Dynamic Analysis of Structures

8/17/2019 Dynamic Analysis of Structures

1/32

Πανεπιστή ιο Πατρών

Τ ή α Μηχανολόγων Μηχανικών και Αεροναυπηγών

Θε α υνα ικης Αναλυσης Κατασκευων

υνα ική Ανάλυση οκού ε κώδικα MATLAB

Αλέξανδρος Κοντογιάννης 6365Κωνσταντίνος Νικολακόπουλος 6406

28 Ιανουαρίου 2016


2/32


3/32

1.2 Υπολογισ ός Μητρώου Συνεπούς Μάζας

Βάσει της Αρχής υνατών ΄Εργων ισχύει ότι

δwb =

L

0δwo δβ x

T ρ̄A 0

0 ρ̄Dẅo

β̈ xdx (1)

ε τις πυκνότητες για τις translational άζες m̄A και τις rotational άζες m̄D να υπολογίζονταιως

ρ̄A = b h/2

− h/ 2ρdz = bρh , ρ̄D = b h/

2

− h/ 2ρz 2 dz =

bρh3

12 = ρI (2)

΄Ετσι, το ητρώο συνεπούς άζας γράφεται στην ορφή

M bij = L0 N

iwN jw ρ̄A 0

0 N iβ N jβ ρ̄D

dx (3)

και λύνοντας τα παραπάνω ολοκληρώ ατα θεωρώντας συναρτήσεις ορφής ..... και άζες τοητρώο συνεπούς άζας του πεπερασ ένου στοιχείο είναι

M e =

1

3 m̄A 0 1

6 m̄A 013 m̄D 0

16 m̄D

sym.

13 m̄A 0

13 m̄D

m̄A = ρALe, m̄D = ρIL e (4)

ενώ για το δεδο ένο πρόβλη α ε 11 πεπερασ ένα στοιχεία, ε χρήση του κώδικα στο MATLABυπολογίστηκε

M e =

0.0048 0 0.0024 0

9.9621 e -9 0 4.9811 e -9

sym.

0.0048 0

9.9621 e -9

[kg]

2


4/32

1.3 Υπολογισ ος Φυσικων Συχνοτητων και Ιδιο ορφων

Συντηρητικού Συστή ατος

- Θεωρητική Περιγραφή

Για τη φυσική κίνηση της δοκού, η εξισώσεις κίνησης εκφράζονται ως

[M ]q̈ (t) + [K ]q (t) = 0 (5)

και θεωρώντας λύση της ορφής q(t) = est u καταλήγου ε στο γενικευ ένο πρόβλη α ιδιοτι-ών

[K ]u = λ[M ]u ε λ = ω2 (6)

Οι ιδιοσυχνότητες και τα ιδιοδιανύσ ατα υπολογίστηκαν ε χρήση της συνάρτησης eig() καιτην παρακάτω εντολή που λύνει το γενικευ ένο πρόβλη α ε την έθοδο αποσύνθεσης Choleskyτου ητρώου [M ].

[EIGMOD,EIGVAL] = eig(K_E_total,M_E_total)

Τα ιδιοδιανύσ ατα που προκύπτουν από τη λύση αυτή είναι ορθοκανονικά ως προς [M ] καιορθογωνικά ως προς [K ] και αυτό εκφράζεται έσω των ακολούθων σχέσεων

[U ]T [M ][U ] = I και [U ]T [K ][U ] = Λ (7)

- Ιδιοσυχνότητες οκού

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2010 0

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

10 6Eigenfrequencies of Beam Fixed at Both Ends: 11 Elements

Eigenfrequency no.

F r e q u e n c y

[ H z

]

Σχ. 2: Ιδιοσυχνότητες όπως υπολογίστηκαν στο MATLAB και σύγκλιση των πέντε πρώτων.

3


5/32

Για την περίπτωση της α φίπακτης δοκού η φυσικές συχνότητες δίνονται από την παρακάτωσχέση [4], η οποία και χρησι οποιήθηκε για τη διερεύνηση της σύγκλισης που φαίνεται στονάνω πίνακα.

ωn =(2n + 1) π

2

2 EI ρAL4 (8)Στη συγκεκρι ένη άσκηση τα πεπερασ ένα στοιχεία είναι 11 και όπως φαίνεται οι δύο πρώτεςσυχνότητες αποκλίνουν κατά 3.3 και 7.2 % αντίστοιχα. Για τις υπόλοιπες ιδιοσυχνότητεςτο σφάλ α ξεπερνάει τις γενικώς αποδεκτές τι ές και απαιτούνται περισσότερα πεπερασ έναστοιχεία για ακριβέστερα αποτελέσ ατα.

- Ιδιο ορφές οκού

Στο παρακάτω σχή α φαίνονται οι πέντε πρώτες ιδιο ορφές όπως υπολογίστηκαν και έπειτακανονικοποιήθηκαν ως προς τα πλάτη τους.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1First Five Eigenmodes of Beam Fixed at Both Ends: 11 Elements

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

B e a m

V e r t

i c a

l N o r m a

l i s e

d D e

f l e c

t i o n

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

Length [m]

Σχ. 3: Πέντε πρώτες ιδιο ορφές α φίπακτης δοκού.

4


6/32


7/32

Η ορφή των γενικευ ένων ετατοπίσεων q 1 , q 2 , q 3 φαίνεται στο παρακάτω σχή α.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−2

−1

0

1

2x 10 −7

q1

Generalised Displacements for the First Three Eigenvectors q 1, q2, q3 due to Harmonic Excitation at L/4 Node

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10 −7

q2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

−1−0.5

0

0.5

1

1.5x 10 −8

q3Time [s]

0 0 .002 0 .004 0 .006 0 .008 0 .01 0 .012 0 .014 0 .016 0 .018 0 .02−2

−1

0

1

2x 10 −7

q1

Close Up View

0 0 .002 0 .004 0 .006 0 .008 0 .01 0 .012 0 .014 0 .016 0 .018 0 .02−1

0

1

2x 10 −7

q2

0 0 .002 0 .004 0 .006 0 .008 0 .01 0 .012 0 .014 0 .016 0 .018 0 .02−1

−0.5

0

0.5

1x 10 −8

q3Time [s]

Σχ. 4: Γενικευ ένες ετατοπίσεις q 1 , q 2 , q 3 για αρ ονική διέγερση.

