Digital Image Processing, 3rd ed. © 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Gonzalez & Woods Chapter 2 Digital Image Fundamentals

Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.

www.ImageProcessingPlace.com

© 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Gonzalez & Woods

Chapter 2 Digital Image Fundamentals


Diagrama simplificado de uma seção do olho humano




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Distribuição de cones e bastonetes na retina




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Representação gráfica do olho vendo uma palmeira.

O ponto C é o centro óptico da lente.




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Intervalo da sensação de brilho subjetivo mostrando um particular nível de adaptação.

scotopic – bastonetesphotopic - cones

0,001 a 0,1 mililambert = -3 a -1 mL




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Arranjo usado para caracterizar a discriminação de brilho.

I = intensidade de fundoI + Ic = intensidade dentro do círculo

A relação Ic / I é chamada de razão de Weber




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Razão de Weber típico como função da intensidade.

bastonetes

cones




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Ilustração do efeito de banda de Mach. A intensidade percebida não é função simples da intensidade real.

real

percebida




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Exemplos de contraste simultâneo. Todos os quadrados internos tem a mesma intensidade, porém, eles parecem escurecer a medida que o fundo vai clareando.




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Algumas ilusões de óptica bem conhecidas.




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Espectro eletromagnético. O espectro visível é mostrado em zoom para facilitar a explicação, mas o espectro visível é uma porção muito pequena.




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Representação gráfica de um comprimento de onda.




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• Modelo de formação da imagem usando iluminação:

• Função 2D de f(x,y)

f(x,y) é positivo e escalar obtido por: f(x,y) = i(x,y)r(x,y)

onde i(x,y) é a intensidade da luz 0 < i(x,y) < infinito

e r(x,y) é a reflectância 0 < r(x,y) < 1




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Convenções de coordenadas: (a) da maioria dos livros (b) no Image Processing Toobox (IPT - MATLAB)

(a) (b)




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(a) sensor pontual de imagem (b) linha de sensores (b) matriz de sensores




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Combinando um sensor pontual de imagem com movimento para gerar uma imagem 2-D.




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(a) Aquisição de imagem usando uma linha de sensores. (b) usando uma circunferência de sensores




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Um exemplo de um processo de aquisição. (a) iluminação (b) elemento de cena (c) sistema de imageamento (d) projeção da cena num plano (d) imagem digitalizada.




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Geração de uma imagem digital. (a) imagem contínua (b) uma linha passando de A a B mostra a intensidade contínua (c) amostragem e quantização (d) linha digital passando de A a B

amostragem quantização(intensidade discreta)(linha A a B

discreta)




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(a) imagem contínua projetada numa matriz de sensores(b) Resultado da imagem amostrada e quantizada




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(a) Imagem plotada como uma superfície(b) Imagem mostrada como uma matriz de intensidade visual(c) Imagem mostrada como uma matriz 2D numérica (0, 0.5 e 1, representando preto, cinza e branco)




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Uma imagem exibindo saturação e ruído.

Saturação é a aproximação dos níveis acima de um nível para aquele nível.

Ruído aparece como uma granulação na textura.




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N = número de pixels na linha k = número de bits por pixel

Número de bits necessários para vários valores de N e k.




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Efeitos típicos de redução de resolução espacial. Imagens mostradas: (a) 1250 dpi (b) 300 dpi (c) 150 dpi (d) 70 dpi




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(a) Imagem 452x374 de 256 níveis(b) a (d) imagens mostradas a 128,(c) 64, e 32 níveis de cinza, mantendo a resolução espacial




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(e) a (h) imagens mostradas a 16, 8, 4 e 2 níveis de cinza.




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(a) Imagem com um baixo nível de detalhes(b) Imagem com nível médio de detalhes(c) Imagens com uma quantidade relativamente alta de detalhes




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Curvas de isopreferência para os 3 tipos de imagens, em função de N e k.

