8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 1/6

C l o s e d l o o p s o f a t h i n e l a s t i c r o d a n d i t s s y m m e t r i c s h a p e s w i t h  

s e l f - c o n t a c t s  

E . L . S t a r o s t i n  

 

A b s t r a c t  

T h e t h i n e l a s t i c r o d i s a t r a d i t i o n a l m o d e l f o r t h e l a r g e - s c a l e s t r u c t u r e o f l o n g D N A m o l e c u l e s . T h e s o l u t i o n s  

f o r c l o s e d e q u i l i b r i a a r e c o n s i d e r e d . P a r t i c u l a r a t t e n t i o n i s p a i d t o t h e s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t s . A n e w c l a s s o f  

a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s p r e s e n t e d . I t s r e l a t i o n t o t h e k n o w n m u l t i - l e a f e d  

" r o s e - l i k e " s y m m e t r i c s h a p e s i s d i s c u s s e d .

K e y w o r d s :   T h i n e l a s t i c r o d , E q u i l i b r i u m , L o o p , B V P , D N A .

A M S s u b j e c t c l a s s i c a t i o n s :   7 3 K 0 5 , 9 2 E 1 0 .

1 I n t r o d u c t i o n  

S i n c e l a t e 7 0 - s , t h e r e h a s b e e n a c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n s t u d y i n g t h e l a r g e - s c a l e c o n f o r m a t i o n s o f d e o x y r i b o n u c l e i c  

a c i d ( D N A ) m o l e c u l e s b y u s i n g t h e m o d e l o f a t h i n e l a s t i c r o d 1 , 2 ] . T h e r a d i u s o f t h e d o u b l e r i g h t - h a n d e d h e l i x  

o f D N A i s a b o u t 1 n m a n d i t s l e n g t h m a y a c h i e v e 1 0 0 0 n m o r e v e n m o r e . A p p r o x i m a t e l y 1 0 b a s e p a i r s c o r r e s p o n d  

t o o n e t u r n o f t h e h e l i x i n t h e r e l a x e d s t a t e . T h e s p e c i c c o n f o r m a t i o n s o f D N A c a n f a c i l i t a t e o r h i n d e r v a r i o u s  

b i o c h e m i c a l p r o c e s s e s , i n c l u d i n g r e p l i c a t i o n , t r a n s c r i p t i o n , a n d r e c o m b i n a t i o n . T h e s e g m e n t s a s l o n g a s 1 5 0 - 2 0 0 b a s e  

p a i r s a r e r e l a t i v e l y s t i a n d m a y b e m o d e l l e d o n t h e b a s i s o f K i r c h o ' s t h e o r y o f l i n e a r e l a s t i c r o d s 3 , 4 , 5 ] . T h e  

e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e r o d a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h r e e s t i n e s s c o e c i e n t s : t w o b e n d i n g a n d o n e t o r s i o n a l . T h e i r  

e e c t i v e v a l u e s f o r t h e D N A r o d w e r e d e t e r m i n e d b y u s i n g t h e e x p e r i m e n t a l d a t a 2 , 6 ] .

2 M o d e l a n d e q u a t i o n s  

A t h i n e l a s t i c r o d i s c o n s i d e r e d . I t i s a s s u m e d t o b e i n e x t e n s i b l e a n d h o m o g e n e o u s i n t h e s e n s e t h a t i t s e l a s t i c p r o p e r t i e s  

a r e i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i t i o n o n t h e r o d a x i s . T h e c e n t e r l i n e o f t h e r o d i s p a r a m e t r i z e d w i t h t h e a r c l e n g t h   s  . T h e  

p o i n t s o n t h e c e n t e r l i n e a r e d e s c r i b e d b y t h e i r r a d i u s v e c t o r   r  (  s  ) w i t h r e s p e c t t o a n o r i g i n   O  . T h e t a n g e n t v e c t o r  

t  (  s  ) = 

d  r  (  s  ) 

d s 

, t h e n o r m a l   n  (  s  ) = 

d  r  (  s  ) 

d s 

= 

d  r  (  s  ) 

d s 

a n d t h e b i n o r m a l  b  =  t    n  f o r m a n a t u r a l t r i h e d r a l   t  n  b  . W e d e n e  

a l s o t h e p r i n c i p a l t r i h e d r a l   e 

1 

(  s  )  e 

2 

(  s  )  e 

3 

(  s  )  e 

1 

=  t  a n d t h e u n i t v e c t o r s   e 

2 

e 

3 

a r e a l o n g t h e p r i n c i p a l a x e s o f t h e  

c r o s s s e c t i o n o f t h e r o d .

