宇宙電磁力学 - 国立大学法人山形大学ksirius.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata/advance/p.pdf3 この講義は、電磁力が宇宙のなかでどのような効果を及ぼすかを考えるときの基礎を与える。この分野は

宇宙電磁力学

執筆中

柴田晋平 (しばたしんぺい) 1

平成 20 年 11 月 18 日

1山形大学理学部物理 990 山形市小白川町 1-4-12 Email: [email protected] URL: http://astr-www.kj.yamagata-u.ac.jp tel 0236-28-4552 fax 0236-28-4567

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宇宙の構造や進化を支配している最も重要な力はいうまでもなく重力である。重力が全て、これに輻射を

考慮すれば天文学は研究できると思っている人を凡重力主義者という。しかし、実際は凡重力主義者は宇宙

を支配できない。

さらさらの流体も磁化していると硬い・ねばりけのある流体になる (応力有り)。わずかでも角運動量をもつガス雲は遠心力のため重力収縮を速やかに果たすことができないが、磁場を介した角運動量の輸送が

あることではじめて星や銀河が形成可能となる。しかも、宇宙ジェットというおまけも付く。中性子星やブ

ラックホールは自転のエネルギーをもっているが、これも磁化していればが高エネルギー粒子を生産する。

— 単極誘導とアラゴの円盤の実験 —

多数回の粒子同士の衝突は粒子の分布関数を均し、熱分布へと導く。しかし、現実を見ると熱分布に従わ

ない非熱的分布が自然界には現われる。

日本の年収の分布。適当な年収で規格化してあるが企画化の定数は伏せておく。(国税庁のホームページに硬化されているデータを参照した)。ここにも非熱的成分が現れる。この非熱的成分、いわゆる高額所得者

の発生メカニズムは何だろう？

社会現象も自然界の現象も非常に似ている。

しかし、磁場が存在する中では、多数の粒子が電磁誘導作用によて集団運動をおこなう。この結果、多数

の粒子の集団とひとつの粒子の衝突 (N対 1)が起こり、この時、大きなエネルギーを持った粒子が作られる。このように、磁場を持ったガスが超高エネルギー粒子 (非熱的な粒子) を持つようになる。非熱的な粒子が宇宙ではごく自然に作られるのである。おもしろいことに、非熱的な粒子のエネルギー密度はその他

のエネルギー密度と同程度にもなり、宇宙進化とカップルする。

このようなあでやかな彩りを宇宙に添えているのが電磁力である。重力がご飯とすれば、電磁力はおかず

のようなもの。両方が作用しあって豪華な食卓になる。あなたがグルメなら宇宙電磁気力学を直ちに学ぶべ

きである。

3

この講義は、電磁力が宇宙のなかでどのような効果を及ぼすかを考えるときの基礎を与える。この分野は

宇宙電磁気学 (Cosmic Electrodyanmics)と呼ばれている。

課題のリストを書いてみると以下のようになろう。

1. 荷電粒子の集団を扱う基礎理論

• プラズマおよびMHDの基礎方程式の組み立て

• MHD 近似

• 電磁流体の基本的性質

• プラズマの基本的性質

2. 宇宙におけるMHDおよびプラズマ現象の基本型

• 星風

• ジェット形成 (未)

• 降着円盤 (未)

• 衝撃波粒子加速 (途中)

• 乱流加速

• ダイナモ

• 磁場生成

• 静電２重層 (未)

3. 個別の天体 (観測事実/理論)

• パルサー磁気圏

• パルサー星雲

• AGN

• ブラックホール磁気圏

• 銀河団

• 宇宙線

• 宇宙磁場の起源

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目次

第 1章プラズマの基礎方程式 9

1.1 電磁場と荷電粒子の結合系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 エネルギーと運動量の保存 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 プラズマの基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Klimontovich equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 流体力学的観点の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 様々なモーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Maxwell の輸送方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 電磁流体の運動方程式 (多成分) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 電磁流体 MHD の運動方程式 (２流体近似と１流体近似) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 2章 Magnetohydrodynamics (MHD) 15

2.1 MHD 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 相対論的な電磁流体の基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 電気抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 磁場とプラズマの凍結: Ideal-MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 iso-rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 運動方程式について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 pinch effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Harmann 流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 相対論的な場合における静電気力の役割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.10 MHD Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.10.1 Slow, Fast and Alfven modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.11 相対論的磁気音波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.11.1 幾何：仮定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.11.2 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.11.3 1次の摂動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.12 MHD衝撃波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第 3章磁場を持った星風 25

3.1 Thermal Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Magnetic thermal wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Centrifugal Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Thermal wind: Parker solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 軸対称定常の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.1 特殊相対論での基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.2 Aligned and Trans-field Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6

3.6 Aligned Flow: Critical Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.1 Aligned Flow (relativistic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6.2 Cold Radial Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.3 Cold wind with varying Bp$

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Trans-field Equation の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7.1 relativistic: Mstel & Shibata 近似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8 その後 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.9 Uzdensky (2003): force-free case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.10 赤道磁気中性面の力のバランス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.11 特別セミナー: 天体の回転が駆動する星風について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.11.1 電磁流体力学の概念を避けた星風問題の解説の試み . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.11.2 わずかなコメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

第 4章衝撃波統計加速 (初級編) 47

4.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 塊と粒子との反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 衝撃波における統計加速 (直観的) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 巾スペクトルの形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 衝撃波統計加速 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 5章パルサーとはどのような天体か? 53

5.1 中性子星の予測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 パルサーの発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 観測のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 Radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.2 γ-ray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.3 X-ray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 問題提起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

第 6章パルサーの電気力学 —その原理— 59

6.1 簡単な問題? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 真空モデル: 磁気双極子放射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3 プラズマの存在する磁気圏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4 Unipolar Inductor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5 Quiet Pulsar vs Active Pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

第 7章パルサーの動作原理 I 63

7.1 回転する導体に現れる起電力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 動作原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Quitet Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Appendix: formulae for oblique rotator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7

第 8章電子陽電子対生成 73

8.1 電子陽電子対形成の素過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.2 Plasma Injection Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.3 Plasma Temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

第 9章パルサーの動作原理 II: 放電-Wind モデル 81

第 10章パルサー磁気圏の全体構造 83

第 11章沿磁力線電場形成の扱い方 85

11.1 Discharge Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.2 Space-Charge-Limited Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.3 Basic Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.4 Just above Polar Cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.5 Field-line curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.6 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

第 12章パルサー風とシンクロトロン星雲 87

12.1 The Crab Nebula: プロトタイプ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.1.1 シンクロトロン星雲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8812.1.2 パルサーの発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.1.3 トーラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

12.2 A model: Kennel & Coroniti (1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2.1 Wind Luminosity and σ parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2.2 Jump Conditions at the termination shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9012.2.3 Synchrotron Spectrum: a simple model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.2.4 nebula flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9212.2.5 Synchrotron Luminosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9312.2.6 Nebula spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

12.3 Post KC models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9412.4 衝撃波の内部構造において電気伝導度の違いがどう反映するかについて . . . . . . . . . . . 9512.5 Force-Free Neutral Sheets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.5.1 Force-Free Neutral Sheets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.5.2 Striped Pulsar Wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

12.6 Neutral sheets disruption at shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.7 Millisecond Pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

付録A 保存則の定式化 107

A.1 保存則の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

付録B シンクロトロン放射とその偏光 109

B.1 完全楕円偏光 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109B.2 実際に観測される光の偏光パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110B.3 シンクロトロン放射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.4 Doppler Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.5 ゆっくり変化するエントロピー波の取扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8

B.5.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117B.5.2 Pulsar Wind, Nebula flow への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

B.6 数値計算上の扱いについてのメモ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120B.6.1 二階偏微分方程式の境界条件について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9

第1章プラズマの基礎方程式

file=Basic.tex

1.1 電磁場と荷電粒子の結合系

宇宙にある通常物質はほとんど電離ガスの状態になっている。荷電粒子と電磁場の相互作用を理解しな

ければならない。

1.1.1 基礎方程式

・Maxwell 方程式∇ · E = 4πρe, ∇ · B = 0 (1.1)

∇× B =4π

cj +

1c

∂E

∂t, ∇× E +

1c

∂B

∂t= 0 (1.2)

・Source term としてのプラズマ

ρe =∑

i

qiδ(r − ri) =∑

s

∫Ns(r, v, t)d3v (1.3)

j =∑

i

qiviδ(r − ri) =∑

s

qi

∫vNs(r, v, t)d3v (1.4)

ここで、

Ns =∑

sに属すδ(r − ri)δ(v − vi) (1.5)

は第 s種に属する i番目の粒子の位置 ri、速度 vi を厳密に与えるような分布関数。

・運動方程式

msdvi(t)

dt= qs[E(ri, t) +

1cvi(t) × B(ri, t)] +その他の外力 (1.6)

1.1.2 エネルギーと運動量の保存

∇ · (E × B) を計算してみると、

∂

∂t

(B2 + E2

8π

)+ ∇ ·

(cE × B

4π

)= −j · E (1.7)

Poynting Theorem を得る。左辺の括弧内を電磁場のエネルギー密度 Uem、および、エネルギーフラッ

クス (Poynting flux)S と考えると、これは電磁場の保存法則であることが分かる:

∂Uem

∂t+ ∇ · S = −j · E (1.8)

10 第 1章プラズマの基礎方程式

各粒子の運動方程式を

msdvi

dt=

∫d3x qiδ(r − ri)[E(r, t) +

1cvi(t) × B(r, t)] (1.9)

の形にしておいて、両辺に vi を乗し、iについて和をとると (右辺については全体積で積分する)、

∑

i

ddt

(12miv

2i (t)

)=

∫d3x j · E (1.10)

粒子系の全運動エネルギーと電磁場の全エネルギーは互いに交換することがわかる。エネルギーの移動は

j · E によって生じる。粒子と電磁場という 2っのエネルギーをためておける箱があって、両者をつなぐパイプがあり、パイプを流れるエネルギー量が j・E であらわされると考えるとわかりやすい。以上から系全

体のエネルギー保存が導かれる。

ddt

(∑

i

12miv

2i (t) +

∫Uemd3x

)+

∫S · dA = 0 (1.11)

∫dAは領域全体を囲む面積分をしめす。

同様の方法で全運動量の保存をしめることができる。ずべての iについて (1.9)を足し合わせると

∑

i

dmsvi

dt=

∫d3x

[ρeE(r, t) +

1cj × B(r, t)

](1.12)

になる。∂(E × B)/∂t の計算をしておいて比較すると、系全体の運動量保存を表す次の表式をえる:

ddt

(∑mivi +

∫d3x

S

c2

)= −

∫d3xdivT(r, t) = −

∫dA(T · A) (1.13)

(ここは成分で計算した方がわかりやすいだろう。) ここで、Maxwell stress tesor

Tjk =E2 + B2

8π− EjEk + BjBk

4π(1.14)

を導入した。

1.2 プラズマの基礎方程式

プラズマと呼ばれる荷電粒子と電磁場の複合状態を調べるためには、分布関数で記述した運動論方程式

(Kinetic equation) を用いたり、電磁流体的方程式であるかったり、いろいろな方法がある。それぞれ解析に考えるが複雑な系については数値計算によって解析する。粒子の運動と電磁場を直接解く粒子法 (e.g.Particle-In-Cell 法) なども使われる。多体問題なので非常に複雑な振舞いをするが、宇宙船加速のように非常におもしろい現象が見られ、研究

意欲をそそられる。

荷電粒子はクーロン相互作用で直接衝突もするが、それよりも集団で電磁場の「さざなみ」や「うねり」

(いろいろな波長の波動）と粒子の相互作用が重要である。相互の関連を表にまとめておく。初心者は取っ付きやすいあるいは取敢ず必要な方程式系から出発すれば

よい。徐々に相互の関連や近似の具合を理解してゆけばよい。

運動論的方程式

Liouville equation(リウヴィルの方程式)Klimontovich equation

＝基礎方程式を直接数値計算

e.g. Particle-In-Cell 法

1.3. 流体力学的観点の導入 11

↓疎視化

BBGKY hierarchyボルツマン方程式

∂f

∂t+ v

∂f

∂x+ a

∂f

∂v=衝突項

Boltzman型Fokker-Planck型いろいろな型

モーメント→ 二流体近似 → 一流体近似

MHD方程式

↓

Vlasov 方程式(衝突無視)

→ 無衝突二流体近似

1.2.1 Klimontovich equation

粒子の保存∂Ns

∂t+ ∇r · (vNs) + ∇v · (vNs) = 0 (1.15)

∂Ns

∂t+ v · ∇rNs(r, v, t) +

qs

ms(E +

1cv × B) · ∇vNs(r, v, t) = 0 (1.16)

これに疎視化

Ns = fs + δNs (1.17)

E = E + δE (1.18)

B = B + δB (1.19)

を行う。つまり、粒子のつぶつぶが見えるスケールでの場をゆらぎ (δのついた量)成分と平均場にわける。すると、

∂fs

∂t+ v · ∇rfs +

qs

ms(E +

1cv × B) · ∇vfs = − qs

ms〈(δE +

1cv × δB) · ∇vδNs〉 ≡

(∂fs

∂t

)

c

(1.20)

Klimontovich equation が得られる。

注意以降、E やB は平均場を意味することとして粗視化の意味ではこの上に付いた「–」は省略する。

1.3 流体力学的観点の導入

1.3.1 様々なモーメント

密度 n(r, t) =∫

f(r,v, t)d3v (1.21)

Qの平均 Q(r, t) =1n

∫Qf(r, v, t)d3v (1.22)


流速 v(r, t) =1n

∫vf(r, v, t)d3v (1.23)

運動量流テンソル Pij(r, t) = mnvivj

= mnvivj + pij (1.24)

圧力テンソル pij(r, t) = mnwiwj (1.25)

ただし w = v − v (1.26)

エネルギー密度 ε(r, t) =12mnv2 (1.27)

=12mnv2 + U (1.28)

内部エネルギー密度 U(r, t) =12mnw2 (1.29)

エネルギー流ベクトル Qi(r, t) =12mnv2vi (1.30)

=12mnv2vi + (pij + Uδij)vj + (Qh)i (1.31)

熱流束 Qh(r, t) =12mnw2w (1.32)

電荷密度 ρe(r, t) =∫

qf(r, v, t)d3v = qn (1.33)

電流密度 j(r, t) =∫

qvf(r,v, t)d3v = qnv (1.34)

(1.35)

1.3.2 Maxwell の輸送方程式

物理量 Q(v) の平均値 Q(v) の従う方程式を (1.20)から求めると：

∂nsQ

∂t+ ∇ · (nsQv) − nsa · ∇vQ = ns

[Q

f

(∂fs

∂t

)

c

](1.36)

1.4 電磁流体の運動方程式 (多成分)

(多成分の)電磁流体の方程式は (1.36) でいろいろな Qを考えることで導出できる。以下、vs等の　は

省略。

連続の式 ( Q = 1の時 )∂ns

∂t+ ∇ · (nsvs) = 0 (1.37)

運動方程式 ( Q = msvsx、 msvsy、 msvsz の時 )

ns

[∂

∂t+ (v · ∇)

](msvs) = nsqs(E +

1cvs × B) −∇ps + F外 + F c (1.38)

ここで、F外は他の外力、F c は他の粒子種から受ける力。

エネルギー方程式 ( Q = (1/2)msv2 の時 )

∂εs

∂t+ ∇ · Qs = js · E + msnsvs · F外 + Wc (1.39)

これは、∂

∂tdensity + ∇ · flux = source (1.40)

1.5. 電磁流体 MHD の運動方程式 (２流体近似と１流体近似) 13

の形になっている。Wc は衝突項からの寄与。

運動方程式と vs との内積をとり、それとエネルギー方程式の差をとると、

ns

[Dεs

Dt+ ps

Dn−1s

Dt

]+ ∇ · Qh = Qc(衝突) (1.41)

の形に書ける。

(補足)

エネルギー保存法則の代わりに単にポリトロープガスを仮定することも多い：

ps = KρΓs (1.42)

ここで、K およびポリトロープ指数 Γは定数である。Qの中にエンタルピー流 (U + p)v がでてきたのは、圧縮膨張による内部エネルギーの変化を保存形に取

り込んだため。運動方程式に速度を掛けて ρv · (Dv/Dt) + v · ∇p = . . . の形に書いたとき、これを保存形に持ってゆくと

∂

∂t

(1

2ρv2

)+ ∇ ·

(1

2ρv2v

)+ ∇ · (pv) + p∇ · v = . . . (1.43)

となるが、第 4項の p∇·vは、連続の式で −(p/ρ)(Dp/Dt)になり、さらに、ガスのエネルギー保存 (D/Dt)(U/ρ)+p(D/Dt)(1/ρ) =

source を用いると ∂U∂t

+ ∇ · (Uv) となることがわかる。結局、フラックスの部分に (U + p)v が出てくる。

(1.7)と (1.38)を比較すると、明らかに全エネルギー保存の形が出てくる。js ·Eはジュール熱のように見えるかもしれないが、衝突、摩擦類がなければ (少なければ)、js ·Eは流

体が全体として加速されたり、流体から磁場にエネルギーが移ったりする量を示す項である。

エネルギー方程式に於ける衝突項は、自らの粒子種との弾性衝突は寄与が無く、多粒子との衝突によるエ

ネルギーの交換に依る。また、非弾性衝突では制動放射などによる冷却も含む。

1.5 電磁流体 MHD の運動方程式 (２流体近似と１流体近似)

s =e,p の２成分とする。∂ne

∂t+ ∇ · (neve) = 0 (1.44)

mene

[∂ve

∂t+ (ve · ∇)ve

]= −ene(E +

1cve × B) −∇pe + mene∇

GM

R+ F c (1.45)

∂np

∂t+ ∇ · (npvp) = 0 (1.46)

mpnp

[∂vp

∂t+ (vp · ∇)vp

]= +enp(E +

1cvp × B) −∇pp + mpnp∇

GM

R− F c (1.47)

一流体近似のために次の量を導入

ρ = mpnp + mene (1.48)

ρe = e(np − ne) (1.49)

v =mpnpvp + meneve

mpnp + mene(1.50)

j = e(npvp − neve) (1.51)

４本の方程式が得られる。∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 (1.52)


∂ρe

∂t+ ∇ · j = 0 (1.53)

∂ρv

∂t+ ∇ ·

[1

(1 + αδ)(1 − α)

(1 − α + αδ)ρvv − αδρ(

vj

en+

jv

en) + δρ

j

en

j

en

]

= en(αE +1c

j

en× B) −∇p + ρ∇GM

R(1.54)

δ∂

∂t

(ρ

j

en

)+ δ∇

[1

(1 + αδ)(1 − α)

−αρvv + ρ

(j

env + v

j

en

)− (1 − δ + αδ)ρ

j

en

j

en

]

= en

[1 − α(1 − δ)E +

1cv × B − 1 − δ

encj × B

1en

∇(pe − δpp) + αδmp

e∇GM

R− 1

σ(j − ρev)

](1.55)

２成分間の衝突によって生じる運動量の交換（摩擦力）については

F ep = mnp(vp − ve)νep = −F pe (1.56)

と考える。νep は衝突頻度 =（運動量の差を緩和する時間）−1 の意味を持つ。電気伝導度 σ = e2ne/meνep

を定義することができる。ここで、

α =ρemp

eρneutrarity parameter (1.57)

δ = me/mp mass ratio (1.58)

を導入し、この二つのパラメータが小さいときは近似できて、第一式が

∂ρv

∂t+ ∇ · (ρvv) = ρ

∂v

∂t+ ρ(v · ∇)v = ρeE +

1cj × B −∇p + ρ∇Φ (1.59)

となる。(非相対論) v ¿ cならば静電気力 ρeE は磁気力 j × B/cにくらべて無視できる。

第二式は

E +1cv × B =

1σ

(j − ρev) +1en

[1cj × B −∇pe

](1.60)

一般化オームの法則になる。

15

第2章 Magnetohydrodynamics (MHD)

2.1 MHD 基礎方程式

電磁流体の基礎法的式は様々な導出があるが、最も簡単には通常の流体の方程式の外力に電磁力が加わ

ると考える。

たとえば、電気伝導性の流体 (e.g., 水銀) を考えると想像しやすい。※ 2 流体モデルとの関係に注意

mhd方程式系 (１流体モデル)連続の式

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 (2.1)

運動方程式

ρDv

Dt=

1cj × B −∇p + ρg (2.2)

whereD

Dt≡ ∂

∂t+ v · ∇ (2.3)

一般化オームの法則

E +1cv × B =

1en

(1cj × B −∇pe

)+

j

σ(2.4)

あるいは、理想MHD条件E +

1cv × B = 0 (2.5)

Maxwell方程式

∇× B =4π

cj +

1c

∂E

∂t, (2.6)

∇ · B = 0, (2.7)

∇× E = −1c

∂B

∂t(2.8)

∇ · E = 4πρe (2.9)

理想MHD条件は構成する荷電粒子に働く外力の中でローレンツ力が卓越していることを意味している。

メモ

慣性項は次のようにも書ける：

ρDv

Dt=

∂ρv

∂t+ ∇ · (ρvv) = ρ

∂v

∂t+ ρ∇ · 1

2v2 − ρv × (∇× v) (2.10)

(運動方程式)·v 、熱エネルギーの保存式 D(ε/ρ)/Dt + pD(1/ρ)/Dt = j2/σρ (ここでジュール熱を考慮)とポインティング定理を並べて書くと、

∂

∂t

(12ρv2

)+ ∇ ·

(12ρv2v

)+ v · ∇p = j · E − j2

σ(2.11)

∂ε

∂t+ ∇ · [(ε + P )v[ − v · ∇p =

j2

σ(2.12)

∂

∂t

(B2 + E2

8π

)+ ∇ ·

(cE × B

4π

)= −j · E (2.13)

16 第 2章 Magnetohydrodynamics (MHD)

流体の内部エネルギー、流体の運動エネルギー、電磁場のエネルギーの収支を観察されたい。全体としての

エネルギー保存は上の３本を足して、

∂

∂t

(12ρv2 + ε +

B2

8π

)+ ∇ ·

[v

(12ρv2 + ε + P

)+

14π

(B × v) × B +c

4πσj × B

]= 0 (2.14)

ここで、非相対論的ならば |E| = |(v/c)E| ¿ |B|として電場は磁場に較べて小さいとした。同様に運動方程式も保存形で書き下せる。

∂(ρv)∂t

+ ∇ ·[ρvv + (P +

B2

8π)I − BB

4π

]= 0 (2.15)

2.2 相対論的な電磁流体の基礎方程式

まず、相対論的な完全流体を考える。MCR (momentaly comoving reference frame)での粒子数密度を nと

する。これはスカラー量で、これと４元速度ベクトル Uα（デカルト座標で成分表示すると (γ, γβx, γβy, γβz)）の積で粒子束ベクトル

Nα = nUα, 成分で書くと (γn, nUx, nUy, nUz) (2.16)

を定義できて、粒子数保存は

Nα,α = (nUα),α = 0 (2.17)

と表せる。

エネルギー運動量テンソル θαβ を xα 一定の面を横切る α運動量流速成分と定義する。

θ00 = エネルギー密度 (2.18)

θ0i = xi面を横切るエネルギー流束 (2.19)

θi0 = i運動量流束成分 (2.20)

θji = xi面を横切る j 運動量流束成分 (2.21)

完全流体でMCR系で

θαβ =

ε 0 0 00 P 0 00 0 P 00 0 0 P

(2.22)

これからエネルギー運動量テンソルの標識として、

θαβ = (ε + P )UαUβ + Pηαβ = µnUαUβ + Pηαβ (2.23)

を得る。ここで、エンタルピー η = (ε + P )/nを定義した。

電磁流体では外力として電磁力 ρeE + v × B がかかるので、

θαβ,α =

1cFασjσ (2.24)

とかける。しかし、電磁力は電磁場テンソルの微分で表せるので、つまり、

Sαβ,α = −1

cFασjσ (2.25)

Sαβ =14π

(ηµσFαµFβσ − 1

4ηαβF νλFνλ

)(2.26)

2.2. 相対論的な電磁流体の基礎方程式 17

であるから、流体と電磁場全体としてエネルギー・運動量が保存するという標識が得られる：

(θαβ + Sαβ

),α

= 0 (2.27)

理想MHD条件は MCR系で電場が無いことから、

UβFαβ = 0 (2.28)

と書ける。（この式の適用範囲については十分注意する必要がある。）メモ Sαβ 成分

Sαβ =

W cgx cgy cgz

Sx/c Mxx Mxy Mxz

Sy/c Myx Myy Myz

Sz/c Mzx Mzy Mzz

(2.29)

ここで、

W =1

8π(E2 + B2) = 電磁場のエネルギー密度 (2.30)

g =1

4πcE × B = 電磁場の運動量 (2.31)

S =c

4πE × B = ポインティングベクトル (2.32)

Mi,j = −1

4π

[EiEj + BiBj −

1

2δij(E

2 + B2)

](2.33)

= マクスウェルのストレステンソル (2.34)

特殊相対論の範囲で３次元＋時間の形の方がなじみがあるので、なじみやすい形に書き替えておく。

まず、粒子数保存は (2.17)より、∂N

∂t+ ∇ · Nv = 0 (2.35)

ここで、N = γnは観測者の系での粒子数密度（Nα の記号と区別）。

運動量保存は、

NDµγv

Dt= −∇P + ρeE +

1cj × B (2.36)

となる。また、エネルギー保存は、

∂

∂t

(µnγ2 − P

)+ ∇ · (µnγ2v) = j · E (2.37)

理想MHD条件はE +

1cv × B = 0 (2.38)

で変わりなし。メモエネルギー保存と加熱の関係運動方程式の慣性項は

nγ[∂µγv

∂t+ v · ∇(µγv)

]= nγ

∂µγv

∂t+ nµγ∇γ + n(γ2 − 1)∇µ − nγv × (∇× µγv) (2.39)

と変形できる。ここで、γ2v2 = γ2 − 1 であることに注意。したがって、運動方程式に v·を乗じると

nγv · ∂µγv

∂t+ nµγv · ∇γ + n(γ2 − 1)v · ∇µ + v · ∇p = ρev · E + (j × B) · v

c(2.40)

になる。

(左辺第 1項) =∂nµγ2v2

∂t− µγv · ∂nγv

∂t

=∂nµγ2

∂t− n

∂µ

∂t− µ

∂n

∂t− µ(γ2 − 1)

∂n

∂t− µnγv2 ∂γ

∂t− µnγ2 1

2

∂v2

∂t

=∂nµγ2

∂t− n

∂µ

∂t− µγ

∂nγ

∂t(2.41)


ここで、γ2v2 = γ2 − 1と v2 = 1 − γ−2 であることに注意。一方、

∇ · (µnγ2v) = µγ∇ · (γnv) + µγnv · ∇γ + γ2nv · ∇µ (2.42)

である。また、気体のエネルギー保存D

Dt

(ε

n

)+ p

D

Dt

(1

n

)=

Q

n(2.43)

(ここで、ε は内部エネルギー密度、Qは単位体積あたりの熱の発生) を、エンタルピー µを用いた表現に変えた式、

nD µ

Dt− D p

Dt= Q (2.44)

または、

n∂µ

∂t+ nv · ∇µ − ∂p

∂t− v · ∇p = Q (2.45)

を用いることができる。これらの結果から、(運動方程式)·v は

∂(nµγ2 − p)

∂t+ ∇ · (µnγ2v) −

(n

Dµ

Dt− Dp

Dt

)= j · E − (j − ρeE) · j

σ(2.46)

に帰着する。これと、(2.45)およびポインティング定理を比較すると、全エネルギー保存

∂

∂t

(nµγ2 − p +

B2 + E2

8π

)+ ∇ ·

(µnγ2v +

cE × B

4π

)= 0 (2.47)

が復活する。同時に加熱率が

Q =(j − ρeE) · j

σ(2.48)

であることがわかる。

2.3 電気抵抗

クーロン衝突による。

σ =e2n

νcme(2.49)

νc =8πne4 lnΛ

m2ev

30

(2.50)

Λ = nλ3d, λd = vth/ωp.

νc

ωp≈ lnΛ

2πnλ3d

≈ 1Λ

(2.51)

σ ≈ Λωp (2.52)

2.4 磁場とプラズマの凍結: Ideal-MHD

dΦdt

=ddt

∫

S

B · dS (2.53)

=∫

S

[∂B

∂t−∇× (v × B)

]· dS (2.54)

= −c

∫

S

∇×[E +

1cv × B

]· dS (2.55)

= −c

∫

S

∇×[

j

σ+

1en

(−∇Pe +1cj × B)

]· S (2.56)

2.5. iso-rotation 19

磁束とプラズマの凍結D

Dt

(B

ρ

)=

(B

ρ· ∇

)v (2.57)

とD

Dt(δr) = (δr · ∇)v (2.58)

を比較せよ。

電気抵抗による散逸∂B

∂t= ∇× (v × B) + η 52 B (2.59)

where η = c2/4πσ.