εδο ένου ότι υπάρχει αρ ονικός εξαναγκασ ός, στις γενικευ ένες ετατοπίσεις q 1 , q 2 , q 3 εν-τοπίζονται οι ιδιοσυχνοτητες ω1 , ω2 , ω3 αντίστοιχα καθώς και η συχνότητα εξαναγκασ ού ίση

ε Ω = (ω1 + ω2 )/ 2. Οι συχνότητες αυτές επαληθεύονται από το άνω σχή α στην εγενθυ ένητου ορφή (δεξιά).

Επίσης, για την κάθε απόκριση γενικευ ένης ετατόπισης παρατηρείται ία επιπλέον συχνότηταπολύ ικρότερη των υπολοίπων. Αυτή η συχνότητα για την κάθε περίπτωση προκύπτει λόγωπαρε βολής των αρ ονικών της ιδιοσυχνότητας ε τις αρ ονικές της διεγείρουσας συχνότητας-ένα φαινό ενο σαν το διακρότη α άλλα όχι ε την αυστηρή έννοια του όρου. Οι συχνότητεςαυτές εντοπίζονται στο άνω σχή α (αριστερά) και υπολογίζονται ως εξής

q 1 → |2ω1 − Ω|

2π = 11 Hz

q 2 → |2ω2 −3Ω|

2π = 11 Hz

q 3

→ | ω3 −3Ω|

2π = 41 Hz

Επο ένως, για την περίπτωση προσέγγισης πρώτης ιδιο ορφής, στο σή α της απόκρισης εντο-πίζονται η πρώτη ιδιοσυχνότητα (189 Hz), η συχνότητα διέγερσης (367 Hz) καθώς και αυτήλόγω παρε βολής (11 Hz). Αναλόγως, στην απόκριση ε προσέγγιση τριών πρώτων ιδιο ορ-φών, στο σή α της απόκρισης εντοπίζονται οι τρείς πρώτες ιδιοσυχνότητες του συστή ατος

6


8/32

(189, 545, 1142 Hz), η συχνότητα διέγερσης (367 Hz) καθώς και οι συχνότητες λόγω παρε -βολής των 11 και 41 Hz.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5x 10 −7

Response of 3L/4 node due to harmonic force at L/4 node (q 1 approx.):

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t s [ m ]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 −6

Response of 3L/4 node due to harmonic force at L/4 node (q 1,q2,q3 approx.):

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t s [ m ]

Σχ. 5: Απόκριση σε αρ ονική διέγερση ε προσέγγιση πρώτης ιδιο ορφής (άνω) και προσέγγιση 3ωνπρώτων ιδιο ορφών (κάτω). Η διέγερση εφαρ όζεται στον πλησιέστερο κό βο στα L/ 4 της δοκού ενώ

ελετάται η απόκριση του πλησιέστερου κό βου στα 3L/ 4.

7


9/32

- Απόκριση σε κρουστική διέγερση

Στην περίπτωση της κρουστικής διέγερσης, το σύστη α διεγείρεται στις ιδιοσυχνότητες του.ηλαδή, στην προσέγγιση ε την πρώτη ιδιο ορφή διεγείρεται στην πρώτη ιδιοσυχνότητα ενώ

στην προσέγγιση ε τις τρείς πρώτες, διεγείρονται οι τρεις πρώτες ιδιοσυχνότητες του.

Για την οντελοποίηση της κρουστικής διέγερσης χρησι οποιήθηκε η συνάρτηση

f (t) = 1α√ π e

− t 2 /α 2 ε α = 1 e-5 (13)

για την προσέγγιση της συνάρτησης δ (t), που ισχύει για α →0 (πρακτικά α 1).Παρακάτω παρουσιάζονται οι γενικευ ένες ετατοπίσεις και η απόκριση ε προσέγγιση πρώτηςκαι τριών πρώτων ιδιο ορφών.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−1

0

1x 10 −3

q1

Generalised Displacements for the First Three Eigenvectors q 1, q 2, q 3 due to Impulse at L/4 Node

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−5

0

5x 10 −4

q2

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−2

−1

0

1

2x 10 −4

q3Time [s]

Σχ. 6: Γενικευ ένες ετατοπίσεις q 1 , q 2 , q 3 για κρουστική διέγερση.

8


10/32

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10 −3

Response of 3L/4 node due to impulse at L/4 node (q1 approx.):

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t s [ m ]

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−3

−2

−1

0

1

2

3x 10 −3

Response of 3L/4 node due to impulse at L/4 node (q1,q

2,q

3 approx.)

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t s [ m ]

Σχ. 7: Απόκριση σε κρουστική διέγερση ε προσέγγιση πρώτης ιδι ορφής (άνω) και προσέγγιση 3ων

πρώτων ιδι ορφών (κάτω). Η διέγερση εφαρ όζεται στον πλησιέστερο κό βο στα L/ 4 της δοκού ενώελετάται η απόκριση του πλησιέστερου κό βου στα 3L/ 4.

