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General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 28, 2021 Modelling of photonic crystal fibres Knudsen, Erik Publication date: 2003 Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record Link back to DTU Orbit Citation (APA): Knudsen, E. (2003). Modelling of photonic crystal fibres. Technical University of Denmark.

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Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 28, 2021

Modelling of photonic crystal fibres

Knudsen, Erik

Publication date:2003

Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of record

Link back to DTU Orbit

Citation (APA):Knudsen, E. (2003). Modelling of photonic crystal fibres. Technical University of Denmark.

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Hj(x, y, z) =(

htj(x, y) + hz

j (x, y)z)

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j(x, y) = hxj x + hy

j y�« @¦±£�!*¦±¡/���� ±°�!�¡3 /!*¢�³x�,��³x��!��d¦#³�µ.¦±£�!}���� �

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j

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(

∇2t + εk2 − β2

j

)

hxj =

(

∂hyj

∂x−∂hx

j

∂y

)

(

∂ ln(ε)

∂y

) � ¿� �

(

∇2t + εk2 − β2

j

)

hyj =

(

∂hxj

∂y−∂hy

j

∂x

)

(

∂ ln(ε)

∂x

) � ¿�� �

�7£�!�¡3! ∇2t

�« J¦±£�!�¦±¡/���� ±°�!�¡3 3!¥ÀJ���r¬ �x¢�� ���,³x�?!�¡/��¦3³x¡N����ºε = ε(x, y)

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htj =

F∑

a,b=0

Hxabψ

ωm

a,b (x, y)x + Hyabψ

ωm

a,b (x, y)y� ¿ � �

.#!�¡3! ¦±£�!   ¹ Â� /¢�¡±���r¦m

£��x }Â?!�!�� ¹  /!�ºa¦3³�º�� ?!�¡3!��d¦±� ��¦3!ωm

³�µ�¦±£�! ��!�¬«º;!�� ������� 3�«³x�� 3!�¡±�«!� ��rµ ¡3³x� ¦±£�!} 3¦±¡ ¹ ¢�¦ ¹ ¡3!}¢3£���¡/�x¢�¦3!�¡±�« 3¦±�«¢6�7�«º¦±£��

ωd� �7£r�«¢3£ �7��¬�¬�Â?!

º�« /¢ ¹  3 3!�º ¬ ��¦3!�¡v¿ª £�!!.#!�¡±�,��¦3!6/ � ¹  3 ±� ���´µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� ¯��¡3! ºr!�����!�º��x v�

ψωa,b(x, y) = ψω

a (x)ψωb (y)

� ¿�� �

ψωa (x) =

2−a2 π−

1

4

√a!ω

e−x2

2ω2Ha(x

ω)

� ¿�� �

� �I<�0*2;: J�0�AN@�2�J�>NM[0*>+B72�J <�2�6�=G<�> F�2�H;>+C 2ZH�4T:�H�O*BKAN:1=3Oa:�4K63` =a:/A�W Ua=3O32R<�> J�Oa:�MVANH�2I<�2�63J�47>+6 �� 2 0�A�892 H/0*>#J�2�6 <�>DJ�>+B7892 <�0*2 W1AQ8+2\2��'O*AN<�47>+63JZM^>#:5<�032 CDA#`+632;<�47H S�2�BK=[U*J�476*H�2 4T<IEa472�BK=3J

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¡/���<!�¦3!�¡ω�« @�¾¢/£���¡/�x¢�¦3!�¡±�« ±¦±�«¢6�7�«º¦±£ ����¡/���<!�¦3!�¡¯³�µN¦±£�!§µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� v¿

Ha = (−1)nex2 da

dxa

(

e−x2) � ¿ ���

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e−x2 ¿ � ¿ !�¿��

R

e−x2

Ha(x)Hb(x)dx =

{

2−a√πa!

