Dibujo Tecnico y Geometrico

7/18/2019 Dibujo Tecnico y Geometrico

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McGRAW-HILL

MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID

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SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Revisor Técnico:Ing. Arq. Gerardo López Campoy

Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, IPN

Ing. EMILIO PÉREZ RAMÍREZ Profesor Investigador Titular C en la U. de G.

y Centenaria Escuela Normal de Jalisco



Asistente editorial: Alma Sámano CastilloSupervisor de edición: Luis Amador ValdezSupervisores de producción: Jorge A. Martínez Jiménez

Paula Sosa J.

Diseño y composición tipográfica: Servicios Editoriales Gráficos, S.A. de C.V.

DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la primera edición porMcGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V.,Una División de The McGraw-Hill Companies, Inc.

Cedro No. 512, Col. Atlampa, C.P. 06450, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 970-10-1108-2

1234567890 U.S.-97 9086543217

Impreso en México Printed in México

Esta obra se terminó deimprimir en Octubre de 1997 enServicios Litograficos Ultrasol,S.A. de C.V.Fiscales No. 46 Col. Sifón09400 México, D.F.

Se tiraron 6000 ejemplares



Construcción y trazo de circunferencias tangentes entre sí,empalme de líneas rectas y curvas, trazo de cónicasy curvas planas, cerradas y abiertas 74

Construcción y trazo de polígonos inscritos,estrellados con base a uno de sus lados 60

Construcción y trazo de líneas perpendiculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros 40

Manejo de instrumentos para el dibujo geométrico; rotulado 19

Unidad 2

Instrumentos y materiales para el dibujo 1

Unidad 1

Prólogo vii

Contenido

Unidad 3

Unidad 4

Unidad 5



Unidad 6

La escala y sus aplicaciones. Sistema Métrico Decimaly Sistema Inglés; conversiones 97

Unidad 7

Dibujo a mano libre y a mano alzada 110

Unidad 8

La perspectiva 118

Apéndices

1. Tablas de geometría

2. Sugerencias al profesor

127

131



E l dibujo, en cualquiera de sus manifestaciones, desempeña un papel de primer orden en todas lasactividades de la humanidad. Esta importancia radica en que, antes que se elabore cualquier objeto

o cosa, es necesario diseñarlo con todas sus características por medio de un dibujo.El contenido de este texto lo forma el dibujo geométrico, que es básico e imprescindible para llegar a

ser un buen dibujante técnico. El propósito que trato de alcanzar con este trabajo es que los alumnosencuentren un material de aprendizaje accesible y práctico; por ello recurro al uso de un vocabulariosencillo, a la eliminación de una teoría geométrica rebuscada, y al auxilio de un gran número de figurasque permite facilitar el aprendizaje. Porque no hay que olvidar que vale más una imagen que mil palabras.

Alumno, no olvides que un dibujante técnico no nace sino que se hace.Agradezco toda sugerencia que me puedan hacer compañeros, maestros y alumnos, ya que estaré

pendiente de todas estas iniciativas para mejorar este trabajo siempre que se requiera.

EL AUTOR

Prólogo





IntroducciónEn toda actividad humana el hombre ha buscado laforma de simplificar su trabajo. Debido a esta necesidad ha podido crear los instrumentos que facilitanmuchas de las tareas que realiza. Estos instrumentosse conocen con el nombre de herramientas, máquinaso dispositivos electromecánicos o computacionales. El

dibujo no es una actividad estática y por lo tanto va dela mano con todas las nuevas aportaciones de la tecnología; el dibujo demanda muchas herramientas de tra bajo acordes a sus objetivos.

Algunas de estas herramientas datan de hace milesde años y siguen teniendo vigencia y operatividad, tales como la regla, el compás, las escuádrasete; otrasson de uso más reciente como el grafo y las plumillas,el leroy y las mesas de dibujo con pantalla y computadora, donde se puede transformar dibujos bidimen-sionales en dibujos tridimensionales.

Seleccionar adecuadamente los materiales paradibujar reviste mucha importancia; el desconocimiento de las características de fabricación y uso de estosinstrumentos provoca errores que pueden echar a

perder un trabajo que costó un gran esfuerzo, tiempoy costo. Por lo tanto, no es justo incurrir en errores por

desconocimiento, selección inadecuada de materialo uso indebido.

Es importante mencionar que en el campo de laenseñanza nunca una máquina podrá sustituir a unmaestro. También es necesario expresar que todo alumno debe ocuparse de recorrer la escalera de la formación técnica, es decir, iniciar por el dominio y manejode sus herramientas, luego el conocimiento y aplicación de la tecnología del dibujo, y por último la aplicación en la máquina computadora de dibujo.

Objetivos particulares

Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:Conocer los diferentes instrumentos de dibujo.Identificar las características de operación de los instrumentos de dibujo geométrico y técnico.Seleccionar los materiales apropiados para el dibujo geométrico y técnico.

Objetivos específicos

Conocer los diferentes tipos de reglas y escuadras.Conocer los diferentes tipos de compases.Conocer las características de operación de los instrumentos geométricos requeridosen el dibujo geométrico y técnico.Identificar el tipo de material apropiado para los dibujos a desarrollar.

Usar con eficiencia todos los materiales e instrumentos de dibujo.Efectuar una buena compra de los materiales e instrumentos de dibujo.Conservar y mantener los instrumentos de dibujo adecuadamente.

y materiales para el dibujoInstrumentos

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El restiradorEl restirador o tablero de dibujo se fabrica de secciones depino blanco o cedro, sujetas entre sí por uniones ensambladas con cola, para obtener así una superficie plana; no esindispensable que el restirador sea estrictamente del material indicado, ya que en la actualidad los hay de diferentestipos de madera o metálicos. Generalmente todos los tableros de dibujo tienen los lados perpendiculares entre sí,pero es imprescindible que el borde izquierdo sea recto.

Para trabajos de carácter profesional, por lo generalmiden 1 m de ancho por 1.30 m de largo y 3 cm de grueso.

Figura 1.1 Restirador o tablero de dibujo.

que se deslice con facilidad la cabeza de la regla Ty las líneas que se trazan con ella sean perpendiculares alborde antes dicho, se sugiere que, al borde que no sea recto,con un cepillo de carpintero se haga el borde correcto.

Tamaño del tablero de dibujoEl tamaño varía según las necesidades. Los tableros dedibujo en las escuelas deben ser más pequeños, con lafinalidad de aprovechar los espacios lo mejor posible, perosin descuidar los requisitos indispensables de éstos.

Figura 1.2 Disposición de restiradores en un aula.

Algunos tableros están diseñados para trabajar lo mis-mo sentados que de pie, y sus medidas son de 0.80 m deancho por 1.20 m de largo con 3 cm de grueso.

Figura 1.3 Modelo de restirador empotrado en una pared.

El tamaño de las mesas de trabajo no puede ser mayorque el de las antes mencionadas, debe atenderse a la nece-sidad de que el dibujante pueda ver, con un rápido movi-miento de ojos, toda la superficie de la hoja en que trabaja.

Cuando la superficie del tablero es dura, se usa unahoja de cartoncillo para que sea más suave y pueda des-lizarse el lápiz, la mina o el grafo con mayor facilidad y nose marque el papel.

Improvise un restiradorUna mesa cualquiera o escritorio cuyo borde izquierdosea recto o plano, servirá como tablero de dibujo.

Levante las patas posteriores de la mesa, aproximada-mente 8 cm y procure que el borde anterior llegue a laaltura de la cintura (véase figura 1.4).

Las máquinas de dibujar

Mesas de dibujo convencionalesLas mesas convencionales se han usado durante muchosaños; sin embargo, últimamente se han diseñado y cons-truido mesas de dibujo que se pueden inclinar mediantevarios sistemas; algunas con mecanismos de resorte, yotras, con contrapesos. Existen modelos en que se usanincluso sistemas hidráulicos.

En este tipo de mesas se trabaja cómodamente senta-do o de pie, pues el tablero puede quedar totalmente verti-cal; hay además otras mejoras técnicas de diversos tipos delas que exponemos las principales.

NOTA: En el caso de que la persona sea zurda, entonces se debecuidar el borde derecho.

2 DIBUJO TECNICO Y GEOMETRICO



INSTRUMENTOS Y MATERIALES PARA EL DIBUJO

b)

Figura 1.4

Mesas de dibujo con conducción paralela de la regla,donde ésta cubre toda la longitud del tablero y se mue-ve por medio de ruedas y cadenas articuladas o pormedio de cables. En este tipo de mesas se pueden tra-zar líneas en sentido longitudinal, sin interrupción, a lolargo de todo el tablero. Para trazar las rectas verticaleso las inclinadas se emplean cartabones o escuadras.Mesas de dibujo con máquinas de dibujar conocidascon el nombre de tecnígrafos, brazos articulados con

reglas que permiten trazar líneas verticales, horizon-tales o inclinadas, y reemplazan a la regla T, las es-cuadras y los cartabones.

Además de esto, se siguen creando nuevos tipos demesas de dibujo para diversas actividades técnicas; en al-gunas, las patas se han sustituido por una base firme queocupa menos espacio, y en otras se han elaborado tablerosgigantes para dibujo técnico de piezas de maquinado, in-

geniería naval y otras, o pequeños tableros de dibujo muymanuables, que se arman y desarman por lo que puedentransportarse en maletas especiales. Este tipo de mesas es-tán equipadas también con tecnígrafos.

Las mesas modernas de dibujo permiten un gran aho-rro de espacio y un menor ordenamiento en los salones dedibujo o de proyecto, además de todas las ventajas enume-radas con anterioridad (rapidez, precisión, comodidad, etc.).Sin embargo, durante un buen tiempo seguirán usándoselas mesas convencionales de dibujo, debido fundamental-mente a su bajo costo y poca complejidad en su construc-ción, que las hacen aceptables para los talleres que no po-

seen recursos suficientes para la adquisición de las de tipomoderno.

Figura 1.5 Mesa de dibujo de tipo convencional.

Figura 1.7 Las modernas mesas de dibujo permiten un mejor orde-namiento de los salones de trabajo.

Figura 1.6 Moderna mesa de dibujo equipada con tecnígrafo.

Tecnígrafo

Las mesas modernas de dibujo están provistas de untecnígrafo. Éste permite ejecutar los dibujos con gran rapidez, por lo cual es un instrumento muy útil para los dibujantes.

El tecnígrafo está compuesto por dos reglas que for-man entre sí un ángulo de 90°, fijadas con la máxima soli-dez a una escuadra que forma parte de la cabeza deltecnígrafo, la cual está provista de un puño para la manio- bra del aparato. La posición normal de la escuadra es tal,

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DI BUJ O TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

que las dos reglas son paralelas, respectivamente, a la basey a la altura del tablero. La cabeza está unida al tableromediante un sistema de palancas, de manera que puedemoverse libremente en contacto con él a través de toda lasuperficie del dibujo. Se comprende fácilmente que al to-mar con una mano el puño del tecnígrafo, por un sencillomovimiento de traslación hacia el sitio necesario, es fáciltrazar, sin la ayuda de las escuadras ni de construcciones

geométricas, segmentos paralelos y perpendiculares entresí y a los lados del tablero, en cualquier punto del plano dedibujo. Además, al apretar una palanca y mover el tornillocorrespondiente, la escuadra que forma parte de la cabezadel tecnígrafo queda libre para girar el ángulo que se de-see, graduable con el goniómetro* de dicha cabeza, que sefija luego en la orientación deseada. El tecnígrafo da la po-sibilidad de trazar series de rectas perpendiculares y parale-las, con inclinación variable sobre la longitud, en cualquier

punto del plano del dibujo

La condición necesaria que deben satisfacer los tec-nígrafos es que su cabeza, colocada en un punto cualquie-ra del plano del dibujo, no pueda moverse en direcciónalguna, ni a deslizarse por la inclinación del tablero. Paralograr este resultado se ha ideado hace tiempo los meca-nismos de resorte y de contrapeso.

Figura 1.9 En a, tecnígrafo ensamblado a un brazo acodado, queemplean las modernas mesas de dibujo con sistema de resorte o decontrapeso. En b, tecnígrafo que se mueve sobre el tablero median-

te guía o correderas ortogonales.

En los de resorte, la tensión puede regularse con loque se obtiene fácilmente un equilibrio perfecto para deter-minada inclinación del tablero; pero cuando sea convenientevariar esta inclinación, se regula nuevamente el resorte.

La inclinación del tablero se gradúa maniobrando los pedales de la mesa de dibujo.

En cambio, en los tecnígrafos de contrapeso, el equilibrio de la parte móvil se logra mediante el contrapeso que

se puede realizar a lo largo de una barra, para obtener laregulación necesaria.

También se utilizan en la actualidad los tecnígrafos decorredera sobre guías ortogonales, que parecen tener ma-yores ventajas sobre los tipos antes descritos.

Los tecnígrafos, tanto de los sistemas de resorte y contrapeso, como los de guías ortogonales, tienen un gran uso en laactualidad en la mayoría de las mesas de dibujo modernas.

Figura 1.10 Cabeza de un tecnfgrafo con limbo graduado.

Figura 1.8 Moderna mesa de dibujo con tecnígrafo de correderas.

La regla paralela está constituida por una pieza de made-ra dura (peral, ébano, etc.) y en ocasiones, de material plástico a causa de su uso frecuente, a veces combinadacon el tecnígrafo. Por lo general, su longitud es igual a laanchura del tablero de la mesa, y se mueve mediante unmecanismo de cordones y poleas, de tal manera que laregla puede moverse hacia arriba y hacia abajo, peromanteniéndose siempre horizontal y paralela a sí misma,si ninguna flexión o distorsión.

Figura 1.11 Regla de tipo paralela, que se mueve libremente sobreel tablero mediante cables. Las rectas trazadas siempre serán para-lelas entre sí. Su fijación al tablero es por medio de chinchetas.

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Reglas paralelas




Las primeras reglas paralelas poseían un mecanismomuy sencillo. Un conjunto de pequeñas poleas metálicasacanaladas estaban insertas dentro de la regla, por dondecorría un cordón que tensaba y sostenía al tablero median-te chinchetas de dibujo.

Figura 1.12 Regla de tipo paralela más moderna. Su fijación al ta-blero se hace por la parte posterior del mismo.

Las reglas paralelas más modernas parten del mismo

principio, pero poseen un equipo más complicado, y por logeneral éste se coloca en la parte posterior del tablero. Latensión del cordón o cable se regula mediante soportes otornillos de tensión. Es por ello que con este método laregla tiene un movimiento más fácil y seguro que la defijación al tablero por medio de chinchetas de dibujo (véa-se figuras 1.13 y 1.14).

Figura 1.13 Mecanismos de poleas, cables y tensores para fijar laregla paralela a la parte posterior del tablero.

Tablero de dibujoLa principal condición de un tablero de dibujo, de cual-quier tipo de mesa, es que sea perfectamente plano y fuer-te, indeformable y de madera blanda y muy seca.

Antiguamente se construían totalmente de maderadura, con pequeñas tablas machihembradas; en los últi-mos tiempos se construyen de madera blanda muy secacon cabeceras de madera dura, o por completo de madera

blanda. Los de contrachapa o plywood (madera formadade láminas delgadas y colocada cada una de ellas en posi-ción perpendicular a las fibras tienen bastante aceptación;estas mesas están reforzadas, en el plano inferior, con dostravesanos de madera muy dura o metal, fijados al tablero

por ensambladura o tornillos apropiados.

Figura 1.14 Modernas mesas de dibujo.

La superficie del tablero debe ser lo más lisa posible yno debe poseer "nudillos" o rugosidades.

En las mesas de dibujo convencionales, se debe tener presente que los cabeceros estén perfectamente a escua-

dra, y los cantos o bordes de éstos no deben estar mellados por golpes u otras causas, ya que dificultarán el trabajo dela regla T. Esto no tiene especial importancia si se utiliza laregla llamada paralela o los tableros de las mesas de dibujomodernas, equipadas con tecnígrafos.

Forrado del tableroSobre el tablero se debe colocar un papel relativamentegrueso lo menos poroso posible, encima del cual se poneel papel en que se realizará el dibujo. Esto se hace paraque las líneas trazadas en el dibujo sean lo más suaves yuniformes, además de mantener la limpieza del tablero.

No existen prácticamente indicaciones específicas; algu-nos dibujantes prefieren colocar cartulinas delgadas deltipo Bristol, otros usan pliegos de papel Bond que vienenen rollos, o papeles de copias heliográficas "veladas" usa-das por el dorso, u otros papeles fabricados especialmen-te para los tableros con una superficie muy pulida. Lofundamental es que el papel que se coloca en el tablerosea de color claro para que permita una buena visibilidaden caso de hacer calcos sobre originales traslúcidos, puesle sirve de fondo. Existen diversas formas de colocar este papel para forrar tableros de las mesas de dibujo.

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Un método, muy extendido durante algún tiempo, fueel de pegar un pliego de papel en el tablero. El procedi-miento que debe seguirse en este caso es el siguiente:

Antes del engomado se recorta el pliego de papel del ta-maño exacto del tablero y se doblan hacia arriba sus bordes.Se humedece con una esponja la hoja de papel vuelta al re-vés, con excepción de los bordes. Éstos se untan en el ladoderecho con goma adhesiva y se pegan finalmente al tablero.

Se debe esperar el tiempo necesario para que seque el papel, y al quedar tirante, suministra una superficie magní-ficamente tensa para dibujar; se puede recortar rápidamenteuna vez concluido el trabajo.

Esta misma operación se realiza con otros procedimien-tos en vez de utilizar goma adhesiva:

Se fija el forro del tablero mediante cintas de papelengomado que se humedecen con agua.

En relación a tensar y fijar el papel de dibujo en eltablero existen muchas modalidades pero todas, por supuesto, sujetas a tipos de planos, de tableros, habilidad deldibujante y otros aspectos; es por ello que no existen indica-

ciones únicas, sólo se brindan las más generales para usar-las en cada caso.

El tiempo y la experiencia ofrecerán los métodos másaceptables.

El papel para dibujoHay gran variedad de tipos de papel, en cuanto a tama-ños, colores, gruesos y precios hechos especialmente parael dibujo. Se pueden clasificar en tres grupos:

1. Papel de dibujo blanco. Lo podemos encontrar liso y brilloso, con cierta porosidad, opaco y de diferentesgruesos.

a) El opaco con cierta porosidad es el más recomen-dable para los trabajos llamados de borrador quese elaboran a lápiz y que permiten usar trazos auxi-liares, efectuar cambios o modificaciones, ya queal borrar el papel no se maltrata. Con este papelno se debe usar tinta porque debido a su texturaésta se extiende con facilidad.

b) El papel liso y brillante se usa con el trabajo atinta, pues su textura consistente permite que la

tinta se corra con facilidad y pueda soportar las borraduras. En la actualidad el uso de este papeles menor, debido a que en muchos departamen-tos de dibujo se hacen originales a lápiz.

c) El papel para calcar es un material muy bueno para las calcas heliográficas.

2. Papel transparente o de calca. Generalmente los dibujos industriales se elaboran a lápiz, sobre papel transparente para producir copias heliográficas. La tinta seaplica en tela para calco. Además, muchas veces setrabaja directamente y los trazos auxiliares se borran

con facilidad, sin perjuicio a la superficie del papel.

Tamaño del papel

La dimensión del papel proviene del número de partesque dividen un pliego. Las más populares son de 1/8 de pliego, cuyo tamaño es igual al que conocemos come car-ta, y 1/4 de pliego o doble carta.

La regla TComo su nombre lo indica, esta regla tiene la forma de laletra T. Se compone de cabeza y regla; regularmente lacabeza es de un material duro con el borde recto y un poco rebajado, para que quede aproximadamente a lamitad del canto izquierdo del restirador del dibujo.

NOTA: Se puede verificar el borde de la regia T con una escuadra oregla, al observar que no quede ninguna línea de luz al ponerse encontacto las dos partes.

Clasificación de las reglas T

Las reglas T pueden ser rígidas o móviles.

a) Las reglas T rígidas son aquellas que están atornilla-das, ensambladas o pegadas; ambas piezas están aescuadra una de la otra, es decir, forman un ángulorecto de 90° entre sí.

b) Las reglas móviles son las que tienen la cabeza doble,donde una parte va fija al cuerpo y la otra puede va-riar su posición. Esta inclinación se controla con untornillo opresor. Por este motivo este tipo de reglasson muy prácticas, pues permiten trazar rectas a dife-rentes inclinaciones.

Figura 1.15 La regla T.

El borde de trabajo de la cabezade la regla T debe ser recto.

El borde de trabajo de

la regla T debe ser recio.

Para colgar

Borde de plástico transparenteque permite ver el dibujoque hay debajo.

Cabeza

Longitud de la regla T

6 DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO




Figura 1.16 Regla T móvil y rígida.

Las reglas T pueden estar hechas de una sola pieza(madera, plástico, metal). Las de madera pueden combi-narse con tiras de celuloide en los bordes, lo que permite

tener mayor visibilidad alrededor de donde se hace el trazoy evitar que la regla se tuerza fácilmente; por esta razóneste tipo de reglas son las más recomendables.

NOTA: No es absolutamente indispensable que esté a escuadra, basta que no tengan movimiento alguno la cabeza y la regla.

Figura 1.17 Forma de verificar si la regla T es perfectamente recta.

Para comprobar si la regla T es perfectamente recta,trace en un papel una línea entre dos puntos e invierta la

regla como se indica en la figura 1.17 y con ese lado hagaotra línea entre los mismos puntos.Las dos líneas deben quedar una sobre otra, de lo con-

trario, la regla está encorvada o defectuosa.Una regla defectuosa se debe regresar al vendedor, por

eso conviene probarla lo antes posible (véase la figura 1.18).

Conservación de la regla T

No se recomienda usar la regla T como guía para cortarcon navaja, pues se daña fácilmente la tira de celuloidecon los rebajes que se le pueden producir. Cuando se deja

de usar se recomienda subirla en la parte superior del ta-

Figura 1.18 Colocación del papel con base en la regla T.

blero de dibujo o colgarla de la perforación que tiene enel extremo, si no es así, fácilmente se encorva.

Uso de la regla T

La regla T se utiliza para trazar líneas horizontales o paraguiar las escuadras de líneas verticales o inclinadas. Sedebe usar únicamente el canto superior y sólo en posiciónhorizontal.

Si se usa de otra forma se demuestra falta de conoci-miento en su aplicación.

Figura 1.19 Uso correcto de la regla T.

Las escuadrasSon instrumentos de dibujo que tienen la forma de untriángulo. Las hay de madera o de materiales plásticos;estas últimas son las preferidas porque son transparentes.

Las escuadras de 30° x 60° son triángulos con un án-gulo de 90°, otra de 45° x 30°, que al apoyarse en la reglaT sirven para trazar líneas rectas, verticales e inclinadas a

30o

, 60o

y 45°.

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90°

Figura 1.20 Escuadras de 30° y 45°

Esta marca nos sirve para colocar el transportador demanera que el vértice del ángulo quede exactamente enesa marca, para que coincida la base recta del transportador con el otro lado del ángulo que se mide.

El compás

El compás es uno de los instrumentos que más ayudan aldibujante. Se usa para dividir las líneas en partes iguales, para medir distancias, para transferir medidas de la reglade medición al dibujo o a las partes de éste, y para hacerla mayoría de los pasos geométricos de un problema, pormedio de arcos de circunferencia que se cortan entre sí.

Figura 1.21 Principales ángulos generados por las escuadras.

El transportadorLos transportadores son dispositivos de dibujo, marcadosen grados, que permiten medir ángulos con exactitud odibujarlos a la abertura deseada.

Generalmente tienen escala de 0o a 180°, o sea, me-dio círculo, pero también los hay de 360° o de círculocompleto (véase figura 1.22).

Modo de usar el transportadorObserve que hay una marca central sobre la línea recta

que corre medio círculo de 0° a 180°.

Figura 1.23 Estuche de compases.

Clasificación de los compases

Los compases se clasifican en dos grupos:

1. Compases de precisión. Son aquellos que, debido aun tornillo que se encuentra entre sus brazos, se pue-den abrir o cerrar en espacios milimétricos; los haygrandes y pequeños y entre éstos se encuentran loscompases de bomba, con los que podemos trazar cir-

cunferencias muy pequeñas.

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NOTA: Recuerde usted que las propiedades de los triángulos es quela suma interior de sus ángulos es igual a 180°:

90° + 30° + 60° = 180°90° + 45° + 45° = 180°

c=180°a + b +

Figura 1.22 El transportador.




Figura 1.24 Compases de precisión.

2. Compases para trazos amplios. Actualmente se ha ge-neralizado un compás que funciona como compás de

punta, compás con mina o compás para entintar, pues

está formado por un brazo largo y otro corto dondese insertan la punta, la mina o el tiralíneas.

Es conveniente que haya cierta precisión en el ajustede los brazos del compás. Ésta se controla con un tornilloopresor que no debe ajustarse más de lo debido, porque lacuerda o la cabeza del tornillo se pueden barrer o trasroscar.

ParalelógrafoEl paralelógrafo sirve para trazar líneas paralelas oequidistantes entre sí. Está formado por dos regletas uni-

das por dos tiras metálicas que al girar marcan la distan-cia donde se traza la paralela; después se gira en posicióncontraria, volviendo a su posición original, adaptándosea la línea antes trazada; cuando vuelve a semigirar da la

posición de la siguiente recta paralela, y así sucesivamen-te. Este instrumento para el dibujo está casi en desuso(véase la figura 1.26).

Plantillas de curvasLas plantillas de curvas también son conocidas con el nom-

bre de pistolas. Todas las curvas que no son arcos de cir-

cunferencia se trazan con lápiz o tiralíneas, usando reglascurvas de forma irregular, llamadas plantillas de curvas. Estosinstrumentos son de plástico, de color claro o ámbar.

Cuando una persona usa este instrumento trata gene-ralmente que la posición de la plantilla alcance el trazo demuchos puntos, a fin de disminuir el número de posicio-nes. Esto da como resultado que la curva no tenga la flui-dez que se requiere.

Figura 1.27 Plantillas de curvas.

Regla flexibleActualmente hay en el mercado reglas flexibles con ani-llos, por los que pasan resortes con alma de plomo, a finde que permitan su ajuste a la curva deseada.

NOTA: Se pueden improvisar con alambre para soldar; ya que se

acomodan fácilmente a la forma deseada.

Los lápicesLos lápices constituyen los instrumentos que el dibujantedeberá conocer, usar y manejar a la perfección, porque

de ello depende la calidad del terminado del dibujo.

Figura 1.25 Compases para trazos amplios.

Figura 1.26 Paralelógrafo.

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Figura 1.28 Juego de lápices para el dibujo.

Material de los lápices

Los lápices están compuestos principalmente de maderade cedro y de una mina. Se le da el nombre de mina almaterial que se encuentra al centro de la madera, com-

puesto de dos sustancias: grafito y arcilla.El grafito es una sustancia de aspecto metálico y gra-

siento al tacto y es el que pinta. La arcilla es el material quesirve de aglutinante. De la proporción de estas dos sustan-cias depende la dureza de la punta del lápiz.

Clasificación de los lápices

según su dureza

De acuerdo con lo antes mencionado, los lápices se clasi-fican en duros, medianos y blandos.

Para que esta clasificación quede perfectamente defi-

nida, los fabricantes de lápices utilizan números y letras; por ejemplo, los lápices duros se identifican con la H, esdecir, el lápiz tendrá más dureza cuando el número queacompaña a esta letra sea mayor.

La letra B se utiliza para los lápices blandos, mientrasel número que acompaña a esta letra sea mayor el lápizserá más blando.

Los lápices que combinan ambas letras, es decir HB,se llaman medianos y son lápices intermedios, entre durosy blandos.

El grueso de la mina de un lápiz está en relación con elgrado del mismo (observe que cuando más duro es el lá-

piz, más delgada será la mina y viceversa).

Lápices duros

Los lápices duros son los que van de 9H a 7H y se usanen casos donde se requiere extrema exactitud, como losdiagramas y cálculos gráficos.

Los lápices 6H, 5H y 4H se usan para planos, proyec-tos de ingeniería o en prácticas lineales en que se necesitanlíneas delgadas.

Lápices medianos

Los lápices medianos se usan para trabajos más genera-les del dibujo técnico. Para hacer rótulos, acotamientos yalgunos trabajos a pulso (croquis de objetos o piezas me-cánicas) se utilizan los lápices F, HB y B.

Los lápices 3H, 2H y H se utilizan para el trazo delíneas en el dibujo mecánico, arquitectónico e industrial.

Figura 1.30 Trazo con lápiz H en el dibujo arquitectónico.

Lápices blandos

Como su propio nombre lo indica, son lápices cuya minaes muy blanda: 2B, 3B, 4B, 6B y 7B.

Por esta razón no se puede utilizar en el dibujo técnicoindustrial, porque trazan líneas gruesas y sucias, ademásde que con las escuadras y la regla T se corre fácilmente elgrafito y se mancha el dibujo que se está realizando; porotro lado, borrar es difícil.

Este tipo de lápices son útiles para el dibujo artístico, yen algunos casos, para detallar el dibujo arquitectónico. Haycasos en que no se puede recomendar tal letra y númerode lápiz, sino que la experiencia nos dirá qué lápiz es propio para el tipo de línea que se va a trazar.

Se recomienda no utilizar lápices corrientes o desco-nocidos, pues fácilmente echan a perder el dibujo.

La punta del lápiz

Parece que esto no tiene importancia, pero quien conoceel dibujo sabe que el presentado y terminado de un dibu-

jo depende en parte del uso correcto de la punta del lápiz.Figura 1.29 Graduación de los lápices para el dibujo.

Selector de grados




Para sacarle punta a los lápices se puede usar unanavaja de bolsillo (nunca una hoja de afeitar, por delgaday peligrosa), un sacapuntas o un afilaminas. La punta debetener unos 3.5 cm de longitud total, 2.5 cm de desbasta-do de madera y el centímetro que resta debe ser la longi-tud de la mina. Se debe tener cuidado de que el polvografito caiga en una hoja sucia y no en el dibujo paratirarlo después.

AfiladoEl lápiz se afila conforme el trabajo que se va a desempe-ñar; por ejemplo, para dibujos a mano libre, se prefiereuna punta cónica, como el que se ve en la figura 1.33a.Para trazar líneas en general, la punta debe ser plana comola de una cuña (Fig. 1.33b).

a) La mina en for-ma de cuña, apli-

cada de maneraplana sobre el pa-pel, es propia paratrazos anchos ygrisados.

b) La misma mi-na, variando la po-sición del lápiz,proporciona trazosfinos para el perfi-lado de las formas. ■

Figura 1.33a y b Uso del lápiz afilado en uña.

Figura 1.35 Longitud correcta de la mina en el afilado de un lápiz.

Limpie la punta del lápiz con una franela; guarde muy bien la tablilla de la lija en un lugar seguro para no ensuciarel dibujo.

Lápices pequeños

Para no desperdiciar lápices cortos, use un apuralápiz, que

es una especie de casquillo que, embonado a la parte superior del lápiz, lo hace crecer.

Los lápices se afilan en un papel o en una lija, despuésde haber pelado la punta como 10 cm con una navaja,tanto en forma cónica como de cuña (véase figura 1.34).

Sólo un lápiz afilado puede producir líneas precisas,nítidas y oscuras que brillen con claridad para dar el acaba-do requerido.

De otra manera producen líneas gruesas, imprecisas,de mala calidad. Esto es característico del estudiante des-

cuidado y sucio.

Figura 1.36 Apuralápiz.

No se recomienda dibujar con un lápiz y luego otro porque no se controla bien el trazo y el grueso de la línea.

Figura 1.32 Afilado del lápiz.

Figura 1.31 Punta de un lápiz suave.

Figura 1.34 Distintos tipos de afilado de lápiz con papel o lija.




PortaminasEl uso de las portaminas se ha generalizado últimamente,debido a su práctico mecanismo: basta con apretar un botón en la parte posterior del mismo para que suelte o presione la mina.

Es conveniente que el borrador tenga un canto afiladoque permita rectificar pequeños detalles; esto se consigueal cortarlo en diagonal.

La goma debe ser blanda al tacto y suave al roce conel papel. Para borrar líneas de lápiz se usa la llamada demigajón y de manteca, aún cuando ninguna de estas ma-terias es básica en su fabricación.

Figura 1.37 Portaminas. Figura 1.39 Borradores de migajón.

Ventajas

Las ventajas que se obtienen con el uso de estos instru-mentos de dibujo es:

1. Se puede cambiar la mina fácilmente y poner la quese ocupe.

2. Sale más económico, porque sólo se paga el preciode la mina.

Existen dos tipos de lápices portaminas: uno para lasminas de diámetro normal, y otro para las minas gruesas.

BorradoresEl uso de los borradores es muy necesario, ya sea por unerror en el trazo, para líneas auxiliares o para que el traba-

jo tenga más limpieza. Para usarlo correctamente debe-mos utilizar ciertas técnicas.

Figura 1.38 Borradores de goma.

Para borrar líneas a lápiz se usa un borrador o gomasuave, pero se debe tener cuidado de no frotarla con fuerza para no destruir la superficie del papel. Esto puede evitarse

si se trazan suavemente las líneas.

Para borrar líneas a tinta, la goma debe ser más dura.

En algunos casos se usa una navaja filosa (no es muy reco-mendable) para raspar la tinta sin dañar el papel. Cuandose borra una línea es casi seguro que se borren las líneasadyacentes, que no deben desaparecer, a menos que seaesa la intención.

En el mercado hay un protector llamado plantilla para borrar, que tiene varias ranuras de diferentes formas. Si nose tiene una plantilla se puede improvisar una al cortar va-rias ranuras en una tarjeta o cartulina semejantes a las quese ven en la figura 1.40.

Figura 1.40 Plantilla para borrar.

NOTA: Se recomienda que la práctica de borrar quede limitada a loindispensable; que se dibujen todas las líneas con verdadera atención. pensando que el papel no debe frotarse y restregarse, pues la calidaddel dibujo es como una tarjeta de presentación de quien lo hace

Figura 1.41 Uso de la plantilla para borrar.




Las tintasA veces hay necesidad de darle un acabado más completoo permanente al dibujo. Para esto se usa tinta negra a prue-

ba de agua, conocida en el mercado como tinta china.

Figura 1.42 Envase de tinta china con gotero integrado.

Muchos de los trabajos geométricos del dibujo téc-nico y arquitectónico requieren de cierta calidad que selogra únicamente con la tinta. Además, éstos pueden re- producirse más fácilmente mediante copias que resultande más claridad que las elaboradas a base de dibujos alápiz.

La tinta china es un material volátil, por lo tanto serecomienda no dejarla destapada, porque empieza a se-carse. Se debe tener cuidado de que la tinta no se seque enlos instrumentos de dibujo porque puede picarlos y oxidar-los. Para limpiar la tinta del dibujo se emplea una navaja ydebe tenerse cuidado de no rayar o dañar el papel; tam-

bién puede usarse alcohol o agua, pues ablanda la tinta yfácilmente se desprende al pasarle un trapo, pero no debendejarse mucho tiempo en agua y alcohol. Hay también otroslimpiadores en el mercado.

