Upload
lummelss
View
228
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
1/56
Hogeschool van Amsterdam
Dictaat
Mechanische
TrillingenBehorend bij TMC4200
Hogeschool van Amsterdam
7-11-2011
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
2/56
Mechanische trillingen 1 november 2011
INHOUD
1. Inleiding1.1. Wat zijn mechanische trillingen? 2
1.2. Trillingsbronnen. 2
2. Eerste orde systemen.2.1. De harmonische beweging. 7
2.2. Massa en veerconstante. 8
2.3. Principe van d`Alembert. 9
2.4. Harmonische trillingen en eigenfrequentie. 10
2.5. Energie beschouwingen en het principe van Rayleigh. 15
2.6. Demping. 18
2.7. Gedwongen trillingen en resonantie. 28
2.8. De methode van de mechanische impedantie. 33
2.9. Isolatie van trillingen. 36
2.10. Niet harmonische excitatie. 38
2.11. vraagstukken. 41
A. Complexe getallen.A.1 Imaginaire getallen. 44 A.2 Complexe getallen. 44
A.3 Operatoren met complexe getallen. 44
A.4 Het complexe vlak. 45
A.5 De stelling van de Moivre. 46
A.6 Vraagstukken. 46
B. Fourieranalyse.B.1 Goniometrische reeksen en periodieke functies. 48 B.2 De goniometrische hulpintegralen. 48
B.3 De Fouriercoëfficiënten. 49B.4 Verandering van de periode. 51
B.5 Harmonische analyse toegepast bij D.V.’s 51 B.6 Vraagstukken. 52
C. Antwoorden. 53
D. Literatuur. 54
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
3/56
Mechanische trillingen 2 november 2011
1. Inleiding
1.1. Wat zijn mechanische trillingen.Men spreekt van mechanische trillingen als een constructie of een deel daarvan in een bepaald tijdsinterval
een beweging maakt die zich herhaalt. Het tijdsinterval waarin een volledige beweging plaats heeft noemt
men de periode of ook wel de trillingstijd T . Constructies met massa en elasticiteit kunnen aan
mechanische trillingen onderhevig zijn. Mechanische trillingen zijn over het algemeen ongewenst omdat zijdoor dynamische overbelasting of door vermoeiingsverschijnselen tot bezwijken van de constructie kunnen
leiden, ongewenst geluid kunnen veroorzaken of het gebruikscomfort van de constructie negatief kunnen
beïnvloeden.
1.2. Trillingsbronnen.Het is van belang dat een constructeur zich bij elk ontwerp van een constructie bewust is van het fenomeen
“Mechanische Trillingen”, omdat elke gerealiseerde constructie zal trillen! De mate waarin de constructie
trilt, is bepalend voor de mate waarin de veiligheid, bruikbaarheid of comfort in het geding is. Het is dus
noodzakelijk het dynamische gedrag van een constructie te kunnen analyseren in termen zo als eigen
frequentie, resonantie, demping ( deze termen worden in hoofdstuk 2 nader gedefiniëerd ) etc., maar
bovenal is het noodzakelijk de bron of bronnen te kennen die de trillingen veroorzaken. Met betrekking tot
civiele- en bouwkundige constructies zijn de volgende trillingsbronnen de belangrijkste :
- Trillende machines op fundaties.
- Waterwervelingen bij stuwen en sluizen.
- Windwervelingen bij gebouwen, brugdekken, pylonen en tuien.
- Verkeerstrillingen.
- Aardschokken en andere seismische verschijnselen.
1.2.1. Trillende machines op fundaties.Bij een machine met draaiende onderdelen die een bepaalde onbalans hebben zal dat resulteren in een
variërende kracht waarmee de machine op zijn fundatie rust. Deze variërende kracht is dan de trillingsbron
voor de constructie die de fundatie vormt.
De onbalans van een roterende machine kan gedefinieerd worden door een massa m een cirkelbaan te laten
beschrijven met de straal e , waarbij de m staat voor de effectieve onbalansmassa en e voor de
excentriciteit.
Variabele kracht
Draaiende motor met excentriciteit
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
4/56
Mechanische trillingen 3 november 2011
1.2.2. Waterwervelingen bij stuwen en sluizen.Bij stuwen en sluizen kan zich de situatie voordoen dat het water door een nauwe kier tussen schuif en
bodem of tussen deur en bodem beweegt. Hierbij ontwikkelen zich in de stroming wervels met een
tijdsafhankelijk karakter. Dit zijn de z.g. Von Karmann wervels. Deze wervels oefenen een variërende
kracht op de schuif of deur uit. Deze variërende kracht is dan de trillingsbron voor de schuif of deur.
De loslaat frequentie van deze wervels wordt bepaald door het getal van Strouhall. Dit getal is als volgt
bepaald :
v
h f S
m
M
Rk
e
schuif
v
δ h
Von Karmann wervels
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
5/56
Mechanische trillingen 4 november 2011
Hierin is :
f = de loslaat frequentie van de wervel
h = de hoogte van de spleet
v = de stroomsnelheid van het water
Het getal van Strouhall is afhankelijk van de verhouding hefhoogte δ en de hoogte h van de spleet. Dit
wordt gegeven door de volgende grafiek.
h
Met deze gegevens zijn de frequenties van de trillingbron te bepalen.
1.2.3. Windwervelingen bij gebouwen, brugdekken, pylonen en tuien.De windbelasting op gebouwen en bruggen die trillingen kan veroorzaken, bestaat uit windstoten en
regelmatig loslatende wervels ( Von Karmann wervelstraten ).
Van het tijdstip en sterkte van windstoten is alleen iets aan de hand van kansrekening te zeggen. Voor desterkte van de windstoten kan men op basis van ervaring ontwerpwaarden vaststellen met daarbij behorende
overschrijdingskansen. De fysica van de loslatende wervelstraten in lucht is gelijk aan die van de wervels
bij deuren van spuisluizen, alleen door het verschil in de eigenschappen van lucht en water zullen de
kentallen ( zoals het getal van Reynolds ed. ) waarbij de wervels optreden anders zijn.
Een voorbeeld van het optreden van ongewenste trillingen bij een brug is het geval van de Erasmus brug
Bij deze brug kwamen de tuien in trilling t.g.v. Von Karman wervels. Door het om beurten loslaten van de
wervels werden wisselende belastingen op de tuien uitgeoefend. Hierdoor kwamen de tuien in trilling.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
S
Onderste deel van de schuif
Bovenste deel van de schuif
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
6/56
Mechanische trillingen 5 november 2011
Bij hangbruggen zoals de brug over de Grote Belt in Denemarken, kan het brugdek ernstige trillings-
problemen veroorzaken. Het ontwerp van het dwarsprofiel van zo een brugdek moet er op berekend zijn,
dat de wervels belastingen met trillingsfrequenties veroorzaken die geen gevaarlijke waarde hebben.
1.2.4. Verkeerstrillingen.Verkeer veroorzaakt een veelheid aan trillingen en het voert te ver deze hier te behandelen. Deze trillingen
door verkeer moeten, elk naar de aard van de bron, elk afzonderlijk geanalyseerd worden. Er wordt hier
volstaan met enkele voorbeelden.
-Voetgangers
Voetgangers op bruggen kunnen trillingen in de brug veroorzaken. Een groep marcherende soldaten geven
door hun stap in eenzelfde ritme en tijdstip een trilling in de langsrichting van de brug. Individuele
voetgangers geven daar en tegen een trilling in de dwarsrichting van de brug. Dit komt omdat zij bij het
lopen zich beurtelings met een been afzetten. Dit creëert een wisselende zijdelingse belasting op de brug.
- Autoverkeer en treinen
Bij het autoverkeer is de verkeersdrempel een belangrijke oorzaak van trillingen. Bij treinen is hetintrinsieke hoge eigengewicht oorzaak van trillingen. De grond wordt door puntlastvormig belastingen
verplaatst. Deze verplaatsingen planten zich voort in de grond als compressie- en afschuivingsgolven.
1.2.5. Seismische verschijnselen.Hoewel de aardbodem stevig en stabiel lijkt, is dat maar schijn. Door allerlei oorzaken kan de aardbodem
heftig in beweging komen. Het kan hierbij gaan om ondergrondse verzakkingen, zoals het instorten van
natuurlijke ondergondse holten, het instorten van oude mijnen en het ineen zijgen van gashoudend
gesteente, waar het gas door winning uit verdwijnt. De heftigste seismische verschijnselen zijn de
aardbevingen. Deze worden veroorzaakt door op ongelijkmatige wijze langs elkaar schuiven van de
aardschollen waar de aardkorst uit bestaat.
Aanstromende lucht
Zijdelingse trilling
Von Karman wervels
Slingerend waterlaagje
Om de tui
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
7/56
Mechanische trillingen 6 november 2011
Het voorspellen van aardbevingen naar tijdstip en sterkte is een zeer moeilijke zaak en ligt geheel buiten de
aard en bedoeling van deze tekst. Het volstaat hier met de opmerking dat de proefondervindelijke
bouwvoorschriften voor aardbeving bestendig bouwen tot een gespecialiseerd vakgebied behoren, waar hier
niet verder op wordt ingegaan.
