Détection non supervisée de l’axe du ventriculegauche dans des échographies 3D du coeur

Projet dirigé par Elsa Angelini, Isabelle Bloch etPau Soler

Alexandre GRAMFORT

6 avril 2005

Table des matières

1 Introduction 2

2 Prétraitement des données 5

3 Detection d’ellipses par Transformée de Hough 5

4 Détection robuste de l’axe du ventricule gauche 8

5 Traitement d’un exemple complet 11

6 Validation des résultats 13

7 Améliorations envisagées 19

8 Conclusion et discussion 24

9 Annexe : détection automatique du septum 25

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1 Introduction

L’obtention de données quantitatives sur le ventricule gauche est aujourd’huiun défi pour les scientifiques et les médecins tant son rôle est important dans ungrand nombre de maladies du coeur. L’échographie 2D+Temps est aujourd’hui lamodalité d’acquisition la plus utilisée pour des raisons évidentes : son coût estfaible et surtout c’est une méthode d’acquisition non invasive.

Ces derniers temps sont apparues sur le marché de nouvelles machines commecelle de Philips Medical System réalisant une acquisition 4D (3D+Temps). Ainside nouveaux développement tirant parti des données 4D sont désormais possibles.L’un défi encore actuel est l’amélioration de la qualité des images échographiques.L’échographie de part son principe basé sur des ondes sonores souffre beaucoupde problèmes de diffusions mais surtout de réflexions du son sur les parois. Undes moyens pour minimiser ces problèmes est de réaliser plusieurs acquisitionssous des angles différents. Ainsi l’idée est de conserver le meilleur de chaque ac-quisition. La problématique qui survient alors et de savoir comment recaler desvolumes acquis sous des angles différents. Le recalage fonctionne par appariem-ments de points ou de structures géométriques telles que des droites ou des plans.La problématique est alors de savoir détecter de façon robuste ces structures.

Le deuxième intérêt de la détection de ces structures est de réduire le rôlede l’utilisateur dans la manipulation de ces données. On arrive aujourd’hui parexemple à estimer la contenance du ventricule gauche [3] avec une technique parcontours actifs paramétriques. Cependant ces méthodes font encore souvent appel àla main de l’utilisateur pour s’initialiser ou pour repérer des structures anatomiquesconnues.

Ainsi, c’est pour des raisons telles qu’améliorer la qualité d’image ou minimi-ser l’intervention de l’homme qu’il est intéressant de s’intéresser aujourd’hui à ladétection automatique de structures géométriques telles que l’axe de révolution duventricule gauche.

La méthode exposée par la suite utilise essentiellement la transformée de Hough,l’algorithme RANSAC et l’analyse en composantes principales.

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FIG. 1 – Schéma anatomique du coeur

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FIG. 2 – Présentation de données volumiques avec trois plans de coupes ( en bleu :coupe axiale, en vert : coupe coronale et en rouge : coupe sagittale

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2 Prétraitement des données

Afin de simplifier les données et de rendre les calculs numériques plus robustes,les données sont prétraitées par diffusion anisotropique. La méthode utilisée estcelle due à Malik et Perona [2]. L’idée est d’appliquer l’EDP suivante :

∂I∂t

= It = ∇ · (c(x, y, t)∇I) = c(x, y, t)∆I +∇c · ∇I

où l’oprérateur ∇ représente le gradient, ∇· la divergence et ∆ le laplacien.

La fonction c(x, y, t) joue le rôle de coefficient de diffusion. On remarque quesi c = 1 on retrouve l’équation de la chaleur. L’idée est donc d’atténuer la diffusionet d’avoir des faibles valeurs de c lorsqu’on est sur un bord, c’est-à-dire lorsque legradient est important. De ce fait on utilise comme fonction c l’expression analy-tique suivante :

c(x, y, t) = gK(||∇I(x, y, t)||) = e−||∇I(x,y,t)||

K

Le paramètre réel K permet de contrôler le degré de lissage (cf. Fig 3). Ainsiplus K est grand, plus la diffusion est permise pour de grandes valeurs du gradientet donc plus l’image est lissée. Les autres paramètres qui rentrent en jeu dans cettediffusion sont biensûr le nombre d’itérations du schéma explicite ainsi que le pasde temps utilisé.

