Econométrie non-linéaire Méthodes de moments...théorème de Slutsky appliqué à θˆn = e−1(ê) et de la normalité asymptotique jointe des eî. Econométrie non-linéaireMéthodes

Econométrie non-linéaire

Méthodes de moments

Bernard Salanié

Econométrie non-linéaireMéthodes de moments – p. 1/32

Origine : méthode des moments classique

Problème : estimer les paramètres θ de la loi de Y

On observe Y1, . . . , Yn

On définit les moments théoriques ei(θ) = EθYi pour

i = 1, . . . , pθ

On suppose que

θ −→ (e1(θ), . . . , epθ(θ))

est bijective.


Idée

on estime les moments théoriques par les momentsempiriques et on résout le système d’équations.

“Conditions de moments” : EY i − ei(θ0) = 0.


Soit êi =1n

∑nj=1 Y

ij .

On résout en θ̂n :

êi = ei(θ̂n), i = 1, . . . , pθ

Convergence : triviale, quand n −→ ∞, êi −→ ei(θ0).Normalité asymptotique et écarts-types : se déduisent du

théorème de Slutsky appliqué à θ̂n = e−1(ê) et de la

normalité asymptotique jointe des êi.


Généralisations

θ̂n est moins précis que le maximum de vraisemblance −→peut-on améliorer sa précision en rajoutant des conditionsde moments ?

peut-on tester le modèle sous-jacent ?

peut-on exploiter des conditions de moments plusgénérales ?


Trois méthodes liées

GMM (méthode des moments généralisée)

vraisemblance empirique

MCA (moindres carrés asymptotiques).


La méthode des moments généralisée

Modèle Pθ(y, x), échantillon (yi, xi)ni=1 i.i.d.

On écrit les conditions de moments

Eg(yi, xi, θ0) = 0

Idée : on estime Eg(yi, xi, θ) par son analogue empirique

Ĝn(θ) =1

n

n∑

i=1

g(yi, xi, θ)

et on essaie de rendre Ĝn(θ) aussi petit que possible.


Si pg = pθ : on résout simplement Ĝn = 0.

Si pg > pθ, on ne peut pas annuler Ĝn(θ). On minimise enθ

∥

∥

∥Ĝn(θ)

∥

∥

∥

2

Sn= Ĝn(θ)

′SnĜn(θ)

où Sn est définie positive.


On a donc un estimateur θ̂n qui dépend du choix de Sn.

convergence et normalité asymptotique ?

choix optimal de Sn ?

variance asymptotique ?

test du modèle ?


Convergence

Si :

g est continue

Ĝn(θ) converge uniformément vers Eg(yi, xi, θ)

Sn converge vers S∞ définie positive

identification : si Eg(yi, xi, θ)′S∞Eg(yi, xi, θ) = 0, alors

θ = θ0.


Normalité asymptotique

Ne pose pas de problème, avec des conditions de régularité enplus.


Estimateur des GMM optimal

Dans le cas pg > pθ, le choix de la norme compte.

On montre qu’il faut choisir

S∞ = (V g(yi, xi, θ))−1

et qu’alors la variance asymptotique de θ̂n est

(

E∂g

∂θ′(yi, xi, θ0)S∞

∂g′

∂θ(yi, xi, θ0)

)

−1


Méthode en deux étapes

on calcule un premier estimateur θ̃n avec Sn quelconque

on estime S∞ par

Ŝn =

(

1

n

n∑

i=1

g(yi, xi, θ̃n)g(yi, xi, θ̃n)′

)

−1

et on réestime avec Sn = Ŝn.


Test de suridentification

Si pg > pθ, alors il y a plus de conditions de moments que

nécessaire, et on ne peut pas annuler Ĝn(θ).

On peut tester le modèle en regardant si Ĝn(θ̂n) est“petit”.

En pratique : on prend Sn comme pour l’estimateur GMMoptimal, et sous l’hypothèse nulle de bonne spécification,

n∥

∥

∥Ĝn(θ̂n)

∥

∥

∥

2

Snsuit asymptotiquement un χ2(pg − pθ).


Exemple d’application : condition d’Euler

Problème d’optimisation sur le cycle de vie pour leconsommateur i

u′(cit, θ) = β(1 + rt+1)Etu′(ci,t+1, θ)

Si xit est un ensemble de variables connues de i en t, alorson a les conditions de moments

Exit(u′(cit, θ) − β(1 + rt+1)u′(ci,t+1, θ)) = 0

et si on a des données de panel (2 dates suffisent) on peutestimer β et θ, et tester le modèle.


Développements récents des GMM

l’estimateur en une étape

la vraisemblance empirique (empirical likelihood).


