39
For more information, [email protected] or 617-253-7054 please visit our website at http://ebusiness.mit.edu or contact the Center directly at A research and education initiative at the MIT Sloan School of Management Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand Paper 158 Lap Mui Ann Chan David Simchi-Levi Julie Swann July 2001

Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

  • Upload
    others

  • View
    18

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

For more information,

[email protected] or 617-253-7054 please visit our website at http://ebusiness.mit.edu

or contact the Center directly at

A research and education initiative at the MITSloan School of Management

Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

Paper 158

Lap Mui Ann Chan David Simchi-Levi Julie Swann

July 2001

Page 2: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�������� ����� ����� ���������� ���� ����������

������

��� ��� ��� ��G

���� �����������

����� ������

���� ����

VAR��s{�

G� {BtR$I�� `B$t�jk I����8$t$t� }�${�R stI }�BIZ{�$Bt %sjZ�R $t s 8Zj�$}j� }��$BIYB�$9Bt ZtI�� s ��t��sj� tBtTR�s�$Bts�k R�B{YsR�${ I�8stI PZt{�$Bt� VII$�$Btsj ,�ksRRZ8}�$BtR s�� �Ys� �Y� s%s$jsAj� }�BIZ{�$Bt {s}s{$�k $R j$8$��I� Zt8�� I�8stI $RjBR�� stI Rsj�R s�� I$R{���$Bts�k� G� stsjk9� stI {B8}s�� }s��$sj }jstt$t� stI I�jsk�IR��s���$�R� $t bY${Y s I�{$R$Bt 8sk A� I�jsk�I Zt�$j I�8stI $R ��sj$9�I $t }��%$BZR}��$BIR� 3B� �-s8}j�� $t *�jsk�I _�BIZ{�$Bt w*�jsk�I _�${$t�D� }�${$t� w}�BIZ{�$BtD$R I����8$t�I s� �Y� A��$tt$t� BP �Y� YB�$9Bt� stI �Y� }�BIZ{�$Bt w}�${$t�D I�{$R$Bt $R8sI� s� �Y� A��$tt$t� BP �s{Y }��$BI A�PB�� {ZR�B8�� B�I��R s�� ��{�$%�I� V R}�{$sj{sR� BP BZ� 8BI�j $R bY��� s R$t�j� }�${� $R {YBR�t B%�� �Y� YB�$9Bt� G� I�%�jB}Y�Z�$R�${R PB� �Y� R��s���$�R AsR�I Bt I����8$t$R�${ s}}�B-$8s�$BtR stI stsjk9� �Y�bB�R�T{sR� }��PB�8st{�� ]B8}Z�s�$Btsj stsjkR$R $R }��PB�8�I �B I�%�jB} $tR$�Y�R sABZ��Y� }��PB�8st{� BP �Y� Y�Z�$R�${R�

i�R�s�{Y RZ}}B���I $t }s�� Ak !Wi ]Bt��s{�R W(((d;T�(TFTdE;� stI W(((d;T�xTdT(1n1� W73 ]Bt��s{�R**�T�n11M1M stI *�yT��n1��x� s ��R�s�{Y ��st� P�B8 �Y� Ws�Z�sj 7{$�t{�R stI i�R�s�{Y ]BZt{$j BP ]stsIswW7ei]D s ��st� P�B8 p�t��sj �B�B�R� stI s ��st� P�B8 �Y� � ZR$t�RR ]�t��� s� �yq�

G7{YBBj BP �sts��8�t�� =t$%��R$�k BP qB�Bt�B� qB�Bt�B� !t�s�$B�*�}�� BP ]$%$j stI et%$�Bt8�t�sj et�$t���$t� stI �Y� et�$t���$t� 7kR��8R *$%$R$Bt� �yq�7{YBBj BP ytIZR��$sj stI 7kR��8R et�$t���$t�� p�B��$s ytR�$�Z�� BP q�{YtBjB�k

Page 3: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��������

� ������� �� ���� ���������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ������ �� !�����"�� "���"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � #����� �����$� ������ ������ ��% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &

� ��� �������� � � � �� ������� ���� '"����"� �� �%%�����"�% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (��� ������ ��" ����"� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )

����� �����%�% "* ������ ��" ����"� *"� � +���� ����� ,���"� � � � � � � � ������� -����%��� *"� �����% �� �����%�% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������. ������� �%�/ 0�1� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��. ������ ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����.�� �����%�% "* ������ ������ *"� � +���� ��" ����"� ��� ��� � � � � � �#��.�� -����%��� *"� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(

� �������� ���� ������ � ��.�� "�������"��� ������% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(

.���� ���*"������ ���%���% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(

.���� ���������% �� �%� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �).�� !�%� �% *�"� "�������"��� �����%�% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

.���� ���*"������ 2��� % � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

.���� "�����%"� "* ������ ��% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ������ ��� �� ������� ��� �

! "�#������ �$

% ����� ��� �&#�� ��""* "* ����� ��3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .�#�� ��""* "* ����� ��& � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ..#�. �� "����% � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .�

#�.�� ������ ��" ����"� �� "���� *"� � +���� ��� "* �����% � � � � � � � .�#�.�� ������ ������ �� "���� *"� � +���� ��" ����"� ��� ��� � � � � � .&

Page 4: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.

� ������� ��

!� ������ ����%4 � ���5�� "* �� �%����% ��� �%� ���"������ ������ %����� ��% �" ���� � ����������"�� �6��������� 0"� �1�����4 �����7��% %�� �% ������� ��������� ��� 5��� ������ �� %������ �� �%����% �% ����� �% �� �������%4 "���%4 �� ������ ��� � �����%8���� ����� �����4 ������"�� �"���"�4 �� 7������ "* %������� !� "��� ��%�% %�� �% �� �"��� �� �%���4������ ����� ���"� �� �" ���� "� ���� "* �� �% 5��"��� � �""� �" �����9� �������� �"���:�������� 2� ������ �� �%��� �% ��%" �"��������� "� �""� ������ ������ �� ������"���"���"�4 ������������ *"��%�� "� �%�� ����� �% � ���;�� ������� ������%��

-"�����4 �� ���� ����"� "* ������ ��� ��" ����"� �� � ����*������� %����� �% %������ ��% ����� %�� �%� 2��� ��� � ���5�� "* ���������%���% ��� �%��� ��% ������ ����*�������� �� �%����% *�"� �� �� �%����% �����"�� �����"�%��4 ����� �� �� �"������%�5�����"* ��" ���% �� �� �5����� �" ���� ��" ����"� �����%� 0������"��4 ����*������� �6��%*�"� �"%� ������ �����"�����% �� ��% ��"� ���� �� �������� ���������%���%� ����*������� �������� �% ��" ����"� �� ����� ����" ��� �% ������ 5� �� �������� "* �� %�%���4 ������������ "*��� ���"���% � %�� �� ��� � "� �� �� �� %���� "* � %����� %��%"��

<�� "5=������ �� ��% ��%���� �% ��% �" �����9� �" ��% �� ��"5���% ���� ������ ���%�"�% ��� �"�%� ��� ="����� ��� ��" ����"� ���%�"�%4 ���"��"����� �� ������"�%��5������ ����� �� ���� 4 �� ��;�� ���" ���"��� �������� ��������"�%� !� ����������4�� ��� ������%�� �� ����� ������� %����� ��% �� � ����������" %����� �� �� %�"��%��� ���� 4 ���� ��" ���% ��� �"������%�5�� "� ��� � �"� %����� %��%"�� !� ������� ������� %����� ��%4 "�� ���%�"� >����� "� ��" ����"�? �% �� � �� �� 5� ����� "* "��9"�4 �� ��%��"� ���%�"� >��" ����"� "� �����? �% �� � �� �� 5� ����� "* ��� ����" 8�*��� �������9���"� "* ���� ����������� �� �����"�% ����" % 5�� 5�*"�� ���� �% �����9� �� ��������� ����" � @� �"�%� �� �%�����"���� %���%4 ���� ������"�� ��� 5� %��� �" %���%*�*����� ���� � 2� %����� ��% ��� �� �����9� ��� ����� 5� �� �%����� �1�����% %�� �%�� *"��"��� �

�� � %������� "* ����*������ ����% �% �����5����� �� ��� �������� %����� �� �%�% �����%�" 5����� ���� ���� �� %����� �� ��� ����" � 2� %������� �"������% ��� �����*������� "��� � ���� "��9"�4 "6���� �� ����*������� $1� �����% �� � �����*"� ������� ����"%�%4 5�� ���"��� "� ��% �" 5� ����� �� ��� ����" �� �" ������*�������A% � ������"�� "� �� �"%� �� ����� ����5�� ���� � 2� %�������� =�%�% ��" ����"� �� ��� ���� ����" 5�%� "� �����"�% ������"�� �� �1����� "� ��%�

�� � ����*������� ��� % �" �������� ��"�������� ���%�"�% �� � ����� �� "� �� �" %� ��"������% ��� %�������% *"� ���� �������� 2�%4 �� ����*������� ��������% � ��"� ����"� %�� ��� �� �� 5� ����� "* � ���� "��9"�4 5�� ��;�% ���%�"�% �� �� �� ������5�� ������"�� �� ����� "� � ����" 5� ����" 5�%�%�

.� � ����*������� �"%� ������� �%���5���"� ������ �% ��"� �����" % ��������% �%�� �� �"�%���� ����� "��� �� ��*����� "* �� ��" ��� �� ����% �� ��"$� ��1���9�

Page 5: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

3

�� ������ ��" ����"� ���%�"�% ��� �������� ����" 5� ����" 4 5�%� "� �1����� ���� �� ���%��� �� *����� ����" % �% ���� �% ������"�� *�"� �����"�% ����" %�

2�%� �1�����% ��"�%����� �� %����� ��% ��� �� ��� ������%�� ��4 ������ "��% �"��5���� ������ �� ��" ����"� ���%�"�% �� �� ��������� ���� � @� *"��% "�� �6"��% "� ������ ������ �" ��%4 ���� ����� ��� �% "��� ���� �� ��%�"�%� �" ��� �% �� %����� "� ���� 4 5�� �� ��%" � ��%% ��� ������ �" ��% �� %"�� ��%�%4 ���� ����� �% �"�%���� "�������� @� ��� ������������ ������%�� �� ������� ������� �" ��%4 ���� "�� "� �"�� ���%�"�%��%� 5� �� � �� �� 5� ����� "* � "��9"��

!� �1����� "��4 �� ���%�"� ��;�� $�� ��������% �����% *"� � ������� "��9"� ����"�� �� ��������% �� ��" ����"� ���%�"� 5�%� "� �� %���� "* �� %�%��� �� *"����%� ���� � 2� $�� �% �5�� �" ���� �� ��" ����"� ����� 5�%� "� ������"�� ��*� "��� *�"������"�% ����" % "� ��" ��� �" %���%*� ���� �� *����� ����" %� @� ��*�� �" ��% %����� ��% ������ ��� ������

B1����� ��" ����%�����% ��"��� ������� ������� �" ��� 2� ����*������� ����% ��"� ����"� �� �� 5� ����� "* �� "��9"� 5�� ��;�% �� ����� ���%�"� "� � ����" 5� ����" 5�%�%� @� ��*�� �" ��% %����� � �% ������ �������� !� ��% ��%� ����� ��� 5� �%� ����������% � ���;�� ������� ������%� �" ��� ��� ������"�� *�"� �����"�% ����" %4 5�%������ ��������"�� ��� ��%���% *�"� ��������� ���� �

!� %"�� ��%�%4 � $�� ��� 5������ ��� %������� � �"�%���� ����� *"� � ��" ��� �% ��5�%� %����� �� -"�����4 ��"�������� C�1�5����� �� ��� ����" ��� %���� 5� �%��� � 2�% �%����%����� �� �� ��%� �1�����4 �� �� %����� � �% ��*���� �" �% ���� �������� �% 5�*"��4�� ����� �"%�� %"�� ���"��� *"� ���� ����������� "��� �� "��9"� �% ���� �% ���� %��%"������ >"� �"��%����"������? "��� ����� 2�% ������ %����� � �% "*��� ������ ��� "" %��� �"������%�5�� "� ��� � �"� %����� %��%"�4 �� � *�������� ��" ���%�

!� ��� "* �� �1�����% �%���5� �5"��4 �� ��� 5� ��"$��5�� �" ����� ����������� �����4��� �%4 �" %�� �%� � ������"�� �" %���%*� *����� ���� 4 ���� �* �� ���%�"� ����% �"%�� %���% �� �� ������� ����" � ���"� �""%�� �" �"%� %���% ��� %��� �"����� �" ��;�� ��"$�4 �� ������"�� �% %�� �%� � �� %������"�% ��� �� �% ��;��� �" ������� � ��� �� ���"���� �� *������ 2�% �"�� ��������� "���� �* �� ����� �� �� *����� �% � �� "� �* �� *�������" ����"� �"%�% ���� � �

2� *"��"��� �%%�����"�% ��� �"��"� �" ��� �� �" ��% �"�%� ��� �� �� ������ @��%%��� ��� ���� �% �"��%����"���� "��� ���� �� ��� �� ������"�%�� 5������ ������� �1����� ���� �% ;�"��� ����� ����������� �� ��� ����" ��� ���� ��� ����� "�5� �������� ���� ���D ���� ��� �" "��� �%%�����"�% "� �� ������"�%�� 5������ ����� �� ���� "� "� �� �%���5���"� "* �� ��� "� �"��"���� "* �� ���� *�����"�� ��" ����"��% ������ 5� �� ������5�� �������� �� ��� ����" 4 ��� �% ;�"�� �� ��� ���� "��� �����!* ��" ��� �% �"� ������5�� �" ���� ��%�"��� ���� 4 �� �%%��� �� %��� �% �"%�D ������"����� 5� %��� *"� �� *����� ���� �* ��% ��%���% �� �"%� %���%� @� *"��% "� �� ������ �� ��" ����"� ���%�"�% �� �� ������ "* ������ ������ "� �� %����� ���� �� �� ���%%�����"� "* � �"�"�"��%��� ���%�"����;�� $��� 2� "�� �% �" ��1���9� �� �1����� ��"$�4 ��� �"����%�% �������4 ������"�� "� �� �"%� �� ��" ����"� �"%�4 "��� � $����"��9"��

Page 6: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

2� ����� �% "� ���9� �% *"��"�%� @� ������ �� ������ ���������� �� �����"� ��� �� �%���5� �� �"����"� �� ��"5��� �%%�����"�% �� �����"� ���� !� �����"� ��� �� �����9� ������� ��" ����"�� @� %"� ��� ���� � ����� ����"�4 �� "������ ��" ����"� �� ������"���"���� �% � %������ %�������� ��� ���"�% �% �" �:������� $� �� "������ �"�����

�����$�����4 �� %"� ��� �� "������ �"���� �% ���������9� 5� ��" ���������%4 ��"� �������" ����� �� � %��������" �����4 5"� "* ��� ��� �" �$� 5�%��%�"�; �"�����%� 0"��� "� �������"������4 �� �"���� �% �" ��" ��� %�� ��� �� ������"�� ����� �����% �� "� �������" ��"��� �* ���� �% %�:����� ��������4 "�����%� ��" ��� �" ��1���� ��������� 2��"���%�"� �� �"���� *"� %��������" �% �" %�� �%� � ��� ��"��� "* ������"�� *"� �� *����� �*�� �% ������5��D "�����%�4 %�� �%� � �% ��� ������"�� �% �"%%�5�� *"� �� *������ E"� "* ��%��"�����% ��� ����� ���� ��� 5�� ��� �� ���� ��� "* �� ������"�� ����� �� �� 5� ����� "*��� ����" �� "* �� �����9� ��%�"��� ���� D ��%4 �� ���%�"� �" *��$�� "� ��% ��� 5��� � �% ��%�"���% ������� <�� ��%���% ��%" ����� ��� � %����� %���� "� ��� �"%%�5�� �����%$� % �� "������ 0�1� ����� �"����� 0������4 �� %� �%� �� ����%��� �" ������� �� �6������������ ����"� *"� �� ������ ������ ��" ����"� ������ ��

!� �����"� ��.4 �� �����9� ������ ������ 4 �� ���������� %�� ��� �� ������"�%�� 5������� "������ ����� �� ������"�� ����� �� �� 5� ����� "* ��� ����" � @� %"� ����� "������ ����" ����� �% �"� � �����%�� *�����"� "* ������"��4 ��% ��;�� �� ������ ������ ��"5��� � �:���� ��"5���� � ���"�����4 �� %"� ��� ��������� �� ������5��%���% 5�*"�� ���� �% �����9� �% ��*���"� �" ��������� �� �*��� ���� �% �����9� � 2����*"��4 ���� � ��" ����"� %�� ���4 �� ��"�� � � ������ ��" ��� ��� �������% �� "������������ ����"�4 �� �� %� �%� �� ����%��� *"� ��������� � ��" ����"� %�� ����

!� �����"� .4 �� ���*"�� �"�������"��� �����%�% �%�� ��� *�"� � ����*������� ��������� @� ��� ������������ ������%�� �� �� �"�����%"� 5������ �� ������ ��" ����"� �� ������ ������ %����� ��%D �� �����%�% %"�% ��� ������ ������ �% �%����� �"�� ��"*����5��� B1�����"�% �" ��% ��� ��� ��" ����"� �"%� �% � �� �� ������5�� �������� �%� "� �� �� ������� ����% "* ���� %��%"������� @� ��%" �"����� �� ��" ������� �������� %����� ��% �" �� 0�1� ����� %����� � �� %"� ��� ������� ������ ���"%� �����%��%���% �� � �� �1����� ��"$�� 2� �"�������"��� �����%�% *"� ������� ������� �% ������������� �%�*�� �� �%������� �� �� ���� � "* ��"$� ������%� *�"� ������ ������ D "�� ��%���%�� ����� �� ��"$� ������%� ��� 5� �% ��� �% � � & F �"����� �" $1� ������ �

!� �� $��� %����"�4 �����"� 3 �� �%���5� %"�� �1���%�"�% �" �� %�"��%��� ������ ��"5��� �� ��;� �"����%�"�%� @� ��%" %� �%� *����� ������"�% *"� ��%���� �� ��% �����

�'� ( ������ "�) �*

2" ������� �� 5��; �"�� *"� �� ������ ��"5��� �����9� �� ��% �����4 �� ��%� �"�%� ����%���� �� � ������� "* ����% ����� �� ������"�� �"���"�4 ���;���� 4 ������� ���� �������%���� ��� �������% �" ������ �" ��%�

Page 7: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

#

�'�'� � � �� �� ��)����� ������

�"��� ������ �� ������"�� �"���"� %����� ��% �� � ����*������� �����"����� ���� $�%��"�%� ��� 5� @���� >�)��?� !� ��% �����4 @���� �1����� � %�� �� ����" ��"5���4�"%� %������ �" � G���%5"�G ��"5���4 �� ��������% � %�� �� ����� �� %����� 7��������<��� ��%������% %�� �% ����% >�)�)?4 H����� �� ��� >�)#�?4 -�������% >�)&�?4 ����� ��� >�)((? �� �"���" �� >�))�? ��� �"�%� ��� %������ %�� �� ����" ��"5���% �� ������"�% ���� �"� ���"�%� �����99� �� �� � >�)))? ������ �� �1��� ��%���% "� �����%��� "� ��"5��� ��� ������ � 2�� ��"�� � � ���$� *�����"�; �" �"����� �� ������� �� � ��������%��� %����� ��� �� ����� �� �� ������������ � ���� ��%��� ��"�%����� �� ��� ����� >�% ���� �% ������� �����% %�� �% ����% >�)�)??4 �� �����% ��� �� �� � ����� ���� �� ����� �� �� ����������� �% �"��� ��� �� I��%;��%%G ����� >�� �� �� �%%�����"�"* ��������%��� ���� ?�

����� ����������"� �� ��%�"�;�� �� � ����������" %����� �% ��� ��%" 5��� �"�%� ��� 5� � ���5�� "* ��%������%� 0"� �1�����4 2"�%�� >�)&�?4 �� J�5�� >�)&�? 5"� �"�%� ������������" �" ��% ��� � �"���1 "� �� �"%� %��������� 2� �"�� �:���� ��%� "* �"������"%�% �% 5��� �1����� 5� H�������� �� ����� >�)&�?4 2"��% >�)&�?4 @� ��� >�)#�?�� @� ��� �� @���� >�)�(? ��"� "���%� ���"� �"%� "* �� ����������" �" ��%��� �"����� �"%�% �%%��� ���� �" 5� ��������%���4 2"��% >�)&3? ����"�% � ���%�"�"* �� @� ����@���� >�)�(? �"��%�9�� �� "���� �� �� �"� ���"�% "* %�"��%��� ���� � ��"�"� ������ "* 5"� %�� �� �� ����������" �" ��% �"�5���� ������ �� ������"��%����� ��% ��� 5� *"�� �� B���%5�� �� �����5�� >�))�?� ��=�� �� ��� >�))�? %�� � �����������" ��"5��� ��� ������ ������"��4 �� �5� >�))#? �1��� % ��%� ��%���% �"���"� *"� 5��;�" �� � !� �"�� ������ �����%4 E�������=�� �� ����% >����? � ��� ��@� ����@���� ���" �" %"��� � ����������" ������ ��"5���D ��� ���%��� �:����� %��������%���% �� %�� � %��������� ��"������% "* �� �" ��� �"���" �� �� ���� >����? ��"�� �%�:����� �"� ���"�% *"� �� >%4 �? �"���� �" 5� "������ *"� � ����� �� ��"�������� ��"5����

�"�� ��%���� "� ������ �� ������"�� �"���"� "* ��" ���4 ������������ �� �� �������� �%���4 �% 5��� "�� �� �� �� ���� "* ������� ���� ������ 0"� ��%�����4 +���� " �� ��� ��9�� >�))3? �����9� �� ������ � =�%����� "* ����� �% � *�����"� "* ������"�� �� ��� � "* �������� %���% ����" D �� ���� �% %�"��%��� 5�� �" ��%�"�;�� �% ���"�� � !� �%������ ��"5���4 +���� " �� ��� ��9�� >�))&? ����� ������� ���� ����� �" � ����"�; �� �������� 5"�� % "� �� "������ %"����"� 5� �����9�� �� ��������%��� ��%�� E����� �� �"� %���� >�))&? ��%" �"�%� �� ����� �% � *�����"� "* ������"�� �� ����D ��� �"����� ��%�������� "* �� "������ �"�����% �" �"%� "5%���� �� �������� �� �%��%% ����"�% ��"�"�����%� �%� ��5�������� �� �"���;�� >�))#? ����"�� � �" �� ��� ���"��"����% ������� "* ���� ���� ��������� "������ ������ �� %�"�;�� �"�����%�

�% *�� �% �� ��� ����4 �"%� ��%���� "� ���� ����� ������ %����� ��% ��� ������"���"���"� �"�����% ��� � �"�� ��" ����"� �������� ��������"�%� <�� �1�����"� �" ��% �% ���>�))�?4 �" �"�%� ��% �� �%%�� "* ����� �������� �"�%������% �"����5��� �" �%��������� ����� 5����"�� 2� �"%� �"��5�� �1�����"�4 "�����4 �% �� �"�; 5� 0� �� ���� �� -���� >�)))?4 �" � ��%% �� ��"5��� "* ��������� "������ ������ �� ������"���"���"� %����� ��%� 2��� ��%���� �� �����% � ���" *"� ��������� �� "������ "� �� ��

Page 8: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

&

�" �"����� <�� ��"����� ��� %"� �% ��� ����� �����%�% ��� ������%�� ������� ������"���2��� �" �� �% %"����� %������ �" "�� �" ��D "�����4 ��� �%%��� 5��;�" �� �����%"�� �" �� �%%���% �"%� %���%� ��"��� ���"����� �%������"� �% ��� ��� �%%��� I ���� ����� ����" �% �"����� �� �� ����" A% �����G ���� �� �%%��� � ������ *�����"�� � ���"�����4��� ��� *"��%� "� ��;�� ���%�"�% �� ��� ����" 4 �����% �� �"�%� �� �" ��% ��� �������� �������� 0������4 �� "�� �" �� �� %"� ��� ����� "�% �"� ����%%����� �����%���� ������%�� ������� ������"���

!� � ���"� �" �����% �"�5���� ������ �� ������"��4 �� �% ���"����� �" �"�%� �� ��� ����"��� ������"�� �" ��%D ��%� ��� ������������ �������� �" "�� ������ ��" ����"� %����� ��J��;�� >����? ��"�� �% �� �1������� ������ "* ���������� "� ������"�� �"���"�� � ����������" ������"�� �" �� ��� �"��%����"���� ���� 4 ������ ��" ����"� �"%� �� �"%� %���% �% �"%���"%��� ������ �" �� %�"��%��� ������ ��"5���% �"�%� ��� �� ��% ����� >%�� ����� ) ��J��;��?� <* �"��%�4 �� ��% �" ��4 �% ���� �% �� ��� ���"��� ������"�� ����������4 ���� �% �����% %���%$� ��� ������"�� �1�%�%4 ���� �� "�� �" �� �� �% �"%%�5�� �" ��� � �"��" %���%*� ���� ���� ��� ������"�� �% ������5��� 2�% �6������ 5������ "�� �"�; �� �� ��� ���"��� ������"�� ���������� ��� % �" �� �"����� "* %��������" �"���� ��� �% �����"����� %����� � �� "�� ������� ������� �" ��%�

������ �"�; 5� ����* >����? � ��%%�% �� ������"�� �" �� ��� %���% ��� �%�����"����4�% �� ��%" �%%���� ����* �"�%� ��% � �" �� ��� ��" ����"� �������� �����% �� %������"%�% ���� ����� �% ���� �� ������"�� �"���� �% �� ���%�"� *���"�D ��% �% %������ �" "�������� ��" ����"� %����� � �*��� � ������ ���%�"� �% 5��� �� �� 2� "������ �"���� *"��% �" �� �% "* �� >%4�? *"��4 �� �� "������ �%�����"���� %���% �% ���� ��� "� �����9� ���� 4 �����% �� "�� ������ ��" ����"� ������ � �� "������ �"���� �% �� "� �������"�� %��������" ��� ��% �� ��� ����" 4 ��� ��� 5"� �� ���� ��� "* ������� ������"�� �� �����9� ���� �

�'�'� ���� +� � � �� ������ ��

���� "* �� ������ �� ������"�� �����% �� � ����������" %����� ��� *"��%� "� $� �� ������ �� ��� ����" "* �� "��9"�4 "����� %"�� ��%���� �% ��%" 5��� ������ �"��� %$� �� � %�� �� "������ ����� "��� �� ����������" "��9"�� H�������� �� ���� � >�)&.?��"�� � ����� �� �"��� 5"�� % "� �� "������ �����4 �����% +��5��� >�)))? $� % ��"������ ����� �� �� � ��%% ������ �" �� "* ���� � +��5��� >����? �"�%� ��% � ��"5������ �������� ��" ���% %���� �"��"� ��" ����"� �������� �� ��"�%�����% � ��"�� ���*"� $� �� �� "������ $1� ����� *"� ��� ��" ���� !� �� $�%� ��" �����%4 ��" ����"� �%� %����� �"%�4 �����% �� �� �������� ��" ��� �"�; ���� �% �" %����� �"%�� ������ �"�; �%5��� "�� "� �� $1� ������ ��"5��� ��� %�"��%��� ���� � 2�% ��%���� �% ����������" �� 0�1� ������ %����� � �� �%��%%�

,�� ��� �� �� �� � >�)))? �% ��"��� ���"����� ����� �������� �" "�� �"�;4 ����� �� ���"�% �1�������� �"�%� �� ����� �"%��"������ ���%�% ��" ����"� �"%��"������%����� ��%� 2�� *"��% "� � %�� �������" 4 ��"�%�� � ��"��%% ��� �� ������� ���%�"�4 �� ���" ����"� ���%�"�4 *"��"�� 5� � �����9���"� "* ���� 4 *"��"�� 5� ��"��� ���%�"�4 �� �

Page 9: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

(

������ ���%�"�� 2�%4 ����� >��" ����"�? �"%��"������ �% "������ 5� ,�� ��� �� �� �� � �% �6����� *�"� ������ ������ >��" ����"�? �� "�� �" �� %���� �� ���� ��%� ���"%��"�� ���%�"�% ��� �� � �*��� ���� �% �����9� � 2�� $� ��� �"� ���"�% ����������� ����� �"%��"������ "� ��" ����"� �"%��"������ �% �"�� �����5�� �" � $��� �����*������� ��� %"� ��� �� *"���� �% ��;��� �" 5� �"�� �����5�� �* ���� �����5�����4 ��� ������" ����"�4 �� "� �� �"%�% ��� �"�� 2��� ����� ��%" � ��%%�% �� ���%�"� "* ������������%����� �� �"�%� ��% �"�������"��

� ��� �������� � � � �� �������

@� �����9� � ����������" %�� �� ����*������� �" �� *"� � %�� �� ��" ���4 ���� ������ �� ��" ����"� ���%�"�% ��%� 5� �� � *"� ��� ����" � @� *"��% "� ������� ������� %����� ��%4���� "�� ���%�"� >�� �4 ��" ����"�? �% �� � �� �� 5� ����� "* �� "��9"� *"� ��� ����" %4�� ���� � %��"� ���%�"� >�� �4 ������ ? �% �� � �� ��� ����" 5�%� "� �� %���� "* ��%�%���� @� *"��% "� %������"�% ���� ���� ��� 5� ���� %��%"������ "��� ���� �����%���� 5� ����� ���� ��� �1����� ���� �����% �% ���� �% �� � ���"��� %�"��%��� ������� ����% � ��� "� �"��"���� ��� � ;�"�� �%���5���"��

�'� ,���� �� �� ������� ���

@� ��;� � ���5�� "* �%%�����"�% �"��"� �" ��� ������� �" ��% �"�%� ��� � ����" % ����� �1� �"�%��������� *�"� �� �� ���� � � 2� ��" ����"� 7������� �� ����" � �% ������ 5� �0*"� � K �� �� � � � � � � 2� �"%� "* ��" ���� � ���� �% �04 �� ������"�� "� �� �"%�4 �04 �%��� � �" ����� ������"�� *�"� ����" � � � �" ����" �� 2� %���� � ����� �� �� �� "*�� "��9"� �% �����%���� �% �4 ��� �� �%%��� �% ��%% ��� �� ����� ��� � �� �� ��%�����" �

!� 5"� �� ������ ��" ����"� �� ������ ������ ������ ��%4 �� �%%��� ��� ���� �� ��� ����" �% � �"��%����"����4 ������ %�"��%��� *�����"�4 0>0� �0>0??4 ��� ���� % "��� ����� �� ����" �4 04 �� � ��� "� ���� ��� � ;�"�� �%���5���"� ��� ��� ��%" ���� "� �����4 �0>0?� 0������"��4 �� �%%��� ���� �� ��� ����" �% �� ���� ��� �� ����1����� ���� �� ����" � *"� � ����� 04 0>0?4 �% �����%�� �� 0� @� " �"� �%%���� ���������� �%���5���"� "� ���� � ����� �� ����" � �% 5"�� � 5��"� �� �5"�� 5� �E7z

0

�� �Ey?0 ��%���������4 ������� �"���%�"� �� 5"�� % "� �� �1����� ���� �� ����" �4

LEy?0 �� LE7z

0 �!� ��� ����" 4 �� ��� �" ��� � "� �����4 04 �� ��" ����"� 7�������4 0� ��� �0

�����%��� �� ������"�� ������5�� �� �� 5� ����� "* ����" �4 �� �0 �% �� %���%$� ���� �� ��� ����" � ��� �� ���� �1� �����5��% 4 4 �4 �� � �����%��� �� ����"�% "* �����4��" ����"�4 ������"�� �� %���%$� ���� 4 ��%���������4 "��� �� ������ "��9"��

�% �� ���%%�� ������"�� ����������4 �� �$�� �0 �% �� ������"�� ����� �*��� ��" ����"��� 5�*"�� ���� �% �����9� � 0������4 �� ����;� �� �� ��� ���"��� ������"�� ����������4 �����"� *"� �%�����"���� %���%4 ���� �� *������� "�% �"� ��� �" %���%*� � ���� "* ���� ���� �* ������"�� �% ������5��� �����$�����4 �� �%%��� ��� �� �� 5� ����� "* ����� ����" 4

Page 10: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

)

�� *������� ��� ��� � "� �� ��"��� "* ������"�� �0 �" %��� *"� *����� %���%� >!� *���4 ������ ��%" �����9� �� ������ "* ���"��� �� ���%�"� ��;�� �" ��� � "� ���� ��%�"���%�" ��=��� �*��� "5%����� ��� "� � �"���"� "* �� ����" A% ���� �?

