Upload
lydang
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
iv
Effect of structural sealants on the stability of glass beams
Eva Verhoeven
Supervisors: dr. ir.-arch. Jan Belis, prof. dr. ir. Rudy Van Impe
Abstract – This article gives an insight in the effect of structural sealants on the stability of glass beams. The study consists of a numerical analysis, with supplementary experiments for the material behaviour of the sealant.
Keywords – monolithic glass beams, lateral torsional buckling, buckling curve, structural sealant, load-bearing capacity
I. INTRODUCTION
Glass beams can be applied in primary load-bearing building structures. Usually the connection between a glass beam and the other elements of the construction, is based on a strucutural sealant. The beam has its compressed upper rim silicon glued to a glass roof plate for example. Since the considered beams have a relatively slender cross-section, they are sensitive to lateral torsional buckling. However the structural sealant laterally supports the compressed rim and prevents the lateral movement and rotation of the beam. As a result the buckling strength of the beam is improved.
II. MONOLITHIC BEAMS WITHOUT A STRUCTURAL SEALANT
Beams without a structural sealant are investigated, to have a reference point for beams with a structural sealant. The results of the numerical analysis can be used to develop buckling curves. These curves can be applied to calculate easily the buckling strength of a glass beam, taking account of imperfections. A buckling curve relates the geometry, represented by the slenderness λ, to the load bearing capacity, represented by the reduction factor χ [1].
The definition of λ is based on the tensile strength σp,t of the glass and the critical stress σcr. The value of χ is determined by the tensile strength σp,t and the bending stress σy, which is related to the applied load. χ has 2 limiting values: 1 and 1/λ². Fig. 1 shows how buckling curves for glass beams can be developed.
Fig. 1: Procedure to develop buckling curves
A parametric study gives the possibility to consider a number of beams, with different geometries. The tests are simulated by using the Finite-Element program ABAQUS. For all calculations volume elements with 8 nodes (C3D8) are used. The model consists of 49500 elements, with a non-uniform distribution: at mid span the element-density is higher.
The first loading type is a concentrated load at mid span. Since one numerical calculation results in one buckling curve, a parametric study leads to an accumulation of points. The dispersion of the curves is bigger for small values of λ. The higher the value of λ, the better the resemblance is of the curves, as shown in Fig. 2:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6λλλλ
χχ χχ
Fig. 2: Buckling curves, based on the numerical simulations of beams with a concentrated load and initial imperfection L/333
The relative position of the curves regard to each other, is determined by the ratio of the thickness to the height of the beam. The higher the thickness-height ratio, the better the values of χ approximate to 1 for small λ. The magnitude of the initial imperfection has an influence too on the values of χ. For big initial imperfections, the buckling curves have smaller values of χ for small λ [2].
Both conclusions can be explained as follows: the value of χ can only be 1 if the beam is loaded by simple bending. As a result of the initial imperfection, the cross sections are slightly rotated and the beam is loaded by ‘oblique’ bending. The lower the thickness-height ratio or the bigger the initial imperfection, the more the loadcase deviates from simple bending.
The set of buckling curves is divided into 6 subsets, according to the thickness-height ratio and the initial imperfection. For each subset, the minimum buckling curve is determined.
What precedes concerns the loadcase of a concentrated load. The second loading type is a uniform load over the full length of the glass beam. Although the number of calculations is limited, the same conclusions seems to be valid.
v
III. MONOLITHIC BEAMS WITH A STRUCTURAL SEALANT
A. Modelling of a structural sealant
Lateral torsional buckling is characterized by a lateral displacement and a rotation of the cross sections of the beam. Therefore the structural sealant mainly deforms by shear loading. As a simplification, the effect of the rotation of the beam is neglected. The prevention of the lateral movement is modelled by a spring support. In the Finite-Element model lateral springs are attached to the compressed upper rim, along the whole beam length [3].
The influence of the spring stiffness k on the load bearing capacity can be examined numerically by varying its value during the simulations. For a beam with length 3 m, length-height ratio 10, thickness 10 mm and initial imperfection L/333, a spring stiffness k smaller than 100 N/m² has hardly no effect.
B. Shear tests
To develop buckling curves for beams with a structural sealant, realistic values of the spring stiffness k are necessary. That’s why the behaviour under shear loading is investigated experimentally. The chosen material is Dow Corning 895, a common used silicone for structural sealants [4].
The silicone joint has a length of 100 mm and a thickness and width of 6 mm x 6 mm or 15 mm x 15 mm. The thickness of the joint is defined as the distance between the 2 contact surfaces. The width is the dimension of the joint in the direction of the shear loading.
2 series (6 mm x 6 mm and 15 m x 15 mm) of 5 specimens have been tested at the Textiles department of Ghent University. The tests have been carried out displacement-controlled, with a constant speed of 5 mm/min, according to ETAG 002 [5].
The load-displacement curves are shown in Fig. 3. The results of the fifth specimen with joint dimensions 15 mm x 15 mm are not used, because the specimen slipped out of the grip. The other specimens have a very similar predestructive behaviour.
0
300
600
900
1200
1500
1800
0 20 40 60 80 100
displacement [mm]
load
[N]
6 mm x 6 mm
15 mm x 15 mm
Fig. 3: Load-displacement curves for the succesfull tests
For both series, the relation between the applied load and the displacement can be approached by a straight line. This means that a lineair spring behaviour can be supposed. For a silicone joint with dimensions 6 mm x 6 mm, the lineair spring stiffness k has a value of 191430 N/m². For dimensions 15 mm x 15 mm a value of 214410 N/m² may be assumed. Since both values are higher than 100 N/m², the influence of a structural sealant will probably not be neglegible.
C. Buckling curves
Fig. 4 shows the buckling curves, based on the numerical simulations of beams with a concentrated load and an initial imperfection L/333. If the two sets of points are compared with each other, two big differences are visible. As expected, the buckling curves for beams with a structural sealant have higher values of χ. The second difference refers only to small values of λ: for beams without a structural sealant the buckling curves lie below the theoretical limit (χ < 1), in contrast with the buckling curves for beams with a structural sealant (χ > 1).
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
without structural sealantstructural sealant 6 mm x 6 mm
Fig. 4: Buckling curves, based on the numerical simulations
of beams with initial imperfection L/333
3 silicone joints, with different dimensions, are studied: 6 mm x 6 mm, 6 mm x (thickness of the beam) and 15 mm x 15 mm. The relative position of the buckling curves regard to each other, is not only influenced by the thickness-height ratio. Possibly another conclusion can be made if λ is calculated in a different way: for beams with a structural sealant, λ is based on the critical stress σcr of a beam without a structural sealant. Another option to calculate λ is using the critical stress σcr for a beam with a structural sealant. The magnitude of the initial imperfection has a similar influence as for beams without a structural sealant [2].
In practice, values higher than 3 will not occur.A structural sealant with dimensions 6 mm x 6 mm or 6 mm x (thickness of the beam) is most efficient for beams with a value of λ of about 2. For a structural sealant with dimensions 15 mm x 15 mm the effect is the biggest on beams with a value of λ of about 2,5: the value of χ is more than doubled. For values of λ smaller than 1, a silicone joint has a limited effect: these beams fail by simple bending.
For a uniform load, the number of calcuations is smaller, but the same phenomenons can be observed.
ACKNOWLEDGEMENTS
The author would like to acknowledge the suggestions of Jan Belis during the research. Johanna Louwagie also deserves gratitude for helping with the shear tests.
REFERENCES
[1] A. Luible (2004). Stabilität von Tragelementen aus Glas. Dissertation, EPF Lausanne, thèse 3014.
[2] E. Verhoeven (2008). Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen liggers. Master thesis, Laboratory for Research on Structural Models, Ghent University, 2008.
[3] J. Belis, R. Van Impe, G. Lagae & W. Vanlaere (2003). Enhancement of the buckling strength of glass beams by means of lateral restraints. Structural engineering and mechanics, pp. 495-511.
[4] Dow Corning (2001). Product Information Dow Corning 895, Structural Glazing Sealant, one-part silicone rubber.
[5] EOTA (1999). ETAG 002, Guideline for European technical approval for structural sealant glazing systems (SSGS) – part 1: Supported and unsupported systems.
Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen
liggers
Eva Verhoeven
Promotoren: dr. ir.-arch. Jan Belis, prof. dr. ir. Rudy Van Impe Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van Burgerlijk bouwkundig ingenieur Vakgroep Bouwkundige constructies Voorzitter: prof. dr. ir. Luc Taerwe Faculteit Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2007-2008
i
Voorwoord
Deze scriptie is de afsluiting van mijn opleiding tot burgerlijk ingenieur bouwkunde. Dit werk
zou niet tot stand gekomen zijn zonder de hulp en steun van vele personen. Daarom zou ik
graag van de gelegenheid willen gebruik maken om hen te bedanken.
Graag wil ik mijn promotoren prof. dr. ir. Rudy Van Impe en dr. ir.-arch. Jan Belis bedanken
voor de kans die ze mij gaven om dit onderwerp te onderzoeken. Verder wil ik Jan ook
bedanken als mijn begeleider. Met zijn enthousiasme, zijn vele aanwijzingen en het nalezen
van mijn scriptie, heeft hij me enorm geholpen.
Verder moet ik ook dr. ir. Wesley Vanlaere danken, die altijd bereid was om uitleg te geven
over Abaqus en met veel geduld mijn problemen oploste. Ook ir.-arch. Dieter Callewaert, ir.
Didier Delincé, prof. dr. ir. Guy Lagae en prof. dr. ir. Benedict Verhegghe verdienen een
vermelding voor hun bijdrage. Vervolgens bedank ik Dennis en Erik voor hun hulp in het labo
en ing. Johanna Louwagie van de vakgroep Textielkunde, voor de technische ondersteuning
tijdens de proeven. Daarnaast verdienen ook mijn medescriptiestudenten een dankwoord voor
de leuke sfeer.
In het bijzonder wil ik mijn ouders bedanken omdat ze mij de kans gaven deze opleiding te
volgen en voor de aangename studie-omgeving die ze creëerden. Tenslotte wens ik vooral Raf
te bedanken voor de aanmoedigingen en het geduld.
De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van
de scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen
van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk
te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie.
Eva Verhoeven 2 juni 2008
ii
Overzicht
Effect van constructieve kitvoegen op de stabiliteit van glazen liggers
door Eva Verhoeven
Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van
Burgerlijk bouwkundig ingenieur
Promotor: dr. ir.-arch. Jan Belis
Promotor: prof. dr. ir. Rudy Van Impe
Universiteit Gent
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Vakgroep Bouwkundige constructies
Voorzitter: prof. dr. ir. Luc Taerwe
Academiejaar 2007-2008
Samenvatting
Voor de verbinding tussen glazen liggers en vloerplaten, of tussen glazen kolommen en
gevelelementen wordt veelal gebruik gemaakt van een silicone kitvoeg (structural sealant).
Deze heeft een belangrijke invloed op het kipgedrag van de glazen ligger of kolom: bij het
kippen worden de zijdelingse verplaatsingen immers belemmerd door de kitvoeg, waardoor
de kritieke belasting verhoogd wordt. In deze scriptie wordt het gunstige effect van een
constructieve kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers en kolommen onderzocht.
Hoofdstuk 1 is een inleidend hoofdstuk met een situering van deze scriptie binnen het
onderzoek van het Laboratorium voor Modelonderzoek van de vakgroep Bouwkundige
Constructies. Ook worden de doelstellingen van dit werk geformuleerd.
Hoofdstuk 2 beschrijft de literatuurstudie die uitgevoerd werd in het kader van dit werk. Eerst
worden enkele begrippen uit de vlakglastechnologie verduidelijkt om daarna dieper in te gaan
op het kipfenomeen in de staal- en glasbouw. Hierbij wordt het begrip kipkromme toegelicht.
iii
De laatste paragraaf van dit hoofdstuk handelt over constructieve kitvoegen, met een
bespreking van de materiaalspecificaties en vaak toegepaste constructieprincipes.
Hoofdstuk 3 gaat over de numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg. Er worden twee
belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht en een verdeelde belasting. Alle numerieke
simulaties worden gebaseerd op een niet-uniform elementennet, bestaande uit 49500 C3D8
elementen. Voor liggers met puntkracht wordt de resulterende puntenwolk in deelwolken
gesplitst, op basis van de dikte-hoogte verhouding en de initiële vormfout van de liggers.
Voor elke deelwolk wordt de ondergrens bepaald. Voor liggers met een verdeelde belasting is
het aantal simulaties te beperkt om ondergrenzen vast te leggen.
Hoofdstuk 4 toont enkele mogelijkheden om een kitvoeg te modelleren. Omwille van de
eenvoud wordt in dit werk enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd. Dit gebeurt
door middel van een continue veerondersteuning, gericht volgens de dikterichting van de
ligger. Hoe groter de veerstijfheid, hoe groter het effect op de bezwijkbelasting, vooral bij
grote slankheden.
Hoofdstuk 5 bespreekt de afschuifproeven van siliconevoegen met afmetingen 6 mm x 6 mm
en 15 mm x 15 mm. De resultaten worden aangewend om twee niet-lineaire veermodellen op
te stellen die een quasi lineair verloop hebben.
Hoofdstuk 6 maakt gebruik van de resultaten van Hoofdstuk 4 en Hoofdstuk 5 om een
numerieke analyse uit te voeren van liggers met kitvoeg. Voor liggers met een puntkracht
worden drie soorten voegen beschouwd: 6 mm x 6 mm, 6 mm x t en 15 mm x 15 mm. Deze
hebben een niet te verwaarlozen effect: bij sommige liggers wordt de bezwijkbelasting meer
dan verdubbeld. Als benadering mag in het numeriek model een lineair veergedrag
aangenomen worden. Voor liggers met een verdeelde belasting werden te weinig simulaties
uitgevoerd om algemeen geldende conclusies te trekken.
Hoofdstuk 7 vat de belangrijkste resultaten van dit werk samen.
Trefwoorden: monolithisch glas, kipgedrag, kipkromme, kitvoeg, draagvermogen
vi
Tabel van afkortingen en symbolen
E elasticiteitsmodulus van glas
C1 factor ter bepaling van de randvoorwaarden bij een elastische kipberekening
C2 factor ter bepaling van de randvoorwaarden bij een elastische kipberekening
E elasticiteitsmodulus van glas
fy vloeigrens van staal
F puntkracht in het midden van de overspanning
Fafsch opgemeten kracht bij een afschuifproef
Fcr kritieke waarde van de puntkracht F
G glijdingsmodulus van glas
h hoogte van de ligger
It wringconstante
Iw welfconstante
Ix traagheidsmoment rond as x
Iy traagheidsmoment rond as y
k factor met betrekking tot de eindverdraaiing in het vlak van de ligger
kveer veerstijfheid van de continue veerondersteuning
kw factor met betrekking tot de welving aan de liggeruiteinden
Kveer veerstijfheid van de veren ter vervanging van de continue veerondersteuning
L lengte van de ligger
Mcr elastisch kipmoment
MX buigend moment rond as X
My bezwijkmoment
p uniform verdeelde belasting
P puntkrachten ter vervanging van de uniform verdeelde belasting p
t dikte van de ligger
u verplaatsing volgens de x-as
uafsch opgemeten verplaatsing bij een afschuifproef
vii
u0 initiële vormfout volgens de x-as
v verplaatsing volgens de y-as
Wy elastisch weerstandsmoment
zg positie boven of onder het dwarskrachtmiddelpunt van een liggerdoorsnede
α factor met betrekking tot de imperfectie van een stalen profiel
χ reductiefactor
γ veiligheidsfactor
φ factor in de formule van EC 3
ϕ rotatie rond de z-as
λ relatieve slankheid
σbreuk treksterkte van glas
σcr ideale kipspanning
σmax maximale randspanning
σy maximale buigspanning
viii
Inhoudsopgave
1. Inleiding .................................................................................................................................1
1.1 Situering..........................................................................................................................1
1.2 Doelstellingen .................................................................................................................1
2. Literatuurstudie ....................................................................................................................3
2.1 Vlakglastechnologie........................................................................................................3
2.2 Beschrijving van het kipgedrag ......................................................................................4
2.2.1 Kip in de staalbouw ............................................................................................4
2.2.2 Kip in de glasbouw .............................................................................................8
2.2.3 Invloed van de geometrische parameters..........................................................12
2.2.4 Invloed van het glastype ...................................................................................13
2.2.5 Invloed van een initiële vormfout.....................................................................13
2.3 Belemmering van het kipgedrag door een kitvoeg .......................................................15
2.3.1 Materiaalspecificaties .......................................................................................15
2.3.2 Constructieprincipes .........................................................................................17
2.3.3 Invloed van een kitvoeg op de kipweerstand....................................................20
3. Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg ................................................................22
3.1 Ideale liggers versus liggers met imperfecties..............................................................22
3.2 Optimalisatie van het elementennet..............................................................................24
3.2.1 Uniforme verdeling van de elementen..............................................................26
3.2.2 Niet-uniforme verdeling van de elementen ......................................................28
3.2.3 Onderlinge vergelijking van de resultaten ........................................................30
3.2.4 Vergelijking met de theoretische spanningen...................................................32
3.2.5 Invloed van het elementennet op de eigenwaardenberekening ........................33
3.2.6 Keuze van het elementennet .............................................................................35
ix
3.3 Opstellen van de referentie-kipkrommen .....................................................................36
3.3.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden .............................................36
3.3.1.1 Parameters..........................................................................................36
3.3.1.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties.............................................37
3.3.1.3 Opstellen van de kipkrommen ...........................................................38
3.3.1.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout................................45
3.3.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting ........................................49
3.3.2.1 Parameters..........................................................................................49
3.3.2.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties.............................................49
3.3.2.3 Opstellen van de kipkrommen ...........................................................50
3.3.2.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout................................51
4. Theoretische invloed van een kitvoeg................................................................................53
4.1 Numerieke modellering van een kitvoeg......................................................................53
4.2 Invloed van een kitvoeg op de kiplast ..........................................................................56
4.2.1 Ideale liggers.....................................................................................................57
4.2.2 Liggers met imperfecties ..................................................................................59
5. Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg ....................................62
5.1 Proefstukken .................................................................................................................62
5.1.1 Materialen .........................................................................................................62
5.1.2 Maken van de proefstukken..............................................................................64
5.2 Proefopstelling en -procedure.......................................................................................66
5.3 Proefresultaten ..............................................................................................................68
5.3.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm .......................................................................68
5.3.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ...................................................................70
5.4 Analyse van de resultaten .............................................................................................71
5.4.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm .......................................................................71
5.4.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ...................................................................73
5.4.3 Vergelijking ......................................................................................................74
6. Numerieke analyse van liggers met kitvoeg .....................................................................76
6.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden.........................................................76
6.1.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm .......................................................................76
x
6.1.2 Lineaire benadering van het veergedrag...........................................................83
6.1.3 Siliconevoeg van 6 mm x t ...............................................................................84
6.1.4 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ...................................................................87
6.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting ....................................................90
6.2.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm .......................................................................90
6.2.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ...................................................................92
7. Samenvatting en besluiten..................................................................................................93
7.1 Inleiding ........................................................................................................................93
7.2 Liggers zonder kitvoeg .................................................................................................93
7.3 Liggers met kitvoeg ......................................................................................................95
7.4 Suggesties voor verder onderzoek ................................................................................96
A. Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg ..............................................98
B. Fotoreeks van een afschuifproef .....................................................................................101
C. Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg .................................................103
Bibliografie ............................................................................................................................107
Lijst van figuren....................................................................................................................109
Lijst van tabellen...................................................................................................................115
1
Hoofdstuk 1
Inleiding
1.1 Situering
Glas is een transparant materiaal waardoor het een grote aantrekkingskracht uitoefent op
ontwerpers van bouwkundige constructies. Het materiaal lijkt in eerste instantie ongeschikt
om toe te passen als constructief element. We denken immers meteen aan het brosse gedrag
van glas. Door gebruik te maken van gelamineerd glas, is het echter wel mogelijk om
structurele elementen uit glas te gebruiken.
Glazen liggers of vinnen die worden toegepast als dragend element, zijn meestal via hun
bovenrand verbonden met de rest van de constructie. Een veelgebruikte verbindingsmethode
is gebaseerd op een silicone kitvoeg (structural sealant). Wanneer de ligger uitkipt, worden
de zijdelingse verplaatsingen belemmerd door de kitvoeg, waardoor de kritieke belasting zal
verhogen. In dit werk wordt de invloed van deze voegen op het kipgedrag onderzocht.
Deze scriptie kadert in het onderzoek naar het gedrag van gelamineerd glas, dat uitgevoerd
wordt aan het Laboratorium voor Modelonderzoek van de vakgroep Bouwkundige
Constructies.
1.2 Doelstellingen
De hoofdbedoeling van deze scriptie is om het gunstig effect van een constructieve kitvoeg op
het kipgedrag te bestuderen. Hierbij is het belangrijk om rekening te houden met de initiële
vormfout van de ligger. Het onderzoek verloopt op numerieke wijze, aan de hand van het
eindige-elementen pakket Abaqus. Aanvullend worden experimenten uitgevoerd om het
materiaalgedrag van de kitvoeg te onderzoeken. De studie wordt beperkt tot monolithische
glazen liggers die belast worden door een puntkracht in het midden of door een uniform
Hoofdstuk 1: Inleiding
2
verdeelde belasting. De doelstelling van dit werk is een antwoord te vinden op de volgende
vragen:
� Hoe kunnen kipkrommen opgesteld worden voor glazen liggers zonder kitvoeg? Wat
is de algemene vorm van deze krommen? Door welke factoren worden de krommmen
beïnvloed?
� Hoe kan een constructieve kitvoeg gemodelleerd worden? Wat is, theoretisch gezien,
de invloed van een kitvoeg op de kipkrommen?
� Wat is het materiaalgedrag van de kitvoeg bij afschuiving? Spelen de afmetingen van
de kitvoeg hierbij een rol? Hoe kan dit materiaalgedrag geïmplementeerd worden in
het numeriek model?
� Wat is het effect van een kitvoeg op de kipkrommen? Bij welke liggers is de invloed
het grootst? Spelen de afmetingen van de kitvoeg hierbij een rol?
3
Hoofdstuk 2
Literatuurstudie
2.1 Vlakglastechnologie
Het chemisch meest eenvoudige glas is kwartsglas, dat enkel uit siliciumoxide bestaat. Het is
opgebouwd uit een driedimensionaal netwerk van tetraëders bestaande uit een centraal
siliciumatoom met daarrond vier zuurstofatomen. Kwartsglas heeft echter een hoge
smelttemperatuur waardoor het moeilijk verwerkbaar is. In de meeste toepassingen wordt
daarom natronkalkglas gebruikt, dat ontstaat door een aantal componenten, zoals soda, kalk
en metaaloxiden, toe te voegen aan het basismateriaal.
Tabel 2.1: Relevante eigenschappen van natronkalkglas (Belis, 2005)
Eigenschap Waarde Eenheid
Massadichtheid 2500 kg/m³
Elasticiteitsmodulus 70000 N/mm²
Dwarscontractiecoëfficiënt 0,23 -
Meestal maakt men gebruik van vlakglas dat geproduceerd wordt aan de hand van het
floatprocédé. Hierbij worden de basisproducten gesmolten en vervolgens onder hoge
temperatuur in een tinbad gebracht. Door het verschil in oppervlaktespanning tussen het
dikvloeibare glas en het tin, heeft de glassmelt die komt bovendrijven een zeer glad
oppervlak. Het glas wordt uitgegloeid door de temperatuur gecontroleerd te laten dalen zodat
er geen residuele spanningen ontstaan.
Men kan echter ook bewust eigenspanningen aanbrengen, waardoor het glas wordt
voorgespannen en schijnbaar sterker wordt. Het glas wordt daartoe opnieuw opgewarmd en
vervolgens plots afgekoeld met koude lucht. Zo komt de buitenkant van de glasplaat terug in
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
4
vaste toestand, terwijl de binnenkant nog taaivloeibaar is. Na een gelijkmatige
temperatuursdaling resulteert dit in een drukspanning aan de buitenzijde en een trekspanning
aan de binnenzijde van de glasplaat. Hierdoor zijn de toegelaten buigtrekspanningen hoger
waardoor het element een grotere belasting kan dragen. Afhankelijk van de
afkoelingssnelheid en bijgevolg, de graad van voorspanning spreekt men van thermisch
gehard of thermisch versterkt glas.
Tabel 2.2: Buigtreksterkte van glas volgens de normen (CEN prEN 13474-1, 1999;
CEN EN 1863-1, 2000; CEN EN 12150-1, 2000)
Glastype Buigtreksterkte [MPa]
Uitgegloeid glas 45
Thermisch versterkt glas 70
Thermisch gehard glas 120
Zowel uitgegloeid als thermisch voorgespannen glas heeft een lineair elastisch
materiaalgedrag bij temperaturen die onder het vervormingspunt liggen (520°C bij
natronkalkglas, dus ver boven kamertemperatuur). Eens de breuksterkte bereikt wordt, stopt
het lineaire verloop en krijgt men een brosse breuk.
Indien glas wordt toegepast als structureel element, is het om veiligheidsredenen doorgaans
beter om gelamineerd glas te gebruiken. De glasplaten worden daarbij aan elkaar gehecht
door een adhesieve tussenlaag waardoor de glasplaten kunnen samenwerken. De tussenlaag
zorgt er eveneens voor dat eventuele scherven niet loskomen en dat brosse breuken tussen de
verschillende lagen kunnen gestopt worden. De meest gebruikte tussenlaag is
polyvinylbutyral (PVB). “SentryGlas Plus” (SGP) is een recenter, alternatief
tussenlaagmateriaal dat veel sterker en stijver is dan PVB, maar minder frequent wordt
toegepast. Deze materialen hebben een visco-elastisch gedrag: temperatuurs- en tijdseffecten
spelen een belangrijke rol in hun mechanisch gedrag.
2.2 Beschrijving van het kipgedrag
2.2.1 Kip in de staalbouw
Beschouwen we een stalen ligger met slanke rechthoekige dwarsdoorsnede, aan beide
uiteinden opgelegd in gaffels, die onderworpen wordt aan buiging om de sterke as. Indien de
belasting een kritieke waarde bereikt, zal de ligger instabiel worden en een doorbuiging
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
5
vertonen in het vlak én uit het vlak. Tevens zullen de dwarsdoorsneden een hoekverdraaiing
ondergaan, behalve ter hoogte van de gaffels die geen rotatie toelaten. Dit
instabiliteitsverschijnsel heet kip. Hierbij treedt een combinatie op van buiging in het vlak,
buiging uit het vlak en wringing.
