Dinamika Elektricnih Masina

7/28/2019 Dinamika Elektricnih Masina

1/44

65

3. ANALIZA STACIONARNIH I DINAMIKIH STANJAELEKTRINIH MAINA

Razmatranja provedena u prvoj i drugoj glavi su pokazala osnovne principeelektromehanikog pretvaranja energije i metode nalaenja jednaina kretanja.Navedeni primjeri su vie sluili kao ilustracija, a ne kao izomorfni modeli pojedinih

pretvaraa. U ovom poglavlju e biti detaljnije razmotreni pretvarai sa kontinualnimkretanjem, i to posebno sa stanovita dinamikih osobina i analize kao objektaautomatskog upravljanja. Pored matematike analize, bie dati i rezultati modeliranjapojedinih pretvaraa.

Imajui u vidu postavljeni cilj i ranije napomenuta ogranienja vezana za metodeprorauna akumulisane energije u sistemu, pri izvoenju matematikih modelapretvaraa usvojene su zajednike polazne pretpostavke koje obuhvataju:

zanemarenje prostornog rasprostiranja elektromagnetnog polja; neprekidnost procesa i mehanike dimenzije znatno manje od duine

elektromagnetnih talasa generisanih strujama koje protiu u pretvarau; nezasienost magnetnog materijala i odsustvo gubitaka u njemu;

zanemarenje graninih efekata pri raunanju rasporeda magnetnog polja.Navedene pretpostavke omoguavaju analizu maina kao dinamikih sistema sakoncentrisanim parametrima. Treba uoiti da nisu navedene pretpostavke o prostornomrasporedu magnetnog polja, linearnosti magnetskih osobina materijala i sl., jer onepredstavljaju specifine uslove rada sistema koji mogu biti obuhvaeni u okviru modelasa koncentrisanim parametrima.

3.1. MAINE JEDNOSMJERNE STRUJE

U ranijim razmatranjima je pokazano da u sluaju sinhronih maina postoji mogunostpridruivanja maini mehanikog ili poluprovodnikog komutatora koji omoguava da


2/44

66

se takva maina tretira kao da je napajana jednosmjernom strujom. Uloga komutatora jeda obezbijedi preraspodjelu proticanja struje kroz namotaj (ili namotaje) tako da se upotrebnom vremenskom intervalu obezbijedi napajanje namotaja koji u datomvremenskom intervalu omoguava generisanje maksimalnog elektromagnetnogmomenta.

Popreni presjek maine sa pobudom na statoru i mehanikim komutatorom na rotorudat je na slici 3.1.a a presjek maine sa pobudom na rotoru i poluprovodnikim

komutatorom na statoru na slici 3.1.b.:

R

S

ua

uF

R

S

ua

uF

(a) (b)

Slika.3.1. (a) Popreni presjek komutatorske maine sa pobudom na statoru

(b) Popreni presjek komutatorske maine sa pobudom na rotoru

Konstrukcija maine jednosmjerne struje sa elektromagnetnom pobudom prikazana jena slici 3.1.c Glavni polovi nose namotaje statora (namotaji pobude) kroz koje kaoposljedica prikljuenja na napon izvora pobude UP, protie struja pobude iP kojaformira glavni magnetni fluks. U utorima rotora lei zatvoreni namotaj koji se prekoetkica spaja sa izvorom rotorskog napona UA, i pri proticanju struje iA formira rotorskimagnetni fluks u smjeru osa etkica, te se na taj nain formiraju dva fluksa - statorskidu uzdune d-ose maine i rotorski du poprene q-ose maine.

Slika 3.1.c. Funkcionalna struktura dvopolne maine jednosmjerne struje


3/44

67

Pojednostavljena struktura maine izvedena, pod pretpostavkom da je moguezanemariti: histerezisne gubitke, vie harmonijske lanove izazvane utorima na rotor,uuticaj broja lamela na kolektoru te reakciju rotora, predstavljena je na slici 3.1.c.Navedena zanemarenja nisu prihvatljiva za neke primjene, meutim, za naarazmatranja daju dovoljan stepen izomorfizma modela.

Slika 3.2. Dinamika struktura maine jednosmjerne struje

Jednaine kretanja se mogu napisati u obliku:

AEAA

A

AUwKiR

dt

diL +=

pppUiR

dt

d+=

(3.1)

wdt

d=

)(; ppAMT iiiKMBwdt

dwJ =+=

Jednaine kretanja (3.1) su sline jednainama (2.62), uz napomenu da su uvedenedrugaije oznake koordinata (indeks p za statorske promjenljive i indeks A za rotorskepromjenljive). Razlika koja se pojavljuje u drugoj jednaini nastaje zbog toga to priizvoenju ovih jednaina nije pretpostavljena linearna zavisnost fluksa i struje statoranego je njihova veza razmatrana kao jednoznana funkcija iP=iP(). Ova karakteristikase moe odrediti na osnovu dijagrama praznog hoda maine koji daje zavisnost naponainduciranog u rotoru EA=EA(iP) i struje pobude iP pri konstantnoj (obino nazivnoj)ugaonoj brzini. Koritenjem relacije:

== wKiEEEPAA

)( (3.2)

na osnovu poznate funkcije EA(iP) dobije se zavisnost =(iP), a odatle inverznafunkcija iP=iP().


4/44

68

Izborom radne take u linearnom dijelu karakteristike magneenja mogue je odrediti iostale konstante sistema. Dinamiki model maine jednosmjerne struje opisanjednainama kretanja (3.1) prikazan je na slici 3.2. Za razliku od dinamikog modela saslike 2.9 u ovom modelu statorsko kolo (kolo pobude) sadri nelinearni blok zaizraunavanje struje na bazi informacije o fluksu.

Ako sistem radi u linearnom podruju, tada je =Lpip i strukture na slikama 3.2 i 2.9 sujednake.

Kako se vidi, maina jednosmjerne struje je dinamiki sistem etvrtog reda. Zavisno odfunkcije koju obavlja - motor ili generator, ulazne i izlazne veliine su razliite. U tabeli3.1. su sumirane mogue kombinacije ulaza i izlaza.

Tabela 3.1.Funkcija Ulazne varijable Izlazne varijable

Upravljanje SmetnjeMotor UA, UP MT , w, MGenerator MT, UP iA, w UA

Razmotrena dinamika struktura je definisana za sluaj da su statorski i rotorskipodsistemi nezavisno napajani. esta je situacija da su namotaji na statoru i rotoru

vezani u zajedniko elektrino kolo i napajani iz jednog izvora. U sluaju paralelne vezenamotaja govori se o maini sa paralelnom pobudom, a u sluaju serijske veze o mainisa serijskom pobudom. U oba sluaja sistem ima samo jedno ulazno dejstvo. Lako je, nabazi modela (3.1), izvesti relacije koje opisuju ponaanje maina jednosmjerne struje sadrukijim rasporedom namotaja i njihovom meusobnom spregom.

Prije nego detaljno razmotrimo dinamiko ponaanje maine jednosmjerne struje,izvrimo analizu stacionarnih stanja koja se dobiju pri konstantnim naponima napajanjai konstantnom momentu optereenja.

3.1.1. Stacionarna stanja maine jednosmjerne struje sa nezavisnompobudom

Polazei od modela (3.1) ponaanje maine u stacionarnim stanjima moe biti odreenouvrtavanjem vrijednosti nula za sve vremenske izvode promjenljivih izuzev uglazakretanja. Ugao zakretanja je integral ugaone brzine i u svim stacionarnim stanjima priw0 se poveava linearno sa vremenom pa e, u daljim razmatranjima, biti izostavljeniz jednaina kretanja. Stacionarna stanja sistema (3.1) su opisana skupom jednaina:

+= wKiRUEAAA

pppiRU = (3.3)

+= AMT iKBwM


5/44

69

U razmatranjima stacionarnih stanja je, radi kompaktnosti matematikih, izraza lanBwpridruen momentu optereenja. Pored toga, kao nezavisna promjenljiva je uzet fluksstatora . Sa praktinog stanovita potrebno je razmotriti promjene izlaznih veliina pripromjeni ulaznih veliina i smetnji.