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
8/56
Mechanische trillingen 7 november 2011
2. Eerste orde systemen.
2.1. De harmonische beweging.Zoals in het vorige hoofdstuk genoemd, men spreekt van mechanische trillingen als een constructie of een
deel daarvan in een bepaald tijdsinterval een beweging maakt die zich herhaalt. Het tijdsinterval waarin een
volledige beweging plaats heeft noemt men de periode of ook wel de trillingstijd T met de dimensie
seconde. Het aantal maal dat de trilling zich herhaalt in één seconde noemt men de fr equenti e f met dedimensie hertz (Hz) of s-1 . Het verband tussen trillingstijd en frequentie wordt gegeven door :
T f
1
Beschouwt men een punt P, waarbij het punt zich met een constante snelheid langs een cirkelvormige baan
beweegt en men neemt van deze beweging de projectie langs een rechte lijn, dan krijgt men de
harmoni sche beweging . Deze wordt in onderstaand figuur weergegeven.
Afgezet tegen de tijd heeft de harmonische beweging een sinusvormig verloop. De maximale uitwijking
van het punt P ( afstand OR ) noemt men de amplitude A. De snelheid waarmee het punt P de cirkel
doorloopt noemt men de hoeksnelheid of cirkelfrequentie ω . Het verband tussen de cirkelfrequentie en de
trillingstijd wordt gegeven door :
T
2
Het verband tussen de frequentie en de cirkelfrequentie is dan :
f 2
De beschrijving van de harmonische beweging als functie van de tijd wordt dan :
t A y sin
In bovenstaande figuur is A = 5 en f = 1 Hz. Bij deze beschrijving van de harmonische beweging geldt dan
de uitwijking y = 0 op het tijdstip t = 0 . Dit is geen noodzakelijke voorwaarde, men kan ook het tijdstip
t = 0 een bepaalde uitwijking y hebben. Dit leidt tot een algemene formulering van de harmonische
beweging met een begin fase φ0 .
0sin t A y
P
ωt
y
x
P1
O
ωRR T
A
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
9/56
Mechanische trillingen 8 november 2011
Opmerking :
Uit de goniometrie is bekend dat voor de vorm 0sin t A y ook geschreven kan worden :
t At A y cossin 21
2.2. Massa en veerconstante.
De hoeveelheid materie van een lichaam wordt gekenmerkt door de massa. De maat hiervoor is dekilogram [kg]. Volgens de wetten van Newton kan een lichaam met massa alleen versnellen of vertragen
indien er een kracht op werkt. Bij bepaalde constructies, zoals b.v. sluisdeuren, kan het zijn dat het medium
waarin de constructie zich bevindt ook gaat meetrillen. De effectieve massa die aan de trilling meedoet is
dan groter dan die van de constructie zelf. Men heeft dan te maken met z.g. toegevoegde massa.
Bij een veer is het verband tussen de uitrekking ( of indrukking )
en de kracht die op de veer wordt uitgeoefend evenredig. Dit kan
men weergeven door de betrekking :
yk F
Hierin is F de kracht, y de uitrekking en k de evenredigheids-
constante. Men noemt deze de veerconstante.
Bij het parallel koppelen van veren zullen de veren dezelfde verlenging ( of verkorting ) ondergaan.
De kracht die totaal op de veren moet worden uitgeoefend is de
som van de krachten op de veren. Dus :
yk F 11 en yk F 22
De totale kracht op beide veren is :
yk F
yk k F
yk yk F
F F F
eq
21
21
21
De conclusie is dat voor parallel gekoppelde veren de equivalente ( of vervangende ) veerconstante gelijk is
aan de som van de veerconstanten van afzonderlijke veerconstanten.
21 k k k eq
In het algemeen voor n veren :n
ieq k k 1
y
F
F
veer
F
y F 1 F 2
k 1 k 2
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
10/56
Mechanische trillingen 9 november 2011
Bij het in serie koppelen van veren ondervinden alle veren dezelfde kracht. De totale verlenging in het
systeem van veren is de som van de verlengingen van elk van de veren.
Bij het in serie koppelen van twee veren met respektievelijk veer-
constanten k 1 en k 2, krijgt men de verplaatsingen y1 en y2. De totale
verplaatsing van het uiteinde van de tweede veer is de som van y1 en
y2
. De krachten in relatie tot de verplaatsingen worden gegeven door :
111 yk F 222 yk F
Voor het totale systeem kan men schrijven :
2
2
1
1
21
k
F
k
F
k
F
y y y
yk F
eq
eq
tot
tot eqeq
Voor de serie gekoppelde veren geldt : F F F F eq 21
21
21
111
k k k
k
F
k
F
k
F
eq
eq
In het algemeen voor n veren :n
ieq k k 1
11
Voorbeeld :
Een systeem van drie veren is gekoppeld. Veer 1 staat in
serie gekoppeld met de parallel gekoppelde veren 2 en
3. Van de veren is gegeven :
k 1 = 2000 N/m, k 2 = 1000 n/m en k 3 = 3000 N/m.
Bepaal de equivalente veerconstante van dit systeem
van veren.
N/m400030001000323,2 k k k eq
N/m3,13333
4000
4000
3
4000
1
2000
1111
3,21
eq
eqeq
k
k k k
2.3. Principe van d` Alembert. Veel benaderingen voor het berekenen van trillingen berusten op de wetten van Newton, waarbij de tweede
wet de belangrijkste is voor deze berekeningen, deze luidt :
Van een massa is de verandering van hoeveelheid van beweging per ti jdseenheid evenr edig met de
kracht di e op de massa werkt .
dt
md F
v
F
y1
F
y2
k 1
k 2
k 3
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
11/56
Mechanische trillingen 10 november 2011
Hierin is : F = de kracht [Newton]
m = de massa [Kilogram]
v = de snelheid [Meter/seconde]
Opmerking : vm is de hoeveelheid van beweging , wordt ook de impuls genoemd.
Voor een lichaam met een constante massa gaat de bovengenoemde formulering over in :
am F
dt
d m
dt
dm
dt
d m
dt
md F
vv
vv
Hierin is :dt
dva = versnelling
Het principe van d’Alembert is een herformulering van de tweede wet van Newton en deze luidt :
Al le op een lichaam ui tgeoefende krachten en traagheidsweerstanden houden elkaar in evenwicht .
Opmerking : de traagheidsweerstand is hier am .
2.4. Harmonische trillingen en eigenfrequentie.Koppelt men een lichaam met een massa m aan een veer met een veerconstante k , dan heeft men een
systeem waarbij de massa een harmonische beweging kan uitvoeren. Om dit te kunnen inzien moet men de
tweede wet van Newton of het principe van d’Alembert toepassen op dit systeem. Hierbij is de kracht F v,
die de veer op het lichaam uitoefent tegengesteld
gericht aan de verplaatsing y, die het uiteinde van de
veer ondergaat.
yk F v
De kracht F m die de massa ondervindt door de
versnelling is :
2
2
dt
yd m F m
Met de tweede wet van Newton ( of het principe van
d’Alembert ) kan men het krachtenevenwicht, dat op
het lichaam werkt, opschrijven.
0002
2
yk dt
yd m F F F vm
Dit geeft de differentiaal vergelijking van de beweging van het beschouwde lichaam. De oplossing van
deze vergelijking is :
)sin()( t m
k At y
In deze oplossing worden A en φ bepaald door de begin voorwaarden van de beweging. Als men voor
m
k schrijft, gaat de oplossing over in de vorm : )sin()( t At y
Dit is de beschrijving van een harmonische beweging met een hoeksnelheid ω, amplitude A en een begin
fase φ .
y
F m
F v
m
Onbelaste veer
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
12/56
Mechanische trillingen 11 november 2011
Opmerking :
Deze beschrijving van de harmonisch beweging is identiek met : t Bt At y cossin)(
Conclusie :
Een systeem bestaande uit een massa m een veer k kan een harmonische trilling uitvoeren :
)sin()( t At y
De hoeksnelheid van de beweging is :
m
k
Bij deze hoeksnelheid hoort een frequentie die men de eigenfrequentie noemt.
m
k f
2
1
2
Bewijs :
Stel de oplossing van de D.V. is )sin()( t At y , dan geldt voor de afgeleiden :
)sin(en)cos( 22
2
t Adt
yd t A
dt
dy
Ingevuld in de D.V. geeft dit :
)sin(
)sin()sin(
2
2
2
2
t Ak m
t Ak t Am yk dt
yd m
substitutie van ω geeft :
0)sin()sin(
2
2t
m
k Ak
m
k mt Ak m
Voorbeeld :
Van een veer is bekend dat een kracht van 100 N de veer 4 cm. uitrekt. Als deze veer met een lichaam met
een massa van 400 kg een trillingsysteem vormt, wat is dan de eigenfrequentie van dit systeem?
De veerconstante kan worden bepaald met : N/m2500104100
2k k yk F v
De eigenfrequentie wordt bepaald door :
rad/s5,2400
2500
m
k Hz3979,0
2
5,2
2 f
De trillingstijd is dan :
s51,23979,0
11
f T
2,51
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
13/56
Mechanische trillingen 12 november 2011
Het is niet noodzakelijk dat een trillend systeem een veer bevat. In het algemeen geldt dat indien er door
één of andere oorzaak een terugdrijvende kracht aanwezig is deze, samen met een massa, het systeem tot
trillen kan brengen. Een terugdrijvende kracht hangt af van de uitwijking van het systeem, maar is
tegengesteld gericht aan die uitwijking. Een voorbeeld hiervan is de mathematische slinger.