Rm =V L

η= 4π

V

c

σL

c(2.60)

2.5 iso-rotation

理想mhd条件を定常軸対称系に適用

vp = κBp (2.61)

スカラーポテンシャルとBp に対する流れ関数を導入

E = −∇φ, Bp = −et

$×∇ψ (2.62)

cdφ

dψ= ΩF = Ωs (2.63)

Vϕ = Ωs$ + κBϕ (2.64)

2.6 運動方程式について

ρDv/Dt = −∇p + j × B/c + . . . (2.65)

= −∇(

p +B2

8π

)+

14π

(B · ∇)B + . . . (2.66)

磁気圧力と磁気張力。

2.7 pinch effect

toroidal field Bϕ = B0$/a を考える。

ρDv/Dt = −∇p + j × B/c (2.67)

= −∇

(p +

B2ϕ

4π

)(2.68)


2.8 Harmann 流

2.9 相対論的な場合における静電気力の役割

相対論的な場合運動方程式において電気的な力と磁気的な力は同等の大きさを持つ：

(電磁的な力の項) = ρeE +1cj × B (2.69)

2.10 MHD Wave

本質は磁気圧力、磁気張力の話をしたときの通り。磁力線のゆがみが伝播する Alfven 波と磁気圧を含めた音波である磁気音波が新しい効果であった。典型的に現われる位相速度は

VA =B√4πρ

Alfven speed (2.70)

と音波との合成

VMS =√

V 2A + C2

s =

√(B2/8π) + Γp

ρMagneto-Sonic Wave (2.71)

である。

2.10.1 Slow, Fast and Alfven modes

以下、斜め伝播も含めて位相速度の導出をまとめておく。

(1)摂動がない状態 (仮定)

ρ = ρ0 = constant, v = v0 = 0, p = p0 = constant, B = B0n = constant. (2.72)

(2)摂動量ρ = ρ0 + ρ1, v = v1, p = p0 + p1, B = B0n + B1. (2.73)

(3)線形化した連続の式、運動方程式、理想MHD条件、断熱の式は以下のようになる。下段はフーリエ成分で表したもの。

∂ρ1

∂t+ ρ0∇ · v1 = 0, (2.74)

iωρ1 − iρ0k · v1 = 0, (2.75)

ρ0∂v1

∂t= −∇p1 +

B20

4π(∇× B1) × n, (2.76)

ρ0iωv1 = −ikp1 +B2

0

4πi(k × B1) × n, (2.77)

∂B1

∂t= ∇× (v1 × B0n), (2.78)

iωB1 = −ik × (v1 × B0n, (2.79)

p1 = Γp0

ρ0ρ1 ≡ C2

s ρ1. (2.80)

以上を整理すると、

[ω2 − (n · k)2V 2A]v1 + [−(V 2

A + C2s )(k · v1) + V 2

A(n · k)(n · v1)]k (2.81)

+V 2A(n · k)(k · v1)n = 0. (2.82)

2.11. 相対論的磁気音波 21

v1 と (B0 − k)面が垂直であるとき横波で圧縮性が起こらない。Alfven Wave分散関係は

ω2 − k2 cos2 θ V 2A = 0 (2.83)

で、これから位相速度は

Vph ≡ ω

k= ± cos(θ) VA (2.84)

ここで cos θ は単なる幾何因子であることに注意。磁力線の波うちは磁場に沿ってあくまで伝播する。

v1 がB0 − kplane 内にあるとき圧縮性をもつ。Fast mode と Slow mode の波。この場合、分散関係は、

ω4 − ω2k2(V 2A + C2

s ) + k2V 2AC2

s cos2 θ = 0, (2.85)

で、位相速度は

V 2ph =

12

[V 2

A + C2s ±

√(V 2

A + C2s )2 − 4V 2

AC2s cos2 θ

], (2.86)

で与えられる。特に、B0n ⊥ kのときは磁気音速 VMS が現われる。

2.11 相対論的磁気音波

トロイダル磁場中を伝播する相対論的磁気音波の位相速度が

vph =√

3 + 8η

9 + 8ηc (2.87)

であることを示す。ここで、η は磁気圧のガス圧にたいする比である。

2.11.1 幾何：仮定

簡単にするために、摂動がない状態では、相対論的高温のガスのなかに一様な磁場 B0 が x 方向にある

とし、磁気音波が y方向に伝播するとする。この幾何的な仮定により、以下のように非摂動時および摂動

量を定めることができる。

B = B0ex + B1(y)ex (2.88)

j = j1(y)ez (2.89)

v = v1(y)ey (2.90)

p = p0 + p1(y) (2.91)

n = n0 + n1(y) (2.92)

ここで、B, j, v はそれぞれ、磁束密度、電流密度、速度である。p, n はガスの圧力および数密度である。

2.11.2 基礎方程式

運動方程式は特殊相対論の範囲で、

n

(∂

∂t+ v · ∇

)hγ

c2v = −∇p +

1cj × B + qE (2.93)


ここで、h = (ε + p)/n はエンタルピー、ε は内部エネルギー密度、γ = (1− v2/c2)−1/2はローレンツ因子、

q は電荷密度である。

粒子数保存は、∂n

∂t+ ∇ · (nv) = 0 (2.94)

理想 MHD 条件が成立しているとすれば、

E +1cv × B = 0 (2.95)

が成り立っている。

Ampere-Maxwell の方程式、1c

∂E

∂t= ∇× B − 4π

cj (2.96)

および、電磁誘導の式、1c

∂B

∂t= −∇× E (2.97)

を用いる。

なお、2次の摂動でしか必要でない、∇ · B = 0 および∇ · E = 4πq は以下の計算では用いない。

2.11.3 1次の摂動方程式

上の基礎方程式の 1次の項だけを抽出すると以下のようになる。

n0h0

c2

∂v1

∂t= −Γad p0

n0

∂n1

∂y+

1cj1B0 (2.98)

ここで、断熱の圧縮比

Γad =(

∂ ln p

∂ lnn

)

ad

(2.99)

を用いた。∂n1

∂t+ n0

∂v1

∂y= 0 (2.100)

Ez =1cv1B0 (2.101)

1c

∂Ez

∂t= −∂B1

∂y− 4π

cj1 (2.102)

1c

∂B1

∂t= −∂Ez

∂y(2.103)

以下では、1次の微小量が ∝ ei(ωt−ky) の様な波であるとする。

まず、B0 = 0 とすると、

(n0h0/c2)iωv1 = Γadp0ikn1/n0 (2.104)

iωn1 = ikn0v1 (2.105)

となり、分散関係式、

vph =ω2

k2=

Γadp0c2

n0h0≡ c2

s (2.106)

を得る。cs は音速で、書き直すと、c2s

c2=

Γadp0

n0h0=

Γadp0

ε0 + p0(2.107)

2.12. MHD衝撃波 23

となる。相対論的な極限では、p = ε/3, Γad = 4/3 なので、cs = c/√

3 である。一般に磁場がある時は、

iωv1 = ikc2s(n1/n0) + (c2/4πn0h0)(4πj1/c)B0 (2.108)

iωn1 − ikn0v1 = 0 (2.109)

E1 = v1B0/c (2.110)

iωE1/c = ikB1 − 4πj1/c (2.111)

iωB1/c = ikE1 (2.112)

となる。これを解くと、分散関係 (1 +

V 2a

c2

)ω2

k2= c2

s + V 2a (2.113)

が導かれる。ここで、Alfven 速度Va =

B0√4πn0h0/c2

(2.114)

を定義した。n0h0/c2 は慣性質量密度なので、非相対論的な Alfven 速度 B0/√

4πρ の拡張になっている。

Alfven 速度は磁気圧とガス圧の比

η =B2

0

8πp0(2.115)

と音速 cs を用いて、V 2

a

c2=

2Γad

c2s

c2η =

12η (2.116)

と書くことができる。結局、相対論的磁気音波の位相速度は

ω

k=

√c2s + V 2

a√1 + V 2

a /c2=

√2 + 3η

6 + 3ηc (2.117)

で与えられる。この式で、分子の平方根の中はガス圧と磁気圧の項であり、分子の平方根の中の 1は電磁誘導で、V 2

a /c2 は変位電流による効果である。この速度は、η → 0の極限で音速 cs = c/√

3 であり、等分配磁場 η = 1 で、

√12/17c ≈ 0.8c で、磁場の強度と共に単調増加する。磁気優勢の極限では、ω/k → c で

電磁波に漸近する。

2.12 MHD衝撃波

25

第3章磁場を持った星風

3.1 Thermal Wind

corona (T = 106K) は静的な大気を作らない。定常的な outflow, thermal wind, となる。(Parker 1963)

3.2 Magnetic thermal wind

wind が磁場を持つと中心天体の角運動量が効率的に持ち去られる。磁場がないとき一粒子が持ち出す角運動量はm$2

∗Ω である。これに対し、磁場があると天体の周りのプラズマは電磁誘導作用で星と共に回転する。共回転はナイーブに言って磁場のエネルギー密度がプラズマ

の運動エネルギー密度よりまさっている間続くだろう。

12ρv2 =

B2

8π(3.1)

となる位置を $A (Alfven 半径：厳密な定義は後で与える) としてだいたこの半径位まで共回転の傾向(vϕ ∝ r)を示し、この半径の外側では回転トルクは働かないで (角運動量を保存して)方位角方向の速度はvϕ ∝ 1/r のように減少する。このとき、粒子の持ち出す角運動量は m$2

AΩ となり腕の長さが伸びたぶんだけ効率良く持ち出される。

実際、星の自転速度をスペクトル別に調べると Late type になり表面対流層が発生するととたんに自転が遅くなっていることが示される。これは、対流と共に磁場がつくり出されこの磁場減速効果 (magneticbraking) が生じたものと思われる。

3.3 Centrifugal Wind

太陽風では加速の起源はコロナの熱であり、音速にくらべ $AΩ が十分小さい。しかし、磁場が強く回転が早く、相対的に熱エネルギーが重要でない場合 $AΩ À Cs という場合が考えられ、遠心力風と呼ばれた。

純粋な遠心力風の極限では星風の加速源は中心天体の回転エネルギーである。したがって、星風のパワー

と星風からの各運動量放出率の間には

Ewind = ΩLwind (3.2)

が成り立っている。

極端な例として星の周りが真空の場合、磁気双極子放射によって星はエネルギーを失うが、Wave zoneの外側では磁場はスパイラルで磁場に垂直な Poynting vector は有限の腕の長さをもっているので角運動量を放出している。電磁波の放射は光子の放射であるので、hν のエネルギーの放射に対し、角運動量の持

ち出しは (hν/c)×$ になる (ここで、$ は腕の長さ)。上記の条件から $ = c/Ω (光半径)を得る。これはwave zone の根元になる。希薄ながらもプラズマが存在し forozen-in 条件が成立しているとプラズマは誘導作用で星とともに共回

転する。共回転は上記の (3.1) の半径まで続き、この半径で回転体から切り離されてエネルギーと角運動量を持ち出すことになる。

26 第 3章磁場を持った星風

プラズマがきわめて希薄な場合、$A → c/Ω (共回転は光円柱が限界)となり相対論的な速度をもつプラズマ風が作られる。相対論的な粒子が持つエネルギーは γmc2、角運動量は γmc$ であるので、これは光

子と同じで、腕の長さは光半径で光円柱からプラズマが切り離されてでて行く。この時、エネルギー・角

運動量は電磁場でも原理的に運ばれるので、電磁場でエネルギーの大部分を運ぶのか？粒子の運動エネル

ギーで運ぶのか？その割合は定かではない。もし、frozen-in が成り立てば (3.1)のエネルギー当分配程度の加速を考えるのが妥当のように見える。もしそうだとすると、かにパルサーの場合 γ ∼ 106 が予想され

る。しかし、理論はそれを証明することができないし、逆に、Crab Nebula model は等分配でなく運動量が卓越した星風が吹く、つまり非常に効率良い加速ができることを示している。

プラズマ密度が高い時は、光円柱よりも内側で共回転が終る。出て行くプラズマの速度は v ∼ Ω$A て

いどであろうから、Alfven 点で

ρAΩ$2A ≈ B2

A

4π(3.3)

あるいは、

vA ≈ BA√4πρA

(3.4)

が Alfven 点の位置を決める条件になる。条件からエネルギー等分配ていどに加速されている。星風のパワーは相対論的にせよ非相対論的にせよ、

L ≈ B2A

8π× 4π$2

Ac (3.5)

≈ µ2Ω4

c3

(c/Ω$A

)4

(3.6)

で与えられる。非相対論的場合の方がパワーが大きいことがわかる。

遠心力風のパワーはこのように推定可能であるが、加速の効率、つまり、このパワーの内どのくらいがプ

ラズマの運動エネルギーになるかという問題は難しい。以下、いくつかの見解について言及するが結論は

まだ出ていない。

磁場形状赤道面に射影した磁力線は $A の外側では回転に巻き込まれたスパイラルになる:

vr

Ω$=

Br

Bϕ(3.7)

$A の内側では回転の影響のない突っ立った磁場になる。

子午面内では星の近くの NSの磁場は閉じる。Alfven面にいたるような磁場は無限遠に開いた磁力線を作る。閉じた磁場にくっ付いたプラズマは共回転するが、遠心力ドリフト電流が流れるので閉じた磁場は

徐々に弱められついには開いてしまう。この位置は Alfven 点になる。disc wind (from accretion disc) ケプラー運動する円盤の内側で磁場のエネルギー密度とケプ

ラー運動の運動エネルギー密度が同じくらいになるところで遠心力風と同じ機構が働く。星風の早さは

v ≈ ΩK$A = vK つまりケプラー速度程度になるだろう。

回転駆動風 (遠心力風)問題

• 最終的に (Kinetic energy)/(electromagnetic energy)比はどうなるか？（加速効率の問題）

• 構造は加速の反作用が加速している電磁場に即跳ね返るので難しい。

disc-jets 構造 (e.g., Crab pulsar)をとるのか？ジェットのコリメーションと赤道電流層の形成は？エネルギー、質量流束の角分布？

両者は self-consistentに解かれる。

3.4. Thermal wind: Parker solution 27

3.4 Thermal wind: Parker solution

球対称の thermal wind を考える。

ρr2v = const. (3.8)

12v2 +

ΓΓ − 1

p

ρ− GM

r= cosnt. (3.9)

あるいは、1ρ

dρ

dr+

2r

+1v

dv

dr= 0 (3.10)

vdv

dr= −1

ρ

dp

dr− GM

r2(3.11)

v(r)に対する方程式:d ln v

dr=

2r

V 2s − GM/2r

v2 − V 2s

(3.12)

sonic pointあるいは、ベルヌーイ関数

H(r, v) =12v2 +

ΓΓ − 1

p0

ρ0

(r2

r20

v

v0

)1−Γ

− GM

r(3.13)

から解が求められる。

3.5 軸対称定常の場合

軸対称定常の場合は、磁力線に沿って積分できるので磁場に沿った流れは代数方程式系 (aligned equation)で記述できる、一方、ポロイダルな磁場の形状を決める方程式は楕円双極混合型の偏微分方程式 (Grad-Shafranov equation; Trans-field equation) になる。Aligned equation と trans-field equation を連立して解くことになる。しかし現在までのところ、この問題は解かれていない。今後大いに議論して戴きたい。特

にこの問題はパルサー風に限ることなく、AGN jet を含む広範な研究領域である。

3.5.1 特殊相対論での基礎方程式

とりあえず pulsar wind を扱うので時空のゆがみはかんがえないことにしよう。flat space time粒子数保存 : Nα

,α = 0∂n

∂t+ ∇ · (nv) = 0 (3.14)

運動方程式 : Tαβgas,β = Fαβjβ/c あるいは、Tαβ

,β = 0

n

(1c

∂

∂t+ β · ∇

)(µγβ) = −∇p + qE +

1cj × B (3.15)

µはエンタルピー:

µ = mc2(1 +Γ

Γ − 1p

mc2n′ ) (3.16)

Γ = (d ln p/d lnn′) は相対論的気体では 4/3


断熱の式 : D(pn′−Γ) = 0 (1c

∂

∂t+ β · ∇

)(pn′−Γ) = 0 (3.17)

n′ = n/γ は proper density。Maxwell eqs.

1c

∂E

∂t= ∇× B − 4π

cj (3.18)

∇ · E = 4πρe (3.19)

∇ · B = 0, (3.20)

∇× E +1c

∂B

∂t= 0 (3.21)

3.5.2 Aligned and Trans-field Equations

磁場と電流の表式軸対称性があるのでポロイダル磁場は stream funciton ψ で表せる

Bp = −et

$×∇ψ = − 1

$

∂ψ

∂ze$ +

1$

∂ψ

∂$ez (3.22)

電流の表式:jp = − c

4π$et ×∇I (3.23)

ここで、I = $Bϕ、

jϕ = − c

4π$

(∂2

∂z2+

∂2

∂$2− 1

$

∂

∂$

)ψ (3.24)

= − c

4π$

(52ψ − 2Bz

)(3.25)

note: 52 = (∂2/∂z2) + (1/$)(∂/∂$) + (∂2/∂$2) , and Bz = (1/$)(∂ψ/∂$).ポロイダルな電流線は流れ関数 $Bϕ で表されている。

理想MHD条件電場はスカラーポテンシャル φ で表せて、

E = −∇φ (3.26)

は純粋にポロイダルである。

Ideal-mhd condition はE = −v

c× B (3.27)

で、その toroidal componentからcβ = vp = κBp (3.28)

poloidal componentからvϕ = cβϕ = Ω(ψ)$ + κBϕ (3.29)

whereΩ(ψ) = c

dφ

dψ(3.30)

(iso-rotation law)がそれぞれ得られる。この二つは、合わせて、

v = uc + κB (3.31)

3.5. 軸対称定常の場合 29

と表現できる。ここで、uc = Ω$et である。

この結果を理想MHD条件に戻すと、

E = −∇φ = −Ωc∇ψ = −uc × B (3.32)

を得る。この電場を共回転電場と呼んでいる。

(ideal-MHD の効果を良く考察せよ)

粒子数保存 ∇ · (nvp) = 0 より

nκ = nvp

Bp= η(ψ) = constant along Bp (3.33)

(particle flux)/(magnetic flux) が磁力線に沿って保存している。電荷密度の表式

q =Ω$

c2jϕ +

(∇ψ) · (∇Ω$2)4πc$2

(3.34)

これは qE として運動方程式の静電気力の評価で使われるが、非相対論的な星風の時は効かない。

運動方程式 toroidal component は積分できて、角運動量の保存を得る。

µ

c2γvϕ$ − Bϕ$

4πη(ψ)= `(ψ) (3.35)

運動方程式のポロイダル磁場に沿った成分も積分できて、エネルギー保存を得る。

µγ − Ω$Bϕ

4πη(ψ)= ε(ψ) (3.36)

となる。

最後に、運動方程式のポロイダル磁場に垂直な成分から、Trans-field (GS) equationが得られる。

−Xjϕ

c$+

Ω2

4πc2

[up

γ0(ln η)′ + (ln Ω)′

]|∇ψ|2 +

(∇X) · (∇ψ)4π$2

n

[ε(ln ε)′ − cβϕ`

$(ln `)′ +

Ω$Bϕ

4πη(lnΩ)′ +

B2ϕ

4πη(ln η)′

]

− 1Γ − 1

p(lnK)′ = 0 (3.37)

whereX = 1 − Ω2$2

c2

(1 +

up

γ0

)(3.38)

andγ0 =

Ω2$2Bp

4πcµη(3.39)

(非相対論のとき)Weber, E.J. and Davis, L.Jr., 1967, ApJ, 148, 217Sakurai, T., 1985, AA, 152, 121

vp = κBp (3.40)

vϕ = Ω(ψ)$ + κBϕ (3.41)

ρκ = α(ψ) (3.42)


p = K(ψ)ρΓ (3.43)

$(vϕ − Bϕ

4πα) = Ω$2

A(ψ) (3.44)

H($, vp) ≡12v2

p +12(vϕ − Ω(ψ)$)2 (3.45)

+Γ

Γ − 1p

ρ− GM

r− Ω(ψ)2$2

2= E(ψ) (3.46)

six unknown5 parameters: Ω, K, α, $A, E

boundary condition: Ω, ρ and p on the stellar surfacecritical condition at fast and slow pointsψ を与えると、すべての流線に沿って上の aligned-equation をとくことができる。Trans-field equation (Sakurai 1985)

14π$2

(v2

p

V 2Ap

− 1

)G = g(r, θ, ψ,∇ψ) (3.47)

G = 52ψ − ∇∇ψ : ∇ψ∇ψ

(∇ψ)2v4

p

v4p − v2

p(V 2s + V 2

Ap + V 2Aϕ) + V 2

s V 2Ap)

(3.48)

regularity

asymptotic solution

3.6 Aligned Flow: Critical Solution

(3.36)では、vp は vp = κBp = ηBp/ρで消去、vϕ は iso-rotation で消去、pはポリトロープ関係で消去、

Bϕ は角運動量保存で消去、することが出来る。結局、もし、B2p = |∇ψ/$|2 が与えられれば各磁力線につ

いて

H(ρ, $) = ε (3.49)

の形になる。ベルヌーイ関数H(ρ,$)のコントアが解曲線を与える。ここで、Alfven 点 ($ = $A)は

vp = Bp/√

4πρ at Alfven point (3.50)

で定義される。以下、添え字 A は Alfven 点での値を示す。以下の標識が示すとおり Alfven 点で分母が０になる項があるためベルヌーイ関数 H(ρ,$)が ρ = ρA で一般には発散する。$ = $A のみで有限値を

とる。

vϕ = Ω$1 − ρA$2

A/ρ$2

1 − ρA/ρ(3.51)

$Bϕ = −4πηΩ$2A

1 − $2/$2A

1 − ρA/ρ(3.52)

等高線という見方では、ρ = ρA に無限に高い壁があり、$ = $Aに穴が開いているということになる。そ

のため全ての解は Alfven 点を通過する。解曲線上では dH = (∂H/∂ρ)dρ + (∂H/∂$)d$ = 0 であるので、

dρ

d$= −∂H/∂$

∂H/∂ρ(3.53)

3.6. Aligned Flow: Critical Solution 31

は有限の値であるはずである。しかし、この分母

ρ∂H

∂ρ= −

v4p − v2

p(Cs + V 2Ap + V 2

Aϕ) + C2s V 2

Ap

v2p − V 2

Ap

(3.54)

が０になることがある。Bp にそって進む slow mode と fast mode の波の phase velocity (Vs, Vf )に vp

が等しくなるときである。これを slow/fast critical point と呼んでいる。この点で分子が同時に０になる ( ∂H/∂$ = 0 )必要がある。この条件は Laval nozzles の条件と呼ばれ、

磁場の幾何形状が反映する。

Bondi’s accretion flow や Parker solution と同様に fast/slow critical pointsを通過する条件から解が必要かつ十分な境界条件の下に決定される。

以上が Aligned equation の解法である。磁場の形状が与えられれば磁力線に乗った流れは完全に解かれる。この時各々の磁力線ごとに、エネルギー、角運動量はもとより、刻々のエネルギー開放 $Bϕ が決定さ

れている。

実例は以下の論文に見ることが出来る。

Weber, E.J. and Davis, L.Jr., 1967, ApJ, 148, 217Sakurai, T., 1985, AA, 152, 121Takahashi, M. and Shibata S., 1998, PASJ, 50, 271

3.6.1 Aligned Flow (relativistic)

`(ψ) = mγvϕ$ − Bϕ$

4πη(ψ)(3.55)

γ = (1 − v2/c2)−1/2 (3.56)

η(ψ) = nκ (3.57)

κ = vp/Bp (3.58)

ε(ψ) = mc2γ − Ω(ψ)$Bϕ

4πη(ψ)(3.59)

vϕ = Ω(ψ)$ + κBϕ (3.60)

未知数: 6: γ, vϕ, vp, Bϕ, n, κ

定数: 4+1: `, η, ε, Ω, $f

条件:Ω: rotation on the source surfaceγ: injection Lorentz factorn: injection rate•: critical condtion∂ε/∂up = 0, ∂ε/∂$ = 0, at $f

ベルヌーイ関数をつくると

ε2 = µ2(1 + u2p)

(1 + λ

1−λ1−z2

1−vz2

)2

1 − λz2 (1−v2)2

(1−vz2)2

(3.61)

ここで、z = $/$A、

v =up/σ

upA/σA


である。別の表現

( ε

mc2

)2

= x2(1 + u2p)

[(1 − x2 − 2M2)

(λ − x2

1 − x2 − M2

)2

− (λ2 − x2)

]−1

(3.62)

whereup = γvp/c, x = $/(c/Ω), λ = Ω`/ε = x2

A (3.63)

M2 = 4πmγηκ =v2

p

B2p/4πγmn

=x2up

γ0(3.64)

and 幾何因子

γ0 ≡ Ω2$2Bp

4πmc3η(3.65)

全ての解は Alfven point (xA, upA ) = (√

λ, (1 − λ/λ)γ0 ) を通る。m:rest mass

radial field: Bp$2 const. γ0 = const.

