differenziale,gradiente,matrice Jacobiana

titolo

x

y

xo

f(xo)

y = f(x) non lineare

h h

k

f( Xo)(h)

L(h)

)(f)(f)()(f ooo XXX hh

funzione differenza di f in Xo

df( Xo)

differenziale di f in Xo

Xo Xo+h

f(Xo+h)

f(Xo)

k = L(h)

L : Rn Rm

)(L)(L))((L XXX hh

lineare

)(L)(L)(L XX h)(L h

pj : Rn R

jn1j x:)x,...,x(p

jjj h)(p))((p hhXjx

jj h)(dx h

nn11 ha...ha))((df hX

jj h)(dx h

f : Rn R

)(dxa...)(dxa))((df nn11 hhh X

))(dxa...dxa( nn11 h

nn11 dxa...dxa)(df X dxa)x(df oo

f : R R ( n = 1 )

dx)x('f o

f : R R dx)x('f)x(df oo

dx

)x(df)x('f o

o

nn11o dxa...dxa)(df Xf : Rn R

j

oj x

)(fa

X derivata parziale

rispetto ad xj

notazione di Leibnitz

nn11o dxa...dxa)(df Xf : Rn R

j

oj x

)x(fa

derivata parziale

rispetto ad xj

n

o

1

oo x

)(f,...,

x

)(f:)(f

XXX

n1

o1

1

oo dx

x

)(f...dx

x

)(f)(df

XXX

GRADIENTE di f in Xo

XXX d)(f)(df oo

df(Xo)

f(Xo)

f(X ) := potenziale elettrico in X

Xo

AB a1

a2

f(a1 , a2)

P

Q

RR22 RRff campo scalarecampo scalare

00

punto di minimo

punto di massimo

00

PUNTO DI SELLAPUNTO DI SELLA

x

y

OO

0

)(f oX

punto stazionario

sella

minimo

massimo

di puntoX o

RRn :f

RRn :)(df oX

)(df XM

trasformazione lineare

campo scalare

n

o

2

o

1

o

x

)(f

x

)(f

x

)(f XXX

RRnn RRmmff )f,...,f,f( m21f

Rn Rmdf(Xo)

M( df(Xo) ) =

campo vettoriale

f

f

f

o

o

m o

1

2

( )

( )

. . . . . . . . .

( )

X

X

X

trasformazione lineare

Jf(Xo) =

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

o o o

n

o o o

n

m o m o m o

n

1

1

1

2

1

2

1

2

2

2

1 2

( ) ( ). . . . .

( )

( ) ( ). . . . .

( )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( ) ( )

. . . . .( )

X X X

X X X

X X X

matrice Jacobiana

di f in Xo

RR RRmmff )f,...,f,f( m21f

R Rmdf(to)

M( df(to) ) =

campo vettoriale

trasformazione lineare

n = 1

)t('f

)t('f

)t('f

om

o2

o1

3RR :f

f(R)

f (to)

to

3RR :f

f (to+ h)

to

f(R)

to+ h

)h(f

f (to)

3RR :f

f (to+ h)

to

f(R)

to+ h

)h(f

f (to)

f (to+ h) )h(f

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

f (to+ h) )h(f

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

f (to+ h)h

)h(f

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

f (to+ h)h

)h(f

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

f (to+ h)

h

)h(f

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

f(R)

h

)h(flim

0h

f (to)

3RR :f to+ h

f(R)

f (to)

3RR :f to+ h

)t(z,)t(y,)t(x)t(f

)t('z,)t('y,)t('x)t('f

)('f otvelocità

istantanea

XX)(f X

)t('

Rn RR f

)t(')(f)t)(f(D X

)t(

dt)t(d

x)(f

dt)t(d

x)(f

dt)t)(f(d n

n

1

1

XX

regola della catenaregola della catena

integrali edequazioni differenziali

titolo

x

y

x1xo x2

x3

f(xo)

)x(df)x(f)(f oo X )x(df 1 )x(df 2 )x(df 3

n

0iio )x(df)x(f)(f X )x(df

oxX dx)x('f

integrale definito

di tra xo ed X

)x('f

Integrale definito

dx)x('f

)x(f)(fdx)x('f oxo

XX

c

n

0iio )x(df)x(f)(f X )x(df

oxX dx)x('f

insieme delle primitive di 'f

integrale indefinito diintegrale indefinito di 'f

Rc

Integrale indefinito

Tabella degli integrali

Un’applicazione:

velocità media tra gli istanti to e to+h :

spazio percorso dopo un tempo t :

oggetto in moto rettilineo

h

)t(s)ht(s oo

velocità istantanea nell’istante to :

h

)t(s)ht(slim)t(v oo

0ho

)t(s

)t('s o

Moto rettilineo

Un’applicazione:

accelerazione di gravità costante: gvelocità raggiunta dopo un tempo t : v(t) = g tspazio percorso dopo un tempospazio percorso dopo un tempo t : s(t)s(t)

xg)x('s

t

0

2

2

xg

t

0dx)x('s)t(s

t

0dxxg

t

0dxxg

2tg2

1)t(s 2tg

2

1)t(s

oggetto in caduta libera con velocità iniziale nulla

??

