Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas PDF OL -4-/Doc PhyMath 2 4...Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Catamarca. E-mail: ... a result

19 Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y

Semirrecíprocas Juárez, G. A.; Navarro, S. I.

Revista “Aportes Científicos en PHYMATH ISSN 1853-9866 (CD-ROM) ISSN 1853-9866 (Online)

Volumen IV, Setiembre 2014

Ecuaciones en Diferencias

Recíprocas y Semirrecíprocas

Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Inés Navarro

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de

Catamarca. E-mail: [email protected]

Recepción: 20/05/2014

Aceptado para publicación: 30/06/2014

Resumen

Mediante este trabajo se pretende presentar a un tipo particular de ecuaciones en diferencias que se las denomina aquí, recíprocas y semirrecíprocas, como resultados de otras tantas. Así pues considerando que las ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes tienen asociadas para su resolución a las ecuaciones características, y que estas son algebraicas, entonces si las mismas responden a la clasificación citada de recíprocas o semirrecíprocas, las denominamos de la misma manera a las ecuaciones en diferencias asociadas a ellas. Su definición, ejemplos y comportamiento son el objeto del trabajo. Palabras Clave: Ecuaciones en diferencias; Ecuaciones Recíprocas; Ecuaciones semirrecíprocas.





Difference equations reciprocal

and semi reciprocal

Abstract

This paper is intended to introduce a type of particular difference equations referred to them here, reciprocal and semireciprocal, as a result of many others. So where as the with constant coefficients linear difference equation shave associated for its resolution to the characteristic equations, and that these are algebraic, if they respond to the above classification of reciprocal or semireciprocal, we call them the same way to difference equations in associated with them. Its definition, examples, and behavior are the subject of the work. Keywords: Difference Equations; Reciprocal Equations; Semireciprocal Equations.

1. Introducción

El presente trabajo tiene por objeto presentar un caso

particular de Ecuaciones; para ello partimos por un lado de

rescatar dos tipos de ecuaciones algebraicas, las recíprocas y las

semirrecíprocas y por otro, considerar las ecuaciones en

recurrencias o en diferencias lineales, y de ellas obtener este

nuevo tipo de ecuaciones que puede aparecer en ciertos casos de

modelización matemática de sucesos discretos. Sus definiciones,

comportamiento y simulaciones en problemas con valores iniciales

discretos son considerados para su análisis.





2. Ecuaciones Recíprocas

Consideramos aquí un particular tipo de ecuaciones

algebraicas denominadas recíprocas; es decir aquellas ecuaciones

de coeficientes reales que no se modifican al sustituir por 1/ .

Formalmente expresamos su definición ([1], [2], [3], [7]):

Definición 2.1.

Una ecuación polinómica 0 de grado , con n

natural, se dice recíproca sii se conserva invariante al

reemplazar la variable por .

Ejemplo 2.1.

Una ecuación recíproca de segundo grado es

3 5 3 0.

Generalmente usaremos la expresión en forma reducida,

es decir con el coeficiente del término mayor igual a uno, es decir

como un polinomio mónico o normado.

Ejemplo 2.2.

Una ecuación recíproca de tercer grado es

3 3 1 0.

Para verificar los ejemplos 2.1. y 2.2. basta con efectuar

el reemplazo de la variable por su recíproca y observar que se

obtiene la misma expresión de origen, en cada caso.





Mencionaremos algunas de las más importantes

propiedades a fin de poder familiarizarnos con las mismas.

Propiedad 2.1.

Si la ecuación en consideración es

0

La ecuación obtenida al sustituir por 1/ y eliminar

denominadores resulta

1 0

Si estas dos ecuaciones son iguales, debe tenerse

, , …, , , , .

De la última igualdad resulta 1, o bien que 1;

y en consecuencia, existen dos tipos de ecuaciones recíprocas.

Tipo 1. .

Entonces se tiene , , es decir, los coeficientes de

los términos equidistantes de los extremos son iguales. Por esta

razón, las ecuaciones recíprocas del Tipo 1 se conocen también

como ecuaciones simétricas.

Tipo 2. .

Entonces se tiene , ; y los coeficientes de los

términos equidistantes de los extremos son opuestos. Las





ecuaciones recíprocas del Tipo 2 reciben, por esa circunstancia el

nombre de ecuaciones hemisimétricas.

Ejemplo 2.3.

Las ecuaciones recíprocas de los ejemplos 2.1. y 2.2. son

del Tipo 1, es decir son simétricas.

