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DETERMINACIÓN DE LA ALTITUD ORTOMÉTRICA DE UNA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA UTILIZANDO LA METODOLOGÍA PARA LA OBTENCIÓN DE
ALTURAS MEDIANTE TECNOLOGÍA GNSS
DANIEL ENRIQUE GOMEZ SUA
Código: 20082032044
DIRECTOR: EDILBERTO NIÑO NIÑO
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
INGENIERIA TOPOGRAFICA
2015
2
DETERMINACIÓN DE LA ALTITUD ORTOMÉTRICA DE UNA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA UTILIZANDO LA METODOLOGÍA PARA LA OBTENCIÓN DE
ALTURAS MEDIANTE TECNOLOGÍA GNSS
TRABAJO DE MONOGRAFIA
ENMARCADO DENTRO DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN: “DESARROLLO DE
UN NUEVO SISTEMA DE PROYECCIÓN CARTOGRÁFICO ORIENTADO AL TRABAJO
CON ESCALAS GRANDES EN PROYECTOS DE LA INFRAESTRUCTURA DE LA
INGENIERIA COLOMBIANA, A PARTIR DE LA DEFINICION Y ELABORACION DE
PLANOS TOPOGRAFIOS LOCALES PTL”
DANIEL ENRIQUE GOMEZ SUA
Código: 20082032044
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES
INGENIERIA TOPOGRAFICA
2015
3
Tabla de contenido
RESUMEN .................................................................................................................................... 8
ABSTRACT ................................................................................................................................... 8
INTRODUCCION ......................................................................................................................... 9
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACION ........................................ 10
2. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11
2.1. OBJETIVO GENERAL ..................................................................................................... 11
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................... 11
3. MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 12
3.1. ALTURAS UTILIZADAS .................................................................................................. 13
3.2. SISTEMAS DE REFERENCIA OFICIAL PARA COLOMBIA .................................................... 16
3.2.1. Sistemas de referencia .............................................................................................. 17
3.2.2. Marco Geocéntrico Nacional de Referencia (MAGNA) ............................................. 18
3.2.3. Conversión entre coordenadas elipsoidales [ϕ, λ, h] y planas de Gauss-Krüger [N,
E]……………………. ..................................................................................................................... 19
3.3. MODELO GEOIDAL PARA COLOMBIA GEOCOL2004 ..................................................... 21
3.4. MODELO GEOIDAL EMG 2008 ...................................................................................... 23
4. METODOLOGIA ............................................................................................................... 24
4.1. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27) VÉRTICES
DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO TECNOLOGÍA GNSS. ............................... 24
4.1.1. Metodología en campo ............................................................................................. 24
4.2. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 26
4.2.1. Metodología en Oficina ............................................................................................ 26
4.3. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 27
5. DESARROLLO DEL TRABAJO ...................................................................................... 28
5.1. LOCALIZACIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO ................................................. 28
4
5.2. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27) VÉRTICES
DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO TECNOLOGÍA GNSS. ............................... 29
5.2.1. Metodología en campo ............................................................................................. 29
5.3. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 33
5.3.1. Metodología en Oficina ............................................................................................ 38
5.4. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 46
6. RESULTADOS ................................................................................................................... 62
6.1. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27) VÉRTICES
DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO TECNOLOGÍA GNSS. ............................... 62
6.2. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 62
6.3. OBJETIVO ESPECÍFICO NO. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA POLIGONAL
TOPOGRÁFICA. .............................................................................................................................. 64
7. ANALISIS DE RESULTADOS .......................................................................................... 69
8. CONCLUSIONES .............................................................................................................. 78
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 79
5
LISTA DE TABLAS
Tabla 1. Coordenadas MAGNA de los orígenes Gauss-Krüger en Colombia .......................................... 21
Tabla 2. Valores de altura h, Ondulación N geoidal, altura H, Latitud y longitud GEOCOL2004 .......... 31
Tabla 3. Valores de altura h, Ondulación N geoidal, altura H, Latitud y longitud EGM 2008 ................ 31
Tabla 4. Distancias entre los puntos de control horizontal NPs a cada vértice de la poligonal topográfica.
.............................................................................................................................................................. 33
Tabla 5. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N) GEOCOL de todos los puntos utilizados y la altura
nivelada (H) de los puntos NP ............................................................................................................... 35
Tabla 6. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N) EGM2008 de todos los puntos utilizados y la altura
nivelada (H) de los puntos NP ............................................................................................................... 37
Tabla 7. Diferencias entre las alturas elipsoidales de la base (hBase) y sus rover (hRi) a partir de los dos
software utilizados, así como la diferencia entre éstos ........................................................................... 39
Tabla 8. Diferencia de alturas geoidales entre la Base y su Rover correspondiente a partir de los modelos
EGM2008 y GEOCOL 2004 .................................................................................................................. 40
Tabla 9. Diferencias de alturas niveladas GPS (ΔHGPSi) entre la base y su rover correspondiente para los
modelos geoidales EGM2008 y GEOCOL2004. ..................................................................................... 42
Tabla 10. Cálculo de las alturas GPS niveladas iniciales (HGPSi) de los puntos a determinar para los
modelos geoidales EGM2008 y GEOCOL2004 ...................................................................................... 43
Tabla 11. Determinación de las diferencias de alturas nivelas GPS iniciales (H°GPSi) entre estaciones
consecutivas para los diferentes modelos EGM2008 y GEOCOL2004. .................................................. 45
Tabla 18. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N GEOCOL) de todos los puntos utilizados y la altura
nivelada (H) de los puntos NP ............................................................................................................... 63
Tabla 19. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N EGM2008) de todos los puntos utilizados y la altura
nivelada (H) de los puntos NP ............................................................................................................... 64
Tabla 20. Valores de altura ortométrica (H) ajustados utilizando el modelo geoidal (GEOCOL 2004)... 65
Tabla 21. Valores de altura ortométrica (H) ajustados utilizando el modelo geoidal (EGM 2008).......... 67
Tabla 22. Resultados de vectores líneas base TopconTools con RMS ..................................................... 70
Tabla 23. Diferencias de coordenadas entre distinto software de postproceso ........................................ 72
Tabla 24. Diferencias entre alturas ortométricas Geocol 2004 y EGM 2008 .......................................... 73
Tabla 25. Diferencia altura ortométrica H GEOCOL2004 VS altura H trigonométrica .......................... 76
Tabla 26. Diferencia altura ortométrica H EGM2008 VS altura H trigonométrica ................................. 77
6
LISTA DE MATRICES
Matriz 1. B=b m, n: Matriz de los coeficientes GEOCOL2004. .............................................................. 47
Matriz 2. Vector de las observaciones (L) GEOCOL2004 ...................................................................... 47
Matriz 3. P=Matriz de los pesos de las observaciones GEOCOL2004 ................................................... 48
Matriz 4. Cálculo de la variable W GEOCOL2004 ................................................................................ 49
Matriz 5. Matriz Inversa de P GEOCOL2004 ........................................................................................ 50
Matriz 6. Matriz transpuesta de los coeficientes de las observaciones BT GEOCOL2004 ....................... 51
Matriz 7. Vector de los residuales de las cantidades observadas (V) GEOCOL2004. ............................ 52
Matriz 8. Lecturas de desnivel corregidas (L*) y altitudes ortométricas ajustadas (Hc) GEOCOL2004..