Osnovni pokazatelj osobina maine u motornom reimu je tzv. mehanikakarakteristika w=w(MT) pri UA=const. i =const. Iz relacije (3.3) se lako dobiva:

T

EMA

A

A

EMA

M MKKBR

RU

KKBR

Kw

22 +

+= (3.4)

Mehanika karakteristika je prikazana na slici 3.3.a. Nagib karakteristike je, pri=const., definisan otporom armaturnog krugaRA.

Slika 3.3. Karakteristike stacionarnih stanja maine jednosmjerne struje

Mehanike karakteristike predstavljaju snop pravaca. Treba uoiti da napon rotora UAodreuje presjenu taku na ordinati. Meutim, nagib karakteristike ne zavisi od njega.To se posebno uoava na slici 3.3.b. gdje se vidi da nagib karakteristika uopte ne zavisiod napona, tj. ako je napon dovoljno visok da moe biti dostignuta odreena brzina upraznom hodu (odreena presjekom na osi ordinata na slici 3.3.a), dalje ponaanjemaine, u stacionarnim stanjima, ne zavisi od napona.

3.1.1.1. Ponaanje maine pri promjeni napona rotora

Kako je pokazano, presjek mehanike karakteristike sa osom ordinata (odnosno brzinapraznog hoda) je funkcija napona napajanja. Iz izraza (3.4) slijedi funkcionalnazavisnost koja povezuje brzinu praznog hoda i narinuti napon armature u oblikuw0=UA/KE. Odgovarajue mehanike karakteristike se dobijaju translacijom originalnekarakteristike (slika 3.3.a) du ordinatne ose. Oito je da pri promjeni znaka armaturnognapona, w0 mijenja znak, odakle slijedi da karakteristike mogu leati u sve etirikvadranta (slika 3.4).


6/44

70

Slika 3.4. Mehanike karakteristike maine jednosmjerne struje pri promjeni napona

napajanja UA

Karakteristike na slici 3.4. vrijede unutar pokazanih granica. Izvan ovog podruja oblikkarakteristika se formira kao posljedica zahtjeva da budu zadovoljene odreenefunkcionalne zavisnosti, koje se svode na ogranienje momenta optereenja pri

brzinama veim od nazivne (zbog niza pojava kao to su ograninje snage mainereakcija rotora, iskrenje kolektora i sl.) a koje nisu preporuljive u normalnom radumaine jednosmjerne struje.

3.1.1.2. Karakteristike maine pri promjeni polja

Relacija 3.4. pokazuje da je promjenu mehanikih karakteristika mogue ostvaritipromjenom intenziteta polja. Zbog zasienja eljeza znatno poveanje iznad nominalnevrijednosti nije mogue te u obzir dolazi samo slabljenje polja. Pri konstantnojvrijednosti armaturnog napona lako je za pojedine vrijednosti polja dobiti mehanikekarakteristike koje su predstavljene pravcima sa odsjecima na osi ordinataw0(MT=0)=UA/KE i na apscisiMT(w=0)=UAKM/RA. Iz relacije iA=MT/KM je oito dase nagib pravca koji definie promjenu struje pri smanjenju fluksa poveava. Obje krivesu date na dijagramima slika 3.5.a i b.

Oigledno je da, pri smanjenju fluksa, karakteristike postaju strmije, tj. pri istojpromjeni momenta tereta promjena struje i brzine su vee, to je nepovoljno kodregulisanih maina jer predstavlja smanjenje koeficijenta pojaanja po upravljakomkanalu.

Poto se smanjenjem fluksa, uz isti momenat, poveava strujno optereenje motoraupravljanje promjenom polja treba primijeniti samo onda kad promjena napona rotoranije mogua.


7/44

71

Slika 3.5. Mehanike karakteristike pri promjeni polja (a) i struja rotora pri promjeni

polja (b) 1) =N, 2) =N/2, 3) =N/5

Sa dijagrama se vidi da smanjenje polja kod veih obrtnih momenata moe rezultiratismanjenjem brzine. Diferenciranjem izraza 3.4. po fluksu dobija se:

30

2

MEMATA

constM KK

KUMR

d

dwT

= = (3.5)

odakle slijedi da se, kod konstantnog obrtnog momenta, maksimalna brzina dobije privrijednosti polja odreenoj sa:

T

AM

A MUK

R2* = (3.6)

i ima vrijednost:

TAE

AMconstMMAX

MRK

UKw

T

1

4

2

0

=

= (3.7)

Dakle, obvojnica na slici 3.4.a je predstavljena hiperbolom. Relacija (3.5a) moe bitiinterpretirana na sljedei nain:

AKM

A

A

MTiK

R

UKM ==

21

21

(3.8)

iAK= struja kratkog spoja maine, tj. pri datoj vrijednosti polja kriva maksimalne brzine(3.7) i mehanika karakteristika imaju dodirnu taku za vrijednost momenta jednakupolovini poteznog momenta motora.


8/44

72

3.1.1.3. Kombinacija promjene napona armature i polja

Provedena razmatranja pokazuju nain na koji promjene napona armature i promjenepolja odreuju stacionarna stanja maine jednosmjerne struje. Podruja u kojima sestacionarna stanja mijenjaju promjenom napona armature ili promjenom polja se, uoptem sluaju, iskljuuju, izuzev nekih primjena kod viemotornih pogona napajanih izistog izvora armaturnog napona. U tim je pogonima neophodno, zbog individualnihrazlika karakteristika i optereenja motora, mijenjati obje veliine da bi se usaglasila

meusobna kretanja motora. Na slici 3.6. su prikazana uobiajena podruja promjenenavedenih veliina.

Slika 3.6.Karakteristike maine jednosmjerne struje u podrujima promjene UA i

zavisno od maksimalne vrijednosti struje rotora

Dok brzina obrtanja ne dostigne nazivnu vrijednost wN, polje se odrava na konstantnoj- nazivnoj vrijednosti N, a promjena stacionarnih stanja se vri promjenom naponaarmature. Poveanje brzine iznad nazivne vrijednosti se postie slabljenjem polja.

Rijetko se slabljenje polja primjenjuje za postizanje brzina veih od 3wN, iako je, strogogovorei, gornji nivo brzine ogranien mehanikim osobinama maine i komutacionimmogunostima kolektora.

Na slici 3.6. radna podruja maine jednosmjerne struje su predstavljena na dijagramumehanikih karatkeristika. Podruje moguih struja armature (a time i momenata) jeogranieno termikim karakteristikama namotaja rotora i komutacionom sposobnoscukolektora. U podruju poveanih brzina komutaciona sposobnost definisana tzv.granicom komutacije je obino limitirajui faktor. Razmotrene karakteristikestacionarnih stanja se odnose na mainu jednosmjerne struje sa nezavisnom pobudom.Karakteristike za druge spojeve uzbudnog i armaturnog namotaja se dobijaju uzimanjemu obzir funkcionalnih zavisnosti meu fluksom i armaturnom strujom (ili naponom).


9/44

73

3.1.2. Dinamika ponaanja maina jednosmjerne struje

Provedena razmatranja stacionarnih stanja maine jednosmjerne struje ukazuju napotrebu analize dinamikih procesa u dva odvojena sluaja: pri konstantnom polju i upodruju slabljenja polja

3.1.2.1. Dinamiko ponaanje maine pri konstantnom polju

Kod konstantne jaine magnetnog polja pobude, jednaine kretanja (3.1.) opisujulinearan sistem koji moe biti predstavljen kao na slici 3.7. Dinamiko ponaanjesistema je opisano jednainama:

AEAA

A

AUwKiR

dt

diL += 0

wdt

d=

(3.9)

AMTiKMBw

dt

dwJ 0+=

Slika 3.7. Dinamika struktura maine jednosmjerne struje pri konstantnoj vrijednosti

polja

Interesantno je razmotriti promjene brzine w i armaturne struje iA pri promjeniarmaturnog napona i momenta optereenja, pri emu je UA-upravljako dejstvo a MT-spoljnja smetnja. Primjenjujui Laplaceovu transformaciju na jednaine (3.9),dobijamo:

T

EMAA

AA

A

EMAA

M

MKKBJsRsL

RsL

UKKBJsRsL

Kw

20

20

0

))((

))((

+++

+

+++

=

(310)


10/44

74

T

EMAA

E

A

EMAA

A

MKKBJsRsL

K

UKKBJsRsL

BJsi

20

0

20

))((

))((

+++

+++

+=

(3.11)

Ponaanje sistema (3.10) i (3.11) je definisano karakteristinom jednainom:

0)()( 202 =++++ EMAAAA KKBRsJRBLJsL (3.12)

Korijene karakteristine jednaine (3.12) je mogue izraziti u obliku:

JL

KKBRJLJRBLJRBL

A

EMAAAAAA

2)(4)()( 20

2

2,1

+++= (3.13)

Vlastita frekvencija i koeficijent priguenja se mogu izraziti kao:

JL

KKBR

A

EMA

20

210

+== (3.14)

202 +

+=

EMA

AAA

KKBR

JLJRBLQ (3.15)

Koritenjem izraza (3.13) do (3.15) mogue je analizirati uticaj pojedinih parametarajednosmjerne maine na promjenu dinamikih ponaanja maine. U dosta praktinihsluajeva koeficijent viskoznog trenja B je mali i moe se zanemariti, odnosno ovajmomenat je mogue uvrstiti u sumarni momenat optereenja, ime se gornji izrazipojednostavljuju. Interesantno je u tom sluaju analizirati uticaj slabljenja jainemagnetnog polja na dinamiko ponaanje maine. Sopstvena frekvencija se pri B=0dobije kao:

JL

KK

A

EM

00 = (3.16)

a koeficijent priguenja postaje:

EM

AA

KK

JLJRQ

02= (3.17)

odakle slijedi da se slabljenjem polja smanjuje vlastita frekvencija sistema i poveavapriguenje. Korijeni karakteristine jednaine (3.12) pri B=0 mogu biti izraeni uobliku:


11/44

75

)4

11(2 2

20

2,1A

EMA

A

A

JR

KKL

L

R = (3.18)

Koritenjem aproksimacije: 2/11 xx (koja vai za x


12/44

76

PRIMJER 3.1. Kao ilustracija gornjih zapaanja modelirana je maina jednosmjernestruje koritenjem digitalnog raunara. Podaci o motoru: PN= 9.1 kW, UN=180 [V],wN=188 [rad/s],KE=0.570,KM=0.4926,RA=0.190 [Ohm],LA=3.5 [mH], J=0.026 [kgm

2].

Blok struktura modeliranog sistema data je na slici 3.8.

Slika 3.8. Blok struktura sistema za simulaciju ponaanja maine jednosmjerne struje

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

600

800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-400

-200

0

200

400

Slika 3.9. Vremenski dijagram promjene ugaone brzine() i elektromagnetnog momenta

(Me) za razne vrijednosti magnetnog fluksa i pri impulsnoj promjeni napona armature

( = nom; -------- = 0.7 nom; = 0.5 nom)


13/44

77

Dijagrami na slikama 3.9 i 3.10 u osnovi potvruju prethodne zakljuke o promjenidinamikih osobina maine pri slabljenju fluksa i pri promjeni induktivnosti sistema.Treba uoiti veoma velike vrijednosti struje i momenta pri uputanju maine, to jeposljedica male indukovane ems koja je proporcionalna ugaonoj brzini rotora.

3.1.2.2. Dinamika ponaanja maine pri promjeni polja

Promjena korijena karakteristine jednaine za razliite vrijednosti polja razmotrena je urelacijama (3.13) do (3.18). Tendencija smanjenja rezonantne frekvencije je jasna izrelacije 3.14., kao i tendencija poveanja priguenja. Simulacija maine iz tabele 3.1. prikonstantnom naponu rotora i promjeni napona statora je koritena za interpretacijugornjih zakljucaka. Treba odmah napomenuti da nelinearnost magnetne karakteristikematerijala statora nije uzimana u obzir zbog toga to su sva razmatranja provedena samou uslovima slabljenja polja kada zasienje eljeza ne dolazi do izraaja.

-50 0 50 100 150 200 250 3000

100

200

300

400

500

600

700

800

Slika 3.10. Trajektorije kretanja sistema u Me-w ravni pri uslovima kao na slici 3.9.

(napomena: na slici je samo prva polovina vremenskog dijagrama)

( = nom; -------- = 0.7 nom; = 0.5 nom)

Ukoliko se, u matematikom modelu (3.1), polje moe kontinualno mijenjati, tj. ako semoe koristiti kao upravljaka koordinata, model koji opisuje ponaanje maine postajenelinearan i direktno koritenje prenosnih funkcija za analizu dinamikog ponaanja nije


14/44

78

mogue. Za dobijanje prenosnih funkcija tada je neophodno prethodno izvritilinearizaciju jednaina kretanja u okolini radne take.

Jednaine kretanja (3.1) su nelinearne i rjeenje u eksplicitnom obliku nije mogue.Ukoliko se razmatraju ponaanja sistema u okolini neke stacionarne take mogua jelinearizacija jednaina kretanja, definiui promjenljive u 3.1. kao:

UA=UA0+uA1

UP= UP0 + uP1iA = IA0 + iA1iP= IP0 + iP1

MT= MT0 + mT1

w = 0 + w1 = 0 + 1

gdje indeks "0" oznaava vrijednosti promjenljivih u stacionarnom stanju, kojezadovoljavaju relaciju:

0000 += EAAA KIRU

00 PPP IRU =

0000 += AMT IKBM (3.26)

Koritenjem ovih jednakosti, jednaine koje opisuju odstupanje od stacionarnog stanjase mogu dobiti u obliku:

101011 )( AEAA

A

AuwKiR

dt

diL ++=

)( 1010111

AAMTiIKmBw

dt

dwJ ++= (3.27)

11

1

PPPuiR

dt

d

+=

Prenosna funkcija koja opisuje inkrementalnu promjenu ugaone brzine w1 pri promjenifluksa 1 se dobije u obliku:

20

00

0

20

00

1

1

))((1

1

++

+

=

EM

AA

AAA

AA

EM

AAA

KK

RsLBJs

sIRE

IL

KK

IREw (3.28)

000 AAAA UIRE =


15/44

79

Korijeni karakteristine jednaine su jednaki vrijednostima odreenim u odjeljku3.1.2.1., meutim, pojaanje i nulsa sistema su odreeni vrijednostima koordinata ustacionarnom stanju. U optem sluaju, nije mogue rei za kolike promjene koordinatavrijedi model (3.27) i time prenosna funkcija (3.28). Ta injenica se mora utvrditi zasvaki sluaj posebno. Interesantno je primijetiti da uticaj nule sistema zavisi odarmaturne struje i njeno djelovanje iezava kod neoptereene maine. Sa druge strane,relacija UA0=EA0-RAIA0 pokazuje da se pri smanjenom naponu vremenska konstanta ubrojniku (kod iste strujeIA0) poveava.

3.2. DINAMIKA MAINA NAIZMJENINE STRUJE

Razmatranja provedena u poglavlju 2. su bazirana na analizi dvofazne mainenaizmjenine struje i ograniena na analizu procesa pretvaranja energije. U ovomodjeljku e biti razmotreno ponaanja trofaznih maina naizmjenine struje prirazliitim oblicima napona napajanja. Ogranienje izlaganja na trofazne maine jediktirano praktinim razlozima jer je najvei broj maina naizmjenine struje upravotrofazne izvedbe. Metode izloene u ovom poglavlju mogu biti primijenjene, uzodreena ogranienja, na najvei dio maina koje imaju istaknua ili na statoru ili narotoru.

3.2.1. Dinamika trofazne asinhrone maine

Pri izvoenju jednaina kretanja trofazne asinhrone maine koritena suopteprihvaena zanemarenja vezana sa pojmom " idealizovana maina" koja se sastojeu pretpostavci:

da su namotaji maine na statoru i rotoru simetrini; da je eljezo statora nezasieno i da je vazduni zazor ravnomjeran.

Uvedene pretpostavke omoguavaju analizu ponaanja asinhrone maine koritenjemmatematikog modela sa konstantnim parametrima pri cemu ovakav pristup omogucavai uzimanje u obzir gubitaka, zasienja, nesimetrije i drugih neidealnosti idealizovanemasine.

Materijalna struktura "idealizovane" trofazne asinhrone maine moe biti predstavljenakao na slici 3.11. pri emu su prostorno rasporeeni fazni namotaji predstavljenikoncentrisanim namotajima na statoru i rotoru koji su meusobno pomjereni za ugao2/3.


16/44

80

Slika 3.11. Struktura trofazne asinhrone maine sa simetrino rasporeenim

namotajima na statoru i na rotoru.

