14장 1 / 36

Chapter 14

질점의동역학 : 일과에너지(Kinetics of a Particle : Work and Energy )

14장 2 / 36

운동방정식 을 위치벡터 r 이나 시간 t 에 대해 적분하면, 경우에 따라서 매우

편리한 표현을 얻을 수가 있다. 먼저 r 에 대해 적분하면

rF m=

21

22 2

1212

1

vmvmd −=⋅∫r

rrF (*1)

t 에 대해 적분하면

(*2)122

1

vvF mmdtt

t−=∫

주의일-에너지방정식과 충격량-운동량방정식은 운동방정식 의

다른 표현에 불과하므로 세 방정식은 동일한 동역학적 정보를 주게 된다.rF m=

여기서 v = |v| = 을 나타내며 과 mv는 각각 질점의 운동에너지(kinetic energy)

와 선운동량(linear momentum)을 나타내므로 식(*1)은 일-에너지방정식, 식(*2)는 충격량-

운동량방정식이라고 부르며 각각 14장과 15장에서 자세히 다루기로 한다.

dtdr 2

21 mv

14장 3 / 36

　 14.1 힘의 일: (The Work of a Force)

힘 F

d이동거리

일 = F d, F = | F |

① 힘이 일정한(크기도 방향도) 경우 : 힘의 방향이 직선인 운동경로의 방향과 일치하는 경우

② 힘이 일정한 경우 : 힘의 방향이 직선인 운동경로의 방향과 일치하지 않는 경우

즉 힘이 일정하고 운동경로가 직선이기만 하면 일은 힘과 변위벡터의 내적 F•d 로

나타낼 수 있다. (①은 θ = 0 인 경우에 불과하므로 )

주의일은 양도 음도 될 수 있다. 일이 음이 되는 경우의 예를 들어 보자.

일 = F cos θ dd

Fθ

14장 4 / 36

③ 힘이 일정하지도 않고 운동경로가 곡선인 경우 :

질점 m이 위치 1에서 2까지 곡선 경로를

따라 이동하는 동안 m에 작용한 힘이 한

일을 구하기 위해 그 경로를 잘게 분할하되

각 구간 내에서 힘이 일정하다고 볼 수 있고

각 구간을 직선구간이라고 볼 수 있을 만큼

충분히 잘게 분할한다.

o

r1

r

r2

un

utθ

F

1

2

Fn

F1

F2Δr1 Δr2

Δrn

즉 한 일은F1 · Δr1 + F2 · Δr2 + ··· + Fn · Δrn = Fi · Δri

극한을 취하면

∑=

n

i 1

∑=

∞→

n

in 1

lim Fi · Δri = ∫2

1

r

r C F · dr 일은 운동경로(선) C를 따라 행해지는

적분 즉 선적분으로 표현된다.

C

14장 5 / 36

F = F cos θ ut – F sin θ undr = ds ut

∴ F · dr = F cos θ ds (접선력이 한 일), (법선력이 한 일은 0. 왜?)

물체가 1에서 2까지 이동하는 동안에 물체에 작용한 힘이 한 일

∫ ∫=⋅=−2

1

2

121

r

rrF

s

sdsFdU θcos (14-1)

Fig. 14-2

직각좌표로써 일을 나타내면

kjirkjiF dzdydxdFFF zyx ++=++= ,

)(),,(

),,(

222

111

2

1

dzFdyFdxFd zy

zyx

zyx x ++=⋅ ∫∫ rFr

r

14장 6 / 36

무게가 한 일 (Work of a Weight)

W = – W j 이므로

yWyyWWdy

dzdydxWdU

y

y∆−=−−=−=

++⋅−=⋅=

∫

∫∫−

2

1

2

1

2

1

)(

)()(

12

21 kjijrFr

r

r

r(14-3)

주의

Δy > 0 (물체가 위로 올라가면), U1-2 < 0Δy < 0 (물체가 아래로 내려가면), U1-2 > 0

Fig. 14-4

14장 7 / 36스프링이 한 일 (Work of a Spring)

스프링의 원래위치s = 0

스프링에작용하는 힘

스프링의 원래위치s = 0

질량에작용하는 힘

물체가 스프링에 작용한 힘(F = Fs i)이 한 일

21

22

21

21

212

1

2

1

2

1

2

1

ksksdsksdsF

dsFdU

s

s

s

s s

s

s s

−===

⋅=⋅=

∫∫

∫∫− iirFr

r

스프링이 물체에 작용한 힘(F = – Fs i)이 한 일

)21

21( 2

122

21

2

1

22

ksksdsF

dsFdU

s

s s

s ss

−−=−=

⋅−=⋅=

∫

∫∫− iirF(14-4)

위에서 구한 두 일이 서로 반대의 부호를 가진 이유는 ?