9


11/32

1.5 Υπολογισ ός Φυσικών Συχνοτήτων Γρα ικού η

Συντηρητικού Συστή ατος


Για το η-συντηρητικό σύστη α οι εξισώσεις δυνα ικής ισορροπίας εκφράζονται

[M ]ü (t) + [C ] u̇ (t) + [K ]u (t) = F (t) (14)

Μεταφέροντας το σύστη α στο χώρο κατάστασης ορίζοντας τις παρακάτω εταβλητές

u̇ (t) = v (t) και v̇ (t) = −[M ]− 1 [C ]v (t) −[M ]

− 1 [K ]u (t) + [M ]− 1 F (t) (15)

οι εξισώσεις δυνα ικής ισορροπίας γράφονται σε ητρωική ορφή ως εξής

u̇ (t)

v̇ (t)

Q̇=

0 I

−[M ]− 1 [K ] −[M ]− 1 [C ]

[A]u (t)

v (t)

Q+

0

[M ]− 1 F (t)

[F (t)]ή

Q̇ (t) = [A]2N × 2N Q (t) + F (t) (16)

Για την ελεύθερη ταλάντωση είναι Q̇ (t) = [A]2N × 2 N Q (t) και υποθέτοντας λύση της ορφήςQ̇ (t) = Q̄ est στο χώρο Laplace, καταλήγου ε σε κανονικό πρόβλη α ιδιοτι ών

([A]−sI )Q̄ = 0 (17)όπου ο [A] είναι πραγ ατικό η-συ ετρικό ητρώο. Λόγω της εξ.(17) έχου ε

[A]X = [Λ]X και [A]T Y = [Λ]Y (18)

συ βολίζοντας τα δεξιά ιδιοδιανύσ ατα ωςX και τα αριστερά ιδιοδιανύσ ατα ωςY για τα οποίαθα πρέπει να ισχύει Y H X = I 1 , δηλαδή να είναι εταξύ τους ορθοκανονικά.

1 Για ιγαδικά διανύσ ατα V ορίζου ε τον συζυγή ανάστροφο (conjugate transpose , V H ≡ V̄ T

).

10


12/32


13/32

- ιάγρα α Πόλων υνα ικού Συστή ατος

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0

x 10 4

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 5 Pole Diagram of the Damped System with 11 Elements

ζ ωn [r/s]

ω d [

r / s ]

−500 −400 −300 −200 −100 0 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 4 Pole Diagram of the Damped System with 11 Elements

ζ ωn [r/s]

ω d [

r / s ]

Σχ. 9: ιάγρα α ιγαδικών πόλων δυνα ικού συστή ατος. Εντοπίζονται οι πόλοι των 8 πρώτωνφυσικών συχνοτήτων (άνω) και εστιάζεται η περιοχή των πόλων που αντιστοιχούν στις 3 πρώτες φυσικέςσυχνότητες.

12


14/32

- εξιά και Αριστερά Ιδιοδιανύσ ατα

Στα δυνα ικά η-συντηρητικά συστή ατα ε γενικά ητρώα απόσβεσης ε φανίζονται ιγαδι-κές ιδιο ορφές ε χωρικά εταβαλλό ενες φασικές γωνίες η οποίες υποδηλώνουν συ περιφοράκύ ατος που ταξιδεύει στο έσο κατά τον κύκλο της ταλάντωσης. Σε αντίθεση ε τα κλασσικώςαποσβεννύ ενα συστή ατα τα οποία ε φανίζουν σύγχρονη και στάσι η ταλάντωση [7].Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα αποσβεννύ ενο σύστη α να κατέχει κλασσικές(πραγ ατικέιδιο ορφές είναι η ακόλουθη σχέση [6]

[M ]− 1 [C ][M ]− 1 [K ] = [M ]− 1 [K ][M ]− 1 [C ] (21)

και η παραπάνω συνθήκη ικανοποιείται δεδο ένου ότι θεωρήσα ε αναλογική απόσβεση β [K ].Για το λόγο αυτό, στο δεδο ένο πρόβλη α προκύπτουν πραγ ατικά ιδιοδιανύσ ατα τα οποία

εταξύ τους φαίνεται να έχουν διαφορά φάσης. Αυτή η διαφορά φάσης φαίνεται να αυξάνεταικαθώς η απόσβεση γίνεται εντονότερη στις ανώτερες ιδιο οφές.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1First Five Eigenmodes X(−) and Y(− −) of Beam Fixed at Both Ends: 11 Elements

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

B e a m

V e r t

i c a l

D e

f l e c

t i o n

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

0

1

Length [m]

Σχ 10: εξιά και αριστερά ιδιοδιανύσ ατα δυνα ικού η-συντηρητικού κλασσικώς αποσβεννύ ενουσυστή ατος.

13


15/32

1.6 Απευθείας Ολοκλήρωση ε την Α εση Μέθοδο

Κεντρικών ιαφορών [1]


Με τη έθοδο της απευθείας ολοκλήρωσης η εξ.(14) ολοκληρώνεται χρησι οποιώντας ια αριθ-ητική έθοδο (step-by-step ), στην παρούσα άσκηση αυτή η έθοδος είναι αυτή των κεντρικών

διαφορών. Με τον όρο ΄ά εση’ εννοείται ότι δεν γίνεται κάποιος ετασχη ατισ ός των εξισώσε-ων σε κάποια άλλη ορφή. Στόχος της εθόδου είναι η ικανοποίηση της εξ.(14) σε διακριτάχρονικά διαστή ατα t , οπότε η στατική ισορροπία, η οποία περιλα βάνει και τις αδρανειακέςκαι η-συντηρητικές δυνά εις, θεωρείται σε διακριτά χρονικά ση εία εν έσω του διαστή ατοςτης λύσης. Η έθοδος βασίζεται στον υπολογισ ό της εταβολής των διανυσ άτων θέσης,ταχύτητας και επιτάχυνσης.

