Bolitas en urnas, paseos al azar Bolitas en urnas, paseos al azar y el comportamiento y el comportamiento microscópico de la materiamicroscópico de la materiaPablo GroismanPablo GroismanTeoría de Probabilidad – Procesos Estocásticos.Teoría de Probabilidad – Procesos Estocásticos.

Grupo de investigación en teoría de probabilidad y procesos estocásticosIMAS (UBA-CONICET)

CONICET EN TECNÓPOLIS

Bolitas en urnas

CONICET EN TECNÓPOLIS

Dos urnas (A y B). En total hay 100 bolitas numeradas del 1 al 100. Se elige una bolita al azar y se la cambia de urna. Se repite sucesivamente

CONICET EN TECNÓPOLIS

Nos interesa saber cuántas bolitas rojas hay en la urna A después de mucho tiempo y cómo se comporta esta cantidad.

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar

CONICET EN TECNÓPOLIS

Urna de Ehrenfest: modelo para explicar la termodinámica en base a la teoría cinética de la materia

CONICET EN TECNÓPOLIS

Urna de Ehrenfest (1907)

Ludwig Boltzmann Paul Ehrenfest, su hijo y A. Einstein Tatiana Ehrenfest

CONICET EN TECNÓPOLIS

Equilibrio: cada bolita tiene igual probabilidad de estar en cualquiera de las dos urnas

CONICET EN TECNÓPOLIS

Reversibilidad vs. Recurrencia

CONICET EN TECNÓPOLIS

CONICET EN TECNÓPOLIS

10.000 bolitas rojas (en realidad hay 602.214.150.000.000.000.000.000)

Probab. de que estén todas en la misma caja:

Tiempo medio de recurrencia: años

Edad del Universo:

Probab de que estén la mitad en cada caja:

Tiempo medio de recurrencia: 175seg ~ 3 min

Paseos al azar – Movimiento Browniano

CONICET EN TECNÓPOLIS

Robert Brown (1827) Albert Einstein (1905) Jean Baptiste Perrin (1909)

1. Calcula el desplazamiento medio de las partículas

2. D = 2RT/NF

R = constante universal

T = Temperatura

N = Constante de avogadro (desconocida hasta el momento)

F = Coeficiente de fricción (se puede calcular).

Einstein (1905)

CONICET EN TECNÓPOLIS

Basado en la deducción de Einstein realiza el experimento y

determina el número de Avogadro (y se gana el premio Nobel!)

Perrin (1908)

CONICET EN TECNÓPOLIS

Paseos al azar en medios aleatorios

¿y qué hacemos los matemáticos?

CONICET EN TECNÓPOLIS

Nos interesa saber hasta qué punto

es cierto que los paseos al azar

convergen al Movimiento Browniano

¿y qué hacemos los matemáticos?

CONICET EN TECNÓPOLIS

CONICET EN TECNÓPOLIS

Cluster de percolaciónBerger-Biskup (2005)Matthieu-Piatninski (2005)

CONICET EN TECNÓPOLIS

Medios no elípticosBerger-Deuschel (2011)

CONICET EN TECNÓPOLIS

Grafo Delaunay-PoissonFerrari-Grisi-Groisman (2011)

CONICET EN TECNÓPOLIS

CONICET EN TECNÓPOLIS

Muchas gracias

CONICET EN TECNÓPOLIS

Consejo Nacional de Investigaciones Científicas Y Técnicas Av. Rivadavia 1917 C1033aaj República Argentina T. + 54 115983 1420