Jednaine kretanja trofazne asinhrone maine mogu biti dobijene koritenjem jednaina(2.35) do (2.37) pri emu matrice osobina sistema imaju oblik:

=R

S

R

RR0

0

=

RRRS

SRSS

LL

LLL

(3.29)

=

SA

SA

SA

S

RR

R

000000

R

=

RA

RA

RA

R

RR

R

000000

R

TLSASASS

LL =

=

13

4cos

32

cos

32

cos13

4cos

34

cos3

2cos1

TLRARARR

LL =

=

13

4cos

32

cos

32

cos13

4cos

34cos

32cos1

(3.30)


17/44

81

SRSRASRASRLL TL =

++

++

++

=

cos)3

4cos()

34

cos(

)3

2cos(cos)

34

cos(

)3

4cos()

32

cos(cos

TSRSRA

TSRRS L TLL ==

Matematiki model zapisan sa faznim promjenljivim ima oblik:

=

+

+

R

S

R

S

RRRS

SRSS

R

S

R

S

R

S

RRRS

SRSSw

dt

d

dt

d

u

u

i

i

LL

LL

i

i

R

R

i

i

LL

LL

0

0

wdt

d=

(3.31)

[ ]

=+R

S

RRRS

SRSS

T

R

T

Sw

J

B

dt

dw

ii

LL

LL

ii

21

gdje su:

iS = [iSA iSB iSC]T vektor statorske struje,iR= [iRA iRB iRC]T vektor rotorske struje,uS = [uSA uSB uSC]T vektor statorskog napona,uR= [uRA uRB uRC]T vektor rotorskog napona.

Model (3.31) moe biti koriten za analizu dinamikih ponaanja sistema. Parametrisistema su, kako se vidi iz (3.30), periodiki promjenljive funkcije. Ova situacija jeslina onoj koja se pojavila pri analizi dvofazne maine kada su kao koordinate stanjakoritene fazne promjenljive. Kod dvofaznih maina problem periodikih koeficijenataje prevazien primjenom trasformacije koordinata. U [1] je pokazano da je i u sluajuviefaznih maina mogue primijeniti transformaciju faznih koordinata u koordinateekvivalentne dvofazne maine. Pristup koriten u [2], baziran na injenici da mainemogu biti razmatrane kao linearna elektrina kola sa koncentrisanim parametrima urelativnom geometrijskom kretanju. Oba pristupa mogu biti primijenjena na veliki brojtipova maina koje su karakteristine po tome to im je stator ili rotor (ili oba)geometrijski simetrian.

Kod trofaznih elektrinih maina sa obrtnim magnetnim poljem, transformacija trofazneu ekvivalentnu dvofaznu mainu moe biti obrazloena i na sljedei nain. Obrtno


18/44


19/44

83

=

000000000cossin000sincos0000000cossin000sincos00

23

0

SASRASRA

SASRASRA

SRASRASA

SRASRASA

LLL

LLL

LLL

LLL

L

Kako se moglo oekivati, matrice parametra sistema sadre periodike koeficijente. Toje posljedica izabrane transformacije koja vri transformaciju statorskih i rotorskihfaznih promjenljivih u nove koordinatne sisteme (,,0)S i (,,0)R koji su vrsto vezaniza stator i rotor respektivno. Pojava nultog reda u matricama osobina pokazuje da zadnjired moe biti izostavljen i tretiran odvojeno poto ne utie u formiranjuelektromagnetnog momenta. Matematiki model trofazne asinhrone maine moe bitizapisan u obliku:

000

000

0

uiL

iRi

L =

++ w

dt

d (3.34)

w

dt

d=

(3.35.a)

00

0

1

iL

i

= TT

JJ

Mw

J

B

dt

dw (3.35.b)

Izdvajanjem jednaina po koordinati "0" i uvoenjem sljedeih oznaka:

RS= RSA = RSB = RSC

RR = RRA = RRB = RRC (3.36)

SAS LL 23

==== ; RAR LL 23

==== ; SRASR LL 23

==== ,

matematiki model asinhrone maine moe biti napisan u kompaktnoj formi.

Jednaine kretanja (3.34), (3.35) i (3.36) u cijelosti se podudaraju sa jednainamadvofazne asinhrone maine (2.35) do (2.37). Primjenom transformacija navedenih uodjeljku 2.5. mogue je jednaine kretanja zapisati tako da elementi matrica parametarabudu konstantni. Izbor koordinatnog sistema zavisi od uslova konkretnog zadatka (emaspoja faznih namotaja, potreba izraunavanje odabranih koordinata i sl.). Jednainekretanja (3.34) mogu biti zapisane u desnom koordinatnom sistemu (u,v) iji ort eu inisa ortovima eSA i eRA (faza A statora i rotora respektivno) uglove S i R respektivno.Transformacije promjenljivih statora i rotora u izabrani koordinatni sistem su definisanerelacijama (3.37.a) i (3.37.b) respektivno.


20/44

84

=

SS

SS

SUV

cossin

sincosT (3.37.a)

=

RR

RR

RUV

cossinsincos

T (3.37.b)

Navedene transformacije predstavljaju prevoenje faznih namotaja u ekvivalentnedvofazne namotaje, prema formiranju dvodimenzionalnog vektora polja, koji nisuvrsto vezani sa elementima konstrukcije. U praksi je izbor fiktivnih faza iodgovarajuih promjenljivih ogranien sa 3 varijante:

1. S=0 R0. Transformisane promjenljive statora u ovom sluaju se podudarajusa faznim promjenljivim statora, a fazne promjenljive rotora transformisu se unepomini koordinatni sistem.

2. R=const. Ova varijanta se u pravilu primjenjuje za analizu stacionarnih reimarada maine poto ona dozvoljava operisanje sa konstantnim vrijednostimasvih promjenljivih u koordinatnom sistemu sa osama, koje rotiraju sinhrono spoljem.

3. Orijentacija po vektoru bilo koje fizike promjenljive. U ovoj varijanti jednaod koordinatnih osa obino koincidira sa vektorom polja (orijentacija popolju), to omoguava da se pojednostavi sistem jednaina (projekcija polja naortogonalnu osu jednaka je nuli) i u nekim sluajevima da se ukae naracionalnu proceduru sinteze sistema upravljanja.

Jednaine elektrine ravnotee idealizovane maine uz navedene transformacije imajuizgled:

SUSVKSUSSU uwiR

dt

d++=

SVSUKSVSSV uwiR

dt

d+=

RURVELKRUR

RU uwwiRdt

d++=

)(

(3.38)

RVRUELKRVRRV uwwiR

dt

d+=

)(

gdje su USJ, iSJ, SJ,(J=U,V) fazni naponi, struje i fluks u koordinatnom sistemu (u,v);RS, RR-aktivni otpori faznih namotaja wEL-ugaona brzina koordinatnog sistema (,,0)Rna rotoru i wK-ugaona brzina koordinatnog sistema (u,v). Fluksevi su u koordinatnomsistemu (u,v); odrejeni rezultirajuim djelovanjem odgovarajuih struja istogkoordinatnog sistema prema relacijama:


21/44


22/44

86

000

SSSS uiR

dt

d+=

000

RRR

R uiRdt

d+=

(3.42)

S0 = LS0iS0 = (LS+ 2LSS)iS0

R0 = LR0iR0 = (LR + 2LRR)iR0

Za analizu ponaanja asinhrone maine na bazi matematikog modela (3.38) do (3.42)neophodno je odrediti zakone promjene vektora napona napajanja uS i uR kao spoljnihdejstava, tj. neophodno je definisati spregu namotaja maine i izvora napajanja.Uproena ema veza tri nezavisna izvora u1, u2, u3, za razliite varijante spajanjanamotaja maine data je na slici 3.12.

Slika 3.12. Mogui spojevi trofaznih namotaja statora sa izvorima I, II, III.