A isopreferência foi levantada por observadores que classificaram as imagens de acordo com a qualidade subjetiva.




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• Interpolação de imagem• Interpolação é extensivamente usada em tarefas como ampliação (zooming),

encolhimento (shrinking), rotação e correções geométricas.• Interpolação é o processo de usar dados conhecidos para estimar valores em locais

desconhecidos.• Supomos que uma imagem de 500x500 pixels deve ser ampliado 1,5 vezes para

750x750 pixels. • Uma forma de visualizar essa ampliação é criar uma grade imaginária 750x750

com o mesmo espaçamento da imagem original e então encolher essa grade até que ela se enquadre sobre a imagem original.

• Obviamente, o espaçamento na grade encolhida de 750x750 pixels é menor que na imagem original.

• Para realizar a atribuição de nível de intensidade para qualquer ponto na grade de 750x750, olha-se o pixel mais próximo na imagem original e atribui a sua intensidade para o novo pixel.

• Quando tivermos realizada a atribuição de todos os 750x750 pixels expande-se a grade para o tamanho original obtendo a imagem ampliada.

• O método acima é chamado de interpolação de vizinho mais próximo (nearest neighbor interpolation).




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• O procedimento do vizinho mais próximo é simples mas existe uma tendência a produzir efeitos indesejáveis, como uma distorção severa em arestas (edges) retas. Por isso o método não é muito usado.

• Uma abordagem mais adequada é a interpolação bilinear, em que usamos os quatro vizinhos mais próximos para estimar a intensidade numa dada posição.

• Seja (x,y) as coordenadas da posição considerada, e seja v(x,y) o valor da intensidade.

• Para a interpolação bilinear, o valor atribuído é obtido usando a equação v(x,y) = ax + by + cxy +d (eq. 2.4-6) onde os quatro coeficientes são determinados de quatro equações em quatro

incógnitas que podem ser escritas usando os quatro vizinhos mais próximos do ponto (x,y). • O resultado é melhor que a interpolação de vizinho mais próximo, com um

pequeno incremento no custo computacional.




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• O próximo nível de complexidade é a interpolação bicúbica, que envolve dezesseis vizinhos mais próximos de um ponto.

• O valor da intensidade atribuído ao ponto (x,y) é obtido usando a equação

(eq. 2.4-7)

onde os dezesseis coeficientes são determinados de dezesseis equações em dezesseis incógnitas que podem ser escritas usando os dezesseis vizinhos mais próximos do ponto (x,y).

• Observa-se que a eq. 2.4-7 reduz em forma para eq. 2.4-6 se os limites de ambos os somatórios são 0 e 1.

• Geralmente a interpolação bicúbica realiza um papel melhor de preservar detalhes que a interpolação bilinear.

• Interpolação bicúbica é o padrão usado em programas comerciais como Adobe Photoshop e Corel Photopaint.

j

i j

iij yxayxv

3

0

3

0

),(




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(a) imagem reduzida a 72 dpi e expandida de volta a 3692x 2812 usando interpolação de vizinho mais próximo. Essa figura é a mesma da Fig. 2.20 (d).(b) Imagem encolhida e expandida usando interpolação bilinear.(c) Como em (b) mas usando interpolação bicúbica(d) a (f) mesma sequência, mas encolhendo para 150 dpi ao invés de 72 dpi.




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• Relações entre pixels

– Um pixel p numa coordenada (x,y) tem quatro vizinhos cujas coordenadas são:

– (x+1,y), (x-1,y),(x,y+1) e (x,y-1)

– Esse conjunto de pixels é chamado de vizinhança-4 de p, denotado por N4(p)

– Os quatro vizinhos na diagonal de p tem coordenadas:

– (x+1,y+1),(x+1,y-1),(x-1,y+1) e (x-1,y-1)

– E são denotados por ND(p)

– O conjunto de N4(p) e ND(p) é chamado de vizinhança-8, e denotado por N8(p).