Ejemplo 2.4.

Son ejemplos de ecuaciones recíprocas de Tipo 2, o sea

hemisimétrica, las siguientes:

2 2 1 0 y 3 3 1 0

De la definición de ecuación hemisimétrica se desprende

que el término central es nulo, esto puede verse cuando el grado

del polinomio es par.

Ejemplo 2.5.

Como ecuación recíproca hemisimétrica de grado par,

tenemos la siguiente: 5 5 1 0 donde se observa la

ausencia del término central.

Propiedad 2.2.

Las ecuaciones recíprocas no admiten la raíz 0.





Propiedad 2.3.

Sea 0 una ecuación recíproca de grado n,

a) Si 0 es de Tipo 1 y de grado impar, admite

una raíz –1 y es divisible por 1. Si

es el cociente, entonces 0 es una ecuación

recíproca de Tipo 1 y de grado par.

b) Si 0 es de Tipo 2 y de grado impar, tiene una

raíz 1 y es divisible por 1; siendo el

cociente, la ecuación 0 es de Tipo 1 y de

grado par.

c) Si 0 es de Tipo 2 y de grado par, tiene una

raíz 1 y una raíz –1; es decir, es divisible por

1 y, siendo el cociente, resulta 0

una ecuación recíproca de Tipo 1 y de grado par.

En consecuencia, toda ecuación recíproca es de Tipo 1 y

de grado par o puede reducirse a esta forma; la cual puede

considerarse como la forma general de las ecuaciones recíprocas.

Propiedad 2.4.

Toda ecuación recíproca de la forma general puede ser

reducida a una ecuación de grado mitad.





3. Ecuaciones Semirrecíprocas

Consideremos ahora ecuaciones de coeficientes reales

que no se modifican al sustituir por ([1]).

Definición 3.1.

Una ecuación polinómica 0 de grado , con n

natural, se dice semirrecíproca sii se mantiene invariante al

reemplazar la variable por .

Ejemplo 3.1.

Una ecuación semirrecíproca de cuarto grado es

2 5 2 1 0.

Ejemplo 3.2.

Obsérvese que ninguna de las ecuaciones siguientes es

semirrecíproca:

3 3 1 0, 3 3 1 0,

3 3 1 0

Así la siguiente propiedad dice:

Propiedad 3.1.

Las ecuaciones semirrecíprocas son de grado par.

En efecto, si 0 es una ecuación semirrecíproca,

admite simultáneamente las raíces y : si estas son diferentes





será divisible por el producto de segundo

grado. La ecuación 0 será de grado impar únicamente si

existe la raíz que sea recíproca y de signo contrario de sí misma;

pero implica 1 y . Ahora bien, como toda

ecuación de coeficientes reales tiene sus raíces complejas en

pares de complejas conjugadas, si 0 admite la raíz

también deberá admitir la raíz – y en tal caso será divisible

por 1.

Propiedad 3.2.

Consideremos la ecuación semirrecíproca

0

Y la que se obtiene de ella sustituyendo por , y

eliminando denominadores

1 0.

Siendo estas ecuaciones iguales por definición, tenemos

que

, ,…., , , .

De la última igualdad obtenemos 1; o bien 1;

y por lo tanto, existen dos tipos de ecuaciones semirrecíprocas.





Tipo 1. .

Entonces tenemos si 2 y si 2;

es decir, los coeficientes de los términos equidistantes de los

extremos, de orden par, son iguales y los coeficientes de los

términos equidistantes de los extremos, de orden impar son

opuestos.

Tipo 2. .

Entonces resulta si 2 y si 2 ;

es decir, los coeficientes de los términos equidistantes de los

extremos, de orden par, son opuestos y los de orden impar son

iguales.

Ejemplo 3.3:

Una ecuación semirrecíproca de Tipo 1 es la siguiente:

3 2 3 1 0

Ejemplo 3.4:

Una ecuación semirrecíproca de Tipo 2 es la siguiente:

5 5 1 0

Por la condición que la define, en este tipo 2 el término

central es nulo.

Al igual que en las recíprocas es inmediato el enunciado

siguiente:





Propiedad 3.3.

Las ecuaciones semirrecíprocas no admiten la raíz 0.

Respecto a que la paridad del grado es siempre par,

distinguimos son casos, si es múltiplo de cuatro o no, definiendo el

concepto de orden como la mitad del grado en las ecuaciones

semirrecíprocas, y para ello se presenta el enunciado:

Propiedad 3.4.

