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Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 28, 2021
Modelling of photonic crystal fibres
Knudsen, Erik
Publication date:2003
Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of record
Link back to DTU Orbit
Citation (APA):Knudsen, E. (2003). Modelling of photonic crystal fibres. Technical University of Denmark.
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Hj(x, y, z) =(
htj(x, y) + hz
j (x, y)z)
exp(jβjz)� ¿����
�7£�!�¡3!ht
j(x, y) = hxj x + hy
j y�« @¦±£�!*¦±¡/���� ±°�!�¡3 /!*¢�³x�,��³x��!��d¦#³�µ.¦±£�!}���� �
��!�¦±�«¢;��!�¬«º<����ºhz
j
¦±£�!�¬«³x�r ���¦ ¹ º������¬ ¿ R ¹ Â� 3¦±��¦ ¹ ¦±���r }!&%�¿� ¿��¥���y¦3³§¦±£�!�µ ¹ ¬�¬°�!�¢�¦3³x¡�>��°�!7!&% ¹ ��¦±�«³x��µ ³x¡����� ���!�¦±�«¢ ��!�¬«ºr �� ��!� �!�¦N�@������¡®³�µ�¢�³ ¹ �r¬«!�º �>��°�!7!&% ¹ ��¦±�«³x�� v�
(
∇2t + εk2 − β2
j
)
hxj =
(
∂hyj
∂x−∂hx
j
∂y
)
(
∂ ln(ε)
∂y
) � ¿� �
(
∇2t + εk2 − β2
j
)
hyj =
(
∂hxj
∂y−∂hy
j
∂x
)
(
∂ ln(ε)
∂x
) � ¿�� �
�7£�!�¡3! ∇2t
�« J¦±£�!�¦±¡/���� ±°�!�¡3 3!¥ÀJ���r¬ �x¢�� ���,³x�?!�¡/��¦3³x¡N����ºε = ε(x, y)
�« �¦±£�!�º�«!�¬«!�¢��¦±¡±�«¢Hµ ¹ ��¢�¦±�«³x�"³�µÁ¦±£�!¾ ±¦±¡ ¹ ¢�¦ ¹ ¡3!¾¢�³x�� ±�«ºr!�¡3!�º[¿�, !���³�� ¢�³x�� ±�«ºr!�¡§¦±£�!Hµ ³x¬�¬«³��7���r /!�¡±�«!� @!�������� ±�«³x� ³�µN¦±£�!§¦±¡/���� ±°�!�¡3 3! ���� ���!�¦±�«¢!��!�¬«º[�
htj =
F∑
a,b=0
Hxabψ
ωm
a,b (x, y)x + Hyabψ
ωm
a,b (x, y)y� ¿ � �
.#!�¡3! ¦±£�! ¹ Â� /¢�¡±���r¦m
£��x }Â?!�!�� ¹ /!�ºa¦3³�º�� ?!�¡3!��d¦±� ��¦3!ωm
³�µ�¦±£�! ��!�¬«º;!�� ������� 3�«³x�� 3!�¡±�«!� ��rµ ¡3³x� ¦±£�!} 3¦±¡ ¹ ¢�¦ ¹ ¡3!}¢3£���¡/�x¢�¦3!�¡±�« 3¦±�«¢6�7�«º¦±£��
ωd� �7£r�«¢3£ �7��¬�¬�Â?!