.............................................................................................................................................................. 53
Matriz 9. B=b m,n: Matriz de los coeficientes EGM2008. ...................................................................... 54
Matriz 10. Vector de las observaciones (L) EGM2008 ........................................................................... 55
Matriz 11. P=Matriz de los pesos de las observaciones EGM2008. ........................................................ 56
Matriz 12. Cálculo de la variable W EGM2008 ..................................................................................... 57
Matriz 13. Matriz Inversa de P EGM2008 ............................................................................................. 58
Matriz 14. Matriz transpuesta de los coeficientes de las observaciones BT EGM2008 ............................ 59
Matriz 15. Vector de los residuales de las cantidades observadas (V) EGM2008 .................................. 60
Matriz 16.Lecturas de desnivel corregidas (L*) y altitudes ortométricas ajustadas (Hc) EGM2008. ...... 61
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Alturas Ortométricas. 14
Figura 2. Alturas normales. 15
Figura 3. Sistema MAGNA SIRGAS: Red básica GPS y estaciones de funcionamiento continuo (estado
abril 2005). 19
Figura 4. Sistema de proyección Cartográfica Gauss-Krüger. 20
Figura 5. Comparación entre elipsoide y geoide. 21
Figura 6. Modelo geodial GEOCOL 2004. 22
Figura 7. Modelo Geoidal EGM 2008. 23
Figura 8. Determinación de la altura de los puntos contenidos en un perfil utilizando el sistema GNSS. 25
Figura 9. Ubicación geográfica de la zona de estudio. 28
Figura 10. Líneas base conexión a marco referencia local MAGNA-SIRGAS. 30
Figura 11. Cálculo para las ondulaciones geoidales a partir del modelo GEOCOL2004. 34
Figura 12. Cálculo de las ondulaciones geoidales a partir del modelo EGM2008. 36
Figura 13. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) GEOCOL2004. 66
Figura 14. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) EGM2008. 68
Figura 15. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) GEOCOL2004 Y EGM2008. 74
LISTA DE ECUACIONES
Ecuación 1. Ecuación de Condición de las variables a determinar GEOCOL2004. ................................ 46
Ecuación 2. Ecuación de condición de las variables a determinar EGM2008......................................... 54
LISTA DE VECTORES
Vector 1. Términos independientes en la ecuación de condición GEOCOL2004 49
Vector 2. Términos independientes en la ecuación de condición EGM2008 57
8
RESUMEN
La determinación de elevaciones sobre el nivel medio del mar, en proyectos de ingeniería que
involucren mediciones directas sobre el terreno, es un proceso que conlleva una logística
demasiado dispendiosa, costosa y demorada.
El presente trabajo muestra la metodología y resultados obtenidos para la determinación de la
altitud ortométrica utilizando tecnología de Sistemas Satelitales de Navegación (GNSS) de una
poligonal topográfica de 20 Km aproximadamente.
Veremos cómo, con la utilización de receptores de Posicionamiento Global (GPS) y aplicando
técnicas de ajustes por mínimos cuadrados se obtienen altitudes similares a las obtenidas por
métodos trigonométricos, lo cual se convierte en una alternativa eficiente para la obtención de
altitudes de vértices sobre el nivel medio del mar, en proyectos de la ingeniería Colombiana.
Palabras Claves: Altitud ortométrica, tecnología GNSS, Ajuste por mínimos cuadrados, altitud
trigonométrica
ABSTRACT
Determining elevations above mean sea level in engineering projects involving direct
measurements in the field, is a process that involves an excessively wasteful, costly and delayed
logistics.
The present study shows the methodology and results obtained for the determination of the
orthometric height using technology Global Navigation Satellite System (GNSS) of a topographic
polygonal about 20 Km.
We will see how, with the use of Global Positioning Receivers (GPS) techniques, and through
the application of the least-squares adjustments, the altitudes obtained are similar to those
calculated by trigonometric methods, which becomes an efficient alternative for obtaining altitudes
above the vertices middle of the sea, in the Colombian engineering projects.
Key Words: Orthometric altitude , Global Navigation Satellite System (GNSS)
technology, least squares adjustment technology, trigonometric altitude
9
INTRODUCCION
En el presente documento, se describe el desarrollo del proyecto: “Determinación de la altitud
ortométrica de una poligonal topográfica utilizando la metodología para la obtención de alturas
mediante tecnología GNSS” el cual, se encuentra enmarcado dentro del proyecto de investigación
denominado “Desarrollo de un nuevo sistema de proyección cartográfico orientado al trabajo con
escalas grandes en proyectos de la infraestructura de la ingeniería colombiana, a partir de la
definición y elaboración de PTL” adelantado por el grupo de Investigación GEOTOPO.
Este estudio, se basó en la Guía metodológica para la obtención de alturas aproximadas al nivel
medio del mar u ortométricas, planteada por el Instituto Geográfico Agustín Codazzi -IGAC
utilizando la tecnología GNSS (Sánchez & Martínez, 1997). Aplicando dicha metodología, se
realizó la ocupación de veintisiete (27) vértices que componen una poligonal topográfica de
aproximadamente 20 Km de longitud y una diferencia de altura de 400 m aproximadamente; entre
los Municipios de Chocontá y la Laguna de Suesca en el departamento de Cundinamarca.
A partir de lo anterior se logró obtener las alturas ortométricas, elipsoidales y separación geoidal
de los 27 vértices que componen la poligonal y realizar un ajuste por mínimos cuadrados a la
cadena de nivelación. Estos datos aportarán información relevante al proyecto de investigación
anteriormente mencionado.
10
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y JUSTIFICACION
El procedimiento de traslado o asignación de cota Geométrica o Cota Trigonométrica, con el
fin de determinar la altitud sobre el nivel medio del mar a una cadena de vértices que componen
una poligonal topográfica, tiene una limitante para los proyectos y es su alto costo y su dispendioso
proceso técnico; ya que se necesitan cuadrillas de topografía que tardan tiempos prolongados en
generar los traslados de altura, además de una alta probabilidad de errores humanos que afectan la
componente vertical de un proyecto lineal.
Dado lo anterior, a través de este estudio se quiere proponer el uso de la Guía Metodológica
para la obtención de alturas sobre el nivel medio del mar utilizando el Sistema GPS (Sánchez &
Martínez , 1997), ya que su buena práctica daría origen a nuevas formas de resolver dichas
limitantes y de esta manera encontrar los valores para la variable Z con aceptables precisiones,
esto en tiempos más cortos de ejecución y con menores costos económicos.
Dicha metodología se encuentra aprobada por el Instituto Geográfico Agustín Codazzi –IGAC
con el desarrollo del modelo geoidal gravimétrico GEOCOL98 y ha sido mejorada por estos, con
el nuevo modelo IGAC de alta resolución GEOCOL2004. Dado que se basa en la utilización de
una tecnología relativamente nueva, se carece de un panorama amplio de estudios que enriquezcan
o mejoren su fundamento conceptual con miras a la aplicación práctica en los proyectos.
Lo anterior se aplicó, mediante la combinación de alturas elipsoidales y el modelo geoidal
gravimétrico GEOCOL2004, se realizó la nivelación utilizando la tecnología GNSS en los
veintisiete (27) vértices que componen la poligonal topográfica de aproximadamente 20 Km de
longitud y una diferencia de altura de 400 m aproximadamente. Encontrándose localizada entre
el Municipio de Chocontá y la Laguna de Suesca en el departamento de Cundinamarca.
11
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo General
Determinar la altitud ortométrica de una poligonal topográfica utilizando la
metodología para la obtención de alturas mediante tecnología GNSS
2.2. Objetivos Específicos
Realizar la ocupación con tecnología GNSS a 27 vértices que componen la
poligonal topográfica.
Determinar las altitudes ortométricas, elipsoidales y separación geoidal de los 27
vértices que componen la poligonal topográfica.
Realizar un ajuste por mínimos cuadrados a la cadena de nivelación de los 27
vértices que componen la poligonal topográfica.
Suministrar los datos obtenidos, los cuales harán parte del proyecto de investigación
“Desarrollo de un nuevo sistema de proyección cartográfico orientado al trabajo con
escalas grandes en proyectos de la infraestructura de la ingeniería colombiana, a partir de
la definición y elaboración de PTL”
12
3. MARCO TEÓRICO
Los métodos clásicos para determinar alturas sobre el nivel medio del mar de puntos sobre la
superficie terrestre, son la nivelación geométrica con precisión de unos pocos centímetros o
mejor, la nivelación trigonométrica con precisión de algunos decímetros y la nivelación
barométrica con precisión más allá del metro.
La geodesia satelital (Sistema GNSS) permite, midiendo en modo diferencial estático, obtener
alturas elipsoidales muy precisas y mediante técnicas de interpolación superficial, puede
estimarse las ondulaciones del geoide. Se logra así convertir alturas elipsoidales en alturas sobre
el nivel medio del mar. Si sobre un área determinada se cuenta con una red de puntos de control
bien distribuidos y con coordenadas geodésicas latitud, longitud y altura elipsoidal referidas al
sistema global WGS’84 como así también cotas ortométricas, es posible entonces determinar
en cada uno de ellos la ondulación del geoide y asignarles un par de coordenadas planas en una
determinada proyección cartográfica. Es posible ahora generar un modelo matemático local de
ondulaciones del geoide para el área en cuestión e interpolar el valor de la ondulación en todo
punto si se conocen las coordenadas planas del punto en cuestión.