Grafos y estilógrafosEn la actualidad se ha popularizado un instrumento dedibujo en forma de pluma. Consta de un depósito de tin-ta y una punta con un cuadrito en donde se inserta la plumilla que se necesita. Por medio de un agujero llega la

tinta del depósito y corre por la plumilla al hacer un trazosobre el papel. A este instrumento se le llama grafo (véasela figura 1.43).

A últimas fechas se ha popularizado otro instrumentotambién parecido al grafo pero que tiene la forma de una pluma. Lleva también un depósito de tinta, pero difiereen que la plumilla se fija al cuerpo de la pluma por mediode una cuerda. A este instrumento se le llama estilógrafotécnico.

Estos dos instrumentos se pueden utilizar como plu-mas individuales o hacer un juego que conste de una plu-ma y una serie de plumillas para diferentes trazos de lí-

neas.Figura 1.44 Montaje de un estilógrafo en un compás.

Estos instrumentos también nos pueden servir paratrazar arcos y círculos; basta comprar un sujetador especial para montarlo al compás y sostener al gratos. Estossujetadores se montan y desmontan con facilidad.

Figura 1.43 El grafo y sus piezas auxiliares.

1. Entalladura

2. Paso de tinta3. Ganchito sujetador4. Pieza giratoria5. Lengüeta sujetadora6. Punta doblada7. Salida de tinta8. Abertura de rellene9. Dispositivo de enchufe

10- Sistema de conducción

11. Saca-conductor12. Conducción de rellene

El conductor se fabrica entres gradaciones distintas:

No. 1 para aflujo reducidoNo. 2 para aflujo normalNo. 3 para aflujo fuerte

Piezaauxiliar

Vista lateralVista vertical

7

Conductor

Plumilla

11l

1210

1-

32

4

65-

918




Figura 1.45 Estilógrafo.

Plumillas para grafos y estilógrafos

En la elaboración de un dibujo y letreros se necesita eltrazo de líneas rectas y curvas de diferentes gruesos y tamaños. Para esto se necesitó fabricar plumillas especiales.Para poder seleccionar la plumilla correcta se hizo la siguiente clasificación:

Plumillas tiralíneas para líneas finas

0.1 0.12 0.16 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6

Plumillas para líneas anchas

0.8 1.0 1.25 1.6 2.5 4.0 6.4 10.0

Plumillas (forma de disco) para trazosen forma de cordón

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81.01.251.6 2.0 2.5 3.2 5.0Plumillas oblicuas (hacia la derecha) para

trazos en forma de cinta

0.8 1.25 2.0 2.5 3.2 4.0 5.0

Plumillas oblicuas (hacia la izquierda) paratrazos en forma de cinta

1.25 2.0 3.2 5.0

Plumillas muy finas para dibujar a pulso

B = blandasHB = medio-blandas

H = durasK = durísimas

Figura 1.46b Clasificación de las plumillas para delinear.

Como un utensilio muy adecuado para llenar el de pósito del grafos es recomendable utilizar un tubo llenadorde tinta china, como el que se muestra en la figura 1.47.

Figura 1.46a Clasificación de las plumillas para rotular.

Figura 1.47 El tubo llenador de tinta china se recomienda para usarlocon grafos.

Estilógrafos

Las plumas de dibujo representaron un avance tecnológi

co con relación a los tiralíneas y los grafos. Sin embargo,

Plumillas tubulares para plantillas

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.01.25 1.5 1.75 2.0 2.25 3.0

14




Figura 1.48 Al detener el trabajo por un momento, lo mejor es dejar las plumas en sus estuches. La inclinación de éstos permite laperfecta fluidez de la tinta.

no llegaron a sustituirlos totalmente, aunque esto, por supuesto, está condicionado por las preferencias de losdibujantes.

Si los dibujantes llegan a conocer a fondo las plumas paratinta china, y al manejarlas observan las reglas adecua-das, podrán hacer un trabajo imprescindible, debido a sugran precisión y a su aplicación múltiple; podrán rectificarcualquier pequeña imperfección.

Figura 1.49 Algunos de los diferentes modelos de pluma fuente dedibujo.

Las principales piezas que las constituyen son: el ca- puchón, el cabo o armadura, el soporte, el tanque o de- pósito, la puntera y su canutillo, el contrapeso y la aguja yel seguro del contrapeso. Todos se muestran en la figura

1.50.

Cargado de tinta

Se debe utilizar solamente la tinta adecuada y no tintaschinas que contengan disolvente. En la figura 1.51 semuestra cómo debe inclinarse el depósito de tinta chinahasta casi por debajo de la espaldilla antes de rellenarla.Previamente se debe haber enjuagado la puntera de di-

bujo. Si la tinta china no es de buena calidad, empañarálas paredes del depósito. Esta empañadura puede evitar-se al frotar el depósito previamente con un palillo y unalgodón humedecido en aceite mineral extrafino. Si no sedispone de tinta de mejor calidad, ésta se debe filtrar. Estoes sobre todo importante en las plumas de calibres 0.1,0.2 y 0.3 mm, que se obstruyen fácilmente con tintas demala calidad.

Figura 1.51 Al llenar el depósito éste debe mantenerse inclinado y

la tinta debe quedar un poco más abajo de la espaldilla.

Mantenimiento

Figura 1.50 Partes de una pluma fuente de dibujo.

Seguro delcontrapeso

Aguja ContrapesoCanutillo

Puntera

Capuchón

Soporte

Tanque o depósito

Cabo o armadura




Existen también depósitos de tinta que se distribuyensellados. Éstos se introducen en la armadura.

El leroyEl leroy es un instrumento para hacer letras normadas bas-

tante parecido a las plantillas de letras llamadas normógrafos.Se habla de que uno de los dos sistemas es más per-fecto que el otro, sin embargo, cualquiera de ellos sirve paraun trabajo específico. Además, influyen otros factores: lahabilidad del dibujante, su rapidez, conocimientos, cuida-do del equipo, etcétera.

DescripciónEl leroy consta fundamentalmente de tres piezas: las re-glas de letras, el transportador (conocido popularmente

como "cangrejo") y los puntos para el trazo de letras, que bien pueden ser las plumas de dibujo con un adaptador, plumillas tubulares u otras como después veremos.

El equipo tiene diversas presentaciones: en estuchesde madera o de plástico que poseen por lo general 12reglas de letras de distintos tamaños, transportadores ocangrejos y puntos para el trazo de las letras (que son, porlo general, plumillas tubulares). Poseen, además, otros adi-tamentos y equipos auxiliares, como envases de tinta, cabode plumilla, portaminas para el trazo a lápiz, soporte oapoyo para el transportador (si es del tipo convencional)y otros, aunque también se distribuyen por separado enenvases de cartón o de plástico con diferentes piezas.

El cangrejo o transportador de letras

Este instrumento consiste en una pieza, por lo generalmetálica, que posee tres puntos de apoyo distribuidos encada una de sus patas.

Uno de estos puntos de apoyo es el cursor, que con-siste en una especie de tornillo que rueda en un surco

incluido en las reglas de letras, con el cual se logra quetodas las letras queden a la misma altura, además de ser-vir de punto de apoyo.

Y

Figura 1.54 El transportado r de letras o "cangrejo" posee tres pun-tos de apoyo; el cursor (a), la punta trazado ra (f) y la aguja (d). Otros

elementos importantes son: apéndice para sostenerlo (b), tornillo denivelación (c) y rosca para cambiar la inclinación de las letras (e).

Los normógrafos o plantillas de letras poseen, en dosde sus extremos, una especie de cinta que funciona comoapoyo y no permite que la tinta se corra al trazar las letrascon la pluma, ya que de esta forma la plantilla queda le-vantada algunos milímetros del tablero. Para el rotuladocon normógrafo se deben trazar líneas de guía, y las plan-tillas deben estar apoyadas sobre la regla T, escuadras,etc., sujetándose firmemente para que no se desplace la plantilla. Algunas plantillas especifican con qué calibre de pluma se debe trabajar, debido al tipo de letra que po-seen. En otro de los extremos de las patas se encuentra un punto de apoyo; una aguja que se introduce en las aca-

Figura 1.52 Estuche completo de leroy.

Figura 1.53 Transportador de letras o "cangrejo".




naladuras de las letras grabadas en las reglas. Esta aguja posee dos terminales: una fina para las reglas pequeñas(por lo general, para las reglas números 40, 60 y 80) yotra más gruesa para las demás.

Dicha aguja se atornilla al extremo de la pata medianteuna rosca y se le pone un capuchón atornillado al extre-mo de la aguja, para evitar que pueda herirse el dibujanteque manipula el cangrejo y para que no se dañe la agujamientras no se trabaje con ella.

Esta pata puede cambiar de posición mediante unarueda dentada que está situada en la parte inferior delcangrejo a fin de modificar la inclinación de las letras des-de un ángulo de 75° aproximadamente hasta el tipo verti-cal, es decir, 90°.

plástico o madera que permite mantener levantada la punta trazadora para evitar que se pueda dañar la plu-ma o plumilla tubular, y en algunos transportadores mo-dernos, esta pieza o soporte se sustituye por una palan-ca que al presionarse permite la salida de una pequeñavarilla metálica en la parte inferior del cangrejo, que lolevanta.

Reglas de letras

Como su nombre lo indica, son unas pequeñas reglas de plástico que poseen grabados un abecedario y los núme-ros, de tal manera que la aguja del cangrejo pueda mo-verse por las acanaladuras de dichas letras.

Las reglas tienen también una acanaladura a todo lolargo, que permite al cursor del transportador moversesobre toda la longitud de la regla. Las reglas están nume-

radas con las cifras 40, 60, 80, 100, 120, 140, 175, 200,240, 290, 300, 350, 450 y aun mayores; la altura de lasletras es de 1 mm hasta 2 cm.

Las reglas poseen además, por debajo de la acanala-dura guía, unas marcas que indican la altura de las letras,con ellas podemos determinar letras y espacios, según losvayamos distribuyendo en su rotulado. Las reglas tienenen su borde superior derecho el número de puntos que seajustan al tamaño, aunque esto varía de acuerdo a lasnecesidades del dibujante.

Regla graduadaEs un instrumento básico para el dibujante, ya que permi-te medir objetos, piezas metálicas, figuras y formasgeométricas, planos, croquis, etcétera.

La regla consiste en una tabla plana de madera o metal, por una de sus caras se ubican las diferentes magnitudes odivisiones, siendo las más comunes la de centímetros (cm) ymilímetros (mm) en el Sistema Métrico Decimal (SMD), y en

pulgadas (pulg o inch) en el Sistema Inglés (SI).

En la otra pata se encuentra el agujero donde se alo- ja la punta trazadora que se regula mediante un tornillode presión; aunque en algunos cangrejos modernos estetornillo se sustituye por una pequeña palanca de presión,que al oprimirla permite la entrada o salida de la plumafuente o plumilla tabular.

En los cangrejos convensionales, al detener un mo-

mento el rotulado, se le adapta una pieza o soporte de Figura 1.57 Regla graduada.

Figura 1.55 Posición del "cangrejo" para letras verticales.

Figura 1.56 Forma de girar la pata del "cangrejo" para letras inclinadas.




EscalímetroEs también una regla graduada, pero la diferencia de unaregla común y corriente, estriba en que la integran varias

escalas, por ello su forma es triangular, en donde cadacara tiene un par de escalas diferentes.

ACTIVIDADES Y PRÁCTICAS PARA EL TALLER

1.1 Cuaderno de trabajo

Lee detenidamente cada una de las preguntas, pien-sa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuer-das lo que se te pregunta investiga en tu libro dedibujo o en otros libros.

1. ¿Para qué sirve una regla graduada?2. ¿Por qué se llama regla T?3. ¿Qué ventajas al dibujar ofrece la regla T?4. ¿Cómo debe conservarse la regla T?5. ¿Para qué sirven las escuadras?6. ¿Cómo debes tomar un compás?7. ¿Qué tipo de compás son los más comunes?8. Enuncia las características más sobresalientes

de los siguientes instrumentos geométricos:

♦ Compás♦ Regla de cabeza móvil♦ Escuadras de 30°, 45° y 60°♦ Restirador♦ Moderna mesa de dibujo♦ Tecnígrafo♦ Reglas paralelas

9. Escribe seis diferentes tipos de materiales paradibujar.

10. ¿Para qué sirven los lápices de punta dura?11. ¿Para el trazo de las letras, ¿qué lápiz usarías?12. Explica el procedimiento que emplearías para

fijar el papel.13. ¿Cómo debe ser la punta de un lápiz?14. ¿Para qué empleamos un transportador?15. ¿Para qué nos sirve un compás?16. Explica los pasos para emplear en el trazo de

una curva con plantilla.

17. ¿Qué técnica usas para borrar?18. ¿Cómo debes tomar y mover un lápiz?19 . ¿Cómo debes mover un compás para trazar un

círculo?20. ¿Qué características tiene un transportador?21. ¿Cómo debes usar un transportador?22. Dibuja un transportador de 180°.

1.2 Usa tu imaginación y creatividad

Pon a prueba tu imaginación elaborando los siguien-tes instrumentos de dibujo, organízate en equipo.

♦ Elabora un compás.♦ En una tira de madera o de cartoncillo elabora

una regla de un metro dividida en centímetros y pulgadas.

♦ En un semicírculo elabora un transportador.

1.3 Investigación

Investiga cuál es el origen de los instrumentos empleados en geometría. Investiga también cuál es elorigen de los lápices.

1.4 Prácticas para el taller de dibujo

a) Divide una lámina en seis partes iguales y dibujaen cada una los siguientes instrumentos de dibujo:

♦ Restirador♦ Mesa moderna de dibujo♦ Tecnígrafo♦ Restirador para empotrar♦ Mesa de reglas paralelas♦ Mesa moderna con pantalla

b) Dibuja seis instrumentos de dibujo.c) Elabora un listado con tres recomendaciones de

uso de los instrumentos geométricos.

Figura 1.58 Escalímetro.




Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:

♦ Conocer la técnica para manejar con eficiencia y precisión los instrumentos geométricos requeridos enla elaboración de un dibujo geométrico.

♦ Conocer y aplicar la técnica para rotular dibujos geométricos y técnicos a tinta china con instrumentosclásicos y modernos.

♦ Comprender todas las sugerencias para dibujar con más efectividad.


♦ Aplicar con eficiencia el manejo de los instrumentos geométricos como regla T, compás, escuadras,transportador, plantillas, reglas, etcétera.

♦ Comprender el significado de calidad técnica del rotulado.♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo con instrumentos geométricos que emplean tinta china como

grafo, estilógrafo, puntillas, compás, etcétera.♦ Manejar con habilidad y soltura el trazo de líneas rectas y curvas con tinta china.♦ Manejar con habilidad y soltura: plantilla, leroy y regletas.♦ Apegarse a la higiene y seguridad del dibujo.♦ Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos y de rotular.♦ Conocer y aplicar los diferentes tipos de líneas empleadas en el dibujo geométrico, mecánico, arquitec-

tónico y de la construcción.♦ Aplicar una serie de recomendaciones que debe apegarse antes de dibujar y lograr una comprensión

más efectiva en el aprendizaje del dibujo.

Introducción

Conocer y manejar con eficiencia los instrumentos para el dibujo técnico garantiza dibujos limpios, pre-cisos y de gran calidad; esto sólo se logra con la técni-ca básica de cada instrumento y la práctica que enesta unidad se propone.

De la misma forma juega un papel muy impor-tante el rotulado, pues se dice que la tarjeta de pre-sentación de un dibujo son sus rótulos o letreros. Pue-de tenerse un dibujo técnicamente bien elaborado,con calidad en sus trazos, pero si falla su rotulado, eldibujo pierde presentación.

Manejo de instrumentospara el dibujo geométrico;

rotulado

Éstas y otras razones son las que le dan importancia al conocimiento y aplicación de la técnica del

rotulado, tanto a mano libre como con plantillas. Unode los propósitos de esta unidad respecto al dibujo amano libre es dar los elementos y las habilidades paraque el alumno domine el trazo de la línea y la forma,y así pueda dominar la escritura de números y letrascon la calidad necesaria.

También en esta unidad se da a conocer la técnica para el manejo de instrumentos que escriben otrazan líneas con tinta china, como las plantillas, elgrafo y el estilógrafo, con todos sus aditamentos, además del leroy y un juego muy amplio de regletas.



Manejo de la regla Ty las escuadrasAl trazar las líneas inclinadas se debe tener cuidado deque la cabeza de la regla T haga contacto perfecto con el borde izquierdo de la mesa de dibujo, y que la escuadracon que se está trabajando apoye perfectamente en el

bisel de la regla T. De esta manera se evitan trazos delíneas con otra inclinación de la requerida (para los zur-dos debe ser la posición contraria).

Figura 2.1 Trazo de líneas verticales con regla T y escuadra.

Trazo de la línea verticalcon escuadra de 45° y 60°Las líneas verticales se trazan de abajo hacia arriba con ellápiz inclinado ligeramente hacia adentro.

La dirección de las flechas nos indica la forma deltrazo de las líneas inclinadas. El lápiz se debe tomar con lamano derecha, como a unos 3 cm de la punta y con unainclinación a lo largo de todo el trazo. No lo presione niapriete con fuerza al dibujar, de lo contrario las líneas que-darán cortadas en el papel, se cansarán más los músculosde los dedos y si usted suda el dibujo podría mancharse.

Líneas con una inclinación de 75° y 15°Con esta inclinación las líneas se pueden trazar en dosformas:

1. Comprando escuadras de 75° x 15° que a veces se

venden y que se están dejando de usar.2. Si combinamos las escuadras de 45° con la de 30° podemos obtener líneas con una inclinación de 15° ode 75° (véase figura 2.2).

Se puede lograr cualquier posición siguiendo las si-guientes instrucciones:

Las líneas horizontales paralelas se obtienen con laregla T a la distancia deseada.

Para las líneas paralelas se va deslizando la escuadrasobre la regla T, a las diferentes distancias requeridas.

Líneas paralelas a 30°, 60°, 45°, 15° y 75°. Para obte-ner estos trazos se deslizan las escuadras sobre el bisel de la

regla a las diferentes distancias requeridas (véase figura 2.3).

Trazo de líneas horizontalesPara trazar este tipo de líneas se requiere de una regla T,

para manejarla correctamente usted necesita tomar enconsideración los siguientes aspectos:

1. Se debe trabajar solamente con el canto superior dela regla T.

2. La cabeza de la regla debe presionar siempre el bor-de izquierdo del restirador.

3. Con la mano izquierda presione la regla T, y con lamano derecha haga movimientos simultáneos (véasefigura 2.4).

b)

Con la mano izquierda presione suavemente laregla para que la cabeza de la regla haga contactocon el borde del restirador.Con el índice y el pulgar de la mano izquierda se

pueden ir moviendo las escuadras.

DIBUJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO20

Figura 2.3 Trazo de líneas a diferentes ángulos mediante las escuadras y la regla T.

Figura 2.2 Trazo de líneas mediante la combinación de escuadrasy regla T.

Trazo de líneasverticales



MANEJO DE INSTRUMENTOS PARA EL DIBUJO GEOMÉTRICO; ROTULADO

Uso del compás

Figura 2.4 Trazo de líneas horizontales.

4. La inclinación del lápiz con respecto al restirador debeser aproximadamente de 60°, si varía, se pueden darlíneas de diferente grueso.

5. El lápiz se gira lentamente para tener líneas del mis-mo grueso, debido al desgaste de la punta.

6. Para los zurdos se invierten los puntos 1 y 3.

Figura 2.5 Trazo de paralelas horizontales.

Trazo de líneas paralelasy perpendiculares encualquier posiciónEl procedimiento que se sigue para el trazo de paralelases muy similar al de las perpendiculares: basta ubicar laregla T debajo de la escuadra, y sobre la línea, a la cual seestá trazando las paralelas; las escuadras se mueven si-multáneamente en las posiciones requeridas.

Se hace lo mismo para las líneas perpendiculares, ladiferencia es que la escuadra se va moviendo horizontal-mente de acuerdo a las posiciones señaladas.

El compás se toma con la mano derecha y se sostiene conel dedo pulgar y el índice; después se abren los dos brazosdel compás con los dedos restantes hasta tener la medidadeseada. Al nivelar las dos puntas del compás, la puntaque va a servir para fijarse al centro (la más afilada, de

metal) se debe dejar más larga para que al clavarse seempareje con la otra punta, que tiene la mina o el grafo.

Figura 2.6 Trazo de paralelas verticales.

Para trazar un círculo, primero se marca el centro y seajusta el compás al radio requerido.

El círculo se hace de izquierda a derecha, tal comogiran las manecillas del reloj y se sostiene la perilla delcompás con el pulgar y el índice, inclinándolo ligeramen-te hacia donde va el trazo; si la línea no es lo suficiente-mente oscura,- trácela de nuevo.

Actualmente los dibujos se hacen directamente con lá- piz. Por lo tanto, las líneas deben ser de un negro intenso, y para ello se requiere de una mina más blanda que la dellápiz que será utilizado, debido a que con el compás no se puede presionar de la misma manera que con el lápiz. Lasminas tienen la misma graduación que las de los lápices.

Cómo afilar la punta del compásEl tamaño de las puntas de los compases debe ser aproxi-madamente de 10 mm para que el trazo del compás sea

delgado como el del lápiz. Es necesario rebajar la punta alo largo de una inclinación que abarque dos terceras par-tes de la punta; esto se hace con una lija. (En algunoscasos conviene rebajar los lados.) (Véase figura 2.8.)

Se recomienda que en los compases (al hacer círculosgrandes) el afilado de la mina se haga hacia afuera, y en loscírculos pequeños (compases de globo) hacia adentro.

Uso del compás con tintaLas recomendaciones para el uso y manejo del compás

son las mismas que con la mina del lápiz y la tinta, con la

Figura 2.7 Trazo de círculoscon el compás.




única diferencia de que la cantidad de tinta debe ser deuna altura de 6.4 mm y que la punta de la aguja sea un

poco más larga, para que al insertarse en el papel se em- parejen las dos partes. Se debe tener cuidado de usar elcompás correcto, según el tamaño del círculo que se vayaa trazar; la bigotera del compás de bomba se usa para

círculos muy pequeños debido a que este compás tieneuna pierna que funciona como eje fijo y la otra piernagira a su alrededor, por lo que se facilita el trazo de estoscírculos.

Para los círculos medianos se usa el compás con ex-tensión, y para los círculos grandes el compás de vara.

Figura 2.9 Uso del compás con tinta.

Si no se usa el compás adecuado se corre el riesgo deque el círculo no cierre perfectamente o de que el compásse barra hacia un lado.

Entintado

Para poder entintar un trabajo de dibujo, debe observarseque el papel sea el apropiado, de una textura mate paraque reciba la tinta y no se corra.

Es conveniente primero que se haga el dibujo a lápiz. No debe olvidarse que las líneas son más gruesas a tinta

que a lápiz.

Conviene tener un trozo de papel del mismo tipo paratrazar líneas de prueba antes de trazar sobre la hoja detrabajo; esto es con el fin de saber si el papel tiene el mis-mo grueso y saber de qué manera corre la tinta sobre él.

Procedimiento para entintarun trabajo a lápiz

1. Las líneas de tinta deben estar centradas a la del lá- piz.

2. En el caso de dos o más rectas tangentes, unas esta-rán sobre otras, en el punto de tangencia.

3. Cuando se centran las líneas de tinta sobre las dellápiz, únicamente se tocan.

4. Los pasos a seguir en un dibujo:

a) se entintan los arcos y después los círculos; b) después se entintan las líneas horizontales y luego

las verticales;c) por último se entintan las líneas inclinadas; lo an-

terior es porque es más fácil unir las líneas rectascon los arcos que viceversa.

5. En seguida se entintan las líneas de centro, extensióny acotación.

a) Luego las puntas de las flechas y los enunciados orótulos.

b) Se debe cuidar que el tiralíneas no cargue más de6.4 mm de tinta, en caso contrario, los extremos

de la línea trazada serán demasiado gruesos.

Líneas traslapadas.

Figura 2.10 Recomendaciones generales para entintar.

Primero se entintanlos arcos y círculos. Incorrecto

húmedaLínea

Línea húmeda

Correcto húmedaLínea

Línea seca

IncorrectoCorrecto

Figura 2.8 Afilado de la punta de lápiz del compás.

Papel de lija

Ángulo

Céntrense laslíneas de tintasobre las

líneas de lápiz.

Incorrecto

Correcto

Manténgase un ojosobre la líneade lápiz.

Tiralíneas Línea centrada

Incorrecto2.

Demasiada tintaen el tiralíneas.

Incorrecto




do por dos hojas que, al separarse por un tornillo de pre-sión en su parte superior, se embona a un mango de ma-dera, plástico o metal.

2. Se entintan las líneas rectas.

Figura 2.11 Entintado de arcos, círculos y líneas rectas.

6. No junte dos líneas frescas porque hay peligro de quese corra la tinta.

7. También existe el riesgo de que las líneas cortadasqueden más gruesas al principio que al final.

8. Se debe limpiar constantemente el instrumento de dibujo para evitar que la tinta se seque y produzca tra-zos irregulares.

TiralíneasComo su propio nombre lo dice, es un instrumento que

se usa para entintar líneas. Es de acero inoxidable, forma-

Figura 2.13 Entintado con tiralíneas.

Las puntas de estas hojas tienen un baño de carburode tungsteno y están redondeadas. La tinta se depositaen el espacio que hay entre las hojas, a través de unentintador que tiene la forma de gotero. Por lo general,todos los pomos de tinta lo traen. Se recomienda que cuan-do se trabaje con el tiralíneas éste debe inclinarse un poco.

Por otro lado, debe llenarse de tinta a una altura de6.4 mm aproximadamente. Si la columna de la tinta esmás alta, puede hacer que el mismo peso haga que corramás tinta de la debida o que al secarse no corra bien.

NOTA: Se recomienda que cuando la tinta del tiralíneas esté casiseca se sumerja de nuevo en el tintero. Luego, sus costados debensecarse cuidadosamente, sólo en este caso se justifica que se sumer-

ja el tiralíneas en la tinta. Si no se hace como se indica, hay el peligrode que poco a poco se vaya deteriorando la punta. El tornillo opre-sor que está entre las dos hojas del tiralíneas debe dar el grueso de la

línea; hay que utilizarlo de inmediato cuando tenga tinta, ya queseca rápidamente, y no permite que fluya como en las condicionesnormales.

El procedimiento que se sigue para el manejo deltiralíneas es igual al del lápiz con respecto a la posición yla dirección del trazo, es decir, las líneas verticales se mar-can de arriba hacia abajo, las horizontales de izquierda aderecha y las inclinadas también de abajo hacia arriba;cuando se traza hacia el lado izquierdo de la escuadra yde arriba hacia abajo cuando el trazo es a la derecha de

1. Se entintan los arcos y círculos.

Figura 2.12 Entintado de líneas auxiliares, acotaciones y datos.

4. Se entintan las acotaciones y los datos.

Taladrar a 1/2" 2 agujeros

3. Se entintan las líneas auxiliares.



Figura 2.14 Entintado con tiralíneas.

la escuadra. Esto en caso de que el dibujante sea derecho. Para los zurdos las direcciones de trazo serán del ladocontrario.

Figura 2.15 Trazo correcto con el tiralíneas.

La posición del tiralíneas y el lápiz con respecto al papel debe ser de 60°.

Consecuencias del mal uso del tiralíneas al trazar unalínea recta:

1. La posición correcta de acuerdo a las indicaciones dacomo resultado una línea correcta.

2. Cuando una de las hojas del tiralíneas toca el papelse obtiene una línea con levantamientos sobre unlado.

3. La tinta se corre por debajo de la regla y sobre el papel debido a que la punta del tiralíneas se pega al borde de la regla, se recomienda usar reglas biseladas.

4. Con una posición incorrecta se obtiene una línea sin

uniformidad.

Figura 2.16 Trazo incorrecto con el tiralíneas.

Manejo de las plantillasde curvas

Se recomiendan los siguientes pasos en el uso de plantillas:

1. A lápiz:

a) Determinar la serie de puntos por los que debe pasar la curva que va a trazarse.

b) Una los puntos con una línea muy tenue para quesirva de guía.

c) Elimine la tendencia de dar demasiada curvatura entre los puntos consecutivos (lo que resultaes la formación de ángulos). Esto se evita al procurar que la plantilla pase por tres puntos de lacurva por lo menos. Al cambiarla de posición eltrazo debe coincidir con la parte de la curva yatrazada.

d) El borde de la plantilla debe ser tangente a la curva en el punto en donde cambia la dirección de lacurvatura.

2. Con el tiralíneas:

En este caso se debe aplicar lo anterior, más los siguientes pasos (véase la figura 2.17):

e) Mantener el tiralíneas en posición casi vertical./) Las hojas del tiralíneas deben ser siempre tangen

tes a la plantilla.





Marca de lápiz sobrela plantilla

Puntos más juntosen los extremos

Figura 2.17 Plantillas de curvas.Figura 2.18 Manejo de las plantillas de curvas para el trazo de unaelipse.

g) La superficie de la hoja de papel debe tener lamisma dirección que lleva la curva en el puntodonde la hoja del tiralíneas toca el papel (véase lafigura 2.18).

h) Se dejan pequeños espacios entre los segmentosentintados que deben llenarse después a mano.

i) Con monedas pequeñas colocadas y pegadas bajola plantilla se evitará que la tinta se corra por debajo y manche el papel.

NOTA: Este último pun to debe usarse como recurso.

1. Se toma la pluma con la mano iz-quierda y se coloca la plumilla sobreel casquillo de metal, de tal manera quela lengüeta sujetadora empiece a en-trar en el dispositivo de enchufe.

2. Se aprieta la plumilla contra el cas-quillo de metal y debe moverse endirección a la flecha, procurando almismo tiempo que el ganchito sujeta-dor entre en la muesca de la salidade tinta china.

3. La plumilla se toma pos sus pun-tas dobladas, entre el pulgar e indi-ce de la mano derecha.

4. Con el pulgar de la mano izquier-da se empuja la plumilla hacia afue-ra.

6. El conductor debe sacarse concuidado, tomándolo con un pedazode tela.

Figura 2.19 Operación y uso del grafo.

7. Se saca el conductor y se llena eltiralíneas con el gotero del frasco. Unavez llenada la pluma, se recomiendavolver a quitar con el gotero algo dela tinta china para evitar un derrameal colocar el conductor.

8. O bien, se puede llenar la pluma conel tubo llenador o con el cuentagotaspor la abertura, sin sacar el conductor,hasta que el nivel de la tinta china quede visible. Debe evitarse que se formen burbujas.

5. Se coloca un cuchillo o un utensiliosemejante debajo del saca-conductory se empuja hacia afuera.

( C ) Cómo se saca el conductor ( D ) Cómo se llena el grafo

( A) Cómo se monta la plumilla en el grafo (B) Cómo se desmonta la plumilla en el grafo




( E) Cómo se prepara el grafo ( F) Aplicar sin apretar

9. Al golpear ligeramente la mano quesostiene la pluma con la mesa de dibu

jo, la tinta china entrará en el espacioentre la plumilla y su pieza giratoria. Apartir de aquí se puede empezar a dibujar.

10. El mismo resultado se obtiene almojar el paso de tinta con una gota detinta china. Después se cierra la piezagiratoria y se toca con la plumilla untrocito de esponja o de tela mojada.

11. La Inclinación de la pluma fuentedebe ser de un ángulo aproximado de60°. Debe procurarse tocar el papel contoda la superficie de la punta de la plumilla.

12. En trabajos con regla, las plumillascon grafos se aplican de la misma manera que los tiralíneas. Se aconseja nousar reglas muy gruesas.

(G) E l aflujo de la tinta china al papel ( H ) Después del trabajo

13. Cuando se seca la tinta china en loscantos de la plumilla basta tocar con lapunta una esponja o un trocito de telamojada.

14. La tinta china sale de la pluma porel sistema de conducción, atraviesa elpaso de la tinta, se mete entre la plumilla y la pieza giratoria y de ésta pasaal papel.

15. La plumilla se debe sacar inmediatamente. Después de abrir la pieza giratoria la plumilla se limpia conun paño. Deben limpiarse también lasentalladuras en la punta de la plumilla, cerrar la pluma fuente y guardarlaen posición vertical.

16. SI la pluma ha quedado obstruidapor no quedar cerrada durante un tiempo prolongado, el conductor se debesacar y enjuagar, limpiando a su vez elsistema de conducción. El interior de lapluma debe limpiarse bajo un chorro deagua corriente.

Figura 2.19 Operació n y uso del grafo (continuación).

El rotulado con grafoy estilógrafo

Para rotular un dibujo, se necesitan plumas especiales:

1. para trazo a mano libre, y

2. para plantilla.

Para las primeras se necesita mucha práctica, y estose logra con paciencia y ejercicios. Estas plumas se clasifican con letras y números según el grueso que la letra requiera (véase figura 2.20).

Se recomienda seguir las siguientes instrucciones parael rotulado, según el caso:

1. La plumilla se sumerge 6.4 mm en la tinta.2. La plumilla se escurre en la parte inferior del frasco

de tinta (algunos dibujantes prefieren entintarla en el

exterior con el tapón).

3. El trazo se hace suave, en forma natural (de esta manera se evita el cansancio de la mano).

4. Las puntas de la plumilla no deben presionarse mucho porque se separan.

5. Al terminar las plumillas deben limpiarse para que latinta seca no las perjudique.

6. Tome una plumilla nueva y sumérjala varias veces enla tinta y escúrrala.

7. Nunca queme una plumilla con un cerillo, porque tam bién se quema la capa de aceite que la protege.

8. Guarde las plumillas en una cajita para que no segolpeen, se enchuequen o se achaten.

Rotulado con el leroyy normógrafosBien poco se puede decir del rotulado con el leroy, ya queéste es eminentemente práctico; sin embargo, hay algunas nociones generales que ayudan a mejorar el trabajo.




a) Nunca se debe tratar de jalar las letras con la aguja para llevarlas al lugar donde se desea rotular, ya queeste procedimiento daña las acanaladuras de las le-tras.

b) El espacio entre las letras lo dará la práctica; es porello que se necesita mucha ejercitación.

c) La superficie donde descansa la regla del leroy debeestar perfectamente plana, ya que de lo contrario lasletras pueden salir torcidas.

d) Antes de comenzar a rotular el dibujante debe cercio-rarse de que los tornillos y mecanismos del cangrejo

estén apretados y firmes: la aguja que penetra en lasacanaladuras de las letras, el cursor que pasa por laguía de la regla, el tornillo T de presión para fijar la

pluma o punto y la rueda dentada que fija la inclina-ción de las letras (véase figura 2.21).

e) Las reglas deben descansar sobre una superficie fir-me, como la regla T o las paralelas o reglas deltecnígrafo. La presión de las manos se debe ejercersobre estos instrumentos y no sobre las reglas de le-tras. Se debe tener cuidado de que la regla T no estéligeramente curvada, pues las reglas de letras tende-rían a correrse por debajo o habría problemas con la

posición correcta de las letras (véase figura 2.22).