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0; a 6= b

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c,d (x, y)����º;�?!�¡ µ ³x¡±� ³v°�!�¡±¬ ��� ���d¦3!� �¡/��¬« <³v°�!�¡,¦±£�!%���#���r��¦3!´¢�¡3³� 3 ��� /!�¢�¦±�«³x���>��!���Ây²�³x¡��¦±£�³x �³x����¬���¦k² ��º��¡3!�¢�¦±¬�²´ �!�¦¯��� !��� �!��d°x��¬ ¹ !}�r¡3³xÂr¬«!�� ³�µ®¦±£�! µ ³x¬�¬«³��7���r <µ ³x¡±����¿

MH =β2

k2H

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H =

Hx00

Hx01¿¿¿

HxFF

Hy00¿¿¿

HyFF

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MH = β2

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2(F + 1)2 × 2(F + 1)2����¦±¡±���

M =

(

Mxx Mxy

Myx M yy

)

; M sp =

M sp0000 . . . M sp

00FF

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M sp

FF00 . . . M spFFFF

s, p ∈ {x, y}; s 6= p

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M ssabcd =

1

k2I(1)abcd(ωm) + I

(2)abcd(ωm) +

1

k2I(3)ssabcd (ωm)

M spabcd = − 1

k2I(3)spabcd (ωm)

s, p ∈ {x, y}

� ¿��v �

�7£�!�¡3!}¦±£�! ¹ ��¢�³ ¹ �r¬«!�º ¦3!�¡±�< ��I(1)abcd

�I(2)abcd

����ºI(3)ssabcd

����¡3!§ ���°�!�� Ây²?�

I(1)abcd(ωm) =

∫∫

R2

ψωmc (x)ψωm

d (y)∇2[

ψωma (x)ψωm

b (x)]

dxdy

� ¿��v� �

I(2)abcd(ωm) =

∫∫

R2

ψωma (x)ψωm

c (x)ψωm

b (y)ψωm

d (y) ε(x, y) dxdy

� ¿���� �

����º

I(3)xxabcd (ωm) =

∫∫

R2

ψωma (x)ψωm

c (x)∂ψωm

b (y)

∂yψωm

d (y)∂ ln (ε(x, y))

∂ydxdy� ¿��v� �

I(3)yyabcd (ωm) =

∫∫

R2

∂ψωma (x)

∂xψωm

c (x)ψωm

b (y)ψωm

d (y)∂ ln (ε(x, y))

∂xdxdy� ¿��v� �

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¿�� ª £�!*º�«!�¬«!�¢�¦±¡±�«¢*µ ¹ ��¢�¦±�«³x� ¿ �7O

����º ¦±£�! ¢�³ ¹ �r¬����r ¦3!�¡±�< ��I(3)spabcd

�Ây²?�

I(3)xyabcd (ωm) =

∫∫

R2

∂ψωma (x)

∂xψωm

c (x)ψωm

b (y)ψωm

d (y)∂ ln (ε(x, y))

∂ydxdy� ¿�� ���

I(3)yxabcd (ωm) =

∫∫

R2

ψωma (x)ψωm

c (x)∂ψωm

b (y)

∂yψωm

d (y)∂ ln (ε(x, y))

∂xdxdy� ¿��v¼ �

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(

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Λ

)

cos

(

2πgy

Λ

)

+

D2∑

f,g

c2f,gψωd

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I =

∫ ∞

−∞ψωm

a (x)ψωmc (x)ψωd

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����º

I =

∫ ∞

−∞ψωm

a (x)ψωmc (x) cos

(

2πfx

Λ

)