La superabundancia de observaciones (vectores GPS y desniveles geométricos) entre los puntos
de control, permite efectuar el correspondiente ajuste de mínimos cuadrados y el control de
calidad de ambas redes, GPS y altimétrica, y estimar la influencia de los errores de los
observables propagados a los parámetros ajustados en ambas redes.
Es posible generar ahora un modelo matemático local de ondulaciones a partir de una muestra
de puntos de control y estimar ondulaciones en cualquier punto del área con sólo conocer su
posición planimétrica. (Márquez, s.f, p. 3)
El sistema vertical oficial de Colombia, está compuesto por alturas niveladas, alturas
elipsoidales y otras complementarias (ortométricas o normales), que involucran las deformaciones
originadas por el campo de gravedad terrestre (CGT) (Sánchez & Martínez , 1997). Es importante
señalar, que ésta densificación, si bien funciona en las ciudades principales y sus municipios más
13
cercanos, los sectores rurales alejados, no cuentan con mediciones de este tipo. Para estos casos,
la tecnología GNSS es una alternativa menos costosa e igualmente eficiente para determinar
valores de alturas cercanas al nivel medio del mar permitiendo el empalme o consistencia con la
base cartográfica actual.
3.1. Alturas utilizadas
Las alturas geométricas son aquellas que no involucran consideraciones físicas en su
determinación. A este grupo pertenecen las alturas niveladas (HNIV) y las elipsoidales (h). Las
primeras son obtenidas mediante el proceso clásico de nivelación y las segundas, por
posicionamiento con métodos especiales, en particular el GPS.
En las alturas físicas (normales, ortométricas y dinámicas), se considera la combinación de los
números geopotenciales de los puntos nivelados, con valores de gravedad reducidos a partir de
hipótesis sobre la distribución de densidad de las masas internas terrestres ó mediante el
modelamiento matemático de la Tierra y su campo de gravedad normal.
Las alturas ortométricas (H*) se obtienen al dividir los números geopotenciales (C) por el valor
medio de la gravedad real (g') entre el punto evaluado y el geoide (Sánchez & Martínez , 1997,
p. 2):
)1('g
CH
Donde:
A
A CWWdng0
0 )2(
14
Figura 1. Alturas Ortométricas.Fuente: (Sánchez & Martínez , 1997, p. 2)
Siendo: g la gravedad observada en el punto de cálculo, dn un diferencial en altura, Wo el
potencial sobre el geoide y WA el potencial sobre la superficie de nivel que pasa por el punto de
cálculo.
Dado que el valor de g’ no puede observarse directamente, para su cálculo es necesario
introducir hipótesis sobre la distribución de densidad de las masas internas terrestres. En Colombia,
las alturas ortométricas han sido calculadas con la hipótesis de Helmert, ya que corresponde con
el modelo de distribución de densidad empleado en la determinación de GEOCOL98 (Sánchez,
Martínez, & Flórez, 1998). De esta forma:
)3(22
1' HG
hgg
Donde G es la constante de gravedad, H es la altura nivelada del punto y la densidad promedio
de la corteza terrestre (2,67 g/cm3).
Las alturas ortométricas también pueden obtenerse a partir de las elipsoidales mediante la
sustracción de las ondulaciones geoidales N:
)4(NhH
h H*
N
P
P
Qo
Equipotencial local
W = WP
Geoide W = WO
Elipsoide U = UO
Superficie topográfica
15
Finalmente, las alturas normales (HN) (Figura 2) se calculan mediante la división de los
números geopotenciales por el valor medio de la gravedad normal entre el cuasigeoide y el punto
en consideración (') (Sánchez & Martínez , 1997, p. 3):
)5('
CH N
'se obtiene a partir del campo normal de gravedad mediante:
)6(211'2
22
a
H
a
Hfsenmf
Figura 2. Alturas normales. Fuente: (Sánchez Rodríguez, 2004, p. 3)
Similarmente a las alturas ortométricas, las normales pueden ser estimadas a partir de las
elipsoidales si se les descuenta la ondulación del cuasigeoide; la cual, es conocida como anomalía
de altura o altura anómala ():
)7( hH N
En Colombia, la determinación de los valores de (modelo CSGEO98) se hizo mediante la
aplicación de la Teoría de Molodensky (Pick, Picha, & Vyskocil, 1973)
Si se conocen las ondulaciones geoidales (N) y las alturas elipsoidales (h), es posible obtener
alturas ortométricas a partir del posicionamiento GPS (H*GPS,, ecuación 4). No obstante, al
comparar estas alturas con las calculadas mediante la hipótesis de Helmert (H*, ecuación 1), se
presenta una diferencia significativa, cuya magnitud varía, principalmente, de acuerdo con la altura
h H
N
P
Po
Qo
Equipotencial local
W = WP
Geoide W = WO
Elipsoide U = UO
Superficie topográfica
Q
UQ = WP
16
del punto evaluado sobre el nivel del mar. Un comportamiento similar se da al calcular alturas
normales con GPS (HNGPS, ecuación 7), mediante las elipsoidales y las anómalas ().
El comportamiento de estas diferencias en Colombia, permiten identificar un desfase
sistemático de 2,30 m para (N) y de 2,12 m para que puede obedecer a la distancia que existe
entre el geoide (o cuasigeoide) y el dátum vertical clásico. Dicho desfase es complementado por
una componente aleatoria, que muestra una dependencia proporcional a la altura sobre el nivel
medio del mar (NMM), ésta es generada, principalmente, por los errores de observación presentes
en los diferentes tipos de datos (alturas niveladas, alturas elipsoidales y valores de gravedad), por
las hipótesis físicas o matemáticas involucradas (alturas ortométricas, alturas normales, geoide y
cuasigeoide) y finalmente, porque las cantidades relacionadas están referidas a sistemas de
naturaleza diferente (Milbert D. G., 1991) (Ollikainen, 1997). De esta manera se tiene (Milbert &
Smith, 1996):
)8(NNHHhh
Similarmente:
)9( NN HHhh
Las cantidades h, H*, N, HN, y , permiten cuantificar y controlar las incompatibilidades
presentes entre los diferentes tipos de datos y hacen que las ecuaciones (4) y (7) tengan aplicación
práctica.
Como síntesis, en Colombia, se han diseñado dos modelos gravimétricos GEOCOL98 y
GEOCOL2004, estos a su vez han permitido a los usuarios de la tecnología GNSS realizar
mediciones de altitud en sitios remotos del territorio nacional obteniendo valores cercanos para la
variable altura, coincidente con el dátum vertical del país.
3.2. Sistemas de referencia oficial para Colombia
Así mismo, es importante señalar que para la vinculación del proyecto al sistema de referencia
oficial para el país, se siguieron los lineamientos del documento “Tipos de Coordenadas manejadas
17
en Colombia” (Sánchez Rodríguez, Tipos de coordenadas manejadas en Colombia, 2004) de los
cuales es importante señalar los siguientes:
3.2.1. Sistemas de referencia
Un sistema de referencia es el conjunto de convenciones y conceptos teóricos adecuadamente
modelados que permiten definir, en cualquier momento, la orientación, ubicación y escala de tres
ejes coordenados [X, Y, Z]. Dado que un sistema de referencia es un modelo (una concepción, una
idea) éste es realizado (materializado) mediante puntos reales cuyas coordenadas son determinadas
sobre el sistema de referencia dado, dicho conjunto de puntos se denomina marco de referencia
(Reference Frame). Si el origen de coordenadas del sistema [X=0, Y=0, Z=0] coincide con el centro
de masas terrestre éste se define como Sistema Geocéntrico de Referencia o Sistema Coordenado
Geocéntrico mientras que, si dicho origen está desplazado del geocentro, se conoce como Sistema
Geodésico Local.
Convencionalmente, las posiciones [X, Y, Z] se expresan en términos de coordenadas curvilíneas
latitud (ϕ) y longitud (λ), las cuales requieren de la introducción de un elipsoide de referencia. Para
el efecto, el origen de coordenadas [X=0, Y=0, Z=0] con el centro geométrico del elipsoide, el eje
Z coincide con el eje menor del elipsoide, el eje X con la intersección del plano ecuatorial y del
meridiano de referencia del elipsoide y el eje Y forma un sistema coordenado de mano derecha.
La orientación y ubicación del elipsoide asociado a un sistema coordenado [X, Y, Z] se conoce
como Datum Geodésico; si aquel es geocéntrico se tendrá un Datum Geodésico Geocéntrico o
Global, si es local se tendrá un Datum Geodésico Local. Estos últimos se conocen también como
Datum Horizontales ya que sus coordenadas (ϕ, λ) se definen independientemente de la altura (H).
