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Exercices : Régimes variables périodiques

Exercice 1

Soit v(t) un signal carré d’amplitude E et de période T1. Faire une représentation graphique de v.2. Calculer la valeur efficace de v(t).3. Calculer la décomposition en série de Fourier de v(t).4. Quelle est l’expression du fondamental de v(t).5. Quelle est sa valeur efficace.

Exercice 2

Un onduleur à commande décalée donne la tension périodique suivante :

1. Représenter u(t)2. Calculer la valeur moyenne de u(t).3. Calculer la valeur efficace de u(t).4. Calculer le fondamentale et le représenter.

Exercice 3

Une tension périodique de période a pour développement en série de Fourrier :

(les autres harmoniques sont négligeables)

1. Quels sont : sa valeur moyenne et son fondamental (donner ses valeurs maximum et efficace, ainsi que sont déphasage par rapport à l’origine).

2. Calculer : la valeur efficace de u(t) ; son facteur de forme ; sont taux de distorsion

avec U1 : valeur efficace du fondamentale ; son taux d’ondulation Ua étant la

valeur efficace de la composante alternative.

Exercice 4

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Un circuit RL série ( ) est alimenté par une tension issue d’un convertisseur et dont la représentation en séries de Fourier donne : Avec

Le courant correspondant i(t) a pour expression :

Avec .

1. Calculer . En déduire i(t) . Commenter se résultat.

2. Calculer la valeur efficace I de ce courant.3. Calculer la puissance active P consommée :

a) En faisant la somme des puissances apportées par chaque terme de Fourier.b) Directement à partir de la valeur de I.

4. Calculer :a) la puissance apparente Sb) la puissance réactive Qc) la puissance déformante D

Exercice 5

On se propose d’étudier différents éléments constitutifs d’un four à induction fonctionnant à la résonance et alimenté par un onduleur à modulation de largeur d’impulsions (MLI).

Le four est assimilable à un circuit RL série avec et . Il est alimenté par une tension

alternative u(t) obtenue par MLI. La fréquence du fondamental est . Le fondamental a pour valeur efficace 141 V. L’harmonique 2 n’est pas présent et l’harmonique 3 a pour valeur efficace 5,4V.

1. Synthèse d'un signal MLIOn considère les signaux u1 ;u2  et u3 représentés sur le document réponse, pour lesquels E = 200 V. Ces signaux sont assimilés au signal de la figure suivante, x prenant les

valeurs de 1 pour u1 , pour u2 et pour u3.

On admettra que chacun de ces signaux peut se décomposer en un signal sinusoïdal fondamental , de fréquence

et d'amplitude , et un signal sinusoïdal de fréquence et d'amplitude

L'harmonique 2 a dans chaque cas une amplitude b2 nulle.

a) Justifier le fait que les coefficients b2 et tous les harmoniques de rang pairs soient nuls.b) Déterminer pour chacun des signaux les valeurs numériques de bl, b2 et b3 et remplir le tableau du document réponse.c) La synthèse du signal MLI est réalisée en utilisant la relation:

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Construire la forme de u sur le document réponse.d) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau du document réponse avec les amplitudes des

harmoniques 1, 2 et 3 du signal MLI. En déduire les valeurs efficaces correspondantes. Comparer les résultats obtenus avec les valeurs proposées (141 pour le fondamental, 5,4 pour l'harmonique 3).

2. Fonctionnement à la résonancea) Calculer la capacité du condensateur à mettre en série avec le four de façon à ce que le circuit RLC ainsi réalisé soit à la résonance pour le fondamental de la tension d'alimentation.b) Calculer alors l'intensité I1(valeur efficace) du fondamental du courant.c) Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans le four pour le fondamental du courant.3. Etude de l'harmonique 3 du courant

a) Calculer l'impédance de l'ensemble four-condensateur à la fréquence de l'harmonique 3 de la tension d'alimentation.b) Calculer alors l'intensité I3 de l'harmonique 3 du courant. Peut-on négliger la puissance dissipée par ce courant dans le four?

x bl b2 b3

u1 1u2 0,75u3 0,5u

²Exercice 6

On considère un onduleur triphasé à commande MLI. Les trois sorties 1, 2, 3 alimentent un moteur asynchrone. La tension d'entrée de l'onduleur U0 est maintenue égale à 480 V, la commande à modulation de largeur d'impulsions des interrupteurs est périodique de période T0.On donne le graphe (cf. figure.1) de la tension entre phases u12(t), les deux autres tensions, u23(t)et u31(t)sont de forme identique, déphasées chacune de T0/3.La pulsation du fondamental de u12(t) étant notée , on donne:

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;

;

.

Dans ces conditions, la décomposition en série de , qui ne comporte pas d'harmoniques pairs (est une fonction alternative), est, pour n impair:

1. On obtient les expressions de et à partir de en y remplaçant respectivement par

. En déduire que les harmoniques de rang 3 de et de sont en phase

avec l'harmonique 3 de . Cette propriété, qui est vérifiée par tous les harmoniques dont les rangs sont des multiples de 3, permet d'éliminer l'influence de ces harmoniques sur le moteur asynchrone.

2. Les valeurs de données plus hauts permettent d'éliminer trois harmoniques qui sont a priori les plus gênants. Quels sont ces harmoniques? Vérifier que l'harmonique 5 fait bien partie des harmoniques éliminés par le choix de ces angles.

Déterminer la valeur efficace UI2 de pour ces mêmes valeus de (on pourra utiliser un calcul d'aires).

Exercice 7 : Etude d'un filtre anti-harmoniques. Relèvement du facteur de puissance

Afin de relever le facteur de puissance d'une installation triphasée comportant une charge déformante (redresseur triphasé en pont sur machine à courant continu, on insère trois cellules LC entre phases et neutre (couplage étoile). Chaque cellule ayant le même rôle, on s'intéressera dans un premier temps à celle de la phase 1.Pour supprimer un harmonique, la cellule LC doit faire court circuit à la fréquence de cet harmonique.Sans le filtre, le courant ip1 est tel que :

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Les courants ip2 et ip3 sont les mêmes, décalés de T/3. L'ensemble sans filtre consomme une puissance active P = 38,2 kW et réactive Q = 38,2 kVAR. La tension entre phases fournie par le réseau est U = 400 V, f = 50 Hz, la valeur maximale du courant de ligne est I = 100 A.

1. Sans la cellule LC: a) Représenter ip1(t).b) Calculer la valeur moyenne de ip1(t).c) Calculer la valeur efficace de ip1(t).d) Calculer le fondamentale et le représenter.e) En déduire la puissance apparente S absorbée par la charge triphasée et le facteur de puissance.f) Sur quels paramètres doit on agir pour relever le facteur de puissance?

2. Pourquoi le courant ip1 ne comporte-t-il pas d'harmoniques pairs? Justifiez alors le fait que l'harmonique 3 soit le plus gênant.

3. On veut supprimer l'harmonique de rang 3 de chacun des trois courant ip1 , ip2 et ip3, en déduire une relation entre L, C et ω la pulsation du signal.

4. Montrer alors que vis à vis du fondamental, la cellule LC se comporte comme un condensateur de capacité Ceq. Donner alors l’expression de Ceq (capacité du condensateur équivalent à la cellule LC). (Rappel: les 3 cellules LC sont identiques.)

5. Calculer la valeur de Ceq pour que les cellules LC compensent la puissance réactive Q pour la fréquence du fondamental.

6. En déduire la valeur de C puis celle de L.

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