- Μέθοδος των Κεντρικών ιαφορών

Οι εκφράσεις πεπερασ ένων διαφορών για την ταχύτητα και την επιτάχυνση είναι

Ü t

= 1∆ t2

(U t − ∆ t −2U t + U t+∆ t ) (22)

U̇ t

= 12∆ t

(−U t− ∆ t + U t+∆ t ) (23)

Θεωρώντας την εξ.(14) σε χρόνο t

[M ] Ü t

+ [C ] U̇ t

+ [K ]U t = R t (24)

Αντικαθιστώντας τις (21) και (22) στην (23) προκύπτει η διακριτοποιη ένη εξίσωση

( 1∆ t2

[M ] + 12∆ t

[C ]) Ü t+∆ t

= R t −([K ]− 2∆ t2

[M ])U t −( 1∆ t2

[M ]− 12∆ t

[C ])U t − ∆ t (25)

Επιλογή χρονικού βή ατος ∆ t

Η έθοδος κεντρικών διαφορών απαιτεί την χρήση ενός χρονικού βή ατος t ικρότερου απόια κρίσι η τι ή tcr , το οποίο πορεί να υπολογισθεί ως

∆ t ≤∆ tcr = T n

π (26)

όπου T n είναι η ικρότερη χρονική περίοδος του συστή ατος ε n βαθ ούς ελευθερίας.Οι έθοδοι που απαιτούν τη χρήση ενός χρονικού βή ατος t ικρότερου από ια κρίσι η τι ή

tcr θεωρούνται υπό συνθήκες ευσταθείς (conditionally stable ). Εάν δηλαδή χρησι οποιηθεί

14


16/32

χρονικό βή α εγαλύτερο του ∆ tcr η ολοκλήρωση είναι ασταθής και οι υπολογισ οί απόκρισηςείναι συνήθως άχρηστοι.

Παρά ετροι Ανάλυσης

1. Η ανάλυση έγινε χωρίς απόσβεση για δύο λόγους, πρώτον γιατί συνήθως η απόσβεσηαγνοείται όταν χρησι οποιείται η έθοδος κεντρικών διαφορών και δεύτερον για να είναιδυνατή η σύγκριση των αποκρίσεων που θα προκύψουν ε τα αποτελέσ ατα από την προη-γού ενη ανάλυση ε υπέρθεση των ιδιο ορφών.

2. Σαν αρχικές συνθήκες θεωρήθηκαν U 0i = U̇ 0

i = Ü 0

i = 0.

3. Η ανάλυση έγινε για δύο διαφορετικά χρονικά βή ατα: ∆ t = T 15 και ∆ t = T min

5 , ε T 1την περίοδο της πρώτης ιδιο ορφής και T min της τελευταίας, εκ των οποίων το πρώτο δεν

ικανοποιεί την συνθήκη ευστάθειας ενώ το δέυτερο την ικανοποιεί.

4. Οι δυνά εις επιλέχθηκαν να είναι ίδιες ε αυτές του ερωτή ατος 3, δηλαδή ία αρ ονικήδύνα η F (t) = 0 .1sin (Ωt) και ία κρουστική δύνα η F (t) = 0 .1δ (t) N και εφαρ όστηκανστον ίδιο κό βο.

5. Για κάθε χρονική στιγ ή λύθηκε το γρα ικό σύστη α της εξ.(24) (αγνοώντας την α-πόσβεση) και εξήχθη το διάνυσ α θέσης.

Παρακάτω παρουσιάζονται τα αποτελέσ ατα της ανάλυσης και στη συνέχεια σχολιάζονται.

15


17/32

Απόκριση σε Αρ ονική ιέγερση

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 −6

rec n egra on e o − sp acemen o no e ue o mpu s ve orce a em

Time [s]

s p a c e m e n

m

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10 −7

rec n egra on e o − sp acemen o no e ue o mpu s ve orce a eme

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t [ m ]

.Σχ. 11: Απόκριση κό βου ε τη έθοδο της ά εσης ολοκλήρωσης ε χρονικό βή α T min / 5 σε αρ ονικήδιέγερση. Στο κάτω σχή α εστιάζεται η περιοχή της υψηλόσυχνης εξωτερικής διέγερσης. [ ιόρθωσηΤίτλου: harmonic αντί για impulsive ]

16


18/32

Απόκριση σε Κρουστική ιέγερση

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05−6

−4

−2

0

2

4

6x 10 −4

Direct Integration Method − Displacement of 3L/4 node due to impulsive force at L/4 (11 Elem

Time [s]

D i s p

l a c e m e n

t [ m ]

Σχ. 12: Κρουστική απόκριση ε τη έθοδο της ά εσης ολοκλήρωσης χρονικού βή ατος T min / 5.

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.

Time [s]

0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.Time [s]

Σχ. 13: Σύγκριση κρουστικής απόκρισης ά εσης ολοκλήρωσης (άνω) ε κρουστική απόκριση υπέρ-θεσης τριών πρώτων ιδιο ορφών (κάτω). Φαίνεται πως η ά εση ολοκλήρωση εντοπίζει τις υπόλοιπεςσυχνότητες (ανώτερες της 3ης ) που δεν συ περιλήφθησαν στην υπέρθεση ιδιο ορφών.

17


19/32

Απόκριση οκού

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10 −6

Direct Integration Method − Beam excitation due to harmonic force at L/4 (11 Elements)

Length [m]

D i s p

l a c e m e n

t [ m ]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8x 10 −4

Direct Integration Method − Beam excitation due to impulsive force at L/4 (11 Elements)

Length [m]

D i s p

l a c e m e n

t [ m ]

Σχ. 12: Απόκριση δοκού ε τη έθοδο της ά εσης ολοκλήρωσης ε χρονικό βή α T min / 5 σε αρ ονικήδιέγερση (άνω) και κρουστική διέγερση (κάτω).