Fig. 14-5

14장 8 / 36

예제 14-1 : (Example 14-1)

y

x

Fig. 14-6

스프링의원래위치

s0.5 m

1

2

2 m

ds

rFNWPrFr

r

r

rddU SB ⋅+++=⋅= ∫∫−

2

1

2

1

)(21

The 10-kg block shown in Fig. 14-6a rests on the smooth incline. If the spring is originally stretched 0.5 m, determine the total work done by all the forces acting on the block when a horizontal force P = 400 N pushed the block up the plane s = 2 m.

J

dsksUss

s

505

)5.05.2)(30(21)5.05.2)(30sin1.9830cos400(

)30sin1.9830cos400(

22

5.22

5.02112

1

=

−−−−=

−−=∴ ∫=+=

=−

P = – 400 i , W = – 98.1 j , NB = NB uN

Fs(물체에 작용한 스프링 힘) = – ks us

= – ks (– cos30° i + sin30° j )

dr = ds us = ds (– cos30° i + sin 30° j )

uN ⊥ us // dr 이므로 NB · dr = 0 즉 면에 수직한 반력은 변위에 언제나 수직하므로 그 일은 0이다.

14장 9 / 36

　 14.2 일과 에너지의 원리 : (Principle of Work and Energy)

rFFrFr

r

r

rddU nt ⋅+=⋅= ∫∫− )(2

1

2

121

Ft = Ft ut , Fn = Fn un , dr = ds ut 이므로

Fn 은 항상 변위 dr에 수직하므로 그 일은 0이다.

dsdvmvmaF tt == 이므로

21

22

21

21

2

21

21

21)

21(

22

21

2

1

2

1

2

1

mvmvmvd

dvmvdsFdU

mv

mv

v

v

s

s t

−==

==⋅=

∫

∫∫ ∫−

r

rrF

관성기준계

Fig. 14-7

21

22

2

2

2

2

2

21

21

21

)(21)(

21 2

2

21

2

1

2

1

2

1

2

1

mvmv

vdmdtdtd

dtd

dtdm

dtdtd

dtdmd

dtdmdU

v

v

t

t

t

t

−=

=⋅=

⋅=⋅=⋅=

∫∫

∫∫∫−

rr

rrrrrFr

r

r

r

다른표현

14장 10 / 36

질점의 운동에너지 으로 정의되므로

위 식 U1-2 = T2 – T1 의 의미는 물체가 1에서 2까지 이동하는 동안에 작용한 힘 F 가한 일은 2와 1에서의 운동에너지의 차와 같다.

2

21 mvT =

주의

힘 F의 미소일 F · dr 은 운동에너지의 미분 (differential) dT 와 같다. 즉 F · dr = dT

14장 11 / 36

예제 14-2

A mass m falls through a distance h and strikes the end of a linear spring, as shown.The spring constant is k N/m, that is, it requires a force of ks N to compress or extend the spring s m. Find the maximum compressionof the spring. m

1

2

x ig문제의 요지 : 스프링의 끝에서 h 만큼의 높이에 위치한 m이

자유낙하하여 얻을 수 있는 스프링의 최대변형은?h

δ최초의 위치 1에서 최대변형점 2까지 물체에 작용한 힘

(중력과 스프링힘)이 한 일은

)0(021

21

2121

2221

2

1

===−=⋅= ∫− vvmvmvdU ∵r

rrF

0 ≤ x ≤ h F = mg ih ≤ x ≤ h + δ F = [ mg – k(x – h)] i (여기서 δ 는 스프링의 최대 변형)

dr = dx i 이므로

14장 12 / 36

021

)]([

2

0

2

121

=−+=

−−+=⋅= ∫∫∫+

−

δδ

δ

kmgmgh

dxhxkmgdxmgdUh

h

hr

rrF

이차방정식을 풀면 δ > 0 이므로

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++=

stst

hk

mghk

mgk

mgδ

δδ 2112)( 2

kmg

st =δ = 정적변형(static deflection) : m 의 무게를 스프링에 가했을 때의 변형

주의

h = 0 인 경우 δ = 2δ st . 즉, 물체를 스프링의 끝에 갑자기 놓아서 얻어지는 최대

변형은 정적변형의 두배이다.

