Upload
singgih-prabowo-almanda
View
29
Download
0
Tags:
Embed Size (px)
DESCRIPTION
-
Citation preview
Diktat Kuliah
EKG4B3
Kontrol Lanjut
Program Studi Teknik Elektro
disusun oleh:
Erwin Susanto, Ph.D
Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T.
Cahyantari Ekaputri, M.T.
FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO
UNIVERSITAS TELKOM
2014
1
A. KERANGKA DIKTAT KULIAH
1. Review Sistem Kontrol: Introduction to control system, sistem kontrol
open-loop dan closed-loop (umpan balik), kontrol analog dan diskrit,
kontrol konvensional dan modern.
2. Kendali optimal dasar: bagaimana prinsip desain kendali optimal,
mendeskripsikan sistem yang akan dikendalikan, batasan yang mungkin
ada, proses kendali yang akan dikerjakan dan kriteria optimal yang
diinginkan, Permasalahan optimasi nonlinier unconstrained dan
constrained. Beberapa tools yang dipakai untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi: pemrograman dinamik, variasi kalkulus dan solusi
numeric dengan MATLAB.
3. Kendali optimal LQR kontinyu dan diskrit (dengan state feedback) :
kriteria performansi, persamaan Riccati, kestabilan berdasarkan eigenvalue
4. Kendali optimal LQE (dengan observer, estimator) : kriteria performansi,
persamaan Riccati
5. Kendali LQG: estimator dan regulator optimal, robustness
6. Kendali Robust: H2, H~, dan gabungan H2/H~
B. REFERENSI
1) Optimal Control : Linear Quadratic Methods, Brian D.O. Anderson, Prentice-Hall, 1991
2) Robust Control Design with MATLAB, D.-W.Gu, Springer, 2005
3) Design Methods for Control Systems, Dutch Institute of Systems and Control, 2008
4) Advance Control Engineering, Roland S Burn, Butterworth Heinemann5) Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996.6) Open Course Ware-MIT. Optimal Control of Dynamics System.
1
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
C. HALAMAN DAFTAR ISI
DAFTAR ISIA. KERANGKA DIKTAT KULIAH..............................................................................1
B. REFERENSI..............................................................................................................1
C. HALAMAN DAFTAR ISI.........................................................................................2
BAB 1 Review Sistem Kontrol.............................................................................................4
1.1 Pengenalan Sistem Kontrol................................................................................4
1.2 Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup...................................................7
1.3 Kontrol Analog dan Diskrit................................................................................16
1.4 Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern......................................................20
BAB 2 Kontrol Optimal Dasar...........................................................................................32
2.1 Pengenalan.......................................................................................................32
2.2 Formulasi Masalah Kontrol Optimal.................................................................37
2.3 Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal...............................................................43
2.3.1 Fungsi dan Fungsional..................................................................................44
BAB 3 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)................................................52
3.1 Formulasi Masalah...........................................................................................52
3.2 LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)............................................................53
3.3 Contoh LQR waktu-kontinyu............................................................................57
3.4 Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit.............................................................62
3.4.1 Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka............................65
3.5 Permasalahan tracking pada LQR.....................................................................67
BAB 4 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)................................................71
4.1 Review: Proses Random...................................................................................71
4.2 Model LQE/kalman Filter..................................................................................72
4.3 Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)..........................73
BAB 5 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian).................................................75
5.1 Pendahuluan....................................................................................................75
5.2 Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)..........................................................75
5.3 Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG.........................77
BAB 6 Kontrol Robust.......................................................................................................78
6.1 Pengenalan.......................................................................................................78
2
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
6.2 Kontrol Optimal H 2 dan H ∞.........................................................................80
6.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust.....................................................86
6.3.1 Ketidakpastian (uncertainty)........................................................................86
6.3.2 Kestabilan Robust.........................................................................................89
6.3.3 Linear Transformation Fractional (LFT).........................................................91
3
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 1 Review Sistem Kontrol
1.1 Pengenalan Sistem KontrolSEJARAH SISTEM KONTROL
4
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
5
1769
Mesin uap James Watt dan alat pengontrol yang dikembangkan. Mesin uap Watt dalam sejarahnya menandakan awal dari Revolusi industri di Inggris. Selama Revolusi Industri, lompatan besar dibuat dalam perkembangan mekanisasi, merupakan awal teknologi otomasi.
1800
Konsep Eli Whitney tentang manufaktur per bagian yang dapat saling ditukar, yang diperlihatkan pada produksi senapan. Perkembangan ini sering disebut sebagai awal dari produksi massal.
1868 J. C. Maxwell memformulasikan model matematis untuk kontrol pengatur mesin uap.
1913 Mesin perakitan mekanik Henry Ford diperkenalkan untuk produksi otomobil.
1927 H. W. Bode menganalisis penguatan umpan balik.
1932 H. Nyquist mengembangkan metode untuk menganalisis kestabilan sistem.
1952 Kontrol Numerik dikembangkan di MIT untuk kontrol sumbu alat-mesin.
1954George Devol mengembangkan "programmed article transfer", dianggap sebagai desain robot industri yang pertama.
1960
Robot Unimate pertama diperkenalkan, berbasis desain Devol. Unimate mulai dirakit pada tahun 1961 untuk mesin tending-die casting (pencetakan hasil peleburan metal)
1970 Mulai dikembangkan model variabel keadaan dan kendali optimal
1980 Sistem kendali kokoh/robust mulai dipelajari secara luas
1990 Perusahaan manufaktur berorientasi-eskpor menggunakan otomasi.
1994Kontrol umpan balik secara luas digunakan pada otomobil. Karena keterandalannya, sistem robust banyak dipakai di manufaktur.
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.1. Ilustrasi Pengatur Mesin Uap “Watt Flyball”
(a) (b)
Gambar 1.2. (a) Lift pada awal mula dikontrol dengan tali dan operator tangan. Di sana diperlihatkan inovasi safety brake (rem keamanan) saat tali dipotong. (b) Lift modern duo di Grande Arche Paris, digerakkan oleh satu motor, dengan tiap lift saling menyeimbangkan satu sama lain. Sekarang, lift sudah otomatis penuh, menggunakan sistem kontrol untuk mengatur posisi dan kecepatan.
6
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.3. Ruang perakitan programmable robot yang dapat merakit 17 bagian dari alternator otomobil (alternator = generator listrik
yang mengubah energi mekanik menjadi energi listrik dalam bentuk arus bolak-balik/AC) dalam waktu 2 menit 42 detik.
BEBERAPA ISTILAH PENTING DALAM SISTEM KONTROL
o Sistem : kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-sama dan
membentuk suatu tujuan tertentu.o Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu
perkembangan yang dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.
o Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang
terdiri dari beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan pada suatu hasil atau akhir.
o Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.
o Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-
sama untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan: reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)
o Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai
output suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.
7
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
o Kendali umpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan
cenderung akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.
Gambar 1.4. Sistem Kontrol Sederhana
1.2 Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup 1. Sistem Kontrol Lup Terbuka
Sistem kontrol lup terbuka menggunakan actuating device (alat penggerak/
aktuator) untuk mengontrol proses secara langsung tanpa menggunakan feedback/
umpan balik.
Gambar 1.5. Sistem Kontrol Lup Terbuka
2. Sistem Kontrol Lup Tertutup
Sistem kontrol lup tertutup menggunakan pengukuran dari sinyal keluaran dan mengumpan-balikkan sinyal tersebut untuk dikomparasi/dibandingkan dengan masukan yang diinginkan/masukan referensi/masukan perintah.
Gambar 1.6. Sistem Kontrol Lup Tertutup
8
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.7. Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Umpan Balik Negatif
Gambar 1.8. Sistem Kontrol Lup Terbuka dengan Gangguan
Gambar 1.9. Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Gangguan
Gambar 1.10. Sistem Kontrol Multivariabel (Multi-Input Multi-Output/ MIMO)
9
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
CONTOH SISTEM LUP TERBUKA DAN LUP TERTUTUP
(a)
(b)
Gambar 1.11. (a) Sistem lup terbuka pengaturan kecepatan meja putar. (b) Model blok diagram
(a)
(b)
10
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(c)
Gambar 1.12. (a) Grafik kadar gula darah dan insulin setelah waktu makan. (b) Sistem lup terbuka. (c) Sistem lup tertutup
(a)
(b)
Gambar 1.13. (a) Pengemudi menggunakan selisih antara arah aktual dan arah mobil yang diinginkan untuk untuk menghasilkan pengaturan setir. (b) Model diagram blok sistem kendali setir otomobil.
11
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(a)
(b)
(c)
Gambar 1.14. (a) Sistem kendali posisi azimuth antena. (b) Skematik. (c) Diagram blok fungsional
12
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.15. Sistem kontrol koordinat pada boiler-generator
Gambar 1.16. Sistem kontrol temperatur pada ruang penumpang (mobil)
13
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.17. Sistem kontrol posisi sumbu-tiga pada keping semikonduktor dengan kamera sangat sensitif
Gambar 1.18. Sistem kontrol lengan robot dengan proses rekognisi-pola
Gambar 1.19. Sistem kontrol dengan umpan balik pada model ekonomi
14
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
TAHAP PERANCANGAN/DESAIN SISTEM KONTROL
PROYEKSI ARAH EVOLUSI SISTEM KONTROL
15
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
SISTEM DASAR ELEKTRIK
Contoh:
Pada plant/rangkaian, dari hukum tegangan Kirchhoff:
−v i+Ri+vo=0 (1.1)
Untuk komponen kapasitor:
i=Cd vo
dt=C v0 (1.2)
Model dinamik rangkaian menjadi:
RC v 0+v0=v i (1.3)
16
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1.3 Kontrol Analog dan Diskrit
Gambar 1.20. Sistem kontrol dengan mikroprosesor
Sampling ideal
f ¿ ( t )=∑k=−∞
∞
f (kT ) δ (t−kT ) (1.4)
Untuk proses sampling ADC (analog-to-digital converter) digunakan sampler.
Gambar 1.21. Sampler
Gambar 1.22. Hasil proses sampling/pencuplikan
17
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi D/A yaitu dengan zero-order-hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi deretan pulsa dengan lebar T . Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut:
Gh (s )=L [ f ( t ) ]=1s−1
se−Ts
(1.6)
18
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.23. Zero Order Hold (ZOH)
Transformasi-z
Merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit.
Tabel 1.1. Transformasi-z dan Transformasi Laplace
19
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Contoh 1:
F ( z )=Z [1 ( t ) ]=∑k=0
∞
1 (kT ) z−k=1+z−1+z−2+…+z−k
Diperoleh
F (z)= zz−1
= 1
1−z−1
NB: cara sederhana yaitu dengan deret geometri
F ( z )=1+z−1+z−2+…+z−k
z−1 F ( z )=z−1+z−2+…+z−k+z−(k +1) _
(1−z−1) F (z )=1−z−( k+1 )
Sehingga
F ( z )=1−z−( k+1 )
1−z−1
Untuk k → ∞ diperoleh F (z)= 1
1−z−1
Contoh 2:
Diberikan sistem data sampling orde-1 berikut
Cari fungsi alih dalam domain-z, diketahui waktu sampling T=0.5 s.
