartepunt van de hier gebruikte bipolaire gradiënt is gegeven door t 8

= K.

Uit (3.10) valt af te leiden dat de faseverdraaiing nu wel rechtevenredig is met de snelheid (afgezien van de ruk van de spins, daar wordt dadelijk op teruggekomen), maar de fase ook wordt beïnvloed door het hoofdmagneetveld en lokale inhomogeniteiten. Om deze fase-componenten eruit te halen worden twee metingen verricht: een zogenaamde stromingsongevoelige en een stromingsgevoelige meting (zie figuur 3.3). De eerste levert een fase op die onafhankelijk is van de snelheid, maar wel afhankelijk is van ruk-termen en verstorende effecten van veldinhomogeniteiten en het hoofdveld (zie (3.10)). De tweede levert een fase op die wel afhankelijk is van de snelheid en hogere orde positionele termen. Tevens bevat deze nagenoeg dezelfde verstoorde effecten als de eerste stromingsgevoelige meting (verschillen hierin worden hier verder buiten beschouwing gelaten; voor meer informatie hierover zie [DHE 94]). Fase­subtractie van transversale magnetisaties M 1 en M 2 geeft de gewenste faseverdraaiing, die nagenoeg vrij is van verstorende inhomogeniteitseffecten.

23

MR

K

~I +

A

I Gt

M2

A MI

-

A A Gz

A A

figuur 3.3 Links: de stromingsgevoelige gradiënt G1 en ongevoelige gradiënt G2 die nodig zijn voor een fasebepaling met MRI. Rechts: de met beide gradiënten bepaalde transversale magnetisatievectoren M1 en M2 met hun fase. De verschilfase Ö<p is rechtevenredig met de snelheid.

Die fase wordt gegeven door:

(3.11)

Voor de hier veronderstelde bipolaire gradiënten (zie figuur 3.3) geldt t8

= 3K. Let op: hierbij

heeft de versnelling a( tg) wederom géén invloed. Mogelijke faseverschuivingen als gevolg van ruk van de spins hebben een verwaarloosbare invloed [KOU 95]. Hogere orde positionele termen (vierde en hoger) zijn niet meegenomen en worden in de verdere studie verwaarloosd.

Zoals gezegd hangt de grootte van <I> af van de grootte en duur van de gradiënt. Deze parameters

kunnen indirect door de MRI-gebruiker ingesteld worden. De faseverdraaiing ligt echter per definitie tussen 1t en -1t radialen. Dit wil zeggen dat een faseverdraaiing van 1,51t niet te onderscheiden is van -0,51t. De gebruiker dient derhalve dusdanige gradiënten te schakelen dat de te verwachten maximale snelheid een faseverdraaiing van 1t of -1t veroorzaakt (afhankelijk van de richting van de snelheid). Deze door de gebruiker ingestelde maximaal meetbare snelheid wordt de Vene of snelheidsgevoeligheid genoemd. Met de volgende formule kan dan aan de hand van de gemeten faseverdraaiing de snelheid van de bewegende spins bepaald worden:

V= <j> Vene· 1t

(3.12)

Uit de verkregen snelheidsgevoelige en ongevoelige data kunnen verschillende beelden worden geconstrueerd. Men kan de magnitude of de fase van de complexe vectoren afbeelden. Dit wordt aangeduid door IM respectievelijk /P. Bij dit onderzoek wordt het FFEIM-beeld gebruikt voor anatomische informatie. (De term FFE, staat voor Fast Field Echo, hetgeen de methode aangeeft waarmee de echo, i.e. het signaal, wordt gecreëerd.) Dit FFFJM-beeld wordt verkregen door de gemiddelde magnitude van de twee magnetisatie M1 en M2 af te beelden. In de praktijk blijkt dat deze signaalintensiteit voor (stromend) bloed en achtergrond verschilt. Deze verschillen worden

24

MR

veroorzaakt door verschillen in magnetische eigenschappen én door het stromende karakter van bloed (zogenaamde inflow-effecten, zie [PHI]). Na fase-subtractie van MI en M2 kan ook de fase worden afgebeeld. Dit noemt men het PCA/P­beeld. Daarnaast zijn er ook PCA/M-beelden beschikbaar, die de magnitude van de verschilvector M11 afbeelden. Deze beelden worden echter in dit onderzoek niet gebruikt.

In concreto: met QF PCA is het mogelijk om een 3D-volume of een 2D-plak op te delen in volume-elementen (voxels). Ieder element zal dan een fase bezitten, die afhankelijk is van de snelheid ter plaatse. Voor dit onderzoek zijn er de 3D-acquisities van het snelheidsveld gemaakt. Deze acquisities maken gebruik van de volgende vier soorten gradiënten. Eén voor alle drie de cartesische richtingen stromingsongevoelige gradiënt en drie stromingsgevoelige gradiënten voor iedere richting apart. Van iedere voxel is dan de gehele snelheidsvector bekend.

3.3.1.1 Cardiac triggering Door het periodieke karakter van de hartlag zijn de drijvende druk en gemeten snelheden in de bloedbaan niet constant in de tijd. Om deze tijdsafhankelijkheid te kunnen meten wordt de periode van een hartslag verdeeld in gelijke tijdspannes (gescheiden door zogenaamde trigger delays, TD). Deze tijdspannes worden hartfases genoemd. Van elk van deze hartfases wordt een afbeelding gemaakt. Een FFE/M- en PCA/P-beelden construeren met MR kost aanzienlijk meer tijd dan de duur van één hartfase (typisch 50 ms). Om de beelden te kunnen vormen dient derhalve de informatie voor één hartfase uit meerdere hartslagen gehaald te worden. Dit wordt mogelijk gemaakt door tijdens de MRI-meting het Electra Cardio Gram (ECG) te registreren, opdat bekend is in welke hartfase wordt (werd) gemeten. Er zijn verschillende soorten triggering voor de MR-acquisitie beschikbaar [DHE 94]. Voor dit onderzoek is de zogenaamde retrospective triggering gebruikt. Bij retrospective triggering wordt continu gemeten en wordt achteraf bepaald welke meting in welke hartfase is gedaan, zodat alle beelden van de hartfases geconstrueerd kunnen worden. Het voordeel van retrospective triggering schuilt in het feit dat beelden van de hele hartslag gevormd kunnen worden (pré- en post­systolisch).

3.3.2 Fouten bij Quantitative Flow Phase Contrast Angiography

Complexe meettechnieken als hierboven beschreven kunnen door vele verschillende ruisbronnen verstoord worden. In [KLO 96] zijn deze uitvoerig beschreven. Alle foutenbronnen die voor dit onderzoek van belang zijn, worden hier besproken en voor zover mogelijk gekwantificeerd. Aan bod zullen komen: (thermische) ruis, aliasing, intra-voxel dephasing en partial volume effecten. Tevens zal er ingegaan worden op specifieke 3D QF PCA-artefacten, zogenaamde versehui vingartefacten. Hoe deze fouten in de snelheidsbepaling doorwerken in de (Wall) Shear Rate bepaling, wordt in hoofdstuk 5 behandeld.

3.3.2.1 Ruis De grootste ruiscomponent van de snelheid is de thermische ruis [KLO 96]. Deze zal hier kort worden uitgewerkt. De ruis in de fase vindt zijn oorzaak in de standaarddeviatie in het imaginaire en het reële deel van de MI en M2. Indien men er vanuit gaat dat deze standaarddeviatie cr even groot, ongecorreleerd en normaal verdeeld is in beide componenten, kan de volgende berekening worden uitgevoerd. De standaarddeviatie in de snelheidav wordt gegeven door [KLO 96]:

25

MR

vene 2 (j =--·----

V tr SNRFFEIM ' (3.13)

waarbij SNRFFEIM de signaal-ruis-verhouding in het FFEIM beeld is. Deze SNRFFEIM is de FFE/M signaalintensiteit I in het element waar de snelheid is bepaald, gedeeld door de standaarddeviatie cr . De cr wordt dan indien mogelijk bepaald door de standaarddeviatie

cr mop een plaats te bepalen waar een signaalintensiteit van nul heerst (bijvoorbeeld in lucht). Hier

wordt dan de "zuivere" ruis gemeten zonder afwijkingen als gevolg van anatomische structuurveranderingen in het beeld aan te merken als ruis. Door dezecrm met een correctiefactor

van 1,53 (omdat de ruis aldaar volgens de Rayleigh-verdeling verdeeld is, zie [KLO 96]) te vermenigvuldigen wordt de gewenste cr verkregen. Voor de SNRFFEIM geldt dan dus:

I SNRFFEIM =--­

l,53am (3.14)

Voor een bruikbare bepaling van de snelheid dient er een voldoende grote SNRFFEIM te zijn. Zeker als verderop in dit onderzoek de plaatsafgeleide van de snelheid bepaald dient te worden, waarbij de onzekerheid in de snelheid sterk doorwerkt (zie (5.7)).

3.3.2.2 Aliasing

Zoals in §3.3.1 al werd besproken dient de MR-gebruiker zelf de snelheidsgevoeligheid Vene in te stellen. Men dient deze zodanig in te stellen dat er geen snelheden groter dan Vene zullen optreden. In figuur 3.4 is aangegeven hoe de gemeten fase dan afhangt van de snelheid.

figuur 3.4 De faseverdraaiing f/J als functie van de snelheid v.

Als nu toch snelheden groter dan Vene aanwezig waren, dan zal de fase 21t zijn teruggeklapt Er wordt gesproken van een phase-wrap of kortweg wrap. Dit kan men natuurlijk voorkomen door een ruimere Vene te kiezen. Nadeel hiervan is echter dat de ruis in de snelheid ook evenredig omhoog gaat; zie (3.13). Het is ook mogelijk om de ruis te drukken door met opzet een krappe Vene

te kiezen. De wrap's die dan optreden kunnen met postprocessing unwrap-algoritmes [JON 97] teruggeklapt worden, zodat een correcte snelheid wordt aangegeven. Een dergelijk algortime is gebaseerd op abrupte snelheidsovergangen in opeenvolgende hartfases groter dan één keer de Vene·

Deze algoritmes zijn slechts bruikbaar indien er geen versnellingen verwacht worden die liggen

26

MR

V boven ~ (hierbij is TD, de tijd tussen opeenvolgende hartfases). Als dergelijke versnellingen

TD optreden dan zouden deze ten onrechte aangemerkt worden als wrap. Tot op heden ontstonden daar bij 2D-acquisities geen problemen [JON 97]. Voor 3D-acquisities geldt dit niet zondermeer. Door [KLO 96] zijn met ultrageluid maximale snelheden en versnellingen gemeten in de carotide. Er blijken hier versnellingen op te kunnen treden bij vrijwilligers tot 17 ms·2

. Voor een 3D-acquisitie met drie snelheidsgevoelige richtingen blijkt dat een Vene van 0,40 cms·1 gewenst is voor richtingen transversaal op het vat. Een hogere Vene levert te veel ruis op, om van een zinnige snelheid te kunnen spreken (zie (3.13)). Bij een voor 3D-acquisities redelijke TD van 80 ms geeft dit een maximale versnelling van 5,0 ms-2

•

Versnellingen hierboven zouden automatisch worden aangemerkt als wrap, terwijl deze "gewoon" kunnen voorkomen in de bloedbaan. Voor de in deze studie gebruikte 3D-scans van bifurcaties is daarom een ruime Vene voor transversale richtingen genomen, zodat überhaupt geen wrap's optreden. Overigens, de Vene in de lengterichting van het vat kan nog wel steeds krap gekozen worden om later ge-unwrapped te worden. Men dient zich wel te realiseren dat hierdoor de ruis in snelheid toeneemt. Zoals altijd bij MR is hier een compromis gesloten

3.3.2.3 Intra-voxel dephasing

In een voxel is de gemeten transversale magnetisatie een somvector van de aanwezige individuele spins. In het geval van laminaire stromingen en kleine voxels zijn de verschillen in snelheden binnen één voxel niet zo groot. De fase van de spins zullen hierdoor ongeveer hetzelfde zijn. Als er echter complexe of turbulente stromingen optreden kunnen er grote verschillen ontstaan en kunnen de spins defaseren. Als gevolg hiervan wordt de magnitude van de resulterende magnetisatievector lager of kan die zelfs helemaal wegvallen. Men spreekt dan van een gedeeltelijke of gehele flow void. Een dergelijke flow void kan men tegengaan door kleine voxels te kiezen. Hierdoor verwacht men kleinere snelheidsverschillen binnen dit voxel. Ook hier geldt echter weer dat men een compromis moet sluiten. Een kleiner voxel betekent namelijk ook een kleinere signaalintensiteit, omdat er eenvoudigweg minder waterstofkernen in het voxel zitten. Als gevolg hiervan zal de ruis in de snelheid weer toenemen.

3.3.2.4 Partial volume effecten

Aangezien de voxels een eindige dimensie hebben, treden er fouten op bij overgangen tussen verschillende weefsels. De fouten die optreden bij QF PCA in voxels aan de vaatwand worden partial volume effecten genoemd. Deze wandvoxels worden gedeeltelijk gevuld door stilstaand weefsel en gedeeltelijk door stromend bloed. Eigenlijk moet men partial volume effecten zien als een speciale vorm van intra-voxel dephasing, die slechts optreedt in voxels aan de vaatwand. Beide delen dragen bij aan de fase en dus aan de snelheidsregistratie van het gehele voxel. Deze foutenbron is van wezenlijk belang voor de bepaling van de wall shear stress (afschuifspanning). Hierbij is men namelijk juist geïnteresseerd in de snelheidsgradiënt aan de wand. Het zal blijken dat de geregistreerde snelheid bij een dergelijk voxel niet zondermeer als de gemiddelde snelheid kan worden gezien. Stel, er is een wandvoxel dat voor een gedeelte is gevuld met stromende spins met een gezamenlijk magnetisatievector magnitude mfl en stilstaande spins met een gezamenlijk magnetisatievector magnitude msr· In figuur 3.5 staat aangegeven hoe beide vectoren zich gedragen onder een PCA-pulssequentie. Zoals gezegd bestaat deze sequentie uit een stromingsongevoelige en gevoelige acquisitie.

27

MR

_ _.::>~l<c:-- mfli ~

I< ::1

figuur 3.5 Gedrag van de spins bij partial volume effecten. De magnetisatievectoren M1

en M2

zijn gemeten na stromingsongevoelige respectievelijk stromingsgevoelige gradiënt. Let op er is verondersteld dat mfl=lmfl1 1=1mfl21 en ms1=1ms11=1mst21.

Een meer kwantitatieve behandeling van het partial volume effect kan worden gevonden in [TAN 95]. Hiervan zal een korte weergave worden gegeven. De snelheid v die dan aan dat wandvoxel met een grootte d wordt toegekend en het bijbehorende debiet Q door dat voxel bedraagt respectievelijk:

~e v=-·Venc•

Jl

(3.15a,b)

Echter, de werkelijke snelheid vc en debiet Qc van de stromende spins wordt gegeven door:

(3.16a,b)

Hierbij is verondersteld dat een gedeelte 11 van het voxel gevuld is met stromende spins. Voor ~9 kan aan de hand van figuur 3.5 de volgende formule worden opgesteld:

(3.17)

Die laatste benadering is slechts geldig voor kleine~<!> , hetgeen mag worden verondersteld in de

buurt van de vaatwand waar de snelheid laag zal zijn ten gevolge van de no-slip conditie aldaar (zie vorige §2.3).

Het debiet Q door het voxel met een grootte van d wordt dan gegeven door (3.15), (3.16) en (3.17) te combineren:

(3.18)

Dit kan worden hergeschreven tot een handzamere vorm [Tan 95]:

(3.19)

28

MR

Hierbij is m=m5+mJ> de magnitude van het wandvoxel, en M1 de magnitude van een voxel als het geheel is gevuld met stromende spins. Als gevolg van de eerder genoemde inflow-effecten zal de signaalintensiteit van een volledig met stromende spins gevuld voxel groter zijn dan van een gedeeltelijk gevuld voxel. Het aangegeven debiet zal dus te allen tijden overschat worden. De gevolgen hiervan op de bepaling van de afgeleide van de snelheid op de vaatwand worden in het hoofdstuk 5 nader toegelicht.

3.3.2.5 Verschuivingartefact Dit onderzoek is er vooral op gericht om 3D QF PCA technieken te onderzoeken. Er treden in dit geval complicaties op bij het instellen van de snelheidsgevoeligheid. De gebruikte MRI heeft slechts de mogelijkheid om één snelheidsgevoeligheid in te stellen. Men kan zich echter voorstellen dat de te verwachten maximale snelheden in de drie cartesische richtingen in totaal verschillende ordes van grootte liggen. De snelheden in de lengterichting van een bloedvat in bijvoorbeeld de aorta kunnen oplopen tot 100 cm/s. De snelheden in het vlak loodrecht op het vat zullen veellager liggen. Men moet hierbij denken in de orde van 40 cm/s. Om wrap's in de lengte lengterichting van het vat te voorkomen dient dus een snelheidsgevoeligheid van 100 cm/s gekozen te worden. Hierdoor gaat echter de ruis in het vlak loodrecht op het vat onnodig met een factor 2,5 omhoog. Vaak is er dan geen zinnige informatie meer te extraheren uit de dataset, het signaal gaat ten onder in de ruis. Een oplossing om toch twee snelheidsgevoeligheden in te kunnen stellen, is gevonden door twee aparte scans te maken. Eén scan met de snelheidsgevoeligheid ter grootte van 100 cm/s in de lengterichting van het vat en één scan met een snelheidsgevoeiligheid ter grootte van 40 cm/s in de twee cartesische richtingen loodrecht hierop.

Deze oplossing heeft wel als nadeel dat er twee aparte acquisities worden gepleegd die positioneel ten opzichte van elkaar verschoven kunnen zijn als de vrijwilliger bewogen heeft. Elke dataset dient op dit verschuivingartefact gecontroleerd te worden. Dit wordt gedaan door steekproefsgewijs in een aantal plakken het bloedvat te segmenteren (voor segmentatiemethode, zie §4.2) en visueel te controleren of het verschoven is. Indien dat het geval is moet er een nieuwe meting worden gedaan.

29

MR

30

bepaling van WSR met MR

Hoofdstuk 4 BEPALING VAN DE WALL SHEAR RATE MET BEHULP VAN MR

4.1 Inleiding

In hoofdstuk 2 is het belang van de Wall Shear Rate (WSR) aangegeven in verband met de ontwikkeling van atherosclerose. Hoofdstuk 3 gaf aan dat men met behulp van MR met zogenaamde PCA-sequenties de snelheid in een voxel kan bepalen. Dergelijke bepalingen kunnen zelfs in 3D uitgevoerd worden, waarmee het gehele snelheidsvectorveld wordt vastgelegd. Het uiteindelijke doel van dit project is nu het ontwikkelen van een automatische methode voor WSR­bepalingen in 3D. Er worden twee methoden voorgesteld. Deze methoden zijn gebaseerd op een aantal veronderstellingen. De invloed en validiteit hiervan is onderzocht in lD- en 2D-situaties in rechte vaten (carotis communis en thoracale aorta, zie appendix A). De tijdgemiddelde stroming aldaar is voorlopig vrij van secondaire stromingen verondersteld (dus v(j) = 0 ). De mogelijke

invloed van eventuele secondaire stromingen op de SR-bepaling komt in §4.3.3 aan bod. Het valideren van deze methoden in die lD- en 2D-situaties is mogelijk, omdat in die situaties ook op handmatige wijze de WSR te bepalen is. Men kan derhalve de resultaten van de verschillende methoden vergelijken en de invloed van bepaalde veronderstellingen, van de methode om in 3D de WSR te benaderen, "isoleren".