$f = ∞up∞ = γ

1/30

ε

mc2= (1 + γ

2/30 )3/2 ≈ γ0 (3.66)

γ0 ≈ eVL

Mmc2= 2.6 × 107 1

Mµ30P

−2 (3.67)

3.6.2 Cold Radial Wind

radial fieldなら γ0 の値が一定になる。(σ ≡ γ0)。この時は、fast critical pointが無限遠にあらわれる。$ → ∞で相対論的なベルヌーイ関数 (3.61)を評価すると、

(ε

µ

)2

=

[1 +

(1 − λ

λσv

)2] (

1 +λ

1 − λ

1v

)2

(3.68)

となる。ここで、 ∂ε/∂v = 0とおくと、

v∞ =λ

1 − λσ−2/3, or up∞ = σ1/3 (3.69)

を得る。σの値は、$3ABpA ≈ µm, 4π$2

AnA ≈ F , $A ≈ c/Ωとすると、

σ ≈(

Ω4µ2m

c3

)/

(mc2F

)= γw (3.70)

Crab なら 106位の値である。したがって、radial fieldとすると γ∞ ≈ 100 でとんでもなく小さな値になる。

3.6.3 Cold wind with varying Bp$2

Field-aligned equation に唯一含まれているパラメータは無次元量の幾何因子

γ0 ≡ Ω2$2Bp

4πmc3η(3.71)

である (次節参照)、つまり、解はポロイダル磁場の幾何を表す Bp$2 に支配されている。

3.7. Trans-field Equation の解法 33

もし、 [∂Bp$

2

∂$

]

$f

< 0 (3.72)

fast point が内側に現れることが示される。そして、Bp$2 が減少すれば効率の良い加速をすることがで

きる (Begelman & Li 1994, Takahashi & Shibata 1998)。σ ∝ Bp$2.

referecneTakahashi, M. and Shibata S., 1998, PASJ, 50 271 283,Begelman, M. C., Li, Z.-Y., 1994, ApJ, 426, 269

3.7 Trans-field Equation の解法

磁場構造を決める式 (Trans-field equation)は以下のように表現できる (Heinemann & Olbert 1978)

(v2p − V 2

Ap)(

a∂2ψ

∂$2+ 2b

∂2ψ

∂$∂z+ c

∂2ψ

∂z2

)= F ($, z, ψ,∇ψ) (3.73)

b2 − 4ac > 0 なら特性曲線が存在する:

(v2p − V 2

f )(v2p − V 2

s )v2p(V 2

f + C2s ) − V 2

f V 2s > 0 (3.74)

で、Elliptic でそれ以外で、hyperbolic になる。方程式は混合型の偏微分方程式である。Alfven 面で Trans-field equation は singular である。流れ関数の２階微分が有限である (磁場は折れ曲

がらない)ためには Alfven 面で F = 0でなくてはならない。Trans-filed equationと aligned equationを連立して解くことで windは完全にとかれると思われる。Sakurai (1985)は、Source field が split monopole のとき Trans-feild equation を aligned equation と

連立して解いた。回転駆動はそれほど大きくなく magnetic rotating thermal wind とよばれるようなパラメータである。しかし、著しい特長として、遠方で流れは回転軸にコリメートされることが示された。同時

に、全ての電磁エネルギーが無限遠で運動エネルギーに変換されることがわかった。

• ψに関する 2 階の偏微分方程式

• Alfven point で singular (で regular な解を選ぶ)

• 楕円型と双極型と途中で型が変わる。

3.7.1 relativistic: Mstel & Shibata 近似解

[1 + (δ + Ω2)] 52 ψ +2x

∂ψ

∂x+ SS(ψ)

dS

dψ= 0 (3.75)

regularity を課して外に向かって延長すると解が break する。dissipation zone をいれて成功。


3.8 その後

相対論的な遠心力風 (パルサー風)の加速効率 σ(θ, r → ∞) の決定および (それと同時に決まるはずの) 磁気圏構造の問題は現在までにまだ解決されていない。

• 軸対称MHD定常解を、Aligned equation と trans-field equation を連立して解いて求める試み (非相対論的な場合の Sakurai 流の解決) は成功していない。

– Mestel & Shibata は dissipation を suggest 。しかし、self-consistent でないので不確か。

– asymptotically には、対数的に σ → 0 で collimate する解がある。(Tomimatsu & Takahashi2003, Apj, 592, 321)

– よりはやく kinetic energy dominant になるとする解析結果が Vlahakis (2004, ApJ, 600, 324)で示されている。

– 遠心力風は r → ∞ で σ → 0になるのかどうかと言う原理的な問題がある。漸近解は中心天体と結びつけられていないので不完全。

– 漸近的に加速が進むとしても相対論的な星風の場合はそれがゆっくりなので衝撃波を迎えるまで

にはまだ電磁場優勢になる。これはカニ星雲から予想されている σ ¿ 1と相容れない。

• 軸対称定常 force free モデルは差分法によって数値解が得られている (Contopulos, Kazanas & Fendt1999)。同様な計算が Ogura & Kojima によってなされたが、光円柱の数倍のところで E > B とな

り force-free が成り立つ条件を満たさなくなっているという。

– Uzdensky (2003) は force-free 数値解の境界条件が不十分と考え、Y-point 付近を解析的に調査。E > B の領域の発生を示した。また、Y-point が光円柱の内側に入る可能性を指摘した。

– McKinney (2006)がRelativistic Force-Free で time evolutionを追い定常解を近似的に得た。彼らの計算では、current sheet は separatrix (and equatorial current sheet)のすぐ外 (wind側)に集中しているが、current function は separatrix で 0 (Bϕ = 0)になっている。リコネクション率をパラメータにして Komissarov (2005)より物理的な意味を取りやすい散逸を導入している。ローレンツ因子に上限を持たせ、E < B を保つようなスキームが取られている1。

• 軸対称RMHDで時間進化を追う計算については、磁気圏全体としては開いた磁場構造が形成され、

効率の良い加速は起こらない (σ À 1)。kinetic energy dominant になるためには Bp$2 が減少しな

ければならない。しかし、そのような幾何形状はできない。(see e.g. Bogovalov 2001)

• 斜め回転の効果をふくめた遠心力風では、折り畳まれた磁気中性面における reconnection/magneticfield decay も重要かも知れない (Coroniti 1990, Michel 1994, Melatos & Melrose, 1996)。

– 折り畳まれた磁気中性面における磁場の散逸と wind 加速を連立して解くことが Lyubarsky &Kirk (2001)および Kirk & Skjaeraasen (2003)によってなされた。dissipation rate に結果が依存するが、カニ星雲への適用では衝撃波までに σ ∼ 10−3 になることは marginally possible という結果になっている。

• カニ星雲の状況では衝撃波前では Poynting energy dominant で良くて、衝撃波において磁場が散逸するという見方も提出されている (Lyubarsky 2003)。

– このシナリオにのっとった詳細な研究はまだない (と思う)。

– パルサー風でなくて、AGN jet でも kinetic energy dominant だということなので、もしそうだとすれば σ問題が無くなったわけではない。

1OK2003 のような広域的な E > B は無いようだ。

3.8. その後 35

McKinney (2006) Relativistic Force-Free で time evolution を追い定常解を近似的に得ることにMcKinney (2006)が成功したという。彼らの計算では、current sheetは separatrix (and equatorial currentsheet)のすぐ外 (wind側)に集中しているが、current function は separatrix で 0 (Bϕ = 0)になっている。リコネクション率をパラメータにして Komissarov (2005)より物理的な意味を取りやすい散逸を導入している。ローレンツ因子に上限を持たせ、E2 < B2 を保つようなスキームが取られている2。

Komissarov (2005) 結局、Y-point および equatorical current sheet でどれくらいの散逸があるのかが問題である。Komissarov (2005) の結果では、hydrodynamic luminosity の 70% は current sheet 内にあり全 wind luminosity の 15%を占める。散逸が現実のパルサーではいくらになるのか？が問題。それほど大きくなければ wind は基本的に Poynting flux dominant であり、Nebulaの σ-problem ははやり解決されない。

Bucciantini et al. (2006) の RMHD のシミュレーションでは熱風から遠心力風への変化を計算している。磁場はモノポール形状とダイポールと両方の境界条件で計算した。

ダイポールの場合に Y-point が light cylinder のずっと内側 (rY ∼ 0.5RL)に現れたという。最初、lightcylinder の内側で、つぎつぎにリコネクションが起こり、閉じた磁場からつぎつぎにプラズモイドが出て行く現象が出てきた。定常解に至らないので、強制的に ∂Bθ/∂θ = 0 および vθ = 0 を課して安定化した。その結果、解は安定したが、separatrix が light clinder のずっと内側に出来てしまった。原因として著者が考えているのは separatrix 近傍ではプラズマが高密度で、十分に遠心力風になっていないことを上げている。この数値計算では中性子星は熱くプラズマが十分あると仮定している。mass flux は trans-slow の criticalcondition で決まっている。現実のパルサーでは、gap 構造により pair flux が決まっているのでそのような場合の計算は別途必要であると言っている。この熱風と遠心力風の両方が混じった計算は、出来たばか

りの中性子星やマグネターへの応用が可能である。柴田の個人的感想としては、回転するという境界条件

がどれほどしっかりしているのだろうか (閉じた磁場領域がしっかり共回転になっているか)が疑問として残っている、点があげられる。

References

McKinney, J. C. 2006, mnras, 368, L30McKinney, J. C. 2006, mnras, 367, 1797-1807 astro-ph/0601410Komissarov, S. S. 2006, mnras, 367, 19Bucciantini, N., Thompson, T.A., Arons, J., Quataert, E., Del Zanna, L., 2006, mnras, 368,

1717

Timokhin (2006) 軸対称の force-free 定常問題 (いわゆるパルサー方程式)を数値的に解いた。Cont-poulos, Kazanas & Fendt (1999)を精密化したもの。

force-free system にある poloidal 電流 I の自由度を使って、LCでの regularity condition を課して (LCで磁場が連続)いる。(39),(46)が条件だけれど、これは Sakurai (1985)の I’Hopical’s ruleを適用したのと等価になっていた ( see (47))。解の自由度として open-close boundary はひとつの Y-point のみかそうでないか (赤道面にプラズモイド

を形成)がある。しかし、ここではひとつの Y-point のみを仮定し、Y-point の位置 x0 をフリーパラメー

タとしている。

遠方での磁場の形状を radial と仮定している (これも自由度としてある点不満が残る)。

2OK2003 のような広域的な E > B は無いようだ。


LCでの regularity condition から電流分布が決まってしまうが、last closed fild line で零にもどらない。そのため、Y-point より遠方の赤道面と separatrix に無限小の厚さをもった電流シートが出来てしまい、また、そこで表面電荷も発生している。これが物理的にどうなるかははっきりしない。(問題点)

xo0 → 1がもっともそう (minimum energy solution)。この極限で Bp が発散。磁場のエネルギーが発散

するわけでない (Gruzinov 2005)。電流密度がどう調節されるか、そのときの Outer gap や Polar cap の電位差をだいぶ気にして議論して

いる。

force-free 解は近似解として良い。しかし、不完全である。

Arons 2007 感想：force-free モデルについては結局どこかにひずみ (しわ)が出てくると言うことでないか？光円柱のすぐ外側にしわを持ってきたのが Mestel & Shibata (1994)であり、そこにしわをよらないようにしたのが Contopoulos, Kazanas & Fendt (1999) で、そこではしわはセパラトリックスに移っている。要するに force-free で解くとここかにかならずしわができるということだろう。実際の磁気圏では実際にどこにしわがいくかは、dissipation process を具体的にあたり、何が効くかをいちいちあたらないとわからないことになる。

Arons, J., 2007 arXiv:0708.1050 To appear in Springer Lecture Notes on ”Neutron Stars and Pulsars,40 years after the discovery”, ed. W.Becker, 2008

[Spitkovsky (2006)] force-free は単純な発展方程式で書けるのでそれを解くのだが、しわの出るところ (物理的に慣性が効いたり散逸が効くところ)が勝手に発生する可能性がある。実際に current sheet がそうである。そこでは、E > Bになったら強制的に E = Bに置くという操作をしている。Y-point が 0.6RL

に発生するが、リコネクションを起こしながら光円柱にシフトして行き RY ≈ RL で落ち着く。

斜め回転も計算している。直交座標。光度は

Lspin ≈ µ2Ω4

c3(1 + sin2 α) (3.76)

であった。スピンダウンとともにRLが増加するが、リコネクションがこれに追い付かないで RY < RLに

なると考えると、3より小さな breaking index を理解することができるとしている。Spitkovsky, A. 2006, Astrophys. J. Letter, 648, L51

3.9 Uzdensky (2003): force-free case

Pulsar equation (force-free 近似)を考える。例えば仮りに current fucntion I(Ψ) を外から与えたとする。lc より内側の解の決定は、星表面での磁束

の分布 Ψと lc での regularity condition

∂Ψ∂x

∣∣∣∣x=1

=12

I I ′(Ψ)∣∣∣∣x=1

(3.77)

というふたつの境界条件で決定されてしまう。次に、lc から外を考えると Ψ(x = 1, z)は決まっているし、磁場が折れ曲がらないと (3.77)から ∇Ψ まで決まってしまう。内側で決定した解をそのまま延長できてしまう。これが外側の条件と整合するか疑問。例えば、無限遠での regularity condition がある：

Ψθθ + Ψθ cot θ =I I ′(Ψ)sin2 θ

as r → ∞ (3.78)

この条件を課してしまうと、境界条件過剰で解は一般に存在しない。以上の結果から、I(Ψ)は事前に与えるべきでないと考えられる。未知関として、最終的に解の一部として決定されると、考えられる。

3.10. 赤道磁気中性面の力のバランス 37

(内側の境界条件)＋ (lcでの regularity condition)＋ (outer boundary condition) を課して I(Ψ)の関数形も同時に決める数値計算が、CKF99 そして OK2003 であった。

磁力線の Open-Close 境界 (Y-point) を考える。(region I を dead zone, region II を wind zoneとする)境界でマックスウェルストレスは連続

(B2 − E2)regionI = (B2 − E2)regionII (3.79)

であることと、region I では Bϕ = 0であり、Ep = xBp, where x = Ω$/cであることから、Y-point が lcにあるとすると Ep = Bp なので連続条件から Bϕ = 0 になり、separatrix 上で I = 0にならざるを得ない。つまり、poloidal 電流系は wind内で閉じていなければならない。さらに、separatrix で I = 0で、Y-point が lc にあると仮定して、Y-point 近傍の自己相似解を求める

と、赤道面で poloidal 磁場が有限になってしまった; Bp(θ → π, x > 1) → finite。これは sepatatrix 上での Maxwell stress の連続性からいって変な解である。つまり、

E2p − B2

p − Bϕ = (x2 − 1)Bp = 0 (3.80)

と明らかに矛盾する3。さらに、E2 = B2となる面 (light surface：θ = θLS ≈ 118)が存在し、この面より赤道側では E2 > B2で、force-free解として不適になっている。結果として、Y-point が lc にある force-free方程式の物理的に意味のある解は無いことになってしまった。

Y-point が lc の内側にあるとすると、separatrix で current function は零になる必要が無く、E2 < B2

も満たされ、困難は避けられる。形は Y-point でなく T-point になるが。このあたりの問題が数値解でどうなっているのか不明である: open-close 境界はちょっと lc の内なのか

も知れない；OK2003 では E2 > B2 と主張してるが CKF99 ではそうなっていない。

References

Uzdensky, D.A., 2003, Apj, 598, 446

3.10 赤道磁気中性面の力のバランス

磁気優勢で B2/8π À nmc2 でも赤道カレントシートの圧力 p が低いまま (p ¿ nmc2)でよいか、について。

3どうも、Bp(θ → π, x > 1) → 0 という境界条件をつけずに解けてしまい、この条件が満たせなかったということのようだ。誤解かもしれない。


円柱座標 (x, ϕ, z)を用いる。赤道面近傍で ∂/∂x = 0, ∂/∂ϕ = 0と近似。

ρeE +1cj × B −∇p = 0 (3.81)

は

− ∂

∂z

[B2

x + B2ϕ

8π− E2

z

8π+ p

]= 0 (3.82)

に帰着する。非相対論では電磁力に拮抗する力は圧力しかないので磁気圧が０になる current sheet ではそれに見合ってガス圧が高くならなければならない。しかし、相対論的な磁気圏では静電気力が磁気力と同

程度でありつりあう可能性がある。そのときはガス圧は不要となる。Force-Free 解において separatrix でcurrent function がゼロになる条件をみたしているなら、まさに、圧力無しで磁気力と電気力がつりあっていることになる。

赤道面における力の釣合を具体的にみるためのテスト的な解を作ってみよう。

軸対称でガス圧があるときの磁気中性面を考える。(3.81)において、Ideal-MHD なら、Ep = −(Ω/c)∇ψ

で、回転は一様とすると、4πρe = ∇ · E = −(Ω/c) 52 ψになる。(3.24) (3.22) (3.23) を用いて、さらに I

と pが ψのみの関数であると仮定すると、(

Ω2$2

c2− 1

)52 ψ + 2Bz − I

dI

dψ− 4π$2 dp

dψ= 0 (3.83)

Force-Free のパルサー方程式に圧力をいれたものになる。以下、光円柱半径 RL = c/Ω、光円柱での典型的な磁場強度 BL を用いて、規格化した式を使う：

$/RL → x, z/RL → z, B/BL → B, ψ/(BLR2L) → ψ (3.84)

I/(BLRL) → I, p/(B2L/8π) → p (3.85)

force balanceは

(x2 − 1) 52 ψ + 2Bz − IdI

dψ− x2

2dp

dψ= 0 (3.86)

または、

(x2 − 1)(

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂z2

)+

x2 + 1x

∂ψ

∂x− I

dI

dψ− x2

2dp

dψ= 0 (3.87)

今、光円柱よりも外で赤道面に沿った領域の局所的な力のバランスを考える。 ∂∂x = 0と置くと、

(x2 − 1)∂2ψ

∂z2− I

dI

dψ− x

2dp

dz= 0 (3.88)

となる。両辺に ψz = ∂ψ/∂z を乗じると

d

dz

[(x2 − 1)ψ2

z − I2 − x2p]

= 0 (3.89)

を得る。これは、

Bx = −ψz/x, Ez = −ψz, Bϕ = I/x, (3.90)

であることに注意すると

B2x + B2

ϕ − E2z + p = (1 − x2)B2

x + B2ϕ + p = const. (3.91)

を意味する。


まず、force-free 解を考える (p = 0)。赤道面近傍で

ψ = ψeq − az2 − . . . (3.92)

と展開できたとする。このとき、

ψz = −2az − . . . = −Ez (3.93)

で、電場は圧力のように働いて赤道に向かった磁気圧を支えるように働く。光円柱よりずっと外では Bx =−ψz/xの寄与は小さい。トロイダル磁場は

B2ϕ =

I2

x2=

(x2 − 1)4a2z2

x2(3.94)

Bϕ =I

x= −2

(x2 − 1)1/2

xaz (3.95)

になる。force-free 解で赤道面で current function I = 0になるような数値解はこの状況になっていることになる。この解は E2 = B2になっているので、実際には赤道面にあるプラズマのローレンツ因子は発散し

てしまう。つまり、実際には非常に薄い層であれ粒子の慣性か圧力が効いた領域があることになる。

圧力をいれた解として

p = peqsech2(z/L) (3.96)

を考えてみる。peq は定数で赤道面でのガスの圧力である。このときの解は、

B2ϕ =

I2

x2(3.97)

=x2 − 1

x2ψ2

z + peq − p (3.98)

= 4a2z2 x2 − 1x2

+ peq[1 − sech2(z/L)] (3.99)

Bϕ = −2az

1 − 1

x2+

peq[1 − sech2(z/L)]4a2z2

12

(3.100)

E2z = 4a2z2 (3.101)

Ez = 2az (3.102)

B2x =

4a2z2

x2(3.103)

Bx =2az

x(3.104)

である。今度は B2 > E2になっているので問題はおこらない。しかし、ほとんどの磁気圧は電気力で支え

ることが出来るので、すべてガス圧で支えるハリス解よりもずっとガス圧は小さくてもよい。

まとめ赤道にある磁気中性面近傍の性質を考える。下図において、y = 0 の面が磁気中性面で、この面の上下で磁場の方向が反転する。x-y面が子午面、z方向が負の方位角方向に対応するとする。


EB

Bx

x

z

y

Z

物理量は yのみに依存し、電磁場の配位をB = (Bx(y), 0, Bz(y))、E = (0, Ey(y), 0)、と仮定する。慣性力を無視した力のつりあい

ρeE +1cj × B −∇p = 0 (3.105)

は

− ∂

∂z

[B2

x + B2z − E2

y + 8πp]

= 0 (3.106)

あるいは

B2x + B2

z − E2y + 8πp = const. (3.107)

と書ける。対称性より y = 0の面では、E = B = 0であるから、p = 0の force-free 解では磁気中性面以外の任意の yに対して E = B と結論される。

しかしこの時、プラズマのドリフト速度は Vd = c(E/B) = cとなることから予想されるように (実際の速度はこれに磁力線に沿った速度が加わる)、γ → ∞と言う状況になり、force-free に矛盾する領域が発生することが予想される。実際、これでは流れの速度が光速を越えることは以下のように確かめられる。

ideal-MHD条件とパルサー風であることを考えると、Ey = xBx、βp = κBp、βϕ = κBϕ + xが成立する。

ここで、 x = Ω$/cである。これと、E = B を組み合わせると、β2 = β2p + (x + βp

√x2 − 1)2 が導けて、

x > 1に対して光速を越える。有限な圧力を許すのであれば、力のバランスは

B2x + B2

z − E2y = 8π(pc − p) (3.108)

となる。中心圧力 pcが回りより高くなっていれば、一般に、B > Eとなる。したがって、圧力を入れれば、

流れの速度が光速を越える矛盾が起こらない解がありそうである。(もちろん、実際にちゃんと問題がとければ、そのときの解は B > E になっている。)


-4

-2

0

2

4

6

-1 -0.5 0 0.5 1

pres

sure

s

z

Non-Neutral Magnetic Neutral Sheetp_gas

B_phi^2B_x^2

-E_z^2

(wind.fig11) 電気力が優勢な磁気中性面における、磁気圧、ガス圧、磁気圧、電気圧 (負)の分布

磁気中性面に必要なプラズマの圧力はどの程度だろう。電場が無くなる系に移ることで評価してみる。

ideal-MHD E + β ×B = 0を仮定しているので、プラズマといっしょに運動する系では、ローレンツ変換の結果、

E′⊥ = γ(E⊥ + β × B⊥) = 0. (3.109)

E′‖ = 0. (3.110)

B′⊥ = γ(B⊥ + β × E⊥) =

B⊥

γ. (3.111)

B′‖ = B‖. (3.112)

になり、B2 − E2 はローレンツ不変であるので、必要な圧力は

B2 − E2

8π=

18π

(B2

⊥γ2

+ B‖

)= ∆p (3.113)

程度である。

パルサー風のY-point 近傍で考えると、必要な圧力は、このあたりでの磁場強度をBLとして、B2L/8π =

nTmc2 (T はmc2 単位の温度)なので、密度は GJ密度 (ngj = ΩB/2πce)のM倍とすると、

T ≈ B2

4πmc2ngjM≡ γw (3.114)

γw はポインティングエネルギーのほとんどが運動エネルギーになるほど wind が加速がされたときの windのローレンツ因子で 107 程度である。したがって、このような高温を期待するのは無理だろう。


3.11 特別セミナー: 天体の回転が駆動する星風について

— 電磁流体力学を使わない説明の試みと少しばかりのコメント —

磁場による星風のコリメーションと加速に関する今回の月報誌上での議論は大変有益と思う。ただ、一般読者には専門的すぎてわかりにくい部分があるよう思ったので、電磁流体力学の用語を用いずに「遠心力風」の機構を説明できないか、本論では試みた。そして、わずかながら議論の解決の足しになりそうな補足のコメントをした。

岡本さんの天文月報の論文 1) をきっかけにいわゆる「遠心力風の問題」についての関心が高まり、一挙

に問題解決の仕事が日本から出れば、と願う一人として筆を執った。いわゆる遠心力風の問題にかかわった

研究を私も少ししたが、本質的解決は非常に重い問題なので、興味があるにもかかわらず、研究時間がとれ

ないまま今日にいたっている4。まずは、電磁流体力学の概念を使わずにこの論争の在りかを探してみたい。

3.11.1 電磁流体力学の概念を避けた星風問題の解説の試み

中心天体の回転が駆動する星風の基本メカニズムは、軸対称の場合は図１に示す電池につながれた回路に

おけるエネルギー伝達と開放に類似している; つまり、中心天体は回転する磁石でこれが起電圧を供給し、周りにプラズマがあるとこれが導体であるため回路を形成する (星の周りが真空なら回路が成立しないので軸対称の時はエネルギーを開放しない)。

図１電池でつながれた抵抗を含む回路におけるエネルギーの流れの概念図。電

磁的エネルギーの流れはポインティングベクトル S = cE × B/4π で表され、∇ · S > 0 が沸き出しでエネルギー源、

∇ · S < 0 が吸い込みでエネルギーの変換 (この場合は熱化) を意味する。

ポインティングフラックス S = cE × B/4π がエネルギーの流れであり、∇ · S = −j · E < 0のところでエネルギーが開放される。ここで、E、Bは電磁場、jは電流密度である。図１の回路ではジュール熱が

発生することになるが、星風理論でよく使われる理想MHD条件 (電気抵抗→ 0)では、電磁エネルギー流束の吸い込み j · E はプラズマの加速に行く。もう少し詳しく星風の形成過程を見て行こう。電気的な良導体である星の周りのプラズマは電磁誘導作

用によって星と共に回転しようとする。中心天体のみならず、周りのプラズマが共に回転をはじめる。起電

圧をもった回転導体のテリトリーの拡大である。共回転体がなぜ広がり、どこま広がることができるかは以

下に示すように定常的な回転エネルギーの開放を仮定すれば理解できる。

高い電気伝導性のために共回転プラズマ中の電場は磁場に沿ってはスクリーンされ、その結果、電場は磁

場に垂直になる: E = −uc × B/c、ここで、uc = Ω$ϕは共回転速度、Ωは星の自転角速度、$は回転軸

からの距離を意味する。これは共回転電場とよばれる。このあたりの式はやや電磁流体的になってしまっ

たが、よく知られた E ×B ドリフトでプラズマは共回転していると考えてよい。定常的なエネルギーの流

れがどのように起こるかと言うと、図２のような赤道方面から出て極方面から戻ってくる電流系、そして

それに伴って生じるトロイダルな磁場 Bϕ が形成されると、電磁エネルギー流束 S ∝ E × B が図に示さ

4このところ、地方大学はその目的を高度技術者養成に置かれ、また、地域社会への貢献が重視されている。その結果、天文学や数学などの基礎研究への圧力が強く、研究時間の確保はますます難しくなっている。

3.11. 特別セミナー: 天体の回転が駆動する星風について 43

るように外向きに発生することで実現する。エネルギー源は中心天体の回転エネルギー Erot = 12IΩ2 にあ

る。ここで、I は星の慣性モーメントである。回転エネルギーの放出は同時に角運動量の放出を伴ってい

る。簡単な関係式、dErot

dt≡ IΩΩ = Ω

d(IΩ)dt

= ΩL (3.115)

があるので、角運動量損失率 L はエネルギー放出率の厳密に Ω−1倍であることがわかる。この角運動量を

運び出すために共回転のテリトリーを拡大する必要があった。回転体の半径を大きくすることで大きな角

運動量が持ち出される。そうしないと、システムは定常的にエネルギーを開放することができない。

図２回転する天体の周りの様子。周りのプラズマは天体とともに回転し、回転

する導体の領域が広がる。電流が流れ、外向きの電磁エネルギーの流れ S が発生する。

図３腕の長さを長くした回転体は必要な角運動を持ち出す。これは、回転体と

回路の差動回転を保証し、回転体からエネルギーが抜き取られ、回路で消費される。回路を流れる電流には斥力が働

く。これがコリメーションと反コリメーションの起源である。

回転体の半径 $A は次のようにして見積られる。

もしほとんどのエネルギー・角運動量が電磁場で持ち出されるとすれば、角運動量の流れは (S/c)$Aで

あり、この Ω倍がエネルギーの流れ Sになることが条件なので、Ω(S/c)$A = S と置いて、共回転が終わ

る半径$A は≈ c/Ω と見積られる。電磁場によるエネルギーの流れは光子の流れと見なせるので、光子のエネルギー hνが、角運動量 (運動量 hν/c と腕の長さ $A の積)の Ω 倍に等しいと置いても $A ≈ c/Ω を得る。この半径は共回転速度が光速になる半径で「光 (円柱)半径」と呼ばれる。これは相対論的星風の場合になる。具体的な天体ではパルサーがこの場合にあたる。プラズマの静止質量エネルギー密度が磁場の

エネルギー密度よりずっと小さいとき相対論的になる。プラズマの役割は回転導体のサイズを c/Ωまで大きくしたことである。

密度の高いプラズマが角運動量を運ぶ担い手になるときは、より小さな半径で十分角運動量を運べる

(∝ ρvϕ$vp ≈ ρΩ2$3)ので、(1)式の条件から Ω$A ≈ Bp/√

4πρ ≈ vp という条件がえられ、これから半

径 $A がわかる。ここで、vp は子午面内の速度。この半径は流れの速度 vp ∼ Ω$A がそこの Alven 速度に等しくなる所になっている。

共回転が終わると、その外 $ > $A ではプラズマの運動は基本的には慣性運動 (等速直線運動)である。このとき、方位角方向の速度成分は vϕ ∝ 1/$ → 0 である。図３に於て、発電体 ($Aの内側の共回転プラズマ) にたいして回路部分 ($Aの外側)が回転していない、

つまり差動回転があることがエネルギーを取り出すことの必要条件である。もし回路が一緒に回ったら起


電圧は取り出せなくなってしまう。$Aの外がわでプラズマが回転しない (vϕ → 0) ことはこのような重要な意味を持っている。

このようにして半径 $A の大きさの回転体が起電力を提供し、その回転体から伸びた電流回路において

電磁エネルギーが開放されることになる。この電流回路でのエネルギー開放が実際の星風の中でどのよう

にして起こるのかが、今回の論争の中心課題になっている。電磁エネルギー流束 (S = (Ω$Bϕ/4π)Bp) がプラズマのエネルギーに 100%変換されるのか？、（あるいは無限遠まで電磁的エネルギーのままなのか）、プラズマの流れ・磁場の形状はどうなるのか？（回転軸にコリメートするのか？）図３の回路の働き方を明

らかにしようとしているのである。

とはいっても、非相対論的場合はプラズマが角運動量を担って Ω$A のスピードで流れ出ていてこれが全

体のエネルギーの半分近くを持ち出している。外側の回路で開放するエネルギーは残りの部分である。

相対論的場合は問題は深刻で、共回転体からプラズマがどの程度のエネルギーを持ち出すかすらわから

ない。実際、精密な計算はないため、まだ、だれも何も言えない。今回の議論で時々話題にのぼる２つの単

極磁場を張り合わせたモデル (初めから開いた磁場形状を持っている: 以下、Split monopole と呼ぶ)を用いた 2次元MHDシミュレーションでは、相対論的場合、プラズマの加速・角運動量の持ち出しははほとんどなく、電磁場がほとんどのエネルギーと角運動量を持ち出している 2)。

桜井さんの計算 3) では、全ての電磁エネルギー流束はプラズマに転化されている。これは図１の回路の

場合と似ている (電気的なエネルギーは回路で 100%消費される)。図３を見ると、加速器の中に入ったプラズマは、(電流) × (紙面に垂直な磁場) の電磁力で外向きに加速することがわかる。回路の図からわかるように二つの電流は互いに反対向いているので、斥力を及ぼし合う。極側の入ってく