G (s )=(1−e−Ts)( 1
s ( s+1 ) )20
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Dengan transformasi-z diperoleh:
G ( z )=(1−z−1 )( z (1−e−T )
(z−1)( z−e−T ) )=1−e−T
z−e−T
X0 ( z )X i ( z )
=1−e−T
z−e−T
Dengan inversi transformasi-z diperoleh:
x0 (kT )=e−T x0 (k−1 ) T+ (1−e−T )x i (k−1 )T
NB: Bandingkan dengan sistem sama untuk waktu-kontinyu dengan masukan unit
step (tanpa ZOH) diperoleh x0 ( t )=(1−e−t). Jika diberikan masukan unit ramp
(tanpa ZOH) diperoleh x0 (t )=(t−(1−e−t )).
Kaitan transformasi-z dan transformasi Laplace:
Contoh 3:
Cari fungsi alih dari sistem lup tertutup berikut:
(a).
21
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Jawab:
C ( z )R ( z )
=G ( z )
1+GH (z )
(b).
Jawab:
C ( z )R ( z )
=G ( z )
1+G ( z ) H ( z )
1.4 Kontrol Konvensional (Klasik) dan ModernTeori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori kendali klasik atau
disebut teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust
(Ogata, 2014).
1. Kontrol klasik
Dimulai dari pengatur sentrifugal James Watt untuk kontrol kecepatan dari
mesin uap pada abad ke-18. Metode respons frekuensi dan metode root locus
adalah inti dari teori kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan
memenuhi beberapa kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak
sistem). Sistem tersebut dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk
suatu kriteria tertentu dari desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus
masalah desain kontrol bergeser dari konsep mendesain satu/banyak sistem
kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu sistem kontrol yang optimal sesuai
performa tertentu yang diinginkan (kualitas).
Adapun dalam perkembangan sistem kontrol, sistem kontrol klasik yang
berkaitan dengan sistem SISO (single-input single-output) menjadi kurang cocok
dan powerful untuk diterapkan pada sistem MIMO (multiple-input multiple-
22
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
output). Pada tahun 1960, dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan
analisis sistem kompleks dalam domain waktu dan sintesis menggunakan variabel
state. Hal tersebut mendorong kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi
yang tinggi, bobot, dan cost yang diimplementasikan di bidang militer, antariksa,
dan aplikasi industri.
a. Analisis respons domain waktu
Analisis ini dapat dilakukan jika diketahui:
- Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu
- Model matematis dari sistem
Respons domain waktu terdiri dari 2 komponen yaitu:
a) Respons transien: komponen ini biasanya berbentuk eksponensial,
perubahannya akan semakin kecil seiring waktu dan menuju nol pada
sistem stabil (BIBO). Respons transien merupakan respon natural dari
sistem dinamik, dan tidak bergantung pada masukan/input. Cara
sederhana untuk menentukan respon alamiah/natural yaitu dengan
memberikan input impuls pada sistem dan dilihat respons keluarannya.
Contoh 1 (MATLAB):
Sistem dengan masukan unit step R (s )=1 /s dan plant dimodelkan dengan
persamaan dinamik berikut:
G (s )= s+5
s2+2 s+5
Dengan transformasi Laplace diperoleh keluarannya:
C ( s )=G (s ) R ( s)=( s+5
s2+2 s+5 )( 1s )= As+B
s2+4 s+5+
Cs=
−s+1
s2+2 s+5+
1s=
−s+1
(s+1 )2+22+1s
Keluaran dalam domain-waktu yaitu:
c (t )=(−e−t cos (2t )+1 ) .1(t), untuk t ≥ 0
23
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Syntax MATLAB:
Dengan Laplace:
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Waktu (t) (seconds)
c(t)
Atau hasil yang sama dapat diperoleh dalam domain waktu, t :
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Waktu (t)
c(t)
24
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
num = [0 1 5]; % Pembilang Gden = [1 2 5]; % Penyebut Gstep(num,den) % Plot grafikxlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
t = linspace(0,5);C = 1 - exp(-t).*cos(2*t);plot(t,C);xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
Spesifikasi respons transien orde-2:
Gambar 1.24. Contoh respons unit step sistem orde-2, (0<ξ<1¿
Waktu delay, t d: waktu yang diperlukan respons untuk mencapai
setengah dari nilai akhir saat kali pertama.
Waktu naik (rise time), t r: waktu yang diperlukan respons dari 10% ke
90%, atau 5% ke 95%, atau 0% ke 100% dari nilai akhir.
Waktu puncak (peak time), t p: waktu yang diperlukan respons untuk
mencapai puncak pertama pada kondisi overshoot.
Overshoot maksimum (% M p): persentase nilai puncak maksimum
terhadap respons keadaan tunaknya.
% M p=c (t p )−c (∞ )
c (∞ )x 100 % (1.7)
Waktu menetap (settling time), t s: waktu yang diperlukan respons
untuk mencapai range nilai akhir mutlak (2% atau 5%).
25
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Contoh 2 MATLAB:
Mencari waktu naik, waktu puncak, overshoot maksimum, dan waktu
menetap dari sistem orde-dua dan sistem orde-tinggi:
Diperoleh hasil:
26
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
% Contoh 2:% 25 1% G(s)= --------- ; R(s)= -% s^2+6s+25 snum = [25]; % Asumsi zeta = 0.6 dan wn = 5den = [1 6 25];t = 0:0.005:5;[y,x,t] = step(num,den,t);r = 1; while y(r) < 1.0001; r = r + 1; end;
% Rise Time (tr)rise_time = (r - 1)*0.005
% Peak Time (tp)[ymax,tp] = max(y);peak_time = (tp - 1)*0.005
% Maximum Overshoot (%Mp)max_overshoot = ymax-1
% Settling Time (ts)s = 1001; while y(s) > 0.98 & y(s) < 1.02; s = s - 1; end;settling_time = (s - 1)*0.005
rise_time = 0.5550
peak_time = 0.7850
max_overshoot = 0.0948
settling_time = 1.1850
b) Respons steady state/keadaan tunak: merupakan respons dari sistem
setelah komponen transien.
Klasifikasi sistem kontrol:
G (s )=K∏
l=1
m
(T l s+1 )
sN∏k=1
n
(T k s+1 )(1.8)
Dengan nilai m<N+n
N adalah jumlah pole pada titik origin → tipe sistem (tipe-N )
Fungsi alih lup tertutup:
C (s )R (s )
=G (s )
1+G ( s)(1.9)
Sinyal galat: E ( s)=R ( s )−C (s)
Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh:
E ( s)= 11+G (s )
R(s) (1.10)
Galat keadaan tunak (steady-state error):
27
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
ess=limt →∞
e (t )=¿ lims → 0
sE (s )=lims → 0
sR (s)1+G (s )
¿ (1.11)
Contoh galat keadaan tunak untuk masukan sinyal unit step, sinyal unit
ramp, dan sinyal parabolik/akselerasi:
Masukan
SistemInput Step
r ( t )=1
Input Ramp
r ( t )=t
Input Parabolik
r ( t )=12
t2
Tipe-01
1+K∞ ∞
Tipe-1 01K
∞
Tipe-2 0 01K
Dimana K adalah penguatan proporsional sistem.
b. Analisis domain respons frekuensi
Penguatan proporsional K
G ( jω )=K
Magnitudo:
20 log ¿G ( jω )∨¿=20 log ¿K∨¿ dB ¿¿
Fasa:
∠G ( jω )=0°
Faktor integral dan derivatif
G ( jω )= ( jω )∓1
o Integral
Magnitudo:
20 log| 1jω|=−20 log ωd B
Slope/gradien garis: −20 dB /dekade atau −6 dB /oktaf
Fasa:
∠G ( jω )=−90 °
28
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
o Derivatif
Magnitudo:
20 log| jω|=20 log ω dB
Slope/gradien garis: 20 dB /dekade atau 6 dB /oktaf
Fasa:
∠G ( jω )=90°
Faktor orde-1
G ( jω )= (1+ jωT )∓1
Magnitudo:
20 log| 11+ jωT |=−20 log √1+ (ωT )2dB
Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
- ω≪1/T → −20 log √1+(ωT )2≈−20 log (1 )=0dB
29
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
- ω≫1/T → −20 log √1+(ωT )2≈−20 log (ωT ) dB, jadi ketika
0 dB (titik potong kedua asimtot) → ω=1/T (frekuensi
sudut/). Selanjutnya dibuat garis dengan gradien
−20 dB /dekade.
Fasa: ∠G ( jω )=−tan−1ωT ° → pada ω=0, sudut fasanya 0 °. Pada
frekuensi sudut ω=1/T , sudut fasanya −45°. Pada ω→ ∞,
sudut fasanya −90 °.
Faktor kuadratik/orde-2
G ( jω )=(1+2ξ ( jωωn
)+( jωωn
)2
)∓1
Magnitudo:
20 log ¿G ( jω )∨¿=20 log| 1
1+2ξ( jωωn
)+( jωωn
)2|=−20 log(√1−(ω2
ωn2 )
2
+(2ξωωn
)2)¿
Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
- ω≪1/T → −20 log 1=0dB
- ω≫1/T → −20 log (ω2/ωn2)=−40 log (ω /ωn )dB, jadi ketika
0 dB (titik potong kedua asimtot) → ω=ωn (frekuensi
sudut/). Selanjutnya dibuat garis dengan gradien
−40 dB/dekade.
30
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
- Koefisien redaman ξ , pengaruhnya terhadap magnitudo dan
sudut fasa yaitu sbb:
Fasa:
∠G ( jω )=−tan−1[ 2 ξωωn
1−( ωωn
)2 ]
Pada ω=0, sudut fasanya 0 °. Pada frekuensi sudut ω=1/T ,
sudut fasanya −90 °. Pada ω→ ∞, sudut fasanya −180 °.
2. Kontrol modern
Antara selang dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal,
baik sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan
kontrol learning dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990
perkembangan teori kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan
aplikasinya. Teori kontrol modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis
pada analisis domain waktu. Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem
31
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
kontrol menjadi lebih simpel karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan
model. Akan tetapi, kestabilan sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan eror
antara sistem aktual dan model, sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama
menentukan setting awal dari range eror tertentu yang diperbolehkan dan lalu
mendesain kontroler sedemikian sehingga jika eror dari sistem berada pada range
eror yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang didesain akan tetap stabil.
Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol robust/kokoh. Teori
tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan pendekatan
domain-waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/kompleks.
Gambar 1.25. Konfigurasi Kontrol Modern
32
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 1.26. Komponen Sistem Kontrol Modern
Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan
dinamika atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh
persamaan diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi
Lagrangian. Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari
kestabilan sistem, adapun teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan
Lyapunov. Terakhir, jika kinerja sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang
diinginkan, maka dilakukan perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi V
Lyapunov sudah lama ditemukan, namun konsep tersebut baru digunakan pada
kontrol modern. Istilah “modern” sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa
yang dianggap modern saat ini, dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno.
