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IntroductionQuelques rappels de Mathematiques

Dynamique des Structures

Introduction


ObjectifsFondements de la Dynamique des Solides IndeformablesProblematique du solide non ponctuel en mouvementPresentation de deux methodes de mise en equationsCours de DYSTR

Mecanique du Point

Mecanique des Milieux Continus : Solides Deformables, Fluides, ...

Mecanique des Solides Indeformables

Mecanique Quantique

Mecanique Relativiste

P. COSSON DYSTR



Point de vue structure

Point de vue structure : connaıtre a chaque instant pour tout ou partie del’avion

la position de n’importe quel point

les efforts : efforts exterieurs, efforts interieurs (contraintes, liaisons),efforts moteurs

P. COSSON DYSTR



Vision Milieux deformables (1/2)

Mecanique des Milieux Continus =⇒ Modeles Elements Finis

P. COSSON DYSTR



Approche Milieux deformables (2/2)

Problematiques abordees comportement vibratoire : frequences propres et modes propres

reponse a des sollicitations donnees

perturbation des conditions de vol : depressions, trous d’air...

ingestion d’oiseaux au niveau des moteurs, pertes d’aubes au niveau des rouesaubagees dans les reacteurs

...

Difficultes sous-jacentes description de la cinematique : mouvements d’ensemble, grandes

transformations, petits mouvements...

description des efforts : aspects aleatoires...

caracterisation du comportement des materiaux −→ lois decomportement

modele de grandes tailles −→ methodes de reduction de modeles

couplage Fluide Structure : −→ couplage fort, couplage faible

...P. COSSON DYSTR



Approche Multicorps Indeformable

Decomposition de la structure etudiee en un ensemble de SolidesIndeformables

Informations recherchees mouvements de type solide rigide pour chaque solide indeformable :

translations et rotations

efforts de liaison entre les differents solides −→ dimensionnement desliaisons

eventuellement les efforts moteurs a imposer −→ dimensionnement desmoteurs

P. COSSON DYSTR



Approche Multicorps Deformable

O

C

P

s

−→x 0

−→y 0

−→z 0

−→x 1

−→y 1

ξ

ξ

C0

C1

P0θ1

v(s, t)

α(s, t)

Translation, rotation etdeformation pour chaquesolide

Approche 1 : grandestransformations pour chaquesolide

Approche 2 : decompositiondu champ de deplacementu = ur + ue avecue ≪ 1

Approche 2 : deux visions possibles pour resoudre methode 1 : resolution par etape

determination de ur en negligeant ue =⇒ approche MulticorpsIndeformable classique

determination de ue en introduisant les forces d’inertie associees a ur

methode 2 : determination simultanee de ur et ue

P. COSSON DYSTR



Modelisation Multicorps Indeformable (1/4)

Choix d’une representation dusysteme etudie

decomposition du systemeen un certain nombre desolides

liaisons entre les solides

efforts

choix d’une description desdifferents mouvementspossibles

P. COSSON DYSTR

efforts de liaison entre solides

efforts moteurs au niveau des verins

S4 S3

S2

S1S

Phase d’analyse




θ1

−→x 0

−→y 0

O

−→z 0

G1

a

Position du pendule definieavec θ1

Position du pendule definieavec (x , y)

−−→O G1 = x −→x 0 + y −→y 0

x2 + y2 = a2

P. COSSON DYSTR

remarque sur la description des mouvements possibles




aspect 1 : les efforts moteurs sont connus (”probleme direct”)

determination de la trajectoire de chaque solide

determination des efforts de liaison entre les differents solides pourdimensionner les elements assurant les liaisons entre les solides

⊲ mouvements des differents solides

⊲ efforts entre les solides au niveau des liaisons

Systeme etudie :

ensemble de solides indeformables

efforts exterieurs

connus

efforts imposes

par les

actionneurs

P. COSSON DYSTR




aspect 2 : les trajectoires sont connues (”probleme inverse”)

determination des efforts moteurs permettant d’obtenir ces trajectoires

determination des efforts de liaison entre les differents solides pourdimensionner les elements assurant les liaisons entre les solides