L’estimateur en une étape

on choisit simplement

Sn(θ) =

(

1

n

n∑

i=1

g(yi, xi, θ)g(yi, xi, θ)′

)

−1

qui dépend donc de θ

on minimise

‖Gn(θ)‖Sn(θ)L’estimateur résultant est asymptotiquement équivalent àl’estimateur GMM optimal.


La vraisemblance empirique

Idée : on estime à la fois la loi inconnue de (y, x) et leparamètre θ

Pour estimer la loi de (y, x), on essaie de se rapprocher dela vraisemblance empirique= masses de Dirac 1/n surchaque (yi, xi)

mais on doit aussi prendre en compte les conditions demoments.


La vraisemblance empirique en pratique

soient πi les probas inconnues de (yi, xi), et e le vecteur(1/n, . . . , 1/n)

On minimise en π et θ une distance entre π et e sous lescontraintes

π ≥ 0 et∑n

i=1 πi = 1∑n

i=1 πig(yi, xi, θ) = 0


Intérêt de la vraisemblance empirique

on peut fonder un test de suridentification sur la valeurdes multiplicateurs de Lagrange des conditions demoments à l’optimum

Ce test a (peut-être) de meilleures propriétés à distancefinie que le test GMM habituel.

Méthode encore peu répandue en pratique mais rechercheactive.


Les moindres carrés asymptotiques

estimateur de distance minimum

système de pg ≥ pθ équations estimantes reliantparamètres auxiliaires π0 et paramètres d’intérêt θ0 :

g(π0, θ0) = 0


On suppose que

on a un estimateur convergent et asymptotiquementnormal (CAN) de π0

√n(π̂n − π0) −→ N(0,Ω0)

θ0 est identifiable : si g(π0, θ) = 0, alors θ = θ0.


Exemple : la méthode des moments classique

Ici les moments e jouent le rôle de π

Ils sont estimés par les moments empiriques ê.

Et les équations estimantes sont e − e(θ0) = 0.


Idée : rendre g(π̂n, θ) aussi petit que possible.

Si pg = pθ : on résout simplement g(π̂n, θ̂n) = 0.

Si pg > pθ, on ne peut pas annuler g(π̂n, θ). On minimiseen θ

‖g(π̂n, θ)‖2Sn = g(π̂n, θ)′Sng(π̂n, θ)

où Sn est définie positive.


En général, on a donc un estimateur θ̂n qui dépend du choix deSn.

convergence et normalité asymptotique ?

choix optimal de Sn ?

variance asymptotique ?


Propriétés asymptotiques

θ̂n est convergent si :

g est continue

Sn converge vers S∞ définie positive

identification : si g(π0, θ)′S∞g(π0, θ) = 0, alors θ = θ0.

Pour la normalité asymptotique, il faut des conditions derégularité en plus (notamment : dérivées de g de plein rang).


Estimateur des MCA optimal

On montre qu’il faut choisir

S∞ =

(

∂g

∂π′(π0, θ0)Ω0

∂g′

∂π(π0, θ0)

)

−1

et qu’alors la variance asymptotique de θ̂n est

(

∂g

∂θ′(π0, θ0)S∞

∂g′

∂θ(π0, θ0)

)

−1


Méthode en deux étapes

on calcule un premier estimateur θ̃n avec Sn quelconque

on estime S∞ par

Ŝn =

(

∂g

∂π′(π̂n, θ̃n)Ω̂

∂g′

∂π(π̂n, θ̃n)

)

−1

et on réestime avec Sn = Ŝn.


Application pratique des MCA la plus courante

(attention aux changements de notation !)

Test d’une hypothèse mixte

∃a, g(θ0, a) = 0

avec pg > pa.

On suppose qu’on a un estimateur CAN de θ0 :

√n(θ̂n − θ0) −→ N(0, V0)

on estime a en minimisant

Gn(a) = g(θ̂n, a)′Sng(θ̂n, a)


Si on a choisi Sn de manière optimale, alors à l’optimum etsous l’hypothèse nulle,nGn(ân) suit asymptotiquement un χ

2(pg − pa)Donc on a à la fois un test et un estimateur de a sousl’hypothèse nulle.


Exemple : test d’un polynôme retard commun

On part d’un ARMA

Φ(L)Xt = Θ(L)εt

et on veut tester l’existence d’un monôme commun :

Φ(L) = (a − L)Φ0(L) et Θ(L) = (a − L)Θ0(L)

(si c’est le cas, on peut rendre le modèle plusparsimonieux).


Revient à tester

∃a, Φ(a) = Θ(a) = 0

Ici pg = 2 et pa = 1.

Donc on estime l’ARMA non contraint, puis on appliqueles MCA et on obtient un test du χ2(1) ainsi qu’unestimateur de a sous l’hypothèse nulle.


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