Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2014
1
Discrete Mathematics
8/18/2014
2
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e กราฟมอนดบ .................... กราฟมขนาด ......................
8/18/2014
3
a
b
c
d
8/18/2014
4
ชอ ขอสงเกต
ใชจดซ ำ ใชดำนซ ำ เปด ปด
แนวเดนเปด แนวเดนปด รอยเดน วงจร วถ วฏจกร
8/18/2014
5
e
a b
c
d
H: G:
a b
c
d e
8/18/2014
6
G:
a b
c
d e
𝐺 = 1
a b
d e
F:
𝐹 = 2
G:
a b
c d
e f
g h
a-b, b-g, g-h a-c, c-b, b-g, g-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-h
วถความยาว 5 หนวย
a-b, b-g, g-f, f-h a-b, b-g, g-e, e-f, f-h a-c, c-b, b-g, g-f, f-h a-c, c-b, b-g, g-e, e-f, f-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-f, f-h a-c, c-d, d-b, b-g, g-e, e-f, f-h
8/18/2014
7
8/18/2014
8
มดกร r
G: H:
P:
Q: a
c
d e
b
a c
d e
b
เปนไปไดหรอไมทกราฟ 4-ปกต (4-regular graph) จะมดาน 10 ดาน
เปนไปไดหรอไมทกราฟ 4-ปกต (4-regular graph) จะมดาน 15 ดาน
8/18/2014
9
a
b c d
e
G:
a
b c d
e
G1:
a
b
e
G2:
a
b c d
e
H: a
b c d
e
H’:
a
b c d
e
a
b c d
e
G: G1:
8/18/2014
10
a
b c d
e
G:
a
b c d
G1: 𝑼𝟏 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅
𝑼𝟏 ⊆ 𝑽 𝑮 ??
จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม
8/18/2014
11
จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม a
b c d
e
G:
𝑼𝟐 = 𝒂, 𝒃, 𝒅, 𝒆
𝑼𝟐 ⊆ 𝑽 𝑮 ??
a
b
e
d
G2:
จงตรวจสอบวากราฟตอไปนเปนกราฟยอยกอก าเนดของ G หรอไม a
b c d
e
G:
𝑼𝟑 = 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆
𝑼𝟑 ⊆ 𝑽 𝑮 ??
a
b
e
d c
G3:
8/18/2014
12
G: a
b
c d
e
f
g
a b
c d
e
f
g
a b
d
e
f
g
G1:
Delete Edge {c,d}
G2: a
b
c d
e
f
g Delete Vertices {b,e}
G3: a
c d
f
g
Delete Vertex {c}
8/18/2014
13
K4 K5 K6
8/18/2014
14
a b
c d y
z
H: x G:
w
กราฟ G และ H ซงแตละกราฟม 10 จด สมสณฐานกนหรอไม a
b
c d
G:
g
f
e
h i
j
s
H: w
x
y
z
q r
t
v
u
a q e r f w b v
j s d y i z h t
g x c u
8/18/2014
15
กราฟ G และกราฟ H ในรปตอไปน มจด 6 จดและดาน 9 ดานเทากน จงตรวจสอบสมสณฐานของกราฟทงสอง
a
b c
d
e f
G: H:
u
v w
x y z
กราฟ 4-ปกต 2 กราฟทไมสมสณฐานกน
a
b
d e
c
z y x
v w
8/18/2014
16
Königsberg (Preußen) Königsberg, 1255 gegründet, war von 1457 bis 1945 Hauptstadt und kulturelles sowie wirtschaftliches Zentrum des östlichen Preußens und die östlichste und nördlichste Großstadt des Deutschen Reiches. Seit 1946 trägt die Stadt nun offiziell den russischen Namen Kaliningrad
From Wikipedia, September 2012
b
c
d
a ปญหาสะพานทงเจดแหงเมองเคอนคสแบรค เปนไปไดไหมทจะเดนขามทกสะพานในเมองนสะพานละเพยงครงเดยวแลวกลบมาทจดเรมตน
ในป ค.ศ. 1736 Leohard Euler ไดพสจนวา เปนไปไมได และน าไปสของการศกษา เรอง ทฤษฎกราฟ และทอพอโลย
8/18/2014
17
8/18/2014
18
8/18/2014
19
กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม
ดกร เทากบ 3 ดกร เทากบ 3
