Dsp 2556 7

DSP 7

Digital Filter Structures

โครงสร้างตัวกรองดจิติอล

รศ.ดร. พรีะพล ยวุภษิูตานนท ์

ภาควชิา วศิวกรรมอเิล็กทรอนกิส ์

CESdSP DSP7-1 EEET0485 Digital Signal Processing

http://embedsigproc.wordpress.com

Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

เป้าหมาย

• นศ รูจ้กัความหมายของตวักรองดจิติอล และ โครงสรา้ง

แบบตา่งๆ

• นศ รูจ้กัวธิกีารสรา้งตวักรองดจิติอล ทีแ่สดงในรูปของ

กราฟการไหลสญัญาณ (signal flow graph) จาก

ฟงัก์ชนัถา่ยโอน (transfer function)




การใช้งานตัวกรองดจิติอล

• ตวักรองดจิติอลคอืการประมวลผลสญัญาณในโดเมน

เวลาเพือ่ดดัแปลงผลตอบสนองทางความถีใ่นทางขนาด

และ/หรือ เฟส

( )x n ตวักรองดิจิตอล Digital Filter

( )y n

ตวัอย่าง 1: เพื่อกรองสญัญาณรบกวน ออกจาก สญัญาณท่ีต้องการ เช่นสญัญาณเสียงท่ีมีการรบกวนจากสภาวะรอบข้าง

สญัญาณเสียง + สญัญาณรบกวน สญัญาณเสียง




การใช้งานตัวกรองดจิติอล (ต่อ)

ตวัอย่าง 2: แยกสญัญาณท่ีปะปนกนั เช่นในการวดัสญัญาณคล่ืนไฟฟ้า หวัใจ (ECG) ของแม่และทารกในครรภ ์ท่ีจะมีการปะปนของสอง สญัญาณ

( )x n ตวักรองดิจิตอล Digital Filter

สญัญาณ ECG แม่ + สญัญาณ ECG ทารก สญัญาณ ECG ทารก

สญัญาณ ECG แม่




ECG ที่ไม่มีสัญญาณรบกวน




ECG ที่มีสัญญาณรบกวน 50 Hz




ECG ที่ถูกก าจัดสัญญาณ 50 Hz ด้วยตัวกรองแบบปรับตัวได้ (Adaptive Filter)




ชนิดของตัวกรองดจิติอล

0

1

( )( )

( )( )

1 ( )

qk

k

pk

k

b k zB z

H zA z

a k z

ตวักรองดจิติอลอาจจะแสดงในรปูสมการความแตกต่าง

หรอือยูใ่นรปู ฟังกช์นัถ่ายโอน (Transfer function)

( ) (1) ( 1) (0) ( ) (1) ( 1)y n a y n b x n b x n

ซึง่เป็น สมการความแตกต่างอนัดบัทีห่น่ึง




ชนิดของตัวกรองดจิติอล (ต่อ)

ตวักรองอิมพลัสจ์ ากดั (Finite Impulse Response: FIR)

ตวักรองอิมพลัสไ์ม่จ ากดั (Infinite Impulse Response: IIR)

h(n)

h(n)

…

0

( ) ( ) ( )q

k

k

H z B z b k z

0

1

( )( )

( )( )

1 ( )

qk

k

pk

k

b k zB z

H zA z

a k z




บล็อกย่อยของตัวกรองดจิติอล

• หน่วยพืน้ฐาน (Basic Elements)

– ตวับวก

– ตวัคณู

– ตวัหน่วงเวลา

A

1( )x n

2 ( )x n

( )x n ( )Ax n

( )x n ( 1)x n

1z

1 2( ) ( ) ( )x n x n x n

หมายเหต:ุ ลกูศรทีไ่มเ่ขยีนคา่ก ากบัไว ้จะเทา่กบัการคณูดว้ย “1” CESdSP DSP7-10 EEET0485 Digital Signal Processing



ตัวกรองดจิติอลและผลตอบสนองความถี่

( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1)y n x n x n

( ) j nx n e ( 1)