⊲ efforts a imposer au niveau des actionneurs

⊲ efforts entre les solides au niveau des liaisons

Systeme etudie :

ensemble de solides indeformables

efforts exterieurs

connus

trajectoires imposees

de certains solides

P. COSSON DYSTR



Postulats de base

Les solides sont indeformables

Espacehomogene - isotrope - euclidien - non modifie par la presence de matiere

Tempscontinu - uniforme - monotone croissant - identique pour tous lesobservateurs

Massecaracteristique de la matiere - positive - invariante

Principe de causalitesi un phenomene nomme ”cause” produit un autre phenomene nomme”effet”, l’effet ne peut avoir lieu avant la cause

Determinismeunicite du mouvement pour des conditions initiales donnees pour toutsysteme physique

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Enonce du Principe Fondamental de la Dynamique - Lois de NEWTON

Il existe un referentiel absolu

defini par

un Repere Absolu Ra

un temps absolu

pour lequel on a quel que soit le systeme materiel Σ considere

“−→f = m−→γ ”

Dans ce Referentiel Absolu, on peut ecrire pour tout point materiel M

M −→γ (M /Ra) =∑ −→

F ext→M

P. COSSON DYSTR



Problematique du solide non ponctuel en mouvement (1/2)

P. COSSON DYSTR

b P

−→F 1

−→F 2

−→F 3

O

−→x 0

−→y 0

−→z 0

∑−→F ext→P = m−→γ (P /R0)



Problematique du solide non ponctuel en mouvement (2/2)

∑−→F ext→bras = m−→γ (G /R0) =

−→0

La somme des forces s’exercant sur la partie mobile est nulle.Pourtant il y a mouvement !!!

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Presentation de deux methodes de mise en equations (1/2)

P. COSSON DYSTR

∫

Σ−→γ (P /R0) dm

∫

Σ

−→AP ∧ −→γ (P /R0) dm

=

∑−→F ext→Σ

−→M(A ,

−→F ext→Σ)

−→Γ 23

−→F 23

−→Γ 12

−→Γ 01

dm

mise en equation par le Principe Fondamental de la Dynamique



Presentation de deux methodes de mise en equations (2/2)

P. COSSON DYSTR

δ−→u (P /R0)

δA =∫

Σ−→γ (P /R0) . δ−→u (P /R0) dm = δW

−→Γ 23

−→F 23

−→Γ 12

−→Γ 01

dm

mise en equation par le Principe des Travaux Virtuels



Organisation du cours de DYSTR

Mise en equations

Description du mouvement : parametrage, cinematique

Description des efforts - Liaisons entre solides

Principe Fondamental de la Dynamique

Principe des Travaux Virtuels

Resolution

Resolution dans le cadre de l’hypothese des petits mouvements - Mecaniquedes Vibrations

[M]

X

+ [B]

X

+ [K ]X = F (t)

Resolution dans le cas general - Methodes numeriques

P. COSSON DYSTR


Les espaces vectorielsOrientation de l’espace, produit vectoriel et produit mixteApplications lineaires definies sur un espace vectorielEspace affine, champ vectoriel

Definition d’un espace vectoriel sur R

ensemble muni

d’une loi de composition interne, notee +∀ (a, b) ∈ E × E , a + b ∈ E

d’une loi de composition externe∀ a ∈ E et ∀ λ ∈ R , λ a ∈ E

−→x 0

−→y 0

−→a

−→b

−→a +−→b

A

BC −→w

λ−→w

P. COSSON DYSTR



Dimension d’un espace vectoriel (1/2)

Soit V la famille (V1 , . . . Vi . . . , Vn) d’elements de E .

La famille V est une famille libre de l’espace vectoriel E si etseulement si

n∑

i=1

αi Vi = 0 ⇐⇒ αi = 0 ∀ i = 1 , . . . , n

La famille V est une famille generatrice de l’espace vectoriel E si etseulement si

∀ a ∈ E ∃(α1 , . . . , αn) ∈ Rn / a =

n∑

i=1

αi Vi

P. COSSON DYSTR



Dimension d’un espace vectoriel (2/2)

E est un espace vectoriel de dimension finie si il existe une famillegeneratrice de dimension < ∞ .