T h e v e c t o r   !  i s t h e a n g u l a r v e l o c i t y o f r o t a t i o n o f t h e t r i h e d r a l   e 

1 

e 

2 

e 

3 

a s i t m o v e s a l o n g t h e c e n t e r l i n e w i t h t h e  

u n i t v e l o c i t y . I t m a y b e r e p r e s e n t e d a s a s u m o f t h r e e c o m p o n e n t s   !  = 

3 

P 

i  = 1 

! 

i 

e 

i 

! 

1 

=    + 

d  

d s 

i s t h e t o r s i o n o f t h e  

r o d ,   t h e a n g l e b e t w e e n   n  a n d  e 

2 

! 

2 

=    s i n  ! 

3 

=    c o s    a r e t h e p r i n c i p a l c u r v a t u r e s o f t h e r o d ,   a n d    a r e t h e  

g e o m e t r i c a l c u r v a t u r e a n d t h e t o r s i o n o f t h e c e n t e r l i n e , r e s p e c t i v e l y .

 

I n s t i t u t e f o r T e c h n i c a l M e c h a n i c s , U n i v e r s i t y o f K a r l s r u h e , K a i s e r s t r . 1 2 , D - 7 6 1 2 8 K a r l s r u h e , G e r m a n y , e - m a i l : s t a r o s t i @ i t m . u n i -  

k a r l s r u h e . d e  

T h i s s p a c e l e f t b l a n k f o r c o p y r i g h t n o t i c e .

1 

8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 2/6

L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t   2 

T h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e r o d i s d e s c r i b e d i n t h e p r i n c i p a l r e f e r e n c e f r a m e b y t h e e q u a t i o n s 3 ]

d  F 

d s 

+  !    F  +  f  = 0 

d  M 

d s 

+  !    M  +  t    F  +  m  = 0 ( 1 ) 

H e r e   F  (  s  ) d e n o t e s t h e r e s u l t a n t o f t h e i n t e r n a l f o r c e s a c t i n g o n t h e c r o s s s e c t i o n a n d   M  (  s  ) t h e n e t m o m e n t o f t h e s e  

f o r c e s . W e a s s u m e t h a t   F  (    ) (  M  (    ) ) i s t h e f o r c e ( m o m e n t ) w i t h w h i c h o n e p a r t o f t h e r o d (  s >   ) a c t s o n t h e o t h e r  

p a r t . I n E q . ( 1 ) , f  (  s  ) a n d   m  (  s  ) a r e t h e d e n s i t i e s o f e x t e r n a l f o r c e s a n d m o m e n t s a p p l i e d t o t h e r o d .

T h e r s t c a s e w e c o n s i d e r i s o n e w h e n n o s u c h e x t e r n a l f o r c e s a n d m o m e n t s a c t , i . e . , w e p u t   f  = 0  m  = 0 . T h e n  

t h e r s t E q . ( 1 ) i m p l i e s   F  =  c o n s t   i n t h e a b s o l u t e s p a c e . L e t     b e t h e u n i t v e c t o r i n t h e d i r e c t i o n o f   F  . W e m a y  

w r i t e   F  =  P    P  =  k  F  k   0  k    k  = 1    = 

3 

P 

i  = 1 

 

i 

e 

i 

T h e H o o k e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n c o m p l e t e s t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s  

M 

i 

= 

3 

X 

j  = 1 

B 

i j 

(  ! 

j 

;  ! 

0 

j 

)  M  = 

3 

X 

i  = 1 

M 

i 

e 

i 

! 

0 

j 

j  = 1  2  3 , a r e t h e t o r s i o n a n d c u r v a t u r e s o f t h e r o d i n i t s r e l a x e d , n o n - d e f o r m e d s t a t e . W e a s s u m e t h a t t h e r o d i s  

i n i t i a l l y s t r a i g h t ( i . e . , ! 

0 

2 

=  ! 

0 

3 

= 0 ) b u t i t m a y b e t w i s t e d . T h e r o d i s s u p p o s e d t o b e s y m m e t r i c a n d w e p u t   B 

i j 

= 0 

f o r  i  6=  j B 

i i 

=  B 

i 

B 

2 

=  B 

3 

U n d e r t h e a b o v e a s s u m p t i o n s w e c o m e a f t e r n o r m a l i z a t i o n t o t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s  

d ! 

1 

d s 

= 0 

d ! 

2 

d s 

+  ! 

3 

(  d  ;  ! 

1 

)  ; 

p 

2 

 

3 

= 0 

d ! 

3 

d s 

;  ! 

2 

(  d  ;  ! 

1 

) + 

p 

2 

 

2 

= 0 ( 2 ) 

w h e r e   b  =  B 

1 

= B 

2 

p  = 2  P = B 

2 

d  =  b  (  ! 

1 

;  ! 