Figuur 2.1: Beeld van een uitgekipte ligger, met aanduiding van de verplaatsingen in de X-richting
Voor de theoretische afleiding beschouwen we een ideale ligger met dubbelsymmetrische
doorsnede, die aan beide uiteinden belast wordt met twee gelijke momenten MX met
tegengesteld teken. Het theoretisch elastisch kipmoment kan met onderstaande
evenwichtsvergelijkingen bepaald worden (Timoshenko en Gere, 1961):
2
2
xX dz
)z(vdEIM −= (2.1)
2
2
yX dz
)z(udEIM)z( =ϕ− (2.2)
3
3
wtX dz
)z(dEI
dz
)z(dGI
dz
)z(duM
ϕ−ϕ= (2.3)
Met de X-, Y- en Z-as en u(z), v(z) en ϕ(z) volgens Figuur 2.1 en verder:
Tabel 2.3: Verklaring van de gebruikte symbolen
Symbool Betekenis
EIx Buigstijfheid volgens as x
EIy Buigstijfheid volgens as y
EIw Welfstijfheid
GIt Torsiestijfheid
Voor een smalle rechthoekige doorsnede kan de welfstijfheid verwaarloosd worden en wordt
volgende differentiaalvergelijking bekomen:
F
vu
Z
X Y ϕ
u
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
6
0dz
)z(dGI
EI
M)z(
2
2
ty
2X =ϕ+ϕ (2.4)
De triviale oplossing stemt overeen met de grondtoestand. De ligger blijft dan verticaal en
wordt in het vlak aan buiging onderworpen. Niet-triviale evenwichtsvormen kunnen optreden
als onderstaande voorwaarde voldaan is:
π=⋅
yt
X
EIGI
LM (2.5)
De laagste onder deze eigenwaarden bepaalt het elastisch kipmoment Mcr:
ytcr EIGIL
Mπ= (2.6)
In EC3 staat een meer algemene formule vermeld om het elastisch kipmoment Mcr te bepalen
van een stalen ligger met uniforme dubbelsymmetrische doorsnede (prEN 1993-1-1, 2002):
−+
π+
⋅
π= g2
2g2
Y2
t2
Y
w
2
w2Y
2
1cr zC)zC(EI
GI)kL(
I
I
k
k
)kL(
EICM (2.7)
zg houdt rekening met de positie van de belasting ten opzichte van het zwaartepunt van de
dwarsdoorsnede.
Indien de ligger niet is opgelegd in gaffels, moeten andere randvoorwaarden gebruikt worden.
Een inklemming aan één of beide uiteinden zal de kipcapaciteit doen toenemen. Het effect
van de verschillende soorten randvoorwaarden kan in rekening gebracht worden door met een
effectieve lengte te werken. Dit wordt uitgedrukt door de factoren k en kw. De factor k heeft
betrekking op de eindverdraaiing in het vlak van de ligger terwijl de factor kw rekening houdt
met de welving aan het uiteinde. Zonder speciale voorzieningen om welving te verhinderen, is
kw gelijk aan één. k varieert van 0,5 voor een volledige inklemming tot 1 voor een volledig
gebrek aan inklemming.
De factoren C1 en C2 zijn afhankelijk van de belasting en de randvoorwaarden. Voor een
ligger met twee vorkopleggingen die belast wordt door een puntkracht in het midden, is C1
gelijk aan 1,35 en C2 gelijk aan 0,59. Bij een uniform verdeelde belasting bedraagt C1 1,12 en
C2 0,45.
Bovenstaande afleiding houdt geen rekening met plasticiteit, eigenspanningen of vormfouten.
Uit theoretische en experimentele studies is gebleken dat de verhouding van het
bezwijkmoment van een kippende elastisch-plastische ligger met een vormfout en met
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
7
eigenspanningen tot het vloeimoment, verband houdt met de slankheid van de ligger
(Vandepitte, 1980). Volgens EC 3 moet gewerkt worden met een reductiefactor χ voor de
rekenwaarde van de kipcapaciteit My,d (prEN 1993-1-1, 2002).
γχ= y
yd,y
fWM (2.8)
Wy is het plastisch of elastisch weerstandsmoment, afhankelijk van de klasse waartoe de
doorsnede behoort. De reductiefactor χ is functie van de relatieve slankheid λ en kan als volgt
bepaald worden:
11
22≤
λ−φ+φ=χ (2.9)
( )[ ]22,015,0 λ+−λ⋅α+⋅=φ (2.10)
cr
yy
M
fW=λ (2.11)
In bovenstaande formules is α een factor die rekening houdt met de imperfecties van de
profielen. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen gelaste en gewalste profielen. Mcr is het
elastisch kipmoment en kan bepaald worden met formule (2.7) die eerder al vermeld werd.
De waarde van de reductiefactor χ kan ook rechtstreeks afgelezen worden op één van de
kipkrommen. Deze curven geven het verband weer tussen de reductiefactor χ en de relatieve
slankheid λ (Figuur 2.2). Afhankelijk van het type profiel moet de kipkromme b, c of d
gebruikt worden.
b/c
d
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
2
1
λ
Figuur 2.2: Kipkrommen gedefinieerd volgens EC3
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
8
In Figuur 2.2 zijn tevens de theoretische grenzen voor χ aangegeven. De kipcapaciteit My,d
kan noch het vloeimoment yy fW ⋅ , noch het theoretisch kipmoment Mcr overtreffen. De
grenswaarde één houdt dus verband met de vloeigrens fy, terwijl de grenswaarde 2
1
λ rekening
houdt met de stabiliteit.
2.2.2 Kip in de glasbouw
Kip blijkt een belangrijk bezwijkfenomeen voor glazen liggers omdat ze meestal een hoge en
smalle doorsnede hebben. Dit instabiliteitsverschijnsel is al uitvoerig onderzocht op
theoretische, experimentele en numerieke wijze (Belis, 2005; Luible, 2004; Kasper, 2005). Er
wordt onderscheid gemaakt tussen ideale liggers en liggers met vormfouten. Bij de eerste-
orde benadering (ideale liggers) kunnen de horizontale verplaatsingen van de bovenrand
oneindig toenemen bij constante belasting. Indien men rekening houdt met een initiële
vormfout, krijgt men ook horizontale verplaatsingen bij een belasting kleiner dan de kritieke
belasting.
M
Mcr
volmaakte ligger
ligger met vormfouten
bifurcatiepunt
grondvorm
postkritiek evenwicht
u Figuur 2.3: Schematische voorstelling van de zijdelingse verplaatsing u van een
uitkippende ligger, belast met een constant moment (Belis, 2005)
Om het kipverschijnsel van een monolithische ideale glazen ligger te beschrijven wordt
dezelfde differentiaalvergelijking (2.4) gebruikt als in de staalbouw. Het theoretisch elastisch
kipmoment kan berekend worden op basis van EC3 met formule (2.7).
Bij een tweede-orde benadering moet men een basisvorm aannemen voor de initiële
vormfout. De vormfout die samenvalt met de eerste eigenvorm is de gevaarlijkste omdat de
vervormingen dan sneller toenemen. Bijgevolg neemt men als basisvorm voor een eenvoudig
opgelegde ligger een halve sinusboog met amplitude u0 in het midden van de overspanning.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
9
Belis verwijst naar Stüssi1, Godoy2 en Liess3 en voerde ook zelf experimentele
vlakheidsmetingen uit, waaruit bleek dat deze aanname aanvaardbaar is (Belis, 2005).
Er zijn verschillende mogelijkheden om de kipweerstand te bepalen van een ligger met
initiële vormfout. Aan de hand van een tweede-orde berekening kan het kipprobleem herleid
worden tot een spanningsprobleem. Bij belasting door momenten aan de liggeruiteinden
wordt de maximale randspanning in het midden van de overspanning gegeven door volgende
uitdrukking (Stüssi, 1971):
⋅
−
⋅⋅
⋅+
⋅=σ 02
cr
XYt
2X
X
Xmax u
M
M1
1
IGI
Mt
I
Mh
2
1 (2.12)
Volgens Luible kan de niet-lineaire spanningsverdeling in de dwarsdoorsneden echter niet
correct weergegeven worden met bovenstaande tweede-orde theorie. Ook het postkritieke
draagvermogen - dit is het draagvermogen dat een uitgekipte ligger nog heeft - wordt niet
goed in rekening gebracht (Luible, 2004). Belis heeft daarentegen experimenteel bewezen dat
bovenstaande werkwijze in een aantal gevallen wel degelijk aanvaardbaar is (Belis, 2005).
Een algemeen aanvaarde manier om het kipprobleem van een imperfecte ligger te bestuderen,
is het opstellen van een numeriek model. Een eindige-elementenberekening levert de juiste
kipweerstand, maar is vrij omslachtig en daarom praktisch minder toepasbaar. Op basis van
dergelijke berekeningen is het echter wel mogelijk om speciale kipkrommen te ontwikkelen
voor glas (Luible, 2004). Deze zijn geïnspireerd op en vertonen daarom een grote analogie
met de kipkrommen voor stalen liggers. De kipkrommen geven het verband weer tussen de
geometrie van een glazen ligger en de kipweerstand. Deze methode heeft het voordeel dat de
niet-lineaire spanningsverdeling, de imperfecties, het postkritieke draagvermogen alsook de
verschillende glastypes in rekening kunnen gebracht worden, op voorwaarde dat de
kipkrommen opgesteld worden op basis van een geschikt model (Hoofdstuk 3, 4 en 6).
1 Fritz Stüssi (1971). Grundlagen des Stahlbaues. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, Zweite
neubearbeite Auflage, p. 400. 2 Luis A. Godoy (2000). Theory of elastic stability: Analysis and sensitivity. Philadelphia, Levittown, London:
Taylor & Francis, p. 213. 3 Johannes Liess (2001). Bemessung druckbelasteter Bauteile aus Glas. Kassel: Books on Demand GmbH,
Universität Kassel, FB Architektur, FG Tragwerksplannung, Kasseler Dissertation, p. 57-69.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
10
Net als in de staalbouw wordt de geometrie van de glazen ligger uitgedrukt door een
slankheid λ [-] die als volgt gedefinieerd wordt:
cr
breuk
σσ
=λ (2.13)
Tabel 2.4: Verklaring van de gebruikte symbolen
Symbool Betekenis
λ Slankheid
σbreuk Treksterkte
σcr Ideale kipspanning
De slankheid λ kan bij glazen liggers niet bepaald worden op basis van een vloeigrens zoals
bij stalen liggers. Daarom moet men beroep doen op de treksterkte σbreuk.
De theoretische kiplast - dit is de kiplast van een ideale ligger - kan omgerekend worden naar
een ideale kipspanning σcr. Dit is de maximale trekspanning in de ligger wanneer hij om zijn
sterke as op buiging belast wordt door de theoretische kiplast.
De reductiefactor χ [-] wordt omschreven aan de hand van een maximale buigspanning σy.
Deze spanning is een maat voor het bezwijkmoment My, zijnde het buigend moment waarbij
de maximale toelaatbare spanning overschreden wordt en de ligger bezwijkt. De buigspanning
σy wordt gedefinieerd als de maximale spanning in de ligger wanneer hij door het
bezwijkmoment My onderworpen wordt aan buiging in zijn vlak. De buigspanning σy heeft
een gelijkaardige definitie als de ideale kipspanning σcr: beide worden bekomen door de
ligger op buiging te belasten om zijn sterke as. Voor σy wordt de ligger echter belast door het
bezwijkmoment (tweede-orde probleem), terwijl dit voor σcr de theoretische kiplast is
(bifurcatieprobleem).
breuk
y
σσ
=χ (2.14)
y
yy W
M=σ (2.15)
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
11
Tabel 2.5: Verklaring van de gebruikte symbolen
Symbool Betekenis
χ Reductiefactor
σy Maximale buigspanning
My Bezwijkmoment om de sterke as
Wy Elastisch weerstandsmoment om de sterke as
Het opstellen van de kipkrommen kan op volgende manier gebeuren. Door een groot aantal
numerieke simulaties uit te voeren voor verschillende liggers, dus voor verschillende
slankheden, kan telkens de kipweerstand en dus de reductiefactor bepaald worden. De vraag
die zich stelt is wanneer de kipweerstand van een ligger bereikt wordt of met andere woorden,
wanneer de ligger bezwijkt. Aangezien dit niet eenvoudig te bepalen is, wordt volgende
aanname gedaan (Luible, 2004): de kipweerstand wordt bereikt wanneer ofwel aan de
onderrand ofwel aan de bovenrand de spanning gelijk is aan de treksterkte.
De praktische werkwijze om de kipkrommen op te stellen wordt verduidelijkt aan de hand van
Figuur 2.4:
Figuur 2.4: Schematische werkwijze om kipkrommen op te stellen voor glazen liggers (Luible, 2004)
1. Men voert een numerieke simulatie uit van het kipfenomeen. Nadien kan het verloop
van de maximale trekspanningen aan de onder- en bovenrand weergegeven worden.
Ook de belasting kan opgevraagd worden, die kan omgerekend worden naar een
maximale buigspanning σy.
2. Voor een bepaalde treksterkte σbreuk, in Figuur 2.4 aangeduid als σp,t, kan onderzocht
worden of de spanning aan de onder- of bovenrand bepalend is.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
12
3. Vervolgens bepaalt men de bijhorende maximale buigspanning σy.
4. Op basis van formule (2.13) en (2.14) worden de slankheid λ en de reductiefactor χ
berekend.
5. Door bovenstaande stappen te herhalen, wordt een wolk van punten bekomen.
De numerieke simulaties resulteren in een puntenwolk waaruit één of meerdere kipkrommen
moeten afgeleid worden. Het is een veilige benadering om een kipkromme te definiëren op
basis van de ondergrens van de puntenwolk. Eventueel kan men ook gebruik maken van
betrouwbaarheidsintervallen vb. het 95% betrouwbaarheidsinterval.
De rekenwaarde van het kipmoment kan eenvoudig bepaald worden aan de hand van een
kipkromme:
γσ
⋅⋅χ=σ⋅⋅χ= breukyd,breukyd,y WWM (2.16)
Tabel 2.6: Verklaring van de gebruikte symbolen
Symbool Betekenis
My,d Rekenwaarde van het kipmoment
γ Veiligheidsfactor op de breuksterkte
Figuur 2.4 toont ook de theoretische grenswaarden voor de reductiefactor χ. Voor kleine
waarden van de slankheid λ kan het kipprobleem beschouwd worden als een zuiver
buigingsprobleem en nadert de reductiefactor χ naar de eenheid. Voor grote slankheden
evolueert het kipprobleem tot een zuiver bifurcatieprobleem en nadert de reductiefactor χD
naar de grenswaarde 2
1
λ.
2.2.3 Invloed van de geometrische parameters
Men kan de invloed bestuderen van de geometrische parameters op de kipweerstand van een
monolithische ligger (Belis, 2005; Luible, 2004). Indien de hoogte toeneemt en de dikte en
overspanning van de ligger constant blijven, dan stijgt de kritieke belasting. De buig- en
wringstijfheid nemen immers toe met toenemende liggerhoogte. Bij gelijkblijvende hoogte en
dikte, neemt de kiplast af als de overspanningslengte toeneemt. De lengte heeft een grotere
invloed op de kritieke belasting dan de hoogte. Meestal zal de lengte echter gelijk moeten zijn
aan een opgegeven waarde, terwijl de hoogte en dikte van de ligger nog niet zullen vastliggen.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
13
Tenslotte stijgt de kritieke belasting als de dikte van de glasplaat toeneemt. Deze parameter
heeft een veel groter effect op de kritieke belasting dan de hoogte en de lengte.
2.2.4 Invloed van het glastype
Bij de analyse van de experimentele resultaten stelde Belis vast dat de horizontale
verplaatsingen bij thermisch behandeld glas veel groter zijn (Belis, 2005). De verklaring
hiervoor is de grotere treksterkte en daardoor ook de grotere vervormingscapaciteit van dit
glastype. De zijdelingse verplaatsingen bij liggers uit uitgegloeid glas zijn meestal klein
doordat ze breken vooraleer ze kunnen kippen. Deze vaststelling strookt met Figuur 2.4: voor
grote treksterktes, dus grote slankheden kan een zuiver bifurcatieprobleem beschouwd
worden, terwijl het probleem voor kleine treksterktes, dus kleine slankheden nadert tot een
buigingsprobleem. Dit betekent echter niet dat alle liggers uit uitgegloeid glas ongevoelig zijn
voor kip: de geometrie van de doorsnede speelt ook een belangrijke rol. Verder bleek uit de
experimenten dat de waarde van de kiplast nauwelijks beïnvloed wordt door het glastype.
Uit numerieke simulaties blijkt dat een ideale monolithische ligger uit uitgegloeid glas steeds
zal bezwijken door buiging terwijl een ligger uit gehard glas zal bezwijken door kip. Voor een
imperfecte of gelamineerde ligger is dit niet meer het geval.
2.2.5 Invloed van een initiële vormfout
De basisvorm van een initiële vormfout kan benaderd worden door een halve sinusboog, wat
het meest nadelig is met betrekking tot het kipgedrag. Onderstaande tabel geeft een overzicht
van de maximale vormfoutamplitudes uit de literatuur en hun toepassingsgebied.
Tabel 2.7: Overzicht van de maximale relatieve vormfouten uit de literatuur
(CEN EN 12150-1, 2000; CEN EN 572-2, 2004; Belis, 2005)
Bron Toepassingsgebied Maximale vormfout
CEN EN 12150-1, 20004
Horizontaal gehard, monolithisch volgens CEN EN 572-2, 2004
L/333
Horizontaal gehard volgens overige normen L/250
Verticaal gehard, monolithisch L/200
4 De opgegeven waarden zijn, met uitzondering van de waarden voor verticale thermische processen, eveneens
geldig voor thermisch versterkt glas volgens CEN EN 1863-1 (2000), Glass in building – heat strengthened soda
lime silicate glass – part 1: Definition and description, CEN, English version, p. 12.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
14
Bron Toepassingsgebied Maximale vormfout
Liess5 Uitgegloeid en gehard, monolithisch L/500
Luible Uitgegloeid en gehard, monolithisch en gelamineerd L/323
Belis Uitgegloeid, gelamineerd L/435
Gehard, gelamineerd L/412
Een initiële vormfout heeft geen invloed op de waarde van de kritieke belasting, maar wel op
de vervormingen en de spanningen. De curve van de belasting in functie van de zijdelingse
verplaatsingen, wijkt af van de ideale grondvorm (Figuur 2.3). Hoe groter de vormfout is, hoe
groter de zijdelingse verplaatsingen zijn en hoe meer de curve afwijkt.
Een toename van de initiële vormfout veroorzaakt een snellere spanningstoename, waardoor
het draagvermogen van de ligger nadelig beïnvloed wordt. Bij korte liggers heeft de initiële
vormfout een grotere invloed op de kipweerstand dan bij lange liggers (Luible, 2004).
Een ligger met een massieve doorsnede is relatief ongevoelig voor kip, aangezien de kiplast
van zo een ligger hoger ligt dan de bezwijkbelasting door buiging. De maximale zijdelingse
verplaatsingen zijn daardoor beperkt, zowel voor een ligger uit gehard als uitgegloeid glas.
Een gedrongen ligger zal voornamelijk verticale verplaatsingen vertonen. Bijgevolg treden de
maximale buigtrekspanningen op aan de onderrand in de middendoorsnede van de ligger. Het
bezwijkgedrag van een ligger met massieve doorsnede wordt gedomineerd door buiging in het
vlak, zowel bij kleine als bij grote vormfouten.
Bij een ligger met een slanke dwarsdoorsnede is de kiplast meestal kleiner dan de
bezwijkbelasting door buiging, waardoor de ligger kipgevoelig is. Bij kleine belastingen zijn
de horizontale verplaatsingen klein en vervormt de ligger vooral door buiging in het vlak. De
maximale buigtrekspanningen treden dan op aan de onderrand in de middendoorsnede. Als de
belasting groter wordt, nemen ook de zijdelingse verplaatsingen toe en is er een geleidelijke
overgang naar buiging uit het vlak. De convexe zijde wordt onderworpen aan trekspanningen
terwijl aan de concave zijde drukspanningen heersen. Bij een ligger met slanke
dwarsdoorsnede wordt het bezwijkfenomeen bepaald door buiging om de zwakke as.
Hieruit blijkt dat het spanningsverloop bij bezwijken voornamelijk afhangt van de
kipgevoeligheid van de ligger. Een ligger bezwijkt door buiging in het vlak, al dan niet in
combinatie met buiging uit het vlak en wringing (Belis, 2005).
5 Belis verwijst naar Liess, o.c., p. 97 en Luible, o.c., p. 37.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
15
2.3 Belemmering van het kipgedrag door een kitvoeg
2.3.1 Materiaalspecificaties
Het voorgaande is enkel geldig voor glazen liggers met vrije boven- en onderrand. In
werkelijkheid kan de ligger via de bovenrand verbonden zijn met de constructie waarvan hij
deel uitmaakt. Hiervoor worden meestal lijnvormige adhesieve verbindingen gebruikt.
Aangezien deze verbindingen krachten kunnen overdragen, spreekt men van structural
sealants of constructieve kitvoegen.
De dikte en elasticiteit van de voeg zorgen ervoor dat opstellingsfouten, vormfouten en
thermische effecten opgevangen kunnen worden. De sterkte van de verbinding wordt bepaald
door de overgang tussen de te verbinden onderdelen en de voeg (adhesie) en door cohesie van
de voeg zelf. Ook andere factoren kunnen de sterkte beïnvloeden: het type en duur van de
belasting, de nauwkeurigheid van uitvoering, kwaliteit van de te verbinden oppervlakken,
omgevingsinvloeden (vb. UV-licht, temperatuur, vochtigheid).
Wurm classificeert de adhesieve verbindingen op basis van de elasticiteitsmodulus van het
gebruikte materiaal (Wurm, 2007). Hij maakt onderscheid tussen elastische (vb. silicone,
polyurethaan), taai-elastische en brosse (vb. epoxyharsen, acrylaten) verbindingen (Figuur
2.5). Voor de beschouwde toepassing is een elastische verbinding het meest relevant: meestal
wordt een glazen ligger aan de rest van de constructie verbonden door middel van een silicone
kitvoeg.
Figuur 2.5: Spanning-rek diagramma voor verschillende
adhesieve verbindingen (Wurm, 2007)
Siliconen zijn synthetische polymeren bestaande uit een Si-O ketting, waaraan organische
atoomgroepen kunnen gebonden worden via een Si-C binding. Afhankelijk van het aantal
basiseenheden dat herhaald wordt (kettinglengte) en de graad van cross-linking (aantal
dwarsverbindingen tussen de kettingen) worden verschillende types siliconen verkregen. Eén
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
16
van de meest toegepaste siliconen is polydimethylsiloxane (PDMS) dat bestaat uit een
aaneenschakeling van (CH3)2SiO eenheden.
Si O
CH3
CH3
n
Si
CH3
CH
Si O
CH3
CH
CH3H C3
Figuur 2.6: Chemische formule van polydimethylsiloxane (PDMS)
Siliconen hebben een hoge weerstand tegen UV-stralen, warmte en vochtigheid, vertonen
uitstekende weersbestendige eigenschappen en zijn bestand tegen ozon en extreme
temperaturen. Bovendien hebben ze een goede hechting op veel materialen. Volgens Wagner
hebben siliconen ook voldoende weerstand tegen cyclische belastingen, chemische stoffen en
micro- en macrobiologische organismen (Wagner, 1999). Dit zijn de belangrijkste redenen
om voor silicone kitvoegen te kiezen en waarom andere adhesieve materialen (vb.
polysulfide, polyurethaan) minder geschikt zijn.
De bij ons meest gebruikte siliconen voor kitvoegen zijn “DOW CORNING 895” (DC 895)
en “DOW CORNING 993” (DC 993). Beiden bezitten de hierboven vermelde eigenschappen
en zijn speciaal ontwikkeld voor de structurele verlijming van glas en andere materialen. Het
grootste verschil is dat DC 895 een ééncomponent, neutraal uithardende silicone is, terwijl
DC 993 een twee componenten, neutraal uithardende silicone is.
Een ééncomponent silicone kan rechtstreeks uit het patroon gebruikt worden en is dus zeer
eenvoudig toe te passen. Voor het uithardingsproces is water nodig, dat afkomstig is van de
vochtige lucht. Het water moet in de voeg dringen door diffusie, een zeer langzaam proces.
Daarom hebben ééncomponent siliconen een relatief lange uithardingstijd.
Bij een twee componenten silicone moeten de base en de katalysator eerst gemengd worden.
Tijdens het mengproces mag geen lucht worden opgenomen in het materiaal, vandaar dat een
speciale menginstallatie nodig is en dat handmatig mengen of mengen met handmixers
ontoereikend is. Het mengproces zorgt voor een homogene verdeling van de katalysator,
waardoor het uithardingsproces onmiddellijk kan starten. Dit resulteert in een kortere
uithardingstijd dan bij ééncomponent siliconen. De mengprocedure heeft als nadeel dat een
twee componenten silicone niet in situ kan toegepast worden terwijl dat voor een
ééncomponent silicone wel mogelijk is (Wagner, 1999).
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
17
Tabel 2.8 toont enkele relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993. De maximale
verlenging van DC 993 is slechts de helft van die van DC 895 terwijl de treksterkte ongeveer
gelijk is. Bijgevolg zullen vb. de elasticiteitsmodulus en glijdingsmodulus verschillend zijn.
Tabel 2.8: Relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993 (Productinformatie Dow Corning, 2001, 2004)
Eigenschap DC 895 DC 993 Eenheid
Soortelijk gewicht 1,43 1,30 g/ml
Uitzakken 0 0 mm
Tijd tot kleefvrijheid (25°C, 50%RV) 40 tot 60 80 tot 100 minuten
Na 7 dagen uitharding (25°C, 50%RV)
Maximale verlenging6 260 130 %
Treksterkte 1,06 0,95 MPa
Temperatuurbestendigheid -50 tot +150 -50 tot +150 °C
2.3.2 Constructieprincipes
In wat volgt worden enkele constructieprincipes voor constructieve kitvoegen geïllustreerd.
Silicone kitvoegen worden vaak toegepast voor de aansluiting tussen twee gevelpanelen, maar
bijvoorbeeld ook voor een dak-ligger, vloer-ligger of gevel-kolom aansluiting. Figuur 2.7
toont de visuele impact van zulke verbindingen.
Figuur 2.7: Dak-ligger en gevel-kolom aansluitingen, bestaande uit siliconenkitvoegen
in het Broadfield House Glass Museum te Kingswinford (http://www.firmanglass.com)
6 In de productinformatie van Dow Corning wordt verwezen naar ISO 8339 voor de maximale verlenging en
treksterkte.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
18
Bij sommige verbindingen wordt gewerkt met een doorlopende backfill of steunstrip zodat de
dwarsdoorsnede van de aansluiting onveranderlijk is langsheen de volledige lengte van de
ligger/vin. Men kan echter ook gebruik maken van geïsoleerde setting blocks of steunblokjes.
In dat geval kunnen twee verschillende dwarsdoorsneden beschouwd worden: met of zonder
steunblokje.
Het eerste constructieprincipe kan geïllustreerd worden aan de hand van een glazen orangerie
in Leiden, die in 2002 werd voltooid (Nijsse, 2003). Het betreft een volledige glazen aanbouw
voor een oud herenhuis, met een oppervlakte van 4,85 m bij 4 m en een hoogte van 3,37 m tot
4,15 m. De basisstructuur wordt gevormd door een aaneenschakeling van portalen, bestaande
uit een glazen kolom en een glazen balk. De portalen worden onderling met elkaar verbonden
door glazen dak- en gevelelementen.