る電流は軸側に、出て行く電流は赤道面方向に力を受けている。岡本さんが指摘しているコリメーションと

反コリメーションの力は回路モデルの二つの電流の斥力として理解できる。

3.11.2 わずかなコメント

議論を整理するためにいくつかのコメントをしたい。

• 非相対論的な風と相対論的な風はしっかり区別しなければならない。

非相対論的場合は $A の外で卓越する力は磁気力 j‖ ×Bϕ でその相手をするのは慣性力しかない。し

たがって、必然的に流線は曲がることになる。相対論的場合は磁気力に加えて静電気力 qE も卓越す

る; 回転起電力による電荷分離した正負の空間電荷が引き合う。したがって、磁気力と方向が逆である。実際、電気力と磁気力がバランスして磁力線が放射状の直線の (曲がらない）解がある。このように、相対論的な場合は軸に沿ったコリメーションは自明ではない。Bogovalov2) の計算は電気力の

影響を良く表している。彼の計算 (Split monopoleが使われている)では、コリメーションはほとんどなく、プラズマの加速・角運動量の持ち出しははほとんどない 2)。

• 次に理想MHDの体系で解が存在するかどうかわからないということがある。

これはむしろ数学的興味で、おおまかな風の振る舞いの理解に影響しないかもしれないが、問題を解

くときに注意を払う必要がある。

子午面内の磁場構造を得ようと思えば、磁場の流線にたいする２階の楕円・双曲混合型の偏微分方程

式を解かねばならない。$Aよりも外に在る一つの面 (Fast critical surface)の内側の解を一旦決めると、その外は双曲型なのであとは外に向かって無限遠まで解を延長して行けばよい。しかし、このよ

うな解の延長がはたして矛盾なく無限遠まで続けられるかは自明ではない。実際、Mestelと私が近似的にこの方程式を解いたときには解が途中で求められなくなり、散逸過程を挿入して初めて無限遠ま

で解を求めることができた 4)。理想MHDの方程式系の定常解は散逸を要求することが多く、回転駆動された星風のばあいも散逸が解を決定する上で重要である可能性が高い。

3.11. 特別セミナー: 天体の回転が駆動する星風について 45

• 外に向かって出て行く電流と戻ってくる電流の別れ目 (岡本さんの論文で Pn)がどこに来るかが一つの争点になっている。

始めから Split monopoleの磁場を仮定しないで、中心にダイポール磁場をおいて、この別れ目がどこにくるのか。この点に関しては鷲見と柴田の数値シミュレーションが参考になるかも知れない 5)。

この計算では軸方向へのコリメーションと赤道面への圧縮の両方が観察される。分水嶺は赤道面から

20度くらいになっている (20$Aのところで)。このシミュレーションでは陽に数値粘性は入っていないが、グリッドを切ったことによる散逸はもちろん存在する。しかし、赤道の薄い電流層の部分の変

化は極めてゆっくりしているために実施した計算時間内には赤道部分は定常解には至っていない。厚

い赤道層は単に定常状態になっていないためかもしれない。

• 空間構造の議論では、質量流束、エネルギー流束、角運動量流束の角分布を区別して議論する必要がある。簡単にジェットと言う言葉は使えない。

この注意はこの問題に携わっている研究者にとっては自明であると思うが、関連研究の中で結果を引

用する時に注意したい点である。

上記鷲見と柴田の数値計算の結果によると、天体から出て行く電流と帰ってくる電流の斥力によっ

て回転軸と赤道面近傍に集められたプラズマによって質量流束 (mass flux)の増加が極軸と赤道面で現われる (disk wind - polar wind 構造)。速度は極軸と赤道面でむしろ遅くなっている。コリメーションは磁力線とプラズマが回転軸方向に集められることであって、ジェットとして加速されることとは

別なので区別する必要がある。20$Aくらいのところでみると、流れはやや円柱対称的で、回転軸の

近傍をのぞいて万遍なくエネルギーの流れが分布し、角運動量の流れは赤道面近傍で増加している。

プラズマの流れを外向きに加速することはどんどん電流が閉じて行くことを意味する。図３では回路

の素子（加速器の部分）で加速している。コリメーションは加速が起こる前に最大で、加速が 100%起こり、完全に電流が閉じると、その外では子午面内の電流がなくなるので、電流同志の斥力もなく

なりコリメーションもない。従って、加速とコリメーションの程度は図３のような簡単な図式でははっ

きりしない。

• 熱駆動力により風が吹くときと回転により風が駆動されるときの違いもはっきりさせないと混乱すると思う。

鷲見と柴田の計算でもコロナの熱駆動力の方がやや回転駆動力より勝っており、回転駆動力が卓越し

たときの構造はまだ解けていない。

誰も実際解いていない問題なので、確信が持てないが、赤道の電流層 (current sheet)の厚さについては、熱駆動力で閉じた磁場が開かれるときは極く薄い電流層になることが予想されるが、外圧 (熱)が関与せず磁気力と慣性だけで決まる構造でどれだけの厚さになるかは自明ではないと思う。

英文アブストラクト

On the wind driven by magnetic rotating stars

— an attempt to give an explanation without using concepts of magnetohydrodynamics, and commentson the controversial —Shinpei Shibata,

Department of Physics, Yamagata University

This issue is a good opportunity to understand the problem of collimation and acceleration of themagnetic wind. However, the discussions are sometimes difficult to general audience. In this paper, I am


attempting to explain the basic process discussed without using any concepts of magnetohydrodynamics.In addition, I put some of my comments which is hopefully helpful to resolve the present problems.

岡本功, 2000, 天文月報, 93, 3, 134Bogovalov S. V., 1998, Astronomy Letters, 24, 321-331 ”Magnetic Collimatin of Astrophysical

Winds”Sakurai T., 1985, AA, 152, 121Mestel L., Shibata S., 1994, MNRAS, 271, 621Washimi H., Shibata S., 1993, MNRAS, 262, 936

47

第4章衝撃波統計加速(初級編)

4.1 はじめに

非熱的な高エネルギー粒子の生成過程としてもっとも重要と考えられている衝撃波にともなった統計加

速 (first order Fermi acceleration) のエッセンスを議論する。粒子が互いに衝突している分にはそこには熱分布 (たとえば Maxwell 分布)しか現れない。しかし、ひと

つの粒子が大きな塊 (粒子集団)と衝突すると、条件が良い時にはこの粒子はたいへん大きなエネルギーを得ることができる。たとえば、木星などを利用した人口惑星のスイングバイによる加速が良い例である。磁

場と凍結したプラズマは集団としてひとつの塊とみなせる運動をすることができる。このプラズマ集団と

粒子の衝突が粒子を加速する。これは、プラズマ集団が作る波と粒子の相互作用と見ても良い。とにかく、

磁場によってまとめられたプラズマ集団と一粒子の衝突がエネルギー獲得の素過程である。

衝突によってエネルギーを得ることもあるが失うこともある。したがって、高エネルギー粒子が発生する

のは統計的な結果である。全体の結果として、粒子は巾関数になり観測と合うのがこの衝撃波統計加速の

もっともらしいと考える大きな根拠になっている。

4.2 塊と粒子との反射

図 4.1 に示すように、質量 m の粒子が質量 M (À m ) 速度 V (右向きに運動している) の壁に衝突するとする。粒子の運動量の x成分が px = −p cos θ、エネルギーが E =

√(mc2) + p2 であるとしよう。こ

れを壁の系に移ってみると、ローレンツ変換して、

p′x = −γV

(p cos θ +

V

c

E

c

)(4.1)

E′/c = γV

(E

c+

V

cp cos θ

)(4.2)

ここで、γV = (1 − V 2/c2)−1/2 である。壁の質量が十分大きいので、弾性的に反射したあとは、x方向の

運動量は −p′x になっているとする。ここで再びローレンツ変換で壁が動いている元の系に戻してやると、

衝突後のエネルギーは、

E = γ2V E

[1 + 2

V

c

cp cos θ

E+

(V

c

)2]

(4.3)

となる。特に、V/c ¿ 1で、E ≈ cp とすると、

E

E= 1 + 2

V

ccos θ (4.4)

となる。このようにして一回の正面衝突で V/c のオーダーのエネルギー増加率が得られる。

散乱体がランダムに運動している時は、正面衝突と追突はほとんど同じ回数生じるので正味の加速がな

いことになる。しかし、正面衝突の方が V/c のオーダーでわずかに確率が高いために正味には (V/c)2 の効果で加速が得られる。これがフェルミによって最初に提案された加速機構である。2次のフェルミ加速とよばれる。しかし、衝撃波面の前後では流れが非対象で、正面衝突が有効に ( V/c の効果として)起こる。これが、衝撃波統計加速 (1次のフェルミ加速)である。

48 第 4章衝撃波統計加速 (初級編)

θp

V V

図 4.1: 壁またはプラズマ雲による粒子の反射。統計加速の素過程である。

図 4.2: 図を良み見て考えてみよう。粒子は衝撃波面を往復するうちに徐々にエネルギーを獲得してゆく。

4.3 衝撃波における統計加速 (直観的)

星間空間中に超新星爆発の爆風が速度 U で広がるような場合、U は超音速であって、衝撃波を形成して

いる。あるいは、パルサー風や AGNジェットがまわりの物質とぶつかる場合も衝撃波を生じる。衝撃波面が静止した系 (衝撃波静止系)でみると、上流から超音速の流れが流れ込み、下流側で流速が亜

音速に減速している。衝撃波前後では磁場の乱れが発生しているのでこれが粒子の散乱体 (前節のプラズマの集団=塊に相当する)となり、散乱体はバルクの流れにのって上流側では超音速で衝撃波面に近付き、下流側で亜音速で衝撃波面から遠ざかっている。

上流と下流の間を散乱しながら往復する粒子が加速されることになる。図 4.2を眺めると加速されることは自明である。

4.4 巾スペクトルの形成

衝撃波加速にかぎらず、統計加速での巾スペクトルの形成原理を調べておく。

4.5. 衝撃波統計加速 49

１サイクルで E = aE のように、a 倍のエネルギーになるとする。k サイクルの後にエネルギーは

Ek = akE0 のようになっている。１サイクルの間に系から逃げ出さずに残る確率を b とすると、kサイク

ルを経過した時、残っている粒子数は Nk = bkN0 のようにあらわすことができる。このような状況の下で

巾スペクトルが現れる。

kを消去して Nk と Ek の関係を求めると、

ln(Ek/E0)ln(Nk/N0)

=ln a

ln b(4.5)

これより、Nk

N0=

(Ek

E0

)ln b/ ln a

(4.6)

kサイクルまで系から逃げないで残った粒子の数が Nk であることから、

Nk =∫ ∞

Ek

N(E)dE (4.7)

という関係に注意する。結局、

N(E)dE = constant × E−1+ln b/ ln adE (4.8)

という巾スペクトルになる。

このシステムを記述するボルツマン方程式は

d

dE

(EN

)= − N

τloss(4.9)

E =dE

dt= αE (4.10)

のように書ける。システムからの抜けてゆく特徴的時間が τloss。加速時間が α−1 = τacc である。この方程

式系を解くと

N ∝ E−1−τacc/τloss (4.11)

となる。両者を比較するとつぎのことが確かめられる。

α = τ−1acc = ν0 ln a (4.12)

τloss = ν0(− ln b) ≈ ν0P (4.13)

ここで、ν0 は衝突サイクルの頻度、P は１サイクルあたりの逃げ出す確率である。

4.5 衝撃波統計加速

衝撃波静止系で連続の式を立てると

ρ1v1 = ρ2v2 (4.14)

ここで、圧縮比は強いショックの時は ρ2/ρ1 = (Γ + 1)/(Γ − 1) で与えられる。Γ は気体の比熱比である。Γ = 5/3 なら、圧縮比は ρ2/ρ1 = 4 である。v2/v1 = 1/4 なので、衝撃波静止系では上流側から U で流れ

が入ってきて、下流では U/4 で流れがでてゆくことになる。以下では、高エネルギー粒子の分布関数は上流・下流それぞれについてそれぞれの流れに乗った時に等方

的であると仮定する。

50 第 4章衝撃波統計加速 (初級編)

まず、上流側にいるエネルギー E の粒子を考える。上流の流れに乗った系から見ると、下流側の散乱体

は V = 3U/4 の早さで近づいて来るように見える。粒子が、上流から下流に入りこの散乱体によって散乱たときにエネルギーは (4.2)より（下流の系で見て）

∆E

E=

V

ccos θ (4.15)

だけ増加する。

衝撃波面に突っ込んで下流に入ってゆく確率は cos θ sin θdθ に比例している。θ のとる範囲は 0 – π/2 である。この範囲で積分して１になるよう規格化しておくと、入射確率として

Pr(θ)dθ = 2 sin θ cos θdθ (4.16)

を得る。したがって、エネルギー増分の期待値は、

〈∆E

E〉 =

V

c

∫ π/2

0

2 cos2 θ sin θdθ =23

V

c(4.17)

一方、下流側の流れにのってみると、上流側の散乱体はやはり V = 3U/4 の速度で向かってくるように見える。したがって、下流側から衝撃波を横切って上流側に入って散乱されてた段階で粒子のエネルギー増

加分の期待値も同様に〈∆E/E〉 = 2V/3c になる。この結果、一往復した結果粒子の得るエネルギーの期待

値として、

〈∆E

E〉 =

43

V

c(4.18)

を得る。

つぎに、この系から抜けてゆく確率を計算しなければならない。これには非常に巧妙な方法があって、そ

れは以下のようである。まず、等方的に分布しているとすると衝撃波面を横切る粒子束は Nc/4である：実際 ∫ ∫

Nc

4πsin θ cos θdθdφ =

14Nc (4.19)

一方、衝撃波静止系でみていると、下流側の流れに乗って NU/4 なる流失する流束がある。下流側から上流に横切ったものは押し流されて必ず戻ってくるものとして損失は無いと考えられる。したがって、１サイ

クルする粒子中、系から抜けてゆくものは14UN/

14Nc = U/c の確率であることがわかる。

以上をまとめると、１サイクルで系に残る確率については、

ln b = ln(

1 − U

c

)≈ −U

c(4.20)

一方、加速率については

ln a = ln(

1 +4U

3c

)≈ 4U

3c=

U

c(4.21)

これから、加速粒子は巾スペクトル

N(E) ∝ E−1+ln b/ ln a = E−2 (4.22)

を得る。このように観測から示唆されている指数 2 –3 のベキスペクトルが導かれる。加速された粒子のジャイロ半径が系の大きさになったとき系から抜けてゆくのでこれが加速の上限を与

える。

Emax ∼ eBL (4.23)

4.5. 衝撃波統計加速 51

Lは衝撃波領域の典型的サイズ (衝撃波の厚さではない)。しかし、統計加速は何回か散乱を繰り返しながらエネルギーを増加させてゆくので、十分な時間がなければこの上限まで加速できない。この制限の時は

加速時間に加速率をかけたものが上限になる：dE/dt = αE から、加速に使える時間を T とすると、

Emax ≈∫ T

0

αTdt ≈∫ T

0

(νo ln a)Edt (4.24)

ここで、ν0 を往復時間の評価によって見積もってみよう。ます、高エネルギー粒子が衝撃波面からどれくらい

拡散して広がっているか？上流・下流の両方で流れに逆らった拡散が必要で、拡散流速 −D∇N と対流 NU/4が釣り合っているとすると、D/∆x ∼ U/4である。ここで、拡散係数 D は、(自由行程) = η×(Larmor 半径) として、η を用いてパラメタライズする。結局、衝撃波面からの拡散距離は

∆x ≈ 4ηE

3eB

c

U(4.25)

になる。この距離、トントントンと走って戻ってゆくのが平均的振舞いなので、１サイクルの見込時間は

ν−1 = 4∆x

c≈ ηE

eBc

c

U(4.26)

となり、ln a ≈ U/c と合わせて、加速の上限値の見積りは

Emax ≈ eB

ηcU2T (4.27)

となる。

もうすこし定量的にした計算の結果では、衝撃波の圧縮比を Rとして

Emax =∫ T

0

dE

dtdt =

∫ T

0

eB

ηc

R − 1R(R + 1)

U2dt (4.28)

自由膨張段階で B を一定とすると

Emax =3eB

20ηcU2T = 0.47

1η

(U

1000km/s

)2 (B

1µG

) (T

103yr

)TeV (4.29)

という値を得る。

53

第5章パルサーとはどのような天体か?

5.1 中性子星の予測

中性子が発見 (1930) されるとすぐに、中性子 (fermion) の縮退圧で支えられた星 (中性子星; NeutronStar)があるのでないかと予想された (Baade & Zwicky 1932)。

n =p3F

3π2h3 (5.1)

P ≈ 23

p2F

mn ≈ h2

mn5/3 ∝ n5/3 (5.2)

(p ≈ hk　で　 k ≈ n1/3　とみなせばよい) (5.3)dP

dr= −G

ρMr

r2(5.4)

P ≈ GρM

R(5.5)

p + e− ←→ n + νe (5.6)

ρ ≈ mn =m4c3

3π2h3 x3 with x = pF/mc (5.7)

= 6.11 × 1015x3g cm−3 (5.8)

半径 Rs ≈ 10km、太陽質量程度の星1。

5.2 パルサーの発見

予想外にも、電波パルスを出す天体として発見された (1967)。ビームした電波を放射している。自転に同期しての規則正しいパルスとして観測される。「宇宙の灯台」と呼ばれる。

パルサーは、強く磁化した高速に自転する中性子星である。

磁気モーメント µm ∼ 1026 − 1031 G cm3

星の表面の磁場の強さ Bs = 2µm/Rs3 ∼ 108 − 1013G

自転周期 P ∼数 msec – 数 sec.

回転する巨大なmagnetである。自転のエネルギーを電磁力を介して周りの空間に解放している。大きな起電力を発生し、粒子が加速できそうな天体であることが推測できる。(パルサーの発見以前から!!)

(注)パルサーには二つのクラスがある。種別系発見

rotation powered pulsars (mostly) isolated rado pulsarsaccretion powered pulsars with a binary companion X-ray pulsarsここで扱うのは、rotation powered pulsars である。

1観測的には Ms ≈ 1.4M¯ に集中している。

54 第 5章パルサーとはどのような天体か?

わずかなスピンダウンが観測される。自転のエネルギーが放出されていることがわかる。典型的には

P ∼ 10−15 sec/sec のオーダーの量である。観測された P と P からエネルギーの放出率 (spindown power) が

E = =ΩsΩs = 3.94 × 1031=45P−15P−3erg sec−1 (5.9)

と推定できる。ここで、=は星の慣性モーメント、文字の下に添えた数字 45, -15 はそれぞれ 1045 g cm2,10−15 s s−1 単位の値であることを示す。

パルサーの電磁的なエネルギー放出率は µ2mΩ4

s/c3 とみつもれる：

=ΩsΩs = −µ2mΩ4

s

c3(5.10)

この関係から、観測量 P と P を用いて星の磁気モーメントを推定できる：

µm = 1.01 × 1030

√PP15G cm3 (5.11)

5.3 観測のまとめ

5.3.1 Radio

残念ながら電波の放射機構はまだわかっていない。

• mean profile; subpulse; micropulse

• interpulse

• core and conal beam; polar cap model

• subpulse drift

• pulse nulling

• polarization angle swing

• giant pulses

• P -P diagram; ordinary pulsar; millisecond pulsar; magnetar(magnetic powered pulsar)?(AXP,SGR)

• breaking index : n = ΩsΩs/Ωs2

• death line (turn off line)

5.3.2 γ-ray

• EGRET pulsars

少なくとも 7つ；もしかすると 9つのγ線パルサーが観測されている。パルス波形は図参照。スピンダウンとともにスペクトルは硬くなる傾向がある。γ 線光度については

Lγ ∝ E1/2rot (5.12)

という相関があるようにみえる。

5.4. 問題提起 55

• TeV γ nebulae

Air Cherenkov; Crab Pulsar, PSR 1706–44, Vela Pulsar(?). これらはパルスしない放射であった。Pulsar Nebula からの主に IC 放射であると考えられている。

5.3.3 X-ray

X線の放射はさまざまな成分の混合であり精密なスペクトルおよび周期解析が重要である。

起源スペクトル時間変化

磁気圏において加速された粒子か

らの直接の放射 (magnetosphericemission)パルス放射をしている磁気圏内

の場所については、Polar Cap

modelsと Outer Gap models

の二つの提案があってどちらが妥

当かはまだ結論がついていない。

非熱的パルス

polar cap heating 熱的自転によるmodula-tion

中性子星大気からの熱放射 (Cool-ing NS radiation)

熱的 (吸収線など) 定常 (+ 回転によるmodulation)

パルサー星雲

(Pulsar Nebula; synchrotron)非熱的定常

ROSAT band (0.1 – 2.4 keV)の X線光度と回転パワーの間には以下のような相関が知られている (Becker& Trumper 1997)。

Lx(ROSAT ) ≈ 10−3 × Erot (5.13)

ASCA band (2 – 10 keV ) では別のスロープをもっている：

Lx(2 − 10keV) ∝ E1.5rot (5.14)

図は Takahashi et al. (2001) によるもので、log Lx = 1.45(±0.09) log E − 19.5(±3.3)。普通のパルサーもミリ秒パルサーも同じ直線に載るのは不思議。また、バンドによってその共通のスロー

プが変化する理由を説明しないといけない。普通のパルサーとミリ秒パルサーの違いを明確にすれば PolcarCap model と Outer Gap model のどちらが正しいか突き止められるかも知れない。

パルサー星雲の光度についても観測が増えつつあり、星雲光度 – 回転パワー相関が得られるだろう。(ASCA の観測から考えると E1.3

rot よりは急な傾きのようだ)パルサー星雲については、かに星雲に見られるように、トーラスと双極ジェット状の構造が一般的のよう

に思われている (Crab, Vela, ...)。(Pulsar Nebula の Chapter で議論する)

5.4 問題提起

観測から分かるパルサーの３つの actvitity

56 第 5章パルサーとはどのような天体か?

３つの活動エネルギー配分のおおよそのめあす。電波放射電波放射は高い Brightness Temperatureを示す。(T ∼ 1029) 高エネルギー粒子加速とそれに続く beam-plasma 相互作用が示唆される。 Lradio ∼ 10−6 (5.15)

相対論的に加速された星風 Crab Pulsar の周りにはシンクロトロン放射で光る Nebula が見える。Pulsarからでている相対論的な磁化したプラズマ流 (PulsarWind とよんでいる)が Nebulae を励起していると考えている。加速プラズマの Bulk なながれのローレンツ因子は 107程度と推定されている。CrabではWindは Disk-Jet 構造を示す。

Ewind ∼ E (5.16)

90年代にはいって X-ray および γ 線パルサーとして

再認識された。これは、磁気圏内で加速された粒子に

よる直接的な放射とみられる。 Eγ ∼ 0.001 − 0.3E (5.17)

the older, the more efficient

これに加えて、もうひとつおもしろい現象は電子・陽電子対生成。Wind の密度、および、電波の増幅機構からプラズマ密度が (Goldreich-Julian density より)高いと思われる。そのため、磁気圏内では電子・陽電子対が生成していると考えられている。

かくしてパルサーの問題で重要なのは、

• Pulsar Wind の加速機構。特に、加速効率がよいのか (99%以上)？なぜ、disk-jet という構造をとるのか？

• どのようにして磁気圏内で粒子 (<∼ TeV)を加速するのか？（多分、E‖ による)

• 電波放射の機構

しかも、これらはすべて絡んでいる。E‖による加速の結果、電子陽電子が作られ、電波の増幅が可能に

なり、Pulsar wind が存在できる。しかし、あまり電子用電子を作り過ぎると E‖は弱められるだろう。磁

気圏は孤立系で自律的に構造が決まっている。したがって、モデルは磁気圏全体を捉えたグローバルモデ

ルでないといけない。たとえば、E‖加速領域のモデルだけを完成させることは出来ない。加速領域の電流

密度によって領域の構造は変化するが、その電流密度は局所的に決まらず、Pulsar windを含めた全磁気圏のことを考えないと決まらない。

references

Michelson, P.F., 1994, ”Towards a Major Atmospheric Cerenkov Detector III”, ed. Kifune,University Academic Press, Tokyo, page 257.

Aharomian, F.A., 1994, ”Towards a Major Atmospheric Cerenkov Detector III”, ed. Kifune,University Academic Press, Tokyo, page 227.

Hartman, D.H., 1995, AAp Rev, 6, 225Seward, F.D., Wang, Z.-R., 1988, ApJ, 332, 199Ogelman, H., 1991?, in ”Lives of Neutron Stars”, eds. J. van Paradijs and A. Alper, (NATO

ASL), Kluwer.

5.4. 問題提起 57

Becker, W., Trumper, J., 1997, AA. 326, 682Takahasi,M. et.al., 2001 ApJ in press

59

第6章パルサーの電気力学 —その原理—

6.1 簡単な問題?