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• Adjacência, conectividade, regiões e contornos

– Seja V o conjunto de valores de intensidade usado para a definição de adjacência.

– Adjacência-4: dois pixels p e q, com valores no conjunto V, tem adjacência-4 se q está no conjunto N4(p).

– Adjacência-8: dois pixels p e q, com valores no conjunto V, tem adjacência-8 se q está no conjunto N8(p).

– Adjacência-m (mista): dois pixels p e q, com valores no conjunto V, tem adjacência-m se q está no conjunto N4(p), ou q está em ND(p) e se a intersecção do conjunto N4(p) e N4 (q) não tem nenhum pixel com valor em V.




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Um caminho digital ou curva digital de um pixel p com coordenadas (x,y) a um pixel q com coordenadas (s,t) é uma sequência de pixels distintos com coordenadas (x0,y0), (x1,y1), ..., (xn, yn) onde (x0,y0) = (x,y), (xn,yn) = (s,t) e pixels (xi, yi) e (xi-1, yi-1) são adjacentes para .

Neste caso, n é o comprimento do caminho.

Se (x0,y0) = (xn, yn), o caminho é fechado.Pode-se definir caminho-4, caminho-8, ou caminho-m, dependendo do tipo de adjacência especificado.

ni1




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• Seja S um subconjunto de pixels de uma imagem.

• Dois pixels p e q são ditos conectados em S se existe um caminho entre

eles consistindo inteiramente de pixels em S.

• Para qualquer pixel p em S, o conjunto de pixels que são conectados a ele

em S é chamado um componente conectado de S. Se existe apenas um

componente conectado, então S é chamado de conjunto conectado.

• Seja R um subconjunto de pixels numa imagem. Chamamos R de uma região

da imagem se R é um conjunto conectado.

• Duas regiões Ri e Rj são chamados adjacentes se a sua união forma

um conjunto conectado.

• Regiões que não são adjacentes são ditos disjuntos.

• Existem adjacências-4, -8 quando se refere a regiões.




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• Supõe-se que uma imagem contenha K regiões disjuntas, Rk, k = 1,2,...,K,

nenhuma delas tocando a borda da imagem.

• Seja Ru a união de todas as K regiões, e seja (Ru)c o seu complemento (o complemento de um conjunto S é um conjunto de pontos que não pertencem a S).

• Chama-se todos os pontos em Ru de foreground, e todos os pontos em (Ru)c de background da imagem.

• O contorno (boundary) ou borda (border) de uma região R é o conjunto de pontos que são adjacentes a pontos do complemento de R. Ou seja, a borda de uma região é o conjunto de pixels na região que tem pelo menos um vizinho background.




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• A definição anterior se refere à borda interna (inner border) da região para distinguir da borda externa (outer border), que é a borda correspondente no background.

• Muitos algoritmos são formulados em função do outer border para garantir que o resultado forme um caminho fechado.

• Por exemplo, na Fig. 2.25 (f) a borda interna da região com valores 1 é a própria região. Essa borda não satisfaz a definição de um caminho fechado.

• Por outro lado, a borda externa da região forma um caminho fechado em torno da região.

• Se R for uma imagem inteira, então a sua borda é definida como o conjunto de pixels da primeira e última linhas e colunas da imagem.

• A definição acima é necessária porque uma imagem não tem vizinhos além da borda.




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• O conceito de edge (aresta) é diferente de borda (border ou boundary).

• A borda de uma região finita forma um caminho fechado.

• Edges são formados de pixels com valores derivativos que excedem um limiar.

• Assim um edge é baseado numa medida de descontinuidade do nível de intensidade.

• Quando a imagem é binária, pode coincidir um edge e borda de uma região.




