EditionFifthMECHANICS OF MATERIALS Beer • …kocaelimakine.com/wp-content/uploads/2013/07/03... · MECHANICS OF MATERIALS Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 3- 21

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

3- 1

EĞİLME

M= P.a (eğilme momenti, N.m)

Basit eğilme Eksantrik yükleme

Düşey yükleme

Statik Denge

M= P. x

P = P’



FifthEdition


3- 2

Simetrik parçaların basit eğilmesi

• Basit eğilmeye maruz bir kirişte, herhangi bir kesitteki iç kuvvetler bir kuvvet çifti oluşturur. Bu kuvvet çifti eğilme momenti M’e eşittir.

= τxy = τxz=0

∫ =−=

∫ ==∫ ==

MdAyM

dAzMdAF

xz

xy

xx

σ

σσ

00

• C kesitinde kesme kuvvetleri olmadığından τxy ve τxz gerilmeleri de “sıfır” dır.

• Kesit y-eksenine göre simetrik iç kuvvetlerin y-eksenine göre momentlerinin toplamı “sıfır” dır.

• Kesitler doğrultuları C eğrilik merkezinden geçecek şekilde eğilirler ve düzlem kalırlar.

• Üst kısmın uzunluğu azalırken alt kısmın uzunluğu artar.

• Boyu değişmeyen eksene paralel bir nötr (tarafsız) düzlem vardır. Kesit üzerinde bu düzlemin geçtiği hat tarafsız eksen olarak tanımlanır. Bu düzlemin üstünde kalan noktalarda gerilme ve şekil değiştirmeler negatif, altındaki noktalarda ise pozitiftir.

• Kesit simetrik kalır ve deforme olmuş kiriş dairesel bir yay oluşturur..

Bir simetri eksenine sahip eğilmeye maruz bir kirişte, eğilme sonrası:



FifthEdition


3- 3

( )( )

cρ or c

linearly) varies (strain yyL

yyLLyL

mm

x

ερε

ρρθθδε

θρθθρδθρ

==

−=−==

−=−−=−′=−=′

L uzunluğunda bir kiriş göz önüne alınırsa; deformasyon sonrası tarafsız düzlemin (DE) boyu değişmez. Diğer kesitlerde ise uzamalar ve kısalmalar meydana gelir. Örneğin; JK düzlemindeki değişimi incelersek;

Eğilmeden kaynaklanan şekil değiştirme ve gerilme

Lineer elastik bir malzeme için,

Lineer elastik malzemelerde;

şekil değiştirme (εx) ve gerilme (σx) tarafsız eksenden uzaklıkla (y) lineer değişir.

Tarafsız eksenin eğrilik yarıçapı ile moment arasındaki bağıntı:

mx cy y ε

ρε −=−=

IMc

Ec1

Ecc1 mm ===

σερ EI

M1=

ρ

mε

xσxε

mxx EcyE εεσ −== mx c

yσσ −=



FifthEdition


3- 4

Örnek• Statik denge için,

0dA

dAyydAy

c0

dAcydA0F

m

mxx

==−=

−===

∫∫∫

∫∫σ

σσ

Şekildeki kiriş için akmayı başlatacak eğilme momentini bulunuz. MPa250ak =σ

Alanın tarafsız eksene göre birinci momenti “0”dır. Buna göre, tarafsız eksen kesitin geometrik merkezinden geçer.

( ) ( )

mxm

m2m

mx

cy ve

IMc

cIdAy

cM

dAcyydAyM

σσσ

σσ

σσ

−==

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−=

∫

∫∫

IMy

x −=σ



FifthEdition


3- 5

Örnek Ekstrüzyonla üretilen alüminyum alaşımı bir tüp şekildeki gibi bir eğilme momentine maruz kalmıştır. Tüp için akma mukavemeti σy=250 MPa, maksimum (çekme) mukavemeti σu=415 MPa ve elatisite modülü E=73 GPadır. Emniyet katsayısını n=3 alarak uygulanabilecek moment değerini ve eğrilik yarıçapını bulunuz.