真空中に置かれた回転するマグネット。マグネットの周りの空間の振舞いを調べよ！

たぶん、問題はこのようにはっきりしていてシンプルである。しかし簡単ではない。

6.2 真空モデル: 磁気双極子放射

古典物理では回転する磁石は磁気双極子放射として電磁波を放射する。放射率は、

P =23

µ2mΩ4

c3sin2 α (6.1)

で与えられる。ここで、µm は磁気モーメント、Ω は自転各速度、α は磁気モーメントと回転軸とのなす角

である。かにパルサーであれば P = 33 ms であるので、約 33 Hz の電磁波が出ることになる。この放射の反作用としてパルサーは自転周期が徐々に遅くなる。

ここでは回転する磁石、つまり、パルサーの周りは真空であると考えている。しかし、真空と考えると星

の起電力による誘導作用で強い磁力線に沿った電場が星の表面近くで発生することになる。(詳しくは次章で扱う)

6.3 プラズマの存在する磁気圏

誘導電場はたいへん大きいので電気力によって電荷を星表面から引き出すことができる。これは、沿磁

力線電場の存在する限り続くと思われるので、磁気圏内で E‖ = 0 になるようにプラズマが満たされた磁気圏が想像された (Goldreich & Julian 1969)。このプラズマは中性子星の重力に抗して電気力で支えられているので、完全に電荷分離したプラズマである。負の空間電荷密度のところは電子ばかり、正の空間電

荷密度のところはイオンばかりからなるプラズマである。E‖ = 0 になるように配置された空間電荷密度をGoldreich-Julian desity と呼ぶ。惑星磁気圏や太陽表面現象になじみ深い読者は「完全に電荷分離したプラズマ」という考えを受け入れ

にくいかも知れない。なぜこのようなことになったかは、以下のように考えるとわかり易い。通常の準中

性のプラズマの磁気圏を考える。地球磁気圏とか木星磁気圏。星が回転すると誘導起電力による電位差が

磁気圏プラズマにも伝わり、磁気圏プラズマはごくわずかの電荷分離を作り、E‖ をスクリーンして E⊥を

発生させる。この時、磁力線は等電位になる。そして、E × B ドリフトでプラズマは星とともに共回転す

るようになる。これが普通起こる回転による誘導現象である。パルサーの場合、磁場が極端に強く自転も

極端に早い。そのため誘導起電力が巨大で誘導分極もなみはずれている。イオンと電子の密度差を最大限

広げる、つまり、電子ばかり、イオンばかりになってもまかない切れないほど電荷分離が強くなっている。

結果としてプラズマは完全電荷分離したプラズマとなったわけである。最近は、純粋な電子ガスのみを閉じ

込めて実験できるようになったのでこの完全電荷分離したプラズマのおもしろい性質が実験室でも研究で

きるようになった。

60 第 6章パルサーの電気力学 —その原理—

Goldreich-Julian のモデルにはさまざまな欠陥が指摘されているがそれには触れないことにする。われわれは先に進む。

かに星雲の研究からパルサー磁気圏はもっとプラズマが豊富であることがわかってきた。かに星雲はパル

サー磁気圏からの星風によって輝いている星雲である。星雲のモデルは別の章で扱うが、ここでわかったこ

とはパルサーから星雲に供給されている粒子数が 1038 paritcles/sec 程度であることであった。Goldreich-Julian 密度のプラズマが光速ででてきたとしてもこの粒子数の 1/1000 にすぎない。つまり、プラズマは実は Golereich-Julian 密度よりずっと大きい準中性プラズマと考えた方が良さそうだということである。プラズマの供給には pair creation (電子陽電子対生成) という過程が実際に起こりそうである (Sturrock

19??)。大方の見方は以下のようである。

1. 磁気圏の何処かに局所的に沿磁力線電場が維持されている。そこで磁場に沿った粒子加速が起こっている。加速電圧は 1012 − 1013 eV である。

2. 加速された粒子は、磁場に沿って運動する時、磁力線が曲率を持っているため、制動放射を放射するこの時の光子のエネルギーは GeV 以上で、2mec

2 を遥かに越えている。

3. このガンマ線光子は周りの強磁場あるいは中性子からの熱放射 (X線)などと相互作用して電子陽電子対を作る。

4. 準中性の電子陽電子対プラズマがパルサー風として吹き出す。

5. ペアを作らなかった高エネルギー光子はパルス放射として観測される。

6. ペアプラズマと加速粒子ビームの不安定から波が励起され、これが電波放射の起源となる。

90年代かけてこのような見方が出てきたが (Shibata 1991)、検証してみなの了解を得るには至っていない。でも、かなり真実に近いのでないか？

6.4 Unipolar Inductor Model

• 磁場中を回転する導体円盤には起電力が発生する。(Unipolar Inductor)

• 回路を確立すると、回転エネルギーが取り出せる。

• 連続的に運転しているときは、角運動量を系から同時に抜き取る機構が付随している。パルサーの場合、エネルギー・角運動量の開放の重心は半径 c/Ω ≡ RL の円柱 (light cylinder) にある。

• 回路にはMHD加速器としての Pulsar Wind と、ペアプラズマを作る線形加速器としての Polar Capaccelerator および Outer Gap accelerator が考えられている。さらに、Wind は ideal-MHD で扱えず、non-ideal MHD が重要な効果を持っている可能性がある。

6.5 Quiet Pulsar vs Active Pulsar

• 真空中におかれた中性子星にたいする軸対称のモデルでは４重極電場が誘導されている。このとき荷電粒子は容易に中性子星から引き出される。(Goldreich-Julian 1969) 電子は容易に引き出されるが、陽イオン・陽電子は磁気圏から容易にでられない。

• プラスに帯電した中性子星のまわりに完全に電化分離した有限な大きさをもった雲が形成される。雲の外は真空である。雲と真空の境界は安定である。(Michel’s Quiet Model)

6.5. Quiet Pulsar vs Active Pulsar 61

• 軸対称磁気圏はエネルギーの放出がない (Unipolar modelは働かない)、そして、斜であることが本質であるとする考え方がある。

• 一方、真空のギャップは電子用電子対生成にたいし不安定なので、(準)定常的に粒子を加速し、(準)定常的に電子用電子を生産し、Pulsar wind を形成するとするモデルがある。(Shibata 1991) このとき、E‖ は維持される。

63

第7章パルサーの動作原理 I

7.1 回転する導体に現れる起電力

一様に磁化した導体球を真空中に初め静止させ、これを徐々に回転させる。この時何が起こるかを考えよ

う。(回転を初める前の導体は帯電していないと考えるのが自然であるが後の一般化を考えて導体は電荷 q

を持っていると仮定する。この電荷は表面に一様に分布している。)静止している時の導体球 (半径 R ) の内外のベクトルポテンシャルと磁場はそれぞれ

A< =µ × r

R3, B< =

2µ

R3(7.1)

A> =µ × r

r3, B> =

3(µ · r)r − µ

r3(7.2)

で与えられる。r は球の中心からの位置ベクトル、µ は磁気モーメント、r = |r| 、r = r/r である。磁化

軸 (z軸)を極に採って球面極座標 ( r, θ, φ ) を張ると、磁場は

B< =2µm

R3ez =

2µm cos θ

R3er −

2µm sin θ

R3eθ (7.3)

B> =2µm cos θ

r3er +

µm sin θ

r3eθ (7.4)

と表せる。極磁場 Bs と µm は Bs = 2µm/R3 で結ばれている。

導体球を回転させると、導体球を構成する荷電粒子は Lorentz 力をうけるが、なかでも自由電子はこれにすばやく反応し、電子に働く正味の力がゼロになるように分布 (分極)する。こうして導体内では理想 MHD条件

E +1cv × B = 0 (7.5)

が成り立つ。導体を構成するイオンと電子の相互作用 (摩擦)があるため (7.5)式における速度場は剛体回転

v = Ωs × r = Ωs$et ≡ uc (7.6)

である。ここで、Ωs は回転の角速度ベクトルであり、また、円柱座標 (z, $, ϕ) も今後併用することにする; et は単位トロイダルベクトル (ϕ方向) である。(7.5) と (7.6) 式より導体内の電場は、

E< = −1cuc × B (7.7)

であることがわかる。

以下では簡単な場合として磁化の軸と回転軸が一致する軸対称の場合 (∂/∂ϕ = 0) を考えよう。軸対称の時はポロイダル磁場 (磁場の子午面内成分、ez と e$ から作られる成分) は、ベクトルポテンシャルよりもψ = $A · et = r sin θAϕ で定義される流れ関数を用いた方が扱いやすい。ポロイダル磁場は、

Bp = −et

$×∇ψ (7.8)

64 第 7章パルサーの動作原理 I

と表される。ψ =const. で表される曲線は子午面内の磁力線を与える。導体球内外の流れ関数は (7.1) と(7.2) 式と流れ関数の定義より、

ψ< =µmr2 sin2 θ

R3ψ> =

µm sin2 θ

r(7.9)

で与えられる。

回転している時の電場は軸対称性のため∇×E = 0なので、スカラーポテンシャル φを用いて E = −∇φ

のように表せる。導体内のスカラーポテンシャルは (7.7) に (7.8) を代入すると簡単に積分できて、

φ< =Ωs

cψ + const. (7.10)

=Ωsµm

cR3$2 + const. (7.11)

=Ωsµm

cR3r2 sin2 θ + const. (7.12)

と求められる。

球の外の φ は

52φ = 0 (7.13)

を満たし、球の表面で φ< と連続になることから1、

φ> = −µmΩsR2

cr3(cos2 θ − 1

3) +

q

r(7.14)

と求められる2。ここで、φは無限遠方で 0 とし、導体球の総電荷を q とした。初めになにがしかの電荷q を与えた場合のこともここでは考えることにした。この電荷は実際には球の表面に分布することになる。

φ(∞) = 0 としたことによって (7.10)式の定数が定まって、

φ< =µmΩs

cR

($2

R2− 2

3

)+

q

R(7.15)

となる。

球内外の電場は、

E< = −∇φ< (7.16)

= −2µmΩs

cR3$e$ (7.17)

E> = −∇φ> (7.18)

=[−3µmΩsR

2

cr4

(cos2 θ − 1

3

)+

q

r2

]er (7.19)

−[2µmΩsR

2

cr4cos θ sin θ

]eθ (7.20)

である。

以上のことから、回転による誘導記電力によって導体球に電位差が発生し (赤道が高電位、極が低電位)、球の周りには四重極の電場が発生することが分かる。

1φ が連続であれば球の表面で接線成分 Eθ が自動的に連続になる。2無限遠方で発散しない一般解は

φ> =

∞∑

l=0

B`r−(`+1)P`(cos θ)

であることを利用。ここで、P` はルジャンドル関数.

7.2. Problem 65

球の表面では電場の r成分が不連続であるので表面電荷がある。その面電荷密度は

σ =14π

(Er> − Er<) (7.21)

=q

4π+

µmΩs

4πcR2(3 − 5 cos2 θ) (7.22)

である。一方、導体内部には ρe = −(µmΩs/πcR3) なる電荷密度が分布している。この内部の総電荷(−(4/3)(µmΩs/c))と表面電荷の合計の和が qに等しくなっている。

7.2 Problem

1. (7.1), (7.2) において、与えられたベクトルポテンシャルから磁場が求められることを確認せよ。また、確かに ∇ · B = 0 に成っていることを確かめよ。

2. ある与えられた面において磁場の法線成分と電場の接線成分が常に連続であることを示せ。式で書くと

[E · n] = 0, [E · T] = 0 (7.23)

ここで、[ ]は面の前後での括弧内の量のジャンプを意味し、n, T は法線および接線方向の単位ベク

トルである。

一般に、電場の法線成分と磁場の接線成分は不連続になり得る。このとき各量のジャンプ量と存在す

る面電荷密度と面電流密度を結ぶ式を作れ。

3. 軸対称のとき、ポロイダル磁場はベクトルポテンシャルのトロイダル成分から

Bp = −et

$×∇($Aϕ) (7.24)

によって求められることを示せ。また、ψ ≡ $Aϕ は磁力線に沿って一定であることを示せ。

4. (7.10) を導け。

5. Laplace の方程式の一般解を用いて (7.14)を導け。

6. (7.22) を導け。

7.3 動作原理

エネルギー収支

角運動量収支

これから、回路の大きさが light radiusRL =

c

Ωs(7.25)

になることが分かる。

利用できる電圧も分かる。

VL ≈ µmΩ2s

c2(7.26)

電流はエンジンの仕組みに関わる量ですぐに分からない。次元解析から、予想される量

IL ≈ µmΩ2s

c(7.27)


二極管モデルでも同じ。

パルサーの出力

E ≈ µ2mΩ4

s

c3(7.28)

このパワーを回転エネルギーの減少に等しいとおく: −=ΩsΩs = (2/3)µ2mΩ4

s/c3

これによって中性子星の磁場強度が推定できる。

µ30 = 1.0√

P−15P (7.29)

B12 = 2µ30R−36 (7.30)

7.4 Quitet Model

中性子性表面では、

熱¿重力¿電磁力 (7.31)

真空中に磁化した導体をはじめ静止させておき、その後じょじょにスピンアップさせると、何が起こるか

を考える。

先ず起電力が発生。そのために、周りの空間に誘導電場が現れる。E‖ 6= 0であることに注意。表面でもそうだから、表面電荷が現れる。全電荷は free parameterである。面電荷は強烈な力を受けて引っ張り出される。

仕事関数の問題。

GJ ModelQ < 0の場合、plasma-vacuum boundary がE ·B = 0になる面ができて定常になる (Quiet Model)。こ

れによって系の全エネルギーは最低になる。一種のデバイ遮蔽である。

このモデルは磁気圏の構造を考察するうえでは大変重要である。しかし、実際のパルサーは先に考察した

ような電流系を形成して活動的になっている。次のような二つの場合に電流系が形成される。一つは、Q = 0の場合。この場合共回転する電子の雲は光円柱に達する。粒子のローレンツ因子が大きくなり磁場を横切っ

て運動するようになる。そのため、電子は磁気圏を循環し閉じた電流系を作る。もう一つは、vacuum spaceには強い磁力線に沿った電場があるために電子陽電子対生成に対して不安定であることによる: vacuumspace に cosmic ray が迷いこんだという摂動を考えると、磁気圏に入った cosmic ray はただちに E‖に加

速され続いて多量の電子陽電子対を形成する。磁気圏に一種の放電が起こり電流系が形成される。これに

ついてはこのあとの章で詳しく議論する。

文献

Krause-Polstorf, J., Michel, F.C., 1985, AAp, 144, 72-80Shibata, S, 1994, Mon. Not. R astr. Soc. 269, 191-198

7.5. Appendix: formulae for oblique rotator. 67

7.5 Appendix: formulae for oblique rotator.

We derive basic formulae for the obliquely rotating magnetosphere in this appendix. The principalassumption is the steadiness condition: for any scalar field ξ, we assume

ξ(t, r) = ξ(t, z, $, ϕ) = ξ(0, z, $, ϕ − Ωst), (7.32)

where we use the cylindrical coordinates (z, $, ϕ) with z-axis coinciding with the rotation axis; for anyvector field b, noting that its components in the cylindrical coordinates do not change by rotation at acomoving point, we assume

b(t, r) =

bz(t,$, ϕ, z)b$(t,$, ϕ, z)bϕ(t,$, ϕ, z)

=

bz(0, $, ϕ − Ωst, z)b$(0, $, ϕ − Ωst, z)bϕ(0, $, ϕ − Ωst, z)

. (7.33)

By using the steadiness condition, we can always eliminate time derivatives in the equations considered.Partial time derivative of (7.32) and (7.33) yields the differential form of the steadiness condition asfollows: [

Dξ

Dt

]

rot

≡(

∂

∂t+ Ωs

∂

∂ϕ

)ξ = 0, (7.34)

and [DbDt

]

rot

≡(

∂

∂t+ Ωs

∂

∂ϕ− Ω∗×

)b = 0. (7.35)

(7.35) is also obtained directly form the relation, [D/Dt]rot = [D/Dt]inertial + Ω∗×, where the total timederivative in the inertial frame is written as [D/Dt]inertial = ∂/∂t + uc · ∇. Another way to obtain (7.34)and (7.35) is to introduce a rotating frame with a suitable choice of time t′ for the rotating frame andto assume ∂/∂t′ = 0 (Kaburaki 1978). In this Appendix, however, we will not move into any rotatingframe, but are always in the observer’s frame, just assuming (7.34) and (7.35).

The corotation vector defined by uc = Ω∗ × r = Ωs$et is useful, where et is the unit toroidal vector.For example, uc · ∇ = Ωs∂/∂ϕ, ∇ · uc = 0, ∇× uc = 2Ω∗, (b · ∇)uc = Ω∗ × b, and with the help of thesteadiness condition, we have

∇(uc · b) = −∂b∂t

+ uc × (∇× b), (7.36)

and∇× (uc × b) =

∂b∂t

+ uc(∇ · b). (7.37)

The non-corotational potential is defined by

Φ ≡ φ − 1cuc · A, (7.38)

where φ and A are the scalar and vector potentials. Taking gradient of (7.38), and using the steadinesscondition in the form (7.36), we get

E = −1cuc × B −∇Φ, (7.39)

where the first term is the corotational electric field and the second is the non-corotational electric field.The ideal-mhd condition, E + V × B/c = 0, is reduced to

1cW × B = ∇Φ, (7.40)


whereW = V − uc (7.41)

represents the difference of the actual motion from pure corotation. If the star is a rigidly rotating perfectconductor (W = 0), Φ =constant on the stellar surface. Furthermore, since B · ∇Φ = 0, the constantpropagates along the magnetic field into the magnetosphere. Therefore, unless the ideal-mhd conditionis violated somewhere between the star and the point considered, we have

Φ = const. = 0, (7.42)

W = κB, (7.43)

E = −uc × B/c, (7.44)

where the constant is taken as 0 for latter convenience, and κ is the scalar function to be determined.For the discussion of the closed flux domain in § 4.1, if the ideal-mhd condition is satisfied and if thereis no south to north flow, then κ = 0, and we conclude

V = uc. (7.45)

This cannot hold beyond the light cylinder suggesting the violation of the ideal-mhd condition in theclosed flux domain.

In such a case that the ideal-mhd condition is satisfied in a region considered, but is violated in betweenthe region and the star, non-corotational electric field does not vanish and causes a drift motion, i.e.,from (7.40),

W = κB + W d, (7.46)

whereW d = −c∇Φ × B/B2. (7.47)

For the axisymmetric case, the drift motion can be absorbed in the isorotation term with introduction ofthe ‘angular velocity of the field’, Ωf :

V = Ωf(ψ)$et + κ′B, (7.48)

whereΩf(ψ) = c

dφ

dψ= Ωs + c

dΦdψ

(7.49)

and κ′ = κ − (dΦ/dψ)$Bϕ/B2; ψ is the magnetic stream function to define the poloidal magnetic fieldby Gp = −(t ×∇ψ)/$. (Ψ ≡ 2πψ is used in the text.)

The mass conservation law is represented by

∂n

∂t+ ∇ · (nV ) = B · ∇nκ + ∇ · (nW d) = 0, (7.50)

where ∂n/∂t has been cancelled by ∇ · (nuc).Equation of motion for relativistic mhd flow may be written as

n (∂/∂t + V · ∇) (mγV )

= n[∂(mγV )/∂t + ∇(mc2γ) − V × (∇× mγV )

]

= J × B/c + qE. (7.51)


Although the above one fluid model may be applied to the pair plasma outflow, the acceleration regionsare best described by the multi-component model, for which the equation of motion of particle species‘s’ would be in the form,

esnsV s

c× B + esnsE = ns

(∂

∂t+ V s · ∇

)(msγsV s)

+nsPs

c

V s

c+ (other forces), (7.52)

where the second term of RHS represents the radiation drag force, and at high γ, Ps = (2e2s/3c3)γ4

s |V s ×(∇× V s)|2 = (2e2

s c/3Rc)γ4s ; Rc the radius of curvature. The RHS of (7.52) represents a sink of energy

and angular momentum while the LHS can be regarded as the source.Consider a surface S which is in the pair plasma outflow and which encloses the star and the acceleration

region: outside and on the surface S, the ideal-mhd condition is assumed to be satisfied, while somewhereinside the surface S, a field-aligned electric field exits.

The scalar products V s·(7.52) and uc·(7.52) yield the energy and angular momentum conservationlaws, respectively. Note that uc·(force density) = Ω∗ · [r× (force density)] = Ωs (z-component of thetorque density). The volume V represents the magnetosphere inside of S (star itself is not included). Thereleased energy in the volume V is

EV =∑

s

∫

VJ s · E dV =

∫

VJ · E dV, (7.53)

where J s = esnsV s. The released angular momentum dLs in unit volume for the particle species ‘s’ iswritten as

ΩsdLs = uc · (esnsE + esnsV s

c× B)

= (J s − qsuc) · ∇Φ + E · J s, (7.54)

on use of (7.39), where qs = esns. Therefore the released angular momentum times Ωs in the volume is

ΩsLV =∫

V(J − quc) · ∇Φ dV +

∫

VE · J dV. (7.55)

The deficit in angular momentum loss is then evaluated by

EV − ΩsLV = −∫

V(J − quc) · ∇Φ dV

= −∫

SΦ(J − quc) · da, (7.56)

where we have used the charge conservation law in the last modification and the fact that Φ = 0 on thestellar surface.

For the inner accelerator well within the light cylinder, the energy release is mostly in field-alignedacceleration, J s · E ≈ J s · (−∇Φ), because trans-field motion cannot be significant, and the convection-current term is modest, |J s| À |qsuc| = |esnsΩs$|, so that, from (7.53) and (7.55), the released energyand angular momentum is estimated as

Ein ≈∫

J · (−∇Φ)dV, Lin ≈ 0. (7.57)

As is expected, it follows from (7.57) that the inner accelerator causes the deficit in the angular momentumloss:

Ein − ΩsLin > 0. (7.58)


For the plasma outflow, with the ideal-mhd condition holding, we similarly take the scalar productsV ·(7.51) and uc·(7.51) for the energy and angular momentum conservation. The energy source term,i.e., the RHS of the scalar products V ·(7.51), is

V · (J × B/c) = E · J = −J · ∇φ (7.59)

on use of the ideal-mhd condition, while the source term for the angular momentum, i.e., the RHS ofuc·(7.51), is

uc · (J × B/c + qE)

= uc · (Jp × Gp/c) − quc · ∇Φ, (7.60)

where (7.39) is inserted, and the subscript ‘p’ indicates the poloidal component (normal to uc) in anon-axisymmetric system. Thus, we have the precise expression for the intuitive argument that thereleased energy and angular momentum are, respectively, proportional to how much potential differenceand magnetic flux are crossed by the current, with the correction to obliquity, −quc ·∇Φ, for the angularmomentum loss. Although the argument is not precise for the evaluation of angular momentum loss ofoblique rotators, one can certify the final conclusion that the deficit in angular momentum loss, which iscaused by the inner accelerator, is recovered by efficient loss by the wind. (Showing this is the main aimof this Appendix.)

To obtain the energy conservation law for the mhd wind, we note

∂(nmc2γ)∂t

+ ∇ · (nmc2γV )

= nmc2 ∂γ

∂t+ nV · ∇(mc2γ) (7.61)

= nV · ∂mγV

∂t+ nV · ∇(mc2γ), (7.62)

where (7.50) and ∂γ/∂t = (γ3/c2) V · (∂V /∂t) have been used. The last expression (7.62) coincides withthe LHS of the scalar product of (7.51) with V . For the source term, we have

E · J = −∇ · (cE × B

4π) − ∂

∂t

B2 + E2

8π

≡ −∇ · S − ∂U

∂t, (7.63)

where S and U are the Poynting flux and the electromagnetic energy density, respectively. Then, elimi-nating time derivative by ∂/∂t = −uc · ∇ for scalar fields and using ∇ · uc = 0, we obtain

∇ · FE = 0, (7.64)

whereFE = nmγc2W + S − Uuc. (7.65)

For the angular momentum conservation, the LHS of uc·(7.51) is modified by using, successively,

uc × [∇× (mγV )] = ∇(mγuc · V ) +∂(mγV )

∂t, (7.66)

which is obtained if b is replaced by mγV in (7.36),

nV · ∂mγV

∂t= nmc2 ∂γ

∂t= −nuc · ∇(mc2γ), (7.67)


and (7.50) to obtain

LHS of (7.51) = −uc · ∇(nmγV · uc) + ∇[nmγ(V · uc)V ]. (7.68)

For the LHS, we must note the charge conservation, ∇ · (J − quc) = ∇ · J + ∂q/∂t = 0:

RHS of (7.51) = uc · (1cJ × B) − quc · ∇Φ (7.69)

= E · J + (J − quc) · ∇Φ (7.70)

= E · J + ∇ · [(J − quc)Φ]. (7.71)

Then, we arrive at∇ · FL = 0, (7.72)

whereΩsFL = nmγ(uc · V )w + S − Uuc − (j − quc)Φ. (7.73)

With the help of (7.46) and

∇ · S =c

4π∇ ·

[(−uc

c× B −∇Φ) × B

](7.74)

= −B · ∇(

uc · B4π

)+ uc · ∇

(B2

4π

)

+∇ ·(

B2

4πW d

), (7.75)

the energy conservation law (7.64) is rewritten as

B · ∇(

nκmc2γ − uc · B4π

)+ uc · ∇

(B2 − E2

8π

)

+∇ ·[(nmc2γ +

B2

4π)W d

]= 0. (7.76)

When the plasma flow is not only under ideal mhd but is also axisymmetric, uc · ∇ = 0 and W d iseither zero or absorbable into the isorotation, so (7.76) reduces to the familiar form. In general thereare also the transport term uc · ∇(B2 − E2)/8π in the azimuthal direction and the term involving thenon-isorotational drift motion W d.

The energy flow across S is identified as∫S FE ·da. If S is the wind base, where the plasma is injected,

then the term nmc2γW out of FE represents a part of the energy released in the accelerator within S(the rest is radiated away within S). Therefore, the net wind power (as the centrifugal accelerator) isgiven by

Ewind =∫

SF0 · da, (7.77)

where F0 = S−Uuc, and note that S is the wind base. Some part of Ewind is converted into the plasmakinetic energy as the wind flows out. The efficiency of the conversion is controversial (Coroniti 1990,Begelman & Li 1994, Michel 1994). The angular momentum given to the plasma within S, representedby nmγ(uc ·V )W in (7.73), must also be subtracted for the angular momentum loss by the wind, whichis then given by

ΩsLwind =∫

SF0 · da −

∫

SΦ(j − qu) · da,

= Ewind −∫

SΦ(j − qu) · da. (7.78)


As we have seen that −∫S Φ(j − qu) · da > 0 [(7.56) and (7.58)], ΩsLwind > Ewind: the wind carries off

angular momentum efficiently. Comparing (7.56) and (7.78), we find that the excess loss just compensatesfor the deficient loss. As has been mentioned earlier, this result is embedded in the Newton-Maxwellsystem of equations and the boundary condition. The point is that the deficient loss of angular momentumin the volume V is recovered by the wind with Ωw ≡ Ewind/Lwind < Ωs.

With the help of (7.37), Ampere-Maxwell law yields

4π

c(J − quc) = ∇× (B − 1

cuc × E). (7.79)

We integrate (7.79) over a surface whose boundary is a ring with its axis coinciding with the rotationaxis to find

2π$〈Bϕ〉 =4π

c

∫J · da, (7.80)

where 〈Bϕ〉 is the averaged toroidal field along the ring. Therefore, if the poloidal current is closed ineach hemisphere above and below the ring, 〈Bϕ〉 = 0. For axisymmetric case, Bϕ = 0.

Another expression for (7.79) is4π

c(J + Jd) = ∇× B (7.81)

whereJd =

14π

[−uc

c× B + ∇(uc · ∇Φ)

](7.82)

is the displacement current, and B = −Ωs(∂Bz/∂ϕ, ∂B$/∂ϕ, ∂Bϕ/∂ϕ).Finally, the divergence of (7.39) yields

4π(q +Ω∗ · B

2πc− J · uc

c2) =

[−52 +

(uc · ∇)2

c2

]Φ. (7.83)

73

第8章電子陽電子対生成

Notations: c: 光速、Ωs: 星の回転角速度、P = 2π/Ωs: 周期、Rs: 星の半径、µm: 星の磁気モーメント、µ30 = µm/1030Gcm3、RL = c/Ωs:光半径、m:電子の質量、電子陽電子対生成には次のようなプロセスが考えられる: まず、加速粒子からガンマ線が放射される。こ

れは curvature radiation と inverse compton effect による。放射されたガンマ線から電子陽電子対が作られる。周囲の磁場が強いと、その場を virtual photon として衝突し (magnetic pair creation)、また周りに十分な soft photonsがあればそれと衝突して (photon-photon collision)電子陽電子ができる。

加速粒子

(e±)=⇒

Curvature γ-rayInverse Compton γ-ray

=⇒withB → e±

with soft photon → e±(8.1)

できたペアプラズマは synchrotron coolingを受け冷える。以下それぞれのプロセスについての見積を行なう。

8.1 電子陽電子対形成の素過程

Curvataure γ-Ray

エネルギーmc2γ の粒子の放射する典型的 curvature photon energy hνc は

hνc

2mc2=

34

h/mc

Rcγ3 =

(γ/3.25 × 105)3

(Rc/10km), (8.2)

粒子あたりのパワーは

Pc =23

e2

c3γ4

(c2

Rc

)2

, (8.3)

ここで、Rc は粒子の運動の曲率半径である (e.g., Berezinskii 1990)。一つの加速粒子の生成する光子の数は単位時間あたりおよそ Pc/hνc。粒子が L進む間にわたってこの放射が続くとすると、一つの加速粒子の

作る光子の総数は

Nc =Pc

hνc

L

c=

49α

L

Rcγ, (8.4)

である (α = e2/hc ≈ 1/137は微細構造定数)。大変強い電場加速がある場合、加速粒子は放射の反作用を受ける。そのために決まる粒子のエネルギーの

上限が存在する。この値は、

power by reacting force ≈ acceleration power (8.5)

Pc ≈ eE‖c (8.6)

から求められる。ここで、E‖は加速電場である。加速電圧 Vaccで加速される最高エネルギー εacc = eVacc =eE‖Lacc ( Lacc は加速領域の長さ) を用いると、到達できる最高の Lorentz factorは

γmax ≈ 1.597 × 106ε1/4acc

(R2

c/Lacc

10km

)1/4

, (8.7)

74 第 8章電子陽電子対生成

で与えられる。(εacc = 1erg = 0.624 TeV は便利な単位、条件 (8.5)は電場に対するものであるので (8.7)に Lacc が現われることに注意。) このようなことの生じる電圧 V は、mc2γmax = εacc とおいて、

eV ≈ 1.429

(R2

c/Lacc

10km

)1/3

(8.8)

で与えられる。Polar Cap では Rc À 10kmで、Lacc ¿ 10km なので、TeVの加速では satulation は起こらない。

Inverse Compton γ-ray

energy hν の soft photonが加速された e± (Lorentz因子 γ) によって散乱されたとすると、反跳 photonのエネルギーは平均的に

hνIC =43γ2hν (8.9)

orhνIC

2mc2=

43

γ2hν

2mc2=

( γ

875

)2(

hν

1eV

)(8.10)

入射光子のエネルギー密度を Uph として、電子 (陽電子)一個あたりの powerは

PIC =43σTcγ2Uph, (8.11)

ここで、σT = (8π/3)(e2/mc2)2 = 6.652 × 10−25cm2 はトムソンの散乱断面積。

逆コンプトン効果によるガンマ線の生成率は PIC/hνIC で、これが Lの長さに渡って生じるとすれば、一

つの電子 (陽電子)が生成するガンマ線の総数は

NIC =PIC

hνIC

L

c= σTL

Uph

hν= σTLnph (8.12)

nph は衝突される光子の数密度で、結果は当然と言える。nph を何で規格化すると便利かが問題である

が、Spindown Luminosity E0 = µ2mΩ4

s/c3 = 5.785 × 1031(µ230P

−4)erg/sec と、パラメータ ηph を用いて、

Uph = ηphE/4πR2c = 1.535 × 108ηphµ230P

−4(R/10km)−2 と表すことにする。このとき、

NIC = 63.7ηph(L/10km)

(hν/1eV)(R/10km)2µ2

30P−4, (8.13)

あるいは、soft photon Luminosity Eph を用いて、Uph = Eph/4πR2c

NIC = 1.10 × 108 (Eph/1038erg/sec)(L/10km)(hν/1eV)(R/10km)2

(8.14)

を得る。例えば、Eph ∼ 1036erg/sec, R ∼ L ∼ 500Rs, hν ∼ 2eV, のときNIC ∼ 1000である。上の議論は、散乱される soft photonのエネルギーが十分小さく γhν ¿ mc2 の場合である。γhν À mc2