Figuur 2.8: Schematische voorstelling van de orangerie te Leiden (Nijsse, 2003)
De balken en kolommen zijn opgebouwd uit drie glasplaten met een dikte van 10 mm elk. De
afhellende dakplaten bestaat uit twee glasplaten (10 mm en 2 x 5,5 mm + PVB) met een
spouw van 12 mm, de gevelelementen zijn 12 mm dik. Er werden silicone kitvoegen
toegepast, zowel voor de aansluiting tussen de kolommen en de gevelelementen als voor de
aansluiting tussen de balken en de dakelementen. Figuur 2.9 toont de dwarsdoorsnede van de
verbinding van een balk met twee dakelementen. Over de volledige lengte van de balk is in
het midden een polyethyleen steunstrip (19 x 6 mm) aangebracht, en langs weerszijden
daarvan een siliconevoeg (7,5 x 6 mm). De steunstrip zorgt ervoor dat de siliconevoegen
gemakkelijk kunnen aangebracht worden en fungeert tevens als afstandshouder. Voor de
verbinding tussen de twee dakplaten wordt eveneens een polyethyleen steunstrip (8 x 23 mm)
gebruikt en bovenaan een weather seal of weersbestendige voeg (8 x 10 mm) als afdichting.
De geometrie van de aansluiting wordt grotendeels bepaald door de minimale opleglengte van
de dakelementen, die in dit geval 13 mm bedraagt.
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
19
gelamineerde glazen balk 10-10-10 mm
glazen dakelement 10-12-5,5x2+PVB
structurele kitvoeg 7,5 x 6 mm
PE steunstrip 19 x 6 mm
PE steunstrip 8 x 23 mm
weersbestendige voeg 8 x 10 mm
8
33
6
34 Figuur 2.9: Dwarsdoorsnede van de aansluiting tussen een balk en
twee dakelementen, in de orangerie te Leiden
Vrijwel alle verbindingen met een doorlopende steunstrip zijn opgebouwd volgens
bovenstaand principe. De dikte en samenstelling van de balken en de dakelementen kan echter
variëren, waardoor ook de afmetingen, aangeduid in Figuur 2.9, zullen wijzigen. Toch zullen
deze variaties beperkt zijn, aangezien de minimale opleglengte van de dakelementen min of
meer constant is. De inkomhal van het Broadfield House Glass Museum in Kingswinford
vertoont veel gelijkenis met de orangerie in Leiden (http://www.firmanglass.com). Figuur
2.10 toont de verbinding van een balk met twee dakelementen. De silicone kitvoeg (DC 895)
heeft hier afmetingen van 6 x 6 mm. Tevens werd een ander soort steunstrip gebruikt:
geëxpandeerd schuim in plaats van polyethyleen.
gelamineerde glazen balk 32 mm
gelamineerde glazen dakplaat 6-6 mm
spouw 10 mm
steunstrip
glazen dakplaat 10 mm
steunstrip uit geëxpandeerd schuim
weersbestendige voeg
structurele kitvoeg 6 x 6 mm
Figuur 2.10: Aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in het
Broadfield House Glass Museum in Kingswinford
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
20
Volgens de productinformatie van Dow Corning moet een doorlopende silicone kitvoeg een
breedte hebben tussen 6 mm en 15 mm en moet de dikte minstens 6 mm bedragen. Dit strookt
met de vermelde praktijkvoorbeelden.
Geïsoleerde steunblokjes zijn een veelgebruikt alternatief voor een doorlopende steunstrip.
Het belangrijkste verschil is de variërende breedte van de kitvoeg: ter plaatse van de
steunblokjes is de kitvoeg veel smaller. Bijgevolg is de dwarsdoorsnede ter plaatse van een
steunblokje verschillend van de dwarsdoorsnede zonder steunblokje. Andermaal heeft de
minimale opleglengte van de dakplaten een grote invloed op de geometrie van de verbinding.
Figuur 2.11 toont twee verschillende dwarsdoorsneden met afmetingen die in de praktijk
gebruikelijk zijn:
36
12 3123 6
36
615 15
steunblokje
Figuur 2.11: Dwarsdoorsnede met en zonder steunblokje
2.3.3 Invloed van een kitvoeg op de kipweerstand
De verbinding tussen een ligger en de constructie waarvan hij deel uitmaakt, heeft een invloed
op de kipweerstand. De kitvoeg zal de horizontale verplaatsingen en de rotatie van de ligger
belemmeren waardoor de kritieke belasting toeneemt. Voor veel liggers is de
bezwijkbelasting door buiging groter dan de kiplast. Indien men er in slaagt om zulke liggers
te doen bezwijken door buiging, dan vergroot hun draagcapaciteit enorm.
Belis et al. onderzochten in welke mate de theoretische kiplast van monolithische ideale
liggers kan verhoogd worden door laterale belemmering van de verplaatsingen (Belis et al.,
2003). Om de invloed van verhinderde verplaatsingen na te gaan, werden veren toegevoegd
over de volledige bovenrand van de ligger of op enkele discrete punten. Door variatie van de
veerstijfheden werden de horizontale uitwijkingen meer of minder belemmerd. Algemeen kan
vastgesteld worden dat een toename van de veerstijfheid resulteert in een hogere kiplast. Voor
Hoofdstuk 2: Literatuurstudie
21
liggers met een continue veerondersteuning over de volledige bovenrand en een uniform
verdeelde belasting, is dit effect het grootst voor kleine veerstijfheden. Ook indien de liggers
belast worden met een puntlast in het midden van de overspanning, is de toename van de
kiplast het grootst voor kleine veerstijfheden.
In dit werk wordt het onderzoek van Belis et al. uitgebreid naar geometrisch niet-lineair
gedrag: ook liggers met imperfecties worden beschouwd. Tevens zullen praktisch bruikbare
veermodellen opgesteld worden, gebaseerd op veelgebruikte voegmaterialen.
22
Hoofdstuk 3
Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
Voor de numerieke analyse van het kipfenomeen wordt gebruik gemaakt van het eindige-
elementenpakket Abaqus. Het invoeren van de rekenopdrachten gebeurt via handmatig
geprogrammeerde inputfiles. De resultaten kunnen weggeschreven worden naar bestanden of
kunnen gevisualiseerd worden aan de hand van de postprocessor Abaqus/CAE.
Bij de numerieke simulaties wordt verondersteld dat het glas een ideaal elastisch
materiaalgedrag heeft en bovendien wordt er geen bovengrens vastgelegd voor de optredende
spanningen. De numerieke simulaties leiden tot theoretische resultaten en achteraf moet vb.
nog een spanningscontrole uitgevoerd worden om het draagvermogen van de ligger te
bepalen. Bij monolithische ideale liggers kan men een bepaalde ontwerpspanning aannemen
in functie van het gebruikte type glas (Tabel 2.2). Vervolgens kan de belasting bepaald
worden waarbij de ligger bezwijkt door buiging in het vlak. Deze belasting moet vergeleken
worden met de theoretische kiplast om het draagvermogen van de ligger te bekomen (Belis,
2005).
In dit werk worden enkel monolithische liggers beschouwd: gelamineerde liggers worden niet
onderzocht. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen liggers zonder kitvoeg (vrije boven- en
onderrand) met kitvoeg (enkel een vrije onderrand) (Hoofdstuk 4, 5 en 6). De liggers worden
belast door een puntkracht in het midden of door een uniform verdeelde belasting. Omwille
van symmetrie volstaat het om telkens een halve ligger te modelleren.
3.1 Ideale liggers versus liggers met imperfecties
Zoals vermeld in Hoofdstuk 2 hebben ideale liggers en liggers met imperfecties een
verschillend gedrag, waardoor een andere aanpak nodig is voor de numerieke berekeningen.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
23
Bij een ideale monolithische ligger bestaat de numerieke analyse uit een
eigenwaardenberekening. Voor iedere simulatie resulteert dit in een aantal eigenwaarden met
bijhorende kipvorm. Door de aangebrachte belasting te vermenigvuldigen met de kleinste van
deze eigenwaarden, bekomt men de waarde van de kritieke belasting. Het geval van een
ideale ligger met vrije boven- en onderrand wordt niet verder onderzocht, maar dient als basis
voor een ideale ligger met een kitvoeg (Hoofdstuk 4).
De aanwezigheid van een initiële vormfout heeft geen invloed op de waarde van de kritieke
belasting (Figuur 2.3). Een vormfout veroorzaakt echter zijdelingse verplaatsingen bij een
belasting lager dan de kritieke belasting, wat niet het geval is bij een ideale ligger. Een initiële
vormfout beïnvloedt dus de vervormingen, en bijgevolg ook de spanningsverdeling in de
ligger.
De berekeningen voor een ligger met imperfecties zijn niet-lineair, in tegenstelling tot de
berekeningen voor een ideale ligger. Dit vergt een ietwat andere aanpak voor de numerieke
simulaties. De vormfout die samenvalt met de eerste eigenvorm is de meest gevaarlijke.
Daarom wordt in een eerste berekeningsstap de eerste eigenvorm van de ligger berekend, met
behulp van een eigenwaardenberekening. Vervolgens wordt de grootte van de vormfout
verschaald naar een vooropgestelde waarde (Tabel 2.7) en geïmplementeerd in de
basisgeometrie van de ligger. De resulterende geometrie houdt dus rekening met de grootte
van de vormfout en is de startgeometrie van de eigenlijke niet-lineaire analyse. Bij de tweede,
niet-lineaire berekeningsstap kan een neerwaartse verplaatsing opgelegd worden aan de
bovenrand van het midden van de ligger. De niet-lineaire analyse verloopt dan
vervormingsgestuurd. Voor een uniforme verdeelde belasting is dit niet mogelijk. In dat geval
moet de maximale belasting ingegeven worden en verloopt de analyse belastingsgestuurd.
De numerieke simulaties van liggers met imperfecties worden gebruikt om kipkrommen op te
stellen. Deze curven geven het verband weer tussen de geometrie van de glazen ligger,
uitgedrukt door een slankheid λ, en de kipweerstand, uitgedrukt door een reductiefactor χ. De
theoretische achtergrond en de praktische werkwijze zijn terug te vinden in Hoofdstuk 2. Uit
de tweede berekeningsstap van de numerieke analyse volgt het verloop van de belasting,
evenals het verloop van de maximale trekspanningen aan de onder- en bovenrand. De
nauwkeurigheid van de spanningen is echter afhankelijk van het gebruikte elementtype en het
aantal elementen. Daarom moet het elementennet eerst geoptimaliseerd worden. Dit gebeurt
op basis van de spanningen in de niet-lineaire berekeningsstap. Aangezien het elementennet
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
24
in beide berekeningsstappen hetzelfde moet zijn, moet ook het elementennet in de eerste
berekeningsstap (eigenwaardenberekening) aangepast worden.
3.2 Optimalisatie van het elementennet
Hoewel schaalelementen een logische keuze zouden kunnen zijn, worden vaak volume-
elementen toegepast. Met deze elementen is het immers mogelijk om meerdere elementen te
gebruiken in de dikterichting van de ligger. Dit is vooral van belang wanneer later, als
uitbreiding op dit werk, gelamineerde liggers zouden onderzocht worden. Het gebruik van
volume-elementen impliceert uiteraard een langere rekentijd, maar daartegenover staat de
grotere nauwkeurigheid van de numerieke simulaties.
De Meester kwam tot de conclusie dat een C3D20R element het meest geschikte volume-
element was voor de geometrische parameterstudie die hij uitvoerde (De Meester, 2004). Hij
hield hierbij rekening met mathematische juistheid, benodigde rekentijd en
processorbelasting. Belis maakte gebruik van C3D20R elementen voor de numerieke
modellen van ideale liggers. Voor liggers met imperfecties werden de volume-elementen met
20 knopen vervangen door volume-elementen met acht knopen (C3D8), en dit om een fijn
elementennet te realiseren met een aanvaardbare rekentijd. In de literatuur worden ook andere
elementen gebruikt, zoals C3D8I elementen of continuous shell elementen (Kasper en
Sedlacek, 2003; D´Haene en Savineau, 2007).
In dit werk wordt gekozen voor C3D20R elementen voor de numerieke modellen van ideale
liggers. Het C3D20R element is een driedimensionaal, doosvormig continuümelement met 20
knopen. De letter ‘R’ staat voor reduced integration wat betekent dat er voor de berekening
van de stijfheden slechts twee integratiepunten in elke richting gebruikt worden.
Om de rekentijd te beperken worden de numerieke modellen van liggers met imperfecties
opgebouwd uit volume-elementen met acht knopen. Verder onderzoek is nodig om te
oordelen of het C3D8 of C3D8I element het meest geschikt is. De letter ‘I’ staat voor
incompatible modes. Het C3D8I element is uitgerust met een aantal bijkomende
vrijheidsgraden (de incompatible modes), waardoor de resultaten bij buigingssimulaties
verbeteren. Uiteraard zorgen de bijkomende vrijheidsgraden voor een langere rekentijd dan
bij een eenvoudig lineair element (vb. C3D8), maar ten opzichte van een kwadratisch element
(vb. C3D20R) zal de rekentijd veel korter zijn.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
25
uitgekipte ligger
Figuur 3.1: Knopen van het C3D8(I) en het C3D20R element (Abaqus Manual, 2004)
Bij ideale liggers heeft het elementennet een relatief beperkte invloed op de resultaten. Er
wordt immers enkel een eigenwaardenberekening uitgevoerd. Bij liggers met imperfecties
daarentegen speelt het elementennet een grote rol en wordt de optimalisatie verder in detail
bekeken.
Het elementennet wordt bepaald door drie factoren: het elementtype, het aantal elementen en
de manier waarop de elementen verdeeld worden over de ligger. Voor de verdeling van de
elementen worden twee mogelijkheden beschouwd: een uniforme en een niet-uniforme
verdeling. De niet-uniforme verdeling kan als volgt verklaard worden. De maximale
trekspanningen aan de onder- en bovenrand treden op in de middendoorsnede, aan de
buitenkant van de ligger (Figuur 3.2). Enkel in deze twee punten moet het spanningsverloop
gekend zijn. Het lijkt daarom interessant om de zones rondom deze punten meer te verfijnen
dan de rest van het model.
Figuur 3.2: Beeld van een halve ligger vanuit de middendoorsnede, met aanduiding
van de punten met maximale trekspanningen
Voor de optimalisatie worden elementennetten beschouwd, bestaande uit C3D8 of C3D8I
elementen en met een uniforme of niet-uniforme verdeling. Telkens worden een aantal
elementennetten bekeken met variërende fijnheid. De uitgevoerde berekeningen hebben
betrekking op een ligger die belast wordt met een puntkracht, met lengte drie meter, lengte-
hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en vormfout L/333 (Tabel 2.7).
punt bovenaan
uitgekipte ligger onvervormde ligger
punt onderaan
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
26
3.2.1 Uniforme verdeling van de elementen
Bij de uniforme optimalisatie is het aantal elementen in de dikterichting steeds gelijk aan vier,
terwijl het aantal elementen in de lengte- en hoogterichting stelselmatig verhoogd wordt
(Tabel 3.1). De lengte en hoogte van één element zijn ongeveer gelijk aan elkaar.
Tabel 3.1: Samenstelling van de uniforme elementennetten
lengte hoogte dikte totaal
90 22 4 7920
135 33 4 17820
180 44 4 31680
225 55 4 49500
270 66 4 71280
Voor elk elementennet moet het spanningsverloop in beide punten geregistreerd worden. In
Abaqus wordt de normaalspanning in de lengterichting voorgesteld door S11, de maximale
hoofdspanning door SP1. Voor de twee punten in de middendoorsnede zou S11 niet zo veel
mogen verschillen van SP1, wat inderdaad geldt voor het punt onderaan. In het punt bovenaan
zijn er echter afwijkingen omdat de puntkracht er zeer lokaal wordt ingeleid (in één knoop).
Dit heeft tot gevolg dat er ook spanningen in de andere richtingen worden opgewekt.
Bijgevolg wordt in Abaqus het verloop van S11 geregistreerd, zowel onderaan als bovenaan.
Het belastingsverloop kan niet rechtstreeks opgevraagd worden in Abaqus. Wel is het
mogelijk om de reactiekracht op te meten in de knoop waar de verplaatsing wordt opgelegd.
De reactiecomponent volgens de hoogterichting is het rechtstreeks gevolg van de verticale
belasting en wordt in Abaqus voorgesteld door RF3. Deze reactiecomponent moet nog
verdubbeld worden om de puntkracht op de volledige ligger te kennen.
Figuur 3.3 toont het spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme
elementennetten met C3D8 elementen. Op de horizontale as staat de load proportionality
factor of het percentage van de totale belasting waarmee de ligger belast wordt. Hoe fijner de
elementennetten zijn, hoe minder twee opeenvolgende curven van elkaar verschillen. De
krommen evolueren met andere woorden naar een limietkromme. Hierbij komen de staarten
van de curven steeds hoger te liggen. Voor de spanning in het punt bovenaan wordt een
gelijkaardige figuur bekomen.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
27
C3D8 elementen, uniform verdeeld
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 o
nde
raa
n [M
Pa
]7920 elementen
17820 elementen
31680 elementen
49500 elementen
71280 elementen
Figuur 3.3: Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende
uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen
In Figuur 3.4 zijn dezelfde curven weergegeven, maar ditmaal voor uniforme elementennetten
bestaande uit C3D8I elementen. De numerieke simulaties met de twee fijnste elementennetten
(49500 en 71280 elementen) gaven aanleiding tot foutmeldingen en konden niet uitgevoerd
worden. Blijkbaar was de processorbelasting bij deze simulaties te hoog. Dit is het logisch
gevolg van de bijkomende vrijheidsgraden (de incompatible modes) van het C3D8I element.
In Figuur 3.4 is te zien dat het aantal elementen nauwelijks effect heeft op het
spanningsverloop: de drie krommen zijn niet van elkaar te onderscheiden. Dit is een duidelijk
verschil met de C3D8 elementen, waarbij de nauwkeurigheid stijgt met toenemend aantal
elementen. Dit besluit is ook geldig voor het spanningsverloop in het punt bovenaan.
C3D8I elementen, uniform verdeeld
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 o
nder
aa
n [M
Pa
]
7920 elementen
17820 elementen
31680 elementen
Figuur 3.4: Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende
uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
28
3.2.2 Niet-uniforme verdeling van de elementen
Bij de niet-uniforme optimalisatie wordt het model verdeeld in zes zones (Figuur 3.5). De
twee punten aan de onder- en bovenrand zijn gelegen in zone 4 respectievelijk zone 6. Deze
zones hebben het meest fijne elementennet. Zone 2 is het minst verfijnd. Om geen
discontinuïteiten te veroorzaken, worden zones 1, 3 en 5 ingevoerd. Zones 1 en 3 hebben in
de lengterichting hetzelfde elementennet als zone 2, maar in de hoogterichting hetzelfde
elementennet als zones 4 en 6. Bij zone 5 is het net andersom: in de lengterichting hetzelfde
elementennet als zones 4 en 6 en in de hoogterichting hetzelfde elementennet als zone 2. Alle
zones hebben evenveel elementen in de dikterichting. Zones 4, 5 en 6 strekken zich uit over
10% van de lengte van het numerieke model, dus over 10% van de halve lengte van de ligger.
De hoogte van zones 1, 3, 4 en 6 is gelijk aan 20% van de hoogte van de ligger.
zone 1
zone 3 zone 6
zone 2 zone 5
zone 4
20%
10% Figuur 3.5: Schematische weergave van het elementennet bij de niet-uniforme optimalisatie
De niet-uniforme optimalisatie vereist vijf parameters om het elementennet vast te leggen, in
tegenstelling tot de uniforme optimalisatie, waar drie parameters volstaan (Tabel 3.2). De
elementennetten zijn zodanig gedefinieerd dat de maaswijdte in de fijne zones ongeveer
dubbel zo klein is als in de grove zones. Bovendien hebben de beschouwde elementennetten
van de niet-uniforme optimalisatie evenveel elementen als bij de uniforme optimalisatie. De
elementen worden echter op een andere manier verdeeld over het model.
Tabel 3.2: Samenstelling van de niet-uniforme elementennetten
lengte
zone1-2-3
lengte
zone 4-5-6
hoogte
zone 2-5
hoogte
zone 1-3-4-6 dikte totaal
70 20 10 6 4 7920
105 30 15 9 4 17820
140 40 20 12 4 31680
175 50 25 15 4 49500
210 60 30 18 4 71280
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
29
Bij ieder niet-uniform elementennet werd het belastingsverloop opgevraagd, evenals het
spanningsverloop aan de onder- en bovenrand. Voor de elementennetten opgebouwd uit
C3D8 elementen, wordt het verloop van S11 in het punt onderaan weergegeven in Figuur 3.6.
Het verschil tussen twee opeenvolgende spanningsverlopen is kleiner naarmate het aantal
elementen toeneemt. In tegenstelling tot bij de uniforme optimalisatie komen de staarten van
de curven lager te liggen bij verdere verfijning.
C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 o
nde
raa
n [M
Pa
]
7920 elementen
17820 elementen
31680 elementen
49500 elementen
71280 elementen
Figuur 3.6: Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende
niet-uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen
Ook bij toepassing van C3D8I elementen wordt een niet-uniforme verdeling beschouwd.
Figuur 3.7 toont het verloop van de spanning onderaan voor de drie meest grove
elementennetten. Net als bij de uniforme optimalisatie vallen de krommen zo goed als samen.
C3D8I elementen, niet-uniform verdeeld
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 o
nder
aa
n [M
Pa
]
7920 elementen
17820 elementen
31680 elementen
Figuur 3.7: Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende
niet-uniforme elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
30
3.2.3 Onderlinge vergelijking van de resultaten
In Figuur 3.8 zijn de spanningsverlopen in het punt onderaan weergegeven voor alle
beschouwde elementennetten: C3D8 of C3D8I elementen, met een uniforme of niet-uniforme
verdeling. Figuur 3.9 toont dezelfde krommen, maar voor het spanningsverloop in het punt
bovenaan. Op beide figuren is hetzelfde fenomeen te herkennen: de krommen behorend bij
C3D8 elementen met een uniforme verdeling komen steeds hoger te liggen naarmate het
aantal elementen toeneemt, terwijl de krommen behorend bij C3D8 elementen met een niet-
uniforme verdeling steeds lager komen te liggen. In beide gevallen evolueren de curven wel
naar dezelfde limietcurve.
De krommen die overeenstemmen met C3D8I elementen liggen zeer dicht bij elkaar. De
invloed van het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn, lijkt bij dit
elementtype verwaarloosbaar klein. Men merkt echter op dat de limietcurve van de C3D8I
elementen verschillend is van die van de C3D8 elementen. Bij totale belasting van de ligger
(percentage van de totale belasting = 1) bedraagt dit verschil ongeveer 20 MPa voor de
spanning aan de onderrand en 30 MPa voor de spanning aan de bovenrand, wat allerminst te
verwaarlozen valt.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 o
nde
raa
n [M
Pa
]
C3D8 elementen, uniform verdeeld
C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld
C3D8I elementen, uniform verdeeldC3D8I elementen, niet-uniform verdeeld
# elementen
# elementen
Figuur 3.8: Spanningsverloop in het punt onderaan voor alle beschouwde elementennetten
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
31
-30
0
30
60
90
120
150
180
210
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
S1
1 b
ove
naa
n [M
Pa
]
C3D8 elementen, uniform verdeeld
C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld
C3D8I elementen, uniform verdeeldC3D8I elementen, niet-uniform verdeeld
# elementen
# elementen
Figuur 3.9: Spanningsverloop in het punt bovenaan voor alle beschouwde elementennetten
Analoog aan Figuur 3.8 en Figuur 3.9 kan ook het verloop van de belasting weergegeven
worden (Figuur 3.10). Voor de C3D8 elementen liggen de krommen lager naarmate het aantal
elementen toeneemt, en dit zowel voor uniforme als niet-uniforme elementennetten. Hierbij
streven beide soorten curven naar dezelfde limietcurve. Dit is een andere vaststelling als in
Figuur 3.8 en Figuur 3.9, waar de krommen van de uniforme verdeling langs onder naderen
tot de limietkromme, en de krommen van de niet-uniforme verdeling langs boven. Opnieuw
liggen de curven behorend bij de C3D8I elementen op elkaar: ook het belastingsverloop is bij
dit elementtype nauwelijks afhankelijk van het aantal elementen en de verdeling ervan. Het
grootste verschil met Figuur 3.8 en Figuur 3.9 is echter dat de limietkromme van de C3D8 en
C3D8I elementen dezelfde is.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
percentage van de totale belasting
bela
stin
g [N
]
C3D8 elementen, uniform verdeeld
C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld
C3D8I elementen, uniform verdeeld
C3D8I elementen, niet-uniform verdeeld
# elementen
Figuur 3.10: Belastingsverloop voor alle beschouwde elementen
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
32
Op basis van Figuur 3.8, Figuur 3.9 en Figuur 3.10 is niet meteen duidelijk welk elementtype
het meest geschikt is. In Figuur 3.10 is de limietkromme duidelijk gedefinieerd: zowel de
curven behorend bij C3D8 als C3D8I elementen naderen tot dezelfde curve. Op basis van
deze figuur zou men besluiten dat C3D8I elementen het beste resultaat leveren: zelfs met een
klein aantal elementen valt de bekomen kromme nagenoeg samen met de limietkromme. Bij
C3D8 elementen daarentegen, moet het aantal elementen groot genoeg zijn om een
behoorlijke nauwkeurigheid te verkrijgen.
Bovenstaande redenering is niet geldig voor Figuur 3.8 en Figuur 3.9. Het probleem hierbij is
dat de krommen van C3D8 en C3D8I elementen naar een verschillende limietcurve evolueren.
Aangezien het juiste spanningsverloop niet gekend is, kan men ook niet oordelen welk
elementtype het meest geschikt is.
Bij buigingssimulaties leveren C3D8I elementen betere prestaties dan C3D8 elementen,
dankzij de bijkomende vrijheidsgraden. Het kippen van een ligger is echter een combinatie
van buiging en wringing, waardoor men niet mag concluderen dat C3D8I elementen ook meer
geschikt zijn voor kipsimulaties. Om hierover uitsluitsel te bieden, is verder onderzoek nodig.
3.2.4 Vergelijking met de theoretische spanningen
Het numeriek model van een ligger met puntkracht kan aangepast worden door twee
eindmomenten in te voeren. Voor dit belastingsgeval kan de theoretische maximale spanning
berekend worden met formule (2.12). Vervolgens kan men zowel voor C3D8 als C3D8I
elementen de numerieke spanning bepalen, en nagaan bij welk elementtype de afwijking ten
opzichte van de theoretische spanning het kleinst is.
In het numeriek model van een ligger met puntkracht, werd een verticale verplaatsing
opgelegd aan de middendoorsnede. Naar analogie hiermee, zou men een eindmoment
invoeren door een rotatie op te leggen aan één van de knopen in het eindvlak. Dit blijkt echter
onmogelijk omdat de knopen van continuümelementen niet de juiste actieve vrijheidsgraden
(active degrees of freedom) hebben om een rotatie op te leggen. Daarom werd het
eindmoment vervangen door twee puntkrachten: een drukkracht ter hoogte van de bovenrand
van de ligger en een trekkracht ter hoogte van de onderrand, beide aangrijpend in de
einddoorsnede.