FifthEdition


3- 6

M= 3 kN.m

Örnek3 kN-m lik eğilme momentine şekildeki dökme demir bir parçada meydana gelen maksimum basıve çeki gerilmelerini ve eğrilik yarıçapınıbulunuz. E = 165 GPa

( )∑ +=∑∑= ′

2dAIIAAyY x

∑ ×==∑

×=××=×

3

3

3

32

101143000104220120030402109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

mm 383000

10114 3=

×=

∑∑=

AAyY

( ) ( )( ) ( )

mm10868I

18120040301218002090

dAbhdAII

43

2312123

121

231212

x

×=

×+×+×+×=

+=+= ∑∑′



FifthEdition


3- 7

= 22 mm

= 38 mm

• A noktasında maksimum çeki, B noktasında maksimum bası gerilmeleri meydana gelir.

3

6B

B

3

6A

A

max

108683810 3

IcM

108682210 3

IcMI

Mc

×××

−=−=

×××

==

=

σ

σ

σ

MPa0.76+=Aσ

MPa3.131−=Bσ

( )( )33

6

1086810 16510 3

EIM1

×××

==ρ

• Eğrilik merkezi; m 7.47=ρ



FifthEdition


3- 8

Kompozit kirişlerde eğilme

• Normal şekil değiştirmeler lineer değişir.

ρε y

x −=

• Her bir malzeme kesitindeki gerilmeler de ayrıayrı lineer değişir.

ρεσ

ρεσ yEEyEE xx

222

111 −==−==

• Malzemeleri E1 ve E2 olan kompozit bir kirişgöz önüne alınırsa:

ρε y

x −=

• Tarafsız eksen kompozit kesitin geometrik merkezinden geçmez.

• Kesitlerde dA alanına karşılık gelen kuvvetler:

dAyEdAdFdAyEdAdFρ

σρ

σ 222

111 −==−==

• Aynı eğilme rijitliklerine sahip olmaları için dönüştürülmüş kesit (alan)

xx

x

nI

My

σσσσ

σ

==

−=

21( ) ( )

1

2112 E

EndAnyEdAynEdF =−=−=ρρ



FifthEdition


3- 9

ÖrnekKesiti şekilde verilen kompozit bir kiriş M=4.5 kN.m lik eğilme momentine maruzdur. Buna göre; çelik (Eç=200 GPa) ve prinç (Ep=100 GPa) parçalardaki maksimum gerilmeleri bulunuz.



FifthEdition


3- 10

Örnek Şekildeki alüminyum (E=70 GPa) ve çelik (E=210 GPa) borular ara yüzeylerinden düzgün bir şekilde yapıştırılmıştır. Kesit z-ekseni etrafında 500 N.m lik eğilme momenti ile zorlandığına göre; alüminyum ve çelik borulardaki maksimum normal gerilmeleri bulunuz.



FifthEdition


3- 11

Örnek Şekildeki alüminyum (E=70 GPa) ve çelik (E=210 GPa) çubuklar ara yüzeylerinden düzgün bir şekilde yapıştırılmıştır. Kesit yatay eksen etrafında M=60 N.m lik eğilme momenti ile zorlandığına göre; alüminyum ve çelik çubuklardaki maksimum normal gerilmeleri bulunuz.



FifthEdition


3- 12

Örnek Şekildeki alüminyum (E=70 GPa) ve çelik (E=210 GPa) çubuklar ara yüzeylerinden düzgün bir şekilde yapıştırılmıştır. Kesit yatay eksen etrafında M=60 N.m lik eğilme momenti ile zorlandığına göre; alüminyum ve çelik çubuklardaki maksimum normal gerilmeleri bulunuz.



FifthEdition


3- 13

Örnek Şekildeki dikdörtgen kesitli plastik kirişin basıdaki elastisite modülü çekidekinin 2 katı olduğuna göre; yatay eksen etrafında uygulanan M=60 N.m lik eğilme momenti için, en büyük çeki ve bası gerilmelerini bulunuz.