주의

최대변형에 도달한 후엔 어떻게 될까?

14장 13 / 36

　 14.3 질점계의 일 - 에너지 방정식: (Principle of Work and Energy for a System of Particles)

Fig. 14-8관성기준계

21

22 2

121)()( 2

1

2

1iiiii

s

s tii

s

s ti vmvmdsfdsF i

i

i

i

−=+ ∑∑ ∫∑ ∫외력이 한 일의 총합 내력이 한 일의 총합 총 운동에너지의 변화

위 식의 벡터 표현

∑∑ ∫∑ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅+⋅ 2

122 2

1212

1

2

1iiiiiiii vmvmdd i

i

i

i

r

r

r

rrfrF

주의

내력의 총합이 임을 알고 있다. 그런데 내력이 한 일의 총합이 0일까?

mi 에 미치는 mj 의 힘(내력) fij의 변위 dsi 와 fji = – fij의 변위 dsj가 일반적

으로 다름을 염두하여 생각해 보라

0f =∑=

n

ii

1

14장 14 / 36

예제 14-3 (예제 13-5를 일-에너지 방정식을 사용해서 풀어보라.)

A weight rests on the top of a frictionless sphere of radius r. The weight slides down the side of the sphere in a vertical plane under the action of gravity.Find both the point at which the weight leaves the sphere and the velocity at that instant.

일-에너지 방정식에서

rWNrFr

rddU B ⋅+=⋅= ∫ ∫−

2

1

)(21

NB ⊥ dr 이고 W = – mg jdr = ds us,

= ds (cos θ i – sin θ j)ds = r d θ 이므로

mgr

suN

θ θ

021)(sin 2

20 1221 −=−== ∫=

=− mvTTrdmgU sθθ

θθθ

mgr(1 – cos θ s) = 222

1 mv

)cos1(2 22 sgrv θ−=즉 ①

14장 15 / 36

2.4832cos

32cos

)cos1(2cos

cos0

0

)(cos

1

22

2

==∴=∴

−−=−

−=−

===

−==−=

−

∑

ss

ss

s

s

rr

ggr

vmmg

Nrv

rrmmamgNF

θθ

θθ

θ

θθθ

θθ

이므로에서이고

에서

②

① → ②

··

주의

예제 13-5에서 θ 방향 운동방정식의 θ 에 대한 적분이 일-에너지 방정식으로

대체되었다. 왜 그럴까?

dr = ds us = r d θ us 의 관계를 생각해보라.

14장 16 / 36

　 14.4 일률과 효율 : (Power and Efficiency)

일률 (공률, Power)은 단위시간당 일로 정의된다.

)1014(

)914(

−⋅=⋅=

−=⋅

=

vFrF

rF

dtdP

dtdT

dtdP파워즉

파워는 스칼라량이며 그 단위는 1 Watt = 1 Joule/s = 1 N·m/s1hp(horse power, 마력) = 550 ft·lb/s = 746 Watt여기서 1 Watt 는 초당 1N의 힘을 1m에 걸쳐서 가할 수 있는 능력을 말한다. 예로써 무게가

W인 엘리베이터를 v란 속력으로 끌어 올리는데 필요한 파워는 Wv이다.

주의교과서의 식(14-9)의 dU는 논란의 여지가 있는 표현이다. 왜냐하면 dU가 미소일이라고

저자가 정의 했으니 U는 일이란 뜻으로 유추할 수 있는데 U1-2란 표현에서 알 수 있듯이

일이란 특정한 두 위치 즉, 1에서 2까지 물체가 이동하는 동안에 행해지는 것이다.