18


20/32

Συ περάσ ατα Μεθόδου Α εσης Ολοκλήρωσης

Αρ ονική Απόκριση. Φαίνεται πως η έθοδος Υπέρθεσης Ιδιο ορφών δίνει ίδια αποτε-λέσ ατα και ως προς πλάτος ταλάντωσης αλλά και σε φάσ α συχνοτήτων ε την έθοδο της΄Α εσης Ολοκλήρωσης Κεντρικών ιαφορών. Αυτό είναι ανα ενό ενο καθώς η διεγείρουσασυχνότητα είναι ενδιά εση των πρώτων δύο ιδιοσυχνοτήτων και η υπέρθεση που περιλα βάνειτις τρεις πρώτες ιδιο ορφές πορεί να περιγράψει ε ακρίβεια την απόκριση. Συ περασ ατικάγια ία παρό οια ανάλυση, η έθοδος υπέρθεσης ιδιο ορφών είναι πολύ πιο ελκυστική δεδο ένουτου υπολογιστικού κόστους της σε σχέση ε ία έθοδο ά εσης ολοκλήρωσης.

Κρουστική Απόκριση. Σε ία ιδανική κρουστική διέγερση, όλες οι ιδιο ορφές διεγείρον-ται ε ίση ενέργεια. Επο ένως, η ανάλυση ε υπέρθεση τριών πρώτων ιδιο ορφών πορεί ναπεριγράψει την απόκριση όνο των τριών πρώτων ιδιοσυχνοτήτων ενώ οι υπόλοιπες συχνότητεςδεν λα βάνουν έρος. Αντίθετα, στην ά εση ολοκλήρωση, η απόκριση περιλα βάνει το πλήρεςφάσ α ιδιοσυχνοτήτων της δοκού. Τα αποτελέσ ατα ε υπέρθεση τριών πρώτων ιδιο ορφώνφαίνεται να διαφέρουν κατα τάξη εγέθους σε σχέση ε την ά εση ολοκλήρωση ενώ φαίνεταιεπίσης πως η ανώτερες ιδιοσυχνότητες λα βάνουν έρος στην απόκριση.

Χρονικό Βή α Ολοκλήρωσης. Για την περίπτωση του χρονικού βή ατος T 1 / 5 η α-ριθ ητική έθοδος είναι ασταθής, αποκλίνει και τα αποτελέσ ατα είναι άχρηστα. Επίσης, δενπαρουσιάζεται κάποιο διάγρα α καθώς το MATLAB επέστρεφε διανύσ ατα ε περιεχό ενοnAn, δηλαδή η λύση αποκλίνει απότο α και απειρίζεται.

19


21/32

Αναφορές

[1] Bathe K. J. , ”Finite Element Procedures” , Prentice Hall[2] Chopra A. K. , “ υνα ική των Κατασκευών, Θεωρία και Εφαρ ογές στη Σεισ ική Μη-

χανική ” , Μ. Γκιούρδας[3] Meirovitch L. , ”Computational Methods in Structural Dynamics” , Sijthoff and Noor-

dhoff

[4] Singiresu S. R., ”Vibration of Continuous Systems” , John Wiley and Sons[5] Gander W., Gander M. J., Kwok F. , ”Scientic Computing” , Springer[6] Caughey T. K., O’Kelly M. E. J. , ”Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic

Systems” , Journal of Applied Mechanics , (1965)[7] Hoen C., ”An Engineering Interpretation of the Complex Eigensolution of Linear Dy-

namic Systems” , IMAC XXIII, (2005)

20


22/32

2 Παράρτη α

Κώδικας σε περιβάλλον MATLAB

%% Finite Element Method for Dynamic Analysis

− 2D Beam

% Project no. 2% 17 Jan 2016% In this script a 2D − Beam dynamic analysis is being held. The stiffness,% point −mass and later the damping matrix are contructed for the eigenmode% and eigenvalue analysis. The system response is computed with the mode% superposition method for an harmonic excitation and an impulse. Finally,% with the addition of the damping matrix, the left and right eigenvectors% are computed and the transient response is calculated with the direct% integration − central difference method.%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%% The element stiffness matrices available (through comment −uncomment) are% 1. Euler 2D beam elements

% 2. Shear (Full Integration) 2D Beam elements,% 3. Shear (Reduced Integration) 2D Beam elements.%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%% For the current analysis, elements with the Timoshenko kinematic condition% (Shear 2D Beam elements (Red. Int.)) were employed.%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%clear allclose allclc%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%% Problem Parameters

% Define Number of Finite Elements UsedElements No = 11;

% Define number of degrees of freedom at each% 1st degree of freedom is Transvgerse Displacement w% 2nd degree of freedom is Rotation ThetaNode DoFs = 2;

% Beam GeometryL = 0.5; % Beam Length (m)w = 0.04; % Beam Width (m)h = 0.005; % Beam Height (m)A = h * w; % Beam Section Area

I = w * (hˆ3)/12; % Beam Section Inertia

% Material PropertiesE = 127e9; % Young Modulus (Pa)v = 0.275; % Poisson RatioG = E/(2 * (1+v)); % Shear Modulus (Pa)rho = 1578; % Mat. Density (kg/mˆ3)

21


23/32

% Elemental CalculationsLe = L/Elements No; % Element LengthNodes No = Elements No+1; % Total Nodes NumberTotal DoFs = Nodes No * Node DoFs; % Total Degrees of Freedom Number

% Discretize the Elemental Spacex value = 0:Elements No;x space = Le. * x value;

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%% Define the ELEMENTAL Stiffness Matrix FOR ONE (1) ELEMENT% Euler Beam%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%% K E = (E * I/Le) * [12/(Leˆ2) 6/Le −12/(Leˆ2) 6/Le;% 6/Le 4 −6/Le 2;% −12/Leˆ2 −6/Le 12/Leˆ2 −6/Le;% 6/Le 2