0 

1 

)

E q s . ( 2 ) a l l o w f o r t h e r s t i n t e g r a l s :

! 

1 

=  ! 

 

1 

=  c o n s t ( 3 ) 

 

1 

d  +  ! 

2 

 

2 

+  ! 

3 

 

3 

=  l  =  c o n s t ( 4 ) 

! 

2 

2 

+  ! 

2 

3 

+  p  

1 

=  h  =  c o n s t :( 5 ) 

E q . ( 3 ) i m p l i e s i m m e d i a t e l y t h a t   d  =  b  (  ! 

 

1 

;  ! 

0 

1 

) =  c o n s t  

W e c h o o s e a n a b s o l u t e c o o r d i n a t e s y s t e m   O   x e d i n s p a c e s u c h t h a t t h e d i r e c t i o n o f t h e     - a x i s i s o p p o s i t e t o  

  . T h e t h r e e E u l e r a n g l e s     a r e c h o s e n t o d e s c r i b e r o t a t i o n o f t h e p r i n c i p a l t r i h e d r a l w i t h r e s p e c t t o t h e a b s o l u t e  

c o o r d i n a t e s . T h e n w e h a v e i n t h e s e c o o r d i n a t e s   ;    = ( c o s   s i n    s i n  s i n    c o s    ) 

T 

a n d 

! 

1 

= 

d  

d s 

+ 

d  

d s 

c o s  ! 

2 

= 

d  

d s 

s i n    s i n    + 

d  

d s 

c o s  ! 

3 

= 

d  

d s 

s i n    c o s    ; 

d  

d s 

s i n  ( 6 ) 

T h e i n t e g r a l s E q . ( 4 ) a n d E q . ( 5 ) t a k e t h e f o r m  

 

1 

d  ;  ( 1  ;   

2 

1 

) 

d  

d s 

=  l( 7 ) 

( 1  ;   

2 

1 

) 

 

d  

d s 

 

2 

+ 

 

d  

d s 

 

2 

+  p  

1 

=  h( 8 ) 

A f t e r e l i m i n a t i n g t h e d e r i v a t i v e  

d  

d s 

f r o m E q . ( 7 ) a n d E q . ( 8 ) , w e o b t a i n  

 

d  

1 

d s 

 

2 

=  f  (   

1 

)  f  (   

1 

) = (  h  ;  p  

1 

) ( 1  ;   

2 

1 

)  ;  (  l  ;   

1 

d  ) 

2 

( 9 ) 

W e a r e h e r e i n t e r e s t e d i n t h e c a s e o f n o n - z e r o e n d f o r c e , w h e n t h e c u b i c p o l y n o m i a l  f  (   

1 

) m a y b e w r i t t e n a s  

f  (   

1 

) =  p  (   

1 

;  g 

1 

) (   

1 

;  g 

2 

) (   

1 

;  g 

3 

)  ;  1    g 

1 

  g 

2 

  1    g 

3 

( 1 0 )  

S i n c e    

1 

  1 , a r e a l s o l u t i o n o f E q . ( 9 ) i s p o s s i b l e o n l y i n t h e i n t e r v a l   g 

1 

   

1 

  g 

2 

E q . ( 9 ) m a y b e i n t e g r a t e d t o n d  

 

1 

=  g 

1 

+ (  g 

2 

;  g 

1 

) s n 

2 

(  s  ;  s 

0 

) ( 1 1 )  

8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 3/6

L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t   3 

w h e r e  

2 

=  p  (  g 

3 

;  g 

1 

)  =  4  s n i s t h e J a c o b i e l l i p t i c s i n e o f t h e m o d u l u s   k k 

2 

= (  g 

2 

;  g 

1 

)  =  (  g 

3 

;  g 

1 

)

I t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e s h a p e o f t h e c e n t e r l i n e i n s p a c e i n t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s     ( s e e t h e s o l u t i o n  

o f p r o b l e m 5 o n p p . 8 7 { 8 8 i n 4 ] ) :   =    c o s    =    s i n    . T h e e q u a t i o n s f o r t h e s e c o o r d i n a t e s a r e a s f o l l o w s 5 ]

  = 

2 

p 

d 

2 

;  l 

2 

+  h  ;  p  

1 

p 

( 1 2 )  

d  

d s 

= 

p  (  l  

1 

;  d  ) 

2 (  d 

2 

;  l 

2 

+  h  ;  p  

1 

) 

( 1 3 )  

d  

d s 

=  ;   

1 

( 1 4 )  

T h e t w o l a s t e q u a t i o n s m a y b e r e a d i l y i n t e g r a t e d t o g e t  

  ;   

0 

=  ; 

l 

2 

(  s  ;  s 

0 

) + 

l  (  d 

2 

;  l 

2 

+  h  )  ;  p d 

2 (  d 

2 

;  l 

2 

+  h  ;  p g 

1 

) 