Het onderzoek kent de volgende datasets. Met MR zijn 2D cardiac triggered QF PCA-acquisities verricht in meetvlakken loodrecht op de carotis communis en de thoracale aorta. Men krijgt hierbij een dataset die de snelheid loodrecht door het meetvlak op iedere positie in het vlak als functie van de tijd bevat. In deze 2D-dataset is vervolgens handmatig een radiaal lD-profiel bepaald met behulp van het software pakket Analyze™. Een dergelijk profiel dat zodanig is aangelegd dat het door het centrum van het vat loopt, geeft het snelheidsprofiel als functie van de tijd. Men dient zich te realiseren dat de in dit hoofdstuk beschreven datasets in lD en 2D afkomstig zijn van dezelfde acquisitie en alleen verschillen in postprocessing. Een en ander staat weergegeven in figuur 4.1.

31

bepaling van WSR met MR

7 ~ M r I

• '

I ~ '

2DPCA ~y)ri;y

x x ··.:

3DPCA

Figuur 4.1 De verschillende MR-acquisities en verwerkingsmethoden. De gebruikte JD-profielen en 2D-vlakken stammen dus van dezelfde 2D-acquisitie. Voor JD en 2D is telkens de snelheid (links) en SR (rechts) afgebeeld. 3D is op zich een aparte acquisitie. Visualisatie van de snelheid of SR is hierbij niet eenvoudig. Daarvoor wordt verwezen naar hoofdstuk 6.

Verder zijn er 3D (cariac triggered) QF PCA-acquisities verricht van de caotis bifucatie. Hierbij is cardiac triggered tussen haakjes gezet, omdat ook onderzocht is of ongetriggerde metingen bruikbaar waren voor WSR-bepalingen. De hier gebruikte conventie voor de richting x, y en z wordt in het gehele verslag gehandhaafd. Dat wil zeggen dat bij 2D-datasets het .xy-vlak loodrecht op het vat staat. In 3D-datasets komt het .xy­vlak overeen met de transversale richting in de mens (dat wil zeggen voor een staande mens, het horizontale vlak). In de hierboven beschreven datasets in ID, 2D en 3D zijn vervolgens (Wall) SR-bepalingen gedaan.

Dit hoofdstuk is als volgt opgebouwd. In §4.2 zal behandeld worden hoe in het algemeen de (Wall) Shear Rate met behulp van MR bepaald kan worden. Vervolgens zal in §4.3 meer in het bijzonder gekeken worden naar bepalingen in ID, 2D en 3D. Hierbij zal gewezen worden op problemen die optreden bij de bepaling van de WSR in ID, 2D en 3D. Dynamische (tijdafhankelijke) en tijdgemiddelde WSR-bepalingen zullen hierbij de revue passeren. Dan worden in §4.4 twee methoden voorgesteld, die de WSR in 3D bepalen. In het volgende hoofdstuk zal een uitgebreide foutenanalyse van de voorgestelde metingen in ID, 2D, en 3D worden gegeven.

4.2 Shear Rate

Voor de bepaling van de SR op de vaatwand zijn de volgende stappen van belang: Bepaling van de vaatwandpositie

- Bepaling van de stress-tensor Bepaling van de normaalvector.

Dit betekent in de praktijk dat men bij MRI-gebruik zowel FFEIM- als de PCAIP-beelden moet meten en reconstrueren. De FFEIM-beelden zijn nodig voor de bepaling van de positie van de

32

bepaling van WSR met MR

vaatwand, i.e. segmentatie. In deze FFE/M-beelden heeft het signaal uit het bloedvat een hogere intensiteit dan de achtergrond (zie §3.3.1). De vaatwandpositie wordt bepaald met behulp van een "region growing" algoritme zoals beschreven is in [BOS 96]. Hierbij wordt vanuit een door de gebruiker aangebracht beginpunt (seed point) in het vat een gesloten oppervlak gegroeid totdat het op een voxel stuit dat beneden een bepaalde, door de gebruiker ingestelde grenswaarde (threshold) komt. Hiermee wordt dan een zogenaamd "mask" gemaakt dat slechts waarde één heeft binnen dit gegroeide oppervlak, daarbuiten is wordt de waarde nul gemaakt. Men krijgt aldus een binair beeld met waarde één in de vaatboom en waarde nul daarbuiten. Het buitenste voxel met waarde één wordt het wandvoxel genoemd. Uit [BOS 96] blijkt dat het beste de threshold halverwege tussen de signaalintensiteit uit het vat en de achtergrond gekozen kan worden. Dan treedt er geen over- of onderschatting van de vaatdoorsnede op. In de literatuur worden veelal de PCNM-beelden voor segmentatie gebruikt. Bij deze beelden wordt het contrast tussen stilstaand achtergrondweefsel en stromend bloedvat gegenereerd door het verschil in snelheden. Echter, bij complexe stromingen bijvoorbeeld in en na bifurcaties is het mogelijk dat het bloed als gevolg van loslaatverschijnselen aan de vaatwand nagenoeg stilstaat [VOS 97] (zie figuur 4.2).

figuur 4.2 Een stationair stromingsprofiel zoals men dat op grond van simulaties en metingen in vitro in een carotis bifurcatie verwacht [VOS 97]. Er zijn duidelijke gebieden alwaar de stroming loslaat. Op die posities verwacht men een lage tijdgemiddelde WSR.

In die gevallen zal de positie van de vaatwand niet juist bepaald worden in de PCA/M-beelden. Het zijn echter juist de gebieden waar deze loslaatverschijnselen op kunnen treden, die potentieel interessant zijn voor SR-onderzoek. Met het oog op de doelstellingen van dit onderzoek, o.a. het afbeelden van de SR in medisch gezien interessante gebieden, is er derhalve voor gekozen om in de FFE/M-beelden het vat te segmenteren.

Naast de FFE/M-beelden gebruikt men ook de tegelijkertijd bepaalde PCA/P-beelden. Hiermee wordt het snelheidsprofiel geconstrueerd en eventueel ge-unwrapped (zie §3.3.2). Met deze snelheidsdata kunnen de relevante elementen van stress-tensor worden bepaald. Met de normaalvector kan dan vervolgens de gewenste WSR bepaald worden.

33

bepaling van WSR met MR

Uitgaande van het "simpele" geval van een lD-dataset betekent dit dat men uitgaande van een stroming zonder secondair veld in een rechte buis de snelheid moet afleiden in radiale richting (zie (2.15)). Men dient zich echter wel te realiseren dat het hier de plaatsafgeleide van de snelheidscomponent in de lengterichting van het vat betreft, de zogenaamde hoofd- of primaire stroming.

Samenvattend: met de snelheidsdata van de PCA/P-beelden en vaatwandpositie uit de FFEIM­beelden kan de SR-bepaling zowellangs een lD-lijn, als in een 2D-vlak (beide loodrecht op het vat), als in een 3D-volume uitgevoerd worden. Bovengenoemde bepalingen kunnen gemiddeld over de tijd verricht worden, maar het is in principe mogelijk om bovengenoemde bepalingen dynamisch uit te voeren. Zo kan dus het gemiddelde (stationaire) en/of het tijdsafhankelijke (dynamische) gedrag gemeten worden, langs een lD-lijn, in een 2D-vlak of in een 3D-volume. De specifieke problemen die hierbij op kunnen treden worden besproken in de hierna volgende paragraaf.

4.3 Shear Rate bepaling in lD, 2D of 3D

Door het inherente gebruik van zowel het begrip "normaalvector" als "stress-tensor" bij de definitie van de (Wall) SR ontstaan is de bepaling ervan niet eenvoudig. Om begrip te krijgen voor de bepaling van de WSR wordt achtereenvolgens de lD-, 2D- en 3D-situatie onderzocht.

4.3.1 Shear Rate in lD

Voor een stroming zonder secondairveld geldt dat de radiale plaatsafgeleide van het snelheidsprofiel de SR geeft (zie (2.15)). De bepaling van de SR langs een lD-lijn is dan triviaal. Indien men er namelijk vanuit gaat dat deze lijn door de MRI-gebruiker in radiale richting is aangebracht, wordt de SR eenvoudigweg gegeven door de plaatsafgeleide van het snelheidsprofiel. Hierbij is verder verondersteld dat de hoofdstroomsnelheid bepaald is (vz).

Zoals reeds in hoofdstuk 3 vermeld zijn de met MR gemeten data gediscretiseerd. Een meetvolume is opgedeeld in eindige elementen (voxels) met anatomische informatie (FFEIM-beeld) en snelheidsinformatie (PCA/P-beeld). Om de SR te bepalen is het dus nodig om dit discrete snelheidsprofiel af te leiden naar de plaats. In figuur 4.3 wordt een voorbeeld gegeven een gemeten lD-profiel in de carotis communis (zie appendix A voor de naamgeving van de vaten in de mens). De voxels rondom de posterlor vaatwand zijn hierbij weergegeven. Zowel het FFE/M-profiel als het PCA/P-profiel is gegeven. De threshold is bepaald uit gemeten vatintensiteiten en achtergrondintensiteiten, die over alle hartfases gemiddeld zijn.

34

bepaling van WSR met MR

va!-intensiteit=BBO

... ! 10

threshold=550 I 1 .

·10 -·--·---------····-·-·-·---·--·--·--------------...1 ' t ·• voxel wandvoxal vo:ul

figuur 4.3 JD-profielen zoals die zijn gemeten in de carotis communis van een vrijwilliger in de diastole. Links staat het FFEIM beeld, uitvergroot rondom de posterior vaatwand. Rechts staat het snelheidsprofiel. De pixelgrootte bedraagt hier 0,5 mm. De standaarddeviatie in het FFE/M­signaal en de snelheid zijn aangegeven. Tevens is een lineair benadering gegeven van de plaatsafgeleide.

Aan het FFEIM-beeld is te zien dat de bepaling van het wandvoxel niet altijd even makkelijk en eenduidig is. In dit geval zou bij segmentatieprocedure als hierboven is beschreven, voxel 0 aangewezen worden als het wandvoxel. Dit is namelijk het laatste voxel dat nog boven de threshold ligt. Het lijkt echter dat voxei-I ook nog snelheidsinformatie bevat, hetgeen erop wijst dat er tijdens de betreffende hartfase ook bloed gestroomd heeft door dat voxel. In overweging nemende dat de buitenste voxel méér beïnvloed zal worden door partial volume effecten, is er nu voor gekozen om de WSR in ID te bepalen, gebruikmakende van de binnenste voxels (x=0,x=1,x=2 .. ). In hoofdstuk 6 zal in de praktijk gekeken worden naar de WSR, zoals men die bepaalt indien het wandvoxel één positie naar binnen of buiten schuift. De meest eenvoudige methode om de plaatsafgeleide te bepalen is het profiel te lineariseren tussen twee samplepunten. De WSR wordt dan gegeven door de SR op plaats x=O, die benaderd wordt door:

WSR =SR' = dvl ""'vl -vo lx=O "'~x d a x=O

(4.1)

Voor de nomenclatuur wordt verwezen naar figuur 4.3. Daarnaast is het mogelijk om tweede orde benaderingen te maken, door lokaal een parabool door 3 samplepunten te berekenen. De afgeleide van deze parabool op positie x=O geeft de WSR, die dan wordt benaderd door:

(4.2)

Hogere orde benaderingen zijn ook mogelijk, maar zijn deze in deze studie niet bekeken.

4.3.1.1 Partial volume effecten en dynamische Wall Shear Rate bepaling Bovenstaande benaderingen zijn in principe algemeen geldig voor plaatsafgeleidebepalingen op iedere plaats in het meetvolume. Dat wil zeggen dat de SR op ieder positie langs het 1D­snelheidsprofiel op dergelijke wijze bepaald kan worden. Men dient hierbij wel in ogenschouw te nemen dat ( 4.1) en ( 4.2) niet symmetrisch rondom het centrum van het vat zijn. Deze formules zijn opgesteld redenerend van buiten naar binnen het vat (gezien vanuit het centrum van het vat). In dit onderzoek is echter niet zo zeer de plaatsafgeleide in het algemeen van belang maar vooral de plaatsafgeleide op de vaatwand, de zogenaamde Wall Shear Rate (WSR). In §3.3.2 is reeds

35

bepaling van WSR met MR

melding gemaakt van partial volume effecten die optreden indien men met MR snelheden meet. In voxels waarin zich gedeeltelijk stromend bloed en gedeeltelijk stilstaande vaatwand bevindt (wandvoxels), is de weergegeven snelheid in dat voxel niet meer in overeenstemming met de snelheid van het bloed aldaar. In verschillende artikelen worden methoden beschreven om dit probleem te ondervangen [OSH 95], [OYR 97]. Hierin wordt dan een schatting gemaakt van de positief van de vaatwand binnen het wandvoxel, zogenaamde sub-voxel vaatwandpositiebepaling (zie ook figuur 4.3). Indien het snelheidsprofiel ter plaatse nu lineair wordt benaderd en men de snelheid v0 van het wandvoxel niet direct gebruikt, luidt de formule voor de WSR:

WSR :::::--v-'--1 -

d(l+ J) (4.3)

Voor de precieze bepaling van f bestaan verschillende methoden die zijn gebaseerd op de snelheidsdata (PCA/P-beelden) of op directe wijze met de magnitudedata (FFFJM-beelden). In deze studie is hiervan echter geen gebruik gemaakt, omdat niet altijd een duidelijk wandvoxel aan te wijzen was. Hier wordt in hoofdstuk 5 en 6 nog op teruggekomen.

Hierboven zijn drie benaderingen gegeven voor het bepalen van de (Wall) SR. De eerste twee (4.1) en (4.2) zijn algemeen toepasbaar, zowel bij (Wall) SR bepalingen per hartfase als bij gemiddelde (wall) SR-bepalingen met behulp van gemiddelde snelheidsprofielen. De laatste benadering van WSR (4.3) is slechts zinnig als er sprake is van een eenduidig bepaalde vaatwandpositie binnen een voxel. Bij WSR-bepalingen uit gemiddelde snelheidsprofielen echter is hiervan als gevolg van de vaatwandbeweging geen sprake.

4.3.1.2 Intermezzo: Dynamische of tijdgemiddelde Shear Rate Vanwege de door het hartopgewekte drukgolf en de elasticiteit beweegt de vaatwand in de tijd, met een periode ter grootte van een hartslag. Indien men het dynamische gedrag wil volgen, zal men dus de beelden van iedere hartfase apart moeten segmenteren. Voor een correcte benadering van het periodieke gedrag dient men toch over minimaal 16 hartfases te beschikken ([Mll- 89] maakt melding van het feit dat met 8 harmonische, het dynamische gedrag in een hartfase voor 97% wordt beschreven. Met het Nyquist-theorema kan dan gesteld worden dat men grofweg minimaal 2x8=16 samplepunten nodig heeft). Voor een 3D-scan zal dit in de praktijk niet haalbaar blijken. Bij dergelijke scans dienen zodanige gradiënten geschakeld te worden dat, afhankelijk van het hartritme van de vrijwilliger, maximaal zo'n 8 tot 12 hartfases gemeten kunnen worden.

Indien langs een lD-lijn gemeten wordt (met eerder genoemde impliciete veronderstellingen met betrekking tot de richting van de lijn en snelheidscomponent) zijn problemen die worden veroorzaakt door de vaatwandbeweging nog niet onoverkomelijk. Afgezien van de toename in bewerkingstijd, doordat men alle hartfases apart moet segmenteren (zie daarvoor de volgende alinea), is het op zich mogelijk om tijdens iedere hartfase de vaatwandpositie te bepalen. In dit eenvoudige lD-geval kan men dus een stukje van de vaatwand "volgen" in de tijd (vanaf nu: walltracking). Vervolgens is het mogelijk om van dat stukje van de vaatwand het dynamische gedrag van de WSR te bekijken of, door het tijdgemiddelde te nemen, een tijdgemiddelde WSR te bepalen. In 2D en 30 is het volgen van een dergelijk stukje van de vaatwand niet meer eenduidig, doordat de vaatwand vervormt, dat wil zeggen rekt en krimpt. Het ontwerpen van een automatisch walltracking systeem dat die beweging kan volgen kan hier uitkomst bieden, maar valt buiten het bestek van dit onderzoek.

36

bepaling van WSR met MR

Buiten deze walltracking-problemen die in 2D en 3D ontstaan, wordt bij 3D-bepalingen ook de bewerkingstijd de beperkende factor. Zoals gezegd dient men rond de 16 hartfases te scannen. Dit betekent ook dat de segmentatieprocedure 16 keer moet worden uitgevoerd. De gebruikte segmentatieprocedure is slechts toepasbaar op transversale 2D-vlakken, omdat men te maken heeft met een 3D-dataset die qua intensiteit in de lengterichting van het vat sterk verloopt. Dit is het gevolg van de gebruikte kleine ontvangstspoeL Deze spoel heeft slechts een beperkt ontvangstbereik, waardoor weefsels die verder van de spoel liggen slechts weinig signaal geven ten opzichte van dichtbij gelegen weefsels. Het voordeel van een dergelijke spoel schuilt in het feit dat men een betere SNR verkrijgt (omdat men ook over een kleiner volume ruis binnen krijgt). Een 3D-volume bestaat uit een aantal 2D-vlakkken. Uitgaande van een interessant volume met een lengte van 80 mm en een resolutie van 0,8 mm kan het aantal vlakken oplopen tot 100. Dit betekent dat er in 1600 vlakken moet worden gesegmenteerd. Dit is ten gevolge van het tijdrovende karakter van iedere segmentatieprocedure in de praktijk niet meer realiseerbaar. Men moet hierbij dan immers denken aan ongeveer één uur per hartfase ..

Er is dus een drietal redenen te noemen, waarom het werken met dynamische 3D-datasets niet mogelijk is voor dynamische WSR-bepalingen. In de medische wetenschap wordt echter niet alleen waarde gehecht aan het dynamische gedrag van de WSR, maar zeker ook aan de gemiddelde waarde van de WSR (zie §2.2.1). Er kan dus volstaan worden met het bepalen van de WSR's in tijdgemiddelde snelheidsprofielen. In geval van MR dient men dan de tijdgemiddelde FFE/M- en PCNP-beelden te segmenteren en te bewerken.

Het bovenvermelde in overweging nemende, is in de verdere studie vooral aandacht besteed aan tijdgemiddelde datasets. Slechts in 1D zal nog wel worden gewerkt met dynamische profielen, waarmee de invloed van tijdmiddeling bekeken wordt.

4.3.2 Shear Rate in 20

Met het toenemen van het aantal dimensies nemen ook de moeilijkheden toe. Uitgaande van een tijdgemiddelde 2D-dataset van een recht vat waar geen secondaire stroming heerst, waarvan de gemeten snelheid in de lengterichting van het vat staat, kan men op basis van (2.13) en (2.14) het volgende overwegen.