º�« /¢ ¹ 3 3!�º ¬ ��¦3!�¡v¿ª £�!!.#!�¡±�,��¦3!6/ � ¹ 3 ±� ���´µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� ¯��¡3! ºr!�����!�º��x v�
ψωa,b(x, y) = ψω
a (x)ψωb (y)
� ¿�� �
ψωa (x) =
2−a2 π−
1
4
√a!ω
e−x2
2ω2Ha(x
ω)
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Ha = (−1)nex2 da
dxa
(
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R
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2(F + 1)2 × 2(F + 1)2����¦±¡±���
M =
(
Mxx Mxy
Myx M yy
)
; M sp =
M sp0000 . . . M sp
00FF
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .M sp
FF00 . . . M spFFFF
s, p ∈ {x, y}; s 6= p
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M ssabcd =
1
k2I(1)abcd(ωm) + I
(2)abcd(ωm) +
1
k2I(3)ssabcd (ωm)
M spabcd = − 1
k2I(3)spabcd (ωm)
s, p ∈ {x, y}
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�I(2)abcd
����ºI(3)ssabcd
����¡3!§ ���°�!�� Ây²?�
I(1)abcd(ωm) =
∫∫
R2
ψωmc (x)ψωm
d (y)∇2[
ψωma (x)ψωm
b (x)]
dxdy
� ¿��v� �
I(2)abcd(ωm) =
∫∫
R2
ψωma (x)ψωm
c (x)ψωm
b (y)ψωm
d (y) ε(x, y) dxdy
� ¿���� �
����º
I(3)xxabcd (ωm) =
∫∫
R2
ψωma (x)ψωm
c (x)∂ψωm
b (y)
∂yψωm
d (y)∂ ln (ε(x, y))
∂ydxdy� ¿��v� �
I(3)yyabcd (ωm) =
∫∫
R2
∂ψωma (x)
∂xψωm
c (x)ψωm
b (y)ψωm
d (y)∂ ln (ε(x, y))
∂xdxdy� ¿��v� �
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�Ây²?�
I(3)xyabcd (ωm) =
∫∫
R2
∂ψωma (x)
∂xψωm
c (x)ψωm
b (y)ψωm
d (y)∂ ln (ε(x, y))
∂ydxdy� ¿�� ���
I(3)yxabcd (ωm) =
∫∫
R2
ψωma (x)ψωm
c (x)∂ψωm
b (y)
∂yψωm
d (y)∂ ln (ε(x, y))
∂xdxdy� ¿��v¼ �
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ε(x, y) =
D1∑
f,g=0
c1f,g cos
(
2πfx
Λ
)
cos
(
2πgy
Λ
)
+
D2∑
f,g
c2f,gψωd
f,g(x, y)� ¿��7O �
�7£�!�¡3!D1
����ºD2
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dx= 2aHa−1(x)
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Ha+1(x) = 2xHa(x) − 2aHa−1(x)� ¿� ���
�¥!* �!�¦�³ °�!�¡±¬ ��� ���y¦3!� �¡/��¬« #³�µN¦±£�! ¦ �¥³¾µ ³x¡±�<
I =
∫ ∞
−∞ψωm
a (x)ψωmc (x)ψωd
f (x)dx� ¿� � �
����º
I =
∫ ∞
−∞ψωm
a (x)ψωmc (x) cos
(
2πfx
Λ
)
dx� ¿� �� �
����������� ���������������� ����������� ���� �!a ��� $¾ ?Oi
i
i
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i
i
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∫ ∞
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Λ
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I =
∫ ∞
−∞ψωm
a (x)ψωmc (x) sin
(
ζgx
Λ
)
dx� ¿� �� �
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2fψ
wd
f (x) −∑120g=0 c
1g cos
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j
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f,g
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d
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εbg����º
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j¦±£ £�³x¬«!�¿
º�«!�¬«!�¢�¦±¡±�«¢,¢�³x�� 3¦/���y¦��[£�!���¢�!'��!����v² ���y°�!� 3¦±�� y��¦3!,!��^������ ±�«³x�L 3!�¡±�«!� #Â?!�£���°^�«³ ¹ ¡Âd² !��^������ 3�«³x� ³�µ�� ¹ �r��¦¯£�!��� �£y¦§ºr!fµ !�¢�¦v¿7Å# 3 ¹ �,���r �ºr!fµ !�¢�¦3 ¯¦3³<Â?!*¢���¡3¢ ¹ ¬ ��¡��¥!!��������º ¦±£�!#µ ¹ ��¢�¦±�«³x� ºr!�����!�º Ây²?�
fcirc(x, y) = u(1 − 4(x2 + y2))� ¿� �¼ �
u(t) =
{
0, t < 0;1, t ≥ 0;
� ¿� ?O �
µ ³x¡¯�¾ 3!�¦�³�µωd� °���¬ ¹ !� v¿
, !¾ 3!�!H��� �� ¹ ¡3!¾ ¿�� ¦±£���¦§¦±£�!�¢3£�³x�«¢�!,³�µ�¢/£���¡/�x¢�¦3!�¡±�« ±¦±�«¢ �7�«º¦±£�µ ³x¡#¦±£�!¾ 3!�¡±�«!� £��x *� ¦±¡3!��<!���ºr³ ¹ ���,���x¢�¦*³x�L¦±£�!,¢�³x�d°�!�¡± �!���¢�!<³�µÁ¦±£�!, 3!�¡±�«!� v¿ ��³x¡*�x¢�¢ ¹ ¡/��¦3!�<³^ºr!�¬�¬����r ��¦}�« �� ¦±£�!�¡3!fµ ³x¡3!��®��!�¢�!� 3 /��¡±²�¦3³ ±¦ ¹ º²L¦±£�!<¢�³x�y°�!�¡± �!���¢�! Â?!�£���°^�«³ ¹ ¡³�µ ¦±£�!¯!��^������ 3�«³x� 3!�¡±�«!� ¥�x ��§µ ¹ ��¢�¦±�«³x� ³�µ[¦±£�!2�7�«º¦±£�����¡/���<!�¦3!�¡v¿4, !�% ¹ ���d¦±�oµS²¦±£�!>¢�³x�d°�!�¡± �!���¢�!7³�µ�¦±£�!� 3!�¡±�«!� �Ây²}� ¹ �<!�¡±�«¢v��¬�¬�²}���d¦3!� �¡/��¦±���r ¦±£�!�!�¡±¡3³x¡1� �� �¿x ¿ � �f�
ε =
∫∫
R2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
fcirc(x, y) −∑
f,g
cf,gψωd
f,g(x, y)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dxdy� ¿���� �
į³x¦±�«¢�!<¦±£���¦*¦±£�!<³x�r¦±������¬�¢/£�³x�«¢�!�³�µωd
�« }ºr!���!���ºr!��d¦H³x� ¦±£�!,� ¹ �}Â?!�¡�³�µ!�������� ±�«³x��µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� ¿ ��¡3³x� �� ¹ ¡3!� ¾ ¿�� ����º� ¿ � ��!%¢�³x��¢�¬ ¹ ºr!<¦±£���¦�� �³d³^º �!���!�¡/��¬#¢3£�³x�«¢�! ³�µ ¢/£���¡/�x¢�¦3!�¡±�« ±¦±�«¢ �7�«º¦±£ µ ³x¡<¢���¡3¢ ¹ ¬ ��¡%ºr!fµ !�¢�¦3 ��«
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1
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−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
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x
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−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
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x
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0.3
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0.45
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Ci,16
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j
(εj − εbg)
C∑
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22acfI
22bdg
� ¿���� �
I(3)xxabcd (ωm) =
∑
j
2 (ln(εbg) − ln(εj))C∑
f,g=0
γ(ln),jf,g I22
acfI31bdg
� ¿���� �
I(3)xyabcd (ωm) =
∑
j
2 (ln(εbg) − ln(εj))
C∑
f,g=0
γ(ln),jf,g I35
acfI34bdg
� ¿���� �
I(3)yyabcd (ωm) =
∑
j
2 (ln(εbg) − ln(εj))
C∑
f,g=0
γ(ln),jf,g I31
acfI22bdg
� ¿������
I(3)yxabcd (ωm) =
∑
j
2 (ln(εbg) − ln(εj))
C∑
f,g=0
γ(ln),jf,g I34
acf I35bdg,
� ¿���¼ �
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R
ψωma (x)
∂2ψωmc (x)
∂x2dx
� ¿��?O �
I22acf =
∫
R
ψωma (x)ψωm
c (x)ψωj
d
f (x− rjx)dx
� ¿ �y� �
I31acf =
∫
R
∂ψωma (x)
∂xψωm
c (x)∂ψ
ωjd
f (x− rjx)
∂xdx
� ¿ �����
I34acf =
∫
R
ψωma (x)ψωm
c (x)∂ψ
ωjd
f (x− rjx)
∂xdx
� ¿ �y �
I35acf =
∫
R
∂ψωma (x)
∂xψωm
c (x)ψωj
d
f (x− rjx)dx
� ¿ �y� �
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³�µJ¦±£�!j¦±£ ºr!fµ !�¢�¦v¿
¤¥³x�� /!&% ¹ !��d¦±¬�² �γ
(ln),j)k,l
�« <¦±£�!k, l��³x¡3ºr!�¡´!��^������ ±�«³x� ¢�³d!QP�¢��«!��d¦%³�µ ¦±£�! ¬«³x y�"�
¡±��¦±£r�,�«¢j¦±£´ºr!fµ !�¢�¦v¿N# ±���r *¦±£�!@¡3!�¢ ¹ ¡3 ±�«³x��µ ³x¡±� ¹ ¬ �x!'� !&%d ¿d ¿� ��}����º% ¿� �����
I31 �I34 ����º I35 ����² Â�!H!��^�r¡3!� / 3!�º ����¦3!�¡±�< ³�µ I22 ¿ ª £ ¹ �� ��!���!�!�º ³x�r¬�² 3³x¬�°�!���d¦3!� �¡/��¬« ¯³�µN¦±£�!§µ ³x¡±� �
I =
∫
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ψωma (x)ψωm
c (x)ψωj
d
f (x− rjx)dx
� ¿ ��� �
¦3³ 3!�¦ ¹ � ¦±£�!}!��� �!��d°x��¬ ¹ !H�r¡3³xÂr¬«!�� ¿ ��³x¡rx = 0
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rx 6= 0�d¦±£�!@���d¦3!� �¡/����º´³�µJ!&%�¿^ ¿ ���
�« }��!���¦±£�!�¡}³^ºrº"��³x¡}!�°�!�� ¿ ª £�!<���y¦3!� �¡/��¬Á���v² �J£�³���!�°�!�¡��®Â?!<!�°x��¬ ¹ ��¦3!�º ¹ ±���r ¦±£�!> ¹ �,����¦±�«³x��¦±£�!�³x¡3!�� µ ³x¡<.#!�¡±�,��¦3!Á�?³x¬�²d��³x�,� ��¬« �� !&%�¿� ¿ �y� � �� �����¿ � ¦�����²}Â?!¡3!�����¡±·�!�º ¦±£���¦@º ¹ ! ¦3³<¦±£�!§¬«³d¢v��¬ ����¦ ¹ ¡3!H³�µ®¦±£�!}!��^������ ±�«³x� µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� �����¦�����²Â?!,!QP�¢��«!��y¦H¦3³ ¹ 3!,���a�xº����r¦±��°�!,� ¹ �<!�¡±�«¢v��¬����y¦3!� �¡/��¦±�«³x�; 3¢3£�!��<!<¢�³x�� 3�«ºr!�¡±���r ¦±£�! ¢�³x�,�r¬«!��^��¦k² ³�µ7¦±£�!< 3³x¬ ¹ ¦±�«³x�� v¿ ª £r�« *�« ����¡±¦±�«¢ ¹ ¬ ��¡±¬�²a¦±£�!<¢v�x 3!����7£�!���¦±£�!³x¡3ºr!�¡.³�µ�¦±£�!;.¯!�¡±�,��¦3!�/ � ¹ 3 3� ���*µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� ��« �£r�� �£��� ±����¢�!Á¦±£�!� 3³x¬ ¹ ¦±�«³x�� ®���d°�³x¬�°�!Γ� µ ¹ ��¢�¦±�«³x�� ³x� ¦±£�!L /���<!L³x¡3ºr!�¡ �x ´¦±£�! �?³x¬�²d��³x�,� ��¬« ��2�7£r�«¢/£E����·�!� ´¦±£�!�� /!��� ±��¦±��°�! ¦3³,� ¹ �<!�¡±�«¢v��¬�!�¡±¡3³x¡v¿
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b∑
j
(
a
b− j
)
Ha−b+2j(x)
2jj!
� ¿ �y� �
2a2Ha(x+ y) =
a∑
j=0
(
a
j
)
Ha−j
(√2x)
Hj
(√2y) � ¿ �y� �
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∫∫
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]2
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∫∫
R2 |H1(x, y)|2 dxdy] [
∫∫
R2 |H∗2(x, y)|2 dxdy
] ⇒
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(
∑Df,g=0 Hx
1,fgHx∗2,fg + Hy
1,fgHy∗2,fg
)2
[
∑Df,g=0(Hx
1,fg)2 + (Hy
1,fg)2] [
∑
f,g(Hx∗2,fg)
2 + (Hy∗2,fg)
2]
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∫
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)(
∫
Re−
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2σ2 ψωmg (y)dy
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[
∑Df,g=0(Hx
1,fg)2 + (Hy
1,fg)2]
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1
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(
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(
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∫∫
R2 |F (x, y)|4 dxdy
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1.43
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mod
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core index
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mod
e in
dex,
β/k
λ / µm
core index
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