になると、ほとんど一回の散乱ですべてのエネルギーを photonに与える (hνIC ∼ γmc2) ようになる。この時の断面積は σ ∼ π(e2/mc2)2(mc2/γhν) 程度に小さくなる。

Magnetic pair criation

磁場による電子陽電子対生成のmean free pathは次の式で表される (Erber 1966):

LB =4.4α

h

mc

Bq

B⊥exp(

43χ

) (8.15)

χ =hν

2mc2

B⊥

Bq¿ 1, (8.16)

8.2. Plasma Injection Rate 75

ここで、Bq = m2c3/eh = 4.41 × 1013G、B⊥ は光子の進行方向に垂直成分の磁場の強度、ν はペアにな

る光子の振動数。LB は指数関数のなかの χによってほどんど決まってしまう。実際、χ ≈ 1/18になれば磁気圏のどこでもmean free path は十分小さくなってペアを作ることになる。磁場の接線方向に光子が出たとき、B⊥ = 0であるが、磁場が曲がっていると travelしていくうち垂直成分が現われ、LB だけ進むと

B⊥ ≈ BLB/Rc になる (Rc は磁場の曲率半径)。この時、ペア生成のmean free pathは

hν

2mc2

LB

Rc≈ 1

18Bq

B= 2.45B

−112 (8.17)

ここで、B12 は 1 × 1012G 単位の磁場強度である。特に、光子が curvature photonで、磁場が双極子で近似されるとき (Rc/R0 =

√RL/R0)、

34

h/mc

R0γ3 LB

R0

R0

RL≈ χ

Bq

B(8.18)

これは数値的には、

(γ

7.39 × 106

)3LB

R0P−1B12 ≈ 1, or

(mc2γ

3.77 × 1012eV

)3LB

R0P−1B12 ≈ 1. (8.19)

Pairs by Photon-Photon Collision

高エネルギーガンマ線 hν1 があると、別の光子 hν2 と衝突して、電子陽電子対を生成するプロセスがあ

る。このプロセスが起こる確率が一番大きくなるのは、hν1hν2 ≈ 1.7(2mc2)2の時であり、これより高エネルギーでも低エネルギーでも衝突断面積は減少する。上の条件を満たすとき、衝突断面積はトムソンの断

面積の程度である。以上をまとめると、

hν2 ≈ 1.7(2mc2)2

hν1≈ 1.7eV

(hν1/TeV)(8.20)

σ ≈ 1 × 10−25 cm2. (8.21)

従って、一つの γ-ray から a pairが作られる、確率は逆コンプトン γ-rayの数と同様の式で現され、

Pr(hν1 + hν2 → e±) ≈ 10ηph(L/10km)

(hν/1eV)(R/10km)2µ2

30P−4, (8.22)

= 0.6(Eph/1030erg/sec)(L/10km)

(hν/1eV)(R/10km)2(8.23)

と見積られる。

8.2 Plasma Injection Rate

Polar Cap

加速電圧は従来のモデルを踏襲してVacc = 1013Vとして考える (Ruderman, Sutherland, 1975, Daugherty,Harding, Shibata, 1991) 。この時、γ = eVacc/mc2 = 1.957 × 107, εacc = 16.02。Polar Cap 近傍でのcurvature radiusは、

Rc ≈√

RL

R0R0 = 69.07

P 1/2

(R0/10km)1/2R0 (8.24)

放射の反作用による γ の上限は (8.7)より γmax ≈ 2.655 × 107 [P (R0/Lacc)(εacc/10TeV)]1/4 なので、sat-ulationは起きていない。(8.19)より Curvature photonsは十分短い距離 LB ≈ 5.385 × 10−2(PB−1

12 )R0 で

76 第 8章電子陽電子対生成

ペアを作る。一つの加速電子 (陽電子)のつくるペアの数— Multiplicity — は (8.4)より、L ≈ R0/3とおいて、

M ≈ Nc =427

α(R0/10km)1/2

69.07P 1/2γ = 306.4(

γ

1.957 × 107)P−1/2(

R0

10km)1/2 (8.25)

となる。Crab Pulsar (P = 0.033)では約 1700倍に粒子が増幅される。Goldreich-Julian current I0 = µmΩ2

s/c に対応した particle flux

N0 ≡ I0/e = 2.742 × 1030µ30P−2pairs/sec (8.26)

のM 倍の particle fluxが予想される:

N± ≈ MN0 = 8.400 × 1032

(γ

1.957 × 107

)P−5/2µ30

(R0

10km

)1/2

. (8.27)

Goldreich-Julian current が流れているとしても、これは相対的な流束 ev+N+ − ev−N−なので、上の見

積は小さすぎるかもしれない。

作られたペアプラズマのローレンツ因子は (8.2)より

γ± ≈ hνc

2mc2≈ 3.161 × 103

(γ

1.957 × 107

)3

P−1/2µ30

(R0

10km

)1/2

(8.28)

なので早いパルサーでも curvature γ-ray → magnetic pair creation による、二次のペア生成は起こらないと考えられる。

8.3 Plasma Temperature

生成された電子陽電子対は一般に磁場と有限な角度をもってシンクロトロン運動を始める。色々の位相 ·ピッチアングルを持ったこのような運動によりプラズマは温度を持つことになる。しかし、強い磁場のため

プラズマは強いシンクロトロン冷却を受けることになる。プラズマが流れ出る時間に比べて冷却時間 ts が

十分短いときは cold wind の近似 (圧力の効果を無視する)をすることができる。以下パルサー磁気圏でこの近似が成り立つか調べてみる。

Scynchrotron Loss

一様な磁場 B 中では荷電粒子は角振動数 ωB = eB/γmc の円運動を行なう。一般に、磁場に垂直方向の

速度 v⊥にくわえて、磁場方向の速度 v‖を持つ。磁場に垂直方向には加速度 a⊥ = ωBv⊥を持ち、添った方

向には加速度を持たない。このような粒子からのエネルギー放射率は

Psynch =2e2

3c3γ4a2

⊥ = σTcβ2⊥γ2 B2

4π(8.29)

(e.g., Rybicki & Lightman 1976, §4.8 and §6.1) β⊥ = v⊥/cである。色々なピッチ角を持つ粒子について平

均したものとして良く知られた式、

< Psynch >=43σTcβ2γ2 B2

8π(8.30)

が導かれる。

いま一様磁場の中でら旋運動している粒子を考える。この系をKとする。一方、v‖で運動している系K’に移ってこれを見ると、Lorentz変換して、B′ = B, v′

‖ = 0, mγ′v′⊥ = mγv⊥, γ′mc2 = γmc2√

1 − β2‖ . K’

8.3. Plasma Temperature 77

系では円運動だけで、synchrotron lossしてゆく。Loss rate は、

P ′synch = σTcβ′2γ′2 B′2

4πwith β′ =

v′⊥c

=γv⊥cγ′ (8.31)

= σTcβ2⊥γ2 B2

4π= Psynch (8.32)

で、確しかに Lorentz invariant になっている。K’ 系ではシンクロトロン損失により v′⊥, γ′ が減少してい

く。 v‖は、0 のままである。K系で見ると、放射の反作用で粒子のエネルギーは減少していくが、v‖ は保

存している。high γ の粒子については、v2‖ + v2

⊥∼= c2 なので、ピッチアングルが近似的に保存している。

以上まとめると、

dγmc2

dt= −σTcβ2

⊥γ2 B2

4π(8.33)

β‖ = const. (8.34)

β2⊥

∼= 1 − β2‖ ≡ 1

γ2‖

(8.35)

Cooling time and Temperature

シンクロトロン損失時間 ts ∼ mc2γ/σTc(γ/γ‖)2(B2/4π) とプラズマの磁気圏内に残留する時間 L/v‖ の

比を求めると

tsL/v‖

=mc2

σTLB2/4π

β‖γ2‖

γ(8.36)

=1.547 × 10−11β‖γ

2‖

γ (L/10km)B212

(8.37)

因子 β‖γ2‖ は単調増加で、β‖ ¿ 1のとき ∼ β‖、β‖ À 1のとき ∼ β−1

‖ 。

Polar Cap では、ピッチアングルは小さく γ−1‖ ≈ LB/Rc。これを評価するのに、(8.17)で γ = hν/2mc2

と置いでやれば、結果としてts

L/v‖=

2.577 × 10−12γ

(L/10km)¿ 1 (8.38)

となる。従って、ただちに非相対論的エネルギーまで冷却される。cold wind 近似 (圧力無視)を用いることができる。

Light cylinder 近傍で injectされた粒子については、L ∼ c/Ωs, B ∼ µm/R3L = 9.206µ30P

−3 とお

いて、ts

L/v‖=

3.044 × 106

γβ‖γ

2‖µ−2

30 P 5 (8.39)

を得る。γ‖ ∼ 1と考えられるので、γ ∼ 106µ−230 P 5に相当する内部エネルギーが保持できることになる。一方、

粒子あたりの wind加速のエネルギーは γw ≈ γL/M = 3 × 107µ30P−2/M である。γ/γw ∼ (M/10)µ−1

30 P 7

であるので、slow rotators (P ∼ 1sec) では、M >∼ 10であれば hot wind である (圧力項は無視できない)、いっぽう fast rotators では cold wind が良い近似となる。

79

関連図書

[1] Berezinskii, V.S., Bulanov, S.V., Dogiel, V.A., Ginzburg, and Ptuskin V.S., 1990, ‘Astrophysics ofCosmic Rays’, North-Holland, Chap.VI, §4

[2] Daugherty J.K., Harding A.K., 1982, ApJ, 252, 337

[3] Erber T., 1966, Rev. Mod. Phys., 38, 626

[4] Ruderman M.A., Sutherland, P.G., 1975, ApJ, 196, 51

[5] Shibata, S., 1991, ApJ, 378, 239

[6] Rybicki, G.B., Lightman, A.P., 1979, ‘Radiative Processes in Astrophysics, John Willey & Sons

81

第9章パルサーの動作原理 II: 放電-Wind モデル

Pair Creation に対して Quiet Model は不安定である。Pair creationのあるときの落ち着き先を解くことが pulsar 問題の核心と言える。

quasi-neutral plasma があると current を容易に閉じることができる。放電-wind モデル (Shibata 1991)

• relativistic centrifugal wind of pairs (pulsar wind)

• pair creating acclerator with radio emission, gamma-ray pulse and polar cap heating: formationmechanism

• sharing voltage, magnetospheric torque balance

文献

Shibata, S. Magnetosphere of the rotation powered pulsar:a DC circuit model 1991 Astorphysical J.378, 239-254

83

第10章パルサー磁気圏の全体構造

85

第11章沿磁力線電場形成の扱い方

11.1 Discharge Model

• E‖ 形成

• pair による screening

• Global との関連

11.2 Space-Charge-Limited Flow

引き出された電子の運命を調べる。完全電荷分離プラズマ

j = −env (11.1)

11.3 Basic Equation

Obliqe model 基礎方程式

non-corotational potential:

Φ ≡ A0 − Ωs$

cet · A (11.2)

E = −Ωs$

cet × B −∇Φ (11.3)

星の上で φ = 0、E‖ = −B · (∇Φ)/B

v = Ωs × r + κB ≈ κB = vB (11.4)

−env

B=

j

B= const. (11.5)

γ = γ +eΦmc2

(11.6)

−52 Φ = 4π(ρe − ρ0) (11.7)

−d2Φds2 ≈ 4π(ρe − ρ0)

−d2Φds2 + φ

D2⊥

≈ 4π(ρe − ρ0)(11.8)

境界条件:

−dΦds

= E‖ = 0 (11.9)

not local , but globalE‖ を決める方程式

−1b

d2φ

d`2= − φ

γa− j

β+ j0 (11.10)

86 第 11章沿磁力線電場形成の扱い方

11.4 Just above Polar Cap

−d2φ

d`2= − j

β+ j0 (11.11)

11.5 Field-line curvature

ρe − ρ0 ∝ − j

β+ j0 (11.12)

• ’away’ : j0 減少

• ’toward’ : j0 増加

11.6 まとめ

• E‖ の出現は j による

’away’ j ≤ ja wave then growj > ja grow (from the surface)

’toward’ j ¿ jb wave, maybe static cloudj ≈ jb grow (linear)j > jb grow

• 加速条件: |ρe| > |ρ0| および、 3-D effect (side wall)screening: (1)self-screening |ρe| > |ρ0| および、(2) e±-screening

• Sharleman, Arons, Fawley の解は j = jb (self-screening の解)。したがって、ペアを重ねても変更はほとんどない。問題は local に電流密度を決めてしまったこと

• – screenig process

– condition for pair creation

– global condition

で加速電圧、電流密度、総電流が決まってくる。

87

第12章パルサー風とシンクロトロン星雲

パルサーの出すパワーの大部分は見えないパルサー風 (Pulsar Wind)として放出されている。パルサー風がパルサーの回りの媒体 (超新星爆発の ejecta、巨星時代の放出物質、あるいは単に星間物質; kick velocityがあるので) と相互作用したとき、衝撃波が形成され、エントロピーが増大したパルサー風はシンクロトロン放射によって見えるようになる。これをパルサー星雲 (Pulsar Powered Nebula/ Pulsar Wind Nebula)と呼んでいる。パルサー風は磁化したプラズマの相対論的な流れであると考えられている。その流れのロー

レンツ因子は 106にも達する。しかし、その加速機構は不明である。パルサー磁気圏内のパルサー風の根本

付近では、電磁場のエネルギー流束が卓越しているが、やがてプラズマの加速と共に電磁場のエネルギー

は運動エネルギーに変換されてゆく。衝撃波直前でどれくらいのエネルギーが運動エネルギーに変換されて

いるか？は加速機構を考える上で重要なパラメータである。また、パルサー星雲の内側における衝撃波粒子

加速や衝撃波の構造も重要な問題である。これに関連して、パルサー風の組成 (電子、陽電子、イオン、等の組成比や緯度による組成の違い)もまた興味ある問題である。パルサー星雲からの放射は電波領域からγ線まで広がった非熱的なスペクトルをしめす。シンクロトロン

放射であると考えられる成分である。これ以外に、TeV領域に逆コンプトン散乱と思われる放射が観測されている。また、赤外線領域に超過が見られる。

パルサー星雲をある種の検出器としてパルサー星雲の観測量からパルサー風の物理量を算出することが

できる。Kennel & Coroniti (1984) はかに星雲に対してそのような考えを適用し、パルサー風の磁化パラメータ σ (電磁エネルギー流束の運動エネルギー流束に対する比、これは先に述べた加速効率にと 1/(1+σ)の関係にある)が 10−3 程度の小さい値を導いた。つまり、非常に加速効率が高いと言うことである。この

小さな σはミステリーとなった：それはいかなるパルサー風理論もそのような小さな σを予言しないから

である。

X線天文学の進歩 (Einstein, Rosat, ASCA, Chandra, XMM Newton など) によって大いにパルサー星雲の理解が進んだ。パルサー星雲がかに星雲だけでなく少なくとも若いパルサーに広く見られる現象であ

ることが確立した。さらに、Crab, Vela, PSR 1509–58 などでパルサー星雲に disc-jet 構造が見出されこれも普遍的な現象であるらしいことがわかった。さらにパルサー星雲の内側の部分、衝撃波直後の領域にあり

時間的に変動する wisps の詳細な観測が X線で行なえるようになった (Mori et al. 2003)。空間的に分解してパルサー星雲が観測され、スペクトルの空間的な変化もとらえられることができるよう

になったことを受けて、それらの観測と比較可能なパルサー星雲のモデルを構築する必要がある。Kenneland Coroniti の導いた小さな σは正しくないかもしれない (パルサー星雲という検出器の中で起きていることを正しく理解しないとパルサー風を正しく診断できない)。特に最初のステップとして、Kennel & Coroniti model にしたがった場合モデルがかに星雲の観測をどの

程度説明できるかを検討する (Shibata et al. 2003)。観測との不一致が見出された場合どのような変更が可能かを議論する。このようなモデルはかに星雲以外の多くのパルサー星雲に適用することがでるので、将

来はパルサー風の物理パラメータがパルサー本体のスピンや磁場の違いによってどのように変化するかを

知る手がかりを与えてくれるものと考えている。

また、Plerion あるいは Composite type の SNR においてパルサーに限らずなにかのコンパクト天体の活動が示唆される天体がある (AXP, SGR)。これらの起源を調べる手段としても nebula model は有効である。

88 第 12章パルサー風とシンクロトロン星雲

references

Kennel, C.F., Coroniti, F.V., 1984, ApJ, 283, 694Kennel, C.F., Coroniti, F.V., 1984, ApJ, 283, 710Emmering, R.T., Shevalier, R.A., 1987, ApJ, 321, 334Shibata S., Tomatsuri H., Shimanuki M., Saito K., Mori K., 2003 MNRAS 346 841Mori K., et al. 2003, ApJ in press

話の大きなながれ

1. Crab Nebulaを例として大雑把な見通しをたてる。衝撃波の位置 rs、Wind Lorentz factor γw、Nebula磁場などの見積りを立てる。

2. σ-parameter の導入と、Nebula flow が σによってどのように変化するか？

Jump condition, flow properties

3. Nebula 光度と σの関係。Nebula spectrum の計算。

4. Nebula による Wind の診断方法。ASCA データは不十分

5. 現状と将来

• 空間分解した Nebula 観測 (Chandra, XMM-Newton)

• γ線による hνmax の観測

• rs の検出 (Vela,...)

• Composite remnant の観測

12.1 The Crab Nebula: プロトタイプ

12.1.1 シンクロトロン星雲

Non-thermal spectrum で強く偏光していることから。定量的には、

• シンクロトロンスペクトルのピークは可視光領域にある。

εsy ≈ 32ωBhγ2 ∼ a few eV (12.1)

• シンクロトロン光度は、

Lsy ≈ V n · 43σTcγ2 B2

8π∼ 1037 erg/s (12.2)

これに、磁場とプラズマのエネルギー等分配を仮定すると、

B ∼ 0.2 mG, γ ∼ 106, 4πnc(0.1pc)2 ∼ 1038s−1 (12.3)

を得る。n ≈ 3 × 10−9(r/0.1pc)−2 cm−3. Nebula pressure pnebula ∼ 1 − 3 × 10−9dyn/cm2.

12.2. A model: Kennel & Coroniti (1984) 89

12.1.2 パルサーの発見

シンクロトロン光度と星雲の膨張による仕事率の合計は Rotational luminosity と一致する。

=ΩΩ ≈ pnebulaV + Lsy (12.4)

ここで、Ω、Ω、V は観測値。

12.1.3 トーラス

• 磁気圏で電子陽電子対生成し、パルサー風 (mhd wind) をつくる。E + v ×B/c = 0 , cold で光らない。これは空洞を作る。

• パルサー風は衝撃波を作るだろう。トーラスの内径：ram pressure = Nebula pressure (1 − 3 ×10−9dyn/cm2)

rs =

(Ew

4πcPnebula

)1/2

∼ 0.2pc

(Ew

5 × 1038erg/sec

)1/2 (Pnebula

3 × 10−9dyn/cm2

)−1/2

(12.5)

see e.g. Habble movie : http://www.stsci.edu/pubinfo/Latest.html

• 衝撃波を経験した (thermaizeした)プラズマはシンクロトロン放射し輝く。

• Nebula の磁場は wind に乗って運ばれてきたものである。磁場はトーラスに沿ってトロイダル。

以上大雑把なシナリオ。

12.2 A model: Kennel & Coroniti (1984)

12.2.1 Wind Luminosity and σ parameter

パルサー風によって運ばれてくるエネルギーは粒子の持つ運動エネルギーと電磁場のエネルギーからなっ

ている。エネルギーフラックスを書き下ろすと、

Fw = γwmc2Nvr + Sr (12.6)

となる。ここで Sr は Poynting Vector の動径方向成分で ideal-MHD 条件 (v = κB + Ω × r) の助けを借りると

Sr =c

4π(E × B) · r =

B2ϕ

4πvr (12.7)

と書ける。半径 rのところで windが占める立体角を∆ωとするとパルサー風の光度は

Lw = ∆ωr2Nγwmc3(1 + σ) = γwmc2N(1 + σ) (12.8)

と表せる。パルサー風の磁化率 (電磁場で運ぶエネルギーの多さ)をあらわす

σ =Poynting EnergyKinetic Energy

(12.9)

=B2

ϕ

4πγwmc2N(12.10)

≈B2

ϕ

4πn′uγmc2(12.11)


というパラメータを導入する。

大雑把には、パルサー風は３つのパラメータ Lw, γw, σ で記述できる。より現実的には disc - jet といった幾何構造が絡んでくる。

12.2.2 Jump Conditions at the termination shock

[nuα

]= 0 (12.12)

[Et

]= 0 with the ideal-MHD condition (12.13)

[θαβ + Sαβ

]= 0 (12.14)

今の場合は簡単な幾何でよいので：

粒子数保存は、

[nu] = 0 (12.15)

Ideal-MHDから

[vB] = 0 または、[uB

γ

]= 0 (12.16)

エネルギー保存則 (θ01 + S01 が連続) [µγ +

EB

4πnu

]= 0 (12.17)

運動量の保存は (θ11 + S11 が連続) [µu +

P

nu+

B2

8πnu

]= 0 (12.18)

ただし、[nu] = 0 と [E] = 0を用いた。σ によって post shock flow の性質が大きく変わる。スライド参照

σ ¿ 1の場合

β2 =v2

c=

13(1 + 4σ) (12.19)


T2

u1mc2=

1√18

(1 − 2σ) (12.20)

B1

B2=

n2

n1= 3(1 − 4σ) (12.21)

σ À 1の場合

u22 = σ +

18

+ . . . (12.22)

T2

u1mc2=

18√

σ(1 − 3

16σ) + . . . (12.23)

B1

B2=

n2

n1= 1 +

12σ

+ . . . (12.24)

12.2.3 Synchrotron Spectrum: a simple model

衝撃波を過ぎた流れは亜音速 (sub-magnetosonic)であるので、星雲の光っている領域の全圧力 Pneb は

だいたい均一になる。もし、σ ¿ 1 ならばガス圧が優勢で Pneb ≈ Pgas =uniform。広がってゆくガスが断熱膨張しても温度はそれほど急激に下がるわけではないので、結局、ガスの密度もそれほど変化しない。

N ≈const. と連続の式 Nr2v =const. より、星雲中の膨張する速度は v ∝ r−2 のように減少する。流れの

減速は磁場の圧縮を生むので (rvBϕ =const.)磁場は Bϕ のように増加する。

磁場の増加はガス圧優勢の仮定が壊れるまで、つまり、磁気圧とガス圧がと分配になるまでつづく。その

ころには流れの減速も緩やかになり、密度が減少し、磁場の増加もやむ。この領域は磁場が強いためシン

クロトロン放射の強度がつよい。そのためこの領域のサイズが星雲のサイズとして認識される傾向にある。

それでシンクロトロン強度がもっとも強くなる半径を rN と書き、nebula radius と呼ぶことにする。衝撃波の位置を表す半径 rs とは区別される。等分配磁場の強度 Beq を B2

eq/8π = (1/2)Pneb で定義しておく。

σ ¿ 1 の場合には、σのもともとの定義から

σ ≡ B21/4π(

kinetic energy densityof the wind

) ≈ B21/4π(

thermal energy densityafter the shock

) ≈ B21/4π

B2eq/4π

(12.25)

と言う関係がある。これと、連続の式 r2sc/3 ≈ r2

NvN および磁束保存 rscB1 ≈ rNvNBeq を用いると nebularadius と膨張速度が σ の関数として表すことができる：

rN

rs≈ 1

3√

σ,

vN

c≈ 3σ. (12.26)

シンクロトロン星雲の光度はラフに言って

Lsy ≈

(43σTcγ2

B2ϕ

8πn

) (∆ωr3

N

3

)(12.27)

程度である。これに上で述べた関係と (γ/γw)2 = 1/2 (1/18の方がよいかも)を代入すると

Lsy

Lw≈ 2

243σ

γwB2eqσTrN

8πmc2(12.28)

を得る。σ が 1に近いまたはさらに大きいときは

Lsy

Lw≈ 1

188σ2

γwB2eqσTrN

8πmc2(12.29)

という見積りを得る。


つまり、σが小さいほど星雲は明るく、流れの減速が大きいことがわかる。

観測と比較しやすいように、たとえば ASCA band でのシンクロトロン光度の公式を作ると、

LASCA

Lw≈ 6.65 × 10−4

σ

( γw

106

) (rN

1pc

)(Beq

1mG

)2

(12.30)

を得る。ここではシンクロトロン星雲のスペクトルのベキが通常 −1 (photon index = -2)になることを使っている。

シンクロトロン光度の見積りを与える上の式で Lsy, rN は観測量なので、未知量は γw, Beq, σ である。

あと、２つの情報を加えればこれら３つの値を求めることができる。

ひとつはスペクトルのピークでこれは熱化した粒子のローレンツ因子と Beq から計算できる：

hνpeak ≈ 0.48( γw

106

)2(

Beq

1mG

)eV (12.31)

シンクロトロン放射スペクトルの高エネルギー側のカット hνmax が衝撃波で加速できる最高エネルギー

(γmax ≈ eB2rs/mc2 に対応しているとするとすると

hνmax ≈ 1.3 × 1016σ5/2

(rN

1pc

)2 (Beq

1mG

)3

eV (12.32)

である。このようにしてシンクロトロンスペクトルの情報を加えるとパルサー風のパラメータ γw, Beq, σ

を決定できることがわかる。

以上の議論は精密化して、スペクトルフィットまで行なえばより精密にパルサー風のパラメータを議論で

きる。

たとえば、Crab Nebula については、LASCA = 2 × 1037erg/sec, rN = 0.6pc, hνpeak = 2eV, hνmax =108eV を代入すると、γw = 3.3 × 106, σ = 3.8 × 10−3, B = 0.38mG を得る。さらに精密な計算のためには、流れの解析、分布関数の進化の計算、スペクトルの計算などが必要である。

IC のフラックスの測定に依りこの磁場強度が正しいことが確かめられた。

12.2.4 nebula flow

KC: 定常球対称, standing shockES: 定常球対称, constand expansion (self-similar sol.)KC では Bϕ dominantと仮定して (fast mode wave のみ)、

d

dr(n′ur2) = 0 (12.33)

d

dr

(ruB

γf

)= 0 (12.34)

d

dr(n′ur2e) + P

d

dr

(r2u

)= 0 (12.35)

d

dr

[n′ur2

(µγf +

B2

4πn′γf

)]= 0 (12.36)

ここで、e は粒子あたりの相対論的内部エネルギー、µはエンタルピー; µ = e+P = n′mc2 +[Γ/(Γ− 1)]P .

σ ∼ 1 or larger の場合 magnetic dominant flow になる。u ∼const.Bϕ ∝ 1

r

で膨張。


σ ¿ 1の場合 thermal wind の下の blanch

v ∝ 1r2で down,ついで、v∞ に落ち着く

p downv 減少の時, ruBϕ =const より Bϕ up

(12.37)

contact discontinuity での速度を落とすには σ を下げるしかない。

∼ 2pc で 2000km/sec とすると、σ = 0.003 (KC)σ = 0.0016 (ES)

Nebula の磁場の見積は、次のようになる。

pre-shock B1 =

[σEw

(1 + σ)cr2s

]1/2

(12.38)

post-shock B2 = 3(1 − 4σ)B1 (12.39)

nebula B2ϕ

8π → Ew

8πr2cvc

≈ Pgas (12.40)

12.2.5 Synchrotron Luminosity

(要改訂)Post-shock distribution function:

f2 =A

4πγ−(2α+1)2 (12.41)

where γ′2 < γ2 < γ′′

2 with

γ′2 ≈ 3P2

n2mc2≈ 3u1√

18(1 − 1

2σ) ≈ u1 (12.42)

γ′′2 ≈ eBrs

mc2i.e.,rg ∼ rs (12.43)

Aは積分∫

dγ したとき、n2 を与えるように決める。

任意の位置での分布関数。

• 断熱膨張: p ∝ n4/3: γ ∝ εn ∝ n1/3

• synchrotron cooling

udγ

dr= γu

ddr

ln n1/3 − 23

e4B2

m3c5γ2 sin2 θ (12.44)

大抵の場合 synchrotron burnoff は起こらない

γ = γ2(vz2)−1/3, where v =u

u2, z =

r

r2. (12.45)

に従って、分布が変化してゆく:

f(γ, z)dγ = f2dγ2 = f2dγ2

dγdγ (12.46)


12.2.6 Nebula spectrum

γ2f(γ, z)P1δ(ε − εc)dε

∫dγ

∫4πr2dr (12.47)

where εは光子のエネルギー

P1 =23

e4

m2c3γ2B2 sin2 θ (12.48)

εc =32

eB

mchγ2 = 1.7Bmγ2

7keV (12.49)

積分結果を観測と比較する。see fig.