( (  s  ;  s 

0 

)  n k   )  n  = 

p  (  g 

2 

;  g 

1 

) 

d 

2 

;  l 

2 

+  h  ;  p g 

1 

( 1 5 )  

  ;   

0 

=  ;  g 

3 

(  s  ;  s 

0 

) + 2 

r 

g 

3 

;  g 

1 

p 

E 

( (  s  ;  s 

0 

)  k  ) ( 1 6 )  

w h e r e  

E 

(  u k  ) = 

Z 

u 

0 

d n 

2 

w d w (  u n k  ) = 

Z 

u 

0 

d w 

1  ;  n  s n 

2 

w 

a r e t h e i n c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s o f t h e s e c o n d a n d t h i r d k i n d , r e s p e c t i v e l y .

I t m a y b e s h o w n t h a t E q . ( 1 2 ) a n d E q . ( 1 3 ) t a k e a s i m p l e r f o r m i n c a s e w h e n t h e c e n t e r l i n e i n t e r s e c t s t h e     - a x i s ,

i . e . , w h e n     (  s 

 

) = 0 f o r s o m e   s 

 

. N a m e l y ,

  = 

4   k 

p 

c n (  s  ;  s 

0 

) ( 1 7 )  

  ;   

0 

=  ; 

l 

2 

(  s  ;  s 

0 

)   

 

  b 

(  s  s 

0 

) + 

K 

2 

K 

c  (  s  ;  s 

0 

)  6= 

K 

( 2  j  + 1 ) ,

 

2 

+  j (  s  ;  s 

0 

) = 

K 

( 2  j  + 1 )  j  = 0    1    2  : : :

( 1 8 )  

w h e r e   b  x  c  s i g n i e s t h e g r e a t e s t i n t e g e r n o t g r e a t e r t h a n   x 

K 

= 

K 

(  k  ) i s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e r s t k i n d .

T h i s c a s e w a s s p e c i c a l l y c o n s i d e r e d b y S h i a n d H e a r s t ( 7 ] , A p p e n d i x C ) t h o u g h t a k i n g t h e l i m i t w a s n o t c a r r i e d  

o u t c o r r e c t l y a n d , a s a r e s u l t , t h e i r e x p r e s s i o n f o r t h e p o l a r a n g l e i s d i e r e n t f r o m E q . ( 1 8 ) .

3 C l o s e d s h a p e s  

I n t h i s p a p e r w e d e a l w i t h c l o s e d c o n g u r a t i o n s o f a s p e c i a l k i n d . I t i s a s s u m e d t h a t t h e r o d l o o p b e g i n s a n d e n d s i n  

t h e s a m e p o i n t , a n d t h i s p o i n t i s t h e o r i g i n o f t h e a b s o l u t e r e f e r e n c e f r a m e t h a t w a s i n t r o d u c e d a b o v e . S u p p o s e t h a t  

t h e l e n g t h o f t h e l o o p i s   S  = 

1 

m 

0 

, w h e r e   m 

0 

i s a n i n t e g e r p a r a m e t e r ( t h i s c a u s e s n o l o s s o f g e n e r a l i t y , s i n c e t h e p r o p e r  

s c a l i n g o f p a r a m e t e r s m a y c o m p e n s a t e f o r t h e x a t i o n o f t h e r o d l e n g t h ) . T h e f o l l o w i n g b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m  

( B V P ) m a y b e f o r m u l a t e d t h e n  

1 )    (  s 

1 

) =   

 

s 

1 

+ 

1 

m 

0 

 

= 0  2 )    (  s 

1 

) =   

 

s 

1 

+ 

1 

m 

0 

 

( 1 9 )  

T a k i n g i n t o a c c o u n t t h e s y m m e t r y p r o p e r t y o f t h e f u n c t i o n    

1 

(  s  ) w i t h r e s p e c t t o t h e   s 

0 

 

1 

(  s 

0 

;  s  ) =   

1 

(  s 

0 

+  s  )

w e p u t   s 

1 

=  s 

0 

; 

1 

2  m 

0 

t o s a t i s f y t h e r s t e q u a l i t y i n E q . ( 1 9 , 1 ) . E q . ( 1 6 ) a n d t h e l a s t c o n d i t i o n o f t h e B V P , E q .

