AstronomiaLezione 22/10/2015

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail: alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Sito web per le slides delle lezioni:

oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2015

Libri di testo consigliati:● Universe, R. Freedman, w. Kaufmann,

W.H.Freeman and Co., New York

● An introduction to modern astrophysics,

B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

AstronomiaLezione 22/10/2015

Coordinate Celesti

Cominciamo a trattarele coordinate celesti ...Gli argomenti trattati li trovatemaggiormente su questo libro.

La Sfera Celeste

Platone (350 A.C.) fu forse il primoa proporre un modello geocentricocon le stelle fisse che ruotano su diuna «sfera celeste» con un asseChe passa attraverso il polo nord esud della terra identificando unPolo nord e sud celeste.

Trigonometria Sferica

Data una sfera e’ possibile individuaredei cerchi come intersezioni tra lasuperficie della sfera e dei piani.Se un piano contiene il centro dellasfera questo prende il nome di cerchio massimo (Great Circle).

Gli altri cerchi prodotti da intersezionicon piani non contenenti ilcentro si chiamano cerchi minori(small circle).

Due punti collegati da una retta passanteper il centro ed ortogonale ad uncerchio massimo si chiamano poli delcerchio massimo.

Trigonometria SfericaSi chiama triangolo sferico un triangolosulla superficie sferica i cui lati sianotre archi di cerchi massimi AB, BC, CA.

Gli angoli corrispondenti a questi archisono c, a e b.

La lunghezza di un arco |AB| se la sferaè di raggio r è data da:

dove c è in radianti.La somma degli angoli A, B e C del triangolo sferico non e’ 180° ma e’ maggiore per un eccesso E dato da:

si puo’ dimostrare che l’area del triangolo sferico e’ allora (con E in radianti):

Trigonometria Sferica

Dato un sistema di assi cartesiani xyzcentrato nella sfera un qualunque puntoP sulla sfera puo’ essere individuatodagli angoli q e y come in figura.

Consideriamo anche un nuovo sistemadi riferimento x’ y’ z’ ruotato lungox di un angolo c come in figura.Si ha che:

Trigonometria Sferica

Data questa rotazione lecoordinate cartesiane saranno legate da:

e usando le relazioni precedentiotteniamo le seguenti equazionitra gli angoli:

Coordinate terrestriOgni punto sulla terra puo’ essere identificatotramite due coordinate.Il piano di riferimento e’ il piano equatoriale cheè ortogonale all’asse della rotazione terrestree che contiene il centro della terra.La sua intersezione con la sfera terrestre disegna l’equatore.I cerchi minori paralleli all’equatore sonodetti paralleli. I semi archi di cerchio massimo che collegano i due poli sono detti meridiani.

Dato un punto la sua longitudine e’ l’angoloche forma il meridiano passante per il punto conIl meridiano fondamentale passante per Greenwich.si misura generalmente in ore [0-24], incrementando andando verso ovest pero’vi sono convenzioni diverse.

Con latitudine si definisce la latitudine geografica che e’ l’angolo che forma il filo a piombocon il piano equatoriale. E’ positivo nell’emisfero nord, negativo in quello sud[es. 90° al polo nord, -90° al polo sud]. Si puo’ facilmente misurare misurando l’altezza del polo celeste (misurare la longitudine e’ molto piu’ difficile).

Coordinate terrestri

La terra non è però sferica ma e’ uno sferoide oblato.L’angolo tra la retta perpendicolare alla tangentein un punto e l’equatore e’ detta latitudine geodetica ed e’ molto similealla latitudine geografica.Tuttavia il filo a piombo non puntera’ versoil centro dello sferoide (lo fa solo sull’equatoree ai poli). Si chiama latitudine geocentrica l’angolotra la retta passante tra il centro dello sferoideed il punto e il piano dell’equatore.Se f è la latitudine geografica e f’ la latitudinegeocentrica si ha:

Coordinate orizzontali o altazimutaliIl piano di riferimento e’ l’orizzonte., il piano tangente alla terra che contiene l’osservatore.