/) Se debe tratar, en lo posible, de no utilizar escuadrascon un apoyo de las reglas de letras, ya que aunquese haga una buena presión sobre ellas, es fácil que semuevan, con lo que las letras quedarán en forma de"escalera", es decir, unas más altas que otras con res-

pecto a las líneas guías. Si es indispensable utilizar lasescuadras como apoyo, porque el rotulado es incli-nado y no se puede mover el papel o no hay la posi-

bilidad de utilizar una regla T u otros instrumentos, sedebe apoyar la regla de letras en la hipotenusa de lasescuadras y tratar de colocar dos chinchetas, una encada cateto, a fin de que la escuadra se fije firmemen-te. También se pueden utilizar objetos pesados.

g) Si al rotular la rueda dentada resbala sobre la regla deletras, es posible que la pluma sea muy corta o que eltornillo de presión no esté apretado correctamente, y

por este motivo el punto o la pluma esté flojo y no pueda descansar sobre el papel, haciendo resbalar alcangrejo.

h) Se debe tener especial cuidado al rotular letras incli-nadas, ya que el cangrejo está abierto al máximo y es

difícil sostenerlo firmemente con la mano.

Figura 2.20 Puntos para rotular con plantilla.

Figura 2.21 Rotulado con leroy.

Figura 2.22 Rotulado con plantillas de letras o normógrafos.




j)

Si se trabaja con pluma de dibujo adaptada al can-grejo se debe tener cuidado, porque puede romper-se el canutillo de la misma. Una buena medida paraevitar un poco esta posibilidad es quitarle el cabo ala pluma, es decir, dejarla sólo con la puntera y eldepósito de tinta. Se debe sacar la pluma con lenti-tud para evitar que se rompan los canutillos o la partede la puntera que se inserta en el brazo del cangrejo.Si en lugar de plumas se utilizan puntos o plumillastubulares, al terminar el trabajo se deben limpiar in-mediatamente para que la tinta no se seque y quedesoldado el punto. El procedimiento para el lavado deestos puntos es semejante al de las punteras de dibujo.

k) Si se desea se pueden hacer las letras "dobles", conlo cual quedan más gruesas, así como rellenarlas continta como se indica en la figura 1.107.

Éstas son las recomendaciones ofrecidas para realizarel rotulado con leroy. Sin embargo, insistimos en que sólocon la práctica constante se lograrán buenos resultados.

Rotulado medianteletras transferibleso adhesivas

Además de los ya tradicionales métodos para la ejecución

de rótulos, como los de mano alzada (con lápiz, grafos, plumas fuente, plumillas y pinceles) o mediante instru-mentos (normógrafos, plantillas de letras, leroy), se hancreado otras técnicas, que son más económicas, ahorrantiempo, facilitan el trabajo y logran mayor calidad.

Dentro de las técnicas modernas se encuentran las le-tras transferibles, también denominadas adhesivas. Este nom-

bre se debe a que son letras que se presentan en hojas de papel especial o bandas, que por diversos medios, ya seafrotamiento o presión, pueden transferirse de la hoja de papel a prácticamente cualquier tipo de material como made-ra, papel, cartón, vidrio, metal, formaica, acetato, etc. Por

otro lado, este tipo de sistemas posee tipos o caracteres espe-ciales, como símbolos matemáticos o letras derivadas de otraslenguas (ruso, griego, neerlandés, árabe, griego, etcétera).

Además de todas las ventajas enumeradas anteriormen-te, las letras transferibles se emplean en casi todas las ra-mas del dibujo (arquitectónico, mecánico, eléctrico, etc.), asícomo en la mayoría de los trabajos de presentación y re-

producción (Offset, Litho, Engravin, Silk Screen, etcétera).Para la confección de rotulados las letras transferibles

presentan varios modelos con diferentes característicassegún su uso.

Las primeras consisten en unas hojas especiales, de

celofán o celuloide, en las que vienen impresas las letras ylos números, así como algunos signos de puntuación. Lahoja de papel que contiene el abecedario y los númeroses transparente.

Las letras y los números vienen alineados. Debajo decada fila de letras se encuentra una línea guía que nossirve para colocar las letras bien centradas cuando se trans-fieren al papel de trabajo.

Estas hojas de letras tienen en su cara posterior unasustancia adhesiva como cera, goma sintética, etc., quees la que permite que, al transferir a la hoja, la letra se unafirmemente al papel de trabajo. Para proteger la sustancia

adhesiva del polvo o la suciedad se coloca otra hoja quesirve de cubierta de protección, y que sólo se retira cuan-do sea necesario adherir una letra.

El procedimiento para transferir las letras al papel detrabajo es el siguiente:

a) Se traza una línea guía en el papel de trabajo, situan-do en el lugar exacto donde se quiere colocar la palabra.

b) Se separa la cubierta de protección de la hoja de le-tras, se selecciona la letra deseada y se recorta dejan-do determinada área alrededor de la misma, inclu-yendo la línea guía.

Figura 2.23 Distribución en la regla de leroy según la altura de lasletras y el grueso del punto que se debe emplear.

REGLA ALTURA DE LETRAS PUNTO




c) Se sitúa la letra seleccionada en la posición prevista y sehace coincidir la línea guía de la letra con la de la hojade trabajo, con el fin de que la letra quede en posicióncorrecta.

2. Letras de tipo bold:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

1234967890

3. Letras tipo romano:



1234967890

4. Letras góticas:

A nosotros nos interesa la de tipo itálico ya que llenalos requisitos necesarios.

Las letras pueden ser verticales o inclinadas, mayúsculas o minúsculas.

Para las letras verticales, ya sean mayúsculas o minúsculas, el dibujante se auxilia de líneas horizontales yverticales.

Las líneas horizontales a lo largo del renglón donde seescribirán las letras son necesarias para que éstas tengan lamisma altura. En cuanto a las líneas verticales, su uso de

pende de la práctica del dibujante. Sólo se trazan con lápizduro, para que casi no se note y pueda servir de guía.

Uso de las letrasLas letras que se usan en el dibujo deben ser sencillas, derápida ejecución, lo que evita todo adorno que quite rapi-dez a su ejecución.

Antiguamente el uso de las letras era muy rebuscado,con un sinnúmero de rasgos innecesarios, que sólo ser-vían de adornos; sin embargo, en el dibujo geométricoindustria! el dibujante no se puede dar ese lujo, pues ne-cesita de los tipos de letra rapidez, precisión y claridad ensu lectura.

Diferentes tipos de letra

Los tipos de letras predominantes son:

1. Letras de tipo itálico:



1234967890

1. Primero trazamos una línea guía.

2. De la hoja con letras adhesivas se selecciona la que nos interese v después se corta.

3. La letra se centra bien con la línea guía y se adhiere ligeramente.

Figura 2.24 Rotulado con letras adhesivas.




Las letras inclinadas, mayúsculas y minúsculas, requie-ren para su trazo de las líneas rectas. Las líneas horizonta-les nos sirven para hacer las letras del mismo tamaño y laslíneas inclinadas nos sirven también para guías.

Las podemos espaciar de acuerdo a nuestra posibili-dad o experiencia en su elaboración. Se recomienda quela inclinación de estas líneas rectas sea de 68° a 70°.

Para trazar las líneas horizontales auxiliares se utilizala regla T.

Las letras y números tipo romano están en desusodebido a ser muy laboriosos, se necesitan instrumentosgeométricos y mucha habilidad para su ejecución.

Se pueden hacer horizontal y verticalmente en trabajos especiales como invitaciones o trabajos artísticos.

Figura 2.29 Diferentes tipos de letras (romano y gótico).

En la antigüedad se usaba un tipo de letra que seadornaba con un gran número de trazos y rasgos, con lafinalidad de que pudiera resaltar y lucir más, recibiendo, por lo mismo, el nombre de gótica. La podemos encon-trar en casi todos los escritos de la antigüedad. En laactualidad su uso se ha limitado a letreros o encabeza-

dos comerciales que indiquen algo de esta época, o paratrabajos especiales, como invitaciones, tarjetas de Navi-dad, etcétera.

Dispositivo pararotular Ames

El instrumento de rotular Ames, es un dispositivo muy útil para el dibujo, pues basta girar un disco a la posición de

uno de los números que, de acuerdo con el valor del nú-mero, da la separación para la altura de las letras.A través de la práctica el dibujante va eliminando el

uso de todas las rectas auxiliares, las formas de los trazosy la separación que debe tener entre sí, etcétera.

No debe olvidarse que el acabado de las letras escri-tas a mano libre o con plantillas es tan importante comoel dibujo; su perfección habla de la capacidad del ejecutor,ya que es una de las muchas facetas del dibujo a pulso.

Las letras y números tipo bloc tienen menor demandadebido a que son más laboriosas. Se usan en rótulos o en-cabezados. Su trazo requiere de instrumentos geométricos.

Estas letras se rellenan con plumas especiales.

Figura 2.26 Letras de tipo itálico de diferente tamaño.

Las líneas inclinadas se pueden trazar de tres formas:con una escuadra, cuidando que los catetos tengan unvalor de 5 x 2, así la hipotenusa tendrá una inclinación de68° aproximadamente.

Figura 2.27 Escuadra especial para el trazo de guias para rotular.

En el mercado hay escuadras de 45° con agujerosque tienen diferentes separaciones entre sí. A través deellos se inserta la punta de un lápiz duro y se mueve laescuadra a lo largo de la regla T. Se trazan líneas horizon

tales (paralelas entre sí) con una ranura se marcan líneasinclinadas que sirven como guías.

Los números deben ser sencillos y de rápida ejecución; se elimina todo adorno superfluo. La forma de algunos números es elíptica, su trazo lo indican las flechas enla figura 2.28.

El 0, el 6 y el 9 son elípticos

Figura 2.28 Trazo de números tipo itálico.




Construccionesgeométricas, basedel dibujo técnicoLa geometría es la base del dibujo técnico, por ello enesta obra intercalamos algunos principios geométricos. Nos

limitaremos a la geometría plana, que es la que cursará elestudiante de dibujo técnico.

Aspectos a considerarantes de dibujarLos dibujos deben hacerse con limpieza y terminarse alápiz, antes de empezar a entintarlos.

Es necesario hacerlos proporcionales al tamaño delespacio donde se va a trabajar y centrarlos. No debenolvidarse los detalles, de manera que no se eche a perder

la buena presentación del dibujo; se recomienda no bo-rrar líneas, sólo cuando sea indispensable, porque el papel se arruga con mucha facilidad. Por este motivo, laslíneas auxiliares a la construcción geométrica deben tra-zarse lo más fino posible, para que la superficie del papelno se estropee al borrarlas.

La rugosidad del papel se puede alisar con facilidadal frotar su superficie con una sustancia dura, como elcostado de una pluma de escribir o el mango de una na-vaja; de esta manera se comprimen las fibras del papel yse forma una superficie dura, sobre la cual se puede trazaruna línea de tinta.

Recomendaciones dehigiene y seguridaddel dibujo♦ Lavarse las manos antes de dibujar.♦ Limpiar y revisar muy bien el equipo de dibujo antes

de empezar a hacer un trabajo.♦ Colocar el equipo y el material de dibujo en un lugar

accesible. El descuido y el desorden hacen trabajar eldoble.

♦ Trabajar en un lugar bien ventilado e iluminado de pre-ferencia con luz natural. Cuando se use luz artificial esrecomendable situarla a la izquierda del área de trabajo.

♦ Al terminar un trabajo limpia cuidadosamente los ins-trumentos que pueden dañarse con la tinta y guárda-los en sus estuches respectivos.

Tipos de líneas a usarPara que se facilite entender un ejercicio o problemageométrico, es conveniente clasificar los diferentes tipos

de líneas que se van a usar.

1. Las líneas que se den como dato del problema, setrazan delgadas.

2. Las que se busquen como solución del problema, serán gruesas.

3. Las líneas auxiliares o de construcción que en la práctica no se trazan, deben ser de puntos o de trazosmuy finos.

Debe seguirse el mismo procedimiento en todas lasláminas, de esta manera, basta una simple ojeada paracomprender el objeto con que se ha trazado cada una delas líneas.

Se recomienda que todas las líneas finas y las de pun-tos se pasen primero a tinta y sean de un mismo espesor.

Abra más el tiralíneas o cambie la plumilla del grafocuando trace a tinta las líneas gruesas; después haga lasletras y por último las líneas del margen, las cuales debenser más gruesas que las del dibujo.

Indicaciones generales No debe olvidarse que las líneas dadas y buscadas debendibujarse de distinto grueso para distinguirlas con facili-dad unas de otras. Téngase presente que las líneas auxi-liares son líneas de trazos de longitud uniforme, separa-das por espacios iguales.

Los trazos se hacen de 4 mm y el espacio entre ellosdebe ser como de un tercio de esa longitud.

Las construcciones deben ser exactas, y todas las lí-neas serán de la longitud que les corresponda.

Para evitar errores es preciso trabajar despacio y cui-dadosamente. Los lápices deben estar bien afilados.

Las letras de los dibujos son tan importantes como eldibujo mismo y deben hacerse con la mayor limpieza po-sible. Cuide hacer el dibujo del tamaño debido.

No presione mucho el compás para evitar hacer agujeros grandes.

Antes de empezar a desarrollar un trabajo es conve-niente hacer una serie de prácticas con diferentes tipos deejercicios lineales, logrando con ello:

1. Habilidad en el manejo de sus instrumentos geomé-tricos.

2. Presentación correcta de las partes que debe teneruna lámina.

3. Limpieza en su elaboración.

Figura 2.30 Diferentes tipos de líneas a usar en el entintado.




Líneas empleadas en dibujoPara definir las partes que forman un objeto o pieza me-cánica es necesario utilizar diferentes tipos de líneas:

a) llenas o continuas de dos espesores, gruesas y delga-das;

b) de trazos en dos espesores;c) de trazo y puntos;d) de mano alzada o a pulso.

En este curso, el uso de estas líneas no es necesario,se utiliza sólo como ejercicio lineal.

MárgenesEn todo trabajo de dibujo técnico son necesarios los

márgenes, ya que permiten ubicar una serie de datos quecomplementan las características del dibujo. A continua-ción se muestran diferentes tipos de márgenes y ejercicioslineales, como sugerencia (véase figura 2.32).

Tipos de líneas que se empleanen el dibujo industrialLa base de todos los dibujos es la línea. Al combinar lí-

neas de diferentes espesores y tipos, es posible describir

Figura 2.32 Diferentes tipos de márgenes

gráficamente cualquier objeto o expresar gran parte de lainformación necesaria en la construcción de una obra, demanera que cuando se necesite se pueda visualizar conexactitud la forma de un objeto o elemento de una cons-trucción.

Tipos de líneas empleadas en laingeniería y el dibujo mecánicoEn dibujo mecánico se utilizan también las líneas con-vencionales del dibujo. Los tipos de líneas que se utili-zan comúnmente en muchos países se rigen por ciertasnormas, las cuales establecen sus proporciones y medi-das, que son de estricto y obligado cumplimiento. A es-tas líneas convencionales también se les denomina alfa- beto de líneas.

Las líneas convencionales de dibujo son:

1. Línea de contornos

2. Contorno invisible

3. Línea de centros

4. Línea de centros a lápiz

5. Línea de dimensiones

6. Línea de extensión

7. Posición alterna

8. Línea de movimiento

9. Corte de un plano

10. Línea repetida

11. Material roto

12. Límite quebrado

Figura 2.31 Líneas empleadas en el dibujo.




1. Línea de contorno y aristas visibles

Es una línea continua de un ancho de 0.8 mm y se trazacomúnmente con lápices de punta blanda, por ejemplo,HB, B, etc. ( Fig. 2.33 a).

Figura 2.33a

2. Línea de contorno y aristas invisibles

Es una línea discontinua de un ancho de 0.4 mm y se trazacon lápices medios, por ejemplo, F o H, y las proporcionesson las siguientes: trazos cortos de 3 mm de largo con unaseparación entre ellas de 1 mm (Fig. 2.33 b).

Figura 2.33b

3. Línea para representar áreasseccionadas

Es una línea continua de un ancho no mayor que 0.2 mmy se traza con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o4H y la separación entre ellas será de aproximadamente1.5 mm, con una inclinación de 45° (Fig. 2.33 c).

5. Líneas de dimensiones y extensión

Son líneas continuas de un ancho no mayor que 0.2 mmy se trazan con lápices de punta dura, por ejemplo, 3H o4H. Estas líneas son utilizadas en los dibujos para acortarlas dimensiones de los objetos descritos; por lo general,las líneas de dimensión tienen saetas o puntas de flechaen sus extremos (Fig. 2.33 e).

Figura 2.33e

6. Líneas que presentan planos de cortey sección

Esta línea se emplea también en vistas parciales para indi-

car en los planos de planta la parte que se va a represen-tar en vista, con las cabezas de flecha sin rellenar y conuna letra en su interior que identificará la vista parcial enel plano correspondiente, como se puede apreciar en lafigura 2.33 /.

Figura 2.33f

Figura 2.33c

4. Línea de eje de simetría

Es una línea discontinua y de ancho no mayor que 0.2mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo,

3H o 4H y sus proporciones son las siguientes: trazos deun largo que oscila entre 15 mm con un punto queequidista de los extremos ( Fig. 2.33 d).

7. Líneas de roturas parciales

Es una línea fina e irregular de un ancho no mayor que0.2 mm y se traza con lápices de punta dura, por ejemplo:3H o 4H. Este tipo de línea se asemeja a la línea que resul-ta de la rotura hecha a una hoja de papel (Fig. 2.33 g).

Figura 2.33g

Figura 2.33d

8. Líneas de planos de referencia

Este tipo de línea no está normalizada y sólo tiene usodocente una combinación de líneas finas de 0.4 mm ygruesos de 0.8, la línea fina es discontinua. Sus extremosestán separados 3 mm aproximadamente, con dos pun-tos equidistantes entre sí y de los extremos de la línea;además, tienen en sus extremos una línea gruesa de un

largo de 15 mm aproximadamente. Sobre los trazos grue-




sos se colocan las iniciales PR y G, y a continuación, elnúmero del plano de referencia (Fig 2.33 h).

9. Líneas de construcción y guíasÉste es un tipo de línea que sólo tiene por objeto el permi-tirnos trazar aquellas líneas que, no debiendo aparecer enel dibujo, nos sirven para realizar las construcciones nece-sarias y facilitar el proceso del dibujo. Estas líneas son simi-lares a las que utilizamos para la confección de rótulos.

Como las líneas de construcción y de guía no forman

parte de los objetos representados en el dibujo, se trazanmuy finas y con un lápiz duro, ejerciendo poca presióncon el fin de que no resalten dentro del conjunto de líneastrazadas.

Líneas convencionales empleadasen el dibujo arquitectónicoy de construcciónEn dibujo arquitectónico, las líneas son convencionales yestán normadas, por lo que se deben utilizar en el país

con carácter obligatorio. El sector de la construcción tienenormadas las líneas y se emplean en los planos de ejecu-ción.

Según esta norma, se emplearán tres gruesos de lí-neas, finas, medianas y gruesas. Los gruesos de las líneas,la longitud de sus trazos y los espacios entre los mismosque se utilizan en su diseño, dependerán de la escala quese emplee en el plano. Dentro de las líneas finas se en-cuentran las de extensión, cota o dimensión, rayados va-rios, interrupción quebrada y eje.

En las líneas medianas se encuentran las de interrup-ción sinuosa, trazos, objetos y contorno, oculta y límite deterreno.

Las líneas gruesas son las de contorno contenido enel plano cortante y las de trazo de plano cortante yseccionador.

Estas líneas y la forma de su trazado se pueden ob-servar en la figura 2.34 elaborada en una escala aproxi-mada de 1:50.

♦ La línea de extensión, prolonga un punto del objetodibujado hasta la línea de cota.

♦ La línea de cota o dimensión se trazará paralela a lalínea del objeto y entre líneas de extensión. Se servirá para determinar la distancia que hay entre dos puntos.

Figura 2.34

La línea de rayados varios tendrá distintas aplicacio-nes; servirá para representar materiales en sección,rayar esquemas, índices, destacar áreas, etc. El raya-do siempre se espaciará uniformemente.La línea de interrupción quebrada se aplicará paraevitar dibujar partes innecesarias.La línea de eje está formada por dos trazos finos, con

medidas aproximadas de 10 mm el mayor, y de 2mm el menor, separados por espacios de 1 mm. Cuan-do dos ejes se intersequen lo harán en el trazo mayor,y cuando el objeto del dibujo sea demasiado peque-ño los ejes se representarán con una línea fina conti-nua. Esta línea se empleará también para indicar si-metría (Fig. 2.35).

Figura 2.35

Figura 2.33h

3 mm

15 mm

Nombre

Extensión

Cota o dimensión

Rayados varios

Interrupción quebrada

Eje

Interrupción sinuosa

Trazos

Objeto y contorno

Oculta

Límite de terreno

Contorno contenidoen el plano cortante

Trazo de plano cortante yseccionador

DiseñoGrueso




La línea de interrupción sinuosa tiene la misma fun-ción que la línea quebrada. Se empleará sólo en di-

bujos ilustrativos, como son las proyeccionesisométricas y se trazará a mano alzada (Fig. 2.36).

Figura 2.36

- Comenzar con trazos enel punto de tangencia

Figura 2.37b

Figura 2.37c

Comenzar con espacio

La línea de trazos está formada por trazos de aproxi-madamente 1 mm. Se utilizará para indicar y repre-sentar en el plano cortante todos los elementos quese encuentran en la parte del objeto que no se consi-dera al dar el corte; por ejemplo: las aleros represen-tados en el plano de planta.La línea de objeto y contorno puede ser mediana ygruesa. La mediana se empleará para representar elcontorno de los objetos contenidos en el plano cor-tante y seccionador.La línea oculta, está formada por trazos de aproxima-damente 1 mm y se empleará para representar las partes ocultas del objeto. La representación une eltrazo y el espacio como puede observarse en los ejemplos de la figura 2.37.

Comenzar con trazos

Comenzar con espacio

Figura 2.37d

Figura 2-37a.

♦ La línea límite de terreno, tiene un diseño igual a ladel eje, pero de grueso mediano. Se empleará paradefinir el contorno de la propiedad, en planos de si-tuación, emplazamientos, etcétera.

♦ La línea de trazo de plano cortante y seccionador,

está formada por trazos de aproximadamente 10 mmy 2 mm separados por espacios de poco más o me-nos 1 mm. Esta línea puede estar trazada parcialmen-te y deberá representarse siempre la parte de la líneaque indica el cambio de dirección de plano cortante.En ambos extremos de la línea se colocarán cabezasde flechas rellenas en negro acompañados de un nú-mero arábigo que servirá para la identificación de lasección en el plano correspondiente.

La numeración se hará horizontalmente de izquier-da a derecha y verticalmente de arriba hacia abajo, como

se puede ver en los ejemplos de la figura 2.38.

Comenzarcon espacio

■ Definir esquinas con trazos



Términos geométricosmás usados en problemasgeométricos

Con el propósito de facilitar la comprensión en la explica-ción de los diferentes problemas geométricos, analizaréalgunos de los términos más usados en la mayoría de los

problemas y los pasos a seguir en su desarrollo; estos tér-minos están en función de la geometría básica (bidi-mensional) y también de los instrumentos o equipo de

dibujo empleado.

Figura 2.39

Arco de circunferencia. El trazo de una parte de unacircunferencia, le llamamos arco de circunferencia.Uso del compás y la escuadra. El compás y la escua-dra son básicos para la elaboración de los problemasgeométricos; tanto para el trazo de arcos de circunfe-rencia, circunferencias o segmentos de recta en dife-rentes posiciones.Uso del arco de circunferencia. En la mayoría de lostrazos para construir o resolver una figura geométricarequerimos de trazos con el compás llamados arcos decircunferencias dado que son parte de una circunfe-

rencia.

Figura 2.38b

Radio de compás. Es la abertura que hay entre lasdos piernas y puntas del compás. El compás lo em pleamos para trazar:

a) Circunferencias b) Arco de circunferenciasc) Tomar la medida de líneasd) Tomar la medida de ángulose) Trasladar medidas de líneas, ángulos o partes de

una pieza mecánica.

Elevación A-A

Figura 2.38c

Planta

Figura 2.38a





Figura 2.40

♦ Líneas. Éstas pueden ser rectas o curvas.♦ Segmento de una línea. Como una línea tiende al

infinito lo que usamos normalmente es una parte deella, que llamamos segmento y puede ser de línearecta o curva.

Cómo interpretarel enunciado de unproblema geométricoEs muy importante comprender el significado de lo que

nos enuncia un problema geométrico porque así estare-mos en posibilidad de entender con facilidad el propósitoy el procedimiento, y lo que buscamos en todo problemageométrico, para ello se tiene necesidad de dividir en dos partes el texto de cada problema.

1. La parte donde nos indica los datos del problema,que el dibujante traza en el tamaño y posición que seadecúe al espacio de la hoja donde va a dibujar.

2. La parte donde nos indica lo que se quiere encontrar(solución) en el problema.

Para entender mejor estos puntos analizaremos a con-tinuación los enunciados de dos problemas geométricos:

Problema 1.1 Dividir una recta o arco de circunferencia en dos partesiguales

Análisis del enunciado:

1. Dividir a una recta o arco de circunferencia. Nos está

indicando que tenemos como dato una recta y un

arco de circunferencia en la posición y tamaño que eldibujante quiera elaborarlo.

2. En dos partes iguales es el resultado buscado.

Otro elemento que permitirá identificar los datos y elresultado será el grueso y el tipo de línea empleado en eldibujo.

Línea delgada. Datos del problema.Línea punteada. Procedimiento del problema.Línea un poco gruesa. Solución del problema.

Problema 5.10

Dado un círculo, inscríbale un dodecágono

Análisis del enunciado:

1. Dado un círculo. Indica que se tiene un círculo comodato.

2. Inscríbale un dodecágono. Es el resultado o figura geo-métrica que se va a construir, siguiendo los pasos indi-cados en su procedimiento de construcción del proble-ma geométrico.




Lee con cuidado cada una de las preguntas, reflexiona, piensa y contesta correctamente. Si por alguna razón norecuerdas o no posees el conocimiento, estudia la información técnica y científica que se encuentra en tu libro.

1. ¿Qué importancia tienen los instrumentos geométricos?

2. ¿Consideras posible dibujar sin instrumentos geométricos apropiados? ¿Por qué?

3. ¿Qué instrumentos geométricos sabes emplear?

4. ¿Para qué nos sirve un restirador?

5. ¿Qué posición debe tener el restirador con respecto a la luz?

6. ¿Cómo debes mover la regla T en el restirador?

7. ¿Cómo debes mover las escuadras sobre la regla T?

8. ¿Qué ángulo de inclinación le puedes dar al trazo de líneas al combinar las escuadras?

9. ¿Qué se recomienda para usar el compás con eficiencia?

10 . ¿Cuál es el compás de vara y cuándo lo debemos usar?

11 . ¿Qué pasa si no fijamos bien el papel?

12 . ¿Para entintar qué recomendaciones se aconsejan?

13. ¿Cómo debes usar las plantillas de curvas?

14 . ¿Qué es un grafo?

15. ¿Cuál es la diferencia entre un grafo y un estilógrafo?

16 . ¿Qué ventajas o desventajas se tienen al usar un estilógrafo con respecto a un grafo?

17 . Escribe las recomendaciones básicas antes de dibujar.

18. ¿A qué reglas de higiene del dibujo te debes apegar?


letras cursivas, y en mayúsculas las letras que se usen encada problema.

Los problemas que hay que resolver y memorizardebido a que son básicos en la construcción de todos losdemás, serán indicados con un asterisco ( * ) a un ladodel número.

Cuando se requiera un conocimiento nuevo de geometría para solucionar un problema se iniciará el tema

con la teoría correspondiente.

Nomenclatura yrecomendaciones para lasolución de los problemasgeométricosEn los problemas que a continuación se van a resolver, el

enunciado de cada uno de ellos se va a representar con






Elabora una mesa de dibujo abatible en tu casa.En tu libro de dibujo se sugiere elaborar un restirador abatible empotrado al muro, puedes colocarlo en tu recáma-

ra y ocupa poco espacio; además, es muy económico.Procura que tu restirador esté ubicado en un lugar donde tenga buena iluminación y ventilación.

2.3 Investigación

♦ Investiga el desarrollo que se ha tenido en los instrumentos para entintar.♦ Investiga el proceso de desarrollo de las mesas para dibujar.♦ Investiga la nueva tecnología de las mesas de dibujo modernas (con pantalla).


Dibuja una serie de láminas donde se practique el trazo de:

♦ Líneas rectas y curvas a lápiz y a tinta.♦ Abecedario mayúsculo, minúsculo y números a mano libre y con plantilla.♦ Problemas geométricos (trazo a lápiz y a tinta China).♦ Problemas de perspectiva, etcétera.



En esta unidad se dará la metodología básica para dibujar rectas paralelas y perpendiculares , ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Muchos de los procedimientos empleados en estetipo de figuras geométricas servirán de base paraconstruir otras figuras como polígonos, tangencia yempalme entre circunferencias y rectas, curvas planas abiertas, cerradas y cónicas.

Introducción

Al abordar esta unidad se da inicio a la construcción ytrazo de la geometría plana, pronto los alumnos se darán cuenta de que el trazo de todas las figuras geométricas con dimensiones regulares no son difíciles dedibujar; en gran medida podemos resolver los problemas geométricos apegándonos a la metodología pro puesta y empleando los instrumentos geométricoscomo el compás, las escuadras, la regla T, etcétera.


Comprender la geometría básica de este tema.Manejar con habilidad sus instrumentos geométricos.Conocer la aplicación de estas formas geométricas a otros problemas geométricos y aotros campos de la tecnología.Aplicar con eficacia la metodología propuesta para cada problema geométrico.Trazar con precisión técnica los dibujos propuestos en esta unidad.


Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:Conocer y aplicar la técnica del dibujo geométrico para trazar el dibujo de líneas perpendiculares, paralelas, ángulos, triángulos y cuadriláteros.

Construcción y trazo de líneasperpendiculares, paralelas,

ángulos, triángulos y cuadriláteros



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNG ULOS, TRIÁNG ULOS Y CUADRILÁTEROS

Conceptos geométricos

básicos

1. Un punto P se puede considerar como la descripcióngráfica que carece de dimensión, porque no tiene nilargo ni ancho ni grueso.

De acuerdo a su forma, posición o combinación en-tre ellas, las líneas se clasifican de diferentes formas.

5. Por su forma la línea puede ser:

a) Recta, Por lo antes mencionado.b) Curva. Por lo antes mencionado.c) Quebrada. Combinación de dos o más líneas rec-

tas en diferentes posiciones.

2. La sucesión de puntos genera una línea y ésta puedeser curva o recta.

3. Si los puntos tienen la misma dirección, la línea es recta.d) Mixta. Combinación de una línea recta y una curva.

NOTA: Como la dimensión de una línea recta es infinita, lo querepresentamos es una parte de ella llamado segmento de recta, pero

por costumbre se omite la palabra segmento.

6. Por su posición pueden clasificarse como:

a) Vertical. Es la que está en posición contraria a lahorizontal.

4. Si la sucesión de puntos no tiene la misma direcciónde líneas curva u ondulada.

b) Horizontal. Es la que tiene la misma posición delhorizonte.




c) Inclinada. Es la que tiene una posición diferente ala horizontal y vertical.

d) Transversales. Son las que al cortarse formanentre sí ángulos mayores y menores de 90°.

7. Por la combinación de varias rectas se clasifican en:

a) Perpendiculares. Son las rectas que forman entresí un ángulo recto de 90°.

8. Se entiende por circunferencia a la línea curva cerra-da cuyo centro es equidistante a cualquier punto dela circunferencia.

9. El arco de la circunferencia, es una parte de la mis-ma, pudiendo ser de diferente tamaño.

b) Paralelas. Son aquellas en que la distancia que lassepara es la misma.

NOTA: Para la resolución de casi la total idad de los prob lemasgeométricos vamos a usar el compás, y a su vez describiremos varios

pasos geométr icos por medio de arcos de circunferencia.

c) Convergentes y divergentes. Son aquellas en que por un lado se aproximan (convergentes) y porotro se van separando (divergentes).

Problema 1.1 Dividir a una recta o arco de circunferencia en dos partesiguales*



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LÍNEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

Construcción

1. Trace la recta AB o el arco SP, los cuales va a dividiren dos partes iguales.

2. Haga centro en los extremos de la recta AB y el arcoSP con un radio en el compás, mayor que la mitadde la recta o el arco, y trace arcos de circunferenciaarriba y abajo.

3. Éstos se cortan en un punto arriba y abajo llamados L y M, por los cuales trazamos una recta que dividaen dos partes iguales a la recta y al arco de circunfe-rencia.

NOTA: En el caso de la recta, además de ser dividida en dos partesiguales, es perpendicular a la recta encontrada.

Problema 1.2 Por un punto dado en una recta, trazar una perpendiculara ella*

Construcción

1. Trace la recta AB y haciendo centro en el punto dadoS y con un radio cualquiera, trace dos arcos que cor-ten a la recta AB en los puntos llamados R y M.

2. Haciendo centro en R y M, describa dos arcos que secorten en L.

3. Trace por L y S la recta buscada que es perpendicular

a la primera.

NOTA: Se llama radio del compás a la abertura de éste, ya que suseparación es la medida del radio de la circunferencia que se va atrazar.

Problema 1.3Trazar una perpendicular por el extremo de una recta*

Construcción

1. Trace la recta SP del tamaño que sea proporcional alespacio donde se va a dibujar.

2. Haga centro en el punto extremo S, donde se quierelevantar la perpendicular con un radio cualquiera y

describa un arco de circunferencia, éste corta a la rec-ta SP en el punto L.

3. Con el mismo radio haga centro en el punto L y corteel arco en el punto A.

4. Vuelva a hacer centro en A y con el mismo radio,trace un arco que corte al mismo arco en E.

5. Ahora haga centro en A y E, y con el mismo radiotrace dos arcos que al cortarse nos dé el punto M buscado, por MS hacemos pasar la recta que es la perpendicular buscada.




Problema 1.4Segundo procedimiento del caso anterior*

Construcción

1. Trace una línea recta SP del tamaño proporcional alespacio donde se va a dibujar.

2. Ubique un punto L próximo al extremo de la rectadonde se quiere describir la perpendicular.

3. Con un radio igual a la distancia LP describa un arco decircunferencia que corte a la recta SP en un punto Q.

4. El punto Q con L nos sirven de referencia para trazaruna recta que corte al arco de circunferencia en un punto llamado R.

5. El punto R y el P nos dan la posición para trazar la perpendicular en el extremo de esa recta.

4. Este punto M y S nos dan la perpendicular buscada.

NOTA: Es conveniente que los alumnos al hacer la práctica del ejer-cicio lo hagan en cualquiera otra posición diferente a la del texto.Esto permitirá mayor seguridad y probarán haber comprendido el

procedimiento de construcción.

Problema 1.6

Segundo caso: cuando la perpendicular va a quedar cercadel extremo de la recta dada*

Construcción

1. Trace una recta dada SP y el punto fuera de ella L.

2. Trace un punto / sobre la recta SP y en posición con-traria al punto P.

3. Haga centro en / y abra el compás con un radio IL; des-criba un arco que corte a la recta SP en un punto E.

4. Con un radio igual a la distancia EL haga centro en Ey corte en la parte inferior del arco, en el punto llama-do D; por L y D tenemos la perpendicular buscadafuera de una recta.