Deze bestaat uit een massapunt m , opgehangen aan een
oneindig stijve staaf met de lengte L. De massa van de
staaf wordt verwaarloosd. De zwaartekracht veroorzaakt
een kracht g m , die ontbonden wordt met een
component F g loodrecht op de staaf.
sin g m F g
L
ysin
Bij kleine hoeken φ , mag men het richting verschil tussen
F g en y verwaarlozen.
y L
g m F g
Met de massatraagheid :
2
2
dt
yd m F
m
krijgt men de differentiaal vergelijking :
0
00
2
2
2
2
y L
g
dt
yd
y L
g m
dt
yd m F F g m
De oplossing hiervan luidt :
t L g A y sin
Dit kan ook geschreven worden als :
t L
g Bt
L
g A y cossin
In deze oplossingen zijn A en φ , resp. A en B bepaald door de begin voorwaarden van het trillings-
probleem. Bij de mathematische slinger ziet men dat de slingertijd niet afhankelijk is van de slingerende
massa!
g
LT
L
g T
L
g 2
22
voorbeeld :Een mathematische slinger heeft een lengte van 60 cm. Op het tijdstip t = 0 heeft de slinger een uitwijking
van 6 cm en de snelheid is op dat moment 0 m/s . De gravitatie constante is g = 9,81 m/s 2 . Bepaal de
slingertijd en bepaal tevens de uitdrukking voor de slingerbeweging als functie van de tijd.
De slingertijd bedraagt :
s55,181,9
6,022
g
LT
m
y
L
φ
F g
m. g
F m
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
14/56
Mechanische trillingen 13 november 2011
De algemene uitdrukking voor de slingerbeweging is :
t L
g A y sin
Hieruit volgt dat de uitdrukking voor de snelheid gegeven wordt door :
t L g
L g A
dt dy cosv
Voor het tijdstip t =0 geldt dan :
200
6,0
81,9cos
06,0
81,9cos
6,0
81,906,00
De uitdrukking voor de uitwijking gaat nu over in :
204,4sin06,0
26,0
81,9sin06,0 t yt y
t y 04,4cos06,0
Een ander voorbeeld van een trillend systeem zonder veer, maar wel met een terugdrijvende kracht, is de
trillende vloeistofkolom. Hierbij bevindt de vloeistof zich in een U-vormige buis. De doorsnede van de buis
is overal dezelfde met de oppervlakte O . De vloeistof heeft een dichtheid
van ρ . De lengte van de vloeistofkolom is L . Een verplaatsing van de
vloeistofspiegel van y , geeft een hoogte verschil tussen de linker en
rechter vloeistofspiegel van 2 y . Dit geeft een terugdrijvende kracht van :
yO g F 2
De kracht ten gevolge van de massa traagheid is :
2
2
dt
yd LO F m
Hieruit volgt de differentiaal vergelijking :
02
020
2
2
2
2
y L
g
dt
yd
yO g dt
yd LO F F m
De oplossing hiervan is :
t L
g A y
2sin
Zodat voor trillingstijd en frequentie geldt :
L
g f
g
LT
2
2
1en
22
De begin voorwaarden bepalen weer de amplitude A en de begin fase φ .
2 y
L
F
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
15/56
Mechanische trillingen 14 november 2011
voorbeeld :
Een trillende vloeistofkolom heeft een lengte L = 1 m, de gravitatieconstante is g = 9,81 m/s 2 . Bepaal de
trillingstijd van deze kolom.
s42,181,92
12
22
g
LT
Ook bij constructies met staven en balken kunnen trillingen optreden, analoog aan een massa veer systeem.
Een balk met een traagheidsmoment voor buiging I , een lengte L en elasticiteitsmodulus E wordt in het
midden belast met een lichaam met een massa m . Met verwaarlozing van de eigenmassa van de balk wordt
de differentiaal vergelijking als volgt :
De verplaatsing van het midden t.g.v. de zwaartekracht die de massa op de balk uitoefent is :
I E
L g m
I E
L F y
4848
33
De equivalente veerconstante wordt :
33
48
48
L
I E
I E
L g m
g m
y
F k
Naar analogie van het massaveer systeem wordt de differentiaal vergelijking :
02
2
yk dt
yd m
Met als oplossing :
)sin()( t m
k At y
Invullen van de equivalente veerconstante geeft :
)48
sin()
48
sin()(3
3
t Lm
I E At
m
L
I E
At y
De eigen frequentie is dan :
3
48
2
1
Lm
I E f
m
y
L
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
16/56
Mechanische trillingen 15 november 2011
2.5 Energie beschouwingen en het principe van Rayleigh.Voor conservatieve systemen, d.w.z. systemen waarbij geen energie verloren gaat, geldt dat de som van
potentiële energie en kinetische energie constant is.
constantkin po t E E
Dit kan ook worden uitgedrukt door :
0dt
E E d kin pot
Met deze energiebalans kan dan ook het trillingsgedrag van het systeem bepaald worden.
De uitrekking van de veer y is een functie van de tijd. De kracht F v , die op de
veer wordt uitgeoefend is evenredig met de uitrekking : yk F v
De uitrekking vertegenwoordigt de potentiële energie :
2
21
00 v yk dy yk dy F E
y y
po t
De kinetische energie van het systeem wordt bepaald door de massa m van het
systeem en de snelheid van de massa volgens :2
212
21 v
dt
dymm E kin
Toepassen van 0dt
E E d kin pot geeft :
0
2
212
21
dt
dt
dym yk d
02
2
2
2
dt yd m yk
dt dy
dt yd
dt dym
dt dy yk
02
2
dt
yd m yk
Deze differentiaal vergelijking werd ook verkregen met behulp van de krachtenbalans (2e wet van Newton).
Dus ook hier is de oplossing :
)sin()( t m
k At y
De energiebalans is ook toepasbaar op de mathematische slinger. Hierbij kan men de slingerhoek φ
gebruiken als de variabele in de tijd. De kinetische energie en de potentiële energie moeten dan worden
y
v
F v
m
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
17/56
Mechanische trillingen 16 november 2011
uitgedrukt in de slingerhoek als functie van de tijd.
De kinetische energie is :2
212
21 v
dt
dymm E kin
tevens geldt sin L y en als φ klein is geldt sin dus :
dt d L
dt dy L y
Voor de kinetische energie kan dan geschreven worden :2
21
dt
d Lm E kin
Voor de potentiële energie geldt :
cos
cos1
L g m L g m E
L g mh g m E
po t
po t
Nu de energiebalans toepassen :
0dt
E E d kin pot
0sin
0
cos
2
22
2
21
dt
d
dt
d Lm
dt
d L g m
dt
dt
d Lm L g m L g md
Dit kan herschreven worden tot :
0sin2
22
L
g
dt
d
dt
d Lm
De vorm tussen de haakjes is dus nul :
0sin2
2
L
g
dt
d
Tevens geldt als φ klein is geldt sin dus :
02
2
L
g
dt
d
Deze differentiaal vergelijking heeft weer de oplossing :
t L
g At sin)(
De slingerfrequentie is dan weer :
L
g f
2
1
m
y
L
φ
v h
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
18/56
Mechanische trillingen 17 november 2011
Een afgeleide methode van de energiebalans is de methode van Rayleigh, waarbij weer een conservatief
trillingsysteem wordt verondersteld met een harmonische trillingsbeweging. Er wordt uitgegaan van :
constantkin po t E E
Dit betekent bij een harmonische beweging dat als de snelheid van de massa nul is, de kinetische energie
nul is en de potentiële energie maximaal. Omgekeerd geldt dan ook als de potentiële energie nul is, is de
kinetische energie maximaal. In beide gevallen is de maximale hoeveelheid energie gelijk.
maxmax kin pot E E
Beschouwt men weer het massa-veer systeem, dan krijgt men het volgende :
De maximale potentiële energie verkrijgt men bij maximale uitrekking van de
veer.2
max21
max yk E po t
De maximale kinetische energie verkrijgt men bij de maximale snelheid.2
max2
1
max dt
dy
m E kin
Voor de harmonische oplossing t A y sin geldt dat :
At Adt
dy A y max
maxmax cosen
Ingevuld in de uitdrukking voor de potentiële energie geeft dit :
2
212
max21
max Ak yk E po t
Voor de kinetische energie is dit :
2
21
2
max21
max Am
dt
dym E kin
De methode van Rayleigh levert nu :
m
k
mk
Am Ak
E E kin pot
2
2
2
12
2
1
maxmax
y
v
F v
m
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
19/56
Mechanische trillingen 18 november 2011
2.6 Demping.In de voorgaande beschouwingen van mechanische trillingen is het energieverlies buiten beschouwing
gelaten. In de realiteit is er altijd sprake van energieverlies. Het effect van het energieverlies wordt
aangeduid met de term “demping ”. De mate van demping en de wijze waarop deze totstand komt bepaalt in
sterke mate het karakter van de trillingen waar deze demping een rol speelt. De demping kan heel gering
zijn en kan zijn effect in de meeste gevallen verwaarloosd worden. Bij een lichte mate van demping waarbij
de trilling wordt beïnvloed spreekt men van “onderkritisch gedempt”. Er zijn echter ook situaties waarbij de
demping zo sterk is dat er zelfs geen trilling optreedt. Men spreekt dan van “bovenkritisch gedempt”. Bij de
situatie precies op de grens van deze twee, spreekt men van “kritische demping”.
Als soorten demping onderscheidt men :
- Visceuse demping
- Coulomb demping
- Lucht demping
- Magnetische demping
- etc.
In het volgende zullen lucht demping en magnetische demping buiten beschouwing blijven, omdat zij in de
beschouwde constructies een te verwaarlozen rol spelen.