−6/Le 4];

% Shear Element (Full Integration)%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%K E = [G * A/Le G * A/2 −G* A/Le G * A/2;% G* A/2 G * A* Le/3+E * I/Le −G* A/2 G * A* Le/6 −E* I/Le;% −G* A/Le −G* A/2 G * A/Le −G* A/2;% G* A/2 G * A* Le/6 −E* I/Le −G* A/2 G * A* Le/3+E * I/Le];

% Shear Element (Reduced Integration)%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%K E = [G * A/Le G * A/2 −G* A/Le G * A/2;

G* A/2 G * A* Le/4+E * I/Le −G* A/2 G * A* Le/4 −E* I/Le;−G* A/Le −G* A/2 G * A/Le −G* A/2;G* A/2 G * A* Le/4 −E* I/Le −G* A/2 G * A* Le/4+E * I/Le];

% Initialize Total Stiffness Matrix K E totalK E total = zeros(Total DoFs);

% Assemble Total Stiffness Matrix (without considering boundary conditions)start = 1;

stop = 4;for noe = 1:Elements NoK E total(start:stop,start:stop) = K E total(start:stop,start:stop) + K E;start = start + Node DoFs;stop = stop + Node DoFs;end

22


24/32

%% Define the ELEMENTAL Point −Mass Matrix FOR ONE (1) ELEMENT% Consistent (Coupled) Mass Matrix%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%ma = rho * A* Le;md = rho * I * Le;

M E = [ma/3 0 ma/6 0;0 md/3 0 md/6;

ma/6 0 ma/3 0;0 md/6 0 md/3];

% Initialize Total Point −Mass Matrix M E totalM E total = zeros(Total DoFs);% Assemble Total Point −Mass Matrix (without considering boundary conditions)start = 1;stop = 4;for noe = 1:Elements NoM E total(start:stop,start:stop) = M E total(start:stop,start:stop) + M E;start = start + Node DoFs;stop = stop + Node DoFs;end

%% Define the VISCOUS DAMPING GLOBAL MATRIX% Viscous Damping matrix proportional to stiffness matrixbeta = 1e −5;C E t ot al = b eta * K E total;

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%% Considering Boundary Conditions% Case: Beam Fixed at Both Ends% Define GLOBAL MATRICES Dimensions after Applying% Boundary Conditions

% Delete the last two rows of the global MatricesK E total(Total DoFs −1:Total DoFs,:)=[];M E total(Total DoFs −1:Total DoFs,:)=[];C E total(Total DoFs −1:Total DoFs,:)=[];% Delete the last two columns of the global MatricesK E total(:,Total DoFs −1:Total DoFs)=[];M E total(:,Total DoFs −1:Total DoFs)=[];C E total(:,Total DoFs −1:Total DoFs)=[];% Delete the first two rows of the global MatricesK E tota l(1:2,:)=[];M E tota l(1:2,:)=[];C E tota l(1:2,:)=[];

% Delete the first two columns of the global Matrices

23


25/32

K E tota l(:,1:2)=[];M E tota l(:,1:2)=[];C E tota l(:,1:2)=[];

% Update the Number of DoFs (Active Nodes & Active DoFs)% (i.e Calculate the remaining degrees of freedom (DoFs) and

% the remaining number of nodes after the deletion of lines and columnsActive Nodes No = Nodes No −2;Active DoFs = Active Nodes No * Node DoFs;

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%% EIGENMODE and EIGENVALUE Analysis

% CONVERVATIVE NON −DAMPED SYSTEM − NATURAL MOTION% Compute Eigenvalues and Eigenvectors of Generalised Eigenvalue Problem% [K] {u } = L[M] {u } with EIGMOD beeing M −orthonormal and K −orthogonal[EIGMOD,EIGVAL] = eig(K E to tal,M E tot al);

% Natural Frequencies (omega n)figure(1);omega n = sqrt(diag(EIGVAL));f req n = omega n /(2 * pi);bar(1:size(freq n),freq n,0.4, 'LineWidth' ,1);title([ 'Eigenfrequencies of Beam Fixed at Both Ends: ' num2str(Elements No), ...

' Elements' ], 'FontSize' ,14);xlabel( 'Eigenfrequency no.' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Frequency [Hz]' , 'FontSize' ,14)set(gca, 'YScale' , 'log' )xlim([0 20.9])xbounds = xlim;set(gca, 'XTick' ,xbounds(1):xbounds(2));grid on

% Decompose EIGMOD Matrix to Vertical Displacements and RotationsEIG W = EIGMOD(1:2:Active DoFs,:);EIG TH = EIGMOD(2:2:Active DoFs,:);

% Normalize EIGMOD Decomposed Matrices for plotting reasonsfor k = 1:Active DoFsEIG W(:,k) = EIG W(:,k)/norm(EIG W(:,k),Inf);EIG TH(:,k) = EIG TH(:,k)/norm(EIG TH(:,k),Inf);end

% Plot first 5 Eigenmodesfigure(2);set(figure(2), 'Position' , [100, 100, 500, 1000]);EIG NO = 5;Color = [ 'b' 'c' 'm' 'k' 'g' ];Legend Str = [ 'Mode 1' ; 'Mode 2' ; 'Mode 3' ; 'Mode 4' ; 'Mode 5' ];

24


26/32

%Legend Str = cellstr(Legend Str);

for i = 1:EIG NOsubplot(5,1,i)plot(0:Le:L, [0; EIG W(1:Active DoFs/2,i); 0],Color(i), ...

'DisplayName' , Legend Str(i,:), 'LineWidth' ,1.5);

if i = = 1title([ 'First Five Eigenmodes of Beam Fixed at Both Ends: ' num2str(Elements No), ...