2�%4 �� ��� ����" 4 �� ������"�� ������5�� *"� ��%�"���% �% �������� 5� ���� ����������%/

�� 2� ������� ������"�� �� �� 5� ����� "* �� ����" D

�� ��" ����"� ����� �� ��% ����" D ��

.� 2� ��"��� "* ������"�� �" 5� %��� *"� *����� ����" %�

2�%4 �� ������"�� ������5�� *"� ��%�"���% �� �� ������� ����" �% �������� 5�*"�� �������� ���� 4 04 �% "5%���� �� ���� *"� ����� ����" �4 �0 � 0�

@� �%� �� �5"�� �"����"� �" ����" ��� ����"�% ������� ������� %����� ��%�

�'� -����� ����� �� �������

!� �� ����� ��" ����"� %����� �4 �� $�� ��������% ����" ���� ��� �����% �� ��5� ����� "* �� "��9"�� 2� $�� ��������% ��" ����"� "� � ����" 5� ����" 5�%�%4���"��"����� ���� �����9���"�% �� �����"�% ����" % 5�� �"� �� �� ������� ����" � 0"� � ���� ����� ����"� 4 �� ��"5��� "* ��������� ��" ����"� �� %���% �% �$�� �% � ���;"�����%�"� ��"5��� ��� �� ������� ������"�� >�? �� � ����" �% �� %���� "* �� %�%����

��� �0>�? �����%��� �� �1����� ��"$� *�"� �� 5� ����� "* ����" � ����� �� �� "* ������ "��9"�� @� �%� �� ���%� G��"$���"� "G �" ��*�� �" ��"$� �� �� ������� �� *���������" %� ��� �0>� ? �����%��� �� �1����� ��"$���"� " ��� � ����% "* ��" ��� ������5���2�� �%4 �0>� ? ����� �% ������� �� ������"�� "� �� �"%�% *"� �� ������� ����" 5�� "�%�"� ����� � ��" ����"� �"%�D �0>� ? ��%" ����� �% �� �1����� ��"$���"� " *"� *����� ����" %4�0Ld� @� ��"�� ��0>�? �� ��0>�? �% �� ��� ���� ��� � �� ��%������� ��"$�% ���������"�� ������%�% *�"� � � � �" � ����%� ��� �� ���������� ���� �%���5���"� *"� � ���� ����� 0 �� ����" � 5� Mh0

0 4 �� ��� �� �"���%�"� �� ���� �%���5���"� 5� Mh00 "�

�h00 �+���� � ����� ����"�4 �� "������ �1����� ��"$� �� ����" � �% �% *"��"�%/

�0>�0? K ��1V0U{0�V0�{0LR0

��0>�0 � �0? N�0>�0?� >�?

����

�0>�0? K ��1C0U(�C0�V0

�$0>���>�0� �0 � �0???M

h00 >�0?

��0Ld�0 �$�0Ld>���>�� �0 � �0 ��0??M

h00 >�0?

N$�0Ld>�0 N���>�� �0 � �0 ��0??M

h00 >�0?��

>�?

!� �� ��%� ���� � �% �� ��%� ����" �� �� "��9"�4 �� ��%� ���� �� �7����"� >�? �%������� ��� �� �1����� %���� � ����� "* ��*�"��� ������"�� ���� 5�

$�>���>�� �x �

>�x � �x ???Mhxx >�x ?�

Page 11: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

2� $�%� ���� �� >�? �% ��" ����"� �"%�4 �� �� $�%� ���� �� >�? �% �� �������4 ����%���% �% �� ������� 5������ �����9� ���� �� �� ������5�� ������"�� �*��� ��" ����"��� ����" �� 2� ��1� ��" ����% �� >�? �����%��� �� ������"�� "� �� �"%�� 2� $�%� "*��%� �% �� "� �� �"%� *"� �� ������"�� ��� �% 5��� %�� �%� � *"� �� *�����4 �� �������� "* �� ��" ���"���% *"� "� �� �"%� ��� �����9� ���� �% ��%% ��� �� ������5��������"��4 �0��0� 0������4 �� ��%� ���� �� �� %��"� �7����"� �����%���% ��"$���"� "4 ������ ������"�� ����� �� �� 5� ����� "* ����" �N� �7��� �" �� ������"�� %�� �%� � �% ���� �%������"�� ��� ��% ��%"� �� �" �"� ���� �

!� �� ��1� %����"�4 �� %"� ��� ��% ��"5��� �% %��������� ��"������% ��� ��� 5� �%� �" "5���� � %"����"� �:�������� �����$�����4 �� %"� ��� �� �1����� ��"$� �� ����" �4 *"�� K �� �� � � � � � �% � �"����� *�����"� "* ������"�� >�0?� 2�% ��"����� �% �%�*�� �� %"��� ���1�%����� "* �� "������ "� �������" �� %��������" ������"�� �����%4 ��� �� ���� ��"��5� �

0 �� �0 4 ��%����������

�'�'� ������ � �# -����� ����� �� #� � . )�� � �� /����

����"%� ��� � ����"� "* �����% �% �������� �� �� 5� ����� "* �� "��9"�� 2� ������ ��" ����"� ������ � ��� 5��"��% � ���%�"� "* %�� ���� ��" ����"� > 0? �� ��������� �� ������"�� �" %�� �%� � *"� �� *�����4 �04 �� ��� ����" �� � ��� ��� ��1���9�% ��"$��@� %��� $�%� � ��%% �� ������ ��" ����"� ������ � �%%���� � ���� ����� ����"�4 ��� �%��%% $� �� � ����� ����"��

@� ��"�� �� *"��"��� ��%���% *"� �� ������ ��" ����"� ������ �/

������ �'� �

� ��� ��� � K �� � � � � �� ��0>� ? �� �������������� �� � � �� ��� �0>� ? �� ��������

� ��� ��� � K �� � � � � �� �0>�? �� ������� �� ��

������

�� @� %�� *�"� �7����"� >�? ��� ��x >� ? K x O��Mhxx >� � �?P N �Mhx

x >� � �?�2�% �� �% ����� ��� ��x �% �"��������%�� %����4��x >� ?���x >� N �? K x�

hxx >� ?� ��hx

x >� ? � �

�� +���� �4 � K �� � � � � � 4 �%%��� ��� ��0 �% �"��������%�� � @� %"� ��� �0 �% �"������

� ��$�� � 0 �% � �* �0 � ��0>�? ��%� �% ��1 �� / � � � �� �0 � ��0>� ?� �

� -����4

�0>�? K

T�z�Z

��0�0 N�0>� N �0? �* � � � 0 � �0

��0>�0 � �? N�0>�

0 ? �* �

0 � �0 � � � � 0

�0>�? �* � 0 � �

Page 12: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

� ����� ��0 �% �"��������%�� 4 �� ��% �0 �% �"�����4 �� 5� �� �"��� "* � 0 4

���>�����>�0� �0 � �0?? �% �� �0 ��� ��1���9�% �0>�0?�

� @� �"�%� �� ��%� ��%�% �� %"� ��� ��0 �% �"��������%�� ����� ��� "* ���/

>�? �%� �/ � � � 0 � �0/

�0>�?� �0>� � �? K �0>� N �0?��0>� N �0 � �? � �0 5����%� "* �� �"��� "*� 0 � ����� ��0 �% �"��������%�� 4 %" �% ��0>�? *"� ��% ��%��

>5? �%� �/ � 0 � �0 � � � �

0 /�0>�? � �0>� � �? K �0� ��0>�? �% �"�%����4 �� ��% �"��������%�� �� ��%��%� �% �����

>�? �%� ./ � � � 0 /

�0>�?��0>���? K �0>�?��0>���? � �0 5����%� "* �� �"��� "* �0 � � ���4

%���� ��0 �% �"��������%�� 4 %" ��0>�? �% �"��������%�� �

� 2" %�� ��� ��0 �% �"��������%�� *"� ��� �4 �� �"����� �� ���� ��%�% �% �������%�%� @� ��� ��� ��0 �% 5� �%� ��� � �% %���� >� �0?4 �� �����%�% �" �0�� �� %��"� ��%�4 �� ��� � �% ��� �%�4 ��0 �% %�����%� >� �0?� 2�% ��0 �%�"��������%�� 4 �� �0 �% �"������

.� +���� ��� ��0 �% �"��������%�� �� �0 �% �"����� *"� � K �� � � � � � 4 �� �"� %"� �����0�d �% �"��������%�� �

� ��$�� �0�d �% � �* 0�d � ��0>�?��0 ��%� �% ��1 �� / � � � �� 0�d � ��0>�?� �0��

� -����4

��0�d>� ? K

T���z���Z

��0>� ?� �0 �* � � �0�d

0�d

���Mh0�d

0�d >� � �0�d � �?

=�* � � �

0�d

N�

>cV�C0�d

O��0>� � �?� �0P�h0�d0�d >�?�

� ����� �0 �% �"����� �� ��0 �% �"��������%�� 4 ���>�0�d� �0�d? �% �� � ��� ��1�

���9�% �0�d>�0�d?�

� @� �"�%� �� ��0�d ����� %������ ��%�%/

>�? �%� �/ � � �0�d/

��0�d>� ?���0�d>� N�? K ��0>� ?���0>� N�? � � �� �" �� �"�������"* �0�

>5? �%� �/ � � �0�d/

��0�d>� ?���0�d>� N �? K

0�d�h0�d0�d >� � �

0�d?����0>�

0�d N �?� �0

=�h0�d0�d >� � �

0�d?

N�

>cV�C0�d

O��0>� � �?���0>� � � N �?P�h0�d0�d >�? � ��

2�% �% ���� %����

�� 0�d�h0�d0�d >� � �

0�d?����0>�

0�d N �?� �0

=�h0�d0�d >� � �

0�d? � � 5����%�"* �� �"��� "* �

0�d4 ��

Page 13: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

����

>cV�C0�d

O��0>� � �?���0>� � � N �?P�h0�d0�d >�? � � *"� � � �

0�d � �

�� �" �� �"������� "* �0�

>�? �%� ./ � K �0�d/

��0�d>�0�d?���0�d>�

0�d N �?

K ��0>�0�d?� �0 � 0�d

���M

h0�d0�d >�?

=����0>�

0�d N �?� �0

=�h0�d0�d >�?

K���0>�

0�d?� �0 � 0�d

= ��� �

h0�d0�d >�?

=N���0>�

0�d?���0>�

0�d N �?

=�h0�d0�d >�? � � �� �" �� �"��� "* �

0�d �� ���"������� "* �0�

� ����� ��0�d>� ? � ��0�d>� N �? � � *"� ��� � 4 �� ��� ��� ��0�d �% �"��������%�� �� �0�d �% �"������

2� ����� ��% ������% �� "������ �"���� *"� �� ������ ��" ����"� ������ ��

������� �'� ����� � ����� �� ������ � ���� ����� �� ����� ����� ��� �� ������ ��� ����� ������ �� �� ����� �� ������ ����� !�

0 " �� �� ����� �������� !�0 "�

2�%4 �� %�������� "* �� ������ ��" ����"� ��"5��� �"�5��� ��� �� �����% "���" ����"� �������� ��� % �" � �" �$� "� �������" �"����� !* ���� �% %�:����� ����������� ��" ��� ��"� �" 5��� �� ������"�� ����� �� �" �� "� �������" �����4 "�����%���" ��� �" ��1���� ��������� ���������4 �� "������ �"���� *"� ������"�� �" %��� *"� ��*����� �% �" %�� �%� � �� %��������" ��"��� �* �"%%�5��4 "�����%� %�� �%� � �� ��1����������5���

�"�� ���"�������4 �� ����� ��%" ������% ��� �� �%%�����"� "* ��� �" ��=��� ��%��"���%4 ����� 5�*"�� ���� �% "5%���� "� �*��� �� �% "5%���� 4 �% �" ������ "� ��"������ ������"�� �"����� !� �� 4 �� �"������� "* �0>�? ������% �� *"��"��� �

������� �'� ����� � ����� �� ������ � ������ �� �� ������� � ��#�� �� ������������ �� �� � �#�� �� ���� ���� ��� $��� �$����� � %���� ����� �� ���������� ��� �� ������ ��� ����� ������ ���������&� $� �� �� ������ ����� !�

0 " �� ������� �������� !�

0 "�

2�%4 ;�"��� �� ��"��� "* "5%���� ���� "�% �"� ��� ��� ������ "� "� ���������"�� �� $�� %"�� ����%*�� *"� *����� ����" %�

�'�'� 0�� �� � #� � ��� �� ������ �

!� ��% %����"�4 �� � ��%% �� ��"5��� "* �""%�� � ����� ����"� *"� �� ������ ��"� ����"� %����� �� !� ���� ��%�%4 � ��������%��� ��"5��� ��� ��"�� � � %������ �"��� *"�%"���� � ��"5��� ��� �����������D "�� %����� � �% �" �%� � ��������%��� ������ ��"5����" ������� � ������ ����"�� <* �"��%�4 ��% ������ ����"� �% �"� ����%%���� �� "������ "��4

Page 14: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�.