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(a) Um arranjo de pixels(b) Pixels que são adjacente-8 (adjacências mostradas em linhas tracejadas)(c) adjacência-m(d) Duas regiões que são adjacentes se usar adjacência-8(e) O ponto circulado é parte de um contorno de pixels com valor 1 somente se adjacência-8 entre a região e o background é usada.(f) O contorno interno da região com valor 1 não forma um caminho fechado, mas o seu contorno externo sim.




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• Medidas de distância

– Para pixels p, q e z com coordenadas (x,y), (s,t) e (v,w), respectivamente, D é uma função distância ou métrica se:

– (a)

– (b)

– (c)

– A distância euclidiana entre p e q é definida por

),0),((0),( qpiffqpDqpD epqDqpD ),,(),(

).,(),(),( zqDqpDzpD

2122),( tysxqpDe




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• A distância D4 (city-block distance) entre p e q é definida por:

• A distância D8 (chessboard distance)

é definida por:

||||),(4 tysxqpD 2

2 1 22 1 0 1 2

2 1 22

|)||,max(|),(8 tysxqpD 2 2 2 2 22 1 1 1 22 1 0 1 22 1 1 1 22 2 2 2 2

(x,y)

(x,y)

(s,t)

(s,t)

posição Posição de

Posição de

posição

Distância na

Distância na




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• Operações array versus matrix:

– Sejam

– Array product:

– Matrix product:

2221

1211

2221

1211

bb

bbe

aa

aa

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

baba

baba

bb

bb

aa

aa

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

babababa

babababa

bb

bb

aa

aa




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• Operações lineares versus não-lineares.– Considerando-se um operador genérico H, que produz uma imagem de

saída g(x,y), para uma dada imagem de entrada f(x,y):

H [ f(x,y) ] = g (x,y)

– H é um operador linear se

onde ai , aj , fi(x,y) e fj(x,y) são

constantes arbitrárias e imagens de mesmo tamanho, respectivamente.

),(),(

),(),(),(),(

yxgayxga

yxfHayxfHayxfayxfaH

jjii

jjiijjii

Aditividade – a saída de uma operação linear da soma de duas entradas é a mesma que realizar a operação linear individualmente para as entradas e somar o resultado.

Homogeneidade – a saída de uma operação sobre a entrada multiplicada por uma constante é igual a saída da operação sobre a entrada original multiplicada pela constante.




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• Exemplo. Seja H operador soma .

74

56),(e

32

20),( 21 yxfyxf

),(),(

),(),(

),(),(),(),(

2211

2211

22112211

yxgayxga

yxfayxfa

yxfayxfayxfayxfa

Sejam

Verificar se H é linear, usando as matrizes acima e adotando valores para as constantes a1 e a2 .




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74

56),(e

32

20),( 21 yxfyxf

242

36max

74

56)1(

32

20)1(max(

a1 = 1 e a2 = -1

Sejam

47)1(374

56max)1(

32

20max)1(

Seja o operador max que obtem o máximo elemento da matriz.

Portanto max é um operador não-linear.




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• Operações lineares são excepcionalmente importantes para processamento de imagens digitais.

• Sistemas não-lineares tem um escopo limitado de aplicações, porém, existem vários casos de aplicações em que o desempenho é melhor que os sistemas lineares.




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• Operações aritméticas sobre imagens:

s(x,y) = f(x,y) + g(x,y)

d(x,y) = f(x,y) – g(x,y)

p(x,y) = f(x,y) x g(x,y)

v(x,y) = f(x,y) g(x,y)

Onde as operações são feitas entre os pixels correspondentes em f e g para

x = 0,1,2,... M-1 e y=0,1,2,...,N-1,

onde M e N são os tamanhos de linha e coluna das imagens.




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• Exemplo: seja g(x,y) uma imagem corrompida formada com a adição de ruído (x,y) a uma imagem sem ruído f(x,y): g(x,y) = f(x,y) + (x,y) onde presume-se que a cada par de coordenadas (x,y) o ruído não esteja

correlacionado e tem média zero. • O objetivo do procedimento seguinte é reduzir o ruído somando um conjunto de

imagens ruidosas, {gi(x,y)}, e dividindo o resultado pelo número de imagens somadas. Essa é uma técnica frequentemente usada para o melhoramento de imagens.