따라서 U가 어느 한 위치에서의 일을 나타낸다고 말하기엔 뭔가 불완전하다. (14.5절의

보존력이 한 일을 참고) 다만, 미소일 F·dr이 운동에너지 T의 미분 즉 dT와 동일하므로

여기선 dU란 표현을 dT와 동일시 하기로 하자.

14장 17 / 36

효율 (Efficiency)

기계의 역학적 효율(mechanical efficiency)

입력에너지

출력에너지

적분하면분자를분모와

입력파워

출력파워

=⋅

⋅=

⋅⋅

=⋅⋅

==

∫∫

2

1

2

1

)(

)(

)()(

)()(

i

o

i

o

i

o

d

d

dd

rF

rF

rFrF

vFvF (14-11)□

□ (14-12)

주의

마찰 등의 이유로 통상 □ 은 1보다 작다.

14장 18 / 36

예제 14-4(Example 14-7)The motor M of the hoist shown in Fig. 14-15a operates with an efficiency of 0.85. Determine the

power that must be supplied to the motor to lift the 75-lb crate C at the instant point P on the cable has an acceleration of 4 ft/s2 and a velocity of 2 ft/s. Neglect the mass of the pulley and cable.

Fig.14-15

문제의 요지 : 효율이 0.85인 기중모터가 75lb의 상자 C를 끌어올리는 데필요한 입력파워는?

모터의 출력파워는 모터에 연결된 cable P에 가해지는 장력과 P의 속도의내적이므로

Po = T·vp = T vp (T와 v가 같은 방향이므로)

상자 C의 운동방정식

cyy aTmaF 2ft/s2.32lb75lb752: =+−=↓+ ∑

14장 19 / 36

2 sc + sp = 일정 2 vc + vp = 0, 2 ac + ap = 0

ap = 4 ft/s2 , vp = 2 ft/s ,

∴ ac = – ap = – 2 ft/s2

∴ T = 39.8 lb

∴ Po = T · vp = 39.8 lb · 2 ft/s [1hp/(550 ft·lb/s)]

= 0.145 hp

Pi = 입력파워 = × 출력파워 = × 0.145 hp

= 0.170 hp

21

85.011

□

Cable 의 점 P의 속도가 바뀌므로 이 출력은 순간파워(instantaneous power)이다.

14장 20 / 36

예제 14-5 (Example 14-8)The sports car shown in Fig.14-16a has a mass of 2 Mg and an engine running efficiency of □ = 0.63.

As it moves forward, the wind creates a drag resistance on the car of FD = 1.2 v2 N, where v is the velocity in m/s. If the car is traveling at a constant speed of 50 m/s, determine the maximum power supplied by the engine.

Fig. 14-16

문제의 요지 : 속도의 제곱에 비례하는 저항을 받는 차가 일정한 속력 50 m/s 을 유지하기 위해,효율이 0.63 인 엔진에 의해 공급되는 파워(차의 입력파워)는?

차의 출력파워는 구동마찰력에 의해 구현되므로Po = Fc · v = Fc v (마찰력 Fc와 차의 속도 v는 같은 방향이므로)

14장 21 / 36

주의

1. Po = Fc v = Fc rω = 구동토오크 × 바퀴의 각속도로 인식할 수 있다는 걸 곧 알게

될 것이다.

2. 이 차는 후륜구동이므로 앞 바퀴에 작용하는 마찰력은 뒷바퀴(구동바퀴)에 작용

하는 마찰력에 비하면 무시할 만하다.

차의 운동방정식

kW238)kW150(63.011

kW150m/s50N300N300)s/m50(2.12.1

) (02.1;

22

2

===∴

=⋅====∴

==−=← ∑

oi

o

c

cxx

PP

PvF

vdtdvmvFmaF 일정는

□

주의여기서 □은 엔진의 효율이 아니라 차의 효율을 나타낸다. 왜 그럴까?

14장 22 / 36

예제 14-6 그림의 경사면을 따라 미끄러지는 질점에 작용하는 힘이 한 일을 구하라. 단 마찰은 무시하라.

경사면이 바뀌면 어떻게 될까?

2

g

mg

N

C1

C2

yh

1

rujrFr

r

r

rdNmgdU n

C ⋅+−=⋅= ∫∫− )(2

1

2

1

121

x dr = ds ut = dx i + dy j (여기서 ds2 = dx2 + dy2) un ⊥ dr 이므로 반력 N은 일을 하지 않는다.