Naponi izvora mogu biti proizvoljne, glatke ili prekidne funkcije vremena. Neka sunaponi izvora I,II i III u odnosu na zajedniku taku definisani kao u1(t), u2(t), u3(t)respektivno. Impedanse izvora mogu biti ukljuene u razmatranje sistema iliukljuivanjem u impedanse maine ili raunanjem ekvivalentnog napona izvora.Namotaji rotora su kratko spojeni, to ne ograniava koritenje izloenog matematikogmodela pri URU=URV=0 u svrhu istraivanja motora kao objekta upravljanja. Kako jesuma faznih struja pri vezivanju namotaja u zvijezdu bez nultog vodia, ili suma faznihnapona pri vezivanju u trougao, jednaka nuli, sve promjenljive nulte komponente sujednake nuli. To svojstvo obje razmatrane eme znai automatsko uklanjanjekomponente struje, koja, stvarajui dopunsko optereenje namotaja i izvora, poveavatoplotne gubitke, a ne uestvuje ni u formiranju elektromagnetnog momenta. Uzimajuiu obzir da su nulte komponente jednake nuli veza, faznih napona statora sa izlaznimnaponima izvora data je relacijama:


23/44


24/44

88

ugaona brzina rotora w=wEL/p, elektromagnetni momenat i momenat optereenjam=M/p, mT=MT/p i parametarJ-momenat inercije rotoraJ=J/p

2. U daljim razmatranjimacemo izostaviti djelovanje nulte komponete. Neka su bazni vektori faznih namotaja A,Bi C u koordinatnom sistemu (u,v) dati u sljedeoj formi: eA

T=[1 0], eBT=[-1/2 3/2],

eCT=[-1/2 -3/2]. Kordinatni sistem (u,v) sa datim rasporedom ortova podudara se sa

stacionarnim koordinatnim sistemom (,). Imajui sve ono u vidu, matematiki model,koji opisuje ponaanja trofazne asinhrone maine, moe biti napisan u sljedeem obliku:

=

3

2

1

)2/3(2/30

)2/1()2/1(1

32

u

u

u

u

u

S

S

(3.47)

=

S

S

SS

SS

SV

SU

uu

uu

cossinsincos (3.48)

dt

d

dt

dS

S

S

SSS

P

iRU ++= (3.49)

)(0dt

dw

dt

d SR

R

RR

+= P

iR

S = LSiS + LSRiR (3.50)R= LSRiS + LRiR

m = SPiS;

=

0110

P (3.51)

wdt

d=

(3.52)

J

M

J

mw

J

B

dt

dw T+=

=

SV

SU

SS

SS

S

S

i

i

i

i

cossinsincos

(3.53)

=

S

S

i

i

i

ii

2/32/1

2/32/101

32

3

2

1

(3.54)

Svi vektori su izraeni u obliku xT=[xU xV].

Ove jednaine na prirodan nain iskazuju vezu ulaznih promjenljivih spoja asinhronamaina-izvor napajanja. Transformacija napona izvora u napone statorskih namotajauoptene maine je odreena sa (3.47). Transformacija u koordinatni sistem (u,v) koji seobrce ugaonom brzinom S je odreena transformacijom (3.48). Dinamika masine jeodreena relacijama (3.49), (3.50) i (3.51). Transformacija iz koordinatnog sistema (u,v)u stacionarni koordinatni sistem je data sa (3.53). Konacno transformacija u fazne


25/44

89

promjenljive je data sa (3.54). Zapazimo da sve ove transformacije ostavljajuinvarijantnom snagu i uvaju uslov njene ravnotee prema zahtjevima izvora, snage navratilu maine i gubicima. Daljnja analiza se u cijelosti zasniva na dobijenimjednainama. Mogua pojednostavljenja e biti vezana samo za konkretan izbornezavisnih promjenljivih i njihove nesingularne zamjene, a takoe za racionalan izborkoordinatnog sistema.

3.2.1.1. Stacionarna stanja asinhrone maine

Analiza stacionarnih stanja asinhrone maine omoguava da se procesielektromehanikog pretvaranja energije u njoj potpunije predstave sa upravljake takegledita. Osnovna vrijednost takve analize je to omoguava odreivanje ciljevaupravljanja i sugerie postupak za dostizanje tih ciljeva. Upravo ovim putem se dolo doosnovnih rezultata teorije frekventnog upravljanja asinhronih motora. Za dobijanjezavisnosti meu koordinatama u stacionarnim stanjima neophodno je razmotritijednaine (3.47) do (3.54) birajui koordinatni sistem takav da u ustaljenom reimu svepromjenljive imaju konstantne vrijednosti. Kao nezavisne promjenljive povoljno jeizabrati komponente struje statora i fluksa rotora. Oznaavanjem ugaone brzinekoordinatnog sistema sa wS=dS/dtkoja je, u ovom sluaju, jednaka krunoj frekvencijinapona napajanja, a sa s=ws-w apsolutnog klizanja, jednaine stacionarnih stanja mogu

biti napisane u obliku:

R

R

R

R

R

SSR

R

sL

R

sL

iL

=1

1 (3.55)

R

RS

RSRSS

S

RS

SR

SS

RS

SR

SS

RS

RSRSS

S

SSR

RR

LLLswR

RL

RLswL

RL

RLswL

RR

LLLswR

UL

+

+

=

))(

1()(

)())(

1(

2

2

(3.56)

S

R

R

SR

S

SSR

Rs

R

LsR

isLm

=

+=

)1(2

22

22

(3.57)

)(2))(( 2222222222

22

SSSRRSSRSSSRRSSR

SRSR

LwRRsRRLwswLLLRL

UsRLm

++++=

Koristei jednaine veza (3.57) izraz za snagu gubitaka u stacionarnom reimu radamaine PG (uz napomenu da primijenjeni matematiki model uzima u obzir samogubitke u bakru) mogue je napisati u obliku:


26/44

90

RRSSGRRP

22ii += (3.58)

Usljed ogranienosti struje i maksimalnog izlaznog napona izvora, puno iskoritenjeizvora je od posebnog znaaja. Maksimum obrtnog momenta pri stalnoj struji statorskihnamotaja postie se pri klizanju:

mL

R

sR

R

Iopt sgn= (3.60)

Mehanika karakteristika neregulisane asinhrone maine, tj.zavisnosti m(s) priwS=const. i US=const, saglasno sa (3.57) ima oblik:

CBsAs

UKssm

S

++=

2

2

)( (3.61)

gdje suA,B, C,K- veliine koje zavise od frekvencije napona napajanja. Karakteristikaima dva ekstrema, koji odgovaraju motorskom i generatorskom reimu rada, priklizanjus=suopt definisanom relacijom:

mRLLLLw

LLLwLRs

SRSRRS

SRRSSRRUopt sgn)(

)2(1

2222

22

+

+= (3.62)

Mehanika karakteristika motora pri konstantnoj amplitudi i frekvenciji naponanapajanja data je na slici 3.13.

Slika 3.13. Mehanike karakteristike kavezne asinhrone maine

Poredei (3.59), (3.60), (3.62), vidimo da je


27/44


28/44


29/44

93

Primjenom gore navedenih baznih veliina matematiki model u stacionarnomkoordinatnom sistemu (, ) moe biti zapisan u obliku:

SSSS uiR

dt

d+=

SSS

SuiR

dt

d+=

wiRdt

dRRR

R

= (3.65)

wiRdt

dRRR

R

+=

S = xSiS + xSRiRR= xSRiS + xRiR (3.66)

)()()( ST

R

R

SR

R

T

S

RS

SR

R

T

RSRR

T

RS

T

Sx

x

xx

xxm PiPPiiPiPi =====

(3.67)

wdt

d=

JM

Jmw

JB

dtdw T+= ,

= 01 10P (3. 68)

gdje su svi vektori izraeni u obliku yT=[y y]. Kao parametri sistema uvedeni susvedeni induktivni otpori umjesto induktivnosti, pri emu su induktivni otpori raunatikod bazne frekvencije. U daljem tekstu e biti uvijek napomenuto da li se radi sasvedenim ili originalnim promjenljivim i parametrima.

Istraivanje procesa u mainama koje imaju nesimetrine fazne parametre moe bitiobavljeno na gornjim relacijama, ako je neravnomjernost mogue svesti na razliitevrijednosti parametra u fazama ( i ) na statoru (ili rotoru) ekvivalentne dvofaznemaine, ili na polaznim relacijama u kojima su kao koordinate koritene faznepromjenljive.

Radi ilustracije dinamikih procesa u asinhronoj maini na slici 3.15 su prikazaniprelazni procesi pri upustanju, nagloj promjeni momenta tereta. Na slici 3.16 pokazanisu prelazni procesi uputanja maine pri razliitim vrijednostima momenta inercije.