( )

( ) 0.5 0.5

(0.5 0.5 )

j n j n

j j n

x n

y n e e

e e

( ) 0.5 0.5j jH e e

1( ) 0.5 0.5H z z

ได้ผลตอบสนองความถ่ี

เมื่อใช้การแปลง z เราจะได้ฟังกช์นัถ่ายโอน หรือ ตวักรองดิจิตอล

ให ้

ตวัอย่าง สมการความแตกต่างหน่ึงแสดงไดเ้ป็น




ผลตอบสนองความถี่ของ

dsp_7_1.eps

( ) 0.5 0.5j jH e e

w = [0:0.01:pi];% frequency points H = 0.5+0.5*exp(- i * w); subplot(2,1,1);plot(w, abs(H)) subplot(2,1,2);plot(w, angle(H))

MATLAB code

เราได้ ตวักรองดิจิตอล แบบ วงจรกรองต า่ผา่น (Low pass filter)




โครงสร้างของตัวกรองดจิติอล

• FIR

– Direct form

– Cascade form

– Linear-phase form

– Frequency-sampling

• IIR

– Direct form I and II

– Cascade form

– Parallel form




FIR

Direct Form

1z 1z 1z

0b1b 2b 3b

( )x n

( )y n

เน่ืองจากตวักรอง FIR มสีมการเป็น

0

( ) ( ) ( )q

k

k

H z B z b k z

ตวัอยา่งกรณี q=3

องคป์ระกอบของตวัหน่วงเวลาและตวัคณู จงึตรงไปตรงมา




FIR: Cascade Form

1 1

0 1 1

1 11 1

0 0

,1

1

0

1 20 ,2

1 ....

(1 )

( ) ... M

M

MM

K

k

k

k

b bz z

b b

B

H z b b z b z

b

b z B z

2

MK

โดยที ่

โครงสรา้ง น้ีจะแบ่ง ออกเป็น ตวักรองแบบออเดอรท์ีส่อง หลายๆ ตวั

ซึง่หมายถงึการปดั “ลง” เลขจ านวนตม็




FIR: Cascade Form (ต่อ)

( )x n ( )y n1z

1z1,2B

1,1B

2,2B

2,1B1z

1z

0b

กรณี M=5




FIR: Linear-phase Form

• ส าหรบัผลตอบสนองอมิพลัส์ทีม่คีวามยาว (length) เป็น

N

( ) ( 1 )

( ) ( 1 )

h n h N n

h n h N n

1 สมมาตร (symmetric) 2.สมมาตรตรงกนัข้าม

(Anti-symmetric)

ตวักรองทีม่เีฟสเชงิเสน้ นัน้สามารถมผีลตอบสนองอมิพลัสไ์ดท้ัง้แบบ:




n1 2 3 4 5 0

( )x n ( )y n

1

0

( ) ( ) ( )

(0) ( ) (1) ( 1) ... ( 2) ( 2) ( 1) ( 1)

(0) ( ) (1) ( 1) ... (1) ( 2) (0) ( 1)

(0) ( ) ( 1) (1)[ ( 1) ( 2)]...

N

k

y n h k x n k

h x n h x n h N x n N h N x n N

h x n h x n h x n N h x n N

h x n x n N h x n x n N

การรวบเทอมชว่ยใหล้ดการคณูลงไป 50 % !!





TYPE I (กรณี N = เลขคี่)

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing



DSP7-19

ถา้ N เป็น เลขคี ่และ h(n) เป็นสมมาตร (1)

(0) ((7 1) 0) (6)

(1) ((7 1) 1) (5)

(2) ((7 1) 2) (4)

h h h

h h h

h h h

ตวัอยา่ง กรณี N=7

( )h n

n


TYPE I (กรณี N = เลขคี่)

( )x n1z 1z

1z

1z 1z1z

...