3 Detection d’ellipses par Transformée de Hough

La réalisation d’une transformée de Hough sur une image en niveaux de gris,nécessite au préalable de réaliser une détection de contour. En effet le principe decette méthode est de choisir un certain nombre de points par lesquels les ellipsessont susceptibles de passer, puis en connaissant la direction des gradients en cespoints, il s’agit d’estimer les ellipses les plus représentées. En pratique pour di-minuer le temps de calcul, on quantifie l’espace des paramètres autrement appelél’espace de Hough. Par exemple sachant qu’une ellipse est représentée par 5 para-mètres (coordonnées du centre, taille des axes et orientation) et on va s’intéresseraux ellipses dont le petit axe et le grand axe sont compris entre 30 et 40 pixels etdont l’orientation est entre 0 et π/2. Pour plus de détails, on pourra consulter lechapitre sur le sujet dans [5].

Le méthode de détection de contours qui a été choisie est la méthode de Canny[4][5]. Les seuils utilisés pour la détection (typiquement on a un seuil inférieurégal à 0.15 et supérieur égal à 0.38) sont estimés automatiquement par la fonc-tion Matlab dédiée à cette tache. Seul le paramètre sigma permettant de jouer surl’écart type du filtre gaussien utilisé a été modifié. Ainsi l’expérience a montréqu’un sigma égal à 2 donnait d’assez bon résultats (cf. 5).

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FIG. 3 – Fonction gK définissant le coefficient de diffusion

FIG. 4 – A gauche : Coupe axiale du volume sans prétraitement - A droite : coupeaxiale du volume prétraitée par diffusion anisotropique (K = 5, λ = 0.25, nombred’itérations = 10)

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FIG. 5 – Résultats de la transformée de Hough sur trois coupes axiales - Sontreprésentées par ordre d’importance (rouge, vert, bleu) les trois ellipses les plusmarquées

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Remarque sur l’intérêt du prétraitement :L’expérience montre qu’une simplification extrême de l’image par une diffu-

sion anisotropique importante (K = 20 par exemple) n’améliore par les résultats.En effet, il apparaît que le détecteur de Canny est peu sensible à la diffusion parl’équation de Malik et Perona. Ceci est confirmé par l’illustration en figure 6. Ainsiun lissage faible suffit. De fait dans la suite les paramètres utilisés seront les sui-vants :

– nombre d’iterations = 5– pas de temps = λ = 0.06– K = 2.0

4 Détection robuste de l’axe du ventricule gauche

Une fois les centres des ellipses fournis par la transformée de Hough, il convientd’estimer de façon robuste la droite qui passe le plus fidèlement parmi le nuage depoints trouvé.

Critère d’inertie

Après analyse des résultats il s’avère que l’algorithme de Hough fait parfoisdes erreurs grossières (cf. Fig. 7).

Dans ces cas là, il est constaté empiriquement que les centres des trois ellipsesles plus représentées sont dispersés. De fait un critère utilisé pour valider le résultatde la détection est basé sur le calcul de la dispersion des centres Ci des ellipsesobtenues. Ce critère est basé sur le calcul de l’inertie de ces points.

Inertie =∑

i

||Ci −G||2

avec G le centre de gravité de ces points.Ainsi selon ce critère toute mesure sur une coupe axiale (cf. Fig. 2) entraînant

une inertie plus grande qu’un seuil est immédiatement rejetée. Dans la pratique leseuil a été fixé à 30 ce qui correspond à une inertie inférieure à celle d’un triangleéquilatéral de 6 pixels de coté.