Problema 1.5

Trazar una perpendicular a una recta, por un punto dado fuera de ella*

Construcción

1. Trácese la línea AB.

2. Haga centro en el punto S fuera de la recta, abriendoel compás en un radio poco mayor de la distancia del punto a la recta, y trace un arco, que corte a la rectaen dos puntos llamados Q y L.

3. Haga centro con el compás en Q y L y con un radiomayor o menor trace dos arcos que corten en un pun-

to M.




Problema 1.7 Por un punto H fuera de una recta, trazar una paralela a larecta dada*

Construcción

1. Se da el punto H fuera de la recta AB.

2. Se hace centro en H y con un radio cualquiera setraza un arco que corta la recta AB en el punto D,con el mismo radio y haciendo centro en D trazamosun arco que corta a la recta AB en E, y contiene a H.

3. Hacemos centro en D y con un radio igual a EH cor-tamos al arco en el punto F.

4. El punto H y F nos da la posición de la paralela.

Problema 1.9Trazar una paralela a una recta dada y a una distanciarequerida*

Construcción

1. En la recta dada AB, se dan dos puntos MyNen

cualquier posición de la misma.2. Se hace centro en M y N, se describen dos arcos en

cada caso, que cortan a la recta dada.

3. Se hace centro en cada uno de ellos con cualquierradio y se trazan dos arcos; al cortarse lo hace uno enel punto Z y otro en el punto P.

4. Con los puntos dados en la recta y con los encontra-dos, podemos trazar dos perpendiculares indefinidas.

5. Medimos la distancia requerida en las dos perpendi-culares, indicando con dos puntos R y Q la posición a

la recta paralela buscada.

Problema 1.8Trazar una paralela a otra recta dada, sin importar la dis-tancia que las separe*

Construcción

1. Se traza la recta LM con un punto intermedio J.

2. Se hace centro en J y se traza con un radio cualquie-ra, un arco de circunferencia que corta a la recta dadaen dos puntos R y S.

3. Se hace centro en R y S con el mismo radio o concualquier otro se trazan dos arcos que cortan al pri-mero en dos puntos A y B.

4. Se unen los puntos A y B por medio de una recta, paralela a la primera.

Trazo de ángulosy bisectrices1. Se entiende por ángulo la abertura que hay entre dos

rectas que concurren a un mismo punto llamado vértice.

2. La dimensión o abertura de los ángulos no depende del

tamaño de las rectas que la forman, sino de la abertura



DIBUJ O TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

que hay entre ellas, A= B. Los lados de los ángulos sondiferentes pero sus ángulos son iguales.

6. Ángulo obtuso es aquel que mide más de 90° y me-nos de 180°.

3. Se entiende por bisectriz a la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.

Clasificamos los ángulos de acuerdo con su aber-tura en: agudos, rectos, obtusos, colineal o llano, en-trante, perígono o de vuelta completa.

7. Ángulo colineal es aquel que mide 180° exactos.

Bisectriz

4. Ángulo agudo es aquel que mide menos de 90°.

8. Ángulo entrante es aquel que mide más de 180° ymenos de 360°.

9. Ángulo perígono es aquel que mide 360° exactos, osea, una vuelta completa.

5. Ángulo recto es aquel que mide 90° exactos. 10. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a 90°se dice de ellos que son complementarios.




11. Cuando la suma de dos o más ángulos es igual a180°, se dice que son suplementarios.

dan el punto por donde debe pasar la recta del ángu-lo trasladado.

Figura 3.1.

Problemas geométricosde ángulos

Problema 2.1

Traslade el ángulo a una recta dada

Construcción

1. Trazamos primero el ángulo A que vamos a trasladar

a la recta LM.2. En un punto A de la recta hacemos centro y trazamos

un arco.

3. Con ese mismo radio del compás hacemos centro enel vértice A del ángulo y trazamos otro arco similar alanterior.

4. Abrimos nuestro compás y medimos la abertura delarco del ángulo CP.

5. Trasladamos ese arco del compás, al arco de la recta

LM, el punto C donde se cortan los dos arcos nos

Problema 2.2

Sume varios ángulos conocidos*

Construcción

1. Trazamos los ángulos 1, 2, 3 y 4 que vamos a sumary la recta SP sobre la cual vamos a efectuar la suma.

2. Con el mismo radio del compás, trazamos los arcosde circunferencia de los cuatro ángulos y el de la rec-

ta en el punto B.3. Trasladamos las diferentes aberturas del compás, co-

rrespondientes a los ángulos dados, al arco de circun-ferencias trazadas en la recta dada.

4. Haciendo centros sucesivos, en cada corte de los ar-cos de circunferencia de izquierda a derecha, logra-mos obtener un arco total, que es igual a la suma detodos los demás ángulos.




Problema 2.3

Restar dos ángulos dados*

Construcción

1. Trace la recta SP sobre la cual se van a restar los dosángulos dados.

2. Describa primero el ángulo mayor 1, sobre el cual seva a trasladar la abertura del ángulo menor 2, hacien-do centro en L de derecha a izquierda, trazamos el ar-co M correspondiente a la abertura del ángulo menor.

3. Pasamos una recta por M, corte de los dos arcos, elángulo formado por Q a la izquierda es la diferencia

de los dos ángulos dados.

Problema 2.4Trazar la bisectriz de un ángulo dado o sea dividirlo endos partes iguales*

Construcción

1. Sea LMS el ángulo cuya bisectriz se desea trazar.

2. Haciendo centro en M y con un radio conveniente,descríbase un arco que corta los dos lados del ángulo

en los puntos A y B.

3. Hacemos ahora centro en A y B y con el mismo radiodescubrimos dos arcos que se cortan en el punto R.

4. Los puntos M y R nos dan la posición de la bisectriz.

Problema 2.5 Dividir un ángulo en cuatro partes iguales

Construcción

1. Si LPR es el ángulo que hay que dividir.

2. Se siguen los mismos pasos del problema anterior, ob-teniendo con ello la división del ángulo en dos partes.

3. Si G es el punto donde el arco y la bisectriz se cortan,éste nos servirá para hacer centro, como también A y B.

4. Con el mismo radio trazamos arcos de circunferenciaque al cortarse nos dan dos puntos, D y F, por loscuales deben pasar las bisectrices que a la vez dividenel ángulo en cuatro partes iguales.

NOTA: Siguiendo estos mismos pasos podemos dividir un ánguloen el número de lados pares que se quieran.




Problema 2.6Trisección de un ángulo recto

Construcción

1. Dado el ángulo recto SRP.

2. Hacer centro en R con un arco de radio conveniente,donde el arco corta a las dos rectas en L y N.

3. Con el mismo radio se hace centro en L y N, se trazanotros dos arcos que al cortarse con el primero nosdan dos puntos A y B por donde pasarán las rectasque van a dividir el ángulo en tres partes o ángulosiguales.

Problema 2.7

Trazar la bisectriz de dos rectas concurrentes a un punto

Construcción

1. Sea DM y AL las dos rectas concurrentes.

2. Describa una línea vertical que corte a las dos rectasanteriores en SC.

3. Haga centro en S y C y con un radio conveniente,trace dos arcos que se corten: el primero en Q, T, G, yel segundo en R, P, N.

4. Con el mismo radio y haciendo centro en Q y T, T yG, R y P y P y N, describimos arcos que se cortan encuatro puntos E, F, O y H.

5. Trace cuatro rectas que pasen por los siguientes pun-tos: S y E, S y F, C y O, C y H, éstas se cortan en otrosdos puntos K y K' que son por los cuales hacemos

pasar la bisectriz.

Problema 2.8

Segundo caso del problema anterior

Construcción

1. Trácense dos rectas no paralelas AB y CD, a ciertainclinación.

2. Describa un punto en cada recta F y G con ciertaseparación y haga centro en ellos con un radio iguala dicha separación, trazando dos arcos que se cortanen H' y L, y a la vez cortan a las rectas en P y H.

3. A su vez hacemos centro en P y H trazando dos arcosque se cortan en M y N.

4. Unimos los dos cortes de cada uno de los arcos poruna recta; al cortarse ambas, lo hacen en el punto O.Con centro en O describimos un arco que corta a lasdos rectas en R y S.

5. Con centro en R y S trazamos dos arcos que al cortar-se nos dan el punto O', por O y O' pasa la bisectriz.




Problema 2.9Cómo obtener diferentes ángulos a partir de los ángulosde 15°, 30°, 45°, 60°

Para poder obtener ángulos de diferentes dimensiones en base a los antes mencionados, se requiere efectuar opera-ciones de suma, resta, multiplicación o división, además de

aplicar varios de los métodos usados para dividir ángulos.

Construcción

1. Se sugiere trazar primero un ángulo recto LOR.

2. Encontrar un ángulo de 15°, 45°, 67°, 30°, 75°, 105°,135°.

3. Por los métodos antes explicados encontramos pri-mero el de 45°, por la bisectriz del ángulo recto.

4. Dividimos el ángulo en tres partes y obtenemos án-gulos de 30°, al bisectarlo obtenemos el de 15°.

5. Con la abertura del compás igual al de 15°, le resta-mos a 90° y nos da el de 75°, bisectamos el de 30°

próximo al de 90°.

6. El ángulo de 67°30' es igual al radio de 45° + 22°30'= 67°30'. Los de 22°30' vienen siendo la mitad delde 45°.

2. Los triángulos los clasificamos:

A. Por sus lados.

a) Equiláteros. Tienen los tres lados iguales.

M N

b) Isósceles. Tienen dos lados iguales y uno diferente.

c) Escalenos. Tienen los tres lados desiguales.

7. El ángulo de 105° lo obtenemos al agregarle 90° +15° = 105° o también haciendo centro en el puntodonde se corta el arco de circunferencia con la bisectrizdel ángulo recto y trazando el otro arco hacia afuera.

8. Al sumarle a la abertura del de 30° nos da el ángulode 135°.

Trazo de triángulos1. Se entiende por triángulo a las figuras geométricas

planas que tienen tres lados y tres ángulos.

B. Por sus ángulos:

a) Acutángulos. Los que tienen tres ángulos agudos.



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE LINEAS PERPENDICULARES, PARALELAS, ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

b) Rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.

c) Obtusángulo. Es el que tiene un ángulo obtuso.

3. El triángulo rectángulo es el único que a sus dos ladosmás pequeños se les llaman catetos y al más grandehipotenusa.

4. La suma total de los ángulos de cualquier triánguloserá siempre igual a 180°.

Para definir un triángulo se requieren tres datos,aunque en algunos casos uno o dos de ellos puedenser suplidos por las propiedades de los mismos.

Así, el triángulo isósceles o el rectángulo requie-ren dos datos solamente, mientras que el equilátero orectángulo isósceles quedará concreto con un datoúnicamente.

Problemas geométricosde triángulosProblema 3.1

Dado el lado de un triángulo equilátero, construir el trián- gulo*

Construcción

1. Sea AB el lado dado; se ubica como base.

2. Se hace centro en A y B; con un radio igual a AB tra-ce dos arcos que se corten en C.

3. Uniendo AC y BC nos da el triángulo buscado.

Problema 3.2Trazar un triángulo isósceles, dada su altura

Construcción

1. Si LM es la altura dada.2. Trace dos rectas paralelas SM y TD perpendiculares

a la recta LM .

3. Haciendo centro en L con un radio conveniente, tra-ce un arco que corte a la recta en los puntos A y B.

4. Haciendo centro en A y B y con el mismo radio corteel arco antes trazado en los punto H e I.

5. Los lados buscados nos los dan las posiciones de los puntos H e I que al prolongarse cortan a la otra rectaen R y Q, quedando determinados los tres lados.

Cateto



DI BU JO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Conceptos básicos con respecto al triángulo rectángulo

La suma interior de los ángulos de cualquier triángu-lo es igual a 180°. El triángulo rectángulo recibe ese nom-

bre por tener un ángulo recto, que es igual a 90°; por lotanto, la suma de los otros dos ángulos agudos también esde 90°. Con esto podemos calcular fácilmente el valor deun ángulo agudo desconocido, efectuando una simple

diferencia de ángulos.La nomenclatura que se usa para determinar los la-dos y ángulos de un triángulo es la siguiente:

A. Los ángulos se representan con letras mayúsculas.

B. Los lados reciben el nombre de la letra del ánguloopuesto, pero se representa con letras minúsculas.

C. En un triángulo rectángulo la hipotenusa está siempre frente al ángulo recto, además lo identificamos porque es el lado de mayor tamaño.

2. La unión de los extremos de los dos catetos nos da lahipotenusa desconocida CB.

Problema 3.4 Dada la hipotenusa y un cateto trazar un triángulo rectángulo

Construcción

1. Trazamos del centro L de la hipotenusa BC un arcoque vaya a los extremos del mismo.

2. Con un radio igual al cateto AC, hacemos centro enC y cortamos con un arco al anterior en A.

3. El lado desconocido es la distancia BA.

Problema 3.3Trazar un triángulo rectángulo dados los dos catetos

Construcción

1. Trazar los dos catetos dados, AB y AC, perpendicula-res entre sí, ya que éstos siempre concurrirán al vérti-

ce del ángulo recto en posición perpendicular.

Problema 3.5 Dado un cateto y su ángulo agudo contiguo, trazar un trián gulo rectángulo

1. Se traza el cateto AB con su ángulo agudo contiguoB, trasladándolo a la recta.

2. Como el otro cateto AC debe ser perpendicular al

lada dado, lo hacemos con una línea indefinida.




3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclina-ción del ángulo dado.

4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que debentener AC y CB.

Problema 3.6 Dada ¡a hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazarun triángulo rectángulo*

Construcción

1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicir-cunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo co-rrespondiente, haciendo partir una recta CA que pase por ese ángulo y la limite el arco.

2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetosdesconocidos.

Problema 3.6 Dada la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, trazarun triángulo rectángulo

Construcción

1. Del centro de la hipotenusa BC se traza una semicir-cunferencia; se traslada el ángulo C a su extremo co-rrespondiente, haciendo partir una recta CA que pase por ese ángulo y la limite el arco.

2. Al unir AB nos da el tamaño correcto de los catetosdesconocidos.

3. La hipotenusa la trazamos de acuerdo a la inclina-ción del ángulo dado.

4. Éstos al cortarse determinan el tamaño C que debentener AC y CB.

Problema 3.7 Dados los tres lados de un triángulo, trácelo

1. Trazamos el lado más grande AB.

2. Hacemos centro en los extremos del lado AB y un ra-dio igual al de cada uno de los otros dos lados AC yCB conocidos; trazamos un arco que al cortarse entre sínos da el punto C, que debemos unir con los otros dos.

3. Al unirse los tres puntos nos da el triángulo buscado.




Problema 3.8Trazar un triángulo conociendo uno de sus lados y dosángulos adyacentes.

1. Trazamos el lado AB con sus dos ángulos adyacen-tes α y β.

2. Trazamos cada uno de los lados con la inclinación de losángulos adyacentes hasta lograr que se corten entre sí.

3. Así obtenemos el triángulo y la dimensión de sus la-dos desconocidos AC y CB.

Problema 3.9Trazar un triángulo conociendo dos de sus lados y el án-

gulo que forman

Construcción

1. Se trazan los lados AB y AC, con el ángulo α que

forman entre sí.

2. Unimos BC y obtenemos el lado desconocido com- pletándose el triángulo correspondiente.

Trazo de cuadriláteros,conceptos generales1. Los cuadriláteros son las figuras planas cerradas que

tienen cuatro lados y cuatro ángulos.

2. Éstos pueden ser regulares o irregulares.

3. Los cuadriláteros regulares son aquellos que tienen loscuatro lados y los cuatro ángulos iguales, o sus lados y

ángulos opuestos iguales.




4. Los cuadriláteros irregulares son los que tienen suslados o ángulos diferentes.

c) Romboide. Lados opuestos iguales de dos en dos;y ángulos agudos iguales y dos obtusos iguales.

5. La diagonal LS de una figura plana cerrada es la rec-ta que une a dos vértices opuestos y divide a la figuraen dos partes iguales.

Los cuadriláteros los dividimos en tres grandes gru-

pos:

a) Cuadrado. Los cuatro lados iguales; los cuatro án-gulos rectos.

Rectángulo. Lados opuestos iguales de dos en dos; sus

cuatro ángulos son rectos.

Paralelogramos. Tienen sus lados opuestos paralelos.

b) Rombo. Los cuatro lados iguales y sus ángulos

opuestos iguales.




Trapecios. Solamente tienen dos lados paralelos.

Trapezoides. No tienen lados paralelos.

Construcción

1. Sea la diagonal LD dada como dato.

2. De acuerdo al método antes explicado, se traza la otradiagonal MN en forma perpendicular y al centro de la otra.

3. Una los cuatro puntos y obtendrá el cuadrado buscado.

Problemas geométricosde cuadriláterosProblema 4.1

Dado un lado trazar un cuadrado*

Construcción1. Sea el lado AB, dado como dato.

2. Por B trazamos una perpendicular (método 1.3) deltamaño de la recta dada llamada BC.

3. Se hace centro en C y A, con un mismo radio de larecta dada; córtense en un punto llamado D; obtenién-dose el cuadrado.

Problema 4.3 Dados dos lados y el ángulo que forman trazar un paralelogramo

Construcción

1. Sean los dos lados AB y AC y el ángulo B los dadoscomo datos.

2. Se trazan los dos lados con el ángulo dado. (Véase el problema 2.1 que explica el procedimiento.)

3. Haciendo centro en 8 y en C, en cada caso con unradio igual a los lados AB y AC.

4. Se trazan dos arcos que se cortan en un punto llama-do D, que al unirlos nos da el cuadrilátero.

Problema 4.2 Dada una de sus diagonales trazar un cuadrado




Problema 4.4

Dada la diagonal menor o mayor y un lado, trazar un

rombo

Construcción

1. Sea AB la diagonal menor y AC el lado dado.

2. Con un radio igual al lado, se hace centro a cada ex-tremo de la diagonal.

3. Éstos, al cortarse, nos dan dos puntos C y D y al unir-los obtenemos el rombo.

Problema 4.5

Dadas sus dos diagonales y uno de sus ángulos que for-

man, trazar un paralelogramo

Construcción

1. Sean las diagonales SP y QR y el ángulo agudo losdatos dados.

2. Trazamos las diagonales con el ángulo agudo que for-man por su parte media.

3. Unimos los extremos de las diagonales obteniendo lafigura buscada.

Problema 4.6

Dada la base mayor con el lado que forma un ánguloagudo y el valor de dicho ángulo, trazar un trapecio rectan-

gular

Construcción

1. Sea AL la base mayor, LM el lado y L el ánguloagudo formado entre ambos lados.

2. Por el extremo A trazamos una perpendicular y por Muna paralela a la base mayor con un tamaño a discre-ción.

3. Al cortarse en S, éstas nos dan el tamaño exacto delos dos lados desconocidos, obteniendo el trapecio.



Lee detenidamente cada una de las preguntas, piensa, reflexiona y contesta correctamente, si no recuerdas lo quese te pregunta, investiga en tu libro de dibujo o en otros libros.

1. ¿Qué entiendes por líneas perpendiculares entre sí?



7. ¿Qué entiendes por arco de circunferencia?8. ¿Cuál es el tamaño o dimensión con los que se tiene que dibujar una figura geométrica?

9. ¿Cómo trasladas medidas de líneas y ángulos?

10. ¿Qué ángulo forman dos líneas perpendiculares entre sí?

11. ¿Cómo se llama a la abertura que hay entre las dos piernas del compás?

12. ¿Cómo se genera un ángulo?

13. Dibuja y escribe las propiedades de los siguientes ángulos:

AgudoRectoColineal

α)

b)

1.8 Trazar una paralela a otra recta dada sin importar la distancia que las separe.

a)

b)

2.6 Trisección de un ángulo recto.

5. En el enunciado de un problema están implícitos dos elementos que nos indican:

4. ¿Cuáles son los seis términos técnicos de mayor uso en un problema geométrico y cuál es su significado?

b).

c).

2. ¿Consideras que es importante el conocimiento de la geometría para resolver un problema geométrico?¿Por qué?

3. ¿Cuáles son las cuatro recomendaciones que se proponen para resolver un problema?


a)

b)

c)

d)

e)

f)




♦ Obtuso♦ Perígono♦ Complementario♦ Suplementario♦ Bisectriz


Analiza, nombra y dibuja las formas geométricas de tu aula e identifica las líneas o planos que sean:

♦ Paralelos♦ Perpendiculares♦ Inclinados♦ Ángulos rectos♦ Ángulos agudos♦ Otros

Dibuja a mano alzada la fachada de una iglesia o una catedral e identifica y dibuja separadamente las diferentesformas geométricas que aparecen en ella, además, señala los ángulos que tienen integrados estas figuras geométricas.

3.3 Investigación

Investiga en una enciclopedia las características arquitectónicas, geométricas y técnicas de las pirámides construi-das en el mundo y de qué manera colaboró el dibujo geométrico en su construcción.

♦ Pirámides egipcias♦ Pirámides mexicanas♦ Pirámides del Perú♦ Otras


Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas en

cuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y los letrerosque identifiquen cada problema.

En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con

plantilla.



Construcción y trazo depolígonos inscritos, estrellados

y con base a uno de sus lados


Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema.Manejar con eficiencia los instrumentos para dibujo geométrico.Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de polígonosregulares inscritos en una circunferencia, estrellados, y con base en uno de sus lados.Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos.Se apegará a las normas de higiene y seguridad del dibujo.Conservar eficientemente sus instrumentos geométricos.


Al termino de la presente unidad, el alumno será capaz de:Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes tipos de polígonosregulares.

Introducción

Para la elaboración de las figuras geométricas planas llamadas polígonos hay varios métodos particulares. Uno de ellos es a partir de una circunferencia, que se divide de acuerdo a los lados que el

polígono regular requiere. En otro método, se deriva el polígono a partir de un solo lado conocido.

Además, existen métodos generales para obtener polígonos de n lados.

Para resolver cada uno de estos casos se propone en este libro una metodología sencilla y rápidaque ayudará al estudiante a comprender y trazar estetipo de problemas geométricos.



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE POLÍGONOS INSCRITOS, ESTRELLADOS Y CON BASE A UNO DE SUS LADOS

Trazo de polígonos inscritos

Conceptos fundamentales

1. La palabra polígono significa "muchos ángulos" y conella se describen todas las figuras planas limitadas portres o más líneas rectas y tres o más ángulos.

2. Los hay de tres, cuatro, 15, 20 o 100 lados. Así hastallegar al que tiene un número tan grande de ladosque se convierte prácticamente en un círculo.

3. La línea que limita a un círculo se llama circunferen-cia.

4. Toda moneda o rueda es circular; su superficie está en-cerrada por una circunferencia formando un círculo.

5. La recta que pasa por el centro del círculo y une dos puntos de la circunferencia se llama diámetro; si no pasa por el centro del círculo se le llama cuerda y si parte del centro a cualquier punto de la circunferen-cia se llama radio.

6. Los polígonos pueden ser:

a) Cóncavos. Son aquellos en que uno o más de susvértices están hacia adentro.

b) Convexos. Cuando todos sus vértices están haciafuera.

c) Cerrados. Son aquellos en que ninguno de susvértices están abiertos.

d) Abiertos. En uno de sus vértices está abierto.

e) Regulares. Todos sus lados y ángulos son iguales.

C

Arco

Cuerda

Diámetro

Secante




/) Irregulares. Uno o más de sus lados y ángulos pue-den ser diferentes.

También pueden estar:

a) Inscritos: trazado dentro de la circunferencia. Cuan-do los vértices de un polígono están en una cir-cunferencia se dice que ese polígono está inscrito.

b) Circunscritos: trazado alrededor de la circunferen-cia. Cuando la circunferencia está dentro del polí-gono.

8. Los polígonos reciben su nombre de acuerdo al nú-mero de lados y ángulos que tienen y son: de tres,triángulo; cuatro, cuadrado; cinco, pentágono; seis,hexágono; siete, heptágono; ocho, octágono; nueve,

eneágono; diez, decágono, etcétera.

Problemas geométricos dedivisión de circunferencias

Problema 5.1 Hallar el centro de una circunferencia dado un arco y su

radio*

Construcción

1. Si LM es el arco y SP el radio dado.

2. Se hace centro en los puntos L y M, con un radio SP.

3. Se cortan los dos radios en un punto O, que es elcentro buscado.

Problema 5.2 Dado un círculo, trácelo con plantilla y encuentre el cen-tro de éste.

1. Sea el círculo el dato dado.

2. Trace el diámetro AB en posición horizontal.

3. Haga centro en A y trace un arco de circunferenciaque pase por el centro.

4. Haga centro en B y trace otro arco de circunferencia

que pase por el centro y corte el otro arco en el puntoO que es el centro del círculo.




Problema 5.3 Dado un círculo, inscribirle un triángulo

Construcción

1. Sea el círculo de centro O el dato dado.

2. Trace un diámetro AB en posición vertical.

3. Haga centro en A y trace un semicírculo que corte ala circunferencia en SP.

4. Una los puntos B, S y P y obtendremos el triángulo buscado.

Problema 5.4 Inscribir un cuadrado a un círculo dado

Construcción

1. Dado el círculo de centro O.

2. Trácense dos diámetros perpendiculares entre sí: LMy SP.

3. Una los cuatro extremos LM y SP y obtendrá el cua-drado buscado.

Problema 5.5 Dado un círculo inscríbale un pentágono

Construcción

1. Trace un círculo de centro O.

2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares.3. Divida el radio DO a la mitad y obtendrá el punto F;

haga centro en F con un radio AF. Baje un arco quecortará al radio CO en un punto G.

4. Con un radio AG y centro en A, suba un arco quecorte a la circunferencia en L.

5. Lleve consecutivamente sobre la circunferencia un ra-dio AL, hasta completar el pentágono.

Problema 5.6

Dado un círculo, inscríbale un hexágono

Construcción


2. Abra su compás a la abertura del radio de ese círculo.

3. Trace sobre la circunferencia seis veces el arco del ra-dio del compás, iniciándolo en el lugar que más leconvenga.

4. Una los puntos y obtendrá un hexágono.




Problema 5.8

Dado un círculo, inscríbale un heptágono

Construcción

1. Sea el círculo del centro O el dato dado.

2. Se traza un diámetro LM.3. Haciendo centro en L y con un radio OM, se traza

un arco que corta a la circunferencia en dos puntosRQ; los unimos con una recta que cortará el diáme-tro en A.

4. La distancia de AR o AQ es la séptima parte delheptágono buscado, descríbalo siete veces y una los puntos dados y obtendremos la figura.

Problema 5.7Segundo método del problema anterior

Construcción

1. Sea el círculo del centro O el dato dado.

2. Trace un diámetro LM.

3. Haga centro en L y M, y con un radio LO y MOtrace dos semicircunferencias; corte a la circunferen-cia en S y P y Q y T.

Problema 5.9 Dado un círculo, inscríbale un octágono

Construcción


4. Una los puntos L y M, S y P y Q y T, dándonos un

hexágono.

2. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí LMy SP.

3. Trazamos bisectrices a los cuatro ángulos rectos for-mados.

4. La circunferencia queda dividida en ocho partes; alunirse las puntas que la dividen, se obtiene el octágo-

no buscado.




Problema 5.10 Dado un círculo, inscríbale un decágono.

Construcción


2. Trace dos diámetros AB y CD perpendiculares en-tre sí.

3. Escriba un punto L en el centro del radio OB, y hagacentro en L con un radio LC.

4. Baje un arco que corte el diámetro en M. Tome unradio MO, trácelo sobre la circunferencia en formasucesiva. Al unirse le dará un decágono.

Problema 5.11 Dado un círculo, inscríbale un dodecágono

Construcción


2. Trace dos diámetros perpendiculares entre sí AB y LM.

3. Haga centro en cada uno de los extremos A, B, L yM, de los diámetros trazando cuatro semicircunferen-cias.

4. Una todos los puntos obtenidos con los arcos y losdiámetros y obtendrá el dodecágono buscado.

Problema 5.12 Método general para trazar un polígono de cualquier nú-mero de lados, inscrito a un círculo eneágono.

Construcción


2. Trace dos diámetros LM y SP perpendiculares en-tre sí, la horizontal LM divídala en el número de la-dos que quiera que tenga el polígono (nueve).

3. Prolongue en la parte superior del diámetro verticaltres partes, correspondientes a las divisiones del otrodiámetro LM.

4. Describa una línea que parta del extremo del lado prolongado y pase por la división dos hasta cortar ala circunferencia en A.

5. La distancia AL es el lado del polígono buscado; lle-

vándolo nueve veces en forma sucesiva.




NOTA: Este método es aproximado pues no hay uno general pararesolver con exactitud estos problemas.

representan décimas de milímetro que al irse repitiendo lle-garán a tener una medida de consideración.

Problema 5.13Trazar un polígono de trece lados

Construcción


2. Siga los mismos pasos ya antes mencionados, con ladiferencia que el diámetro LM horizontal lo dividi-mos en 13 lados o sea:

3. Se prolongan las tres partes en el diámetro SP , de ahítrazamos una línea que pase por la división 2 y corte ala circunferencia en A (se hace en todos los casos).

4. Lleve la resultante AL 13 veces y tendrá el polígono

buscado.

NOTA: Es recomendable tener cuidado de que al dividirse en las partes correspondientes, sea exacto en el trazo con el compás, pueshasta una décima de milímetro influye en el resultado.

Cuide siempre las puntas del compás que tengan lamisma longitud.

Dé a la punta de carbón un afilado muy fino para queno trace líneas apelusadas; busque el centro de cada arcode circunferencia en cada trazo del compás, porque éstos

Polígonos estrellados

Reciben este nombre porque al unir los vértices de un polígono con cierta relación obtenemos una figura en for-ma estrellada. Su uso puede ser decorativo; en jardinería,en aspectos arquitectónicos, etc. Haremos algunos ejerci-cios explicando esa relación, señalaremos los datos de larelación de los vértices, en otros polígonos.

Problema 5.14

Hacer el estrellado de un octágono

Construcción

1. Sea el círculo de centro O el dato dado, de acuerdocon el tamaño que se quiere.

2. De acuerdo con los pasos antes explicados, divida alcírculo en ocho partes iguales.

3. Si se va ocupar solamente el estrellado no hay nece-sidad de hacer el polígono.

4. El octágono presenta un estrellado; para formarlo unacada vértice, de tres en tres.

5. Del vértice de inicio uno, cuente tres veces a la dere-cha y únalo con una recta al número 4, luego sigacontando de tres en tres y una cada uno de los pun-tos del octágono hasta formar el estrellado de ocho

puntos.




Problema 5.15El estrellado del pentágono se hará uniendo cada vérticede dos en dos hacia la izquierda y luego hacia la derecha.

Problema 5.17En el eneágono se hace el estrellado uniendo cada vez dedos en dos y de cuatro en cuatro.

Problema 5.18En el decágono se hace el estrellado uniendo cada vez detres en tres. En el pentadecágono se hace el estrelladouniendo cada vez de dos en dos, de cuatro en cuatro y desiete en siete (hacer el estrellado).

Problema 5.16En el heptágono se hace el estrellado uniendo de dos endos y de tres en tres.

NOTA: En todos los casos, al unir los vértices, se hace manteniendoel mismo sentido de rotación.




Trazo de polígonosconociendo unode sus ladosEn este caso los conceptos geométricos del capítulo ante-rior competen a éste. El triángulo y el cuadrado no sedesarrollarán en este capítulo porque ya están incluidosen otros capítulos.

Problema 6.1 Dado un lado, trazar un pentágono regular

Construcción

1. Sea LM el lado dado.

2. Se busca el centro R de LM y se prolonga por M ellado dado, se trazan dos perpendiculares a discreción

por el punto M y R.3. Se hace centro en M y con un radio LM, se traza un

arco que corta la perpendicular de M en el punto A,haciendo centro en R y con un radio RA baje unarco que corte a la prolongación de LM en el puntoβ.

4. Con un radio LB y con centro en L, describa un arco

que corte a la perpendicular levantada por R en el

πunto D.

5. Con un radio LM, haga centro en D, L, M y trace

arcos que se corten en dos puntos E y G, únalos ytendrá el pentágono buscado.

Problema 6.2

Dado un lado, trazar un hexágono regular

Construcción


2. Haciendo centro en L y M trace dos arcos que al cor-tarse nos dan un punto O, que es el centro de la cir-

cunferencia.

3. Trace la circunferencia con el radio OL.

4. Con ese radio lleve en forma consecutiva el trazo dearcos que corten a la circunferencia, obteniendo elhexágono buscado.

Problema 6.3Segundo procedimiento al problema anterior

Construcción


2. Haciendo centro en L y M con un radio igual a LM,

se trazan arcos prolongados a un poco menos queuna semicircunferencia, cortándose en el punto N.

3. Con el mismo radio de LM se hace centro en N y setrazan dos arcos que corten a la prolongación de lasemicircunferencia en RQ.

4. Haciendo centro en R y N, Q y N se trazan otros ar-cos, obteniendo los puntos S y T.

Unimos los seis puntos y tenemos el hexágono buscado.




Problema 6.4 Dado un lado, trazar un heptágono regular

Construcción


2. Por el punto medio y el extremo M trazamos dos perpendiculares y con una inclinación de 30° trazamosuna recta que parte por L y corta la perpendicular delextremo M, en el punto A.

3. Con centro en L y con un radio LA describimos unarco que corta en O la perpendicular (que pasa por elcentro).

4. Haciendo centro en O y con un radio LO, tracemosuna circunferencia que contendrá siete veces el ladodado, se obtendrá así el heptágono buscado.

ZM

Problema 6.5

Dado un lado, trazar un octágono regular

Construcción


2. Tracemos dos perpendiculares por el extremo M y elcentro de LM indefinidos; prolonguemos LM conuna línea punteada, por el extremo M.

3. Tracemos la bisectriz del ángulo recto formado, S, M, R, y sobre la bisectriz, describiremos la longitud deese lado, llamándolo MB.

4. Por MB tracemos otra mediatriz que corte en O la perpendicular central.

5. Con un radio LO y haciendo centro en O, tracemosuna circunferencia sobre la cual construiremos, al llevar

en forma sucesiva, el lado LM del octágono buscado.

Problema 6.6 Dado un lado, trazar un eneágono regular

Construcción


2. Tracemos una perpendicular al centro de LM; hare-mos centro en M y con un radio igual a LM, levante-mos un arco que corte la perpendicular en Q.

3. Con una recta uniremos QM y le trazaremos una perpendicular que la divida en dos partes; haciendo cen-

tro en Q y con un radio QS levantaremos un arco quecorte en O la perpendicular.

4. Con un radio OL tracemos una circunferencia que con-tendrá nueve veces el lado dado.

Uniremos y obtendremos el eneágono buscado.




Problema 6.7

Dado un lado, trazar un decágono regular

Construcción


2. Por la parte media B y el extremo L, tracemos dos perpendiculares y prolonguemos el extremo L.

3. Haciendo centro en L y con un radio LM tracemosun arco que corte la perpendicular del extremo en C;ahora con centro en B y en BC como radio, bajemosun arco que corte la prolongación en F.