Puesto que una ecuación semirrecíproca es de grado par,

si designamos ese grado con 2 diremos que la ecuación es de

orden .

a) Si 0 es una ecuación semirrecíproca de Tipo 1 y

orden impar, admite una raíz y una raíz – y es

divisible por 1. Si es el cociente, entonces

0 es una ecuación semirrecíproca de Tipo 1 y

orden par.

b) Si 0 es una ecuación semirrecíproca de Tipo 2 y

orden par, tiene las raíces y – y es divisible por

1 . Si es el cociente resulta 0

semirrecíproca de Tipo 2 y orden impar.

En consecuencia, toda ecuación semirrecíproca es de

Tipo 1 y orden par, o de Tipo 2 y orden impar, o puede reducirse a

una de estas formas que pueden considerarse las formas generales

de las ecuaciones semirrecíprocas.





Ejemplo 3.5:

Una ecuación semirrecíproca de Tipo 1 y orden impar es

la siguiente:

256

256 1 0

La naturaleza de la transformación hace que siga siendo

válido este enunciado de las recíprocas.

Propiedad 3.5.

Toda ecuación semirrecíproca de una de las formas

generales puede ser reducida a una ecuación de grado mitad.

4. Ecuaciones en Diferencias

Dada una sucesión { }nx cuyos primeros términos son

,.....,, 210 xxx , presentamos como Ecuación en Diferencias a toda

ecuación que relaciona términos de esa sucesión ([4], [5], [6]).

Ejemplo 4.1:

Las siguientes son ecuaciones en diferencias:

25 212 =++ ++ nnn xnxnx [4.1]

0453 123 =+−+ +++ nnnn xxxx [4.2]

nxx nn 2)cos(2 =++ [4.3]

( )213

1 =++ nn xx [4.4]





Formalmente se presenta la siguiente definición:

Definición 4.1:

Sea el número natural n, tal que el termino n-ésimo de

una sucesión es función de n, es decir )(nxxn = , donde los términos

siguientes ,..., 21 ++ nn xx existen, entonces llamamos Ecuación en

Diferencias a toda ecuación que relaciona al término nx de la

sucesión, la sucesión incógnita )(nxxn = y términos siguientes de

la sucesión, representada por la forma

0,....),,,( 21 =++ nnn xxxnF [4.5]

Definición 4.2:

El orden de una ecuación en diferencias es la diferencia

entre el argumento n más grande y el más pequeño que aparece en

ella.

Ejemplo 4.2:

Las ecuaciones [4.1] y [4.2] del ejemplo 4.1., son de orden

dos y tres respectivamente. La ecuación [4.3] es de segundo orden,

obsérvese que no tiene el término correspondiente 1+nx . Además la

ecuación [4.4] representa a una ecuación de primer orden.





Definición 4.3:

Una ecuación en diferencias se dice lineal de orden k, sii

tiene la forma:

)()()(...)( 011 nRxnaxnaxna nnknk =+++ ++ [4.6]

donde los coeficientes )(),( 0 nanak son no nulos, y R(n) es una

función de n. Cuando la sucesión incógnita se encuentra en una

función no lineal, la ecuación se llama no lineal.

Ejemplo 4.3:

De las ecuaciones en diferencias dadas en el ejemplo 4.1,

son lineales las dos primeras.

Definición 4.4:

Una ecuación en diferencias lineal de orden k se dice

homogénea sii R(n) es nula. Caso contrario se dice no homogénea.

Ejemplo 4.4:

De las ecuaciones en diferencias del ejemplo 4.1, sólo la

ecuación [4.2] es homogénea.

Así, dada una ecuación en diferencias, la incógnita es la

sucesión solución que satisface tal igualdad, o sea:





Definición 4.5:

Una solución de una ecuación en diferencias será una

sucesión de valores para los cuáles se satisface la ecuación.

Nos dedicaremos en este trabajo sólo a las ecuaciones en

diferencias homogéneas lineales con coeficientes constantes. Así

dada una ecuación en diferencias lineal de orden k homogénea con

coeficientes constantes de la forma:

0... 01111 =++++ +−+−+ nnknkkn xaxaxax [4.7]

Donde el coeficiente 00 ≠a , la solución se obtiene a partir de la

siguiente ecuación algebraica asociada de grado n denominada

ecuación característica

0... 011

1 =++++ −− aaa k

kk ρρρ [4.8]

Las soluciones de tal ecuación se denomina raíces

características, y por ser de grado k hay k soluciones no

necesariamente distintas entre sí. Por lo tanto si todas son

distintas las podemos indicar como , 1,2, … , . Una raíz puede

ser múltiple r veces y las restantes k-r pueden ser distintas todas

entre sí. En el caso de raíces complejas estas aparecen de a pares,

cada una con su conjugada.