Mientras que la lalitud (ϕ) y la longitud (λ) se refieren al elipsoide, la altura (H) se define sobre una
superficie de referencia (el nivel medio del mar) que no tiene relación alguna con el elipsoide. Los
datum geocéntricos, por el contrario, son tridimensionales, éstos permiten definir las tres
coordenadas de un punto con respecto a la misma superficie de referencia (el elipsoide), en este
caso la tercera coordenada se conoce como altura geodésica o elipsoidal (h). (Sánchez Rodríguez,
2004, p.1)
18
3.2.2. Marco Geocéntrico Nacional de Referencia (MAGNA)
SIRGAS es la extensión del ITRF en América; no obstante, dadas las características técnicas de los
sistemas GNSS, debe ser densificado para satisfacer los requerimientos en precisión de los usuarios
de información georreferenciada en los diferentes países. En Colombia, el IGAC, organismo
nacional encargado de determinar, establecer, mantener y proporcionar los sistemas oficiales de
referencia geodésico, gravimétrico y magnético (Decretos No. 2113/1992 y 208/2004) inició a partir
de las estaciones SIRGAS la determinación de la Red Básica GPS, denominada MAGNA (Marco
Geocéntrico Nacional de Referencia) que, por estar referida a SIRGAS se denomina
convencionalmente MAGNA-SIRGAS. El datum geodésico asociado, corresponde con el elipsoide
GRS80 (Geodetic Reference System, 1980). MAGNA está conformada por cerca de 70 estaciones
GPS de cubrimiento nacional de las cuales 6 son de funcionamiento continuo, 8 son vértices
SIRGAS y 16 corresponden con la red geodinámica CASA (Central and South American
geodynamics network) (Figura 3). Las coordenadas de las estaciones MAGNA-SIRGAS están
definidas sobre el ITRF94, época 1995.4. Su precisión interna está en el orden de (±2 mm ... ±7
mm), su exactitud horizontal en ±2 cm y la vertical en ±6 cm. (Sánchez Rodríguez, 2004, p. 5)
19
Figura 3. Sistema MAGNA SIRGAS: Red básica GPS y estaciones de funcionamiento continuo
(estado abril 2005) Fuente: (Sánchez Rodríguez, 2004, p. 6)
3.2.3. Conversión entre coordenadas elipsoidales [ϕ, λ, h] y planas de Gauss-Krüger
[N, E]
La proyección cartográfica oficial de Colombia es el sistema Gauss-Krüger. Éste es una
representación conforme del elipsoide sobre un plano, es decir que el ángulo formado entre dos
líneas sobre la superficie terrestre se mantiene al ser éstas proyectadas sobre el plano. Los
meridianos y paralelos se intersectan perpendicularmente, pero no son líneas rectas, sino curvas
complejas, excepto el meridiano central (de tangencia) y el paralelo de referencia (Figura 4). La
20
escala de la representación permanece constante sobre el meridiano central, pero ésta varía al
alejarse de aquel, introduciendo deformaciones en función de la longitud (λ). Por tal razón, el
desarrollo de la proyección se controla mediante husos, que en el caso de Colombia se extienden
1,5° al lado y lado del meridiano central.
El sistema de proyección UTM (Universal Transverse Mercator) corresponde con el de Gauss-
Krüger, sólo que utiliza un factor de escala equivalente a m = 0,9996 para el meridiano central y
husos de 6°.
En Colombia, el origen principal de las coordenadas Gauss-Krüger se definió en la pilastra sur del
Observatorio Astronómico de Bogotá, asignándose los valores N = 1 000 000 m y E = 1 000 000
m. Los orígenes complementarios se han establecido a 3° y 6° de longitud al este y oeste de dicho
punto. Este sistema se utiliza para la elaboración de cartografía a escalas menores que 1:1 500 000,
donde se proyecta la totalidad del territorio nacional. También se utiliza para cartografía a escalas
entre 1:10 000 y 1:500 000 de las comarcas comprendidas en la zona de 3° correspondiente.
(Sánchez Rodríguez, 2004, p.10)
Figura 4. Sistema de proyección Cartográfica Gauss-Krüger Fuente: (Sánchez Rodríguez, 2004, p.
11)
21
Las coordenadas MAGNA de los orígenes Gauss-Krüger en Colombia corresponden con:
Tabla 1. Coordenadas MAGNA de los orígenes Gauss-Krüger en Colombia Fuente: (Sánchez
Rodríguez, 2004, p. 11)
3.3. Modelo geoidal para Colombia GEOCOL2004
El geoide es la superficie de referencia para las alturas físicas (alturas ortométricas). Por definición
el geoide es la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre que más se aproxima al
nivel medio de los mares en reposo en una época determinada. Las alturas medidas desde el geoide
hasta la superficie terrestre se conocen como alturas ortométricas y se miden sobre la vertical del
lugar o vertical astronómica (Figura 5).
El geoide es representado mediante la separación que mantiene el mismo con respecto a un elipsoide
de referencia, esta separación se conoce con el nombre de ondulación geoidal (η), la cual puede
tomar valores positivos o negativos. La determinación del geoide implica un conocimiento de la
distribución de masas del planeta. (Carrión Sánchez, 2013, p. 15)
Figura 5. Comparación entre elipsoide y geoide. Fuente: (Carrión Sánchez, 2013, p. 16)
22
Después de históricos procesos para el cálculo de modelos gravitacionales, en la actualidad
en Colombia se cuenta con el modelo de resolución más preciso calculado hasta el momento
denominado GEOCOL 2004
En la siguiente figura se presenta la distribución de masas para el modelo gravitacional
GEOCOL 2004:
Figura 6. Modelo geodial GEOCOL 2004 Fuente: (Sánchez Rodríguez, 2003, P. 105)
23
3.4. Modelo geoidal EMG 2008
El Modelo Gravitacional oficial de la Tierra EGM2008 se ha lanzado públicamente por la
National Geospatial-Intelligence Agency de Estados Unidos (NGA) por el Equipo de Desarrollo
EGM. Este modelo gravitacional es completo a nivel de grados armónicos esféricos y para el grado
2159, y adicionalmente contiene coeficientes que se extienden al grado 2190 y 2159
En la siguiente figura se presenta la distribución de masas para el modelo gravitacional EGM
2008 (NGA, Agency, National Geospacial Intelligence, 2013)
Figura 7. Modelo Geoidal EGM 2008 Fuente: (NGA, Agency, National Geospacial Intelligence,
2013)
.
24
4. METODOLOGIA
4.1. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27)
VÉRTICES DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO
TECNOLOGÍA GNSS.
A continuación se presenta la metodología propuesta por Sánchez & Martínez (1997) con la
cual se da alcance al primer objetivo específico planteado en el presente estudio.
4.1.1. Metodología en campo
La metodología utilizada en el desarrollo del presente estudio, está fundamentada en la “Guía
Metodológica para la obtención de alturas sobre el nivel medio del mar utilizando el sistema GPS”
(Sánchez & Martínez, 1997), anteriormente mencionada. En ésta, se establecen los parámetros
mínimos a tener en cuenta en una determinación de alturas ortométricas utilizando el sistema de
posicionamiento satelital GNSS para la correcta y debida adquisición de los datos en campo y su
correspondiente tratamiento y análisis en oficina.
A continuación, se cita el procedimiento para llevar a cabo la adquicisión de datos en
campo:
25
Figura 8. Determinación de la altura de los puntos contenidos en un perfil utilizando el sistema
GNSS. Fuente: (Sánchez & Martínez, 1997)
26
4.2. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Con el adecuado desarrollo de los pasos presentados anteriormente, se logra obtener la
información necesaria para dar alcance al segundo objetivo específico del presente estudio y con
esto, continuar con el procedimiento propuesto por Sánchez & Martínez (1997) para el tratamiento
de la información en oficina.
4.2.1. Metodología en Oficina
Una vez recopilada la información en campo y procesadas las coordenadas latitud (ϕ),
longitud (λ) y altura elipsoidal (h) de cada estación rastreada, la determinación de alturas sobre el
nivel medio del mar (snmm) a partir de información GPS se adelantará de la siguiente manera
(Sánchez & Martínez, 1997):
27
4.3. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Ejecutando los procedimientos presentados en las ecuaciones 6, 7 y 8 propuestas por Sánchez
& Martínez (1997) se da alcance al objetivo específico No. 3 del presente estudio.