4. Con centro en M y un radio MF, levantaremos unarco que corte la perpendicular central en O.

5. Haciendo centro en O y un radio OM, tracemos unacircunferencia que contendrá diez veces el lado dado.

6. Uniendo los cortes de los arcos con la circunferenciaobtendremos el decágono buscado.

Problema 6.8Dado un lado, trazar un dodecágono regular

Construcción


2. Por el centro S de LM tracemos una perpendicular adiscreción.

3. Con un radio LM y centro en L, tracemos un arco quecorte la perpendicular en Q.

4. Haciendo centro en Q y con radio QL, levantemos un

arco que corte en O la perpendicular.

5. Con un radio OM y centro en O, tracemos una cir-cunferencia que contendrá 12 veces el lado buscado,obteniendo el polígono de 12 lados iguales.

Primer método generalpara trazar cualquierpolígono regularEste método es muy práctico y su desarrollo es sencillo;como se dijo antes, sus resultados son aproximados; enalgunos casos, si se hace con detenimiento, puede dar unresultado exacto.

Problema 6.9 Por el primer método general, trazar un polígono de 13lados

Construcción


2. Con radio LM y centro en L y M, tracemos dos arcosque se corten en Q y P.

3. Unimos con una recta QM y la dividimos en seis par-tes iguales.

4. Sobre el punto Q llevemos siete partes iguales, dán-donos el punto O.

5. Con centro en O y radio OL tracemos una circunfe-rencia, donde pueda contener a LM trece veces y ob-teniendo al trazarlo un polígono de trece lados.

NOTA: El número de partes iguales que van de arriba hacia abajodepende de una relación aritmética muy sencilla.




Número de lados del polígono, menos seis nos da las par-tes que van de Q hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo 1. Polígono de 16 lados, entonces es igual 16-6= 10 partes hacia arriba por ser positivo.

Ejemplo 2. Polígono de cinco lados, entonces es igual 5 -6 = -1 partes que se cuenta hacia abajo por ser negativo.

Problema 6.10Segundo método general para trazar cualquier polígonoregular, dando el lado

Este método es también muy práctico y sencillo. Antes deempezar a trazar el polígono se requiere el desarrollo dealgunos procedimientos geométricos.

Sabemos que un polígono regular al unir uno de suslados con el centro, nos da un triángulo isósceles (con ex-cepción del hexágono, ya que el triángulo obtenido esequilátero), que tiene dos lados y sus ángulos adyacentesson iguales.

Para conocer el ángulo opuesto del lado LM dado, yla base del triángulo isósceles, basta dividir 360 entre elnúmero de lados.

Para saber el valor de los dos ángulos (iguales) hastaconocer el ángulo opuesto y con la suma de los otros dosdará 180°.

Ejemplo: Dado un lado LM , trazar un hexágono.

a) Valor del ángulo opuesto:

360° / 6 = 60°.

b) Valor de los ángulos adyacentes:

60° / 180° = 120° 120° / 2 = 60°.

Con estos valores fácilmente podemos dar los pasos para la construcción del hexágono buscado.

Construcción


2. Se le trazan dos ángulos adyacentes de 60° al lado LM.

3. Partiendo por L y M pasando por la abertura de 60°se trazan dos rectas que se cortan en un punto O,centro de la circunferencia.

4. Sobre la circunferencia trazada llevamos seis veces ellado dado.

5. Unimos y obtenemos el polígono regular buscado.

M

Problema 6.11Tercer método general para trazar cualquier polígono, dadoel lado (heptágono)

Construcción

1. Dado el lado LM, trazar un polígono regular de sietelados (auxilíese del transportador).




2. Trazamos el lado LM y lo prolongamos por M, conlíneas punteadas.

3. Con un ángulo de 360 / 7= 51° 42' trazamos el lado MP, con respecto al tamaño del lado prolongado.

4. Por el centro del lado LM y MP describimos dos perpendiculares las que al prolongarse se cortan enO, centro de la circunferencia.

5. Con OM de radio trazamos la circunferencia que con-tiene el heptágono buscado.

Problema 6.12

Cuarto método general para trazar cualquier polígono de11 lados

Construcción

1. Sea O el centro de la circunferencia dada.

2. Trazamos un diámetro horizontal LM y lo prolonga-mos por la derecha y a su vez trazamos otro diámetro

en posición vertical SP, dividiéndolo en partes igua-les de acuerdo al número de lados que se quiere el polígono

3. Con centro en P y radio SP, trazamos un arco que al prolongarlo corte a la prolongación del eje horizontalen el punto R.

4. Describimos una recta que parta de R y pase por ladivisión número 2 hasta tocar a la circunferencia enel punto Q.

5. El arco QS lo llevamos en forma consecuente sobrela circunferencia. Al unir las divisiones nos dará el po-lígono de 11 lados buscado.

NOTA: La división del diámetro SP tiene un pequeño error.




1. ¿Qué entiendes por polígonos?2. ¿Cuáles son los polígonos regulares?3. ¿Cuáles son los polígonos irregulares?4. ¿Cuáles son las propiedades del dodecágono?5. Explica el significado del enunciado de los siguientes problemas:

5.5 Dado un círculo, inscríbale un pentágono.

a)

b)




6.5 Dado un lado, trazar un octágono regular.

a)

b)

6. ¿Qué entiendes por radio de compás?7. ¿Qué entiendes por segmento de arco de circunferencia?8. En un polígono, la suma de todos los ángulos interiores es igual a .

9. ¿A cuántos radios equivale un diámetro?10. ¿A qué le llamamos segmento circular?11. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia? Explíquelo.12. Explique cuándo una recta es tangente a una circunferencia.


Busca diferentes piezas mecánicas, analiza sus partes e identifica qué formas geométricas encuentras. Dibújalasanotando abajo de cada una de ellas su nombre de acuerdo a su forma geométrica.

4.3 Investigación

♦ Investiga el origen de la rueda, del tornillo y de las tuercas.♦ Investiga y dibuja piezas mecánicas que tienen caras poligonales.♦ Una transmisión de un coche es una máquina con muchos engranes, visita un taller, dibuja los engranes e

identifica su forma y número de lados con el polígono que le dio origen.


Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas encuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y losletreros que identifiquen cada problema.

Es su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con

plantilla.



Conocer las bases de la geometría plana respecto a este tema.Manejar con eficiencia los instrumentos de dibujo geométrico.Comprender la metodología propuesta para la solución de los problemas geométricos de circunferencias que son tangentes entre sí, empalme de rectas y curvas, trazo de cónicas y curvas planas,cerradas y abiertas.Trazar con eficiencia el dibujo de estos problemas geométricos.Apegarse a las normas de higiene y seguridad del dibujo.Conservar eficientemente sus instrumentos de dibujo.


Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de circunferencias tangentesentre sí y empalme de rectas y curvas.Conocer y aplicar con efectividad la técnica de construcción y trazo de diferentes cónicas y curvas planas, cerradas y abiertas .


Al término de la presente unidad, el alumno será capaz de:

Construcción y trazo de circunferenciastangentes entre sí, empalme de líneas

rectas y curvas, trazo de cónicas y curvasplanas, cerradas y abiertas



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LINEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.

Circunferencias y rectastangentes entre sí1. Cuando dos rectas se cortan forman un solo punto

de corte.

2. Si se cruzan dos rectas una pasa sobre la otra.

3. Cuando dos líneas se tocan en un punto se dice queuna es tangente respecto a la otra.

Problemas geométricosde circunferenciastangentes a rectas

Problema 7.1 Hacer que una circunferencia sea tangente a una rectaMN, en el punto S, y además pase por un punto L situado

fuera de ella

Construcción

1. Sea MN la recta dada.

2. Por el punto S trace una perpendicular a MN, y úna-lo también con una recta al punto L.

3. Por el punto medio de SL describa una perpendicu-lar que al prolongarse corte a la otra (perpendicular)en un punto O.

4. Con un centro en O y radio OS trazamos la circunfe-rencia que será tangente a MN, y contiene al punto L.

4. Cuando dos líneas rectas o curvas se cortan o sontangentes se representan por un punto.

Problema 7.2 Hacer que una circunferencia de radio conocido sea tangente a una recta dada MN, y que contenga al punto S fuera de la recta

Construcción

1. Sea MN la recta dada.

2. Trazamos otra recta paralela a MN separada por ladistancia del radio conocido.

3. Haciendo centro en el punto S, fuera de la recta ycon el mismo radio dado, trace un arco que corte a la paralela en O.

4. Con el radio dado y con el centro en O, trace una

circunferencia cuya tangencia con MN se determina




bajando de O una recta perpendicular a MN, y con-tiene al punto S.

4. Con centro en O y con un arco OM tracemos la cir-cunferencia buscada, que será tangente y contiene al

punto.

Problema 7.3 Por un punto cualquiera de una circunferencia, hacer pasar una recta tangente

Construcción

1. Sea M el punto dado en la circunferencia de centro O.

2. Haciendo centro en My con radio MO trace un arco,éste cortará a la circunferencia en el punto L.

3. Haciendo centro en L y con radio LM se traza unarco que corta en S a la recta que pasa por O y L.

4. Tracemos por MS una recta, que será la tangenteque buscamos.

Problema 7.5Trazar dos rectas tangentes a una circunferencia y que

partan de un punto dado fuera de una circunferencia

Construcción

1. Sea P el punto fuera de la circunferencia de centro O.

2. Se unen P y O con una recta.

3. A la mitad de esa recta ubicamos Q.

4. Haciendo centro en Q y un radio QO trace un arcoque corte a la circunferencia en A y A, punto detangencia de las rectas.

Problema 7.4 Hacer que una circunferencia sea tangente en M a unarecta y que pase por un punto dado L, fuera de la recta

Construcción

1. Sea SP la recta dada y M el punto de tangencia y Lel punto fuera de la recta.

2. Tracemos una perpendicular que parta por M y una-mos este mismo punto con L, con una recta.

3. Le trazamos una perpendicular a ML que partirá laanterior en un punto O.

Problema 7.6Trazar una circunferencia de radio conocido en forma tan

gente a un ángulo dado

Construcción

1. Sea L, M, N el ángulo dado y la circunferencia deradio igual a 1 cm.

2. De acuerdo a la dimensión del radio, con esa separa-ción, tracemos rectas paralelas a cada uno de los la-dos del ángulo.



CONSTRUCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.

3. Éstas se cortan en un punto O, centro de la circunfe-rencia.

4. Partiendo por O, tracemos perpendiculares a los la-dos LM y MN; puntos de tangencia: S y S', al trazarla circunferencia.

Problema 7.7 Dado el punto de tangencia en un ángulo, trazarle unacircunferencia que pase por ese punto

Construcción

1. Sea el ángulo L, M, N y B el punto de tangencia.

2. Trace la bisectriz del ángulo y levante una perpendi-cular del punto de tangencia.

3. Éstos se cortan en un punto O, centro de la circunfe-rencia.

4. Con un radio BO y centro en O tracemos la circunfe-rencia tangente buscada al ángulo en el punto B y B'.

Problema 7.8A un triángulo, trazarle una circunferencia tangente

Construcción

1. Sea M, N, S el triángulo dado.

2. A cada uno de los ángulos del triángulo equilátero sele trazan bisectrices que se cortan en O, centro de lacircunferencia tangente al triángulo dado.

3. Las rectas que partan de O, en forma perpendicular acada uno de los lados del triángulo, nos dan el puntode tangencia A, B, C.

Problema 7.9 Dadas dos circunferencias, trazarle dos rectas tangentes aambas

Construcción

1. Sean O y O' los centros de las dos circunferenciasdadas.

2. Se unen los dos centros por una recta y por el centro L de la misma y con un radio LO tracemos un arco.

3. Con el radio de la circunferencia de O' se hace centroen O y se traza un arco que se cortará en el anterioren los puntos A y A'.

4. Dos rectas que pasen por OA y OA' nos darán los puntos F y F' de tangencia.

5. Por el punto O' tracemos dos paralelas a las rectasOF y OF' encontrando los puntos de tangencia R yR'. Unimos F y R y F' y R' y obtenemos las dos rectas

tangentes buscadas.




Problema 7.10Trazar dos rectas tangentes interiores a dos circunferen-cias dadas.

Construcción

1. Sea O y O' los centros de las dos circunferencias da-das.

2. Se unen los dos centros por una recta y por el centroL de la misma y con un radio LO se trazará un arcoindefinido que se corte en M y M' con otro arco decentro O y radio OS.

3.

5.

El punto S lo encontraremos llevando el radio de lacircunferencia chica al punto de corte B de la circun-ferencia grande y la línea que los une.

4. Unimos con rectas los puntos OM y nos darán dos puntos de tangencia G y G'.

Tracemos por O' dos paralelas OH y O'H'a las otrasdos rectas de tangencia OG y O' G'. Uniremos conrectas, que serán tangentes en los puntos encontra-dos y que pasen por el interior.

Construcción

1. Sea O el centro de la circunferencia dada, y i? el pun-to de tangencia (que será tangente a la primera) yque contenga al punto M.

2. Se une OR con una recta que se prolonga a discreción.

3. También se une R y M y se traza una perpendicular

que, al prolongarse, se corta con OR, en O', centrode la circunferencia buscada.

Problema 8.2 Por un punto S de circunferencia, trace otra circunferen-cia tangente de radio conocido

Construcción

1. Sea O el centro de la circunferencia y S el punto dadode tangencia.

2. Una con una recta a OS prolongándola a discreción.

3. Con el radio de la otra circunferencia y centro en S,trace sobre la prolongación de OS el centro O' , conel radio dado.

4. Trace la circunferencia de centro O' buscado.

Circunferenciastangentes entre sí

Problema 8.1Trazar una circunferencia tangente a otra por el punto R yque además contenga al punto M

Problema 8.3 Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentesentre sí

Construcción

1. Sea O1 y O2 el centro de las dos circunferencias da-das, N y N' dos puntos de referencia.




2. Unimos O1 y N, y O2 y N' con rectas prolongadas adiscreción, llevándonos sobre cada una de las rectas(con centro en N y N') a una distancia igual a su ra-dio, indicando con los puntos de corte, R y R'.

3. Con centro en O1 y O2 y arcos O1 R y O2 R' se trazanarcos que se cortan en O7 y O8, centro de las dos cir-cunferencias buscadas.

4. Unimos los cuatro centros entre sí con rectas que cortanlas circunferencias en el punto de tangencia 1, 2, 3, 4.

Problema 8.4Trazar dos circunferencias tangentes a la recta ML en el punto S, conociendo el radio de las circunferencias

Construcción

1. Sea S el punto de contacto y ML la recta dada y elradio conocido de las dos circunferencias de 2 cm.

2. Por el punto S trazamos una perpendicular LM y ha-ciendo centro en el mismo punto, describimos unacircunferencia con radio de 2 cm.

3. La circunferencia se corta con la perpendicular en los puntos O y O', centros de las dos circunferencias busca-das. Al trazarlas se encuentran en el punto de tangencia.

Problema 8.5Trazar dos circunferencias tangentes de radío conocido, auna circunferencia de centro O, siendo N punto de tan-

gencia

Construcción

1. Sea 2 cm el radio de las dos circunferencias y N el punto de tangencia a la circunferencia de centro O.

2. Por el punto O y N trazamos una recta.

3. Haciendo centro en O' y O" y con el mismo radiotrazamos las dos circunferencias tangentes a la recta LM.

4. Con los radios dados trazamos las circunferencias tan-gentes en el punto N.

Problema 8.6Trazar dos circunferencias tangentes a una recta dada, de

radio conocido y que pasen por el punto N.

Construcción

1. Sea 2 cm el radio de las circunferencias por trazar; LM la recta tangente a ellas y N el punto dado.

2. A una distancia del radio dado, trazamos una parale-la a LM, haciendo centro en N y con un radio de 2cm describimos una circunferencia auxiliar que cortaa la paralela en O y O'.




Problema 8.7 Dada una circunferencia, trazarle dos o más circunferen-cias tangentes y del mismo radio y que pasen por el puntoL exterior a la circunferencia dada

Construcción

1. Sea O el centro de la circunferencia y T l y T2, T3 y T4

sus puntos de tangencia con las demás circunferen-cias de radio de 2 cm y que pasan por el punto L.

2. Unimos con una recta OL, hacemos centro en L ycon un radio de 1.5 cm trazamos una circunferenciaauxiliar.

3. Con un radio igual a la suma del radio dado 7 mm +1.5 mm = 22 mm, más el de la circunferencia dadahaciendo centro en O trazamos un arco, que corta ala circunferencia auxiliar en C 1 y C 2

4. Haciendo centro en O pero con la diferencia del ra-dio dado menos el de la circunferencia dada 2 + 1cm trazamos otro arco que corta a la circunferenciaauxiliar en C3 y C4.

5. Los puntos C 1 C2, C3 y C4 son los centros de las cua-tro circunferencias tangentes buscadas, que al unirloscon el centro O nos dan los cuatro puntos de tan-gencia.

2.

NOTA: Este problema tiene cuatro soluciones como máximo.

Pasando por P una recta que corte a LM en B, sobreLM, llevamos la distancia PB a la izquierda y dere-cha con los puntos D y D'.

4.

Por D1 y D2 levantamos perpendiculares a LM, al án-gulo formado en B le trazamos sus bisectrices, que secortan con las rectas perpendiculares en dos puntos

O y O'.Con centro en O y O' trazamos las circunferencias deradio OD y OD', que son tangentes entre sí en P y a larecta en D y D'.

Problema 8.9Trazar cuatro circunferencias de radio conociendo tangentes a una recta y otra circunferencia dada

Construcción

1. Sea LM la recta dada y O7 el centro de la circunfe-

rencia y el radio de las circunferencias.2.

3.

4.

Tracemos dos paralelas a LM a la distancia del radiodado, más el de la circunferencia tangente R = 2 +2.5 = 4.5 cm y haciendo centro en O describimos unarco de circunferencia que corta a la paralela en O1

02, 03, 04.

Con los centros de circunferencias antes encontrados,trazamos cuatro circunferencias tangentes a la circun-ferencia dada.

Unimos con una recta a O7 con sus puntos detangencia T1 T2, T3 y T4 hacia adentro llevamos un

arco de radio igual al dado, que al cortarse con larecta nos da los otros dos centros O5 y O6 de circun-ferencias tangentes.

Problema 8.8Trazar circunferencias tangentes en el punto P y a la veztangentes a una recta

Construcción

1. Si LM es la recta dada y P el punto de tangencia delas dos circunferencias.

3.




Problema 8.10 A dos rectas concurrentes trazarles dos o más circunferen-cias tangentes

Construcción

1. Sea LM y NP las dos rectas concurrentes.2. Trazamos su bisectriz y por el punto Q levantamos

una perpendicular que corta en O1 a la bisectriz.

3. Con centro y arco O1Q trazamos la circunferencia tan-gente, que corta a la bisectriz en B.

4. De B bajamos una perpendicular a la bisectriz quecorta LM en C.

5. Con un radio BC y haciendo centro en C llevamosun arco que corta a LM en D, de ahí levantamos unarecta perpendicular cortando a la bisectriz en O2, cen-

tro de la circunferencia siguiente; al trazarla será tan-gente a las rectas y a la otra circunferencia.

6. Estos mismos pasos se siguen repitiendo de acuerdoal número de circunferencias que se quieran.

Problema 8.11Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentesa dos rectas

Construcción

1. Sea AB y CD las dos rectas que se cortan en M y 1cm el radio de las circunferencias.

2. Se le trazan dos rectas paralelas, una de cada lado,con la distancia del radio dado a las rectas AB y CD.

3. Estas se cortan en cuatro puntos que son O1 O2, O3,O4, centros de las circunferencias tangentes buscadas.

NOTA: El punto de tangencia se encuentra haciendo pasar una es-cuadra por el centro de la circunferencia, adaptando su base a la

posición de la recta.

Problema 8.12Trazar cuatro circunferencias y tres rectas tangentes entre sí

Construcción

1. Sea AB, CD y LM las tres rectas que al cortarseforman un triángulo equilátero y O1, O 2, O3 y O4 loscentros de las circunferencias buscadas que ubicamos

próximos a las rectas, esto es, a criterio del dibujante.

2. Por el método ya explicado se encuentran la circunfe-rencia tangente al triángulo interior (problema 7.8).

3. Se saca la bisectriz de cada ángulo del triángulo centraly se prolongan hasta que se corten en un punto centrode cada una de las circunferencias O2, O3, O4.

4. Se trazan las cuatro circunferencias tangentes, bus-cando el punto de tangencia por el procedimiento an-tes explicado.

M

Problema 8.13 Dada una circunferencia, trazarle tres circunferencias tangentes entre sí

Construcción





2. Se traza un triángulo LST inscrito a la circunferenciade acuerdo al método ya explicado.

3. Se hace centro en cada uno de los vértices de LST,con un radio igual a la distancia LO, se trazan las trescircunferencias tangentes entre sí en M , M' y N .

4. Haciendo pasar una recta por O y L, O y S y O yThasta tocar la circunferencia exterior y sus puntos detangencia.

5. Con un radio OP trazamos la circunferencia exteriorque será tangente a las circunferencias interiores en P,Q y R.

Problema 8.14 Dada una circunferencia trazarle seis circunferencias tangentes entre sí

Construcción


2. El procedimiento es el mismo sólo que en vez de untriángulo inscrito se traza un hexágono de acuerdo almétodo ya explicado.

3. Si se quiere el trazo de seis circunferencias, entoncesla figura buscada es un dodecágono.

4. Se trazan seis líneas que partan del centro O y pasen por cada vértice del hexágono. Dichos puntos seránel centro de las seis circunferencias.

5. Se trazan las seis circunferencias.

6. Se prolongan las seis líneas que parten del centro Ohasta tocar las seis circunferencias.

7. Con un radio OA se traza otra circunferencia tangen-

te a las seis circunferencias internas en los puntos A, B, C, D, E y F.

Problema 8.15Trazar tres circunferencias entre sí centradas en los vérti-ces de un triángulo dado

Construcción

1. Sea LMN el triángulo dado.

2. Trazando las bisectrices de los tres ángulos, encontra-mos el incentro / del triángulo.

3. Trazando perpendiculares que pasen por el incentrode cada uno de los lados encontramos los radios decada una de las circunferencias.

4. Con radios 1L, 2M, 3N y centro en cada vértice deltriángulo trazamos las tres circunferencias tangentesen 1,2, 3.

Empalme de dosrectas por arcosde circunferencia

El concepto de empalme o enlace se entiende como: el punto en donde se embonan o se unen una recta y una




curva, conociendo perfectamente ambas líneas. El uso delos empalmes o enlaces es muy común en el trazo deldibujo industrial.

Vamos a presentarlo de la manera más simple posible, bajo su aspecto meramente gráfico y de más aplica-ción, en los ejemplos se podrá observar el caso detangencia en que se fundamenta.

Problemas geométricosde empalme de rectasProblema 9.1

Empalme de dos rectas por medio de una semicircunfe-rencia en los puntos MM'.

Construcción

1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas y M1 y M2 los puntos de empalme.

2. Se traza una línea perpendicular a la recta que une a M 1 y M 2.

3. A dicha perpendicular se le traza una mediatriz.

4. El punto de cada corte de las dos rectas será el centrode la semicircunferencia.

3. Haciendo centro en E y £' y con el mismo radio, tra-zamos dos arcos que al cortarse nos dan el centro Odel arco de empalme.

Problema 9.3 Empalme de dos rectas paralelas por arcos iguales e in-versos, conociendo su punto de empalme

Construcción

1. Sea MB y CD las dos rectas paralelas y A y A' los puntos de empalme.

2. Se unen los puntos de empalme con una recta y ensu parte intermedia ubicamos el punto L.

3. Trazamos una perpendicular a cada recta en los pun-tos de tangencia A y A', y otras dos perpendicularesde cada parte media de la recta AL y LA'.

4. Al prolongarse las perpendiculares nos dan el centrode las circunferencias O1 y O2 que al trazarse sus ar-cos se enlazan perfectamente.

5. Se traza la semicircunferencia que empalmará a lasdos rectas en los puntos M 1 y M 2.

Problema 9.2 Empalme de dos rectas perpendiculares por un arco deradio dado

Construcción

1. Sean AB y BC las dos rectas perpendiculares y elradio del arco de empalme de 2 cm.

2. Haciendo centro en B trazamos un arco que corta alas rectas en E y E'.




Problema 9.4 Empalme por dos rectas convergentes por un arco de ra-dio dado

Construcción

1. Sea LM y SP las dos rectas convergentes.

2. Se le traza una recta paralela a cada recta dada, auna distancia igual al radio del arco (1 cm).

3. Estas paralelas al cortarse nos dan el centro O delarco de enlace, al trazarlo determinamos también los punto M y P donde se enlazan.

Problema 9.5 Empalme de dos rectas paralelas por dos arcos de circunferencia de radios diferentes pero en el mismo sentido

Construcción

1. Sea LM y SP las dos rectas paralelas.2. Se unen por una recta los dos puntos T y T' que se quie-

ren de enlace y en el punto medio ubicamos el punto A.

3. A cada uno de los puntos de tangencia se le prolongauna distancia TA; sobre cada una de las rectas dadasse unen esos extremos con una recta punteada, for-mándose dos ángulos.

4. Dichos ángulos los bisectamos y por cada punto detangencia trazamos una perpendicular, la que al prolongarse corta por la bisectriz (centros, O1 O2 ) de los

arcos de circunferencia buscada; al trazarlos se empal-man mutuamente y también con las rectas paralelas.

Problema 9.6 Empalme de varios arcos de circunferencia al extremo deuna recta

1.

2.3.

4.

Construcción

Sea ST la recta dada.

Por su punto medio L se levanta una perpendicular.Haciendo centro sobre ella y con un radio igual a ladistancia del centro al extremo, sobre el cual van a

partir los arcos de circunferencia, se trazan el empal-me de la recta con el arco de circunferencia.

Este proceso se repite las veces que se requiera y conel radio de cada arco.

Problema 9.7 Empalme de un arco de circunferencia con un punto dadoen cualquier parte

Construcción

1. Sea O el centro del arco y N el punto dado

2. Se traza una recta que una el centro de la circunferen-cia con el punto de tangencia R, con una recta que se

prolonga a una distancia a discreción.




3. Se unen los puntos de tangencia R y el punto N dadoy a esa recta se le traza una perpendicular que al prolongarse corta a la otra recta OR en un punto 02,centro de enlace de arco.

Empalme de doscircunferenciaspor medio de arcos

Problema 10.1

Empalme de dos arcos de circunferencia por un arco deradio conocido

Construcción

1. Sea O1 y O2 los dos centros de los arcos de circunfe-rencia a empalmar y el radio dado (como dato es de2cm).

2. Haciendo centro en O1 y O2 y con un radio en cadacaso equivalente a la suma del radio conocido más elradio de cada circunferencia, trazamos dos rectas quese cortan en O, centro del arco que empalma a losotros dos.

Construcción

1. Sea O1 y O2 los dos centros de las circunferencias quese van a empalmar y L el punto de arranque.

2. Se une con una recta el punto L con el centro de lacircunferencia O1

3. Se hace centro en L y con un radio de la otra circun-ferencia O2 se traza sobre la recta el punto S, que seune en el centro O2 por medio de una recta.

4. A la recta O2S se le traza una perpendicular que al prolongarse corta a la recta LO1 en F (centro del arcode enlace); el otro punto de tangencia nos lo da larecta que parte de F y pasa por O2 terminando en el punto de tangencia P.

3. Unimos los tres centros y se corta cada circunferenciaen S y P, puntos de tangencia.

Problema 10.2 Empalme de dos circunferencias de diferente radio pormedio de un arco que parta del punto L dado en una delas circunferencias

Empalme o enlacede recta y arcode circunferencia

Problema 11.1 Empalme de una recta y un arco de circunferencia por unarco de radio dado

Construcción

1. Sea AB la recta y O1 centro del arco de la circunfe-rencia, con un radio de 2 cm.

2. Se le traza una paralela a la recta AB, a la distanciadel radio dado.

3. Con la suma del radio dado, LT, más el radio delarco de la otra circunferencia O1 L (haciendo centroen O1) trazamos un arco que al prolongarse corta a la

paralela en el punto O2 del arco de circunferencia deenlace; lo trazamos con radio 0

2 M y se empalma con

el arco en M y con la recta en M'.




Problema 11.2 Empalme de una recta y un arco de circunferencia, cono-

ciendo el punto de empalme en la recta

Construcción

1. Sea LM la recta y O1 el centro de la circunferencia yT el punto de empalme.

2.

3.

Por el punto de empalme se levanta una perpendicu-lar, sobre la cual se lleva la medida del radio de lacircunferencia dada, dándonos el punto S.

Se une O1 y S con una línea recta a la cual le traza-mos una mediatriz que corta a la perpendicular en el

punto O2 centro del arco de empalme que al trazarlose lo hacen en Ty T 1

Problema 11.3

Empalme de una recta y un arco de circunferencia, cono-ciendo el punto de empalme en el arco de circunferencia

1.

2.

4.

Construcción

Sea CD la recta y O1 el centro de la circunferencia yT el punto de empalme.

Trazamos una tangente a la circunferencia por el pun-to T y que corte a la recta en el punto E.

Haciendo centro en £ y con un radio TE, bajamos el

arco sobre la recta cortándola en T', de ahí levanta-mos una perpendicular que corte a la recta que pasa por O1T, en el punto O2.

Con centro en O2 y radio O2T' trazamos el arco deempalme en los puntos T y T'.

Problema 11.4 Empalme de una recta y un arco de circunferencia pormedio de enlaces parabólicos

Construcción

1. Sea CD la recta y O el centro de la circunferencia y 7y T' los puntos de empalme.

2. Se prolonga la recta a partir del punto T de empalmey en la circunferencia se le traza una tangente al pun-to T', ambas rectas se cortan en el punto P.

3. Las dos rectas se dividen en cierto número de partes; por ejemplo, en cinco partes iguales.

4. Se unen con rectas los puntos Ty 7' con todos losdemás puntos, encontrando su enlace en la intersec-ción de 1 l', 12', 3 3', 4 4' y TT'




Problema 11.5

Enlace del número de puntos que se quiera por medio dearcos de circunferencia

Construcción

1. Sea L, M, N, O, P y R los puntos dados.

2. Se unen todos los puntos con rectas de acuerdo alorden dado.

Problema 12.1

Dado el eje mayor construir un óvalo con cuatro centros

3. A los puntos LM y MN se le sacan las mediatrices yéstas se cortan en el punto C1

4. Este procedimiento se repite con todos los demás pun-tos que haya.

Construcción

1. Sea AB el eje mayor, se corta en tres partes iguales,

sirviendo los dos puntos intermedios de centros dedos circunferencias, de radio igual a la tercera partede AB.

2. El corte de las dos circunferencias con el eje AB nosda los centros C3 y C4, y el corte entre éstas nos danlos centros C1 y C2.

3. Haciendo centro en C 1 y C2 y con radio C 1 L o C 2Sse trazan los arcos de circunferencia. En seguida, ycon centro C3 y C4 y con radio C 3 A o C 4 B trazamosotros dos arcos, enlazándose perfectamente los arcosque se trazaron primero.

Problema 12.2 Dado el eje menor, construir un óvalo con cuatro centros

El óvaloEs conveniente que no se confunda el óvalo con la elipse, pues sus figuras son muy parecidas. El óvalo es una curva plana cerrada como la elipse.

La diferencia estriba en que no satisface la condiciónde igualdad entre la suma de sus radios vectores, o seanlas rectas que unen un punto cualquiera de la curva conlos focos.

En la mayoría de los casos el óvalo lo trazamos me-diante el enlace de cuatro a ocho arcos de circunferenciacon diferentes tipos de radio, es por eso que es muy sim-

ple su construcción.

Construcción

1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia.2. Trazamos una recta perpendicular al eje menor, de

tamaño regular; éste corta a la circunferencia, en dosde sus centros del óvalo C3 y C4; y los otros dos cen-tro C1 y C2 nos lo da el extremo del eje menor.

3. Se unen entre sí los cuatro centros por rectas con unalongitud a discreción.

4. Haciendo centro en C 1 y C2 y radio CM trazamos losdos arcos; enseguida, haciendo centro C3 y C4 y ra-dio CL, trazamos los otros dos arcos enlazándose en

L,NyS.



DIBUJO TÉCNICO YGEOMÉTRICO

Problema 12.3Segundo método del problema anterior con ayuda de la

escuadra de 45°

Construcción

1. Sea AB el eje menor y diámetro de la circunferencia.

2. Ubicándose la hipotenusa de la escuadra al eje menor AB, le trazamos cuatro rectas a una inclinación de 45°.

3. Los extremos del eje menor (A y B) serán los dos cen-tros de los arcos LM y NS.

4. Haciendo centro en C1 y C2 y con radio C1B o C2 Atrazamos dos arcos; enseguida, con centros C3 y C4 yradio C 3 L o C 4 N, trazamos los otros dos arcos enla-zándose en L, M, N y S.

Problema 12.4 Dado el eje mayor, trazar un óvalo con cuatro centros (segundo método)

Construcción

1. Sea AB el eje mayor.

2. Se divide el eje AB en cuatro partes iguales, concen-tro en las tres partes intermedias y con un radio C 3 Atrazamos tres circunferencias.

3. Estas se cortan entre sí en C4 y C3, prolongando 2diámetros a 45° y que pase por el C3 y por C4, éstos alinterceptarse nos darán C2 y C3 por un extremo y por

el otro los puntos de enlace L, N, M y S.4. Haciendo centro en C 1 y C2 y radio C 1 L trazamos

dos arcos; enseguida, con centro C3 y C4 y radioC 3 A, trazamos los otros dos arcos que se enlazan per-fectamente en L, M, N y S.

La elipseProblema 13.1

Trazar una elipse por medio de puntos por el corte dearcos de circunferencia dado sus dos ejes

Construcción

1. Sea AB y CD los dos ejes perpendiculares en el pun-to O.

2. Buscamos los focos F y F' en la siguiente forma: conun radio igual BO (semi-eje-mayor) y centro en C,trazamos arcos que cortan al eje mayor AB en F y Ffocos de la elipse.

3. Del foco F y F al centro lo dividimos en cuatro parteso más.

4. Haciendo siempre centro primero en F y segundo enF y con radios ( A-1' y B-l) (A-2' y B-2) (A-3' y B-3)trazamos arcos arriba y abajo que al cortarse nos danuna serie de puntos que al unirlos, ya sea a mano ocon curvígrafo, nos dan la elipse buscada.




Problema 13.2 Dadas dos circunferencias concéntricas de diámetro iguala cada uno de los ejes de la elipse, trazarla al localizarvarios puntos

Construcción

1. Sea O centro de las dos circunferencias concéntricasde diámetro igual a cada uno de los ejes.

2. Se dividen las dos circunferencias en doce partes igua-les, de acuerdo al método de dividir un ángulo rectoen tres partes iguales.

3. Del punto de tangencia de los diámetros no perpen-diculares a la circunferencia mayor, bajamos rectasverticales.

4. Del punto de corte en la circunferencia menor traza-mos rectas horizontales; ambas rectas se cortan envarios puntos, la sucesión de éstos nos dan la elipse.

Problema 13.3 Dado un rectángulo, trazarle una elipse tangente por me-dio de haces proyectivos

Construcción

1. Sea L, M, N, D, el rectángulo y AB y CD los ejes de

la elipse.2. Se dividen el eje mayor en cuatro partes iguales y el

menor en seis partes iguales.

