-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
1/17
2
e
=
nnnn
n
n
t
t
t
t
eee
eee
ee
e
e
e
e
n ...............
...
...e
=E,
...
21
22221
11211
2
1
AUTOVECTORES - MODOS NATURALES
00
:HomogneoSistema
x)=(x,x=Ax
&
+++=
+++=
t
nn
t
n
t
nn
t
n
tt
n
n
eeeeeetx
eeeeeetx
L
L
21
21
21
112111
)(
............................................
)(
Matriz de AUTOVECTORES
t
n
tt neeeeeetx +++= L21 21)( x t Ee
t( ) =
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
2/17
AUTOVECTORES - MODOS NATURALES
c1(t)
c2(t)
u(t)
4
3
1
n
2
K2
M2
B2
K1 B1
a(t)qi
h1
q2
R1
A1
R
pi(t)
C
tn
tt neeeeeetx +++= L21
21)(
t
n
tt neeeeeetx **
2
*
1
* 21)( +++= L
x1
x2
xn
x*1x*2 x
*n
xCc=**xCc=
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
3/17
Autovectores - Ejemplo:
=
=
1
1x;
34
210
2
1
2
1
x
x
x
x
&
&
5;108)3)(1(
34
21
34
21
0
0
21 ===
=
=
AI
n1,2,..,=/jeeee
xA=xdesolucione
jjj
jjj
j
AeAe
e
tt
t
jj
j
=
=
&
+=
+=
=
=
+=+=
==
221222
221212
22
2
211121
211111
11
1
345
25
5
5para
34
2
1
1para
eee
eee
eAe
eee
eee
eAe
=
=
==
12
12
2
11
11
1
12221121
2
e,e
2eye:Luego
e
e
e
e
ee
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
4/17
Autovectores - Ejemplo:
tt
tt
eeetx
eee
5
2211
521
e)(
e=(t)x
+=
+
1=Lde:,e
:,
21
21
esAutovectore
esCoeficient
==
==
=+
=+
+==
5
2225
112
2
1212
111
2
12
2
12
2
11
2
11
2211
;
;
14
1)(
x:L
ee
ee
ee
ee
xxxxxxT
=
=
5
2
5
1
2
2
1
2
1
1 e;ett
eetx
tx5
52
5
1
22
1
2
1
12
1
)(
)(
+
=
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
5/17
Autovectores - Ejemplo:
=
1
1xparaResolucion 0
tt ee
tx
tx5
5
2
5
1
2
2
1
2
1
1
2
1
)(
)(
+
=
0
5
2
5
1
2
0
2
1
2
1
11
1ee
+
=
=
=
+=
+=
3
52
3
21
5
222
11
5
122
11
21
1
tt ee
tx
tx5
5
2
5
1
3
5
2
1
2
1
3
2
2
12
)(
)(
+
=
tt ee 5343
2
31
3
1
-=(t)x
+
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
6/17
La Transformacin Cannica: [ ]nee ,......,,e=E 21
[ ] [ ]nn
nn
eAeAeAeee
eAe
eAe
,..,,..,
.................
21n2211
n
111
=
=
=
BEEAE
xExxEx
uBxAx
1*1*
**
****
B,
A
,
==
==+=
&&
&n1,2,..,=/jee: jjj Asiendo =
[ ]n
nnnn
n
n
eeeA
eee
eee
eee
,..,
..
........
..
..
21
n2211
2n222211
1n122111
=
=
n
2
1
21
22221
11211
n2211
2n222211
1n122111
..00
........
0..0
0..0
..
........
..
..
nnnn
n
n
nnnn
n
n
eee
eee
eee
eee
eee
eee
= E
E=
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
7/17
La Transformacin Cannica:
EAE EA=E 1=
asdesacopladVariablesCanonicaForma
++++++=
++++++=++++++=
mnmnnnn
mmn
mmn
ububxxxx
ububxxxx
ububxxxx
*
1
*
1
**
2
*
1
*
*
21
*
21
**
22
*
1
*
2
*11
*11
**2
*11
*1
00
.................................