La retta perpedincolare all’orizzonte passanteper l’osservatore identifica due poli celesti:lo Zenith (sopra l’osservatore) ed il Nadir (il polo opposto).I cerchi massimi attraverso lo Zenith sono chiamate verticali ed intersecano l’orizzonteperpendicolarmente.Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat.

Quindi come coordinate si usano:

l‘altezza (a) è l’angolo dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90° e +90°.Si usa anche la distanza di zenith z con z=(90° -a)l‘azimut (A) è l’angolo tra il punto Sud e il piede dell'astro (corrispondente alla distanza angolare tra meridiano locale e meridiano passante per l'astro), misurata in senso orario, e varia tra 0° e 360°. Attenzione pero’ che la definizione cambia !!

Coordinate orizzontali o altazimutali

In questo sistema di riferimento le stelle si muovono da Est ad Ovest. Le coordinate diuna stella dipendono quindi dal tempo.Non solo, il sistema di riferimento dipende dalla posizione sulla terra dell’osservatore.In figura vediamo il moto delle stelle visto da un osservatore a due latitudini diverse.Chiaramente non possiamo costruire un catalogo astronomico di stelle usando queste coordinate !!!

Coordinate Equatoriali

Il punto gamma vernale è anche noto con il nome di punto dell'Ariete o primo punto d'Ariete perché in corrispondenza dell'equinozio di primavera di circa 2100 anni fa (più precisamente nel periodo 2000 a.C. ÷ 100 a.C.), il Sole si trovava nella costellazione dell'Ariete. Oggi a causa della precessione degli equinozi non è più così e in corrispondenza dell'equinozio di primavera il Sole si trova nella costellazione dei Pesci; a partire dal 2700 d.C. si troverà in quella dell'Acquario e così via fino al completamento dell'intero zodiaco.

Il moto del sole sulla sfera celeste cambia nei giorni dato che il piano dell’equatore Interseca quello dell’eclittica. Il moto del sole apparira’ quindi andare da sud a nordnell’equinozio vernale (in primavera) e da nord a sud nell’equinozio autunnale(detto punto omega o della Bilancia).

Coordinate Equatoriali

Quando osserviamo con il telescopiotrovare la declinazione e’ semplice perchéuno degli assi del telescopio e’ orientatocome l’asse di rotazione terrestre.

Per l’ascensione retta si prende comeriferimento un meridiano (es. il Sud).

L’angolo orario h e’ la distanza angolareDi una stella rispetto a questo meridiano.Si chiama tempo siderale l’angolo orariodel punto vernale. Dalla figura e’ chiaro che:

Quindi in pratica:- Si misura h di una stella di cui si conosce l’ascensione retta.- Si conosce quindi il tempo siderale e tutte le altre stelle si possono quindi trovare conoscendone l’ascensione retta da un catalogo.

Passaggio da coordinate orizzontalia coordinate equatoriali.

Il passaggio da coordinate orizzontali a Equatoriali puo’ essere fatto considerando iltriangolo sferico con i vertici la stella, lo zenithed il polo nord. Guardando la figura si ha:

Da cui, usando le formule precedenti:

dove f e’ la latitudine dell’osservatore.

Coordinate Orizzontali e coordinate Equatoriali

In questa animazione vediamocome ci appare la voltaceleste di notte al passaredel tempo siderale(vista da Durham in UK).Le coordinate che ruotanocon le stelle fissesono quelle equatoriali.La linea rossa e’ l’equatore celeste.La verde e’ l’eclittica.

Coordinate eclittiche

In questo sistema di coordinate si usa come piano di riferimento il piano dell’eclittica.Si ha una latitudine eclittica indicata da b e una longitudine eclittica indi cata con l.La latitudine si misura dal punto vernale in senso antiorario. La longitudine e’ la distanza angolare dal piano dell’eclittica. Queste coordinate possono essere geocentriche o eliocentriche. Per oggetti vicini c’e’ una differenza tra i due tipi di coordinate, per quellilontani no.

Passaggio coordinate eclittiche-coordinate equatoriali.