De ésta manera la sucesión solución de la ecuación en

diferencias [4.7] está dada por una suma de productos de potencias

enésimas de las raíces características multiplicada por una

constante cada una si las raíces son todas distintas entre sí, de la

forma:





Mientras que si una raíz tiene multiplicidad r y las

restantes veces es distintas todas entre sí, la sucesión solución se

expresa como:

Donde representa las r raíces múltiples.

Ejemplo 4.5:

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones en

diferencias:

a) 051 =−+ nn xx b) 031 =++ nn xx

Solución:

Aplicando el enunciado anterior se trata de ecuaciones

de primer orden por lo que la ecuación característica es de la

forma 0 cuya única solución es – . De allí que la sucesión

solución es . En consecuencia:

a) La sucesión solución es nn Cx 5=

b) La sucesión solución es nn Cx )3(−=

Ejemplo 4.6.:

Resolver la ecuación 0107 12 =+− ++ nnn xxx





Solución:

La ecuación característica es: 01072 =+− ρρ , cuyas raíces

son: 1ρ =2 y 2ρ =5. Siendo éstas reales y distintas se tiene que la

sucesión solución es:

nnn CCx 52 21 +=

Ejemplo 4.7.:

Resolver la ecuación

0168 12 =+− ++ nnn xxx

Solución:

La ecuación característica es: 01682 =+− ρρ , cuyas

raíces son reales e iguales a 4, así la sucesión solución es:

( ) nn nCCx 4 21 +=

Ejemplo 4.8:

Resolver la ecuación en diferencias lineal

0652 123 =+−− +++ nnnn xxxx

Solución:

La ecuación es lineal de tercer orden, por lo que

construimos la ecuación característica correspondiente:

0652 23 =+−− ρρρ





Las raíces características son: 1, –2 y 3, es decir reales y

distintas, entonces aplicamos la expresión correspondiente, y la

sucesión solución es:

nnnn CCCx 3)2(1 321 +−+=

Ejemplo 4.9:

Resolver la ecuación en diferencias lineal

0183137 1234 =−++− ++++ nnnnn xxxxx

Solución:

Las raíces características de la ecuación característica de

cuarto grado:

0183137 234 =−++− ρρρρ

son –1, 2 y 3, esta última de multiplicidad dos, entonces

aplicaremos la expresión dada antes; por lo tanto la sucesión

solución toma la forma: nnn

n nCCCCx 3)(2)1( 4321 +++−=

Ejemplo 4.10:

Resolver la ecuación en diferencias lineal siguiente

06575 1234 =+−+− ++++ nnnnn xxxxx

Solución:

Las raíces características son i, –i, 2 y 3, aquí

aplicaremos la expresión correspondiente a raíces complejas,





donde las dos primeras son conjugadas entre sí. Estas permiten

denotar en forma trigonométrica:

°+°= 90sen90cos1 iρ y °−°= 90sen90cos2 iρ

Por lo tanto la sucesión solución es nn

n CCnCnCx 32)90sen()90cos( 43* ++°+°=

donde los coeficientes y , resultan de agrupar partes reales e

imaginarias de los desarrollo de las potencias enésimas de los iρ ,

aplicando la notación de DeMoivre oportunamente.

Estas constantes expresan infinitas soluciones, para cada

valor particular se tiene una solución distinta. Una forma de

obtener una solución única es incorporar a una ecuación en

diferencia de orden k la misma cantidad de valores iniciales, esto

se denomina Problemas Discretos con Valores Iniciales.

5. Ecuaciones en Diferencias Reciprocas y Semirrecíprocas

Al resolver una ecuación en diferencias lineal homogénea

con coeficientes constantes, vimos como dependemos de la

ecuación característica, que es algebraica, y por lo tanto podemos

aquí usar las ecuaciones recíprocas y semirrecíprocas. En

consecuencia presentamos formalmente a las siguientes de esta

manera:





Definición 5.1.:

Una ecuación en diferencias lineal homogénea con

coeficientes constantes es recíproca sii la ecuación característica

asociada lo es.

