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ECO Systèmes
Christine Garcia, Jean-Marc Fedou
I3S (Nice, Sophia-Antipolis)
PLAN
• Permutations à motif exclu
• ECO systèmes et règles de succession
• Systèmes algébriques
• Règles de succession signées
Permutation
For example
Let be the set of permutations on
Arbre de génération
1
12
123
21
132
312
213
231
312
123412431423412313241342143241323124314234124312213421432413421323142341243142313124314234124312
Pattern For a permutation of k positive integers, the
pattern of is defined as a permutation on Sk obtained from by substituting the
minimum element by 1, the second minimum element by 2, ..., and the maximum element by k .
Restricted Permutation For a permutation and a permutation
, we say that is -avoiding if and only if there is no subsequence
whose pattern is . We write for the set of -avoiding permutations of .
512673849 avoids 321 pattern.
But 512673849 contains 3412 pattern,
since 512673849; 512673849;
512673849.
• For example
• For example
Stack Sorting Problem (Knuth, 1960’s)
8 7 6 5 4 3 2 1
312-avoiding
Arbre de génération
1
12
123
21
132
312
213
231
321
123412431423412313241342143241323124314234124312213421432413421323142341243142313214324134214321
1
132
21213
231
12 312
123
2341
1234
1342
31421324
1243
2143
2314
2413
2134
34123124
14234123
Question (Herbert Wilf, 1990’s)
How many permutations of How many permutations of length do avoid a given length do avoid a given subsequence of length subsequence of length k k ??
For k=3
In 1973, Knuth first proved that is enumerated by Catalan numbers.
In 1972, Hammersley gave the first explicit enumeration for
For k=4
J. West (1990), Z. Stankova (1990’s) classifiedthe permutations with forbidden patterns of length 4, i.e.
1234, 1243, 2143, 1432
1342, 2413
1324
For k=4 1234, 1243, 2143, 1432
In 1990, Ira M. Gessel gave the generating function by using symmetric functions.
1324D. Marinov & R. Radoicic (2003) gave the first few numbers.
1342, 2413In 1997, M. Bόna gave the exactly formula.
Open Problems
Conjecture ( Stanley and Wilf, 1990’s)
For each pattern , For each pattern , there is an absolute there is an absolute constant so thatconstant so that holds.holds.
2 (3n)! /(n+1)!/(2n+1)!
• Cartes planaires pointées non séparables Tutte (1963)
• Permutations triables par deux piles et Sn(2341,35241) – Zeilberger – West– Dulucq, Gire, Guibert, West
Cartes planaires pointées non séparables
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PLAN
• Permutations à motif exclu• ECO systèmes et règles de
succession• Systèmes algébriques• Règles de succession signées
ECO Systèmes
Enumerating Combinatorial ObjectE. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani (1997)
• Construction récursive
• Séries génératrices
• Bijections
• Génération aléatoire uniforme
Méthode ECO
• On={objets de taille n}
• Opérateurs – T : On On+1
– Pour chaque Q de On+1, il existe un P de On tel que Q est dans T(P).
– Si P1 et P2 sont deux objets distincts de On , alors T(P1) T(P2) = Ø
Pinzani, Barcucci (1997)U
Arbres binaires complets Définition récursive classique
ECO système
2
1
7
3
5 6
4
1
7
5
63 4
2
Sites actifs
7
5 6
76
ECO système
k Sites actifs…
(2)(k)
…
ECO système
…
(k) (k+1)
k Sites actifs
Arbres binaires complets
……
(k) (2) (3)…(k+1)
k Sites actifs
2
22
23
2
2
2
3
2
2
3
3
4
5
343 3
434
(2)(k) (2)(3)…(k)(k+1)
Règle de succession
• Axiome : un entier a• Règle : une fonction successeur de N dans
P(N)
• On s’intéresse à l’ensemble des mots de N*– qui commencent par l’axiome– où chaque lettre appartient au successeur de la
précédente
• ECO systèmes et Bijections
1
132
21213
231
12 312
123
2341
1234
1342
31421324
1243
2143
2314
2413
2134
34123124
14234123
1
132
21213
231
12 312
123
2341
1234
1342
31421324
1243
2143
2314
2413
2134
34123124
14234123
2
22
23
2
2
2
3
2
2
3
3
4
5
343 3
434
(2)(k) → (2)(3)…( )( +1)k k
• Règles de succession et Séries génératrices
Séries génératrices
• Si an désigne le nombre d’objets de « taille » n, la série génératrice des objets selon le paramètre « taille » est la fonction
f(x) = n≥0 an xn
• Pour deux paramètres
f(x,s) = n≥0, k≥0 an,k sk xn
ECO et séries génératricesAn,k nombre d’arbres à n sommets internes k sites actifs
kn
knkn sxAsxF
,,),(
x ns k x n+1 s 2+ x n+1 s 3+…+ x n+1
s k+1x n+1 s 2
1-s(1-s k)
F(x ,s)xs xs2
1 sF(x,1) xs2
1 sF(x ,s)
2
x1s2x2(s2 +s3)
x3(2s2 +2s3 +s4)
x1
2x2
5x3 14x3
Catalan
Problème (R.Pinzani)
Quels sont les systèmes ECO qui donnent :• Séries génératrices Rationnelles • Séries génératrices Algébriques • Séries génératrices Transcendantes
On Generating Functions of Generating TreesC.Banderier, M.Bousquet-Mélou, A. Denise,
P. Flajolet, D.Gardy, D.Gouyou-Beauchamps (1999)
?
Séries génératrices Rationnelles
• Les séries génératrices pour les règles ECO finies sont rationnelles
• Exemple :(1)(2), (2)(1)(2) Fibonacci
Séries génératrices Algébriques
Transformations finies de (k) (2)(3)…(k)(k+1)
(2), (k)(2)(3)…(k)(k+1) Catalan (1), (k)(1)(2)…(k-1)(k+1) Motzkin(3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)2 Schröder (3), (k)(3)(4)…(k)(k+1)(k+2) Arbres
ternaires
Séries génératrices exponentielles
(2), (k)(k-1) k-1 (k+1) Involutions
(2), (k)(k)(k+1) k-1 Arrangements
(2), (k)(k+1)k Permutations
Séries génératrices exponentielles pour les ECO systèmes signés
Sylvie Corteel (2000)
• Règles de succession et Génération aléatoire uniforme
ECO et Génération aléatoire
(k) (2) (3)…(k+1)
(2) ,(2) ,
22
22
33
222233
33223344
223344
2233
22334455
22
33
44
551414
991414
2255
1122
3355
229933994499
1133 11
331133
112211
22113311
33113311
441144
1144
1144
1122
Problèmes ouverts
• Equivalence de règles de succession
• Forme normale
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