Diktat Konjut14112014

Diktat Kuliah

EKG4B3

Kontrol Lanjut

Program Studi Teknik Elektro

disusun oleh:

Erwin Susanto, Ph.D

Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T.

Cahyantari Ekaputri, M.T.

FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS TELKOM

2014

1

A. KERANGKA DIKTAT KULIAH

1. Review Sistem Kontrol: Introduction to control system, sistem kontrol

open-loop dan closed-loop (umpan balik), kontrol analog dan diskrit,

kontrol konvensional dan modern.

2. Kendali optimal dasar: bagaimana prinsip desain kendali optimal,

mendeskripsikan sistem yang akan dikendalikan, batasan yang mungkin

ada, proses kendali yang akan dikerjakan dan kriteria optimal yang

diinginkan, Permasalahan optimasi nonlinier unconstrained dan

constrained. Beberapa tools yang dipakai untuk menyelesaikan

permasalahan optimasi: pemrograman dinamik, variasi kalkulus dan solusi

numeric dengan MATLAB.

3. Kendali optimal LQR kontinyu dan diskrit (dengan state feedback) :

kriteria performansi, persamaan Riccati, kestabilan berdasarkan eigenvalue

4. Kendali optimal LQE (dengan observer, estimator) : kriteria performansi,

persamaan Riccati

5. Kendali LQG: estimator dan regulator optimal, robustness

6. Kendali Robust: H2, H~, dan gabungan H2/H~

B. REFERENSI

1) Optimal Control : Linear Quadratic Methods, Brian D.O. Anderson, Prentice-Hall, 1991

2) Robust Control Design with MATLAB, D.-W.Gu, Springer, 2005

3) Design Methods for Control Systems, Dutch Institute of Systems and Control, 2008

4) Advance Control Engineering, Roland S Burn, Butterworth Heinemann5) Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.6) Open Course Ware-MIT. Optimal Control of Dynamics System.

1

ELGK4B3 Kontrol Lanjut

C. HALAMAN DAFTAR ISI

DAFTAR ISIA. KERANGKA DIKTAT KULIAH..............................................................................1

B. REFERENSI..............................................................................................................1

C. HALAMAN DAFTAR ISI.........................................................................................2

BAB 1 Review Sistem Kontrol.............................................................................................4

1.1 Pengenalan Sistem Kontrol................................................................................4

1.2 Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup...................................................7

1.3 Kontrol Analog dan Diskrit................................................................................16

1.4 Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern......................................................20

BAB 2 Kontrol Optimal Dasar...........................................................................................32

2.1 Pengenalan.......................................................................................................32

2.2 Formulasi Masalah Kontrol Optimal.................................................................37

2.3 Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal...............................................................43

2.3.1 Fungsi dan Fungsional..................................................................................44

BAB 3 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)................................................52

3.1 Formulasi Masalah...........................................................................................52

3.2 LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)............................................................53

3.3 Contoh LQR waktu-kontinyu............................................................................57

3.4 Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit.............................................................62

3.4.1 Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka............................65

3.5 Permasalahan tracking pada LQR.....................................................................67

BAB 4 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)................................................71

4.1 Review: Proses Random...................................................................................71

4.2 Model LQE/kalman Filter..................................................................................72

4.3 Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)..........................73

BAB 5 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian).................................................75

5.1 Pendahuluan....................................................................................................75

5.2 Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)..........................................................75

5.3 Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG.........................77

BAB 6 Kontrol Robust.......................................................................................................78

6.1 Pengenalan.......................................................................................................78

2


6.2 Kontrol Optimal H 2 dan H ∞.........................................................................80

6.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust.....................................................86

6.3.1 Ketidakpastian (uncertainty)........................................................................86

6.3.2 Kestabilan Robust.........................................................................................89

6.3.3 Linear Transformation Fractional (LFT).........................................................91

3


BAB 1 Review Sistem Kontrol

1.1 Pengenalan Sistem KontrolSEJARAH SISTEM KONTROL

4


5

1769

Mesin uap James Watt dan alat pengontrol yang dikembangkan. Mesin uap Watt dalam sejarahnya menandakan awal dari Revolusi industri di Inggris. Selama Revolusi Industri, lompatan besar dibuat dalam perkembangan mekanisasi, merupakan awal teknologi otomasi.

1800

Konsep Eli Whitney tentang manufaktur per bagian yang dapat saling ditukar, yang diperlihatkan pada produksi senapan. Perkembangan ini sering disebut sebagai awal dari produksi massal.

1868 J. C. Maxwell memformulasikan model matematis untuk kontrol pengatur mesin uap.

1913 Mesin perakitan mekanik Henry Ford diperkenalkan untuk produksi otomobil.

1927 H. W. Bode menganalisis penguatan umpan balik.

1932 H. Nyquist mengembangkan metode untuk menganalisis kestabilan sistem.

1952 Kontrol Numerik dikembangkan di MIT untuk kontrol sumbu alat-mesin.

1954George Devol mengembangkan "programmed article transfer", dianggap sebagai desain robot industri yang pertama.

1960

Robot Unimate pertama diperkenalkan, berbasis desain Devol. Unimate mulai dirakit pada tahun 1961 untuk mesin tending-die casting (pencetakan hasil peleburan metal)

1970 Mulai dikembangkan model variabel keadaan dan kendali optimal

1980 Sistem kendali kokoh/robust mulai dipelajari secara luas

1990 Perusahaan manufaktur berorientasi-eskpor menggunakan otomasi.

1994Kontrol umpan balik secara luas digunakan pada otomobil. Karena keterandalannya, sistem robust banyak dipakai di manufaktur.


Gambar 1.1. Ilustrasi Pengatur Mesin Uap “Watt Flyball”

(a) (b)

Gambar 1.2. (a) Lift pada awal mula dikontrol dengan tali dan operator tangan. Di sana diperlihatkan inovasi safety brake (rem keamanan) saat tali dipotong. (b) Lift modern duo di Grande Arche Paris, digerakkan oleh satu motor, dengan tiap lift saling menyeimbangkan satu sama lain. Sekarang, lift sudah otomatis penuh, menggunakan sistem kontrol untuk mengatur posisi dan kecepatan.

6


Gambar 1.3. Ruang perakitan programmable robot yang dapat merakit 17 bagian dari alternator otomobil (alternator = generator listrik

yang mengubah energi mekanik menjadi energi listrik dalam bentuk arus bolak-balik/AC) dalam waktu 2 menit 42 detik.

BEBERAPA ISTILAH PENTING DALAM SISTEM KONTROL

o Sistem : kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-sama dan

membentuk suatu tujuan tertentu.o Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu

perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.

o Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang

terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.

o Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.

o Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-

sama untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan: reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)

o Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai

output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.

7


o Kendali umpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan

cenderung akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.

Gambar 1.4. Sistem Kontrol Sederhana

1.2 Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup 1. Sistem Kontrol Lup Terbuka

Sistem kontrol lup terbuka menggunakan actuating device (alat penggerak/

aktuator) untuk mengontrol proses secara langsung tanpa menggunakan feedback/

umpan balik.

Gambar 1.5. Sistem Kontrol Lup Terbuka

2. Sistem Kontrol Lup Tertutup

Sistem kontrol lup tertutup menggunakan pengukuran dari sinyal keluaran dan mengumpan-balikkan sinyal tersebut untuk dikomparasi/dibandingkan dengan masukan yang diinginkan/masukan referensi/masukan perintah.

Gambar 1.6. Sistem Kontrol Lup Tertutup

8


Gambar 1.7. Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Umpan Balik Negatif

Gambar 1.8. Sistem Kontrol Lup Terbuka dengan Gangguan

Gambar 1.9. Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Gangguan

Gambar 1.10. Sistem Kontrol Multivariabel (Multi-Input Multi-Output/ MIMO)

9


CONTOH SISTEM LUP TERBUKA DAN LUP TERTUTUP

(a)

(b)

Gambar 1.11. (a) Sistem lup terbuka pengaturan kecepatan meja putar. (b) Model blok diagram

(a)

(b)

10


(c)

Gambar 1.12. (a) Grafik kadar gula darah dan insulin setelah waktu makan. (b) Sistem lup terbuka. (c) Sistem lup tertutup

(a)

(b)

Gambar 1.13. (a) Pengemudi menggunakan selisih antara arah aktual dan arah mobil yang diinginkan untuk untuk menghasilkan pengaturan setir. (b) Model diagram blok sistem kendali setir otomobil.

11


(a)

(b)

(c)

Gambar 1.14. (a) Sistem kendali posisi azimuth antena. (b) Skematik. (c) Diagram blok fungsional

12


Gambar 1.15. Sistem kontrol koordinat pada boiler-generator

Gambar 1.16. Sistem kontrol temperatur pada ruang penumpang (mobil)

13


Gambar 1.17. Sistem kontrol posisi sumbu-tiga pada keping semikonduktor dengan kamera sangat sensitif

Gambar 1.18. Sistem kontrol lengan robot dengan proses rekognisi-pola

Gambar 1.19. Sistem kontrol dengan umpan balik pada model ekonomi

14


TAHAP PERANCANGAN/DESAIN SISTEM KONTROL

PROYEKSI ARAH EVOLUSI SISTEM KONTROL

15


SISTEM DASAR ELEKTRIK

Contoh:

Pada plant/rangkaian, dari hukum tegangan Kirchhoff:

−v i+Ri+vo=0 (1.1)

Untuk komponen kapasitor:

i=Cd vo

dt=C v0 (1.2)

Model dinamik rangkaian menjadi:

RC v 0+v0=v i (1.3)

16


1.3 Kontrol Analog dan Diskrit

Gambar 1.20. Sistem kontrol dengan mikroprosesor

Sampling ideal

f ¿ ( t )=∑k=−∞

∞

f (kT ) δ (t−kT ) (1.4)

Untuk proses sampling ADC (analog-to-digital converter) digunakan sampler.

Gambar 1.21. Sampler

Gambar 1.22. Hasil proses sampling/pencuplikan

17


Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi D/A yaitu dengan zero-order-hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi deretan pulsa dengan lebar T . Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut:

Gh (s )=L [ f ( t ) ]=1s−1

se−Ts

(1.6)

18


Gambar 1.23. Zero Order Hold (ZOH)

Transformasi-z

Merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit.

Tabel 1.1. Transformasi-z dan Transformasi Laplace

19


Contoh 1:

F ( z )=Z [1 ( t ) ]=∑k=0

∞

1 (kT ) z−k=1+z−1+z−2+…+z−k

Diperoleh

F (z)= zz−1

= 1

1−z−1

NB: cara sederhana yaitu dengan deret geometri

F ( z )=1+z−1+z−2+…+z−k

z−1 F ( z )=z−1+z−2+…+z−k+z−(k +1) _

(1−z−1) F (z )=1−z−( k+1 )

Sehingga

F ( z )=1−z−( k+1 )

1−z−1

Untuk k → ∞ diperoleh F (z)= 1

1−z−1

Contoh 2:

Diberikan sistem data sampling orde-1 berikut

Cari fungsi alih dalam domain-z, diketahui waktu sampling T=0.5 s.