Jadi yang lebih cocok digunakan dalam memberi label teori kontrol yaitu sesuai
klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya), misalkan kontrol optimal, kontrol
nonlinier, kontrol adaptif, kontrol robust, dst.
33
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 2 Kontrol Optimal Dasar
1.5 PengenalanOptimasi sudah menjadi istilah yang lazim digunakan saat ini. Kita ingin
bekerja dan memanfaatkan waktu secara optimal dengan menggunakan sumber
daya yang optimal, dst. Batasan sasaran teori kontrol optimal dapat dilihat pada
diagram berikut:
Gambar 2.1. Batasan teori kontrol optimal
Beberapa teori kontrol, pendekatan desain kontrol dengan umpan balik
keadaan/state feedback dan estimator/observer merupakan dasar fundamental
34
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
untuk kontrol untuk sistem yang dibangun dari persamaan keadaan/state. Namun,
belum tentu berarti metode fundamental ini menghasilkan solusi yang
terbaik/optimal. Metode tersebut memiliki beberapa kesulitan untuk kasus berikut:
1. Implementasi dari spesifikasi desain (overshoot maksimum, settling time,
dsb) dimana pole yang diinginkan tidak selalu diperoleh secara langsung,
khususnya untuk sistem kompleks. Konfigurasi pole seperti apa yang
paling baik sesuai dengan spesifikasi yang ada?
2. Untuk sistem MIMO, penguatan umpan balik keadaan untuk memperoleh
konfigurasi pole tertentu tidaklah unik. Jadi penguatan seperti apakah yang
paling baik untuk konfigurasi pole yang ada?
3. Nilai eigen dari observer sebaiknya dipilih lebih cepat daripada nilai eigen
dari sistem lup tertutupnya. Adakah kriteria lain untuk menentukan
konfigurasi manakah yang tepat?
Metode kontrol optimal yang akan dibahas pada bab ini dapat menjawab
masalah-masalah di atas. Kita lihat nanti bagaimana state feedback dan gain
observer dapat diperoleh sehingga solusinya optimal. Tujuan dari teori kontrol
optimal yaitu untuk menentukan sinyal kontrol yang akan menghasilkan proses
sesuai dengan batasan spesifikasi fisik sistem dan pada saat yang bersamaan akan
meminimumkan/memaksimumkan beberapa kriteria performansi.
Prinsip utama dari teori kendali berbasis prinsip optimalitas yaitu: Jika solusi
optimal untuk masalah kendali melewati suatu titik transisi (x1 ,t 1), maka solusi
optimal untuk masalah kendali yang sama yang berasal dari titik awal (x0 ,t 0)
menuju titik akhir (x f , t f ) adalah merupakan kelanjutan jalur yang sama melewati
titik transisi.
35
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 2.2. Ilustrasi trayektori lintasan solusi masalah kontrol optimal dengan prinsip optimalitas
Trayektori keadaan dimana dapat memenuhi batasan variabel keadaan selama
selang [ t 0 ,t f ] merupakan trayektori yang dapat diterima/admissible trajectory.
Prosedur solusi numerik untuk penyelesaian masalah pengambilan
keputusan/decision making multi-tahapan disebut dynamic programming. Hasil
teoretis yang dibangun secara sistematis dalam pemecahan masalah tsb akan
menghasilkan aturan kendali/control law.
Contoh 1: (masalah rute dengan waktu tempuh terpendek)
• Tujuan utama yaitu mencari rute dengan waktu terpendek dari A ke B
• Waktu tempuh setiap jalur ditunjukkan pada gambar
• Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari A ke B, namun akan
sangat membosankan. Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari
A ke B (dicoba satu per satu), memakan waktu yg lama.
• Total alternatif rute = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 rute,
• Dari A B melewati A3 ada 1 jalur
• Dari A B melewati A2 ada 3 jalur
• Dari A B melewati A1 ada 6 jalur
• Dari A B melewati A0 ada 10 jalur
Jumlah rute=(2n )!(n ! )2
=(2 x3 )!
(3 ! )=20
36
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
dimana n adalah jumlah segmen.
A0 B
1
36
10A1
A2
A3
A
Perbandingan jika menggunakan dynamic programming (DP):
• Bandingkan dengan alternatif pendekatan arah mundur/backward.
• Dimulai dari titik B bekerja dgn arah mundur, dengan menerapkan
prinsip optimalitas di sepanjang jalur.
• Tentukan titik x, dari titik B dihitung total waktu dari B ke x. Ada 2
rute yaitu 10 + 6 dan 11 + 7, pilih yang waktu tempuh paling kecil = 10
+ 6 = 16.
• Beri tanda panah di 6 untuk menandakan jalur yang dipilih.
• Ulangi seluruh proses di semua titik, dari titik B hingga titik A.
• Dari gambar di kanan terlihat bahwa jumlah komputasi/perhitungan
hanya 15 kali.
• Jumlah komputasi DP = (n+1 )2−1=42−1=15
37
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
• Manakah yang lebih baik? Jika n semakin besar, selisih jumlah
komputasi akan semakin besar pula.
• Jadi, DP lebih baik dibandingkan dengan mencoba setiap
kemungkinan/brute force, waktu komputasi lebih cepat, memori yang
diperlukan lebih kecil.
Contoh 2: Routing problem (dengan batasan/constraint arah ditentukan di
awal)
Cari rute terpendek dari c ke h!• Mulai dari h dan bekerja ke arah mundur/backward.
• Dari g ke h hanya ada 1 jalur ⇒ J gh¿ =2 dan dari f ke h ⇒ J fh
¿ =J fg+J gh¿ =5
• Dari e ke h ada 2 jalur yaitu Jeh dan Jefgh:• Rute optimal:
Jeh¿ =min {J ef gh , Jeh }=min { [J ef+J fh
¿ ] , J eh}=min {(2+5) , 8 }=7
• Diperoleh rute optimal e ke h yaitu e→ f → g →h
• Dari d ke h ⇒ Jdh¿ =J de
¿ +J eh¿ =10 (karena rute optimal dari e ke h sudah
diketahui, kita tidak perlu lagi mencari opsi dari e saat mulai dari d gunakan solusi terbaik sebelumnya.
• Dari c ke h ⇒
Jch¿ =min {J cdh , J cfh }=min { [J cd+J dh
¿ ] , [J cf+J fh¿ ] }=min {[5+10 ] , [3+5 ] }=8
• Diperoleh rute optimal c ke h yaitu c → f → g → h
38
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1.6 Formulasi Masalah Kontrol Optimal
Untuk masalah kontrol optimal, pada umumnya kita ingin mencari sinyal
kontrol optimal u¿ (t), dimana lambang ¿ menyatakan kondisi optimal, yang akan
menggerakkan plant P dari kondisi awal menuju kondisi akhir dengan beberapa
batasan kontrol dan keadaan/state, dimana pada waktu yang bersamaan akan
mengoptimalkan indeks performa J. Formulasi masalah kontrol optimal terdiri
dari:
1. Deskripsi/model matematis dari sistem yang akan dikendalikan (secara
umum dalam bentuk variabel keadaan)
2. Deskripsi dari tugas/proses yang harus dikerjakan
3. Spesifikasi dari indeks performa, dan
4. Persyaratan dari kondisi batas (boundary condition) dan batasan
spesifikasi fisik dari state dan/atau kontrol.
Indeks performa/kinerja
Teknik desain kontrol klasik telah berhasil diterapkan pada sistem SISO linier
invarian-waktu. Kriteria performa tersebut antara lain respons waktu sistem
(untuk masukan tangga, masukan landai, dsb.) yang ditentukan oleh waktu naik,
waktu menetap, waktu overshoot, dan akurasi keadaan tunak; dan juga respons
frekuensi sistem yang ditentukan oleh margin penguatan dan margin fasa, dan
juga bandwidth.
Sementara untuk teori kontrol modern, masalah kontrol optimal yaitu mencari
sinyal kontrol yang akan menghasilkan sistem dinamik mencapai sasaran atau
mengikuti suatu trayektori variabel keadaan tertentu, pada waktu yang sama
mengoptimalkan indek performa. Optimal berarti melakukan proses (pekerjaan)
dengan cara/solusi yang terbaik.
Selama kriteria/batasan/constraints tersebut belum jelas dan konsisten, kita
tidak dapat mengklaim bahwa sistem kita sudah optimal. Secara kasar, kita dapat
klaim untuk sistem yang tidak akurat pun dapat dikatakan optimal dengan
constraints misal biaya produksi murah (cost), mudah dirancang-bangun (design),
performanya cukup baik sesuai yang diinginkan (performance), dsb. Namun
sebaliknya, suatu sistem yang presisi dan elegan bisa dibilang tidak optimal
39
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
karena terlalu mahal biaya produksinya dan pengembangannya memakan waktu
sangat lama (time).
Dinamika sistem yang dikontrol dideskripsikan dalam bentuk variabel
keadaan/state, misal dalam waktu-kontinyu sebagai berikut:
(2.1)
atau dalam waktu-diskrit menjadi :
(2.2)
Berikutnya, sistem kita asumsikan semua state-nya ada, misal pada
pengukuran. Atau selain itu, sistem diasumsikan dapat diamati/observable,
sehingga observer dapat dikonstruksi/dibangun sedemikian sehingga dapat di
estimasi state-nya.
Kriteria kinerja/performa, dilambangkan J, adalah ukuran kualitas dari
perilaku sistem. Biasanya, kita mencoba meminimumkan atau memaksimumkan
kriteria kinerja dengan mengatur sinyal kendali masukannya.
Untuk setiap sinyal kontrol u(t ) dalam range yang bisa dihasilkan/feasible
(yaitu, untuk setiap masukan yang mungkin), sistem dapat bekerja sesuai
fungsinya dimana batasan/constraints sistem terpenuhi dan bersesuaian dengan
trayektori sistem x (t).
Masukan u(t ) menghasilkan trayektori x (t). Variasi v (t) pada u(t )
menghasilkan trayektori yang berbeda, x (t)+δ x( t).
40
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Batasan/constraints
Vektor kontrol u(t ) atau vektor keadaan x (t) dapat memiliki batasan
(constrained) atau tidak memiliki batasan (unconstrained) tergantung kondisi
spesifikasi fisiknya. Untuk masalah unconstrained, pada sistem di real life jarang
digunakan, walaupun menghasilkan solusi yang elegan/bagus. Untuk batasan
sistem fisik (constrained), dapat dijumpai misalkan arus dan tegangan pada
rangkaian elektrik, kecepatan motor, bahan bakar dorong roket, yang dimodelkan:
U+¿ ≤u (t ) ≤U−¿¿¿, dan X+¿ ≤ x ( t )≤ X−¿¿¿,
dimana + dan – menyatakan nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai
oleh variabel (kontrol dan keadaan) yang bersesuaian.