30/44

94

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

elektromagnetni momenat

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

statorska struja

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-500

0

500

ugaona brzina

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

rotorski fluks

Slika 3.15. Promjena elektromagnetnog momenta, modula statorske struje, ugaone

brzine i modula rotorskog fluksa pri uputanju i optereivanju asinhrone maine

Sva modeliranja su obavljena za asinhroni motor iji su podaci:

Nesvedena vrijednost Svedena vrijednostSnaga 4 kW

UN 380 VIN 8 A

Ugaona brzina 188 rad/secRS 4.08 0.04959RR 3.963 0.04817XSR 0.81658 H 3.11656XS 0.01075 H 3.1576XR 0.01075 H 3.1576J 9.4765 10-3 kgm2 57,4

Na slici 3.15 pokazani su procesi pri uputanju nenamagneene maine za promjenutereta saMT=0.5MTNnaMT=MTN i pri nominalnoj vrijednosti momenta inercije. Uoljivaje velika vrijednost struje pri malim brzinama, slino rezultatima dobijenim za mainujednosmjerne struje. Pored toga se vidi veoma sporo formiranje fluksa rotora maine,to je odreeno vrijednostima rotorskih parametara. Interesantno je uoiti da, uporeenju sa oblikom momenta pokazanog na slici 3.13., dinamiki momenat maineima oscilatoran karakter.


31/44

95

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

0

20

40

elektromagnetni momenat pri 5Jn

elektromagnetni momenat pri 2Jn

elektromagnetni momenat pri Jn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

ugaona brzina pri Jn

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

0

200

400

ugaona brzina pri 2Jn

ugaona brzina pri 5Jn

Slika 3.16. Promjena elektromagnetnog momenta i ugaone brzine pri uputanju i

optereivanju asinhrone maine a pri razliitim momentima inercije


32/44

96

3.2.2. Dinamika trofazne sinhrone maine

U prvom poglavlju je pokazano da se sinhrone maine sastoje od dva magnetnapodsistema (jedan na statoru i drugi na rotoru) koja su u meusobnom kretanju, priemu konstrukcija rotora moe biti simetrina u odnosu na bilo koju osu (cilindrinirotor) ili simetrina u odnosu na samo neke ose (rotor sa istaknutim polovima) [4,5].

U najveem broju sluajeva statorska struktura se sastoji od trofaznog simetrinognamotaja koji za izabrani broj pari polova maine (p) ima 3p faznih namotajameusobno pomjerenih za geometrijski ugao 2/3p. Na slici 3.17. je pokazan rasporednamotaja dvopolne (p=1) i etveropolne (p=2) maine.

Slika 3.17. Raspored namotaja kod dvopolne (a) i etveropolne (b) sinhrone maine

Polazei od, kod asinhronih maina, usvojenih pretpostavki da su:

statorski namotaji sinusoidalno rasporeeni du zranog raspora; zanemarljivi gubici usljed histereze i vrtlonih struja; magnetne strukture na statoru i rotoru linearne;

sopstvene induktivnosti rotora nezavisne od ugla rotacije,za sinhroni motor sa jednim parom polova koji ima kompenzacione namotaje na rotorumatrice osobina je mogue napisati u sljedeem obliku:

=

RRRS

SRSS

LL

LLL i

=

RR

SS

R

R

00

R

gdje je pojedine lanove mogue, analizom fizikalne strukture (slika 3.17) napisati uobliku:


33/44

97

=

SC

SB

SA

SS

R

R

R

0000

00

R ;

=

R

R

Rp

RR

R

R

R

00

00

00

R (3.69)

gdje su: RSI(I=A,B,C) otpori faznih namotaja A,B,C na statoru RRI(I=p,,) otporipobudnog (1) i prigunih namotaja i rasporeenih du osa simetrije rotora

orijentisanih tako da se osa namotaja podudara sa osom pobudnog namotaja a osa jeortogonalna na nju. Matrica sopstvenih induktivnosti statora ima oblik:

=

SCCSCBSCA

SBCSBBSBA

SACSABSAA

SS

LLL

LLL

LLL

L (3.70)

Matrica sopstvenih induktivnosti rotora ima oblik

=

R

RpR

RpRpp

RR

L

LL

LL

00

0

0

L (3.71)

gdje su sa LSJI (J,I=(A,B,C)) oznaene sopstvene induktivnosti (J=I) imeuinduktivnosti namotaja statora, a sa LRJI (J,I=(p,,)) oznaene sopstveneinduktivnosti i meuinduktivnosti namotaja na rotoru. Zbog ortogonalnosti magnetnihosa meuinduktivnost prigunog namotaja sa bilo kojim od namotaja du ose (priguni i pobudni) je jednaka nuli.

Matrica meuinduktivnosti LSRse moe zapisati u obliku:

==

SCRSCRSCRp

SBRSBRSBRp

SARSARSARp

T

RSSR

LLLLLL

LLL

LL (3.72)

Uvrtavanjem matrica osobina u jednaine kretanja elektromehanikog sistema (2.35),(2.37) dobiju se jednaine kretanja sinhrone maine. Za bilo kakvu analizu sistemaneophodno je odrediti vrijednosti elemenata matrica parametra sistema. Elementimatrice otpornosti su direktno mjerljivi (ili izraunljivi na bazi izmjerenih otpornostipojedinih namotaja), tako da preostaje problem odreivanja vrijednosti induktivnosti usistemu. Razmotrimo, kao primjer, sinhronu mainu sa istaknutim polovima (slika3.18).

Sopstvena induktivnost bilo koje faze statora se mora mijenjati periodiki, zavisno odugla zakretanja rotora od maksimalne vrijednosti (kada su osa rotora i magnetna osa


34/44

98

odgovarajueg statorskog namotaja kolinearne) do minimalne vrijednosti, kada suodgovarajue ose ortogonalne. Zbog simetrije rotora induktivnost ima period 2elektrinih radijana i moe biti razvijena u red koji sadri samo parne harmonike.

Slika 3.18. Sinhrona maina sa istaknutim polovima

Poto je pretpostavljena sinusoidalna raspodjela faznih namotaja, to fazne strujeproizvode prostorni talas magnetomotorne sile koji, kad se razmatra interakcija sarotorom, moe biti aproksimiran samo prvim harmonikom. Iz geometrije rotora maineoigledno je da su permeanse du osa , (P' R) i , (P'R) rotora razliite. Fluksevigenerisani strujom iSA u namotaju A statora u pravcima osa rotora mogu biti napisani uobliku:

SAR = K'P'R iSA cosSAR = K'P'RiSAcos(+/2) = -K'P'RiSAsin (3.73)

Mogue je slino napisati za flukseve proizvedene strujama faza B i C statora:

SBR = K1'P'R iSBcos( - 2/3)SBR = -K1'P'RiSB sin( - 2/3) (3.74)SCR = K1'P'R iSCcos( + 2/3)SCR= -K1'P'RiSCsin( + 2/3)

Fluksevi obuhvaeni namotajima A,B,C statora lako mogu biti izraunati u funkcijiflukseva du osa i rotora koritenjem oiglednih geometrijskih transformacija. Umatrinom obliku, transformaciju iz koordinatnog sistema (,)R u (A,B,C)S koordinatnisistem je mogue predstaviti matricom:


35/44

99

++

=

)3

2sin()

32

cos(

)3

2sin()

32

cos(

sincos

'

A (3.75)

Transformacija (3.75) jednostavno moe biti objanjena kao projektovanje vektoraxR

T=[xR xR] du osa A,B,C. Ulanene flukseve faza A,B,C statora moemo napisati uobliku

=

SC

SB

SA

SC

SB

SA

i

i

i

PA' (3.76)

gdje je matrica P na osnovu (3.74) definisana u obliku:

+

+=)

32

sin()3

2sin(sin

)32

cos()32

cos(cos

RRR

RRR

PPP

PPPP

gdje je: PR=K'P'R, PR=K'P'R.