G (s )=(1−e−Ts)( 1

s ( s+1 ) )20


Dengan transformasi-z diperoleh:

G ( z )=(1−z−1 )( z (1−e−T )

(z−1)( z−e−T ) )=1−e−T

z−e−T

X0 ( z )X i ( z )

=1−e−T

z−e−T

Dengan inversi transformasi-z diperoleh:

x0 (kT )=e−T x0 (k−1 ) T+ (1−e−T )x i (k−1 )T

NB: Bandingkan dengan sistem sama untuk waktu-kontinyu dengan masukan unit

step (tanpa ZOH) diperoleh x0 ( t )=(1−e−t). Jika diberikan masukan unit ramp

(tanpa ZOH) diperoleh x0 (t )=(t−(1−e−t )).

Kaitan transformasi-z dan transformasi Laplace:

Contoh 3:

Cari fungsi alih dari sistem lup tertutup berikut:

(a).

21


Jawab:

C ( z )R ( z )

=G ( z )

1+GH (z )

(b).

Jawab:

C ( z )R ( z )

=G ( z )

1+G ( z ) H ( z )

1.4 Kontrol Konvensional (Klasik) dan ModernTeori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori kendali klasik atau

disebut teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust

(Ogata, 2014).

1. Kontrol klasik

Dimulai dari pengatur sentrifugal James Watt untuk kontrol kecepatan dari

mesin uap pada abad ke-18. Metode respons frekuensi dan metode root locus

adalah inti dari teori kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan

memenuhi beberapa kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak

sistem). Sistem tersebut dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk

suatu kriteria tertentu dari desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus

masalah desain kontrol bergeser dari konsep mendesain satu/banyak sistem

kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu sistem kontrol yang optimal sesuai

performa tertentu yang diinginkan (kualitas).

Adapun dalam perkembangan sistem kontrol, sistem kontrol klasik yang

berkaitan dengan sistem SISO (single-input single-output) menjadi kurang cocok

dan powerful untuk diterapkan pada sistem MIMO (multiple-input multiple-

22


output). Pada tahun 1960, dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan

analisis sistem kompleks dalam domain waktu dan sintesis menggunakan variabel

state. Hal tersebut mendorong kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi

yang tinggi, bobot, dan cost yang diimplementasikan di bidang militer, antariksa,

dan aplikasi industri.

a. Analisis respons domain waktu

Analisis ini dapat dilakukan jika diketahui:

- Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu

- Model matematis dari sistem

Respons domain waktu terdiri dari 2 komponen yaitu:

a) Respons transien: komponen ini biasanya berbentuk eksponensial,

perubahannya akan semakin kecil seiring waktu dan menuju nol pada

sistem stabil (BIBO). Respons transien merupakan respon natural dari

sistem dinamik, dan tidak bergantung pada masukan/input. Cara

sederhana untuk menentukan respon alamiah/natural yaitu dengan

memberikan input impuls pada sistem dan dilihat respons keluarannya.

Contoh 1 (MATLAB):

Sistem dengan masukan unit step R (s )=1 /s dan plant dimodelkan dengan

persamaan dinamik berikut:

G (s )= s+5

s2+2 s+5

Dengan transformasi Laplace diperoleh keluarannya:

C ( s )=G (s ) R ( s)=( s+5

s2+2 s+5 )( 1s )= As+B

s2+4 s+5+

Cs=

−s+1

s2+2 s+5+

1s=

−s+1

(s+1 )2+22+1s

Keluaran dalam domain-waktu yaitu:

c (t )=(−e−t cos (2t )+1 ) .1(t), untuk t ≥ 0

23


Syntax MATLAB:

Dengan Laplace:

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Waktu (t) (seconds)

c(t)

Atau hasil yang sama dapat diperoleh dalam domain waktu, t :

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Waktu (t)

c(t)

24


num = [0 1 5]; % Pembilang Gden = [1 2 5]; % Penyebut Gstep(num,den) % Plot grafikxlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');

t = linspace(0,5);C = 1 - exp(-t).*cos(2*t);plot(t,C);xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');

Spesifikasi respons transien orde-2:

Gambar 1.24. Contoh respons unit step sistem orde-2, (0<ξ<1¿

Waktu delay, t d: waktu yang diperlukan respons untuk mencapai

setengah dari nilai akhir saat kali pertama.

Waktu naik (rise time), t r: waktu yang diperlukan respons dari 10% ke

90%, atau 5% ke 95%, atau 0% ke 100% dari nilai akhir.

Waktu puncak (peak time), t p: waktu yang diperlukan respons untuk

mencapai puncak pertama pada kondisi overshoot.

Overshoot maksimum (% M p): persentase nilai puncak maksimum

terhadap respons keadaan tunaknya.

% M p=c (t p )−c (∞ )

c (∞ )x 100 % (1.7)

Waktu menetap (settling time), t s: waktu yang diperlukan respons

untuk mencapai range nilai akhir mutlak (2% atau 5%).

25


Contoh 2 MATLAB:

Mencari waktu naik, waktu puncak, overshoot maksimum, dan waktu

menetap dari sistem orde-dua dan sistem orde-tinggi:

Diperoleh hasil:

26


% Contoh 2:% 25 1% G(s)= --------- ; R(s)= -% s^2+6s+25 snum = [25]; % Asumsi zeta = 0.6 dan wn = 5den = [1 6 25];t = 0:0.005:5;[y,x,t] = step(num,den,t);r = 1; while y(r) < 1.0001; r = r + 1; end;

% Rise Time (tr)rise_time = (r - 1)*0.005

% Peak Time (tp)[ymax,tp] = max(y);peak_time = (tp - 1)*0.005

% Maximum Overshoot (%Mp)max_overshoot = ymax-1

% Settling Time (ts)s = 1001; while y(s) > 0.98 & y(s) < 1.02; s = s - 1; end;settling_time = (s - 1)*0.005

rise_time = 0.5550

peak_time = 0.7850

max_overshoot = 0.0948

settling_time = 1.1850

b) Respons steady state/keadaan tunak: merupakan respons dari sistem

setelah komponen transien.

Klasifikasi sistem kontrol:

G (s )=K∏

l=1

m

(T l s+1 )

sN∏k=1

n

(T k s+1 )(1.8)

Dengan nilai m<N+n

N adalah jumlah pole pada titik origin → tipe sistem (tipe-N )

Fungsi alih lup tertutup:

C (s )R (s )

=G (s )

1+G ( s)(1.9)

Sinyal galat: E ( s)=R ( s )−C (s)

Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh:

E ( s)= 11+G (s )

R(s) (1.10)

Galat keadaan tunak (steady-state error):

27


ess=limt →∞

e (t )=¿ lims → 0

sE (s )=lims → 0

sR (s)1+G (s )

¿ (1.11)

Contoh galat keadaan tunak untuk masukan sinyal unit step, sinyal unit

ramp, dan sinyal parabolik/akselerasi:

Masukan

SistemInput Step

r ( t )=1

Input Ramp

r ( t )=t

Input Parabolik

r ( t )=12

t2

Tipe-01

1+K∞ ∞

Tipe-1 01K

∞

Tipe-2 0 01K

Dimana K adalah penguatan proporsional sistem.

b. Analisis domain respons frekuensi

Penguatan proporsional K

G ( jω )=K

Magnitudo:

20 log ¿G ( jω )∨¿=20 log ¿K∨¿ dB ¿¿

Fasa:

∠G ( jω )=0°

Faktor integral dan derivatif

G ( jω )= ( jω )∓1

o Integral

Magnitudo:

20 log| 1jω|=−20 log ωd B

Slope/gradien garis: −20 dB /dekade atau −6 dB /oktaf

Fasa:

∠G ( jω )=−90 °

28


o Derivatif

Magnitudo:

20 log| jω|=20 log ω dB

Slope/gradien garis: 20 dB /dekade atau 6 dB /oktaf

Fasa:

∠G ( jω )=90°

Faktor orde-1

G ( jω )= (1+ jωT )∓1

Magnitudo:

20 log| 11+ jωT |=−20 log √1+ (ωT )2dB

Pendekatan dengan 2 garis asimtot:

- ω≪1/T → −20 log √1+(ωT )2≈−20 log (1 )=0dB

29


- ω≫1/T → −20 log √1+(ωT )2≈−20 log (ωT ) dB, jadi ketika

0 dB (titik potong kedua asimtot) → ω=1/T (frekuensi

sudut/). Selanjutnya dibuat garis dengan gradien

−20 dB /dekade.

Fasa: ∠G ( jω )=−tan−1ωT ° → pada ω=0, sudut fasanya 0 °. Pada

frekuensi sudut ω=1/T , sudut fasanya −45°. Pada ω→ ∞,

sudut fasanya −90 °.

Faktor kuadratik/orde-2

G ( jω )=(1+2ξ ( jωωn

)+( jωωn

)2

)∓1

Magnitudo:

20 log ¿G ( jω )∨¿=20 log| 1

1+2ξ( jωωn

)+( jωωn

)2|=−20 log(√1−(ω2

ωn2 )

2

+(2ξωωn

)2)¿

Pendekatan dengan 2 garis asimtot:

- ω≪1/T → −20 log 1=0dB

- ω≫1/T → −20 log (ω2/ωn2)=−40 log (ω /ωn )dB, jadi ketika

0 dB (titik potong kedua asimtot) → ω=ωn (frekuensi

sudut/). Selanjutnya dibuat garis dengan gradien

−40 dB/dekade.

30


- Koefisien redaman ξ , pengaruhnya terhadap magnitudo dan

sudut fasa yaitu sbb:

Fasa:

∠G ( jω )=−tan−1[ 2 ξωωn

1−( ωωn

)2 ]

Pada ω=0, sudut fasanya 0 °. Pada frekuensi sudut ω=1/T ,

sudut fasanya −90 °. Pada ω→ ∞, sudut fasanya −180 °.

2. Kontrol modern

Antara selang dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal,

baik sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan

kontrol learning dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990

perkembangan teori kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan

aplikasinya. Teori kontrol modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis

pada analisis domain waktu. Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem

31


kontrol menjadi lebih simpel karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan

model. Akan tetapi, kestabilan sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan eror

antara sistem aktual dan model, sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama

menentukan setting awal dari range eror tertentu yang diperbolehkan dan lalu

mendesain kontroler sedemikian sehingga jika eror dari sistem berada pada range

eror yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang didesain akan tetap stabil.

Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol robust/kokoh. Teori

tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan pendekatan

domain-waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/kompleks.

Gambar 1.25. Konfigurasi Kontrol Modern

32


Gambar 1.26. Komponen Sistem Kontrol Modern

Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan

dinamika atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh

persamaan diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi

Lagrangian. Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari

kestabilan sistem, adapun teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan

Lyapunov. Terakhir, jika kinerja sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang

diinginkan, maka dilakukan perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi V

Lyapunov sudah lama ditemukan, namun konsep tersebut baru digunakan pada

kontrol modern. Istilah “modern” sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa

yang dianggap modern saat ini, dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno.