3. Se trazan rectas que partan de C y D y pasen porcada una de las divisiones del eje mayor y menor.

4. Las rectas trazadas se cortan entre sí en doce puntosque servirán de guía para trazar con una plantilla cur-va, la elipse.

Problema 13.4 Por medio de una tira de papel, conociendo sus dos ejestrazar una elipse

Construcción

1. Sea LM y SP los dos ejes dados.

2. Se trazan los dos ejes en forma perpendicular en su parte media.

3. En una tira de papel tomamos la medida del semi-ejemayor LC y sobre la misma distancia LC tomamosla medida del semi-eje menor SD, partiendo de L'hasta C.

4. Para trazar la elipse se requiere que los dos puntos Cy D' coincidan con los dos ejes perpendiculares; cuan-do la tira de papel se vaya girando se irán describien-do líneas punteadas sobre las posiciones sucesivas quevaya teniendo el punto L' de la tira de papel.

5. Unimos a mano o con un curvígrafo los puntos, dán-

donos la elipse buscada.




Problcma 13.5Con el auxilio de un hilo trazar una elipse

Construcción

1. Sea LM y SP los dos ejes perpendiculares entre sí, por su punto medio.

2. Trazar sobre el eje mayor los dos focos de acuerdo almétodo antes explicado.

3. Con un hilo fijo en los focos F y F' y una longitud FSF se trazará la elipse.

4.

5.

Con un lápiz ponemos tenso el hilo, iniciando en el punto S la descripción de la elipse.

Es necesario que el lápiz siempre mantenga tenso elhilo, para en tal forma ir describiendo tanto arriba y

abajo del eje mayor.

La parábola

2. A la distancia que hay entre el foco y la directriz se lellama parámetro, que es igual a dos.

3. El eje que pasa por el vértice V y el foco F será perpendicular a la directriz.

4. Compruébese la propiedad número 1, o sea FS = ST ;esto sería para cualquier punto de la parábola.

5. La distancia que hay del vértice al foco es igual delvértice a la directriz.

Problema 14.1 Por el corte de haces proyectivos encontrar una parábola

Construcción

1. Sea LM la directriz y VF el eje que contiene al vérti-ce y al foco.

2. Damos dos puntos T y T' que limitarán la curva ytrazamos una recta que pase por el vértice y sea para-lela a la directriz.

3. Unimos T y T' a dos puntos de la recta, formando unrectángulo, dividimos los dos lados menores, en el mis-mo número de partes iguales, el lado mayor tambiénse divide en el mismo número de partes iguales paracada uno de sus semi-ejes.

4. Unimos el vértice con cada una de las divisiones delos lados menores por medio de haces rectas, y dellado mayor cada uno de los semi-ejes se proyectan

haces en posición perpendicular al eje.5. Al prolongarse se cortan los haces entre sí dándonos

los puntos de la parábola.

1. La parábola es una curva plana abierta, en la cualtodos los puntos son equidistantes a un punto llama-do foco y una recta llamada directriz.




Problema 14.2 Dado un ángulo y sus puntos de contacto trazar una pará-bola

Construcción

1. Sea A, B y C el ángulo agudo y M y M' los puntos decontacto.

2. Dividimos en el mismo número de partes a la distan-cia de los puntos de contacto MB y M'B; cada unode ellos en partes iguales.

3. Unimos con líneas rectas los nueve puntos contrariosentre sí: 1 con 1', 2 con 2'... 8 con 8',etcétera.

4. El corte de estas líneas rectas forman la parábola.

Problema 14.3 Encontrar una serie de puntos para trazar una parábola

Construcción

1. Sea LM la directriz y DS el eje que contiene al vér-tice V y el foco F y D el punto dado en la directriz.

2. Dividimos el eje que contiene al foco en diez partesiguales y hacemos pasar perpendiculares por cada unode esos puntos.

3. Haciendo centro siempre en F y con un radio 1D, 2D,3D,... 10D, vamos trazando arcos que cortan a las perpendiculares en los puntos que nos dan la figura de la parábola al unirlos, a mano o con un curvígrafo.

La hipérbolaLa hipérbola es la curva plana y abierta que resulta decortar un cono por un plano paralelo a su eje.

La hipérbola se puede dar con las siguientes caracte-rísticas:

a) Una curva de ramas cerradas.

b) Una hipérbola equilátera.c) Una curva de ramas abiertas.

Problema 15.1 Encontrar una serie de puntos para trazar una hipérbola

Construcción

1. Sea LM el eje que contiene a los dos focos F y F.

2. Los puntos V y V" son los vértices de la hipérbola.

3. A partir de F dividimos el eje en el mismo número de

partes iguales ( 4 ) y haciendo siempre centro en F yF trazaremos arcos con los siguientes radios V1 y V'1,V2 y V2. .. V4 y V'4.

4. Unimos los puntos encontrados ya sea en forma ma-nual o con curvígrafo, obteniendo la hipérbola.

Los ovoides

Los ovoides son figuras cerradas formadas por varios ar-

cos de circunferencia tangentes entre sí.Tienen un eje de simetría en el que se encuentranubicados dos de los centros.

Su forma es similar a la de un huevo, por eso en oca-siones le denominamos así.

Problema 16.1 Dado el eje de simetría construir un ovoide

Construcción

1. Sea LM el eje de simetría.




2. Lo dividimos en seis partes iguales, donde el número2 y el 5 serán los dos primeros centros encontrados, ytrazamos una semicircunferencia con radio 2L y 5Mcon centro C 1 y C 2

3. Trazando una perpendicular por el punto 2, llevare-mos sobre ella una distancia igual al diámetro de lasemicircunferencia (tanto a un lado como al otro)

obteniendo los otros dos centros C3 y C4 del ovoide;al trazar los arcos tangentes AT y BT' obtenemos la fi-gura.

Problema 16.3 Dada una circunferencia trazar un ovoide

Construcción

1. Trazamos una circunferencia con diámetros perpen-diculares entre sí.

2. Los extremos del diámetro horizontal serán los cen-tros C1 y C2.

3. El corte del diámetro perpendicular con la circunfe-rencia nos da otro de los centros, C 3 hacemos pasardos rectas que partan del C 1 y C 2 y pasen por C3.

4. Haciendo centro en C 1 C2 y C3 trazamos arcos queal unirse nos dan el ovoide buscado.

Problema 16.2

Dado un eje no simétrico trazar un ovoide

Construcción

1. Sea LM el eje dado.

2. En los extremos del eje y en su parte media encontra-

mos tres de los centros C 1 C 2 y C 3

3. En el centro del eje dado, trazamos una perpendicu-lar y una circunferencia de radio C 2 M , y en el puntode corte de ambas partes nos da el C4.

4. Trazamos dos rectas que partan de L y M y pasen porC4 y haciendo centro en C1 y C3 y con un radio LM,describimos dos arcos que cortan en P y Q a las rec-tas antes trazadas.

5. Con centro en C4 y radio C 4Q trazamos el último arcotangente obteniendo el ovoide buscado.

Problema 16.4 Dado el eje simétrico trazar un ovoide (segundo método)

Construcción

1. Sea LM el eje simétrico dado.

2. Se divide en tres partes iguales, haciendo pasar por la parte 1 una perpendicular cuyo tamaño es igual a la

distancia de dos de las divisiones.



CONSTR UCCIÓN Y TRAZO DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ, EMPALME DE LÍNEAS RECTAS Y CURVAS, TRAZO DE.

3. Dividimos las partes 2 y 3 a la mitad, obteniendo el punto C2 sobre el cual hacemos pasar dos rectas que parten de los extremos SP.

4. Haciendo centro en C1 y radio L1 trazamos unasemicircunferencia SP, con centro en S y P y radio SP.

5. Describimos dos arcos hasta las dos rectas dadas enlos puntos T y T, por último, con centro en C2 y ra-

dio C 2T, describimos el arco que termina al formarel ovoide.

r

La espiral envolventeConceptos geométricos básicos

Recibe el nombre de espiral la curva generada por un punto, el cual va abriéndose por dos movimientos sobreun plano:

a) El de alejamiento en la posición inicial.b) El de desplazamiento angular.

A una vuelta completa se le llama espiral; a la distan-cia comprendida entre el origen y el punto final de la espi-ral se le llama paso.

El paso de una espiral es igual al perímetro del polígo-no de los centros.

Clasificación de las curvas espirales

1. La envolvente es aquella cuya base es un polígono(triángulo, cuadrado, circunferencia, etcétera).

2. La espiral de Arquímedes. Esta curva se genera porla sucesión de puntos equidistantes en una recta, enla que va girando alrededor del punto que en su ori-gen es fijo.

Problema 17.1

Trazo de una espiral de base triangular.

PerímetroPaso del centro

Problema 17.2Trazo de una espiral de base rectangular

Problema 17.3Trazo de una espiral de base cuadrada




Problema 17.4Trazo de una espiral de base hexagonal

Construcción

1. El método es aplicable en todos los casos de espiralesenvolventes; solamente variará de acuerdo con el

número de centros, siendo éstos los vértices de los polígonos.

2. Se va haciendo centro en los vértices del polígono enforma sucesiva, en sentido contrario al de las maneci-llas del reloj.

3. Su radio va creciendo con una magnitud igual a lasuma del lado más la distancia hasta donde se quedóla espiral.

6. Esto podemos hacerlo a mano o con compás.

Problema 17.5Trazar la espiral de Arquímedes

Construcción

1. Se traza una circunferencia con centro en O.2. Dividimos la circunferencia en ocho partes iguales y

luego uno de sus radios (el vertical) en el mismo nú-mero de partes iguales.

3. Con centro siempre en O iremos trazando los arcosde circunferencia de diferentes magnitudes.

4. Con radio O,, trazamos un arco hasta 1', despuéscon RO2 , trazamos un arco hasta 2', y así sucesiva-mente.

5. La secuencia de la unión de la terminación de cada

arco nos da la espiral de Arquímedes.

Problema 17.6Trazar una espiral con dos centros

Construcción

1. Trazamos un eje con dos centros C2 y C2.

2. Haciendo centro en C 1 y radio C 1C2 tracemos unasemicircunferencia que toque al eje en el punto 1.

3. Con centro en C2 y radio C21, trazamos otra semicir-cunferencia que tocará al eje en el punto 2.

4. Los pasos seguirán repitiéndose de acuerdo a io explicado, hasta el tamaño que se quiera.

La hélice cilindricaConceptos geométricos básicos

Se hará un estudio en su forma más elemental, sóloque nos interesa gráficamente.

La hélice es una curva engendrada por un punto quese mueve alrededor de un cilindro y avanza al mismo tiem-

po en el sentido de la longitud del cilindro.

94




Se dibujará la planta y el alzado del cilindro.La planta será una circunferencia de diámetro igual a

la base del cilindro, y el alzado, un rectángulo, en el quesu diámetro EE' corresponde al paso.

Se divide el paso y la base con el mismo número de partes iguales. Las intersecciones de las líneas correspon-dientes nos darán los siguientes puntos A, B, C, D, E, ...

LME' que al unirlos con una línea nos dan la hélice cilin-drica.Observará que la mitad de una vuelta de la hélice

está hecha de puntos, lo que indica que queda en la partede atrás del cilindro y por lo tanto no se ve.

Las líneas visibles se hacen siempre de puntos o tra-zos.

El dibujo comprenderá una vuelta completa y la mi-tad de la vuelta siguiente. 7 E




1. Explica qué entiendes por tangencia:

a) de una línea recta y una circunferencia.b) entre dos circunferencias.

2. ¿Qué tipo de curva es una circunferencia?3. ¿Por qué n es una constante? ¿Cuál es su valor? ¿Cómo empleamos este valor?4. ¿Por qué a la parábola, la hipérbola y la elipse se les llama cónicas?5. Explica qué es un óvalo.6. ¿Cuál de los cuatro métodos para construir un óvalo consideras que es más sencillo?7. ¿Cuál es el eje menor de un óvalo? Dibújalo.

8. Dibuja una elipse con las partes que la forman.

9. Dibuja una parábola con los principales elementos que la forman.




10. ¿Cómo son las líneas de una hipérbola?11. ¿A qué se parece un ovoide?12 . ¿Por qué se llama espiral envolvente?13. ¿Cuántos métodos propone el libro para dibujar una espiral envolvente? ¿En qué consisten?14. ¿Cómo es una hélice cilindrica?15. ¿En qué se parece una escalera de caracol a una hélice cilindrica?16. Explica los enunciados de los problemas siguientes:

8. 3 Dadas dos circunferencias, trazarle otras dos tangentes entre sí.

a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida?

b) ¿Qué se busca resolver?

12.1 Dado el eje mayor, construir un óvalo con cuatro centros.

a) ¿Cuáles son los datos? ¿Qué medida?b) ¿Qué se busca resolver?

17 . Qué entiendes por enlace o empalme:

a) de una línea recta con una curva.b) entre dos curvas.

18. ¿Consideras que el problema 8 .14 "Trazar seis circunferencias tangentes entre sí", sirve de base para eldiseño de un balero? ¿Por qué?

19. ¿Consideras que el problema 8 .11 "Trazar cuatro circunferencias de radio conocido tangentes a dos rec-tas", sirve de base para el diseño de una caja de transmisión de un automóvil? ¿Por qué?


Busca algunos juguetes u objetos que sus elementos internos estén estructurados por diversos mecanismos como poleas, engranes, bandas, etcétera.

Estudia cómo se transmite el movimiento de sus partes e identifica cómo en este proceso están presentesdiferentes formas geométricas: poleas-círculos, engranes-polígonos, transmisión de movimiento por bandas o ca-denas-enlace de líneas rectas con círculos, etcétera.

5.3 Investigación

Investiga e identifica qué formas geométricas se encuentran en las siguientes partes automotrices:

♦ Generador♦ Motor♦ Transmisión de ruedas♦ Caja de velocidades♦ Caja de transmisión♦ Sistemas de volante y dirección

♦ Sistema mecánico de vidrios eléctricos♦ Otros.


Consultando la metodología, resolver los problemas geométricos y dibujarlos en hojas tamaño carta divididas encuatro partes, para ubicar en cada una un problema diferente; a su vez, darle espacio para los márgenes y losletreros que identifiquen cada problema.

En su primera etapa, dibujar las láminas a lápiz y los letreros a mano libre.En la segunda etapa, y después de haber sido aprobado el dibujo, elaborarlos a tinta china y rotularlos con

plantilla.



La escala y sus aplicaciones.

Sistema Métrico Decimal

y Sistema Inglés; conversiones


Al terminar la presente unidad, el alumno será capaz de:

♦ Aplicar las diferentes escalas y mediciones requeridas en el dibujo técnico.♦ Efectuar conversiones en el Sistema Métrico Decimal y en el Sistema Inglés.


♦ Identificar las diferentes escalas empleadas en el dibujo técnico industrial.♦ Practicar la escala de distintas relaciones que ésta representa.♦ Identificar diferentes sistemas de medición.♦ Manejar el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el Sistema Inglés (si) en mediciones lineales.♦ Interpretar las escalas de reducción y ampliación.

♦ Conocer las bases del SMD y sus conversiones.♦ Conocer las bases del si y sus conversiones.♦ Efectuar conversiones del SMD al si y viceversa.

Introducción

Cuando el hombre se enfrentó a la necesidad de dibu jar objetos mayores a su propia medida o menoresque el tamaño de sus uñas, tuvo que resolver este pro

blema con imaginación y creatividad: inventó un pro

cedimiento matemático que llamó escala de medición.Si hablamos de un dibujo a escala de inmediato

nos viene a la mente los planos de una casa o unedificio; si nos referimos a una ciudad, un Estado, un

país o un continente, les llamamos mapas; si se tratade una representación del mundo tenemos unmapamundi o globo terráqueo. En todos estos casossolemos emplear una escala "de mayor a menor",aunque en otras circunstancias sucede lo contrario,debemos dibujar objetos tan pequeños que no es posible realizarlos en su tamaño natural, en este caso

solemos emplear una escala "de menos a mayor", por ejemplo, en un a pieza de relojería o en unmicrochip de una computadora.

En ocasiones el dibujo debe realizarse del mismo

tamaño que el objeto, como en el caso de una herramienta, unos zapatos o una licuadora; en este caso laescala es de 1:1, es decir, escala normal o natural, locual es posible solamente si el tamaño del objeto cabedentro del espacio en donde se va a dibujar.

Esto nos muestra la importancia que tiene el usodel dibujo a escala, ya que lo requerimos en miles ym;les de cosas que empleamos en nuestra vida cotidiana; para esto empleamos determinado sistema deunidades métricas, el Sistema Métrico Decimal (SMD)o el Sistema Inglés (si).




La escala y suscomplementos técnicosAntes de usar la escala es importante conocer una seriede casos técnicos de trazo, medición y acotación. No sedebe empezar un trabajo de atrás hacia adelante, es de-

cir, del último paso de un proceso al primero, sino quesabemos que para que todo resulte y funcione perfecta-mente es necesario llevar una secuencia metodológica.En este caso, antes de aplicar el proceso gráfico matemá-tico de la escala hay que transitar por los siguientes pasos:

♦ Croquis♦ Medición♦ Acotación♦ Escala♦ Desarrollo del dibujo o plano de la casa habita-

ción con la escala y simbología correspondiente.

CroquisEs el procedimiento gráfico consistente en desarrollar un di-

bujo a mano libre del objeto que se quiere realizar a escala.En este tipo de dibujo no se busca la perfección artís-

tica, simplemente es un auxiliar gráfico que capta todaslas características del objeto, por minúsculas que sean, para

que en él se puedan ubicar las medidas correspondientesdelimitadas por su acotación.

MediciónConsiste en medir todas las partes del objeto que se va aelaborar a escala. Aquí se recomienda usar el mismo tipode unidad y el mismo sistema de medida.

AcotaciónEs el procedimiento que consiste en delimitar todas las

partes que integran el objeto por medio de líneas quedeterminan su dimensión.

Figura 6.1

Figura 6.3 Croquis y acotación de una silla pupitre.

Figura 6.2 Diferentes tipos de lineas de acotación.



LA ESCALA Y SUS APLICACIONES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Y SISTEMA INGLÉS; CONVERSIONES

Figura 6-4 Acotación incorrecta en un plano arquitectónico.

El espacio intermedio entre las líneas sirve para ubi-car la medida correspondiente. Se recomienda que siempre se use el mismo tipo de forma de acotación, así comola misma unidad de longitud.

Los técnicos e ingenieros ocupan, conocen y aplicanla técnica de la escala. El técnico electricista requiere saber interpretar un plano, para ello tiene que hacer uso de

las escalas mediante el escalímetro o efectuando las con-versiones correspondientes.El escalímetro es un instrumento de medida con la

forma de una regla con tres caras que forman entre sí untriángulo, se tienen en sus caras hasta seis medidas delongitud diferentes, pero con respecto a la unidad bá-sica.

El uso de este instrumento permite que un objeto, plano o instalación se reproduzca o amplíe de acuerdocon las necesidades de cada caso.

Las escalas por lo general se interpretan o comparanen función de un metro.

EscalaLa escala es uno de los instrumentos más importantes parala confección de dibujos. A veces se puede denominar

Figura 6-5 Acotación correcta en un plano arquitectónico.




como escala a cualquier regla graduada; sin embargo, lasreglas preferidas por los dibujantes son las llamadas esca-las triangulares.

La diferencia entre una escala y una regla graduadacomún estriba en que con la escala se representan en un plano las dimensiones iguales, menores o mayores (conrelación al plano) de un objeto determinado. Esto pode-

mos hacerlo también con una regla graduada cualquie-ra; pero tendríamos que efectuar algunas operacionesmatemáticas, mientras que en la escala ya vienen he-chas, es decir, las relaciones de similitud entre el objeto yel plano en que se van a representar están pretratadosde antemano.

No se excluye la posibilidad, por supuesto, de quetengamos que dibujar un objeto representándolo en una

proporción que no venga expresada en la escala.De lo anteriormente expuesto se deduce que existen

dos conceptos de escala, uno físico y otro matemático.El primero es el instrumento que aprecia o da medi-

das; el segundo una simple relación de similitud entre eldibujo y lo que presenta. Sin embargo, en las escalas físi-cas se marcan o expresan algunas de las relaciones desimilitud más utilizadas. Como se pueden apreciar, estosdos conceptos se representan o se pueden obtener con laescala física.

Una escala física es una regla que expresa unidadesnaturales de un sistema de medidas o también relacionesde las mismas, para poder tornar directamente sobre ellalas relaciones más utilizadas de las medidas que deseamos.

Las escalas físicas son por lo general de madera, auncuando también se hacen de metal, en algunos casos, o

de materiales plásticos no deformables.Las graduaciones o divisiones que llevan las escalas

se hacen unas veces directamente sobre la propia maderade que están hechas; otras veces los cantos o biseles vanrecubiertos por una lámina delgada de celuloide blanco ode marta, con la finalidad de destacar o hacer más visi-

bles las divisiones o marcas.

Relación de escalasy sus magnitudes

Escala de 1:100Escala de 1:75Escala de 1:50Escala de 1:25Escala de 1:20Escala de 1:125

se interpreta que 1 m equivale a 1 cm.se interpreta que 1 m equivale a 1.5 cm.se interpreta que 1 m equivale a 2 cm.se interpreta que 1 m equivale a 4 cm.se interpreta que 1 m equivale a 5 cm.se interpreta que 1 m equivale a 8 mm.

En muchas ocasiones se indica de la siguiente forma:E 1:100; por ejemplo, si queremos saber la magnitud de300 m a la escala de 1:100, 1:75 y 1:20 tenemos que

es igual a 300 cm

Cómo usar la escalaPara apreciar con una escala física el valor de cierta mag-nitud y tener en ella el menor error de apreciación posi-

ble, debemos realizar lo siguiente:Hay que poner el cero de la escala de forma que co-

incida tanto con el extremo del segmento de recta que seva a medir como con el canto o borde de aquella con elsegmento de recta de modo que el plano del bisel o carade la misma, donde están marcadas las divisiones, coinci-da con el plano de visuales, es decir, el plano que pasa

por los ojos del que dibuja. En estas condiciones se mue-ve la escala en ese plano y se coloca de tal forma que lavisual del dibujante coincida primero con la marca queestá en el origen y con el extremo del segmento de recta.Después se mueve el otro extremo bajo las mismas condi-ciones percibiendo qué división de la escala o fracción dedivisión de la misma coincide con el extremo de la magni-tud que se va a medir. Se debe cuidar que la propia divi-sión de la escala indique la citada magnitud.

Figura 6-6 Escala (instrumento).

Figura 6-7 Escalímetro.

es igual a 60 cm3005

3001.5

es igual a 200 cm

3001




Cuando se tengan que hacer mediciones sucesivas sobre una misma recta, deberán hacerse de modo que se se-leccione un punto de partida desde el cual se tomarán di-chas medidas, sin que por ello se varíe la posición de la esca-la. Esto evitará errores sistemáticos y acumulativos. En estecaso las medidas tendrán que sumarse a partir de la primera,que es la única que se puede tomar o situar en forma directa.

Relación matemáticaen cada escala

Anteriormente se vio la utilización del término escala empleado para nombrar distintos tipos de reglas graduadasmuy utilizadas en el dibujo técnico. Sin embargo, ese tér-mino tiene también una aplicación matemática que indi-ca una relación entre determinadas magnitudes.

Otra forma de indicar una escala

Desde el punto de vista matemático, las escalas se expre-sarán de diversas formas:

1. Como un quebrado o fracción representativa:

2. Como igualdades o equivalencias: 4 cm = 200 m,1 cm = 1 mm y otros.

3. En forma gráfica, por ejemplo, de barras o de trans-versales.

Escala absolutao fracción representativa

En el dibujo técnico, por lo general, se realizan planos odibujos en los que las magnitudes de un objeto cualquie-ra son menores que en la realidad. Esto se hace así porque en la mayoría de las ocasiones las dimensiones de losobjetos son grandes, por ejemplo, de varios metros de lon-gitud e inclusive de decenas, centenas o miles de metros,y sería por lo tanto bastante difícil o imposible dibujar ta-les objetos en sus dimensiones reales; entonces se reali-

zan en tamaños menores a la realidad representando proporcionalmente esas magnitudes.

Para que ello sea posible las dimensiones del objetoen cuestión y las magnitudes representadas en el dibujodeben guardar una relación constante que significa la es-cala. "La escala es entonces la relación que existe entreuna medida o distancia tomada en el dibujo y una medi-da o distancia tomada en el objeto o cosa representada."

A esta relación se le llama escala absoluta y se repre-

senta de la siguiente forma:

Escala = Medidas tomadas en el dibujo

Medidas tomadas en el objeto o cosa representada

Llegamos a la conclusión de que el concepto de esca-la es la relación en forma de quebrado o fracción repre-sentativa del objeto que se requiere representar, y puedeemplearse para cualquier sistema de medidas, por ejem-

plo, la escala 1/10 quiere decir que por cada unidad quetomemos en el dibujo, cualquiera que sea ésta (centíme-tros, milímetros, etc.), corresponderá siempre a 10 unida-des de la misma naturaleza que las del dibujo (10 cm, 10mm, etc.). Cuando la relación o valor absoluto de la esca-

Figura 6-8 Forma correcta para tomar medidas con el escalímetro.

Figura 6-9 Escala de transversales.

Figura 6-10 Forma de marcar distancias con el escalímetro.

1

21

1001

5000

etc.




la es menor que la unidad, la escala es de reducción. Y sila relación o valor absoluto de la escala es mayor que launidad, la escala es de ampliación, y si la relación o valorabsoluto de la escala es igual que la unidad, la escala sedenomina natural. Tenemos los siguientes ejemplos:

1

La misma expresión de fracción representativa en lasescalas suele ser transformada, pero sigue manteniendola misma relación.

Esto sucede, por ejemplo, en dibujos cartográficos otopográficos, donde la relación se expresa en forma decomplejo:

c) ¿Cuál es la escala de un dibujo donde una medida de5 cm representa 1 m en el objeto real?

Datos:

d = 5 cm D= l m

En las escalas siempre existe una proporción entre lasmedidas del dibujo y las magnitudes tomadas en el objetorepresentado.

Cuando en dibujo arquitectónico hablamos de escala1:20 queremos decir que 1 cm en el dibujo representa 0.2m en el objeto, es decir, 20 cm en el objeto; en dibujotopográfico la escala 1 mm = 5 m significa que por cadamilímetro en el plano se representan 5 m, lo que es lomismo que 5000 mm; y en dibujo cartográfico la escala

significa que por cada centímetro en el mapa corresponden 500 m en el terreno o 50 000 cm.Junto con la forma fraccionaria o de quebrado la es

cala absoluta se representa de la siguiente forma:

1:501:10001:50 000

Que se lee uno en cincuenta, uno en mil o uno encincuenta mil, respectivamente, y que indica la misma relación, ya que por cada magnitud tornada en el dibujo,

corresponden 50, 1000 o 50 000 en la realidad.

Escala expresada por igualdades

o equivalencias

Es la forma de expresar la escala utilizando igualdades oequivalencias; por ejemplo:

1 cm = 500 m1 mm = 10 m

Las cantidades del primer miembro y las del segundo

de la igualdad no son homogéneas, y en realidad corres-

Pongamos algunos ejemplos:

α) Una distancia de 1000 m en la realidad es represen-

tada en un mapa por una medida de 2 cm. ¿Cuál esla escala del mapa?

Datos:

D = 1000 md = 2 cm

b) Una medida de 1 mm, tomada en un plano, en larealidad representa 10 m de terreno. ¿Qué escala tiene el plano?

Datos:

d = 1 mm

D = 10 m

ED 5 m

d 1 cm 1

500

E =d

D

5 cm

1 m 100

5

E =d

D

1 mm

10 m 10 000

1

La relación constante en la escala frecuentemente seexpresa matemáticamente:

Donde:d = Distancia o medida tomada en el dibujo.D = Distancia o medida tomada en el objeto o cosa re

presentada.

De esta forma puede tenerse la escala absoluta en ex presión fraccionaria. Pongamos varios ejemplos:

α) Si en un dibujo o plano 1 cm representa 5 m de la rea-

lidad, ¿cuál es la escala?

Datos:

d = 1 cmD = 5m

£ = d D/d 100 000/2 cm

1

E = d D/d

E =d

D

Escala = es escala natural

es escala de ampliación2

1

1

1

Escala =

Escala =2500

es escala de reducción




ponden a una forma de expresar la escala absoluta, yaque si 1 cm = 500 m ello equivale a una escala numérica1:50 000.

Entonces si no se posee una escala física graduadacon dicha equivalencia, tendríamos que construir una es-cala gráfica para no dar motivo a equivocaciones. Lasescalas expresadas en forma de equivalencia no son muyrecomendables, por ello se emplean poco, por lo general

acompañando escalas gráficas y sólo en los casos en queéstas son necesarias.

Es decir, 1 cm en el plano representa 50 m en el terre

no; 2 cm — 100 m; 4 cm = 200 m, etcétera.Ahora construiremos la escala gráfica en el plano a partir de un punto que dará el centro de la escala. Semarcan segmentos consecutivos de 2 cm, cada uno de loscuales representa 100 m; después se numeran 100, 200,300, 400, etc., a partir de cero hacia la derecha; luego sesubdivide la primera parte de 100 m en 10 partes igualesy cada una de ellas podrá representar valores de 10 m esdecir: 10, 20, 30, 40, 50... Observe la escala gráfica quese construyó en la forma descrita (Figura 6.11).

Para conocer la medida real correspondiente entre dos puntos del plano se coloca un compás de punta seca en

tre esos puntos, se lleva con el compás esa distancia a laescala gráfica y se obtiene la distancia real buscada porlectura directa.

Una punta del compás se coloca sobre el trazo deuna división de la derecha, de modo que la otra puntacaiga en la subdivisión a la izquierda del cero. La distan-cia en el terreno o medida real se obtiene de esta forma:el número de metros (100, 200, 300, etc.), señalado porla parte donde se coloca la primera punta del compás,más el número de subdivisiones completas (decenas demetros) determinado por la otra punta, más la estimación

por percepción visual de la fracción de la subdivisión (uni-dades).En la figura 6.13 se muestran en forma práctica las

mediciones de distancias con compás de punta seca y laescala gráfica.

Ya podemos construir una escala gráfica en cualquier plano y a cualquier escala y leer la que contenga otro mapao plano.

b) Mediciones con la escala gráfica

y el compásLa cuadrícula de gráfico que aparece en la figura 6.12está a escala numérica 1:5000, es decir, cada centímetroen él equivale a una distancia real de 50 m en el terreno.

Queremos saber la distancia entre los puntos A y Bdel plano. Se toma el compás de punta seca y se colocancada una de las puntas en los puntos señalados A y B.

Figura 6-11 Escaia gráfica.

Figura 6-12 Forma de tomar distancia con el compás de punta seca.

La distancia tomada se lleva a la escala gráfica demanera que una de sus puntas toque cualquier divisiónen la escala a la derecha del cero; y la otra, en las proximi-dades del punto cero. Si la distancia es exacta (lo queocurre con mucha frecuencia) se lee la cantidad de divi-siones a la derecha del punto cero, por ejemplo: 100, 200,etc. (Figura 6.13).

Cuando la distancia no es exacta, es decir, la otra punta del compás toca un punto situado a la izquierdadel cero, se leen las subidivisiones a partir del cero, y seestiman las fracciones (si las hubiere) entre una subdivisión

y otra.

= 1 cmx 5000 cm = 50 mD

dD = dx

Escala gráfica

a) Escala gráfica ordinaria o de barra

Su construcción: es una recta que se dibuja en el mapa o plano y que está dividida en un número determinado de partes iguales; cada una de estas partes representan, segúnla escala numérica del plano, una longitud a las distanciascorrespondientes en el terreno. Las divisiones son tales que

deben numerarse por cifras terminadas en cero (10, 50,100, etc.), y la primera se subdivide en un número tal de

partes iguales que cada una de ellas representa fraccionesde una división expresada por números sencillos.

Si se quiere construir una escala gráfica de barra paraun plano cuya escala numérica es 1:5000, en esta escala,

para d = 1 cm, significa que

32 000 32 100 32 200 32 300




Figura 6-14 Forma de situar el compás en la escala gráfica paraefectuar las mediciones.

En la figura 6.14 se muestra la distancia que se habíatomado entre los puntos A y B, y según la escala gráficadel plano corresponde a 255 m. La visual debe ser perpendicular al plano.

Figura 6-16 Forma de situar el compás en una escala de transversa-les.

lidad: a veces la extensión de un continente, un hemisfe-rio o todo el globo terráqueo.

En la topografía se utilizan las escalas denominadasmedianas o intermedias. Las magnitudes en los planosrepresentan un área de terreno relativamente menor quelas empleadas en geodesia, geografía o cartografía, ya que por lo general no se considera la curvatura de la Tierra.Por ello en dibujos topográficos las escalas que se utilizanson: 1:10 000, 1:5000, 1:2500, etcétera.

En catastro se emplean por lo general escalas media-nas y pequeñas. En los planos de catastro rural se utilizanen inventarios o planificación de la actividad agrícola; sonfrecuentes las escalas 1:20 000, 1:10 000,1:25 000; mien-tras que en los catastros urbanos se utilizarán por lo general

escalas medianas, 1:5000, 1:2500, 1:2000, 1:1000. etcé-tera.En dibujo mecánico se utilizan escalas grandes para

observar los detalles de las piezas, secciones y otros, talescomo 1:120, 1:20, 1:50, etcétera.

En planos o dibujos de ingeniería civil se empleanescalas como 1:1000, 1:500, 1:250, 1:200, 1:100, 1:50.

En los dibujos arquitectónicos se utilizan también di-versas escalas. Para los planos de un conjunto urbanísticose emplean las escalas 1:2500; otras, por ejemplo: 1:500,1:1000 son para los planos generales, y 1:20, 1:10, 1:5 yhasta 1:1 (escala natural) para detalles de cimentación,

carpintería, cerramiento, entre otros.

Existen otras que se denominan escalas medianas ointermedias, dependiendo del tipo de trabajo donde seempleen.

En el dibujo de mapas (cartográfico) por lo general seemplean escalas pequeñas o muy pequeñas, por ejem

plo, 1/50 000 o 1/100 000, pues las magnitudes en el di

bujo representan zonas de terreno muy extensas en la rea-

Figura 6-13 Forma de medir distancias en una escala gráfica.

Figura 6-15 Forma gráfica de una escala de transversales.

50 000

1

Por otro lado, cuando el denominador es un númerogrande se dice que es una escala pequeña, por ejemplo:

5

1000

La escala en los diversos

campos del dibujo técnico

Cuando en una escala absoluta, expresada en forma defracción, el denominador es un número muy pequeño sedice que ésta es una escala grande, por ejemplo:




Como la técnica moderna exige la normalización yestandarización en muchas de sus actividades, en lo rela-tivo a las escalas se han desechado las que empleaba elsistema inglés con magnitudes como pulgadas, pies, mi-llas (por ejemplo, 1 = 1 milla). En la actualidad se emplean las unidades del sistema métrico decimal, en el quelas operaciones matemáticas son mucho menos comple-jas (1:10 000, 1:100, 1:50).