I due sistemi di riferimento differiscono solo per la differente orientazione dei piani avendoentrambe in ascissa ome riferimento il punto gamma o vernale.Ricordando quindi la trasformazione di coordinate tra angoli trovata precedentementedata da:

Considerando quindi gli angoli si ha:

Con e che indica l’inclinazione tra i due piani e pari a circa 23° 26’

Coordinate Galattiche

Per le coordinate galattiche si usa come piano il piano della galassia .Si ha una latitudine galattica b ed una longitudine galattica i.Quest’ultima e’ calcolata partendo dal centro della Galassia (nel Sagittario) in senso antiorario.

Posizione del Sole in Coordinate Equatoriali e in Coordinate Eclittiche

CoordinateEquatoriali

CoordinateEclittiche

Punto Vernale oPunto GammaEquinozio diPrimavera

Alcuni siti interessanti

http://ntserver.ct.astro.it/cgiplan/skydraw.htm

http://divulgazione.uai.it/index.php/Archivio_Cielo_del_Mese

http://www.guardian.co.uk/science/series/starwatch

http://www.skymapper.co.uk/html/mapreader.php?coords=?297,54

http://www.cosmotions.com/

Regola del pollice

Perturbazioni alle coordinate

Abbiamo visto che le coordinate orizzontali dipendono dal tempo e dalla posizione.Le coordinate equatoriali invece sono fisse con la sfera celeste, tuttavia vari fenomeniperturbano queste coordinate e sono necessarie delle correzioni.Gli effetti perturbativi di cui tenere conto sono:

- Precessione

- Nutazione

- Parallasse

- Aberrazione

- Rifrazione

Precessione

La Terra possiede un moto di precessione: il suo asse di rotazione ruota lentamente (con un ciclo di 25.800 anni) intorno alla perpendicolare al piano della sua orbita, rispetto alla quale è inclinato di circa 23°26'. Questo fenomeno è dovuto all'attrazione del Sole e della Luna, e al fatto che la sua forma non è esattamente sferica. Si parla di precessione degli equinozi, in quanto tra gli effetti della precessione vi è quello di spostare lentamente i punti equinoziali lungo la volta celeste. Questo fenomeno fa sì che la linea degli equinozi (cioè il segmento congiungente i due punti dell'orbita terrestre in cui si verificano gli equinozi) ruoti. Il punto vernale si muove quindi di circa 50 arcosecondi l’anno in senso orario. Questoporta ad un incremento della longitudine eclittica.Inoltre al presente l’asse di rotazione punta verso la stella polare con una incertezza di un grado.Fra 12000 anni puntera’ invece approssimativamente verso la stella Vega.

Precessione

Lo schiacciamento della Terra ai poli può essere schematizzato ipotizzando la Terra sferica con una massa anulare (in azzurro) intorno all'equatore. L'attrazione gravitazionale (in verde) esercitata sulla massa anulare dà origine a una coppia (in arancione) che, nel tentativo di raddrizzare la Terra, sposta l'asse di rotazione (in magenta con senso antiorario) verso una nuova direzione (in giallo con senso antiorario), dando luogo al movimento di precessione degli equinozi (in bianco con senso orario).

PrecessioneAndiamo adesso a vedere come la precessione cambia le coordinate equatoriali.Le equazioni per il cambiamento di coordinate da eclittiche ad equatoriali sono:

Differenziando l’ultima si trova:

Il cambiamento di coordinate inverso (da equatoriali ad eclittiche) e’ invece dato da:

Applicando la seconda equazione al secondo membro della precedente si trova:

Precessione

Differenziando l’equazione (la seconda del cambiamento ecliitica-equatoriale):

si trova:

Usando questa equazione nell’espressione precedente per dd e usando anche

si ottiene :

Da cui semplificando otteniamo:

PrecessioneIn pratica quindi si ha che per ogni cambiamento di longitudine eclittica dl si ha:

dl incrementa di circa 50’’ l’anno. Le equazioni precedenti si possono scrivere anchecome:

dove:

m ed n cambiano anch’esse con il tempo ma molto piu’ lentamente. Si ha

Nutazione

Anche la luna subisce un precessione con un periodo di circa 18.6 anni.Questo crea dei piccoli ondeggiamenti anche sull’asse terrestre con lo stesso periodo.Il calcolo degli effetti della nutazione sono molto piu’ complicati.Fortunatamente l’effetto e’ inferiore a 0.5’’ nelle coordinate.