dx� ¿� �� �

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³x��!´� ¹  ±¦,¦/��·�!  3!�¡±�«!� ,�,�« ±����¦3¢/£9���y¦3³��x¢�¢�³ ¹ �y¦v¿ � � ������¬«³x �²;¦3³L¦±£�! /#��ÂrÂ� �$�r£�!���³x�<!���³x� ��� ��³ ¹ ¡±�«!�¡� /!�¡±�«!� ��#.¯!�¡±�,��¦3! / � ¹  / ±� ���  3!�¡±�«!� 7!��^£r��Âr��¦@��� ³� 3¢���¬�¬ �"�¦3³x¡±² Â�!�£��v°d�«³ ¹ ¡§��!v��¡*º�« 3¢�³x�d¦±��� ¹ ��¦±�«!� *���L¦±£�!¾!��������ºr!�º µ ¹ ��¢�¦±�«³x�3�7£r�«¢3£"���v²���d¦3!�¡ µ !�¡3!��7��¦±£�¦±£�!�/#��ÂrÂ� �$��r£�!���³x�<!���³x�´³�µ ¦±£�!���³ ¹ ¡±�«!�¡¥ 3!�¡±�«!� ���¿Nů¬« 3³ ��³x¦/��Âr¬«!�« § �!���!�¡/��¬��,�« 3����¦3¢3£a³�µ>¦±£�!�µ ¹ ��¢�¦±�«³x�  /!�¡±�«!� ����7£�³´µ ����¬N¦3³ ¢v����¢�!�¬Á!v�x¢3£a³x¦±£�!�¡¢�³x�,�r¬«!�¦3!�¬�² � �� �¿ ¿����f¿ ª £�! /#��ÂrÂ� �$��r£�!���³x�<!���³x��³�µ�¦±£�! ��³ ¹ ¡±�«!�¡* 3!�¡±�«!� §���v²Â?!*!QP�¢��«!��y¦±¬�²   ¹ �r�r¡3!� 3 3!�º ¦±£r¡3³ ¹ �£�ÀJ����¢ �v³� �$

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ε(x, y) =

D∑

f,g=−D

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ζºr!��?!���º ³x� ¦±£�!´���,�?³� 3!�º;��!�¡±�«³^º�«¢���¦�²�³�µ¯¦±£�!

 ±¦±¡ ¹ ¢�¦ ¹ ¡3!�¿R ¹ Â� 3¦±��¦ ¹ ¦±���r ´!&%�¿¯ ¿� ��%���y¦3³´!&%^ v¿@ ¿����´¦±£r¡3³ ¹ �£" ¿��v¼#�?����º ����·^���r ¹  3!�³�µ

¡3!�¢ ¹ ¡3 ±�«³x�}µ ³x¡±� ¹ ¬ �x!�� !&%^ v¿� ¿� ��¯����º} ¿� �����+��!�!� 3 3!��y¦±� ��¬�¬�² �!�¦�³v°�!�¡±¬ �������y¦3!� �¡/��¬« ³�µN¦±£�!§¦ �¥³,µ ³x¡±�< 

I =

∫ ∞

−∞ψωm

a (x)ψωmc (x) cos

(

ξfx

Λ

)

dx� ¿� �� �

����º

I =

∫ ∞

−∞ψωm

a (x)ψωmc (x) sin

(

ζgx

Λ

)

dx� ¿� �� �

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1

2

30

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1

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f=0 c2fψ

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f (x)�S�,�«ºrº¬«!��f¿ � �d°�!�¡±¦3!�ºL���,� ¹ ¬« 3!�¦±¡/����� �7��¦±£

¢�!��d¦±¡3!*���,� ¹ ¬« 3!}¢v����¢�!�¬�¬«!�º�� ∑20f=0 c

2fψ

wd

f (x) −∑120g=0 c

1g cos

(

2πgxΛ

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¡±�« /!� }�x  ¦±£�!,� ¹ �}Â?!�¡H³�µ7!��^������ ±�«³x� µ ¹ ��¢�¦±�«³x��  �« *����¢�¡3!v�x 3!�º[¿ � ¦ �« ��[¦±£�!�¡3!fµ ³x¡3!��³�µ.°^��¦/��¬[���,��³x¡±¦/����¢�!}¦±£���¦

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0.3

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0 5 10 15 20 25 30

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6,32

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i

Ci,0

Ci,16

Ci,32

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ωd ≡(ωd,x, ωd,y) ; ωd,x 6= ωd,y

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ωd = 0.12�

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I(1)abcd(ωm) = I11

ac I11bd

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I(2)abcd(ωm) = εbgδa,cδb,d +

j

(εj − εbg)

C∑

f,g

γjf,gI

22acfI

22bdg

� ¿���� �

I(3)xxabcd (ωm) =

j

2 (ln(εbg) − ln(εj))C∑

f,g=0

γ(ln),jf,g I22

acfI31bdg

� ¿���� �

I(3)xyabcd (ωm) =

j

2 (ln(εbg) − ln(εj))

C∑

f,g=0

γ(ln),jf,g I35

acfI34bdg

� ¿���� �

I(3)yyabcd (ωm) =

j

2 (ln(εbg) − ln(εj))