Jadi yang lebih cocok digunakan dalam memberi label teori kontrol yaitu sesuai

klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya), misalkan kontrol optimal, kontrol

nonlinier, kontrol adaptif, kontrol robust, dst.

33


BAB 2 Kontrol Optimal Dasar

1.5 PengenalanOptimasi sudah menjadi istilah yang lazim digunakan saat ini. Kita ingin

bekerja dan memanfaatkan waktu secara optimal dengan menggunakan sumber

daya yang optimal, dst. Batasan sasaran teori kontrol optimal dapat dilihat pada

diagram berikut:

Gambar 2.1. Batasan teori kontrol optimal

Beberapa teori kontrol, pendekatan desain kontrol dengan umpan balik

keadaan/state feedback dan estimator/observer merupakan dasar fundamental

34


untuk kontrol untuk sistem yang dibangun dari persamaan keadaan/state. Namun,

belum tentu berarti metode fundamental ini menghasilkan solusi yang

terbaik/optimal. Metode tersebut memiliki beberapa kesulitan untuk kasus berikut:

1. Implementasi dari spesifikasi desain (overshoot maksimum, settling time,

dsb) dimana pole yang diinginkan tidak selalu diperoleh secara langsung,

khususnya untuk sistem kompleks. Konfigurasi pole seperti apa yang

paling baik sesuai dengan spesifikasi yang ada?

2. Untuk sistem MIMO, penguatan umpan balik keadaan untuk memperoleh

konfigurasi pole tertentu tidaklah unik. Jadi penguatan seperti apakah yang

paling baik untuk konfigurasi pole yang ada?

3. Nilai eigen dari observer sebaiknya dipilih lebih cepat daripada nilai eigen

dari sistem lup tertutupnya. Adakah kriteria lain untuk menentukan

konfigurasi manakah yang tepat?

Metode kontrol optimal yang akan dibahas pada bab ini dapat menjawab

masalah-masalah di atas. Kita lihat nanti bagaimana state feedback dan gain

observer dapat diperoleh sehingga solusinya optimal. Tujuan dari teori kontrol

optimal yaitu untuk menentukan sinyal kontrol yang akan menghasilkan proses

sesuai dengan batasan spesifikasi fisik sistem dan pada saat yang bersamaan akan

meminimumkan/memaksimumkan beberapa kriteria performansi.

Prinsip utama dari teori kendali berbasis prinsip optimalitas yaitu: Jika solusi

optimal untuk masalah kendali melewati suatu titik transisi (x1 ,t 1), maka solusi

optimal untuk masalah kendali yang sama yang berasal dari titik awal (x0 ,t 0)

menuju titik akhir (x f , t f ) adalah merupakan kelanjutan jalur yang sama melewati

titik transisi.

35


Gambar 2.2. Ilustrasi trayektori lintasan solusi masalah kontrol optimal dengan prinsip optimalitas

Trayektori keadaan dimana dapat memenuhi batasan variabel keadaan selama

selang [ t 0 ,t f ] merupakan trayektori yang dapat diterima/admissible trajectory.

Prosedur solusi numerik untuk penyelesaian masalah pengambilan

keputusan/decision making multi-tahapan disebut dynamic programming. Hasil

teoretis yang dibangun secara sistematis dalam pemecahan masalah tsb akan

menghasilkan aturan kendali/control law.

Contoh 1: (masalah rute dengan waktu tempuh terpendek)

• Tujuan utama yaitu mencari rute dengan waktu terpendek dari A ke B

• Waktu tempuh setiap jalur ditunjukkan pada gambar

• Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari A ke B, namun akan

sangat membosankan. Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari

A ke B (dicoba satu per satu), memakan waktu yg lama.

• Total alternatif rute = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 rute,

• Dari A B melewati A3 ada 1 jalur




Jumlah rute=(2n )!(n ! )2

=(2 x3 )!

(3 ! )=20

36


dimana n adalah jumlah segmen.

A0 B

1

36

10A1

A2

A3

A

Perbandingan jika menggunakan dynamic programming (DP):

• Bandingkan dengan alternatif pendekatan arah mundur/backward.

• Dimulai dari titik B bekerja dgn arah mundur, dengan menerapkan

prinsip optimalitas di sepanjang jalur.

• Tentukan titik x, dari titik B dihitung total waktu dari B ke x. Ada 2

rute yaitu 10 + 6 dan 11 + 7, pilih yang waktu tempuh paling kecil = 10

+ 6 = 16.

• Beri tanda panah di 6 untuk menandakan jalur yang dipilih.

• Ulangi seluruh proses di semua titik, dari titik B hingga titik A.

• Dari gambar di kanan terlihat bahwa jumlah komputasi/perhitungan

hanya 15 kali.

• Jumlah komputasi DP = (n+1 )2−1=42−1=15

37


• Manakah yang lebih baik? Jika n semakin besar, selisih jumlah

komputasi akan semakin besar pula.

• Jadi, DP lebih baik dibandingkan dengan mencoba setiap

kemungkinan/brute force, waktu komputasi lebih cepat, memori yang

diperlukan lebih kecil.

Contoh 2: Routing problem (dengan batasan/constraint arah ditentukan di

awal)

Cari rute terpendek dari c ke h!• Mulai dari h dan bekerja ke arah mundur/backward.

• Dari g ke h hanya ada 1 jalur ⇒ J gh¿ =2 dan dari f ke h ⇒ J fh

¿ =J fg+J gh¿ =5

• Dari e ke h ada 2 jalur yaitu Jeh dan Jefgh:• Rute optimal:

Jeh¿ =min {J ef gh , Jeh }=min { [J ef+J fh

¿ ] , J eh}=min {(2+5) , 8 }=7

• Diperoleh rute optimal e ke h yaitu e→ f → g →h

• Dari d ke h ⇒ Jdh¿ =J de

¿ +J eh¿ =10 (karena rute optimal dari e ke h sudah

diketahui, kita tidak perlu lagi mencari opsi dari e saat mulai dari d gunakan solusi terbaik sebelumnya.

• Dari c ke h ⇒

Jch¿ =min {J cdh , J cfh }=min { [J cd+J dh

¿ ] , [J cf+J fh¿ ] }=min {[5+10 ] , [3+5 ] }=8

• Diperoleh rute optimal c ke h yaitu c → f → g → h

38


1.6 Formulasi Masalah Kontrol Optimal

Untuk masalah kontrol optimal, pada umumnya kita ingin mencari sinyal

kontrol optimal u¿ (t), dimana lambang ¿ menyatakan kondisi optimal, yang akan

menggerakkan plant P dari kondisi awal menuju kondisi akhir dengan beberapa

batasan kontrol dan keadaan/state, dimana pada waktu yang bersamaan akan

mengoptimalkan indeks performa J. Formulasi masalah kontrol optimal terdiri

dari:

1. Deskripsi/model matematis dari sistem yang akan dikendalikan (secara

umum dalam bentuk variabel keadaan)

2. Deskripsi dari tugas/proses yang harus dikerjakan

3. Spesifikasi dari indeks performa, dan

4. Persyaratan dari kondisi batas (boundary condition) dan batasan

spesifikasi fisik dari state dan/atau kontrol.

Indeks performa/kinerja

Teknik desain kontrol klasik telah berhasil diterapkan pada sistem SISO linier

invarian-waktu. Kriteria performa tersebut antara lain respons waktu sistem

(untuk masukan tangga, masukan landai, dsb.) yang ditentukan oleh waktu naik,

waktu menetap, waktu overshoot, dan akurasi keadaan tunak; dan juga respons

frekuensi sistem yang ditentukan oleh margin penguatan dan margin fasa, dan

juga bandwidth.

Sementara untuk teori kontrol modern, masalah kontrol optimal yaitu mencari

sinyal kontrol yang akan menghasilkan sistem dinamik mencapai sasaran atau

mengikuti suatu trayektori variabel keadaan tertentu, pada waktu yang sama

mengoptimalkan indek performa. Optimal berarti melakukan proses (pekerjaan)

dengan cara/solusi yang terbaik.

Selama kriteria/batasan/constraints tersebut belum jelas dan konsisten, kita

tidak dapat mengklaim bahwa sistem kita sudah optimal. Secara kasar, kita dapat

klaim untuk sistem yang tidak akurat pun dapat dikatakan optimal dengan

constraints misal biaya produksi murah (cost), mudah dirancang-bangun (design),

performanya cukup baik sesuai yang diinginkan (performance), dsb. Namun

sebaliknya, suatu sistem yang presisi dan elegan bisa dibilang tidak optimal

39


karena terlalu mahal biaya produksinya dan pengembangannya memakan waktu

sangat lama (time).

Dinamika sistem yang dikontrol dideskripsikan dalam bentuk variabel

keadaan/state, misal dalam waktu-kontinyu sebagai berikut:

(2.1)

atau dalam waktu-diskrit menjadi :

(2.2)

Berikutnya, sistem kita asumsikan semua state-nya ada, misal pada

pengukuran. Atau selain itu, sistem diasumsikan dapat diamati/observable,

sehingga observer dapat dikonstruksi/dibangun sedemikian sehingga dapat di

estimasi state-nya.

Kriteria kinerja/performa, dilambangkan J, adalah ukuran kualitas dari

perilaku sistem. Biasanya, kita mencoba meminimumkan atau memaksimumkan

kriteria kinerja dengan mengatur sinyal kendali masukannya.

Untuk setiap sinyal kontrol u(t ) dalam range yang bisa dihasilkan/feasible

(yaitu, untuk setiap masukan yang mungkin), sistem dapat bekerja sesuai

fungsinya dimana batasan/constraints sistem terpenuhi dan bersesuaian dengan

trayektori sistem x (t).

Masukan u(t ) menghasilkan trayektori x (t). Variasi v (t) pada u(t )

menghasilkan trayektori yang berbeda, x (t)+δ x( t).

40


Batasan/constraints

Vektor kontrol u(t ) atau vektor keadaan x (t) dapat memiliki batasan

(constrained) atau tidak memiliki batasan (unconstrained) tergantung kondisi

spesifikasi fisiknya. Untuk masalah unconstrained, pada sistem di real life jarang

digunakan, walaupun menghasilkan solusi yang elegan/bagus. Untuk batasan

sistem fisik (constrained), dapat dijumpai misalkan arus dan tegangan pada

rangkaian elektrik, kecepatan motor, bahan bakar dorong roket, yang dimodelkan:

U+¿ ≤u (t ) ≤U−¿¿¿, dan X+¿ ≤ x ( t )≤ X−¿¿¿,

dimana + dan – menyatakan nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai

oleh variabel (kontrol dan keadaan) yang bersesuaian.