No se recomienda, entre otras, escalas donde las mag-nitudes sean poco convenientes para trabajar, como son:

1:30, 1:33, 1:80, 1:13.Tampoco se emplean las relaciones antiguas denomi-

nadas escalas arquitectónicas o escalas de ingeniería. Es-tas relaciones eran 02, 03, 05, por ejemplo, y no eran sinolos cocientes resultantes de la división del numerador en-tre el denominador de las fracciones representativas delas escalas absolutas.

Manejar el Sistema

Internacional enmediciones lineales

Unidades del Sistema MétricoDecimal

Las unidades para medir longitudes usadas en México sonlas del Sistema Métrico Decimal, cuya unidad es el metro(m) y que forma parte del Sistema Internacional de Medi-das (si).

Una de las grandes ventajas que tiene este sistema de

medida es que aumentan y disminuyen de diez en diez,

por lo tanto, las conversiones que se realicen se harán deacuerdo con los procedimientos utilizados y explicados

para las potencias de diez.

Notación de las unidades de longitud

Equivalencia entre las unidades de longitud del sistema

métrico decimal.

Convertir 1278 m a Dm Hm, km, dm, cm y mm.

1278 m a Dm = 1278/10 = 127.8 Dm1278 m a Hm = 1278/100 = 12.78 Hm1278 m a km = 1278/1000 =1.278 km1278 m a dm = 1278 x 10 =12 780 dm1278 m a cm = 1278 x 100 = 127 800 cm1278 m a mm = 1278 x 1000 = 1 278 000 mm

Sistema Internacionalde Medidas (si)

Es el sistema que unifica el empleo de unidades científicasy técnicas que se emplea en todas las ramas de la ciencia.

Tabla 6.2 Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Métrico Decimal.

1 milímetro = 1 mm = 1

1000m = 0.001 m, 1 m = 1000 mm

m = 0.01 m, 1 m= 100 cm

100

1 centímetro = 1 cm = 1

Submúltiplos

1 decámetro = 1 Dm = 10 m; 1 m = Dm = 0.1 Dm10

1 hectómetro = 1 Hm = 10 Dm = 100 m; 1 m =1

100Hm = 0.01 Hm

= 1 km = 10 Hm = 100 Dm = 1000 m =

= 0.001 m

m1000

1

Mm = 0.0001 Mm10 000

1 kilómetro

1 km

1 m1

1 miriámetro =1 Mm = 10 km = 100 Hm = 1000 Dm = 10 000 m

Símbolo Unidades equivalentesNombre

Múltiplos

Generales

Detalles

1 cm real

en el dibujo

representa

EscalasPlanos 1 m real se

representa en

el dibujo por

0.01 mreal 1.00 m

0.05 m real 0.20 m

0.10 m real 0.10 m

0.20 mreal 0.05 m

0.033 m0.30 m real0.33 m real 0.03 m

0.30 m real 0.033 m

0.03 m

0.02 m

0.0125 m

0.01 m

0.33 mreal0.50 m real

0.80 m real

1.00 m real2.00 m real 0.005 m

Tabla 6.1 Normas NYRCO para escalas.

*1:200

-1:100

1:80

*1:50

1:33

1:30

1:331:30

*1:20

*1:10*1:5

*1:1



DIBUJÓ TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Esta definición del Sistema Internacional de Medidas(si) es lo suficientemente exacta como para ser utilizadaen los primeros pasos del estudio de la física, química,

biología o cualquier actividad técnica.

Los múltiplos y submúltiplos según el si

En el si se utilizan una serie de prefijos antepuestos a la

unidad para indicar los distintos múltiplos y submúltiplos;cada uno de ellos tiene un símbolo determinado.

Por ejemplo, el prefijo deca significa diez y su símboloes Dm. Si la unidad con la que trabajamos es el metro, el

múltiplo es el decámetro, su símbolo es Dm y su valor esde diez metros. En cambio, si la unidad es el litro el múltiploes el decalitro, su símbolo es DI y su valor es de diez litros.

Equivalencias yconversiones entreunidades del SistemaMétrico Decimal

y el Sistema InglésLos sistemas de medidas de mayor uso en casi todo elmundo son el Sistema Métrico Decimal (SMD) y el SistemaInglés. Por su aplicación y fácil manejo podemos compro-

bar que el SMD es un sistema de medida de los más prácti-cos a causa de que tiene como base el número diez, locual facilita todo tipo de conversiones, tanto entre losmúltiplos y submúltiplos de esas unidades, como en lasunidades que se derivan de las de longitud.

Por la notación decimal de todas estas unidades, su

conversión se facilita, pues se evitan operaciones largas

y molestas; solamente se procede a aumentar o dismi-nuir los ceros y a recorrer el punto decimal a la derechao a la izquierda. Ello no es posible en el Sistema Inglés,ya que sus unidades son independientes y carecen deuna relación decimal o notación científica que facilite yhaga prácticas sus conversiones entre sus diferentes uni-dades.

Ésa es una de las razones por que muchos países de

habla inglesa han adoptado el empleo del Sistema Métri-co Decimal en el campo científico.

Razones de uso del Sistema Inglés

Si tomamos en cuenta la dependencia científica y tecno-lógica de México respecto de Estados Unidos y otros paí-ses de habla inglesa, nos vemos en la necesidad de cono-cer y dominar las unidades del Sistema Inglés, así comosu aplicación y conversiones entre sus unidades y con lasdel Sistema Métrico Decimal.

Unidades de longitud

Sistema Métrico Decimal

1 km = 0.621 mi = 4.97 Fg

1 m = 1.094 yd = 3.281 ft = 39.37 in (39.37")

1 cm = 0.394 in (0.394")

Instrumento de medición simple.

Sistema Inglés

1 milla marina = 1853 m = 2026 yd = 6080 ft

1 milla terrestre = 1 mi = 1609 m = 1760 yd = 5280 ft1 Furlong = 1 Fg = 201.1 m = 220 yd = 660 ft

1 yarda = 1 yd = 0.9144 m = 3 ft = 36 in

1 pie = 1 ft = 0.3048 m = 12 in

1 pulgada = 1 in = 0.0254 m = 2.54 cm

1 yarda = 1 yd = 3 ft = 36 in

1 pie = 1 ft = 12 in

Del sistema inglés al sistema métrico decimal: Semultiplica la unidad inglesa que se quiere convertir

por lo que equivale en el sistema métrico decimal.Del sistema métrico decimal al sistema inglés: Se divide el valor dado del sistema métrico decimal enire la

unidad inglesa a que se quiere convertir.

dam

NOTA: No confundir con el Sistema Inglés.

Tabla 6.3 Múltiplos y submúltiplos en el Sistema Internacional.

Pasos a seguir para convertir unidades de medida deun sistema a otro.

NOTA: Formas de indicar algunas unidades inglesas:

1 pie = 1 ft = T

1 pulgada = 1 in = 1"1 libra = 1 Ib = 1#

centímetro

decímetro

metrc

milímetro




Efectúa las siguientes conversiones de unidades inglesas a métricas.

Del sistema métrico decimal al sistema inglés:

50 0 m a yd: 500 m = 500 ÷ 0.9144 = 546.806 yd

1275 cm a in: 1275 cm = 1275 ÷ 2.54 = 501.968 in

80 0 m a ft: 80 0 m = 800 ÷ 0.3048 = 2624.671 ft


6.1 Cuaderno de trabajo Lee cuidadosamente cada una de las preguntas, re-flexiona y contesta correctamente. Si por alguna ra-zón hay algo que no recuerdas, la información téc-nica y científica se encuentra en tu libro.

1. ¿Qué entiendes por escala?

2. ¿Cómo es el instrumento que llamamos escala?3. ¿Cuál es el nombre de la relación matemáticade dos magnitudes?

4. ¿Qué quiere decir escala de 1/10?5. ¿Cómo identificamos una escala de ampliación?6. ¿Cuántos tipos de escala hay?7. ¿Qué indica la escala de 1:500?8. ¿Cómo aumentan y disminuyen las unidades

de longitud?9. Dibuja un modelo de escala gráfica en la escala

1/1000.10. Explica cómo usar el compás para medir una

escala gráfica.11. Explica el significado de las escalas de uso en

el dibujo técnico.

E = 1/9E = 1/20 000E= 1/100

12. ¿Qué tipo de escalas se emplean en el dibujomecánico? Menciona tres ejemplos.

13. ¿Cuál es la posición de la vista y el bisel o carade la escala en una lectura?

14. ¿Cuál es la escala absoluta?15. ¿Qué operación matemática se expresa en una

escala?16. ¿Cuál es la unidad de longitud?17. ¿Cómo se representa en palabras la operación

de la escala?18. Escribe los valores de las unidades de longitud

del Sistema Inglés.19. ¿A cuánto equivale una yarda en otros valores

del si?

1 yarda1 pie

20. Escriba todas las equivalencias del metro respecto a sus:

♦ Múltiplos♦ Submúltiplos

2 1 . Usa la escala 5 cm:300 m y convierte las si-guientes longitudes:

♦ 800 m♦ 6480 m♦ 12 940 m

22. Realiza las siguientes conversiones:

a) Convierte 2872 m a

♦ dm

♦ mm♦ km

♦ Dm b) Convierte 1546 m a

♦ millas♦ yardas♦ pies♦ pulgadas

c) Convierte 5320 yardas a

♦ m♦ km

♦ pies♦ millas

23. Relaciona correctamente las operaciones deconversión con la escala que les corresponde:

a ) 3 7 5 m x l 3.75 cm Escala 1:33 1/3 ( )

4.50 m x 1 4.50 cm

b) 3.75 mx 1.5 5.62 cm Escala 1:25 ( )

4.50 mx 1.5 6.75 cm

c) 3.75 m x 2 7.50 cm Escala 1:20 ( )

4.50 m x 2 9.00 cm

30 in a cm: 30" = 30 x 2.54 = 76.20 cm

100 ft a m: 100' = 100 x 0.3048 = 30.48 m

10 mi a m: 10 mi = 10 x 1609 m = 16 090 m




d)3.75mx3 11.25 cm Escala 1:100 ( )4.50 m x 3 13.50 cm

e)3 .75mx4 15.00 cm Escala: 1:75 ( )4.50 m x 4 18.00 cm

f) 3.75mx5 18.75 cm Escala: 1:50 ( )4.50 m x 5 22.50 cm

24. En las diferentes escalas relaciona las divisio-nes de la regla que le corresponden. Apóyateen tu escalímetro comparando sus divisionescon las del dibujo (figura 6-17).

25. Completa las proporciones que se presentan a

continuación anotando el dato que hace falta:

escala 1:33escala 1:75

escala 1:50

escala 1:20

escala 1:25

escala 1:75

escala 1:75

escala 1:50

escala 1:100

6.2 Usa tu imaginación y creatividad.

Con tu escalímetro y empleando la escala de1:100 obtén las diferentes dimensiones que tie-

ne el plano siguiente de una casa habitación yacótalas en el lugar que les corresponde.

a) 21.75 metros equivalen a:

Figura 6-17.

a) 1:25 ( )

b) 1:75 ( )

c) 1:50 ( )

d) 1:100 ( )

escala 1:50

escala 1:75

escala 1:33

43.50 cm

cm

cm

b) 8.35 metros equivalen a

33.40 cm

cm

. cm

escala 1:25

escala 1:100

escala 1:75

e) 14.62 metros equivalen a:

21.93 cm

cm

d) 7.20 metros equivalen a:

36.00 cm

cm

cm

c) 3.80 metros equivalen a:

11.40 cmcm

cm

cm




Figura 6-18

Planta baja

Escala 1:100

Jardín

Estancia

Recámara

Cochera

RecámaraCocina

Comedor

Patio

de

servicio

Jardín

Clóset Clóset

Recama ra

BañoBaño

Clóset

Planta altaEscala 1:100

Medio bañoVestíbulo



Dibujo a mano libre

y a mano alzada


Al concluir la presente unidad el alumno será capaz de:Conocer y aplicar la técnica básica del dibujo a mano libre a través del trazo suave y preciso de lalínea y la forma.Conocer y aplicar el dibujo a mano alzada, manejando eficientemente las diferentes técnicas deldibujo en el trazo rápido y preciso para dibujos requeridos por un mecánico, un albañil, un herrero,un campesino, un ingeniero, un arquitecto, un topógrafo o cualquier persona.

Conocer el campo de acción del dibujo artístico y su clasificación.Adquirir las bases técnicas del dibujo a mano libre.Usar técnicamente la observación artística.Dominar el trazo de la línea y la forma.

Practicar el trazo suave de líneas rectas y curvas en diferentes posiciones.Aplicar la habilidad del trazo en la escritura de número y letras a mano libre.Dominar la técnica del dibujo a mano alzada.Practicar el trazo de las diferentes formas o figuras geométricas que propone el método.Aplicar la técnica del dibujo a mano alzada en trabajos de piezas mecánicas, planos de construcción,etcétera.


Introducción

El propósito de esta unidad es ofrecer a los alumnos

poseedores o no de talento artístico una base que les permita dibujar tan fácilmente como escribirían números o palabras.

Todos nos damos cuenta de que dibujar más queun arte es una necesidad: todos podemos dibujar, aunque muy pocos elaborar una obra artística. Ésa es larazón por la que se propone que para una formaciónintegral en el dibujo técnico son importantes las basesdel dibujo a mano libre y alzada.

Dibujar es una necesidad social, ya que es unmedio de comunicación que permite plasmar una idea,un objeto, un símbolo, una gráfica o un diagrama.

Desde el niño hasta el adulto, tanto el obrero comoel científico, el ama de casa, el maestro y el alumnonecesitan continuamente dibujar objetos de su entorno dependiendo de su actividad o trabajo.

Dibujar es sencillo: cuando tomamos un lápiz y bosquejamos toscamente un objeto, al realizar trazossin un sentido definido en un papel o cuando requerimos dibujar alguna pieza mecánica. En todos esoscasos se requiere dibujar.

En resumen, el dibujo es necesario para un técnico, un ingeniero, un arquitecto o un trabajador. Porello deben conocer y aplicar la técnica del dibujo amano libre y alzada.

El dibujo a mano libre, geométrico y a mano alzada ofrece una formación integral para los estudiantesde dibujo técnico.



DIBUJO A MANO LIBRE Y A MANO ALZADA

Bases técnicas del dibujoa mano libre

Cualquier individuo que observa un dibujo o un símboloestará comprendiendo su significado. Por ejemplo, en lasolimpiadas, competencias deportivas donde se concen-tran cientos de países con diferentes idiomas, observa-mos que para establecer la comunicación se emplean unaserie de indicadores llamados símbolos, consistentes ensencillos dibujos que denotan el deporte que se va a de-sarrollar. De esta manera todos comprenden el mensaje plasmado en el dibujo-símbolo, a pesar de la diversidadde idiomas: los organizadores aprovechan el dibujo parala comunicación entre los competidores.

Figura 7.1 Composición de líneas rectas y curvas.

Desde hace muchos años el dibujo dejó de tener un

uso exclusivamente decorativo o artístico. El avance de laciencia y la tecnología ha tenido siempre un gran aliadollamado dibujo, disciplina que siempre ofrece apoyo parael trazo de gran número de objetos.

Por ello, el campo de acción del dibujo es tan ampliocomo lo es el avance científico y tecnológico. El dibujo seclasifica en dos grandes campos:

♦ Dibujo artístico♦ Dibujo técnico

Figura 7.2 Formas circulares.

El dibujo artístico comprende gran número de activi-dades que el hombre moderno necesita. En este campo

además de habilidades y sensibilidad artística se requierede bases técnicas, constancia y práctica continua.

Dibujo a mano alzada

En el campo de la ingeniería y otras áreas técnicas se ocupa continuamente el dibujo de trazos rápidos con proce-sos que no están dentro del rubro del dibujo artístico, perosí dentro del dibujo técnico. Mientras el primero tiene un

carácter estético; el segundo requiere precisión y muchacalidad, lo cual significa que el dibujo a mano alzada esuna combinación de dibujo a mano libre y dibujo técnico,

pero que se caracteriza en que sus trazos son rápidos, pre-cisos y captan todas las características de un objeto.

Su técnica es sencilla y práctica, se parte del trazorápido de un croquis del objeto a dibujar y del uso de ejesauxiliares.

¿Para qué sirve el recursode trazado llamado croquis?

El croquis es transmisor de ideas y de imágenes. Es muydifícil y a veces imposible transmitir la imagen de un obje-to (silla, herramienta, pieza, mecanismo, etcétera) em-

pleando solamente las palabras.Por ello el hombre emplea un recurso consistente en

trazos sencillos, pero precisos, del objeto que se quieretransmitir por medio de un dibujo llamado croquis.

Herramienta de trabajo de un técnico: croquis.Desde el mecánico, el carpintero o el albañil hasta el

ingeniero, el arquitecto o el agrónomo requieren como he-rramienta de trabajo la habilidad en el trazo del croquis.

La forma como se ha podido dar origen a miles ymiles de objetos caseros, industriales o hasta espaciales esmediante trazo rápido de ideas que paulatinamente valogrando tener una expresión gráfica: su croquis.

Figura 7.3 Croquis de piezas mecánicas.




¿Quién emplea un croquis? Los técnicos preparan susdiseños con base en un croquis que después entregan alos dibujantes, con los cuales efectúan un trazado mecá-nico.

El croquis es de gran ayuda para el diseñador en laorganización de sus pensamientos e ideas.

No se usan las escalasLos croquis no se realizan. Los objetos se deben dibujaren sus proporciones mejor posible a ojo. Como habíamosseñalado conviene usar papel cuadriculado, ya que susdivisiones brindan la oportunidad de establecer escalascon las cuales se podrá trazar proporcionalmente distintas

partes del objeto.Un técnico pierde mucho tiempo si comienza su hoja

de estudio a escala o si no hace un estudio preliminar me-diante un croquis.

El grado de precisión que se requiere en un croquisdepende del empleo que se le dé a los croquis que se elaboran rápidamente para suplir una descripción oral, pue-den ser bastos e incompletos; pero cuando se quiere trans-mitir una información de gran importancia a otros técnicoso trabajadores, debemos procurar la mayor precisión.

Materiales para la elaboración

de un croquis

Una de las ventajas principales del croquis es que para su

confección sólo se requieren papel, lápiz y goma para borrar, es decir, artículos que están al alcance de cual-quiera.

Los lápices que se tienen que utilizar son de minas blandas, como B, HB. La goma tiene que ser blanda, como por ejemplo la profesional. El papel es blanco preferente-mente cuadriculado, lo que rápidamente permite estable-cer proporciones y además sirve de guía para las líneas.

Tipo de croquis

La mayoría de los croquis corresponden a objetos de tres

dimensiones y, por lo tanto, deben servir para representa-dos; sin embargo, comenzar con figuras planas típicas nosayudará en otras representaciones.

Técnica para el trazadode líneas a mano alzadaLa principal diferencia entre un trazado mecánico y untrazado a mano alzada recae en el carácter de la línea.Una buena línea a mano alzada no tiene motivo para ser

estrictamente recta o uniformemente exacta como una lí-nea mecánica.

Mientras que la efectividad de una línea mecánica sedebe a su uniformidad, la calidad de una línea a manoalzada recae en su libertad de ejecución.

Las líneas convencionales trazadas mecánicamente-que veremos a continuación- se muestran en la figura7.32 trazadas a mano alzada. La línea es débil y en ellaalgunos trazos se superponen o no se llegan a tocar.

Figura 7.4 Diferentes tipos de líneas para el dibujo a mano alzada.

Es necesario trazar todas las líneas oscuras, a excep-ción de las de construcción, las cuales no llegan a borrar-se por ser trazadas.

El resto de las líneas son limpias y oscuras. Hay queacentuar las líneas de trazos cortos y debe existir un clarocontraste entre los tres grosores de líneas. Las líneas decontorno deben ser gruesas para que se destaquen; laslíneas de acotado y eje, bien finas.

El croquis a mano alzada no se debe considerar comoun dibujo hecho sin cuidado en el cual no se ha puesto eldebido interés. Hay que hacerlo con el mayor cuidado

posible.

Afilado del lápiz

Se debe utilizar un lápiz de mina blanda, como por ejemplo B o HB y afilarlo hasta que se obtenga una puntacónica, como se muestra en la figura 7.5. Para las líneasde construcción de ejes y acotado se emplea la punta afi-lada; para trazar los contornos con el grueso de línea de-seado, la punta debe gastarse un poco.

Figura 7.5 Afilado del lápiz.

Trazado de líneas rectas

Como la mayoría de las líneas en un dibujo son rectas, esnecesario aprender a trazarlas correctamente. Por ello sesugiere practicar hasta lograr el dominio de las mismas.

Para elaborar el croquis se emplean puntas afiladas oredondas, según el tipo de línea que se va a trazar.




Por lo anterior, se sostiene el lápiz de modo natural auna distancia de 40 mm desde la punta y aproximada-mente en ángulo recto con la línea que se va a trazar. Laslíneas horizontales se trazan de izquierda a derecha, me-diante un movimiento libre de muñeca y dedos; las líneasverticales, hacia abajo, con el mismo movimiento de mu-ñeca y dedos.

Las líneas inclinadas se trazan como horizontales overticales, mediante el movimiento de la hoja de papel.

Figura 7.6 Trazo de líneas rectas.

Para trazar líneas muy largas se marcan los puntos ex-tremos y después se mueve el lápiz hacia adelante y haciaatrás entre los puntos, en largos recorridos, marcando siem-

pre el punto hacia donde se dirige el lápiz en movimiento. La punta del lápiz debe tocar ligeramente el papel, y en cadanuevo trazo hay que corregir los defectos. Cuando se hayanestablecidas las líneas suficientes se aplica una presión ma-yor, reemplazando la línea de construcción con líneas preci-sas y nítidas, realizadas con lápiz blando; entonces se borraligeramente y se traza por último la línea necesitada, mante-niendo ahora la vista sobre la punta del lápiz.

Un método fácil de trazar líneas horizontales o verti-cales muy largas se muestra en la figura 7.7 el cual consis-te en sostener el lápiz firmemente y deslizar la mano porla punta de los dedos a lo largo del borde del bloc de papel o tablero de dibujo.

El trazado de cuadriláteros a mano alzada es máscomplejo. Los paralelogramos tienen especial dificultad acausa del paralelismo de sus lados opuestos.

En el caso de cuadrados y rectángulos, la perpendicu-laridad entre sus lados adyacentes se mejora y se logradespués de mucha práctica.

Figura 7.8 Trazo de cuadriláteros.

En los paralelogramos se debe prestar interés en eltrazado de las líneas inclinadas, sobre todo con el parale-lismo entre éstas, pues generalmente ocurre que es másfácil que éstos se consigan en las líneas horizontales queen las verticales o inclinadas; también hay que tener pre-sente que en estos dos casos las líneas son paralelas dos ados, es decir, los lados opuestos tienen que ser perfecta-mente paralelos.

En los trapecios se tiene mayor libertad de ejecución, pero no se debe olvidar el paralelismo de sus lados en

algunos casos.

Figura 7.9 Trazo de trapecios.

Trazado de polígonos regularesde tres, cuatro y más lados

Para el trazado a mano alzada de triángulos y cuadriláte-ros es importante recordar los métodos de trazado de lí-neas rectas.

NOTA: También se pone marca a distancia y poster iormente se tra-za la línea por estos puntos.

Figura 7.7 Trazo de líneas rectas a lo largo del tablero de dibujo obloc de papel. En los triángulos rectángulos lo fundamental es tratarde que los dos catetos sean perfectamente perpendicu-




lares entre sí, para lograr el ángulo recto que les da nombre y prestar atención a los otros dos ángulos del triángu-lo, ya sean de 45° y 45° o de 30° y 60°.

Figura 7.10 Trazo de triángulos rectángulos.

En los triángulos equiláteros lo más difícil de lograr amano alzada es que sean equiláteros en realidad, es decir,que tengan sus tres lados iguales; esto se puede realizar

perfectamente si no olvidamos las proporciones, ya que aveces la vista engaña y un triángulo en apariencia "equi-látero" es en realidad isósceles, pues la vista se fija, por logeneral, en la base. Para comprobar que los triángulosdibujados son en realidad equiláteros, lo mejor es girar el

papel y mirar la figura desde varios puntos.Las distancias de los lados deben acotarse "a ojo".

Figura 7.11 Trazo de triángulos equiláteros; para apreciar el tama-ño de los lados debe girarse el papel a diferentes posiciones.

las líneas inclinadas y conservar "a ojo" la proporción y laequidistancia de sus lados, sobre todo en las figuras quemás se nos presentan: pentágonos, hexágonos y octágo-nos.

Para los pentágonos el mejor método es trazar el es-quema de una estrella de cinco puntos y unir los extremosde éstas.

Figura 7.13 Trazo de pentágonos.

En los hexágonos se pueden emplear varios méto-

dos, de los cuales quizás el más sencillo sea el siguiente:se traza primero una línea horizontal, después dos líneasinclinadas que corten a la primera, de tal forma que entrecada línea trazada exista un ángulo aproximado de 30°.Luego se marca en cada recta una misma distancia desdeel centro. Por último se unen todos esos puntos.

Figura 7.14 Trazo de hexágonos.

Los triángulos isósceles y obtusángulos son relativa-mente fáciles de dibujar. Los primeros porque al tener una

base cualquiera y una perpendicular, se pueden trazar loslados restantes. De la misma forma sucede con los obtu-sángulos: si se da el ángulo mayor a 90° opuesto a lahipotenusa, se traza con rapidez.

En los octágonos un método sencillo consiste en trazardos rectas perpendiculares entre sí, que formarán entre ellascuatro ángulos rectos o de 90°. Se toma uno de esos ángu-los y se traza una recta inclinada que lo divida en dos par-tes iguales, cada una de ellas con un valor de 45°. Estarecta se traza rápidamente, lo cual se continúa para queocurra lo mismo en el ángulo de 90° opuesto al primero, y

luego con los restantes ángulos opuestos de 90°.

Figura 7.12 Trazo de triángulos isósceles y obtusángulos.Figura 7.15 Trazo de octágonos.

En otras figuras geométricas, como en los polígonosregulares, la atención principal debe estar en el trazado de

Por lo tanto, quedará una figura con ocho ángulosiguales. La marca "a ojo" una distancia igual en cada una




de las rectas y luego se unen esos puntos. Así se forma eloctágono.

En ambos métodos se borran ligeramente todas laslíneas de construcción antes de trazar el círculo final.

Trazado de círculos y arcos

Los círculos y los arcos pequeños pueden dibujarse con

facilidad en uno o dos trazos, como se hace un trazo deletras.

Figura 7.16 Trazo de círculos pequeños.

Un método para dibujar los círculos grandes es el si-guiente: primero, se traza un cuadrado que lo circunscriba;después, se marcan los puntos medios de los lados delcuadrado y se trazan arcos ligeramente tangentes a losmismos; posteriormente se refuerza el círculo como seaprecia en la figura 7.17.

Figura 7.17 Trazo de círculos grandes.

Otro método consiste en dibujar los dos ejes del círculoy trazar líneas radiadas a 30°; después, se trazan marcassobre cada línea con la distancia del radio estimado, a partir del centro trazar arcos de circunferencias de un puntoa otro y por último reforzar el círculo.

Trazado de elipses

Al igual que los círculos y los arcos, las elipses pequeñasse pueden trazar mediante un movimiento de muñeca,el cual se debe practicar de la siguiente forma: se sostie-ne el lápiz de modo natural, descansando el peso de la

parte superior en el antebrazo y se mueve con rapidez ellápiz sobre el papel en la trayectoria elíptica deseada, serepite la operación dibujando arcos de elipses, y por úl-timo se borra ligeramente la elipse y se refuerza (remarca).

Otro método consiste en dibujar el rectángulo que cir-cunscribe la elipse, para lo cual se marcan los puntos me-dios de los lados y se trazan los arcos tangentes, de laforma que se indica en la siguiente figura, entonces se

completa la elipse con suavidad, se borran ligeramentelíneas y se refuerza el trazo de la elipse.

Figura 7.19 Trazo de una elipse.

También se usa el método de la tira de papel, el cuales preferible cuando se trazan elipses grandes; consiste enlo siguiente: se prepara una tira de papel y se marcan so-

bre ella los dos semiejes BC y AO; después, haciendo co-incidir las marcas B y O sobre los ejes de la elipse, seobtendrán los puntos de la elipse pedida, como se indicaen la figura 7.20.

Figura 7.18 Otra opción para el trazo de círculos grandes. Figura 7.20 Otro método para el trazo de una elipse.





25. ¿Qué entiendes por croquis?26. ¿Quiénes emplean los croquis?27. ¿Qué tipo de materiales se emplean para ela-

borar un croquis?28. ¿Cómo es la calidad de una línea mecánica?¿Y

la de la línea a mano alzada?29. ¿Cómo son las siguientes líneas? Dibújalas y

explica sus características.

♦ Contorno♦ Acotado♦ Eje

30. ¿Cómo debes sostener el lápiz para el trazo delíneas rectas?

31. ¿Cómo se puede elaborar un triángulo rectán-gulo?

32. ¿Qué procedimiento se debe emplear para tra-zar un círculo?

33. ¿Qué entiendes por trazo mecánico?34. ¿Cómo empleas la escala en un croquis?35. ¿Cómo se traza el croquis para las siguientes

figuras?

♦ Triángulo♦ Paralelogramo♦ Pentágono♦ Hexágono♦ Octágono

♦ Círculo♦ Elipse

7.2 Usa tu imaginación y creatividadObserva cinco objetos para que identifiques en ellosla composición de sus formas geométricas; por ejem-

plo, un foco puedes dibujarlo auxiliándote en un trapecio, un rectángulo y un círculo.

Elabora el croquis de diversos edificios, una ca-tedral, un trailer, un avión, un engrane y un tren em-

pleando el dibujo a mano alzada.

7.3 Investigación

1. Menciona varios pueblos de la antigüedad quese conozcan por sus obras con valor artístico.

2. Escribe cinco actividades en las que se empleeel dibujo.

3. Explica de qué niveles académicos forma parteel dibujo.

4. Investiga qué actividades técnicas o profesiona-les emplean dibujos a mano alzada.


A continuación se presentan una serie de ejercicioslineales para que el profesor seleccione los que másse adecuen a su curso y con ellos los alumnos pue-


Lee detenidamente cada una de las preguntas, reflexiona y contesta lo que se te pide, si no recuerdasalgo puedes investigar en el libro de dibujo o en otroslibros.

1. ¿A qué se le llama dibujo a mano libre?2. Para poder dibujar ¿es necesario que la perso

na deba tener talento artístico?3. ¿Consideras que una persona puede dibujar

con sólo aprender una técnica básica?4. ¿Consideras que el dibujo es necesario para una

ama de casa, un albañil, un obrero?5. ¿Qué es recomendable para abordar el dibujo

geométrico y técnico?6. ¿Crees que es necesario el dibujo para elabo

rar objetos, símbolos, gráficos, diagramas, planos, etcétera?

7. ¿Por qué decimos que dibujar es una necesidad social?

8. Antes de elaborar una casa, un pantalón, unlápiz, un barco, ¿qué se ocupa?

9. Si una persona sabe escribir puede .10. ¿Cómo clasificamos el dibujo artístico?11. ¿Qué entiendes por dibujo al natural?12. ¿Por qué es importante la observación en el

dibujo?13. ¿Cuál es la diferencia entre observar y mirar?14. ¿Qué entiendes por forma?15. ¿En el dibujo qué papel desempeña la línea?16. Explica tres recomendaciones para el trazo de

líneas a mano libre.17 . ¿Cuál es el papel que juega la línea en el dibujo?18. ¿Qué transmiten las líneas curvas?19. Si se sabe escribir, se puede dibujar, pero para

ello se requieren tres habilidades:

a) .

b) .

c) .

20. ¿En qué consiste escribir-dibujar un objeto?21. ¿Qué entiendes por dibujo a mano alzada?22. ¿Cuál es el campo de acción del dibujo a mane

alzada?2 3 . Cuando un topógrafo o ingeniero realiza un cro

quis del lugar donde se llevará a cabo una obra,¿qué tipo de dibujo ocupa?

24. Un electricista, un fontanero, un herrero, un al bañil o un ingeniero al tomar datos de un tra

bajo ¿con qué tipo de dibujo toma el borradoiinicial?




dan realizar sus prácticas de dibujo en el taller o encasa.

Con el propósito de no repetir información enesta unidad -la unidad 4 sirve para actividades deambas unidades- sugiero que se tomen unas con laconducción del profesor y se dibujen a mano libre oalzada y a lápiz.

1. Ensaya una serie de ejercicios de línea recta ycurvas a mano libre, con trazo suave con baseen ejercicios que se proponen en el libro o losque el profesor sugiera.

♦ Lámina 1. Trazo de líneas rectas horizontales.♦ Lámina 2. Trazo de líneas rectas verticales.♦ Lámina 3. Trazo de líneas rectas inclinadas.♦ Lámina 4. Trazo de líneas rectas combinadas

en distinta posición.♦ Lámina 5. Trazo de líneas rectas curvas.♦ Lámina 6. Combinación de líneas rectas y cur-

vas.

2. Elabora otra serie de láminas a mano libre y alápiz.

♦ Lámina 7. Abecedario de mayúsculas.♦ Lámina 8. Abecedario de minúsculas.♦ Lámina 9. Números.

3. Selecciona diferentes objetos de tu casa y con laconducción del profesor dibújalos a mano librede acuerdo con la técnica indicada, por ejemplo:

♦ Composición de jarra con vasos♦ Un frutero♦ Una maceta♦ Un automóvil

4. Traza a mano alzada lo siguiente:

♦ Circunferencias♦ Cuadrados♦ Triángulos♦ Combinaciones de estas figuras

5. También traza a mano alzada:

♦ Tornillos♦ Tuercas♦ Engranes♦ El plano de una casa

♦ Un plano eléctrico♦ Un torno

6. Visita un taller o una fábrica y con la técnica de manoalzada dibuja varias piezas mecánicas, mecanismos,máquinas, transformadores, lámparas, etcétera.

7. Traza las siguientes figuras decorativas a manoalzada.

Hexágono Estrella hexagonal Entrelazado

Figura 7.21

Estrella octagonal Triángulo equilátero Entrelazado



La perspectiva


Al término de la presente unidad el alumno será capaz de:

♦ Conocer, comprender y aplicar la técnica básica de la perspectiva científica y práctica.


♦ Conocer las razones del uso de la perspectiva práctica.♦ Comprender las bases técnicas de la perspectiva cónica en sus presentaciones en los planos de

proyección.♦ Identificar las bases y aplicación de las perspectivas científica y práctica.♦ Manejar la perspectiva con uno, dos y tres puntos de fuga.♦ Aplicar la perspectiva para el trazo de objetos, calles, edificios, etcétera. Hay que apegarse a las

normas de higiene y seguridad del dibujo.