Ook hier geldt, net als in 1D, dat de WSR wordt gegeven door de radiale plaatsafgeleide van de snelheid (zie (2.15)). Op zich is het eenvoudig handmatig aan te geven wat die radiale richting is. Het doel is echter een methode te ontwikkelen die in 3D automatisch die radiale richting bepaalt. Door nu handig gebruik te maken van de veronderstelde secondairveld-vrije tijdgemiddelde stroming is het niet nodig om die radiale richting expliciet te kennen. De gradiënt van het scalarveld, dat gegeven wordt door de magnitude van de snelheidsvector, staat per definitie in de richting van de grootste verandering van de snelheid. Aangenomen dat de snelheid toeneemt naar het centrum van het bloedvat (zie (2.10), een symmetrische stroming), kan men een betrekking opstellen voor de normaalvector op basis van de stromingsinformatie:

(4.4)

37

bepaling van WSR met MR

Hierbij is eerst de normaalvector voor de veronderstelde secondairveld-vrije stroming in de z­richting in cilindercoördinaten gegeven en vervolgens het cartesische geval. Aangezien de lengte van beide vectoren per definitie gelijk moet zijn, kan aan de hand van (2.15) gesteld worden dat de WSR dan eenvoudigweg gegeven wordt door de lengte van de gradiënt van de hoofdstroomsnelheid, indien men tenminste een stroming zonder secondaire componenten verondersteld. Bij deze constatering wordt even stilgestaan. Op basis hiervan kan men een automatische methode ontwikkelen om de WSR te bepalen in 2D. Daarvoor hoeft "slechts" de lengte van de gradiëntvector worden bepaald. Ook voor automatische WSR-bepaling in 3D zal (4.4) van belang blijken te zijn.

4.3.3 Shear Rate in 3D

Ook voor de verwerking van 3D-datasets wordt slechts gebruik gemaakt van tijdgemiddelde data. In de vorige paragraaf is een normaalvector opgesteld voor een tijdgemiddelde 2D-dataset van een secondairveld-vrije stroming. Ook in 3D kan een dergelijke vector worden opgesteld. Uitgaande van het stationaire (tijdgemiddelde) profiel in een carotis bifurcatie zoals dat is aangegeven in figuur 4.2 kan men veronderstellen dat de magnitude van de snelheidsvector in radiale richting toeneemt. De grootte van de afgeleide in de lengterichting van het vat mag in het algemeen voor het dynamische geval verwaarloosd worden, als men bedenkt dat de golflengte van de druk- en flowgolven in de orde van enkele meters liggen [JON 97]. In het tijdgemiddelde geval kan men dit ook stellen. De gradiëntvector van de magnitude van de snelheidsvector staat dan dus voornamelijk in radiale richting. De invloed van afwijkingen hierin zullen in hoofdstuk 5 worden besproken. De normaalvector van een willekeurig georiënteerde stroming in 3D wordt dan gegeven door:

n= av ay

av] oz

I x,y,zewand

waarbij V de magnitude van de snelheidsvector die is gegeven door:

(4.5)

(4.6)

In hoofdstuk 6 zal een 2D-dataset besproken worden van de thoracale aorta, die bepaald is met snelheidsgevoelige gradiënten in drie richtingen. Ondanks het feit dat men hier dus te maken heeft met een 2D-dataset, beschikt ieder voxel wel over een 3D-snelheidsvector en dus een waarde V. Hiermee kan onderzocht worden wat de invloed is van secondaire stromingen op de lengte en richting van de normaalvector. Let op, bij deze dataset is het niet mogelijk om de afgeleide in de lengterichting van het vat te bepalen, aangezien men maar over één plak beschikt. Met de normaalvector zoals die in (4.5) berekend is, kan op basis van (2.12) en (2.14) de WSR op een 3D­vaatboom berekenen. Dit is de eerder vermelde tensormethode.

Men kan echter ook de WSR op een andere manier benaderen. Hierbij gaat men uit van de lengte van de gradiëntvector van de magnitude van de snelheidsvectorveld. In 2D is al aangetoond dat, onder voorwaarde dat er geen secondaire stroming heerst, deze lengte op de vaatwand gelijk is aan

38

bepaling van WSR met MR

de WSR. Uitgaande van de veronderstelling dat het vat in de z-richting ligt en de afgeleide in deze richting klein is (zie vorige alinea) vergeleken met de radiale afgeleide kan men stellen dat de lengte van de gradiëntvector de WSR geeft voor een axiaal symmetrische 3D-stroming. Om enig idee te krijgen in hoeverre eventuele secondaire stroming en eventuele asymmetriën hierop invloed hebben, wordt dit punt nader uitgewerkt. De gradiënt uit (4.5) luidt in cilindercoördinaten, waarbij de lengterichting van het vat in de z-richting staat:

vv =[av dr

1 av r d<p

met de magnitude van de snelheidsvector gegeven door:

(4.7)

(4.8)

Zoals in de vorige alinea aangestipt mag men de afgeleide van de snelheden in de lengterichting klein veronderstellen. Er wordt nu voor het vervolg uitgegaan van secondaire stromingen zoals die gemeten zijn in de suprarenale aorta (zie hoofdstuk 6). Deze stroming bestond uit een secondair

veld in de vorm van een wervel. De tijdgemiddelde waarde ligt in de orde van V'P ""5 cm/s (zie

figuur 6.7). De tijdgemiddelde waarde van de hoofdstroom bedraagt ongeveer Vz ""30cm/s. De

radiale snelheidscomponent is verwaarloosbaar. Als men nu uitgaat van een degelijke stroming mét een secondair veld, maar zonder radiale snelheidscomponenten, dan kan met door (4.8) in te vullen in (4.7) de volgende vergelijking verkrijgen voor de gradiëntvector (let op, voor een beter overzicht zijn in deze paragraaf de vectoren als kolomvector genoteerd):

VV=l_ V

(4.9)

In [VOS 97] wordt een afschatting gegeven van de orde van grootte van de grenslaag, door de visceuze krachten en stationaire- traagheidskrachten in de stromingsvergelijkingen gelijk aan elkaar te stellen:

(4.10)

Hierin is L de karakteristieke inloop lengte, V de karakteristieke snelheid en v de dynamische

viscositeit van het bloed. De karakteristieke snelheden zijn gemeten in de aorta ( V'P en Vz ). Voor

de inlooplengte wordt voor de hoofdstroming een lengte L "" 10 cm genomen, dat is de lengte vanaf de aortaboog tot het suprarenale traject van de aorta. Over deze inlooplengte kan de grenslaag "aangroeien". Voor de secondaire wervelstroming wordt een inlooplengte in de orde van de omtrek van het vat genomen, die een straal heeft van R "" 1 cm.

39

bepaling van WSR met MR

Nu kan men twee gevallen onderscheiden: een overwegend symmetrische stroming of een sterk asymmetrische stroming, zoals men die bijvoorbeeld aantreft na een bifurcatie (zie figuur 4.2).

Symmetrische stroming

In dit geval wordt de WSR gegeven door (2.14). Vergelijkt men de orde van grootte van beide componenten dan ziet men:

vq>

t:, = ---'

0

~~-q> ~=a[~: ~ 2~ J<< 1

ar V ' o~

Hf (4.11)

Op basis hiervan wordt de WSR uit 2.14 gegeven door:

avq> 2

1+ ar ::::: av, av, ar

WSR= (~J2

+(av, )2

_ av, ar ar ar (4.12)

ar

Dus in een dergelijke stroming wordt de WSR voornamelijk bepaald door de hoofdstroomsnelheid.

Nu bekend is wat de WSR is, zal bekeken worden hoe de gradiëntvector zich gedraagt bij dergelijke symmetrische stromingen. Bij symmetrische stroming geldt per definitie dat de azimutale afgeleiden nul zijn. Dus in dat geval houdt men de volgende gradiëntvector over (zie (4.9)):

avq> av v -+v _z q> ar z ar

0 (4.13) 0

Samen met deze afschattingen kan men voor de eerste component van de gradiënt stellen:

40

bepaling van WSR met MR

(4.14)

Men ziet dus dat de term ten gevolge van de secondaire wervel een verwaarloosbare bijdrage levert aan de eerste component van de gradiëntvector. In dat geval kan dus gesteld worden dat de lengte van de gradiënt wordt gegeven door:

(4.15)

De lengte van de gradiënt vector geeft voor een symmetrische stroming op de vaatwand een onderschatting de WSR zoals die is berekend in (4.12). Deze benadering wordt beter naarmate de hoofdstroomsnelheid groter wordt ten opzichte van de secondaire stroomsnelheid.

Asymmetrische stroming Nu kan men voor een dergelijke stroming twee posities op de vaatwand nader bestuderen. De eerste is aan de kant van de splitsing (zie figuur 4.2). Hier heeft de grenslaag niet losgelaten en geeft (4.10) een benadering van de grenslaag. De afschattingen voor de WSR uit vergelijkingen ( 4.11) en ( 4 .12) blij ven hierdoor intact.

Voor de gradiëntvector wordt het volgende overwogen (zie figuur 4.2). De hoofdstroomsnelheid aan een kant van het vat is nul terwijl aan de andere kant juist een maximale stroomsnelheid heerst. De azimutale afgeleiden kunnen dan afgeschat worden door te stellen dat de snelheid toeneemt van nul tot het maximum ( 11 respectievelijk Vq>) over een hoek van 1t radialen. De grootte van de deze

beide azimutale afgeleiden uit (4.9) verhouden zich als volgt met elkaar:

(4.16)

Met (4.16) kan (4.9) worden benaderd:

41

bepaling van WSR met MR

1 VV=­

V (4.17)

Zoals gezegd geeft (4.10) op deze positie een benadering van de grenslaag. Op basis van (4.14) kan ook hier gesteld worden dat de eerste term van de eerste component veel groter is dan de tweede term. De gradiëntvector wordt dan gegeven door:

(4.18)

Een vergelijk van de orde van grootte van beide componenten levert:

~~ ~ 1~La(-' tL )<<1. avz 5 1tR 2V V- _ z

z ar V2 0 _z_

ff

(4.19)

Hierbij is gebruik gemaakt van een voor bloed karakteristieke viscositeit van V = 4 ·1 0-6 m2s-1

[MIL 89]. De lengte van de gradiënt wordt ter plaatse r=R slechts bepaald door de eerste component, hetgeen een onderschatting geeft voor de WSR zoals die in ( 4.15) is vermeld.

Aan de andere kant van het vat geeft (4.10) geen goede benadering van de grenslaag voor de hoofdstroming, aangezien het bloed daar nagenoeg stilstaat over een groot gebied (het loslaat­gebied, zie figuur 4.2). Een beter benadering van orde van grootte van de grenslaag wordt gegeven door de straal R. Op basis hiervan moet een opnieuw worden gekeken naar de orde van grootte van de termen in (2.14). Een vergelijk van beide termen levert:

(4.20)

42

bepaling van WSR met MR

De orde van grootte van de WSR uit (2.14) wordt dan met (4.20) benaderd door:

2

WSR= (~J2

+(avz )2

_ avz ar ar ar (4.21)

De WSR wordt op deze positie door zowel de hoofdstroom als de secondaire stroom bepaald.

Op basis hiervan moeten ook de termen van de eerste component van de gradiëntvector uit (4.9) opnieuw met elkaar worden vergeleken:

(4.22)

Nu is de eerste term minder dominant. Vergelijkt men deze met de tweede term dan, wordt het volgende gevonden:

(4.23)

Ook hier is geen duidelijk verschil in orde van grootte. Op basis van de orde van grootte uit (4.22) en (4.23) kan de orde van grootte van de lengte van de gradiënt uit ( 4.17) worden berekend:

2

1+ (4.24)

Als (4.21) met (4.24) wordt vergeleken ziet men dat in loslaatgebieden de WSR wordt onderschat

met de lengte van de gradiënt. De lengte van de gradiëntvector is minimaal een factor -J2 kleiner dan de WSR, als de secondaire stroomsnelheid verwaarloosbaar klein is ten opzichte van de hoofdstroomsnelheid. Als de secondaire stroom groter wordt dan zal deze onderschatting nog groter worden.

43

bepaling van WSR met MR

In het algemeen kan dus gesteld worden dat voor symmetrische stromingen met de gradiëntmethode, afhankelijk van de grootte van de secondaire stroom, een onderschatting wordt gegegeven van de WSR. De benadering wordt beter naarmate de secondaire stroom kleiner wordt ten op zichte van de hoofdstroom. Ook voor asymmetrische stroming bij bifurcaties, uitgaande van de secondaire stromen zoals die gemeten zijn in de aorta, geeft de lengte van de gradiëntvector een goede benadering van de WSR. Echter in het loslaatgebied zal men de WSR onderschatten

minimaal met een factor .J2 onderschatten, onafhankelijk van de grootte van de secondaire stroom. Ook voor het geval dat het vat een willekeurige oriëntatie heeft in een cartesisch stelsel, geeft de lengte van de gradiëntvector dus een benadering van de WSR.

Het verschil tussen de tensormethode en de gradiëntmethode schuilt vooral in de aannames die gemaakt moeten worden. Voor de tensormethode wordt de algemene stress-tensor uitgerekend zonder enige stromingseigenschappen te veronderstellen, behalve dan het een gegeneraliseerde newtonse stroming betreft (zie §2.3.2). De enige extra veronderstelling ligt in het feit dat de normaal wordt benaderd door (4.5). De gradiënt-methode voegt aan deze veronderstelling nog toe dat het een stroming betreft waarvan de azimutale snelheden klein zijn ten opzichte van de hoofdstroomsnelheid en de azimutale afgeleiden klein zijn ten opzichte van de radiale afgeleiden. In hoofdstuk 6 zal op een aantallocaties de grootte van deze secondaire stroming bepaald worden. Het nadeel echter van de tensormethode is, zoals in hoofdstuk 5 zal worden aangetoond, dat deze gevoelig is voor onzekerheden in de snelheid.

Zowel de tensormethode als de gradiëntmethode rekenen de WSR uit. Hierbij is wel verondersteld dat men ook door segmentatie van de FFEIM-beelden weet welk voxel men moet aanwijzen als vaatwand. Hierin schuilt natuurlijk het probleem dat door vaatwandbeweging de wand, in de tijdgemiddelde dataset, zich gedurende de hartslag in verschillende voxels bevindt. De invloed hiervan op de WSR-bepaling wordt onderzocht in lD-profielen, waarbij men de tijdgemiddelde WSR kan bepalen door de dynamische WSR te middelen over alle hartfases (walltracking is hier immers mogelijk, zie §4.3.1.2) of door de WSR te bepalen van het tijdgemiddelde profiel. De resultaten van dit vergelijk worden in hoofdstuk 6 behandeld.

4.4 Bepaling van Wall Shear Rate op een 3D-vaatboom: de praktijk

In de voorgaande paragrafen zijn twee methoden ontwikkeld waarmee men in 3D op (semi) automatisch wijze de WSR kan bepalen. Semi-automatisch slaat hier op het feit dat de (Wall) SR wel automatisch wordt bepaald, maar er is nog steeds een MR-gebruiker nodig die het vat segmenteert. De methoden bestaan uit de volgende stappen:

44

bepaling van WSR met MR

Verkrijgen van tijdgemiddelde PCA/P-beelden en FFEIM-beelden

Segmenteren van de FFE/M-beelden

tensormethode gradiëntmethode Berekenen van stress-tensor Berekenen van lengte van gradiëntvector

Bepalen van normaalvector

Berekenen van de WSR

Visualiseren van de .WSR

De positionele afgeleiden die in de stress-tensor (2.12) en in de normaal- en gradiëntvector (4.5) en (4.7) voorkomen zijn als volgt bepaald. In §4.3.1 is aangegeven hoe voor discrete datasets de positionele afgeleide bepaald kan worden (zie (4.1) en (4.2)). Hierbij is telkenmale het verschil genomen tussen twee opeenvolgende voxels en die is vervolgens gedeeld door de voxelgrootte d. In principe kan dit uitgevoerd worden voor de verschillende componenten van de snelheid in de verschillende richtingen. Er schuilt echter een probleem welke SR men moet toekennen aan welk voxel. Zoals al eerder aangegeven in §4.3.1, zijn (4.1) en (4.2) niet symmetrisch rond het centrum van het bloedvat. Als men een dergelijke afgeleide toepast op een dataset dan zou bijvoorbeeld een afgeleide in de x­richting eerst van buiten naar binnen het vat worden bepaald en als men voorbij het centrum van het vat komt, juist weer van binnen naar buiten. De waarde van de SR wordt in (4.1) en (4.2) telkens toegekend aan het eerste voxel waar vanuit men redeneert. Dus de SR in voxel 1 (positie x=1) wordt bepaald door het verschil tussen v2 en v1; de SR in x=2 wordt bepaald door het verschil tussen v3 en v2• Deze asymmetrie is in de praktijk onacceptabel. De plaatsafgeleide aan de voorkant van het vat moet op dezelfde wijze bepaald worden als aan de achterkant (en hetzelfde geldt natuurlijk voor links, rechts, onder en boven). Bij lD-profielen kan de gebruiker nog het centrum van het vat aangeven en het teken van (4.1) of ( 4.2) omwisselen en de SR telkens aan het buitenste voxel toekennen. In een 3D-dataset echter, is het centrum echter niet makkelijk (automatisch) te bepalen. De redenatie dat men hiervoor de normaalvector uit (4.5) kan gebruiken is gebaseerd op een drogredenering, omdat men voor de berekening van deze normaalvector juist die plaatsafgeleide nodig heeft! Men zou kunnen voorstellen om de in (4.1) bepaalde SR toe te kennen aan positie x=l/2. Dit geeft echter problemen met de bepaling van het wandvoxel. Hiervoor wordt namelijk het FFEIM-beeld gebruikt. Zonder gebruik van interpolatietechnieken is het wandvoxel slechts toe te kennen aan een discreet voxel, x=m (waarbij meen geheel getal). Deze redenatie gaat overigens niet op voor de kwadratische benadering uit (4.2). Hier zou men immers de waarde telkens toe kunnen kennen aan het middelste voxel. De kwadratische benadering van het profiel wordt echter in deze studie niet toegepast, omdat de fout in die bepaling erg groot wordt (dit lijkt contra-intuïtief, maar dit zal in de volgende paragraaf echter bewezen worden). Een betere methode van lineaire afgeleide-bepaling wordt derhalve gegeven door de afgeleide te bepalen aan de hand van de twee omliggende voxels, en de SR-waarde toe te kennen aan het middelste voxel. Er geldt dan:

WSR=SRI = v2 -vo. x=l 2d

(4.25)

45

bepaling van WSR met MR

Voor de nomenclatuur wordt verwezen naar figuur 4.3. Deze bepaling kan men alleen toepassen indien de voxelgrootte klein genoeg is. Dat wil zeggen dat de afgeleide over de drie voxels aan de vaatwand slechts weinig varieert. Voor tijdgemiddelde stromingsprofielen zal dit een redelijke veronderstelling blijken te zijn (zie volgend hoofdstuk). Voor dynamische profielen zal overigens steeds de lineaire benadering van ( 4.1) worden gebruikt. Een bijkomend voordeel van ( 4.25) is dat de ruis in de afgeleidebepaling ten gevolge van de ruis in de snelheid een factor 2 keer zo klein wordt. Hierop wordt in de volgende paragraaf teruggekomen.

Voor de verwerking en visualisatie is gebruik gemaakt van het software pakket Analyze™. Hierin kunnen 3D-datasets worden ingeladen en gemanipuleerd. Er is hieraan een routine toegevoegd waarmee de WSR wordt bepaald. In Analyze™ is ook het vat gesegmenteerd uit het FFEIM-beeld. De berekende WSR wordt nu op dit vat geprojecteerd, opdat een indruk verkregen kan worden van de verdeling van de WSR op de vaatboom.