Indien men een vervormingsgestuurde simulatie wil uitvoeren, dan moet men aan de twee
aangrijpingspunten een horizontale verplaatsing opleggen in de lengterichting van de ligger,
met gelijke grootte maar tegengestelde zin. Op het einde van de simulatie (percentage van de
totale belasting = 1) zijn de verplaatsingen bovenaan en onderaan gelijk, maar de krachten die
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
33
ermee overeenstemmen niet. Bijgevolg is dit geen goede modellering van een eindmoment.
Met een belastingsgestuurde simulatie daarentegen, is het wel mogelijk om bovenaan en
onderaan krachten in te voeren, met gelijke grootte maar tegengestelde zin.
Beschouw een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien
millimeter en vormfout L/333, die wordt belast door twee eindmomenten van 1500 Nm, wat
in het numeriek model vertaald wordt door vier puntkrachten van 5000 N. Formule (2.12)
levert in dat geval een theoretische maximale spanning van 12,4 MPa. Voor de numerieke
simulaties werden enkel uniforme elementennetten beschouwd. De verkregen spanningen zijn
terug te vinden in Tabel 3.3. Hierbij moet opgemerkt worden dat de krachten in de
einddoorsneden zeer lokaal werden ingeleid met spanningsconcentraties tot gevolg. Het zou
correcter geweest zijn om rigid bodies aan te brengen ter hoogte van de einddoorsneden,
zodat de belasting gespreid wordt. Deze uitbreiding van het model werd echter niet
uitgevoerd.
Tabel 3.3: Overzicht van de resultaten van de numerieke simulaties
Elementtype Aantal elementen σnumeriek [MPa] Afwijking σtheoretisch – σnumeriek
C3D8 7920 11,7 6,1%
C3D8 17820 12,6 1,7%
C3D8I 7920 15,1 22,0%
C3D8I 17820 15,8 27,5%
Tabel 3.3 toont dat de theoretische spanning beter benaderd wordt door C3D8 elementen:
Voor een combinatie van buiging en wringing leveren C3D8 elementen duidelijk betere
resultaten dan C3D8I elementen. Bijgevolg is het voordeel dat C3D8 elementen hebben bij
buigingssimulaties, niet meer van toepassing bij kipsimulaties. Men kan concluderen dat het
gerechtvaardigd is om C3D8 elementen te verkiezen boven C3D8I elementen, hoewel het
aantal uitgevoerde simulaties beperkt is.
3.2.5 Invloed van het elementennet op de eigenwaardenberekening
Het elementennet in de eerste berekeningsstap (eigenwaardeanalyse) moet gelijk zijn aan dat
in de tweede berekeningsstap (niet-lineaire analyse). Men zou de bedenking kunnen maken of
het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn, ook een invloed heeft op de
eigenwaardenberekening. Aangezien deze berekening gebruikt wordt om de startgeometrie
van de niet-lineaire analyse te bepalen, wordt dit verder onderzocht.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
34
Figuur 3.11 toont de eerste eigenvorm van de ligger bij het meest fijne (7920 elementen) en
het meest grove uniforme elementennet (71280 elementen) met C3D8 elementen. Op de
verticale as staat de genormeerde horizontale uitwijking van de bovenrand van de ligger, op
de horizontale as staat de lengte-coördinaat, van het steunpunt tot de middendoorsnede. Het
onderscheid tussen beide krommen is nauwelijks te zien: bij C3D8 elementen die uniform
verdeeld zijn, heeft het aantal elementen geen invloed op de eerste eigenvorm.
C3D8 elementen, uniform verdeeld
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
lengte-coördinaat [m]
u, g
eno
rmee
rd
7920 elementen
71280 elementen
Figuur 3.11: Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove
uniforme elementennet met C3D8 elementen
Figuur 3.12 toont dezelfde krommen maar voor C3D8 elementen die niet-uniform verdeeld
zijn. In dit geval is de eerste eigenvorm wel afhankelijk van het aantal elementen. De twee
curven zijn immers duidelijk van elkaar te onderscheiden.
C3D8 elementen, niet-uniform verdeeld
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
lengte-coördinaat [m]
u, g
eno
rmee
rd
7920 elementen
71280 elementen
Figuur 3.12: Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove
niet-uniforme elementennet met C3D8 elementen
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
35
Indien het aantal elementen bij een niet-uniforme verdeling groot genoeg is, wordt dezelfde
eerste eigenvorm bekomen als bij een uniforme verdeling. Dit is weergegeven in Figuur 3.13.
C3D8 elementen
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
lengte-coördinaat [m]
u, g
eno
rme
erd
71280 elementen, uniform verdeeld
71280 elementen, niet-uniform verdeeld
Figuur 3.13: Eerste eigenvorm bij het meest fijne uniforme en
niet-uniforme elementennet met C3D8 elementen
3.2.6 Keuze van het elementennet
Zoals eerder vermeld zijn er drie factoren die het elementennet definiëren: het elementtype,
het aantal elementen en de manier waarop ze verdeeld zijn. Op basis van de vergelijking van
de spanningen, afkomstig van de numerieke simulaties, met de theoretische spanningen, werd
gekozen voor C3D8 elementen.
Verder kan verondersteld worden dat een niet-uniform elementennet een grotere
nauwkeurigheid heeft dan een uniform elementennet: de zone rondom de twee punten in de
middendoorsnede (Figuur 3.2) is immers meer verfijnd. Volgens Figuur 3.8 en Figuur 3.9 is
het bovendien een veilige benadering om te werken met een niet-uniform elementennet,
aangezien de bijhorende spanningen hoger zijn dan voor een niet-uniform elementennet.
Figuur 3.12 toont dat het aantal elementen voldoende groot moet zijn opdat de eerste
eigenvorm een correct verloop zou hebben. Uiteraard neemt niet alleen de nauwkeurigheid,
maar ook de rekentijd toe met toenemend aantal elementen. Bijgevolg moet een compromis
gevonden worden tussen beide factoren. Op basis van Figuur 3.6 wordt het aantal elementen
vastgelegd op 49500. Het spanningsverloop onderaan en bovenaan (Figuur 3.9) valt dan bijna
samen met het spanningsverloop, behorend bij 71280 elementen.
Het gekozen elementennet bestaat uit 49500 C3D8 elementen met een niet-uniforme
verdeling: 225 elementen in de lengterichting, 55 elementen in de hoogterichting en 4
elementen in de dikterichting.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
36
175 elementen 50 elementen
15 elementen
15 elementen
25 elementen
Figuur 3.14: Schematische voorstelling van het gekozen elementennet
3.3 Opstellen van de referentie-kipkrommen
Met het gekozen elementennet worden de spanningen voldoende nauwkeurig gemodelleerd en
kunnen de resultaten van de numerieke simulaties aangewend worden om kipkrommen op te
stellen. Er worden twee belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht in het midden en een
uniform verdeelde belasting.
3.3.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden
3.3.1.1 Parameters
Er worden 144 verschillende liggers beschouwd met telkens een andere geometrie. De lengte,
lengte-hoogte verhouding en dikte worden zodanig gekozen dat het parameterdomein uit de
praktijk zo goed mogelijk wordt afgebakend (Tabel 3.4). Sommige combinaties leiden tot
geometrieën met weinig praktische betekenis vb. een ligger met lengte zes meter, lengte-
hoogte verhouding tien en dikte zes millimeter. Bij de uitgevoerde parameterstudie wordt
echter geen rekening gehouden met de relevantie van de geometrieën.
Tabel 3.4: Overzicht van de geometrische parameters
voor simulaties met een puntkracht in het midden
Parameter Waarde Eenheid
L 1-2-3-4-5-6 m
L/h 10-20 -
t 6-10-15-19 mm
u0 L/250-L/333-L/1000 m
Er worden verschillende initiële vormfouten u0 bestudeerd. Een overzicht van de maximale
vormfouten uit de literatuur is terug te vinden in Tabel 2.7. De maximaal toelaatbare vormfout
bedraagt L/200 en is van toepassing op verticaal geharde liggers (CEN EN 12150-1, 2000).
Aangezien dit een verouderd voorspanningsproces is, wordt in dit werk L/250 als maximale
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
37
vormfout genomen. Daarnaast wordt een vormfout van L/333 beschouwd, en eveneens een
vormfout van L/1000 om de invloed van zeer kleine vormfouten na te gaan.
3.3.1.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties
De eerste stap om kipkrommen op te stellen is het uitvoeren van de numerieke simulaties. In
de tweede berekeningsstap moet telkens het verloop van RF3 en het spanningsverloop S11 in
de twee punten van de middendoorsnede opgevraagd worden. Het lijkt in eerste instantie niet
eenvoudig om dit via een parameterstudie te doen. De reden hiervoor is de volgende. Om een
numerieke simulatie uit te voeren van één ligger zijn er twee inputfiles (.inp) nodig: één voor
de eigenwaardenberekening en één voor de niet-lineaire berekening. Beide worden aan elkaar
gekoppeld door in de tweede inputfile te verwijzen naar de eerste inputfile. Een
parameterstudie (.psf) vertrekt steeds van dezelfde inputfile die als template wordt gebruikt.
Indien de tweede inputfile (niet-lineaire berekening) wordt opgegeven als template, dan
kunnen aan een aantal parameters (L, L/h, t, u0) een reeks waarden toegekend worden. De
waarden van de parameters in de eerste inputfile (eigenwaardenberekening) blijven echter
ongewijzigd. In de twee berekeningsstappen wordt dus met een verschillende geometrie
gerekend, wat tot foutmeldingen leidt en bovendien geen praktische betekenis heeft.
Het probleem kan als volgt opgelost worden. In de .psf file wordt de eerste inputfile als
parameter ‘eerste_inputfile’ opgegeven, net zoals de geometrische parameters. Deze
parameter krijgt geen getal als waarde, maar de naam van een inputfile. Voor elke geometrie
wordt een andere eerste inputfile gecreëerd met een eigen naam. Het automatisch genereren
van de eerste inputfiles gebeurt eveneens met een .psf file.
Samengevat zijn er twee parameterstudies nodig. De eerste .psf file heeft enkel L, L/h en t als
parameters en creëert voor elke geometrie een eerste inputfile. De tweede .psf file heeft L,
L/h, t, u0 en ‘eerste_inputfile’ als parameters. In deze parameterstudie wordt telkens de
tweede niet-lineaire berekeningsstap van een simulatie uitgevoerd.
Het opvragen van het verloop van RF3 en het spanningsverloop S11 aan de onder- en
bovenrand, kan geïmplementeerd worden in de tweede .psf file via het output, gather en
report commando. Het lijkt echter niet mogelijk om in dat geval het aantal beduidende cijfers
van de opgevraagde resultaten te verhogen. Indien de resultaten opgevraagd worden via de
postprocessor Abaqus/CAE, dan kan het aantal beduidende cijfers wel aangepast worden.
Het verloop van RF3 en S11 wordt bijgevolg eenmalig opgevraagd vanuit Abaqus/CAE. De
bijhorende python code wordt automatisch opgeslagen in de .rpy file. Dit bestand kan
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
38
vervolgens handmatig uitgebreid worden, zodat het verloop van RF3 en S11 opgevraagd
wordt voor alle uitgevoerde numerieke simulaties. Door de extensie ervan te veranderen van
.rpy naar .py, kan men dit bestand laten lopen vanuit Abaqus/CAE via run script. Met dit
commando worden bestanden gecreëerd met de waarden van RF3 en S11, met voldoende
aantal beduidende cijfers.
3.3.1.3 Opstellen van de kipkrommen
De maximale spanningen in het punt bovenaan en onderaan, kunnen rechtstreeks gebruikt
worden. De bekomen waarden van RF3 moeten eerst verdubbeld worden om tot de belasting
F van de volledige ligger te komen en nadien omgerekend worden naar buigspanningen σy:
2y
yy ht
6
4
LF
W
M
⋅⋅⋅==σ (3.1)
Op analoge manier kan het elastisch kipmoment Mcr omgerekend worden naar een ideale
kipspanning σcr. De waarde van Mcr kan bepaald worden aan de hand van formule (2.7) :
y
crcr W
M=σ (3.2)
Figuur 3.15 toont het verband tussen de maximale trekspanning aan de boven- en onderrand
en de buigspanningen σy voor een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien,
dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. De gelijkenis met Figuur 2.4 is treffend. Bij
kleine belastingen overheerst buiging in het vlak. Bijgevolg wordt het punt bovenaan eerst
onderworpen aan een drukspanning en het punt onderaan aan een trekspanning. Als de
belasting verder toeneemt, begint de ligger uit te kippen en vergroten de horizontale
verplaatsingen. Er is een overgang van buiging om de sterke as naar buiging om de zwakke as
waardoor zowel bovenaan als onderaan trek heerst.
σcr
0
5
10
15
20
25
-30 0 30 60 90 120 150 180S11 boven- en onderaan [MPa]
σσ σσy
[MP
a]
spanning onderaan
spanning bovenaan
Figuur 3.15: Verband tussen de spanning boven- en onderaan en σσσσy, geldig voor
een ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
39
Indien een bepaalde glastreksterkte σbreuk aangenomen wordt, kan onderzocht worden of de
spanning bovenaan of onderaan maatgevend is. In Figuur 3.15 is de spanning aan de
onderrand bepalend voor treksterktes gaande van 0 tot 105 MPa. Voor grotere treksterktes is
de spanning aan de bovenrand bepalend. Voor elke aangenomen treksterkte σbreuk kan de
bijhorende waarde van de buigspanning σy bepaald worden. Vervolgens kunnen de slankheid
λ en de reductiefactor χ berekend worden met formules (2.13) en (2.14).
Door telkens een andere treksterkte aan te nemen, variëren de slankheid en de reductiefactor
en wordt een kipkromme bekomen. Hierbij moet opgemerkt worden dat de treksterkte bij alle
liggers beperkt wordt tot een waarde van 220 MPa. Spanningen groter dan deze grenswaarde
hebben geen fysische betekenis en worden niet in rekening gebracht bij het opstellen van de
kipkrommen. Figuur 3.16 toont de kipkromme die gebaseerd is op de numerieke simulatie
van een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en
initiële vormfout L/333. De basisvorm van de curve is gelijkaardig aan Figuur 2.4. Voor
kleine slankheden nadert de reductiefactor ongeveer naar de eenheid, het kipfenomeen
evolueert naar een zuiver buigingsprobleem. Voor grote slankheden kan het kipfenomeen
beschouwd worden als een zuiver bifurcatieprobleem en geldt de grenswaarde 2
1
λ.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
2
1
λ
Figuur 3.16: Kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger
met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
De slankheid kan ook variëren in functie van de waarde van de ideale kipspanning σcr. Dit
kan bereikt worden door liggers met andere geometrieën te beschouwen. Sommige liggers
bezwijken eerder door buiging dan door kip. Aan de bovenrand van de ligger heerst dan een
drukspanning en aan de onderrand een trekspanning. Slechts bij zeer hoge belasting begint de
ligger uit te kippen, waardoor de spanningen vaak al groter zijn dan 220 MPa (Figuur 3.17).
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
40
In dat geval geeft de numerieke simulatie aanleiding tot een kipkromme, die bijna samenvalt
met de theoretische eenheidsgrenswaarde voor alle waarden van λ.
0
200
400
600
800
-500 0 500 1000 1500
S11 boven- en onderaan [MPa]
σσ σσy
[MP
a]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6
λλλλ
χχ χχ
Figuur 3.17: Spanningsverloop en kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie
van een ligger met L = 1 m, L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333
Door meerdere numerieke simulaties uit te voeren, zal een beter beeld verkregen worden van
de algemene vorm van de kipkrommen. In Figuur 3.18 zijn alle waarden weergegeven,
behorend bij liggers met lengte drie meter en initiële vormfout L/333 (acht simulaties).
Het is duidelijk dat de wolk van punten een grotere spreiding heeft bij kleine slankheden λ.
Naarmate de slankheid groter wordt, naderen de acht krommen beter tot elkaar. Het product
van de dikte t met de lengte-hoogte verhouding L/h is bepalend voor de ligging van de
kipkromme: hoe groter t * L/h van de ligger bij de numerieke simulatie, hoe hoger de
kipkromme ligt en hoe beter de eenheidsgrenswaarde benaderd wordt.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
L = 3 m, L/h = 10, t = 6 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 19 mm
L = 3 m, L/h = 20, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 10 mm
L = 3 m, L/h = 20, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 19 mm
Figuur 3.18: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met L = 3 m en u0 = L/333
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
41
Ook voor liggers met een andere lengte kunnen gelijkaardige grafieken opgesteld worden
(Figuur 3.19). Telkens ligt de kipkromme, behorend bij de kleinste waarde van t * L/h,
onderaan. Naarmate t * L/h stijgt, komt de kipkromme hoger te liggen bij kleine waarden van
λ. Hoe groter de lengte van de ligger bij de numerieke simulatie, hoe groter de spreiding in de
resulterende puntenwolk. Bovendien wordt de theoretische eenheidsgrens minder goed
benaderd als de lengte groter is.
Naarmate de lengte kleiner wordt, zijn de kipkrommen gedefinieerd voor een kleiner bereik
van λ: bij liggers met een kleine lengte is de ideale kipspanning σcr immers relatief groot,
terwijl de treksterkte σbreuk steeds beperkt wordt tot 220 MPa.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
Figuur 3.19: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met L = 1 m (links) en L = 6 m (rechts) en u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4λλλλ
χχ χχ
L = 1 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm
L =3 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 5 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 6 m, L/h = 10, t = 10 mm
Figuur 3.20: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
Figuur 3.20 toont de kipkrommen die gebaseerd zijn op de numerieke simulaties van liggers
met lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. Net als
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
42
bij Figuur 3.18 treedt de grootste spreiding op bij kleine waarden van λ. Ditmaal bepaalt de
lengte van de ligger hoe hoog de kipkromme gelegen is: hoe kleiner de lengte, hoe beter de
theoretische eenheidsgrens benaderd wordt. Dit is ook geldig voor andere lengte-hoogte
verhoudingen en dikten.
Uit bovenstaande figuren kan men het volgende besluiten: indien een aantal numerieke
simulaties uitgevoerd worden van liggers met constante lengte, dan liggen de resulterende
kipkrommen hoger naarmate t * L/h groter is (Figuur 3.18). Men kan eveneens een aantal
liggers beschouwen met verschillende geometrie, maar met een constante waarde van t * L/h
(Figuur 3.20). In dat geval komen de kipkrommen hoger te liggen bij stijgende lengte. Beide
vaststellingen kunnen als volgt gecombineerd worden: hoe groter de verhouding van de dikte
t tot de hoogte h, hoe hoger de kipkromme gelegen is en hoe beter de kromme nadert tot de
theoretische grenswaarde. Dit strookt met Figuur 3.18: aangezien de lengte constant is, is de
factor t * L/h equivalent met t/h. In Figuur 3.20 is t * L/h constant, waardoor t/h toeneemt bij
afnemende lengte.
Worden een aantal liggers beschouwd met verschillende geometrie, maar wel zodanig dat de
dikte-hoogte verhouding constant is, dan volgt uit de numerieke simulaties telkens ongeveer
dezelfde kipkromme. Dit wordt aangetoond in Figuur 3.21, waarbij vier kipkrommen
weergegeven zijn met t/h gelijk aan 0,050.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5λλλλ
χχ χχ
L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm
L = 4 m, L/h = 20, t = 10 mm
L = 6 m, L/h = 20, t = 15 mm
Figuur 3.21: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties
van liggers met t/h = 0,050 en u0 = L/333
Tabel 3.5 geeft een overzicht van de beschouwde liggers, met oplopende waarden van de
dikte-hoogte verhouding. Een grote dikte-hoogte verhouding stemt overeen met een vrij
massieve doorsnede. Uit bovenstaande figuren blijkt dat de numerieke simulaties van zulke
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
43
liggers aanleiding geven tot hoog gelegen kipkrommen. Met andere woorden, de kipkrommen
die het meest afwijken van de eenheidsgrenswaarde zijn afkomstig van de meest slanke
liggers.
Tabel 3.5: Overzicht van de bestudeerde geometrieën met oplopende waarden van t/h
L
[m]
L/h
[-]
t
[mm]
t/h
[-]
L
[m]
L/h
[-]
t
[mm]
t/h
[-]
L
[m]
L/h
[-]
t
[mm]
t/h
[-]
6 10 6 0,010 4 10 15 0,038 4 20 15 0,075
5 10 6 0,012 5 10 19 0,038 5 20 19 0,076
4 10 6 0,015 3 20 6 0,040 2 10 19 0,095
6 10 10 0,017 5 20 10 0,040 4 20 19 0,095
3 10 6 0,020 4 10 19 0,048 1 10 10 0,100
5 10 10 0,020 2 10 10 0,050 2 20 10 0,100
6 20 6 0,020 3 10 15 0,050 3 20 15 0,100
5 20 6 0,024 4 20 10 0,050 1 20 6 0,120
4 10 10 0,025 6 20 15 0,050 3 20 19 0,127
6 10 15 0,025 1 10 6 0,060 1 10 15 0,150
2 10 6 0,030 2 20 6 0,060 2 20 15 0,150
4 20 6 0,030 5 20 15 0,06 1 10 19 0,190
5 10 15 0,030 3 10 19 0,063 2 20 19 0,190
6 10 19 0,032 6 20 19 0,063 1 20 10 0,200
3 10 10 0,033 3 20 10 0,067 1 20 15 0,300
6 20 10 0,033 2 10 15 0,075 1 20 19 0,380
Dit kan als volgt verklaard worden. In theorie kan de eenheidsgrenswaarde enkel bereikt
worden bij zuivere buiging om de as volgens de dikterichting van de ligger. Door de initiële
vormfout wordt de ligger in het midden echter belast door scheve buiging. Dit heeft als
gevolg dat de kipkromme afwijkt van de theoretische eenheidsgrens. Hoe kleiner de dikte-
hoogte verhouding van de ligger, hoe groter de invloed van de initiële vormfout. Blijkbaar is
de buiging, relatief gezien, ‘schever’ voor een slanke doorsnede dan voor een massieve
doorsnede. Onderstaande figuur toont de meest massieve (L = 1 m, L/h = 20, t = 19 mm en t/h
= 0,380) en meest slanke doorsnede (L = 6 m, L/h = 10, t = 6 mm en t/h = 0,010) die
beschouwd worden.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
44
Figuur 3.22: Beeld van de meest massieve en meest slanke doorsnede
(zicht vanuit de middendoorsnede naar het steuntpunt toe)
In Figuur 3.23 zijn alle kipkrommen weergegeven die behoren bij een ligger met initiële
vormfout L/333 (48 simulaties). Aangezien de dikte-hoogte verhouding van de bestudeerde
liggers varieert binnen een breed interval, heeft de puntenwolk een zeer grote spreiding bij
kleine waarden van λ (Tabel 3.5).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
Figuur 3.23: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met u0 = L/333
De puntenwolk moet vertaald worden naar één kipkromme, die gebruikt kan worden om de
bezwijkbelasting van een willekeurige ligger te bepalen. De ondergrens van de puntenwolk is
hiervoor bijvoorbeeld een veilige benadering. Men kan echter ook meerdere krommen
afleiden uit de puntenwolk. Hiertoe wordt de puntenwolk onderverdeeld op basis van de
dikte-hoogte verhouding en wordt telkens de ondergrens bepaald. Een mogelijke
scheidingswaarde voor de dikte-hoogte verhouding bedraagt 0,060: op die manier wordt de
puntenwolk in twee deelwolken gesplitst met ongeveer evenveel kipkrommen.
Figuur 3.24 en Figuur 3.25 tonen de puntenwolken voor een dikte-hoogte verhouding kleiner
respectievelijk groter dan 0,060. Figuur 3.24 bevat kipkrommen die gebaseerd zijn op
numerieke simulaties van liggers met een dikte-hoogte verhouding tussen 0,010 en 0,050. In
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
45
Figuur 3.25 varieert de dikte-hoogte verhouding tussen 0,060 en 0,380. Hoewel de dikte-
hoogte verhouding een kleiner bereik heeft in Figuur 3.24, is de spreiding van de puntenwolk
groter dan in Figuur 3.25. Het fenomeen van de scheve buiging heeft immers meer invloed bij
kleine dikte-hoogte verhoudingen.
t/h < 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
Figuur 3.24: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met t/h < 0,060 en u0 = L/333
t/h > 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5
λλλλ
χχ χχ
Figuur 3.25: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met t/h > 0,060 en u0 = L/333
3.3.1.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout
In voorgaande paragraaf hadden de numerieke simulaties en kipkrommen betrekking op
liggers met een initiële vormfout van L/333. Er worden eveneens kipkrommen opgesteld voor
liggers met een initiële vormfout van L/250 en L/1000. Opnieuw is de dikte-hoogte
verhouding van de ligger bij de numerieke simulatie bepalend voor de ligging van de
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
46
kipkromme. Hoe groter de dikte-hoogte verhouding, hoe beter de kipkromme naar de
theoretische eenheidsgrens nadert.
De invloed van de grootte van de initiële vormfout wordt duidelijk in Figuur 3.26. Hoe
kleiner de vormfout, hoe beter de kipkromme naar de eenheidsgrenswaarde nadert voor kleine
slankheden. Bij grote vormfouten heeft de kipkromme een lagere limietwaarde, zoals Luible
ook vaststelde (Luible, 2004). Dit kan eveneens verklaard worden door het principe van de
scheve buiging. Hoe groter de initiële vormfout, hoe ‘schever’ de buiging is en hoe groter de
afwijking ten opzichte van de eenheid.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
λλλλ
χχ χχ
L/250
L/333
L/1000
Figuur 3.26: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm
Figuur 3.27 toont de kipkrommen behorend bij een ligger met lengte zes meter, lengte-hoogte
verhouding tien en dikte zes millimeter enerzijds, en een ligger met lengte drie meter, lengte-
hoogte verhouding 20 en dikte 15 millimeter anderzijds:
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
L/250
L/333
L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2
λλλλ
χχ χχ
L/250
L/333
L/1000
Figuur 3.27: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met
L = 6 m, L/h = 10 en t = 6 mm (links) en L = 3 m, L/h = 20 en t = 15 mm (rechts)
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
47
Uit bovenstaande figuur blijkt dat de grootte van de initiële vormfout meer invloed heeft bij
een ligger met een slanke doorsnede, dan bij een ligger met een massieve doorsnede. Dit is
het gevolg van de scheve buiging: als de initiële vormfout toeneemt bij een slanke doorsnede,
dan is er, relatief gezien, een grote toename in de ‘scheefheid’ van de buiging. Bij een meer
massieve doorsnede daarentegen, heeft een toename van de initiële vormfout minder effect.
Net als in vorige paragraaf wordt de puntenwolk opgedeeld op basis van de dikte-hoogte
verhouding. Voor de grenswaarde tussen de twee deelwolken wordt opnieuw 0,060 genomen.