12.3 Post KC models

問題点

• ディスク・ジェット構造をどう説明するか。

• トーラスの手前と後ろのコントラストの説明。

• 唇型でなくリングに見えることの説明。

• 偏光度の説明。平均 20%

• Radio-IR-optical のスペクトルの説明。

• inner ring と outer torus の２重構造になるのは何故か。

• inner ring は数珠状で、手前後のコントラストが無いようにみえるのはなぜか。

• wisp の説明。

• 北西ー南東非対称の説明。

• もし、σ ¿ 1が正しいとしたら、その理論的説明。

• パルサー風はコリメートしにくいという理論との整合性。

解決のアイデア

• ジェットは衝撃波の後でピンチ力で形成する。パルサー風は赤道方向に効率良くエネルギーを放射、つまりディスク風でリングあるいはトーラスを作る。

• σ ¿ 1 は折り畳まれた磁気中性面で磁気エネルギーがプラズマのエネルギーに転化することにより生じる。

• 衝撃波形成のとき磁場エネルギーがプラズマの加速と加熱にゆく。パルサー風は σ ∼ 1 or À 1 である。

12.4. 衝撃波の内部構造において電気伝導度の違いがどう反映するかについて 95

12.4 衝撃波の内部構造において電気伝導度の違いがどう反映するかにつ

いて

完全流体に対する外力として電磁場のみがあるとき、４元形式の運動方程式は

θαβ,α =

1cF βσjσ (12.50)

ここで、

θαβ = (ε + P )UαUβ + Pηαβ = µnUαUβ + Pηαβ (12.51)

jα = (ρc, j), Fαβ は電磁場テンソル、µはエンタルピーである。特に、第０成分の右辺は、E · j/cで、一

般にこの項は電磁力によって流体にされる仕事とジュール熱による流体の加熱の両方の効果を含んでいる。

そしてこの項は Poynting Theorem によって Poynting flux の div で表現できる。実際、

Sαβ =14π

(ηµσFαµFβσ − 1

4ηαβF νλFνλ

)(12.52)

とすると、

Sαβ,α = −1

cFασjσ (12.53)

であることが Maxwell 方程式を使って導出できる。この結果、流体と電磁場の全体に対する保存則、

(θαβ + Sαβ

),α

= 0 (12.54)

が導き出される。この方程式は Poynting flux の沈み込みが流体のエネルギーに転化されることは述べていても、ジュール熱の寄与がどれくらいかといったことにはふれていない。とにかく電磁エネルギーが無くな

れば、その分のエネルギーが流体に注入されていることを述べている。

流体にする仕事とジュール熱がどのように分離されるかを簡単な例で調べておく。一価のイオンと電子の

２成分プラズマを考えて、イオンの慣性項を Ii と表し、電子の慣性は無視する。この時運動方程式は、

Ii = eniE + enivi × B/c − F (12.55)

0 = −eneE − eneve × B/c + F (12.56)

と書ける。ここで、F はイオンと電子に相互に働く摩擦力である。(12.55)に vi、(12.56)に veを乗じてイ

オンがされる仕事と電子がされる仕事をもとめると、

Ii · vi = enivi · E − vi · F (12.57)

0 = −eneve · E + ve · F (12.58)

となり、流体全体としてされる仕事は、

Ii · vi = j · E − (vi − ve) · F (12.59)

である。最後の項はジュール熱なので、結局、電磁場エネルギー j ·E は流体への仕事とジュール熱になっていることが分かる。ここで、

F = mni(vi − ve)νie = e2neni(vi − ve)/σ (12.60)

と σ = e2ne/mνie と評価し、準中性近似 n = ni ≈ ne を用いると、(vi − ve) · F = j2/σ と書ける。


メモ (12.55) と (12.56) の和をとって、mi À me とすれば、

I ≈ Ii = ρeE +1

cj × B (12.61)

なる１流体の運動方程式を得る。また、(12.56) はそのまま一般化オームの法則であって、

E +1

cve × B =

j

σ(12.62)

となる。準中性を仮定すれば、ve ≈ v − j/en であるので、

E +1

cv × B =

j

σ+

1

encj × B (12.63)

以上の結果、エネルギー運動量テンソルの連続性から導かれる、衝撃波の Jump Condition は衝撃波内部の電気抵抗がいくらであるかという情報を反映しないように見える。

今簡単のため x 方向に流れる流体があり、衝撃波面がこれに垂直にある垂直衝撃波を想定する。（図、

参照）。

粒子数保存は、

(nUα),α = 0 so, [nu] = 0 (12.64)

次に、衝撃波の上流側の電場を E1 (y成分)、下流側で E2 とする。∇× E = 0であるから、

E1 = E2 (12.65)

でなければならない。衝撃波の上流と下流でそれぞれ ideal-MHD で E + v ×B/c = 0 が成り立っていて、衝撃波内部では電気抵抗が有限であるとする。しかし、衝撃波内部の電気抵抗の有限性に関係なく、

[vB] = 0 または、[uB

γ

]= 0 (12.66)

が成り立つ。電気抵抗が衝撃波内部であっても、磁束が保存する（入ってくる磁束と出てくる磁束が同じ）

にみえるというちょっと理解しにくい結果になる。有限抵抗の時、∇× E = 0は

v1B1 = vinBin + cjin/σ = v2B2 (12.67)

を与える。衝撃波内部では磁束は減少しているが、出てきたときには元に戻っていることになる。（これで

良いのかどうか分からない。定常性が破れていることも疑ったが、どうも破れているという風にはみえな

い。有限の電気伝導で磁場が消えようとしても全磁束はファラデーの法則によって磁場が誘導され、維持さ

れると言うことらしい。簡単なばかげた例題を節末にしめす。）

12.4. 衝撃波の内部構造において電気伝導度の違いがどう反映するかについて 97

エネルギー保存則は θ01 + S01 が連続になることから[µγ +

EB

4πnu

]= 0 (12.68)

で表される。([nu] = 0を用いた。) 最後に、運動量の保存は θ11 + S11 が連続になることから[µu +

P

nu+

B2

8πnu

]= 0 (12.69)

となる。ただし、[nu] = 0 と [E] = 0を用いた。このようにして、図に示す状況では熱化の過程がどのようなものか（たとえば電気抵抗はいくらであった

か）によらず、上流の σパラメータによって、圧縮比が変わり、熱化の量も決まってしまう。

磁気中性面における磁場の散逸があるときを考える。この場合は、Bの平均と２乗平均の間の差の形で

散逸の度合いというパラメータが入ってくる。（現在の所、磁場の散逸量をパラメータとして含むケースは

これしか考えられない。）

周期的に磁気中性面がやってくるために物理量が周期的に時間変動するときの取り扱いについて検討す

る。この時は∂ρ

∂t+ ∇ · j = 0, １次元なら

∂ρ

∂t+

∂j

∂x= 0 (12.70)

の形の保存則を用いなければならないが、周期 T で平均すると、結局、

∂〈j〉∂x

= 0, Jump condition では [〈j〉] = 0 (12.71)

の形になる。ここで、平均値

〈j〉 =1T

∫ T

0

jdt (12.72)

を定義しておく。

今考えている状況を図で示しておく。

さて、たとえば衝撃波後方で流体は一様に u2で流れているとする。この時は速度の時間変化をさせない

ために、運動量流束

θ11 + S11 = µnu2 + P +B2

8π≡ Ptotal (12.73)


も一様であるとする。磁場が無くなって散逸した領域の fraction を δ で表し、磁場があるところに於ける

磁場強度、エンタルピー、密度、圧力を B2、µ2、n2、P2 と書くことにする。流体に乗った系での圧力バ

ランスから磁場のないところでの圧力は、P + B22/8πγ2 であることが分かる。

このことから、

〈µnu2〉2 = 〈µn〉2u22 = µ2n2u

22 +

B22β2

2

8πδ (12.74)

〈P 〉2 = P2 +B2

2

8πγ22

δ (12.75)

〈B2〉28π

=B2

2

8π(1 − δ) (12.76)

であることが分かる。以上から、

〈µn〉2 u22 + 〈P 〉2 +

〈B2〉28π

= µ2n2u22 + P2 +

B22

8π(12.77)

である。平均のエネルギー流束については、

〈µγnu〉2 + 〈uB2

4πγ〉2 = µ2γ2n2u2 +

B22β2

8π(1 − δ

2) (12.78)

を得る。同様に衝撃波前面の関係を得る。(衝撃波前面では δ −→ 0と考える。) エネルギーと運動量流速について jump condition を立てると以下のようになる。

µ1n1u21 + P1 +

B21

8π= µ2n2u

22 + P2 +

B22

8π(12.79)

µ1γ1n1u1 +B2

1β1

4π= µ2γ2n2u2 +

B22β2

4π(1 − δ

2) (12.80)

これらの式は平均量で書けば、もちろん、

〈µn〉1 u21 + 〈P 〉1 +

〈B2〉18π

= 〈µn〉2 u22 + 〈P 〉2 +

〈B2〉28π

(12.81)

〈µn〉1 γ1u1 +〈B2〉1

4πβ1 = 〈µn〉2 γ2u2 +

〈B2〉24π

β2 (12.82)

で陽には δは現れない。

次に ideal-MHD より〈B〉1β1 = 〈B〉2β2 (12.83)

が成り立つ。衝撃波前方で磁場の平均が振幅の f 倍であるとする。衝撃波内で反平行磁場が対消滅する形

になるので、衝撃波後方でもこの比は変わらないと考えられる。

〈B〉1β1 = fB1β2 = 〈B〉2β2 = fB2β2 (12.84)

次に、２乗平均と平均との関係は

〈B2〉 = B2(1 − δ) (12.85)

〈B〉 = fB2 (12.86)

よって

〈B〉 = f

√〈B2〉1 − δ

(12.87)

12.5. Force-Free Neutral Sheets 99

磁場の散逸パラメータについては、0 < δ < (1 − f)である。また、f = 0のときは全く対称的で、平均磁場が０になる場合である。f = 1なら、１方向のみで、〈B〉 =

√〈B2〉になる。いま、

B1 =√〈B2〉1 B2 =

√〈B2〉2 (12.88)

とていぎすると、(12.83)は

B1β1 = B2β21√

1 − δ(12.89)

となる。

最後に質量保存法則は、

〈n〉1u1 = 〈n〉2u2 (12.90)

となる。これで、jump conditionがそろった。そして希望通り磁場の消滅のパラメータ δを含む形にできた。

例題：x方向の定常流 vx = v(x)を考える。磁場は z方向、電場は y方向で、有限の電気伝導度を持つと

する。x = 0 で Bz = B0 の磁場が減衰して下流側で０になるだろうか？

Bz = B0f(x) (12.91)

とおく。jy(x) = (cB0/4π)f(x) 密度圧力は一様とすると、運動方程式、

ρvx∂vx

∂x=

1cjyBx (12.92)

より、解は

vx(x) =√

V 2Af2 + C (12.93)

である。ここで、VA = B0/√

4πρで、C は定数。いまのところ f(x)は任意の関数。単調減少する f(x)の解はあるだろうか？定常とすると∇× E = 0を満たさなければならない。すると、

∂Ey

∂x=

∂

∂x

(vx(x)Bz(x) +

1σ

c

4π

∂Bz(x)∂x

)= 0 (12.94)

を満たすように f(x)を見つければ解であることがわかる。しかし、領域 (∞, x1] と [x2,∞) で電気伝導度が∞で散逸の項がなければ、明らかに両端の領域で、vx(x1)Bz(x1) = vx(x2)Bz(x2) が成立してしまう。電気伝導が高くなるところで電磁誘導で磁場が復活することになる。

12.5 Force-Free Neutral Sheets

磁気中性面では高圧のプラズマを想定するがかならずしもそうではないのでないか。電気力が磁気圧と

つりあった状況があるのではないか。

12.5.1 Force-Free Neutral Sheets

x方向に速度 vx = cβxで走る、x軸に垂直な磁気中性面を考える。磁場はBz 成分を持ち、Ey ×Bz-driftで x方向に windが吹いている状況である。磁気中性面で Bz、Ey ともに符号を変える。


Wind

βx

Bz

Ey

Ex x

y

z

magneticneutralsheet

x軸に沿っては物理量は変化するとして、∂x 6= 0、∂y = ∂z = 0 とする。∇ · B = 0 より ∂xBx = 0。つまり、この近似では Bxは一定で、x方向を radial とすると、スパイラル構造を考慮できない。我々のここでの選択は、磁場はスパイラルなので実際には Bx ∼ (RL/r)Bz の成分を持つがここでは RL/r の微小量

として無視する (r À RL)。(電気的)非中性の磁気中性面を考えると、磁気中性面を挟む小さい電場Exがある。つまり、E = (Ex, Ey, 0)

とする。このとき、∇× E = −(1/c)∂B/∂tより、

∂Bx

∂t= 0 (12.95)

∂By

∂t= 0 (12.96)

∂Ey

∂x= −1

c

∂Bz

∂t= βx

∂Bz

∂x(12.97)

である。By = const.となるが、対称性から By = 0となる。最後の関係は、Ey = βxBz で凍結条件に

consistent である。(電気的)非中性の磁気中性面を考えると、結局現在の近似では、

E =

Ex(x − vxt)Ey(x − vxt)

0

B =

00

Bz(x − vxt)

(12.98)

となる。

Ideal-MHD 条件が成り立っていると仮定する。

E × B =

EyBz

−ExBz

0

(12.99)

なので、ドリフト速度は

βx ≈ Ey/Bz (12.100)

βy ≈ −Ex/Bz (12.101)

βz ≈ 0 (12.102)

であたえられる。実際、この速度にたいして E + β × B = 0 が成立している。


∇ · E = 4πρe より、

ρe =14π

∂Ex

∂x(12.103)

で空間電荷が与えられる。電流は、

∇× B =

0−∂Bz/∂x

0

(12.104)

および、∂/∂ct = −βx(∂/∂x)

1c

∂E

∂t=

−βx(∂Ex/∂x)−βx(∂Ey/∂x)

0

(12.105)

に注意して∇× B = (4π/c)j + (1/c)∂E/∂t より

jx

c=

βx

4π

∂Ex

∂x(12.106)

jy

c= − 1

4π

∂Bz

∂x+

βx

4π

∂Ey

∂x(12.107)

= − 14π

(1 − β2x)

∂Bz

∂x(12.108)

jz

c= 0 (12.109)

である。以上の結果を ρeE + (1/c)j × B −∇p = 0に代入すると1、

14π

∂Ex

∂x

Ex

Ey

0

+

1c

jyBz

−jxBz

0

+

−∂p/∂x

00

= 0 (12.110)

よって、14π

∂Ex

∂xEx − 1

4π(1 − β2

x)∂Bz

∂xBz −

∂p

∂x= 0 (12.111)

あるいは∂

∂x

[p +

(1 − β2x)

8π)B2

z − E2x

8π

]= 0 (12.112)

∂

∂x

[p +

B2z

8πγ2w

− E2x

8π

]= 0 (12.113)

で、ちょうど磁気圧 B2z/(8πγ2

w) が E2x/8π 分だけ軽減される形になる。なお、力の y成分の式は自動的に

満たされている。current sheet の電流は

jy = − c

4π(1 − β2

x)∂Bz

∂x≈ − c

4π

Bϕ

γ2w∆

∝ 1γ2

wr(12.114)

なので γw ∝ r1/2 なら、電流は r−2 なので密度と同じ速さで減少する。

同じことを流れに乗った系 (proper frame)で調べてみる。Lorentz 変換をするのがもっとも簡単である。以降、proper frame での物理量に ′ をつけて表す。座標については

x′ = γ(x − vt) (12.115)

y′ = y (12.116)

z′ = z (12.117)1相対論的に高温で走っている流れに対しては ∂t 6= 0 を無視できない。しかし、θ01 = (ε+ p)γ2βx および θ11 = (ε+ p)γ2β2

x + pを用いて、運動方程式の流体部分は結局 θ01

,0 + θ11,1 = ∂xp となる。ここで、β, γ は定数で、ε, p の argument が x− vtであること

を用いた。


である。電場および磁場は以下のように変換される。

E′x(x′) = Ex(x − vxt) (12.118)

E′y(x′) = γ(Ey − βxBz) = 0 (12.119)

E′z(x

′) = γ(Ez − βxBy) = 0 (12.120)

B′x(x′) = Bx(x − vt) = 0 (12.121)

B′y(x′) = γ(By + βxEz) = 0 (12.122)

B′z(x

′) = γ(Bz − βxEy) = 0 (12.123)

=1γ

Bz(x − vxt) (12.124)

E′x(γφ) = Ex(φ)のように、位相 φ = x − vxt、 x′ = γφ を用いると便利である。

4元電流 (ρec, jx, jy, jz)もローレンツ変換されるから、

ρ′e = γ(ρe − βxjx/c) (12.125)

= γ

(14π

∂Ex

∂xβx

βx

4π

∂Ex

∂x

)(12.126)

=1

4πγ

∂Ex

∂x=

1γ

ρe (12.127)

j′x = γ(jx − βρec) = 0 (12.128)

j′y = jy (12.129)

j′z = jz = 0 (12.130)

もちろん Maxwell方程式は満たしていることは直接確かめることができる：4πρ′e = div′E′ = ∂Ex(φ)/γ∂φ、

rot′E′ = −(1/c)∂B′/∂t′ = 0、div′B′ = 0、rot′B′ − (4π/c)j′ = (1/c)∂E′/∂t′ = 0となる (proper frameでは時間変化は無い)。運動方程式 ρ′eE

′ + j′ × B′/c − grad′p = 0 の x成分から

∂

∂x′

(E′

x2

8π− B′

z2

8π− p

)= 0 (12.131)

または、∂

∂(γφ)

(Ex

2

8π− Bz

2

8πγ2− p

)= 0 (12.132)

を得る。

電流に対する条件は、proper frame では

j′y = − c

4π

∂B′z

∂x′ ∼ c

4π

B′z

(∆φ)′=

c

4π

Bz

γ2(∆φ)< en′c = e

n

γc (12.133)

である。ここで、∆φ は current sheet の厚さである。一方、observer’s frame では

jy = − c

4π

1γ2

∂Bz

∂x=

c

4π

Bz

γ2(∆φ)< enc(βy)max = e

n

γc (12.134)

ここで、y 方向の電流の最大値は β2x + β2

y = 1のときに起こることを用いた。このようにして、当然であるが、proper frame でも observer frame でも同じ条件に帰着する。電流シートで dissipation が起こる条件は

c

4π

Bz

(∆φ)max<

c

4π

Bz

∆φ< eγnc (12.135)


となる。ここで、最大の厚さとして (∆φ)max = 2πrL を用い、Bz ∼ (toroidal field) ∼ BL(rL/r)、n ∼nGJM(rL/r)2 なる関係を代入すると、

r < 4πγMrL ≡ rd (12.136)

となり、rdが Poynting energyのほとんどが dissipationする距離を与える。ここで、Mは pair multiplicityである。wind が Equipartition 程度以上に加速されれば (σ <∼ 1)、γ ∼ γeff/M なので (ここで、γeff =eBLRL/mc2 はパルサーの有効電圧に相当する加速が起こったときのローレンツ因子)、rd ∼ γeff (∼ 1010

for Crab)となる。まとめ (summary) 折り畳まれた電流層の電流密度は電場の存在のために j ∼ (c/4π)(Bφ/∆φ)とはな

らない。ここで、∆φは電流層の厚さ。つまり、単純に

c

4π

Bφ

(∆φ)max<

c

4π

Bφ

∆φ< enc (12.137)

の条件で、(∆φ)max = 2πrL、Bφ ∝ r−1、n ∝ r−2 だからある距離で磁気中性面における散逸が起こる、

と結論することができない。正しくは、変位電流の効果もいれて電流を評価するか、電場の消える固有系に

移って評価するかすることで、c

4π

Bφ

γ2(∆φ)max<

c

4π

Bφ

γ2∆φ< e

n

γc (12.138)

を得る。したがって、例えば γ ∝ r−1/2のように加速されれば電流と最大電流は同じように減少するので、

いつまでも散逸は延期される。きちっと計算すると散逸が生じる場所は rd = 4πγMrL と評価される。

Q もし、流れの加速がないならどうなるのか。

summary Owing to the electric field, the current density in the follded current sheets would not beevaluated as j ∼ (c/4π)(Bφ/∆φ), where ∆φ is the thickness of the current sheets. Hence, one may notconclude dissipation in the current sheet, taking a wrong condition

c

4π

Bφ

(∆φ)max<

c

4π

Bφ

∆φ< enc, (12.139)

with (∆φ)max = 2πrL, Bφ ∝ r−1, n ∝ r−2. A correct result is obtained if the evaluation is made withdisplacement current or with changing the coordinates to the proper frame. Thus, we have

c

4π

Bφ

γ2(∆φ)max<

c

4π

Bφ

γ2∆φ< e

n

γc. (12.140)

If acceleration of the wind takes place in such a way that γ ∝ r1/2, dissipation will be postponed sincethe current density and the maximum current density derease in the same manner. Proper treatmentyeilds rd = 4πγMrL.

Q What would happen, if no acceleration in the wind?

12.5.2 Striped Pulsar Wind

斜め回転のパルサー風では、磁気中性面が折り畳まれ、多数の磁気中性面が並んで走ることになる。条件

j′ =c

4π

B′φ

`′< en′c (12.141)

が満たされているときは良いが、これに抵触すると異常抵抗が発生し current sheet で磁気エネルギーの熱化が起こると考えられる。(ここで prime は proper frame の量であることを示し、j, Bφ, `, n はそれぞ

れ電流密度、トロイダル磁場、シートの厚さ、プラズマ密度である)


この条件は、磁気中性面の高圧領域のプラズマのジャイロ半径 rg が磁気中性面の厚さ (∆φ)′に等しくなるという条件とほぼ同等である。磁気中性面の高圧領域のプラズマ密度と温度を n′

h、Thとおき、磁場が優

勢な低圧 (低温)領域のプラズマ密度と温度を n′c、Tc と置くと

(B′φ)2

8π+ n′

ckTc = n′hkTh (12.142)

が成り立つ。j′ = en′c が成り立ったときの電流シートの厚さは (∆φ)′ = B′φ/4πen′ であることに注意して、

高圧領域のプラズマのジャイロ半径を見積もると：

rg =γhmc2

eB′φ

=n′

hkTh

2(B′φ)2/8π

=(∆φ)′

2

(1 +

n′ckTc

B′φ2/8π

)(12.143)

となるからである。

パルサーから非常に遠方ではパルサー風のプラズマ密度の減少によってシート電流が維持されにくくなる。

シード電流の変化を調べてみると、磁場強度は B′φ = Bφ/γw = (BL/γw)(rL/r)のように変化し (BL = µ/r3

L

は光円柱近傍の磁場強度)、電流シートの厚さはシート間隔に占める割合 ¯で表すことにすると、 ′ = 2πrLγw¯

になるので

j′ =c

4π

Bφ

γ2w2πrL

¯ =c

4π

BL

γ2w2πrL

¯

(rL

r

)(12.144)

となる。一方で、最大可能電流は

j′max = en′c = en

γwc =

4πMγw

c

4π

BL

2πrL

(rL

r

)2

(12.145)

そしてついにある距離 rd において電流条件 (12.141)を満たさなくなると考えられる。この rd は以下の

ように推定できる。Wind の根元 (光円柱のすぐ外側 r ∼ rL = c/Ω) プラズマ密度を n = Mn0 で見積もる

ことにする。ここで、µはパルサーの磁気モーメント、Mはペアプラズマの multiplicity、n0 = ΩBL/2πce

は光円柱付近での典型的Goldreich-Julian density である。磁場強度（主にトロイダル磁場）と密度の外向きへの変化をそれぞれ、および n = Mn0(rL/r)2 で見積もり、B′

φ = Bφ/γw と n′ = n/γw、に注意して電

流条件 (12.141)を書き換える。ここで、γw は wind bulk motion のローレンツ因子である。結局、条件は

r

rL< 4π ¯Mγw ≡ rd

rL(12.146)

と書き換えられる。ここで、積Mγw はMによらずパルサーの起電力でほぼ決まることに注意する。つま

り、電磁場のエネルギーがプラズマに渡されたときエネルギーは各々の粒子に分配されるから、積はどれ

くらいの電磁場のエネルギーが加速に使われたかの総量のみできまる。ポインティングフラックスのほと

んどをパルサー風に渡した場合はMγw はパルサーの有効起電力で加速したときの粒子のローレンツ因子

γ0 = eBLRL/mc2 = 2.58 × 107µ30/P 2 になる。ここで、µ30は 1030Gcm3単位の磁気モーメント、P はパ

ルサーの周期である。パルサー風の電磁エネルギーがプラズマに変換されるまでの距離は結局

rd

rL= 4π ¯γ0 (12.147)

で見積もられる。Crab Pulsarでは P = 0.0334 sec、µ30 =√

PP/10−15 = 3.8 (P = 4.21 × 10−13)からγ0 ≈ 1011 であり、rd ∼ 1011rL を得る。終端衝撃波の位置は、0.1 pc= 109rL であるから磁気中性面での

磁場エネルギーの散逸によって運動エネルギーが卓越したパルサー風を説明することは難しそうである。

以上の結果は、より精密な議論によって確かめられている (Lyubarsky & Kirk 2001, Kirk & Skjæraasen2003).

105

関連図書

[1] Lyubarsky, Y., & Kirk, J. G. 2001, ApJ., 547, 437

[2] Kirk J.G., Skjæraasen O., 2003, ApJ., 591, 366

12.6 Neutral sheets disruption at shock

Wind

βx

Bz

Ey

Ex x

y

zmagneticneutralsheet

Wind

βx

Bz

Ey

Ex

magneticneutralsheet

Shock

106 関連図書

12.7 Millisecond Pulsars

LMXB の中に周期ミリ秒のパルサーが弱い磁場の中性子星として発見されこれが少なくともひとつのミリ秒パルサーの形成の過程を示すものと考えられている (Wijnands and Klis, 1998).

