dinamika kristal.pptx

7/27/2019 dinamika kristal.pptx

http://slidepdf.com/reader/full/dinamika-kristalpptx 1/50

GELOMBANG BUNYI

VIBRASI KISI KRISTAL 1D

Rantai atom identik

Rantai dua tipe atom

VIBRASI KISI KRISTAL 3D



Dinamika Kristal

Terkait dengan spektrum vibrasi karakteristik kristal padat.

Melingkupi;

Pertimbangan syarat-syarat permbatan gelombang

dalam kisi periodik, Energi yang terkandung di dalamnya,

Kalor jenis gelombang kisi,

Aspek partikel dari vibrasi kisi terkuantisasi (fonon)

Akibat-akibat harmonik gabungan antara ato-atom.



Dinamika Kristal

Ini memperkenalkan kita dengan konsep Jangkauan frekuensi yang dilarang dan

diperbolehkan,

Spektrum elektronik zat padat





Dinamika Kristal Perhitungan tentang dinamika kristal ini dibatasi hanya pada vibrasi

kisi dengan amplitudo kecil. Karena zat padat berada pada posisikesetimbangr harmonik sederhana. Batas amplitudo kecil inidinamakan batas harmonik.

Pada daerah linear (daerah deformasi elastik), gaya pemulih pada

tiap atom sebanding dengan perpindahannya (Hukum Hooke).

Ada beberaa efek ketidaklinearan atau „anharmonicity‟ untukperpindahan atom-atom besar.

Efek Anharmonik penting untuk interaksi antara fonon dan foton.



Dinamika Kristal

Gerak atom dipengaruhi oleh gaya yang diberikan pada atomketika atom-atom tersebut dipindahkan dari posisi

setimbangnya.

Untuk menghitung gaya itu, perlu ditentukan fungsi gelombang

dan energi elektron dalam kristal. Untungnya banyak sifat-sifat

pengerak atom yang dapat disimpulkan tanpa perhitungan ini.



Hukum Hook

Salah satu sifat elastisitas adalah bahwa dibutuhkan dua kalilipat gaya untuk meregangkan pegas sepanjang dua kali

panjang semula. Kelinearannya bergantung pada

pertambahan panjang pegas yang dinamakan hukum Hooke.

xk F spring .

F Spring constant k

It takes twice

as much force

to stretch a

spring twiceas far.

F 2





GELOMBANG BUNYI

Gelombang mekanik adalah gelombang yang merambatmelalui sebuah medium (padat, cair, atau gas) pada lajugelombang yang bergantung pada sifat-sifat elastis dankelembaman medium itu. Ada dua tipe dasar gerakgelombang untuk gelombang mekanik: gelombanglongitudinal dan gelombang transversal.

Gelombang Longitudinal

Gelombang Transversal

• Gelombang bunyi berhubungan dengan vibrasi atomdengan panjang λ.

• Kehadiran atom tidak begitu penting dalam batas panjanggelombang, karena λ>>a, sehingga tidak akan ada

hamburan yang berkaitan dengan kehadiran atom.



GELOMBANG BUNYI

Gelombang bunyi merambat melalui zat padat. This tells usthat wavelike lattice vibrations of wavelength long compared tothe interatomic spacing are possible. The detailed atomicstructure is unimportant for these waves and their propagationis governed by the macroscopic elastic properties of thecrystal.

We discuss sound waves since they must correspond to thelow frequency, long wavelength limit of the more general latticevibrations considered later in this chapter.

At a given frequency and in a given direction in a crystal it ispossible to transmit three sound waves, differing in theirdirection of polarization and in general also in their velocity.



Gelombang Elastik

A solid is composed of discrete atoms, however when thewavelength is very long, one may disregard the atomic natureand treat the solid as a continous medium. Such vibrations arereferred to as elastic waves.

• At the point x elastic displacement isU(x) and strain „e‟ is defined as thechange in length per unit length.

dU e

dx

x x+dx

A

Elastic Wave Propagation (longitudinal) in a bar



Berdasarkan Hukum Hooke tegangan S (gaya per satuan luas)

is sebanding dengan regangan e.

Untuk menguji dinamika batang, dipilih segmen panjang dx

sembarang seperti gambar di atas. Menggunakan hukum kedua

Newton, gerak segmen ini dapat ditulis,

.S C e

2

2( ) ( ) ( )

u Adx S x dx S x A

t

x x+dx

A

C = Young modulus

Massa x Percepatan Gaya yang dihasilkan dari tegangan

Gelombang elastik











• Ini dapat dikarakterisasikan oleh

– Kecepatan perambatan, v

– Panjang gelombang atau vektor gelombang

– Frekuensi

atauor frekuensi sudut ω=2π

• Persamaan gerak setiap perpindahan dapat dihasilkan

dengan mempertimbangkan gaya pemilih perpindahan

atom-atom.

Gelombang vibrasi kisi dalam kristal merupakanrangkaian repetitif dan sistematik perpindahan atom darigelombang

longitudinal,

transversal, atau

Kombinasi keduanya

• Akibatnya hubungan relasi dispersi antara frekuensi dan

panjang gelombang atau antara frekuensi sudut dan

vektor gelombangdapat digunakan.