(1). Masalah Kontrol Optimal 1: (sistem kontrol untuk fuel-optimal)
Batasan/constraints sistem terkadang ada dengan nilai yang dibolehkan oleh
variabel keadaan, atau sinyal kendali masukan (control input). Sebagai contoh,
himpunan dari sinyal kendali yang bisa dihasilkan dapat berupa set/kumpulan dari
potongan vektor kontinyu/piecewise, 𝑢(𝑡)∈𝑈, sedemikian sehingga:
U={u(t ):‖u (t )‖<M untuk semua t . }
Batasan/constraints model ini sangat umum digunakan, serta dapat
merepresentasikan keadaan saturasi pada aktuator, untuk batas sinyal inputan.
‖u1( t)u2( t)u3(t)
‖2
=|u1 (t )|2+|u2 (t )|2+|u3 ( t )|2
<M 2 , ∀ t
Contoh: Misalkan pada masalah pesawat ruang angkasa (spacecraft), penggerak
pesawat adalah mesin dorong (thrust) roket dengan besar |u (t )| besarnya
41
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
proporsional dengan laju pemakaian bahan bakar/fuel. Untuk meminimumkan
total pemakaian bahan bakar tersebut, indeks performa dimodelkan:
J=∫t0
tf
|u (t )|dt (2.3)
Untuk beberapa sistem kontrol, dapat dituliskan:
J=∫t0
tf
∑i=1
m
R i|u i ( t )|dt (2.4)
dimana R adalah matriks definit positif (PD).
(2). Masalah Kontrol Optimal 2: (sistem kontrol untuk waktu-optimal)
Tugas/proses yang akan dikerjakan biasanya dalam bentuk persamaan
tambahan dengan kondisi batas/boundary tertentu dari sistem persamaan keadaan.
Sebagai contoh, kita mau memindahkan/transfer dari keadaan 𝑥(𝑡) dari kondisi
keadaan awal x (0)=x0 menuju keadaan akhir tertentu di x f ( t f)=xd pada waktu
tertentu t f , atau pada kemungkinan minimum t f .
NB: Seringkali, tugas/proses yang dikerjakan secara implisit/tak langsung dapat
diukur berdasarkan kriteria kinerjanya.
Pemodelan matematis indeks performa waktu minimum untuk selang dari
waktu awal t 0 dan waktu akhir t f dapat dituliskan:
J=∫t0
tf
dt=t f−t 0=t ¿ (2.5)
Contoh:
Kriteria kinerja lain yang lazim digunakan yaitu waktu minimum, dimana kita
mencari sinyal kendali u(t ) yang menghasilkan trayektori tercepat untuk
mencapai keadaan/state akhir yang diinginkan:
42
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Untuk kasus ini, kriteria kinerjanya yang akan meminimumkan dapat
diekpresikan secara sederhana dalam bentuk matematis yakni:
J=T (2.6)
(3). Masalah Kontrol Optimal 3: (sistem kontrol kondisi akhir/terminal)
Untuk masalah sasaran kondisi akhir, kita tertarik untuk meminimumkan
error antara posisi target yang diinginkan dengan target aktual,
x (T )=xa (T )−xd(T )
Kriteria kinerja lainnya adalah final error (selisih akhir) pencapaian keadaan/
state akhir yang diinginkan dalam waktu yang telah ditentukan T atau t f yaitu :
J=xT (t f )Hx (t f ) (2.7)
merupakan fungsi cost terminal, dimana H adalah matrik semi-definit positif
(PSD).
43
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(4). Masalah Kontrol Optimal 4: (sistem kontrol untuk energi minimum)
(a). Kriteria kinerja lainnya yaitu meminimumkan luasan/area di bawah ‖x (t )‖2
sebagai cara menentukan sinyal-sinyal kendali yang akan menghasilkan
transien keseluruhan yang kecil dalam trayektori yang dihasilkan mulai
dari state awal, x0 hingga mencapai state akhir, x f .
Contoh:
Untuk meminimumkan error kuadratik pada sistem tracking, indeks
performa dapat dimodelkan:
J=∫t0
tf
xT (t )Qx (t)dt (2.8)
atau
J=∫t0
tf
∑i=1
n
qi x i2 ( t ) dt (2.9)
Dimana Q adalah matriks bobot, dengan nilai semi-definit positif.
(b). Bisa juga kemungkinan kriteria kinerjanya yaitu untuk meminimumkan
luasan di bawah ‖u (t )‖2, sebagai cara memilih sinyal kendali dengan
usaha pengendalian/control effort yang minimum. Untuk kasus ini sama
dengan sistem kontrol fuel-optimal.
44
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(5). Masalah Kontrol Optimal 5: (bentuk umum sistem kontrol optimal)
Dengan mengkombinasikan formulasi di atas, bentuk general/umum dari
indeks performa untuk sistem linier dapat dimodelkan berikut:
J=xT (t f )Hx ( t f )+∫t 0
t f
[ xT (t )Qx (t )+uT (t ) Ru (t ) ] dt (2.10)
atau secara umum untuk sistem nonlinier dan linier, x (t )=f (x ( t ) ,u ( t ) ,t ), indeks
performanya menjadi:
J=S ( x (t f ) , t f )+∫t0
t f
V (x ( t ) , u ( t ) , t )dt (2.11)
dimana matriks R>0 definit positif, Q dan H ≥ 0 adalah matriks semi-definit
positif. Bentuk indeks performa tersebut disebut bentuk kuadratik (dinyatakan
dalam variabel keadaan dan sinyal kontrol).
45
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 2.3. Masalah Kontrol Optimal
1.7 Variasi Kalkulus dan Kontrol OptimalVariasi kalkulus berkaitan dengan mencari nilai optimum (maksimum/
minimum) dari suatu fungsional. Teori ini diawali tahun 1696, setelah penemuan
fundamental oleh L. Euler (1709-1783) dikenal dengan bapak penemu variasi
kalkulus, teori ini digunakan umum di bidang disiplin ilmu matematika.
1.7.1 Fungsi dan FungsionalFungsi: Variabel terikat x merupakan suatu fungsi dari variabel bebas t ,
ditulis x (t )=f (t ), jika setiap nilai t pada selang tertentu mempengaruhi
nilai x. Contoh: x (t )=t 2+1; x ( t1 , t2 )=t12+2 t1 t2
Fungsional: Suatu variabel J merupakan suatu fungsional yang tergantung
pada fungsi f (x), ditulis J=J ( f ( x )), jika setiap fungsi f (x), berkaitan
dengan nilai J. Dengan kata lain, fungsional terdiri dari beberapa fungsi terkait, yaitu “fungsi dari suatu fungsi”.
Contoh: Diberikan fungsi x (t )=2 t 2+1. Lalu
J (x (t ) )=∫0
1
x ( t )dt=∫0
1
(2 t2+1)dt= 23
t 3+t ]t=0
t=1
=53
adalah luasan di bawah kurva x (t). Jika v (t) adalah kecepatan suatu kendaraan, lalu
46
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
J (v ( t ) )=∫t 0
t f
v ( t ) dt
adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan tsb. Jadi, disini x (t) dan v (t)
fungsi dari t , dan J adalah fungsional dari x (t) dan v (t).
Perubahan naik/increment fungsi: ∆ f (t , ∆ t)≜ f ( t+∆ t )−f ( t)
Contoh: Misalkan f (t )=( t1+t 2)2 cari perubahan naik dari fungsi tsb.
∆ f ≜ f ( t+∆ t )−f ( t )=(t 1+∆ t 1+ t2+∆ t 2 )2−(t 1+t 2)
2=(t 1+∆ t1 )2+(t 2+∆ t 2 )
2+2 (t 1+∆ t 1 ) ( t2+∆ t 2 )−( t12+t 2
2+2t 1t 2 )=2 ( t1+t 2) ∆ t1+2 (t1+t 2 )∆ t 2+(∆ t1 )2+(∆ t2 )
2+2∆ t 1 ∆ t2
Perubahan naik fungsional: ∆ J (x ( t ) , δx ( t ) )≜ J (x (t)+δx ( t ) )−J ( x (t ) )
Dimana δx (t ) adalah variasi dari fungsi x (t).
Contoh: Misalkan diberikan suatu fungsional
J=∫t0
tf
[2 x2 ( t )+1 ] dt
cari perubahan naik dari fungsi tsb.
∆ J≜ J (x (t)+δx (t ) )−J (x (t ) )=∫t0
t f
[2 (x (t )+δx ( t ) )2+1 ]dt−∫t0
t f
[2 x2 ( t )+1 ]dt=∫t 0
tf
[4 x (t ) δx ( t )+2 (δx ( t ) )2 ]dt
Kondisi Optimum dari Fungsi:
Suatu fungsi f (t) dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik t ¿ jika
ada parameter dengan nilai positif ϵ sehingga untuk seluruh titik t pada domain D
yang memenuhi |t−t ¿|<ϵ , penambahan nilai f (t) memiliki tanda yang sama
(positif atau negatif).
(a) Δ f=f ( t )−f ¿ (t ) ≥ 0 → dimana f (t ¿) adalah lokal minimum relatif
(b) Δ f=f (t )−f ¿ (t ) ≤ 0 → dimana f (t ¿) adalah lokal maksimum relatif
47
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 2.4. (a) Kondisi Minimum Fungsi (b) Kondisi Maksimum Fungsi f (t)
Syarat kondisi perlu di titik optimum relatif: f (t ¿)=0
Syarat kondisi cukup di titik optimum relatif:
1. Untuk minimum, turunan kedua dari fungsi f ( t )>0
2. Untuk maksimum, turunan kedua dari fungsi f (t )<0
3. Jika f ( t )=0, disebut titik stasioner
Kondisi Optimum dari Fungsional:
Suatu fungsional J dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik x¿ jika
ada parameter dengan nilai positif ϵ sehingga untuk seluruh fungsi x pada domain
Ω dimana memenuhi |x−x¿|<ϵ , penambahan nilai J memiliki tanda yang sama
(positif atau negatif).
(a) Δ J=J ( x )−J ¿ ( x )≥ 0 → dimana J (x¿) adalah lokal minimum relatif
48
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(b) Δ J=J ( x )−J ¿ ( x )≤ 0 → dimana J (x¿) adalah lokal maksimum relatif
Untuk ϵ → ∞, nilai J ( x¿) adalah nilai optimum absolut global.