2.6.1 Visceuse dempingDe karakteristieke eigenschap van de visceuze demping is, dat de dempingkracht in richting tegengesteld is
aan de bewegingsrichting en evenredig is aan de snelheid van de beweging van de trilling. Dit is het soortgedrag dat hydraulische dempers vertoont, vandaar de naam.
De krachten die nu op het lichaam met de massa m werken zijn :
De veerkracht : yk F v
De dempingkracht :dt
dyr F d
De versnellingkracht :2
2
dt
yd m F
Voor het krachten evenwicht geldt nu :
0vd F F F
Met de krachten ingevuld levert dit de differentiaal verglijking van de gedempte trilling :
02
2
yk dt
dyr
dt
yd m
Dit kan ook geschreven worden als :
02
2
y
m
k
dt
dy
m
r
dt
yd
Stel een oplossing is : t t t e ydt
yd e y
dt
dye y y 0
2
2
2
00
Ingevuld in de differentiaal vergelijking geeft dit :
00002 t t t e y
m
k e y
m
r e y
y F v
F
m
F d
k r
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
20/56
Mechanische trillingen 19 november 2011
De karakteristieke vergelijking wordt dan : 02
m
k
m
r
Voor deze vergelijking zijn twee oplossingen :
m
k
m
r
m
r 2
2,122
Voor de veronderstelde oplossing kan men dan schrijven :
t t e y yene y y 20221
011
De algemene oplossing van de differentiaal vergelijking wordt dan :
t t e ye y y 2021
01
Hierin zijn 0201 en y y willekeurige reële getallen.
Bovenkritisch gedemptHet bovenstaande geldt alleen als β in de oplossing een reële waarde heeft, dus dat de discriminant in de
uitdrukking voor β groter dan nul is. Dus als
m
k
m
r 2
2
Voorbeeld :
Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 10 Ns/m en een veerconstante
k = 9 N/m. Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0dt
dy
m/s .
Voor de oplossing geldt :19
1210
2
22
mk
mr bovenkritisch.
Voor de exponenten in de oplossing geldt :
1en9
451
9
12
10
12
10
22
21
22
2,1m
k
m
r
m
r
De oplossing wordt dan : t t t t e ye ydt
dye ye y y 02
90102
901 9
Met de begin voorwaarden ingevuld geeft dat :0
02
0
01
0
02
0
01 901 e ye ye ye y
Hieruit volgt het stelsel vergelijkingen :
8
9
8
1
09
10201
0201
0201 yen y
y y
y y
Zodat de oplossing wordt :
t t ee y8
9
8
1 9
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
21/56
Mechanische trillingen 20 november 2011
Als grafiek ziet dat er als volgt uit :
Kritisch gedempt
Indien de waarden voor r , m en k zich als volgt verhouden :m
k
m
r 2
2 dan zijn er twee gelijke β ’s.
m
r
m
k
m
r
m
r
222
2
2,1
Men zou kunnen verwachten dat er maar één oplossing is, n.l.t
m
r
e y y 20 , maar dat is niet zo. Er is
nog een oplossing n.l.
t m
r
et y y 201
Bewijs :
Stel men heeft 21 met de oplossingent t e y yene y y 202
1
01
Dan is de volgende lineaire combinatie ook een oplossing!
21
212
21
1
21
11 t t t t eeee y
Stel nu 21 en dan wordt de voorgaande uitdrukking :
t t ee y
Neemt men hier van de limiet met 0 dan krijgt men :
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
22/56
Mechanische trillingen 21 november 2011
t t t
et ee
y00
limlim
De algemene oplossing van de differentiaal vergelijking in het kritische geval is dan :
t m
r
et y y y 2010
Voorbeeld :
Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 6 Ns/m en een veerconstante
k = 9 N/m. Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0dt
dy
m/s .
Voor de oplossing geldt :1
9
12
6
2
22
m
k
m
r kritisch.
Dus :
t t
t
e yt e y
dt
dy
et y y y
3
01
3
0
3010
)31(3
Met de begin voorwaarden geeft dit :
3
1
0)031(3
10
01
0
03
01
03
0
03
010
y
y
e ye ydt
dy
e y y y
De volledige oplossing is nu : t et y 331
Als grafiek ziet dat er als volgt uit :
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
23/56
Mechanische trillingen 22 november 2011
Onderkritisch gedempt
Indien de waarden voor r , m en k zodanig zijn dat geldtm
k
m
r 2
2 dan kan men voor de β ’s schrijven :
2
2,122 m
r
m
k i
m
r
De exponenten in de algemene oplossing van de differentiaal vergelijking zijn nu complexe getallen. Omde consequenties hiervan te onderzoeken wordt de volgende verkorte schrijfwijze ingevoerd :
2
2 m
r
m
k u
De algemene oplossing wordt dan als volgt :
t uit uit
m
r
t uit
m
r
t uit
m
r
t uim
r t ui
m
r
t t
e ye ye y
ee yee y y
e ye y y
e ye y y
0201
2
202
201
202
201
202
101
Er volgt nu een substitutie voor y01 en y02 .ii
e y ye y y002001
en Hierdoor gaat de
oplossing over in :
it uiit uit
m
r
t uiit uiit
m
r
eee y y
ee yee ye y
20
002
De schrijfwijze van Euler voor complexe getallen geeft de mogelijkheid over te gaan van e-notatie naar een
notatie met sinus en cosinus, dus :
cos2sincossincos
sincosensincos
iiee
ieie
ii
ii
Dit toegepast op de oplossing van de differentiaal vergelijking geeft :
t ue y yt
m
r
cos220
Nu de oorspronkelijke betekenis voor u weer invullen en reorganiseren geeft :
t m
r
m
k e y y
t m
r 2
20
2cos2
De interpretatie hiervan is, een sinusvormige trilling met afnemende amplitude. De waarden voor y0 en δ
zijn te bepalen uit de beginvoorwaarden.
Voorbeeld :
Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 0,5 Ns/m en een veerconstante
k = 9 N/m. Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0dt
dy
m/s .
Met de waarden voor de massa, demping en veerconstante ingevuld krijgt men :
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
24/56
Mechanische trillingen 23 november 2011
t e y y
t e y y
t m
r
m
k e y y
t
t
t m
r
9896,2cos2
12
5,0
1
9cos2
2cos2
25,0
0
2
12
5,0
0
2
20
De afgeleide hiervan is :
t e yt e ydt
dy t t 9896,2sin9791,59896,2cos5,0 25,0025,0
0
Op het tijdstip t = 0 geldt dat : 0dt
dy , waar uit volgt dat :
rad08343,09791,5
5,0
cos
sin
tan
0sin9791,5cos5,0
00sin9791,50cos5,0 000
0 e ye y
Op het tijdstip t = 0 geldt ook y = 1 .
5017,008343,0cos2
1
08343,0cos21
08343,009896,2cos21
9896,2cos2
0
0
0
0
25,00
y
y
e y
t e y y t
De oplossing van de vergelijking wordt dus :
08343,09896,2cos0035,1 25,0 t e y t
Als grafiek ziet dat er als volgt uit :
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
25/56
Mechanische trillingen 24 november 2011
Voor de trillingstijd kan men schrijven :2
2
22
m
r
m
k
T
Voor de frequentie geldt dan :
2
22
1
m
r
m
k f
Bij deze gedempte trilling heeft men te maken met een afnemende amplitude. De wijze van afnemen kan
men karakteriseren door middel van de dempingsfactor. Deze is als volgt gedefiniëerd :
T m
r t
m
r
t m
r
T t m
r
t m
r
ee
e
T t ue y
t ut ue y y
T t y
t y
22
2
20
200
cos2
coscos22
)(
)(
De dempingsfactor is :T
m
r
e 2
Samenvatting :
Heeft men een systeem zonder wrijving, dan zal de trilling met een constante amplitude blijven voortduren.
Introduceert men een gering wrijving, dan krijgt men een trilling met een geleidelijk kleiner verminderende
amplitude, deze voldoet aan de functie :
t m
r
m
k e y y
t m
r 2
20
2cos2
Hierbij geldt de voorwaarde datm
k
m
r 2
2 moet zijn.
Uit de functie van de trilling blijkt dat bij toenemende waarde van de weerstand r de frequentie afneemt.
Wordt de weerstand zo groot dat geldtmk
mr
2
2 , dan spreekt men van krtitische gedempt en heeft
men geen trilling meer, maar een uitwijking die direct en op de snelste wijze naar nul gaat, zonder dat de
uitwijking negatief wordt. De functie van de uitwijking luidt nu :
t m
r
et y y y 2010
Maakt men de wrijving nog groter, dan krijgt men de boven kritisch gedempte situatie metm
k
m
r 2
2
In deze situatie kan men niet spreken van een trilling, daar de uitwijking naar nul gaat, zonder dat deze ooit
een negatieve waarde bereikt. Deze beweging verloopt langzamer dan de kritisch gedempte situatie. De
functie voor de uitwijking luidt nu :
t m
k
m
r
m
r t
m
k
m
r
m
r
e ye y y
22
22
02
22
01
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
26/56
Mechanische trillingen 25 november 2011
2.6.2 Coulomb dempingBij de visceuse demping is de dempingskracht evenredig met de snelheid waaraan de demper wordt bloot-
gesteld. Bij Coulomb demping is dit niet zo! Hierbij wordt de demping verkregen door droge wrijving. De
dempingskracht is constant en tegengesteld aan de beweging. De grootte van de dempingskracht wordt
bepaald door de normaalkracht waarmee de langs elkaar bewegende wrijvingsvlakken op elkaar gedrukt
worden.