... (0)h

(1)h (( 2) / 2)h N ( )y n ( 1) / 2h N

2

2

0

1 1( ) ( )[ ( ) ( ( 1))]

2 2

N

k

N Ny n h k x n k x n N k h x n





TYPE II (กรณี N= เลขคู่)

CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing



DSP7-21

ถา้ N เป็น เลขคู ่และ h(n) เป็นสมมาตร (1)

( )h n

n

(0) ((6 1) 0) (5)

(1) ((6 1) 1) (4)

(2) ((6 1) 2) (3)

h h h

h h h

h h h

ตวัอยา่ง กรณี N=6


TYPE II (กรณี N= เลขคู่)

( )x n1z 1z 1z

1z1z 1z

...

... (0)h (1)h

( )y n

1z

( / 2 1)h N / 2 2h N

/ 2 1

0

( ) ( )[ ( ) ( ( 1))]N

k

y n h k x n k x n N k




FIR: Frequency Sampling (1)

12 /

0

1( ) ( )

Nj nk N

k

h n H k eN

เป็นการสรา้งตวักรองโดยใช ้สมัประสทิธิ ์จาก DFT

จาก DFT

1 1 12 /

0 0 0

1 12 /

0 0

1( ) ( ) ( )

1( )

N N Nn j nk N n

n n k

N Nj nk N n

k n

H z h n z H k e zN

H k e zN





เทยีบเทา่กบั การ cascade ของ วงจรกรอง และตวักรองแบบหน่ึงโพล จ านวน N ตวั

1

2 / 10

1 ( )( ) (1 )

1

NN

j k Nk

H kH z z

N e z

1( ) (1 )NG z z

N

2 / 1

( )( )

1k j k N

H kH z

e z





( )x n( )y n

1z

1z

1z

Nz

1 2 /j Ne

2 ( 1) /j N Ne

(0)H

(1)H

( 1)H N

1

N




IIR: Direct Forms

0

1

( )( )

( )( )

1 ( )

qk

k

pk

k

b k zB z

H zA z

a k z

0

( ) ( ) ( )q

k

w n b k x n k

1

( ) ( ) ( ) ( )p

k

y n w n a k y n k

FIR

ตวักรองแบบ IIR มฟีงักช์นัถ่ายโอนเป็น

เขยีนเป็นสมการความแตกต่าง (difference eq.)

จะพบว่า สว่นของตวักรอง FIR คอืสว่นตวัเศษ nominator

ดงันัน้ รปูแบบแรกของตวักรอง IIR จงึเป็น Direct form CESdSP DSP7-26 EEET0485 Digital Signal Processing



IIR: Direct Form I

( )y n1z

1z

1z

1z

(0)b

(1)b

1z 1z( )b q

(1)a

( 1)a p

( )a p

( 1)b q

( )x n




สลับล าดับของ “เศษ”และ “ส่วน”

( )y n1z

1z

1z

(1)a

( 1)a p

( )a p

1z

1z

(0)b

(1)b

1z ( )b q

( 1)b q

( )x n

ส่วน เศษ




IIR: Direct Form II

( )y n(0)b

( )x n

1z

1z

1z

(1)a

( 1)a p

( )a p

(1)b

( )b q

( 1)b q




IIR: Cascade

1max( , )

0

11

1

( )1

( )1

1 ( )

qk

p q

k k

pk k k

k

b k zz

H z Az

a k z

1 2

1 2

1 2

1 2

1( )

1

k kk

k k

z zH z

z z

เราสามารถใชโ้ครงสรา้งcascade ของ FIR กบัตวักรอง IIR ได ้

ซึง่เป็นตวักรองอนัดบัที ่1 แต่หาก สปส เป็นเลขเชงิซอ้น เราได ้

ซึง่มโีครงสรา้งเป็นตวักรองอนัดบัทีส่อง




IIR: Cascade (ต่อ)

1z

1z

1z

1z( )y n( )x n

11

21

21

22

11

21

21

22




IIR: Parallel Form

1

0 1

1

1 1

1( )

( )