( 1 9 , 2 ) , w i t h t h e h e l p o f t h e d e n i t i o n o f , i m p l y  

g 

3 

= 

8  m 

0 

 

p 

E 

 

 

2  m 

0 

k 

 

g 

1 

= 

4  

p 

 

2  m 

0 

E 

 

 

2  m 

0 

k 

 

;   

 

( 2 0 )  

U s i n g t h e e x p r e s s i o n f o r t h e m o d u l u s   k  , w e c a n o b t a i n t h e e q u a t i o n f o r t h e r e m a i n i n g r o o t  

g 

2 

= 

4  

p 

 

2  m 

0 

E 

 

 

2  m 

0 

k 

 

;  ( 1  ;  k 

2 

)  

 

( 2 1 )  

8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 4/6

L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t   4 

O u r a i m n o w i s t o o b t a i n t h e p a r a m e t e r s   p l d   a n d  h  a s f u n c t i o n s o f t h e n o r m a l i z e d r o o t s   g 

i 

=  p g 

i 

i  = 1  2  3 . T o  

a c h i e v e t h i s , w e m a y u s e t h e f o r m o f t h e f u n c t i o n   f  i n E q . ( 9 ) . A f t e r s o m e a l g e b r a , w e c o m e t o t h e e x p r e s s i o n f o r   p 

p 

2 

1  2 

= 2  l 

2 

G 

2 

;  B   

p 

;  f  (  G 

2 

)  w h e r e   B  =  g 

1 

g 

2 

+  g 

2 

g 

3 

+  g 

3 

g 

1 

a n d  G 

2 

=  g 

1 

+ (  g 

2 

;  g 

1 

) s n 

2 

 

 

2  m 

0 

 

. C l e a r l y , g 

1 

  G 

2 

  g 

2 

a n d  ;  f  (  G 

2 

)    0 . T h e o n l y p o s s i b i l i t y t o h a v e t h e p a r a m e t e r   p  r e a l i s t o p u t   G 

2 

=  g 

2 

, w h i c h i m p l i e s = 2  

K 

m 

0 

( w e 

a r e h e r e i n t e r e s t e d i n t h e m i n i m a l v a l u e f o r ) . W e h a v e f o r t h e p a r a m e t e r s t h e n  

p 

2 

=  g 

1 

g 

2 

+  g 

2 

g 

3 

;  g 

3 

g 

1 

l 

2 

=  g 

1 

+  g 

3 

d 

2 

= 

g 

2 

2 

l 

2 

p 

2 

h  =  g 

1 

+  g 

2 

+  g 

3 

;  d 

2 

( 2 2 )  

T h e v a l u e s   g 

1 

g 

2 

g 

3 

c a n b e f o u n d a s f u n c t i o n s o f   m 

0 

a n d  k  f r o m E q s . ( 2 0 ) , ( 2 1 )  

g 

1 

= 1 6  m 

2 

0 

K 

(  k  )  

E 

(  k  )  ; 

K 

(  k  ) g 

2 

= 1 6  m 

2 

0 

K 

(  k  )  

E 

(  k  )  ;  ( 1  ;  k 

2 

) 

K 

(  k  ) g 

3 

= 1 6  m 

2 

0 

K 

(  k  ) 

E 

(  k  ) ( 2 3 )  

w h e r e  

E 

(  k  ) d e n o t e s t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e s e c o n d k i n d . E q . ( 2 2 ) , t o g e t h e r w i t h E q . ( 2 3 ) , g i v e s u s t h e  

a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s o f t h e p a r a m e t e r s   p l d h   a s f u n c t i o n s o f   k  a n d  m 

0 

. T h e m o d u l u s   k  v a r i e s b e t w e e n z e r o a n d  

t h e m a x i m a l v a l u e   k 

m a x 

  0  9 0 8 9 , w h i c h i s t h e r o o t o f t h e e q u a t i o n  

K 

(  k  ) = 2 

E 

(  k  )  I t m a y b e o b t a i n e d a s a n e q u a t i o n  

f o r t h e e x t r e m a l v a l u e s o f t h e r o o t s   g 

1 

a n d  g 

3 

g 

1 

=  ;  g 

3 

. S i n c e   g 

1 

;  1 a n d   g 

3 

  1 , t h e l a s t e q u a t i o n i m p l i e s b o t h  

g 

1 

=  ;  1 a n d   g 

3 

= 1 . F o r   k  =  k 

m a x 

, w e o b t a i n f r o m E q . ( 2 2 )   l  = 0 a n d   d  = 0 . T h e c e n t e r l i n e s h a p e i s ( o n e h a l f o f )  

t h e p l a n a r g u r e - 8 w i t h s e l f - c o n t a c t a t t h e o r i g i n :

  = 

k 

2 

K 

(  k  ) 

c n ( ( 4   s  ;  1 ) 

K 

(  k  ) )    = 

1 

2 

K 

(  k  ) 

Z  ( ( 4  s  ;  1 ) 

K 

(  k  ) )  0    s   

1 

2 

( 2 4 )  

( w e c h o s e   m 

0 

= 2 , h e n c e , t h e l e n g t h o f t h e w h o l e g u r e - 8 i s e q u a l t o 1 ) Z  (  u  ) = 

E 

(  u k  )  ; 

E 

(  k  )  u = 

K 

(  k  ) i s J a c o b i ' s Z e t a  

f u n c t i o n .