ดกร เทากบ 3 ดกร เทากบ 3
ทกจดมดกรเปนค ดงนน กราฟไมมวงจรออยเลอร
มจดมดกรค มากกวา 2 จด ดงนน กราฟไมมรอยเดนออยเลอร
กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม ดกร เทากบ 3
ดกร เทากบ 6
ดกร เทากบ 3
ดกร เทากบ 2
ทกจดมดกรเปนค ดงนน กราฟไมมวงจรออยเลอร
มจดมดกรค 2 จด ดงนน กราฟมรอยเดนออยเลอร เรมจากจดดกรค และสนสดทจดดกรคอกจดหนง
ดกร เทากบ 2
ดกร เทากบ 2
ดกร เทากบ 2
8/18/2014
20
กราฟตอไปนมวงจรออยเลอร หรอมรอยเดนออยเลอร หรอไม
ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4
ดกร เทากบ 4
ดกร เทากบ 4
ทกจดมดกรคดงนน กราฟมวงจรออยเลอร
ดกร เทากบ 2
ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4
หองสามหองถกเชอมดวยประตดงรป จะเปนไปไดไหมทจะเดนผานประตทกประตเพยงครงเดยว
หอง 1 หอง 2
หอง 3
ดานนอก
a b
c d
ดกร เทากบ 4 ดกร เทากบ 4
ดกร เทากบ 5 ดกร เทากบ 7
กราฟมจดดกรค 2 จด ดงนนมรอยเดนออยเลอร
8/18/2014
21
8/18/2014
22
จงใชอลกอรธมเพอหาวงจรออยเลอรในกราฟ G
v1 v2
v3
v4
v5
v6
G:
𝑾: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐
𝑯 = 𝑯 − 𝒗𝟏𝒗𝟐
𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟏 = 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 = 𝟏 𝑯 = 𝑯 − 𝒗𝟐𝒗𝟑
𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 = 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟐 + 𝟏, 𝒅𝒆𝒈𝑻 𝒗𝟑 = 𝟏 𝑾: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑,𝒗𝟒,𝒗𝟓,𝒗𝟏
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟐
𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏
8/18/2014
23
v1 v2
v3
v4
v5
v6
G: v1 v2
v3
v4
v5
v6
H:
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟐 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟒 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟏 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟐
r = 1
𝐝𝐞𝐠𝐆 𝒗𝟑 = 𝟒
r = 2 r = 3
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟑
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟔 = 𝟏 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟔 = 𝟐
𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟑 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟓 = 𝟒 𝐝𝐞𝐠𝐓 𝒗𝟑 = 𝟒
𝑾: 𝒗𝟑,𝒗𝟔,𝒗𝟓,𝒗𝟑
𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏 𝑻: 𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑, 𝒗𝟔, 𝒗𝟓, 𝒗𝟑, 𝒗𝟒, 𝒗𝟓, 𝒗𝟏
เซอร ฮามลตน (4 August 1805–2 September 1865)นกคณตศาสตรชาวไอรชไดสรางปรศนารอบโลกขนจากโครงไมรป 5 เหลยม 12 หนา (Dodecahedron) มมตางๆเทยบไดกบจดตด 20 จด ถาจดตางๆเหลานแทนเมองแตละเมอง ดานเปนถนน จะเปนไปไดไหมทเขาจะเดนทางผานเมองทกเมองเพยงเมองละครงเดยว และกลบมาทเมองทเขาเรมตน
8/18/2014
24
มวฏจกรฮามลตนในกราฟรปนหรอไม
b
d f
i g
e
h
a c
เนองจากกราฟมสมมาตร อาจพจารณาเพยงครงของสมมาตรได b
f
i
e
h
c
8/18/2014
25
มวฏจกรฮามลตนในกราฟรปนหรอไม
a b c
d
e
f
g
h
i