(1). Masalah Kontrol Optimal 1: (sistem kontrol untuk fuel-optimal)

Batasan/constraints sistem terkadang ada dengan nilai yang dibolehkan oleh

variabel keadaan, atau sinyal kendali masukan (control input). Sebagai contoh,

himpunan dari sinyal kendali yang bisa dihasilkan dapat berupa set/kumpulan dari

potongan vektor kontinyu/piecewise, 𝑢(𝑡)∈𝑈, sedemikian sehingga:

U={u(t ):‖u (t )‖<M untuk semua t . }

Batasan/constraints model ini sangat umum digunakan, serta dapat

merepresentasikan keadaan saturasi pada aktuator, untuk batas sinyal inputan.

‖u1( t)u2( t)u3(t)

‖2

=|u1 (t )|2+|u2 (t )|2+|u3 ( t )|2

<M 2 , ∀ t

Contoh: Misalkan pada masalah pesawat ruang angkasa (spacecraft), penggerak

pesawat adalah mesin dorong (thrust) roket dengan besar |u (t )| besarnya

41


proporsional dengan laju pemakaian bahan bakar/fuel. Untuk meminimumkan

total pemakaian bahan bakar tersebut, indeks performa dimodelkan:

J=∫t0

tf

|u (t )|dt (2.3)

Untuk beberapa sistem kontrol, dapat dituliskan:

J=∫t0

tf

∑i=1

m

R i|u i ( t )|dt (2.4)

dimana R adalah matriks definit positif (PD).

(2). Masalah Kontrol Optimal 2: (sistem kontrol untuk waktu-optimal)

Tugas/proses yang akan dikerjakan biasanya dalam bentuk persamaan

tambahan dengan kondisi batas/boundary tertentu dari sistem persamaan keadaan.

Sebagai contoh, kita mau memindahkan/transfer dari keadaan 𝑥(𝑡) dari kondisi

keadaan awal x (0)=x0 menuju keadaan akhir tertentu di x f ( t f)=xd pada waktu

tertentu t f , atau pada kemungkinan minimum t f .

NB: Seringkali, tugas/proses yang dikerjakan secara implisit/tak langsung dapat

diukur berdasarkan kriteria kinerjanya.

Pemodelan matematis indeks performa waktu minimum untuk selang dari

waktu awal t 0 dan waktu akhir t f dapat dituliskan:

J=∫t0

tf

dt=t f−t 0=t ¿ (2.5)

Contoh:

Kriteria kinerja lain yang lazim digunakan yaitu waktu minimum, dimana kita

mencari sinyal kendali u(t ) yang menghasilkan trayektori tercepat untuk

mencapai keadaan/state akhir yang diinginkan:

42


Untuk kasus ini, kriteria kinerjanya yang akan meminimumkan dapat

diekpresikan secara sederhana dalam bentuk matematis yakni:

J=T (2.6)

(3). Masalah Kontrol Optimal 3: (sistem kontrol kondisi akhir/terminal)

Untuk masalah sasaran kondisi akhir, kita tertarik untuk meminimumkan

error antara posisi target yang diinginkan dengan target aktual,

x (T )=xa (T )−xd(T )

Kriteria kinerja lainnya adalah final error (selisih akhir) pencapaian keadaan/

state akhir yang diinginkan dalam waktu yang telah ditentukan T atau t f yaitu :

J=xT (t f )Hx (t f ) (2.7)

merupakan fungsi cost terminal, dimana H adalah matrik semi-definit positif

(PSD).

43


(4). Masalah Kontrol Optimal 4: (sistem kontrol untuk energi minimum)

(a). Kriteria kinerja lainnya yaitu meminimumkan luasan/area di bawah ‖x (t )‖2

sebagai cara menentukan sinyal-sinyal kendali yang akan menghasilkan

transien keseluruhan yang kecil dalam trayektori yang dihasilkan mulai

dari state awal, x0 hingga mencapai state akhir, x f .

Contoh:

Untuk meminimumkan error kuadratik pada sistem tracking, indeks

performa dapat dimodelkan:

J=∫t0

tf

xT (t )Qx (t)dt (2.8)

atau

J=∫t0

tf

∑i=1

n

qi x i2 ( t ) dt (2.9)

Dimana Q adalah matriks bobot, dengan nilai semi-definit positif.

(b). Bisa juga kemungkinan kriteria kinerjanya yaitu untuk meminimumkan

luasan di bawah ‖u (t )‖2, sebagai cara memilih sinyal kendali dengan

usaha pengendalian/control effort yang minimum. Untuk kasus ini sama

dengan sistem kontrol fuel-optimal.

44


(5). Masalah Kontrol Optimal 5: (bentuk umum sistem kontrol optimal)

Dengan mengkombinasikan formulasi di atas, bentuk general/umum dari

indeks performa untuk sistem linier dapat dimodelkan berikut:

J=xT (t f )Hx ( t f )+∫t 0

t f

[ xT (t )Qx (t )+uT (t ) Ru (t ) ] dt (2.10)

atau secara umum untuk sistem nonlinier dan linier, x (t )=f (x ( t ) ,u ( t ) ,t ), indeks

performanya menjadi:

J=S ( x (t f ) , t f )+∫t0

t f

V (x ( t ) , u ( t ) , t )dt (2.11)

dimana matriks R>0 definit positif, Q dan H ≥ 0 adalah matriks semi-definit

positif. Bentuk indeks performa tersebut disebut bentuk kuadratik (dinyatakan

dalam variabel keadaan dan sinyal kontrol).

45


Gambar 2.3. Masalah Kontrol Optimal

1.7 Variasi Kalkulus dan Kontrol OptimalVariasi kalkulus berkaitan dengan mencari nilai optimum (maksimum/

minimum) dari suatu fungsional. Teori ini diawali tahun 1696, setelah penemuan

fundamental oleh L. Euler (1709-1783) dikenal dengan bapak penemu variasi

kalkulus, teori ini digunakan umum di bidang disiplin ilmu matematika.

1.7.1 Fungsi dan FungsionalFungsi: Variabel terikat x merupakan suatu fungsi dari variabel bebas t ,

ditulis x (t )=f (t ), jika setiap nilai t pada selang tertentu mempengaruhi

nilai x. Contoh: x (t )=t 2+1; x ( t1 , t2 )=t12+2 t1 t2

Fungsional: Suatu variabel J merupakan suatu fungsional yang tergantung

pada fungsi f (x), ditulis J=J ( f ( x )), jika setiap fungsi f (x), berkaitan

dengan nilai J. Dengan kata lain, fungsional terdiri dari beberapa fungsi terkait, yaitu “fungsi dari suatu fungsi”.

Contoh: Diberikan fungsi x (t )=2 t 2+1. Lalu

J (x (t ) )=∫0

1

x ( t )dt=∫0

1

(2 t2+1)dt= 23

t 3+t ]t=0

t=1

=53

adalah luasan di bawah kurva x (t). Jika v (t) adalah kecepatan suatu kendaraan, lalu

46


J (v ( t ) )=∫t 0

t f

v ( t ) dt

adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan tsb. Jadi, disini x (t) dan v (t)

fungsi dari t , dan J adalah fungsional dari x (t) dan v (t).

Perubahan naik/increment fungsi: ∆ f (t , ∆ t)≜ f ( t+∆ t )−f ( t)

Contoh: Misalkan f (t )=( t1+t 2)2 cari perubahan naik dari fungsi tsb.

∆ f ≜ f ( t+∆ t )−f ( t )=(t 1+∆ t 1+ t2+∆ t 2 )2−(t 1+t 2)

2=(t 1+∆ t1 )2+(t 2+∆ t 2 )

2+2 (t 1+∆ t 1 ) ( t2+∆ t 2 )−( t12+t 2

2+2t 1t 2 )=2 ( t1+t 2) ∆ t1+2 (t1+t 2 )∆ t 2+(∆ t1 )2+(∆ t2 )

2+2∆ t 1 ∆ t2

Perubahan naik fungsional: ∆ J (x ( t ) , δx ( t ) )≜ J (x (t)+δx ( t ) )−J ( x (t ) )

Dimana δx (t ) adalah variasi dari fungsi x (t).

Contoh: Misalkan diberikan suatu fungsional

J=∫t0

tf

[2 x2 ( t )+1 ] dt

cari perubahan naik dari fungsi tsb.

∆ J≜ J (x (t)+δx (t ) )−J (x (t ) )=∫t0

t f

[2 (x (t )+δx ( t ) )2+1 ]dt−∫t0

t f

[2 x2 ( t )+1 ]dt=∫t 0

tf

[4 x (t ) δx ( t )+2 (δx ( t ) )2 ]dt

Kondisi Optimum dari Fungsi:

Suatu fungsi f (t) dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik t ¿ jika

ada parameter dengan nilai positif ϵ sehingga untuk seluruh titik t pada domain D

yang memenuhi |t−t ¿|<ϵ , penambahan nilai f (t) memiliki tanda yang sama

(positif atau negatif).

(a) Δ f=f ( t )−f ¿ (t ) ≥ 0 → dimana f (t ¿) adalah lokal minimum relatif

(b) Δ f=f (t )−f ¿ (t ) ≤ 0 → dimana f (t ¿) adalah lokal maksimum relatif

47


Gambar 2.4. (a) Kondisi Minimum Fungsi (b) Kondisi Maksimum Fungsi f (t)

Syarat kondisi perlu di titik optimum relatif: f (t ¿)=0

Syarat kondisi cukup di titik optimum relatif:

1. Untuk minimum, turunan kedua dari fungsi f ( t )>0

2. Untuk maksimum, turunan kedua dari fungsi f (t )<0

3. Jika f ( t )=0, disebut titik stasioner

Kondisi Optimum dari Fungsional:

Suatu fungsional J dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik x¿ jika

ada parameter dengan nilai positif ϵ sehingga untuk seluruh fungsi x pada domain

Ω dimana memenuhi |x−x¿|<ϵ , penambahan nilai J memiliki tanda yang sama

(positif atau negatif).

(a) Δ J=J ( x )−J ¿ ( x )≥ 0 → dimana J (x¿) adalah lokal minimum relatif

48


(b) Δ J=J ( x )−J ¿ ( x )≤ 0 → dimana J (x¿) adalah lokal maksimum relatif

Untuk ϵ → ∞, nilai J ( x¿) adalah nilai optimum absolut global.