Opmerking :
Deze voorstelling van de wrijvingskracht is een vereenvoudiging van de realiteit. Bij het beginnen en het
beëindigen van de beweging is de wrijvingskracht groter dan tijdens de beweging. Ter vereenvoudiging van
de berekeningen van trillingen met deze soort demping wordt dit effect verwaarloosd.
De wrijvingskracht wordt bepaald door de normaalkracht F n
en de wrijvingscoëfficiënt cW .
g mc F c R W nW
De richting van de wrijvingskracht is tegengesteld aan de bewegingsrichting, dus tegengesteld aan de
richting van de snelheid. Gaat bij bovenstaand massa-veer systeem de beweging naar links dan geldt de
differentiaal vergelijking :
R yk dt
yd m
2
2
Met een begin uitwijking B en een snelheid van nul op het tijdstip t = 0 , geeft dit de oplossing :
k
Rt
m
k
k
R B y cos
kritisch gedempt
boven kritisch gedempt
onder kritisch gedempt
y
F v F mm
R
k F n
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
27/56
Mechanische trillingen 26 november 2011
Deze beweging stopt als 0dt
dy geworden is.
Dus :k
mt t
m
k t
m
k
mk
Rk B
dt
dy0sin
Op het interval k
m
t 0 is de beweging sinusvormig
k
RC
k
R B AC t
m
k A y enmetcos 11
Hierna gaat de beweging naar rechts en geldt de differentiaal vergelijking :
R yk dt
yd m
2
2
De begin voorwaarden voor deze tweede differentiaal vergelijking komen uit de oplossing van de eerste
differentiaal vergelijking, n.l. de uitwijking opk
mt van de eerste oplossing is de beginstand van de
tweede vergelijking. Tevens is op dat tijdstip de snelheid nul.
Dus :
k
R B y
k
R
k
m
m
k
k
R B y
k
mt
2
cos
Met deze beginvoorwaarden heeft de tweede differentiaal vergelijking de volgende oplossing :
k
Rt
m
k
k
R B y cos3
Voot het interval k
m
t k
m
2 is deze oplossing te schrijven als :
k
RC
k
R B AC t
m
k A y en3metcos 22
De conclusie is dat dit gedempte massa-veer systeem een zelfde trillingsfrequentie heeft als het systeem
zonder demping met andere woorden de eigenfrequentie van het systeem wordt niet beïnvloed door de
demping. De eigenfrequentie is dus :
m
k f
2
1
Op het tijdstipk
mt 2 is de snelheid weer afgenomen tot nul en is de uitwijking :
k
R B y
k
R
k
R B y
k R
k m
mk
k R B y
4
2cos3
2cos3
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
28/56
Mechanische trillingen 27 november 2011
Dit zijn nu weer de begin voorwaarden voor de eerste differentiaal vergelijking, want de beweging is nu
weer naar links. Hierna kan dezelfde berekening voor de volgende periode op dezelfde wijze gebeuren.
Voorbeeld :
Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping R = 0,5 N en een veerconstante k = 9 N/m.
Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0
dt
dym/s .
De hoeksnelheid rad/s31
9
m
k
De functies worden dan volgens voorgaande methode :
Periode 1 :
18
13cos
18
15
3
2
3
1
18
13cos
18
17
3
10
t yt
t yt
Periode 2 :
1813cos
1811
34
18
13cos
18
13
3
2
t yt
t yt
etc,etc.
Als grafiek ziet dat er als volgt uit :
Bij het vergelijken van de visceuse demping en Coulomb demping ziet men enkele markante verschillen.
Bij visceuse demping wordt de eigenfrequentie van het trillend systeem ook bepaald door de dempings-
factor terwijl dat bij de Coulomb demping niet het geval is. Bij Coulomb demping neemt de grootte van de
amplitude lineair af, terwijl dat bij visceuze demping volgens een e-macht gebeurt.
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
29/56
Mechanische trillingen 28 november 2011
Vergelijkt men systemen met visceuze- en Coulomb demping met bijna gelijke eigenfrequentie, dan ziet
dat er als volgt uit :
2.7 Gedwongen trillingen en resonantie.In de vorige paragrafen werd de beweging van een massa-veer systeem alleen bepaald door de massa-
traagheid, de veerkracht, de demping en de begin voorwaarden. Men kan zich ook afvragen wat er gebeurt
als er nog een kracht op het systeem werkt. Hierbij gaat men uit van een in de tijd sinusvormige
veranderende kracht, die al ( oneindig ) lang aanwezig is. Deze krachtzal het systeem een beweging opleggen en overwegingen van een
begin voorwaarden zijn dan niet meer van belang.
Neem aan dat de exciterende kracht geschreven kan worden als :
t F t F 00 cos)(
De bewegingsvergelijking van het massa-veer systeem wordt dan :
t F yk dt
dyr
dt
yd m 002
2
cos
Stel nu dat de volgende functie een oplossing is :
t A y 00 cos
Dan zijn de eerste en tweede afgeleiden van deze oplossing :
t Adt
yd
t Adt
dy
0
2
002
2
000
cos
sin
Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit de uitdrukking :
t F t Ak t Ar t Am 000000002
00 coscossincos
Pas nu in het rechter lid de volgende substitutie toe :
t t 00
Coulomb demping
visceuze demping
y
F(t)
m
k r
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
30/56
Mechanische trillingen 29 november 2011
De bewegingsvergelijking wordt nu :
t F t Ak t Ar t Am 000000002
00 coscossincos
Op het rechterlid de volgende herleiding toepassen :
sinsincoscoscos 000000 t F t F t F
De sinus en cosinus termen samen nemen en herleiden op nul geeft :
0sinsincoscos 00000002
00 t F Ar t F Ak Am
Als t A y 00 cos een universele oplossing is, dan moet de vergelijking altijd nul zijn. Daar
t 0cos en t 0sin altijd van elkaar verschillen, kunnen zij niet tegelijkertijd nul zijn. Dat
betekent dat de coëfficiënten van de vergelijking nul moeten zijn. Dit geeft aanleiding tot het volgende
stelsel vergelijkingen :
0sin
0cos
000
00
2
00
F Ar
F Ak Am
0
2
0
000
2
0000 cotan
sin
cos
r
mk
Ar F
Am Ak F
De fase hoek in de oplossing wordt dus gegeven door :
0
2
0arccotanr
mk
Het bepalen van de amplitude van de trilling gaat nu als volgt :
22
0
4
0
22
0
22
0
2
0
4
0
2
0
22
0
2
0
2
0
22
0
2
0
2222
0
2
0
2
0222
0
40
20
220
20
20
2220
000
2
0000
2
2cossin
sin
2cos
sin
cos
k mk mr A F
Am Amk Ak Ar F
Ar F
Am Amk Ak F
Ar F
Am Ak F
Daar 00 en A F amplitudes van trillingen zijn, zijn zij per definitie positief. Dit betekent dat de factor
tussen de haakjes ook positief is en de oplossing dan wordt :
22
0
2
0
00
k mr
F A
Hiermee is de oplossing met t A y 00 cos volkomen bepaald.
Men kan ook de verhouding tussen de uitwijkingsamplitude en de krachtsamplitude bepalen uit het
voorgaande.
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
31/56
Mechanische trillingen 30 november 2011
22
0
2
00
0 1
mk r F
A
Voert men de eigenfrequentie van het trillingsysteem hierbij in als :m
k
m
k E E
2
Dan is :
2
2
2
022
0 1 E
k mk zodat de amplitude verhouding wordt :
2
2
2
0
2
00
0
1
11
E k
r k F
A
Tevens geldt :
2
2
0
2
2
2
0
22
0
E k m
r
k
r
k
r
De amplitude verhouding kan nu geschreven worden als :
2
2
2
0
2
2
0
20
0
1
11
E E k m
r k F
A
De conclusie van het voorgaande is dat de amplitude van de trilling die ontstaat, afhankelijk is van de
amplitude en frequentie van de opgelegde trilling , de eigenfrequentie en demping van het trillende
systeem. Voor een gegeven systeem kan men zeggen dat de amplitude van de trilling een functie is van de
frequentie van de opgelegde trilling. Bij het onderzoek van deze functie kan men de volgende gevallen
onderscheiden :
Het begin van de functie :
Als 00 dus0 E dan geldt :k k F
A 1010
112
0
0
Het eind van de functie :
Als 00 dus E dan geldt : 00
0
F
A
Het maximum van de functie :
Men kan zich afvragen of de functie een maximum heeft en zo ja, waar deze zich bevindt. Voor een
maximum geldt dat de afgeleide nul moet zijn :
0
0
0
0
d
F
Ad
De afgeleide luidt :
02222
10
2
002
22
0
2
0
0
0
0
mmk r mk r d
F
Ad
Deze uitdrukking is nul als :
0222222 2
0
2
00
2
00
2mmk r mmk r
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
32/56
Mechanische trillingen 31 november 2011
Er zijn nu twee mogelijkheden :
(a) Als 00
(b) Als 0222 2
0
2mmk r
2
22
0
22
0
22
0
2
0
2
2
2
24
042
m
r
m
k
m
r mk
r mmk
mmk r
De frequentie is per definitie een positief getal dus :
mk
r
m
k
mk
mr
m
k
m
r
m
k
E
E
21
met2
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
Dus :mk
r
E 21
2
0
Als de wortel een reële uitkomst heeft is er een maximum. Bij deze frequentie 0 is het systeem in
resonantie . De grafiek die dit gedrag voor een systeem met een massa m = 1 kg , een demping r = 0,5 Ns/men een veerconstante k = 9 N/m weer geeft is de volgende :
A0
F 0
ω0
ωE
resonantie piek
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
33/56
Mechanische trillingen 32 november 2011
Verandert in het systeem de demping, dan verandert de resonantie. Dit is te zien in de volgende grafiek,
waarbij de demping de waarden r = 0,5 Ns/m, r = 1 Ns/m en r =2 Ns/m heeft voor het systeem met
m = 1 kg en k = 9 N/m .