RANSAC

RANSAC [7] est l’abréviation de "RANdom SAmple Consensus". C’est un al-gorithme très utilisé permettant d’améliorer un ensemble de données en respectantun certain critère. Ici dans notre cas, il s’agit d’un critère d’alignement.

L’algorithme de RANSAC dans notre application prend en entrée un ensemblede points de l’espace 3D, une fonction permettant de mesurer la distance d’un pointà une droite et enfin des paramètres de confiance. La méthode est ensuite itérative.Elle consiste à choisir un certain nombre de fois aléatoirement deux points (car

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FIG. 6 – Résultats de la détection de contours par la méthode de Canny sur unecoupe axiale non prétraitée, une coupe axiale avec une diffusion anistropique légère(nombre d’itérations = 5, λ = 0.06 et K = 2) et une coupe axiale avec diffusionanisotropique importante (nombre d’itérations = 10, λ = 0.25 et K = 10)

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FIG. 7 – Exemple typique d’une erreur de l’algorithme de détection d’ellipses deHough

deux points suffisent à définir une droite) puis à évaluer la distance de chaque pointà la droite passant par ces deux points. Les points à une distance supérieure à undistance de confiance donnée, sont rejetés. Toute la subtilité de l’algorithme est defaire un minimum d’essais car faire les calculs précédents pour tous les couplesde points prendrait beaucoup de temps et serait totalement inutile dans le cas parexemple d’un alignement parfait.

Ainsi l’idée est de dire qu’on souhaite avoir trouvé le meilleur alignement avecprobabilité p (typiquement p = 0.99) au bout de k essais. Si l’on appelle w laproportion de fausses mesures et z la probabilité de tirer deux points donnant unmauvais alignement lors des k premières itérations, on a :

z = (1− w2)k

ce qui donne pour k :

k =log(z)

log(1− w2)

Pour notre application, p a été pris égal à 0.99 et la distance seuil de confiancea été prise égale au rayon moyen des ellipses trouvées. Ceci permet ainsi de sup-primer les centres correspondant par exemple au ventricule droit dans certainescoupes axiales.

Analyse en Composante Principale (ACP)

Une fois les fausses mesures de centres supprimées, le calcul de la droite pas-sant par les points restants est fait par analyse en composantes principales [8].Cette méthode classique de traitements de données permet de trouver l’axe mi-nimisant la somme des distances au carré des points à lui même. On parle ausside recherche de l’axe principal d’inertie car cette méthode donne également l’axeselon lequel les données sont le plus étalées. Ainsi on est amené à parler de la

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contribution à l’inertie de l’axe principale. Cette grandeur correspond au rapportde la plus grande valeur propre de la matrice de covariance sur la somme de toutesses valeurs propres.

Dans les expériences réalisées, l’axe principale porte environ 80% à 90% del’inertie ce qui témoigne du bon alignement des points considérés.

5 Traitement d’un exemple complet

Les données sont deux volumes de tailles 176×170×144 acquis sous une vueapicale standard et sous une vue apicale légèrement désaxée.

La diffusion anisotropique est réalisée pour les deux volumes avec les para-mètres :

– nombre d’iterations = 5– pas de temps = λ = 0.06– K = 2.0On s’intéresse aux coupes axiales comprises entre z = 45 et z = 110. Ceci est

une approximation cohérente car en dessous de z = 45 le volume est essentielle-ment blanc. L’oeil ne distingue plus clairement le ventricule gauche. Et au dessusde z = 110, les données étant dans un cône ; l’image est trop petite pour avoir unintérêt. Ainsi dans les coupes axiales retenues on cherche les trois meilleures el-lipses dont les longueurs du petit axe et du grand axe sont comprises entre 62 et 74pixels. Puis on élimine les fausses mesures en éliminant les coupes où l’inertie descentres est supérieure à 30. Enfin on applique un RANSAC avec comme distanceseuil la distance moyenne des rayons des ellipses retenues. Et pour finir l’axe estcalculé par ACP.