• Na prática as imagens gi(x,y) devem ser alinhadas (registradas) para evitar a introdução de borramento (blurring).

K

ii yxg

Kyxg

1

),(1

),(

),(),( yxfyxgE




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(a) Imagem da galáxia corrompida por ruído Gaussiano aditivo.(b) – (f) Resultado da média com 5, 10, 20, 50 e 100 imagens ruidosas, respectivamente.




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• Aplicação frequente de subtração de imagens é no melhoramento das diferenças em imagens.

• Exemplo 1: imagem infravermelho da área de Washington, D.C. (Fig. 2.27)• Exemplo 2: radiografia no modo máscara.

g(x,y) = f(x,y) – h(x,y),

onde h(x,y) é uma máscara, em imagem de raios-X de uma região do corpo do paciente, capturado por uma câmera de TV intensificada. A imagem ativa de raios-X é denotada f(x,y).

(Fig. 2.28)




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(a) Imagem infravermelho da área de Washington, D.C.(b) Imagem obtida zerando o bit menos significativo de todos os pixels em (a)(c) Diferência das duas imagens, escalado para o intervalo [0,255].




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Angiografia de subtração digital.(a) Imagem máscara(b) Imagem ativa(c) Diferença entre (a) e (b)(d) Imagem da diferença melhorada




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• Exemplo de multiplicação (e divisão) de imagens é na correção de sombreamento.

g(x,y) = f(x,y)h(x,y)

f(x,y) é a imagem perfeita

g(x,y) é a imagem sombreada

h(x,y) é o padrão de sombreamento

Conhecendo-se g(x,y) e h(x,y), é possível obter a imagem f(x,y) multiplicando g(x,y) pelo inverso de h(x,y).




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Correção de sombreamento. (a) imagem SEM sombreada de um filamento de tungstênio e suporte, aumentado aprox. 130 vezes. (b) padrão de sombremento. (c) produto de (a) pelo recíproco de (b)




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• Uma outra aplicação de multiplicação de imagens é no mascaramento da região de interesse (ROI – Region Of Interest).

• A imagem a ser multiplicada é uma máscara que tem valor 1 na ROI e valor 0 em outras posições.




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(a) Imagem de raios-X digital. (b) máscaras de ROI (Region Of Interest) para isolar os dentes. (c) produto entre (a) e (b).




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• Operações lógicas e de conjunto

• Operações básicas de conjuntos. Seja A um conjunto composto de pares ordenados de números reais. Se a = (a1,a2) é um elemento de A, escrevemos

Se a não é um elemento de A escrevemos

O conjunto sem nenhum elemento é chamado conjunto vazio e é denotado por .Um conjunto é especificado usando duas chaves {.}, por exemplo:

onde o conjunto C é o conjunto de elementos tais que w são formados multiplicando cada um dos elementos do conjunto D por -1.

Aa

Aa

DddC ,|




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• Uma forma dos conjuntos serem usados em processamento de imagens é permitir que os elementos dos conjuntos serem coordenadas dos pixels que representam regiões de uma imagem.

• Se cada elemento de A é também elemento de B, então A é dito ser um subconjunto de B, denotado por

• A união de dois conjuntos A e B, denotada por

é o conjunto de elementos pertencentes a A, B ou ambos.

• Similarmente, a interseção de dois conjuntos A e B, denotada por

é o conjunto de elementos pertencentes a ambos A e B. Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos ou mutuamente exclusivos se eles não tem nenhum elemento em comum, caso em que

BAD

BAC

BA

BA




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• O conjunto universo é o conjunto de todos os elementos numa dada aplicação.