221

0

212

1

1 )(

C

h

C

U

mghdymgdmgU

−

−

=

=−=⋅−= ∫∫r

rrj

주의

이 경우에 일은 운동경로에 무관함을 알 수 있다. 그러면 언제나 그럴까?

14장 23 / 36

예제 14-7

위치의 함수인 힘 F = yz i + xy j + xz k 이 작용하여 원점(0,0,0)로부터 점(1,1,1)까지 다음의

두 경로를 따라 물체가 이동할 동안에 이 힘이 한 일을 구하라.

① 경로 C1 : (0,0,0) → (1,1,1) 까지의 직선경로. 즉, x = y = z .

② 경로 C2=C21+C22

C21 : (0,0,0) → (1,1,0) 까지는 xy평면내에서

포물선 x = y2 , z = 0 를 따라 이동하고

C22 : (1,1,0) → (1,1,1) 까지는 xy평면에

수직인 직선 x = y = 1 을 따라 이동.

z

x

y

(1,1,1)

(1,1,0)

C1

C22

C21

o

① 경로 C1 에선 x = y = z 이므로 dx = dy = dz, dr = dx i + dy j + dz k

따라서 F · dr = yz dx + xy dy + xz dz = 3x2 dx

131

1

0

2 ==⋅∴ ∫ ∫CdxxdrF

14장 24 / 36

② 경로 C2=C21+C22 이므로

∫∫ ∫ ⋅+⋅=⋅222 21 CC C

ddd rFrFrF

C21에선 x = y2 , z = 0 , dx = 2y dy, dz = 0

∫ ∫ ==⋅∴21

1

0

3

41

CdyydrF

C22에선 x = y = 1 , 즉 dx = dy = 0

∫ ∫ ==⋅22

1

0 21

CzdzdrF

43

21

41

2

=+=⋅∴ ∫CdrF 이다즉 ∫∫ ⋅≠⋅

21

CC

dd rFrF

주의

이 예제는 일은 운동경로에 따라 달라질 수 있음을 말해 준다.

그러면 일이 운동경로에 무관한가 유관한가를 예측하는 판별기준은

존재하는가?

14장 25 / 36

　 14.5 보존력과 위치에너지: (Conservative Forces and Potential Energy)

보존력(Conservative Force) : 한 점에서 다른 점까지 이동하는 질점에 작용한 힘이 한 일이운동경로에 무관할 때 그 힘을 보존력(Fc)이라고 한다.

1

2

C1

C2

∫∫ ⋅=⋅2

1

2

1 21 C cC c dd rFrF

역학에서 보존력의 가장 중요한 예는 스프링힘과 무게(중력)이다. 예제14-6에서 한 물체의 무게가 한일은 그 물체의 운동경로에 무관함을 확인하였다.

비보존력(Nonconservative Force) : 운동경로에 따라 다른 일을 하는 힘(Fnc)으로서 마찰력과공기저항등이 그 예가 된다.

주의

뉴턴의 운동법칙, F = ma 의 F는 보존력과 비보존력의 합이다.

즉, F = ∑ Fc + ∑ Fnc

14장 26 / 36

위치에너지(Potential Energy)는 보존력이 현위치로부터 기준위치(datum)까지 한 일이다.

OrD

r

P현위치

기준위치 = 위치에너지가 0인 위치

D

∫ ⋅==D dcP

r

rrFr )(VV

주의

어떤 저자는 먼저 보존력이 한 일의 음을 위치에너지의 차로 정의하고 기준점D

에서 위치에너지를 0으로 두면 위의 정의와 같은 표현에 도달하기도 한다. 즉,

으로 두면 ∫

∫⋅==

⋅−=−

D

D

d(

d

cD

cD

r

r

r

r

rFrr

rFrVrV

)V0)(V

,)()(

14장 27 / 36

주의

에너지(Energy)는 일을 할 수 있는 역량 혹은 능력으로서, 그 능력이

물체의 운동(혹은 속도)에서 오면 운동에너지(kinetic energy)이고

물체의 위치에서 오면 위치에너지인 것이다.