C∑

f,g=0

γ(ln),jf,g I31

acfI22bdg

� ¿������

I(3)yxabcd (ωm) =

j

2 (ln(εbg) − ln(εj))

C∑

f,g=0

γ(ln),jf,g I34

acf I35bdg,

� ¿���¼ �

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I11ac =

R

ψωma (x)

∂2ψωmc (x)

∂x2dx

� ¿��?O �

I22acf =

R

ψωma (x)ψωm

c (x)ψωj

d

f (x− rjx)dx

� ¿ �y� �

I31acf =

R

∂ψωma (x)

∂xψωm

c (x)∂ψ

ωjd

f (x− rjx)

∂xdx

� ¿ �����

I34acf =

R

ψωma (x)ψωm

c (x)∂ψ

ωjd

f (x− rjx)

∂xdx

� ¿ �y �

I35acf =

R

∂ψωma (x)

∂xψωm

c (x)ψωj

d

f (x− rjx)dx

� ¿ �y� �

�7£�!�¡3!γj

k,l

ºr!���³x¦3!� >¦±£�!#!��^������ ±�«³x�´¢�³^!QP�¢��«!��y¦�³�µJ³x¡3ºr!�¡k, l

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(ln),j)k,l

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¡±��¦±£r�,�«¢j¦±£´ºr!fµ !�¢�¦v¿N­# ±���r *¦±£�!@¡3!�¢ ¹ ¡3 ±�«³x��µ ³x¡±� ¹ ¬ �x!'� !&%d  ¿d ¿� ��}����º% ¿� �����

I31 �I34 ����º I35 ����² Â�!H!��^�r¡3!� / 3!�º ����¦3!�¡±�<  ³�µ I22 ¿ ª £ ¹  �� ��!���!�!�º ³x�r¬�²  3³x¬�°�!���d¦3!� �¡/��¬« ¯³�µN¦±£�!§µ ³x¡±� �

I =

R

ψωma (x)ψωm

c (x)ψωj

d

f (x− rjx)dx

� ¿ ��� �

¦3³  3!�¦ ¹ � ¦±£�!}!��� �!��d°x��¬ ¹ !H�r¡3³xÂr¬«!�� ¿ ��³x¡rx = 0

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rx 6= 0�d¦±£�!@���d¦3!� �¡/����º´³�µJ!&%�¿^ ¿ ���

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Ha(x)Hb(x) = 2bb!

b∑

j

(

a

b− j

)

Ha−b+2j(x)

2jj!

� ¿ �y� �

2a2Ha(x+ y) =

a∑

j=0

(

a

j

)

Ha−j

(√2x)

Hj

(√2y) � ¿ �y� �

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H1 H2

¡3!��r¡3!� 3!��y¦�¦±£�!7���� ���!�¦±�«¢���!�¬«ºr �³�µ�¦���³*�<³^ºr!� Á¢�³ ¹ ��r¬����r �¦3³}!v�x¢/£%³x¦±£�!�¡v¿ ¸ ²<³x¡±¦±£�³x��³x¡±����¬���¦�² �¦±£�!#³v°�!�¡±¬ ���´���d¦3!� �¡/��¬« �¦±£���¦¥��!�!�º<¦3³Â?!  3³x¬�°�!�º´����²´Â?!§¡3!��r¬ �x¢�!�º Âd²´�,  ¹ �,����¦±�«³x� ³v°�!�¡@!�������� ±�«³x� ¢�³^!QP�¢��«!��y¦3 #³�µ����¦3¢/£r���r ³x¡3ºr!�¡3 1�7��¦±£ ��³<�xºrº��¦±�«³x����¬®���r�r¡3³&�������¦±�«³x����!�!�ºr!�º[¿

η ≈

[

∫∫

R2 |H1(x, y) ·H∗2(x, y)|2 dxdy

]2

[

∫∫

R2 |H1(x, y)|2 dxdy] [

∫∫

R2 |H∗2(x, y)|2 dxdy

] ⇒

⇒ η ≈

(

∑Df,g=0 Hx

1,fgHx∗2,fg + Hy

1,fgHy∗2,fg

)2

[

∑Df,g=0(Hx

1,fg)2 + (Hy

1,fg)2] [

f,g(Hx∗2,fg)