28
5. DESARROLLO DEL TRABAJO
5.1. Localización y descripción del área de estudio
El lugar geográfico de la zona de estudio se encuentra localizado entre las coordenadas
geográficas Latitud Norte 5° 4'43.33"N; 5°12'24.32"N y Longitud Oeste 73°48'9.47"O;
73°40'22.24"O; entre los municipios de Chocontá y Suesca como se observa en la Figura 9. Se
decide este lugar en particular por contar con características favorables para dar desarrollo al
proyecto de investigación denominado “DESARROLLO DE UN NUEVO SISTEMA DE
PROYECCIÓN CARTOGRÁFICO ORIENTADO AL TRABAJO CON ESCALAS GRANDES
EN PROYECTOS DE LA INFRAESTRUCTURA DE LA INGENIERIA COLOMBIANA, A
PARTIR DE LA DEFINICION Y ELABORACION DE PLANOS TOPOGRAFIOS LOCALES
PTL”, además de contar con la presencia física en la zona de dos puntos de control horizontal y
vertical de la red pasiva del Instituto Geográfico Agustín Codazzi IGAC denominados NPA_49NE
y NP_41NE.
Figura 9. Ubicación geográfica de la zona de estudio. Fuente: Elaboración propia (Google
Earth)
29
5.2. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27)
VÉRTICES DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO
TECNOLOGÍA GNSS.
Para dar alcance al primer objetivo específico relacionado con la ocupación de los veintisiete
vértices que componen la poligonal topográfica utilizando tecnología GNSS, el día ocho (8) de
febrero del año 2015 se dispuso de cinco (5) comisiones integradas por tres (3) personas cada una,
para un total de quince (15) personas, las cuales participaron en la logística diseñada para el rastreo
y captura de información en campo, adicional a esto, se contó con cinco (5) equipos receptores
GPS doble frecuencia y cuatro (4) camionetas para el desplazamiento de los grupos.
Se realizó una ocupación de los puntos NPs bases del proyecto durante ocho horas continuas
y tiempos de rastreo para cada vértice entre 30 a 60 minutos dependiendo de la longitud del vector
a los correspondientes puntos NPs: NPA_49NE y NP_41NE.
5.2.1. Metodología en campo
A continuación se da desarrollo a los ítems propuestos por Sánchez & Martínez (1997) para
llevar a cabo la determinación de alturas ortométricas utilizando la tecnologia GNSS.
Para la vinculación del estudio al marco geocéntrico nacional de referencia MAGNA-
SIRGAS, sistema de referencia oficial para Colombia, se ajustaron los dos puntos NPs de control
horizontal y vertical NPA_49NE y NP_41NE, a partir de la estación de rastreo continuo de la red
activa para el país MAGNA-ECO ubicada en las instalaciones del Instituto Geográfico Agustín
Codazzi IGAC denominada BOGA como se observa en la Figura 10. Todas las mediciones de
campo se realizaron en 1 día (8 horas), el domingo 8 de Febrero de 2015. Con esto se obtuvieron
coordenadas de los puntos de control horizontal y vertical para el proyecto en época 2015.1.
A. Se toma como base inicial el punto MAGNA-SIRGAS más cercano al área del
proyecto
30
Figura 10. Líneas base conexión a marco referencia local MAGNA-SIRGAS. Fuente: Elaboración
propia (Google Earth)
Se seleccionaron los NPs denominados NPA_49NE y NP_41NE, a éstos se les trasladó el
control horizontal a partir del vértice seleccionado en el punto A (BOGA), dichos puntos
constituyen las nuevas bases del proyecto cumpliendo con lo definido en el numeral 4 de los
aspectos básicos a considerar para el adecuado captura de información encampo según Sánchez
& Martínez (1997) “Debe evitarse realizar rastreos sobre distancias mayores que 20 km. En los
casos en que estas condiciones no se puedan cumplir, es necesario aumentar los tiempos de rastreo
de acuerdo con lo planteado en el ítem 1” (p. 3)
B. Se selecciona un NP al cual se le traslada el control horizontal a partir del
vértice seleccionado en A, definiéndole valores de latitud, longitud, altura h,
altura H y ondulación N GEOCOL2004. Este NP se constituye en la nueva base
para el rastreo del perfil.
31
En las Tabla 2 y Tabla 3 se presentan los valores resultantes para el traslado horizontal a los NPs
NPA_49NE y NP_41NE, a su vez el resultado obtenido para la variable (N) a partir de los modelos
geoidales GEOCOL 2004 y EGM 2004 respectivamente.
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación (N)
GEOCOL_2004
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 26.0700 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
NP_41-NE 2733.4354 25.9900 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 2. Valores de altura h, Ondulación N geoidal, altura H, Latitud y longitud GEOCOL2004.
Fuente: Elaboración propia, 2015
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Altura (N)
EGM_2008 (m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 22.1470 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
NP_41-NE 2733.4354 22.1030 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 3. Valores de altura h, Ondulación N geoidal, altura H, Latitud y longitud EGM 2008.
Fuente:Elaboración propia, 2015
La cadena de vértices utilizada para el desarrollo de este estudio, no superó en ningún caso
la longitud máxima de 20 km propuesto en el numeral C (Sánchez & Martínez, 1997) como se
observa en la Tabla 4. En ésta tabla se presentan las distancias resultantes del cálculo de ajuste
para cada uno de los vértices de la poligonal topográfica, en donde se resaltan las dos distancias
máximas a cada NP, así: desde el NPA_49NE al DELTA 25 y del NP_41NE al DELTA 20.
Name dN (m) dE (m) dHt (m) Distance (m)
GPS-1−NPA_49NE 1.44 -47.111 -2.181 47.202
GPS-1−NP_41NE -7406.622 -5212.342 78.46 9060.84
GPS-2−NPA_49NE 437.443 994.014 -19.045 1086.606
C. Para rastrear el perfil es necesario dividirlo en circuitos, cuyas longitudes se definen
por la distancia horizontal entre la base y las estaciones ubicadas dentro de los
siguientes 20 km. Alcanzada esta distancia, debe definirse una nueva base, la cual es
el último punto del circuito inmediatamente anterior.