주의

역학에서 위치에너지의 가장 중요한 예는 중력위치에너지(Gravitational

Potential Energy)와 탄성위치에너지(Elastic Potential Energy)인데 각각

보존력이 중력과 스프링힘인 경우에 해당하는 위치에너지이다.

14장 28 / 36

중력위치에너지(Gravitational Potential Energy)

∫∫ ⋅=⋅=DD ddy cg

r

r

r

rrWrF)(V

물체에 작용한 무게 W = – W j , dr = dy j 이므로기준선

Fig. 14-17

중력위치에너지WyWdyy

yg =−= ∫0

)(V (14-13)

즉 무게가 W인 물체가 기준위치보다 높은 곳에 있으면

(y > 0) 양의 위치에너지를 가지고, 낮은 곳에 있으면

(y < 0) 음의 위치에너지를 가진다.

탄성위치에너지

Fig. 14-18

스프링의

원래위치

탄성위치에너지(Elastic Potential Energy)

∫∫ ⋅=⋅=DD dds sce

r

r

r

rrFrF)(V

물체에 작용한 스프링 힘 Fs = – ks i (스프링이 늘어난경우(s > 0)든 줄어든 경우(s < 0) 경우든)r = s i 에서 dr = ds i 이므로

2

0

0

21)(V ksdsksdskss

s

se ==−= ∫∫ (14-14)

14장 29 / 36

포텐셜 함수(Potential Function)

위치에너지는 위치 r 의 함수이므로 포텐셜 함수라고 부르기도 한다.물체가 중력과 스프링힘을 받는 경우에는

포텐셜 함수 V(r) = Vg + Ve (14-15)

r = x i + y j + z k 이므로 V(r) = V(x,y,z) 이다.

따라서 물체가 점 1(x1, y1, z1)에서부터 점 2(x2, y2, z2)까지 이동하는 동안에 물체에

작용한 보존력이 한 일은

U1-2 = V1 – V2 = V(x1, y1, z1) – V(x2, y2, z2) (14-16)

예로써, 스프링의 원래 (변형하지 않는) 위치(unstretched position)를 기준삼아 이 위치로

부터 좌표 s에 위치한 물체의 위치에너지는

V = Vg + Ve = –Ws + ks221

기준선

Fig. 14-19

14장 30 / 36

물체가 s1으로부터 더 낮은 위치(s2)로 이동하며 W와 Fs가 한 일

U1-2 = V1 – V2 = (–Ws1 + ks12) – (–Ws2 + ks2

2)21

Fig. 14-19

주의

여기서 Vg의 표현 – Ws 가 식 (14-13)과 다른 부호를 가지는 이유를

생각해 보라.

∫

∫−=

−−=⋅

2

1

12

2

1)(

이므로

에서

dV

VVdc rF

보존력이 한 미소일 Fc · dr = – dV= – {V(x+dx, y+dy, z+dz) – V(x, y, z)}= – {V(r+dr) – V(r)}

스칼라 함수의 완전미분의 음

로 나타낼 수 있다.

21

r

Or+dr

dr

Fc(x, y, z)

(x+dx, y+dy, z+dz)1

2

14장 31 / 36

. )nexpressinoequivalent(

)delor(gradient

,,

,,

)()(

cc

있다수할조건이라고보존력의

으로서표현등가의는와표현두즉

여기서

즉

독립변수이므로가

이고

VdVdzyx

VVzyx

zV

yV

xV

zVF

yVF

xVF

zyx

dzzVdy

yVdx

xVdV

dzFdyFdxFdzdydxFFFd

c

zyx

zyx

zyxc

−∇=−=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇

−∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−

++=

++⋅++=⋅

FrF

kji

kji

kjiF

kjikjirF주의

보존력의 조건

0=

∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

zyx

c

FFFzyx

kji

F(curl)

예제 14-7의 경우 ∇ × F = (y – z)(j + k) 이므로 y = z 평면에서만 F가 보존력이된다.

예로써 중력포텐셜함수 Vg = Wy 는

WWyyy

VF g

y −=∂∂

−=∂

∂−= )( 의 보존력으로부터 구한 것이다.