Résultat sur la vue apicale standard (Figure 8) :On constate qu’il reste après seuillage sur l’inertie 57 centres corrects. Le RAN-SAC en élimine encore 3 après 4 itérations et enfin l’ACP fournit l’axe principalavec une contribution à l’inertie de 82%.

Résultat sur la vue apicale désaxée (Figure 9) :On constate qu’il reste après seuillage sur l’inertie 57 centres corrects. Le RAN-SAC en élimine encore 6 après 7 itérations et enfin l’ACP fournit l’axe principalavec une contribution à l’inertie de 86%.

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FIG. 8 – Résultat de la recherche de l’axe du ventricule gauche sur une vue apicalestandard (Les points représentés en rouge sont les points éliminés par le RANSAC)

FIG. 9 – Résultat de la recherche de l’axe du ventricule gauche sur une vue apicaledésaxée (Les points représentés en rouge sont les points éliminés par le RANSAC)

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6 Validation des résultats

Méthode 1Pour permettre la validation de ces résultats, un logiciel permettant d’afficher

des données volumiques a été écrit. Ce programme écrit en OpenGL et utilisantl’API GLUT ("OpenGL Utility Toolkit") permet par utilisation de la souris de vi-sualiser un volume selon toutes les coupes paramétrées par (r, θ, φ) en coordonnéessphériques. Il est également possible d’y ajouter les structures géométriques tellesque des droites et des plans. L’illustration des possibilités de ce logiciel est donnéeen figure 10.

On y constate la qualité de l’estimation de l’axe et on peut y vérifier l’écartd’angle d’acquisition entre la vue apicale standard et la vue apicale désaxée.

Méthode 2L’autre idée proposée pour valider ces résultats est de comparer sur les deux

vues l’évolution du niveau de gris le long de l’axe. On obtient ainsi les graphiquesproposés en figure 11. On constate sur un bon nombre d’image une corrélation trèsforte entre les courbes d’évolution.

Ces graphiques en plus d’apporter plus du crédit aux résultats obtenus per-mettent de fournir des informations supplémentaires. On peut en effet corréler laforme des courbes obtenues avec l’instant dans le cycle. On constate aisément qu’àl’ouverture de la valve mitrale, le profil de la courbe change. Ceci fournit une in-formation temporelle sur le moment où la valve mitrale s’ouvre mais aussi uneinformation spatiale sur la position de la valve.

Ce sont sans doute ce genre d’informations tirant parti de l’information 4D(3D+temps) qui permettront de faciliter des développements futurs comme celuidu recalage entre vues standard et désaxées ou encore les problèmes de tracking dela valve mitrale.

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FIG. 10 – Résultats de l’estimation de l’axe du ventricule gauche sur (à gauche) unevue apicale désaxée et (à droite) une vue apicale standard. Pour chaque vue, troiscoupes sous fournies. Chacune de ces trois coupes a une orientation fixée (θ, φ) etune distance au centre du volume r variable.

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FIG. 11 – Coupes frontales à 15 instants successifs du cycle cardiaque de la vueapicale standard et de la vue apicale désaxée avec à chacun de ces instants ungraphique donnant l’évolution du niveau de gris moyen le long de l’axe sur unvoisinage carré 20× 20 (En vert la vue standard et en rouge la vue désaxée)

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7 Améliorations envisagées

Contraintes de recherche d’ellipses avec information 3D

Un des reproches que l’on peut faire à la méthode présentée ci-dessus est dene pas tenir compte de l’information 3D lors de la recherche des ellipses. En effetun résultat positif de la transformée de Hough sur une coupe axiale n’aide pas larecherche sur les coupes adjacentes bien qu’elle possède de l’information pouvantla faciliter.

Pour remédier à ce défaut, l’idée suivante a été testée. Elle consiste à modifierles intervalles auxquels le petit axe et le grand axe doivent appartenir lors de la dé-tection des ellipses. On utilise pour cela les détections positives (Inertie des centresinférieure à 30). Concrètement, on centre les intervalles de recherche autours desvaleurs moyennes trouvées lors des bonnes mesures. Du même coup, on arrive àestimer l’évolution du diamètre du ventricule dans les coupes axiales successives.