Bij het toenemen van de demping ziet men twee dingen n.l. de grootte van de amplitudde van de uitwijking
neemt af, maar ook de frequentie waarbij de resonantie optreedt daalt. Dit is eenvoudig aan het getallen van
het volgende voorbeeld te zien :
massa m = 1 kg , een demping r = 0,5 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m
rad98,2192
5,0119
21
22
0mk
r mk
massa m = 1 kg , een demping r = 1 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m
rad92,2192
11
1
9
21
22
0mk
r
m
k
massa m = 1 kg , een demping r = 2 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m
rad65,2192
21
1
9
21
22
0mk
r
m
k
Uit het voorgaande blijkt dat als de demping steeds kleinder wordt de resonantie piek steeds meerverschuift naar ωE , dat wil zeggen steeds meer naar de eigenfrequentie. Dit is de trillingsfrequentie van het
ongedempte systeem. De amplitude van de uitwijking wordt dan ook steeds groter. Theoretisch zal de
amplitude bij r = 0 Ns/m naar oneindig gaan, als de frequentie gelijk aan ωE is geworden. Dit is natuurlijk
geen fysische realiteit, maar het betekent wel dat bij zeer gering gedempte systemen de uitwijkingen zeer
groot kunnen worden. Zelfs zo groot dat de constructie van de systemen kunnen bezwijken.
Over de fasehoek φ bij resonantie is nog het volgende te melden :
A0
F 0
ω0
ωE
r = 0,5
r = 1
r = 2
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
34/56
Mechanische trillingen 33 november 2011
0
2
0arccotanr
mk
De frequentie wordt weer gerelateerd aan de eigenfrequentiem
k
m
k E E
2
Er onstaat dan de uitdrukking :
E
E
mk
r 0
2
2
0
2
11
arccotan
Met dezelfde waarde voor de massa m , de veerconstante k en de demping r geeft dat de volgende
grafieken.
Bij de eigenfrequentie is de fasehoek2
ongeacht de demping r .
2.8 De methode van de mechanische impedantie.Bij het bepalen van de “steady state” trillingsresponse van een systeem met gedwongen trilling is het soms
handig gebruik te maken van de methode van de mechanische impedantie. Dit naar analogie van trillings-
berekeningen zoals die in de elektrotechniek gebruikelijk zijn. Bij deze methode maakt men gebruik van de
voorstelling van de harmonische beweging d.m.v. roterende vectoren.
Veronderstel dat de exciterende kracht wordt voorgesteld door : t ie F F 0
De “steady state” trillingsresponse zal een vector zijn die naloopt op de exciterende kracht. Deze
verplaatsingsvector kan men dan weergeven door :
t ieY Y
De snelheidsvector wordt dan : 2t i
eY dt
Y d of ook Y i
dt
Y d
ω0
ωE
φ
r = 0,5
r = 1
r = 2
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
35/56
Mechanische trillingen 34 november 2011
De versnellingsvector wordt dan : Y dt
Y d 22
2
De krachtwerking die bij massa, demper en veer gepaard gaat aan resp. versnelling, snelheid en uitwijking
kan nu door coëfficiënten worden weergegeven. Deze coëfficiënten worden de mechanische impedanties
genoemd.
2massa m r idemping
k veer
Het vector diagram ziet er dan als volgt uit :
t
t ie F F 0 t ieY Y 0
Y m 2
Y r i
Y k
De vectorsom van deze vier vectoren moet nul zijn. Bekijkt men het vectordiagram als een quasi- statisch
diagram en legt men de exciterende kracht op de reële as, dan krijgt men het volgende vector diagram.
Y k
0 F
Y r i Y m 2
ieY Y 0
Re
Im
φ
Re
Im
φ
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
36/56
Mechanische trillingen 35 november 2011
Door deze voorstelling kiest men voor de weergave van de exciterende kracht als t F cos0 met andere
woorden, men kiest voor het reële deel van t ie F F 0 .
voorbeeld :Van het massa-veer systeem is de massa m = 1000 kg , de demping
r = 10 kNs/m , de veerconstante k = 90 kN/m. De exciterende kracht
verloopt sinusvormig met een van amplitude F 0 = 10 kN. Wat is dan de
amplitude van de verplaatsing y en hoe groot is de fasehoek φ tussen de
kracht en de verplaatsing?
De bewegingsvergelijking is :
t F yk dt
dyr
dt
yd m 002
2
cos
Er wordt overgegaan op de complexe notatie van de exciterende kracht :
t it F e F F t i
0000 sincos0
Dit wil zeggen dat het reële deel van deze notatie stelt de optredendeexiterende kracht voor. Van de te bepalen complexe notatie van de
uitwijking moet dan ook het reële deel genomen worden.
Als de exiterende kracht sinusvormig verloopt, verloopt de uitwijking ook sinusvormig, stel :
De uitwijking : t ie y y De snelheid : yidt
yd e yi
dt
yd t i
De versnelling : ydt
yd e yi
dt
yd t i 2222
2
Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit :t it it it i e F e yk e yir e ym 00
2
Deelt men aan weerzijde van het gelijkteken doort i
e 0 , dan krijgt men de quasi-statische uitdrukking :
0
2 F e yk e yir e ym
iii
De uitwijking kan dan geschreven worden als :
r imk
F e y i
2
0
Met behulp van het toegevoegd complexe getal van de noemer wordt de uitdrukking :
2222
0
2222
20
2222
20
r mk
r F i
r mk
mk F
r mk
r imk F e y i
De amplitude van de beweging is dus de modulus van de rechter uitdrukking :
22222
22
0
22222
222
0
r mk
r F
r mk
mk F y
Vereenvoudigd levert dit op :
2222
0
r mk
F y
Met de getalwaarden van het systeem ingevuld geeft dit :
m011,0
2101021011090
101
2232233
3
2222
0
r mk
F y
De fasehoek kan gevonden worden uit :
y
F(t)
m
k r
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
37/56
Mechanische trillingen 36 november 2011
2222
0
2222
2
0
r mk
r F i
r mk
mk F e y i
Hiermee bepaalt men de cotangens van de hoek φ .
r
mk
r mk
r F
r mk
mk F
2
2222
0
2222
20
cotan
Dus de fasehoek is : rad2285,021010
210001090arccotanarccotan
3
232
r
mk
2.9 Isolatie van trillingen.Bij isolatie van trillingen gaat het er om, dat het effect van een trillingsbron P(t) zo min mogelijk wordt
door gegeven aan een ondersteuning. De kracht F(t) is hier de sommatie van de kracht van de veer en de
demper. Voor het volgende wordt er vanuit gegaan dat de trillings-
bron een sinusvormige excitatie geeft.
t P t P sin)( 0 Tevens veronderstelt men dat de kracht in de fundatie ook sinus-
vormig verloopt.
t F t F sin)( 0
De trilling van het lichaam met de massa m wordt gegeven door de
bewegingsvergelijking :
t P yk dt
dyr
dt
yd m 002
2
sin
Uit de beschouwing van de gedwongen trilling is bekend dat de
oplossing hier geschreven kan worden als :
t y y 00 sin
Voor de amplitude van de uitwijking is dan ook bekend dat deze moet voldoen aan het volgende :
mk
k
r k P y E
E
2
2
2
2
0
2
0
00 met
1
1
Met de veronderstellingen :
1. De fundatie is volkomen star.
2. De veer en de demper hebben geen eigen massa.
kan men de differentiaal vergelijking van de kracht op de fundatie als volgt opschrijven :
dt
dyr yk t F )(
Met de uitwijking en zijn afgeleide ingevuld geeft dit :
t yr t yk t F dt
t yd r t yk t F
0000000
000000
cossinsin
sinsinsin
Ter vereenvoudiging van deze formulering de tijdas verschuiven zodat ψ uit het rechterlid verdwijnt. De
fasehoek in het linkerlid moet dan ook aangepast worden.
t yr t yk t F 0000000 cossinsin
Dit kan nu met het volgende vectordiagram worden weergegeven :
y
F(t)
m
k r
P(t)
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
38/56
Mechanische trillingen 37 november 2011
t yr 000 cos t F 00 sin
t yk 00 sin
Uit het vectordiagram volgt dan onmiddellijk de amplitude en de fasehoek van de kracht op de fundatie.
2
0
2
0
22
0
0
2
00
2
0
2
0
22
0
2
0
1arccosarccos
1
k
r k
r k y
yk
k
r yk yr yk F
Isolatie treedt op als de kracht F(t) op de fundatie kleiner is dan de exciterende kracht P(t) . Dus :
00)()( P F t P t F
Definieert men de doorlatingsfactor als
2
0
0
P
F d dan krijgt men :
2
2
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
0
2
00
2
002
0
0
1
1
1
1
E E k
r
k
r
k
r yk
k
r yk
P
F d
Voor isolatie geldt dat d < 1 moet zijn. Uit de voorgaande formule blijkt dat dan moet gelden :
1111
2
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
E E k
r
k
r
Er treedt pas verbetering op als 20 E
en voor een belangrijke verbetering moet E 0
zijn.