Figuur 3.28 en Figuur 3.29 tonen alle kipkrommen, gebaseerd op numerieke simulaties van
liggers met initiële vormfout L/333 en L/1000. De ondergrens van de puntenwolk die
overeenkomt met L/1000 ligt hoger dan bij L/333. Dit hangt samen met de kleinere spreiding
van de volledige puntenwolk bij L/1000. In Bijlage A zijn ook de puntenwolken weergegeven
voor liggers met een initiële vormfout L/250.
t/h < 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6λλλλ
χχ χχ
L/333
L/1000
Figuur 3.28: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met t/h < 0,060 en u0 = L/333 of L/1000
t/h > 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
L/333
L/1000
Figuur 3.29: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met t/h > 0,060 en u0 = L/333 of L/1000
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
48
In Figuur 3.30 zijn de ondergrenzen van de puntenwolken weergegeven voor de drie
vormfouten, met onderscheid tussen een dikte-hoogte verhouding groter of kleiner dan 0,060.
De maximale slankheid λ die relevant is voor praktijktoepassingen kan bepaald worden op
basis van vb. een ligger met lengte zes meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte 19
millimeter en treksterkte 120 MPa. Hiermee correspondeert een waarde van λ van 2,6.
Bijgevolg kan als bovengrens voor de slankheid vb. drie genomen worden.
De ondergrenzen werden bepaald door een aantal punten van de wolken te selecteren en met
elkaar te verbinden. Deze visuele methode is zeker niet exact, maar heeft toch een behoorlijke
nauwkeurigheid. Tabel 3.6 toont een aantal waarden van χ voor verschillende waarden van λ.
Er moet opgemerkt worden dat er ook andere mogelijkheden bestaan om de puntenwolk te
vertalen in één of meerdere kipkrommen. Men kan vb. gebruik maken van het 95%
betrouwbaarheidsinterval.
t/h > 0,060
t/h < 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
L/250L/333L/1000
Figuur 3.30: Ondergrenzen van de puntenwolk voor u0 = L/250, L/333 en L/1000
Tabel 3.6: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ,
gebaseerd op Figuur 3.30
t/h < 0,060 t/h > 0,060
λ L/250 L/333 L/1000 L/250 L/333 L/1000
0,5 0,56 0,63 0,85 0,85 0,89 0,97
1,0 0,48 0,55 0,75 0,70 0,73 0,85
1,5 0,38 0,40 0,44 0,40 0,40 0,43
2,0 0,25 0,26 0,27 0,25 0,26 0,27
2,5 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
49
3.3.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting
3.3.2.1 Parameters
Voor liggers belast met een uniform verdeelde belasting, worden heel wat minder
geometrieën beschouwd dan voor liggers met een puntkracht. De lengte is gelijk aan drie
meter of zes meter, de lengte-hoogte verhouding bedraagt tien of 20 en de dikte wordt
vastgelegd op tien millimeter of 19 millimeter. De grootte van de initiële vormfout neemt
dezelfde waarden aan als bij liggers met een puntkracht (Tabel 3.7). Het totaal aantal
simulaties bedraagt bijgevolg 24 in plaats van 144.
Tabel 3.7: Overzicht van de geometrische parameters
voor simulaties met een uniform verdeelde belasting
Parameter Waarde Eenheid
L 3-6 m
L/h 10-20 -
t 10-19 mm
u0 L/250-L/333-L/1000 m
3.3.2.2 Uitvoeren van de numerieke simulaties
Voor de numerieke simulaties van liggers, belast met een uniform verdeelde belasting, zijn
twee .psf files nodig, net als bij liggers, belast met een puntkracht. De eerste .psf file bevat de
eigenwaardenberekening, de tweede .psf file is de eigenlijke niet-lineaire analyse. Hierbij
wordt voor hetzelfde elementennet gekozen als bij liggers met een puntkracht (Figuur 3.14).
Bij liggers, belast met een puntkracht, kan een neerwaartse verplaatsing opgelegd worden aan
een punt van de middendoorsnede en kan de niet-lineaire analyse vervormingsgestuurd
verlopen. Voor liggers, belast met een uniform verdeelde belasting, zou over de volledige
bovenrand de verplaatsing moeten opgelegd worden. Vandaar dat de numerieke analyse van
zulke liggers belastingsgestuurd verloopt. Ter vereenvoudiging wordt de uniform verdeelde
belasting p vervangen door puntkrachten P: één puntkracht per dwarsdoorsnede, en dit over
de volledige bovenrand van de ligger (Figuur 3.31). Het was ook mogelijk geweest om een
puntkracht aan te brengen in elke knoop van het bovenvlak van de ligger.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
50
lengte: 175 + 50 elementen
dikte: 4 elementenpuntkracht P
Figuur 3.31: Schematische weergave van het bovenaanzicht van een halve ligger
met aangrijpende puntkrachten
De maximale waarde van de belasting is afhankelijk van de geometrie van de ligger. Dit is de
reden waarom een vervormingsgestuurde simulatie eenvoudiger is: voor alle geometrieën kan
dezelfde verplaatsing opgelegd worden. Bij de uitgevoerde simulaties van liggers met een
puntkracht, kan telkens de maximale belasting F bepaald worden en de bijhorende maximale
buigspanning σy (formule (3.1)). De maximale verdeelde belasting p wordt zodanig gekozen
dat dezelfde maximale buigspanning σy veroorzaakt wordt. De waarde van de puntkrachten P
kan dan als volgt berekend worden:
y
2
yy
yy W
1
8
Lp
W
1
4
LF
W
M⋅⋅=⋅⋅==σ (3.3)
)element1lengte(L
F2)element1lengte(pP ⋅⋅=⋅= (3.4)
Het opvragen van het verloop van de belasting en de spanningen gebeurt opnieuw vanuit
Abaqus/CAE, via een apart python script. In het geval van een puntkracht wordt de belasting
weergegeven door de reactiekracht RF3, omdat de opgelegde verplaatsing wordt ingegeven
als randvoorwaarde. Bij een belastingsgestuurde simulatie wordt de puntkracht P in het
midden echter weergegeven door CF3.
3.3.2.3 Opstellen van de kipkrommen
Om de verdeelde belasting p te bepalen, uitgaande van de bekomen waarden voor CF3, kan
formule (3.4) gebruikt worden. Vervolgens kunnen de buigspanningen σy berekend worden:
2
2
y
yy ht
6
8
Lp
W
M
⋅⋅⋅==σ (3.5)
De ideale kipspanning σcr wordt bekomen aan de hand van formule (2.7) en (3.2). Samen met
de opgevraagde spanningen aan de boven- en onderrand, leidt dit tot waarden voor λ en χ
(formule (2.13) en (2.14)). Figuur 3.32 toont de kipkrommen voor een ligger, belast met een
verdeelde belasting of een puntkracht, met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien,
dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333. Beide krommen zijn nauwelijks van elkaar te
onderscheiden.
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
51
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
λλλλ
χχ χχ
verdeelde belasting
puntkracht
2
1
λ
Figuur 3.32: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met een
verdeelde belasting of een puntkracht, met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
De puntenwolk, behorend bij liggers met een puntkracht wordt uitgedund, zodat enkel de
geometrieën uit Tabel 3.7 overblijven. Figuur 3.33 vergelijkt de bekomen puntenwolk met die
van een verdeelde belasting. Net als in Figuur 3.32 vallen alle krommen zo goed als samen.
Ook bij een verdeelde belasting is de dikte-hoogte verhouding bepalend voor de relatieve
ligging van de kipkrommen ten opzichte van elkaar. Hoewel het aantal uitgevoerde simulaties
beperkt is, kan men vermoeden dat het belastingsgeval weinig invloed heeft op het verloop
van de kipkrommen. Merk op dat de spreiding in Figuur 3.33 kleiner is dan in Figuur 3.23,
omwille van het kleiner aantal simulaties.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
verdeelde belasting
puntkracht
Figuur 3.33: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met een verdeelde belasting en een puntkracht, met u0 = L/333
3.3.2.4 Invloed van de grootte van de initiële vormfout
Figuur 3.34 toont de kipkrommen die gebaseerd zijn op de numerieke simulaties van liggers
met een verdeelde belasting en met een initiële vormfout van L/333 en L/1000. Zoals
Hoofdstuk 3: Numerieke analyse van liggers zonder kitvoeg
52
verwacht is de spreiding in de puntenwolk voor L/1000 kleiner dan voor L/333. Analoog aan
het geval van een puntkracht, kan dit verklaard worden door het fenomeen van de scheve
buiging.
Omwille van het beperkte aantal simulaties worden geen ondergrenzen bepaald voor de
puntenwolken van liggers met een verdeelde belasting. De verkregen grenskrommen zouden
immers geen praktische betekenis hebben: bij een groter aantal simulaties, zouden lager
gelegen ondergrenzen kunnen bekomen worden.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
λλλλ
χχ χχ
L/333
L/1000
Figuur 3.34: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met een verdeelde belasting en met u0 = L/333 en L/1000
53
Hoofdstuk 4
Theoretische invloed van een kitvoeg
4.1 Numerieke modellering van een kitvoeg
In dit werk wordt de invloed bestudeerd van een kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers.
Daartoe moet het numeriek model dat gebruikt werd in Hoofdstuk 3, uitgebreid worden. De
kitvoeg wordt ter hoogte van de bovenrand van de ligger aangebracht en vormt de verbinding
met de rest van de constructie. Als de ligger begint uit te kippen, ondergaat de onderrand van
de kitvoeg een horizontale verplaatsing terwijl de bovenrand vast verbonden is met de
constructie (Figuur 4.1). Bijgevolg wordt de kitvoeg op afschuiving belast en ondervindt de
ligger een terugroepende kracht. Hoe stijver de kitvoeg is, hoe minder deze zal vervormen en
hoe meer de horizontale verplaatsingen van de ligger zullen belemmerd worden. De ligger
ondergaat eveneens een hoekrotatie om de lengte-as, waardoor de onder- en bovenrand van de
kitvoeg niet langer evenwijdig zijn. Dit effect is echter minder uitgesproken dan de
afschuiving van de kitvoeg.
onvervormde ligger uitgekipte ligger Figuur 4.1: Schematische voorstelling van de afschuiving van de kitvoeg
De ligger zal echter pas kippen indien de bovenbelasting voldoende groot is. Dit betekent dat
de kitvoeg eerst kan worden samengedrukt (belasting volgens de hoogterichting van de ligger)
vooraleer ze op afschuiving belast wordt. In Hoofdstuk 2 werden de twee meest voorkomende
constructieprincipes van kitvoegen besproken: met doorlopende steunstrip (backfill) of met
geïsoleerde steunblokjes (setting blocks). Indien een doorlopende steunstrip wordt toegepast
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
54
die weinig vervormbaar is, dan zullen de twee naastliggende kitvoegen nauwelijks
samengedrukt worden. De stijve steunstrip fungeert immers als afstandshouder. Een zeer
vervormbare steunstrip kan echter niet verhinderen dat de twee naastliggende kitvoegen
worden samengedrukt. In dat geval zou het onvolledig zijn om enkel de afschuiving van de
kitvoegen te modelleren.
Bij gebruik van geïsoleerde steunblokjes kunnen twee dwarsdoorsneden beschouwd worden.
Ter plaatse van een steunblokje is de vervormbaarheid ervan bepalend voor de mate van
samendrukking van de naastliggende kitvoegen. In de zone tussen de steunblokjes wordt
meestal een steunstrip toegepast die bepaalt of de kitvoegen wel of niet worden
samengedrukt.
Voorgaande toont aan dat, afhankelijk van het constructieprincipe en de gebruikte materialen,
de kitvoegen in min of meerdere mate belast worden op afschuiving, al dan niet in combinatie
met samendrukking.
Er bestaan meerdere mogelijkheden om het effect van een kitvoeg te implementeren in het
numeriek model. Men kan de verbinding modelleren als twee kitvoegen met daartussen een
steunstrip of steunblokje. Het afzonderlijk modelleren van deze onderdelen is echter vrij
omslachtig. Het is eenvoudiger om de verbinding, bestaande uit twee kitvoegen en een
steunstrip of steunblokje, in zijn geheel te beschouwen.
Wanneer de ligger kipt, oefent de kitvoeg - hiermee wordt de volledige verbinding bedoeld -
een terugroepende kracht uit. Het ligt daarom het meest voor de hand om de kitvoeg te
vereenvoudigen tot een continue veerondersteuning, gericht volgens de dikterichting van de
ligger. Deze modellering is ook terug te vinden in de literatuur (Belis et al., 2003). Indien men
ook rekening wil houden met de samendrukking van de kitvoeg, kan een tweede continue
veerondersteuning toegevoegd worden volgens de hoogterichting van de ligger.
Abaqus laat niet toe om lijnvormige veerelementen toe te passen. Daarom wordt de continue
veerondersteuning vervangen door een groot aantal enkelvoudige translatieveren die naast
elkaar worden geplaatst (Figuur 4.2). Aan de bovenrand van de ligger wordt in de
lengterichting aan iedere knoop één of twee spring elements toegevoegd. De gebruikte
veerelementen zijn van het type spring1, die gedefinieerd worden tussen een knoop en de
buitenwereld, dit in tegenstelling tot spring2 elementen die tussen twee knopen gedefinieerd
worden. De oriëntatie van de veren kan ingegeven worden ten opzichte van een lokaal of het
globaal assenstelsel. De veren zijn werkzaam volgens de 2-as (afschuiving) of eventueel de 3-
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
55
as (samendrukking) van het globaal assenstelsel. Om de belemmering van de rotatie te
modelleren, kunnen rotatieveren toegevoegd worden.
1
3
2
Figuur 4.2: Schematische voorstelling van een ligger met continue veerondersteuning
volgens de dikterichting van de ligger
Men kan zowel lineair als niet-lineair veergedrag beschrijven. Een lineaire veer wordt
gekenmerkt door een constante waarde van de veerconstante. Indien gewerkt wordt met een
uniform elementennet (alle elementen gelijke geometrie), zijn de enkelvoudige veren uniform
verdeeld over de bovenrand van de ligger en hebben ze alle dezelfde veerstijfheid. De
veerstijfheid van één enkelvoudige veer Kveer, uitgedrukt in N/m, kan bepaald worden
uitgaande van de veerstijfheid van de continue veerondersteuning kveer, uitgedrukt in N/m/m.
lengtehalveknopenaantal
)lengtehalve(kK veer
veer
⋅= (4.1)
Bij een niet-uniform elementennet kan de lengte van de elementen variëren, waardoor de
veerstijfheid van de enkelvoudige veren niet constant is. De veerconstanten moeten dan op
volgende manier bepaald worden:
)element1vanlengte(kK veerveer ⋅= (4.2)
Niet-lineair veergedrag wordt in Abaqus gedefinieerd door veerkrachten in te geven met
bijhorende relatieve verplaatsingen. De waarden moeten opgegeven worden in stijgende
volgorde van de verplaatsingen en het bereik ervan moet ruim genoeg zijn. In Abaqus wordt
immers verondersteld dat de kracht constant blijft buiten het gedefinieerde interval, wat
overeenkomt met veerstijfheid nul (Figuur 4.3).
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
56
Figuur 4.3: Niet-lineair verband tussen relatieve verplaatsing en kracht (Abaqus Manual, 2004)
In werkelijkheid zal het afschuifgedrag van de kitvoeg variëren, afhankelijk van de graad van
samendrukking: hoe meer het materiaal wordt samengedrukt, hoe minder gemakkelijk het zal
afschuiven. Het lijkt niet mogelijk om met veerelementen het afschuif- en
samendrukkingsgedrag van de kitvoeg te koppelen aan elkaar. Eén reeks veren modelleert de
afschuiving, een andere reeks veren de samendrukking, maar beide reeksen moeten
onafhankelijk van elkaar gedefinieerd worden. Dit is het grootste nadeel van het gebruik van
veerelementen.
Mogelijke alternatieven voor spring elements zijn flexible joint elements, multi-point
constraints en connector elements. Het definiëren van zulke elementen verloopt een stuk
minder eenvoudig dan bij veerelementen. Sommigen vb. connector elements hebben echter
wel het voordeel dat de afschuiving en samendrukking van de kitvoeg samen kunnen
gemodelleerd worden.
In dit werk wordt gekozen voor veerelementen. Hierdoor kan het vervormingsgedrag van de
kitvoeg minder nauwkeurig beschreven worden dan met vb. connector elements, maar dit
weegt niet op tegen de eenvoud van deze elementen. Verder wordt geen rekening gehouden
met de samendrukking en de rotatie van de kitvoeg: enkel de afschuiving wordt gemodelleerd.
4.2 Invloed van een kitvoeg op de kiplast
Om de afschuiving van de kitvoeg te modelleren, volstaat één continue veerondersteuning in
de dikterichting van de ligger (Figuur 4.2). Aangezien het materiaalgedrag van de kitvoeg -
dus ook het veergedrag in het numeriek model - nog onbekend is, wordt in eerste instantie de
theoretische invloed van een kitvoeg onderzocht. Hiertoe wordt met een lineair veergedrag
gewerkt, gekenmerkt door een veerstijfheid kveer die varieert binnen een breed interval. Voor
de eenvoud worden enkel liggers beschouwd, belast met een puntkracht in het midden.
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
57
4.2.1 Ideale liggers
Aan de hand van een parameterstudie kan het effect bestudeerd worden van de veerstijfheid
van de continue veerondersteuning op de kiplast van een monolithische ideale ligger. Hierbij
wordt slechts één geometrie bekeken: een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte
verhouding tien en dikte tien millimeter. Er moet opgemerkt worden dat Abaqus bij grote
veerstijfheden een negatieve eerste eigenwaarde levert. Dit stemt overeen met een naar boven
gerichte belasting, wat in dit geval niet relevant is.
Figuur 4.4: Beeld van een uitgekipte halve ligger,
gekenmerkt door een negatieve eigenwaarde
In eerste instantie leek het niet eenvoudig om enkel de tweede (positieve) eigenwaarde op te
vragen. Het probleem werd opgelost door een preload aan te brengen waardoor de eerste
eigenwaarde wel positief was. Om achteraf de kiplast van de ligger te bepalen, moet de
waarde van de preload opgeteld worden bij de eigenwaarde die door Abaqus geleverd wordt.
Onderstaande grafiek toont het verloop van de kiplast Fcr wanneer de veerstijfheid kveer
varieert.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000
kveer [N/m/m]
Fcr [
N]
Figuur 4.5: Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale
monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
58
Hoe groter de veerstijfheid, hoe groter de kiplast. Voor zeer kleine veerstijfheden nadert de
waarde van de kiplast naar 3888 N, de kiplast van een ligger zonder veerondersteuning. Bij
zeer grote veerstijfheden zal de kiplast oneindig groot worden, vermits de veerondersteuning
over de volledige bovenrand is uitgesmeerd. De curve in Figuur 4.5 heeft hetzelfde verloop
als de curven opgesteld door (Belis et al., 2003). De toename van de kiplast is, relatief gezien,
het grootst bij kleine veerstijfheden: de helling van de kromme in Figuur 4.5 neemt af met
toenemende veerstijfheid. Hoe groter de veerstijfheid wordt, hoe kleiner het effect ervan is op
de kiplast. In Figuur 4.6 is een nog groter bereik van de veerstijfheid weergegeven, met
toepassing van een logaritmische schaal. Hieruit blijkt dat er pas bij veerstijfheden groter dan
1000 N/m², een duidelijk effect is op de kritieke belasting.
0
10000
20000
30000
40000
50000
1,0E-05 1,0E-03 1,0E-01 1,0E+01 1,0E+03 1,0E+05 1,0E+07
kveer [N/m/m]
Fcr [N
]
Figuur 4.6: Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale
monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm
Beschouwen we echter de situatie met één veer in het midden van de overspanning. Dit kan
een schematische weergave zijn van een glazen ligger die langs beide kanten gestabiliseerd
wordt door een kabel met grote rekstijfheid. In dat geval evolueert de kiplast bij zeer grote
veerstijfheden naar de tweede eigenwaarde van een ligger zonder veren (Figuur 4.7). Het is
alsof een min of meer vast punt wordt gecreëerd in de middenoverspanning, waardoor de
ligger kipt volgens twee halve sinusbogen (Figuur 4.8).
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
59
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
1,0E-04 1,0E-02 1,0E+00 1,0E+02 1,0E+04 1,0E+06
K veer [N/m]
Fcr [N
]
Figuur 4.7: Invloed van de veerstijfheid Kveer op de kiplast, geldig voor een ideale
monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm
Figuur 4.8: Beeld van een ligger die gekipt is volgens twee halve sinusbogen
4.2.2 Liggers met imperfecties
Voor een ligger met initiële vormfout moet eerst een eigenwaardenberekening uitgevoerd
worden om de eerste eigenvorm van de ligger te bepalen. In een tweede stap wordt een niet-
lineaire analyse uitgevoerd, die resulteert in een kipkromme. Enkel in de tweede
berekeningsstap wordt de continue veerondersteuning toegevoegd, omdat ook in
werkelijkheid de kitvoeg aangebracht wordt op de ligger in zijn initieel gebogen vorm.
Net als bij de onderzochte ideale ligger, worden verschillende waarden voor de veerstijfheid
kveer beschouwd. Telkens wordt een numerieke simulatie uitgevoerd van een ligger met lengte
drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333.
Voor iedere waarde van de veerstijfheid kan een kipkromme opgesteld worden, gebaseerd op
één numerieke simulatie. Dit gebeurt op dezelfde manier als in Hoofdstuk 3. Hierbij moet
opgemerkt worden dat in formule (3.2), het elastisch kritiek moment van een ligger zonder
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
60
veerondersteuning ingevoerd wordt. De verkregen kipkrommen zijn weergegeven in Figuur
4.9. Dit geeft een eerste idee van de invloed van de veerstijfheid op de kipkrommen. Het zou
echter beter zijn om voor elke waarde van de veerstijfheid meerdere numerieke simulaties uit
te voeren zodat een wolk van punten bekomen wordt. In Hoofdstuk 6, wanneer realistische
waarden voor de veerstijfheid kunnen gebruikt worden, wordt dit uitgebreider onderzocht.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
λλλλ
χχ χχ
0 N/m²0,00001 N/m²0,0001 N/m²0,001 N/m²0,01 N/m²0,1 N/m²1 N/m²10 N/m²100 N/m²1000 N/m²10000 N/m²100000 N/m²1000000 N/m²
Figuur 4.9: Kipkrommen voor verschillende veerstijfheden kveer, gebaseerd op de numerieke
simulaties van een monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
In Figuur 4.9 is te zien dat de kipkrommen hoger komen te liggen naarmate de veerstijfheid
groter is. Voor veerstijfheden kleiner dan 1 N/m² zijn de krommen echter niet van elkaar te
onderscheiden. Zeer kleine veerstijfheden hebben dus weinig invloed op het kipgedrag van
een ligger met initiële vormfout. Vanaf een veerstijfheid van 100 N/m² is het effect duidelijk
merkbaar.
Een kitvoeg heeft het minst effect bij liggers met een kleine slankheid aangezien deze eerder
bezwijken door buiging dan door kip. Bijgevolg wordt de kitvoeg niet echt op afschuiving
belast en kan deze ook geen terugroepende kracht uitoefenen. Liggers met een grote slankheid
daarentegen, bezwijken door kip. Hoe groter de veerstijfheid is, hoe groter de terugroepende
kracht, en hoe meer het kippen van de ligger wordt belemmerd. Bij zeer grote veerstijfheden
bezwijken ook slanke liggers door buiging en niet meer door kip: de waarde van χ is steeds
ongeveer gelijk aan één.
Voor een ligger met vrije onder- en bovenrand kan de waarde van χ, theoretisch gezien,
maximaal gelijk worden aan de eenheid, indien de ligger zuiver op buiging belast wordt. In
dat geval zal de ligger bezwijken wanneer de buigspanning gelijk wordt aan de treksterkte van
Hoofdstuk 4: Theoretische invloed van een kitvoeg
61
het glas. Dit is eveneens geldig indien er een continue veerondersteuning aanwezig is,
werkzaam volgens de dikterichting van de ligger. Bij zuivere buiging zal zo een
veerondersteuning immers geen kracht uitoefenen op de ligger. Voor het numeriek model dat
hier toegepast wordt, kan de waarde van χ dus nooit de theoretische eenheidsgrens
overtreffen. In Figuur 4.9 wijken de kipkrommen, behorend bij grote veerstijfheden, hiervan
af. Dit wordt uitgebreider besproken in Hoofdstuk 6.
Zonder veerondersteuning geldt nog een tweede theoretische grens: de waarde van χ moet
kleiner zijn dan 2
1
λ. De bezwijkbelasting (tweede-orde probleem) kan immers niet groter zijn
dan de elastische kritieke belasting (bifurcatieprobleem). Indien een veerondersteuning
toegevoegd wordt aan het numeriek model, dan vervalt deze grenswaarde. Door de
terugroepende kracht van de veerondersteuning kan de bezwijkbelasting van een ligger met
veerondersteuning groter worden dan de elastische kritieke belasting van een ligger zonder
veerondersteuning. Dit is ook te zien in Figuur 4.9, waar de theoretische grenskromme steeds
meer wordt overschreden bij toenemende veerstijfheid. Indien de waarde van λ gebaseerd zou
worden op de ideale kipspanning σcr van een ligger met veerondersteuning, zou de krommen
vermoedelijk wel onder deze grenswaarde blijven.
62
Hoofdstuk 5
Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
In Hoofdstuk 4 werd het numeriek model van een ligger met vrije boven- en onderrand
uitgebreid met een kitvoeg. Deze werd gemodelleerd als een continue veerondersteuning over
de volledige bovenrand van de ligger, bestaande uit naast elkaar geplaatste translatieveren die
werkzaam zijn volgens de dikterichting van de ligger. Om numerieke simulaties uit te voeren
en kipkrommen op te stellen voor liggers met een kitvoeg, zijn realistische waarden voor de
veerstijfheid nodig. Daarom werden afschuifproeven uitgevoerd op het materiaal van de
kitvoeg. Op basis van deze resultaten kan een veermodel opgesteld worden, dat vervolgens
geïmplementeerd kan worden in het numeriek model (Hoofdstuk 6).
5.1 Proefstukken
5.1.1 Materialen
In Hoofdstuk 2 werd vermeld dat meestal silicone wordt gebruikt voor kitvoegen. Bij ons
vaak toegepaste materialen zijn “Dow Corning 895” en “Dow Corning 993”. Het grootste
verschil tussen beide is dat DC 895 een ééncomponent silicone is en DC 993 een
tweecomponenten silicone, waarvoor een speciale menginstallatie nodig is. Dit is de reden
waarom in dit werk gekozen werd voor DC 895. Op basis van Tabel 2.8 moet men echter
opmerken dat beide materialen een ander afschuifgedrag zullen hebben: de maximale
verlenging van DC 895 is dubbel zo groot als die van DC 993 terwijl de treksterkte ongeveer
gelijk is. De bekomen proefresultaten voor DC 895 mogen dus niet veralgemeend worden.
In eerste instantie werd gedacht aan een T-vormig proefstuk, bestaande uit twee glazen platen
die verbonden zijn door de silicone. Dit is immers een goede weergave van de werkelijke
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
63
situatie: een dak-ligger of gevel-vin aansluiting. Bij zo een proefstuk zou echter een speciale
opstelling nodig geweest zijn om de siliconevoeg in de trekbank te kunnen belasten.