46

Hoofdstuk 5 FOUTEN BIJ SHEAR RATE

BEPALING MET MR

5 .1 Inleiding

foutenanalyse

In het voorgaande hoofdstuk is aangegeven hoe de WSR bepaald kan worden in verschillende datasets. Hier zal worden stilgestaan bij die fouten de hierbij gemaakt worden.

Er kunnen verschillende foutenbronnen onderscheiden worden. Natuurlijk is de snelheidsmeting inherent behept met een onzekerheid, zoals beschreven is in §3.3.2.1. Tevens treden er fouten op ten gevolge van onzekerheden in de vaatwandpositiebepaling in het FFE/M-beeld. Dit worden tezamen de "zachte" fouten genoemd. Deze fouten zijn niet structureel, maar kunnen beschouwd worden als ruis. Daarnaast ontstaan er structurele fouten door de methode van afgeleidebepaling, zogenaamde "harde" fouten. Hierin kunnen de volgende fouten onderscheiden worden. Ten eerste fouten die optreden door de lineaire benadering van het snelheidsprofiel bij de vaatwand. Ten tweede fouten die optreden door het eventuele gebruik van tijdmiddeling of van de gradiënt- of tensormethode. Als laatste worden ook de fouten als gevolg van partial volume effecten hiertoe gerekend.

De foutenanalyse is opgebouwd door telkenmale vanuit de 1D-situatie via 2D-vlak naar een 3D­volume te stappen. Hierbij kunnen dan de verschillende foutenbronnen die optreden bij de benadering van het 3D-probleem, worden geïsoleerd en gekwantificeerd.

Bij alle metingen in 1D, 2D of 3D dient de zogenaamde stationaire of instationaire grenslaagdikte

(respectievelijk osrar, o dyn ) in het oog gehouden te worden. Deze is gedefinieerd als de afstand

vanaf de wand, waarbij de visceuze term en stationaire dan wel instationaire traagheidheidstermen uit (3.1) van gelijke orde van grootte zijn [VOS 97]. In deze grenslaag spelen visceuze aspecten een rol en bestaat een plaatsafgeleide van de snelheid ongelijk aan nul; buiten deze grenslaag neemt de invloed van de viscositeit af. Een correcte SR-bepaling dient in deze grenslaag te gebeuren [LOU 93]. De orde van grootte van de grenslaag wordt gegeven door [VOS 97]:

ostat =0 ~~ )

~~~. =0/ ~~ co)

aorta 1mm 0,8mm carotis communis 0,9mm 0,8mm

tabel 5.1 De theoretisch afgeschatte stationaire en instationaire grenslaagdikte op verschillende posities in het menselijk vaatstelsel.

Hierbij is de kinematische viscositeit v gegeven door 4.10·6 (m2s-1) [MIL 89]. De karakteristieke

inlooplengte is afgeschat op L=0,1 (m) voor de aorta en L=0,2 (m) voor de carotis communis. De karakteristieke hoekfrequentie is bepaald bij een algemeen geaccepteerde hartfrequentie van 1 Hz (zestig slagen per minuut), dus ro"" 6 (rads-1

). Verder is de karakteristieke tijdgemiddelde snelheid

47

foutenanalyse

bepaald op V:0,2 (ms-1) voor de aorta [MIL 89] en V =0,5 (ms-1

) voor de carotis communis [KLO 96]. Hierbij dient aangetekend te worden dat het gaat om een afschatting van de grenslaag. In [LOU 93] wordt op basis van Womersley-profielen in de carotide de dynamische grenslaag afgeschat op 2 mm. Bovenstaande tabel dient gezien te worden als een indicatie voor de orde van grootte van de grenslaag.

5.2 Fout in de bepaling van de Shear Rate bij een lD-profiel

Men gaat er bij 1D-profielen impliciet vanuit dat de MR-gebruiker de lijn in radiale richting aanlegt en er gemeten is met een snelheidsgevoeligheid in de lengterichting van het vat. Bij beide veronderstellingen gaat het om de projectie van door de MR-gebruiker aangebrachte richting met de "echte" richting. De grootte van een dergelijke projectie gaat met het inprodukt en schaalt dus metcos(a). Indien men veronderstelt dat de fout in orde van 5° ligt. Dit betekent dat deze

impliciete veronderstelling een extra ruis oplevert ter grootte van (_2_ .1t Y = 1% . Dit zal 180 )

verwaarloosbaar blijken te zijn ten opzichte van de andere foutenbronnen.

5.2.1 Dynamisch

In het geval van een 1D-profiel in de x-richting kan men het dynamische gedrag bestuderen. Langs het profiel is het mogelijk in alle hartfases een wandvoxel aan te geven. Vervolgens wordt in dat voxel de plaatsafgeleide van de snelheid benaderd. Het feit dat dit wandvoxel niet altijd eenduidig is vast te stellen wordt voorlopig buiten beschouwing gelaten. De invloed hiervan wordt in het volgende hoofdstuk in de praktijk getoetst.

De harde fout /).hard wordt in dit geval slechts bepaald door de lokale lineaire respectievelijk kwadratische benadering van het stromingsprofiel. Uitgaande van Taylorreeksexpansies rondom positie x=O kan de volgende vergelijking worden op gezet voor de snelheid:

avl 1 a 2v 2 1 a 3v 3 1 a4v 4 1 a

5v 5 v(x)=v0 +- ·x+-- ·x +-- ·x+--- ·X +--5 ·x + .. ,(5.1)

ax x=O 2 ax2

x=O 6 ax3

x=O 24 ax4

x=O 120 ax x=O

waarbij v0 de snelheid op positie x=O is. Uitgaande van de definitie van de WSR in 1D (zie (2.15)) kan (5.1) omgeschreven worden tot:

3 1 a4v 4 1 a5v 5 ·x +---4 ·x +--5

·x + .... (5.2) 24 ax x=O 120 ax x=O

Indien de lineair benadering van de WSR wordt gebruikt zoals die in (4.1) wordt weergegeven, dan geldt met v 1=v(x=d):

·d3+_!_a4v ·d4+_1_a

5v d5 5 • + ... (5.3)

24 ax4

x=O 120 ax x=O

Omschrijven van (5.3) levert dan:

48

foutenanalyse

(5.4)

waarbij WSRun staat voor de lineaire benadering van de WSR uit (4.1). Ook voor een lokale kwadratische benadering kan (5.2) worden gebruikt. Dezelfde werkwijze als in het lineaire geval volgend, kan dan worden gesteld dat:

waarbij WSRkw staat voor de kwadratische benadering van de WSR uit ( 4.2).

Met (5.4) en (5.5) kan de fout worden afgeschat die gemaakt wordt bij een lokale lineaire en kwadratische benadering van het snelheidsprofiel. Deze wordt gegeven door de hogere orde afgeleiden van de snelheid. Om deze fouten te kunnen afschatten is derhalve kennis nodig van de functie v(x). In [LOU 93] is een dergelijke analyse uitgevoerd door uit te gaan van een benadering van Womersley-profielen. Hierbij is de fout onderzocht in de piek-systole (dus bij de hoogste waarde van snelheid en WSR) als functie van de sampleafstand, voor lineaire én kwadratische benaderingen. De fout voor de lineaire respectievelijk kwadratische benadering wordt dan gegeven, bij een voor 1D-profielen gebruikelijk sampleafstand van 0,5 mm [LOU 93]:

tl~~~. = 20% lm

Ahard 401. 0 wsR = -;o · Iw

(5.6)

Het is dus duidelijk dat een lokale kwadratische benadering van het snelheidsprofiel een betere benadering geeft.

Vervolgens heeft men te maken met de zachte fout azacht ten gevolge van onzekerheid in de

snelheid crv (zie (3.13)). Zoals gezegd wordt de fout in de vaatwandpositiebepaling in §6.2.2 in de

praktijk onderzocht. Eenvoudige foutenrekening van ( 4.1) en ( 4.2) levert de volgende standaarddeviatie in de WSRun en WSRkw:

zacht -J2a V (J ---

WSRun - d ' zacht ..JUcrv

(J =---'-WSRiw 2d . (5.7)

Voor deze zachte fout geldt juist dat de fout kleiner is voor de lineaire benadering dan voor de kwadratische, precies tegengesteld aan het gedrag van de harde fout. Om enig idee te krijgen van de orde van grootte van deze foutenbron worden uit de praktijk bekende waarden voor 1D­profielen ingevuld zoals die zijn gemeten in de carotis communis (zie volgend hoofdstuk): crv = 2cm/s en d=0,05 cm, bij een piek-systolische in de orde van 600 1/s. Zie

hiervoor figuur 6.4. Let op: hier is de lineaire benadering van het profiel weergeven die een piek­systolische waarde heeft van ongeveer 500 1/s. De WSR ligt volgens (5.6) dan 20% hoger, waarmee men op een waarde van 600 1/s uitkomt. Dit levert de volgende relatieve fouten op:

49

foutenanalyse

zacht 2001. 0' WSR :::::: -;o • hm

(5.8)

Men dient zich hier te realiseren dat het gaat om de standaarddeviatie in de WSR. Als men nu (5.6) en (5.8) vergelijkt, ziet men dat de winst die gemaakt wordt door de betere kwadratische benadering goeddeels verloren gaat doordat de zachte fout hierin weer groter is, hoewel men zich moet realiseren dat de zachte fout als standaarddeviatie en de harde fout als een maximale fout wordt gegeven. Derhalve is er in de verdere studie bij dynamische beschouwingen van de SR gekozen voor een lineaire benadering van het profiel.

Naast deze benaderingsfouten spelen ook partial volume effecten een rol. In §3.3.2.4 is aangetoond dat bij MR door partial volume effecten het debiet Q door het wandvoxel overschat wordt. Op basis van deze veronderstelling kan onderzocht worden welke invloed dit heeft op de WSR. De correcte WSRc met correctie van partial volume effecten voor figuur 4.3 wordt gegeven door:

(5.9)

Hierbij staat Qco voor het correcte volume debiet door voxel 0. Fouten ten gevolge van de lineairisatie worden nu buiten beschouwing gelaten en er is een kubusvormig voxel verondersteld. Let op, het debiet gedeeld door d2 levert de gemiddelde snelheid in het voxel. De afgeleide hiervan levert de WSR. Met (3.19) kan (5.9) worden omgeschreven in de door MR gemeten waarde Q0:

(5.10)

Hierbij is m0 de magnitude van vox el 1 en M1 de magnitude van een vox el dat geheel gevuld is met stromend bloed. Wordt dit vergeleken met de WSR die wordt toegekend zonder rekening te houden met partial volume effecten, dan kan men het volgende opstellen:

(5.11)

Hierbij is verondersteld dat Q1 > Q0 én M 1 > m0 • Het buitenste voxel (mo) is gedeeltelijk gevuld

met bloed en men mag er vanuit gaan dat de magnitude van bloed hoger is dan van het achtergrondweefsel (zie §3.3.1), zodat M 1 > m0 • Op basis van (5.11) kan dus gesteld worden dat

door partial volume effecten de WSR onderschat wordt. Dit blijkt ook uit [OSH 95], waarbij voor partial volume effecten gecorrigeerde WSR's zijn vergeleken met ongecorrigeerde WSR's (zie §4.3.1.1). Men vond hierbij een onderschatting van 34% in de piek-systole (bij een lineaire benadering van de WSR als in (4.3)). Deze beschouwing is gebaseerd op het feit dat men het wandvoxel aan kan wijzen. In figuur 4.3 kan echter gezien worden dat het vaak niet duidelijk is welk voxel nu moet worden beschouwd als wandvoxel. Zeker in de diastole, wanneer het bloed niet zo snel stroomt, zijn de verschillen in

50

foutenanalyse

magnitude tussen stromend bloed en stilstaand weefsels niet zo groot, omdat in mindere mate in­flow effecten zullen optreden. In figuur 4.3 zou men zówel voxel 0 als voxel -1 kunnen beschouwen als wandvoxel. Zoals gezegd zullen de verschillen hiervan nog worden onderzocht in het volgende hoofdstuk, maar los daarvan kan op basis van (5.11) gesteld worden dat men altijd de WSR onderschat (voor voxel -1 kan men namelijk een zelfde redenering volgen, waarmee men ook op een onderschatting van de WSR voor voxel-1 komt).

5 .2.2 Tijdgemiddeld

Bij 3D-metingen is het om eerder vermelde (zie §4.3.1.2) redenen slechts zinvol en haalbaar om met tijdgemiddelde datasets te werken. Hierbij wordt dan de vaatwandbeweging verwaarloosd waardoor een extra harde fout wordt geïntroduceerd. De 1D-metingen bieden de ideale mogelijkheid om deze harde fout in de praktijk te onderzoeken. Het is dan namelijk mogelijk om de vaatwand te volgen. In iedere hartfase kan de WSR worden vastgesteld. Het gemiddelde hiervan wordt vergeleken met de WSR die wordt verkregen indien de WSR van het gemiddelde snelheidsprofiel wordt bepaald, dus onder verwaarlozing van de vaatwandbeweging. De resultaten van dit vergelijk zullen worden behandeld in §6.2.

Behalve de harde fout die ontstaat ten gevolge van de tijdmiddeling kan ook de harde fout van de lineaire of kwadratische benadering nader worden onderzocht. In hoofdstuk 2 is een afleiding gegeven van een tijdgemiddeld stromingsprofiel van een generaliseerde newtonse vloeistof. Op basis hiervan wordt een machtsverband tussen de snelheid en de straal verwacht. Met deze beschrijving is het mogelijk om de harde fout ten gevolge van de lineaire dan wel kwadratische benadering van het tijdgemiddelde stromingsprofiel preciezer te kwantificeren. Hier zullen de resultaten van een dergelijke analyse worden weergegeven. Dit wordt gedaan op basis van een tijdgemiddeld 1D-snelheidprofiel zoals dat is gemeten in de carotis communis van een gezonde vrijwilliger (zie figuur 6.5). Er is een 5-orde polynoom gefit door dit profiel. Op basis van dit analytisch verband is de harde fout bepaald door de hogere orde termen uit (5.4) en (5.5) te berekenen. Hierbij is tevens de invloed van de voxelgrootte d bestudeerd. Op basis van (5.4) en (5.5) kan ingezien worden dat de harde fout voor zowel de lineaire als kwadratische benadering kleiner wordt naarmate de voxels kleiner worden. Deze bepaling van de harde fout is op vier posities in de carotis communis uitgevoerd: voor-, achter-, linker- en rechterkant. Het gemiddelde over die vier posities van deze beschouwing is weergegeven in figuur 5.1 (links).

10000

! 1000 .!! :; ::::. ~ ;;

~ 100 ~ .!! ;c "' ~ u

10 11 .. s s

voxalgrootte (mm)

1000000

--lineair

100000 --kwadratisch

..,.... Hnealr 2·SNR

-+-lineair o.s·SNR

1000

100

10

1~~~~~~~~~~~~~~

0.06 0.29 0.53 0.76 0.99 1.23 1.46 1.69 1.93 2.16 2.39 2.63 2.66

voxelgrootte (mm)

figuur 5.1 Links: de harde fout /:;.hard voor de lineaire en kwadratische benadering van de

tijdgemiddelde WSR als functie van de voxelgrootte. Ook is de zachte fout in de WSR

CJzachr aangegeven. Rechts: de totale maximalefout bij WSR-bepaling.

51

foutenanalyse

Men ziet in figuur 5.1 dat de lineaire benadering een structurele overschatting geeft, terwijl de kwadratische benadering juist een onderschatting aangeeft. Relatief zijn deze fouten echter niet echt groot, als men uitgaat van een bij deze vrijwilliger bepaalde tijdgemiddelde WSR van ongeveer 165 1/s (zie tabel6.2, het betreft hier vrijwilliger B).

In de figuur 5.1 is links ook aangegeven hoe verwacht wordt dat de zachte fout azachr (let wel, deze hoort bij rechter logaritmische as) zich gedraagt als functie van de voxelgrootte. Hierbij wordt de zachte fout gegeven door foutenanalyse van ( 4.25):

(Jzacht =~ WSRtin -fid

Merk op dat dit inderdaad de helft van de fout oplevert vergeleken met (5.7).

(5.12)

Voor de bepaling van CJ v is als uitgangspunt de SNR van de gemeten dataset genomen.

Vervolgens is verondersteld dat de SNR afneemt met het kwadraat van de voxelgrootte d [VLA 95]. Dit is eenvoudig in te zien als men bedenkt dat het aantal waterstofkernen (ocsignaal intensiteit, zie (3.2)) dat zich in een voxel bevindt, lineair afhankelijk is van de waterstofkerndichtheid en het voxelvolume. Bij gelijk blijvende waterstofkerndichtheid en voxeldikte (in de z-richting) is het aantal waterstofkernen van het voxel waar het signaal vandaan komt kwadratisch afhankelijk van de voxelgrootte d. Men ziet duidelijk dat de zachte fout bij kleiner wordende voxelgrootte "explosief' toeneemt (figuur 5.1).

In het rechter gedeelte van figuur 5.1 is de totale maximale fout weergegeven. Hierbij is er vanuit gegaan dat de harde fout een maximale fout weergeeft. Om deze te kunnen vergelijken met de standaarddeviatie van de zachte fout is verondersteld dat de fout in de snelheid normaal verdeeld is [KLO 96]. Een schatting van de maximale waarde van de zachte fout wordt dan gegeven door twee keer de standaarddeviatie (95% van de waarden ligt dan binnen dit interval [K.RE 93]). Deze waarde opgeteld bij de harde fout geeft een idee van de totale maximale fout. Men kan zien dat de zachte fout hier een dominante rol speelt bij voxelgroottes kleiner dan 0,7 mm. Voor grotere voxels spelen juist de harde fouten een belangrijkere rol. Om een idee te geven van de invloed van de SNR op de WSR-bepaling, is ook het gedrag van de totale maximale fout van een lineaire benadering bekeken, indien de dataset een twee keer zo grote en kleine SNR had gehad (respectievelijk lineair 2*SNR en lineair 0.5*SNR gelabeld in de figuur). Bij een voxelgrootte van ongeveer 0,5 mm levert een SNR-verbetering met een factor twee een totale maximale fout op van 30 1/s, tegen 60 1/s bij "normale" SNR. Dit geeft aan dat in deze range van voxelgroottes de zachte fout inderdaad een dominante rol speelt. Aan de hand van figuur 5.1 zou men geneigd zijn om te denken dat men de voxelgrootte onbeperkt groot kan maken zonder dat dit gevolgen heeft voor de totale maximale fout. Men dient zich echter te realiseren dat het hier een gesimuleerde voxelgrootte afhankelijkheid betreft. Hierbij is geen rekening gehouden met effecten als intravoxel dephasing (zie §3.3.2.3) en partial volume efecten, die sterker gaan optreden voor grote voxels. Op basis van figuur 5.1 is besloten om in het vervolg van het project een lineaire benadering te kiezen. Hiervoor is de totale maximale fout namelijk over de hele range kleiner. Vervolgens is voor 3D-studies gekozen voor een voxelgrootte van ongveer 0,8 mm.

5.3 Fout bij de bepaling van de Shear Rate in 3D

Voor de zachte en harde fouten die optreden in 2D-metingen geldt hetzelfde als in ID. Met een 2D-dataset is het mogelijk om de extra fout, die optreedt als gevolg van de 3D vector- of gradiënt-

52

foutenanalyse

methode, nader te onderzoeken. Voor de tensormethode gaat het dan om de ruis in de normaalvector zoals die berekend wordt met ( 4.5) en de ruis in de benodigde stress-tensor van (2.12). Voor de gradiëntmethode gaat het om de ruis in de gradiëntvector. De afgeleiden zoals die hierin voorkomen worden bepaald over twee keer de sampleafstand met (4.25). De vraag is nu in hoeverre de ruis in snelheid doorwerkt in de afzonderlijke componenten. In 2D-dataset kan de op vector- of gradiëntmethode verkregen WSR vergeleken worden met de waarde wanneer de gebruiker aangeeft wat de radiale richting is, oftewel de afgeleide van een door de gebruiker aangebracht lD-profiel. Dit geeft een indruk in hoeverede voorgestelde methode een correcte WSR bepaalt. De resultaten van dit vergelijk zullen worden behandeld in het volgende hoofdstuk. In deze paragraaf zal eerst de ruis onderzocht worden zoals die wordt geïntroduceerd door de tensormethode en vervolgens zal de gradiëntmethode worden bekeken.

5.3.1 Tensormethode

Een uitgebreide foutenanalyse van deze tensormethode is niet eenvoudig. Men dient zich te realiseren dat de ruis in de snelheid zowel in de normaal vector als in de stress-tensor naar voren komt. In een poging om toch een beeld te kunnen krijgen van deze fout als gevolg van de tensor­methode wordt een aantal vereenvoudigingen aangebracht. Stel er wordt gekeken naar de positie op de vaatwand, waar deze de x-as snijdt; de z-as geeft de lengterichting van het vat (zie figuur 5.6). De stroming wordt symmetrisch verondersteld, zonder secondaire stroming.

y-as

x-as

op deze posttie wordt de fout geanalyseerd

figuur 5.6 De positie waar de fout ten gevolge van de veronderstelde normaalvector nader wordt onderzocht.

Op deze positie valt de x-richting samen met de radiale richting. De gradiënt van de magnitude van de snelheid uit (4.5) wordt daar gegeven door (zie ook (4.9)):

[ 1 av J

n = IVVI ax +8 8 8 . (5.13)

De afgeleide in y- en z-richting zijn dus klein verondersteld te opzichte van de ruis. De normaalvector staat voornamelijk in de x-richting, maar bevat ook ruiscomponenten 8 in de y- en

z-richting. De normaliseerconstante wordt gegeven door IVVI. In Appendix C wordt een

uitdrukking afgeleid voor 8 afgeleid, die aangeeft hoe de zachte fout ten gevolge van de ruis in de snelheid doorwerkt in de componenten van de normaalvector (zie (CS)):

53

foutenanalyse

8--~-~ -IVVI-fid. (5.14)

Als men er vanuit gaat dat de WSR ongeveer gegeven wordt door de lengte van de gradiënt (zie (4.15)), dan geeft Ö eigenlijk de relatieve ruis in de WSR ten gevolge van de ruis in de snelheid. De stress-tensor van (2.12) op de bewuste positie ziet er als volgt uit:

8 8 _1_. avz +8 -filvl ax

T=-filvl 8 8 8 (5.15) _1_. avz +8 8 8 -filvl ax

Hierbij zijn wederom de andere matrixelementen klein verondersteld en slechts gegeven door de

ruis. Let op; de ruis in deze elementen is een factor IV VI groter dan in de normaalcomponenten.

Aangezien de x-richting samenvalt met de radiale richting kan vervolgens met behulp van (4.12) gesteld worden dat:

IVVI = av = av = ~ avz ::::: avz = avz . ax ar V êJr ar ax (5.16)

Indien men zoals voorgesteld in (2.14) de WSR bepaalt door met (5.13) en (5.15) de stressvector te bepalen en vervolgens de lengte de tangentiële component hiervan krijgt men (zie appendix C):

(5.17)

In (5.17) is aangegeven hoe zeer de ruis doorwerkt indien men een stroming zonder secondair veld verondersteld. In figuur 5.2 is het verband van (5.17) uitgezet.

54

160~----------------~==============~----~

140

ê Cl 120 ·= öi Q.

..8 100 c C')

:s 80 UI

"2 ~ 60 CP

~ f! 40

20

-+-tensor-methode

-r- gradient-methode

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51

relatieve ruis (%)

foutenanalyse

figuur 5.2 De ruis in de WSR indien de WSR wordt berekend met de tensormethode en gradiëntmethode (zie volgende paragraaf), als functie van de relatieve ruis ten gevolge van de ruis in de snelheidsbepaling.

Men ziet dat, indien men een relatieve ruis van 20% als minimum beschouwt voor de WSR in 3D, men zodanig moet scannen dat een 3D-dataset verkregen wordt waarin de relatieve ruis ongeveer 5% is. Men moet voor huidige 3D-acquisities rekening houden met een onzekerheid in de snelheid van ongeveer 2,9 cm/s, bij een voxelgrootte van 0,8 mm. In de carotis communis is in 1D een WSR gemeten in de orde van 150 1/s (zie vrijwilliger A30

, appendix D en E) . Dit levert een benadering van de relatieve ruis Ö :

Ö=-1-~::::-1 -~=15% [VV[ J2d WSR J2d

Deze relatieve ruis levert al een fout met de tensor-methode, bepaald met (5.17), van ongeveer 60%. Dit is onacceptabel hoog.

5.3.2 Gradiëntmethode

De ruis in de verschillende componenten van de gradiëntvector wordt gegeven door (5.14) vermenigvuldigd met de lengte van de gradiëntvector. Deze ruis werkt dan als volgt door in de gradiëntlengte (zie (C12)):

WSR =[VV[-~1+2ö+3ö2 (5.18)

Om dit te kunnen vergelijken met de vectormethode wordt wederom de voor 3D karakteristieke waarde van ö = 15% ingevoerd. Dit levert dan een fout op van 17% hetgeen een aanzienlijke verbetering is ten opzichte van de vectormethode.

55

foutenanalyse

In figuur 5.2 is ook het verband (5.18) van de gradiëntmethode uit gezet. Op basis van figuur 5.2 is besloten om te keizen voor de gradiëntmethode om de WSR in 3D te benaderen. De relatieve ruis werkt hierin veel minder sterk door. Nadeel van deze methode is echter wel dat er extra voorwaarden aan de stroming worden gesteld, (zie §4.3) maar met de huidige ruis in de huidige 3D-datasets is de tensormethode niet toepasbaar.