Teorema: Jika x¿ ( t ) merupakan kandidat nilai optimum, variasi pertama J akan
bernilai nol pada x¿(t ), yaitu δJ (x¿ (t ) , δx (t ) )=0 untuk semua nilai δx (t) yang
memenuhi → Syarat kondisi perlu. Syarat kondisi cukup di titik optimum:
1. Untuk minimum, variasi kedua dari fungsional δ 2 J>0
2. Untuk maksimum, variasi kedua dari fungsional δ 2 J<0
Contoh soal:
1. Cari nilai minimum dari indeks performansi berikut:
J=∫0
1
[x2 ( t )+u2 (t ) ] dt
Dengan kondisi batas
x (0 )=1; x (1 )=0
Dengan subjek kondisi (persamaan dinamika sistem/plant):
x (t )=−x (t )+u(t)
Solusi:
Tujuan utama yaitu mengeliminasi u (t ) antara indeks performansi dan plant
untuk memperoleh fungsional
J=∫0
1
[ x2 ( t )+ ( x (t )+x (t ) )2 ]dt=∫0
1
[2 x2 ( t )+ x2 ( t )+2 x (t) x (t)] dt
Dengan menggunakan metode Euler-Lagrange:
( ∂ V∂ x )
¿− d
dt ( ∂ V∂ x )
¿=0
Dimana V=2 x2 (t )+ x2 (t )+2 x( t) x (t )
Diperoleh
4 x¿ ( t )+2 x¿ ( t )− ddt
(2 x¿ ( t )+2x¿ ( t ) )=0
Dengan menyederhanakan persamaan di atas
x¿ (t )−2 x¿ ( t )=0
Solusi persamaan diferensial orde-2 di atas adalah
x¿ ( t )=C1 e−√2 t+C2e√2t dimana konstanta C1 dan C2 diperoleh dari kondisi batas
pada soal, diperoleh C1=1/(1−e−2√2); C2=1/(1−e2√2), diperoleh:
49
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
u¿ ( t )= x¿ ( t )+ x¿ ( t )=(1−√2)/(1−e−2√2)e−√2 t+(1+√2) /(1−e2√2)e√2 t
Syntax Matlab:
2. Cari nilai optimum dari
J=∫0
2
[ x2 ( t )−2tx (t)] dt
Yang memenuhi kondisi batas x (0 )=1 dan x (2 )=5
Solusi:
Misalkan V= x2 ( t )−2tx (t), dengan Euler-Lagrange diperoleh persamaan
( ∂ V∂ x )− d
dt ( ∂V∂ x )=0 →−2 t− d
dt(2 x ( t ) )=0 → x ( t )=t
Dengan memecahkan persamaan diferensial di atas diperoleh:
x¿ (t )=t 3
6+C1 t+C2
Dimana C1 dan C2 merupakan konstanta integrasi. Dengan kondisi batas pada
soal didapatkan x (0 )=1 →C2=1 , x (2 )=5→ C1=4 /3
Solusi akhir:
x¿ ( t )= t 3
6+ 4
3t+1
Syntax Matlab:
50
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
x = dsolve('D2x-2*x=0','x(0)=1,x(1)=0')
x =exp(2*2^(1/2))/(exp(2^(1/2)*t)*(exp(2*2^(1/2)) - 1)) - exp(2^(1/2)*t)/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
u = diff(x) + x
u = simplify(u)-(exp(2^(1/2)*t) - exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t))/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
x = dsolve('D2x-t=0','x(0)=1,x(2)=5')
x =t^3/6 + (4*t)/3 + 1
Ringkasan prosedur Prinsip Pontryagin untuk masalah Bolza:
51
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 2.5. Jenis sistem: (a). Fixed-Final Time and Fixed-Final State System; (b). Free-Final Time and Fixed-Final State; (c). Fixed-Final Time and Free-Final State System; (d). Free-Final Time and Free-Final State System
Contoh 3:
Diberikan sistem orde-dua (dengan double integrator) seperti berikut:
x1 ( t )=x2(t)
x2 (t )=u (t)
Dengan indeks performansi berikut:
J=12∫t0
tf
u2 ( t )dt
Cari kontrol optimal dan keadaan/state optimal, diberikan kondisi batas (awal dan
akhir) sebagai berikut:
x (0 )=[1 2 ]' ;x (2 )= [1 0 ] '
(diasumsikan kontrol dan state-nya unconstrained)
Solusi:
52
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Misalkan
V (x ( t ) ,u ( t ) ,t )=V (u ( t ) )=12
u2( t)
f (x (t ) , u (t ) , t )=[ x2(t) u(t)]'
Langkah 1: Fungsi hamiltonian
H=H (x1 (t ) , x2 (t ) , u (t ) , λ1 ( t ) , λ2 (t ) )=V (u (t ) )+λ ' (t ) f (x ( t ) , u ( t ) )=12
u2 ( t )+λ1 (t ) x2 ( t )+ λ2 ( t ) u (t )
Langkah 2: Cari bentuk sinyal kontrol u¿ (t)
∂ H∂u
=0→u¿ (t )+λ2¿ (t )=0 → u¿ (t )=−λ2
¿ ( t)
Langkah 3: Dengan hasil langkah 1 dan 2, cari nilai optimal dari H ¿
H ¿ (x1¿ ( t ) , x2
¿ ( t ) , λ1¿ ( t ) , λ2
¿ ( t ) )=12
λ2¿2 ( t )+λ1
¿ (t ) x2¿ ( t )−λ2
¿2 ( t )=λ1¿ ( t ) x2
¿ ( t )−12
λ2¿2 ( t )
Langkah 4: Cari persamaan state dan costate
x1¿ (t )=+( ∂ H
∂ λ1)¿=x2
¿ (t )
x2¿ (t )=+( ∂ H
∂ λ2)¿=−λ2
¿ (t )
λ1¿ (t )=−( ∂ H
∂ x1)¿=0
λ2¿ (t )=−( ∂ H
∂ x2)¿=− λ1
¿ (t )
Dari persamaan sebelumnya, diperoleh state optimal dan costate optimal sbb.
x1¿ ( t )=
C3
6t3−
C4
2t 2+C2 t+C1
x2¿ ( t )=
C3
2t2−C4 t
λ1¿ (t )=C3
λ2¿ ( t )=−C3t+C4
Dari kondisi awal diperoleh konstanta C1=1 ,C2=2 , C3=3 ,C4=4 sehingga:
x1¿ ( t )=1
2t 3−2 t2+2 t+1
53
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
x2¿ ( t )=3
2t 2−4 t
λ1¿ (t )=3
λ2¿ (t )=−3 t+4
Langkah 5: Cari kontrol optimal
u¿ ( t )=− λ2¿ ( t )=3 t−4
Gambar 2.6. Diagram Blok State Kontroler Optimal
54
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 3 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)
1.8 Formulasi Masalah
Untuk sistem linier varian-waktu/linear time-varying (LTV):
(3.1)
Dimana fungsional cost atau indeks performansi dinyatakan sebagai berikut:
(3.2)
Keterangan:
x (t) : vektor state/keadaan
y (t ) : vektor output/keluaran
z (t) : vektor referensi input atau output yang diinginkan
u(t ) : vektor sinyal kontrol
Q(t ) : matriks bobot error
R(t ) : matriks bobot kontrol
F (t) : matriks bobot cost akhir
Kategori sistem:
a. Jika tujuan pengendalian yaitu agar state, x (t) mendekati nol, (saat z (t )=0
dan C=I), disebut sistem regulator state dengan memberikan sinyal
kendali u(t ) dimana akan membawa plant dari nonzero state /tidak nol
menuju zero state.
b. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output, y (t ) mendekati nol, (saat
z (t )=0), disebut sistem regulator output.
c. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output atau state mendekati output
atau state yang diinginkan, disebut sistem tracking. Baik sistem regulator
output maupun state, referensi state adalah nol dan pada sistem tracking,
error dibuat nol.
55
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1.9 LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)
Cost fungsional:
(3.3)
Misal untuk sistem regulator state, z (t )=0→ e ( t )=0−x (t).
Asumsi dari indeks performansi di atas:
a. Sinyal kontrol u(t ) adalah unconstrained/tidak ada batasan berapapun
nilainya (tetapi untuk sistem fisik kondisi nyata, ada limit sinyal kontrol).
b. Diberikan kondisi awal x ( t0 )=x0. Waktu akhir t f spesifik.
c. Matriks bobot F (t f ) dan Q(t ) adalah matriks semidefinit positif (F (t f ),
Q ( t ) ≥ 0¿, sementara matriks bobot R(t ) adalah matriks definit positif (
R ( t )>0¿.
d. Nilai pecahan 1/2 pada indeks performansi untuk menghilangkan faktor 2
dari bentuk kuadratik.
Solusi: (prosedur Pontryagin)
STEP 1: Hamiltonian
Hamiltonian formula:
(3.4)
dimana λ (t) adalah vektor costate.
56
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
STEP 2: Kontrol optimal
Mencari sinyal kontrol optimal, u¿ (t).
(3.5)
dimana
Sehingga diperoleh:
(3.6)
STEP 3: Sistem State dan Costate
State:
Costate:
(3.7)
Sistem kanonik (terdiri dari state dan costate)/sistem Hamiltonian:
(3.8)
Dimana E (t )=B ( t ) R−1 (t ) B ' (t).
STEP 4: Kontrol optimal lup tertutup
Sinyal kontrol:
(3.9)
STEP 5: Matriks Persamaan Diferensial Riccati
Bentuk persamaan diferensial Riccati:
(3.10)
Bentuk umum:
(3.11)
57
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
dimana E ( t )=B ( t ) R−1 (t ) B ' (t)
Gambar 3.1. Sistem State dan Costate
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem linier varian-waktu:
58
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.2. Implementasi Kontrol Optimal Lup Tertutup (simulasi off-line P(t ))
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem tracking:
59
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.3. Implementasi sistem tracking optimal
1.10 Contoh LQR waktu-kontinyu
Contoh 1: LQR untuk sistem tracking
Sistem plant orde-dua:
Sistem dinamik di atas akan dikontrol untuk meminimumkan indeks performansi
berikut:
Diketahui waktu akhir t f adalah 20, state akhir x ( t f ) bebas dan sinyal kendali dan
state-nya tidak ada batasan. Tujuan dari kontrol yaitu untuk menjaga state x1(t)
mendekati nilai 1.
Cari sinyal kontrol umpan baliknya. Gambar grafik dari koefisien Riccati tiap
waktu, komponen vektor g, dan kontrol dan state optimalnya.
Solusi:
60
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Tujuan dari pengendalian sesuai indeks performansi yaitu untuk menjaga state
x1(t) mendekati nilai referensi input z1 (t )=1, sementara kondisi state x2 ( t ) tidak
diketahui, kita tentukan z2 ( t )=0.
Sekarang, untuk kasus ini, e (t )=z ( t )−Cx (t ), dimana C=I
e1 (t )=z1 ( t )−x1 (t )
e2 (t )=z2 ( t )−x2 (t )
Matriks yang bersesuaian:
Solusi Riccati:
Dari persamaan di atas diperoleh:
Dengan menyederhanakan persamaan di atas:
Diperoleh solusi matriks Riccati:
Selanjutnya menentukan g(t ), yaitu solusi persamaan diferensial nonhomogen:
61
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:
NB: untuk tuning sistem tracking, dapat dilakukan dengan mengubah matriks R
sehingga diperoleh tracking state yang lebih baik.
Gambar 3.4. Koefisien Riccati
62
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.5. Koefisien g1 ( t ) dan g2 ( t )
Gambar 3.6. State Optimal (kondisi awal x (0 )=[−0.5 0 ], z (t )= [1 0 ], dan t f=20.