Nakon odgovarajuih uproavanja, relacija (3.76) moe biti napisana u obliku:

+

+

+

+

=

SC

SB

SA

SC

SB

SA

i

i

i

LL

)

)3

22cos()2cos()3

22cos(

)2cos()3

22cos()

32

2cos(

)3

22cos()

32

2cos()2cos(

211

121112

2( 1

0

(3.77)

gdje je:

L0 = K'(P'R + P'R)/2L1 = K'(P'R - P'R)/2 (3.78)

Iz (3.78) slijedi da je L1=0 ako su P'R=P'R, tj. ako je maina izvedena sa simetrinimcilindrinim rotorom. Iz (3.77) je oigledno da matrica induktivnosti statora zavisi odugla zakretanja rotora i moe biti napisana u obliku:


36/44

100

++++

++++

++++

=

)3

22cos()2cos(

2)

32

2cos(2

)2cos(2

)3

22cos()

32

2cos(2

)3

22cos(

2)

32

2cos(2

)2cos(

1010

10

10

1010

10

10

10

LLLL

LL

LL

LLLL

LL

LL

LL

SSL

(3.79)

Sopstvene induktivnosti svih namotaja rotora su nezavisne od poloaja rotora i imajukonstantne vrijednosti. To isto vai i za meuinduktivnosti rotorskih namotaja, pri emutreba voditi rauna o injenici da ortogonalni namotaji nisu meusobno magnetnospregnuti. Meuinduktivnosti statorskih i rotorskih namotaja se lako odreujuuzimanjem u obzir da postoji samo fundamentalna komponenta fluksa koja jeobuhvaena statorskim namotajima. Oigledno je da meusobna induktivnost statorskihi rotorskih namotaja varira harmonijski sa uglom zakretanja rotora i ima maksimum kadsu ose namotaja na koje se odnosi kolinearne. Prema tome je:

LSARp = LAp cosALSBRp = LAp cos(A - 2/3)LSCRp = LAp cos(A + 2/3)LSAR = LA cosA (3.80)LSBR = LA cos(A - 2/3)LSCR = LA cos(A + 2/3)LSAR = LAcos(A + /2) = -LAsinALSBR = -LAsin(A - 2/3)LSCR= -LAsin(A + 2/3)

Pri emu oigledno ne predstavlja problem napisati matrice LSR iLRS koritenjem izraza(3.80). Uvrtavanjem svih izraza za parametre sistema mogue je napisati matematikimodel sinhrone maine u razvijenoj formi. Sistem zapisan u ovoj formi e imatiperiodike koeficijente. Prvo oigledno pojednostavljenje sistema je mogue izvestitransformacijom statorskih promjenljivih (A,B,C) u nove promjenljive (,,0)

Sna

statoru kako je to uraeno u sluaju asinhrone maine. Koritenjem matricetransformacije definisane izrazom (3.33) za transformaciju samo statorskog podsistemai ostavljajui rotorski podsistem u obliku u kome je napisan matematiki modelsinhrone maine sa promjenljivim stanjem koje predstavljaju (,,0)S komponente nastatoru i (p,,)Rkomponente na rotoru, mogue je napisati u obliku:

[ ] ''''' uiRiL =+dt

d

wdt

d=

(3.81)


37/44

101

TMMBw

dt

dwJ +=

gdje su matrice L' i R' izraene kao u (2.61) a vektori i' i u' su izraeni kao:

i' = [iS iS iS0 iRPiR iR]T (3.82)u' = [uS uSuR0 uRPuR uR]T

Primjenjujui navedene relacije, matrice osobina sistema mogu biti napisane u obliku:

- matrice otpornosti statorskog i rotorskog podsistema R' = R ;

- matrice induktivnosti imaju oblik:

+

=

0000)2cos()2sin(0)2sin()2cos(

23

' 101110

LLL

LLL

SSL (3.83)

=000cossinsin

sincoscos

23

'

AAAP

AAAP

SR LLL

LLL

L (3.84)

L'RS = L'SRT

na osnovu ega je matricu induktivnosti mogue napisati u obliku:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

)81.3()84.3()84.3()83.3(

'L (3.85)

(Radi saetijeg pisanja u zagrade su uneseni brojevi formula koje definiu pojedinesubmatrice.)

Elektromagnetni momenat koji razvija sistem moe biti napisan u oblikuM=(1/2)i'T[L/]'i', pri emu je matricu [L/]' mogue napisati kao:

=

0'

''

'

RS

SRSS

L

LL

L (3.86)

gdje su:


38/44

102

=

0000)2sin()2cos(0)2cos()2sin(

3 1

'

LSS

L (3.87)

=

000

sincoscoscossinsin

23

'

AAAP

AAAP

SR LLL

LLLL

(3.88)

T

SRRS

''

=

LL (3.89)

Konano je matricu [L/]' mogue napisati:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=

0

L

)89.3()88.3()87.3('

(3.90)

(Radi saetijeg pisanja u zagrade su uneseni brojevi formula koje definiu pojedinesubmatrice.)

Koeficijenti sistema (3.81) imaju harmonijski karakter i matematiki model u ovomobliku nije pogodan za analize ponaanja sistema. Red sistema jednaina je za jedannizi od reda polaznog, zato to se jednaine za nultu komponentu mogu odbaciti. Zadobivanje matematikog opisa u obliku sistema jednaina sa konstantnimkoeficijentima, neophodno je sistem jednaina koji opisuje statorski podsistemtransformisati u rotorski koordinatni sistem. Matrica transformacije sistema jednaina(3.81) moe biti napisana u obliku:

[ ]

[ ] [ ]

=

3333

330000cossin0sincos

XX

X

T

E0

0

A

(3.91)

gdje su [0]3x3 i [E]3x3 matrice sa nultim koeficijentima i jedinina 3x3 matrica,respektivno. Uobiajeno je koordinatni sistem vezan za rotor oznaiti kao (p,d,q).Promjenljive prigunih namotaja je uobiajeno oznaiti indeksima D za namotaj i Qza namotaj. Imajui u vidu uvoenje novih indeksa i primjenjujui gornjutransformaciju te odbacivi nulte komponente, jednaine (3.81), (3.85) mogu bitinapisane u obliku:


39/44

103

uRi +=dt

d

Li=

wdt

d=

)(1

TMmBw

Jdt

dw+= (3.92)

)(23

SdSqSqSdiim =

gdje su:

T = [SdSq Sp RD RQ]iT = [iSd iSq iRp iRD iRQ]uT = [uSduSq uRp 0 0]

=

RQ

RD

Rp

SA

SA

R

RR

R

R

000000000000

0000

0000

R (3.93)

=

QQqQ

DDpDdD

pDpdp

qQq

dDdpd

LL

LLL

LLL

LL

LLL

000

00

00

000

00

L (3.94)

U gornjem izrazu su koritene oznake:

Ld = (3/2)(L0+L1), Lq = (3/2)(L0-L1)

Apdp L23

L = , ADdD L23

L = , AQqQ L23

L =

Dobijeni matematiki model je predstavljen sistemom nelinearnih diferencijalnihjednaina sedmog reda, sa tri ulazna dejstva. Radi kompletnosti matematikog modelaneophodno je navesti relaciju koja povezuje originalne fazne napone motora i


40/44

104

komponente napona koje se pojavljuju u matematikom modelu. Ta matricatransformacije ima oblik:

=

Rp

SC

SB

SA

Sp

Sq

Sd

u

u

u

u

u

u

u

1000

023

23

0

021

21

1

100

0cossin0sincos

32

(3.95)

Na taj nain, izrazi (3.87) do (3.95) predstavljaju opis sinhrone maine. Neophodno jenapomenuti da ovaj matematiki model moe biti koriten kako za mainu sa istaknutimpolovima tako i za mainu sa cilindrinim rotorom. Izmjena koja se pojavljuje kodmasine sa cilindricnim rotorom reflektuje se u jednakim vrijednostima permeansi du i osa rotora. Maina sa permanentim magnetom na rotoru, kao izvorom rotorskogpolja, moe biti modelirana koritenjem navedenog sistema jednaina, uz ogranienje daje magnetomotorne sile koja formira fluksLPiPneophodno zamijeniti fluksom Rkoji jerezultat djelovanja permanentnih magneta na rotoru uvrstiti vrijednost iP=0 za strujupobudnog namotaja na rotoru uzeti u obzir vrijednosti induktivnosti Ldp=0, LpD=0.

3.3. MATEMATSKI MODEL GENERALISANE MAINE

Naprijed su provedena razmatranja pojedinih tipova elektrinih maina. U ovomodjeljku bie razmatrana procedura jedinstvenog tretmana obrtnih elektrinih mainakoritenjem koncepta tzv. generalisane elektrine maine.