2 + (Hy∗2,fg)

2]

� ¿ �d���

ª £ ¹  ��)��!*����² ¢v��¬«¢ ¹ ¬ ��¦3!}¢�³ ¹ �r¬����r �¢�³^!QP�¢��«!��y¦3 ¯Â?!�¦ ��!�!�� �<³dºr!� ���� ��� ��°�!�¡±²!QP�¢��«!��d¦@�����r��!�¡6�  3!�!}¢3£����r¦3!�¡�� �f¿R^!�¢�³x��º¬�² ������º}³�µ ¦3!��*� ¹ ¢3£��<³x¡3!.���,��³x¡±¦/���d¦���¢�³ ¹ �r¬����r @¬«³� 3 /!� ���¡±�« 3!Nµ ¡3³x�  ±�r¬��«¢�!�,�« ±����¦3¢/£��7� ¿ !�¿ �7£�!�� ¦���³ ��Âr¡3! !���ºr �µ ����¬@¦3³ ¬�����! ¹ � ¢�³x¡±¡3!�¢�¦±¬�²�¿ , ! ���v²ºr!�����! � ¢�³ ¹ �r¬����r L¢�³^!QP�¢��«!��y¦

η(rx, ry)�7£�!�¡3!

rx����º

ryºr!���³x¦3!%¦±£�!´³+ ? /!�¦

��� ¤>��¡±¦3!� ±� ��� ¢�³^³x¡3º������¦3!� �� ����ºL¢v��¬«¢ ¹ ¬ ��¦3!H¦±£�!¾¢�³ ¹ �r¬����r ¢�³^!QP�¢��«!��y¦3 §¦±£r¡3³ ¹ �£³ °�!�¡±¬ ���a���y¦3!� �¡/��¬« �������¬«³x �³ ¹  }¦3³ !&%�¿J ¿ �d�^¿ � �"¦±£r�« *¢v�x 3!���!,���v² �®�� y����� ¦/��·�!�xº°����y¦/�� �!�³�µ�¦±£�!}  ¹ �,����¦±�«³x��¦±£�!�³x¡3!�� µ ³x¡2.#!�¡±�,��¦3!H��³x¬�²^��³x�,� ��¬« '� !&%�¿� ¿ �y� �¦3³�!��^�r¡3!� / H¦±£�!´¢�³ ¹ �r¬����r ¢�³^!QP�¢��«!��y¦3 9� �d¿ � ¦��« ¾³�µ¯¢�³ ¹ ¡3 3! ��¬« 3³L³�µ@���y¦3!�¡3!� 3¦�¦3³¢�³x�� ±�«ºr!�¡�¢�³ ¹ �r¬����r ,Â?!�¦ �¥!�!�� ��¢�³x�y°�!��d¦±�«³x����¬� ±¦3!��´����ºr!�� ��Âr¡3!*����º �'��¤ �>¿ ª ³�§ �³^³^º����r�r¡3³&�������¦±�«³x�´¬«!�°�!�¬ ��!@����²,¡3!��r¡3!� 3!��d¦Á¦±£�!1��!�¬«º�³�µ[¦±£�!>µ ¹ ��º����<!��y¦/��¬�<³^ºr!<�����  ±¦3!��;����ºr!��3��Âr¡3!%�x �� / � ¹  / ±� ����� |F2(x, y)| = e−

x2+y2

2σ2���v ���¿ � �

- ��� B72�892L:Z:�2;O*J�2 >#M <�032 476!<�2;`#:/A#B7JZ2�8#A#B7O�AQ<�2�= 476 2��'O*AN<�47>+6 ��� � � CDA�E�2��a@�2�=34T<�25<�032�J�2 H�A#B7H�Oa]BKAN<�47>+63J

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β/k

Λ/λ

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λ / µm

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mod

e in

dex,

β/k

λ / µm

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[93, 58] %µ ³x¡��>��°�!�¬«!��r �¦±£� 

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Λ/λ

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defect ass. solutionsin minor gap