32
Name dN (m) dE (m) dHt (m) Distance (m)
GPS-2−NP_41NE -6970.628 -4171.178 61.592 8126.846
DELTA-3−NPA_49NE 111.334 2261.507 -49.829 2265.692
DELTA-3−NP_41NE -7296.698 -2903.697 30.764 7856.5
DELTA-4−NPA_49NE -619.763 2718.356 -131.713 2792.346
DELTA-4−NP_41NE -8027.923 -2446.909 -51.256 8396.192
DELTA-5−NPA_49NE -1783.554 3386.053 -268.14 3838.032
DELTA-5−NP_41NE -9191.668 -1779.191 -187.591 9368.15
DELTA-6−NPA_49NE -1987.622 4210.502 -245.351 4664.452
DELTA-6−NP_41NE -9395.726 -954.737 -164.85 9449.561
DELTA-7−NP-41NE -9770.455 -512.393 -125.497 9788.818
DELTA-7−NPA_49NE -2362.23 4652.85 -206.319 5224.376
DELTA-8−NPA_49NE -2157.254 5199.749 -215.148 5635.914
DELTA-8−NP_41NE -9565.384 34.555 -134.167 9570.435
DELTA-9−NPA_49NE -2809.392 5775.937 -279.344 6431.687
DELTA-9−NP_41NE -10217.503 610.844 -198.893 10242.064
DELTA-10−NPA_49NE -3222.555 6342.783 -321.571 7124.73
DELTA-10−NP_41NE -10630.742 1177.565 -241.16 10703.101
DELTA-11−NPA_49NE -3370.771 6921.288 -366.633 7710.454
DELTA-11−NP_41NE -10778.92 1756.062 -286.222 10929.537
DELTA-12−NPA_49NE -3703.246 7305.611 -330.537 8200.725
DELTA-12−NP_41NE -11111.424 2140.473 -249.947 11323.374
DELTA-13−NPA_49NE -3815.662 7789.58 -320.255 8683.48
DELTA-13−NP_41NE -11223.809 2624.212 -239.484 11533.98
DELTA-14−NPA_49NE -4141.265 7869.283 -293.491 8901.022
DELTA-14−NP_41NE -11549.47 2704.065 -213.033 11868.815
DELTA-15−NPA_49NE -5398.248 8175.933 -217.879 9803.771
DELTA-15−NP_41NE -12806.356 3010.73 -137.265 13161.804
DELTA-16−NPA_49NE -5638.669 8555.765 -236.804 10253.734
DELTA-16−NP_41NE -13046.787 3390.512 -156.222 13486.793
DELTA-17−NPA_49NE -5798.265 8795.135 -235.179 10541.434
DELTA-17−NP_41NE -13206.282 3629.92 -154.541 13702.774
DELTA-18−NPA_49NE -5696.539 9315.06 -222.694 10925.631
DELTA-18−NP_41NE -13104.658 4149.823 -142.2 13752.603
DELTA-19−NPA_49NE -5530.599 10545.795 -225.08 11915.107
DELTA-19−NP_41NE -12938.657 5380.584 -144.512 14019.548
DELTA-20−NPA_49NE -5628.122 11237.811 -411.497 12580.517
DELTA-20−NP_41NE -13036.249 6072.49 -330.877 14391.344
DELTA-21−NPA_49NE -5443.081 11363.404 -412.807 12611.944
DELTA-21−NP_41NE -12851.091 6198.159 -331.91 14277.865
DELTA-22−NPA_49NE -5298.404 11381.697 -405.871 12566.477
33
Name dN (m) dE (m) dHt (m) Distance (m)
DELTA-22−NP_41NE -12706.428 6216.5 -325.295 14155.574
DELTA-23−NPA_49NE -4223.04 12268.147 -220.584 12981.912
DELTA-23−NP_41NE -11631.184 7102.76 -139.956 13634.937
DELTA-24−NPA_49NE -3327.482 12536.312 -276.543 12978.79
DELTA-24−NP_41NE -10735.598 7370.954 -195.972 13029.521
DELTA-25−NPA_49NE -1925.859 13162.853 -321.6 13312.512
DELTA-25−NP_41NE -9333.921 7997.614 -240.996 12299.314
GPS-3−NPA_49NE -1044.638 12738.662 -230.941 12788.827
GPS-3−NP_41NE -8452.736 7573.425 -150.373 11355.088
GPS-4−NPA_49NE 276.468 12703.812 -326.383 12716.391
GPS-4−NP_41NE -7131.634 7538.58 -245.819 10384.81
Tabla 4. Distancias entre los puntos de control horizontal NPs a cada vértice de la poligonal
topográfica. Fuente: Elaboración propia, 2015
Por lo explicado en el numeral anterior, los NPs: NPA_49NE y NP_41NE constituyen los
únicos puntos de control horizontal y vertical del presente estudio.
5.3.OBJETIVO ESPECÍFICO No. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Con el desarrollo del paso E de la Guía metodología para la obtención de alturas sobre el
nivel medio del mar utilizando el sistema GNSS (Sánchez & Martínez, 1997) se da alcance al
segundo objetivo específico, relacionado con la determinación de las altitudes ortométricas (H),
elipsoidales (h) y separación geodial (N).
D. En el proceso se repiten los pasos B y C hasta finalizar la línea.
E. Los datos que se utilizan en oficina para calcular la altura nivelada por medio de GPS
(HGPS) de los puntos nuevos son: Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N
GEOCOL) de todos los puntos utilizados y la altura nivelada (H) de los puntos NP.
34
Para lo anterior, se utilizaron los modelos geoidales GEOCOL2004 modelo gravitacional
oficial para Colombia y el modelo geoidal EGM2008 último modelo gravitacional calculado para
el planeta tierra.
En la Figura 11 se observa el cálculo para las ondulaciones geoidales utilizando el software
de uso gratuito Magnapro3 el cual utiliza para el cálculo el modelo gravitacional GEOCOL2004.
Figura 11. Cálculo para las ondulaciones geoidales a partir del modelo GEOCOL2004. Fuente:
Elaboración propia, 2015
En la Tabla 5 se presentan los valores necesarios para llevar a cabo el análisis y cálculo de la
altura ortométrica (H) a partir del modelo geoidal GEOCOL2004 para cada uno de los vértices de
la poligonal topográfico utilizando la metodología planteada para el presente estudio.
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación (N)
GEOCOL_2004
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 26.0700 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
GPS-1 2654.9494 26.0800 A determinar 5° 09' 00.21974" N 73° 40' 46.62515" W
GPS-2 2671.8260 26.0900 A determinar 5° 08' 46.04695" N 73° 41' 20.43868" W
DELTA-3 2702.6216 26.1600 A determinar 5° 08' 56.68637" N 73° 42' 01.58581" W
DELTA-4 2784.5096 26.2200 A determinar 5° 09' 20.49766" N 73° 42' 16.40584" W
DELTA-5 2920.9320 26.3100 A determinar 5° 09' 58.39533" N 73° 42' 38.06286" W
35
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación (N)
GEOCOL_2004
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
DELTA-6 2898.1800 26.3500 A determinar 5° 10' 05.05423" N 73° 43' 04.82907" W
DELTA-7 2859.1400 26.3700 A determinar 5° 10' 17.25945" N 73° 43' 19.18565" W
DELTA-8 2867.9582 26.3600 A determinar 5° 10' 10.59461" N 73° 43' 36.94697" W
DELTA-9 2932.1689 26.3900 A determinar 5° 10' 31.83463" N 73° 43' 55.64476" W
DELTA-10 2974.4278 26.4000 A determinar 5° 10' 45.29693" N 73° 44' 14.04312" W
DELTA-11 3019.5044 26.4000 A determinar 5° 10' 50.12997" N 73° 44' 32.82454" W
DELTA-12 2983.4250 26.4000 A determinar 5° 11' 00.95955" N 73° 44' 45.29810" W
DELTA-13 2972.8483 26.3900 A determinar 5° 11' 04.62528" N 73° 45' 01.00686" W
DELTA-14 2946.3942 26.3900 A determinar 5° 11' 15.22955" N 73° 45' 03.59334" W
DELTA-15 2870.7141 26.3600 A determinar 5° 11' 56.15069" N 73° 45' 13.53116" W
DELTA-16 2889.5752 26.3500 A determinar 5° 12' 03.98599" N 73° 45' 25.85974" W
DELTA-17 2887.8409 26.3300 A determinar 5° 12' 09.18050" N 73° 45' 33.63550" W
DELTA-18 2875.7186 26.3100 A determinar 5° 12' 05.88878" N 73° 45' 50.51021" W
DELTA-19 2877.9343 26.2700 A determinar 5° 12' 00.49998" N 73° 46' 30.48066" W
DELTA-20 3064.1394 26.2400 A determinar 5° 12' 03.68563" N 73° 46' 52.95441" W
DELTA-21 3065.3612 26.2300 A determinar 5° 11' 57.66163" N 73° 46' 57.03297" W
DELTA-22 3058.5603 26.2300 A determinar 5° 11' 52.94796" N 73° 46' 57.62633" W
DELTA-23 2873.5197 26.2500 A determinar 5° 11' 17.95825" N 73° 47' 26.42156" W
DELTA-24 2929.4137 26.2600 A determinar 5° 10' 48.80661" N 73° 47' 35.14323" W
DELTA-25 2974.3152 26.2600 A determinar 5° 10' 03.18727" N 73° 47' 55.51053" W
GPS-3 2883.7758 26.2700 A determinar 5° 09' 34.49593" N 73° 47' 41.75113" W
GPS-4 2979.2539 26.2700 A determinar 5° 08' 51.48717" N 73° 47' 40.63842" W
NP_41-NE 2733.4354 25.9900 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 5. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N) GEOCOL de todos los puntos utilizados y la
altura nivelada (H) de los puntos NP. Fuente: Elaboración propia, 2015
36
Para la determinación de la ondulación geoidal utilizando el modelo gravitacional EGM2008,
se realizó el cálculo de postproceso utilizando el software TopconTools, cargando el
correspondiente modelo EGM2008 para el postproceso de cada vértice de la poligonal topográfica.
En la Figura 12 se puede observar el procedimiento empleado.
Figura 12. Cálculo de las ondulaciones geoidales a partir del modelo EGM2008. Fuente:
Elaboración propia, 2015
En la Tabla 6 se presentan los valores necesarios para llevar a cabo el análisis y cálculo de la
altura ortométrica (H) a partir del modelo geoidal EGM2008 para cada uno de los vértices de la
poligonal topográfico utilizando la metodología planteada para el presente estudio.