Θ
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
39/56
Mechanische trillingen 38 november 2011
Trillingsisolatie bij gebouwen vindt vaak plaats d.m.v. het toepassen van “het doos in doos principe”.
Hierbij staat de te isoleren ruimte in zijn geheel op trillingsisolatoren en heeft verder geen contact met de
rest van het gebouw.
2.10 Niet harmonische excitatie.Men kan zich afvragen wat het gedrag van een massa-veer systeem is, als de exciterende kracht wel
periodiek maar niet sinusvormig in de tijd is. Hierbij is het noodzakelijk dat op de exciterende krachtFourieranalyse wordt toegepast. De kracht wordt dan gezien als een sommatie van in de tijd sinusvormig
veranderende krachten. Voor de sinusvormig componenten gelden dan de resutaten van de gedwongen
trilling met een sinusvormig verlopende kracht.
Voorbeeld :
t t F t )(10
Als Fourier reeks geschreven, wordt de exciterende kracht :
0
sincos)(n
nn t nbt nat F
Trillingsisolatoren
Dilatatie
Fundatie
Geїsoleerde ruimte
y
F(t)
m
k r
1 2 30
1
t
F(t)
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
40/56
Mechanische trillingen 39 november 2011
Voor de periodetijd geldt :2
T
De Fourier coëfficiënten zijn dan te schrijven als :
ndt t nt dt t nt F
T b
dt t nt dt t nt F T
a
dt t dt t F T a
T T
n
T T
n
T T
1sin
1
2sin)(
2
0cos1
2cos)(
2
2
1
1
1
)(
1
00
00
000
De exciterende kracht kan geschreven worden als :
1
sin1
2
1)(
n
t nn
t F
De bewegingsvergelijking van het massa-veer systeem is :
)(02
2
t F yk dt
dyr
dt
yd m
Stel de oplossing wordt gegeven door :
1
0 sin)(n
nn t n A At y
De afgeleiden zijn dan :
1
22
2
2
1
sin
cos
n
nn
n
nn
t n Andt
yd
t n Andt
dy
Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit :
1
1
0
11
22
sin1
2
1
sincossin
n
n
nn
n
nn
n
nn
t nn
t n Ak Ak t n Anr t n Anm
Aan beide zijden van het gelijk teken de constante verwijderen geeft :
k A Ak
2
1
2
100
De uitdrukking reorganiseren geeft :
111
22 sin1
cossinnn
nn
n
nn t nn
t n Anr t nk nm A
Voor de ne component van de oplossing kan het volgende vectordiagram getekend worden :
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
41/56
Mechanische trillingen 40 november 2011
nn t n Anr cos
t nn
sin1
nn t nk nm A sin22
Hieruit volgt dat amplidude voor de ne component is :
222222
22
2222222
22
22222222
1
1
1
k nmnr n
A
nk nmnr A
nk nm A Anr
n
n
nn
Voor de fasehoek φn is te schrijven :
222222
222222
2
2
arcsin
arcsin
arcsin1
arcsin
k nmnr
nr
k nmnr n
nr
Anr
n
Anr
n
n
nn
n
Voor elke harmonische component n, is met het invullen van de waarden voor m, r en k de amplitude en
fasehoek bepaald. Hiermee kan het gedrag van dit massa-veer syssteem volledig bepaald worden, door de
harmonische reeks met deze amplitude en fasehoek te ontwikkelen.
φ
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
42/56
Mechanische trillingen 41 november 2011
2.11 Vraagstukken.
1.
Van het nevenstaande systeem van veren is
gegeven dat veren 1 en 2 parallel gekoppeld
zijn. Ook veren 3 en 4 zijn parallel gekoppeld,
Deze twee parallel koppelingen zijn serie
gekoppeld. De veerconstanten zijn als volgt :
k 1 = 1000 N/m, k 2 = 2000 N/m, k 3 = 500 N/m
en k4 = 1500 N/m.
Bepaal de equivalente veerconstante voor het totale systeem van de vier veren.
2. Een mathematische slinger heeft een slingertijd van 1 seconde. De gravitatieconstante g = 9,81 m/s2.
(a) Hoe lang is deze slinger?
(b) Wat is de slingertijd van deze slinger op de maan? ( gmaan = 2 m/s2 )
3. Een houten cilinder met een lengte van 1 meter en een diameter van 0,25 meter heeft een dichtheid van
ρH = 800 kg / m3 . Deze cilinder drijft in water met een dichtheid van ρ W = 1000 kg / m
3.
Opmerking : de toegevoegde massa en demping mag worden verwaarloosd.
(a) Als de cilinder lichtelijk naar beneden geduwd wordt en dan losgelaten, met welke frequentie zaldeze cilinder op en neer bewegen?
(b) Dezelfde vraag, maar nu drijft de cilinder in zout water met ρZW = 1025 kg / m3 .
k 1
k 2 k 4
k 3
0,25 m
1 m
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
43/56
Mechanische trillingen 42 november 2011
4. Een betonnen plaat, van 5 meter bij 5 meter en 0,25 meter dik, staat op vier IPE 100 profielen van
6 meter. De dichtheid van het beton is ρB = 2500 kg/m3 . De elasticiteitsmodulus is E = 2,1 . 10 5 N/mm2.
Bereken de trillingstijd van het blok beton.
5.
Een slinger heeft een staaf met een lengte L en een massa M precies
op de helft van de staaf. De punt massa m aan het einde van de staaf.
Bepaal de slingerfrequentie met behulp van de energiebalans.
trillingsrichting6 m
5 m
5 m
IPE 100
0,25 m
Zij aanzichtBoven aanzicht
m
y
L/2
φ
v h
M
L/2
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
44/56
Mechanische trillingen 43 november 2011
6.
Een slinger met de lengte L heeft een massa m, de massa
van de slingerstaaf mag verwaarloosd worden. Op de
afstand a onder het ophangpunt is een horizontale veer met
een veerconstante k aangebracht. Bepaal voor kleine
uitwijkingen y de slingerfrequentie.
7.
In nevenstaande figuur is de constructie van een slinger
geven. De slinger heeft een lengte L, de slingerstaaf heeftgeen massa. De veer met de veerconstante k zit op de
afstand L1 boven het draaipunt O bevestigd. De demper met
de dempingsfactor r is op de afstand L2 onder het draaipunt
O bevestigd.
Bepaal de slingerfrequentie voor kleine amplitudes.
8.
Een massa m wordt ondersteund door een veer met een
veerconstante k . De fundatieplaat is onderhevig aan een
harmonische beweging t A x sin0
Bepaal de verplaatsing y van de massa.
m
y
L
φ
a
k
k
m
r
OL1
L2
L
y m
k
x
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
45/56
Mechanische trillingen 44 november 2011
A. Complexe getallen.
A.1 Imaginaire getallen.Bij het oplossen van vergelijkingen blijkt het niet altijd mogelijk om vergelijkingen op te lossen met het
gebruik van alleen de reële getallen. Bijvoorbeeld de vergelijking 012 x heeft geen oplossing in het
reële domein. Om hier aan tegemoet te komen heeft men de imaginaire eenheid “i” als nieuw getal
gedefiniëerd. Voor dit getal i geldt :
12i
Er wordt verder gedefinieerd dat bij een getal p > 0 de volgende notatie wordt gebruikt :
i p pdan p 20
Het product i p van de imaginaire eenheid en een reëel getal noemt men een imaginair getal . Uit de
definities volgen onmiddellijk twee eigenschappen van de imaginaire getallen.
(a) Voor de machten van de imaginaire getallen volgt :
etc.1)1()1(;)1(;1 224232
iiiiiiiii
(b) Omdat de imaginaire getallen niet afgebeeld kunnen worden op de getallenrechte hebben
begrippen als positief en negatief, groter dan en kleiner dan geen betekenis.
Opmerking :
Uit de theorie van algebraïsche vergelijkingen volgt dat de vergelijking 012 z twee oplossingen heeft
n.l. i z i z en .
A.2 Complexe getallen.
Men verstaat onder een complex getal de som van een reëel getal en een imaginair getal. qi p z .
Hierbij zijn p en q reële getallen. Men noemt p het reële deel p = Re( z ) van z en iq het imaginaire deel
van z )(Im z q .
Bij elk complex getal qi p z is een getal te definiëren zodat geldt : qi p z men noemt dit het
toegevoegd complexe getal of het geconjugeerde getal.
De absolute waarde of modulus van een complex getal qi p z wordt gegeven door :22
q p z
A.3 Operatoren met complexe getallen.Bewerkingen met complexe getallen zijn mogelijk d.m.v. een aantal gedefinieerde operatoren. Stel
qi p z 1 en wiu z 2 dan geldt het volgende voor de bewerking :
(a) Gelijkheid.
z 1 en z 2 zijn alleen gelijk aan elkaar als geldt : )Im()Im()Re()Re( 2111 z z en z z
(b) Optellen.
De som is : )()(21 wqiu p z z
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
46/56
Mechanische trillingen 45 november 2011
(c) Aftrekken.
Het verschil is : )()(21 wqiu p z z
(d) Vermenigvuldigen.
Het product is : )()(21 uqw piwqu p z z
Deze rekenregel is eenvoudig te vinden door de twee complexe getallen algebraïsch met elkaar te
vermenigvuldigen en rekening te houden met 12i .
)()(221 uqw piwqu pwqiuqiw piu pwiuqi p z z
(e) Delen.
Het quotiënt is :2222
2
1
wu
w puqi
wu
wqu p
z
z
Deze rekenregel is eenvoudig te vinden door het quotiënt van deze twee complexe getallen te
vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer en te vermenigvuldigen met de
geconjugeerde van de noemer en rekening te houden met 12i .