56

Resultaten

Hoofdstuk 6 RESULTATEN

6.1 Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken zijn twee methoden beschreven om zonder enige kennis van de positie van het bloedvat, uitgaande van stromingseigenschappen de WSR te bepalen. Slechts één hiervan, de gradiëntmethode, lijkt bij de huidige 30-datasets bruikbaar in verband met de ruis in de snelheid. Het onderzoek zal gericht zijn om de mogelijke toepasbaarheid van deze methode nader te onderzoeken.

Het onderzoek is hierbij als volgt opgezet. Er zijn 20-datasets gemeten op verschillende locaties in het menselijk vatenstelsel van vrijwilligers, namelijk de carotide (halsslagaders) en de aorta (boven en onder de nierslagaderafsplitsing, ofwel supra- en infrarenaal, zie appendix B). Uit deze datasets zijn 10-profielen geconstrueerd. Met deze profielen is het dynamische en tijdgemiddelde gedrag van de WSR onderzocht. Voor de metingen aan de carotide zijn voor een tweetal vrijwilligers ook ultrageluidsmetingen (US-metingen) beschikbaar. Vervolgens zijn in 20 de secondaire stromingen zoals die voorkomen in de thoracale aorta onderzocht, om een idee te krijgen van de invloed van deze stromingen op de gradiëntmethode voor WSR-bepalingen in 30. Als laatste zijn een 30-datasets gemeten van de carotisbifurcatie. De resultaten hiervan zijn gevisualiseerd in Analyze TM.

In tabel6.1 staat opgesomd welke metingen bij de vrijwilligers zijn verricht. Voor meer informatie over de datasets en behaalde signaal-ruis-verhoudingen (SNR's) wordt verwezen naar appendix E.

________________________ _Mg_:-_!!.!~!_!ggen __ ···--·-----···---··-···-··-···-·----·--·-·-----· .

US-metingen vrijwilliger 10 20 30 (10)

A carotis communis carotis communis carotis bifurcatie carotis communis B carotis communis carotis communis carotis communis c • infrarenaal aorta

suprarenaal D carotis bifurcatie

tabel 6.1 Schema van vrijwilligers en uitgevoerde metingen en de locaties. Let op, bij vrijwilliger C is weliswaar een 2D-meting verricht, maar uitgevoerd met drie snelheidsgevoelige richtingen. Verder is voor vrijwillger A zowel een 2D-acquisitie als een 3D-aquisitie verricht; deze worden

d "dd . l""kA2D A3D aange uz oor respectzeve lJ en .

Zoals uit het meetschema blijkt zal de nadruk van het hier beschreven onderzoek liggen op het carotide-onderzoek. Er zal bij de resultaten gebruik gemaakt worden van medische, vanuit de patiënt geredeneerde richtingsaanduidingen:

Anterior-Posterior (AP) Right Left (RL) Feet-Head (FH)

Voor-Achter Rechts-Links Boven-Beneden

57

Resutlaten

6.2 lD-profielen

Voor vrijwilliger B is in de carotis communis een lD-snelheidsprofiel gemeten in de AP-richting. Allereerst zullen de bepaalde snelheids- en SR-profielen worden getoond en worden vergeleken met US-metingen. Hierbij zijn elf verschillende US-meting gemiddeld. Elke US-meting is één hartslag, dus het komt neer op een middeling van elf hartslagen. Vervolgens zal de uit de SR­profielen verkregen dynamische WSR aan een nader onderzoek worden onderworpen.

6.2.1 Shear Rate profielen

In figuur 6.1 is het resultaat van een meting van het snelheidsprofiel als functie van de tijd weergegeven. Daarnaast staat het resultaat van een US-meting van dezelfde vrijwilliger.

snelheld (cm/a)

AP(mm)

figuur 6.1 Het snelheidsprofiel in de PA-richting in de carotis communis van een vrijwilligerBals functie van de tijd. Links de MR-meting en rechts de US-meting.

Met (3.13) en de bepaalde SNR kan berekend worden dat de standaarddeviatie in het MR-profiel a r1,8 cm/s bedraagt. Let op, hier wordt een maat voor de ruis gegeven gemiddeld over het hele bloedvat. In principe moet voor ieder voxel in iedere hartfase opnieuw de fout berekend worden. Vooral aan de randen van het vat, waar de intensiteit lager ligt dan in het centrum van het vat (zie figuur 4.4), zal de ruis hoger liggen. Bij de US-profielen is geen meetonzekerheid bekend. Wel is in de elf metingen een over de tijd en de positie gemiddelde spreiding van 7 cm/s gevonden.

Wat opvalt als men de MR-meting vergelijkt met de US-meting is vooral het verschil in tijdresolutie (39 ms tegen 3 ms). Bij de US-meting zijn duidelijk drie diastolische "na-pieken" waar te nemen, die bij MR verdwijnen. De tijdsduur tussen twee "na-pieken" (vanaf nu de rustperiode) kan in figuur 6.1 bepaald worden en is in de orde van 50 ms. Dit ligt in de range van één hartfase bij een MR-meting. Indien deze rustperiode nu half over twee opeenvolgende hartfases valt, wordt de snelheidsinformatie uitgesmeerd over twee hartfases. De "na-pieken" zijn dan niet meer goed te onderscheiden. Ook speelt mee dat bij MR-metingen over een groot aantal hartslagen wordt gemiddeld (men moet hierbij denken aan 300), terwijl die hier gepresenteerde US-data het profiel van slechts elf hartslagen weergeeft. De natuurlijke variabiliteit zorgt ervoor dat bij MR deze "na-pieken" meer uitgesmeerd worden.

58

Resultaten

Met behulp van het weergegeven snelheidsprofiel kan het SR-profiel bepaald worden. Hierbij wordt de snelheid eenvoudigweg vanuit het centrum van het vat naar de positie afgeleid. Het SR­profiel ziet er dan als volgt uit:

ahear rata (1/s)

figuur 6.2 Het SR-profiel in de PA-richting in de carotis communis van vrijwilligerBals functie van de tijd. Links de MR-meting en rechts de ultrageluidsmeting.

De standaarddeviatie in dit SR-profiel dat met MR bepaald wordt, is gegeven door de onzekerheid in de snelheid (zie §5.2.1) en ligt in de orde van 24 1/s (zie appendix E). De harde fout ten gevolge van de lineaire benadering is hierbij buiten beschouwing gelaten. Bij de piek-sytole is een waarde van 20% onderschatting hiervoor gevonden (zie (5.6)). Bij de MR-meting tekent de randwaarde van de SR minder scherp af dan bij de MR-meting. Dit wijst op een kleinere ruis in de US-snelheidsbepaling.

6.2.2 Wall shear rate bepaling

In het 1D-geval kan men de WSR zowel dynamisch als tijdgemiddeld bepalen. Beide bepalingen zijn uitgevoerd en worden behandeld in de volgende sub-paragrafen.

6.2.2.1 Dynamisch gedrag Met behulp van de FFE/M-beelden is het mogelijk om de vaatwandpositie te bepalen, zoals beschreven in §4.2. Gebruik makend van de in de vorige paragraaf bepaalde SR-profielen kan dan de WSR worden vastgesteld. In figuur 6.3 wordt het dynamische gedrag van de WSR getoond, zoals die is bepaald bij vrijwilliger B op anterior- en postenorzijde van de carotis communis. De aangegeven standaarddeviatie is alleen het gevolg van de onzekerheid in de snelheid en is berekend met (5.12). Voor deze datset komt men op een ruis van ongeveer 24 s·1 (zie appendix E).

59

Resutlaten

1600

1400

1200

.re :::. 1000 !! I!

: J::

800 .. 'i !I

600 .g ~ ..

400

200 ! I 1: 1:

I I I

0 f I I I

78 156 234 312

-200

• Anterior & Anterior_binnen o Anterior_buiten

700

-Posterior 500 -e--Posterior_buiten _._Posterior_binnen

I I I ! i I I ~ i I i I I I I i I i I I --- i I I I I I • I * I I-

3io 468 546 624 702 780 858 936 1014

tijd (ms)

300

.re 100 ::.

! -100 1 -300 ~

t -500

-700

-900

-1100

figuur 6.3 Het dynamische gedrag van de WSR van vrijwilliger B. De WSR is op verschillende posities op de vaatwand bepaald (anterior, posterior). Bij iedere positie is ook de SR bepaald in het voxel aan de binnen- en buitenkant van het vat.

Om een indruk te krijgen van de fout die gemaakt wordt door de onzekerheid in de vaatwandpositiebepaling is de SR ook bepaald in de twee omliggende voxels. Deze posities zijn aangeduid als binnen (het voxel aan de binnenzijde van het vat) en buiten (het voxel aan de buitenzijde van het vat). Voor zowel de anterior- als posterioczijde geldt dat de bepaalde SR van het buitenvoxel onlogisch gedrag vertoont. Aan posterioczijde vertoont de SR rond 234 ms een negatieve waarde, terwijl een retrogade stroming (terugstroming) vrijwel nooit voorkomt in de carotide (als gevolg van de lage stromingsweerstand van de hersenen). Dit wijst erop dat het buitenvoxel in de achtergrond ligt. De SR van het buitenvoxel aan anteriorzijde vertoont rond 234 ms een stijgend gedrag, terwijl de wand- en binnenvoxel juist een dalend gedrag vertonen. Ook hier lijkt het erop dat het buitenvoxel in de achtergrond ligt. De ten opzichte van de aangegeven ruis significante verschillen tussen de WSR zoals die bepaald is voor de drie voxels (binnen, buiten en wand), treden voornamelijk op tijdens de systole. In de diastole ontlopen de bepaaldeSR's elkaar niet veel. Op basis van deze gegevens is het niet moegelijk om aan te geven of het juiste wandvoxel wordt aangewezen en hoe goed het dynamische gedrag van de WSR is vastgelegd. Hiervoor moeten in vitro studies worden verricht, of dient er vergeleken te worden met andere meetmethoden zoals US (dit zal verderop in deze paragraaf behandeld worden).

In §4.3.1.1 werd nog melding gemaakt van een methode om te corrigeren voor partial volume effecten. Hierbij wordt dan de vaatwandpositie binnen het wandvoxel nader bepaald. In de voor dit onderzoek gebruikte datasets kon echter niet altijd onomstotelijk één wandvoxel worden aangewezen. Zeker in de diastole, wanneer door de lage snelheden en daardoor een gebrek aan inflow-effect het contrast tussen bloed en vaatwand kleiner wordt (zie figuur 4.3). Het toepassen van een dergelijke methode lijkt daardoor niet opportuun. Hier wordt in het volgende hoofdstuk tijdens de discussie nog op teruggekomen. Als gevolg van deze partial volume effecten zal de bepaalde WSR wel structureel te laag uitvallen (zie §5.2.1).

60

Resultaten

Ook met ultrageluid is geprobeerd de WSR te bepalen. Hierbij wordt over het algemeen de maximale SR gebruikt [SAM 97]. Aan de anterior- en posterioczijde van het vat wordt voor elk tijdstip de maximale SR bepaald, vervolgens worden deze twee maximale SR's gemiddeld. De gemiddelde waarde hiervan wordt gebruikt als maat voor de WSR, verder te noemen US MAX SR. In figuur 6.4 zijn zowel de met MR bepaalde waarde van de WSR (gemiddeld over de anterior en posterior positie, MR WSR) als de met ultrageluid bepaalde waarden van US MAX SR weergegeven. Ook is met MR aan iedere zijde de maximale SR bepaalt en gemiddeld, als bij ultrageluid gebruikelijk is (MR MAX SR). De aangegeven spreiding is gevonden door voor de elf metingen apart de US MAX SR te bepalen, de standaarddeviatie ten opzichte het gemiddelde geeft een idee van de ruis. Voor de MR is de standaarddeviatie aangegeven die wordt veroorzaakt door de onzekerheid in de snelheid alleen.

1000..-----------------------,

-•-USMAXSR

800

_,._ MRMAXSR

600

1i 400

i !

200

·200 ...__ __________________ ____.

tl)d(ms)

figuur 6.4 De dynamische WSR gemiddeld over anterioren posterior zijde zoals die bepaald is met MR voor vrijwilliger B. Ook is de US MAX SR aangegeven en dezelfde grootheid met MR (MR MAXSR).

Indien dezelfde grootheid met MR bepaald wordt (MR MAX SR), ziet men dat de waarden kwantitatief en kwalitatief overeenkomen met de US-data. De piek-systolische waarde is bij US echter duidelijk scherper bepaald, ook hier zou het gebrek aan tijdsresolutie van de MR-meting parten kunnen spelen. Wat opvalt is dat de MR-data in tijd verschilt ten opzichte van de US-data. Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door het verschil in het trigger-punt. Beide metingen meten namelijk ten opzichte van een bepaald arbitrair trigger-punt in het ECG signaal van de vrijwilliger. De MR WSR ligt in de systole duidelijk lager dan de US MAX SR en de MR MAX SR. In de diastole verdwijnt dit verschil. Verder dient opgemerkt te worden dat de US-data geenszins geoptimaliseerd zijn. Dat wil zeggen dat uit de verkregen data met een resolutie van 0,15 mrn op directe wijze de afgeleide bepaald is over één voxel (zie (4.1)). Door deze kleine voxelgrootte werkt de ruis in de snelheid sterk door in de afgeleide (zie (5.7)). Wellicht dat een afgeleidebepaling over twee of wellicht meer voxels een kleinere spreiding gegeven zouden hebben. Gezien het doel van deze meting, een kwalitatieve en kwantatieve vergelijking van US en MR, is hier verder geen aandacht aan besteed.

6.2.2.2 Tijdgemiddeld gedrag

Behalve het dynamische gedrag van de WSR is het, zoals in hoofdstuk 4 al is aangegeven, ook interessant om het tijdgemiddeld gedrag te bestuderen. Het gaat dan voornamelijk om de methode waarop de tijdgemiddelde WSR wordt bepaald. Men kan de bepaalde WSR uit verschillende

61

Resutlaten

hartfases middelen ("walltrack" methode, hetgeen niets anders is dan een tijdgemiddelde uit een grafiek als in figuur 6.4 bepalen) en vergelijken met de WSR, zoals die wordt afgeleid uit het gemiddelde snelheidsprofiel ("tijdgemiddelde" methode). Voorbeelden van een dergelijke gemiddelde profiel zijn weergegeven in figuur 6.5.

200 ·70

50 150

·60 100 ·100

50 -50

40

0 ! i~ i .!l.

·50 :;.30 :;; ~ ·100! c " "·20

~ •

100 ë I .c

200 " ·150

·200 ·10 300

·250

400 ·300

PA(mm)

figuur 6.5 Tijdgemiddelde stromingsprofielen voor van de carotis communis van vrijwillger B (linker figuur) en voor de suprarenale aorta van vrijwilliger C (rechter figuur). In dezelfde figuren zijn de bepaalde tijdgemiddelde SR-profielen weergegeven. Ook is aangegeven welk voxel is aangewezen als wandvoxel. Het teken van de snelheid en WSR is slechts een kwestie van definitie.

De gebruikte voxelgrootte van 0,584 mm en 0,781 mm in respectievelijk de carotis communis en de thoracale aorta geven voldoende samplepunten in de grenslaag en het is dus mogelijk om de WSR te kunnen bepalen. Het blijkt dus dat de theoretisch afgeschatte stationaire grenslaagdikte uit tabel 5.1 voor de carotis communis en de aorta te klein blijkt. Het stromingsprotiel in de carotis communis is lichtelijk asymmetrisch maar vertoont duidelijk een machtsverband zoals dat is afgeleid in §2.3.1. Deze asymmetrie kan het gevolg zijn van bochten in de carotis communis. Hierin wordt het bloed als gevolg van cintrifugaalkrachten naar buiten geduwd en ontstaat er een secondair veld en een asymmetrie als is gemeten [Mll... 89]. De meting van de aorta (vrijwilliger C) vertoont ook een dergelijke machtsverband (ookwel "plug-flow" genoemd). Hierbij moet wel aangetekend worden dat de SNR hier dusdanig slecht dat de onzekerheid in de snelheid en dus ook in de SR relatief erg groot wordt (een standaarddeviatie van 5,9 cm/s bij snelheden van ongeveer 30 cm/s en een standaarddeviatie van 53 1/s bij WSR' s van ongeveer 100 cm/s). Het valt op dat de stroming in de aorta een sterkere "plug-flow" vertoond. Deze is minder "ontwikkeld" dan de stroming in de carotis, die een langere inlooplengte heeft (zie tabel5.1). De SR-profielen zijn telkens van buiten naar binnen afgeleid met (4.1), hierdoor is het teken van de afgeleide voor de posterior- en anteriorzijde gelijk. Dit is gedaan door een (arbitrair) punt aan te nemen als centrum van het vat. Vanaf dat punt is het teken van de afgeleide gewisseld (zie §4.4). In beide grafieken is met verticale lijnen het wandvoxel aangegeven. Deze zijn bepaald door het vat te segmenteren in het tijdgemiddelde FFEIM-beeld.

Voor vrijwilliger B is tevens gekeken naar het verschil in afgeleidebepaling over één voxel (4.2) en over twee voxels (4.25). In figuur 6.6 staan de op beide wijze bepaalde SR-profielen.

62

Resultaten

200

150

100

~ .! .. 50 a: :0 " .<:: Ul

0

-50

-100 PA(mm)

figuur 6.6 De SR-profielen bepaald over één voxel (gradl) en over twee voxels (grad2), van vrijwilliger B voor een PA-profiel. De waarde van gradl is toegekend aan de positie tussen de voxels in.

Men ziet dat beide methoden nagenoeg een zelfde resultaten geven. De bepaalde piekwaarden liggen bij de bepaling over één voxel hoger. De methode over twee voxels heeft als voordeel dat de ruis een factor twee kleiner is (zie (5.12)). Ook is te zien dat de bepaalde tijdgemiddelde WSR sterk afhankelijk is van welke voxel men aanwijst als wandvoxel. Deze verschillen zijn minder groot als men de gradiënt over twee voxels bepaalt.

Tabel 6.2 bevat de resultaten van het vergelijk tussen de walltrack- (WSRtrack) en de tijdgemiddelde-methode (WSRtijd) voor de metingen van vrijwilliger A20

• Hierbij zijn waarden aangegeven op de anterior-, posterior-, rechter- en linkerzijde. Voor beide methoden is de standaarddeviatie gegeven die is veroorzaakt door de onzekerheid in de snelheid, de onzekerheid ten gevolge van vaatwandpositiebepaling is buiten beschouwing gelaten. De meetdata van de andere vrijwilligers zijn weergegeven in appendix D (tabel Dl).

vrijwilliger WSRtrack (1/s) amR WSR1'Jd (1/s) amR

A2D A 170 100

p 96 ±27 170 ±27 R 106 140 L 144 140 gemiddeld 129 138

tabel 6.2 Vergelijk tussen de WSRnrom en WSR'ijd voor vrijwilligers A2D.

Het eerste dat opvalt is dat de waarden niet altijd consistent zijn, dat wil zeggen qua fouten marge geen overlap vertonen. Men moet zich realiseren dat hier slechts de fout ten gevolge van de ruis in de snelheid is meegenomen. De fout ten gevolge van de positie bepaling is buiten beschouwing gelaten. In figuur 6.7 is WSRtrack tegen WSRtijd uitgezet voor de verschillende metingen bij vrijwilligers.

63

Resutlaten

-tr I !

L ftt-I

150 i r Yî/ 1 I

I UlO i x l+ I

~! I

50

/_V .jo 50 IOQ 150 200 2 i

I '----.f!O- r

WSR_tnck (1/11)

figuur 6. 7 De WSRrrack uitgezet tegen WSRrijd voor de verschillende metingen.

Op grond van figuur 6.7 kan gesteld worden dat de spreiding erg groot is. Hierbij dient opgemerkt te worden dat WSRtrack geenszins de "gouden standaard" is en per definitie de correcte tijdgemiddelde WSR weergeeft. Het dynamische gedrag van de WSR is wel vergeleken met US en vertoonde kwantitatieve overeenkomsten. Hierbij was echter gemiddeld over twee posities, waardoor de ruis gedrukt werd. Voor een beter resultaat zou lokaal over meerdere posities gemiddeld moeten worden. De vraag rijst dan echter hoe groot het gebied mag zijn waarover men middelt. Dit is di onderzoek niet aan bod gekomen. Het zomaar middelen zoals dat bij ultrageluidsmetingen wordt gedaan [SAM 97] is geen oplossing. Het is namelijk juist deze verschillen in WSR op de vaatwand (vanaf nu: fysiologische spreiding), die van belang zijn bij de ontwikkeling van atherosclerose. Op de grootte en oorzaak van deze positionele fout wordt in de volgende paragraaf nog teruggekomen.

Men kan aan de hand van deze beperkte hoeveelheid data niet aangeven hoe groot de harde fout ten gevolge van de wandpositiebepaling is. Ook is geen duidelijk onder- of overschatting aan te tonen.

6.3 2D-profielen

Bij 2D-profielen kan men de tijdgemiddelde WSR bepalen met de gradiëntmethode of door een door de gebruiker bepaalt radial snelheidsprofiel af te leiden. Beide bepalingen zijn uitgevoerd en worden behandeld in de volgende sub-paragrafen. Eerst wordt er echter gekeken naar in de thoracale aorta gemeten secondaire stromingen.

6.3.1 Secondaire stromingen

Bij vrijwilliger C is in de suprarenale thoracale aorta (vóór de splitsing van de nierarteriën) een meetvlak loodrecht op het bloedvat aangebracht. Vervolgens is er een MR-meting gedaan met snelheidsgevoeligheden in de drie richtingen: RL, AP en FH. De grootste snelheden worden natuurlijk in de FR-richting waargenomen. Dit wordt het primaire stromingsveld genoemd. Zoals gemeld in de vorige paragraaf kan als gevolg bochten in het bloedvat secondair stromingsveld ontstaan [MIL 89]. Zoals in figuur 6.8 is te zien kan met behulp van MRA het bestaan van een dergelijk secondair stomingsveld worden aangetoond.

64

t= 89 ms, v_max= 8.63cm/s

15

-ëD .~ 10 0.. -0.. ct3

5

,-..._ .... ' .....

... \ -- - ....... ' . - _.. .-- - \ I

\ I I I ",....... ... - I I

I . • ' I \ I

J " \ " .. • I , \

' \ \ \ ..- , I .,... \ I

..... \ I - , - .... I I ' ...... \ - .......

\ I

5 10 15

t= 845.5 ms, v_max= 10.42cm/s

15

-Q)

.~ 10 0.. -0.. ct3

5

I ' \ I -

"·

.... ..,; I

I I I 0 I-- ...... .. -- ' ...

• I ' I . I , I I

- ' - • " . . . , I I - - ... --I I \ , , • , - I I

, ..- - 0 - I

..._\

5 10 15 rl (pixel)

Resultaten

t= 222.5 ms, v_max= 13.23cm/s

15

-ëD .~ 10 0.. -0.. ct3

5

16

14

... .,.. .. - , -

."-"."-,/11

. .",.",.- /-// / / \ . .". / "' ___ ""," ."."" / I I

.".,,.-".,,.- ... """"' .,, J'/",..,", ,,",/I """\'//1-'_,_llj • \ - I I I I , I I • " I -

\ 1 o \ I I I • ... \ l

\ I . I - ' \ ' , ,_ ..... ,, . \

' ..... - -~ -I '

- .. ' '.

5 10 15 rl (pixel)

