UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICADEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES Y CURSOS COMPLEMENTARIOS

Curso: Ecuaciones Diferenciales (MB155)

EXAMEN FINALPeriodo Académico 2013-II

INDICACIONES: Sin elementos de consulta. Resolver cada pregunta solo en el espacio asignado para tal fin. La claridad y buena presentación serán consideradas en la calificación. Duración del examen: 1 h 50 min

LOS PROFESORES DEL CURSO: Kurokawa/Rojas/ReynaLima, 15 de diciembre del 2013

NOTAS IMPORTANTES

1. NO ESCRIBIR AL REVERSO DE ESTA HOJA. CUALQUIER TEXTO O ANOTACIÓN HECHA NO SERÁ TOMADO EN CUENTA EN LA CALIFICACIÓN.

2. ESTÁ TERMINANTEMENTE PROHIBIDO COLOCAR EN ESTA HOJA O DENTRO DEL TEMA MARCAS (TEXTOS O SEÑALES DE CUALQUIER TIPO) QUE PERMITAN DETERMINAR LA IDENTIDAD DEL ALUMNO. EN CASO DE INCUMPLIMIENTO, EL TEMA SERÁ ANULADO, SIN NINGÚN DERECHO DE RECLAMO.

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APELLIDOS

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NOMBRES

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CÓDIGO UNI

____________________________Firma del alumno

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N° ______

NOTA DEL EXAMEN

NÚMEROS LETRAS Firma del docente

Curso: Ecuaciones Diferenciales (MB155)

EXAMEN FINALPeriodo Académico 2013-II

PROBLEMA 1. [5p]Sobre la base de un registro de medidas, dados por un instrumento de la FIM, se obtuvo la siguiente información histórica en la tabla, acerca de caudales de agua, y el tiempo de duración de intervalo del día, antes de producirse una inundación. (Nótese que a partir de más del 2%, el equipo ya no registra medida, por el desastre ocasionado)

Determine una expansión de cosenos (de una serie de Fourier de periodo 8) cuya grafica pase por los puntos extremos de la barra, Asuma que el modelamiento del caudal en términos de T, es de la forma de una función exponencial caudal ( x )=a . ebx , según la tabla mostrada.

0 1 2 3 40

20406080

100120140160180200

% tiempo

caud

al e

n l/

s

Porcentaje de tiempo (x)

Caudal

(%) (m3/s)0 251 67.95704572 184.7264023 04 0

Solución

Así g(x) es la extensión par de f(x), por lo tanto:

Con:

Y

Finalmente:

g( x )=14(e2−1 )+∑ 8e2

16−k2 π2cos( kπ

4x )

[RPTA]

PROBLEMA 2. [5p]

Sea A una constante real. Resolver la ecuación de Laplace:uxx+uyy=0 ;0<x<π ;0< y<1Bajo las condiciones

u ( x ;0 )=Ax ;u ( x ;1 )=A;0< x<π u (0 ; y )=u (π ; y )=Ay;0< y<1

Solución

Para obtener condiciones de frontera homogénea en x, hacemos un cambio de función de la forma:

Entonces

Así el cambio de función es

Además y

Luego, nuestro problema es

Asumiendo y separando variables obtenemos:

Los correspondientes valores y funciones propias son entonces, respectivamente:

De esta forma la ecuación en y queda de la forma , cuya solución

general es

Luego, nuestra solución formal es

La condición

Implica

La otra condición

Implica

De esta forma o bien

[RPTA]

PROBLEMA 3. [5p]Usando la transformada de Laplace, resuelva el problema de valor inicial. [3p]

PROBLEMA 4. [5p]En la siguiente tabla se muestra, en la primera columna, la gráfica de una función que depende de t y en

la segunda columna la transformada de Fourier de dicha función, se pide la regla de correspondencia y

su grafica de la función que depende de w (justifique).

f(t) F(w)

LOS PROFESORES DEL CURSO: Kurokawa/Rojas/ReynaLima, 10 de diciembre del 2013