T h e g u r e - 8 g i v e s u s t h e s i m p l e s t e x a m p l e o f a s m o o t h l y - c l o s e d c o n g u r a t i o n w i t h s e l f - c o n t a c t i n t h e o r i g i n . T h e  

s h a p e c o n s i s t s o f t w o i d e n t i c a l l o o p s , o n e o f w h i c h i s t u r n e d t h r o u g h t h e a n g l e     a r o u n d t h e     - a x i s w i t h r e s p e c t t o t h e  

o t h e r . I t i s k n o w n 8 ] t h a t t h e r e e x i s t s a c o u n t a b l e s e t o f m o r e c o m p l e x s p a t i a l c o n f o r m a t i o n s , c o n t a i n i n g   m 

0 

i d e n t i c a l  

l o o p s w h i c h h a v e b e e n t u r n e d a c c o r d i n g l y a r o u n d t h e     - a x i s . T h e s e p a r t i c u l a r s y m m e t r i c s o l u t i o n s w e r e c a l l e d r o s e s  

a n d t h e i r e x i s t e n c e w a s s h o w n i n 9 ] t h o u g h n o c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n w a s o b t a i n e d f o r t h e m . N o w w e c o m p u t e t h e  

v a l u e s o f p a r a m e t e r s t h a t a l l o w f o r a s s e m b l i n g t h e r o s e - l i k e s h a p e s f r o m t h e l o o p s o l u t i o n s . F r o m E q s . ( 1 7 ) , ( 1 8 ) , a n d  

( 1 6 ) , w e c a n n d t h e s h a p e o f t h e l o o p o f l e n g t h 1  = m 

0 

  = 

8  m 

0 

k 

K 

(  k  ) 

p 

c n ( ( 2   m 

0 

s  ;  1 ) 

K 

(  k  ) )    =  ; 

l 

2 

 

s  ; 

1 

2  m 

0 

 

  = 

8  m 

0 

K 

(  k  ) 

p 

Z  ( ( 2  m 

0 

s  ;  1 ) 

K 

(  k  ) )  0    s   

1 

m 

0 

T h e r o t a t i o n a n g l e b e t w e e n t h e p r o j e c t i o n s o f t h e t a n g e n t s a t t h e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s o f t h e r o d o n t h e     - p l a n e  

i s 

    = 

;  l 

2  m 

0 

( 2 5 )  

N o w s u p p o s e t h a t w e h a v e   m 

0 

c o p i e s o f t h e l o o p , e a c h r o t a t e d t h r o u g h t h e a n g l e (  j  ;  1 ) (         )  j  = 1  : : : m  

0 

a r o u n d t h e     - a x i s . T h e p r o j e c t i o n o f t h e e n d t a n g e n t v e c t o r o f t h e   j  - t h l o o p t h e n c o i n c i d e s w i t h t h e p r o j e c t i o n o f t h e  

i n i t i a l t a n g e n t o f t h e (  j  + 1 ) - t h l o o p (  j  = 1  : : : m  

0 

;  1 ) . W e m a y r e q u e s t t h a t t h e e n d t a n g e n t o f t h e l a s t   m 

0 

- t h l o o p  

c o i n c i d e s w i t h i n i t i a l t a n g e n t o f t h e 1 - s t l o o p , i . e . , m 

0 

(     +    s i g n   m 

1 

) = 2  m 

1 

m 

1 

=    1    2  : : : m  

1 

i s t h e n u m b e r  

o f t u r n s w h i c h m a k e s t h e r a d i u s v e c t o r   r  (  s  ) a r o u n d t h e     - a x i s a s t h e a r c c o o r d i n a t e v a r i e s o v e r t h e w h o l e i n t e r v a l  

0    s    1 ( t h e p o i n t s w i t h c o o r d i n a t e s (  j  ;  1 )  = m 

0 

  s < j = m  

0 

b e l o n g t o t h e   j  - t h c o p y o f t h e l o o p ) .