14장 32 / 36

　 14.6 에너지 보존 : (Conservation of Energy)

22

2

111

2

11212

2

1

2

1

2

1

)(

VTdVT

dVVTT

ddd

m

nc

nc

ncc

ncc

+=⋅++

⋅+−−=−

⋅+⋅=⋅

+==

∫

∫

∫∫∫

rF

rF

rFrFrF

FFFa

비보존력이 한 일

(14-20)

물체에 보존력만 작용하는 경우엔, 즉 보존계(conservative system)의 경우엔

T1 + V1 = T2 + V2 (14-21)(역학적) 에너지 (운동에너지와 위치에너지의 합)보존의 원리 ( principle of conservation

of mechanical energy )

주의

에너지보존의 원리 식(14-21)은 보존계에서만 성립하는 반면에,

일-에너지 방정식인 식(14-7) 혹은 (14-20)은 비보존계에서도 성립한다.

14장 33 / 36

Fig. 14-20

1 위치에너지(최대)운동에너지 (0)

2

3 위치에너지 (0)운동에너지 (최대)

WhWhVTE =+=+= 0111

221 2

2222hWmvVTE +=+=

ghhgyyavv c =−−=−+= )2

)((2)(2 1221

22

WhWhWhE =+=∴222

3213

1321

23

23333

)2(21

2))((2)(2,021

EEEWhmghghmE

ghhgyyavvmvVTE c

=====∴

=−−=−+=+=+=

즉

질점계(System of Particle)가 보존력만 받는다면

∑T1 + ∑V1 = ∑T2 + ∑V2 (14-22)

즉 계의 역학적에너지의 총량은 보존된다.

14장 34 / 36

예제 14-8 (Example 14-11)

A smooth 2-kg collar C, shown in Fig. 14-23a, fits loosely on the vertical shaft. If the spring is unstretched when the collar is in the position A, determine the speed at which the collar is movingwhen y = 1 m, if (a) it is released from rest at A, and (b) it is released at A when an upwardvelocity vA = 2 m/s.

문제의 요지 : 스프링의 원래 (변형하지 않는) 위치(unstretched position)으로

부터 초기속도 vA를 가지고 출발하여 1m 떨어진 후의 속도는?

Fig.14-23

(a) vA = 0 인 경우

보존계이므로 에너지 보존의 원리 TA + VA = Tc + Vc 로부터

TA = 0, VA = 0, Tc = mvc2,

Vc = – Wy + ksc2 =

vc = 4.39 m/sec

21

( )222 75.0)75.0()1()3(21)1)(81.9(2 −++−2

1

(b) vA = 2 m/sec 인 경우

운동에너지는 속도의 크기에 달려있지 방향과는 무관하므로

TA = (2)(2)2 , VA = 0

vc = 4.82 m/sec 21

14장 35 / 36

예제 14-9 (Problem 14-80)

The 0.75-kg bob of a pendulum is fired from rest at position A. If the spring is compressed 50mm andreleased, determine (a) its stiffness k so that the speed of the bob is zero when it reaches point B, wherethe radius of curvature is still 0.6m, and (b) the stiffness k so that when the bob reaches point C the tension in the cord is zero.

문제의 요지 : 초기 압축변형을 가진 스프링에 의해 발사된 진자가

(a) B 지점에 도달했을 때 속력이 0이 되도록 스프링 강성 k 를 정하라. (b) C 지점에 도달했을 때 줄의 장력이 0이 되도록 k를 정하라.

Fig.14-80

(a) 에서

0 + k(0.05)2 = mvA2 + 02

121

2211 AAAA VTVT +=+

여기서 상태 A1은 스프링의 탄성위치에너지가 최대인 상태이고

상태 A2는 스프링의 탄성위치에너지가 진자의 운동에너지로

완전히 바뀐 상태

TA + VA = TB + VB 에서

k(0.05)2 = 0 + (0.75)(9.81)(0.6) ∴ k = 3.53 kN/m21

14장 36 / 36

(b) 상태 C 에서 운동방정식을 써 보면

s/m431.3)81.9)(2.1(

2

===

=+=∑rgv

rvmTmgF

c

censionnormalmg

TA + VA = TC + VC

k(0.05)2 = (0.75)(3.431)2 + (0.75)(9.81)(0.6+1.2)21

21T = 0

∴ k = 14.1 kN/m