• O complemento de um conjunto A é o conjunto de elementos que não estão em A:

• A diferença de dois conjuntos A e B, denotada A – B é definida por

Vemos que este é um conjunto de elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.

• Podemos definir Ac em termos de U e estabelecer a equação

Ac = U – A.

cBABABA ,|

AAc |




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(a) Dois conjuntos de coordenadas, A e B no espaço 2D.(b) União de A e B(c) Intersecção de A e B(d) O complemento de A(e) A diferença entre A e B.

As áreas sombreadas representam os elementos da operação resultante.




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Operações de conjunto.(a) Imagem original(b) Imagem negativa usando complementação(c) União de (a) e uma imagem constante BbAabaBA ,|),max(

A união de dois conjuntos A e B em escala de cinza pode ser definida como o conjunto




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Operações lógicas envolvendo foreground (branco). As linhas tracejadas são mostradas para referência e não fazem parte do resultado




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Função de transformação de intensidade usada para obter o negativo de uma imagem de 8 bits.As setas tracejadas mostram a transformação de um valor de intensidade de entrada arbitrária z0

para um valor de saída correspondente s0.

Operações sobre pixels individuais (single-pixel operations)

S = T(z)




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Média local usando processamento de vizinhança. O procedimento é ilustrado em (a) e (b) para uma vizinhança retangular. (c) o angiograma aórtico (d) resultado usando Eq. 2.6-21, com m=n=41.Tamanho das imagens 790x686 pixels.

xyScr

crfmn

yxg),(

),(1

),( (eq.2.6-21)

Operações sobre a vizinhança




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• Transformações espaciais geométricas • Transformações geométricas modificam a relação espacial entre os pixels. Em termos

de processamento de imagens digitais a transformação geométrica consiste de duas operações básicas: (1) transformação espacial de coordenadas e (2) interpolação de intensidade que atribui valores de intensidade para pixels transformados.

• A transformação de coordenadas pode ser expressa por

• (x,y) = T {(v,w)}

• onde (v,w) são as coordenadas do pixel na imagem original e (x,y) são as coordenadas do pixel correspondente na imagem transformada.

• Uma das transformações mais comum é chamada transformada afim, que tem a forma:

1

0

0

111

3231

2221

1211

tt

tt

tt

wvwvyx T (eq. 2.6-23)




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Transformadas afins baseadas na eq. 2.6-23




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(a) Imagem de 300 dpi da letra T.(b) Imagem rotacionada 210 sentido horário usando interpolação de vizinho mais próximo (c) Imagem rotacionada 210 usando interpolação bilinear(d) Imagem rotacionada 210 usando interpolação bicúbica. a seção ampliada mostra detalhes da borda para as três abordagens




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• Registro de imagens (alinhamento)

• Registro de imagem é uma aplicação importante usada para alinhar dois ou mais imagens da mesma cena.

• No registro de imagem dispomos das imagens de entrada e de saída, mas a transformação específica que produziu a imagem de saída a partir da imagem de entrada é desconhecida.

• O problema é então estimar a função de transformação e então usá-la para registrar (alinhar) as duas imagens.

• A imagem de entrada é a imagem que queremos alinhar, e a imagem de referência é aquela usada para alinhar a imagem de entrada.

• Por exemplo, queremos alinhar duas ou mais imagens obtidas aproximadamente ao mesmo tempo, mas usando diferentes sistemas de imageamento, como MRI, PET. Ou talvez, as imagens foram tomadas em diferentes tempos usando um mesmo instrumento. Em ambos os casos, combinação de imagens para realizar análise quantitativa e comparações entre elas requer compensação das distorsões geométricas causadas por diferenças de ângulo de visão, distância e orientação, resolução de sensor, deslocamento na posição de objetos, e outros fatores.




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• Uma das principais abordagens é usar pontos de controle (tie points), que são pontos correspondentes conhecidos precisamente na imagem de entrada e na imagem de referência.