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. La dimension de E estdonnee par

la dimension de la plus grande famille libre d’elements de E

la dimension de la plus petite famille generatrice de E

Remarque : dans un espace vectoriel E de dimension 1 2 ou 3, quand ils’agit de l’espace vectoriel associe a un espace de points geometriques(droite, plan, espace), il est usuel de noter les elements de E

−→a

P. COSSON DYSTR



Base d’un espace vectoriel (1/2)

Soit E un espace vectoriel de dimension n . La famille V constituee desvecteurs (V1 , . . . Vi . . . , Vn) est une base de E si et seulement si toutelement de E est une combinaison lineaire des elements de V .

(V1 , . . . Vi . . . , Vn) ∈ En est une base de E

m

∀ α ∈ E , ∃(α1 , . . . αi . . . , αn) ∈ Rn / α =

n∑

i=1

αi Vi

(αi )1 ≤ i ≤ n sont les composantes du vecteur α sur la base V .

P. COSSON DYSTR



Base d’un espace vectoriel (2/2)

Soit E un espace vectoriel de dimension n , (V1 , . . . Vi . . . , Vn) unebase de E . Tout element de E est parfaitement defini par la donnee de sescomposantes sur la base (V1 , . . . Vi . . . , Vn) . On notera

[ α ](V1 , ...Vi ... , Vn) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

α1

...

αi

...

αn

avec α =n

∑

i=1

αi Vi

P. COSSON DYSTR



Orientation de l’espace

Soit E l’espace vectoriel de dimension 3 associe a l’espacedes points geometriques

regle du ”bonhomme d’Ampere”

regle du ”tire-bouchon”

regle des ”trois doigts de la main droite”

P. COSSON DYSTR

−→ı

−→−→k

−→e 1

−→e 2−→e 3

−→r 1

−→r 2

−→r 3



Produit vectoriel (1/2)

Soit E l’espace vectoriel de dimension 3 associe a l’espace des pointsgeometriques , (−→e 1 , −→e 2 , −→e 3) une base orthonormee directe de E .

On appelle produit vectoriel l’application de E × E a valeurs dans Edefinie de la facon suivante :

E × E −→ E

(−→a ,−→b ) 7−→ −→a ∧

−→b

avec

−→a = a1−→e 1 + a2

−→e 2 + a3−→e 3

−→b = b1

−→e 1 + b2−→e 2 + b3

−→e 3

[

−→a ∧−→b

]

(−→e 1 ,

−→e 2 ,

−→e 3)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a2 b3 − a3 b2

a3 b1 − a1 b3

a1 b2 − a2 b1

P. COSSON DYSTR



Produit vectoriel (2/2)

interpretation

−→a

−→b

−→a ∧−→b

−→k θ

−→a ∧−→b = ‖−→a ‖ × ‖

−→b ‖ × sin θ ×

−→k

Proprietes

−→a ∧−→b = −

−→b ∧ −→a

−→a . (−→a ∧−→b ) = 0 =⇒ −→a ⊥ −→a ∧

−→b

Resultat−→a ∧ (

−→b ∧ −→c ) = (−→a .−→c )

−→b − (−→a .

−→b )−→c

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Produit mixte

Soit E l’espace vectoriel de dimension 3 associe a l’espace des pointsgeometriques. Le produit mixte est l’application de E × E × E a valeursdans R definie de la facon suivante :

E × E × E −→ R

(−→a ,−→b ,−→c ) 7−→ [−→a ,

−→b ,−→c ] = −→a . (

−→b ∧ −→c )

Propriete

[−→a ,−→b ,−→c ] = [

−→b ,−→c ,−→a ] = [−→c ,−→a ,

−→b ]

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Definition d’une application lineaire

Soient E et F deux espaces vectoriels definis sur R . l’application ude E a valeurs dans F est une application lineaire si et seulement si

∀ (x , y) ∈ E ×E et ∀ (λ, µ) ∈ R×R u(λ x+µ y) = λ u(x) + µ u(y)

Si E est un espace vectoriel de dimension finie egale a n , si(V1 , . . . Vi . . . , Vn) est une base de E , l’application lineaire u estparfaitement definie par la donnee de u(Vi ) pour i = 1 , . . . n .

x =n

∑

i=1

αiVi =⇒ u(x) =n

∑

i=1

αi u(Vi )

P. COSSON DYSTR



Representation d’une application lineaire par sa matrice (1/2)

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension respective n et m ,u une application lineaire de E a valeurs dans F . On note