63
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.7. Sinyal kontrol optimal
Contoh 2:
Diberikan persamaan dinamik sistem sebagai berikut:
Dan indeks performansi sebagai berikut
Tentukan sinyal kontrol umpan baliknya.
Solusi:
Dari persamaan di atas dapat dibangun matriks:
matriks P(t ) solusi persamaan Riccati adalah berukuran 2x2 matriks simetrik:
64
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Sehingga bentuk matriks sinyal kontrol optimal yaitu:
Selanjutnya mencari solusi Riccati, P(t ):
Dengan ruas kiri P ( t )=0, diperoleh:
Sehingga didapatkan solusi Riccati sebagai berikut:
1.11 Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit
Untuk sistem waktu-diskrit, hampir sama dengan waktu-kontinyu, menggunakan
variasi kalkulus untuk sistem waktu-diskrit.
Diberikan sistem kontrol waktu-diskrit linier varian-waktu
(3.12)
Dan indeks performansi sebagai berikut:
(3.13)
65
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Misalkan diberikan kondisi awal sebagai berikut:
Langkah 1: Indeks performansi augmented, Ja, (tambahan Lagrange multiplier)
(3.14)
Langkah 2: Lagrangian
(3.15)
Langkah 3: Persamaan Euler-Lagrange (dari variabel x (k ), u(k ), dan λ (k ))
(3.16)
Dimasukkan untuk kondisi akhir sehingga menjadi:
(3.17)
dimana
66
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Langkah 4: Hamiltonian
(3.18)
Kondisi ekstremum Hamiltonian:
(3.19)
Bentuk persamaan state, costate, dan sinyal kontrol optimum sebagai berikut:
(3.20)
Langkah 5: Kontrol Optimal Lup-Terbuka
Sinyal kontrol optimal:
(3.21)
Sinyal kontrol tersebut disubstitusi ke dalam persamaan state (langkah 4)
menghasilkan:
(3.22)
dimana
Langkah 6: Sistem state dan costate
Bentuk kanonik sistem (state dan costate):
(3.23)
67
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1.11.1 Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbukaDiberikan state akhir:
Prosedur ringkasan sistem kontrol optimal waktu-diskrit (kondisi titik akhir fixed)
68
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.8. Sistem State dan Costate Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka
Contoh:
Cari nilai minimum indeks performansi:
Dengan subjek kondisi batas
Untuk sistem skalar dengan persamaan dinamik berikut:
Solusi:
Bangun matriks yang bersesuaian:
Langkah 1: Bangun fungsi Pontryagin H
Langkah 2: Cari nilai minimum dari fungsi H
Langkah 3: Dari hasil sebelumnya, bengun fungsi H optimal
69
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Langkah 4: Cari persamaan diferensial state dan costate
Persamaan diferensial state:
Persamaan diferensial costate:
Diperoleh solusi optimal:
Langkah 5: Cari sinyal kontrol optimal
1.12 Permasalahan tracking pada LQR Permasalahan tracking dengan kendali LQR bertujuan untuk membangkitkan
aksi kendali u(t ) yang mengendalikan plant/sistem sehingga vektor keadaan x (t) mengikuti trayektori keadaan r (t )yang diinginkan, sekaligus meminimalkan indeks performansi kuadratik :
J=∫t0
tf
[(r−x)T Q (r−x )+uT Ru ] dt (3.24)
Aljabar Riccati yang digunakan untuk desain kendali LQR dikombinasikan dengan persamaan tracking keadaan waktu reverse sebagai berikut:
s=(A−B R−1 BT P)T s−Qr (3.25)
dimana s adalah vektor tracking dengan batasan s (t f )=0, dan aksi kendali:
uopt=−R−1 BT Px−R−1 BT s (3.26)
Jika v=−R−1 BT s dan K=R−1 BT P maka uopt=v−Kx dan sistem tracking
optimal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.9.
Adapun untuk permasalahan tracking waktu diskrit pada kendali LQR, indeks
performansinya sebagai berikut:
J=∑k=0
N−1
[ (r (kT )−x (kT ))T Q ( r (kT )−x (kT ))+uT (kT ) Ru (kT )]T (3.27)
70
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 3.9. Sistem tracking optimal
Minimasi indeks performansi tersebut menghasilkan persamaan Riccati rekursif
K (N− (kT+1 ) )=[TR+BT (T ) P ( N−kT ) B (T ) ]−1BT (T ) P ( N−kT ) A(T ) dan
P (N−( kT+1 ))=[TQ+KT (N−(kT +1))TRK (N−(kT+1))]+ [ A (T )−B (T ) K (N−(kT +1))]T P(N−kT ) [ A (T )−B (T ) K (N−(kT +1))] ,
yang dijalankan secara reverse time bersamaan dengan persamaan tracking
keadaan time-reverse pada sistem diskrit
s (N− (kT+1 ) )=F (T ) s ( N−kT )+G (T ) r (N−kT ) (3.28)
Vektor commmand v dan kendali optimal saat kT jika dioperasikan secara maju
(forward time), adalah
v (N−kT )=R−1 BT s (N−kT ) (3.29)
uopt (kT )=v (kT )−K (kT ) x (kT ) dan nilai dari x (kT ) (3.30)
x (kT+1 )=A (T ) x (kT )+B(T )uopt (kT ) (3.31)
Contoh :
Suatu sistem kendali LQR pada permasalahan tracking, mengacu pada gambar 3.9
diatas, sebagai berikut
[ x1
x2]=[ 0 1
−1 −1][ x1
x2]+[01]u
71
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
y=[1 00 1][ x1
x2]
Indeks perfomansi diskritnya,
J=∑k=0
200 [ (r 1 (kT )−x1 (kT ) ) (r2 (kT )−x2 ( kT ) ) [10 00 1] [r1 ( kT )−x1(kT )
r2 ( kT )−x2(kT )]+u (kT )2]T
Sistem diinginkan mengikut vektor keadaan:
[r1(kT )r2(kT )]=[ sin (0.6284 kT )
0.6 cos(0.6284 kT )] selama periode 0-20 detik dengan waktu cuplik
T=0.1 detik
Solusi:
Pada perhitungan waktu mundur (reverse-time), dengan P ( N )=0dan NT=20,
kalkulasi K (kT ) dan P(kT ) menggunakan Riccati rekursi. Juga hitung v (kT )
menggunakan r (kT ) dengan kondisi s ( N )=0
Pada perhitungan waktu maju (forward-time), kalkulasi uopt dan trayektori
keadaan x (kT+1 )T menggunakan v (kT ) dan x (kT )
72
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
73
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 4 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)
1.13 Review: Proses RandomDiberikan variabel X akan dipetakan dalam selang ruang sampel dan merupakan
bilangan riil. Proses acak (proses stokastik) merupakan pemetaan dari ruang
sampel ke fungsi waktu yang bersesuaian (fungsi sampel). Untuk setiap anggota
dari ruang sampel, ada nilai dari fungsi waktu sampel yang bersesuaian.
Gambar 4.1. Pemetaan ruang sampel ke fungsi waktu sampel X ( t)Misalkan f (x ,t) adalah fungsi kerapatan probabitas untuk proses random X ( t).
Jika fungsi kerapatan probabitas tersebut bebas waktu, f ( x , t )=f (x ), maka proses
random yang bersesuaian dikatakan stasioner.
Mean (atau harapan rata-rata):
(4.1)
Varian
(4.2)Kovarian
(4.3)
Momen
(4.4)Jika v dan w merupakan dua proses random yang saling bebas/independen maka:
74
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
(4.5)
f (v , w) adalah gabungan fungsi kerapatan probabilitas v dan w.
Fungsi Autokorelasi
Digunakan untuk mendeskripsikan domain waktu pada proses random.
(4.6)
Jika v adalah proses stasioner, maka:
(4.7)
Untuk R x (0 ) merupakan waktu rata-rata energi/daya pada proses random.
Spektrum Daya
Merupakan deret Transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi, dalam domain
frekuensi, untuk proses random.
(4.8)
White Noise (merupakan proses random dengan spektrum daya konstan, dan
memiliki fungsi autokorelasi R x ( τ )=qδ (τ ), dimana implikasi white noise
mempunyai daya tak hingga dan tidak ada (exist) di kondisi riil. Namun white
noise dapat dimodelkan sebagai output dari sistem linier dengan injeksi white
noise pada masukannya, menghasilkan color noise.
Proses Gaussian
Normalisasi fungsi v dalam gaussian dengan fungsi kerapatan probabilitas:
(4.9)
1.14 Model LQE/kalman FilterUntuk sistem linier invarian-waktu (LTI) sebagai berikut:
(4.10)
Dengan asumsi:
75
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1) (A , C) adalah matriks observable/keteramatan.
2) v (t) dan w (t) adalah white noise bebas dengan bentuk fungsi
3) (A , Q12) adalah matriks stabilizable (untuk menjamin kestabilan lup-
tertutup)
Tujuan pengendalian dengan Filter Kalman yaitu mendesain estimator dari state
x (t) sehingga estimasi error kovarian-nya akan minimum.
Indeks performansi estimator dimodelkan sebagai berikut:
(4.11)
Rekonstruksi/perancangan Filter Kalman untuk kondisi tunak/steady-state
Diberikan persamaan dinamik estimator, dengan penguatan (gain)
observer/Penguatan Filter Kalman, K e:
(4.12)
Solusi penguatan Filter Kalman optimal yaitu:
(4.13)
dimana Pe adalah solusi dari persamaan Riccati berikut:
(4.14)
Misalkan error state dan estimator , e=x− x, untuk keadaan tunak berlaku:
(4.15)
1.15 Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)Diberikan masalah kontrol optimal dengan LQR sebagai berikut:
(4.16)
Masalah kontrol LQR yaitu mencari sinyal kontrol umpan balik optimal:
u¿=Fx (4.17)
Sehingga indeks performasi J minimum.
76
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Solusi LQR untuk sistem di atas yaitu:
(4.18)
Dan nilai cost optimal J¿=x0T P x0.
(Kasus khusus) jika x0 adalah vektor random dimana
(4.19)
sehingga diperoleh
(4.20)
Berlaku dualitas Filter Kalman vs LQR
Kedua masalah kontrol di atas ekivalen (dual) jika:
77
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 5 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian)
1.16 PendahuluanMasalah desain kontrol dalam dunia riil seringkali kita tidak dapat mengukur
seluruh variabel state dari plant yang diberikan. Maka dari itu, LQR, meskipun
mempunyain margin penguatan dan margin fasa yang sangat bagus (GM=∞ dan
PM=60 °), namun sulit direalisasikan karena menggunakan semua variabel state
sebagai umpan balik, u=−Fx. Untuk situasi praktis, hanya informasi parsial dari
state pada plant yang diberikan dapat diakses/diukur untuk umpan balik. Muncul
pertanyaan:
“Dapatkah kita mengestimasi variabel state dari plant melalui informasi
pengukuran parsial?” Jawaban: ya, dengan Filter Kalman. Lalu selanjutnya
“Apakah kita dapat mengganti state pada sinyal kontrol optimal, u=−Fx, diganti
dengan state estimasi untuk membangun/mendesain sistem kontrol yang
optimal?” Jawaban: ya, dengan LQG.