Definición 5.2.:

Una ecuación en diferencias lineal homogénea con

coeficientes constantes es semirrecíproca sii la ecuación

característica asociada lo es.

Podemos dar las mismas clasificaciones de ecuaciones de

Tipo 1 y 2 dadas antes para las ecuaciones algebraicas recíprocas y

semirrecíprocas; y además para las recíprocas asociar los términos

simétricos y hemisimétricos. En cuanto a las semirrecíprocas dar

el concepto de orden par e impar. A continuación asociamos a cada

ejemplo citado antes las ecuaciones en diferencias con su

clasificación.

5 0 Ecuación Recíproca Tipo 1

Simétrica

3 3 0 Ecuación Recíproca Tipo 1

Simétrica


Hemisimétrica


Hemisimétrica






Hemisimétrica

2 5 2 0 Ecuación

Semirrecíproca Tipo 1

Orden par

3 2 3 0 Ecuación

Semirrecíproca Tipo 1

Orden par

5 5 0 Ecuación Semirrecíproca

Tipo 2 Orden par

0 Ecuación

Semirrecíproca

Tipo 2 Orden

impar

6. Estabilidad en Ecuaciones en Diferencias Reciprocas y

Semirrecíprocas

A continuación vamos a presentar en orden creciente las

ecuaciones en diferencias a fin de hallar la factibilidad de obtener

condiciones respecto de las clasificaciones de ecuaciones recíprocas

y semirrecíprocas como así de cada uno de los tipos de ellas en

cada caso ([4]).





1. Comencemos con las ecuaciones en diferencias de

primer orden homogéneas de la forma 0.

La ecuación característica es 0 , ésta es

recíproca sii 1, siendo simétrica en el caso a

=1 y hemisimétrica cuando 1. Para la ecuación

recíproca simétrica la sucesión oscila entre dos

valores que dependen del valor inicial y su opuesto,

por lo tanto es oscilante. Para la ecuación recíproca

hemisimétrica la sucesión es constante en el valor

inicial.

El valor de equilibrio de una ecuación en diferencias

se denota por ∞nx , en el caso de las ecuaciones de primer orden

es:

abxn +

=∞

1

Por lo que el valor de equilibrio para una ecuación en

diferencias simétrica es nulo y para una hemisimétrica no está

definida.

No olvidemos que las semirrecíprocas son de grado par por lo

que no existen EED de primer orden semirrecíprocas.

2. Sea ahora la ecuación en diferencia homogénea de

segundo orden 0.

La ecuación característica es recíproca y simétrica sii

1 , mientras que con 1 y 0 , es recíproca pero

hemisimétrica.





En cuanto a la estabilidad de la sucesión debe tenerse en

cuenta que el valor de equilibrio en las ecuaciones en

diferencias de segundo orden está dado por

badx p

n ++=

1. Por lo que el valor de equilibrio para la recíproca

simétrica es nulo y para la recíproca hemisimétrica no está

definida.

Para la sucesión recíproca simétrica

0,

los términos varían dentro de un rango constante mostrando una

oscilación, no habiendo por lo tanto estabilidad, tal rango es

2 2 , según el enunciado dado más abajo.

Para la sucesión cuando la ecuación es recíproca

hemisimétrica

0,

sólo tiene dos valores que son los valores iniciales, si estos son

distintos oscilan entre ellos y si son iguales es una constante, y

además se repiten alternadamente cada cuatro pasos a partir de

los dos valores iniciales.

Mientras que la ecuación es semirrecíproca cuando a

es nulo y 1, o sea 0, es de tipo 1, mientras que con

1 , cualquiera sea a se tiene 0 es

semirrecíproca tipo 2. Para el tipo 1 la sucesión tiene solo

cuatro valores, los dados por los dos valores iniciales, y sus

opuestos obtenidos al aplicar la ecuación en diferencias. Si los

valores iniciales son iguales la sucesión oscila entre los dos únicos

valores, el de los primeros dados y luego los opuestos.





Para el tipo 2, la sucesión queda 0, la

estabilidad en ella no ocurre pues la condición de estabilidad para

una EED de segundo orden está dada por el enunciado:

Teorema:

El valor de equilibrio de una ecuación en diferencias

dbxaxx nnn =++ ++ 12 es estable sii los coeficientes de la ecuación

característica satisfacen la relación: 11 <<− ba .