Bovendien dienen de afschuifproeven enkel om het materiaalgedrag van de silicone te
bestuderen en is het niet de bedoeling om vb. het adhesief gedrag tussen het glas en de
silicone te onderzoeken. Vandaar dat de uiteindelijke proefstukken niet uit glas maar uit
aluminium vervaardigd zijn. Eén proefstuk bestaat uit twee aluminiumstukken die in elkaars
verlengde liggen en verbonden zijn door een siliconevoeg (Figuur 5.1, 5.2, 5.3 en 5.4). Op die
manier is geen tussenstuk nodig om de proefstukken te belasten.
Er werden twee reeksen proefstukken vervaardigd met verschillende voegafmetingen: 6 mm x
6 mm en 15 mm x 15 mm. Dit stemt min of meer overeen met de minimale en maximale
voegafmetingen die vaak worden toegepast in de praktijk (Hoofdstuk 2). Voor beide reeksen
heeft de voeg een lengte van 100 mm. De breedte van de voeg wordt gedefinieerd als de
afmeting volgens de afschuifrichting, van het contactvlak tussen de silicone en het
aluminiumstuk. De dikte van de voeg is gelijk aan de afstand tussen beide contactvlakken.
Omdat de klemmen van de trekbank in elkaars verlengde liggen (paragraaf 5.2), moeten de
aluminiumstukken een trapvorm hebben. De trapvorm is zodanig dat er tussen beide
aluminiumstukken een uitsparing ontstaat waarvan de hoogte overeenkomt met de dikte van
de siliconevoeg. De aluminiumstukken voor de siliconevoeg van 15 mm x 15 mm, hebben een
dikte van 30 mm en zijn samengesteld uit 2 platen van elk 15 mm dikte, die aan elkaar gebout
zijn. Aan de uiteinden wordt de dikte gereduceerd tot maximaal 19 mm zodat de proefstukken
kunnen ingeklemd worden in de trekbank.
100 35 100
leng
te =
100
20
dikt
e =
6
77
breedte = 6
silicone
aluminiumstuk links aluminiumstuk rechts
Figuur 5.1: Schematische weergave van een proefstuk met een
siliconevoeg van 6 mm x 6 mm (afmetingen in mm)
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
64
Figuur 5.2: Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
30 56 45 56 30le
ngt
e =
100
breedte = 15 7,5
7,5
30
dikt
e =
15 19
silicone
aluminiumstuk links
aluminiumstuk rechts
Figuur 5.3: Schematische weergave van een proefstuk met een
siliconevoeg van 15 mm x 15 mm (afmetingen in mm)
Figuur 5.4: Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
5.1.2 Maken van de proefstukken
Om de proefstukken te maken, werden de aluminiumstukken eerst ontvet met aceton. Daarna
werd de silicone met een siliconespuit aangebracht op één van beide aluminiumstukken. Dit
gebeurde in één beweging, zodat de vorming van luchtinsluitsels vermeden werd. De juiste
afmetingen van de voeg werden bepaald door vier hulpstaafjes: twee lange staafjes langs
weerszijden van de voeg, als afstandshouder voor de dikte en twee korte staafjes als
afstandshouder voor de breedte. Bij het aanbrengen van de silicone werd de breedte
voldoende groot genomen. Vervolgens werden de twee lange staafjes langs weerszijden van
de silicone geplaatst en de twee korte staafjes ertussen (Figuur 5.5). Door de lange staafjes
naar elkaar toe te bewegen tot ze de korte staafjes raakten, werd de silicone naar omhoog en
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
65
naar opzij gestuwd. De korte staafjes garandeerden de juiste breedte van de voeg. Daarna kon
het tweede aluminiumstuk op de silicone geplaatst worden. Door het geheel stevig aan te
drukken, terwijl de hulpstaafjes op hun plaats werden gehouden, werd de overtollige silicone
zijdelings weggeperst. Zo werd de dikte van de voeg vastgelegd door de lange hulpstaafjes.
afstandshouder dikteafstandshouder hoogte
aluminiumstuk rechts
silicone
6 mm of 15 mm
Figuur 5.5: Schematische weergave van het gebruik van afstandshouders
Aangezien de korte hulpstaafjes geen contact maakten met de silicone, konden deze
onmiddellijk verwijderd worden. De lange hulpstaafjes moesten echter aanwezig blijven
tijdens het uithardingsproces om ervoor te zorgen dat de viskeuze silicone zijn vorm behield
(Figuur 5.6). Voordat de proefstukken beproefd werden in de trekbank, moesten ook de lange
hulpstaafjes weggehaald worden.
Figuur 5.6: Lange hulpstaafjes, omwikkeld met vershoudfolie
Bij een eerste serie teststukken werd gewerkt met staafjes uit pvc. Achteraf bleek dat bij het
verwijderen van deze staafjes, de siliconevoeg beschadigd werd: de hechting tussen beide
materialen was te groot. Daarom werden voor de definitieve proefstukken stalen staafjes
gebruikt die omwikkeld werden met vershoudfolie. Op die manier was het zeker mogelijk om
de staafjes te verwijderen. Indien de silicone zich zou hechten aan de folie, dan kon de
invloed daarvan bij de afschuifproeven, verwaarloosd worden. Uiteindelijk kon de
vershoudfolie echter zeer gemakkelijk verwijderd worden. In principe zou de dikte van de
folie in rekening moeten gebracht worden bij het bepalen van de afmetingen van de
siliconevoegen. Dit effect wordt echter verwaarloosd.
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
66
In Hoofdstuk 2 werd vermeld dat ééncomponent siliconen zoals DC 895, uitharden met de
luchtvochtigheid. Volgens de productinformatie van DC 895, is het materiaal na 24 uur 2,2
mm diep uitgehard en na 72 uur 3,5 mm, vertrekkende van het oppervlak in contact met die
luchtvochtigheid. Door de aanwezigheid van de hulpstaafjes is het echter moeilijk in te
schatten wanneer de silicone volledig uitgehard is. Daarom werden tegelijk met de definitieve
proefstukken ook een aantal teststukken gemaakt. Deze bestonden uit twee evenwijdige
aluminiumplaatjes met afmetingen 5 cm x 10 cm, met daartussen een siliconevoeg van 6 mm
x 6 mm of 15 mm x 15 mm. Aan de hand van deze teststukken kon vermeden worden dat de
proefstukken beproefd werden vooraleer de silicone volledig uitgehard was.
De proefstukken met siliconevoegen van 6 mm x 6 mm werden 15 dagen nadat ze gemaakt
werden, beproefd. Al die tijd bleven de hulpstaafjes aanwezig. De proefstukken met
siliconevoegen van 15 mm x 15 mm hebben gedurende 12 dagen uitgehard met hulpstaafjes,
en 15 dagen zonder hulpstaafjes, vooraleer ze beproefd werden. Na acht dagen uitharden
zonder hulpstaafjes, was de silicone volledig uitgehard.
Tabel 5.1: Overzicht van de proefstukken
Uitharding [dagen] Proefstuk Silicone b x d [mm]
Met staafjes Zonder staafjes
6_6_1 DC 895 6 x 6 15 0
6_6_2 DC 895 6 x 6 15 0
6_6_3 DC 895 6 x 6 15 0
6_6_4 DC 895 6 x 6 15 0
6_6_5 DC 895 6 x 6 15 0
15_15_1 DC 895 15 x 15 12 15
15_15_2 DC 895 15 x 15 12 15
15_15_3 DC 895 15 x 15 12 15
15_15_4 DC 895 15 x 15 12 15
15_15_5 DC 895 15 x 15 12 15
5.2 Proefopstelling en -procedure
Voor de proeven is gebruik gemaakt van de trekbank van de vakgroep Textielkunde van de
Universiteit Gent. Dit is een elektromechanische universele trekbank Instron 3369, met een
Bluehill2 Control Console en een uitleestoestel op PC. Met behulp van twee klemmen
werden de proefstukken ingeklemd. Omdat de dikte van de proefstukken te groot was,
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
67
moesten de geribde plaatjes van de klemmen losgemaakt worden. De op die manier
gecreëerde extra ruimte moest gedeeltelijk opgevuld worden met rubber. Zoniet was het
proefstuk bovenaan en onderaan slechts op één lijn ingeklemd, namelijk ter plaatse van de
‘tand’ van de klemmen.
(a) (b) (c)
Figuur 5.7: Klem (a) met geribde plaatjes (b) zonder geribde plaatjes (c) met rubber
De aluminiumstukken werden met een constante snelheid uit elkaar getrokken, zodat de
siliconevoeg op afschuiving belast werd. De belastingssnelheid werd vastgelegd op vijf
millimeter per minuut, naar analogie met (ETAG 002, Guideline for European technical
approval for structural sealant glazing systems (SSGS), 1999).
Figuur 5.8: Ingeklemd proefstuk
De geleverde kracht werd opgemeten door een meetcel met een bereik tot 2 kN, model Instron
T1701-10022530-418. Ook de bijhorende relatieve verplaatsingen van de klemmen werden
opgemeten. De kracht werd op nul gezet op het moment dat het proefstuk onderaan was
inklemd en nog geen contact maakte met de bovenste klem. Nadat het proefstuk ook
bovenaan was ingeklemd, werd de verplaatsing op nul gezet.
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
68
5.3 Proefresultaten
5.3.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
Alle 6 mm x 6mm proefstukken werden belast tot breuk. Figuur 5.9 toont het verloop van de
verplaatsing uafsch in functie van de kracht Fafsch. Voor elk proefstuk is de maximale waarde
van de kracht en de bijhorende verplaatsing ook terug te vinden in Tabel 5.2. De fout op de
gemiddelde waarde wordt bepaald als de verhouding van de standaardafwijking tot de
vierkantswortel van het aantal metingen. Indien deze waarde kleiner was dan de fout op een
individuele meting (meetnauwkeurigheid), was de fout op de gemiddelde waarde gelijk aan
deze laatste.
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
6_6_1
6_6_2
6_6_3
6_6_4
6_6_5
Figuur 5.9: Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing
voor alle 6 mm x 6 mm proefstukken
Tabel 5.2: Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype
voor alle 6 mm x 6 mm proefstukken
Bezwijktype Proefstuk Fafsch [N] uafsch [mm]
Cohesief Adhesief
6_6_1 561 ± 1 32,9 ± 0,1 25% 75%
6_6_2 516 ± 1 28,9 ± 0,1 10% 90%
6_6_3 544 ± 1 33,2 ± 0,1 10% 90%
6_6_4 512 ± 1 30,2 ± 0,1 10% 90%
6_6_5 507 ± 1 29,9 ± 0,1 10% 90%
Gemiddelde 528 ± 10 31,0 ± 0,9
Standaardafwijking 23 1,9
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
69
De afname in kracht op het einde van de proef is het gevolg van het bezwijken van de
siliconevoeg. Over het algemeen vertoonden de proefstukken een hoofdzakelijk adhesieve
breuk. Enkel aan de randen van de voeg was er een cohesief breukpatroon (Figuur 5.10). Bij
één van de proefstukken was er een cohesieve breuk over ongeveer 1,5 cm. Het zwakke
contactvlak tussen silicone en aluminium was telkens het vlak dat onderaan lag toen
proefstukken gemaakt werden. Met andere woorden, de silicone loste steeds van het
aluminiumstuk waarop de siliconerups werd aangebracht. Aan de bovenzijde van de voeg was
er immers een beetje uitvloei, als gevolg van het wegpersen van de overtollige silicone
(Figuur 5.10). Hierdoor was het contactvlak bovenaan groter dan onderaan. In Tabel 5.2 zijn
de breukpatronen van de proefstukken weergegeven, gebaseerd op een grove schatting.
Figuur 5.10: Breukpatroon van proefstuk 6_6_5:
overwegend adhesief en aan de randen cohesief
De siliconevoeg bezweek niet in één keer, zoals ook te zien is in Figuur 5.9: de kracht neemt
af in trapvorm. Na het bezwijken van een deel van de voeg, nam de kracht opnieuw lichtjes
toe totdat een volgend deel van de voeg bezweek. Bij vier van de vijf proefstukken bezweek
de voeg van links naar rechts of omgekeerd (Figuur 5.11). Bij één proefstuk bezweek echter
eerst het middendeel van de voeg, dan het linkerdeel en als laatste het rechterdeel. Figuur B.1
van Bijlage B bevat een fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4.
Figuur 5.11: Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 6_6_4
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
70
5.3.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
Figuur 5.12 toont het verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor de vijf
proefstukken met een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm. Proefstuk 15_15_5 werd niet belast
tot breuk: tijdens de proef werd het proefstuk uit de onderste klem getrokken omdat het
onvoldoende ingeklemd was. De resultaten van dit proefstuk zullen bijgevolg niet verder
gebruikt worden. De overige vier proefstukken konden wel tot breuk belast worden. Bij
proefstuk 15_15_3 en 15_15_4 was er eveneens enige slip ter hoogte van de klemmen. Op het
einde van de proef bedroeg deze ongeveer vier millimeter. Aangezien de slip pas zichtbaar
was bij verplaatsingen groter dan ongeveer 60 millimeter, kan het eerste deel van beide
curven wel gebruikt worden. De maximale waarde van de kracht met bijhorende verplaatsing
is weergegeven in Tabel 5.3
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 20 40 60 80 100
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
15_15_1
15_15_2
15_15_3
15_15_4
15_15_5
Figuur 5.12: Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing
voor alle 15 m x 15 mm proefstukken
Tabel 5.3: Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype
voor alle 15 m x 15 mm proefstukken
Bezwijktype Proefstuk Fafsch [N] uafsch [mm]
Cohesief Adhesief Opmerking
15_15_1 1506 ± 1 73,3 ± 0,1 60% 40%
15_15_2 1246 ± 1 56,9 ± 0,1 95% 5%
15_15_3 1628 ± 1 84,7 ± 0,1 90% 10% Slip
15_15_4 1670 ± 1 89,0 ± 0,1 70% 30% Slip
Gemiddelde 1513 ± 95 76,0 ± 7,2
Standaardafwijking 191 14,3
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
71
Bij drie van de vier geslaagde proeven, bezweek de siliconevoeg in één keer, zoals ook te zien
is in Figuur 5.12. Bij proefstuk 15_15_2 bezweek eerst het middendeel, dan het rechterdeel
en als laatste het linkerdeel. Figuur 5.13 toont de opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk
15_15_2. In Figuur B.2 van Bijlage B is een fotoreeks weergegeven van het beproeven van
proefstuk 15_15_2.
Figuur 5.13: Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 15_15_2
Alle proefstukken vertonen een combinatie van cohesieve en adhesieve breuk. Hierbij heeft
het grootste deel van de oppervlakte een cohesief breukpatroon. In vergelijking met de
siliconenvoegen van 6 mm x 6 mm, heeft het breukpatroon duidelijk een meer cohesief
karakter (Tabel 5.3).
Figuur 5.14: Overwegend cohesief breukpatroon van proefstuk 15_15_3
5.4 Analyse van de resultaten
5.4.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
In Figuur 5.9 is te zien dat de resultaten een zeer goede overeenkomst vertonen: de vijf curven
sluiten nauw aan bij elkaar. Dit is geldig voor het predestructief deel van de proeven. Het
breukfenomeen is echter van minder belang bij het opstellen van het veermodel.
Als ruwe benadering geldt een lineair verband tussen de verplaatsing en de kracht. Meer in
detail bekeken, hebben de krommen een hol verloop tot een verplaatsing van ongeveer 12
millimeter, voor grotere verplaatsingen hebben de krommen eerder een bol verloop.
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
72
Bij het begin van de proef werd de siliconevoeg reeds belast door het eigengewicht van het
aluminiumstuk in de bovenste klem. De ‘trap’ van het ene aluminiumstuk maakte immers
geen rechtstreeks contact met het andere aluminiumstuk, er was een speling van ongeveer vijf
millimeter. Dit is ook te zien in Figuur 5.2. Het proefstuk werd eerst onderaan ingeklemd en
dan pas bovenaan. Bijgevolg was er al een zekere afschuiving, met tegengestelde zin van de
afschuiving tijdens de proef. Indien het proefstuk eerst bovenaan zou ingeklemd zijn, dan zou
de initiële afschuiving dezelfde zin gehad hebben als die tijdens de proef. Om met de correcte
belasting te rekenen, moeten de opgemeten krachten verminderd worden met het
eigengewicht. De toestand waarbij de gecorrigeerde belasting gelijk is aan nul, wordt
gedefinieerd als de referentietoestand van de voeg. De opgemeten verplaatsingen worden
gecorrigeerd zodanig dat ook de verplaatsing gelijk is aan nul in de referentietoestand. Het
eigengewicht van één aluminiumstuk bedraagt 6,06 Newton, wat uiteraard een relatief kleine
waarde is. De gecorrigeerde waarden verschillen dus weinig van de waarden die werden
opgemeten.
0
100
200
300
400
500
600
0 10 20 30 40
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
6_6_1, opgemeten waarden
6_6_1, gecorrigeerde waarden
Figuur 5.15: Vergelijking tussen de opgemeten en gecorrigeerde waarden
voor het proefstuk 6_6_1
Er moet opgemerkt worden dat de rubberen opvulstukjes tijdens de proef kunnen vervormen,
waardoor de opgemeten verplaatsingen zouden moeten gecorrigeerd worden. Hier wordt
echter geen rekening mee gehouden.
Om het veermodel te bepalen, worden de waarden met een verplaatsing groter dan 28
millimeter verwaarloosd. Op die manier wordt enkel het stijgende deel van de vijf krommen
beschouwd. Figuur 5.16 toont de gemiddelde kromme die gebaseerd is op de vijf
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
73
gecorrigeerde krommen. Tevens zijn de punten aangeduid waarmee het veermodel kan
benaderd worden. Tenslotte is ook een lineaire benadering van het veermodel weergegeven.
siliconevoeg 6 x 6 mm
y = 19,143x
0
100
200
300
400
500
0 5 10 15 20 25
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
Figuur 5.16: Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt,
met aanduiding van de lineaire benadering
5.4.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
Zoals eerder gezegd worden de resultaten van proefstuk 15_15_5 niet gebruikt omwille van
overmatige slip ter hoogte van de onderste klem. Op basis van Figuur 5.12 kan men besluiten
dat de vier overige krommen een goede overeenkomst vertonen voor verplaatsingen kleiner
dan 56 millimeter. Voor grotere verplaatsingen neemt de kracht bij proefstuk 15_15_2 weer af
(Tabel 5.3). Alle curven vertonen een ietwat holler verloop tot de verplaatsing ongeveer 30
millimeter bedraagt om daarna te evolueren naar een meer boller verloop.
Bij de 15 mm x 15 mm proefstukken maakten beide aluminiumstukken rechtstreeks contact
met elkaar, dit in tegenstelling tot de 6 mm x 6 mm proefstukken (Figuur 5.4). Als het
onderste aluminiumstuk wordt ingeklemd, dan kan het bovenste aluminiumstuk hierop
steunen. Bijgevolg is er geen initiële vervorming van de siliconevoeg en moeten de
opgemeten waarden niet gecorrigeerd worden.
Het veermodel wordt bepaald als het gemiddelde van de vier krommen uit Figuur 5.12, en dit
voor verplaatsingen kleiner dan 56 millimeter. Het resultaat is weergegeven in Figuur 5.17,
evenals de lineaire benadering.
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
74
siliconevoeg 15 x 15 mm
y = 21,441x
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
Figuur 5.17: Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt,
met aanduiding van de lineaire benadering
5.4.3 Vergelijking
Uit de vergelijking van Figuur 5.16 en Figuur 5.17 volgt dat beide krommen eenzelfde
verloop kennen: een hol verloop bij kleine verplaatsingen, overgaand in een bol verloop bij
grotere verplaatsingen. Uiteraard zijn de maximale krachten en verplaatsingen groter voor een
siliconevoeg van 15 mm x 15 mm. Beide curven kunnen ruwweg benaderd worden door een
rechte met ongeveer dezelfde helling. Dit betekent dat een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
ongeveer hetzelfde veermodel levert als een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm, in het geval
een lineaire benadering gekozen wordt. Ook met een niet-lineair veermodel zijn gelijkaardige
resultaten te verwachten: de curven in Figuur 5.18 stemmen immers redelijk goed met elkaar
overeen.
0
200
400
600
800
1000
1200
0 10 20 30 40 50
uafsch [mm]
Faf
sch
[N]
siliconevoeg 6 x 6 mm
siliconevoeg 15 x 15 mm
Figuur 5.18: Vergelijking tussen het veermodel, behorend bij een
siliconevoeg van 6 mm x 6 mm en 15 mm x 15 mm
Hoofdstuk 5: Experimentele studie van het materiaalgedrag van een kitvoeg
75
In Hoofdstuk 4 werd vastgesteld dat het effect van een kitvoeg belangrijk wordt indien de
veerstijfheid groter is dan 100 N/m². Uit Figuur 5.16 en 5.17 blijkt dat de werkelijke
veerstijfheid 19,143 N/m respectievelijk 21,441 N/m bedraagt. Deze waarden zijn geldig voor
een voeglengte van 100 mm. In de veronderstelling dat de veerstijfheid evenredig is met de
voeglengte, komt dit overeen met 191430 N/m² respectievelijk 214410 N/m². Bijgevolg kan
men verwachten dat een kitvoeg een niet te verwaarlozen invloed zal hebben op het
kipgedrag. Dit wordt verder besproken in Hoofdstuk 6.
76
Hoofdstuk 6
Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
In Hoofdstuk 4 werd besloten om enkel het afschuifgedrag van de kitvoeg te modelleren. Dit
gebeurt door middel van een continue veerondersteuning. Op basis van afschuifproeven werd
het materiaalgedrag van DC 895, een veel gebruikte silicone voor kitvoegen, verder
onderzocht (Hoofdstuk 5). In dit hoofdstuk wordt het resulterende veermodel
geïmplementeerd in het numeriek model. Op die manier kan een numerieke analyse
uitgevoerd worden van de invloed van een kitvoeg op het kipgedrag van glazen liggers.
Zoals eerder vermeld wordt een kitvoeg aangebracht op de ligger met zijn initiële vormfout.
Vandaar dat in de eerste berekeningsstap, waar de eerste eigenvorm bepaald wordt, geen
continue veerondersteuning wordt toegevoegd. Enkel in de tweede, niet-lineaire
berekeningsstap wordt de kitvoeg gemodelleerd.
Net als in Hoofdstuk 3 worden twee belastingsgevallen beschouwd: een puntkracht in het
midden en een uniform verdeelde belasting.
6.1 Liggers belast met een puntkracht in het midden
6.1.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
Een eerste reeks numerieke simulaties heeft betrekking op een siliconevoeg van 6 mm x 6
mm. In het numeriek model wordt een niet-lineair veergedrag gekozen, gebaseerd op de
overeenkomstige afschuifproeven (Figuur 5.16). De proefresultaten zijn geldig voor een voeg
met lengte 100 mm. In het numeriek model wordt de kitvoeg echter vervangen door naast
elkaar geplaatste translatieveren, gericht volgens de dikterichting van de ligger. Elke veer
vertegenwoordigt een deel van de kitvoeg, met lengte gelijk aan de lengte van één element. Er
wordt verondersteld dat de kracht Fafsch, nodig om een bepaalde afschuiving te veroorzaken,
evenredig is met de lengte van de voeg. Voor een verplaatsing groter dan 28 millimeter, is de
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
77
veerstijfheid gelijk aan nul, aangezien de kitvoeg dan bezweken is. De waarden uit Figuur
5.16 kunnen als volgt omgevormd worden:
mm100
element1lengteFF proef,afschelmod,afsch ⋅= (6.1)
Het opstellen van de kipkrommen gebeurt op dezelfde manier als in Hoofdstuk 3 en
Hoofdstuk 4. Nadat de numerieke simulaties zijn uitgevoerd, kan het verloop van de belasting
en de spanning aan de onder- en bovenrand opgevraagd worden. Deze waarden kunnen
omgerekend worden naar waarden voor λ en χ. Hierbij moet opgemerkt worden dat voor de
bepaling van λ, gebruik wordt gemaakt van de ideale kipspanning σcr voor een ligger zonder
kitvoeg, hoewel we te maken hebben met een ligger met kitvoeg.
In Figuur 6.1 zijn de kipkrommen weergegeven, gebaseerd op de numerieke simulaties van
een ligger met en zonder kitvoeg, met lengte drie meter, lengte-hoogte verhouding tien, dikte
tien millimeter en initiële vormfout L/333. Hieruit blijkt dat de invloed van een kitvoeg
allerminst te verwaarlozen valt. Zoals eerder vermeld was dit te verwachten: uit de
afschuifproeven bleek dat een kitvoeg van 6 mm x 6 mm benaderd kan worden door een
lineair veermodel met veerstijfheid gelijk aan 191430 N/m². Figuur 4.9 toont dat een kitvoeg
met die veerstijfheid een behoorlijk gunstig effect heeft.
Theoretisch gezien, zou de invloed van een kitvoeg het kleinst moeten zijn voor liggers met
kleine slankheden, aangezien deze eerder bezwijken door buiging dan door kip. De ligger
ondergaat geen zijdelingse verplaatsingen, waardoor de kitvoeg niet op afschuiving belast
wordt en de translatieveren in het numeriek model geen terugroepende kracht uitoefenen.
Bijgevolg zou voor relatief massieve liggers de bezwijkbelasting met kitvoeg weinig mogen
verschillen van die zonder kitvoeg. Slanke liggers daarentegen, bezwijken meestal door kip.
De kitvoeg zal in dat geval de horizontale verplaatsingen belemmeren, waardoor de
bezwijkbelasting toeneemt.
De kipkromme behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm overschrijdt de grenswaarde 2
1
λ,
waarbij λ gebaseerd is op de ideale kipspanning σcr van een ligger zonder kitvoeg: de
bezwijkbelasting (tweede-orde probleem) van een ligger met kitvoeg kan immers groter zijn
dan de elastische kritieke belasting (bifurcatieprobleem) van een ligger zonder kitvoeg. Indien
λ zou berekend worden op basis van de ideale kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg,
zou de kipkromme vermoedelijk wel onder deze grens blijven. Men kan ook vaststellen dat de
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
78
kipkromme voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, de eenheidsgrens lichtjes overschrijdt, terwijl
de kipkromme voor een ligger zonder kitvoeg, onder de eenheid ligt.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
λλλλ
χχ χχ
zonder kitvoeg
kitvoeg 6 mm x 6 mm
Figuur 6.1: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger
met en zonder kitvoeg en L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
Net als in Hoofdstuk 3 worden meerdere numerieke simulaties uitgevoerd om een beter beeld
te krijgen van de algemene vorm van de kipkrommen. De geometrische parameters nemen
dezelfde waarden aan als bij liggers zonder kitvoeg (Tabel 3.4). Sommige van de beschouwde
combinaties zijn weinig relevant: vb. een ligger met dikte 19 millimeter voorzien van één
kitvoeg van 6 mm x 6 mm, zal in de praktijk niet vaak toegepast worden. In deze
parameterstudie wordt echter geen rekening gehouden met de praktische bruikbaarheid.