Teorema: Jika x¿ ( t ) merupakan kandidat nilai optimum, variasi pertama J akan

bernilai nol pada x¿(t ), yaitu δJ (x¿ (t ) , δx (t ) )=0 untuk semua nilai δx (t) yang

memenuhi → Syarat kondisi perlu. Syarat kondisi cukup di titik optimum:

1. Untuk minimum, variasi kedua dari fungsional δ 2 J>0

2. Untuk maksimum, variasi kedua dari fungsional δ 2 J<0

Contoh soal:

1. Cari nilai minimum dari indeks performansi berikut:

J=∫0

1

[x2 ( t )+u2 (t ) ] dt

Dengan kondisi batas

x (0 )=1; x (1 )=0

Dengan subjek kondisi (persamaan dinamika sistem/plant):

x (t )=−x (t )+u(t)

Solusi:

Tujuan utama yaitu mengeliminasi u (t ) antara indeks performansi dan plant

untuk memperoleh fungsional

J=∫0

1

[ x2 ( t )+ ( x (t )+x (t ) )2 ]dt=∫0

1

[2 x2 ( t )+ x2 ( t )+2 x (t) x (t)] dt

Dengan menggunakan metode Euler-Lagrange:

( ∂ V∂ x )

¿− d

dt ( ∂ V∂ x )

¿=0

Dimana V=2 x2 (t )+ x2 (t )+2 x( t) x (t )

Diperoleh

4 x¿ ( t )+2 x¿ ( t )− ddt

(2 x¿ ( t )+2x¿ ( t ) )=0

Dengan menyederhanakan persamaan di atas

x¿ (t )−2 x¿ ( t )=0

Solusi persamaan diferensial orde-2 di atas adalah

x¿ ( t )=C1 e−√2 t+C2e√2t dimana konstanta C1 dan C2 diperoleh dari kondisi batas

pada soal, diperoleh C1=1/(1−e−2√2); C2=1/(1−e2√2), diperoleh:

49


u¿ ( t )= x¿ ( t )+ x¿ ( t )=(1−√2)/(1−e−2√2)e−√2 t+(1+√2) /(1−e2√2)e√2 t

Syntax Matlab:

2. Cari nilai optimum dari

J=∫0

2

[ x2 ( t )−2tx (t)] dt

Yang memenuhi kondisi batas x (0 )=1 dan x (2 )=5

Solusi:

Misalkan V= x2 ( t )−2tx (t), dengan Euler-Lagrange diperoleh persamaan

( ∂ V∂ x )− d

dt ( ∂V∂ x )=0 →−2 t− d

dt(2 x ( t ) )=0 → x ( t )=t

Dengan memecahkan persamaan diferensial di atas diperoleh:

x¿ (t )=t 3

6+C1 t+C2

Dimana C1 dan C2 merupakan konstanta integrasi. Dengan kondisi batas pada

soal didapatkan x (0 )=1 →C2=1 , x (2 )=5→ C1=4 /3

Solusi akhir:

x¿ ( t )= t 3

6+ 4

3t+1

Syntax Matlab:

50


x = dsolve('D2x-2*x=0','x(0)=1,x(1)=0')

x =exp(2*2^(1/2))/(exp(2^(1/2)*t)*(exp(2*2^(1/2)) - 1)) - exp(2^(1/2)*t)/(exp(2*2^(1/2)) - 1)

u = diff(x) + x

u = simplify(u)-(exp(2^(1/2)*t) - exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t))/(exp(2*2^(1/2)) - 1)

x = dsolve('D2x-t=0','x(0)=1,x(2)=5')

x =t^3/6 + (4*t)/3 + 1

Ringkasan prosedur Prinsip Pontryagin untuk masalah Bolza:

51


Gambar 2.5. Jenis sistem: (a). Fixed-Final Time and Fixed-Final State System; (b). Free-Final Time and Fixed-Final State; (c). Fixed-Final Time and Free-Final State System; (d). Free-Final Time and Free-Final State System

Contoh 3:

Diberikan sistem orde-dua (dengan double integrator) seperti berikut:

x1 ( t )=x2(t)

x2 (t )=u (t)

Dengan indeks performansi berikut:

J=12∫t0

tf

u2 ( t )dt

Cari kontrol optimal dan keadaan/state optimal, diberikan kondisi batas (awal dan

akhir) sebagai berikut:

x (0 )=[1 2 ]' ;x (2 )= [1 0 ] '

(diasumsikan kontrol dan state-nya unconstrained)

Solusi:

52


Misalkan

V (x ( t ) ,u ( t ) ,t )=V (u ( t ) )=12

u2( t)

f (x (t ) , u (t ) , t )=[ x2(t) u(t)]'

Langkah 1: Fungsi hamiltonian

H=H (x1 (t ) , x2 (t ) , u (t ) , λ1 ( t ) , λ2 (t ) )=V (u (t ) )+λ ' (t ) f (x ( t ) , u ( t ) )=12

u2 ( t )+λ1 (t ) x2 ( t )+ λ2 ( t ) u (t )

Langkah 2: Cari bentuk sinyal kontrol u¿ (t)

∂ H∂u

=0→u¿ (t )+λ2¿ (t )=0 → u¿ (t )=−λ2

¿ ( t)

Langkah 3: Dengan hasil langkah 1 dan 2, cari nilai optimal dari H ¿

H ¿ (x1¿ ( t ) , x2

¿ ( t ) , λ1¿ ( t ) , λ2

¿ ( t ) )=12

λ2¿2 ( t )+λ1

¿ (t ) x2¿ ( t )−λ2

¿2 ( t )=λ1¿ ( t ) x2

¿ ( t )−12

λ2¿2 ( t )

Langkah 4: Cari persamaan state dan costate

x1¿ (t )=+( ∂ H

∂ λ1)¿=x2

¿ (t )

x2¿ (t )=+( ∂ H

∂ λ2)¿=−λ2

¿ (t )

λ1¿ (t )=−( ∂ H

∂ x1)¿=0

λ2¿ (t )=−( ∂ H

∂ x2)¿=− λ1

¿ (t )

Dari persamaan sebelumnya, diperoleh state optimal dan costate optimal sbb.

x1¿ ( t )=

C3

6t3−

C4

2t 2+C2 t+C1

x2¿ ( t )=

C3

2t2−C4 t

λ1¿ (t )=C3

λ2¿ ( t )=−C3t+C4

Dari kondisi awal diperoleh konstanta C1=1 ,C2=2 , C3=3 ,C4=4 sehingga:

x1¿ ( t )=1

2t 3−2 t2+2 t+1

53


x2¿ ( t )=3

2t 2−4 t

λ1¿ (t )=3

λ2¿ (t )=−3 t+4

Langkah 5: Cari kontrol optimal

u¿ ( t )=− λ2¿ ( t )=3 t−4

Gambar 2.6. Diagram Blok State Kontroler Optimal

54


BAB 3 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)

1.8 Formulasi Masalah

Untuk sistem linier varian-waktu/linear time-varying (LTV):

(3.1)

Dimana fungsional cost atau indeks performansi dinyatakan sebagai berikut:

(3.2)

Keterangan:

x (t) : vektor state/keadaan

y (t ) : vektor output/keluaran

z (t) : vektor referensi input atau output yang diinginkan

u(t ) : vektor sinyal kontrol

Q(t ) : matriks bobot error

R(t ) : matriks bobot kontrol

F (t) : matriks bobot cost akhir

Kategori sistem:

a. Jika tujuan pengendalian yaitu agar state, x (t) mendekati nol, (saat z (t )=0

dan C=I), disebut sistem regulator state dengan memberikan sinyal

kendali u(t ) dimana akan membawa plant dari nonzero state /tidak nol

menuju zero state.

b. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output, y (t ) mendekati nol, (saat

z (t )=0), disebut sistem regulator output.

c. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output atau state mendekati output

atau state yang diinginkan, disebut sistem tracking. Baik sistem regulator

output maupun state, referensi state adalah nol dan pada sistem tracking,

error dibuat nol.

55


1.9 LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)

Cost fungsional:

(3.3)

Misal untuk sistem regulator state, z (t )=0→ e ( t )=0−x (t).

Asumsi dari indeks performansi di atas:

a. Sinyal kontrol u(t ) adalah unconstrained/tidak ada batasan berapapun

nilainya (tetapi untuk sistem fisik kondisi nyata, ada limit sinyal kontrol).

b. Diberikan kondisi awal x ( t0 )=x0. Waktu akhir t f spesifik.

c. Matriks bobot F (t f ) dan Q(t ) adalah matriks semidefinit positif (F (t f ),

Q ( t ) ≥ 0¿, sementara matriks bobot R(t ) adalah matriks definit positif (

R ( t )>0¿.

d. Nilai pecahan 1/2 pada indeks performansi untuk menghilangkan faktor 2

dari bentuk kuadratik.

Solusi: (prosedur Pontryagin)

STEP 1: Hamiltonian

Hamiltonian formula:

(3.4)

dimana λ (t) adalah vektor costate.

56


STEP 2: Kontrol optimal

Mencari sinyal kontrol optimal, u¿ (t).

(3.5)

dimana

Sehingga diperoleh:

(3.6)

STEP 3: Sistem State dan Costate

State:

Costate:

(3.7)

Sistem kanonik (terdiri dari state dan costate)/sistem Hamiltonian:

(3.8)

Dimana E (t )=B ( t ) R−1 (t ) B ' (t).

STEP 4: Kontrol optimal lup tertutup

Sinyal kontrol:

(3.9)

STEP 5: Matriks Persamaan Diferensial Riccati

Bentuk persamaan diferensial Riccati:

(3.10)

Bentuk umum:

(3.11)

57


dimana E ( t )=B ( t ) R−1 (t ) B ' (t)

Gambar 3.1. Sistem State dan Costate

Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem linier varian-waktu:

58


Gambar 3.2. Implementasi Kontrol Optimal Lup Tertutup (simulasi off-line P(t ))

Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem tracking:

59


Gambar 3.3. Implementasi sistem tracking optimal

1.10 Contoh LQR waktu-kontinyu

Contoh 1: LQR untuk sistem tracking

Sistem plant orde-dua:

Sistem dinamik di atas akan dikontrol untuk meminimumkan indeks performansi

berikut:

Diketahui waktu akhir t f adalah 20, state akhir x ( t f ) bebas dan sinyal kendali dan

state-nya tidak ada batasan. Tujuan dari kontrol yaitu untuk menjaga state x1(t)

mendekati nilai 1.

Cari sinyal kontrol umpan baliknya. Gambar grafik dari koefisien Riccati tiap

waktu, komponen vektor g, dan kontrol dan state optimalnya.

Solusi:

60


Tujuan dari pengendalian sesuai indeks performansi yaitu untuk menjaga state

x1(t) mendekati nilai referensi input z1 (t )=1, sementara kondisi state x2 ( t ) tidak

diketahui, kita tentukan z2 ( t )=0.

Sekarang, untuk kasus ini, e (t )=z ( t )−Cx (t ), dimana C=I

e1 (t )=z1 ( t )−x1 (t )

e2 (t )=z2 ( t )−x2 (t )

Matriks yang bersesuaian:

Solusi Riccati:

Dari persamaan di atas diperoleh:

Dengan menyederhanakan persamaan di atas:

Diperoleh solusi matriks Riccati:

Selanjutnya menentukan g(t ), yaitu solusi persamaan diferensial nonhomogen:

61


Dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:

NB: untuk tuning sistem tracking, dapat dilakukan dengan mengubah matriks R

sehingga diperoleh tracking state yang lebih baik.

Gambar 3.4. Koefisien Riccati

62


Gambar 3.5. Koefisien g1 ( t ) dan g2 ( t )

Gambar 3.6. State Optimal (kondisi awal x (0 )=[−0.5 0 ], z (t )= [1 0 ], dan t f=20.