S u b s t i t u t i n g     f r o m E q . ( 2 5 ) i n t o t h e l a s t e q u a t i o n , w e o b t a i n   l  = 2    (  m 

0 

s i g n   m 

1 

;  2  m 

1 

)  C o m p a r i n g t h i s  

e x p r e s s i o n w i t h t h e s e c o n d E q . ( 2 2 ) , w h e r e t h e v a l u e s o f t h e r o o t s f r o m E q . ( 2 3 ) a r e s u b s t i t u t e d , y i e l d s a n e q u a t i o n  

f o r t h e e l l i p t i c m o d u l u s  

  1  ;  2 

m 

1 

m 

0 

= 2 

p 

K 

(  k  ) ( 2 

E 

(  k  )  ; 

K 

(  k  ) ) 

T h e s o l u t i o n s o f t h i s e q u a t i o n a r e g i v e n i n T a b l . 1 f o r s o m e v a l u e s o f   m 

0 

a n d  m 

1 

F o r e a c h e l e m e n t l o o p ( l e a f ) , t h e a n g l e b e t w e e n t h e t a n g e n t a t t h e i n i t i a l p o i n t a n d t h e     - a x i s i s e q u a l t o o n e  

b e t w e e n t h e t a n g e n t a t t h e e n d p o i n t a n d t h e s a m e a x i s . T h i s f o l l o w s f r o m t h e s y m m e t r y o f t h e l o o p a n d f r o m E q s .

( 1 4 ) , ( 1 1 ) .

T h e r e f o r e , n o t o n l y p r o j e c t i o n s o f t h e t a n g e n t v e c t o r s c o i n c i d e b u t a l s o t h e t a n g e n t s t h e m s e l v e s . T h i s i s s u c i e n t  

i n o r d e r t h a t s u c h a n a s s e m b l y r e s u l t s i n a s m o o t h l y c l o s e d s o l u t i o n f o r a r o d o f l e n g t h 1 , s i n c e t h e r o t a t i o n a l s y m m e t r y  

8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 5/6

8/3/2019 E. L. Starostin- Closed loops of a thin elastic rod and its symmetric shapes with self-contacts

http://slidepdf.com/reader/full/e-l-starostin-closed-loops-of-a-thin-elastic-rod-and-its-symmetric-shapes 6/6

L o o p s a n d s h a p e s w i t h s e l f - c o n t a c t   6 

a l s o k e e p o n c o n s i d e r i n g t h e s y m m e t r i c c o n g u r a t i o n s o n l y . T h e s e r o s e s h a p e s w i t h s e l f - i n t e r a c t i o n w e r e c o n s i d e r e d  

b y L e B r e t 9 ] t h o u g h n o e x a m p l e o f t h e m w a s p r e s e n t e d .

A s i n t h e f o r c e l e s s c a s e , t h e w h o l e c l o s e d s h a p e i s a s s e m b l e d f r o m   m 

0 

i d e n t i c a l l e a v e s . N o t e t h a t t h e i n d i v i d u a l  

l o o p s a r e s o l u t i o n s o f t h e m o r e g e n e r a l B V P , f o r w h i c h t h e i n i t i a l a n d e n d p o i n t s c o i n c i d e t o e a c h o t h e r , b u t n o t t o  

t h e o r i g i n : r 

0 

=  r 

1 

. T h e e n d f o r c e s a n d m o m e n t s a c t i n g o n e a c h l o o p a r e t o b e i n t h e a c c o r d a n c e t o e a c h o t h e r . E v e r y  

l o o p i s t o b e s m o o t h l y j o i n e d t o i t s n e i g h b o u r s . T h e s e c o n s t r a i n t s r e s u l t i n a s e t o f o n e - p a r a m e t e r f a m i l i e s o f t h e  

s o l u t i o n s . T h e s i m p l e s t s o l u t i o n s o f t h i s t y p e , t h e w a r p e d g u r e s - 8 (  m 

0 

= 2 ) , a r e c o m p u t e d n u m e r i c a l l y b y J  u l i c h e r  

1 0 ] . H o w e v e r , t h e r e e x i s t s u c h c o n g u r a t i o n s w i t h l a r g e r n u m b e r o f l e a v e s , a n e x a m p l e i s s h o w n i n F i g . 1 f o r   m 

0 

= 3 

( t h e l e n g t h o f e a c h e l e m e n t a r y l o o p i s t a k e n 1 ) . T h e w h o l e a s s e m b l i n g p r o c e d u r e r e d u c e s e s s e n t i a l l y t o s o l v i n g a n  

e x t r a n o n - l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n .

T h e c a l c u l a t i o n s i n t h i s p a p e r w e r e c a r r i e d o u t w i t h t h e h e l p o f   M a p l e   p r o g r a m 1 1 ] .

4 C o n c l u s i o n s  

1 . A o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f a n a l y t i c a l s o l u t i o n s o f t h e B V P f o r t h e s i m p l e l o o p i s o b t a i n e d . T h e s e s o l u t i o n s w i d e n  

t h e s e t o f t h e k n o w n a n a l y t i c a l l y d e s c r i b e d c o n g u r a t i o n s o f a c l o s e d r o d .