00
00
LL&
LL&
LL&
uBxx *** +=&
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
8/17
Concepto de Controlabilidad:
)()0(t
(t)uvector
f
ftxxSistema Controlable
uC
x
vR C
1
RC
1-=x
.
dt
dvC=e
dt
dvC=i
C
CC
+
+
&
u(t)
R
C
to tf
to tf
u(t)
x(t)
t
t
x(to)x(tf)
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
9/17
Concepto de Controlabilidad:
u(t)
x(t)
t
t
u(t)
R2
C1
R1
C2
x1(t) x2(t)
+
++
+
+
uCR
xx
uCR
xx
vR
vR
C
C
22
2
22
12
11
21
11
1
2
C
2
1
C
1
1CR
1-0=x
10
CR
1-=x
.dt
dvC=e
.dt
dvC=e
2
2
1
1
&
&
x2(to)x2(tf)
x1(to)x1(tf)
to tf
to tf
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
10/17
Concepto de Controlabilidad:
u(t)
R1
C1
R2
C2
x1(t)
x2(t)
+
++
uxx
uCR
xx
0CR
1-0=x
10
CR
1-=x
2
22
12
11
21
11
1
&
&
uxx CR
CR
CR
+
=
00
011
22
11
1
1
1
&
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
11/17
Concepto de Controlabilidad:ux
+
1
1
11
02=x&
==
=
+=
+==
2
1
21
1
2
11
11
11
1
211121
211111
11
12
2
0222
ee
e
ee
eee
eeeeAe
==
=
+=
+==
1
01
00211
2
2
22
22
2
221222
221212
22
ee
ee
eee
eeeeAe
=
===
=
1
20)1)(2(
11
02
2
1
AI
=
=11
02Ey
1
0 1-
2
1
2
1
E
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
12/17
Concepto de Controlabilidad:
=
=
11
02Ey
1
0 1-
2
1
2
1
E
=
=
=
=
0
2
1
1
11
02
10
02
1
0
11
02
11
02
E=yE=:
2
1
2
1
-1-1BEAsiendo
ux
+
=
02
1002x **&
Forma Cannica
Filas nulas en B no Controlable
=
=
1
2
2
1
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
13/17
Concepto de Observabilidad:
})()( txtc
+++=
+++=
+++=
=
=
=
***
2
*
2
*
1
*
1
**2
*2
*22
*1
*212
**
1
*
2
*
12
*
1
*
111
*
**
*
*
.................................
xE=x
nnnnnn
nn
nn
xcxcxcc
xcxcxcc
xcxcxcc
ECC
xCc
xECc
L
L
L
Forma
Cannica
Columnas nulas en C* no Observable
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
14/17
Modos Controlables / Observables
MODOS
CONTROLABLES
Y
OBSERVABLES
r(t) c(t)
MODOSCONTROLABLES
Y NO
OBSERVABLES
MODOS NO
CONTROLABLESY
OBSERVABLES
MODOS NO
CONTROLABLES
Y NOOBSERVABLES
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
15/17
Diseo por realimentacin del vector estado
BuxAx +=&x
+
-
r
xKru = [ ]
=
n
n
x
x
x
kkkxK...
,...,,2
1
21
xKK
uxCy=
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
16/17
x yKxru =
[ ]
=
n
n
x
x
x
kkkKx...
,...,,2
1
21
BuxAx +=&
K
+
-
r
Kx
u xCy=
Diseo por realimentacin del vector estado
)( xKrBxAx +=& )()()()( tBrtxBKAtx +=&
)()()0()()( 11 sBRBKAsIxBKAsIsX +++=
0)0(para)()()(1
=+=
xsBRBKAsICsY
0)det()( =+= BKAsIs doespecificasQ )(
-
7/23/2019 Diseo Variables de Estado
17/17
Diseo por realimentacin del vector estado - ejemplo
u
a
xx
+
=
0
0
100
010
012
0105
& [ ]xy 100=
[ ]3210
0
100
010
012
0105
00
00
00
kkk
a
s
s
s
BKAsI
+
=+
0
10
012
100100101005 321
=
+
+++
=
s
s
akakaks
0200)10020025()1006( 3122
1
3 =++++++ aksakaksaks