22222
1
222
2
2
1
wu
w puqi
wu
wqu p
z
z
wiuwqiuqiw piu p
wiuwiu
wiuqi p
wiuqi p
z z
A.4 Het complexe vlak.Met kan complexe getallen afbeelden op een plat vlak door in dit vlak een cartesiaans coördinatenstelsel te
definiëren. De horizontale as wordt gebruikt om het reële deel van het getal af te passen en de verticale as
wordt gebruikt om het imaginaire deel van het getal af te passen.
Van het getal qi p z staat p horizontaal uitgezet en q
staat verticaal uitgezet. Zie nevenstaande figuur. Het beeld punt z is de voorstelling van het complexe getal.
Uit de nevenstaande afbeelding is nu ook onmiddellijk
duidelijk dat complexe getalen gebruikt kunnen worden om
twee dimensionale vectoren weer te geven.
De lengte van de vector komt overeen met de modulus van
het complexe getal.
Met behulp van het complexe vlak is het ook duidelijk dat sommatie van complexe getallen opgevat kan
worden als een vector optelling.
Im
Re p
i.q z
| z |
o
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
47/56
Mechanische trillingen 46 november 2011
Uit nevenstaande figuur is op basis
van gelijkvormige driehoeken
onmiddellijk in te zien dat de
sommatie van de complexe getallen
z1 en z2 hetzelfde beeldpunt geeft als
de vectorsom van z1 en z2 d.m.v. een
paralellogram constructie.
Het is ook mogelijk om op het cartesiaans coördinatenstelsel een poolcoördinaten stelsel te superponeren,
waardoor er een andere notatiewijze voor complexe getallen mogelijk wordt.
Het lijnstuk OZ staat onder een hoek
φ t.o.v. de reële as. De lengte van
het lijnstuk OZ is de modulus van z .
Voor het lijnstuk OP geldt nu :
cos z OP
Voor het lijnstuk OQ geldt nu :
sin z OQ
Hier uit volgt nu de schrijfwijzevoor het complexe getal z .
sinsin ir z
Hierin is r gelijk aan de modulus van het getal z, dus : z r . De hoek φ wordt ook wel het argument van
z genoemd, aangegeven met arg(z) . Er moet hierbij opgemerkt worden dat de hoek φ zich na elke 2π
herhaalt. Dus voor het argument van z kunnen we schrijven :
k z 2arg
Euler heeft d.m.v. reeksontwikkelingen het volgende verband gevonden :
sincos iei
Dit geeft aanleiding tot een derde manier van het schrijven van een complex getal nl. :
ier z
Im
Re p
i.q z
1
o
i.w
q
z 2
z 1+ z 2
i.(q+w)
p + q
| z |
Im
Re p
i.q
o
z
φ
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
48/56
Mechanische trillingen 47 november 2011
A.5 De stelling van de Moivre.De schrijfwijze van Euler voor complexe getallen leidt dan naar de stelling van de Moivre, die luidt :
Als een complex getal ier z , dan geldt voor zijn ne macht :ninn
er z
Dit is ook te schrijven als : sincossincos ninr z ir z nn
A.6 Vraagstukken.
1. Bereken : 17i
2. Bereken : 5432 ii
3. Bereken :i
i
43
32
4. Construeer in een complex vlak de beeldpunten van de som, het verschil en product van :
i32 en i23
5. Bereken de modulus en het argument van : i43
6. Schrijf i34 in de notatie van Euler.
7. Bereken : i43
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
49/56
Mechanische trillingen 48 november 2011
B. Fourieranalyse.
B.1 Goniometrische reeksen en periodieke functies.Onder een goniometrische polynoom wordt verstaan :
N
n
nn xnb xna0
sincos
Wordt deze veelterm doorgezet tot in het oneindige, dan krijgt men een goniometrische reeks.
0
sincosn
nn xnb xna
Indien de reeks convergeert, definieert deze een functie f(x) en kan elke waarde van de functie worden
bepaald met de reeks, dus :
)(sincos0
x f xnb xnan
nn
Voor convergentie is het nodig dat de functie periodiek is. Periodiciteit is als volgt gedefinieerd :
xallevoor )()( x f T x f
Een voorbeeld hiervan is : )sin()2sin( x x
Door de periodiciteit wordt het volgende bepaald :b
a
b
a
b
a
T b
T a
dx x f duu f duT u f dx x f )()()()(
Men kan nu ook schrijven :
T b
b
T a
a
T b
T a
T a
b
T a
b
b
a
T b
T a
b
a
dx x f dx x f
dx x f dx x f dx x f dx x f
dx x f dx x f
)()(
)()()()(
)()(
De conclusie is dat de integraal over een hele periode altijd hetzelfde resultaat geeft, ongeacht waar men bijde integratie begint.
B.2 De goniometrische hulpintegralen.Voor het bepalen van een goniometrische reeks is een aantal hulpintegralen nodig.
0sin dx xn
Bewijs : 0coscos1
cos1
sin nnn
xnn
dx xn
00cos ndx xn
Bewijs : 0sinsin1
sin1
cos nnk
xnn
dx xn
0cossin dx xm xn
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
50/56
Mechanische trillingen 49 november 2011
0coscoscoscos
2
1
coscos
2
1
sinsin2
1cossin
mn
mnmn
mn
mnmn
mn
xmn
mn
xmn
dx xmn xmndx xm xn
Dit geldt voor n = m en voor n = -m .
nm
nmdx xn xm B
nm
nmdx xn xm A
0sinsin
0coscos
Bewijs :
0cos
sinsincoscos
2
0cos
sinsincoscos
dx xnm B A
dx xn xm xn xm B A
nm
nmdx xnm B A
dx xn xm xn xm B A
Conclusie : nm B Anm B A alsenals0
B.3 De Fouriercoëfficiënten.Om een bekende functie als een goniometrische reeks te schrijven, kan men als volgt te werk gaan.
xb xb xb
xa xa xaa x f
3sin2sinsin
3cos2coscos)(
321
321021
Aan beide zijden van het gelijk teken vermenigvuldigen met xncos en integreren van –π tot π .
dx xn xbdx xn xb
dx xn xadx xn xadx xnadx xn x f
cos2sincossin
cos2coscoscoscoscos)(
21
21021
Als n = 0 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve het eerste dus :
0021
021 0)( a xadxadx x f
De eerste Fouriercoëfficiënt is dus : dx x f a )(1
0
Als n = 1 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve de tweede dus :
11 coscoscos)( adx x xadx x x f
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
51/56
Mechanische trillingen 50 november 2011
De tweede Fouriercoëfficiënt is dus : dx x x f a cos)(1
1
Als n = 2 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve de derde dus :
22 2cos2cos2cos)( adx x xadx x x f
De derde Fouriercoëfficiënt is dus : dx x x f a 2cos)(1
2
De ne term is dus te schrijven als : dx xn x f an cos)(1
Op analoge wijze zijn de coëfficiënten van de sinustermen te schrijven, bij de ontwikkeling hiervan moet
men aan beide zijden van het gelijkteken met xnsin vermenigvuldigen. De algemene schrijfwijze van
deze coëfficiënten is :
dx xn x f bn sin)(
1
voorbeeld :
De zaagtandfunctie wordt gedefinieerd als :
x x x f voor )(
Elders geldt : )2()( k x f x f
Nu moeten de Fouriercoëfficiënten voor de goniometrische
reeks bepaald worden.
De cosinustermen van de reeks zijn :
0cos1
0sin1
sin1
sin1
cos1
cos)(1
2 xn
ndx xn
n xn x
n
xnd xn
dx xn xdx xn x f an
De sinustermen van de reeks zijn :
nn
n
nnn
dx xnn
xn xn
xnd xn
dx xn xdx xn x f b
n
n
21
cos2
coscos1
cos1
cos1
cos1
sin1
sin)(1
1
Wordt voor n resp. 1, 2, 3 en 4 ingevuld, dan krijgt men :
4
2,
3
2,
2
2,2 2221 bbbb
De harmonische ontwikkeling van de zaagtand is dan :
x x x x x f 4sin3sin2sinsin2)( 41
31
21
X-as
Y-as
0 π -π
8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011
52/56
Mechanische trillingen 51 november 2011
B.4 Verandering van de periode.Tot nu toe zijn alleen de functies bekeken met de periode 2π . Deze geven een reeks met de algemene vorm
:
xb xb xb
xa xa xaa x f
3sin2sinsin
3cos2coscos)(
321
321021
Wil men echter een functie met de periode T als reeks schrijven, dan wordt deze :
T
x B
T
x B
T
x B
T
x A
T
x A
T
x A A x g
6sin
4sin
2sin
6cos
4cos
2cos)(
321
321021
Door de substitutie uT
x2 gaat de reeks over in :
u Bu Bu B
u Au Au A A xh
3sin2sinsin
3cos2coscos)(
321
321021
Deze reeks heeft dezelfde formele vorm als de reeks met de periode van 2π . Dan kunnen ook dezelfde
formules toegepast worden. Hierbij neemt u de plaats van x in.
duunuh An cos)(1
substitutie vanT
xu
2 levert :
dxT
xn x g
T A
dxT T
xn x g A
T
T
n
T
T
n
2cos)(
2
22cos)(
1
2
1
21
2
1
21
Op analoge wijze worden de coëfficiënten van de sinus termen bepaald :
dxT
xn x g
T B
T
T
n
2sin)(
2 2
1
2