' Elements' ], 'FontSize' ,14);endif i = = 3ylabel( 'Beam Vertical Normalised Deflection' , 'FontSize' ,14)endif i == EIG NOxlabel( 'Length [m]' , 'FontSize' ,14)end%legend(' −DynamicLegend')legend( 'boxoff' )grid onylim([ −1.2 1.2])hold on;end

%% Define Vector for Loads% Initialize FORCE vectorF = zeros(Active DoFs,1);% Fill FORCE Vector with the Known Loads:% Force at L/4

% Find node coresponding to L/4node no = round((L/4)/Le);% Assign unit load at L/4 nodeF(node no * Node DoFs −1) = 1;%% DYNAMIC ANALYSIS in MODAL SPACE (EIGENMODE SUPERPOSITION)

% Construct eigenmode vector PHI3 consisting of the first three eigenmodesPHI = EIGMOD(:,1:3);

% Generalised MASS for each eigenmodeM G = transpose(PHI) * M E total * PHI;

% Generalised STIFFNESS for each eigenmodeK G = transpose(PHI) * K E total * PHI;

% Generalised DAMPING for each eigenmodeC G = transpose(PHI) * C E total * PHI;

% Generalised EXCITATION for each eigenmodeF G = transpose(PHI) * F;

25


27/32

% HARMONIC EXCITATION OF CONSERVATIVE SYSTEM%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%% Specify timestep according to highest frequency (avoid aliasing)timestep = 2 * pi/(20 * sqrt(EIGVAL(3,3)));tspan = 0:timestep:0.2;

% Harmonic excitation's frequencyOMEGA = (sqrt(EIGVAL(1,1))+sqrt(EIGVAL(2,2)))/2;

% Construct equation's transfer functionG1 = tf(1, [1 0 K G(1,1)]);G2 = tf(1, [1 0 K G(2,2)]);G3 = tf(1, [1 0 K G(3,3)]);

% Define harmonic force inputFORCE1 = 0.1 * F G(1) * sin(OMEGA * tspan);FORCE2 = 0.1 * F G(2) * sin(OMEGA * tspan);FORCE3 = 0.1 * F G(3) * sin(OMEGA * tspan);

% Compute response due to harmonic inputq1 = lsim(G1,FORCE1,tspan);q2 = lsim(G2,FORCE2,tspan);q3 = lsim(G3,FORCE3,tspan);

% Plot Generalised Displacements due to harmonic forceques fig(tspan,q1,q2,q3,1);

% Find node coresponding to 3L/4 (OUTPUT Request)node no = round((3 * L/4)/Le);

% Dynamic Response

− Translation of the node closer to 3L/4

% Superposition of only the first eigenmoderesp1 = q1 * EIGMOD(2 * node no −1,1);% Superposition of the first three eigenmodesresp3 = q1 * EIGMOD(2 * node no −1,1) + q2 * EIGMOD(2 * node no −1,2) + ...

q3 * EIGMOD(2 * node no −1,3);figure(5)plot(tspan,resp1, 'r' );title([ 'Response of 3L/4 node due to harmonic force at L/4 node (q1 approx.): ' ] ...

, 'FontSize' ,14);

xlabel( 'Time [s]' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Displacements [m]' , 'FontSize' ,14)grid on

figure(6)plot(tspan,resp3, 'b' );title([ 'Response of 3L/4 node due to harmonic force at L/4 node (q1 −3 approx.): ' ] ..

26


28/32

, 'FontSize' ,14);xlabel( 'Time [s]' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Displacements [m]' , 'FontSize' ,14)grid on

% EXCITATION DUE TO IMPULSE

− CONSERVATIVE SYSTEM

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%% Construct equation's transfer functionG1 = tf(1, [1 0 K G(1,1)]);G2 = tf(1, [1 0 K G(2,2)]);G3 = tf(1, [1 0 K G(3,3)]);

% Response due to impulse

%q1i = impulse(G1,tspan);%q2i = impulse(G2,tspan);%q3i = impulse(G3,tspan);

% Function approximating impulse for ai −> 0ai = 0.00001;FI = 0.1 * (1/(ai * sqrt(pi))) * exp(( −tspan.ˆ2)/(ai)ˆ2);q1i = lsim(G1,F G(1) * FI,tspan);q2i = lsim(G2,F G(2) * FI,tspan);q3i = lsim(G3,F G(3) * FI,tspan);

% Plot Generalised Displacements due to impusilve forceques fig(tspan,q1i,q2i,q3i,2);

% Dynamic Response − Translation of the node closer to 3L/4% Superposition of only the first eigenmoderesp1i = q1i * EIGMOD(2 * node no −1,1);% Superposition of the first three eigenmodesresp3i = q1i * EIGMOD(2 * node no −1,1) + q2i * EIGMOD(2 * node no −1,2) + ...

q3i * EIGMOD(2 * node no −1,3);figure(7)plot(tspan,resp1i, 'r' );title([ 'Response of 3L/4 node due to impulse at L/4 node (q1 approx.): ' ] ...