En consecuencia no es estable y muestra oscilaciones que

divergen con a positivo y crece indefinidamente con a negativo.

Un claro ejemplo de las semirrecíprocas de Tipo 2, son

las Progresiones Geométricas de Oro [5]. Así las denominamos

a las ecuaciones en diferencias de segundo orden homogéneas con

1, que para valores iniciales particulares definen a las

sucesiones de Fibonacci y la de Lucas.

3. Para las ecuaciones en diferencias de orden superior

siempre debemos recordar que las semirrecíprocas

son posibles si el orden es par.

El estudio de la estabilidad de la solución ∞nx de la

ecuación en diferencias lineal no homogénea, se reduce mediante

la sustitución ∞−= nnn xxy al estudio de la estabilidad de la solución

nula de la ecuación homogénea:

0...11 =+++ −++ nkknkn yayay

Para el estudio de la estabilidad de la solución general de

la ecuación homogénea, se aplica las siguientes reglas:





i) Si todas las raíces de la ecuación características

son en valor absoluto menor que la unidad,

entonces la sucesión solución es asintóticamente

estable.

ii) Si al menos raíz una de la ecuación característica

es en valor absoluto mayor que la unidad,

entonces la sucesión solución es inestable.

iii) Si la ecuación característica tiene raíces simples

con los módulos iguales a uno, mientras que los

módulos de las demás raíces, si tales existen, son

menores que la unidad, entonces la sucesión

solución es estable, pero no asintóticamente.

iv) Si la ecuación característica tiene al menos una

raíz múltiple con el módulo igual a la unidad,

entonces la sucesión solución es inestable.

De ésta manera el estudio de la estabilidad de la sucesión

solución se reduce al de conocer el valor de los módulos de las

raíces de la ecuación característica.

6. Conclusiones

Siendo

0

una ecuación en diferencias lineal homogénea con coeficiente

constante de orden k, donde

0





es la ecuación característica asociada a tal ecuación, así llamando

, 1,2, … , a las raíces características, entonces el coeficiente

es el producto de las raíces, según el Teorema de Cardano-

Viète-Fernández, que formalmente se expresa: Si

∑ con 1 entonces ∑

y 1 ∏ donde es la i-ésima raíz del polinomio .

En términos de las tales raíces, la ecuación en

diferencias de orden k es:

• Recíproca sii siendo h una raíz entonces también

es raíz.

• Semirrecíproca sii siendo h una raíz entonces

también es raíz.

Como vimos un requisito es que 1 según sean de

Tipo 1 ó Tipo 2. Como la condición de estabilidad de las

ecuaciones en diferencias de orden k en términos de sus raíces

dice que si la raíz de mayor valor absoluto es negativa o compleja

la sucesión es estable. Por lo tanto las ecuaciones en diferencias

semirrecíprocas no son estables.

En cuanto a los coeficientes de la ecuación en

diferencias, el criterio dice que si | | 1 la sucesión oscila

alrededor del punto de equilibrio, lo cual dando podrá ocurrir en

nuestro tipo de ecuaciones.

Por cada solución existe otro cuyo producto es uno si es

recíproca o menos uno si es semirrecíproca, resulta así que el

producto de todas las raíces tiene valor absoluto uno, es decir

oscila, pero no converge a tal punto de equilibrio.





En particular cuando la ecuación en diferencias es de

primer orden y resulta constante no necesariamente es el valor de

equilibrio que, o es cero o bien no existe.





7. Referencias

[1] Costa, Homero A. (1988). Ecuaciones semirrecíprocas. Edición del autor. [2] Fernández Terán, Ricardo. (2011). Fundamentos del Álgebra de

Polinomios. Universidad Simón Bolívar. [3] Hall, H. S.; Knight, S. R. (1982). Algebra Superior. Unión Tipográfica

Editorial. México. [4] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2005). Ecuaciones en diferencias. Editorial

Sarquis. Catamarca. [5] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2012). Progresiones Geométricas de Oro.

Revista Aportes Científicos en Phymath. Número 2. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca.

[6] Juarez, G. A.; Navarro, S. I. (2011). Problemas Discretos con Valores

Iniciales. Revista en Educación Matemática. Unión Matemática Argentina. Número 26. Volumen 2. Pps 3-13.

[7] Osin, Luis. (1966). Introducción al Análisis Matemático. Ed. Kapelusz.

Documents

Ecuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas PDF OL -4-/Doc PhyMath 2 4...Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Catamarca. E-mail: ... a result