Generalisana maina ima namotaje i na statoru i na rotoru koji se u optem sluajunapajaju iz nezavisnih izvora. U osnovi teorije generalisane elektrine maine stojizamjena m-fazne viepolne maine sa dvofaznom dvopolnom mainom sa ortogonalnimnamotajima na statoru i rotoru. Opravdanje uvoenja ovakve maine sadrano je usljedeem:

broj pari polova vei od jedan mijenja odnos frekvencije struja i ugaone brzine,odnosno kao faktor ulazi u izraz za elektromagnetni momenat to ne unosi nikakvesutinske izmjene u jednainama maina;

uvijek se mogu izabrati ortogonalni namotaji tako da prave jednak elektromagnetnimomenat kao i namotaji sa sloenom geometrijom;

pomou dva ortogonalna namotaja mogu se generisati osnovni vidovielektromagnetnog polja koji se primjenjuju u elektrinim mainama. Sa ovakvimnamotajima se mogu realizirati: stacionarno, pulsirajue i obrtno polje.

Popreni presjek takve elektrine maine dat je na slici 3.19. Distribuirani statorski irotorski namotaji su zamijenjeni odgovarajuim namotajima u centru svitka. Namotajina statoru i na rotoru se napajaju iz nezavisnih naponskih izvora.


41/44

105

a

u

bv

1

1

11

2 2

2

2

Slika 3.19. Popreni presjek generalisane maine

Uzimajui u obzir da se elektrine i magnetne veliine posmatraju u ravni poprenogpresjeka maine pogodno je sve veliine predstaviti kao dvodimenzionalne vektore: u

obliku dvije ortogonalne komponente ili preko modula i odgovarajueg ugla. Na tajnain su vektori statorske i rotorske struje:

[ ] )(SS

T

SbSaSabiit ii ==

[ ] )( RRT

RvRuRuviit ii ==

Slino je i sa ostalim varijablama (naponi i fluksevi).

Magnetomotorne sile statorskih i rotorskih namotaja date su izrazima:

))2/cos()cos((),( 21 += SSSS iiNtMM

))2/cos()cos((),( 21 +=

RRRR

iiNtMM (3.96)

Kao posljedica dejstva ove dvije magnetomotorne sile javlja se rezultantnoelektromagnetno polje u maini, gdje se za odgovarajue statorske i rotorske namotajemogu napisati jednaine:

dt

dr

dt

dr

Ruv

RuvRRuv

Sab

SabSSab

iu

iu

+=

+=(3.97)


42/44

106

Da bi se mogla vriti analiza maine potrebno je sve jednaine svesti na isti koordinatnisistem. Zbog toga je potrebno izvriti jednu od narednih transformacija:

a. transformisati rotorske veliine u statorski koordinatni sistem a, b, pa analizuvriti u a, b sistemu;

b. transformisati statorske i rotorske veliine u sinhroni koordinatni sistem d,qi kompletnu analizu vriti u d,q sistemu. Pri tome veina autora osu dpostavlja u fazi sa vektorom rotorskog fluksa.

Ako se koristi transformacija a. vrijede sljedee relacije:

RabRuvt iiR =))((

RabRuvt uuR =))(( (3.97)

RabRuvt R =))((

Pri tome je R((t)) matrica rotacije vektora za ugao (t):

=

)cos()sin()sin()cos(

)(

R (3.98)

Izvod fluksa u transformisanom koordinatnom sistemu je:

))(( 1Ruv

uv

dt

d

dt

dR

= , odnosno

dt

d

dt

d

d

d

dt

dRab

Rab

uv

RR

)())(( 1

1

+= (3.99)

Za operator rotacije R() se jednostavno izvedu sljedee relacije:

)()(1 = RR (3.100))()()( += RRR (3.101)

)2

())(()(1

=

RRRd

d(3.102)

Koristei ove relacije dobiju se jednaine generalisane maine u a, b koordinatnomsistemu:

RabRabRabR

Rab

SabSabS

Sab

wrdt

d

rdt

d

uRi

ui

+=

+=

)2

(

(3.103)

Slino se izvode jednaine generalisane maine u sinhronom koordinatnom sistemu:


43/44

107

RdqRdqRRdqR

Rdq

SdqSdqSdqS

Sdq

wwrdt

d

wrdt

d

uRi

uRi

+=

+=

)2

()(

)2

(

(3.104)

RRww

dt

d

dt

dw

dt

dw

dt

d==== )(,,

Pri tome su izrazi za obuhvatne flukseve:

SdqRdqRRdq

RdqSdqSSdq

ML

ML

ii

ii

+=

+=(3.105)

Elektromagnetni momenat maine jednak je vektorskom proizvodu fluksa i struje.Pravac vektora elektromagnetnog momenta je usmjeren du oboda rotora maine, aintenzitet je dat sljedeim izrazom:

S

T

SR

T

ReT iRiR )2/()2/( == (3.106)

Izbor varijabli stanja zavisi od svrhe analize sistema i kasnije sinteze sistemaupravljanja. Kao varijable stanja standardno se odabiraju statorska struja i rotorski fluks.U tom sluaju su jednaine maine u sinhronom koordinatnom sistemu sa osom dvezanom za vektor rotorskog fluksa:

Rd

RS

Sd

RS

R

R

R

R

RS

SqSd

RS

R

RS

R

S

Sd

uMLL

Mu

MLL

L

L

r

MLL

Mwii

L

M

r

r

MLL

Lr

dt

di

22

22

2

2)1(

+

+++

=

(3.107)

Rq

RS

Sq

RS

R

RRS

SdSqRS

R

RS

R

S

Sq

uMLL

Mu

MLL

L

wMLL

M

wiiL

M

r

r

MLL

L

rdt

di

22

22

2

2 )1(

+

+++= (3.108)

RdSd

R

RR

R

RR uiL

Mr

L

r

dt

d++=

(3.109)

R

Rq

R

Sq

R

RR

ui

L

Mrww

++= (3.110)

Elektromagnetni momenat, koji djeluje na rotor maine moe se izraunati premajednaini (3.106), tako da se dobije:


44/44

108

SqR

R

iL

MT = (3.111)

Pod dejstvom elektromagnetnog i ostalih vanjskih momenata optereenja Tl vri semehaniko kretanje:

le

R TTdt

Jwd =)( (3.112)

Rw

dt

d=

(3.113)

Ovdje je ugao izmeu osa statora i rotora.

Generalisana maina je opisana u d,q koordinatnom sistemu sa pet diferencijalnihjednaina: (3.107), (3.108), (3.109), (3.112) i (3.113). Prve tri jednaine opisujuelektromagnetni dio gdje su naponi uS i uRulazi, a struje (ili fluksevi ili elektromagnetnimomenat) kao izlazi. Pri tome se kontraelektromotorna sila javlja kao smetnja. Sljedeedvije jednaine opisuju mehaniki dio sistema gdje je ulaz elektromagnetni momenat

(ili struje ili fluksevi) a izlazi ugaona brzina obrtanja i pozicija rotora. Pri tome se sumamomenata optereenja javlja kao smetnja.U zavisnosti od izvedbe i napajanja rotorskogdijela dobijaju se razne vrste maina. Konstruktivno rotor maine moe biti napravljenod eljeza ili od permanetnog magneta, a namotaji rotora mogu da se napajaju iz izvoranaizmjenine ili istosmjerne struje. Osim toga se rotorski namotaji mogu kratko spojiti(uR=0). Dalje su navedeni razni tipovi maina izvedeni iz generalisane maine:

1. saiR

= konst. = IF=/LR - sinhrona maina sa permanentnim magnetom na

rotoru iji je fluks . Pri tome je uvedena ekvivalentna struja pobude IF.Ekvivalentan je sluaj kada je kod sinhrone maine na rotoru elektromagnet sakonstantnom strujom napajanja IF.

2. sa uR = 0, - asinhrona maina sa kratkospojenim rotorom ili asinhrona

maina sa namotanim rotorom i dodatnim otporima u rotorskom krugu.

3. sa uR = [UF, 0]T- sinhrona maina sa elektromagnetom i prigunim

namotajem na rotoru.

4. Kada ima i napajanje rotorskog kruga tada imamo sluaj dvostrano napajanemaine.

Documents

Dinamika Elektricnih Masina