63


Gambar 3.7. Sinyal kontrol optimal

Contoh 2:

Diberikan persamaan dinamik sistem sebagai berikut:

Dan indeks performansi sebagai berikut

Tentukan sinyal kontrol umpan baliknya.

Solusi:

Dari persamaan di atas dapat dibangun matriks:

matriks P(t ) solusi persamaan Riccati adalah berukuran 2x2 matriks simetrik:

64


Sehingga bentuk matriks sinyal kontrol optimal yaitu:

Selanjutnya mencari solusi Riccati, P(t ):

Dengan ruas kiri P ( t )=0, diperoleh:

Sehingga didapatkan solusi Riccati sebagai berikut:

1.11 Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit

Untuk sistem waktu-diskrit, hampir sama dengan waktu-kontinyu, menggunakan

variasi kalkulus untuk sistem waktu-diskrit.

Diberikan sistem kontrol waktu-diskrit linier varian-waktu

(3.12)

Dan indeks performansi sebagai berikut:

(3.13)

65


Misalkan diberikan kondisi awal sebagai berikut:

Langkah 1: Indeks performansi augmented, Ja, (tambahan Lagrange multiplier)

(3.14)

Langkah 2: Lagrangian

(3.15)

Langkah 3: Persamaan Euler-Lagrange (dari variabel x (k ), u(k ), dan λ (k ))

(3.16)

Dimasukkan untuk kondisi akhir sehingga menjadi:

(3.17)

dimana

66


Langkah 4: Hamiltonian

(3.18)

Kondisi ekstremum Hamiltonian:

(3.19)

Bentuk persamaan state, costate, dan sinyal kontrol optimum sebagai berikut:

(3.20)

Langkah 5: Kontrol Optimal Lup-Terbuka

Sinyal kontrol optimal:

(3.21)

Sinyal kontrol tersebut disubstitusi ke dalam persamaan state (langkah 4)

menghasilkan:

(3.22)

dimana

Langkah 6: Sistem state dan costate

Bentuk kanonik sistem (state dan costate):

(3.23)

67


1.11.1 Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbukaDiberikan state akhir:

Prosedur ringkasan sistem kontrol optimal waktu-diskrit (kondisi titik akhir fixed)

68


Gambar 3.8. Sistem State dan Costate Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka

Contoh:

Cari nilai minimum indeks performansi:

Dengan subjek kondisi batas

Untuk sistem skalar dengan persamaan dinamik berikut:

Solusi:

Bangun matriks yang bersesuaian:

Langkah 1: Bangun fungsi Pontryagin H

Langkah 2: Cari nilai minimum dari fungsi H

Langkah 3: Dari hasil sebelumnya, bengun fungsi H optimal

69


Langkah 4: Cari persamaan diferensial state dan costate

Persamaan diferensial state:

Persamaan diferensial costate:

Diperoleh solusi optimal:

Langkah 5: Cari sinyal kontrol optimal

1.12 Permasalahan tracking pada LQR Permasalahan tracking dengan kendali LQR bertujuan untuk membangkitkan

aksi kendali u(t ) yang mengendalikan plant/sistem sehingga vektor keadaan x (t) mengikuti trayektori keadaan r (t )yang diinginkan, sekaligus meminimalkan indeks performansi kuadratik :

J=∫t0

tf

[(r−x)T Q (r−x )+uT Ru ] dt (3.24)

Aljabar Riccati yang digunakan untuk desain kendali LQR dikombinasikan dengan persamaan tracking keadaan waktu reverse sebagai berikut:

s=(A−B R−1 BT P)T s−Qr (3.25)

dimana s adalah vektor tracking dengan batasan s (t f )=0, dan aksi kendali:

uopt=−R−1 BT Px−R−1 BT s (3.26)

Jika v=−R−1 BT s dan K=R−1 BT P maka uopt=v−Kx dan sistem tracking

optimal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.9.

Adapun untuk permasalahan tracking waktu diskrit pada kendali LQR, indeks

performansinya sebagai berikut:

J=∑k=0

N−1

[ (r (kT )−x (kT ))T Q ( r (kT )−x (kT ))+uT (kT ) Ru (kT )]T (3.27)

70


Gambar 3.9. Sistem tracking optimal

Minimasi indeks performansi tersebut menghasilkan persamaan Riccati rekursif

K (N− (kT+1 ) )=[TR+BT (T ) P ( N−kT ) B (T ) ]−1BT (T ) P ( N−kT ) A(T ) dan

P (N−( kT+1 ))=[TQ+KT (N−(kT +1))TRK (N−(kT+1))]+ [ A (T )−B (T ) K (N−(kT +1))]T P(N−kT ) [ A (T )−B (T ) K (N−(kT +1))] ,

yang dijalankan secara reverse time bersamaan dengan persamaan tracking

keadaan time-reverse pada sistem diskrit

s (N− (kT+1 ) )=F (T ) s ( N−kT )+G (T ) r (N−kT ) (3.28)

Vektor commmand v dan kendali optimal saat kT jika dioperasikan secara maju

(forward time), adalah

v (N−kT )=R−1 BT s (N−kT ) (3.29)

uopt (kT )=v (kT )−K (kT ) x (kT ) dan nilai dari x (kT ) (3.30)

x (kT+1 )=A (T ) x (kT )+B(T )uopt (kT ) (3.31)

Contoh :

Suatu sistem kendali LQR pada permasalahan tracking, mengacu pada gambar 3.9

diatas, sebagai berikut

[ x1

x2]=[ 0 1

−1 −1][ x1

x2]+[01]u

71


y=[1 00 1][ x1

x2]

Indeks perfomansi diskritnya,

J=∑k=0

200 [ (r 1 (kT )−x1 (kT ) ) (r2 (kT )−x2 ( kT ) ) [10 00 1] [r1 ( kT )−x1(kT )

r2 ( kT )−x2(kT )]+u (kT )2]T

Sistem diinginkan mengikut vektor keadaan:

[r1(kT )r2(kT )]=[ sin (0.6284 kT )

0.6 cos(0.6284 kT )] selama periode 0-20 detik dengan waktu cuplik

T=0.1 detik

Solusi:

Pada perhitungan waktu mundur (reverse-time), dengan P ( N )=0dan NT=20,

kalkulasi K (kT ) dan P(kT ) menggunakan Riccati rekursi. Juga hitung v (kT )

menggunakan r (kT ) dengan kondisi s ( N )=0

Pada perhitungan waktu maju (forward-time), kalkulasi uopt dan trayektori

keadaan x (kT+1 )T menggunakan v (kT ) dan x (kT )

72


73


BAB 4 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)

1.13 Review: Proses RandomDiberikan variabel X akan dipetakan dalam selang ruang sampel dan merupakan

bilangan riil. Proses acak (proses stokastik) merupakan pemetaan dari ruang

sampel ke fungsi waktu yang bersesuaian (fungsi sampel). Untuk setiap anggota

dari ruang sampel, ada nilai dari fungsi waktu sampel yang bersesuaian.

Gambar 4.1. Pemetaan ruang sampel ke fungsi waktu sampel X ( t)Misalkan f (x ,t) adalah fungsi kerapatan probabitas untuk proses random X ( t).

Jika fungsi kerapatan probabitas tersebut bebas waktu, f ( x , t )=f (x ), maka proses

random yang bersesuaian dikatakan stasioner.

Mean (atau harapan rata-rata):

(4.1)

Varian

(4.2)Kovarian

(4.3)

Momen

(4.4)Jika v dan w merupakan dua proses random yang saling bebas/independen maka:

74


(4.5)

f (v , w) adalah gabungan fungsi kerapatan probabilitas v dan w.

Fungsi Autokorelasi

Digunakan untuk mendeskripsikan domain waktu pada proses random.

(4.6)

Jika v adalah proses stasioner, maka:

(4.7)

Untuk R x (0 ) merupakan waktu rata-rata energi/daya pada proses random.

Spektrum Daya

Merupakan deret Transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi, dalam domain

frekuensi, untuk proses random.

(4.8)

White Noise (merupakan proses random dengan spektrum daya konstan, dan

memiliki fungsi autokorelasi R x ( τ )=qδ (τ ), dimana implikasi white noise

mempunyai daya tak hingga dan tidak ada (exist) di kondisi riil. Namun white

noise dapat dimodelkan sebagai output dari sistem linier dengan injeksi white

noise pada masukannya, menghasilkan color noise.

Proses Gaussian

Normalisasi fungsi v dalam gaussian dengan fungsi kerapatan probabilitas:

(4.9)

1.14 Model LQE/kalman FilterUntuk sistem linier invarian-waktu (LTI) sebagai berikut:

(4.10)

Dengan asumsi:

75


1) (A , C) adalah matriks observable/keteramatan.

2) v (t) dan w (t) adalah white noise bebas dengan bentuk fungsi

3) (A , Q12) adalah matriks stabilizable (untuk menjamin kestabilan lup-

tertutup)

Tujuan pengendalian dengan Filter Kalman yaitu mendesain estimator dari state

x (t) sehingga estimasi error kovarian-nya akan minimum.

Indeks performansi estimator dimodelkan sebagai berikut:

(4.11)

Rekonstruksi/perancangan Filter Kalman untuk kondisi tunak/steady-state

Diberikan persamaan dinamik estimator, dengan penguatan (gain)

observer/Penguatan Filter Kalman, K e:

(4.12)

Solusi penguatan Filter Kalman optimal yaitu:

(4.13)

dimana Pe adalah solusi dari persamaan Riccati berikut:

(4.14)

Misalkan error state dan estimator , e=x− x, untuk keadaan tunak berlaku:

(4.15)

1.15 Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)Diberikan masalah kontrol optimal dengan LQR sebagai berikut:

(4.16)

Masalah kontrol LQR yaitu mencari sinyal kontrol umpan balik optimal:

u¿=Fx (4.17)

Sehingga indeks performasi J minimum.

76


Solusi LQR untuk sistem di atas yaitu:

(4.18)

Dan nilai cost optimal J¿=x0T P x0.

(Kasus khusus) jika x0 adalah vektor random dimana

(4.19)

sehingga diperoleh

(4.20)

Berlaku dualitas Filter Kalman vs LQR

Kedua masalah kontrol di atas ekivalen (dual) jika:

77


BAB 5 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian)

1.16 PendahuluanMasalah desain kontrol dalam dunia riil seringkali kita tidak dapat mengukur

seluruh variabel state dari plant yang diberikan. Maka dari itu, LQR, meskipun

mempunyain margin penguatan dan margin fasa yang sangat bagus (GM=∞ dan

PM=60 °), namun sulit direalisasikan karena menggunakan semua variabel state

sebagai umpan balik, u=−Fx. Untuk situasi praktis, hanya informasi parsial dari

state pada plant yang diberikan dapat diakses/diukur untuk umpan balik. Muncul

pertanyaan:

“Dapatkah kita mengestimasi variabel state dari plant melalui informasi

pengukuran parsial?” Jawaban: ya, dengan Filter Kalman. Lalu selanjutnya

“Apakah kita dapat mengganti state pada sinyal kontrol optimal, u=−Fx, diganti

dengan state estimasi untuk membangun/mendesain sistem kontrol yang

optimal?” Jawaban: ya, dengan LQG.