“Apakah masih ada metode impresif lainnya terkait dengan LQG? Jawaban: tidak.
Solusi pendekatan lain yaitu dengan loop transfer recovery (LTR), tidak tercakup
di dalam bab ini.
1.17 Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)Diberikan karakteristik plant;
(5.1)
Dimana mean/rata-rata dari v (t) dan w (t) adalah nol (white signal), dan
diasumsikan v (t), w (t), dan x (0 ) saling bebas/independen, sehingga berlaku
Indeks performansi dimodelkan sebagai berikut;
(5.2)
Tujuan pengendalian LQG yaitu untuk mendesain sinyal kontrol dengan hanya
berasal dari informasi yang dapat diukur sehingga ketika dimasukkan ke plant
78
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
sebagai input, sistem keseluruhan akan stabil dan indeks performansi akan
minimum.
Solusi Masalah LQG (dengan Prinsip Separasi/Pemisahan):
Langkah 1: Desain sinyal kontrol LQR, u=−Fx
Diberikan sistem sebagai berikut;
(5.4)
Lakukan komputasi/perhitungan untuk mencari solusi persamaan Riccati;
(5.5)
Langkah 2: Desain Filter Kalman sesuai dengan plant yang diberikan
(5.6)
Dimana
(5.7)
Langkah 3: Cari sinyal kontrol LQG, u=−F x
(5.8)
Representasi dalam diagram blok:
Gambar 5.1. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG
79
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 5.2. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG (detil)
1.18 Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQGDiberikan persamaan dinamik plant:
(5.9)
Persamaan dinamik kontroler/pengendali:
(5.10)
Misal didefinisikan variabel baru, error state dan estimator, e=x− x sehingga:
(5.11)
Dan persamaan plant dengan tambahan variabel e:
(5.12)
Persamaan sistem lup-tertutup yang baru menjadi:
(5.13)
Akar-akar persamaan karakteristik lup tertutup diberikan dari nilai eigen:
(5.14)
dimana menentukan kestabilan sistem.
80
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 6 Kontrol Robust
1.19 PengenalanMasalah kontrol secara umum:
Tujuan Pengendalian yaitu untuk menghasilkan respon keluaran sistem sesuai
dengan referensi yang diinginkan.
Representasi dari dinamika plant tak tentu (uncertain)
Keterangan:
Nominal plant adalah sistem linier invarian waktu dalam domain frekuensi.
Perturbasi adalah set/kumpulan dari anggota gangguan-gangguan yang
mungkin.
Tujuan analisis:
Performansi nominal (Kontrol optimal dengan H 2): apakah respons lup-
tertutup dapat diterima/sesuai dengan desain kontrol untuk kondisi
melibatkan disturbance, sensor noise, dan command?
Kestabilan Robust (Kontrol optimal dengan H∞): apakah sistem lup-tertutup
stabil untuk plant nominal? Dan juga untuk semua perturbasi pada sistem?
81
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Performansi Robust (Kombinasi kontrol optimal H 2/H∞): apakah respons
lup tertutup dapat diterima untuk semua perturbasi yang mungkin dan
semua input eksternal? Secara simultan (berbarengan)?
Gambar 6.1. Desain masalah kontrol robust secara umum
Representasi diagam blok kontrol klasik dengan umpan balik dalam struktur
interkoneksi umum dalam blok kontrol robust:
Gambar 6.2. Blok diagram kontrol klasik
Gambar 6.3. Desain masalah kontrol robust (keluaran yaitu sinyal galat dan masukan sistem adalah sinyal referensi input)
82
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
1.20 Kontrol Optimal H 2 dan H∞
Masalah kontrol untuk sistem linier invarian-waktu, Σ, dengan pengendali, Σc
(asumsi sistem stabilizable dan detectable):
Gambar 6.4. Diagram umum masalah kontrol robust
Sistem dinamik plant:
(6.1)
Sistem dinamik pengendali/kontroler:
(6.2)
Keterangan:
Masalah kontrol optimal H 2 dan H∞ adalah untuk mendesain sinyal kontrol yang
tepat/proper Σc sehingga ketika dimasukkan ke plant (dengan gangguan), Σ
diperoleh:
Sistem lup-tertutup stabil secara internal (kondisi perlu/necesarry untuk
sembarang desain sistem kontrol)
Fungsi alih lup-tertutup, dari gangguan w terhadap controlled output z, T zw,
dapat sekecil mungkin, dengan kata lain pengaruh ganggunan terhadap
keluaran yang dikontrol akan minimum.
- Kontrol optimal H 2: H 2−norm dari T zw (s ) minimum.
- Kontrol optimal H 2: H∞−norm dari T zw (s ) minimum.
83
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
NB: fungsi alih memiliki frekuensi berkisar dari 0 sampai ∞. Cukup sulit
mengatakan pengaruh tersebut besar/kecil. Metode praktis adalah dengan
mengukur nilai norm-nya, yaitu H 2−norm dan H∞−norm.
Pertimbangkan suatu ruang keadaan sistem
Σ :{ x=Ax+Bu+Ewy=C1 x+0u+D1 wz=C2 x+D2 u+0 w
(6.3)
dan kendali
Σc :{v=Ac v+Bc yu=Cc v+Dc y
(6.4)
Maka dapat kita tuliskan
v=Ac v+Bc (C1 x+D1 w )=Ac v+Bc C1 x+Bc D1 w (6.5)
selanjutnya
x=Ax+B(C c v+Dc y)+Ew
y=C1 x+0 u+D 1w
z=C2 x+D2(C c v+Dc y ) (6.6)
dan
x=Ax+B C c v+B Dc (C1 x+D1 w)+Ew
z=C2 x+D2 Cc v+D2 Dc (C1 x+D 1w) (6.7)
lebih lanjut
x=Ax+B C c v+B Dc y+Ew
z=C2 x+D2 Cc v+D2 Dc y (6.8)
dan
x=(A+B D c C1) x+B C c v+(E+B Dc D1)w
z=(C¿¿2+D2 Dc C1) x+D2C c v+D2 D c D1 w ¿ (6.9)
Sehingga
(6.10)
Kemudian, fungsi alih closed loop w-z dituliskan:
84
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
T zw (s )=C cl(sI−Acl)−1 Bcl+¿Dcl¿ (6.11)
Sistem closed loop akan stabil secara internal jika dan hanya jika nilai eigen dari
Acl=[A+B Dc C1 B C c
Bc C1 Ac] (6.12)
Terletak di sebelah kiri bidang kompleks
Catatan Penting 1:
Pada kasus umpan balik keadaan (state feedback), C1=I dan D=0, yakni semua
semua state system terukur, Σc dapat direduksi menjadi u=Fx dan fungsi alih
closed loop dapat direduksi:
T zw (s )=(C2+D2 F )(sI−A−BF)−1 E (6.13)
dan A+BF memiliki nilai eigen yang stabil
Norm-H2 suatu fungsi alih
Definisi: Untuk fungsi alih T zw yang stabil dan sesuai, maka norm H2-nya
didefinisikan:
(6.14)
Secara grafis
Gambar 6.5. Ilustrasi grafik luasan H 2−norm
Norm H2 merupakan energi keseluruhan berkaitan dengan tanggapan impuls dari
T zw (s ), sehingga meminimalkan norm H2 suatu fungsi alih T zw (s ) berarti
meminimalkan energi dari gangguan w menuju output terkendali z.
Norm-H∞ suatu fungsi alih
Definisi: Untuk fungsi alih T zw (s ) yang stabil dan sesuai, maka norm H∞-nya
didefinisikan:
85
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
‖T zw‖∞=σ max (6.15)
Secara grafis
Gambar 6.6. Ilustrasi grafik luasan H∞−norm
Norm H∞ merupakan penguatan untuk kondisi terburuk dalam T zw (s ), sehingga
meminimalkan norm H∞ suatu fungsi alih T zw (s ) berarti meminimalkan situasi
(penguatan) terburuk, dari gangguan w menuju output terkendali z.
Infima dan Kendali Optimal
Infimum norm-H2 suatu matriks alih closed loop T zw (s ) yang secara
keseluruhan menstabilkan kendali yang tepat, dituliskan:
(6.16)
Kendali Σc dikatakan sebagai kendali optimal H2 jika secara internal menstabilkan
Σ dan ‖T zw‖2=γ 2¿
Infimum norm-H∞ suatu matriks alih closed loop T zw (s ) yang secara
keseluruhan menstabilkan kendali yang tepat, dituliskan:
(6.17)
Kendali Σc dikatakan sebagai kendali sub optimal-γ H∞ jika secara internal
menstabilkan Σ dan ‖T zw‖∞<γ (¿ γ ∞¿ ).
Asumsi kritis: kasus regular dan kasus singular
Kebanyakan hasil kendali H2 dan H∞ merupakan permasalahan regular karena
sederhana. Dikatakan regular jika memiliki kriteria sebagai berikut:
1. D2 merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank penuh
2. Sub system (A,B,C2,D2) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner
3. D1 merupakan rank baris maksimal, matrik yang lebar dan rank penuh
86
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
4. Sub system (A,E,C1,D1) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner
Dikatakan singular jika tidak memenuhi kriteria diatas, atau paling tidak satu
kondisi diatas dipenuhi
Contoh 1: Problem umpan balik keadaan (state feedback)
Pada kasus ini, semua state system diketahui
(A,B) dapat distabilkan, D2 merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi
dan rank penuh
Aksi kendali statis
u=Fx
Selesaikan aljabar riccati
AT P+PA+C2T C2−(PB+C2
T D2 ) (D2T D2 )
−1 ( D2T C2+BT P )=0
Untuk P ≥ 0, matrik semi definit positif
Maka
u=Fx=−( D2T D2 )
−1 (D2T C2+BT P ) x
‖T zw‖2=γ 2¿
Dan dapat juga dituliskan
γ 2¿=[ trace (ET PE)]
12
Jika sistem
Maka aljabar riccati dan kendali nya:
87
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
P=[144 4040 16], F=[−41 −17 ]
Tanggapan magnitude closed loop output terkendali terhadap disturbance,
digambarkan:
10-2
10-1
100
101
102
103
104
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frekuensi (rad/s)
Mag
nitu
do
Tzw
Kinerja optimal atau nilai infinum:
γ 2¿=19.1833
Syntax MATLAB:
Diperoleh hasil:
88
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
s = tf('s'); % variabel s, LaplaceA = [5 2;3 4]; % matriks AB = [0;1]; % matriks BE = [1;2]; % matriks EC1 = 1; % matriks C1C2 = [1 1]; % matriks C2D2 = 1; % matriks D2Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmentedBb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmentedCb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmentedP = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricattiF = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedbackgamma2star = sqrt(trace(E'*P*E))% nilai H2 infimumTzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih closed-loop w ke zx = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafikxlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')
1.21 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust Masalah utama dari kendali Robust dibagi menjadi tiga pokok bahasan:
pemodelan ketidakpastian (uncertainty), yaitu membangun model matematis dari
ketidakpastian dari plant dan sinyal gangguan (disturbance). Selanjutnya kedua
adalah analisis robust, jika diberikan sistem lup terbuka dan tertutup, lalu
menentukan kestabilan robust dan atau performansi robust. Ketiga adalah masalah
desain kontroler robust, yaitu merancang kontroler yang menjamin kestabilan
robust dan atau performansi robust.