2

tg

2

Esercizio

Calcolare la derivata della funzione:

|x|log:)x(f

|x|D|x|

1)x('f

Per la regola della catena :

x

|x|

|x|

1

x

1

x

1|x|logD }0{x R

Esercizio

dxx

1

x

1|x|logD }0{x R

c|x|log

CRESCITA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA

IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATEIN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE( ad esempio: batteri in coltura ) ( ad esempio: batteri in coltura )

x(t) = numero di batteri vivi nell’istante t

variazionevariazione x x nell’intervallonell’intervallo t t ::

x r x t

tasso di crescita

tasso di natalità tasso di mortalità

0tlim

xr

x(t)

variazionevariazione x x nell’intervallonell’intervallo t t ::

t

CRESCITA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA DI UNA POPOLAZIONE ISOLATA

IN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATEIN UN AMBIENTE CON RISORSE ILLIMITATE( ad esempio: batteri in coltura ) ( ad esempio: batteri in coltura )

x

= numero di batteri vivi nell’istante t

'xEQUAZIONE DIFFERENZIALE

Equazione differenziale

dtrx

dx

log| |x r t c | |x e r t c x e ec r t x c e r t 1

xrxdt

dx

x c e r t 1tr

1ec)t(G

1

0r

1 cec)0(F F(t F( e r t) ) 0

condizione iniziale :

INTEGRALE PARTICOLAREINTEGRALE PARTICOLARE

INTEGRALE GENERALEINTEGRALE GENERALE

Condizione iniziale

NkNt

DECADIMENTO RADIOATTIVODECADIMENTO RADIOATTIVO

N(t)= nuclei radioattivi nell’istante t

variazionevariazione N N nell’intervallonell’intervallo t t ::

0tlim

N Nk t ( k > 0 )

'Ntke)0(N)t(N

Decadimento radioattivo

dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

dx)x(fcdx)x(fc

dfgdgf)gf(d

dfgdgf)gf(d

dfggfdgfintegrazione per parti

Risolvere gli esercizi da pagina 387 a pagina 390 sul testo consigliato

(le pagine non possono essere presentate sul web, perché appartengono all’Editore)

Esercizi sugli integrali indefiniti

a b

y = f(x)

1n

0ii )t(Fd)a(F)b(F

rettangoloide

di f su [a, b]

x

y

Area di un rettangoloide

y = f(x)

xa b

y

1n

0ii )t(Fd)a(F)b(F

y = f(x)

xa b

y

1n

0ii )t(Fd)a(F)b(F dt)t(f

b

a

xa b

y

c

b

c

c

a

b

adt)t(fdt)t(fdt)t(f

additività

a

b

b

adt)t(fdt)t(f

0dt)t(fa

a

additività

Teorema della media

Teorema della media

Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 404

Esercizi sugli integrali definiti

Soluzioni degli esercizi proposti a pagina 472

Polinomi di Taylor

no )xx(

infinitesimo di ordine n per x che tende ad xo

)xx)(x('f)x(f)x(f ooo

)xx)(x('f)x(f)x(f ooo

Se f è una funzione differenziabile in xo , allora :

2o2 )xx(a n

on )xx(a

infinitesimo di ordine 2

infinitesimo di ordine 1

infinitesimo

di ordine n

!k

)x(fa o

)k(

k derivata di ordine k

no

o)n(

2o

oooo )xx(

!n

)x(f)xx(

2

)x("f)xx)(x('f)x(f

polinomio di Taylor di f di ordine n con punto iniziale xo

)x(fTn

Esempio

f(x) = sin x

xo = 0

xcos)x('f

xsin)x("f

xcos)x('''f

xsin)x(f IV

0

1

0

1

0

0

x

0

!3

x3

0

xcos)x(f V 1!5

x5

ko

o)k(

)xx(!k

)x(f

Esempio

f(x) = sin x

xo = 0

0

Polinomi di Taylor

x)x(fT1 x)x(fT2

6

xx)x(fT

3

3 6

xx)x(fT

3

4

120

x

6

xx)x(fT

53

5

ko

o)k(

)xx(!k

)x(f

!3

x3

0

x

0

!5

x5