Laju gelombang bunyi



Vibrasi kisi kristal 1D

Rantai atom-atom identik

Atom-atom berinteraksi dengan potensial V(r) yangdapat ditulis dalam deret Taylor.

2 2

2( ) ( ) ...........

2r a

r a d V V r V a

dr

rR

V(R)

0 r0=4

Repulsive

Attractivemin

Persamaan ini seperti pada energi potensial

yang berhubungan dengan konstanta pegas :

ar dr

V d K

2

2

K berhubungan dengan modulus elastik C:

KaC

a

ar C Force

)( ar K Force







0)2( 11

..

nnnn uuu K um

Gaya pada atom ke- n;

)( 1 nn uu K

•Gaya di sisi kanan;

•Gaya di sisi kiri;

)( 1 nn uu K

•Gaya total = gaya di sisi kanan – gaya di sisi kiri

Rantai Monoatomik

a a

Un-1 Un Un+1

Persaman gerak semua atom dalam bentuk in i , hanya

nilai ‘n’ yang bervar iasi

R t i M t ik



Semua atom berosilasi dengan amplitudo A and frekuensi ω.

Sehingga diperoleh;

.

0expnn nduu i A i kx t dt

Rantai Monoatomik

0expn nu A i kx t

2..2 2 0

2

expnn

n

d uu i A i kx t

dt

..2

nn

u u

na xn

0

nn una x

Undisplaced

position

Displaced

position



R t i M t ik



Rantai Monoatomik

2 e 2 eika ikam K 2cosix ixe e x

e e 2cosika ika ka

2 2cos 2

2 (1 cos )

m K ka

K ka

21 cos 2sin

2

x x

22 4 sin

2

kam K

242 sin

2

K ka

m

4 sin2

K kam

Nilai Maksimumnya 1

max

4 K

m

R t i M t ik



Hubungan ω versus k ;

max 2

/ s

K

m

V k

0 л / a 2 л / a –л / a k

Rantai Monoatomik

• Frekuensi mode normal rantai1D

Titik A, B and C mempunyai frekuensi yang sama, oleh karena itu

titik-titik ini mempunyai perpindahan atom yang sama.

Relasi dispersinya adalah periodik dengan periode 2π/a.

k

C AB

0

Rantai Monoatomik



Perhatikan bahwa:

Pada persamaan di atas n saling menghilangkan, artinya persamaangerak semua atom menyebabkan persamaan aljabar yang sama. Inimenunjukkan bahwa fungsi Un sesungguhnya merupakan solusi untukpersamaaan gerak atom ke-n.

Persamaan ini dimulai dari persamaan gerak osilator harmonik kopel N. jika satu atom mulai bergetar, atom tersebut tidak berlanjut denganamplitudo konstan, tapi energi terhadap atom lain dengan cara yangrumit; vibrasi atom-atom individu bukan merupakan harmonik sederhanakarena pertukaran energi ini antar atom.

Our wavelike solutions on the other hand are uncoupled oscillationscalled norm al modes; each k has a definite w given by above eqn. andoscillates independently of the other modes.

Jadi, jumlah mode diharapkan sama dengan jumlah persamaan N.

4sin

2

K ka

m

Rantai Monoatomik



Monoatomic Chain



What is the physical significance of wave numbers

outside the range of ?2π/a

x

Monoatomic Chain

un

un

x

a





At th b i i f th h t



At the beginning of the chapter,

in the long wavelength limit, the

velocity of sound waves has

been derived as

Using elastic properties, let‟s see

whether the dispersion relationleads to the same equation in the

long λ limit.

1kaIf λ is very long; so sin ka ka

c Ka

2 K am

m

a

K V a s k m

2 22 44

k am K

cV s

Monoatomic Chain



Since there is only one possible propagation directionand one polarization direction, the 1D crystal has onlyone sound velocity.

In this calculation we only take nearest neighborinteraction although this is a good approximation for theinert-gas solids, its not a good assumption for manysolids.

If we use a model in which each atom is attached by

springs of different spring constant to neighbors atdifferent distances many of the features in abovecalculation are preserved.• Wave equation solution still satisfies.

• The detailed form of the dispersion relation is changed but ω is still periodic function of k with period 2π/a

• Group velocity vanishes at k=(±)π/a• There are still N distinct normal modes

• Furthermore the motion at long wavelengths corresponds tosound waves with a velocity given by (velocity formulü)

Monoatomic Chain



Chain of two types of atom Two different types of atoms of masses M and m are

connected by identical springs of spring constant K;

Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2

K K K K

M Mm Mm a)

b)

(n-2) (n-1) (n) (n+1) (n+2)

a

• This is the simplest possible model of an ionic crystal.

• Since a is the repeat distance, the nearest neighbors

separations is a/2





Chain of two types of atom



Chain of two types of atom

M m M m M

Un-2 Un-1 Un Un+1 Un+2

0

/ 2n x na

0

expn nu A i kx t

Offer a solution for the mass M

For the mass m;

α : complex number which determines the relative amplitudeand phase of the vibrational wave.

0expn nu A i kx t

..

2 0expn nu A i kx t

-1



























Transverse optical mode for

diatomic chain

Amplitude of vibration is strongly exaggerated!



Transverse acoustical mode fordiatomic chain

Documents

dinamika kristal.pptx