FifthEdition


3- 14

dy

Y2

YYY

Ym bc32

cIM

IcMc

IM σσσσ ==→=→=

∫∫ ∫ −===− −

c

0x

c

c

c

cxx dyyb2)bdy(y)dA(yM σσσ

∫ ∫ −−−−=Y

Y

y

0

c

yYY

Y

dy)(ydy)yy(yb2 σσ

YpY2

2Y

Y

2

2Y

Y2

Y2YY

2Y

2Y

M23MM;0y;)

cy

311(M

23M

)cy

311(bcbybcby

32M

==→−=

−=−+= σσσσ

ρε

ρε Y

Yyy

=→= akma başlangıcında;Y

Ycρ

ε = )311(M

23M

cy

2Y

2

YY

Y

ρρ

ρρ

−=⇒=ise

Eğilmede plastik deformasyonlar ve gerilmeler (elastoplastik malzemeler)



FifthEdition


3- 15

Y2

YY bc32R)c

34(M σ== Yp bcR σ=

YY bc21R σ=

Y2

pp bcR)2c2(M σ==

Yp M23M =

Tek simetri eksenine sahip kesitlerin tam plastik deformasyonları:

Y2Y1

21

AARRσσ =

=

Artık Gerilmeler(Burada tarafsız eksenin geometrik merkezden geçtiği söylenemez. Tarafsız eksen kesiti iki eşit alana böler. Ve plastik moment:

( )dAM Y21

p σ=



FifthEdition


3- 16

( )( )

( )( )

mkN8.28mmN10 8.28

MPa240mm10120cIM

mm10120

mm60mm50bccI

6

33YY

33

2322

32

⋅=⋅×=

×==

×=

==

σ

• Elastik çekirdeğin yarıçapı:

• Maksimum elastik moment:( )

666.0mm60

ycy

cy1mkN28.8mkN8.36

)cy1(MM

YY

2

2Y

31

23

2

2Y

31

Y23

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⋅

−=

mm802 =Yy

• Eğrilik yarıçapı

33

YY 102.1

10200240

E−×=

×==

σε

m3.33=ρ;yYY ρε =

3

3

Y

Y

102.1m1040y−

−

××

==ε

ρ

Akma mukavemeti 240 MPa, elastisite modülü 200 GPa olan düzgün kesitli bir parça M = 36.8 kN-m lik eğilme momentine maruz kalmıştır. Buna göre; (a) elastik çekirdeğin yüksekliğini (2yY), (b) tarafsız eksenin eğrilik yarıçapını bulunuz. Yük geri kaldırıldığında , (c) artık gerilme dağılımını, (d) eğrilik yarıçapını bulunuz.

Örnek



FifthEdition


3- 17

• M = 36.8 kN-m

MPa240mm40

Y ==

σYy

• M = -36.8 kN-m

Y

3

6

m

2MPa7.30610120108.36

IcM

σ

σ

<=××

==′

• M = 0

6

3

x

Y

6

3x

x

105.177m1040y

105.177102005.35

E

−

−

−

××

=−=

×−=×

−==

ερ

σε

m225=ρ

Elastik sınırda



FifthEdition


3- 18

Örnek Şekildeki AB kirişinin akma mukavemeti 350 MPa, elastisite modülü200 GPa olduğuna göre; akma başlangıcındaki ve flanşların tam plastik hale geldiği durumdaki eğilme momentini ve ona karşılık gelen eğrilik yarıçapını bulunuz.



FifthEdition


3- 19

ÖrnekKesiti verilmiş bir kirişin tamamını plastik deformasyona uğratacak Mp momentini bulunuz, akma mukavemeti 240 MPa.

T.Ey



FifthEdition


3- 20

Eksantrik eksenel yükleme

( ) ( )I

MyAP

bendingxcentricxx −=+= σσσPdMPF

==

Örnek Şekildeki gibi yüklenen zincir halkasının düz kısmında meydana gelen maksimum basıve çeki gerilmelerini, ve tarafsız eksenin konumunu bulunuz.