gemiddeld , v_max= 4.637cm/s

-- -- ""' .

• "" / _... - -- - I / \ 12 / /,....,.",. _______ """ ·'

Î1o s c. "' 8

6

4

2

2

////---.---

, / 1/""'/ ___ .,.,...- --- I '

, I , / I .,,,,,,, \ 1 1 I ' ' ' \ ' I

' \ \ " ' - -

..... - - - - - I ,

-- ...... ..... -· --- - - - I

4 6 8 10 12 14 16 rl (pixel)

figuur 6.8 Het secondaire stromingveld van vrijwilliger C in de thoracale aorta voor een aantal hartfases en het tijdgemiddelde secondaire veld. Boven elke afbeelding is de maximale snelheid (Vmtl.l) en het meettijdstip gegeven.

De maximale primaire snelheden van het tijdgemiddelse stromingsprofiel liggen in de orde van 30 cm/s. De secondaire snelheden liggen lager, in de orde van 5 cm/s. Op basis hiervan zijn de benaderingen uit hoofdstuk 5 geoorloofd. Dit zal in de volgende paragraaf in de praktijk worden getoetst.

6.3.2 Bepaling van de WSR

Voor de verdere behandeling van de 2D-profielen wordt overgestapt op tijdgemiddelde data. Met deze data kan namelijk de harde fout ten gevolge van het toepassen van de gradiëntmethode worden geïsoleerd. In §4.3.3 is beredeneerd dat de gradiënt van magnitude van de totale snelheid in de radiale richting staat, als de secondaire stroming klein is ten opzichte van de symmetrische

65

Resutlaten

hoofdstroming. In figuur 6.8 is aangetoond dat de stroming in de aorta een secondaire component bevat en in figuur 6.5 is aangegeven dat de stroming in de carotis communis niet exact symmetrisch is. Uit figuur 6.9 is de gradiëntgrootte en richting aangegeven in de aorta indien slechts de hoofdstroming wordt gebruikt en wanneer de totale snelheidsvector wordt gebruikt.

maJumale magn1tude= 544 2 1 /s 20----~- -~----~----··--··----·- --,

18

16-

14;

12l î i e1o> ~ I

8~ I I I

6c

----~----_ ..... _____ ....__

2 4 6 8

I

'

" -- ~ ,,

I : \ I I

_ ___,..~. ______ .._ ___

10 12 14 16 18 rl (p1xel)

20

18

I 16r

"I :::-121 .. i x .9o10L ~ I

ar I I sr i

4~

' 2l

maximale magnitude= 526. 1 1/s

\ I ' \ I J I I •

' \ I /

- ' -I

I " ' " -I ,,

I , .... I \ ' I I I I 1 \ \

2 4 6 8 10 12 14 16 18 r1 (pixel)

figuur 6.9 De radiale richtingsvectoren gegeven door de gradiënt van de hoofdstroomsnelheid (links) en gradiënt van de magnitude van de totale snelheidsvector (rechts). Boven iedere bepaling staat de maximale gradiëntgrootte, waarop alle vectoren zijn geschaald.

Men neemt een aantal abrupte veranderingen van richting waar aan de postenorzijde van het vat. De datasets bevat aldaar een aantal wraps. Het bleek niet mogelijk om deze met het unwrap­algortime uit (§3.3.2.2) te verwijderen zonder andere punten in de dataset te verstoren. Dit vindt waarschijnlijk zijn oorzaak in de grote ruis in de snelheidsbepaling (zie tabel E2). De gevolgen van deze wraps zijn echter groot voor de getoonde vectorplaatjes uit 6.9. In deze plaatjes worden alle vectoren geschaald op de grootste vector. Deze grootste vector is vergeleken met de normale gradiëntlengte groot, waardoor deze klein afgebeeld worden. Voor het gradiëntveld uit de hoofdstroomsnelheid alleen (linker figuur), zijn de normale gradiënten zo klein dat de richting niet meer waar te nemen is. Er is derhalve een nieuw figuur geplot waarbij de vectoren alle op dezelfde lengte geschaald zijn (let op, de lengte van de gradiëntvectoren geeft nu geen informatie meer over de SR!), dit is afgebeeld in 6.10

66

max1ma1e magmtude= 581 3 1/s 20' ",,---~""" -~

18"

12'

~ êi ' ;;: 10! ., :

8·

6' !

' 2~

I

2 6 8 10 12 14 16 18 rl (p1xel)

Resultaten

figuur 6.10 De radiale richtingsvectoren gegeven door de gradiënt van de hoofdstroomsnelheid, ongeschaald

De vectoren lijken willekeurig gericht. Aan de randen is licht zichtbaar dat de vectoren in radiale richting wijzen. In het midden van het vat bevat het beeld veel ruis. Dit is het gevolg van de sterke plug-flow die in de aorta heerst (zie figuur 6.5). De gradiëntvector is in het midden van een dergelijke stroming klein en qua richting volledig bepaald door de ruis in de snelheid. Als men nu de totale snelheid neemt (dus hoofdstroom en secondaire stroom) voor de gradiënt-bepaling lvert dat een veel beter beeld (zie figuur 6.9 rechts). Dit duidt erop dat het secondaire veld een bijdrage levert aan de gradiëntvector in radiale richting, hetgeen op basis van (4.13) te verwachten was. De symmetrie van zowel de hoofdstroming als de secondaire stroming is blijkbaar de belangrijke factor die bepaalt dat de gradiëntvector in radiale richting staat.

Met behulp van de bovenstaande gradiëntvector kan nu met betrekking (4.15), op de zogenaamde gradiënt-methode (waarbij de gradiëntcomponent in de z-richting achterwege wordt gelaten), de tijdgemiddelde WSR worden benaderd, zonder dat een gebruiker een radiaal profiel hoeft aan te leggen. In figuur 6.11 staat zowel met de op gradiëntmethode bepaalde SR-profiel, als een met een radiaal snelheidprofiel bepaalde SR-profiel.

67

Resutlaten

200 ,--------~----~-;::::===========:::;;

150

100

-.!!!. ::::.. 50 a: (/)

-50

...,._ gradient-methode

-+--radiaal-profiel-methode

PA(mm)

·100 ···--·--·····-·- ·············-·--·-·-----····-···--·-·-·-----! --------L·---·-··---····-----··--·----J

figuur 6.11 Een SR-profiel zoals dat bepaald wordt met een door de gebruiker bepaalt radiaal snelheidsprofiel en de SR-profiel met de gradiëntmethode toegepast op de hoofdstroomsnelheid. Gemeten bij vrijwilliger B in de carotis communis.

De fout ten gevolge van de ruis in de snelheid bedraagt 24 1/s. De profielen vertonen ondanks de asymmetrie uit figuur 6.5 kwalitatief en kwantitatief een zeer goede overeenkomsten. Buiten het vat treden significante verschillen op. Dit is logisch aangezien daar geen stroming meer heerst. Merk op dat de gradiëntmethode geen negatieve SR kent.

In tabel 6.3 staat met de gradiëntmethode bepaalde WSR (WSRgrad) uitgezet tegen de handmatig bepaalde WSR uit een radiaal snelheidsprofiel (WSRtijd, zie tabel 6.2)) voor vrijwilliger A20 en C. In tabel D2 van appendix D is al deze data weergegeven.

vrijwilliger WSR1'Jd (1/s) aRSR WSRgrad (1/s) aRSR A zo A 100 103

p 170 ±27 176 ±33 R 140 154 L 140 152 gemiddeld 138 146

C suprarenaal A 128 139 p 83 92 R 58 ±53 58 >53 L 45 59 gemiddeld 79 87

infrarenaal A 38 33 p 32 41 R 38 ±46 59 >46 L 32 54 gemiddeld 35 46

tabel6.3 Vergelijk tussen de WSR'ijd gradiëntmethode (WSRgrad) bij vrijwilliger A20 en C.

68

Resultaten

Let op, slechts bij vrijwilliger C zijn alle snelheidscomponenten gemeten. De gradiëntmethode is hier toegepast op de totale magnitude van de snelheidsvector. Bij de andere vrijwilligers is slechts één component gemeten en gebruikt bij de gradiëntmethode: de FH snelheid. De standaarddeviatie in de WSRgrad is bepaald aan de hand van figuur 5.2. De relatieve ruis is bepaald ten opzichte van de gemiddelde WSR (zie (5.14)). Met deze relatieve ruis is uit figuur 5.2 de relatieve ruis bepaald in de WSRgrad. Vervolgens is ook hierbij de absolute standaarddeviatie bepaald ten opzichte van het gemiddelde. Bij vrijwilliger C is de onzekerheid ten gevolge van de ruis in de snelheid dusdanig groot dat op basis van de foutenanalyse uit §5.3.2 geen benadering van de fout gegeven kan worden. Er kan slechts een ondergrens worden gegeven, die bepaald is door de relatieve fout direct door te rekenen. Men ziet dat de extra fout ten gevolge van het gebruik van de gradiëntmethode verwaarloosbaar klein is ten opzichte van de al aanwezige ruis ten gevolge van de ruis in de snelheid. Dit klopt ook als men de waarden van de bepaald WSR tussen beide methoden vergelijkt (zie ook tabel D2 voor andere vrijwilligers). De verschillen zijn namelijk klein zeker als men dit vergelijkt met de gevonden verschillen in tabel 6.2. In figuur 6.12 zijn de gegevens uit tabel D2 afgebeeld.

... e ... I

a: ~

-··· -- -----

- 0

25 0- ---------

200

150 I

100

I

OV 1

1/

-- -------------------------------/ /.

/ V

/ ./

V V

50 100 150 200 2

WSR_tl)d

figuur 6.12 De WSR'ijd uitgezet tegen de WSRgrad voor de verschillende metingen.

r

Aan tabel 6.3 en figuur 6.12 ziet men dat, ondanks de aanwezigheid van eventuele secondaire stromingen in de aorta en eventuele assymetriën het mogelijk is om met de lengte van de gradiëntvector de WSR te benaderen. De benaderingen zoals die in §4.3.3 zijn voorgesteld zijn derhalve inderdaad geoorloofd, en op basis van deze gegevens is er geen sprake van structurele onderschatting.

Als men figuur 6.5 met figuur 6.12 vergelijkt valt op dat in tabel 6.3 de waarden beter overeenkomen. Dit valt toe te schrijven aan de onzekerheid in de positiebepaling. Men dient te bedenken dat zowel de WSRtiid als de WSRgrad op dezelfde positie bepaald is, namelijk dat voxel dat in het gemiddelde FFEIM-beeld is aangewezen als het wandvoxel. Het verschil tussen WSR'iid en WSRgrad wordt daardoor zuiver bepaald door de gebruikte benadering. In tabel 6.2 worden WSR'iid vergeleken met WSRtrack, waarvan de positie van het wandvoxel fer hartfase wordt bepaald. Hierdoor wordt een grote bron van ruis geïntroduceerd in de WSR trac -bepaling, hetgeen de grote spreiding in tabel 6.2 verklaart.

69

Resutlaten

Als men echter naar de WSR-bepaling op zich kijkt, onafhankelijk van de methode van bepaling van de afgeleide, dan blijft ook daar natuurlijk het probleem van de vaatwandpositiebepaling bestaan. In figuur 6.6 valt te zien dat op de positie die in het FFE/M-beeld wordt aangewezen als wandvoxel, het SR-profiel "piekt". Een fout in de positiebepaling van het wandvoxel zal daardoor

grote invloed hebben. Om een indruk te krijgen van de orde van grootte van deze fout ( /!,.wsR ) is pos ar~

gebruik gemaakt van het analytische profiel zoals dat gevonden wordt door een polynoomfit te maken van de snelheidsdata (zie §5.2.2). De 2e afgeleide op de wandpositie van de aldus verkregen functie geeft een maat van de verandering van het de WSR per lengte-eenheid. In formulevorm luidt dit:

WSR d2V /!,.positie = ax2 . /!,.x'

x= vaarwand

(6.1)

waarbij wordt uitgegaan van een maximale fout van één voxel in de positiebepaling ( & ) .Voor elke vrijwilliger is de gemiddelde waarde van alle posities (A, P, R, L) van (6.1) weergegeven in tabel6.4.

vrijwilliger /!,.positie ( 1/ S) O"wsR (lis) SPRwsR (lis)

A2D 25 27 30 B 23 24 40 c SR 21 53 20

tabel 6.4 Een afschatting van de maximale fout in de WSR-bepaling ten gevolge van de fout in de vaatwandpositiebepaling. Tevens is aangegeven wat de ruis is ten gevolge van de onzekerheid in

de snelheid ( O"wsR) en de gevonden fysiologische spreiding door het middelen van de WSR op A,

P, R, L per vrijwilliger gegeven (SPRwsR)

In tabel 6.4 is ook aangegeven wat de ruis is ten gevolge van de onzekerheid in de snelheid en de fysiologische spreiding van de op verschillende posities bepaalde WSR ten opzichte van de gemiddelde WSR. Als men uitgaat van een normale verdeling van de ruis in de snelheid kan de maximale fout worden afgeschat door twee keer de standaarddeviatie te nemen (zie §5.2.2). Dan ziet men dat de fysiologische spreiding van de WSR in een 2D-plak, twee keer zo klein is als de maximale meetfout voor vrijwilliger A20. Het lijkt er derhalve op dat kwantitatieve WSR­bepalingen met de huidige datasets niet zinvol is. Hiervoor zijn de ruisbronnen te groot en de spreiding te klein. Uit figuur 5.1 kan geconcludeerd worden dat bij deze 2D-datasets een te hoge resolutie is gebruikt. Grotere voxels zouden een kleinere ruis tot gevolg hebben gehad. Streven naar een hogere SNR door gebruik van grotere voxels alleen is in dit geval niet zinvol. De ruis ten gevolge van de positiebepaling wordt hierdoor weer groter (zie (6.1)). Een wezenlijke verbetering kan zoals eerder vermeld verkregen worden door lokaal over een aantal voxels te middelen, waardoor de ruis sterk gedrukt kan worden.

6.4 3D-volumes

Hoewel het wellicht tegenstrijdig lijkt met wat beweerd is aan het einde van de vorige paragraaf, wordt toch de bepaling van de SR in 3D behandeld. Let wel, de SR wordt bekeken niet zo zeer de WSR. Van cruciaal belang hierbij is de vraag of de lokale spreiding in de SR in 3D wél groot

70

Resultaten

genoeg is in vergelijking met de ruis ten gevolge van de snelheidsmis en het toepassen van de gradiëntmethode. Men moet zich hierbij realiseren dat deze methode slechts een geldige benadering geeft als de secondaire stromingen verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de hoofdstroomsnelheid (zie §4.3.3). Op plaatsen waar loslaatverschijnselen optreden wordt de SR afhankelijk van de secondaire stroom onderschat. De waarde van deze secondaire stroom in de carotis bifurcatie is echter niet bekend. Voor een wervel zoals die gemeten is in de aorta is

gemeten zou dit leiden tot een onderschatting met een factor van ongeveer -fi .

De resultaten die hier worden gepresenteerd zijn afkomstig van decarotiden van vrijwilliger B en D (beide verschillende soorten acquisities). Vrijwilliger D is gemeten met een cardiac triggered meting, waardoor er acht verschillende hartfases zijn gemeten. De scantijd voor deze scan bedroeg in totaal ongeveer 45 minuten, hetgeen vrij lang is voor een vrijwilliger om stil te liggen. Men dient zich te realiseren dat in feite twee scans worden uitgevoerd: één met een snelheidscodering in de FH-richting en één met een snelheidscodering in deRL-AP-richting (zie §3.4.2). Aangezien voor SR-bepalingen toch over de verschillende hartfases gemiddeld wordt, is bij vrijwilliger A30 in de carotisbifurcatie gemeten zonder cardiac triggering. In principe wordt dan het (snelheids)beeld van de carotide geconstrueerd uit informatie die is verzameld over de gehele hartslag. Dat geeft een benadering van de gemiddelde stroming. De eventuele pulsatiliteitsartefacten (artefacten als gevolg van de periodiek beweing van de vaatwand) bleken geen problemen op te leveren bij de segmentatie van het vat. Het voordeel van de scantechniek ligt in de vele kortere scantijd. De totale scantijd bedroeg ongeveer 25 minuten. Ondanks deze kortere scantijd werd de SNR 2 keer hoger.

Met beide datasets was het mogelijk om de vaatboom uit het volume te segmenteren. Deze datasets vertoonde geen verschuivingartefacten (zie §3.3.2.5).

6.4.1 3D-visualisatie van de SR

Met Analyze™ is er gezocht naar mogelijke manieren om de verkregen 3D-data te visualiseren. Men dient zich te realiseren dat een 3D-dataset voor medische toepassingen altijd zal moeten worden geprojecteerd op een 2D-vlak opdat deze afgebeeld kan worden. In de volgende paragrafen zullen de mogelijke visualisatietechnieken van slice imaging en rendering nader worden onderzocht.

6.4.1.1 Slice imaging In figuur 6.13 staat de tijdgemiddelde SR van een transversale en sagitale vaatdoorsneden zoals die is bepaald uit een 3D-scan. Een sagitale doorsnede is het vlak opgespannen door de AP en FH richting. Dit wordt slice imaging genoemd.

71

Resutlaten

figuur 6.13 Links: een aantal transversale doorsnede van de carotisbifurcatie van vrijwilliger D. Rechts: een coronale (dwarsdoorsnede) van dezelfde carotide.

Zonder dat de data gesegmenteerd zijn, ziet men duidelijk heldere gebieden en donkere gebieden. De heldere gebieden corresponderen met een hoge SR en de donkere met een lage SR. In de achtergrond heerst duidelijk een lage SR ten opzichte van de SR aan de rand van het vat. Ook neemt men in het gebied na de splitsing een donker gebied waar, hetgeen wijst op een lage SR. Dit is in overeenstemming met theoretische modellen die aldaar een loslaatgebied voorspellen. Men dient zich wel te realiseren dat in een dergelijk loslaatgebied de SR altijd wordt onderschat (§4.3.3).

De orde van grootte van de bepaalde WSR kan onderzocht worden door een 3D-plot te maken van de SR in een transversale doorsnede op ongeveer 3 cm onder de bifurcatie. Dit is weergegeven in figuur 6.14 voor vrijwilliger A 30

• Het vat is eerst gesegmenteerd, dus het buitenste voxel die qua waarde van nul afwijkt, is het wandvoxel.

72

Resultaten

Shear Rate (1/s) 12.885

RL(mm)

~ AP(mm) ~ e-i

figuur 6.14 Een 3D-plot van de SR in een transversale doorsnede van de carotis communis van vrijwilliger A3

D.

Zoals te verwachten is op basis van de theoretisch en empirisch bepaalde stromingsprofielen, vertoont de aldus bepaalde tijdgemiddelde SR een duidelijke cilindersymmetrie. Als men van alle wandvoxels in de doorsnede de gemiddeld WSR bepaalt, komt men op een waarde van 127 1/s. Dit komt ongeveer overeen met bij dezelfde vrijwilliger bepaalde WSR in 2D; gemiddeld 138 1/s (zie tabel 6.3). Hiermee is echter nog niet volledig aangetoond dat de benadering van de gradiëntmethode ook werkt in 3D. De relatieve ruis ten opzichte van deze gemiddelde WSR kan met (5.14) worden berekend en bedraagt voor deze scan (zie appendixDen E, vrijwilliger A30

) ongeveer 15%. Met figuur 5.2 kan dan de relatieve ruis in de WSR bepaald worden bij de gradiëntmethode. Omgerekend naar de absolute ruis ten opzichte van dit gemiddelde levert dit een ruis van 26 1/s op in de WSR benadering.

6.4.1.2 Rendering

Bij deze visualisatietechniek wordt aan de 2D-projectie een schijnbare derde dimensie toegevoegd door natuurlijke schaduweffecten toe te passen. Dit wordt rendering genoemd. In [BOS 96] wordt beschreven hoe de schaduweffecten precies berekend worden. Voor dit onderzoek zijn zogenaamde volume-renderingen gebruikt. Bij een dergelijke aanpak worden slechts de voxels met een intensiteitwaarde tussen de, door de gebruiker in te stellen, thresholds afgebeeld.

In figuur 6.15a staat een voorbeeld van een 3D-volumerendering, waarbij de minimale threshold zodanig is ingesteld dat alle voxels met een waarde groter dan 10 1/s zijn afgebeeld. Er is een aantal schaduweffecten te zien op de vaatwand. Dit is het gevolg van lokale variaties van de SR. Indien nu de minimale threshold met stappen van 26 1/s wordt opgehoogd, krijgt men een beeldensequentie zoals is weergegeven in figuur 6.15 b t/mj.

73

Resutlaten

10 1/s a. 88 1/s d.

139 1/s f. 165 1/s g. 190 1/s f

216 1/s h. 2411/s i. 268 1/s j.

figuur 6.15 Een volumerendering van de SR van de carotisbifurcatie van vrijwilliger A3D. De

threshold is telkenmale opgehoogd met stappen van 26 1/s. De threshold ligt bij de laatste rendering op 268 1/s.

74

Resultaten

De totale ruis is voor deze SR is voor de carotis communis bepaald op 26 1/s (zie vorige paragraaf). De laatste rendering heeft een threshold van 270 1/s. Dit houdt in dat voxels metSR's lager dan die waarde, niet worden afgebeeld en ook nauwelijks voorkomen. De SR valt na de bifurcatie weg tussen 63 1/s en 113 1/s. De betekent dat de SR aldaar ergens tussen die grenswaarden in ligt. Voor een SR in die range kan wederom de ruis worden bepaald door het gebruik van de gradiëntmethode. Deze bedraagt dan ongeveer 27 1/s. De extra ruis ten gevolge van het toepassen van de gradiëntmethode is dus verwaarloosbaar klein. Hoewel er een structurele onderschatting wordt gegeven. Belangrijk is te constateren dat men duidelijke verschillen kan waarnemen in de SR in een 3D­dataset. Het gebied waar op grond van theoretische strorningsmodellen de grenslaag loslaat is inderdaad goed waar te nemen, omdat daar een lage SR heerst. Dit is ook in overeenstemming met de theorie over de vorming van atherosclerose, zoals die in hoofdstuk 3 is besproken.

Het voordeel van de SR-bepaling in 3D is dat het niet nodig is om de dataset exact te segmenteren. De SR aan de rand van het vat is namelijk in het omliggende weefsel over het algemeen toch laag vergeleken met de SR (zie figuur 6.13). Dit levert een aanzienlijke tijdwinst op in de dataverwerking. Ook hier geldt net als voor 1D en 2D dat het, als gevolg van de onnauwkeurigheid in de positiebepaling en snelheidsbepaling alsook door het gebruik van de gradiëntmethode, niet mogelijk is om de SR kwantitatief te bepalen binnen een maximale foutenmarge van ongeveer 80 1/s. Deze berekening is gebaseerd op een normaal verdeelde ruis ten gevolge van de snelheid en het toepassen van de gradiëntmethode van ongeveer 27 1/s (zie vorige alinea). Een benadering van de maximale fout hierin wordt gegeven door twee keer deze standaarddeviatie, dus 55 1/s. Wordt daar nog eens een maximale fout ten gevolge van de positiebepaling uit tabel 6.4 bij genomen, in de orde van 25 1/s, dan komt men op de totale maximale fout van 80 1/s. Dit is onacceptabel groot ten opzichte van waargenomen SR's die in de orde van 150 1/s liggen. Kwantitatieve bepaling van de SR is dus niet mogelijk in 3D.