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación
(N) EGM2008
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 22.1470 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
GPS-1 2654.9790 22.1460 A determinar 5°09'00.21838"N 73°40'46.62587"W
GPS-2 2671.8760 22.1520 A determinar 5°08'46.04706"N 73°41'20.43841"W
DELTA-3 2702.6620 22.1780 A determinar 5°08'56.68793"N 73°42'01.58590"W
DELTA-4 2784.5570 22.2000 A determinar 5°09'20.49703"N 73°42'16.40527"W
DELTA-5 2920.9740 22.2310 A determinar 5°09'58.39557"N 73°42'38.06314"W
DELTA-6 2898.2020 22.2370 A determinar 5°10'05.05405"N 73°43'04.82901"W
DELTA-7 2859.1520 22.2440 A determinar 5°10'17.25721"N 73°43'19.18519"W
DELTA-8 2867.9610 22.2420 A determinar 5°10'10.59433"N 73°43'36.94674"W
37
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación
(N) EGM2008
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
DELTA-9 2932.2390 22.2530 A determinar 5°10'31.83424"N 73°43'55.64590"W
DELTA-10 2974.4900 22.2610 A determinar 5°10'45.29545"N 73°44'14.04271"W
DELTA-11 3019.6100 22.2640 A determinar 5°10'50.13031"N 73°44'32.82447"W
DELTA-12 2983.3810 22.2690 A determinar 5°11'00.95988"N 73°44'45.29798"W
DELTA-13 2973.0470 22.2710 A determinar 5°11'04.62785"N 73°45'01.00971"W
DELTA-14 2946.4480 22.2740 A determinar 5°11'15.23085"N 73°45'03.59379"W
DELTA-15 2870.7010 22.2880 A determinar 5°11'56.15314"N 73°45'13.53063"W
DELTA-16 2889.6380 22.2880 A determinar 5°12'03.98633"N 73°45'25.85934"W
DELTA-17 2887.9860 22.2880 A determinar 5°12'09.18426"N 73°45'33.62922"W
DELTA-18 2875.5550 22.2820 A determinar 5°12'05.88265"N 73°45'50.51401"W
DELTA-19 2877.9140 22.2700 A determinar 5°12'00.50008"N 73°46'30.48067"W
DELTA-20 3064.3270 22.2660 A determinar 5°12'03.68552"N 73°46'52.94967"W
DELTA-21 3065.5270 22.2630 A determinar 5°11'57.66221"N 73°46'57.03102"W
DELTA-22 3058.7170 22.2610 A determinar 5°11'52.95375"N 73°46'57.62751"W
DELTA-23 2873.4080 22.2450 A determinar 5°11'17.96025"N 73°47'26.42314"W
DELTA-24 2929.4050 22.2360 A determinar 5°10'48.80953"N 73°47'35.14431"W
DELTA-25 2974.4310 22.2220 A determinar 5°10'03.18845"N 73°47'55.51259"W
GPS-3 2883.7930 22.2120 A determinar 5°09'34.49582"N 73°47'41.75161"W
GPS-4 2979.2400 22.1940 A determinar 5°08'51.48770"N 73°47'40.63914"W
NP_41-NE 2733.4354 22.1030 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 6. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N) EGM2008 de todos los puntos utilizados y la
altura nivelada (H) de los puntos NP. Fuente: Elaboración propia, 2015
38
5.3.1. Metodología en Oficina
El postproceso de los datos GPS se realizó con 2 softwares diferentes, el GeoOffice v.7 de
Leica y el TopconTools v.7.5.1 de Topcon, de modo que se pudiera realizar una comparación, ya
que generalmente cada software y sobre todo en la componente altimétrica, aplican criterios
distintos arrojando a su vez, resultados distintos. De esta manera, una vez recopilada la
información en campo y procesadas las coordenadas latitud (ϕ), longitud (λ) y altura elipsoidal (h)
de cada estación rastreada, la determinación de alturas sobre el nivel medio del mar (snmm) a
partir de información GPS se realizó como se muestra a continuación (Sánchez & Martínez, 1997):
En la Tabla 7 se observa los resultados obtenidos para el cálculo de las diferencias entre las
alturas elipsoidales (h) a partir de los dos software utilizados para el cálculo de ajuste de los
diferentes vértices de la poligonal topográfica, así como la diferencia entre éstos.
Estaciones Δhi = hRi - hBase
(m) Topcon tools
Δhi = hRi - hBase(m)
Leica Goficce
d=ΔhiTopcon-
ΔhiLeica
GPS-1 - NP_A49-NE 2.146 2.116 0.030
GPS-2 - NP_A49-NE 19.043 18.993 0.050
DELTA-3 - NP_A49-NE 49.829 49.788 0.040
DELTA-4 - NP_A49-NE 131.724 131.676 0.047
DELTA-5 - NP_A49-NE 268.141 268.099 0.042
DELTA-6 - NP_A49-NE 245.369 245.347 0.022
DELTA-7 - NP_A49-NE 206.319 206.307 0.012
DELTA-8 - NP_A49-NE 215.128 215.125 0.003
DELTA-9 - NP_A49-NE 279.406 279.336 0.070
DELTA-10 - NP_A49-NE 321.657 321.595 0.062
DELTA-11 - NP_A49-NE 366.777 366.671 0.106
DELTA-12 - NP_A49-NE 330.548 330.592 0.044
DELTA-13 - NP_A49-NE 320.214 320.015 0.199
a. Determinación de las diferencias entre las alturas elipsoidales de la base (hBase) y
sus rover (hRi) correspondientes:
Δhi = hRi - hBase (1)
39
Estaciones Δhi = hRi - hBase
(m) Topcon tools
Δhi = hRi - hBase(m)
Leica Goficce
d=ΔhiTopcon-
ΔhiLeica
DELTA-14 - NP_A49-NE 293.615 293.561 0.054
DELTA-15 - NP_A49-NE 217.868 217.881 0.013
DELTA-16 - NP_A49-NE 236.805 236.742 0.063
DELTA-17 - NP_A49-NE 235.153 235.008 0.145
DELTA-18 - NP_A49-NE 222.722 222.885 0.164
DELTA-19 - NP_A49-NE 225.081 225.101 0.020
DELTA-20 - NP_A49-NE 411.494 411.306 0.188
DELTA-21 - NP_A49-NE 412.694 412.528 0.166
DELTA-22 - NP_A49-NE 405.884 405.727 0.157
DELTA-23 - NP_A49-NE 220.575 220.686 0.112
DELTA-24 - NP_A49-NE 276.572 276.580 0.009
DELTA-25 - NP_A49-NE 321.598 321.482 0.116
GPS-3 - NP_A49-NE 230.960 230.943 0.017
GPS-4 - NP_A49-NE 326.407 326.421 0.014
NP_41-NE - NP_A49-NE 80.602 80.602 0.000
MEDIA 0.070
Tabla 7. Diferencias entre las alturas elipsoidales de la base (hBase) y sus rover (hRi) a partir de los
dos software utilizados, así como la diferencia entre éstos. Fuente: Elaboración propia, 2015
Frente a lo obtenido anteriormente, se puede analizar que los valores obtenidos a partir de los
dos (2) Software utilizados (Leica y Topcon Tools), si bien, son relativamente cercanos difieren
en el orden del centímetro con una media aritmética de 0.043 metros, lo que significa que al realizar
el cálculo con diferentes software se obtendrán resultados diferentes para la altura elipsoidal (h),
por ende viéndose afectada la altura ortométrica resultante.