Les résultats sont présentés en figures 12 et 13.On y constate une évolution naturelle du diamètre qui a tendance à diminuer

en s’approchant de l’anneau mitrale. Toute fois il semble délicat d’en dire plusqu’en à la qualité de cette approche bien qu’elle permette d’augmenter en géné-ral le nombre de centres servant à la détection de l’axe. Une des applications quipourrait donner tout son sens à cette approche, serait d’utiliser un maillage sur lastructure 3D trouvée comme initialisation d’une segmentation 3D par contours ac-tifs comme celle présentée dans [3] et permettant d’obtenir des résultats commecelui en figure 14.

Utilisation de lignes de niveau significatives au lieu du détecteur de contoursde Canny

Un autre reproche qu’il est possible de faire à cette méthode est illustré en fi-gure 5 sur l’exemple du bas. On y constate que la transformée de Hough est amenéeà utiliser des contours internes et externes du ventricule pour trouver les meilleuresellipses. Ce problème vient du fait que l’image de contour (image binaire) perdtoute information sur le niveau de gris le long du contour. Ainsi il apparaît qu’unedétection plus fine est possible.

Cette approche consiste à utiliser les lignes de niveaux significatives [6] commepoints de contours et à empêcher le programme d’utiliser des points issus de lignesdifférentes pour mettre en évidence les ellipses.

Ces idées sont illlustrées sur les figures 15 et 16. On constate bien que cetteapproche permet d’isoler les contours internes et externes du ventricule gauche etest donc susceptible d’éviter les problèmes rencontrés avec un détecteur de typeCanny. De plus il est notable qu’une telle méthode permettrait d’éviter le prétraite-

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FIG. 12 – Résultat sur vue apicale standard de la recherche d’axe avec in-tervalles de recherches variables pour le petit axe et le grand axe A haut :l’évolution du rayon moyen en fonction du niveau de la coupe axiale avec une ap-proximation polynomiale de degré 2 par méthode des moindres carrés. En bas : lareprésentation 3D du résultat

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FIG. 13 – Résultat sur vue apicale désaxée de la recherche d’axe avec inter-valles de recherches variables pour le petit axe et le grand axe A haut : l’évo-lution du rayon moyen en fonction du niveau de la coupe axiale avec une approxi-mation polynomiale de degré 2. En bas : la représentation 3D du résultat

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FIG. 14 – Résultat de segmentation du ventricule gauche par contours actifs para-métriques 3D [3]

ment par la méthode de Malik et Perona dans le mesure où le lissage a lieu lors del’utilisation du mouvement par courbure sur les lignes de niveau les plus significa-tives. Cette approche serait donc plus rapide.

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FIG. 15 – A gauche : résultat d’une recherche des lignes de niveaux significativessur une coupe axiale - A droite : la même coupe axiale avec ses lignes de niveausignificatives lissées par un mouvement par courbure moyenne (ces résultats ontétés obtenus par le logiciel Megawave développé par le CMLA)

FIG. 16 – A gauche : résultat d’une recherche des lignes de niveaux significativessur une coupe axiale - A droite : la même coupe axiale avec ses lignes de niveausignificatives lissées par unmouvement par courbure moyenne (ces résultats ontétés obtenus par le logiciel Megawave développé par le CMLA)

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8 Conclusion et discussion

Dans ce qui précède est présenté une méthode permettant de détecter efficace-ment l’axe du ventricule gauche du coeur. Cette méthode n’a pas jamais abouti àdes erreurs aberrantes de détections que ce soit sur des vues apicales standards oudes vues apicales désaxées. On peut donc se convaincre de sa robustesse bien qu’ilsoit difficile de valider avec précision les résultats obtenus.