j
x
y y
y x
x
x
y
y y a c
d e
f g
h i
j
b
8/18/2014
26
ในคายวทยาศาสตรแหงหนงมตวแทนนกเรยนจากโรงเรยนตางๆ จ านวน 17 คน นกเรยนแตละคนไมมใครรจกกนมากอน ในชวงพกเทยงทกคนจะตองมานงทานอาหารรวมกน โดยนงเปนโตะกลม นกเรยนแตละคนจะท าความรจกกบคนทนงขางๆ ทงสองคน และสลบไปนงกบคนอนอก 2 คนทแตกตางไปในวนถดไป ถาพวกเขาท าเชนนทกวน จะตองใชเวลาอยางนอยกวนในการท าความรจกกบทกคน และพวกเขาจะจดการนงอยางไร
K5
8/18/2014
27
A K5
y z
w v B
x
8/18/2014
28
A
y z
w v B
x
8/18/2014
29
y z
w v
B
x
กราฟ B มวฏจกรฮามลตน
Adjacent Matrices ใหแถวและหลกของเมตรกซแทนจดในกรำฟ สมำชกในเมตรกซหมำยถงควำมสมพนธของ
จด (ดำน)
Incidence Matrices
ใหแถวแทนจดในกรำฟ และหลกแทนดำนตำงๆในกรำฟ สมำชกในเมตรกซหมำยถง กำร
ตกกระทบของดำนกบจด
8/18/2014
30
a
c
d e
b G:
𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎𝟏𝟎𝟎
𝟎𝟏𝟎
𝟎𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟏
𝟎𝟏𝟎
a b c d e a
b c
d
e
c
b d
a
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟎 𝟐 𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟏
𝟎𝟑
𝟑𝟎
a b c d a
b c
d
8/18/2014
31
a
c
d e
b
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟏
𝟎𝟎𝟎
a b c d e a
b c
d
e
ดานทขนานกนในมลตกราฟ ซงเชอมจดคเดยวกน จะท าใหเกดคของ 1 ในแนวตงทตางกน กราฟทมวงวน จะเกด 1 เพยงต าแหนงเดยวในแนวตงนน
8/18/2014
32
วงวน (loop) ดานขนาน
a b
c d
e1 e2 e3
e4 e5
e6
e7
e8
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 a
b
c
d
กราฟระบทศทางสามารถใชเมตรกซตกกระทบแทนได เนองจากดานตางๆในกราฟระบทศทางจะถกแยกออกจากกนอยแลว
กราฟถวงน าหนก (Weighted Graph) คอกราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน
กรงเทพฯ
สมทรปราการ ชลบร
ฉะเชงเทรา
ปทมธาน อยธยา
นครปฐม
เพชรบร
สมทรสาคร สมทรสงคราม
สพรรณบร
30
40
50 50
30 40 30
20 80
70
30 50
30
70
50
50 40 50
30 30
30
55 ราชบร
อางทอง สระบร
น าหนก แทน ระยะทาง
8/18/2014
33
กราฟถวงน าหนก (Weighted Graph) คอกราฟทมคาน าหนกก ากบแตละดาน
กรงเทพฯ
สมทรปราการ ชลบร
ฉะเชงเทรา
ปทมธาน อยธยา นครปฐม
ราชบร
เพชรบร
สมทรสาคร สมทรสงคราม
อางทอง สพรรณบร
สระบร
0.8
0.4
0.6 0.5
0.4 0.4 0.5
0.8 1.0
0.7
0.5 0.7
0.5
1.0
0.7
0.8 0.5 0.5
0.6 0.8
0.6
0.5
น าหนก แทน ระยะเวลาในการเดนทาง
Edsger Wybe Dijkstra (May 11, 1930 – August 6, 2002) was a Dutch computer scientist. Born in Rotterdam, Dijkstra studied theoretical physics at Leiden University, but quickly realized he was more interested in computer science. Originally employed by the Mathematisch Centrum in Amsterdam, he held a professorship at the Eindhoven University of Technology, worked as a research fellow for Burroughs Corporation in the early 1980s, and later held the Schlumberger Centennial Chair in Computer Sciences at the University of Texas at Austin, in the United States. He retired in 2000. Among his contributions to computer science are the shortest path algorithm, also known as Dijkstra's algorithm