(V1 , . . . Vi . . . , Vn) une base de E ;

(W1 , . . . Wi . . . , Wm) une base de F ;

u(Vj) =m

∑

i=1

aij Wi ∀ j ∈ 1 , . . . , n

La matrice [A] de l’application lineaire u est definie par

[A] = [aij ] 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n

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Representation d’une application lineaire par sa matrice (2/2)

[A] =

a1j

amj

u(Vj)

W1

Wm

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Applications lineaires symetriques et antisymetriques (1/4)

Soient E et F deux espaces vectoriels de meme dimension n , u uneapplication lineaire de E a valeurs dans F . On note

(V1 , . . . Vi . . . , Vn) une base de E ;

(W1 , . . . Wi . . . , Wn) une base de F ;

u(Vj) =

n∑

i=1

aij Wi ∀ j ∈ 1 , . . . , n

[A] la matrice de l’application lineaire u

[A] = [aij ] 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n

P. COSSON DYSTR




l’application lineaire u est une application lineaire symetrique si etseulement si sa matrice [A] est symetrique

[A]t = [A] ⇐⇒ aij = aji ∀ (i , j) ∈ 1 , . . . , n × 1 , . . . , n

l’application lineaire u est une application lineaire antisymetrique si etseulement si sa matrice [A] est antisymetrique

[A]t = − [A] ⇐⇒ aij = −aji ∀ (i , j) ∈ 1 , . . . , n×1 , . . . , n

consequenceaii = 0 ∀ i ∈ 1 , . . . , n

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Soit E l’espace vectoriel de dimension 3 associe a l’espace des pointsgeometriques. On pose

(−→e 1 , −→e 2 , −→e 3) une base orthonormee directe de E

u une application lineaire antisymetrique de E a valeurs dans E

mat [u , (−→e 1 , −→e 2 , −→e 3)] =

0 −r q

r 0 −p

−q p 0

P. COSSON DYSTR




On note−→Ω le vecteur de E defini par−→Ω = p −→e 1 + q −→e 2 + r −→e 3

ϕ−→Ω

l’application lineaire de E a valeurs dans E definie de la faconsuivante

ϕ−→Ω

: E −→ E

−→a 7−→ ϕ−→Ω

(−→a ) =−→Ω ∧ −→a

Alors

ϕ−→Ω

= u

P. COSSON DYSTR



Definition d’un espace affine

Soit E un espace vectoriel. L’espace affine E de direction E estl’ensemble verifiant les proprietes suivantes

∀ (A, B) ∈ E × E ∃ !V ∈ E / B = A + V

∀ A ∈ E et ∀ V ∈ E ∃ !B ∈ E / B = A + V

b

b

−→x 0

−→y 0

O

A

B−→a

A + −→a est un point de E

−−→A B est un vecteur de E

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Definition d’un champ vectoriel (1/2)

Soit E un espace affine, E l’espace vectoriel associe. On appelle champ devecteur sur E toute fonction f definie sur E a valeurs dans E .

Exemple

b

b

b

b

−→x 0

−→y 0

O

P

A1

−→F 1

A2

−→F 2

A3 −→F 3

f : E −→ E

P 7−→ f (P) =

3∑

i=1

−−→P A i ∧

−→F i

P. COSSON DYSTR



Definition d’un champ vectoriel (2/2)

Champ de vecteurs uniformeun champ de vecteurs est dit uniforme lorsque la fonction f estconstante.

Champ de vecteurs affineun champ de vecteurs est dit affine lorsqu’il existe une application lineairede E a valeurs dans E verifiant :

∀ (P , −→x ) ∈ E × E f (P + −→x ) = f (P) + u(−→x )

Champ de vecteurs equiprojectifun champ de vecteurs est dit equiprojectif lorsqu’il verifie

∀ (P , Q) ∈ E2 [ f (Q) − f (P) ] .−→PQ = 0

P. COSSON DYSTR



Exemple de champ de vecteurs affine et equiprojectif (1/2)

b

bb

b

b

−→x 0

−→y 0

O

P

QA1

−→F 1

A2

−→F 2

A3 −→F 3

f : E −→ E

P 7−→ f (P) =3

∑

i=1

−−→P A i ∧

−→F i

P. COSSON DYSTR



Exemple de champ de vecteurs affine et equiprojectif (2/2)