�� ��% �� ��� ��%" ������%�� �� �� �"�%����%� ���*"������ "* ��% %����� � �������� �" ��"������ %����� ��

2� ��������%��� ������ ��"5��� ��� �� �����9� �% %������ �" �� %�"��%��� ������ ��"5���% �1���� *"� �� ������"�%�� 5������ ���� �� ������ 0"� ��% ��"5���4 �� �%%������ ���� �% � �"��������%�� *�����"� "* �� ��" ���A% ����� �� ��� �� ������"�%��5������ ���� �� ����� �% ;�"��� ����� ���� �% � ;�"�� ������"�%�� 5������ ������� ���� 4 �� �% %�:����� �" ��� � "� %���% �� � ���������� ����" �� "� �� �" ���������� ����� �� ��� ����" � 2�% ������% ��� �� ������� *�����"�4 �04 ��� 5� �1���%%� �%� *�����"� "* %���%$� ���� 4 �0� 2�%4 �0>�0? K 0�0 �� �� ������ ��"5��� ��� ��������%��� ���� 4 ��*���� �" �% ��"5��� 4 ��� 5� *"������� �%/

>��? ��1�x

0)d>�0>�0?� �0�0 � �0 0?%�5=��� �" �L K �

�0Ld K �0 N 0 ��0� � K �� �� � � � � � 0 � �0� � K �� �� � � � � ��0� 0��0 ���� �� � �� � K �� �� � � � � ��

2� "5=������ �% �" �������� �����% �� ��� ����" �� �� ��" ����"� %�� ��� *"� ��"��9"� �� "� �� �" ��1���9� ��"$�� 2� $�%� �"�%������ ��7����% ��� �� ������� ������"��*"� �� $�%� ����" �% 9��"� 2� %��"� �"�%������ ��%���% ��� ������"�� �% 5������ 4 �� ��"� ����% ��� ��" ��� �" ���� ��%�"��� %���%� ��" ����"� �% ������ 5� �� �������� "*�� %�%��� �� �� ��� �"�%������4 �� �� ��%� ��7�������� �% ��� ��" ��� 5� ���� � "���" ��� �� ���� �� ����%�

@� �"�%� �� �"� �� ��"5��� "* %����� �� ����� ����"� *"� �� ������ ��" ����"��� "����4 �%�� �� ��������%��� ��"5���� 0"� ��� ����� 4 0> ? �% �� �"���%�"� �� �1����� ���� �� ����" �4 �� > ? �% �� ����"� "* �1����� ���� % *"� ����� �

2" ����� ��"5��� 4 �� ��%� ������ �� ������� *�����"�4 �0>�0? �" �� �1����� ����� �����4 0> ?� ����� ���� �� �� ��������%��� ��%�4 �����9� ���� ��� 5� ��%% ���

"5%���� ���� �% ������� 5� �� ���� �����4 �� ����0>�0? K ��1h0

+�00 / 0>0? � �0

��

@� ��*�� �" ��"5��� ��� ��% ������� *�����"� �% >?�

� '������� � (����� ������ ��� ������ ��� ������

�"��� ��"5��� >?4 �� ��"�� �� ��%����� "������ ��"$� �% � >?� ��� I 5� ��"������ �����% ��%����� *�"� � %"����"� "* �I � I � ����� �����% I �" �� ������ ��" ����"� ������ ��

@� ��*�� �" �� ������ ��" ����"� �� "���� ��� �����% �"%�� �% �5"�� �% �� ������ ��" ����"� '�������� 2" �1����� �� �6��������%% "* �� ������ ��" ����"� -����%���4 �������9� ��% �"�%� ��%� ���*"������� 0"� ��% ����"%�4 ��� �

d 5� �� �1����� ��"$� "* ��"������ �"���� *"� �� ������ ��" ����"� ������ �4 �� �I

d 5� �� �1����� ��"$� "* �������� ��" ����"� -����%����

Page 15: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�3

@� 5� �� 5� %"��� ��� �� "������ %"����"� ����� "* ��"5��� >? �% �� �����5"�� "� �

d � @� ���/

(���� �'� �Id � �

d � � >?�

0"� �� ��""* "* ��% ��%��� �� ��� �� �% ��*���� �" �����"� #�� �� �� ����� �1� Q�*"����������4 �� *"��"��� �1����� %"�% ��� �� 5"�� �� ������ ��� 5� 7���� ���;�

������� �'! (���� �� � ��� ���� ��$��� �� �� ��� ��� �� �� ����� ���� %���� ����� ����$�� ����� �� �� ����$���� ������� �d>�? K � � � � �� �d>�? K � �� %��������$�� �� ����� ������ �� � ���� %��� I K � �� � >? K >�?>�? K �� )� ��������� ����� ���� �� ���� �� �� �

d K �Id K �N>�?>�?>� �? K � �� %���� �� ��� ����� � >?

�� �� �������� $� ��� $��� �

<5%���� ��� �� ��% �1�����4 �� ����%��� �"%� �� "������ ����� 8 �� �1����� ��"$�"* �� ����%��� ��% �7��� �" �� �1����� ��"$� "* �� "������ %"����"� *"� �� %�"��%�����"5���� 2� *"��"��� �1����� %"�% ��� �� ������ ��% �% �"� �����

������� �'% (���� �� � ��� ���� �� �� �� �� ��� ��� ��� �� �� ����� ���� %������� � ����$�� ������ � ���� �� � ��� �� ����$���� ������� �d>�? K ��� � �� �d>��? K� �� � ���� �� � � ! ��� �� ����$���� ������� �1��>�? K �� %�� �� ����� ������ ������� � � ����� *� ��� ����� I K � �� � >? K >�?>�? K � �� �I

d K �>�?>� �? K � ��'� ����� �� ����� ���� K �� ! �� �

d K >�� !?>�?>�? K �� !�

�" �� ������4 �� ����%��� ��� �"� 5� �6������� E�� "5%���� ��� �� 5"� "* ��%��1�����%4 ���� �% � ���7�� %��������/ ����� 9��" "� ���� � 4 ��� � �� ��� ����������� 2� ������ � ��% �% �" ���������9� �� �6��������%% "* �� ����%��� *"� �"�� ����%"��5�� ���� *�����"�%� �����$�����4 �� ��"�� � � ��� ���� ��� �"�%����%� ���*"�����������%�% *"� �� ������ ��" ����"� -����%����

0"� ��� ����� 4 ��� 8$t0 > ? 5� �� ������� �"%%�5�� ���� �� ����" �4 �� ���

"8$t> ? K ���0O8$t0 > ? 0> ?P� "�%� �� "8$t K "8$t>I?4 �$�� "��� �� �����% �������

5� �� ������ ��" ����"� -����%����

(���� �' *� �� ���������� ������� ������� �0>�0? ��� ������� �� ����� � ������ ���� � ��� � ���� �I

d � "8$t�d �

0"� �����% "* �� ��""* �� ��� �� �% ��*���� �" �����"� #�� �� �� ����� �1� !� �� ��1��1�����4 �� %"� ��� �� 5"�� �% �� ��

������� �'� (���� �� � ��� ���� �� �� �� �� ��� ��� ��� $� �� �� ����� ���+ R� �� ���� %���� ��� ���� � ����$�� ������ 3 � ! �� .� �� ����$���� ��������;��>�? K �� �� �n>3#? K �n>3 N 3>�� #?? K d

1� ����������� ��� ���� # ���� � � # � ��

%�� �� ����� ������ �� ����� � 3 ����� %��� I K . �� � >? K 3� ����� �� ������� ����� �� 3# ��� ��� ����� � ���� �� �I

d K ��>3#? N .>3#? K 3#� '� ����� ������� ���� K 3�! �� �� ����� �� ����� ,����� �� �� �� �

d K >3�!��?� K 3��!�'����� "8$t K ;

;K # �� �� ! �� �I

d K 3# K #�d K "8$t�

d �

Page 16: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

�'�'� ���� �� ����1 2 �� � � �� �������

���"� ���� $��% ��� 5� ������%�� �� $� �� �� "������ $1� ����� "��� �� ������"��9"�4 �� ��"5��� "* ��������� �� 5�%� $1� ����� ���� ���"��� ��" ����"� C�1�5������� �� �������� ���� �% ������� ������ �������"� �� �� ����������� !� �� 4 �� ��"5����% � %������ ��%� "* �� ������ ��" ����"� ������ �4 �1���� ��� ���� � ������ ���� �� ���� � �� �� ����&��� ��� B7? �����%��� �� %�� �� ����� "��� �� "��9"�4 �� ��� �� ����� �� �������" 0 K B7?� 2� ��"5��� "* ��������� �� �6������ ��" ����"� %����� � �% �$�� �% �� �� ������ ��" ����"� ������ �� <* �"��%�4 �� ������ ��" ��� �%���5� �������"� % *"� ��� ����� ����"� �� ����*"�� *"� � 0�1� ����� �"�����

<�� ���" *"� %"���� ��% ��"5��� *"��"�% ������� *�"� �� ������ ��" ����"� ������� �� 2� %���% ��� %���� �*"���� / ��� � ����� B7? *"� �� ������ "��9"�D $� �� "��������" ����"� �� ������"�� �"���� *"� ��% �����D �""%� �� ����� B7? ��� ��1���9�% �� �1������ ��"$�� ��"� ��� �� "������ �����4 �� %����� � �$��% "� �������" �� %��������"�"�����% ��� �������� ��" ����"� �� %���% ���%�"�%�

�'� -����� � � �� �������

���� $��% ��� �" ���� ��" ����"� �� � ����� 5�� �"�� ��;� �" ��;� � ����� � "* �����C�1�5������ ����� C�1�5����� �% ��;��� �" ��"�� � � ������%� *"� ������� ������"�� *�"������"�% ����" %� �% 5�*"��4 �� �$�� �� ��"5��� �%�� �� ������� ������"�� �% �� %����"* �� %�%���4 �� � ��� �� ���� �%���5���"�4 Mh0

0 4 ���� % "� �� ����� �� ����" ���% 5�*"��4 ��� �0 5� �� ������"�� ����� �*��� ��" ����"� �� 5�*"�� ���� �% �����9� 4

�� �0 �% �� ������"�� ��� �% %�� �%� � �" %���%*� ���� �� *����� ����" %� � ���4 �� 5� ��5� �%%���� �� ���%�"� "� �� ��"��� "* ������"�� �" %��� *"� *����� ����" % �% �������� �� �� 5� ����� "* � ����" 5�*"�� ���� �% �����9� � ��� �0>�? �����%��� �� �1����� ��"$� *�"� �� 5� ����� "* ����" � ����� �� �� "* �� "��9"� ��� �� ������� ������"������� "* �D ��� �0>� ? �����%��� �� �1����� ��"$���"� " ��� � ����% "* ��" ��� ������5���

+���� � ����"� "* ��" ����"� �����%4 �� "������ �1����� ��"$� �� ����" � *"� ������ ������ �%/

�0>�0? K ��0>�0 � �0? N�0>�0?� >.?

����

�0>�0? K ��1(�C0�V0,�E7z

0 �h0��Ey?0

�$0>���>�0� �0 � �0???M

h00 >�0?

��0Ld�0 �$�0Ld>���>�� �0 � �0 ��0??M

h00 >�0?

N$�0Ld>�0 N���>�� �0 � �0 ��0??M

h00 >�0?��

>3?

@�� � �% �� ��%� ����" �� �� "��9"�4 �� ��%� ���� �� �� �7����"� �% ������� ��� ���1����� %���� � ����� "* ��*�"��� ������"�� ���� 5�

$�>���>�� �x � >�x ��x ???M

hxx >�x ?�

�% 5�*"��4 �� $�%� ���� �� >.? �% ��" ����"� �"%�4 �� �� $�%� ���� �� >3? �% �� ����

Page 17: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�#

����4 ���� %���% �% �� ������� 5������ �����9� ���� �� �� ������5�� ������"�� �*�����" ����"� �� ����" �� 2� ��1� ��" ����% �� >3? �����%��� �� ������"�� "� �� �"%�4 �� $�����4 �� ��"$� *"� �� *����� �% ���"���� *"� �� �� ��%� ���� "* >3?4 �% � *�����"� "* ��������"�� ��� �% ������ *"���� �

!� �� ��1� %����"�4 �� �%��%% ��"������% "* �� ������ ������ ��"5��� �� � %"����"����" �

�'�'� ������ � �# -����� � � �� #� � . )�� ����� �� �������

+���� �� ������� ��" ����"� %�� ��� 4 �� ������ ������ ������ � 5��"��% � 7��%��"�"* ��������� � ����� �� ��� ����" >0? �� �� "������ ��"��� "* ������"�� �" %�� �%� �*"� �� *����� >�0?� Q�*"���������4 ��% ��"5��� "�% �"� ��� �� %��� ��"������% �% �������� ��" ����"� ������ �4 �� �� ��"5��� �% �"�� �:���� �" %"���� �����$�����4 � ��%���%������ �" 2�"��� ��� "�% �"� "� 4 ����4 �� �1����� ��"$���"� " *�����"� �� ����" �4 �0>�?>�7����"� >.?? �% �"� �"����� ��� ��

2�% ��%" ������%4 �� ����;� �� ������ ��" ����"� �" ��4 ��� ��� �� ��� �"��=��� ��%�"���%4 ����� 5�*"�� �� ����" ���� �% �����9� "� �*���4 ��� ��� �� ������"� �1����� ��"$�� 2�% �% %"�� �� �� ��1� ��"������

������ �'$ %�� ����� �������� ������� �0>�? �� �� ������� �� �� �� ���������� �� �������� � ���� ��� �� ������ �0� ��� � �� �� �����&� ���� �� ���� ��

������� �'�& (���� �� ���� �� ��� � ���� � �� � ��������� ��$���� %�� ���� ���� ����� � ��� ���� �� ��� � $� ��-. �� �� �������� ����� ���� �� ����� ��� ������ �� / ����� %���� ��� � ����$�� ����� �� �� ��� ���� � �0 �� ���� 1 �� 2 �� �,��� ��$�$������� �� �0�- �� ���� 0 �� . �� �,��� ��$�$������� 3�� ���� ������� �,��� � &���� ����� �� ���� � � � ��� �4� ������ $� ��� 5 �� /� %�$�� 0 ��� ���� �� ���� ������ ��� ������� ����������

)$����� �� �x >�? �� �� �������� �� �������� ����� �� ��� ������� �������� !����0�- � 5�2" �� ��� ��������� !� 5�6"� 3��� �$����� �� �� ���� � � �� �� ����� ���������� � ���� ��� ���� � ��� � �� ���� � ��� �������� �� ���� �� ���� � � ��� 7 ����� � �� $��� � ���� ��� ��� �� ���� 2 ��� ���� � ��� � ���� � ���� �� � � ��%��� �� ��� ����� �� �� �$�� ��� � �� �� ������ ���� �� ����� ��� �� .�-. ���� ���� ���� � �� .�-� )� �� ���� ��� � �� ���� �� ���� �� ����� �� ����� ����� �� ����� ���� �� ���� . ���� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� �� .�..�

2� �1����� %"�% ��� *"� ������ ������ 4 ��� �� "� �� ��"��� �" %��� *"� ��*����� ��#�� ���� �% "5%���� ���� % �� ��*���"� ���*"������ �������� �" ��������� ����"��� �" %��� *"� �� *����� �*��� "5%����� ��%�"��� ���� �

'"� �"�%� �� �� "������ ������ �"���� *"� ������ ������ � !������"� %� �%�% ��� �%�� ������� ������"�� �����4 �04 ������%�%4 �� �"���%�"� �� "������ ����� %"�� �����%�4%���� ����� �% "*��� �%� �% � ���;�� ������� �""�� Q�*"���������4 ��% ��"����� ��� �"�"� �� ������ �% �% ����%����� �� �� *"��"��� �

Page 18: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�&

�� � ��) �x >�? � )�� �x >�? � )�� �x >�? ��� ��� ��+� �x�d>(? #� � � � 3 �'� � 3 � � �4� � �4� ��� ��� � �4�� � � � ( .�# .�#� ��3 � ��3 & .��� 3���� ��� � ��� # ��& 3�(. ��( . . � ���� ����3 .�� .�� .�� 3 ��( ��.� 3�� 3 3�� . ��.� ����# 3�� 3�� 3�� � �) ��3& 3�� � � � �3� ��3�( 3�� � � � � �

2�5�� �/ B1����� ��"$� �� <������ ����� 5� �����9� �����

������ �'�� *� � ���� �� �� ����� ���� �� �� ���� � 0� ��� �� �� ��� �������� �� ���������� ������ ���������

������� �'�� (���� �� �� ��� ���� �� � ������� ����&�� �� ������ �� 7 �������� ������$��� d �� 1� ��� ���� d� ���� �� ����� 0 �� 1 �� �,��� ��$�$����� 8�1 K d ��.� �� ���� �� ����� 7 �� - �� �,��� ��$�$����� %�� ����� ��� �$�� ��� ��� ����$�� �������� �� ����� ���� $��� �� � ������� �� �� �������� ������$�� � ��$�������� �� �� ���� �

��)����� "�)���� #� d "�)���� #� 1 5�� ��� � ��� d K ��.1 1 d

� ���d K ��)�1 �1 1

. �d K ��#1 ���1 d

3 �d K ��#1 .1 1

2�5�� �/ ������� �� <������ ����� 5� !�����"�� �����

* �� ����� �� ��� ���� �� ���� ��� �� �� ��� ������� �� ���������� ��������� %������ ����� ������� ���� �� �������� ��� �� ��� �� ��������

2�% "5%������"� �% %������ �" �� "�� �� � 5� �"���" �� �� ��� >����? 5�� �6�������� � ��"����� � ����$� 5� 0� �� ���� �� -���� >�)))? �� �% �� �" �� *��� ��� ���1����� ��"$���"� " *�����"� �� "�� ��%� �% �"� �"������

<* �"��%�4 �� ���������"� "* ��% "5%������"� �% ��� �� �% ����%%��� �" %���� "��� ��������% �� ��� ����" �" $� �� ����� ��� ��1���9�% �1����� ��"$��

Page 19: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�(

�'�'� 0�� �� � #� -����� � � ��

!� ��% %����"�4 �� %� �%� �� ����%��� *"� �� ������ ������ �" ��� +���� � ��" ����"�%�� ���4 �� ������ ��" ��� �����%���� 5� �7����"�% >.? �� >3? �������% �� "������%"����"�� ����� �� %���� %���� �% ��� �4 �� %���� ��������� �%�����"���� %���% ���"� �" ���� �����9���"� ��� �"� 5� �� 5�%� %����� �4 �� *"��� �0 K � *"� ��� �4 %�� ����� �1 #�.��*"� �� �� "�����

2" �������� � ��" ����"� %�� ��� �� �%� � ��������%��� ����"1�����"� "* �� ���� �����%� 0"� ��% ����"%�4 �� �%� ��"5��� 4 �% "������ �� �����"� ������

� '������� � (����� ��� ����� 9������� ��� ������ ��������"��� ��"5��� >? �% �$�� �� �����"� ������ ��� �� "������ ��" ����"� 7��������%5� I � ����� �� ��" ����"� %�� ��� I �" �7����"�% >.? �� >3?�

@� ��*�� �" �� ������ ������ �� "���� ��� �� ��" ����"� %�� ��� �% �������� �5"�� �% �� ������ ������ -����%����

� �������� ���� ������ �

!� ��% %����"�4 �� ���"�� "� �� �1���%��� �"�������"��� %�� � �"� ���� �" ����"� ��%� �%�5"�� �� 5���$�% "* ������ ������ �� ������� ������� %����� ��%� @� �"����� �� %"�����"�% "5����� *�"� �� ������ ��" ����"�4 ������ ������ 4 �� 0�1� ������ %����� ��%�<�� "�� �% �����*"� / >�? �1����� �� ���*"������ "* $1� ������ �� �� %�"��%��� ���� >��? � ����*� �� %������"�% ���� ������ ������ ��"�� �% %� ��$���� ������%�% �� ��"$��"����� �" $1� ������ �� � %�"��%��� ���� %����� 4 �� >���? �������� �* "�� �������������� %����� � �% ���*���� "��� �� "����

�'� �������� ���� -��� ��

�'�'� ��#������ 6������

2" �1����� �� ���*"������ "* 0�1� ������ �� �� %�"��%��� ���� 4 �� �"�%� �� ��"%����� ��% *"� �������� � $1� ������ 0"� �� $�%�4 �� �$�� � ��"5��� ����� �� ����������%��� 0�1� ������ ��"5��� >�� ?� ��"5��� �� ��7����% � %�� �� ����� *"� ��� ����" %�� ���� �� ���� %D �%%�����"�% ��� �� %��� �% *"� �� ��������%��� ������ ��"5��� �2� "������ %"����"� �" ��% ��������%��� ��"5���4 ��� ��� 5� %"��� ��� � �"������������ �� %"���� ������5�� �� 'B<�4 ��"�� �% � $1� ����� �"����4 �� �� �����%���% �� ��"��%%�%� 5� ���� $��% �" �""%� � $1� ����� %����� �� Q%�� ��% �����4 �� �������� ��"������ ��" ����"� �� ������"�� �"���� 5� ������� �� ������ ��" ����"� �� "����4 ����*�� �" ��% %�"��%��� %����� � �% �� ��� %����� �� 2� %��"� %����� � �% 5�%� "�$� �� �� "������ $1� ����� ��;�� ����������� ���" ���"���� @� ��*�� �" ��% ��"5��� �%��"5��� � 4 "� �� 0�1� ������ ������ ��

Page 20: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�)

2" �"����� �� ��� �� � %����� ��%4 �� �$�� �� ��� ������ �%

��"$� �"������� K�Bh

�C;Bh

� ��

���� � �� �����% �� �1����� ��"$� "* �� ��"5��� 5��� %"��� � ���������4 �� ���%����� ��"$� �"������� "* ����� ������ ��" ����"� "� ������ ������ �������� �" �� 5�%� $1� ����� %����� �4 ����4 %����� � � �

�'�'� �������� �� ����

!� �� �"�������"��� %�� �4 �� �1����� ��%�% ��� �������"�% "� �� *"��"��� ���������%/��������4 �0D ���� 4 �0D "� �� �"%�4 �0D �� ��" ����"� �"%�4 �0� B�� ��"5��� �"�%�%�%"* ��� ����" % ����%% %���� "�����%�� B1���� �� �� ��%�% �� ����� 4 �� "� �� �"%� �% ��"�%���� ����� *"� ��� ����" 4 �� ���� �% �" ��" ����"� �"%�� 2� %���� � ����� ��% ��;���" 5� � %���� � �"%�4 �7��� �" ����� "� �� �"%� �� �� ��%� ����" � 2� ���� ����� ��% �������� 5� � �� ���� ������ ���� �����% *"� %�1���$�� %������ ��" ���% ��"�� � �"�% 5� "�� �� �%����� �������� @� ��*�� �" ��% ���� ����� �% �� ��� �� ���� ������

E�%� "� *�� 5��; *�"� "�� �� �%����� %�"�%"�4 �� �" �� ���� �����% �" 5� � ������*�����"� "* �����4 5�%� "� �� *"��"��� ���� ���������%/ �� 5�%� ����� �KyX�4 �� 5�%� ���� "� �"���� �KyX�4 �� �� ���� ���%������4 $ �� ��� ���� 5�

% z�j K �KyX� N$ � >�KyX� �KyX�? � >z�j � �KyX�?�

���� % z�j �� z�j ��� �� ������ ���� �� �����4 ��%���������� 2� ���� ���%�������% �$�� �% �� �������� � ��� � �� �"���� S �������� � ��� � �� �����4 �� �� �% �%%��� ��� �� ���%������ �% �� %��� *"� � ���� ���� ����� "��� �� ��� � "* ���� % �"�%� ��� �2� ���� ����� �% ��"�� � ��� ��%��� 5� �"������ ���" �� ��� ���"��� *"�� ��� %�"���� ���������4 "����� �� �%������"� "* �� ���������% �1����� �% �"�� ������ *�� ����� "�� ���� *"�� "* �� ������

@� ��� ������������ ������%�� �� �� �6��� "* ���� �����5����� "� �� ���*"������"* ������ �� $1� ������ � @� �"�%� �� 5"� %��%"������ >��� �% �� �� ��������%��� ���� �����? �% ���� �% ����������� >�� ��%��"� �"��"���� "* �� ���� *�����"�?�

2" ���%��� ���� ���������4 �� �$�� �� �"�:����� "* �������"� "* ���� �� � ���� ����" �% *"��"�%/ &%J K '�!�>�0? �!��>�0?4 ���� �0 K 0>0� �0>0??� 0"� � ������%� ��%�4 �� ���� ����������� �% �� %��� �� ��� ����" � 2�%4 �� ��� "� �"��"����4�04 ��� 5� ��������� �% � *�����"� "* �� ���� �����������4 �� �� ����� ���� % "� ������� �� ��� ����" � �������������4 �� ��%" ��%�� ��%�% ���� � ��% �� ���� ��� "* ������� �������� �� ���� ����������� �� ��� ����" 4 �� �� "5����� %������ ��%���% *"���%� ��%�%�

2" ���%��� ���� ����������4 �� ��� ������%�� �� �� �����5����� "* �� ��������%����"���"� "* ���� "��� �� ������ ���� "��9"�� 2�% �� �% �%�*�� �" �$�� �� �������������� ���� 4 ��� �% ��"�� �% �!� �� �� $ ���% �� %"�� 2�% ����� �% ��

Page 21: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

"������ %���% �* ���� ���� �" ��" ����"� �������� �����%� 2" ���%��� %��%"��� �����5����� �� ��������%��� ���� 4 �� �%� �� �"�:����� "* �������"� "* �!�D �� ��%" ��*�� �" ��% �%&%C4 ���� �� ���� �� %��� �� ������"� "* �� ��������%��� ����" ��� ��������� "����� ������ "��9"��

������� �����%4 ���� ;��� �"�%���� *"� � ���������� ��"5���4 ���� ���"�� �" ���� *�"���"5��� �" ��"5��� �� ��4 �&�4 �� ��� ����% �� ������������ "������ ���� "* ��%��� �� ������ ������ E��"� �� �%���5� �� %����$�% "* �� ��%�% �%� �

� (��� 0� B6��� "* ����� ���%"������@� %�� � �� ������ "* ���� %��%"������ 5� ;����� �� ���� ����������� �"��%���� "��� ��� ����" % >&%J K ���?� ,������"� �� ���� ��% ����" ��� �� �� ���� ����� 5� ���"��� 5"� �� 5�%� ���� �� �� ���� ���%������ �" ��� � ����" �������� 0"� ��% ����"%�4 �� %���� ��� � ���� 5�%� ���� �� ���� ���%������4��� ��� ��*���� �" �% �� %��� �� ���������%� @� ��� ���� �� 5�%� ���� �� ���� ���%������ ����" ������ �% � �������� � "* �� %��� �� �����%� 2� ��������������"� �����% �"�%� ��� ��� ��( � ���4 ��# � ��34 ��3 � ��#4 �� ��� � ��( *"� �� 5�%� ���� �� ��) � ���4 ��( � ���4 ��& � ��. �� ��# � ��3 *"� �� ���� ���%������� 2��������"� �� ���� ���%������ �% %������ ��� �� �������"� �� 5�%� ���� �" ��%������ ���%�������% *��� �� �������5�� ��� �%� !� ��� ��%�%4 �� ����� � 5�%� ���� �� �� ����� � ���%������ ���"%% �� ������ "��9"� ���� �7��� �" �� %��� �� �����%� 2���%����� �����% "* &%C ��� ��(4 ��&4 ��#4 �� �.&�

� �%� �/ B6��� "* ����� Q����������!�������� �� �"�%� �� � ��%� ��� 9��" ���� %��%"������4 ���� �� ��������%��� ����� ����� �� ��� ����" % �% �7��� �" �� %��� �� ���� ������ @� ���� �� ���� ����������� 5� $1�� &%J �" 5� ���4 ���4 ��. �� ��3 >�� ���������� � �"���%�"� �� %��� �� ������"� "* � �� ��� ����" ?� 2� 5"�� % "� �� %�"��%��� �"���"� "* ����� ��� � %��� �� ������"�% *�"� �� ���� �� ����� ������"�4 "� �4 ������� �% ������� 0"� �� �"�5��� �6��� "* %��%"������ �� �����������4 �� $1� �� %��%"������� �" 5� �� %��"� ��%� �%���5� �5"�� >&%C K ���&? �� �"�%� �� �� %��� �����%"* &%J �

@� ���� ��%" ������%�� �� "��� ��%�%4 ������������ "��% �%�*�� �� �"������ �6������������ ������� %����� ��%� 2" �� � ��% �6���4 �� �"�%� �� �� *"��"��� /

� (��� 1� B6��� "* ��" ����"� "%�@� "5����� �� ����� � ��" ����"� �"%� *�"� "�� �� �%����� �������D �� ���� ��% ����� �� ��" ����"� �"%�� � ���"�����4 �� �1����� ����"�% �����% "* ��" ����"� �"%�4�4 ���4 ���4 �� ��� ����% �� %��� �� ��" ����"� �"%�� 0"� ��%� ��%�% �� ���&%J K ����� &%C K ���&D �� �"�%� ��� ��% �" 5� "�� %��� �� ��%� "* ���� �����5������

� (��� -� B6��� "* ��" ��� ��������%���%2� ��%�% �%���5� ��% *�� ��� ��� � �� %��� 5�%�� %��%"������ *���"�%� @� ����

Page 22: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Time (periods)

% o

f B

ase

Dem

and

Seas

Seas2

IncMean

DecMean

Sawtooth

0� ��� �/ � B1�����% "* ��" ��� ���%"������

��%" ������%�� �� �� ���*"������ "* �� ����"�% %����� ��% �� �� "��� %��%"������ *����"�%� 2� %��%"������ *���"�% ��� ���� �%� �""%��� �"���%�"� ��� �6����� ��" �������%� � 5���* �%������"� "* �� ��" ��� ����% *"��"�%4 ��� � *��� �%������"� ������5���� E����� �� �� >����?� ������%�� ���� >�������? �% ���� ��� �% �"��������%�� "��� �� "��9"�4 ��;� ���� *"� � ����"�� !�����%�� ���� >!������? �% ���� ��� �% �"�� �����%�� "��� �� "��9"�4 %������ �" ��" ���% ��� �"� �"*��"�� �*�*���%4 %�� �% � ��%���� �� ���%"������ � >���%�? �% 7�������� %��%"������ �"� ��$�%�4 � �� �� �� �� ��4 �"� �� �� �� "* �� "��9"�4 �� ���%� �% �� %������"�"���%�"� �� �" "��"%��� 7�������� ���� �����%� 2� %���""� %������" �% �%� *"�� ���"��� �"�����%"�4 �� �% ���� ���������� 5������ �"� �� � 4 ��� %"��� ���"��� �����5����� "��� �� "��9"�� 0� ��� � ���%���% �� "������ ������������ ��������%��� ���� "* ��� %������" �%���5� � !� ��� ��%�% ���%���� 4 �� &%C �%���� �� �� &%J �% ���4 �� ������� "��9"� �% ������ ����" %4 �� �� ��" ����"��"%� �% %��� �� *"� �� ���� ����� �%� �

2� �"����1��� "* �� ������� ������� �� "����% ��� 5� �����%� 5� ����"��� %������ ��% ��� �1��"�� �� %�������� "* �� ��"5���� !� ����������4 � 0�%� 0"����� 2���%*"�� >002?��� 5� �%� �" ��������� � G�"��"����"�G ��� �% ������� �� �� ���������"�% �5"��� 0"�*����� �����% "� ��%4 %�� ����� >����?�

Page 23: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

�'� ��� ���� #�� �������� ���� ������ �

<�� �"�������"��� 5�%� ��%� %�� � ������% � ���5�� "* ��%� �%� !� ����������4 �� %"�%���/

� ������� ������� ������ ������ %� ��$������ ������%�% ��"$� �� ���� %������"�%4 ������������� ��� ��������%��� ���� �% � �� �����5�� �� ��� �������� �% �� ��

� ���*"������ "* ������ ������ ��� % �" ������%� �% %��%"������ ������%�% �� �% ��������� �% �� ����

� 2� ������ ������ -����%��� �%����� "�����*"��% �� ������ ��" ����"� -����%����B1�����"�% ����� � ��� ��" ����"� �"%� �% � �

E��"� �� �%��%% ��%� �� �"�� ������

�'�'� ��#������ ����

� 3� ������ $������ ���� ��������� � �� $���� �� ������ ������ �� � � ���������2�% �6��� ��� 5� %� ��$����� 0"� �1�����4 %�� 0� ��� �4 ���� ����������� �% $1� �� %��%"������ ������%�%� !� � ��%� ��� �" ����� �����5����� >&%C K ���#?4 �"�%������� �� �������� �" ��F ��� % �" #��F ��"$� �"������� *"� �� ������ ��" ����"� -����%����% �"����� �" ��3F *"� �� ��%� ��� �������� �7��� �" �!�� 2�% "� % ���� ����1������ ����������� �% ���� >0� ��� . ��� 9��" %��%"������ �� 0� ��� 3 ��� $1� %��%"������?� 0"� ��%�����4 �� 0� ��� 3 � �"� �����5����� ��%� >&%J K ���? *"� �������� ������ -����%��� �% �5"�� �F ��"$� *"� �� ��%� ��� ��� � ������5�� ���������� ���"%� �F ��"$� *"� �� ��%� ��� �� � �������� �"�%������%� 2�% %���"��% ���� %%��� �� �� �"�������"��� �����%�% ��� ��������%��� ���� �% �����

<* �"��%�4 ��% ���� �% �"� %�����%�� 4 %���� �� 5��"��% �"�� ���"����� �" ���"������%"����% �6�������� ��� �"%� ��%"����% ��� %������ E"� "* �� ������� ������� %����� ��%��� ������ �% � C�1�5����� �""� ���� �� 0�1� ������ %����� � "�% �"��

� %�� $���� �� ������ ������ �� � � �������� �� ���� ���������� ����������B1����� �"� 0� ��� �� !� ��% ��� �� %�� �� ���� *"� 5"� ������ ��" ����"� �� ������ ������ � 0"� �� ������ ������ -����%���4 ��� �� �� �� ����� "* ��������4�� � �"� %��%"������ >&%C K ���(? %��% ���F ������%� �� ��"$�4 �����% �� � �����"* %��%"������ �% #��F ��"$� �"�������� 2� ���� "� % ���� *"� ��%�% ��� � ���������� �% ����D � �"� %��%"������ >&%C K ���(? �% ��.F ��"$� �"������� ���� ��� �%� %��%"������ �% ��)F ��"$� �"��������

2�% �% %"����� ���������� <�� �1����% ��� �% �� ����� "* �����5����� ������%�%4 ����� *"� C�1�5����� ������%�%4 �� ��% C�1�5����� �% ��"�� � 5� �� �"��%����"���� ������ %����� ��%�

Page 24: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�.