2 . T h e s e s o l u t i o n s s e r v e s i m u l t a n e o u s l y a s b a s i c e l e m e n t s o f t h e s y m m e t r i c m u l t i - l e a f e d s h a p e s o f t h e r o d w i t h t h e  

s i n g l e s e l f - c o n t a c t p o i n t .

3 . T h e f u r t h e r e v o l u t i o n o f t h e s e s y m m e t r i c m u l t i - l e a f e d c o n g u r a t i o n s m a y b e f o l l o w e d t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e  

p o i n t w i s e a n d f r i c t i o n l e s s c o n t a c t f o r c e s i n t h e p o i n t o f m u l t i - c o n t a c t b y u s i n g a n a s s e m l i n g p r o c e d u r e .

4 . T h e s o l u t i o n s c o n s i d e r e d m a y b e u s e d a s b a s i c s h a p e s b y n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n o f m o r e c o m p l e x c o n g u r a t i o n s ,

d e s c r i b e d a l s o b y m o r e e l a b o r a t e d m o d e l s . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d m a y b e r e a d i l y a p p l i e d t o o t h e r p h y s i c a l o b j e c t s  

t h a t o b e y t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s o f t h i n e l a s t i c r o d s .

A c k n o w l e d g m e n t s  

T h e a u t h o r w o u l d l i k e t o e x p r e s s h i s t h a n k s t o P r o f . J . W i t t e n b u r g f o r h i s a t t e n t i o n t o t h e w o r k . T h e s u p p o r t f r o m  

A l e x a n d e r v o n H u m b o l d t F o u n d a t i o n i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .

R e f e r e n c e s  

1 ] C . J . B e n h a m , E l a s t i c m o d e l o f s u p e r c o i l i n g  , P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A , 7 4  ( 1 9 7 7 ) , p p . 2 3 9 7 { 2 4 0 1 .

2 ] T . S c h l i c k , M o d e l i n g s u p e r h e l i c a l D N A : r e c e n t a n a l y t i c a l a n d d y n a m i c a p p r o a c h e s  , C u r r e n t O p i n i o n i n S t r u c t u r a l  

B i o l o g y , 5  ( 1 9 9 5 ) , p p . 2 4 5 { 2 6 2 .

3 ] A . E . H . L o v e , A T r e a t i s e o n t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y  , 4 t h e d . , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , L o n d o n ,

( 1 9 2 7 ) .

4 ] L . D . L a n d a u a n d E . M . L i f s h i t z , T h e o r y o f E l a s t i c i t y  , 2 n d e d . , P e r g a m o n , O x f o r d , ( 1 9 7 0 ) .

5 ] A . A . I l y u k h i n , S p a t i a l P r o b l e m s o f t h e N o n l i n e a r T h e o r y o f E l a s t i c R o d s  , N a u k o v a D u m k a , K i e v , ( 1 9 7 9 ) i n  

R u s s i a n ] .

6 ] P . J . H a g e r m a n , F l e x i b i l i t y o f D N A   , A n n . R e v . B i o p h y s . C h e m . , 1 7  ( 1 9 8 8 ) , p p . 2 6 5 { 2 8 6 .

7 ] Y . S h i a n d J . E . H e a r s t , T h e K i r c h h o e l a s t i c r o d , t h e n o n l i n e a r S c h r  o d i n g e r e q u a t i o n , a n d D N A s u p e r c o i l i n g   J

C h e m . P h y s . , 1 0 1  ( 1 9 9 4 ) , p p . 5 1 8 6 { 5 2 0 0 .

8 ] E . L . S t a r o s t i n , T h r e e - d i m e n s i o n a l s h a p e s o f l o o p e d D N A   , M e c c a n i c a , 3 1  ( 1 9 9 6 ) , p p . 2 3 5 { 2 7 1 .

9 ] M . L e B r e t , T w i s t a n d w r i t h i n g i n s h o r t c i r c u l a r D N A s a c c o r d i n g t o r s t - o r d e r e l a s t i c i t y  , B i o p o l y m e r s , 2 3  ( 1 9 8 4 ) ,

p p . 1 8 3 5 { 1 8 6 7 .

1 0 ] F . J  u l i c h e r , S u p e r c o i l i n g t r a n s i t i o n s o f c l o s e d D N A   , P h y s . R e v . E , 4 9  , N o . 3 , ( 1 9 9 4 ) , p p . 2 4 2 9 { 2 4 3 5 .

1 1 ] M a p l e   i s a t r a d e m a r k o f W a t e r l o o M a p l e I n c . M a p l e V R e l e a s e 5  , v e r s i o n 5 . 0 0 w a s u s e d w h e n p r e p a r i n g t h i s p a p e r .