Champ affine

f (Q) =3

∑

i=1

−−→Q A i ∧

−→F i

=3

∑

i=1

(−−→Q P +

−−→P A i ) ∧

−→F i

= f (P) +−−→Q P ∧

3∑

i=1

−→F i

Champ equiprojectif

f (Q) − f (P) =−−→Q P ∧

3∑

i=1

−→F i

=⇒ 0 = [f (Q) − f (P)] .−−→P Q

P. COSSON DYSTR



Propriete fondamentale des champs de vecteurs equiprojectifs

Soit f un champ vectoriel equiprojectif de E a valeurs dans E . Alors fest un champ affine et l’application lineaire associee a f est antisymetrique.

demonstration : cf. annexe sur les torseurs disponible sur le serveurpedagogique

P. COSSON DYSTR



Torseurs (Champs de vecteurs equiprojectifs definis sur un espace dedimension 3)

Cas particulier des espaces affines de points geometriques de direction unespace vectoriel de dimension 3

Soit E un espace affine de points geometriques de direction un espacevectoriel de dimension 3.Soit f un champ de vecteurs equiprojectif. Il existe donc une applicationlineaire u antisymetrique verifiant

∀ (P , −→x ) ∈ E × E f (P + −→x ) = f (P) + u(−→x )

u etant une application lineaire antisymetrique definie sur un espace vectoriel

de dimension 3 , il existe un vecteur−→Ω verifiant

∀ −→x ∈ E u(−→x ) =−→Ω ∧ −→x

Par consequent, si f est un champ de vecteurs equiprojectif sur E , il existe

un vecteur−→Ω de E verifiant

∀ (P , −→x ) ∈ E × E f (P + −→x ) = f (P) +−→Ω ∧ −→x

P. COSSON DYSTR



Torseurs (Champs de vecteurs equiprojectifs definis sur un espace dedimension 3)

On appelle torseur tout champ equiprojectif de vecteurs defini sur unespace affine E de points geometriques de direction un espace vectorielE de dimension 3

A tout torseur f , on peut associer un vecteur−→Ω de E verifiant

∀ (P , Q) ∈ E × E f (Q) = f (P) +−→Ω ∧

−−→P Q

A etant un point de l’espace affine E , le torseur f est completementdefini par la donnee de

f A =

−→Ω

f (A)

Ω et f (A) sont les elements de reduction du torseur f au point A .

f est defini par six variables au plus.

P. COSSON DYSTR



Exemple de torseur

b

bb

b

b

−→x 0

−→y 0

O

P

QA1

−→F 1

A2

−→F 2

A3 −→F 3

f : E −→ E

P 7−→ f (P) =3

∑

i=1

−−→P A i ∧

−→F i

∀ (P, Q) ∈ E × E f (Q) = f (P) +−−→Q P ∧

3∑

i=1

−→F i

f P =

∑3i=1

−→F i

f (P)

P. COSSON DYSTR



Comoment de deux torseurs (1/2)

Soient f et g deux torseurs ayant pour elements de reduction aupoint A

f A =

−→R

f (A)

g A =

−→S

g(A)

Le comoment des torseurs f et g au point A est defini par

f A ⊗ g A =−→R . g(A) +

−→S . f (A)

ProprieteLe comoment des torseurs f et g est independant du point ou il estcalcule

P. COSSON DYSTR



Comoment de deux torseurs (2/2)

f B ⊗ g B =−→R . g(B) +

−→S . f (B)

=−→R . (g(A) +

−−→B A ∧

−→S ) +

−→S . (f (A) +

−−→B A ∧

−→R )

=⇒ f B ⊗ g B = f A ⊗ g A + [−→R ,

−−→B A ,

−→S ] + [

−→S ,

−−→B A ,

−→R ]

Or

[−→R ,

−−→B A ,

−→S ] = [

−→S ,

−→R ,

−−→B A ] = (

−→S ∧

−→R ) .

−−→B A

et [−→S ,

−−→B A ,

−→R ] = [

−→R ,

−→S ,

−−→B A ] = (

−→R ∧

−→S ) .

−−→B A

avec −→S ∧

−→R = −

−→R ∧

−→S

d’ou f B ⊗ g B = f A ⊗ g A

P. COSSON DYSTR

Demonstration

Documents

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