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7000 kg/mm2 �µ ³x¡ ¦±£�! ��Âr¡3!�����º  /³x�<!<º�� ?!�¡3!��d¦}����¦3!�¡±� ��¬« }µ ³x¡ ¦±£�! �±�x¢/·�!�¦!��! !�°x��¬ ¹ ��¦3!,¦±£�!�r¡3³xÂ���Âr��¬���¦k²9ºr!��� ±��¦�²;µ ¹ ��¢�¦±�«³x� µ ³x¡�� º�« ±¦ ¹ ¡±Â�����¢�!��7��¦±£  ±¦/����º���¡3º ºr!�°d� ��¦±�«³x���σ = 1µm

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0

0.2

0.4

0.6

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1

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ensi

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106

curvature, κ / (µm)-6

R=

8 cm

R=

16 c

m

R=

32 c

m

R=

64 c

m

R=

128

cm

R=

256

cm

R=

512

cm

D=1 kg/mm2

D=20 kg/mm2

D=200 kg/mm2

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σ = 1 ·10−6 ����º<�#¢�³x¡±¡3!�¬ ��¦±�«³x�¬«!��r �¦±£��

l = 0.001m

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0

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x/Λ

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−0.5

0

0.5

1

x/Λ

y/Λ

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ηr1→r2

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η(λ, τ)���x 

η (λ, τ) =

∫ ∞

r1=−∞

∫ ∞

r2=−∞ηr1→r2

· P (r(z2) = r2 | r(z1) = r1) dr1dr2�S��¿�� �

�7£�!�¡3!P (r(z2) = r2 | r(z1) = r1)

ºr!���³x¦3!� ¾¦±£�!%�r¡3³xÂ���Âr��¬���¦k²�³�µ§� ¦±¡/���� ±��¦±�«³x�Â?!�¦ �¥!�!���¦±£�!¾Â?!���ºL¡/�xº���

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]z1, z2[������º

ηr1→r2

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r1����º

r2¡3!� ±�?!�¢�¦±��°�!�¬�²�¿¥Å# ���³x¦3!�º

ηr1→r2

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ÅJ°�!�¡/�� ����r ¦±£�!7¢�³ ¹ �r¬����r H¢�³d!QP�¢��«!��d¦3 ��η(λ, τ)

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η(λ) = limL→∞

1

L

∫ L

0η (λ, τ) dτ

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−5

−4

−3

−2

−1

0

x 10−5

curvature radius, R(z2) / m

coup

ling

coef

ficie

nt (

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mic

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R(z1)=−0.8 m

R(z1)= ∞

R(z1)=12.8 m

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� µlimτ→∞ g(τ) = 0

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d(z1)����º

d(z2)��¡3! ¹ ��¢�³x¡±¡3!�¬ ��¦3!�º[¿ ª £�!���!��� �£d¦±���r ¾�r¡3³xÂ���Âr��¬���¦±�«!� Á���

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η (λ, τ) = ηr1→r2

P (r2a < r(z2) < r2b | r1a < r(z1) < r1b)�S��¿�¼ �

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Λ = 1.0µm����º´¦±£�!�� !�°���¬ ¹ ��¦3!�º%¦±£�!§�<!v��� ¢�³ ¹ �r¬����r <¬«³� 3 3!� 7�x 7�}µ ¹ ��¢�¦±�«³x� ³�µ(�>��°�!�¬«!��r �¦±£ ¿ª £�!�¬ ��¦±¦±�«¢�!�£��x ¯¦ ��³%�r¡±����¢�������¬�º��¡3!�¢�¦±�«³x�� #��� �7£r�«¢3£L¦±£�!}£�³x¬«!� §¢�¬«³� 3!� 3¦¯¦3³ ¦±£�!��Âr¡3!�¢�³x¡3!��J��¡3!¾���"¦±£�! π

3

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1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

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1e-01

1e+00

1e+01

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n lo

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n lo

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(dB

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λ / µm

D=1 kg/mm2D=20 kg/mm2D=200 kg/mm2

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λ > 0.5¦±£�!

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, !N¦±£�!�¡3!fµ ³x¡3!�!��^�?!�¢�¦[¦±£�!� 3!.º��¡3!�¢�¦±�«³x�� �¦3³¥µ ³x¡±�EÂ?³ ¹ ��ºr [µ ³x¡ ³x��!���º���<!��� ±�«³x����¬

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