Aberrazione

Se siamo in moto rispetto ad un oggetto questo ci apparira’ sottendere un angolo inferiore.Questo fenomeno e’ chiamato aberrazione e dipende dalla velocita’ finita della luce.L’effetto e’ dato da:

Il massimo effetto e’ dovuto al moto orbitale della terra (pari a circa 21’’) mentre l’effettoDella rotazione terrestre e’ 0.3’’.

Rifrazione

La luce di un corpo celeste passa attraverso differenti strati dell’atmosfera ciascuno con Indice di rifrazione diverso. Questo porta ad un dislocamento dell’astro dalla sua posizionevera. Applicando la legge di Snell ai vari strati (z e’ la distanza di zenith) si ha:

Rifrazione

Per piccoli angoli di rifrazione R=z-z si puo’ scrivere:

Ovvero:

come valore medio si ha:

Ci sono due punti da consierare pero’:

1) allo zenith non si dovrebbe avere rifrazione ma questo e’ vero solo se i vari atmosferici sonoParalleli, cosa che non avviene.2) La formula precedente vale solo per piccoli angoli. Per il Sole al tramonto si ha circa 35’, praticamente il suo diametro. (noi vediamo il sole quando e’ gia’ tramontato).

Rifrazione

Per quanto ci e’ noto, la prima persona a tentare un calcolo della velocita’ della luce e’ stato Galileo. Il metodo da lui usato consisteva nel porre un assistente su di una collina lontana e chiedergli di mostrare la luce di una lampada non appena avesse visto una luce da parte sua.Il procedimento poi continuava cambiando collina e distanza per eliminare gli effetti dei tempi di reazione etc. Considerando che al massimo il suo errore di misura del tempo era di 0.1 s (a essere generosi) e che le colline distavano 2-3 km Galileo ottenne un limite inferiore sulla velocita’ della luce di circa 20-30 km/s.Galileo era quindi lontano dal vero valore di 300.000 km/s ma il suo limite era paragonabile alla velocita’ di moto della Terra intorno al Sole.

Misura della velocità della Luce

Misura della velocità della Luce

Come abbiamo accennato uno dei problemi maggiori di navigazione marittima era la determinazione della longitudine. La mancata conoscenza delle esatta posizione della nave provocava infatti numerosi disastri navali come quello di Scilly sulle coste inglesi nel 1707 con la perdita di 4 navi e circa 1400 persone. Diversi premi furono banditi dai re di Francia, Inghilterra e Spagna per il primo scienziato che avesse risolto questo problema.

Misura della velocità della Luce

Come abbiamo accennato uno dei problemi maggiori di navigazione marittima era la determinazione della longitudine. La mancata conoscenza delle esatta posizione della nave provocava infatti numerosi disastri navali come quello di Scilly sulle coste inglesi nel 1707 con la perdita di 4 navi e circa 1400 persone. Diversi premi furono banditi dai re di Francia, Inghilterra e Spagna per il primo scienziato che avesse risolto questo problema.

Misura della velocità della Luce

Come abbiamo accennato uno dei problemi maggiori di navigazione marittima era la determinazione della longitudine. La mancata conoscenza delle esatta posizione della nave provocava infatti numerosi disastri navali come quello di Scilly sulle coste inglesi nel 1707 con la perdita di 4 navi e circa 1400 persone. Diversi premi furono banditi dai re di Francia, Inghilterra e Spagna per il primo scienziato che avesse risolto questo problema.

Parallasse Stellare e Misura di cNel 1729 l’astronomo inglese James Bradley (1693-1762) annuncio’ una scoperta fondamentale.Nel tentativo di misurare la parallasse stellare della stellaGamma Draconis (Eltanin che passa per lo Zenith dell’osservatoriodi Greenwich) trovò uno spostamento ma assolutamente nonconsistente con il moto di parallasse.Bradley attribuì correttamente l’effetto all’aberrazione stellare provando sia che la velocita’ della luce era finita sia che ilsistema ticonico era sbagliato.Bradley non conosceva la velocità della terra intorno al Sole madeterminò che la luce dovesse andare circa 10210 volte piu’veloce della Terra intorno al Sole (c=301000 km/s).