, 'FontSize' ,14);xlabel( 'Time [s]' , 'FontSize' ,14)

ylabel( 'Displacements [m]' , 'FontSize' ,14)grid on

figure(8)plot(tspan,resp3i, 'b' );title([ 'Response of 3L/4 node due to impulse at L/4 node (q1 −3 approx.): ' ] ..., 'FontSize' ,14);

27


29/32

xlabel( 'Time [s]' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Displacements [m]' , 'FontSize' ,14)grid on

%−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−%%% NON

−CONVERVATIVE DAMPED SYSTEM

% Compute Eigenvalues and Eigenvectors

% Construct NxN Blocks of ALPHA MatrixN = Active DoFs;ALPHA = zeros(2 * N,2 * N);ALPHA(1:N,1:N) = 0;ALPHA(1:N,N+1:2 * N) = eye(N,N);ALPHA(N+1:2 * N,1:N) = −inv(M E total) * K E total ;ALPHA(N+1:2 * N,N+1:2 * N) = −inv(M E total) * C E total ;% Compute EIGENVALUES and LEFT and RIGHT EIGENVECTORS% [A] {X} = [L] {X}[X, EIGVAL R] = eig(ALPHA);% [A]ˆT {Y} = [L] {Y}[Y, EIGVAL L] = eig(ALPHA');% Eigenvalues of the two systems are equivalentclear EIGVAL L

% Impose biorthonormality condition YˆT * X = 1%TEST = ctranspose(Y) * X;%DTEST = abs(diag(TEST));%for i = 1:2 * N

%X(:,i) =((conj(TEST(i,i))/DTEST(i)ˆ2)) * X(:,i);%X(:,i) = X(:,i)/(DTEST(i));%Y1(:,i) =sqrt((conj(TEST(i,i))/DTEST(i)ˆ2)) * Y(:,i);

%end

%Plot First Five Right & Left Eigenmodes (X,Y)figure(100)set(figure(100), 'Position' , [100, 100, 500, 1000]);for i = 1:EIG NOsubplot(5,1,i)plot(0:Le:L, [0; X(N+2:2:2 * N,i); 0],Color(i), ...

'DisplayName' , Legend Str(i,:), 'LineWidth' ,1.5);hold onplot(0:Le:L, [0; Y(1:2:N −1,2 * N+1 −i); 0],Color(i), ...'DisplayName' , Legend Str(i,:), 'LineStyle' , ' −−' , 'LineWidth' ,1.5);if i = = 1title([ 'First Five Eigenmodes of Beam Fixed at Both Ends: ' num2str(Elements No), ...

' Elements' ], 'FontSize' ,14);endif i = = 3ylabel( 'Beam Vertical Normalised Deflection' , 'FontSize' ,14)end

28


30/32

if i == EIG NOxlabel( 'Length [m]' , 'FontSize' ,14)end%legend(' −DynamicLegend')legend( 'boxoff' )grid on

ylim([ −1 1])hold on;end

% YˆT = Xˆ( −1)clear YY T = inv(X);

% Compute damped frequencies and damping coefficientsomega d = zeros(2 * N,1);zeta = zeros(2 * N,1);for i = 1 : 2 * N

omega nn(i) = sqrt(imag(EIGVAL R(i,i))ˆ2 + real(EIGVAL R(i,i))̂ 2);zeta(i) = −real(EIGVAL R(i,i))/omega nn(i);omega d(i) = omega nn(i) * sqrt(1 −zeta(i)ˆ2);freq d(i) = omega d(i)/(2 * pi);

end

% Plot Damped Frequencies (omega d)figure(33)bar(freq d(2 * N: −1:1),0.4, 'LineWidth' ,1);title([ 'Damped Eigenfrequencies of Beam Fixed at Both Ends: ' num2str(Elements No),

' Elements' ], 'FontSize' ,14);xlabel( 'Eigenfrequency no.' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Frequency [Hz]' , 'FontSize' ,14)set(gca, 'YScale' , 'log' )xlim([0 40.5])xbounds = xlim;set(gca, 'XTick' ,xbounds(1):xbounds(2));grid on

% Plot poles of damped non −conservative linear dynamic systemfigure(34)plot(real(diag(EIGVAL R(:))),imag(diag(EIGVAL R(:))), 'o' , 'MarkerEdgeColor' , 'k' )title([ 'Pole Diagram of the Damped System with ' num2str(Elements No), ...

' Elements' ], 'FontSize' ,14);xlabel( ' \zeta \omega n [r/s]' , 'FontSize' ,14)ylabel( ' \omega d [r/s]' , 'FontSize' ,14)xlim([ −6e4 500])ylim([ −1e5 1e5])%axis equalgrid on

%% DYNAMIC RESPONSE WITH DIRECT INTEGRATION METHOD [AS DESCRIBED BY BATHE]% using the (Explicit) Central Difference Method

29


31/32

% Initialize displacement vector at t −Dt, t, t+DtUT1 = zeros(N,1);UT2 = zeros(N,1);UT3 = zeros(N,1);

% Initial Conditions − Velocity and AccelerationDU = zeros(N,1);DDU = zeros(N,1);

% Set timestep for integration (Stability criterion is Dt


32/32

% Solve dynamic equilibrium system to obtain displacements using% LU factorization with partial pivotingUT3 = linsolve(MU,RU);

% Plot beam response

%if 0.1 < t < 0.10053%if mod(iter index,5000) == 0%plot(0:Le:L, [0; UT3(1:2:20); 0])%hold on%end%end

% Compute velocity and acceleration at time t% −−−−−−% during the current project solely the displacements are presented% −−−−−−% Plot displacement of 3L/4 node every "plot steps" stepsplot steps = 20;if mod(iter index, plot steps) == 0plot(t,UT3(2 * node no −1), 'Marker' , 'o' , 'MarkerSize' ,1, 'MarkerEdgeColor' , 'k' )hold onend

% Calculate direct integration iterationsiter index = iter index + 1;

% Update the displacement vectorsUT1 = UT2;UT2 = UT3;end

str iter = sprintf( 'Direct Integration ended after %d iterations.' , ...iter index);

disp(str iter)

% Set response plot titles and labelstitle([ 'Direct Integration Method − Displacement of 3L/4 node due to ' ...,str force, ' force at L/4 ( ' num2str(Elements No), ...

' Elements)' ], 'FontSize' ,14);xlabel( 'Time [s]' , 'FontSize' ,14)ylabel( 'Displacement [m]' , 'FontSize' ,14)

31

Documents

Dynamic Analysis of Structures