1.21.1 Ketidakpastian (uncertainty)Di kuliah ini hanya dibahas tentang ketidakpastian tak terstruktur
(unstructured uncertainty). Gangguan dinamik yang terjadi pada sistem berbeda
dapat dibangun menjadi satu blok gangguan, ∆. Untuk kasus sistem linier invarian
waktu, blok Δ dapat direpresentasikan ke dalam matriks fungsi alih tak tentu.
Diberikan sistem aktual (sistem dengan gangguan), G p(s) dan model nominal dari
sistem fisik, Go(s).
1. Gangguan dalam bentuk penambahan
Gambar 6.7. Konfigurasi gangguan dalam bentuk penambahan (additive).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk penambahan dapat dimodelkan sebagai
berikut:
89
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
P = 144.0000 40.0000 40.0000 16.0000
F = -41.0000 -17.0000
gamma2star = 19.1833
G p (s )=Go ( s)+Δ (s ) (6.18)
2. Gangguan dalam bentuk perkalian input
Gambar 6.8. Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input multiplicative).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian input dapat dimodelkan sebagai
berikut:
G p (s )=Go ( s) [ I+Δ (s ) ] (6.19)
3. Gangguan dalam bentuk perkalian output
Gambar 6.9. Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input multiplicative).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian output dapat dimodelkan
sebagai berikut:
G p (s )=Go ( s) [ I+Δ (s ) ] (6.20)
Contoh 1: Ketidakpastian waktu konstan
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
G (s )= 1Ts+1
, T min ≤T ≤ T max
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari G (s ).
Syntax MATLAB:
90
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
clear all;T = ureal('T',1,'percentage',10);sys = tf(1,[T,1]);step(sys)
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Contoh 2: Ketidakpastian frekuensi alami
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
G (s )= ω2
s2+2ξωs+ω2 ,ωmin≤ ω≤ ωmax
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari G (s ).
Syntax MATLAB:
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Contoh 3: Ketidakpastian model ruang keadaan (state-space)
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
91
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
clear all;w = ureal('w',1,'range',[0.9,1.1]);sys = tf(w^2,[1 2*0.5*w w^2]);bode(sys)
{x (t )=[ 0 1−km
−bm ] x (t )+[01]u (t )
y (t )=[ 1m
0] x ( t )
,
m∈ [mmin , mmax ]b∈ [bmin , bmax ]k∈ [kmin , k max ]
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari G (s ).
Syntax MATLAB:
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
1.21.2 Kestabilan RobustDiberikan plant tak tentu dengan gangguan tak terstruktur seperti gambar berikut:
92
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
clear all;m = ureal('m',1,'perc',10);b = ureal('b',1,'perc',5);k = ureal('k',1,'perc',20);A = [0 1;-k/m -b/m];B = [0;1];C = [1/m 0];D = 0;sys = ss(A,B,C,D);bode(usample(sys,30))
Gambar 6.10. Transformasi bentuk umum sistem kendali robust ke dalam bentuk interkoneksi T zw dan blok uncertainty, ∆.
Small gain theory:
Jika Δ stabil dan ‖Δ‖∞∙‖M‖∞<1, maka sistem yang terhubung akan stabil.
Diasumsikan ‖T zw‖∞<γ . Sistem dengan ketidakpastian tak struktur jika
‖T zw‖∞∙‖Δ‖∞<γ ∙‖Δ‖∞<1⇒‖Δ‖∞<1γ
Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk penambahan:
dimana:
Σm dengan fungsi alih Gm (s )=Cm (sI−Am )−1 Bm+Dm
Σe adalah gangguan tak tentu
Σm dan Σm+Σe memiliki jumlah pole tak stabil yang sama
Diberikan γ a>0, masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk penambahan
pada plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut
diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang
93
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
stabil untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan L∞−norm≤ γ a. (Definisi
L∞−norm sama dengan H∞−norm terkecuali untuk L∞−norm, sistem tidak harus
selalu stabil). Masalah tersebut ekivalen dengan mencari H∞ aksi kontrol
suboptimal (dengan γ=1 /γa) untuk sistem:
Σadditive :{x=Am x+Bm u+0 wy=Cm x+Dm u+ Iw
z=0 x+ Iu(6.21)
Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk perkalian input:
dimana:
Σm dengan fungsi alih Gm (s )=Cm (sI−Am )−1 Bm+Dm
Σe adalah gangguan tak tentu
Σm dan Σm × Σe memiliki jumlah pole tak stabil yang sama
Diberikan γ m>0, masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk perkalian pada
plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut
diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang
stabil untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan L∞−norm≤ γ m. Masalah
tersebut ekivalen dengan mencari H∞ aksi kontrol suboptimal (dengan γ=1 /γm)
untuk sistem berikut:
Σmultiplicative : { x=Am x+Bmu+Bm wy=Cm x+Dm u+Dm w
z=0 x+ Iu(6.22)
1.21.3 Linear Transformation Fractional (LFT)
(a) (b)
94
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Gambar 6.11. (a) Diagram blok lower LFT (b) Diagram blok upper LFT
Lower LFT
Persamaan ruang keadaan sistem lower LFT:
[ yz ]=[M 11 M 12
M21 M 22][ u
w ]w=∆ z
(6.23)
Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:
y=F l ( M , Δ )u (6.24)
dimana F l ( M , Δ) adalah fungsi alih u ke y untuk lower LFT, diperoleh:
F l ( M , Δ)=M11+M 12 Δ ( I−M 22 Δ)−1 M 21 (6.25)
Upper LFT
Persamaan ruang keadaan sistem upper LFT:
[ zy ]=[M 11 M 12
M21 M 22][wu ]
w=∆ z
(6.26)
Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:
y=Fu ( M , Δ )u (6.27)
dimana Fu ( M , Δ) adalah fungsi alih u ke y upper LFT, diperoleh:
Fu ( M , Δ)=M 22+M 21 Δ ( I−M 11 Δ)−1 M 12 (6.28)
95
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
BAB 7 Studi Kasus
7.1 Sistem Mass-Damper-SpringSuatu sistem massa-peredam-pegas yang memiliki 1 derajat kebebasan (1DOF / 1
Degree-of-Freedom) digambarkan sebagai berikut.
Gambar 7.1 Sistem Massa-Peredam-Pegas
Persamaan dinamik sistem ini didefinisikan sebagai persamaan turunan orde 2
berdasarkan hukum kedua Newton.
m x+c x+kx=u
Keterangan: x = jarak perpindahan posisi massa terhadap posisi ekuilibrium
u = besar gaya yang menggerakkan massa
m = massa
c = konstanta peredam
k = konstanta pegas
Gambar 7.2 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas
Asumsi nilai dari parameter fisik sistem adalah sebagai berikut.
m=m (1+ pm δm ) ; c=c (1+ pc δ c) ; k=k (1+ pk δ k )
Dimana m=3, c=1, k=2 disebut sebagai nilai nominal, sedangkan pm=0.4,
pc=0.2, pk=0.3, −1 ≤ δm , δ c , δ k ≤ 1 disebut gangguan relatif yang mungkin dari
ketiga parameter.
96
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Linear Fractional Transformation (LFT) dari parameter di atas didefinisikan
sebagai berikut.
1m= 1
m (1+pm δm )= 1
m−
pm
mδ m (1+ pm δm )−1=FU (M mi , δm )
M mi=[−pm1m
−pm1m]
c=c (1+ pc δ c)=FU (M c , δc )
M c=[ 0 cpc c ]
k=k (1+ pk δ k )=FU (M k , δ k )
M k=[ 0 kpk k ]
Gambar 7.3 Diagram Representasi LFT dari Parameter Ketidakpastian
Gambar 7.4 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas dengan Parameter
Ketidakpastian
Dengan substitusi seperti di atas, bentuk persamaan dari semua input terhadap
output sesuai dengan parameter pertubansinya menjadi sebagai berikut.
97
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
[ ym
x ]=[−pm1m
−pm1m] [ um
u−vc−vk ]
[ yc
vc]=[ 0 c
pc c ][uc
x ][ yk
vk]=[ 0 k
pk k ][uk
x ]um=δm ym
uc=δc yc
uk=δ k yk
Asumsi :
x1=x , x2= x= x1 , y=x1 , x2= x= x1
Sehingga didapat persamaan-persamaan sistem sebagai berikut.
x1=x2
x2=−pm um+1m
(u−vc−vk )
ym=−pmum+1m
(u−vc−v k)
yc=c x2
yk=k x1
vc=pc uc+c x2
vk=pk uk+k x1
Dengan mengeliminasi variabel vc dan vk, persamaan sistem dinamiknya menjadi
sebagai berikut.
98
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
Asumsikan Gmds adalah dinamika input/output dari sistem massa-peredam-pegas
yang meliputi parameter ketidakpastian seperti digambarkan pada gambar 7.5.
Gmds memiliki 4 buah input (um, uc, uk, u), 4 buah output ( ym, yc, yk, y) dan 2 buah
state (x1, x2).
Gambar 7.5 Blok Diagram Input/Output Sistem Massa-Peredam-Pegas
Representasi Gmds dalam bentuk state space
Gmds=[ A B1 B2
C1 D 11 D12
C2 D21 D22]
dengan
A=[ 0 1−km
−cm ] , B1=[ 0 0 0
−pm
−pc
m
−pk
m ] , B2=[ 01m ]
C1=[−km
−cm
0 ck 0
] , D11=[−pm
−pc
m
−pk
m0 0 00 0 0
] , D12=[ 1m00]
C2=[1 0 ] , D21=[0 0 0 ] , D22=0
Berdasarkan penurunan di atas, Gmds bergantung pada m, c, k , pm,pc, pk dan
persamaan differensial dari y terhadap u. Sehingga Gmds adalah fungsi yang sudah
diketahui dan tidak mengandung parameter ketidakpastian.
Syntax MATLAB:
99
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
100
ELGK4B3 Kontrol Lanjut
clear all; %parameter sistemm = 3; c = 1; k = 2;pm = 0.4; pc = 0.2; pk = 0.3; %matriks sistemA = [0 1; -k/m -c/m];B1 = [0 0 0; -pm -pc/m -pk/m];B2 = [0; 1/m];C1 = [-k/m -c/m; 0 c; k 0];C2 = [1 0];D11 = [-pm -pc/m -pk/m; 0 0 0; 0 0 0];D12 = [1/m; 0; 0];D21 = [0 0 0];D22 = 0; G = ss(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);Gp = pck(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);