SAX J1808.4-3658 という X-ray buster (Type I) から、RXTE によって 2.49 msec のパルスが検出された。これは周期約 2時間の LMXB system である。この中性子星の磁場が 108G程度でミリ秒パルサーのそれと同程度と予測されることとこの周期からまさにミリ秒パルサーの卵といえる。たぶん、質量降着が

なくなれば電波ミリ秒パルサーとなるであろう。death line の上だから。中性子星に質量が降着した時、磁場にせき止められる半径 rM がある。この半径で共回転をはじめた時、

十分に遠心力が重力に勝つようなら質量降着は止められ降着物質をはね飛ばすような状況になる。共回転

半径、つまりケプラー速度が共回転に等しくなる半径を rc とすると rc < rM であれば、rM での回転が早

く質量降着が妨げがれ、中性子星はスピンダウンするだろう。逆に、rc > rM なら、磁場が弱くてせき止

めは効かないまま遠心力も効かないで質量降着が起こり、スピンアップする。現在、SAX J1808.4-3658 はまだスピンアップしているので、rM が小さいようだ。このことから磁場が弱いことがわかる。

定量的には以下のようになるだろう。まず、rM は、磁気圧と降着した物質の動圧のバランス条件

B2

4π≈ 1

2ρv2 (12.148)

から求められる。ここで、B = µ/r3M であり、(1/2)v2 = GM/rM である。密度は質量降着率と光度の関係：

ρv · 2πr2Mξ = M L =

GMNSM

RNS(12.149)

から推測する。これらの式から、

rM = 18ξµ4/726 (MNS/M¯)1/7R

−2/76 L

−2/737 km (12.150)

がえられる。

一方、共回転半径は rΩ = GMNS/r2 より

rco = 15(MNS/M¯)1/3P 2/3ms (12.151)

である。観測される L ∼ 6 × 1036 erg/s と周期から磁場が 108 程度以下と推定される。

referecnes Wijnands R., Klis, van der M., 1998, Nature 394, 344

107

付録A 保存則の定式化

A.1 保存則の式

保存法則がどのような式で表せるかを理解しておこう。

図 A.1: さあ、積木を片付けよう。箱に詰めてみると、あっ、ひとつ足らない。積木がひとつ無くなった！このとき、そのひとつはどこかにあるに違いないと考えることができるのは保存法則を信じているからで

ある。

単位断面積の x方向に伸びた長いチューブを流れる気体の保存則を考える。

気体の密度をN(x, t)とする。幅∆x の部分を考える。積木の箱に相当。この箱に入っている粒子の数は

N(x, t)∆x でこれが∆t の後に変化したとする。この変化の原因は「保存則」により、左右の壁からの流入

と流出の差し引きで決まる。流入や流出を表す物理量は流束 (flux)と呼ばれる量である。単位は cgs なら[個/cm2 sec ] である。x軸方向の流束を正として逆方向なら負である。左からの流入は F (x−∆x/2, t)であり、右からの流出は F (x + ∆x/2, t) である。よって

N(x, t + ∆t)∆x − N(x, t)∆x

∆t= F (x − ∆x/2, t) − F (x + ∆x/2, t)

= F (x, t) − ∂F (x, t)∂x

∆x

2− F (x, t) − ∂F (x, t)

∂x

∆x

2(A.1)

であるので、∂N

∂t+

∂F

∂x= 0 (A.2)

が保存則の表現となる。これを３方向に拡張すると、

∂N

∂t+ ∇ · F = 0 (A.3)

108 付録 A 保存則の定式化

となる。ここで流束を速度場を用いて F = Nv と書けるときは、流体の連続の式と同じ形になる。

∂N

∂t+ ∇ · (Nv) = 0 (A.4)

109

付録B シンクロトロン放射とその偏光

B.1 完全楕円偏光

図 B.1の直交座標系 xyzで、z方向 (紙面表向き)が観測者 (電磁波の伝播)方向とする。xおよび y方向

の電場成分を観測したとき

Ex = E1 cos(ωt − φ1) = E1eiφ1 e−iωt, (B.1)

Ey = E2 cos(ωt − φ2) = E2eiφ2 e−iωt, (B.2)

となれば、これは完全楕円偏光 (単色)電磁波という。x軸方向と y軸方向にそれぞれアンテナか偏光板を

設置すると、E21 , E2

2 の強度が得られる。しかし、φ1, φ2 の値によって偏光状態は楕円偏光であったり直線

偏光だったりするので、E21 , E2

2 の 2つのパラメータだけでは偏光状態がきまらない。電場ベクトルは図のように楕円を描くので偏光状態は、 (1)長軸の向きを指定する χと、(2)長軸短軸成分の電場を

E′x = E0 cos β cos ωt, E′

y = E0 sinβ cos ωt (B.3)

と表現するときの E0, と β (つまり、強度と縦横比)の、合計 3つのパラメータで記述できる。(偏光板やアンテナを回して強度の強い方向 χを見付け、x′, y′ 方向の強度、Imax = (E′

x)2, Imin = (E′y)2,を測定すれ

ば E20 = Imax + Imin, tan2 β = Imin/Imax によって 3つのパラメータが測定される。)縦横比 (偏平度)のパラメータ βは、0の時、完全な直線偏光、±π/4の時、完全な円偏光に対応し、正負

は時計回りか反時計回りかを規定する。

ストークスパラメータ (Stokes parameters)は以下のように定義される。

I ≡ E21 + E2

2 = E20 (B.4)

Q ≡ E21 − E2

2 = E20 cos 2β cos 2χ (B.5)

x

y

x’y’

χE

110 付録 B シンクロトロン放射とその偏光

2χ

2β

Q

U

V

Linearly pol.

Circularly Pol.

U ≡ 2E1E2 cos(φ1 − φ2) = E20 cos 2β sin 2χ (B.6)

V ≡ 2E1E2 sin(φ1 − φ2) = E20 sin 2β (B.7)

これから、

E0 =√

I, sin 2β =V

I, tan 2χ =

U

Q(B.8)

をみたすこともわかる。

球面極座標の変換則との類似性から図 B.1のような QUV 空間で偏光状態を表現することができる。

I2 = Q2 + U2 + V 2 (B.9)

の関係がある。

note まったく同じ偏光状態で観測者の基準方向 zyを変更したときは、I, V は変化なく、Q, U

の成分の交換がおこるだけである。x軸を反時計回りに α回転したときの Stokes-QU パラメー

タはダッシュをつけて

Q′ + iU ′ = e2iα(Q + iU) (B.10)

のように変換する。

B.2 実際に観測される光の偏光パラメータ

現実の観測で光 (電磁波)は、ある長さ (coherent length)で完全だ円偏光を示しても、観測時間のうちには様々な偏光状態の光が重ね合わされてくる。この状態は (B.1),(B.2)の複素振幅が時間に依存しているとし:

E1(t) = E1(t)eiφ1(t), E2(t) = E2(t)eiφ2(t), (B.11)

その時間平均が観測されると考えると表現できる。するとストークスパラメータの自然の一般化として観

測時間で平均された (これを〈〉で表わす)ストークスパラメータを定義することが出来る：

I ≡ 〈E1E∗1 〉 + 〈E2E

∗2 〉 = 〈E2

1 + E22 〉 (B.12)

Q ≡ 〈E1E∗1 〉 − 〈E2E

∗2 〉 = 〈E2

1 − E22 〉 (B.13)

U ≡ 〈E1E∗2 〉 + 〈E2E

∗1 〉 = 〈2E1E2 cos(φ1 − φ2)〉 (B.14)

V ≡ 1i〈E1E

∗2 〉 − 〈E2E

∗1 〉 = 〈2E1E2 sin(φ1 − φ2)〉 (B.15)

B.3. シンクロトロン放射 111

ここで、Schwartz の不等式が成立するので、

I2 ≥ Q2 + U2 + V 2 (B.16)

である。もし、E1 と E2 が無相関で平均振幅が等しいなら、Q = U = V = 0で完全無偏光状態にある。証明は省略するが、ストークスパラメータは加算的である。つまり、いくつかの光の部分がありそれが

いっしょに観測されるとき、各部分のストークスパラメータが、I(k), Q(k), U (k), V (k), なら、全体の観測結果のストークスパラメータは単なる和、

I =∑

k

I(k), Q =∑

k

Q(k), U =∑

k

U (k), V =∑

k

V (k), (B.17)

で計算される。逆に言うと、観測された IQUV は完全に楕円偏向した波の成分と完全無偏光の波の重ね合

わせであるとみなすことができる。これを実行すると、

I

Q

U

V

=

Iunpol

000

+

Ipol

Q

U

V

(B.18)

ここで、

Ipol =√

Q2 + U2 + V 2 (B.19)

Iunpol = I −√

Q2 + U2 + V 2 (B.20)

である。偏向度 (degree of polarization) は、Π = Ipol/I =√

Q2 + U2 + V 2/I で定義される。

非常によくあるケースとしては直線部分偏光の場合 (V = 0)がある。このときは、完全直線偏向成分と完全無偏光成分の重ね合わせと考えられて、完全直線偏向成分については偏向方向 x′の測定に対し Ipol が得

られそれに垂直な方向に対しては強度はゼロになる。一方、完全無偏光成分については、x′と y′のそれぞれ

同じ強度 Iunpol/2が得られる。従って、偏光板を回転し得られる最大強度のときは、Imax = Ipol + Iunpol/2が得られ、最小強度のときは、Imin = Iunpol/2が得られている。このときの偏光度は、

Π =Imax − Imin

Imax + Imin(B.21)

と表せる。

B.3 シンクロトロン放射

磁場中の荷電粒子のジャイロ運動に伴う電磁波の放射をサイクロトロン放射というが、特に、粒子の速度

が光速に近いときはシンクロトロン放射と呼んでいる。サイクロトロン放射の振動数は基本的にジャイロ

周期であるが、シンクロトロン放射では後で述べる相対論的効果でずっと高い振動数で放射される。

電荷 q、質量mの相対論的な粒子は磁場 B の下で周期

ωB =qB

γmc(B.22)

のジャイロ運動をおこなう。ここで、γはローレンツ因子。この粒子の加速度は運動方向に垂直で a⊥ = ωBv⊥

であるから、この粒子からの電磁波の放射パワーは、P = (2q2/3c3)γ4a2⊥、つまり、

P = 2σT cβ2⊥γ2 B2

8π(B.23)


θ

Ω

β

observer

=v/cemitter

d

(a)

θ

Ω

emitter

d

(b)

’

’

図 B.1: 粒子あるいはブロッブが運動しながら放射するとする。

B.4 Doppler Boosting

放射をしているガス塊 (粒子/ブロッブ)が運動しているときの観測されるパワーは運動方向に偏り、強度も高くなる。これは Doppler boost と呼ばれる。その定量的導出を復習しておく。図 B.1で K系で粒子あるいはブロッブは速度 v = cβ で運動しており、K′は粒子あるいはブロッブは与

えられた瞬間で静止しているとする。K′系で dtの間に dW のエネルギーを放射したとする。このとき、粒

子あるいはブロッブの運動は無いので放射は対象的であり dp′ = 0である。よって、エネルギー・運動量のローレンツ変換より、dW = γdW ′である。また、この時間内の変位もゼロなので dt = γdt′となる。よっ

て、Power は Lorentz 不変になる：

P =dW

dt=

dW ′

dt′= P ′ (B.24)

つぎに、放射の方向依存性を調べる。θ方向に出る放射については、

dW = γ(dW ′ + vdP ′x) = γ(1 + β cos θ′)dW ′ (B.25)

であり、振動数に関して Doppler 効果、運動量ベクトルに関して光行差が導かれる：

ν = γ(1 + β cos θ′)ν′ (B.26)

cos θ =β + cos θ′

1 + β cos θ′(B.27)

これから、立体角に関する関係

dΩ =dΩ′

γ2(1 + β cos2 θ′)(B.28)

が導ける。θ方向の観測者が観測する強度の導き方には dtをどのようにとるかによってふたつの放射率が

導き出せる。(Rybicki and Lightman, 1979)

1. dt = γdt′ とするとき。これは、その放射が起こっている K系における実際の時間である (emittedpower: Pe = dW/dt):

dPe

dΩdν=

1γ3(1 − β cos θ)2

dP ′

dΩ′dν′ =D2

γ

dP ′

dΩ′dν′ (B.29)

であらわせる1。ここで、 Doppler factor を

D =1

γ(1 − β cos θ)(B.30)

で定義した。1参考；1 + βµ′ = 1/[γ2(1 − βµ)]

B.4. Doppler Boosting 113

B’

A AB’

B θ

field of view(a) (b) (c) C

図 B.2: 単一ブロッブと連続体の比較

2. dtA = γ(1− β cos θ)dt′ とするとき。これは観測者が考えてる放射を受け取る時間。因子 (1− β cos θ)はドップラー効果による。(Received Power: Pr = dW/dtA):

dPr

dΩdν=

1γ3(1 − β cos θ)3

dP ′

dΩ′ν′ (B.31)

どちらを使うべきかが問題となるが、これは状況によって変わる。

図 B.2の左のように望遠鏡の視野内にひとつのブロッブを見ているときは (B.31)の評価で良い。しかし、ブロッブの列あるいは、連続体としてみている場合は見えているブロッブの数が時間の遅れの効果のため

ビーミング因子分だけ変わり、結局、観測されるパワーは Received Power でなく Emitted Power の評価と同じ形になる。

このことを、図B.2を用いて詳しくみていこう。図B.2(b)でブロッブの列を見たとき、Aからの光ととB′

からの光は同時刻に出たものでない。B′が奥にあるためすこし過去の光をみている。これを (c)の図で見ると、Aから出た光子と同時に観測する光子はCの位置に達していなければならず δt = BC/cだけ先だって出

発していなければならない。AB = `とすると、δt = ABcos θ/c = ` cos θ/cと書ける。したがって、(b)図で見えているのは (c)図の Bではなく B′である。ブロッブの運動の早さを vとすると、B′B = vδt = β` cos θ

である。したがって、視野内に見えているブロッブの数は B′A/∆` = (`/∆`)(1−β cos θ) となる。したがって、観測されるブロッブ密度あるいは連続体の密度は、通常の proper density の変換式 n = γn′ではなく、

nobs = γ(1− β cos θ)n′ としなければならない。(B.31)の両辺に nobsをかけて dνで割ることによって体積

放射率を計算すると、

jν = nobsdPr

dΩdν=

1γ2(1 − β cos θ)2

n′ dR′

dΩ′dν′ = D2j′ν′ (B.32)

となる。ここで、 Doppler factor を

D =1

γ(1 − β cos θ)(B.33)

で定義した。また、ν′ = γ(1 − β cos θ)ν = ν/D を用いた。放射強度や体積放射率の変換性については相対論的共変性の観点で、

Iν

ν3= Lorentz invariant. (B.34)

やjν

ν2= Lorentz invariant. (B.35)

が示されている (e.g. Rybicki and Lightman 1979, Padmanabhan 2002)。上式は、光子の位相空間密度の不変性から直接導かれている。こうした導き方で分かった気になっていても、これらの量が emitted powerなのか received power なのかは陽に明示されていない。Rybicki and Lightman (1979)は別の導出としてemitted power の関係式の両辺に n = γn′ をかけ dν = Ddν′ で割ることで

jν = ndPe

dΩdν=

1γ2(1 − β cos θ)2

n′ dR′

dΩ′dν′ = D2j′ν′ (B.36)


β

observer(toward)

β

observer (away)

β

observer(toward)

β

observer (away)

θ

θ

θ

θ

図 B.3: 双極ジェットの toward と away の放射強度比較。

を示している。著者自身ここは Received power でなく emitted power を用いていることを注意している。しかし、received power でも上記のような議論をすれば (nでなく nobsを用いれば)同じ結論が導き出せるわけである。

いま、双極ジェットのように運動するガスを考え、観測者に向かって来るガスと観測者から遠ざかるガス

とからのフラックスの比を考える。

たとえば、”Theoretical Astrophysics vol III” (Padmanabhan, 2002, Cambridge UniversityPress. pp. 492-493) では、Iν/ν3 の不変性から、Iν = (ν/ν′)3Iν′ = D3Iν′ であるので、I ′ν′ ∝(ν′)−α とすると

Fν(toward)Fµ(away)

=(

1 + β cos θ

1 − β cos θ

)3+α

(B.37)

が導かれている。そして、これは放射体がブロッブ状のときの関係で、放射体が連続的なら、ブ

ロッブの数が Dでスケールするので、

Fν(toward)Fµ(away)

=(

1 + β cos θ

1 − β cos θ

)2+α

(B.38)

となる、と指摘している。

図 B.3のような双極ジェットで、ガスに乗った系で体積放射率が j′ν′ = Kν′−α であるとする。放射領域

が図 B.3の右のように連続的な場合をまず考える。観測する振動数バンド ν ∼ ν + ∆ν が観測者の系固定

されていること、また放射領域の厚さと∆L、装置の立体角∆Ωも決まっているので

Fν = jν∆L∆Ω (B.39)

= D2j′ν′∆L∆Ω (B.40)

= D2K(ν′)−α∆L∆Ω (B.41)

= D2K(ν/D)−α∆L∆Ω (B.42)

= KD2+αν−α∆L∆Ω (B.43)

Fν(toward)Fν(away)

=jν(toward)∆ν∆L∆Ωjν(away)∆ν∆L∆Ω

=(

1 + β cos θ

1 − β cos θ

)2+α

(B.44)

と書き表せる。

B.4. Doppler Boosting 115

今度は、図の右のように双極流がブロッブになっており、観測は個々のブロッブにたいして行われたとす

る。この場合のフラックスでは proper frame でのブロッブの大きさが固定されなければならない。フラックスは、

Fν =∫

jνd`dΩ (B.45)

=∫

D2j′ν′d`dA/d2 (B.46)

=∫

D2j′ν′dV (B.47)

で計算できる。ここで、dAは視線に垂直な面素、dは天体までの距離である。体積要素 d`dA = dV につ

いては、時間が固定なら dxdydz = γdx′dy′dz′と考えられるが、ここでは、同時刻に放射を観測するので、

Iν =∫

jν(`, t)d` (B.48)

の積分は、光子の世界線に沿って行われなければならない。普段はあまり気にしていないが、この積分は図

B.4(a)において ABに沿った積分であり、A′B ではないことに注意する。Lorentz 変換

dx = γ(dx′ + βcdt′) (B.49)

dy = dy′ (B.50)

dz = dz′ (B.51)

を見ると、 dxについては時間の変化を考えなければならないことがわかる。dx′異なる点における時刻は

図 B.3(b)で分かる通り dt′ = (cos θ)dx′/c異なっていなければならないので、

dV = dxdydz = γ(1 + β cos θ′) dx′dy′dz′ = DdV ′ (B.52)

の様に変換される。したがって、ブロッブからのフラックスは

Fν = D3

∫j′ν′dV ′ = KD3+αν−α∆V ′ (B.53)

で与えられる。ここで、∆V ′ はブロッブ固有の体積である。双極ジェットの強度比は

Fν(toward)Fν(away)

=(

1 + β cos θ

1 − β cos θ

)3+α

(B.54)

となる。

このように Doppler factor の効き方は観測装置の角分解能にたいして連続放射とみなせるか離散した放射塊とみなせるかによって違って来る。当然、ブロッブのサイズや分布によって中間的な値や時間変動が生

じる。さらに、内部衝撃波の様な場合を考えると放射をしているブロッブの運動速度と流体の速度とは異な

るのでさらに複雑になる (図 B.5)。このような場合は、 D2+α か D2+α あるいはその中間かは構造依存と

言うことになる。


l

t

A

BA’

dx’

θ

x’

ray

direction of motion

dl = c dt

(a) (b)

t’

t’+dt’

図 B.4: 体積放射率の線積分で放射強度を求めるときの時空での積分路

jet

Vsh

β

図 B.5: より複雑な放射体と内部運動。

B.5. ゆっくり変化するエントロピー波の取扱い 117

B.5 ゆっくり変化するエントロピー波の取扱い

B.5.1 準備

まず、平均流速ゼロで、密度ゆらぎのみがあり、それがゆっくりと平坦化する場合を考える。

X

ρ

密度を

ρ = ρ0 + A(t) sin(2πx/λ) (B.55)

と仮定する。A(t)は振幅でゆっくり減衰して行くとする。これは音波モードのゆらぎでは無くて、つまり進行波でなく、圧力一様で物質中にある密度のむらがあると考える (原子の成分が違うなど)。ゆらぎが平坦化する際の物質の移動に伴う流れは連続の式から求められる：

∂ρ

∂t+

∂ρv

∂x= 0 (B.56)

よって、∂ρv

∂x= −∂ρ

∂t= −A′(t) sin(2πx/λ) (B.57)

を得るが、この式を積分して平均流がゼロの条件で積分定数を決めると

ρv =λ

2πA′(t) cos(2πx/λ) (B.58)

を得る。平坦化に伴ったドリフト速度は

v(x, t) =(λ/2π)A′(t) cos(2πx/λ)ρ0 + A(t) sin(2πx/λ)

≡ vd (B.59)

で与えられる。

上記の密度ゆらぎが全体として右向き速度 v0の流れに乗っているとする。このような波をエントロピー

波とよぶ。

v0

密度ゆらぎが右に v0で走りながら少しずつ平坦化するとする。左からは振幅の大きなゆらぎが入って来て

全体としての振幅分布は定常に見えるとする。このとき振幅の変化は t → x/v0 で変換されると考えられ

る。よってこのときの密度は

ρ = ρ0 + A(x

v0) sin

[2π

λ(x − v0t)

](B.60)


のように変化すると思われる。速度場は

v = v0 + vd (B.61)

になるように思われる。このような密度と速度場が連続の式を満たすか調べてみる。

∂ρ

∂t= −2π

λv0A(

x

v0) cos

[2π

λ(x − v0t)

](B.62)

∂ρv

∂x=

∂(ρv0 + ρvd)∂x

(B.63)

= A′(x

v0) sin

[2π

λ(x − v0t)

]

+v02π

λA(

x

v0) cos

[2π

λ(x − v0t)

]

+∂

∂x

λ

2πA′(

x

v0) cos

[2π

λ(x − v0t)

]

=λ

2πA′′(

x

v0)

1v0

cos[2π

λ(x − v0t)

](B.64)

このようにゆっくり変化するとき小さいであろう A′′ の項が連続の式の余剰項を作る。

以上の計算から言えることは、流れに乗った系で時間的にゆっくり変化するとしたときの乱れの平滑化の

運動 vdを計算し、静止系の観測者が見る流れは v0 + vd とすることは近似的には正しいが、同時に、正確

には連続の式は満たさない、ということである。今後、複雑な系を扱うにはもう少し系統立てて、流れに

沿ってみたときゆっくり変化するものを扱える式を作っておくと便利であろう。以下、その様な定式化を

Lyubarsky and Kirk (2001, Ap J 547, 437)に沿って見てゆこう。

φ =2π

λ(x − v0t) (B.65)

を導入し、密度とフラックスが ρ(φ, x)、f(φ, x)の形であるとして連続の式を見直す。

0 =∂ρ

∂t+

∂f

∂x= −Ω

∂ρ

∂φ+

Ωv0

(∂f

∂φ

)

x

+(

∂f

∂x

)

φ

(B.66)

ここで xの偏微分が独立変数が (φ, x)のときのものであることを明確にした方がよい。また、振幅の変化がゆっくりしていることを意識して

X =x

L(B.67)

と置く。(L À λ) また、流れの早さは一般にはゆっくり変化することを考え、また、振動成分は振動数Ω = 2πv0/λ が定数とみなせることから、

φ = Ω(∫ x dx′

v0− t

)(B.68)

dφ =Ωv0

dx − Ωdt (B.69)

=∂φ

∂xdx +

∂φ

∂tdt (B.70)

連続の式は以下のように変形できる：

∂ρ

∂t+

∂f

∂x= 0 (B.71)

−Ω∂ρ

∂φ+

∂f

∂φ

∂φ

∂x+

∂f

∂X

∂X

∂x= 0 (B.72)

−∂ρ

∂φ+

1v0

∂f

∂φ+

1ΩL

∂f

∂X= 0 (B.73)

B.5. ゆっくり変化するエントロピー波の取扱い 119

変数を変更したときの近似なしの連続の式が求められた。

最初に取り扱った例を上式に適用してみよう。ρ = ρ0 + A(X) sin φ、f = ρ (v0 + vd(φ,X)) とする。連続の式は

− ∂ρ

∂φ+

1v0

∂ρv0

∂φ+

1v0

∂ρvd

∂φ+

1ΩL

∂ρv0

∂X+

1ΩL

∂ρvd

∂X= 0 (B.74)

とかける。以下、v0はしばらくの間定数とする。第 1項と第 2項はキャンセルする。第 3項は∼ ρvd/v0の

大きさで、第 4項は ρvd/ΩLの大きさなので、第 4項は無視する。すると、

v0

ΩL

dA

dXsinφ +

1v0

∂ρvd

∂φ= 0 (B.75)

これを積分して、

vd =v20

ΩL

dA

dX

cos φ

ρ(B.76)

を得る。こうして最初に考察した vd と同じ結果を得た。

B.5.2 Pulsar Wind, Nebula flow への応用

観測者系での連続の式は∂N

∂t+ ∇ · Nv = 0 (B.77)

ここで、密度 (観測者系)は、proper density n を用いて、N = γn で与えられる。γ = (1 − v2/c2)−1/2 は

流れのローレンツ因子。球対象の流れでは、

∂γn

∂t+

1r2

∂γnvr2

∂r= 0 (B.78)

エネルギー保存は

E = µnγ2 − p +E2 + B2

8π(B.79)

F = µnγ2v +cE × B

4π(B.80)

∂E∂t

+ ∇ · F = 0 (B.81)

ここで、µn = ε + p はエンタルピーである。

ここで位相を

φ = Ω(∫ r dr′

v0− t

)(B.82)

で定義。

dφ =Ωv0

dr − Ωdt (B.83)

=∂φ

∂rdr +

∂φ

∂tdt (B.84)

ゆっくり変化するスケールでの半径を

R =r

L(B.85)

で定義。(B.78)は

−∂γn

∂φ+

1v0

∂γnv

∂φ+

1LΩ

1R2

∂

∂R(R2γnv) = 0 (B.86)


図 B.6: 導体の回りの電位を求めるためのグリッド

B.6 数値計算上の扱いについてのメモ

B.6.1 二階偏微分方程式の境界条件について

Poisson 方程式の例

Poisson 方程式は楕円型方程式の境界値問題としてよく教科書などに取り上げられている。

−52 φ = 4πρ (B.87)

の解は境界面上で φ の値か、法線方向微分 ∂φ/∂n の値が与えられたときユニークに決定される。

このことが数値計算上はどのようになるか調べる。

具体例として、中心に帯電した胴体を置いたときの電位の決定の問題を考える。胴体の形に合わせた適当

な座標系が張ってあり、それに適当な格子 (i, j, k)を作ったとする (i, j, k = 0, 1, ...N)(図参照)。電位 φの決

定には基準点に関するスカラーひとつの任意性があるが、無限遠点の電位を零とすることでこれが決まる。

φ(N, j, k) = φ∞ = 0 (B.88)

ここで、i = N は無限遠あるいは十分遠い外部境界上の格子点とした。

図の中で、黒丸は境界条件で定まっている点、白抜きの丸は決めなければならない点である。このうち、

空間にある点 (導体面を除く)の各格子点の未知量 φ(i, j, k) については各点で (B.87)を差分化した式が立てられる。表面上の電位は静電場では一定なので、それを φo と置くと

E⊥(j, k) = −∂φ

∂n≈ −φ(1, i, j) − φ0

∆j,k(B.89)

がなりたつ。ここで、E⊥(j, k)は法線電場、∆j,k は法線方向の格子幅で、各導体面上の格子点での量であ

る。これらはひとつの定数 φ0によって決まる。このスカラーひとつの自由度は導体に与えた総電荷Qの自

由度に相当する。

σ(j, k)Sj,k = E⊥(j, k)/4π (B.90)

(Sj,k は格子点が代表する導体面上の面積)なので、

14π

∑

i,j

φ(1, i, j) − φ0

∆j,k= Q (B.91)

B.6. 数値計算上の扱いについてのメモ 121

図 B.7: Pulsar equation での格子点の未知数と境界条件

が成り立つ。ここで、和は導体面上の全ての格子点ついてとる。こうして、未知数の数と方程式の数が一致

し、この連立一次方程式を解けば解が唯一定まることになる。

Pulsar equation の例

軸対称で Force-Free を仮定すると磁気圏の磁場の流れ関数 ψ に対する方程式は以下の 2階の偏微分方程式となる。

(1 − x2)(

∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂z2

)− 1 + x2

x

∂ψ

∂x= −II ′ (B.92)

ここで、I は ψのみの未知関数であり、I ′ = dI/dψである。

境界条件は、

(1)星表面での ψの値 (例えば、ダイポール磁場)(2)光円柱での regurality condition

2∂ψ

∂x= II ′ (B.93)

(3)無限遠での regularity condition∂2ψ

∂θ2+

∂ψ

∂θcot θ =

II ′

sin2 θ(B.94)

(1)より星表面の格子点での値は既知である（印）。残りの格子点はすべて未知（印）である。通常点に対しては (B.92)を差分化した式が作られる。singular surface x = 1で解が regular と仮定すれば (B.93)が成り立つ。これを差分式で表現する。もっとも低い近似では、x = 1 − 0の側で

2ψx=1 − ψx=1−∆x

∆x≈ I(ψx=1) I ′(ψx=1) (B.95)

x = 1 + 0の側で

2ψx=1+∆x − ψx=1

∆x≈ I(ψx=1) I ′(ψx=1) (B.96)

で成り立っていなければならない。x = 1の上の格子点ではそこでの ψ と I の値が未知数であるがこのふ

たつの未知数に対してふたつの方程式があるので方程式の数がちょうどあうことになる。

最後に、無限遠点あるいは十分に遠くにある外側の境界上で (B.94)を差分化した式が作られる。こうして、未知数と方程式の数は一致し、解を求めることができる。

なお、x = 1の regularity condition の高精度の近似が欲しいときは次のようにする。

(∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂z2

)

x=1

= limx→1

1+x2

x∂ψ∂x + ( I2

2 )′

1 − x2(B.97)


であるので、右辺の分母分子を xで微分しいわゆるロピタルの定理により極限を求める。これより、(

2∂2ψ

∂x2+

∂2ψ

∂z2

)

x=1

= −14

(I2

2

)′′ (I2

2

)′

(B.98)

を得る。この式を差分化したした式を x = 1の格子点に適用し、(B.93)の 2次の公式

2ψx=1+∆x − ψx=1−∆x

2∆x≈ I(ψx=1) I ′(ψx=1) (B.99)

を x = 1の両側の格子点に関する関係式として加える。

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宇宙電磁力学 - 国立大学法人 山形大学ksirius.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata/advance/p.pdf3 この講義は、電磁力が宇宙のなかでどのような効果を及ぼすかを考えるときの基礎を与える。この分野は

宇宙電磁力学 - 国立大学法人山形大学ksirius.kj.yamagata-u.ac.jp/~shibata/advance/p.pdf3 この講義は、電磁力が宇宙のなかでどのような効果を及ぼすかを考えるときの基礎を与える。この分野は