Figuur 6.2 toont de kipkrommen die opgesteld zijn op basis van de numerieke simulaties van
liggers met lengte drie meter en initiële vormfout L/333 (acht simulaties). De spreiding in de
puntenwolk is het grootst voor waarden van λ ongeveer gelijk aan twee. Dit is een verschil
met de kipkrommen, behorend bij liggers zonder kitvoeg, waar de spreiding afneemt bij
stijgende waarden van λ (Figuur 3.18).
Indien de kipkrommen van naderbij worden bekeken voor zeer kleine waarden van λ, blijkt de
factor t * L/h bepalend te zijn voor de ligging van de kipkromme. De invloed ervan is echter
minder uitgesproken dan voor liggers zonder kitvoeg. Hoe groter de waarde van t * L/h, hoe
lager de kipkromme ligt en hoe beter de theoretische eenheidswaarde benaderd wordt. Voor
kleine waarden van t * L/h zijn de waarden van χ groter dan de eenheid, terwijl bij liggers
zonder kitvoeg, waarden kleiner dan één worden bekomen.
Ook bij grotere waarden van λ verschillen de kipkrommen van elkaar. Het is echter niet
duidelijk welke factor bepalend is voor de relatieve ligging van de kipkrommen ten opzichte
van elkaar. Mogelijks is de spreiding kleiner, indien λ gebaseerd wordt op de ideale
kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg.
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
79
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
L = 3 m, L/h = 10, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 10, t = 19 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 6 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 10 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 15 mmL = 3 m, L/h = 20, t = 19 mm
Figuur 6.2: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm en L = 3 m en u0 = L/333
Voor liggers met gelijke lengte-hoogte verhouding en dikte, bepaalt de lengte hoe hoog de
overeenkomstige kipkrommen gelegen zijn (Figuur 6.3). Hoe groter de lengte, hoe groter de
waarden van χ zijn en hoe meer de kipkromme afwijkt van de eenheidsgrens. Bij liggers
zonder kitvoeg daarentegen, liggen de kipkrommen onder de eenheid (Figuur 3.20).
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7
λλλλ
χχ χχ
L = 1 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 5 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 6 m, L/h = 10, t = 10 mm
Figuur 6.3: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm en L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
Men kan nagaan of de dikte-hoogte verhouding de belangrijkste parameter is voor de
kipkrommen van liggers met kitvoeg 6 mm x 6 mm, net als bij liggers zonder kitvoeg. In
Figuur 6.4 worden vier kipkrommen getoond, die behoren bij liggers met een dikte-hoogte
verhouding van 0,050. Bij kleine waarden van λ, kunnen de krommen niet van elkaar
onderscheiden worden, terwijl bij grotere waarden van λ twee paren van krommen te
herkennen zijn. De twee krommen in één paar, hebben dezelfde lengte-hoogte verhouding en
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
80
(ongeveer) dezelfde lengte-dikte verhouding. Het is duidelijk dat de dikte-hoogte verhouding
niet de enige parameter is die de relatieve ligging van de kipkrommen bepaalt, dit in
tegenstelling tot het geval zonder kitvoeg. Bij waarden van λ, berekend op basis van de ideale
kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg, zou eventueel een andere conclusie kunnen
getrokken worden.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ L = 2 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm
L = 4 m, L/h = 20, t = 10 mm
L = 6 m, L/h = 20, t = 15 mm
Figuur 6.4: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm en t/h = 0,050 en u0 = L/333
In Figuur 6.5 zijn alle kipkrommen weergegeven die opgesteld zijn op basis van de numerieke
simulaties van liggers met en zonder kitvoeg en met initiële vormfout L/333. De
puntenwolken vertonen twee grote verschillen: bij de puntenwolk, behorend bij liggers zonder
kitvoeg, neemt de spreiding af naarmate de slankheid λ toeneemt. Bij de puntenwolk,
gebaseerd op liggers met kitvoeg is de spreiding ongeveer even groot voor waarden van λ
tussen nul en vier. Het tweede grote verschil is de ligging van de puntenwolk ten opzichte van
de eenheidsgrens: bij liggers zonder kitvoeg zijn de waarden van χ kleiner dan één, terwijl bij
liggers met kitvoeg de eenheid overschreden wordt. Zoals eerder gezegd kunnen deze
verschillen te wijten zijn aan de manier waarop λ berekend wordt: zowel voor liggers met als
zonder kitvoeg wordt gebruik gemaakt van de ideale kipspanning σcr voor een ligger zonder
kitvoeg.
In de puntenwolk voor liggers met kitvoeg is de hoogste waarde van χ gelijk aan 1,21. Bij
deze waarde hoort een waarde van λ van 0,37, en een ligger met lengte zes meter, lengte-
hoogte verhouding tien en dikte zes millimeter. Dit punt komt bijgevolg overeen met een
treksterkte van 0,2 MPa, wat niet relevant is. Ook de geometrie van de ligger heeft weinig
praktische betekenis, maar hier wordt niet dieper op ingegaan.
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
81
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
zonder kitvoeg
kitvoeg 6 mm x 6 mm
Figuur 6.5: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met of zonder kitvoeg en u0 = L/333
Ook voor een initiële vormfout van L/250 en L/1000 worden kipkrommen opgesteld. In
Figuur 6.6 kunnen de kipkrommen van liggers met initiële vormfout L/333 en L/1000 met
elkaar vergeleken worden. De spreiding van de puntenwolk voor L/1000 is iets kleiner, bij
kleine waarden van λ. Voor grotere waarden van λ hebben beide puntenwolken ongeveer
evenveel spreiding. De twee ondergrenzen vallen zo goed als samen. In Figuur C.1 van
Bijlage C is ook de puntenwolk voor een vormfout van L/250 weergegeven.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
L/333
L/1000
Figuur 6.6: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm en u0 = L/333 of L/1000
Bij liggers zonder kitvoeg, kan de puntenwolk opgesplitst worden op basis van de dikte-
hoogte verhouding (Figuur 3.24 en 3.25). Uit Figuur 6.4 blijkt dat dit voor liggers met een
kitvoeg van 6 mm x 6 mm niet evident is. De relatieve ligging van de kipkrommen ten
opzichte van elkaar, wordt niet uitsluitend bepaald door de dikte-hoogte verhouding. Er zijn
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
82
meerdere factoren die bepalen hoe groot de afwijking is ten opzichte van de theoretische
eenheidsgrens. Er wordt besloten om geen onderverdeling te maken en om de ondergrens te
bepalen van de volledige wolk. Net als in Hoofdstuk 3, gebeurt dit op visuele wijze, door een
aantal punten van de wolk te selecteren.
Figuur 6.7 toont een overzicht van de ondergrenzen van de puntenwolken, voor liggers met en
zonder kitvoeg, en dit voor de drie beschouwde vormfouten. De maximale slankheid λ wordt
vastgelegd op drie aangezien grotere slankheden in de praktijk zelden voorkomen.
De grootte van de initiële vormfout is het meest van belang voor liggers zonder kitvoeg, met
een dikte-hoogte verhouding kleiner dan 0,060. Voor liggers met kitvoeg, heeft de vormfout
weinig belang: de drie krommen, behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm vallen bijna
volledig samen. Dit kan ook vastgesteld worden in Figuur 6.6.
kitvoeg 6 mm x 6 mm
zonder kitvoegt/h > 0,060
zonder kitvoegt/h < 0,060
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
L/250L/333L/1000
Figuur 6.7: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met en zonder kitvoeg,
voor u0 = L/250, L/333 en L/1000
Tabel 6.1 geeft een overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, geldig
voor liggers met een dikte-hoogte verhouding kleiner dan 0,060. Tabel 6.2 bevat dezelfde
informatie, maar voor liggers met een dikte-hoogte verhouding groter dan 0,060. De relatieve
invloed van een kitvoeg neemt eerst toe bij stijgende waarden van λ, om daarna weer af te
nemen. Het toepassen van een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm is het meest efficiënt
voor liggers met een slankheid van ongeveer twee. In dat geval wordt de waarde van χ meer
dan verdubbeld.
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
83
Tabel 6.1: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ,
voor liggers met t/h < 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7
L/250 L/333 L/1000
λ Zonder
kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
Zonder
kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
Zonder
kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
0,5 0,56 1,00 78% 0,63 1,01 60% 0,85 1,02 20%
1,0 0,48 0,98 104% 0,55 0,99 80% 0,75 1,00 33%
1,5 0,38 0,90 137% 0,40 0,92 130% 0,44 0,98 123%
2,0 0,25 0,68 172% 0,26 0,70 169% 0,27 0,75 178%
2,5 0,18 0,42 133% 0,18 0,43 139% 0,18 0,45 150%
Tabel 6.2: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ,
voor liggers met t/h > 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7
L/250 L/333 L/1000
λ Zonder
Kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
Zonder
kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
Zonder
kitvoeg
Met
kitvoeg Toename
0,5 0,85 1,00 18% 0,89 1,01 13% 0,97 1,02 5%
1,0 0,70 0,98 40% 0,73 0,99 36% 0,85 1,00 18%
1,5 0,40 0,90 125% 0,40 0,92 130% 0,43 0,98 128%
2,0 0,25 0,68 172% 0,26 0,70 169% 0,27 0,75 178%
2,5 0,18 0,42 133% 0,18 0,43 139% 0,18 0,45 150%
6.1.2 Lineaire benadering van het veergedrag
In Figuur 5.16 is het veermodel weergegeven, dat gebaseerd is op de afschuifproeven van
siliconevoegen van 6 mm x 6 mm. Het verband tussen de afschuifkracht Fafsch en de
verplaatsing uafsch, kan benaderd worden door een rechte. Dit betekent dat een lineair
veermodel kan toegepast worden. De veerstijfheid bedraagt 19,143 N/mm voor een
voeglengte van 100 mm. In de onderstelling dat de veerstijfheid evenredig is met de
voeglengte, komt dit overeen met een waarde van 191430 N/m². Net als bij het niet-lineair
veermodel wordt de verplaatsing beperkt tot 28 millimeter: bij grotere verplaatsingen oefenen
de veren geen terugroepende kracht uit.
Figuur 6.8 toont de puntenwolken, gebaseerd op simulaties met een niet-lineair en lineair
veergedrag, voor liggers met een initiële vormfout van L/333. De puntenwolken zijn, zoals
verwacht, nauwelijks van elkaar te onderscheiden.
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
84
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
niet-lineair veergedraglineair veergedrag
Figuur 6.8: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333
Figuur 6.9 toont de kipkrommen voor drie verschillende geometrieën, met een lineair en niet-
lineair veermodel. Het is duidelijk dat een lineair veermodel mag aangenomen worden,
zonder dat de nauwkeurigheid hierdoor beïnvloed wordt. Dit is een belangrijke conclusie: het
is immers een stuk eenvoudiger om een lineair veergedrag te modelleren.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
niet-lineair veergedrag
lineair veergedrag
L = 6 m, L/h = 10, t = 6 mm
L = 4 m, L/h = 10, t = 10 mm
L = 3 m, L/h = 10, t = 15 mm
Figuur 6.9: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met 3
verschillende geometrieën, met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333
6.1.3 Siliconevoeg van 6 mm x t
De proefresultaten voor een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm worden uitgebreid voor het geval
van een siliconevoeg met een dikte zes millimeter en een breedte, gelijk aan de dikte t van de
ligger. Hierbij wordt ondersteld dat indien de breedte van de voeg verdubbelt, ook de nodige
afschuifkracht Fafsch verdubbelt. Bovendien wordt aangenomen dat de voeg bezwijkt bij een
verplaatsing gelijk aan 28 millimeter, onafhankelijk van de breedte van de voeg, wat een
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
85
veilige benadering is. Doordat de proefresultaten niet rechtstreeks gebruikt worden, is het
gebruikte model niet exact, dit in tegenstelling tot vb. het geval van een kitvoeg van 6 mm x 6
mm. Toch lijkt dit een aanvaardbare werkwijze. De waarden van de afschuifkracht voor het
numeriek model, kunnen bepaald worden op basis van de proefresultaten van de siliconevoeg
van 6 mm x 6 mm:
mm6
t
mm100
element1lengteFF proef,afschelmod,afsch ⋅⋅= (6.2)
Er moet opgemerkt worden dat sommige van de beschouwde geometrieën weinig praktische
betekenis hebben. Zo zal men zelden een kitvoeg met breedte 19 millimeter en dikte zes
millimeter aantreffen, maar eerder twee kitvoegen met breedte en dikte zes millimeter, met
daartussen een steunstrip.
Net als bij de kipkrommen voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, is de dikte-hoogte verhouding
niet de enige parameter die een invloed heeft op de waarden van χ. Dit is geldig in het geval
de waarden van λ berekend worden op basis van de ideale kipspanning σcr van een ligger
zonder kitvoeg. In dit werk kan geen uitspraak gedaan worden in het geval de ideale
kipspanning σcr van een ligger met kitvoeg toegepast wordt.
In vergelijking met een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, zou een kitvoeg van 6 mm x t het meest
effect moeten hebben voor liggers met een grote dikte. Er wordt immers verondersteld dat de
tegenwerkende kracht van de kitvoeg evenredig toeneemt met de breedte ervan. Figuur 6.10
toont de kipkrommen, die behoren bij liggers met een dikte van 19 millimeter, met een
kitvoeg van 6 mm x 6 mm of 6 mm x t.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
λλλλ
χχ χχ
kitvoeg 6 mm x 6 mm
kitvoeg 6 mm x t
Figuur 6.10: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm en 6 mm x t, en met t = 19 mm en u0 = L/333
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
86
De ondergrens voor een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm ligt onder die voor een kitvoeg
van 6 mm x t. Verder blijkt dat het vergroten van de breedte van de kitvoeg het meest effect
heeft voor liggers met slankheden groter dan één. Voor liggers met kleine slankheden heeft
het geen zin om een kitvoeg, met om het even welke afmetingen, aan te brengen: zulke liggers
bezwijken door buiging.
In Figuur 6.11 zijn de twee puntenwolken weergegeven voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm
en 6 mm x t, geldig voor een initiële vormfout van L/333. Voor waarden van λ tussen twee en
vier ligt de puntenwolk van een kitvoeg van 6 mm x t iets hoger.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
kitvoeg 6 mm x 6 mm
kitvoeg 6 mm x t
Figuur 6.11: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm of 6 mm x t, en u0 = L/333
Tenslotte kunnen de ondergrenzen van de puntenwolken bepaald worden, voor de drie
beschouwde vormfouten (Figuur 6.12). Het zou logisch zijn om een puntenwolk, behorend bij
één vormfout, op te delen in vier deelwolken op basis van de breedte van de kitvoeg, en
telkens de ondergrens vast te leggen. De bekomen deelwolken overlappen elkaar echter bijna
volledig, waardoor de verschillende ondergrenzen zeer nauw bij elkaar aansluiten. Daarom
wordt er slechts één ondergrens weergegeven per vormfout.
De maximale slankheid λ wordt opnieuw vastgelegd op drie: grotere waarden komen in de
praktijk zelden voor. Net als bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, heeft de grootte van de
initiële vormfout weinig invloed op de ondergrens. In de figuur zijn eveneens de
ondergrenzen te zien voor het geval van een kitvoeg met afmetingen 6 mm x 6 mm. In Tabel
6.3 zijn enkele waarden van de ondergrenzen weergegeven. Het vergroten van de breedte van
de kitvoeg is het meest efficiënt voor liggers met een slankheid groter dan twee. De toename
van χ is echter minder uitgesproken dan bij de overgang van een ligger zonder kitvoeg naar
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
87
een ligger met kitvoeg van 6 mm x 6 mm (Tabel 6.1 en 6.2). Figuur C.2 van Bijlage C geeft
een overzicht van de puntenwolken voor de drie vormfouten.
kitvoeg 6 mm x t
kitvoeg 6 mm x 6 mm
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
L/250L/333L/1000
Figuur 6.12: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 6 mm x 6 mm
en 6 mm x t, voor u0 = L/250, L/333 en L/1000
Tabel 6.3: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, gebaseerd op Figuur 6.12
L/250 L/333 L/1000
λ 6 x 6 [mm]
6 x t [mm]
Toename 6 x 6 [mm]
6 x t [mm]
Toename 6 x 6 [mm]
6 x t [mm]
Toename
0,5 1,00 1,01 1% 1,01 1,02 1% 1,02 1,03 1%
1,0 0,98 0,99 1% 0,99 1,00 1% 1,00 1,01 1%
1,5 0,90 0,92 2% 0,92 0,93 1% 0,98 0,99 1%
2,0 0,68 0,75 10% 0,70 0,78 11% 0,75 0,82 9%
2,5 0,42 0,55 31% 0,43 0,57 33% 0,45 0,55 22%
6.1.4 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
Tenslotte wordt een siliconevoeg beschouwd met afmetingen 15 mm x 15 mm. Uiteraard is
dit enkel mogelijk voor liggers met een dikte groter dan 15 millimeter. Dikten gelijk aan zes
en tien millimeter worden geschrapt uit het parameterdomein. De lengten, lengte-hoogte
verhoudingen en initiële vormfouten nemen dezelfde waarden aan als bij voorgaande gevallen
(Tabel 3.4). Bijgevolg wordt het totaal aantal uitgevoerde simulaties gehalveerd.
Figuur 5.18 toont de vergelijking tussen het veermodel voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm en
15 mm x 15 mm. Aangezien beide krommen grote gelijkenis vertonen, kunnen voor de
kipkrommen gelijkaardige resultaten verwacht worden. Anderzijds kan men de bedenking
maken dat een kitvoeg van 15 mm x 15 mm een tegenwerkende kracht uitoefent tot de
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
88
zijdelingse verplaatsing gelijk wordt aan 56 millimeter, terwijl een kitvoeg van 6 mm x 6 mm
reeds bezwijkt bij een verplaatsing van 28 millimeter.
De puntenwolk behorend bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm wordt uitgedund zodat enkel de
kipkrommen, behorend bij liggers met dikten van 15 millimeter en 19 millimeter overblijven.
In Figuur 6.13 wordt de bekomen puntenwolk vergeleken met die van een kitvoeg van 15 mm
x 15 mm. Aangezien het aantal simulaties kleiner is dan in vorige gevallen, is ook de
spreiding van de puntenwolken kleiner. Bij slankheden groter dan twee, ligt de ondergrens
van de puntenwolk voor een kitvoeg van 15 mm x 15 mm, iets hoger dan die voor een kitvoeg
van 6 mm x 6 mm. Een kitvoeg van 15 mm x 15 mm kan immers grotere zijdelingse
verplaatsingen belemmeren dan een kitvoeg van 6 mm x 6 mm.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
kitvoeg 6 mm x 6 mm
kitvoeg 15 mm x 15 mm
Figuur 6.13: Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg 6 mm x 6 mm of 15 mm x 15 mm, en u0 = L/333
Figuur 6.14 toont de ondergrenzen die kunnen gebruikt worden bij liggers met een kitvoeg
van 15 mm x 15 mm. Net als bij een kitvoeg van 6 mm x 6 mm heeft de grootte van de
initiële vormfout een beperkte invloed.
Tabel 6.4 en Tabel 6.5 geven een aantal waarden van χ weer. Merk op dat de weergegeven
ondergrenzen, voor liggers zonder kitvoeg, opgesteld zijn op basis van een groter aantal
simulaties. De krommen uit Figuur 6.14 moeten bijgevolg met de nodige omzichtigheid
vergeleken worden. Dit geldt eveneens voor de vergelijking van Tabel 6.4 en 6.5 met Tabel
6.1 en 6.2. Figuur C.3 van Bijlage C geeft een overzicht van de puntenwolken voor liggers
met kitvoeg 15 mm x 15 mm.
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
89
zonder kitvoegt/h > 0,060
zonder kitvoegt/h < 0,060
kitvoeg15 mm x 15 mm
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
L/250L/333L/1000
Figuur 6.14: Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers
met een kitvoeg 15 mm x 15 mm voor u0 = L/250, L/333 en L/1000
Tabel 6.4: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, voor liggers met t/h < 0,060
L/250 L/333 L/1000
λ Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename
Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename
0,5 0,56 1,00 79% 0,63 1,00 59% 0,85 1,01 19%
1,0 0,48 0,97 102% 0,55 0,98 78% 0,75 1,00 33%
1,5 0,38 0,85 124% 0,40 0,86 115% 0,44 0,92 109%
2,0 0,25 0,66 164% 0,26 0,67 158% 0,27 0,71 163%
2,5 0,18 0,50 178% 0,18 0,50 178% 0,18 0,52 189%
Tabel 6.5: Overzicht van de waarden van χχχχ voor verschillende waarden van λλλλ, voor liggers met t/h > 0,060
L/250 L/333 L/1000
λ Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename
Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename
Zonder
kitvoeg
Kitvoeg
15 x 15 Toename
0,5 0,85 1,00 18% 0,89 1,00 12% 0,97 1,01 4%
1,0 0,70 0,97 39% 0,73 0,98 34% 0,85 1,00 18%
1,5 0,40 0,85 113% 0,40 0,86 115% 0,43 0,92 114%
2,0 0,25 0,66 164% 0,26 0,67 158% 0,27 0,71 163%
2,5 0,18 0,50 178% 0,18 0,50 178% 0,18 0,52 189%
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
90
6.2 Liggers belast met een uniform verdeelde belasting
6.2.1 Siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
Net als in Hoofdstuk 3 worden slechts een beperkt aantal geometrieën bekeken voor het geval
van een uniform verdeelde belasting (Tabel 3.7). Er wordt gebruik gemaakt van een niet-
lineair veermodel, dat gebaseerd wordt op de proefresultaten van de siliconevoegen van 6 mm
x 6 mm (Figuur 5.16).
Figuur 6.15 toont de kipkrommen voor liggers met een verdeelde belasting, met en zonder
kitvoeg en met een initiële vormfout van L/333. Analoog aan Figuur 6.5 is de invloed van een
kitvoeg op de waarden van χ duidelijk merkbaar. De kipkrommen, behorend bij een kitvoeg
van 6 mm x 6 mm zijn slechts gedefinieerd voor kleine waarden van λ. Dit kan als volgt
verklaard worden: de numerieke analyse verloopt belastingsgestuurd, in tegenstelling tot bij
een puntkracht, waar een vervormingsgestuurde analyse wordt toegepast. De maximale
verdeelde belasting werd voor elke ligger vastgelegd op basis van het analoge geval met een
puntkracht. Dit gebeurt aan de hand van formule (3.4), waarin F de maximale puntkracht is
van een ligger met kitvoeg, met dezelfde geometrie. Op die manier veroorzaakt de maximale
verdeelde belasting dezelfde buigspanning σy als de maximale puntkracht. Blijkbaar mocht de
maximale verdeelde belasting hoger zijn, zodat hogere spanningen en bijgevolg ook grotere
waarden van λ verkregen werden.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8
λλλλ
χχ χχ
zonder kitvoeg
kitvoeg 6 mm x 6 mm
Figuur 6.15: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg en u0 = L/333
In Figuur 6.16 worden de kipkrommen voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, geldig voor een
verdeelde belasting vergeleken met die voor een puntkracht. Bij sommige geometrieën
hebben beide krommen hetzelfde verloop (Figuur 6.16, links), terwijl er bij andere
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
91
geometrieën een duidelijk verschil bestaat (Figuur 6.16, rechts). Het verschil lijkt groter te
zijn voor slankere liggers - liggers met een kleine dikte-hoogte verhouding of een grote
lengte. Dit zou betekenen dat een slanke ligger met een kitvoeg van 6 mm x 6 mm minder
snel bezwijkt bij een verdeelde belasting dan bij een puntkracht. Mogelijks geldt een andere
conclusie indien meerdere numerieke simulaties uitgevoerd worden. Ook de manier waarop
de waarde van λ berekend wordt, kan een invloed hebben: λ wordt immers gebaseerd op de
ideale kipspanning σcr van een ligger met verdeelde belasting, maar zonder kitvoeg.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4
λλλλ
χχ χχ
verdeelde belasting
puntkracht
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
verdeelde belastingpuntkracht
Figuur 6.16: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg,
met L = 3 m (links) en L = 6 m (rechts), L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333
De invloed van de grootte van de initiële vormfout kan bekeken worden in Figuur 6.17. Deze
toont alle kipkrommen voor liggers met een verdeelde belasting met initiële vormfout L/333
en L/1000. Zoals bij het geval van een puntkracht, is de spreiding in de puntenwolk kleiner bij
kleinere vormfouten. Het effect is hier echter minder uitgesproken aangezien het aantal
simulaties kleiner is. Bovendien zijn de krommen slechts gedefinieerd voor kleine waarden
van λ.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
λλλλ
χχ χχ
L/333
L/1000
Figuur 6.17: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg, met u0 = L/333 en L/1000
Hoofdstuk 6: Numerieke analyse van liggers met kitvoeg
92
6.2.2 Siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
Ook een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm wordt kort bestudeerd. Er worden enkel liggers
beschouwd met een dikte gelijk aan 19 millimeter (Tabel 3.7). Per vormfout worden bijgevolg
slechts vier simulaties uitgevoerd. Figuur 6.18 toont de kipkrommen van de beschouwde
liggers met een verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg en met initiële vormfout L/333.
Opnieuw zijn de kipkrommen voor liggers met kitvoeg enkel gedefinieerd voor kleine
waarden van λ, net als in Figuur 6.15. Voor de onderzochte geometrieën is het effect van een
kitvoeg van 15 mm x 15 mm duidelijk merkbaar. Het aantal simulaties is echter te beperkt om
algemeen geldende conclusies te trekken.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4
λλλλ
χχ χχ
zonder kitvoeg
kitvoeg 15 mm x 15 mm
Figuur 6.18: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers
met verdeelde belasting, met en zonder kitvoeg (15 mm x 15 mm) en u0 = L/333
93
Hoofdstuk 7
Samenvatting en besluiten
7.1 Inleiding
De verbinding tussen glazen liggers en vloerplaten of tussen glazen vinnen en gevelelementen
is meestal gebaseerd op een silicone kitvoeg (structural sealant). Deze voegen hebben een
belangrijke invloed op het kipgedrag: wanneer de glazen ligger of vin uitkipt, worden de
zijdelingse verplaatsingen die hiermee gepaard gaan, belemmerd. Dit heeft als gevolg dat de
kritieke belasting toeneemt. In deze scriptie werd het gunstige effect bestudeerd van een
kitvoeg op het kipgedrag, op numerieke, en deels experimentele wijze. Er werd getracht een
antwoord te vinden op volgende vragen (Hoofdstuk 1):
� Hoe kunnen kipkrommen opgesteld worden voor glazen liggers zonder kitvoeg? Wat
is de algemene vorm van deze krommen? Door welke factoren worden de krommen
beïnvloed?
� Hoe kan een constructieve kitvoeg gemodelleerd worden? Wat is, theoretisch gezien,
de invloed van een kitvoeg op de kipkrommen?
� Wat is het materiaalgedrag van de kitvoeg bij afschuiving? Spelen de afmetingen van
de kitvoeg hierbij een rol? Hoe kan dit materiaalgedrag geïmplementeerd worden in
het numeriek model?