“Apakah masih ada metode impresif lainnya terkait dengan LQG? Jawaban: tidak.

Solusi pendekatan lain yaitu dengan loop transfer recovery (LTR), tidak tercakup

di dalam bab ini.

1.17 Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)Diberikan karakteristik plant;

(5.1)

Dimana mean/rata-rata dari v (t) dan w (t) adalah nol (white signal), dan

diasumsikan v (t), w (t), dan x (0 ) saling bebas/independen, sehingga berlaku

Indeks performansi dimodelkan sebagai berikut;

(5.2)

Tujuan pengendalian LQG yaitu untuk mendesain sinyal kontrol dengan hanya

berasal dari informasi yang dapat diukur sehingga ketika dimasukkan ke plant

78


sebagai input, sistem keseluruhan akan stabil dan indeks performansi akan

minimum.

Solusi Masalah LQG (dengan Prinsip Separasi/Pemisahan):

Langkah 1: Desain sinyal kontrol LQR, u=−Fx

Diberikan sistem sebagai berikut;

(5.4)

Lakukan komputasi/perhitungan untuk mencari solusi persamaan Riccati;

(5.5)

Langkah 2: Desain Filter Kalman sesuai dengan plant yang diberikan

(5.6)

Dimana

(5.7)

Langkah 3: Cari sinyal kontrol LQG, u=−F x

(5.8)

Representasi dalam diagram blok:

Gambar 5.1. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG

79


Gambar 5.2. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG (detil)

1.18 Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQGDiberikan persamaan dinamik plant:

(5.9)

Persamaan dinamik kontroler/pengendali:

(5.10)

Misal didefinisikan variabel baru, error state dan estimator, e=x− x sehingga:

(5.11)

Dan persamaan plant dengan tambahan variabel e:

(5.12)

Persamaan sistem lup-tertutup yang baru menjadi:

(5.13)

Akar-akar persamaan karakteristik lup tertutup diberikan dari nilai eigen:

(5.14)

dimana menentukan kestabilan sistem.

80


BAB 6 Kontrol Robust

1.19 PengenalanMasalah kontrol secara umum:

Tujuan Pengendalian yaitu untuk menghasilkan respon keluaran sistem sesuai

dengan referensi yang diinginkan.

Representasi dari dinamika plant tak tentu (uncertain)

Keterangan:

Nominal plant adalah sistem linier invarian waktu dalam domain frekuensi.

Perturbasi adalah set/kumpulan dari anggota gangguan-gangguan yang

mungkin.

Tujuan analisis:

Performansi nominal (Kontrol optimal dengan H 2): apakah respons lup-

tertutup dapat diterima/sesuai dengan desain kontrol untuk kondisi

melibatkan disturbance, sensor noise, dan command?

Kestabilan Robust (Kontrol optimal dengan H∞): apakah sistem lup-tertutup

stabil untuk plant nominal? Dan juga untuk semua perturbasi pada sistem?

81


Performansi Robust (Kombinasi kontrol optimal H 2/H∞): apakah respons

lup tertutup dapat diterima untuk semua perturbasi yang mungkin dan

semua input eksternal? Secara simultan (berbarengan)?

Gambar 6.1. Desain masalah kontrol robust secara umum

Representasi diagam blok kontrol klasik dengan umpan balik dalam struktur

interkoneksi umum dalam blok kontrol robust:

Gambar 6.2. Blok diagram kontrol klasik

Gambar 6.3. Desain masalah kontrol robust (keluaran yaitu sinyal galat dan masukan sistem adalah sinyal referensi input)

82


1.20 Kontrol Optimal H 2 dan H∞

Masalah kontrol untuk sistem linier invarian-waktu, Σ, dengan pengendali, Σc

(asumsi sistem stabilizable dan detectable):

Gambar 6.4. Diagram umum masalah kontrol robust

Sistem dinamik plant:

(6.1)

Sistem dinamik pengendali/kontroler:

(6.2)

Keterangan:

Masalah kontrol optimal H 2 dan H∞ adalah untuk mendesain sinyal kontrol yang

tepat/proper Σc sehingga ketika dimasukkan ke plant (dengan gangguan), Σ

diperoleh:

Sistem lup-tertutup stabil secara internal (kondisi perlu/necesarry untuk

sembarang desain sistem kontrol)

Fungsi alih lup-tertutup, dari gangguan w terhadap controlled output z, T zw,

dapat sekecil mungkin, dengan kata lain pengaruh ganggunan terhadap

keluaran yang dikontrol akan minimum.

- Kontrol optimal H 2: H 2−norm dari T zw (s ) minimum.

- Kontrol optimal H 2: H∞−norm dari T zw (s ) minimum.

83


NB: fungsi alih memiliki frekuensi berkisar dari 0 sampai ∞. Cukup sulit

mengatakan pengaruh tersebut besar/kecil. Metode praktis adalah dengan

mengukur nilai norm-nya, yaitu H 2−norm dan H∞−norm.

Pertimbangkan suatu ruang keadaan sistem

Σ :{ x=Ax+Bu+Ewy=C1 x+0u+D1 wz=C2 x+D2 u+0 w

(6.3)

dan kendali

Σc :{v=Ac v+Bc yu=Cc v+Dc y

(6.4)

Maka dapat kita tuliskan

v=Ac v+Bc (C1 x+D1 w )=Ac v+Bc C1 x+Bc D1 w (6.5)

selanjutnya

x=Ax+B(C c v+Dc y)+Ew

y=C1 x+0 u+D 1w

z=C2 x+D2(C c v+Dc y ) (6.6)

dan

x=Ax+B C c v+B Dc (C1 x+D1 w)+Ew

z=C2 x+D2 Cc v+D2 Dc (C1 x+D 1w) (6.7)

lebih lanjut

x=Ax+B C c v+B Dc y+Ew

z=C2 x+D2 Cc v+D2 Dc y (6.8)

dan

x=(A+B D c C1) x+B C c v+(E+B Dc D1)w

z=(C¿¿2+D2 Dc C1) x+D2C c v+D2 D c D1 w ¿ (6.9)

Sehingga

(6.10)

Kemudian, fungsi alih closed loop w-z dituliskan:

84


T zw (s )=C cl(sI−Acl)−1 Bcl+¿Dcl¿ (6.11)

Sistem closed loop akan stabil secara internal jika dan hanya jika nilai eigen dari

Acl=[A+B Dc C1 B C c

Bc C1 Ac] (6.12)

Terletak di sebelah kiri bidang kompleks

Catatan Penting 1:

Pada kasus umpan balik keadaan (state feedback), C1=I dan D=0, yakni semua

semua state system terukur, Σc dapat direduksi menjadi u=Fx dan fungsi alih

closed loop dapat direduksi:

T zw (s )=(C2+D2 F )(sI−A−BF)−1 E (6.13)

dan A+BF memiliki nilai eigen yang stabil

Norm-H2 suatu fungsi alih

Definisi: Untuk fungsi alih T zw yang stabil dan sesuai, maka norm H2-nya

didefinisikan:

(6.14)

Secara grafis

Gambar 6.5. Ilustrasi grafik luasan H 2−norm

Norm H2 merupakan energi keseluruhan berkaitan dengan tanggapan impuls dari

T zw (s ), sehingga meminimalkan norm H2 suatu fungsi alih T zw (s ) berarti

meminimalkan energi dari gangguan w menuju output terkendali z.

Norm-H∞ suatu fungsi alih

Definisi: Untuk fungsi alih T zw (s ) yang stabil dan sesuai, maka norm H∞-nya

didefinisikan:

85


‖T zw‖∞=σ max (6.15)

Secara grafis

Gambar 6.6. Ilustrasi grafik luasan H∞−norm

Norm H∞ merupakan penguatan untuk kondisi terburuk dalam T zw (s ), sehingga

meminimalkan norm H∞ suatu fungsi alih T zw (s ) berarti meminimalkan situasi

(penguatan) terburuk, dari gangguan w menuju output terkendali z.

Infima dan Kendali Optimal

Infimum norm-H2 suatu matriks alih closed loop T zw (s ) yang secara

keseluruhan menstabilkan kendali yang tepat, dituliskan:

(6.16)

Kendali Σc dikatakan sebagai kendali optimal H2 jika secara internal menstabilkan

Σ dan ‖T zw‖2=γ 2¿

Infimum norm-H∞ suatu matriks alih closed loop T zw (s ) yang secara

keseluruhan menstabilkan kendali yang tepat, dituliskan:

(6.17)

Kendali Σc dikatakan sebagai kendali sub optimal-γ H∞ jika secara internal

menstabilkan Σ dan ‖T zw‖∞<γ (¿ γ ∞¿ ).

Asumsi kritis: kasus regular dan kasus singular

Kebanyakan hasil kendali H2 dan H∞ merupakan permasalahan regular karena

sederhana. Dikatakan regular jika memiliki kriteria sebagai berikut:

1. D2 merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank penuh

2. Sub system (A,B,C2,D2) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner

3. D1 merupakan rank baris maksimal, matrik yang lebar dan rank penuh

86


4. Sub system (A,E,C1,D1) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner

Dikatakan singular jika tidak memenuhi kriteria diatas, atau paling tidak satu

kondisi diatas dipenuhi

Contoh 1: Problem umpan balik keadaan (state feedback)

Pada kasus ini, semua state system diketahui

(A,B) dapat distabilkan, D2 merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi

dan rank penuh

Aksi kendali statis

u=Fx

Selesaikan aljabar riccati

AT P+PA+C2T C2−(PB+C2

T D2 ) (D2T D2 )

−1 ( D2T C2+BT P )=0

Untuk P ≥ 0, matrik semi definit positif

Maka

u=Fx=−( D2T D2 )

−1 (D2T C2+BT P ) x

‖T zw‖2=γ 2¿

Dan dapat juga dituliskan

γ 2¿=[ trace (ET PE)]

12

Jika sistem

Maka aljabar riccati dan kendali nya:

87


P=[144 4040 16], F=[−41 −17 ]

Tanggapan magnitude closed loop output terkendali terhadap disturbance,

digambarkan:

10-2

10-1

100

101

102

103

104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frekuensi (rad/s)

Mag

nitu

do

Tzw

Kinerja optimal atau nilai infinum:

γ 2¿=19.1833

Syntax MATLAB:

Diperoleh hasil:

88


s = tf('s'); % variabel s, LaplaceA = [5 2;3 4]; % matriks AB = [0;1]; % matriks BE = [1;2]; % matriks EC1 = 1; % matriks C1C2 = [1 1]; % matriks C2D2 = 1; % matriks D2Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmentedBb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmentedCb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmentedP = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricattiF = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedbackgamma2star = sqrt(trace(E'*P*E))% nilai H2 infimumTzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih closed-loop w ke zx = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafikxlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')

1.21 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust Masalah utama dari kendali Robust dibagi menjadi tiga pokok bahasan:

pemodelan ketidakpastian (uncertainty), yaitu membangun model matematis dari

ketidakpastian dari plant dan sinyal gangguan (disturbance). Selanjutnya kedua

adalah analisis robust, jika diberikan sistem lup terbuka dan tertutup, lalu

menentukan kestabilan robust dan atau performansi robust. Ketiga adalah masalah

desain kontroler robust, yaitu merancang kontroler yang menjamin kestabilan

robust dan atau performansi robust.