En l’état, le code développé avec Matlab permet une détection d’axe en moinsd’une minute sur un PC standard ce qui est satisfaisant dans la mesure où le code estactuellement non optimisé. Il est donc possible d’envisager son utilisation dans desapplications plus proches du diagnostique thérapeutique telles que la segmentationou le recalage et ce dans le but notamment de réduire l’intervention de l’utilisateuret d’améliorer encore la qualité des images échographiques.

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9 Annexe : détection automatique du septum

Dans la même logique de détection automatique de structures géométriques,un algorithme a été développé afin de détecter le septum. L’intérêt est là encorede pouvoir situer une structure anatomique dans un volume 3D. Un des enjeux estici d’être capable sur une vue parasternale dans laquelle les cercles cherchés nesont plus dans les plans z de pouvoir permettre la recherche de l’axe du ventriculegauche.

Cette algorithme est basé sur une transformée de Hough recherchant les ali-gnements.

Sur une coupe coronale (cf. Fig. 2), l’approche qui a été utilisée consiste à cal-culer le gradient en chaque pixel de l’image puis à en déduire la droite paramétréepar (ro, θo) passant par ce pixel ayant pour vecteur normal le gradient. Une foiscette droite mise en évidence, on ajoute à l’espace de Hough au point (ro, θo) lavaleur du gradient. Ainsi par cette méthode on met en évidence les alignements quisont d’autant intéressants qu’ils sont marqués, c’est-à-dire qu’ils sont caractériséspar de forts gradients. Les résultats obtenus sont présentés en figures 17 et 18

FIG. 17 – Résultat d’une détection automatique du septum sur une coupe par trans-formée de Hough

Dans l’ambition de détecter une approximation plane du septum, une approchesimilaire pour cette fois détecter un plan a été également implémentée. L’idée estde la même façon, de pratiquer une transformée de Hough sur des données 3D etde paramétrer un plan dans l’espace de Hough en (r, θ, φ). Pour réduire le tempsde calcul, il est possible d’utiliser le résultat fourni par la transformée de Hough2D et de réduire la recherche au paramètre φ.

Toutefois les expériences ont montrés que l’approximation qui consiste à pen-ser le septum comme une structure plane est trop grossière et ne permet pas d’abou-tir à un résultat satisfaisant.

Malgré cet échec, il serait possible d’appliquer la transformée de Hough 2D sur

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FIG. 18 – Plan de Hough paramétré en (r, θ) ayant servi à la detection du septum(la carré jaune correspond à la zone où les valeurs sont maximales et correspondau septum)

des coupes successives, ce qui permettrait d’obtenir une idée du positionnement duseptum dans les données volumiques considérées.

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Références

[1] R. A. McLaughlin. Randomized Hough Transform : Better Ellipse Detection,IEEE Transaction on Digital Signal Processing Applications, 1996.

[2] P. Perona, J. Malik . Scale-Space and Edge Dectection Using AnisotropicDiffusion, IEEE Transaction on pattern analysis and machine intelligence,vol. 12, No 7, July 1990

[3] O. Gérard, A. Collet Billon, J.-M. Rouet, M. Jacob, M. Fradkin, C. Allouche. Efficient Model-Based Quantification of Left Ventricular Function in 3-DEchocardiography , IEEE transactions on medical imaging, vol. 21, No 9,september 2002

[4] J. Canny . A Computational Approach to Edge Detection, IEEE Transactionson Pattern Analysis and Machine Intelligence,Vol. PAMI-8, No. 6, 1986, pp.679-698

[5] ENST Polycopié de cours de la brique ANIM

[6] A. Desolneux, L. Moisan and J.-M. Morel Edge detection by Helmoltz prin-ciple Journal of Mathematical Imaging and Vision, 14(3) :271-284, 2001

[7] RANSAC : " http ://en.wikipedia.org/wiki/RANSAC "

[8] M. Cottrell , Cours d’analyse des données et techniques neuronales - Analyseen composantes principales Cours et exemples Paris 1 / Paris 7.

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