FifthEdition


3- 21

ÖrnekŞekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekideki emniyetli mukavemet değeri 30 MPa, basıdaki mukavemet değeri ise 120 MPa olduğuna göre; elemana uygulanabilecek en büyük P kuvvetini bulunuz.

mm38Y =23 mm103A ×= 43 mm10868I ×=

• P kuvveti C noktasına eşdeğer kuvvet ve moment olarak taşınırsa:

moment bending P28PdMload centricP

mm281038d

====

=−=

• Emniyetli kuvvet değeri için:

kN0.77=P

• Süperpozisyonla gerilmeler;

( )( )

( )( ) P559.110868

3810P2810310P

IMc

AP

P377.010868

2210P28103

10)kN(PI

McAP

3

3

3

3A

B

3

3

3

3A

A

−=×

×−

××

−=−−=

=×

×+

××

−=+−=

σ

σ

kN0.77PMPa120P559.1kN6.79PMPa30P377.0

B

A

=−=−===+=

σσ

• İzin verilebilir emniyetli kuvvet:



FifthEdition


3- 22

Simetrik Olmayan Eğilme (Eğik Eğilme)Simetrik Eğilme :

• Eğilme momenti bir simetri düzleminde (y burada simetri eksenidir) etki etmektedir.

• Kesit eğilmeden sonra yine simetrik kalır ve eğilme simetri düzlemindedir.

• Tarafsız eksen ile moment ekseni (yönü) çakışıktır.

Simetrik Olmayan Eğilme :

• Eğilme momenti bir simetri düzleminde etki etmeyebilir.

• Eğilme, momentin etki düzleminde gerçekleşmez.

• Genel olarak, tarafsız eksenle moment ekseni (yönü) çakışık değildir.



FifthEdition


3- 23

Şekildeki gibi bir Mz eğilme momentine maruz kesitteki gerilmelere karşılık geleneşdeğer kuvvet ve momentler şu şartları sağlamalıdır:

∫ =−=

∫ ==∫ ==

MdAyM

dAzMdAF

xz

xy

xx

σ

σσ

00

Tarafsız eksen geometrik merkezden geçer

0 dAy veya

0dAcydAF mxx

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

∫

∫∫ σσ

ifadesigerilmenormalI

cMσ

cIσdA

cyyMM

z

zm

mmz

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−== ∫ σ

Bunun için moment vektörü geometrik merkezden geçen asal atalet eksenlerinden birisiyle çakışmalıdır. Eğer uygulanan moment vektörünün yönü asal atalet eksenlerindenbirisiyle çakışmıyorsa eğik eğilme meydana gelir.

yz

mxy

I0dAyz

0dAcyzdAzM

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==

∫

∫∫ σσ



FifthEdition


3- 24

y

y

z

zx I

yMI

yM+−=σ

θθ sincos MMMM yz ==

• Tarafsız eksenin konumu için;

( ) ( )

θφ

θθσ

tanII

zytan

IzsinM

IycosM

IzM

IyM0

y

z

yzy

y

z

zx

==

+−=+−==

Simetrik olmayan eğilmede süperpozisyon prensibi:

=

+

A

A

Pozitif bölgede yer alan bir A noktasındaki bileşke gerilme;



FifthEdition


3- 25

Şekildeki yükleme durumunda;a) Kirişteki maksimum gerilmeyi,b) Tarafsız eksenin yatay eksenle yaptığı açıyı bulunuz.

Örnek:



FifthEdition


3- 26

Eksantrik Yüklemede Genel Durum

PbMPaMP

zy === forcecentric

Süperpozisyon prensibi:

y

y

z

zx I

zMI

yMAP

+−=σ

Tarafsız eksenin konumu:

APz

IM

yI

M

y

y

z

z =−0x =σÖrnek

Şekildeki geometri ve yükleme durumu için a) A,B,C ve D noktalarındaki gerilmeleri b) Kesit üzerinde tarafsız eksenin konumunu bulunuz.

Documents

EditionFifthMECHANICS OF MATERIALS Beer • …kocaelimakine.com/wp-content/uploads/2013/07/03... · MECHANICS OF MATERIALS Edition Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek 3- 21