1.21.1 Ketidakpastian (uncertainty)Di kuliah ini hanya dibahas tentang ketidakpastian tak terstruktur

(unstructured uncertainty). Gangguan dinamik yang terjadi pada sistem berbeda

dapat dibangun menjadi satu blok gangguan, ∆. Untuk kasus sistem linier invarian

waktu, blok Δ dapat direpresentasikan ke dalam matriks fungsi alih tak tentu.

Diberikan sistem aktual (sistem dengan gangguan), G p(s) dan model nominal dari

sistem fisik, Go(s).

1. Gangguan dalam bentuk penambahan

Gambar 6.7. Konfigurasi gangguan dalam bentuk penambahan (additive).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk penambahan dapat dimodelkan sebagai

berikut:

89


P = 144.0000 40.0000 40.0000 16.0000

F = -41.0000 -17.0000

gamma2star = 19.1833

G p (s )=Go ( s)+Δ (s ) (6.18)

2. Gangguan dalam bentuk perkalian input

Gambar 6.8. Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input multiplicative).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian input dapat dimodelkan sebagai

berikut:

G p (s )=Go ( s) [ I+Δ (s ) ] (6.19)

3. Gangguan dalam bentuk perkalian output

Gambar 6.9. Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input multiplicative).

Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian output dapat dimodelkan

sebagai berikut:

G p (s )=Go ( s) [ I+Δ (s ) ] (6.20)

Contoh 1: Ketidakpastian waktu konstan

Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:

G (s )= 1Ts+1

, T min ≤T ≤ T max

Plot grafik sistem dengan perturbasi dari G (s ).

Syntax MATLAB:

90


clear all;T = ureal('T',1,'percentage',10);sys = tf(1,[T,1]);step(sys)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Contoh 2: Ketidakpastian frekuensi alami


G (s )= ω2

s2+2ξωs+ω2 ,ωmin≤ ω≤ ωmax


Syntax MATLAB:

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Contoh 3: Ketidakpastian model ruang keadaan (state-space)


91


clear all;w = ureal('w',1,'range',[0.9,1.1]);sys = tf(w^2,[1 2*0.5*w w^2]);bode(sys)

{x (t )=[ 0 1−km

−bm ] x (t )+[01]u (t )

y (t )=[ 1m

0] x ( t )

,

m∈ [mmin , mmax ]b∈ [bmin , bmax ]k∈ [kmin , k max ]


Syntax MATLAB:

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

1.21.2 Kestabilan RobustDiberikan plant tak tentu dengan gangguan tak terstruktur seperti gambar berikut:

92


clear all;m = ureal('m',1,'perc',10);b = ureal('b',1,'perc',5);k = ureal('k',1,'perc',20);A = [0 1;-k/m -b/m];B = [0;1];C = [1/m 0];D = 0;sys = ss(A,B,C,D);bode(usample(sys,30))

Gambar 6.10. Transformasi bentuk umum sistem kendali robust ke dalam bentuk interkoneksi T zw dan blok uncertainty, ∆.

Small gain theory:

Jika Δ stabil dan ‖Δ‖∞∙‖M‖∞<1, maka sistem yang terhubung akan stabil.

Diasumsikan ‖T zw‖∞<γ . Sistem dengan ketidakpastian tak struktur jika

‖T zw‖∞∙‖Δ‖∞<γ ∙‖Δ‖∞<1⇒‖Δ‖∞<1γ

Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk penambahan:

dimana:

Σm dengan fungsi alih Gm (s )=Cm (sI−Am )−1 Bm+Dm

Σe adalah gangguan tak tentu

Σm dan Σm+Σe memiliki jumlah pole tak stabil yang sama

Diberikan γ a>0, masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk penambahan

pada plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut

diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang

93


stabil untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan L∞−norm≤ γ a. (Definisi

L∞−norm sama dengan H∞−norm terkecuali untuk L∞−norm, sistem tidak harus

selalu stabil). Masalah tersebut ekivalen dengan mencari H∞ aksi kontrol

suboptimal (dengan γ=1 /γa) untuk sistem:

Σadditive :{x=Am x+Bm u+0 wy=Cm x+Dm u+ Iw

z=0 x+ Iu(6.21)

Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk perkalian input:

dimana:

Σm dengan fungsi alih Gm (s )=Cm (sI−Am )−1 Bm+Dm

Σe adalah gangguan tak tentu

Σm dan Σm × Σe memiliki jumlah pole tak stabil yang sama

Diberikan γ m>0, masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk perkalian pada

plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut

diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang

stabil untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan L∞−norm≤ γ m. Masalah

tersebut ekivalen dengan mencari H∞ aksi kontrol suboptimal (dengan γ=1 /γm)

untuk sistem berikut:

Σmultiplicative : { x=Am x+Bmu+Bm wy=Cm x+Dm u+Dm w

z=0 x+ Iu(6.22)

1.21.3 Linear Transformation Fractional (LFT)

(a) (b)

94


Gambar 6.11. (a) Diagram blok lower LFT (b) Diagram blok upper LFT

Lower LFT

Persamaan ruang keadaan sistem lower LFT:

[ yz ]=[M 11 M 12

M21 M 22][ u

w ]w=∆ z

(6.23)

Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:

y=F l ( M , Δ )u (6.24)

dimana F l ( M , Δ) adalah fungsi alih u ke y untuk lower LFT, diperoleh:

F l ( M , Δ)=M11+M 12 Δ ( I−M 22 Δ)−1 M 21 (6.25)

Upper LFT

Persamaan ruang keadaan sistem upper LFT:

[ zy ]=[M 11 M 12

M21 M 22][wu ]

w=∆ z

(6.26)

Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:

y=Fu ( M , Δ )u (6.27)

dimana Fu ( M , Δ) adalah fungsi alih u ke y upper LFT, diperoleh:

Fu ( M , Δ)=M 22+M 21 Δ ( I−M 11 Δ)−1 M 12 (6.28)

95


BAB 7 Studi Kasus

7.1 Sistem Mass-Damper-SpringSuatu sistem massa-peredam-pegas yang memiliki 1 derajat kebebasan (1DOF / 1

Degree-of-Freedom) digambarkan sebagai berikut.

Gambar 7.1 Sistem Massa-Peredam-Pegas

Persamaan dinamik sistem ini didefinisikan sebagai persamaan turunan orde 2

berdasarkan hukum kedua Newton.

m x+c x+kx=u

Keterangan: x = jarak perpindahan posisi massa terhadap posisi ekuilibrium

u = besar gaya yang menggerakkan massa

m = massa

c = konstanta peredam

k = konstanta pegas

Gambar 7.2 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas

Asumsi nilai dari parameter fisik sistem adalah sebagai berikut.

m=m (1+ pm δm ) ; c=c (1+ pc δ c) ; k=k (1+ pk δ k )

Dimana m=3, c=1, k=2 disebut sebagai nilai nominal, sedangkan pm=0.4,

pc=0.2, pk=0.3, −1 ≤ δm , δ c , δ k ≤ 1 disebut gangguan relatif yang mungkin dari

ketiga parameter.

96


Linear Fractional Transformation (LFT) dari parameter di atas didefinisikan

sebagai berikut.

1m= 1

m (1+pm δm )= 1

m−

pm

mδ m (1+ pm δm )−1=FU (M mi , δm )

M mi=[−pm1m

−pm1m]

c=c (1+ pc δ c)=FU (M c , δc )

M c=[ 0 cpc c ]

k=k (1+ pk δ k )=FU (M k , δ k )

M k=[ 0 kpk k ]

Gambar 7.3 Diagram Representasi LFT dari Parameter Ketidakpastian

Gambar 7.4 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas dengan Parameter

Ketidakpastian

Dengan substitusi seperti di atas, bentuk persamaan dari semua input terhadap

output sesuai dengan parameter pertubansinya menjadi sebagai berikut.

97


[ ym

x ]=[−pm1m

−pm1m] [ um

u−vc−vk ]

[ yc

vc]=[ 0 c

pc c ][uc

x ][ yk

vk]=[ 0 k

pk k ][uk

x ]um=δm ym

uc=δc yc

uk=δ k yk

Asumsi :

x1=x , x2= x= x1 , y=x1 , x2= x= x1

Sehingga didapat persamaan-persamaan sistem sebagai berikut.

x1=x2

x2=−pm um+1m

(u−vc−vk )

ym=−pmum+1m

(u−vc−v k)

yc=c x2

yk=k x1

vc=pc uc+c x2

vk=pk uk+k x1

Dengan mengeliminasi variabel vc dan vk, persamaan sistem dinamiknya menjadi

sebagai berikut.

98


Asumsikan Gmds adalah dinamika input/output dari sistem massa-peredam-pegas

yang meliputi parameter ketidakpastian seperti digambarkan pada gambar 7.5.

Gmds memiliki 4 buah input (um, uc, uk, u), 4 buah output ( ym, yc, yk, y) dan 2 buah

state (x1, x2).

Gambar 7.5 Blok Diagram Input/Output Sistem Massa-Peredam-Pegas

Representasi Gmds dalam bentuk state space

Gmds=[ A B1 B2

C1 D 11 D12

C2 D21 D22]

dengan

A=[ 0 1−km

−cm ] , B1=[ 0 0 0

−pm

−pc

m

−pk

m ] , B2=[ 01m ]

C1=[−km

−cm

0 ck 0

] , D11=[−pm

−pc

m

−pk

m0 0 00 0 0

] , D12=[ 1m00]

C2=[1 0 ] , D21=[0 0 0 ] , D22=0

Berdasarkan penurunan di atas, Gmds bergantung pada m, c, k , pm,pc, pk dan

persamaan differensial dari y terhadap u. Sehingga Gmds adalah fungsi yang sudah

diketahui dan tidak mengandung parameter ketidakpastian.

Syntax MATLAB:

99


100


clear all; %parameter sistemm = 3; c = 1; k = 2;pm = 0.4; pc = 0.2; pk = 0.3; %matriks sistemA = [0 1; -k/m -c/m];B1 = [0 0 0; -pm -pc/m -pk/m];B2 = [0; 1/m];C1 = [-k/m -c/m; 0 c; k 0];C2 = [1 0];D11 = [-pm -pc/m -pk/m; 0 0 0; 0 0 0];D12 = [1/m; 0; 0];D21 = [0 0 0];D22 = 0; G = ss(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);Gp = pck(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);

Documents

Diktat Konjut14112014