1 ( ) 1

qqk

k

k k

p pk

k

k k

zb k z

H z A

a k z z

ใชว้ธิ ีPartial Fraction Expansion ในการแยก factor ได ้

เรายงัสามารถ แยกสว่นประกอบออกเป็นผลคณูของเทอมยอ่ยๆ

โดยท ี และ เป็นเลขเชงิซอ้น k

1

0 1

1 21 1 2

( )1

sN

k k

k k k

zH z

z z




IIR: Parallel Form (ต่อ)

1z

1z( )x n

1z

1z

( )y n

11

12

21

22

01

02

11

12

กรณี N =4 ( Ns=2)




ตัวอย่างโจทย์ FIR 1

( )x n1z

1z

( )y n

1z

1z

-0.1 0.2

เป็นตวักรองทีม่โีครงสรา้งแบบ linear phase type II

จงหาผลตอบสนองความถี ่ ของตวักรองดจิติอลแบบ FIR ( )jH e





( )n

( 1)n

( 2)n

( 3)n ( 4)n

หาสญัญาณ ณ แต่ละ “node” 1z

1z

( )y n

1z

1z

-0.1 0.2





( )n

( 1) ( 3)n n

( ) ( 4)n n

รวมสญัญาณ ที ่node

1z

1z

( )y n

1z

1z

-0.1 0.2




( )y n

( )n

0.2 ( 1) ( 3) ( 2)n n n 0.1 ( ) ( 4)n n


คณูสญัญาณ 1z

1z

1z

1z

-0.1 0.2





( ) 0.1 ( ) ( 4) 0.2 ( 1) ( 3) ( 2)y n n n n n n

ได ้เอาทพ์ทุเมือ่อนิพุทเป็นอมิพลัส ์

แปลงDTFT ซึง่ท าใหไ้ด ้ผลตอบสนองความถี่

4 3 2( ) 0.1 1 0.2j j j j jH e e e e e




ตัวอย่างโจทย์ IIR 1

จาก ฟงักช์นัถ่ายโอนขา้งลา่ง จงสรา้งตวักรองดจิติอลในแบบ direct form I และ direct form II

1

1 1

1 0.85( )

(1 0.2 )(1 0.5 )

zH z

z z

1

1 2

1 0.85( )

1 0.3 0.1

zH z

z z

หาผลคณูของเทอมสว่น





( )y n

1z1z

1z

( )x n

0.3

0.1

0.85

Direct form I





( )y n1z

1z

( )x n

0.3

0.1

0.85

Direct form II





1z

1z( )x n

0.5

0.25

2

3

1

( )y n

จงหา ฟงักช์นัถ่ายโอน H(z) จาก โครงสรา้ง direct form II ขา้งล่างน้ี




1z

1z

0.5

0.25

2

3

1

( )y n( )x n

'( ) ( ) 0.5 '( 1) 0.25 '( 2)x n x n x n x n

'( )x n

1 2'( ) ( ) 0.5 '( ) 0.25 '( )X z X z z X z z X z

1 1 2

'( ) 1( )

( ) 1 0.5 0.25

X zH z

X z z z

1( )H z

1 2'( ) 0.5 '( ) 0.25 '( ) ( )X z z X z z X z X z




1z

1z

0.5

0.25

2

3

1

( )y n( )x n'( )x n

( ) 2 '( ) '( 1) 3 '( 2)y n x n x n x n

1 2

1 2

2

( ) 2 '( ) '( ) 3 '( )

( )( ) 2 3

'( )

Y z X z z X z z X z

Y zH z z z

X z

2 ( )H z




1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

2 3

1 0.5 0.25

H z H z H z

z z

z z

ไดฟ้งักช์นัถ่ายโอนเป็น




สรุป

• ตวักรองดจิติอลมีสองแบบ คอื FIR และ IIR

• เราสรา้งตวักรองดจิติอลไดจ้ากท ัง้ฟงัก์ชนัถา่ยโอน หรือ

จาก สมการความแตกตา่ง

• หรือ ในทางกลบักนัเราสามารถหาฟงัก์ชนัถา่ยโอน และ

ผลตอบสนองความถี ่จากตวักรองดจิติอลได ้




Documents

Dsp 2556 7