Deybi Brayan Asprilla Mosquera

BRYAN ASPRILLA

COMPARACIN DEL METODO OPERADOR "BARRA INVERTIDA" DE

MATLAB CON LOS METODOS DE GAUSS, GAUSS-SEIDEL Y JACOBI

DEYBI BRAYAN ASPRILLA MOSQUERA

ESTUDIANTE DE MAESTRIA (MAESTRIA EN INGENIERIA MECANICA)

APLICACIONES MATEMTICAS EN INGENIERA QUMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE MINAS

MEDELLIN

2015

https://sites.google.com/a/unal.edu.co/amiq/

BRYAN ASPRILLA

INTRODUCCIN

Uno de los objetos principales de trabajo de Matlab son las matrices y los

vectores. Una matriz se define dando sus elementos y separando sus filas

mediante ;. Asimismo un vector fila no es ms que una matriz 1 n

En este documento estudian los mtodos numricos de eliminacin de Gauss,

Gauss Seidel, y Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales y se

realiza una comparacin de cada uno de estos mtodos con el mtodo de Barra

Invertida.

MTODO DE BARRA INVERTIDA % simple_1D_flow.m % This MATLAB program employs the finite difference method % to compute the velocity profile of a Newtonian fluid in % pressure-driven flow between two infinite flat plates, % the upper of which is moving at a specified velocity. % K. Beers. MIT ChE. 9/4/03

function iflag_main = simple_1D_flow(); iflag_main = 0;

% set the system parameters visc = 1e-3; % viscosity in Pa*s rho = 1000; % density in Kg/m^3 V_up = 0; % vel. of upper plate in m/s B = 1/1e3; % distance between plates in m dp_dx = input('Enter dp/dx in Pa/m : ');

% set simulation parameters N = 15,25,100; dy = B/(N+1);

% set matrix A = spalloc(N,N,3*N); v = ones(N,1); A = spdiags([-v 2*v -v], -1:1, N, N);

% set RHS vector G = -(dy^2)/visc*dp_dx; b = G*ones(N,1); b(N) = b(N) + V_up;

tic

% Solve system v = A\b;

BRYAN ASPRILLA

toc

% compute Reynolds number v_avg = mean(abs(v)); Re = rho*v_avg*(2*B)/visc; disp(dp_dx); disp(Re);

% plot velocity profile figure; y_plot = linspace(0,B,N+2); plot(y_plot,[0;v;V_up]); phrase1 = ['dp/dx = ', num2str(dp_dx)]; phrase1 = [phrase1, ', Re = ', num2str(Re)]; gtext(phrase1); if(Re > 1) gtext('Re > 1, flow may not be laminar'); end xlabel('y (m)'); ylabel('v_x(y) (m/s)'); title('Laminar pressure driven flow between parallel plates');

iflag_main = 1; return;

Con este mtodo obtenemos los siguientes resultados.

Cuando N=15 y dp/dx in Pa/m : 2, el tiempo que tarda en dar la solucion al sistena es de 0.002781 seconds.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-4

dp/dx = 2, Re = 0.35417

y (m)

v x(y

) (m

/s)

Laminar pressure driven flow between parallel plates

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Cuando N=25 y dp/dx in Pa/m : 2, el tiempo que tarda en dar la solucion

al sistena es de 0.000945 seconds.



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-4

dp/dx = 2, Re = 0.34615

y (m)

v x(y

) (m

/s)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-4

dp/dx = 2, Re = 0.33663

y (m)

v x(y

) (m

/s)


BRYAN ASPRILLA

MTODO DE GAUSS. function gauss ()


% set simulation parameters N = 25; dy = B/(N+1);



delta=1e-6; max1=100;

z=length(b);

P=ones(z,1)*0.15;

tic

n = length(b); for k=1:n-1 % Elimination for i=k+1:n if A(i,k) ~= 0 lambda = A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n) - lambda*A(k,k+1:n); b(i) = b(i) - lambda*b(k);end end end if nargout == 2; det = prod(diag(A));end for k =n:-1:1 % Back substitution b(k) = (b(k)-A(k,k+1:n)*b(k+1:n))/A(k,k);end x = b;

toc

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Los resultados que se obtienen son los siguientes:







MTODO DE GAUSS-SEIDEL function gseid_1 ()


% set simulation parameters N = 25; dy = B/(N+1);




z=length(b);

P=ones(z,1)*0.15;

tic

N = length(b);

for k = 1:max1

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for j = 1:N if j == 1 X(1) = (b(1) - A(1, 2:N) * P(2:N)) / A(1, 1); elseif j == N X(N) = (b(N) - A(N, 1:N-1) * (X(1:N-1))') / A(N, N); else % X contiene la k-esima aproximacion y P la (k-1)-esima X(j) = (b(j) - A(j, 1:j-1) * X(1:j-1)' - A(j, j+1:N) * P(j+1:N))

/ A(j, j); end end err = abs(norm(X' - P)); relerr = err / (norm(X) + eps); P = X'; if (err < delta) | (relerr < delta) break end end

X = X'; K

toc

Se obtienen los siguientes resultados:







MTODO DE JACOBI function jacobi_1 ()

clear all close all clc

% set the system parameters visc = 1e-3; % viscosity in Pa*s rho = 1000; % density in Kg/m^3

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V_up = 0; % vel. of upper plate in m/s B = 1/1e3; % distance between plates in m dp_dx = input('Enter dp/dx in Pa/m : ');

% set simulation parameters N = 15, 25, 100; dy = B/(N+1);




z=length(b);

P=ones(z,1)*0.15;

tic N = length(b);

for k = 1:max1 for j = 1:N X(j) = (b(j) - A(j, [1:j-1, j+1:N]) * P([1:j-1, j+1:N])) / A(j, j); end err = abs(norm(X' - P)); relerr = err/(norm(X) + eps); P = X'; if (err < delta) | (relerr < delta) break end end

X = X'; k err

toc

Los resultados obtenidos son:


al sistena es de 0.170613 seconds. err = 0.0021

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CONCLUSIONES

1. Comparando el mtodo de Barra Invertida con cada uno de los mtodos

utilizados anteriormente es fcil notar la eficiencia y rapidez con que este

mtodo (Barra Invertida) resuelve sistemas lineales.

Cuando N toma un Valor de 15,

i) El mtodo de barra invertida resuelve el sistema en 0.002781

segundos.

ii) El mtodo de Gauss tarda 0.013688 segundos.

iii) El mtodo de Gauus-Seidel lo reuelve en 0.172829 segundos.

iv) El mtodo de Jacobi lo resuelve en 0.170613 segundos.

2. El mtodo de barra invertida resuelve el sistema 0,10907 segundos mucho

ms rpido que el mtodo de Gauss; tambin se puede observar que es

mucho ms rpido que los otros mtodos planteados.

3. Despus del mtodo de barra invertida el de Gauss es el mtodo que ms

rpido resuelve el sistema comparado con el mtodo de Gauss-Seidel y

Jacobi.

4. Se observa que en el mtodo de barra invertida cuando N crece el tiempo

que tarda en resolver el sistema es mucho menor, mientras que en los otros

mtodos utilizados anteriormente si N crece el tiempo es mucho mayor, es

decir, el sistema se demora ms en dar la solucin.

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