Introducción

¿Para qué nos sirve la perspectiva? Toda persona quetiene la necesidad de dibujar trata de darle sentidoreal a las cosas. Para lograr ese efecto de profundidad existe una técnica sencilla y práctica llamada

perspectiva.La perspectiva ofrece la posibilidad de presentar

en un plano, ya sea una hoja de papel, un cuadro,etcétera (que tienen dos dimensiones), objetos de tresdimensiones: largo, ancho y espesor. Así, se produceel efecto psicológico de la tercera dimensión, es decir, de profundidad; esto lo podemos realizar al trazardos líneas convergentes, como se observa en la figura 8.1 con los rieles del ferrocarril, que son dos vías

paralelas prolongadas hasta una gran distancia.Esa técnica la emplea desde el ingeniero, el ar

quitecto, el dibujante, el técnico, el artista hasta el pin-

tor. Sirve para dibujar objetos que van desde piezasmecánicas, edificios, planos, carreteras, vías de ferrocarril hasta una inmensa variedad de cosas más.

Figura 8.1



LA PERSPECTIVA

Nociones de geometríadescriptivaCuando se tiene la necesidad de representar las figuras ycuerpos en el espacio, necesitamos apoyarnos en un re-curso matemático llamado geometría descriptiva.

Figura 8.2

Distancia 4Alejamiento 5Cota 8

Para facilitar la localización y mejorar la vista de ubi-cación se agrega al diedro (dos planos) otro plano para

Para representar los cuerpos o figuras se requierenemplear los planos de proyección o ángulos diedros.

Planos de proyección

Estos dos planos se cortan perpendicularmente uno en posición horizontal (PH) y otro vertical (PV) que se cortan

en forma perpendicular.A la línea donde se intersectan los planos se le llama

línea de tierra (LT).

Cómo localizar puntosy líneas en el espacio

Se recurre al uso de coordenadas por medio de tres valo-

res:Punto

P(4, 5, 8) Figura 8.4

Figura 8.3




formar un triedro de proyección, donde la ubicación del punto P(4,5,8) de la recta ubicada en la figura 8.5.

Figura 8.5

¿Qué efectos produce

la perspectiva?

La perspectiva hace posible presentar los dibujos de losobjetos en un sentido real, tal como lo percibe la vista, esdecir, en forma tridimensional (tres dimensiones: largo,ancho y espesor). También podemos llamarle dibujo al

natural, porque los objetos que se dibujan con esta técni-ca adquieren un sentido de profundidad y dimensión.

La perspectiva en el dibujo técnico

Uno de los recursos que emplea el dibujo técnico para elestudio de poliedros, cónicas, cilindro, esfera, toro, entreotros, es con base en las proyecciones de estos objetossobre otro(s) más plano(s).

Para ello se emplean los diferentes sistemas de repre-sentación que consisten en proyectar en dos dimensiones

los objetos tridimensionales mencionados con anterioridad.De acuerdo con el tipo de proyección utilizada de-

penderá el sistema de representación empleada.

Proyecciones oblicuas y cónicas

Los dibujos en perspectiva son recursos del dibujo técni-co que sirven para representar proyecciones axonométricasoblicuas o cónicas, y con ellas hacer dibujos de elementosconstitutivos de herramientas, piezas mecánicas, instru-mentos e instalaciones industriales de diferentes tipos.

Proyección cónica Proyección caballera

Figura 8.7 Proyecciones oblicuas: cónica y caballera.

Tipos de proyeccionesDe acuerdo con la forma en que se proyecta sobre un

plano, la recta o el sólido geométrico recibe(n) su nombre: a) proyección cilindrica ortogonal, b) proyección ci-lindrica oblicua c) proyección cónica.

Figura 8.6 Perspectiva cónica con un punto de fuga.



Figura 8.8 Proyecciones axonomet rías oblicuas.

Perspectiva caballeraEsta es una axonometría oblicua que tiene la particularidad de que las proyecciones de los dos ejes forman 90°.

Con las perspectivas caballeras se pueden pasar los

datos en diédrico simplemente desabatiéndolos.

Lo que comúnmente se proyecta de los sólidosgeométricos son sus caras, aristas o vértices en los planos,de acuerdo con el número de vistas que se requiera.

Proyecciones axonométricas oblicuas

Es uno de los sistemas de representación que se puedeemplear sobre un plano de proyección y un triedro trirrec-

tángulo, donde la proyección cilindrica es oblicua.Las proyecciones axonométricas son oblicuas debi

do a la posición inclinada del modelo con respecto al plano de proyección, y se clasifican en:

♦ Isométrica. Lo forman ejes con ángulos iguales (120°).♦ Dimétrica. Ejes formados por dos ángulos iguales y

uno diferente.♦ Trimétrica. Está formada por ejes con los tres ángulos

diferentes.

Los ángulos entre los ejes en las proyecciones dimétricas y trimétricas pueden variar respecto al modelo que

se quiera representar, sin embargo, la suma de estos ángulos debe ser siempre de 360°.

Perspectivas de un cubo

Cuando un cubo tiene dos caras paralelas, el plano delcuadro, las aristas de dichas caras, se proyecta paralelo así mismo y las otras caras al ser perpendiculares al planodel cuadro se proyectan como un haz de rectas hasta juntarse en punto P, al cual le llamamos de fuga.

Trimétrica

Dimótrica

Por lo tanto, la perspectiva lineal o cónica es un sistema de representación cuyas proyecciones tienen la formade un cono.

Figura 8.11 Perspectiva lineal: cubo con dos puntos de fuga.

Isométrica




Si el cubo tienen cuatro caras oblicuas al plano delcuadrado, las proyecciones de las aristas se juntan en dos

puntos de fuga.

Perspectiva oblicua

o de tres puntos de fuga

Cuando las proyeccioens de las aristas del cubo se juntanen tres puntos, a esta perspectiva se le llama cónica o detres puntos, lo cual se debe a que el cubo tiene todas lascaras oblicuas al plano del cuadro, y oblicuas serán tam-

bién las tres direcciones de haz de rectas en el espacio.

Figura 8.12 Perspectiva cónica de un cubo con tres puntos de fuga.

Caracterización de

la perspectiva en el dibujotécnico y el dibujo artístico

Es importante resaltar las características específicas de la perspectiva del dibujo técnico y del dibujo arquitectónico o

del artístico. En el primero se emplean diferentes sistemasde representación de los sólidos geométricos que tienentres dimensiones, como por ejemplo: cubo, cilindro, poliedro,etcétera, y que al proyectarse en los planos lo hace en dosdimensiones y si la proyección es cónica el haz de rectasconcurre a un punto de fuga. En resumen, los sólidos detres dimensiones al proyectarse lo hacen en dos, y si escónica concurren en un punto llamado de fuga.

En cambio, en el dibujo arquitectónico o artístico, paradarle un sentido real a los objetos, se emplea la técnica dela perspectiva cónica, pero con carácter práctico, sin tenerque recurrir tan específicamente a los planos de proyec-ción.

Perspectiva lineal o práctica

La perspectiva es una rama muy importante tanto del dibujo técnico como del dibujo artístico. En ambos campos

del dibujo se aplica esa técnica: en el primer caso se le de-nomina científica; y en el segundo, se le llama práctica.

Figura 8.14 Perspectiva lineal o práctica.

S LH

Figura 8.13

Figura 8.15 Perspectiva con un punto de fuga.

Perspectiva arquitectónica

En esta perspectiva encontramos que todas las líneas si-

guen tres direcciones: las verticales, la fuga de líneas al



LA PERSPECTIVA

Figura 8.16 Perspectiva con dos puntos de fuga.

punto derecho y la fuga de líneas al punto izquierdo (véa-

se la figura 8.15).

Principios generales

♦ La imagen perspectiva de una línea recta, pero demenor tamaño, por ejemplo, líneas ab, a'b, á'b", a"'b"".

Principios que rigen la perspectiva

Principios fundamentales

♦ La magnitud o tamaño de los objetos disminuye enrazón de su alejamiento.

♦ De dos objetos (magnitudes) iguales el más distante parece ser el más pequeño. Figura 8.18

Figura 8.17 Perspectiva arquitectónica.




Cuando una recta está de frente a su imagen, es pa-ralela a la recta y en la misma dirección puesto quetodos los puntos están equidistantes del cuadro, porejemplo ab, a'b, a"b" o bd, b'd, b"d".

Figura 8.19

d) Las líneas paralelas convergen en un punto de fuga:ab, db' y á'b" convergen en P.F., situado sobre LH.

Procedimiento:♦ Se dibuja la cara del objeto paralelo al plano del dibujo.♦ Se ubica el punto de fuga donde más convenga.♦ La línea del horizonte [LH) es paralela a las líneas ho-

rizontales del objeto.♦ Se trazan líneas auxiliares que parten de los puntos prin-

cipales de la cara representada hacia el punto de fuga.

Perspectiva de dos puntos de fuga o angular

En este caso dos de sus caras son oblicuas al plano hori-zontal y las líneas paralelas convergen a los lados en dos puntos de fuga sobre el horizonte.

♦ Cuando una recta se fuga, la dirección de su imagense obtiene determinando su punto de origen y su pun-to de fuga, por ejemplo ac, bc.

Figura 8.20

Perspectiva cónica

Perspectiva en un punto de fuga o paralela

a) Una de sus caras es paralela al plano de fuga [ab pa-ralela LH).

b) Hay un punto de fuga P.F.

c) Hay una línea de horizonte LH.

P.F.l. P.F.D.

Figura 8.22

Perspectiva de tres puntos de fuga oblicuaTres de sus caras son oblicuas al plano pletórico y las lí-neas paralelas convergen en dos puntos sobre el horizon-te y sobre un punto arriba o abajo de éste (horizonte).

Figura 8.21

NOTA: LH significa línea horizontal; P.F, punto de fuga; P.F.l., puntode fuga izquierdo; P.F.D., punto de fuga derecho.



LA PERSPECTIVA

Cómo dibujarperspectivascon rapidez1. La capacidad para dibujar perspectivas con rapidez es

algo que le interesa al dibujante. De hecho, la perspec-

tiva no es más que un medio de alcanzar un fin y así escomo debe tomarse. El método que se expone a conti-nuación es un medio de visualizar espacios que exis-ten en la mente, su puesta en práctica es rápida y sen-cilla, aunque se aplique a distintas clases de gráficos.

Se elige una escala y se dibuja un marco del cuadro enla superficie de dibujo, cuyas aristas se dividen y seña-lan en partes iguales. A continuación se traza la líneadel horizonte a nivel del ojo, altura convencional quese sitúa a 1.50 m por encima de la línea de tierra.

2. El punto de fuga controla la dirección de la visión, por lo que su posición en la línea del horizonte y, de

ser ello posible lejos del centro, será aquella que démayor dinamismo al dibujo. Entonces, y desde el pun-to de fuga, se trazan líneas radiantes que pasen sobrecada una de las divisiones de la base de "marco decuadro".

Figura 8.24


8.1 Cuaderno de trabajo Lee detenidamente lo siguiente y contesta lo que sete pide.

1. ¿Para qué nos sirve la perspectiva?2. ¿Qué estudia la perspectiva?3. ¿Qué entendemos por tercera dimensión?4. ¿Qué sentido psicológico provoca la perspectiva?5. ¿Cómo se clasifica la perspectiva lineal o práctica?6. ¿A qué le llamamos perspectiva de dos puntos

de fuga?

7. Explica los pasos para aplicar la técnica de perspectiva con un punto.

8.2 Prácticas para el taller de dibujoCon la asesoría y conducción de tu profesor selec-ciona algunos de los ejercicios propuestos en tu li-

bro y elabora algunos, primero a mano libre y des- pués, cuando domines el uso de tus instrumentosgeométricos, elabóralos con ellos.

Figura 8.25 Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.




Figura 8.25 (continuación) Prácticas en perspectiva básica con uno y dos puntos de fuga.



Á n g u

l o a g u d o ,

s u a b e r t u r a

e s m

e n o r

d e 9 0 ° .

p

y

p

g

C a r a c t e r í s t i c a s , f ó r m u l a s y v a l o r e s d e l a s f i g u r a s p l a n a s .

P e r í m e t r o . E s i g u a l a l a s u m a d e l a l o n g i t u d d e l o s l a d o s d e u n a f i g u r a p l a n a .

Á r e a . E

l á r e a d e u n a f i g u r a p l a n a e s e l e s p a c i o o s u p e r f i c i e l i m i t a d a p

o r s u s l a d o s

Á n g u l o . E s l a a b e r t u r a d e d o s s e m i r r e c t a s q u e c o n c u r r e n a u n p u n t o l l a

m a d o v é r t i c e .

C a r a c t e r í s t i c a s . S

o n l o s e l e m e n t o s q u e c o n s t i t u y e n a u n a f i g u r a g e o m é t r i c a .

N o t a c i ó n . S o n l o s n o m b r e s q u e s e l e a s i g n a n a l o s d i f e r e n t e s e l e m e n t o s d e l a s f i g u r a s g e o m é t r i c a s .

L a d o s . E

s l a s e m i r r e c t a l i m i t a d a p o r d o s

l e t r a s y f o r m a n p a r t e d e u n a f i g u r a g e o m é t r i c a .

F ó r m u l a s d e d u c i d a s . É

s t a s s e o b t i e n e n a p a r t i r d e l a f ó r m u l a p r i n c i p a l ( á r e a , v o l u m e n , e t c é t e r a ) e n e l l a s e n c o n t r a m o s l o s v a l o r e s d e l o s

e l e m e n t o s d e s c o n o c i d o s d e l a s f i g u r a s g e o m é t r i c a s .

Á n g u l o

N o m b r e

F i g u r a

C a r a c t e r í s t i c a s

N o t a c i ó n

Á n g u l o s

E l á n g u l o e s

m e n o r d e 9 0 ° .

A B = L a d o

A C = L a d o

L a d o s

P e r í m e t r o

E n l o s á n g u l o s

s e m i d e s u

a b e r t u r a n o

s u s l a d o s

Á r e a

F ó r m u l a s d e d u c i d a s

p e r í m e t r o

3

A l t u r a = 0 . 8 6 6 /

/ = 1 . 1 5 5 f t

T e o r e m a d e P i t á g o r a s

p a r a c a l c u l a r e l v a l o r

d e s u s l a d o s

A = a b

A

= l 2

P = 2 a

+

2 b

L a d o s

o p u e s t o s

s o n ¡ g u a l e s

a

=

a ; b = b

S u s c u a t r o

á n g u l o s s o n

i g u a l e s a 9 0 ° ,

o s e a , r e c t o s .

a = a l t u r a

o l a d o

b = b a s e

o l a d o

T i e n e

c u a t r o

l a d o s

y c u a t r o

á n g u l o s r e c t o s

N O T A : E s i m p o r t a n t e r e c o r d a r t e a t o d o s l o s a l u

m n o s q u e e n l a m a t e m á t i c a s e a c o s t u m b r a e m p l e a r l e t r a s q u e r e p r e s e n t a n m e d i d a s d e l o s l a d o s o á n g u l o s ;

e j e m p l o : P = p e r í m e t r o ; A = á r e a ; I , b o

c , l a d o ; R o r = r a d i o ; A , S o C , á n g u l o ; a = a p o t e m a ; D o d =

d i a g o n a l o d i á m e t r o ; c = l o n g i t u d d e c i r c u n f e r e n c i a , e t c é t e r a .

R e c t á n g u l o

C u a d r a d o

T i e n e

c u a t r o

l a d o s

y c u a t r o

á n g u l o s ¡ g u a l e s

T r i á n g u l o

r e c t á n g u l o

T i e n e

3 l a d o s

y u n á n g u l o

r e c t o .

T i e n e

3 l a d o s

y 3 á

n g u l o s

¡ g u a l e s

T r i á n g u l o

e q u i l á t e r o

T r i á n g u l o

F i g u r a p l a n a

c e r r a d a d e 3

l a d o s

y 3

á n g u

l o s

/ = l a d o

d = d i a g o n a l

S u s á n g u l o s

s o n r e c t o s o

s e a d e 9 0 ° .

S u s c u a t r o

l a d o s s o n

¡ g u a l e s .

P = 4 1

D i a g o n a l :

d =

1 .

4 1 4 /

/ = 0 . 7 0 7

d . l

/ =

/ = p 4

A =

A =

A = A

=

2 A h 2

A

b =

h =

P = A B + B C + A C

P = a + b + c

P = 3 1

P = a + b + c

a

=

b

=

c

=

L a h i p o t e n u s

a

e s m á s g r a n d e

q u e s u s

c a t e t o s .

S u s t r e s

l a d o s s o n

¡ g u a l e s .

S u s l a d o s

p u e d e n s e r

¡ g u a l e s o

d i f e r e n t e s

E l t a m a ñ o

d e s u s l a d o s

n o t i e n e

l í m i t e .

b y c = c a t e t o s

a = h i p o t e n u s a

h = a l t u r a

a , b y c = l a d o s

/ = l a d o

h = a l t u r a

b - b a s e

h = a l t u r a

p = p e r í m e t r o

a = á r e a

A



r =

0 . 1

5 9 C

d = 0 . 3 1 8

C

P e n t á

g o n o A =

1 . 7 2 1

H e x á g o n o

A = 2 . 5 9 8

H e p t á

g o n o A = 3 . 6 3 4

O c t á g

o n o

A = 4 . 8 2 8

E n e á g o n o

A = 6 . 1 8 2

D e c á g o n o

A = 7 . 6 9 4

o b i e n

b + d

2 A h 2

A

h =

/

=

D =

d =

d e d u c i d a s

F ó r m u l a s

Á r e a

P e r í m e t r o

S u s l a d o s

o p u e s t o s

s o n ¡ g u a l e s :

a = a '

b =

b


o p u e s t o s

s o n ¡ g u a l e s :

Á n g u l o s

L a d o s

P = 2 a +

2 b

N o t a c i ó n

C a r a c t e r í s t i c a s

h

= a l t u r a

b = b a s e o l a d o

a = l a d o

S u s l a d o s

y á n g u l o s

o p u e s t o s

s o n i g u a l e s .

S u s c u a t r o

l a d o s s o n

¡ g u a l e s .

/ = l a d o

D

= d i a g o n a l

m a y o r

d = d i a g o n a l

m e n o r


d e 4 l a d o s , s u s

l a d o s o p u e s t o s

i n c l i n a d o s s o n

i g u a l e s .


d e 4 l a d o s ,

q u e p u e d e

s e r i g u a l o

d i f e r e n t e .

a , b , c = l a d o s

D = d i a g o n a l

m a y o r

d = d i a g o n a l

m e n o r

C i r c u n f e r e n c i a

e s i a l í n e a

c u r v a c e r r a d a ,

e q u i d i s t a n t e a

u n p u n t o

l l a m a d o c e n t r o .

A l á r e a I n t e r n a

s e l l a m a c í r c u l o .

D = d i á m e t r o

L i n e a q u e p a s a

p o r e l c e n t r o y

t o c a e n d o s p u n t o s

l a c i r c u n f e r e n c i a .

r = r a d i o

L í n e a q u e p a r t e

d e l c e n t r o y t o c a

e n u n p u n t o i a

c i r c u n f e r e n c i a .

E l á n g u l o

d e u n

c í r c u l o e s

d e 3 6 0 °

C a r e c e

d e l a d o s .

p o l í g o n o s

d e b e n s e r

¡ g u a l e s .

1 = p e n t á g o n o

2 = h e x á g o n o

3 = o c t á g o n o

/ = l a d o

a = a p o t e m a

h = n ú m e r o d e

l a d o s

L o s á n g u l o s

i n t e r n o s

d e l o s

S u s l a d o s

s o n i g u a l e s .


p u e d e n s e r

¡ g u a l e s o

d i f e r e n t e s .

a , b , c , d = l a d o s

d i f e r e n t e s .

P = a + b + c + d

L

o

s

á

n

g

u

l

o s

f

o

r

m

a

d

o

s

e

n

c

a

d

a

b

a

s

e

s

o

n

¡ g u a l e s .

a = c

b ≠ d

S u s

c u a t r o

l a d o s

s o n

i g u a l e s

A B

= B C

=

C D

= A D

P

=

Λ I

L o s

á n g u l o s

o p u e s t o s

s o n i g u a l e s :

N o m b r e

F i g u r a

P a r a l e l o g r a m o

R o m b o

T r a p e c i o

C u a d r i l á t e r o

c u a l q u i e r a

P o l í g o n o s

r e g u l a r e s

F i g u r a s p l a n a s

c e r r a d a s q u e

t i e n e n t o d o s

s u s l a d o s y

á n g u l o s

i g u a l e s .

A p o t e m a

M i t a d d e l p e r í m e t r o

d e l p e n t á g o n o

C i r c u n f e

r e n c i a ,

c í r c u l o

p = c =

l o n g i t u d

d e c i r c u n f e r e n c i a .

( B a s e x a l t u r a )

M i t a d

d e l p e r í m e t r o d e l h e x á g o n o

-

A

=

A

=

=

0 . 7

5 8 d

(

b + d ) h

A

=

A = b h

b =

h =

b =

d

=

a , b , c , d = l a d o s

b y

d = l a d o s

p a r a l e l o s

H = a l t u r a

l a d o

a = l a d o c

P = a + b + c + d

P = n l



C u a d r i l á t e r o s

L a p a i a b r a

c u a d r i l á t e r o

s i g n i f i c a c u a t r o

l a d o s y s e d i v i d e n

e n t r e s g r a n d e s

g r u p o s .

E s l a f i g u r a p l a n a

c e r r a d a .

E s e l á r e a f o r m a d a p o r

l o s d o s c i r c u i o s

c o n c é n t r i c o s .

C o r o n a

c i r c u l a r

S e g m e n t o

c i r c u l a r

S e l e l l a m a a s í a u n a

p o r c i ó n d e l c í r c u l o ,

l i m i t a d o p o r u n a r e c t a

l l a m a d a c u e r d a .

E l á n g u l o " n "

d e p e n d e d e l

t a m a ñ o d e l a

c u e r d a

.

C a r e c e d e

l a d o s .

P

= 0 . 0 1 7 4 5 - r n + c

D o s d e s u s

l a d o s e s t á n

f o r m a d o s

p o r r a d i o s .

E l á n g u l o e s t á e n

f u n c i ó n

d e l t a m a ñ o

d e l a r c

o .

E s l a r e c t a q u e v a d e l c e n t r o a c u a l q u i e r p u n t o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .

E s l a r e c t a q u e p a s a p o r e l c e n t r o y t o c a a d o s p u n t o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a : 1 D = 2 r

E s l a r e c t a q u e t o c a e n p u n t o R a l a c i r c u n f e r e n c i a .

E s l a r e c t a q u e c o r t a a l a c i r c u n f e r e n c i a e n d o s p u n t o s L y M .

E s l a r e c t a q u e t o c a e n d o s p u n t o s a l a c i r c u n f e r e n c i a s i n p a s

a r p o r e l c e n t r o .

E s l a r e c t a o a l t u r a d e l s e g m e n t o c i r c u l a r T .

L o s 4 l a d o s i g u a l e s y

l o s 4 á n g u l o s r e c t o s .

L o s 4 l a d o s i g u a l e s , 2 á n g u l o s a g u d o s

i g u a l e s y 2 o b t u s o s ¡ g u a l e s .

L a d o s i g u a l e s d e 2 e n 2

y l o s 4 á n g u l o s r e c t o s .

L a d o s i g u a l e s d e 2 e n 2 , 2 á n g u l o s

a g u d o s i g u a l e s y 2 o b t u s o s i g u a l e s .

C u a d r a d o

R o m b o

R e c t á n g u l o

R o m b o i d e

T r a p e c i o s

T r a p e z o i d e

T r a p e c i o s

S ó l o t i e n e n 2

l a d o s p a r a l e l o s .

T r a p e z o i d e s

L o s q u e n o t i e n e n l a d o s p a r a l e l o s

P a r a l e l o g r a

m o s

S o n l o s q u e

t i e n e n s u s

l a d o s o p u e s t o s p a r a l e l o s .

E l e m e n t o s

d e l

c í r c u l o

r , r a d i o .

D ,

d i á m e t r o .

R ,

t a n g e n t e .

L M , s e c a n t e .

S P , c u e r d a ,

f , f l e c h a .

a = s e m i e j e m a y o r

b = s e m i e j e m e n o r

L o s e j e s s o n

p e r p e n d i c u l a r e s

e n t r e s í .

a p r o x i m a d o

v a l o r

A = 0 . 0 0 8 7 3

r 2 n

/ = 0 . 0 1 7 . 4 5 m

P = / + 2 r

r =

r a d i o

h = a l t u r a o f l e c h a

n = n ú m e r o d e l a d o s

c =

c u e r d a

D = d i á m e t r o m a y o r

d =

d i á m e t r o m e n o r

R - r a d i o m a y o r

r = r a d i o m e n o r

L o s c í r

c u l o s t i e n e n

u n á n g

u l o d e 3 6 0 ° .

C a r e c e n d e

l a d o s .

/ = l o n g i t u d d e l a r c o

r = r a d i o

n = n ú m e r o d e g r a d o s

E s l a p o r c i ó n d e l c í r c u l o

c u y o s l a d o s e q u i v a l e n a

u n r a d i o .

S e c t o r

c i r c u l a r

E l i p s e




Medición de ángulos

La unidad más común para la medición de ángulos es un pequeño ángulo llamado grado. El instrumento utilizado para medir ángulos en grados se llama transportador. Tie-ne 180 grados indicados en ambos lados, de tal manera

que podemos medir fácilmente cualquier ángulo. La me-dida del ZABC es 30. El tamaño del ZABC es 30 grados,también se puede escribir así: 30°.

Estudia el transportados e indica el número de grados quetiene cada ángulo:

M

1. m

2. m3. m4. m5. m6. m

7.m8. m9.m

10. m11.m12. m

= 3

= h

= i

= j= k

= l

= α

= b

= c

= d

= e

= f



APÉNDICES

2. SUGERENCIAS AL PROFESOR

A continuación sugiero una serie de ejercicios que usted estará en posibilidad de seleccionar de acuerdo a alcance ycaracterísticas específicas de cada grupo, la técnica de su trazo será de su elección; por ejemplo, con lápiz o a tinta, amano libre o alzada o con instrumentos geométricos, etcétera.

Cuestionario

1. ¿Consideras necesario el uso de diferentes tipos delíneas en el dibujo? ¿Por qué?

2. Dibuja los diferentes tipos de líneas empleadas en eldibujo industrial.

♦ Línea de contorno♦ Línea de rotura parcial♦ Línea de dimensión o extensión♦ Línea de aristas invisibles♦ Línea de plano de referencia

3. De acuerdo al dibujo arquitectónico y de construc-ción en su norma se emplean tres gruesos de líneas,¿cuáles son?

4. Dibuja el siguiente tipo de líneas de construcción:

♦ De extensión♦ De eje

♦ De trazo♦ Oculta♦ Contorno♦ Límite de terreno

5. ¿Cómo debe usarse la tinta china?6. ¿Cuáles son las letras transferibles?7. ¿Cómo se usan las letras transferibles?8. Explica la técnica para rotular con plantilla.9. Explica la técnica a emplear cuando entintas

un trabajo a lápiz con tiralíneas.

10. ¿Qué es un leroy?11. ¿A qué le llamamos reglas paralelas?12. Explica la forma como se rotula con leroy.13. ¿Qué es un tecnígrafo?14. ¿Cómo se dibuja con un tecnígrafo?15. ¿Qué tipo de plumillas conoces?16. ¿Cómo clasificamos las plumillas?

Trazo de líneas rectas

Observa detenidamente cada uno de los ejercicios de trazo de líneas rectas: continua, discontinua, cuadriculada, etc.

Prepara los márgenes de tus láminas y recibe las indicaciones de tu profesor para su dibujo.

Ejercicio 1

Línea mediana interrumpida Línea fina continua

Línea fina mixta




Ejercicio 2

a) Traza una cuadrícula de 5 mm con línea finacontinua, como la de la muestra.

Traza una retícula de 5 mm inclinada a 60° con líneaancha continua como la de la muestra.

b) Traza una cuadrícula de 5 mm inclinada a 45° conlínea mediana continua como la de la muestra.

Ejercicio 3

Completa con el compás las líneas cuyas muestras se danen el sector del centro C.



AP ÉNDICES

Trazo de líneas rectas y curvas

A continuación propongo una serie de ejercicios lineales para que el profesor seleccione las que más se adecuen a sucurso y que los alumnos puedan realizar su práctica a lápiz o a tinta.

Líneas empleadas en dibujo

Línea de contomos

Contorno invisible

Línea de centros

Línea de centros a lápiz

Línea de dimensiones

Línea de extensión

Posición alterna

Línea de movimiento

Corte de un plano

Línea repetida

Material roto

Límite quebrado

Universidad de GuadalajaraMarqués Silva Apolonio

Noviembre 24 de 1995

Centro de Actividades IndustrialesIng. Emilio Pérez Ramírez

Lámina No. 8

Universidad de GuadalajaraLópez Muñiz Javier

Junio 7 de 1995

Centro de Actividades IndustrialesIng. Emilio Pérez Ramírez

Lámina No. 12



DIB UJO TÉCNICO Y GEOMÉTRICO

Trazo de líneas rectas que generan líneas curvas

Trazo de líneas rectas a mano libre o con instrumentos geométricos a lápiz o a tinta.1. Se toma la medida del margen superior y se marca 4. Así mismo las líneas BD y CE se dividen en partes

un punto (A) a la mitad. iguales.2. Se trazan dos líneas inclinadas del punto B y C hacia 5. Se unen los puntos marcados en las líneas BD y

el punto A. AB.3. Se divide en partes iguales las líneas BA y CA. 6. Se unen los puntos marcados en las líneas CE y AC



APÉNDICES

Diferentes ejercicios de trazo de abecedarios y números

En mayúsculas, minúsculas, en posición vertical e inclinada y a diferentes tamaños.

Indicaciones

Para su elaboración el profesor te dará las instrucciones necesarias: si han de elaborarse a lápiz o a tinta, a mano libre ocon instrumentos geométricos, en el libro o en una lámina específicos para ello.

Lámina 1. Abecedario mayúsculo en posición vertical. Lámina 2. Abecedario minúsculo en posición vertical.

LETRA INCLINADA 75° (30° + 45°) Altura h = 6 mm

Lámina 4. Abecedario mayúsculo inclinado a 75°. Lámina 5. Abecedario minúsculo inclinado a 75°.

75° LÁMINA

LETRA DERECHA 90° Altura h = 6 mm LÁMINA




Lámina 6. Letras y números inclinados en mayúsculas. Lámina 7. Letras y números inclinados en minúsculas.

Lámina 8. Letras y números verticales en mayúsculas. Lámina 9. Letras y números verticales en minúsculas.



APÉNDICES

Se sugiere que el alumno elabore o trace en su libro las prácticas de abecedario en letra derecha a mano libre.Como segunda etapa haga en lámina prácticas a mano libre y con plantilla.




Trazo de una estrella a base de líneas rectas Trazo de letras a mano libre

Traza a mano libre y sobre las letras el abecedario mayúscu-lo en posición vertical e inclinado a lápiz.

A continuación elabora las siguientes prácticas de le-tras y números en posición vertical e inclinada, mayúscu-las y minúsculas, siguiendo las indicaciones en los movi-mientos en el trazo.

Espiral envolvente

Observa, analiza y piensa cómo es su elaboración y trázala.

Composición geométrica

Geometría plana



E s t r e l l a

o c t a g o n a l

T r i á n g u l o

e q u i l á t e r o

E n t r e l a z a d o

E n t r e l a z a d o

E s t r e l l a h e x a g o n a l

H e x á g o n o




Trazo de circunferencias y líneas rectas finas

Lectura: El dibujo geométrico, cimiento del dibujo técnico

El origen de la geometría está ligada al proceso de desa-rrollo de la humanidad. Hubo un momento, hace milesde años, en que las cosas que nos rodean y las que adiario empleamos recibieron un nombre de acuerdo a suscaracterísticas, y con base a ello, a una figura cerrada concuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos se le llamacuadrado. A partir de este proceso, se generaron las pro-

piedades de cada figura, y poco a poco se fue construyen-do lo que hoy conocemos como geometría clásica oeuclidiana, este último nombre como reconocimiento al

matemático griego Euclides.En forma paralela a la construcción de esta rama de

las matemáticas, se fue encontrando la metodología parala construcción de las diferentes figuras o formasgeométricas bidimensionales, razón por la cual tambiénle llamamos geometría plana.

¿Por qué es importante a lo que ahora le llamamosdibujo geométrico? La razón es muy sencilla, porque estarama del dibujo técnico aporta la metodología para dibu-

jar con perfección cualquiera de las formas geométricas planas que existen a nuestro alrededor. Esto significa queen el hogar, el taller, la fábrica, etc., nos ocupamos detrabajar con objetos o cosas que tienen alguna forma

geométrica, y es el dibujo geométrico el que propone latécnica para elaborar dichos objetos.

Por lo tanto, ante esta situación, podemos decir queel dibujo geométrico es el cimiento del dibujo técnico, y siun estudiante de ingeniería o de una carrera técnica quie-re dominar el dibujo técnico, se le facilitará sobremanerasi domina en primer lugar el dibujo geométrico.

Aplicación del dibujo geométrico

Un albañil se ocupa de hacer trazos geométricos en lacimentación de una casa, un mecánico trabaja a diariocon un gran número de piezas mecánicas que tienen for-mas geométricas, por ejemplo, tuercas cuadradas,hexagonales, tornillos de diferente tipo de cabeza o rosca,etcétera.

El dibujo geométrico como auxiliardel avance tecnológico

Uno de los avances más significativos en la tecnología esel invento de la rueda. Su conocimiento fue producto devarios factores: casualidad, observación, necesidad, etc.



AP ÉNDICES

No se sabe con precisión la fecha en que el hombre co-menzó a utilizar la rueda, sin embargo, es un instrumentoque revoluciona todos los esquemas técnicos que el hombre conocía hasta entonces. El uso de la rueda beneficióde inmediato el trabajo del hombre, pues con ella podíatransportar objetos de un lado a otro con menos trabajo ycon un mayor ahorro de tiempo, por otro lado, la ruedafue la precursora directa de las máquinas que ahora co-nocemos, y está presente en las llantas y engranes de losautomóviles, las poleas de una bomba de agua o la hélicede un avión.

Ahora bien, el dibujo geométrico permite diseñar y planear todo el conjunto de piezas y elementos mecáni-cos que integran una máquina como las antes menciona-das, pues cada una está constituida por una o varias for-mas geométricas integradas. Así, un círculo puede repre-sentar ruedas o engranes; dos círculos unidos por un parde líneas, dos poleas y una banda que las une; una espi-ral, un resorte, etcétera.

Podemos seguir enunciando un gran número de ejemplos en donde las formas geométricas son el cimiento deldibujo técnico y de los mecanismos de una máquina.





Los fundamentos del dibujo geométrico se exponen en esta obra didáctica a través

de ejercicios y problemas específicos que debe resolver el estudiante. En los

primeros capítulos se describen con un lenguaje sencillo y claro, las principales

herramientas y los instrumentos de trabajo más comunes, así como algunas

recomendaciones para su uso.

Los capítulos posteriores integran conceptos geométricos básicos, señalando

características y métodos para realizar trazos, dibujar figuras, calcular tangencias e

intersecciones.

Un libro diseñado para todos aquellos que desean tener éxito profesional.

Emilio Pérez Ramírez, posee una amplia preparación académica y profesional en el

área del dibujo técnico y geométrico y ha escrito más de 12 libros relacionados con

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Dibujo Tecnico y Geometrico