Diferencijalna geometrija - osnovni pojmovigradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/T01_Osnovni... · Osnovni pojmovi Neka je R3 standardni trodimenzionalni vektorski

Diferencijalna geometrija - osnovni pojmovi

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Diferencijalna geometrija - osnovni pojmovi 1 / 12

Osnovni pojmovi

Neka je R3 standardni trodimenzionalni vektorski prostor.Uvodimo nazive:

vektori - elementi iz R3,

skalari - elementi iz R.


Osnovni pojmovi

Neka je R3 standardni trodimenzionalni vektorski prostor.

Uvodimo nazive:




Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi


vektori -

elementi iz R3,



Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi



skalari -

elementi iz R.


Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi

Neka su r1, r2 ∈ R3,

λ ∈ R, gdje je r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) .Tada je definirano:

zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,

mnozenje vektora skalarom

λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi

Neka su r1, r2 ∈ R3, λ ∈ R,

gdje je r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) .Tada je definirano:

zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,


λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi

Neka su r1, r2 ∈ R3, λ ∈ R, gdje je r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) .

Tada je definirano:

zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,


λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi

Neka su r1, r2 ∈ R3, λ ∈ R, gdje je r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) .Tada je definirano:

zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,


λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi


zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,


λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi


zbrajanje vektora

r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) ,


λr1 = (λx1,λy1,λz1) .


Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) ,

e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,

onda je {e1, e2, e3} ⊆ R3 (standardna) baza prostora R3.

Svaki vektor r = (x , y , z) ∈ R3 moze se prikazati kao linearna kombinacijavekotora baze sa r = xe1 + ye2 + ze3.

Napomena! Obzirom da su prostori R3 i V 3 izomorfni, a {i, j, k} jestandardna baza prostora V 3, cesto cemo za vektore baze pisati i, j, kumjesto e1, e2, e3.


Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) ,

e3 = (0, 0, 1) ,





Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,





Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,

onda je {e1, e2, e3} ⊆ R3 (standardna)

baza prostora R3.




Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,





Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,


Svaki vektor r = (x , y , z) ∈ R3 moze se prikazati kao

linearna kombinacijavekotora baze sa r = xe1 + ye2 + ze3.



Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,





Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,



Napomena!

Obzirom da su prostori R3 i V 3 izomorfni, a {i, j, k} jestandardna baza prostora V 3, cesto cemo za vektore baze pisati i, j, kumjesto e1, e2, e3.


Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,



Napomena! Obzirom da su prostori R3 i V 3 izomorfni,

a {i, j, k} jestandardna baza prostora V 3, cesto cemo za vektore baze pisati i, j, kumjesto e1, e2, e3.


Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,



Napomena! Obzirom da su prostori R3 i V 3 izomorfni, a {i, j, k} jestandardna baza prostora V 3,

cesto cemo za vektore baze pisati i, j, kumjesto e1, e2, e3.


Osnovni pojmovi

Ako jee1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1) ,





Osnovni pojmovi

Neka su r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) vektori iz R3.

Tada je definiran:

skalarni produkt formulom

r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

norma vektora formulom

|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21

kut α izme�u vektora r1 i r2 ∈ R3 (pri cemu je r1 6= 0 i r2 6= 0)formulom

r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi

Neka su r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) vektori iz R3. Tada je definiran:


r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21


r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi



r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21


r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi



r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21


r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi



r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21

kut α izme�u vektora r1 i r2 ∈ R3

(pri cemu je r1 6= 0 i r2 6= 0)formulom

r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi



r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21

kut α izme�u vektora r1 i r2 ∈ R3 (pri cemu je r1 6= 0 i r2 6= 0)

formulomr1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi



r1 · r2 = x1x2 + y1y2 + z1z2


|r1| =√r1 · r1 =

√x21 + y

21 + z

21


r1 · r2 = |r1| |r2| cos α.


Osnovni pojmovi


vektorski produkt formulom

r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)

što se moze zapisati u obliku simbolicke determinante

r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ .Ako imamo joši r3 = (x3, y3, z3), onda je definiran i:

mješoviti produkt formulom

(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .


Osnovni pojmovi



r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)


r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ .

Ako imamo joši r3 = (x3, y3, z3), onda je definiran i:


(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .


Osnovni pojmovi



r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)


r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1x2 y2 z2



(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .


Osnovni pojmovi



r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)


r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1x2 y2 z2



(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .


Osnovni pojmovi



r1 × r2 = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2)


r1 × r2 =

∣∣∣∣∣∣i j kx1 y1 z1x2 y2 z2



(r1, r2, r3) = (r1 × r2) · r3 =

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣ .Jelena Sedlar (FGAG) Diferencijalna geometrija - osnovni pojmovi 6 / 12

Osnovni pojmovi

Definicija.

Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:

skalarna funkcija skalarnog argumenta - skalarna funkcija jednevarijable,

skalarna funkcija vektorskog argumenta - skalarna funkcija viševarijabli (najcešce dvije ili tri, tj. m = 2 ili m = 3).


Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija.

Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je

D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R,

odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je

D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.

Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je f : D → R funkcija. Kazemo da je f skalarna funkcijaskalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno skalarna funkcija vektorskogargumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi


skalarna funkcija skalarnog argumenta -

skalarna funkcija jednevarijable,



Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi



skalarna funkcija vektorskog argumenta -

skalarna funkcija viševarijabli (najcešce dvije ili tri, tj. m = 2 ili m = 3).


Osnovni pojmovi



skalarna funkcija vektorskog argumenta - skalarna funkcija viševarijabli

(najcešce dvije ili tri, tj. m = 2 ili m = 3).


Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi




Napomena! Podrazumijevat cemo da su pojmovi limesa, neprekidnosti,derivacije i integrala za ovakve funkcije poznati.


Osnovni pojmovi

Definicija.

Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:

vektorska funkcija skalarnog argumenta - vektorska funkcija jednevarijable,

vektorska funkcija vektorskog argumenta - vektorska funkcija viševarijabli (najcešce dvije ili tri, tj. m = 2 ili m = 3).


Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je

D ⊆ R, odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je D ⊆ R,

odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je

D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.

Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi

Definicija. Neka je r : D → Rn funkcija (n ≥ 2). Kazemo da je rvektorska funkcija skalarnog argumenta ako je D ⊆ R, odnosno vektorskafunkcija vektorskog argumenta ako je D ⊆ Rm za m ≥ 2.Alternativni nazivi:




Osnovni pojmovi


vektorska funkcija skalarnog argumenta -

vektorska funkcija jednevarijable,



Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi



vektorska funkcija vektorskog argumenta -

vektorska funkcija viševarijabli (najcešce dvije ili tri, tj. m = 2 ili m = 3).


Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi





Osnovni pojmovi




Pitanje! Što s limesom, derivacijom i integralom ovakvih funkcija?


Osnovni pojmovi

Neka je r : D → R3 vektorska funkcija i t ∈ D.

Tada je

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.

Funkcije x , y , z : D → R nazivaju se koordinatne funkcije od r.

Definicija. Kazemo da je vektorska funkcija r neprekidna (odnosnoderivabilna, glatka, integrabilna), ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne (odnosno derivabilne, glatke, integrabilne).


Osnovni pojmovi

Neka je r : D → R3 vektorska funkcija i t ∈ D. Tada je

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.




Osnovni pojmovi


r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.




Osnovni pojmovi


r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.


Definicija.

Kazemo da je vektorska funkcija r neprekidna (odnosnoderivabilna, glatka, integrabilna), ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne (odnosno derivabilne, glatke, integrabilne).


Osnovni pojmovi


r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.


Definicija. Kazemo da je vektorska funkcija r neprekidna (odnosnoderivabilna, glatka, integrabilna),

ako su sve njezine koordinatne funkcijeneprekidne (odnosno derivabilne, glatke, integrabilne).


Osnovni pojmovi


r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3.




Osnovni pojmovi

Propozicija.

Neka su r1, r2 i r3 derivabilne vektorske funkcije skalarnogargumenta, te λ derivabilna skalarna funkcija skalarnog argumenta. Tadavrijedi:

1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)

′ = λr′1 + λ′r1,3 (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,4 (r1 × r2)′ = r′1 × r2 + r1 × r′2,5 (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r

′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi

Propozicija. Neka su r1, r2 i r3 derivabilne vektorske funkcije skalarnogargumenta,

te λ derivabilna skalarna funkcija skalarnog argumenta. Tadavrijedi:

1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)


′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi

Propozicija. Neka su r1, r2 i r3 derivabilne vektorske funkcije skalarnogargumenta, te λ derivabilna skalarna funkcija skalarnog argumenta.

Tadavrijedi:

1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)


′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi

Propozicija. Neka su r1, r2 i r3 derivabilne vektorske funkcije skalarnogargumenta, te λ derivabilna skalarna funkcija skalarnog argumenta. Tadavrijedi:

1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)


′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi


1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,

2 (λr1)′ = λr′1 + λ′r1,

3 (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,4 (r1 × r2)′ = r′1 × r2 + r1 × r′2,5 (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r

′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi


1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)

′ = λr′1 + λ′r1,

3 (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,4 (r1 × r2)′ = r′1 × r2 + r1 × r′2,5 (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r

′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi


1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)

′ = λr′1 + λ′r1,3 (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,

4 (r1 × r2)′ = r′1 × r2 + r1 × r′2,5 (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r

′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi


1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)

′ = λr′1 + λ′r1,3 (r1 · r2)′ = r′1 · r2 + r1 · r′2,4 (r1 × r2)′ = r′1 × r2 + r1 × r′2,

5 (r1, r2, r3) = (r′1, r2, r3) + (r1, r′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Osnovni pojmovi


1 (r1 ± r2)′ = r′1 ± r′2,2 (λr1)


′2, r3) + (r1, r2, r

′3) .


Documents

Diferencijalna geometrija - osnovni pojmovigradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG DG/T01_Osnovni... · Osnovni pojmovi Neka je R3 standardni trodimenzionalni vektorski