� Wat is het effect van een kitvoeg op de kipkrommen? Bij welke liggers is de invloed
het grootst? Spelen de afmetingen van de kitvoeg hierbij een rol?
7.2 Liggers zonder kitvoeg
In eerste instantie werden liggers zonder kitvoeg beschouwd, die dienden als referentie voor
liggers met kitvoeg. Er werden twee belastingsgevallen bestudeerd: een puntkracht in het
midden en een uniform verdeelde belasting. Uit de literatuur bleek dat er verschillende
Hoofdstuk 7: Samenvatting en besluiten
94
mogelijkheden zijn om de kipweerstand te bepalen van een ligger met initiële vormfout. In dit
werk werd gekozen om kipkrommen op te stellen, gebaseerd op eindige-
elementenberekeningen. Het begrip kipkromme vindt zijn oorsprong in de staalbouw, maar
kan uitgebreid worden voor glazen liggers. Een kipkromme geeft het verband weer tussen de
geometrie van een ligger en de bezwijkbelasting. De geometrie wordt uitgedrukt door een
slankheid λ, die gedefinieerd wordt op basis van de treksterkte σbreuk van het glas en de ideale
kipspanning σcr. De bezwijkbelasting wordt voorgesteld door een reductiefactor χ, die
bepaald wordt door een maximale buigspanning σy en de treksterkte σbreuk. De waarde van χ
heeft twee theoretische grenzen: de eenheid en 2
1
λ.
Vooraleer de numerieke simulaties konden uitgevoerd worden en de kipkrommen konden
opgesteld worden, moest het elementennet geoptimaliseerd worden. Dit heeft immers een
belangrijke invloed op de nauwkeurigheid van de resultaten, maar ook op de totale rekentijd.
Rekening houdend met beide factoren werd gekozen voor een elementennet, bestaande uit
49500 C3D8 elementen met een niet-uniforme verdeling.
Een numerieke simulatie van één glazen ligger gaf aanleiding tot één kipkromme. Door
meerdere simulaties uit te voeren werd een wolk van punten bekomen. De spreiding van de
puntenwolk nam toe naarmate de slankheid λ kleiner werd. Bij toenemende waarden van λ,
vielen de verschillende kipkrommen meer en meer samen. Hoe kleiner de dikte-hoogte
verhouding van de ligger en hoe groter de initiële vormfout, hoe meer de bijhorende
kipkromme afweek van de theoretische eenheidsgrens. Dit kon verklaard worden door het
fenomeen van de scheve buiging: een waarde van χ gelijk aan één, kan slechts bereikt worden
bij zuivere buiging om de as volgens de dikterichting van de ligger. Door de initiële vormfout
werd de ligger in het midden echter belast door scheve buiging, waardoor de theoretische
eenheidsgrens niet bereikt werd.
Voor liggers belast met een puntkracht, werd de puntenwolk opgesplitst in twee deelwolken
volgens de dikte-hoogte verhouding van de beschouwde ligger. Er werd eveneens onderscheid
gemaakt op basis van de grootte van de initiële vormfout. De bovengrens voor de slankheid λ
werd vastgelegd op drie, aangezien grotere slankheden in de praktijk nauwelijks voorkomen.
Voor elke deelwolk kon de ondergrens bepaald worden op visuele wijze. Bij het geval van
een uniform verdeelde belasting was het aantal simulaties te beperkt om ondergrenzen op te
stellen, die in de praktijk toepasbaar zijn.
Hoofdstuk 7: Samenvatting en besluiten
95
7.3 Liggers met kitvoeg
Een kitvoeg bevindt zich meestal ter hoogte van de bovenrand van de ligger. Wanneer de
ligger kipt, ondergaan de dwarsdoorsneden een horizontale verplaatsing en in mindere mate
ook een rotatie. Bijgevolg wordt de kitvoeg voornamelijk op afschuiving belast. Eventueel
kan de voeg eerst samengedrukt worden, afhankelijk van de manier waarop de aansluiting
tussen de ligger en de rest van de constructie is opgebouwd. Omwille van de eenvoud werd in
dit werk enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd. Dit gebeurde door middel van
een continue veerondersteuning, bestaande uit naast elkaar geplaatste translatieveren die
gericht zijn volgens de dikterichting van de ligger.
Om kipkrommen op te stellen voor liggers met kitvoeg waren realistische waarden nodig voor
de veerstijfheid. Daarom werden afschuifproeven uitgevoerd op siliconevoegen van 6 mm x 6
mm en 15 mm x 15 mm. Het gebruikte materiaal was Dow Corning 895, een silicone die bij
ons vaak toegepast wordt voor kitvoegen. De proefresultaten leidden tot twee niet-lineaire
veermodellen, die vrij goed benaderd konden worden door een lineair veermodel. Een kitvoeg
van 6 mm x 6 mm kon gemodelleerd worden als een lineaire veerondersteuning met
veerstijfheid 191430 N/m². Voor een kitvoeg van 15 mm x 15 mm gold een veerstijfheid van
214410 N/m².
Men kan voor verschillende waarden van de veerstijfheid nagaan hoe groot de invloed is op
het kipgedrag. Dit werd enkel onderzocht voor een ligger met lengte drie meter, lengte-hoogte
verhouding tien, dikte tien millimeter en initiële vormfout L/333, die belast werd met een
puntkracht. Hieruit bleek dat het effect van een continue veerondersteuning duidelijk
merkbaar is voor veerstijfheden groter dan 100 N/m². Bijgevolg kon men op basis van de
opgestelde veermodellen verwachten dat een kitvoeg een behoorlijke invloed heeft op het
kipgedrag.
De kipkrommen, die opgesteld waren op basis van de numerieke simulaties van liggers met
kitvoeg, lagen hoger dan die voor liggers zonder kitvoeg. Voor eenzelfde waarde van λ werd
een grotere waarde van χ bekomen. Dit was geldig voor alle onderzochte voegafmetingen: 6
mm x 6 mm, 6 mm x t en 15 mm x 15 mm. Bij liggers zonder kitvoeg was de dikte-hoogte
verhouding bepalend voor de relatieve ligging van de kipkrommen ten opzichte van elkaar.
Voor liggers met kitvoeg daarentegen, was het moeilijk om na te gaan welke factor bepalend
is. Dit kan een gevolg zijn van de manier waarop de waarden van λ berekend werden: steeds
werd de ideale kipspanning σcr gebruikt voor een ligger zonder kitvoeg.
Hoofdstuk 7: Samenvatting en besluiten
96
Voor elke voegafmeting werd de puntenwolk opgedeeld op basis van de grootte van de
initiële vormfout. Net als voor liggers zonder kitvoeg werden de bijhorende ondergrenzen
bepaald. In het interval tussen nul en drie, had een kitvoeg van 6 mm x 6 mm het meest effect
bij liggers met een slankheid van ongeveer twee. Het vergroten van de breedte van de kitvoeg
van zes millimeter naar de dikte van de ligger, was het meest efficiënt voor liggers met een
slankheid gelijk aan 2,5. Het aanbrengen van een kitvoeg met afmetingen 15 mm x 15 mm
had het meest invloed bij liggers met een slankheid van ongeveer 2,5. Het effect van een
kitvoeg was het kleinst voor liggers met een kleine slankheid: vrij massieve liggers bezwijken
immers door buiging en ondergaan nauwelijks zijdelingse verplaatsingen. Dit betekent dat de
kitvoeg niet op afschuiving belast wordt en geen positief effect kan uitoefenen.
Wanneer een lineair veergedrag toegepast werd voor een kitvoeg van 6 mm x 6 mm, had dit
bijna geen invloed op de bekomen kipkrommen. Ter vereenvoudiging mag dus met een lineair
veermodel gewerkt worden.
Bovenstaande conclusies zijn geldig voor liggers, belast met een puntkracht in het midden.
Voor het geval van een verdeelde belasting kan men vermoeden dat gelijkaardige besluiten
kunnen getrokken worden. Het aantal uitgevoerde simulaties was echter te beperkt om
hierover uitsluitsel te geven.
7.4 Suggesties voor verder onderzoek
Voor liggers met een uniform verdeelde belasting werden in dit werk slechts een beperkt
aantal numerieke simulaties uitgevoerd. Om ondergrenzen op te stellen die in de praktijk
kunnen toegepast worden, zouden meerdere geometrieën moeten beschouwd worden.
De kipkrommen voor liggers met kitvoeg werden bepaald op basis van de ideale kipspanning
σcr voor liggers zonder kitvoeg. Mogelijks kunnen andere conclusies getrokken worden indien
de ideale kipspanning σcr voor liggers met kitvoeg gebruikt wordt. In dat geval zouden de
opgestelde kipkrommen echter minder eenvoudig kunnen aangewend worden: men zou eerst
een eigenwaardenberekening moeten uitvoeren voor de ligger met kitvoeg om de ideale
kipspanning σcr te bepalen, vooraleer men de waarde van λ kan bepalen. Daarentegen is de
ideale kipspanning σcr van een ligger zonder kitvoeg eenvoudiger te bepalen, vb. aan de hand
van theoretische formules. Misschien kan een verband opgesteld worden tussen de ideale
kipspanning σcr van een ligger zonder en met kitvoeg, zodat dit probleem verholpen wordt.
In dit werk werd enkel de afschuiving van de kitvoeg gemodelleerd, terwijl de werkelijke
belastingstoestand veel ingewikkelder is. In eerste instantie zou men voor de modellering van
Hoofdstuk 7: Samenvatting en besluiten
97
de kitvoeg rekening kunnen houden met de rotatie van de dwarsdoorsneden bij het uitkippen
van de ligger. In een later stadium kan men onderzoeken hoe de kitvoeg vervormt indien een
steunstrip of steunblokje aanwezig is: in welke mate kunnen deze verhinderen dat de kitvoeg
wordt samengedrukt of op afschuiving belast wordt.
De uitgevoerde afschuifproeven hadden betrekking op Dow Corning 895. Er is dus een
uitbreiding mogelijk naar andere materialen vb. Dow Corning 993.
Tenslotte werden enkel monolithische liggers beschouwd, terwijl ook gelamineerde liggers
kunnen bestudeerd worden.
Bijlage A: Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg
99
u0 = L/250
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
λλλλ
χχ χχ
Figuur A.1: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg,
belast met een puntkracht, met t/h < 0,060
Bijlage A: Resultaten numerieke simulaties: liggers zonder kitvoeg
100
u0 = L/250
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
λλλλ
χχ χχ
Figuur A.2: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg,
belast met een puntkracht, met t/h > 0,060
Bijlage B: Fotoreeks van een afschuifproef
102
Figuur B.1: Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4
(volgorde: van links naar rechts en van boven naar onder)
Figuur B.2: Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 15_15_2
(volgorde: van links naar rechts en van boven naar onder)
Opmerking Figuur B.2: de laatste twee foto’s zijn genomen vanuit een ander
camerastandpunt.
Bijlage C: Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg
104
u0 = L/250
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
Figuur C.1: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg (6 mm x 6 mm), belast met een puntkracht
Bijlage C: Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg
105
u0 = L/250
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10
λλλλ
χχ χχ
Figuur C.2: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg (6 mm x t), belast met een puntkracht
Bijlage C: Resultaten numerieke simulaties: liggers met kitvoeg
106
u0 = L/250
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/333
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
u0 = L/1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
λλλλ
χχ χχ
Figuur C.3: Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers
met kitvoeg (15 mm x 15 mm), belast met een puntkracht
107
Bibliografie
Abaqus (2004). Abaqus/Standard User’s Manual. Abaqus, Inc.
J. Belis (2005). Kipsterkte van monolithische en gelamineerde glazen liggers.
Doctoraatsthesis, Laboratorium voor Modelonderzoek, Universiteit Gent.
J. Belis, R. Van Impe, G. Lagae & W. Vanlaere (2003). Enhancement of the buckling strength
of glass beams by means of lateral restraints. Structural engineering and mechanics, pp.
495-511.
CEN EN 572-2 (2004). Verre dans la construction – produits de base: verre de silicate
sodocalcique – partie 2: Glace. CEN, version Française.
CEN EN 1863-1 (2000). Glass in Building – heat strengthened soda lime silicate glass – part
1: Definition and description. CEN, English version.
CEN EN 12150-1 (2000). Thermally toughened soda lime silicate safety glass – part 1:
Definition and description. CEN, English version.
CEN prEN 1993-1-1 (2002). Eurocode 3: design of steel structures – part1-1: General rules.
CEN, English version.
CEN prEN 13474-1 (1999).Glass in building – Design of glass panes – part 1: General basis
of design. CEN, English version.
B. De Meester (2004). Geometrische parameterstudie van structurele glazen balken. Scriptie,
Laboratorium voor Modelonderzoek, Universiteit Gent.
P. D’Haene & G. Savineau (2007). Mechanical properties of laminated safety glass – FEM
study. Proceedings of Glass Performance Days, pp. 594-598.
Dow Corning (2001). Productinformatie Dow Corning 895, afdichting voor structurele
beglazing, ééncomponent siliconenafdichting.
Bibliografie
108
Dow Corning (2004). Productinformatie Dow Corning 993, afdichting voor structurele
beglazing, twee componenten siliconenafdichting.
EOTA (1999). ETAG 002, Guideline for European technical approval for structural sealant
glazing systems (SSGS) – part 1: Supported and unsupported systems.
R. Kasper (2005). Tragverhalten von Glasträgern. Doctoraatsthesis, RWTH Aachen.
R. Kasper & G. Sedlacek (2003). Structural use of glass beams. Proceedings of Glass
Processing Days, pp. 312-315.
A. Luible (2004). Stabilität von Tragelementen aus Glas. Doctoraatsthesis, EPF Lausanne,
thèse 3014.
R. Nijsse (2003). Glass in structures: elements, concepts, designs. Basel, Berlin, Boston:
Birkhaüser Publishers for Architecture, pp. 78-80.
F. Stüssi (1971). Grundlagen des Stahlbaues. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-
Verlag, Zweite neubearbeite Auflage, pp. 401-402.
Stephen P. Timoshenko & James M. Gere (1961). Theory of elastic stability. McGraw-Hill
Book Company, Inc., Kogakusha Company, Ltd., second edition, pp. 251-277.
D. Vandepitte (1980). Berekening van constructies – Bouwkunde en civiele techniek, boekdeel
II. E. Story-Scientia, pp. 320-321.
W. Wagner (1999). The use of silicone sealants for structural sealant glazing. Proceedings of
Glass Processing Days, pp. 94-98.
J. Wurm (2007). Glass structures: design and construcution of self-supporting skins. Basel,
Berlin, Boston: Birkhaüser Verlag AG, pp. 86-88.
http://www.firmanglass.com
109
Lijst van figuren
2.1 Beeld van een uitgekipte ligger, met aanduiding van de verplaatsingen in de X-richting5
2.2 Kipkrommen gedefinieerd volgens EC3 ...........................................................................7
2.3 Schematische voorstelling van de zijdelingse verplaatsing u van een uitkippende ligger,
belast met een constant moment (Belis, 2005)..................................................................8
2.4 Schematische werkwijze om kipkrommen op te stellen voor glazen liggers (Luible,
2004)................................................................................................................................11
2.5 Spanning-rek diagramma voor verschillende adhesieve verbindingen (Wurm, 2007) ..15
2.6 Chemische formule van polydimethylsiloxane (PDMS).................................................16
2.7 Dak-ligger en gevel-kolom aansluitingen, bestaande uit siliconenkitvoegen in het
Broadfield House Glass Museum te Kingswinford (http://www.firmanglass.com) .......17
2.8 Schematische voorstelling van de orangerie te Leiden (Nijsse, 2003)............................18
2.9 Dwarsdoorsnede van de aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in de
orangerie te Leiden..........................................................................................................19
2.10 Aansluiting tussen een balk en twee dakelementen, in het Broadfield House Glass
Museum in Kingswinford................................................................................................19
2.11 Dwarsdoorsnede met en zonder steunblokje ...................................................................20
3.1 Knopen van het C3D8(I) en het C3D20R element (Abaqus Manual, 2004) ..................25
3.2 Beeld van een halve ligger vanuit de middendoorsnede, met aanduiding van de punten
met maximale trekspanningen.........................................................................................25
3.3 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme
elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen............................................................27
3.4 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende uniforme
elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen ..........................................................27
3.5 Schematische weergave van het elementennet bij de niet-uniforme optimalisatie .........28
3.6 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende niet-uniforme
elementennetten, bestaande uit C3D8 elementen............................................................29
Lijst van figuren
110
3.7 Spanningsverloop in het punt onderaan voor de verschillende niet-uniforme
elementennetten, bestaande uit C3D8I elementen ..........................................................29
3.8 Spanningsverloop in het punt onderaan voor alle beschouwde elementennetten ...........30
3.9 Spanningsverloop in het punt bovenaan voor alle beschouwde elementennetten...........31
3.10 Belastingsverloop voor alle beschouwde elementen.......................................................31
3.11 Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove uniforme elementennet met C3D8
elementen.........................................................................................................................34
3.12 Eerste eigenvorm bij het meest fijne en meest grove niet-uniforme elementennet met
C3D8 elementen ..............................................................................................................34
3.13 Eerste eigenvorm bij het meest fijne uniforme en niet-uniforme elementennet met
C3D8 elementen ..............................................................................................................35
3.14 Schematische voorstelling van het gekozen elementennet..............................................36
3.15 Verband tussen de spanning boven- en onderaan en σy, geldig voor een ligger met L =
3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333..........................................................................38
3.16 Kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger met L = 3 m, L/h =
10, t = 10 mm en u0 = L/333 ...........................................................................................39
3.17 Spanningsverloop en kipkromme gebaseerd op de numerieke simulatie van een ligger
met L = 1 m, L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333............................................................40
3.18 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 3 m en u0 =
L/333 ...............................................................................................................................40
3.19 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 1 m (links) en
L = 6 m (rechts) en u0 = L/333 ........................................................................................41
3.20 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L/h = 10, t = 10
mm en u0 = L/333............................................................................................................41
3.21 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h = 0,050 en u0 =
L/333 ...............................................................................................................................42
3.22 Beeld van de meest massieve en meest slanke doorsnede (zicht vanuit de
middendoorsnede naar het steuntpunt toe)......................................................................44
3.23 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met u0 = L/333 ...44
3.24 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met t/h < 0,060 en
u0 = L/333........................................................................................................................45
3.25 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met t/h > 0,060 en
u0 = L/333........................................................................................................................45
Lijst van figuren
111
3.26 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 3 m, L/h = 10
en t = 10 mm....................................................................................................................46
3.27 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met L = 6 m, L/h = 10
en t = 6 mm (links) en L = 3 m, L/h = 20 en t = 15 mm (rechts) ....................................46
3.28 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h < 0,060 en u0 =
L/333 of L/1000...............................................................................................................47
3.29 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met t/h > 0,060 en u0 =
L/333 of L/1000...............................................................................................................47
3.30 Ondergrenzen van de puntenwolk voor u0 = L/250, L/333 en L/1000............................48
3.31 Schematische weergave van het bovenaanzicht van een halve ligger met aangrijpende
puntkrachten ....................................................................................................................50
3.32 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met een verdeelde
belasting of een puntkracht, met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333 ..............51
3.33 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met een verdeelde
belasting en een puntkracht, met u0 = L/333...................................................................51
3.34 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met een verdeelde
belasting en met u0 = L/333 en L/1000 ...........................................................................52
4.1 Schematische voorstelling van de afschuiving van de kitvoeg .......................................53
4.2 Schematische voorstelling van een ligger met continue veerondersteuning volgens de
dikterichting van de ligger...............................................................................................55
4.3 Niet-lineair verband tussen relatieve verplaatsing en kracht (Abaqus Manual, 2004)....56
4.4 Beeld van een uitgekipte halve ligger, gekenmerkt door een negatieve eigenwaarde ...57
4.5 Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische
ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm.....................................................................57
4.6 Invloed van de veerstijfheid kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische
ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm.....................................................................58
4.7 Invloed van de veerstijfheid Kveer op de kiplast, geldig voor een ideale monolithische
ligger met L = 3 m, L/h = 10 en t = 10 mm.....................................................................59
4.8 Beeld van een ligger die gekipt is volgens twee halve sinusbogen.................................59
4.9 Kipkrommen voor verschillende veerstijfheden kveer, gebaseerd op de numerieke
simulaties van een monolithische ligger met L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333
.........................................................................................................................................60
Lijst van figuren
112
5.1 Schematische weergave van een proefstuk met een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm
(afmetingen in mm) .........................................................................................................63
5.2 Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 6 mm x 6 mm ................................64
5.3 Schematische weergave van een proefstuk met een siliconevoeg van 15 mm x 15 mm
(afmetingen in mm) .........................................................................................................64
5.4 Voorbeeld van een proefstuk met siliconevoeg van 15 mm x 15 mm ............................64
5.5 Schematische weergave van het gebruik van afstandshouders .......................................65
5.6 Lange hulpstaafjes, omwikkeld met vershoudfolie.........................................................65
5.7 Klem (a) met geribde plaatjes (b) zonder geribde plaatjes (c) met rubber......................67
5.8 Ingeklemd proefstuk........................................................................................................67
5.9 Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor alle 6 mm x 6 mm
proefstukken ....................................................................................................................68
5.10 Breukpatroon van proefstuk 6_6_5: overwegend adhesief en aan de randen cohesief..69
5.11 Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 6_6_4 .......................................................69
5.12 Verloop van de kracht in functie van de verplaatsing voor alle 15 m x 15 mm
proefstukken ....................................................................................................................70
5.13 Opeenvolgende bezwijkstadia van proefstuk 15_15_2 ...................................................71
5.14 Overwegend cohesief breukpatroon van proefstuk 15_15_3..........................................71
5.15 Vergelijking tussen de opgemeten en gecorrigeerde waarden voor het proefstuk 6_6_1
.........................................................................................................................................72
5.16 Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt, met aanduiding van de lineaire
benadering .......................................................................................................................73
5.17 Weergave van de kromme die het veermodel bepaalt, met aanduiding van de lineaire
benadering .......................................................................................................................74
5.18 Vergelijking tussen het veermodel, behorend bij een siliconevoeg van 6 mm x 6 mm en
15 mm x 15 mm...............................................................................................................74
6.1 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van een ligger met en zonder
kitvoeg en L = 3 m, L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333 .................................................78
6.2 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm en L = 3 m en u0 = L/333 .........................................................................................79
6.3 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm en L/h = 10, t = 10 mm en u0 = L/333......................................................................79
Lijst van figuren
113
6.4 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm en t/h = 0,050 en u0 = L/333.....................................................................................80
6.5 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met of zonder
kitvoeg en u0 = L/333 ......................................................................................................81
6.6 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met kitvoeg 6 mm
x 6 mm en u0 = L/333 of L/1000.....................................................................................81
6.7 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met en zonder kitvoeg, voor u0 =
L/250, L/333 en L/1000...................................................................................................82
6.8 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met een lineair en
niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333.......................................................................84
6.9 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met 3 verschillende
geometrieën, met een lineair en niet-lineair veergedrag en met u0 = L/333 ...................84
6.10 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm en 6 mm x t, en met t = 19 mm en u0 = L/333 .........................................................85
6.11 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm of 6 mm x t, en u0 = L/333 .......................................................................................86
6.12 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 6 mm x 6 mm en 6
mm x t, voor u0 = L/250, L/333 en L/1000 .....................................................................87
6.13 Kipkrommen, gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg 6 mm x 6
mm of 15 mm x 15 mm, en u0 = L/333 ...........................................................................88
6.14 Ondergrenzen van de puntenwolken voor liggers met een kitvoeg 15 mm x 15 mm voor
u0 = L/250, L/333 en L/1000...........................................................................................89
6.15 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met verdeelde
belasting, met en zonder kitvoeg en u0 = L/333..............................................................90
6.16 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg, met L = 3
m (links) en L = 6 m (rechts), L/h = 10, t = 19 mm en u0 = L/333 .................................91
6.17 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg, met u0 =
L/333 en L/1000 ..............................................................................................................91
6.18 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van alle liggers met verdeelde
belasting, met en zonder kitvoeg (15 mm x 15 mm) en u0 = L/333................................92
A.1 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg, belast
met een puntkracht, met t/h < 0,060................................................................................99
Lijst van figuren
114
A.2 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers zonder kitvoeg, belast
met een puntkracht, met t/h > 0,060..............................................................................100
B.1 Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 6_6_4 (volgorde: van links naar rechts en
van boven naar onder) ...................................................................................................102
B.2 Fotoreeks van het beproeven van proefstuk 15_15_2 (volgorde: van links naar rechts en
van boven naar onder) ...................................................................................................102
C.1 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (6 mm x 6
mm), belast met een puntkracht ....................................................................................104
C.2 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (6 mm x
t), belast met een puntkracht..........................................................................................105
C.3 Kipkrommen gebaseerd op de numerieke simulaties van liggers met kitvoeg (15 mm x
15 mm), belast met een puntkracht ...............................................................................106
115
Lijst van tabellen
2.1 Relevante eigenschappen van natronkalkglas (Belis, 2005) .............................................3
2.2 Buigtreksterkte van glas volgens de normen (CEN prEN 13474-1, 1999; CEN EN
1863-1, 2000; CEN EN 12150-1, 2000)............................................................................4
2.3 Verklaring van de gebruikte symbolen .............................................................................5
2.4 Verklaring van de gebruikte symbolen ...........................................................................10
2.5 Verklaring van de gebruikte symbolen ...........................................................................11
2.6 Verklaring van de gebruikte symbolen ...........................................................................12
2.7 Overzicht van de maximale relatieve vormfouten uit de literatuur (CEN EN 12150-1,
2000; CEN EN 572-2, 2004; Belis, 2005).......................................................................13
2.8 Relevante eigenschappen van DC 895 en DC 993 (Productinformatie Dow Corning,
2001, 2004)......................................................................................................................17
3.1 Samenstelling van de uniforme elementennetten............................................................26
3.2 Samenstelling van de niet-uniforme elementennetten.....................................................28
3.3 Overzicht van de resultaten van de numerieke simulaties ..............................................33
3.4 Overzicht van de geometrische parameters voor simulaties met een puntkracht in het
midden.............................................................................................................................36
3.5 Overzicht van de bestudeerde geometrieën met oplopende waarden van t/h..................43
3.6 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, gebaseerd op
Figuur 3.30 ......................................................................................................................48
3.7 Overzicht van de geometrische parameters voor simulaties met een uniform verdeelde
belasting...........................................................................................................................49
5.1 Overzicht van de proefstukken........................................................................................66
5.2 Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype voor alle 6 mm x 6 mm
proefstukken ....................................................................................................................68
Lijst van tabellen
116
5.3 Maximale kracht, bijhorende verplaatsing en bezwijktype voor alle 15 m x 15 mm
proefstukken ....................................................................................................................70
6.1 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, voor liggers met t/h
< 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7 ....................................................................................83
6.2 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, voor liggers met t/h
> 0,060, gebaseerd op Figuur 6.7 ....................................................................................83
6.3 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, gebaseerd op Figuur
6.12 ..................................................................................................................................87
6.4 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, voor liggers met t/h
< 0,060.............................................................................................................................89
6.5 Overzicht van de waarden van χ voor verschillende waarden van λ, voor liggers met t/h
> 0,060.............................................................................................................................89