-2.0%

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Coefficient of Variation (Cap/Deter Dt)

Pro

fit

Po

ten

tial Cap = 0.5 Dem*, Strategy 1

Cap = 0.75 Dem*, Strategy 1Cap = Dem*, Strategy 1Cap = 0.5 Dem*, Strategy 2Cap = 0.75 Dem*, Strategy 2Cap = Dem*, Strategy 2

0� ��� �/ !����� "* ���%"��� ,����5����� ��� Q���������� �% "�%����

!� �"����%�4 �� ���*"������ "* �� %����� ��% �� �� ������%�� ��������� �% ��%% ������0� ���% . �� 3 ����� �� �6��� "* ���� ����������� ��� %��%"������ �% 9��" "� �"�%����"��� �� "��9"�� !� 0� ��� .4 �� ��"$� �"������� *"� �� ������ ������ -����%��� ������%�%��� ������%�� �����������4 5�� �� ������ ��" ����"� -����%��� ���*"��% �"�� �""��� �%�� ����������� ������%�%� 2�% ��;��� �"���% �" �� ���5����� "* ������ ��" ����"� �" ������ ����� ����5�� ������"�� ��%����� *�"� ��� � �����5������ 2��� ��� � ���5�� "* ��%�%���� C�1�5����� �� ����� ��� 5� � �"�� �6������ �""� ��� ��" ����"� C�1�5����� %���� ��"� ����"� ����"� ����� 5� �%� �" �� ��� �� ������"�� ��������� �� �� %�%���� !� 0� ��� 34� %������ ���� "� %8�� ������ ��" ����"� -����%��� �% �����%�� ���*"������ �% %�"���%��� ����������� ������%�%� 2� ���*"������ "* �� ������ ������ -����%��� �% %"�����5����� ��� ������ ��" ����"�4 �� ��% ���*"������ �% *����� C�� "��� �� �6����� ��%�%�<* �"��%�4 ��% ��� �% �6���� 5� �� ���� �� ����� "* ��������%��� ���� %��%"�������

!� �% ��%" �%�*�� �" �"�� ��� ���� �� ������ ������ -����%��� "�����*"��% 0�1� ������ >�� �� ������ ��" ����"� -����%���? �� ��� "* �� ��%�% %"��4 �� ����% 0�1� ������ �% � 5����� �"���� ��� �� ������ ��" ����"� -����%���� 2�% �% ������������ ������ �� ��%� ��� 9��" %��%"������ >0� ��� .?� <* �"��%�4 ��% �% �� �" �� *��� ��� �� ��$1� ����� �"���� �� �%� �� "������ �����4 �����% �� �� ������ ��" ����"� -����%��� �������% ��� �"� "�������� �"%���

� %�� � �6���4 %�� 0� ��� �4 �% ��� �� 5���$� *�"� ������ ������ >������ ��" ����"��� ������ ������ ? ��� ������%� �% ��" ����"� �"%� ������%�%� 2�% �% �"� ����%%����� �%��"� �6���D �� �� 4 �� "�� ��%� �� �% ������� �"� ���� >������ ������ 4 ��� � ��������������5��?� E�� �� ���� "* �� "��� ��%�%4 � � �� ��" ����"� �"%� �� �" �"�� "��"�������

Page 25: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�3

-4.0%

-3.0%

-2.0%

-1.0%

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Coefficient of Variation (Stochastic Dt)

Pro

fit

Po

ten

tial Cap = 0.5 Dem*, Strategy 1

Cap = 0.75 Dem*, Strategy 1Cap = Dem*, Strategy 1Cap = 0.5 Dem*, Strategy 2Cap = 0.75 Dem*, Strategy 2Cap = Dem*, Strategy 2

0� ��� ./ !����� "* Q���������� ��� ���%"������ �% J��"

*"� ������ ������ %����� ��%�@� ��%" �1����� �� ���*"������ "* �� ������ ��" ����"� -����%��� �"����� �" ��

����� 5"�� ����"�� �� ����� ��3�

� ������ ��� ����� �������� � ��������� ����� �� �� :�� ;��� !� ������4 �� ������ ��" ����"� -����%��� ���*"��% 7���� ���� �"����� �" ������� 5"�� � !� ��� ��%�%4 �� �1����� ��"$� "* �� ������ ��" ����"� -����%�����% �� �� ��� � "* )�F �" ))F "* �� ����� 5"�� "* ����� ��3� !� �"%� ��%�%4 ������" "* �1����� ��"$� ������� 5� �� ����%��� �" �� ����� 5"�� 4 ����4 �I

d � >?4�% ��"�� )#F� 2��������4 �� ���*"������ "* �1����� ��"$� �"����� �" �� �����5"�� ��� � �" �����%� ��� ������%�� ������������ 2�% �% �"� %�����%�� 4 %������ 5"�� "�% �"� ���"��� *"� ����������� �� ��� �� �% ��;��� �" 5� ���;�� ��� � ������������

� 5���* �%��%%�"� "* �� %��������" ������"�� ��� ��% �% ��%" �%�*��� �% �%���5� ������"�%��4 ��%� ������"�� ��� ��% ���� �%� �� �� ����������"� "* �� ������ ��" ����"�-����%���� !� �"%� ��%�%4 �� *"�� ��� �� "������ ����� "* �� ��� �� ��% 9��"� -"�����4�� %"�� ��%�% �� "������ %"����"� ��%���� �� �"��9��" �����% *"� �� %��������" ��� ��%�

!� ����������4 "�� %������"� ��� ��� ��%��� �� �"��9��" �����% "* �� %��������" ��� ��%�% ��� ��" ����"� �"%� �% � � 0"� �1�����4 �� 0� ��� �4 �� ��� ��% ��%����� *�"� �������� ��" ����"� -����%��� ���� �"��9��" *"� �� ���%� "�� ����" ��� �� ��" ����"��"%� �% �� �� � �%� ������ ��"��� ��%� ��� ��� ��� �" �"��9��" %��������" �����% �%��� %�"��%��� %��%"������ �% �" ����� >&%J K ���? �� ��������%��� %��%"������ �% �

Page 26: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

��

-2.0%

-1.0%

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Coefficient of Variation (Stochastic Dt)

Pro

fit

Po

ten

tial Cap = 0.5 Dem*, Strategy 1

Cap = 0.75 Dem*, Strategy 1Cap = Dem*, Strategy 1Cap = 0.5 Dem*, Strategy 2Cap = 0.75 Dem*, Strategy 2Cap = Dem*, Strategy 2

0� ��� 3/ !����� "* Q���������� ��� ���%"������ �% "�%����

>&%C K �.&?4 %�� 0� ��� �� 2�% �% �"� %�����%�� 4 %���� �� ��������%��� %��%"������ �����%��� ;�"�� �� � ����� "* ��" ����"� �� ������"�� ���%�"�%� !� �"����%�4 ��� %�"��%���%��%"������ �% � 4 %�� 0� ��� S��*$ /9��"%��%4 �"�� "* �� ��%�% ������ � �"��9��" %��������" ��� ��%� 0������4 *"� �� ��%�% ��� ��� 5"� ��������%��� �� %�"��%��� ���� �����5�����4 %"�� �� 0� ��� 34 �� ��%�% ��� &%J K ��� ��%��� �� %"�� �"��9��" ��� �������%�

0"� �� ��%�% �%���5� ��� �"%����� %��������" �����%4 ��%� �����% � ������� �6���"� �1����� ��"$�� 2�% ��% �%�������� 5� ������� �� ������ ��" ����"� -����%��� ���%��������" �����% "* � �� �"������ �� �1����� ��"$��

�'�'� ����� ��� �# ������ ��

� <�4��� ��� ������ �������� �� �� ���������� ���� �� ���� ��=�����!������"� %� �%�% ��� ��;�� � $1� ������ ���%�"� ���� �"�%� ���� %�"��%��� ���� �"�� 5� � %� ��$���� ����"������ "��� ��;�� �� ���%�"� �� �� ���������%��� ���� � -"�����4 *"� �"%� "* �� ��%�% ��%�� 4 �� � %����� � � �"� "6��%� ��$���� ����"������ "��� �� ��� %����� � �%���5� �5"��4 �� �4 �% ������ �% "����* "* "�� ��������

�� �1����� "* � %������"� ���� �� � %����� � � ��;� � %� ��$���� ����"�������� ��"$� "��� ��� �% ��� �� ��������%��� %��%"������ ��% 9��" �� �������� ��%� � 0"� ��%� ��%�%4 �� ��"$� �"������� ��� � *�"� �F �" .F4 %�� 0� ��� #� 0�������%��� �"�� �� ����� � ���"��� %������"% �� ��� 0�1� ������ "�% "6�� %� ��$����

Page 27: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�#

-1.0%

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

-1000 1000 3000 5000 7000 9000 11000 13000 15000

Production Cost

Pro

fit

Po

ten

tial Cap = 0.5 Dem*

Cap = 0.75 Dem*Cap = Dem*Cap = 0.5 Dem*, Strategy 2Cap = 0.75 Dem*, Strategy 2Cap=Dem*, Strategy 2

0� ��� �/ !����� "* ��" ����"� "%�

����"�������

0������4 �� *"��"��� ��%� � �% ��%" %� �%�� 5� 0� ��� & �� �� �����"�% �����%�%�

� ������ ������� ��������� ������ ��� ����� ��� �� �� ���� !� �� 4 �� ���"%���� "* �� ��%�% %"��4 ������ ������ ��"�� � � � �� ������%� �� ��"$� ��� ������ ��" ����"�� 0"� ��%�����4 �� � *����� �����%��� ��%� �� 0� ��� 34 ���� &%J K ���4 ����"$� ������%� *�"� ������ ������ >������ � �? �% � �� 5� �5"�� "�� �������� ��"��� �� ��� �������� �����%�

-"�����4 ���� ��� �1�����"�%� !� ����������4 ��� ��" ����"� �"%� �� �������� �����%��� � 4 0� ��� � %"�% ��� ������ ��" ����"� ��� "�����*"�� ������ ������ 45� �"�� ��� "�� �������� � �"���� !� ��% ��%� �� ������ ��" ����"� -����%���� �"��9��" %��������" �����%4 "�����4 ��%� �����% � �� ��%� ��$���� �6��� "��� �1����� ��"$� "* �� ������ ��" ����"� ������ �� 2� ����"������ "* ������ ��" ����"� "��� ������ ������ �% ��%" %��� ��� �� 5�%�� ���� %��%"������ �% "* �6����� ����%4 �� �� ��% ��%� �"�� "* �� %��������" �����% ���� �"%�����4 %�� �����>����? *"� ��% �����%�%�

2� ��%��� �"������� �� ���*"������ "* ������ ������ ���%�% ������ ��" ����"�$�% �� ��� ������� ��%���% "5����� "� � %"����� ������ ��" %�� � ��"5��� �"�%� ��� 5�,�� ��� �� �� �� � >�)))?� 2�� �"�%� �� � %�� �� ����" �" �� ���� �� �"%��"�� ���%�"�% ��� �� � �*��� ���� �% �����9� � 2�� *"�� ��� �� ���� ��%�����% ������

Page 28: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�&

-1.0%

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

10.0%

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Coeff of Var (Cap/Deter Dem)

Pro

fit

Po

ten

tial

of

FP

Cap = 0.5 Dem*Cap = 0.75 Dem*Cap = 1.0 Dem*

0� ��� #/ "�����%"� "* B1����� ��"$� *"� 0� �� �0� ������ ��%

�"%��"������ "�����*"��� ��" ����"� �"%��"������D "�� �1�����"� ��% �� � ��%� ���� ��" ����"� �"%��

� ������ ��� �� ������� ���

!� ��% �����4 �� ���%��� � ���5�� "* ������� ������� %����� ��%4 �"������ 5� �� �������"* ��"5���% ��� $��% ��%� � ��%%� 0"� ��� "* �� %����� ��%4 ������ ��" ����"�4 ������ ������ 4 �� 0�1� ������ 4 �� ��"�� � ���" % �" �������� ������ �� ��" ����"� ����%�"�%� @� ����" ��� �� ������ �"����� "* �%�����"���� %���%4 ���� ������"�� �% %�� �%� ��" %���%*� *����� ���� ���� �* %���% ��� �"%� �� �� ������� ����" �

@� �����9� �� %����� ��% ���%���� �" "5���� ��%� �% *"� ���%�"� ��;��%� !� �� ��%�"* ������ ��" ����"� >�� ��% 0�1� ������ �% ����?4 �� %"� ��� �� %�������� "* ����"5��� ��� % �" �� "������ �"���� ���������9� 5� ��" ���������%D �� "� �������" �����4 �0�� � %��������" �����4 �0� !* �� ������"�� ����� �� �� 5� ����� "* �� ����" 4 �04 �% 5��"��04 �� "� �� "* %�9� ����(0� �0 � �0� �% ����� D "�����%� �" "� �� �% �� �� !����%��� ��4�� ��"��� �" %��� *"� �� *�����4 �04 �% �� ���� ��� "* �����9� ���� �� ��% ��� 5� �������� �� �� 5� ����� "* �� ������� "��9"�� 2�� �%4 �� ���%�"� "* "� ������%�"���% �" ��=���4 �� "� �� �" %��� ������"�� *"� *����� ����" %4 ��� 5� "�� �� �� ��%% "*�� �"���� "* ���� �� � ���������� ����" �

"�������"��� �����%�% ���"�� �% �" ��"�� � � ���"��� ��%� �% �5"�� �� ������� �������� %����� ��% �� ���� �������� ���*"������%� 0"� �1�����4 �""%�� �� "������ $1� ����� "�% �"� ����%%����� "6�� %� ��$���� 5���$� �"����� �" %������� � $1� ����� ��"� �

Page 29: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�(

-1.0%

-0.5%

0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

2.5%

3.0%

3.5%

Seas1

Seas2

IncM

ean

DecM

ean

Sawto

oth

Demand Scenarios

Pro

fit

Po

ten

tial

Strategy 1Strategy 2

0� ��� &/ !����� "* 2��� "* ���%"��� ,����5�����

��������%��� ����"1�����"� "* �� ���� �����%�+��������4 ������ ������ %����� ��%4 ����4 ������ ������ �� ������ ��" ����"�4

"�����*"��� 0�1� ������ 4 �� ��% �6������ "*��� ������%� ��� ������%�� %��%"������"� �� ����� ��������� !� ����������4 �� "�� ����%���%4 ������ ������ �������� � � ���1����� ��"$� ��� ������ ��" ����"�� 2�% ��� 5� �1������ �% *"��"�%� 2� � ����� ��� ������ ������ �"�����% ��� �% �� �5����� �" �����%� "� ������%� ���� ���� �� "� ������"�� �� �������� �����%� 2�% �% �"� �� ��%� �� ������ ��" ����"�� -���4 �� ���%�"� ��;�� �% "��� �� �5����� �" 5��� ������"��� -"�����4 ��� ������"�� �����% ���� 4 ������ ��" ����"� �% �" ������%� ��� ���"�% �� �" ������� �"�� ���� �

2��� ��� � ���5�� "* *����� ������"�% %� �%�� 5� �� ��%���% �� ��% ����� �� 5��� �%��� �"������ %������"�%� 0����� �1��"����"� "* ��" ����"� �� ������"�� �" ��% ����������"�� ��� 5� %�� �%� � *"� �� *����� �"�� 5� �%�*��� <* %� ��$���� ������%� �% ����"5��� ��� �������� ��" ���% �� �������� ����%4 ���� ���� �% ������ %����� "* ����%�� ������ �"��"� ��" ����"� ��������� @� ��� ��%" ������%�� �� �� ��"5��� ���� �$�� �% *��� C�1�5����� "� ����� �� ��" ����"� ���%�"�% �� ��;�% 5"� "* ��%� ���%�"�%�� ��� ����" 5�*"�� ��%�"��� ���� �% �����9� � 0������4 �� ��"5���% ��� �� ��������9� ��� ��� �� �� �� �%%�����"� ��� �� ����� ���%�"� �% �� � 5�*"�� ��%�"���"� ��% ��� ������� � !� �"�� 5� �%�*�� �" �����9� �"%��"������ ������ ��% �% �%���5� 5� ,�� ��� �� �� �� � >�)))? �� � ����������" %����� 4 ���� �� %��"� ��� ���%�"��% �� � �*��� ���� �% �����9� 4 �� �"����� �� ��" ����% "* ������� %����� ��%� <*�"��%�4 �� ����� "* �� ���� ��*"�����"� %"�� ����"�� �� ���%�"� ��;�� �� ���"%��"������ ������ ��% �"����� �" �� ������� ������� ������ ��%�

Page 30: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

�)

! "�#������

�5� 4 �� �� >�))#?� <������ ������ �� �"����9�� �� �� "� ���"�% "* ����%�5����� �� ������� E��;"� ���� � <�������� �������4 ��4 (4 ��� ��).����3�

E�������=��4 �� �� �� ����% >����?� � ����������" ��"$� ��1���9�� �" �� *"� ������� %����� ���� ���� �����/ �� ���� ����"� "* ���� �� %������%� � ������%�%�>������ ?������ �� )�������� @�������4 ���4 .4 ��� �(3�#���

E�����4 ��4 ���������� �� ����� >����?� ������� ������ �� �� ��������"��%�"����" �� �� �� ���"�"���� !� �%���� @"�;�� �����4 +�"� �� 2���

E�����4 +� �� �� �� ,� �"� %���� >�))&?� �� ���������"� "* T��� ���� ����� �" ��-"��� !� �%��� "�%� ���� �������� ��� ����%� )������� @�������4 ��4 .4 ��� 3�&�33.�

B���%5�� 4 �� �� �� �����5�� >�))�?� ���;���� ���" ����"� �"��� ����%�"� ��;�� 4 ��<�������� ������� �� <��4����� '�� $��4� �� )������� @������� �� <���������������4 �� B���%5�� �� ���� ������ >� %�?4 '"�� -"���� �

0� �� ����4 �� �� �� -���� >�)))?� "�5��� ������ �� !�����"�� "���"� �� ��Q����������� )������� @�������4 � 4 .4 ��� 3�3�3&��

+���� "4 +� �� +� ��� ��9�� >�))3?� <������ ������� ������ "* !�����"���% ��� ��"���%��� ����� "��� 0����� -"��9"�%� <�������� �������4 �&4 (4 ��� )))������

+��5���4 �� �� >�)))?� ""� �����"� "* ������ �� ����������" ��" ����"� *"� �"�%��������� "" %� >������ ?������ �� )�������� @�������4 ���4 �4 ��� ..��..&�

+��5���4 �� �� >����?� ""� �����"� "* ������ �� �������������" ��" ����"� ���"%% ���������"�%���� ����� "" %� <�������� �������4 �%4 ��4 ��� �#����#�#�

-�������%4 �� �� >�)&�?� <������ �� @�� �� ����� 4 �"���� �� Q�����%��� ���%%4�"���� ��4 2� '������� %�

H�����4 �� �� � �� ��� >�)#�?� �����% �� <������ !�����"�� �"�����%4 �� �� ��� ��3��� ���$�$���� �� <�������� �������4 H� �� ���"�4 �� H����� �� -� ����* >� %�?4����*"� Q�����%��� ���%%4 ����*"� 4 ���*"�����

H��������4 -� �� �� 0� ����� >�)&�?� <������ ������ �� !�����"�� ����%�"�% *"�'"�����%"��� !���%� >����������4 �$4 �4 ��� �&.��&��

H�������� �� ���� � >�)&.?� �"��� ������ �� !�����"�� ����%�"�% *"� "�%���� ����� !���%� <�������� �������4 �$4 &4 ��� &.��&.(�

���4 H� �� >�))�?� ����� ��""��� �� �� ������� "�%������%� ������� >������� ?������4! 4 �4 ��� ������)�

���4 �� -� �� -� ��� >�)((?� 2� '��%5"� ��"5��� ��� ����������� ��� ����� ��%���5���"�� **> %����������4 �&4 �4 ��� �#(��&��

����%4 B� �� >�)�)?� Q���������� �� ����� 2�"��� 9������� ?� �� >��������4 �4 �����&��.��

�����99�4 '� �� �� �� �� ������ �� �� '��%��� "� ��"5���/ � ������ ��� B1���%�"�%�)������� @�������4 � 4 �4 ��� �(.��)3�

�"���" ��4 �� -� >�))�?� <������ <� �� U������� �� ������ ����%�"�% �� ��� �� ����" !�����"�� ��%���%� *���������� ?� ��� ����� >��������4 ��4 �4 ��� �&���(��

Page 31: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.�

�"���" �� �� ���� >����?� <������ ��"�������� �"�����% �� �� ������ ���� ��� ���� �*���������� ?������ �� ��� ����� >��������4 %!4 �4 ��� �3���&��

���%%4 @� -�4 �� �� 2��;"�%;�4 @� 2� ,�������� 4 �� E��� 0������� >����?� A��������@����� �� (� %�� 3� �� �������� (������� ��5�� � Q�����%��� ���%%4 'T4 'T�

��=��4 �� ��;�%4 �� �� �����5�� >�))�?� ������� ������ �� <� ���� ����%�"�% 5� ��"�"�"��%�� <�������� �������4 ��4 �4 ��� �3���#��

����*4 -�B� >����?� <������ !�����"�� �"�����% @�� ����% ��� ��%�����"����� "���% *"��� ���"� ��%��%%�"� ����� '"� ��&�� �� �%� �����

��5��������4 �� �� �� �"���;�� >�))#?� �����"��� <������ ������ �� !�����"���"�����% *"� ��������% @" 0��� Q�������� ����� � ?� @�������4 �4 �4 ��� &�.��

�����4 �� �� >����?� �����$�� ������� �� 8�� ���� �������� � *����� ���� (���������������� �"��"��� ��%%������"�4 *"���"��� 4 '"����%���� Q�����%����

2"��%4 �� �� >�)&�?� ��������" ����"� ����%�"�% ��� ���������%��� ����� � <���������������4 �%4 ��4 ��� &3&�&���

2"��%4 �� �� >�)&3?� ����� �� ��" ����"� ����%�"�% ��� ��"��%��� ����� � )�������@�������4 ��4 ��� ��.���(�

2"�%��4 +� 2� >�)&�?� � �������4 '"�%����"���� !�����"�� ��"5��� *"� � �����SU������������� 0���� A���� @������� 8�������4 ��4 .4 ��� 3#��3&#�

,�� ��� �� �� �� � >�)))?� ����� ���%�% ��" ����"� �"%��"������/ ������� �� "�������"�� <�������� �������4 �!4 ��4 ��� �#.���#3)�

@� ���4 -� �� >�)#�?� � �"%�%����� �" G������� ��"5���% �� �� 2�"�� "* �� 0���G�A���� @������� 8�������4 4 �4 ��� &��.�

@� ���4 -� �� �� 2� �� @���� >�)�(?� ������� ��"5���% �� �� 2�"�� "* �� 0����A���� @������� 8�������4 !4 �4 ��� �.�&3�

@����4 2� �� >�)��?� !�����"�� "���"� �� ����� 2�"��� <�������� �������4 �4 �4 ���#��#(�

J�5��4 B� >�)&�?� ����������" �"�"�"�� Q� �� Q����������� ?� >������� %�����4 !4 �����3��.#�

J��;��4 �� >����?� ���� ����� �� *������� <��������� ��+����-���4 E��� �� �4 !��

% ����� ���

%'� ���# �# (���� �'�

!� ��% %����"� "* �� ����� �1 �� ��"�� ��� �� ���*"������ "* �� ������ ��" ����"������� � >�

d? �% �� ����� 5"�� "* �� ��"$� *�"� � ��������%��� ������ ��"5��� �%�� �1����� ���� >� >??� @� 5� �� 5� �$��� �� � ���"��� ��������%��� ������ ��"5���4�� �� %"� � ���"��� �����% 5�%� "� ��% ��������%��� ��"5��� ��� ��� �" �� $�������� 5"�� �

0"� ��� ���� ����� ����"� �� �����9� ���� ����"� 4 �� ��"5��� "* $� �� ����" ����"� 7��������%4 4 �� %���% 7��������%4 �4 ��� ��1���9� ��"$� �� �� ��������%��� ���� ��� 5� ������� �%/

Page 32: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.�

��>�4 ?/ ��1 �h,Q>�? Kx�0)d

��h,Q0 >�0?� �0�0 � �0 0

=%�5=��� �" �( K �

�0Ld K �0 N 0 ��0� � K �� �� � � � � � 0 � �0� � K �� �� � � � � ��0� 0� �0 ���� �� � �� � K �� �� � � � � ��

���

�h,Q0 >�0? K

l0�0 *"� �0 � 000 � >�0 � 0? *"� �0 � 0�

�� "��� ���������% ��� �% �%���5� �����"�%��� <5%���� ��� �* �0 � 04 ��� �� �������*�����"� ����� �% � ������� ��"�"���"��� �" >�0�0?� 2�% �� "������ %"����"� *"� � >� ?�% %�� ��� �0 � 0� <��� �"���% "* ������� *�����"�% ��� ��%" �"%%�5��D �� ��� ��%�%4 �0

%"�� 5� � �����%�� *�����"� "* �0���� )� >� ? 5� �� ��"5��� �"���%�"� �� �" �� ������ ����1���"� "* ��"5��� � >� ?�

��� V�h,Q 5� �� "������ "5=������ *�����"� ����� "* ��"5��� � >� ?4 �� V h,Q� V�h,Q 5� ���"���%�"� �� "������ ��" ����"� %�� ��� �� ���� �" 5� %���%$� �

�% 5�*"��4 *"� ��� ����� 4 ��� 0> ? 5� �� �"���%�"� �� �1����� ���� �� ����" �4�� ��� > ? 5� �� �"���%�"� �� ����"� "* ���� �����%� ��� $Q> V�

h,Q? 5� �� �1����� ��"$� *"� ��"5��� � *"� � ����� "��� ��� �"���%�"� �� �����9� ���� % �

@� �"� %"� �� ����� 5"�� *�"� ��"5��� � >� ? ��� �1����� ���� /

(���� %'� ��� ��� ���� � V�h,Qwh D � $Q> V�h,Q?� ����� �� ����� ��� ��� ���$���

� >� ? �� ����� ���� �� �� ��� $��� �� �� ����� ��� ��� ��� ���� ���� �� �����&� ���� �

������ 0"� ��� ����� �� ���� 4 ��� �� ����"� "* �1����� �����% "* �� ��" ����"�4%���%4 �� ������"�� �����5��% 5� �$�� �%

K $Q> V h,Q?� � K $Q> V�

h,Q?� �� � K $Q>V�h,Q?�

������ �� "������ ��" ����"� �� %���% �����%4 > V h,Q� V�h,Q?4 ��� *��%�5�� *"� � >� ?/

V�h,Q( K �V�h,Q0Ld K V�h,Q0 N V h,Q

0 � V�h,Q0 � �� � K �� �� � � � � �

V h,Q0 � �0� � K �� �� � � � � �

�� V h,Q0 � V�h,Q

0 � �� � K �� �� � � � � � D

2�;�� �1����� �����%4 �� "5���� �� *"��"��� �7����"�%/

Page 33: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.�

�( K �

�0Ld K �0 N 0 ��0 K $Q>V�h,Q0 ? N$Q> V

h,Q0 ?�$Q> V�

h,Q0 ?

$Q>V�h,00Ld? K $Q>V�

h,Q0 N V h,Q

0 � V�h,Q0 ? � �� � K �� �� � � � � �

0 K $Q> V h,Q0 ? � �0� � K �� �� � � � � �

�� 0 K $Q> V h,Q0 ? � �� �0 K $Q> V�

h,Q0 ? � �� � K �� �� � � � � ��

-���� �� %�� "* ����"�% "* �1����� �����% > ��? �% � *��%�5�� %"����"� "* �� ��"5���)� >� > ??�

����� �h,Q0 >�0? �% �����%�� *"� �0 � 04 5� �� "��������� "* V�h,Q �� ;�"� ���

V�h,Q0 � 0D ���� �0 K $Q> V�

h,Q0 ? � $Q>0? K 0> ? *"� ��� �� ����� �0 � > ?0 ��

V�h,Q0 � 04 �� %���� �0 K $Q> V�

h,Q0 ?4 ��� �

h,Qwh D0 >�0? K $QO�

h,Q0 > V�h,Q

0 ?P *"� ��� �� 2�%4x�0)d

}�h,Qwh D0 >�0?� �0�0 � �0 0

]K

x�0)d

$Q

��h,Q0 > V�h,Q

0 ? N �0 V�h,Q0 � �0 V

h,Q0

=K $Q> V�

h,Q?4 �� ��

"������ "5=������ *�����"� ����� "* )� >� > ?? �x�0)d

O�h,Qwh D0 >�0?� �0�0 � �0 0P K $Q> V�

h,Q?�

����� �� �������� ( �� ��%�"��� ���� ��� 5"� ���� �� ����"�%4 )� >� ? �% ��

���� ��� "������ %"����"�D �"�� ��� > ? �% �%%��� �" 5� ���� ���� -���� V�h,Qwh D K "������"5=������ *�����"� ����� "* )� >� > ?? � $Q> V�

h,Q?�

'"� �"�%� �� � %����$� �"��� "* ����� ����"�� ��� ����� %�� ��� V�h,Qwh D K ��1h

V�h,Qwh D�

2�� �%4 *"� ��� �"%%�5�� ����� ����"� 4 %"��� ��"5��� � >� > ??4 �� �� %�� �7��� �"�� �����% ��� ��1���9� ��"$� *"� ��"5��� � >� > ?? "��� ��� �"%%�5�� ����� ����"�%�

Q� �� ��% �"��� "* 4 �� ��������%��� ��"$� *�"� ��"5��� � >� ? �% �� ����� 5"�� "� �� ���*"������ "* �� ������ ��" ����"� ������ � �� �� ��� �"��� "* ����� ����"�4 �%%"�� �� �� *"��"��� ������

(���� %'� �d � V�

�h ,Qw �h D�

������ 0"� ��� ����� 4 ����� �� ������ ��" ����"� �� "����4 �� � ����*� �� �"����%�"� �� "������ "� �������" �� %��������" �"�����%� +���� � ����"� "* �����9� ���� 4��� �d>� ? 5� �� ��"$� ��%����� *�"� *"��"��� ��%� � ����$� �"�����%� 2��4

�d K ��1

h$QO�

d>� ?P

� ��1h

$QO V�h,QP

� ��1h

V�h,Qwh D4 5� ����� #��

� V��h ,Qw �h D4 5� �� �"��� "* �

Page 34: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

..