• Existem numerosas formas de selecionar os pontos de controle.• Em algumas aplicações, sistemas de imageamento tem artefatos físicos embutidos nos

sensores. Eles produzem um conjunto de pontos conhecidos nas imagens capturadas, que podem ser usadas como guias para estabelecer os pontos de controle.

• Para estimar a função de transformação, supomos que tenhamos um conjunto de quatro pontos de controle, na imagem de entrada e na imagem de referência. Um modelo simples baseado na aproximação bilinear é dada por

e

onde durante a fase de estimação, (v,w) e (x,y) são as coordenadas dos pontos de controle na imagem de entrada e na imagem de referência, respectivamente.

• Se tivermos quatro pares de pontos de controle correspondentes em duas imagens, podemos escrever oito equações usando as equaçãoes acima, e obtemos os 8 coeficientes desconhecidos.

8765 cvwcwcvcy

4321 cvwcwcvcx




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Registro de imagens.(a) Imagem de referência(b) Imagem de entrada (distorcida geometrica/)(c) Imagem registrada(d) Diferença entre (a) e (c)




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• Operações vetoriais e matriciais

• O processamento de imagens multiespectrais é uma área típica em que operaçõese vetoriais e matriciais são usadas. Por exemplo, cada pixel de uma imagem RGB tem 3 componentes, que podem ser organizados na forma de um vetor coluna

onde z1 é a intensidade do pixel na imagem vermelha, e os dois outros elementos são os pixels nas imagens verde e azul, respectivamente. Assim, uma imagem RGB de tamanho MxN pode ser representada por 3 imagens componentes, ou por um total de MN vetores 3D.

3

2

1

z

z

z

z




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• A distância euclidiana D entre um vetor de pixel z e um ponto arbitrário a num espaço n-dimensional é definida como o produto vetorial:

• Uma transformação linear sobre um vetor de pixel é dada por

onde A é uma matriz de tamanho mxn e z e a são vetores coluna de tamanho n x1.

Uma outra aplicação das operações vetoriais e matriciais é a representação de uma imagem MxN como um vetor de dimensão MNx1 fazendo com que a primeira linha da imagem seja os primeiros N elementos do vetor, a segunda linha, os próximos N elementos, e assim por diante. Com imagens formadas dessa forma pode-e usar a notação

onde f é um vetor MNx1 representando a imagem de entrada, n é um vetor MNx1 representando o padrão de ruído MxN e g é um vetor MNx1 repreentando a imagem processada, e H é uma matriz MNxMN representando um processo linear aplicado à imagem de entrada.

nHfg

)( azAw

2122

222

11

2

1

)(...)()(

)()()(

nn

T

azazaz

D

azazaz,




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Formação de um vetor com valores de pixels em 3 imagens componentes RGB.




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• Transformada de imagens• Em alguns casos as tarefas de processamento de imagens são melhores formuladas

transformando as imagens de entrada, e aplicando a transformada inversa para retornar ao domínio espacial. Uma importante classe de transformada linear 2D, denotada T(u,v) pode ser expressa na forma geral

(eq.2.6-30)

onde f(x,y) é a imagem de entrada, r(x,y,u,v) é chamada de kernel de transformação e a equação é calculada para u= 0,1,...,M-1 e v= 0,1,...,N-1. As variáveis u e v são chamadas de variáveis de transformação. T(u,v) é chamada de transformada de f(x,y). Dado T(u,v) podemos recuperar f(x,y) usando a transformada inversa

(eq.2.6-31) para x = 0,1,...,M-1 e y=0,1,...,N-1, onde s(x,y,u,v) é chamada de kernel de

transformação inversa.

1

0

1

0

),,,(),(),(M

u

N

v

vuyxxvuTyxf

2

0

1

0

),,,(),(),(M

x

N

y

vuyxryxfvuT




Gonzalez & Woods



Abordagem geral para operações num domínio de transformação linear.