In 3D kan men zonder de vaatwandpositiebepaling echter een kwalitatieve indruk krijgen van de SR-verdeling binnen een standaarddeviatie van ongeveer 27 1/s hetgeen voldoende blijkt om een indruk te krijgen van de SR-verdeling op een carotisbifurcatie.

75

Resutlaten

76

discussie&conc/usie

Hoofdstuk 7 DISCUSSIE,CONCLUSIE& AANBEVELINGEN

In dit hoofdstuk zullen de resultaten van hoofdstuk 6 nader worden beschouwd en zullen de conclusies die uit dit onderzoek getrokken kunnen worden op een rij worden gezet. Als laatste worden enige aanbevelingen gedaan voor mogelijk toekomstig onderzoek.

7.1 Dynamische Wall Shear Rate in lD

Er zijn verschillende studies uit de literatuur bekend ([OSH 95] en [OYR 97]) waarin gepoogd is met behulp van MR de Wall Shear Stress te bepalen. Men deed daarvoor 2D PCA metingen in de aorta met plaatsresoluties van de orde van 0,75 mm en tijdresolutie van 66 ms. Om fouten ten gevolge van partial volume effecten uit te sluiten werd vervolgens gebruik gemaakt van de in methoden om de vaatwandpositie binnen het wandvoxel vast te stellen (zie §4.3.1.1). Hierdoor werd de geregistreerde systolische WSS 34% hoger. De aldus verkregen WSS werden vergeleken met analytische Womersley-profielen en een fout van 12% ten opzichte daarvan is geclaimed. Uit eigen onderzoek blijkt echter bij de gebruikte plaats en tijdsresolutie (0,5 mm en 40 ms) een dergelijk wandpixel niet altijd aan te wijzen is. Het toepassen van een dergelijk methode is derhalve achterwege gelaten. Men dient zich dus wel te realiseren dat als gevolg hiervan de genoemde resultaten van het dynamische gedrag van de WSR structureel te laag uitvallen (zie §5.2.1). Wellicht dat een verbetering van de SNR het wel mogelijk maakt een dergelijk wandpixel aan te wijzen. Dit zou bereikt kunnen worden door vergroting van het voxel of een extra meting. Het is echter niet uitgesloten dat het structureel onmogelijk is. Men dient zich namelijk te realiseren dat de informatie in een voxel, niet alléén uit dat voxel komt maar ook altijd (zij het in mindere mate) informatie bevat uit omliggende voxels [VLA 95]. De resultaten van de met MR bepaalde snelheidsprofielen en SR-profielen komen kwantitatief overeen met de US-metingen. Ook de bepaalde WSR met MR komt bij middeling over de anterior­en posteriorzijde overeen met de US-data.

7.2 Tijdgemiddelde Wall Shear Rate in lD, 2D en 3D

Er zijn grote verschillen gevonden tussen de tijdgemiddelde WSR-bepaling uit dynamische onderzoek van de WSR (WSR1

rack) en uit tijdgemiddelde snelheidsprofielen (WSRtijd). Dit is te wijten aan de onzekerheid in de vaatwand positiebepaling. Er kan op basis van deze gegevens geen conclusie worden getrokken omtrent een over- of onderschatting van één van beide. Lokaal middelen over een aantal voxels op de vaatwand zal deze ruis kunnen drukken. Hierbij stuit men echter op het probleem hoe groot het gebied moet zijn waarover gemiddeld mag worden. Voor atherosclerose onderzoek zijn namelijk juist de lokale verschillen interessant. Gezien de totale meetonzekerheid (ten gevolge van de ruis in de snelheid en positionele onzekerheid) in de WSR-bepaling, is het niet zinnig om waarde te hechten aan de kwantitatieve waarde.

De gradiëntmethode voor de bepaling van de WSR levert in de aorta en carotis communis, waar geen loslaatverschijnselen verwacht worden en een overwegend symmetrische stroming heerst, nagenoeg dezelfde resultaten als de bepaling van de WSR uit het tijdgemiddelde stromingsprofiel.

77

discussie&conclusie

In de aorta is aangetoond dat de secondaire stromingen bijdraagt aan radiale component van de gradiëntvector.

Ondanks het feit dat kwantitatief weinig waarde aan de bepaalde WSR gehecht mag worden, zijn in 3D-datasets kwalitatief duidelijke verschillen in de SR waar te nemen bij de carotisbifurcatie. Hierbij dient aangetekend te worden dat op theoretische gronden is aangetoond dat men de SR onderschat in de loslaatgebieden na de bifurcatie. Hoe groot die onderschatting precies is hangt af van de grootte van de tot op heden onbekende secondaire stroming in de bifurcatie. De medische relevantie van een dergelijk kwalitatief beeld van de SR is twijfelachtig. Deze parameter is namelijk geenszins een indicator voor een bepaald ziektebeeld, maar slechts een mogelijke oorzaak voor de ontwikkeling van atherosclerose.

Er zijn twee soorten 3D-acquisities op carotiden uitgevoerd, een mét cardiag triggering en een zonder. De eerste heeft als voordeel dat het tijdinformatie bevat en daardoor ook geschikt is om andere klinisch relevante hemodynamische parameters zoals de Pulsatiliteits Index (PI) te bepalen. Een nadeel is de voor klinische begrippen absurd lange scantijden van 45 minuten. Aangezien dit onderzoek er in eerste opzet alleen erop gericht was om de gemiddelde WSR te bepalen en te visualiseren is er ook een scan gemaakt waarbij direct de gemiddelde stromingsprofielen zijn gemeten; dus zonder cardiac triggering. De scantijd werd teruggebracht naar 25 minuten terwijl de SNR meting groter werd. De onzekerheid in SR ten gevolge van de ruis in de snelheid liep hierdoor terug van 42 1/s naar 23 1/s. Dit blijven echter relatief grote fouten ten opzichte van in de carotis communis gemeten SR' s van ongeveer 150 1/s.

7.3 Conclusies

78

US beschikt over een superieure tijdresolutie en ook de onzekerheid in de snelheid en SR lijkt veellager te liggen. Kwalitatief en kwantitatief vertonen MR-metingen van snelheids-en SR­profielen grote overeenkomst met US-metingen bij dezelfde vrijwilligers.

De onzekerheid in de WSR-bepaling met MR blijkt te groot om de fysiologische spreiding in een 2D-dataset zoals die per vrijwilliger voorkomt te kunnen bepalen. Lokale middeling over een aantal posities zoals bij het vergelijk tussen MR en US zal hierin een verbetering aanbrengen.

Er is een methode gepresenteerd om in 3D zonder tussenkomst van een gebruiker op iedere plaats de tijdgemiddelde SR te bepalen. Deze methode is in 2D-data van de aorta en carotis communis gevalideerd. In gebieden van loslaatverschijnselen levert deze methode, op theoretische gronden, een onderschatting.

Er zijn 3D-QF PCA metingen verricht aan de carotide. De SNR hiervan was voldoende om een kwalitatieve indruk te krijgen van optredende verschillen in de SR bij een caroti ... bifurcatie. Gezien de totale meetonzekerheid kan aan de kwantitatieve waarde van de ST bepaling echter weinig waarde worden gehecht.

De waarde in de klinische praktijk van een meer kwalitatieve indruk van de WSR-ver 3D die deze studie heeft opgeleverd, is twijfelachtig.

discussie&conclusie

7.4 Aanbevelingen

De cardiac triggered 3D QF PCA-metingen bieden ongekende mogelijkheden om de stromingssituatie in complexe geometriën nader te onderzoeken. Hiervoor zou gebruik gemaakt moeten worden van daarvoor geschikte software pakketen, waarin op eenvoudige wijze de stromingen gevisualiseerd kunnen worden. Deze studie heeft de gehele hemodynamische inhoud van de 3D-dataset slechts op één aspect onderzocht, namelijk de WSR. Om kwalitatief gebruik te kunnen maken van de WSR-bepalingen, dienen de mogelijkheden van lokale middeling te worden onderzocht om de ruis te drukken en de exacte stromingssituatie van de verschillende gebieden om de onderschatting te kunnen kwantificeren.

79

discussie&conc/usie

80

literatuur

LITERATUUR

[BEC 95]

[BOS 96]

[CAR 71]

[DHE 94]

[DIA 91]

[DOR 89]

[EUR 91]

[JON 96]

[KIT 95]

[KLO 96]

[KOU 95]

[KRE 93]

[LOU 93]

[MIL 89] [NER 92]

[OSH 95]

[OYR 97]

[PAL 97]

[PHI] [POT 93]

[REU 91]

De Becker et al., 3D Cardiac Triggered PCA Flow visualization, Proceedings I 4th Anual meeting SMRM, p.450, 1995 J.Bosman, 3D segmentatie en visualisatie in MR Angiografie, afstudeerverslag TUE, 1996. C.G. Caro et al., Atheroma and arteria1 wall shear: observation, correlation, and a proposal for shear dependent mass transfer for arthogenesis Proc. R. Soc. Lond. 'Biol' 1971:177:109-159 G. D'Hert, In vitro fantoom validatie van 2D MR Phase Contrast flow meting, afstudeerverslag TUE, 1991 J .Dias, A primer on the pathogenesis of atherosclerosis, intern rapport voor Medica! Ultrasonic Group Medica! Department HP Laboraries, Palo Alto CA, 1991 J.Dormandy, European Consensus document on critica! limb Ischaemia, Springerverlag, 1989 MRC European carotid surgery trail: interim results for sympthomatic patients with sever (70%-99%) or mild (0-29%) carotide carotid stenosis: European carotide surgery trailist collaborative group, Lancet, 337, 1235-1243, 1991. H. de Jong, In vivo analyse van arteriële hemodynamica met magnetische resonantie, afstudeerverslag TUE, 1997 P.Kitselaar, H.Wollersheim, I.Zwiers, Consensus non-invasieve diagnostiek van perifere arteriële vaatziekte, Ned. Tijdschr. Geenskd 1995 3 juni; 139 (22) S.Kloos, In vivo analyse MR-Qunatitative Flow vs. Ultrasound, afstudeerverslag TUE, 1996 M.Kouwenhoven, M.Hofman, M.Sprenger, Motion Induced Phase Shifts in MR: Acceleration Effects in Quantitative Flow Measurements- A Reconsideration, Magnetic Resonance in Medicine, 33:766-777, 1995 E.Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, zeventh edition, John Wiley & Sons, Inc., 1993 Z.Lou, W.Yang, P.Stein, Errors in the estimation of arterial wall shear rates that result from curve fitting of velocity profiles, J. Biomechanics, 26, No 4/5, 383-390, 1993 William R. Milnor, Hemodynamics, 2nd edition Williams&Wilkins, 1989 R.M.Nerem et al, Vascular fluid mechanics, the arterial wall, and atherosclerosis, Joumal of Biomechanica! Engineering, 114, 274-282 J.Oshinski, D.Ku, S.Mukundan, F.Loth, R.Pettigrew, Deterrnination of wall shear stress in the aorta with the use of MR phase velocity mapping, JMRI 1995, 5:640-647 S.Oyre, E.M.Pedersen, S.Ringgaard, P.Boesiger, W.P.Paaske, In vivo wall shear stress measured by magnetic resonance velocity mapping in the normal human abdominal aorta, Eur.J.Endovasc. Surg 13,263-271, 1997 D.E.M.Palmen, F.J.H.Gijsens, F.N.van der Vosse, J.D.Janssen, Diagnosing minor stenoses in carotid artery bifurcation models using the disturbed velocity fieldJoumal ofVascular Investigation 1997 3:1:26-41 Basic Principles of MR Imaging, Philips E.J.Potchen, E.M.Kaacke, J.E.Siebert, A.Gottschalk, Magnetic Resonance Angiography Concepts and Application, Mosby, 1993 P.J.Reuderink, Analysis of the flow in a 3D distensible model of the carotid

81

literatuur

[SAM 97]

[SID 97]

[SME 96]

[STR 93]

[TAN 95]

[VLA 95] [VOS 97]

82

artery bifurcation, proefschrift TUE, 1991 S.Samijo, J.Willigers, P.Brands, R.Barkhuysen, R.Reneman, P.Kitselaar, A.Hoeks, Reproducibility of shear rate and shear stress assesment by means of ultrasound in common carotid artery of young human rnales and females, Med. and Biol. 1997 vol 23, no.4, pp 583-590 Sidway, Sumpio, De Palma, The basic Science of vascular disease, Futura Publishing Company, Inc., New York, 1997 A. de Smet, F.Moll, P.Kitselaar, Development of Ultrasound Techniques for Assesment of Aortoiliac Obstructive Disease, Vascular Surgery, 30, july/august 1996 J.Strackee, N.Westerhof, The Physics of heart and circulation, Institute of physics Publishing Bristol and Philadelphia, 1993 C.Tang, D.Blatter, D.Parker, Correction of Partial volume Effects in Phase­Contrast Flow Measurements, Joumal of Magnetic Resonance Imaging 1995, 5: 175-180 R.Vlaardingerbroek, De Boer,Magnetic Resonance Imaging, Springer, 1995 F.N.van de Vosse, R.van Dongen, Cardiovasculaire stromingsleer, pre-print dictaat bij college TUE

appendix A

APPENDIX A

De naamgeving van de verschillende vaten in het menselijk lichaam.

,.-----,/--------------A. carotis interna

J-1~-\--------------A. carotis externa

A. iliaca communis ----f---1~1--+t----#

A. iliaca externa

A. iliaca interna -----1+-1'-f--j-----.'---'1 A. femoralis communts -+1--hf--t---~•

a-----il----- A. femoralis superficialis

1---\----------- A. poplitea

\-11--1----------- A. fibularis (A. peronea)

83

appendix A

84

appendix 8

APPENDIX B In deze appendix zal een theoretisch tijdgemiddeld snelheidsprofiel worden afgeleid zoals dat is gegeven in (2.10) (zie ook [VOS 97]). Het tijdgemiddelde snelheidsprofiel wordt gegeven door de stationaire oplossing van vergelijking (2.3):

0 =- (Jp +_!_~(rr,.J. dZ r dr

Hierbij is 'trz = 11 dvz gedefinieerd, hetgeen de definitie is van de WSS. dr

Integreren van (B 1) over de radius geeft:

1 ap C1 'trz =--r+-. 2 dZ r

(B1)

(B2)

Met C1 een willkeurige constante. Deze constante C1 moet nul zijn om te voorkomen dat de WSS oneindig groot wordt voor r=O.

Aan de andere kant geldt met (2.9) ook:

_ dVz _ ("' dVz ~n-l dVz _ "'n-l(dVz În 't rz -Tl ·- -llo 11.- ·- -Tlo!l. -

dr dr J dr dr J (B3)

Samenvoegen van (B2) en (B3) geeft:

(B4)

Opnieuw integreren van (B4) geeft:

(dp 1 J~ r~+I

vz(r)= ~ 2 f..."-1 ·-1-+C2, OZ 'Tlo _ + 1

(B5)

n waarin C2 wederom een nader te bepalen constante is. Uitgaande van de visceuze no-slip conditie kan vervolgens deze constante bepaald worden. Het uiteindelijke snelheidsprofiel ziet er dan als volgt uit:

(B6)

85

appendix B

86

AppendixC

APPENDIX C ruis in de normaalvector De invloed van de onzekerheid in de snelheid op de ruis vector dient als volgt te worden bekeken. De magnitude van de snelheid is als volgt gedefinieerd:

waarbij v; de verschillende cartesische componenten van de 3D-snelheidsvector zijn. Simpele foutenanalyse van (Cl) leert dat de ruis in de V wordt gegeven door:

(Cl)

(C2)

Hierbij geeft de sommatieindex i aan dat er wordt gesommeerd over x,y,z en is de ruis in de snelheid cr v voor richtingen gelijk verondersteld. Dit is over het algemeen niet zondermeer waar

(zie daarvoor §3.3.2.2), maar om toch een indruk hoe de ruis in de snelheid zich manifesteert in de WSR wordt daar nu geen rekening mee gehouden. De gradiënt hiervan geeft een benadering van de normaalvector (zie (4.5)):

n = 1 [av av av] 1 [av av av] '(=~=:=J=2 +=(=~=~=J=+=(=~~=J=2 ax ay az = IV VI ax ay az . (C3)

Indien de discrete plaatsafgeleide bepaald wordt zoals in ( 4.22) is aangegeven dan rekent fout in V uit (C2) als volgt door in de i-component van (C3):

1 O"v (j =----

n, IVVI -Jid .

Men ziet dat de normaalcomponent, als verwacht, eenheidsloos is. Samen met (C2) levert (C4):

1 (j (j =----v-·=Ö

n; IVVI -Jid •

(C4)

(C5)

De laatste stap is slechts een definitie. Met (C5) is een uitdrukking verkregen die de ruis in de verschillende normaalcomponenten geeft als functie van de ruis in de snelheid.

ruis in de stress-tensor Vervolgens wordt gekeken naar de invloed van de ruis in de snelheid op de stress-tensor. De stress-tensor elementen 'tij uit (2.12) worden in algemene vorm gegeven door [VOS 97]:

87

AppendixC

dV. dVj '! .. =-' +-.

IJ dXj dX; (C6)

Hierbij geven de indices de verschillende componenten aan.

De fout in 'tii als gevolg van de ruis in de snelheid wordt weer gegeven door:

2 2 2

cr2 -~+~-~-z:vvj 2 ö2 tij - 2d 2 2d 2 - d 2 - I • (C7)

Hiermee is een uitdrukking afgeleid die aangeeft hoe de ruis in de snelheid doorwerkt in de verschillende matrixelementen.

ruis in de WSR bij vector-methode Met behulp van (5.13), (5.15) kan de volgende Shear Rate-vector met ruis worden uitgerekend (hier voor het overzicht als kolom-vector):

"f=F2JVVJ· (C8)

Hierbij staatJVVJ voor de normaliseerconstante van de normaalvector uit (C3). Uitgaande van

(5.16) kan nu met behulp van (2.14) de grootte van tangentiële component van de stress-vector worden uit gerekend (hier slechts tot de 3e-orde termen van de ruis Ö ):

(C9)

Aan de expressie is te zien dat de ruis Ö erg hard doorwerkt in de WSR zoals die bepaald wordt in de vector-methode.

ruis in de WSR bij gradiënt-methode

De ruis in de gradiënt-vector wordt gegeven door de JVVJ maal de relatieve ruis uit (CS). De

gradientvector ziet er met ruis dan als volgt uit:

(ClO)

Als men nu de lengte van deze gradient-vector aanduid als WSR komt men op:

88

AppendixC

wsR=)(av +ö:vv1)2

+(av +ö'Vv1J2

+(av +öiVv1)2

V ox oy I ()z ' (Cll)

De lengte van de gardiënt-vector wordt gegeven door !VVI en met het uitrekenen van de

kwadraten onder het wortelteken komt men op:

WSR =I VVI· -JI + 2Ö + 3Ö2 (Cl2)

89

AppendixC

90

appendix D

APPENDIX D In deze appendix worden de op verschillende wijze bepaalde WSR vergeleken.

vrijwilliger WSRtrack (lis) O"WIR WSRttid (1/s) (}WIR A2D A 170 100

p 96 ±27 170 ±27 R 106 140 L 144 140 gemiddeld 129 138

B A 190 148 p 90 96 R 183 ±24 150 ±24 L 198 70 gemiddeld 165 116

C suprarenaal A 44 128 p 126 83 R 124 ±53 58 ±53 L 126 45 gemiddeld 105 79

infrarenaal A 34 38 p 22 32 R 44 ±46 38 ±46 L 104 32 gemiddeld 51 35

tabel D 1 Een vergelijk tussen de WSR bepaald door de wand gedurende de hartslag te volgen (WSRrrack) en de WSR bepaald door de afgeleide te nemen van een tijdgemiddeld radiaal snelheidsprofiel (WSRrijd). De standaarddeviatie is bepaald door de onzekerheid in snelheid alleen; de postiebepalingsfout is buiten beschouwing gelaten.

91

appendixD

vrijwilliger WSR1'Jd (lis) (j~ WSRgrad (lis) (j~

A2D A 100 103

p 170 ±27 176 ±33 R 140 154 L 140 152 gemiddeld 138 146

B A 150 147 p 96 98 R 150 ±24 150 ±28 L 70 71 gemiddeld 117 117

C suprarenaal A 128 142 p 83 ±53 92 R 58 56 >53 L 45 57 gemiddeld 79 87

infrarenaal A 38 34 p 32 44 R 38 ±46 54 >46 L 32 53 gemiddeld 35 46

.. riid tabel D2 Een vergeluk tussen de WSR ~ en de WSR bepaald met behulp van de gradiëntmethode (WSRgrad).

De onzekerheid van de gradiëntmethode is bepaald door voor iedere vrijwilliger de relatieve ruis te bepalen ten opzichte van de gemiddelde WSR (zie (5.14)). Met de aldus verkregen relatieve ruis is uit figuur 5.2 de relatieve ruis bepaald in de WSRgrad. Vervolgens is de absolute ruis bepaald ten opzichte van de gemiddelde WSR. Bij vrijwilliger C is de onzekerheid ten gevolge van de ruis in de snelheid dusdanig groot dat op basis van de foutenanalyse uit §5.3.2 geen benadering van de fout gegeven kan worden. Er kan slechts een ondergrens worden gegeven, die bepaald is door de relatieve fout direct door te rekenen.

92

appendix E

APPENDIX E In deze appendix zullen de belangrijke parameters voor iedere scan worden weergegeven. Voor de oriëntatie van de cartesische assen wordt verwezen naar figuur 4.1. De datasets zijn opgesplitst naar 2D- en 3D- metingen, respectievelijk tabel El en tabel E2. De SNR is indien mogelijk bepaald in de systole met behulp van de ruis uit een gebied met lucht (zie §3.3.2.1). Als er geen gebied met lucht in de dataset was, is de ruis in het achtergrondweefsel genomen.

Uit de SNR is de ruis in de snelheid cr v bepaald in de hoofdstroomrichting (i.e. FH) met behulp

van (3.13). Tevens is de ruis in de afgeleide bepaling crwsR als gevolg van de ruis in de snelheid

bepaald met behulp van (5.12). Indien het voxel niet kubisch is, is voor (5.12) de kleinste voxelgrootte genomen ("worst case").

voxelgrootte in mm Trigger aantal Vene in cm/s SNR (jv (jWSR Delay (TD) hartfases

x y z mms

A2D 0,50 0,50 7,0 46 22 100 33,7 1,9 27 B 0,58 0,58 7,0 39 28 100 35,5 1,8 24

tabel El. Een lijst met belangrijke parameters van de verschillende 2D-datasets.

voxelgrootte in mm TD aantal Vene in cm/s SNR av in crn!s (jWSR in 1/s inms hart-

x y z fases FH RUAP FH RUAP FH RUAP FH RUAP

A3D 0,89 0,89 0,89 - - 100 20 21,6 23,2 2,9 0,5 23 4,0 c I IR 0,78 0,78 7,0 51 19 100 40 12,3 14,7 5,1 1,7 46 15,4

!SR 0,78 0,78 7,0 51 19 100 40 10,7 11,8 5,9 2,2 53 19,9 D 1,25 0,89 0,89 87 8 100 20 12,0 9,6 5,3 1,3 42 10,3 tabel E2. Een lijst met belangrijke parameters van de verschillende 2D-datasets.

93

appendix E

94

Technology assessment

TECHNOLOGY ASSESSMENT

Het maatschappelijk nut laat zich gezien de medische omgeving waarbinnen het onderzoek heeft plaats gevonden vrij eenvoudig beschrijven. Met als doel de ontwikkeling van een methode om de wandafschuiving te bepalen, heeft het onderzoek zich specifiek gericht op de ziekte atherosclerose. Deze ziekte vormt de belangrijkste doodsoorzaak in de westerse wereld. Atehrosclerose wordt in de medische literatuur veelal gecorreleerd met deze wandschuifspanning. Een methode om de wandafschuiving te bepalen zou kunnen leiden tot een beter begrip over de onstaansoorzaken van en wellicht in de toekomst betere preventie tegen atherosclerose.

95

Technology assessment

96