<* �"��%�4 ��% ��%" ������% ��� �� �1����� ��"$� *�"� �� ������ ��" ����"� -����%����% 5"�� � ���"� �� �" ��% ������ !� �� 4 �� ����� 5"�� 5�%� "� �� %����$� �"��� "*�����% *�"� ��"5��� >?4 � >?4 �% �7�������� �" �� ����� 5"�� ����"�� �� ����� #��4V�h,Qwh D� ������ ��� �� ������� *�����"� �� >? �% �0>�0? K ��1

h0

+�00 / 0>0? � �0

��

2� "������ %"����"� �% �I � I � I 4 ��� � >? K �I>�I? �� �I0 >�

I0 ? K �I

0 I0 � 2�%4

�� ���/

������� %'� � >? K V�h ,Qwh D�

������ ����� >�I � I? �% � *��%�5�� %"����"� "* � >I � >I??4 �I � >I?� 2�% ������%

�hI ,QwhID0 >�I

0 ? K �I0

I0 K �I

0 >�I0 ?4 �� %" � >? � V�h,Qwh D�

����� �h,Qwh D0 >�0? �% �����%�� *"� �0 � 0> ?4 V�

h ,Qwh D0 � 0> ? 5� �� "��������� "*

V�h,Qwh D� -���� > V�h,Qwh D� V h ,Qwh D? �% � *��%�5�� %"����"� "* ���� @� ;�"� ��� V�h,Qwh D 0 ��I

0 0 >5� �� "��������� "* �I0 ? � ��1

h0��I

0 0 / �I0 � 0>0?� >%���� ��%

�% ��1���9� "��� ��� 0? K �I0 >�

I0 ?� 2�%4 V�h ,Qwh D � � >?4 �� �� ��""* �% �"�������

+���� ����� #�� �� "�"����� #�.4 �� ��� ��� �d � � >?4 �� ��% ����� ��3

"� %������� ��1 ������� )� -���� ������� ��

2� ��%���% �� ��� %"�� ��� ��%" 5� �1��� � �" ��"��� ���� %������"4 �� ��� ���� �� ����" >�0?4 ��� ���� �"� "��� "� �� ����� �� ����" � >0?4 5�� ��%" "��� ������ ����� ����"�4 � !� ��% ��%�4 �� �����% *"� �� ������ ��" ����"� -����%������ %�� �% �%���5� �5"��4 %����$�����/ ��� ����� %�� ��� V�h ,Qwh D K ��1

h

V�h,Qwh D� 2�

���*"������ "* �� ������ ��" ����"� ����%��� �� �� ��% ���� %������" �% �� �����5"�� "* V�

�h,Qw �h D �% �%���5� 5� ����� #���

%'� ���# �# (���� �'

2� %�������� "* ��"5��� >�� ��% � >� ?? �����% �� ���" � ���%% "* ��"5���% ��� ���%"������% 5� %"��� ��� � ��� � �� "����4 "� ��� ���� ���"����"� �� "���� >���?�2� ��� � �� "���� ������ �" ��"5��� �"�� 5� �% *"��"�%/.��� ���� ��� � 6��1

�� 5� ��� �0 K � �� ��� ����" D

�� 0� ""%� � ����" � �" ������%� ���� 5� "�� ���� %�� ��� �� �"����5���"� �"��"$� �% ��1���9� �� �� *��%�5����� "* �� ��" ����"� %�� ��� �% ��������� �

�� 7� !* �" %�� ����" �1�%�%4 %�"��

2� �� "���� ��� ��%" 5� �" �$� �" ��;� ���" ���"��� �"��� �� ����� 5"�� % "� ���� �� ������

E�����4 ��4 ����������4 �� ����� >E��? >����? �����9� �"� ���"�% �� �� ����� ��� � �� "���� %"���% ��"5��� � �����$�����4 ���� ���� ��%��� �% �� *"��"��� /

Page 35: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.3

������ %'� 78��� 7�&&�9 6� � "�����9 *� �� ������� �������� � ��� ������� ��������� ���$��� � ��� �� ���� � �������� ���� �� �� ����� ��������

@�� �� ������� *�����"�% ��� �"� �"�����4 "��� %"����"� ���" %4 ������ �"��������"�����9���"� ���" %4 ��� 5� �%� �" %"��� �� ��������%��� ������ ��"5����

!� �� ��""* 5��"�4 �� %"� ��� �Id � "8$t�

d 4 ���� "8$t K "8$t>I? K ���

0O8$t0 >I? 0>

I?P4

�� 8$t0 > ? �% �� ������� �"%%�5�� ���� �� ����" �4 �% �%���5� �� ����� ��&�

������ ����� ��� �% �%���5� �� �����"� ����� �" %"��� � >� > ??4 ��� �0>�? 5� ����� ���� ��"$� "* %���%*��� �� �0_ ���� "* ���� �� ����" �� 2�� �0 �% �"��������%��

�� V�h ,Qwh D Kx�0)d

�>� K;

h,Qwh D0

�0>�?�

��� �8$t0 K ���

F8$t0 > ?� V�

h,Qwh D0

k� ����� �8$t � V�h ,Qwh D4 �� �% � *��%�5�� %"����"� *"�

� >>� > ??� "�%� �� %���%*��� �8$t �� �� %��� "� �� V�h,Qwh D �% %���%$� �%�� ���4�� ���

�h,Qwh D>�8$t? Kx�0)d

�8$t0

�>�;8$t

0

B0w>D;8$t0

�x�0)d

>;8$t0

K;h,Qwh D0

�>� K;

h,Qwh D0

�0>�??�

%�����

>�;8$t0

B0w>D;8$t0

��

>� K;h,Qwh D0

B0w>D

K;h,Qwh D0

Kx�0)d

>���

l�� Q

8$t0 wh D

K;h,Qwh D0

M �>� K;

h,Qwh D0

�0>�??�

5� �� �$����"� "* �8$t

�x�0)d

���F�� Q

8$t0 h

Q0wh D

k �>� K;

h,QwhD0

�0>�?4 %���� V�h ,Qwh D0 � 0> ?

5� �� "��������� "* V�h,Qwh D

�x� Q8$t

0 wh D

Q0wh D

�>� K;

h,Qwh D0

�0>�?

� "8$tx�0)d

�>� K;

h, K;wh D0

�0>�?4 5� �� �$����"� "* "8$t ��

%���� V�h,Qwh D0 � 0> ?

K "8$t V�h ,Qwh D

Page 36: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.�

����� �h ,Qwh D0 >�0? K �

h,Q8$twh D0 >�0? *"� �0 � 8$t

0 > ?4 ���

V�h ,Q8$twh D � �h,Q8$twh D>�8$t?4 5� "���������

K �h,Qwh D>�8$t?4 %���� �� ������� �% �� %���

� "8$t V�h,Qwh D4 ��""* �5"���

����� �h,Qwh D0 >�0? �% �����%�� *"� �0 � 8$t

0 > ?4 ��� V�h,Q8$twh D � 8$t0 > ?� -����

> V�h,Q8$twh D4 V h,Q8$twh D? �% � *��%�5�� �"���� *"� �� ������ ��" ����"� ������ � ��� �1����� ��"$� �� %��� �% �� ��"$� *�"� �� ��������%��� ��"5���4 V�h,Q8$twh D� ����� �I

d �% ����1���� �1����� ��"$� *"� ����� K "5����� 5� *"��"��� �� "������ �"���� *"� � �� 4 �I

d � V�h,Q8$twh D � "8$t V�h,Qwh D � "8$t�d >*�"� ����� #��?�

%'� ���� ����

%'�'� -����� ����� �� ���� ��� #� � . )�� ��� �# � ���

+���� � ����� ����"� 4 �� �� "���� 5��"� �������% �� "������ ��" ����"� �� ������"���"���� *"� �� ������ ��" ����"� �" ���

� �� 0� �"��� �� *"��"��� ������ ��" ���/

: �� *������&����

� �xLd K �4 �x >�? K �4 �� � 0 K �

0 K � *"� ��� � K �� � � � � � D

� 0"� �� ��%� ����" 4 ��������� �� ��� ���� �1����� ������� �� %���� � �"%�*"� ��� �"%%�5�� ����� "* 5� ����� ������5�� ������"��4 ����� �� ��" ����"�/0"� ��� � *�"� � �"

�x0)d �04

��������� ��x >� ? K x O��Mh0 >� � �?P N �Mh

0 >� � �?���� � K %���� � ����� � �x � x �

: $� @�������� �,������

�������� �04 �� �1����� ��"$���"� " �� ����" �/

�� 0��%�4 $� �� "������ "� �������" ����� �� ����" � 5� �"������ ��" ����"��"%� �" �� ��� ���� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� "/0�� �

0 K ��1 �� *"� � � � / �0 � ��0>� ?� D

��� �������� �� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� "4 �0>� ?4 *�"��� ��� ���� �����%/

� �0>�? K �0Ld>�?D

� 0"� ��� � *�"� � �"�0

0)d �04��������� �0>� ? K ��0>� ? N�0>� � �?D

���� 0������4 ��������� �� �1����� ��"$� *"� ��� ������� ������"�� ������ 2� ��%�%5��"� �"���%�"� �"/ ��" ��� �" ��1���� ��������4 ��" ��� ��"� �" ���%��� ������"�� ����� �" �� "� �������" �����4 "� ��" ��� �"��� �* ������"��

Page 37: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.#

�% ��� �� ��� �� "� �������" ������ �������� �� ��� ���� �1����� ��"$������% �% �����0"� ��� � *�"� � �"

�0�d0)d �04

��������� �0>�? K

T�z�Z

��0�0 N�0>� N �0? �* � � � 0 � �0

��0>�0 � �? N�0>�

0 ? �* �

0 � �0 � � � � 0

�0>�? �* � 0 � �

0"� � � �4 ��������� ��0>�? K �0>�?� �0>� � �?�

�������� ��0�d4 �� ��� ���� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� "*"� ����" �� ��

�� 0��%�4 $� �� %��������" ��� �� 5� �"������ �� ����� �� ����" �� � �" ����� ���� �1����� ��"$���"� " ����% ������"�� "� �� �"%� *"� "�� ����/0�� �

0�d K ��1 �� *"� � � � / 0�d � ��0>�?� �0�

��� 0������4 ��������� �� ��� ���� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� " *�"� ����" �� � *"���� 4 *"� ��� �"%%�5�� ����� "* ������5�� ������"������� �� ��" ����"�� 2� ��%�% 5��"� ��� 5�%� "� �"������ �� ������5��������"�� �" �� %��������" ��� ��� !* �� ������5�� ������"�� �% ��%%4 ����������� �% %��� *"� �� *������ <�����%�4 �� ��"��� "* ������"�� *"��� *����� �% �"� ���"�� "� �� �����9� ���� �� ����" �� ��0"� ��� � *�"� � �"

�x0)d �04

��������� ��0�d>� ? K

T�����z�����Z

��0>� ?� �0 �* � � �0�d

�* � � �0�d

0�d

���Mh

0�d>� � �0�d � �?

=N

�>cV�C

0�d

O��0>� � �?� �0P�h0�d>�?�

: �� *������� � �� ����� � ��������� �,�������

� �� 7� 2� ���%�"�%/

�� �� 5� ����� "* ��� ����" �4

�� ���"���� ����� 0� >�������������4 ��� �����% ��� 5� ���"���� �� �� 5� ����� "* �� "��9"��?

$� E�%� "� �� "���� ������"�� �0� ��" ���

0 K

T�z�Z

�0 �* �0 � � 0 � �0

� 0 � �0 �* �

0 � �0 � �0 � � 0

� �* � 0 � �0�

�� %��� �% ��� �% �"%%�5�� �*��� �� $�%� �0 ����% "* ������"��� 2�� �%4 ��" ���

�� �" � 0 �* �"%%�5��4 �� %��� ��� ����% �� �1��%% "* �

0 �

�� ����% ��� 5� �������� ���"� �� �" �� *"��"��� ���������"�/

�0 K ���>0> ?����> 0 N �0 � �

0 � �??�

Page 38: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.&

2�"��� ��� ��% ������% ��� �� �� "���� $� % �� 5�%� "� �������" �� %��������"�����% �� ��� ����" �� ��� ��%� ��" �����% ��� �� ���� ��� "* �� 5� ����� ������"���� ��� ����" �

%'�'� -����� � � �� ���� ��� #� � . )�� ����� �� �������

+���� � ��" ����"� ����"� 4 �� �� "���� 5��"� �������% �� "������ ������ �� ������"���"���� *"� �� ������ ������ �" ���

� �� 0� �"��� �� *"��"��� ������ ��" ���/

: �/ !�������9���"�

� �xLd K �4 �x >�? K �D

� 0"� �� ��%� ����" 4 ��������� �� ��� ���� �1����� ������� �� %���� � �"%�*"� ��� �"%%�5�� ����� "* 5� ����� ������"��4 ����� �� ��" ����"�/0"� ��� � *�"� � �"

�x0)d 04

��������� ��x >� ? K ��1hx

x O��Mh00 >� � �?P N �Mh0

0 >� � �?

���� � K %���� � ����� � �x � x �

� ��� x >� ? 5� �� ����� ��� ��1���9�% ��x >� ?�

: $� @�������� �,������

�������� �04 �� �1����� ��"$���"� " �� ����" ��

�� �������� �� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� "4 �0>� ?4 *�"��� ��� ���� �����%�

� �0>�? K �0Ld>�?D

� 0"� ��� � *�"� � �"�0

0)d 04��������� �0>� ? K ��0>� ? N�0>� � �?�

��� 0������4 ��������� �� �1����� ��"$� �� ��� ���� �1����� ��"$� *"� ���������� ������"�� �����4 �%�� �� ��" ����"� %�� ��� �������� �� ���� ��0"� ��� � *�"� � �"

�0�d0)d 04

��������� �0>�? K ��0> 0? N�0>� N 0?�0"� � � �4 ��������� ��0>�? K �0>�?� �0>� � �?�

�������� ��0�d4 �� ��� ���� �1����� ������� �� ������"�� "� �� �"%���"� "*"� ����" �� ��

�� �������� ��0�d *"� ��� �"%%�5�� 5� ����� ����� "* ������5�� ������"��4����� �� ��" ����"�� 0"� ��� 5� ����� ������"�� �����4 �� ���������"�%�����% *"� �� 5�%� ����� �� 5�%� %��������" ��� ��� 2� ��%�% 5��"� ���5�%� "� �"������ �� ������5�� ������"�� �" �� %��������" ��� ��� !* ��������5�� ������"�� �% ��%%4 ��� �������� �% %��� *"� �� *������ <�����%�4�� ��"��� "* ������"�� *"� �� *����� �% �"� ���"�� "� �� �����9� ���� �� ����" �� ��

Page 39: Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demandebusiness.mit.edu/research/papers/158_DSlevi_Stoch_Demand.pdf · Effective Dynamic Pricing Strategies with Stochastic Demand

.(

0"� ��� � *�"� � �"�0

0)d 04 ���������

��0�d>� ? K ��1h0�d

T�z�Z

0�d

���M

h0�d0�d >� � �?

=N

�>cV

O��0>� � �?� �0P�h0�d0�d >�?�

��� ��� 0�d>� ? 5� �� ����� ��� ��1���9�% ��0>� ?

: �� *������� �� ����� � ��������� �,�������

� �� 7� 2� ���%�"�%/

�� �� 5� ����� "* ��� ����" �4

�� ��" ��� 0 ����% "* ��" ����

$� E�%� "� �� "���� ������"�� �0� ���"���� ����� 0 >�0 N 0?4 �� %��� �% ���

�% �"%%�5�� �*��� �� $�%� �0 >�0 N 0? ����% "* ������"���

2� "������ %��������" �����4 �0 4 �� �� "������ �����

0 ��� �"� *�����"�% "* ����" � ������� ������"�� �����4 �� ��% �� "������ �"����4 ����;� �� ������ ��" ����"� ��%�4 �%�"� � ���%"� �����