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• Um kernel de transformação é dito separável se

• Além disso, o kernel é dito simétrico se r1(x,y) é funcionalmente igual a r2(x,y) tal que

• As mesmas definições e aplicam ao kernel de transformação inversa.

• O kernel de Fourier usado para a transformada do exemplo da Fig. 2.40 é dado por:

e o kernel de Fourier da transformada inversa é dado por:

)//(2),,,( NvyMuxjevuyxr

),(),(),,,( 11 vyruxrvuyxr

),(),(),,,( 21 vyruxrvuyxr

)//(21),,,( NvyMuxje

MNvuyxs




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• Substituindo os kernels do slide anterior nas equações de transformadas diretas e inversas, temos o par de transformações de Fourier:

• A transformada de Fourier é separável e simétrica, e nesse caso, permitem que transformadas 2D possam ser computadas usando transformadas 1D.

• Quando as transformadas direta e inversa satisfazem essas duas condições, e f(x,y) é uma imagem quadrada de tamanho MxM, a equação geral da transformada pode ser expressa como:

T = AFA onde F é uma matriz MxM contendo os elementos de f(x,y), A é uma matriz MxM com

elementos aij=r1(i,j) e T é a transformada resultante MxM.

)//(21

0

1

0

),(),( NvyMuxjM

x

N

y

eyxfvuT

)//(21

0

1

0

),(1

),( NvyMuxjM

u

N

v

evuTMN

yxf

Transformada (direta)

Transformada inversa




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• Para obter a transformada inversa, multiplica-se pré- e posteriormente a equação da transformada direta

T = AFA pela matriz de transformação inversa: BTB=BAFAB• Se B= A-1, F=BTB indicando que F pode ser recuperada completamente da transformada direta.• Se B não é igual a A-1, então usa-se uma aproximação:

• Além da transformada de Fourier, um número de transformadas incluindo Walsh, Hadamard, coseno, Haar, slant, podem ser expressos na equação geral (2.6-30, 2.6-31, ou, 2.6-38, 2.6-40).

BAFABF




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(a) Imagem corrompida por interferência senoidal.(b) Magnitude da transformada de Fourier mostrando a rajada de energia responsável pela interferência(c) Máscara usada para eliminar a interferência(d) Resultado da computação da inversa da transformada de Fourier




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• Métodos probabilísticos

• A probabilidade encontra a sua aplicação em processamento de imagens de várias formas.

• A forma mais simples é considerar os valores de intensidade como variáveis aleatórias. Por exemplo, seja zi, i = 0,1,...,L-1 denotar os valores de todas as possíveis intensidades numa imagem MxN. A probabilidade, p(zk) do nível de intensidade zk ocorrer numa dada imagem é estimada como

1

0

1)(L

kkzp

MN

nzp k

k )(

one nk é o número de vezes que a intensidade zk ocorre na imagem e MN é número total de pixels. Claramente




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• Dado p(zk) é possível determinar um número de importantes características. Por exemplo, a intensidade média é dada por

• A variância de intensidades é dada por

• Normalmente o momento de ordem n de uma variável aleatória z em torno da média é definido por

• Sabe-se que

1

0

)()()(L

kk

nkn zpmzz

1

0

22 )()(L

kkk zpmz

1

0

)(L

kkk zpzm

2210 )(e0)(,1)( zzz




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Imagens mostrando: (a) baixo contraste (b) contraste médio (c) alto contraste

O desvio padrão nas intensidades nas 3 imagens são 14.3, 31.6 e 49.2, respectivamente. Os valores correspondentes de variância são 204.3, 997.8 e 2424.9. Ambos os conjuntos de valores tem o mesmo significado, mas como as intensidades variam no intervalo [0,255] o desvio padrão faz mais sentido intuitivo nesse caso.

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Digital Image Processing, 3rd ed. © 1992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Gonzalez & Woods Chapter 2 Digital Image Fundamentals