From Wikipedia ,September 2012
การหาวถสนสด (shortest path) ระหวางคของจดใดๆ ในกราฟ คอการหาผลรวมของน าหนกนอยทสดระหวางคจดใดๆ
8/18/2014
34
8/18/2014
35
8/18/2014
36
จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S
0 (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) (-,∞) u0
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S
0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0
(∞,-) (13,u0) (∞,-) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2
8/18/2014
37
จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ
l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S
0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0
(∞,-) (13,u0) (-,∞) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
(25,v5) (18,v5) (15,v5) (∞,-) (∞,-) v4
(20,v4) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v1
8 16 13
17
11 10
9
5
7
14 6
u0
v1
v2
v3
v4
v5
v6 v7
(20,v4) (∞,-) (∞,-) v3
จงใชอลกอรธมของไดจคสตรา หาระยะทางทสนทสดระหวางจด u0 กบจด v ใดๆ
l(u0) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 S
0 (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) (∞,-) u0
(-,∞) (13,u0) (-,∞) (16,u0) (8,u0) (∞,-) (∞,-) v5 (25,v5) (13,u0) (15,v5) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v2
(25,v5) (18,v5) (15,v5) (∞,-) (∞,-) v4
(20,v4) (18,v5) (∞,-) (∞,-) v1
(20,v4) (∞,-) (∞,-) v3
ระยะทางจากจด u0 ไปจด v1 เทากบ 18 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v1 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v2 เทากบ 13 มเสนทางเปน Q1: u0 , v2 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v3 เทากบ 20 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v4 ,v3 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v4 เทากบ 15 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5 ,v4 ระยะทางจากจด u0 ไปจด v5 เทากบ 8 มเสนทางเปน Q1: u0 , v5
8/18/2014
38
จากกราฟตอไปน จงหาระยะทางทสนทสดจากจด a ไปยงจด z โดยใชอลกอรธมของไดจคสตรา
a
b d
z
c e
4
2
1
5
8
10
2
6
3
l(a) b c d e z S
0 (∞, -) (∞, -) (∞, -) (∞, -) (∞, -) a
(4,a) (2,a) (∞,-) (∞,-) (∞,-) c
(3,c) (10,c) (12,c) (∞,-) b
(8,b) (12,c) (∞,-) d
(10,d) (14,d) e
(13,e) z
จากจด a ไปยงจด z มระยะทางสน
ทสดเทากบ 13 เรมจาก a-c-b-d-e-z
ทฤษฎบท กราฟไมระบทศทางจะเรยกวากราฟตนไม เมอและตอเมอ มเพยงวถเดยวเทานนทเชอมระหวางสองจดใดๆ ในกราฟ
8/18/2014
39
ราก (root) คอจดทอยในระดบบนสดของกราฟ จดในล าดบตอมา เรยกวา บพลก (child node) จดทเปนบพลกและมบพลกเรยกวา บพแม (parent node) ส าหรบจดทเปนบพลกและไมมบพลก จะเรยกวา บพใบ (leaf node) ทกจดทมบพลกจะถกเรยกวา จดภายใน (internal vertices) จดราก กจะถกรวมเรยกวาจดภายในดวย
T:
นยาม ให G เปนกราฟทวไป (กราฟไมระบทศทางทไมมดานขนานและปราศจากวงวน) กราฟตนไมแบบทอดขาม (Spanning Tree) คอ กราฟยอยของ G ซงเปนกราฟตนไมทบรรจทกจดของ G กราฟทวไปทมกราฟตนไมแบบทอดขามจะตองเปนกราฟเชอมโยง
8/18/2014
40
จงหากราฟตนไมแบบทอดขามของกราฟทวไป G ในรปตอไปน
a b c
d e f
g
G:
การหากราฟตนไมแบบทอดขามอาจจะอาศยวธงายๆ คอ การลบดานบางดานออก เพอก าจดวงจร แตตองยงคงวถทเชอมสองจดใดๆ ในกราฟไว
Delete {d,e}
Delete {e,f}
Delete {a,c}
Delete {c,d}
1. เลอกจดหนงจดในกราฟ G เพอน ามาเปนจดรากของกราฟตนไม T 2. เลอกดานจากดานทเชอมจากจดทเลอกไปจดอนๆ เพมลงใน T ตราบ
ใดทดานเหลานนไมใชดานตกกระทบจดทอยบนวถทผานมา 3. ถาเราพบวาวถทกวถจากจดรากสามารถไปถงทกจดใน G เราจะไดวา
กราฟตนไมทได เปนกราฟตนไมแบบทอดขามของ G แตถาวถนนไมไดผานทกจดใน G เรากจะยอนกลบมาหนงจด และสรางวถใหมดวยวธเดม โดยวถใหมนจะตองไมผานจดทเคยผานในวถเดม
4. เมอไมสามารถสรางวถตอไปได เราจะใชการถอยกลบ และเรมตนหาวถใหม เราจะท าเชนนไปเรอยๆ จนวถทเราเลอกจดหนงจดสรางทงหมด ผานทกจดของกราฟ G
8/18/2014
41
1. สรางจดราก โดยการเลอกจดใดๆ ของ G 2. เพมทกดานทตกกระทบกบจดรากนนลงไปในกราฟตนไม จดทเพม
เขามาจากการเพมดานนจะเปนจดในระดบท 1 ของกราฟตนไม 3. ส าหรบแตละจดในระดบท 1 เราจะพจารณาทละจด โดยจะเพมดานท
ตกกระทบจดดงกลาว แตตองไมเปนดานทท าใหเกดวงจร ซงเราจะไดจดในระดบท 2 เราจะท าเชนนเรอยไป จนเราใชจดใน G ครบ เรากจะไดกราฟตนไมทอดขามของ G
สมมตวาเรมทจด b (เปนราก) เลอกวถ e, d, c, g (ตราบเทาทยงไมท า
ใหเกดวงจร) ยอนกลบมาทละจด มาถงจด c
a b c
d e f
g
G:
a
b
c
d
e
f g
T:
8/18/2014
42
สมมตวาเรมทจด b (เปนราก) b มดานตกกระทบ 2 ดาน เพมดานตก
กระทบนลงไปในกราฟตนไม รวมทงจดประชด e, g ลงในระดบท 1 ของกราฟตนไม
พจารณาจดในระดบท 1 สมมตวา เรมทจด e พบดานตกกระทบ 4 ดาน 1 ดานใชไมไดเพราะตกกระทบจดทเคยใชมาแลว และเพมจดประชดทไมเคยถกใช
พจารณาตอทจด g ซงพบวามดานตกกระทบ 3 ดาน ซง 2 ดานจะใชไมได เนองจากจดตกกระทบของดานนนถกใชไปแลว เพมดานทเชอมไปจด c และเพมจด c เขาไปในกราฟตนไมดวย
a b c
d e f
g
G:
a
b
T:
f d
g
c
e
กราฟตนไมแบบทอดขามต าสดในกราฟเชอมโยงถวงน าหนก คอ กราฟตนไมทอดขามทมผลรวมของน าหนกนอยทสด
อาคารอ านวยการ คณะวทยาศาสตร
คณะสงคมศาสตร
คณะเศรษฐศาสตร
200,000 500,000
350,000
480,000
คณะวศวกรรมศาสตร
300,000
350,000
420,000
380,000
280,000 250,000
8/18/2014
43
จงใชอลกอรธมของครสคาลกบกราฟถวงน าหนก G เพอหากราฟตนไมแบบทอดขามต าสด
x
y
w
u v 1
2
2
2 3 4 6
5 5
1
2
2 3
x
y
w
u v
เรยงล าดบของดานทมน าหนกนอยไปมาก uv, xy, vw, uw, ux, vx, vy, uy, wx เพมดานลงในเซต S ตรวจสอบ |S|=p-1
กราฟตนไมทอดขามต าสดมน าหนกเทากบ 1+2+2+3 = 8
8/18/2014
44
จงใชอลกอรธมของพรมกบกราฟถวงน าหนก G เพอหากราฟตนไมแบบทอดขามต าสด
x
y
w
u v 1
2
2
2 3 4 6
5 5
1
2 3
y
x
v
เลอกจด u บรรจไวใน T เพมดาน uv เขาไปใน T จด v จะถกบรรจไวใน T ดวย เพมดานทมน าหนกทนอยทสดจากจดใน T ไปจดนอก T ตรวจสอบ |E(T)|=p-1
กราฟตนไมทอดขามต าสดมน าหนกเทากบ 1+2+3+2 = 8
T: 2
u {u,v} v
u
w {u,w} {u,x} w x {x,y} y