Parallasse Stellare e Misura di c

Spostamento angolare di Eltanin. Si noti che il massimo e minimo capitano intorno agli equinozi,cioe’ quando la direzione di osservazione e’ parallela al moto della Terra.L’ampiezza e’ prossima ai 40’’, la parallasse vera di Eltanin, misurata solo recentemente e’di 0.022’’.

Aberrazione della Luce (classica)

Da cui si arriva alla formula che abbiamo datoqualche lezione fa usando v=c, V/c<<1 e sen(a)=a= sen(q-q’) =sen(q)cos(q’)-cos(q)sen(q’)

Aberrazione della Luce (Relativistica)

Parallasse Stellare

1 A.U.

E’ il primo metodo per misurare la distanza diuna stella. L’angolo p e’ detto parallasse.

Se la parallasse si misura in secondi d’arcoInvece di radianti vale questa relazione.

Parallasse StellareSi definisce come parsec la distanza di una stella con parallasse di 1 secondo d’arco

Le parallassi delle stelle sono decisamente piccole. La parallasse della stella piu’vicina (proxima centauri) e’ pari a 0.77 p’’ corrispondente a 1.3 pc e a 4.3 ly (anni luce).

La prima misura di parallasse di una stella si e’ avuta nel 1838 daparte di Friedrich Wilhelm Bessell per 61 Cygni. Dopo 4 anni di osservazioni lui stimo’ per questa stella una parallesse pari a p’’=0.316’’, corrispondente a 3.16 parsec o 10.3 anni luce.Questa stella in realta’ sono due (stella binaria) ed ha un elevato moto proprio (e’ chiamata anche Stella Volante) circa4000 mas/anno. La parallasse dovuta al moto proprio si puo’pero’ separare perche’ non e’ periodica.

Parallasse StellareDa terra la parallasse piu’ piccola che si puo’ osservare corrisponde a p’’=0.02 equivalente a distanze minori di 50 pc. La misura di parallasse di stelle piu’ lontane necessita di missioni su satellite.

Tra il 1989 ed il 1993 il satellite Hypparcos ha misurato la parallasse di circa118.000 stelle con una precisione di un millesimo di secondo d’arco, p’’=0.001’’Corrispondente alla distanza massima di 1 Kpc.Queste sono ancora distanze piccole (ad esempio il centro della nostra galassiaDista da noi circa 8 Kpc). Quindi la parallasse si puo’ misurare solo di stelle vicine.Prossime missioni come GAIA dovrebbero misurare parallassi di circa 10 microsecondid’arco (p’’=0.00001, 10 Kpc) per un miliardo di stelle.

Mappa delle stelle piu’ prossime al Sole (entro 14 anni luce)

Al momento Proxima Centauri e’ la stella piu’ vicina e… si sta avvicinando !Il minimo si avra’ tra 24.000 anni.Tra 10.000 anni anche la stella di Barnard sara’ «vicina».

Fra 30.000 anni la piu’ vicina sara’ Ross 248.

Stella fuggitiva di Barnard

La Stella di Barnard è una stella nella costellazione dell'Ofiuco. Mostra il più grande mot proprio di ogni altra stella conosciuta (a parte il Sole), pari a 10,3 secondi d'arco all'anno. Questo grande moto proprio fu scoperto dall'astronomo Edward Emerson Barnard nel 1916.

Per questo viene anche a volte citata come Barnard's "Runaway" Star, cioè stella fuggitiva di Barnard.

Trovandosi ad una distanza di poco inferiore ai 6 anni luce, la Stella di Barnard è anche una delle stelle più vicine alla Terra: solo le tre componenti del sistema

di Alpha Centauri sono più vicine (non contando il Sole). E’ una stella pero’ di luce debolissima (vedremo) e quindi

visibile solo al telescopio.