En la Tabla 8 se observa los resultados obtenidos para el cálculo de las diferencias entre las
ondulaciones geoidales (N) a partir de los modelos gravimétricos EGM2008 y GEOCOL2004
respectivamente, así como la diferencia entre éstos.
b. Determinación de las diferencias de alturas geoidales entre la base (NBase) y sus
rover (NRi) correspondientes:
ΔNi = NRi - NBase (2)
40
Estaciones ΔNi = NRi - NBase
EGM2008 (m)
ΔNi = NRi - Nbase
GEOCOL2004 (m)
d=ΔNi EGM2008-
ΔNi GEOCOL2004
(m)
GPS-1 - NP_A49-NE -0.001 0.010 0.011
GPS-2 - NP_A49-NE 0.005 0.020 0.015
DELTA-3 - NP_A49-NE 0.031 0.090 0.059
DELTA-4 - NP_A49-NE 0.053 0.150 0.097
DELTA-5 - NP_A49-NE 0.084 0.240 0.156
DELTA-6 - NP_A49-NE 0.090 0.280 0.190
DELTA-7 - NP_A49-NE 0.097 0.300 0.203
DELTA-8 - NP_A49-NE 0.095 0.290 0.195
DELTA-9 - NP_A49-NE 0.106 0.320 0.214
DELTA-10 - NP_A49-NE 0.114 0.330 0.216
DELTA-11 - NP_A49-NE 0.117 0.330 0.213
DELTA-12 - NP_A49-NE 0.122 0.330 0.208
DELTA-13 - NP_A49-NE 0.124 0.320 0.196
DELTA-14 - NP_A49-NE 0.127 0.320 0.193
DELTA-15 - NP_A49-NE 0.141 0.290 0.149
DELTA-16 - NP_A49-NE 0.141 0.280 0.139
DELTA-17 - NP_A49-NE 0.141 0.260 0.119
DELTA-18 - NP_A49-NE 0.135 0.240 0.105
DELTA-19 - NP_A49-NE 0.123 0.200 0.077
DELTA-20 - NP_A49-NE 0.119 0.170 0.051
DELTA-21 - NP_A49-NE 0.116 0.160 0.044
DELTA-22 - NP_A49-NE 0.114 0.160 0.046
DELTA-23 - NP_A49-NE 0.098 0.180 0.082
DELTA-24 - NP_A49-NE 0.089 0.190 0.101
DELTA-25 - NP_A49-NE 0.075 0.190 0.115
GPS-3 - NP_A49-NE 0.065 0.200 0.135
GPS-4 - NP_A49-NE 0.047 0.200 0.153
NP_41-NE - NP_A49-NE -0.044 -0.080 0.036
MEDIA 0.126
Tabla 8. Diferencia de alturas geoidales entre la Base y su Rover correspondiente a partir de los
modelos EGM2008 y GEOCOL 2004 Fuente: Elaboración propia, 2015
Frente a lo obtenido anteriormente, se puede analizar que los valores obtenidos a partir de los
dos (2) modelos gravimétricos utilizados (EGM2008 y GEOCOL 2004), difieren en el orden del
decímetro con una media aritmética de 0.126 metros.
41
Igualmente se observa que el modelo EGM2008 ofrece valores de ondulación geoidal (N) en
el orden del milímetro mientras que el modelo geoidal GEOCOL2004 ofrece valores en el orden
del centímetro ofreciendo mayor confiabilidad el modelo geoidal EGM2008.
En la Tabla 9 se observa los resultados obtenidos para el cálculo entre las diferencias de
alturas niveladas GPS (ΔHGPSi) entre la base y sus rover correspondientes, a partir de los modelos
gravimétricos EGM2008 y GEOCOL2004 respectivamente, así como la diferencia entre éstos.
Estaciones ΔHGPSi = Δhi - ΔNi
EGM2008 (m)
ΔHGPSi = Δhi - Δni
GEOCOL2004 (m)
d=ΔHGPSi EGM2008-
ΔHGPSi
GEOCOL2004 (m)
GPS-1 - NP_A49-NE 2.147 2.106 0.041
GPS-2 - NP_A49-NE 19.038 18.973 0.065
DELTA-3 - NP_A49-NE 49.798 49.698 0.099
DELTA-4 - NP_A49-NE 131.671 131.526 0.144
DELTA-5 - NP_A49-NE 268.057 267.859 0.198
DELTA-6 - NP_A49-NE 245.279 245.067 0.212
DELTA-7 - NP_A49-NE 206.222 206.007 0.215
DELTA-8 - NP_A49-NE 215.033 214.835 0.198
DELTA-9 - NP_A49-NE 279.300 279.016 0.284
DELTA-10 - NP_A49-NE 321.543 321.265 0.278
DELTA-11 - NP_A49-NE 366.660 366.341 0.319
DELTA-12 - NP_A49-NE 330.426 330.262 0.164
DELTA-13 - NP_A49-NE 320.090 319.695 0.395
DELTA-14 - NP_A49-NE 293.488 293.241 0.247
DELTA-15 - NP_A49-NE 217.727 217.591 0.136
DELTA-16 - NP_A49-NE 236.664 236.462 0.202
DELTA-17 - NP_A49-NE 235.012 234.748 0.264
DELTA-18 - NP_A49-NE 222.587 222.645 0.059
DELTA-19 - NP_A49-NE 224.958 224.901 0.057
DELTA-20 - NP_A49-NE 411.375 411.136 0.239
DELTA-21 - NP_A49-NE 412.578 412.368 0.210
DELTA-22 - NP_A49-NE 405.770 405.567 0.203
DELTA-23 - NP_A49-NE 220.477 220.506 0.030
c. Determinación de las diferencias de alturas niveladas GPS (ΔHGPSi) entre la base y
sus rover correspondientes:
ΔHGPSi = Δhi - ΔNi (3)
42
Estaciones ΔHGPSi = Δhi - ΔNi
EGM2008 (m)
ΔHGPSi = Δhi - Δni
GEOCOL2004 (m)
d=ΔHGPSi EGM2008-
ΔHGPSi
GEOCOL2004 (m)
DELTA-24 - NP_A49-NE 276.483 276.390 0.092
DELTA-25 - NP_A49-NE 321.523 321.292 0.231
GPS-3 - NP_A49-NE 230.895 230.743 0.152
GPS-4 - NP_A49-NE 326.360 326.221 0.139
NP_41-NE - NP_A49-NE 80.646 80.682 0.036
MEDIA 0.175
Tabla 9. Diferencias de alturas niveladas GPS (ΔHGPSi) entre la base y su rover correspondiente
para los modelos geoidales EGM2008 y GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
Frente a lo obtenido anteriormente, se puede analizar que los valores obtenidos a partir de los
dos (2) modelos gravimétricos utilizados (EGM2008 y GEOCOL 2004), difieren en el orden del
decímetro con una media aritmética de 0.175 metros.
En la Tabla 10 se observa los resultados obtenidos para el cálculo de las alturas niveladas
GPS iniciales (H°GPSi) de los puntos a determinar, a partir de los modelos gravimétricos
EGM2008 y GEOCOL2004 respectivamente, así como la diferencia entre éstos.
Estaciones
Altura nivelada GPS
inicial (H°GPSi)
EGM2008 (m)
Altura nivelada GPS
inicial (H°GPSi)
GEOCOL2004 (m)
d=H°GPSi EGM2008-
H°GPSi GEOCOL2004
(m)
NP_A49-NE Base 2630.291 2630.291 0.000
GPS-1 - NP_A49-NE 2632.438 2632.397 0.041
GPS-2 - NP_A49-NE 2649.329 2649.264 0.065
DELTA-3 - NP_A49-NE 2680.089 2679.989 0.099
DELTA-4 - NP_A49-NE 2761.962 2761.817 0.144
DELTA-5 - NP_A49-NE 2898.348 2898.150 0.198
DELTA-6 - NP_A49-NE 2875.570 2875.358 0.212
DELTA-7 - NP_A49-NE 2836.513 2836.298 0.215
d. Cálculo de las alturas niveladas GPS iniciales (H°GPSi) de los puntos
desconocidos:
H°GPSi = HBase + ΔHi (4)
43
Estaciones
Altura nivelada GPS
inicial (H°GPSi)
EGM2008 (m)
Altura nivelada GPS
inicial (H°GPSi)
GEOCOL2004 (m)
d=H°GPSi EGM2008-
H°GPSi GEOCOL2004
(m)
DELTA-8 - NP_A49-NE 2845.324 2845.126 0.198
DELTA-9 - NP_A49-NE 2909.591 2909.307 0.284
DELTA-10 - NP_A49-NE 2951.834 2951.556 0.278
DELTA-11 - NP_A49-NE 2996.951 2996.632 0.319
DELTA-12 - NP_A49-NE 2960.717 2960.553 0.164
DELTA-13 - NP_A49-NE 2950.381 2949.986 0.395
DELTA-14 - NP_A49-NE 2923.779 2923.532 0.247
DELTA-15 - NP_A49-NE 2848.018 2847.882 0.136
DELTA-16 - NP_A49-NE 2866.955 2866.753 0.202
DELTA-17 - NP_A49-NE 2865.303 2865.039 0.264
DELTA-18 - NP_A49-NE 2852.878 2852.936 0.059
DELTA-19 - NP_A49-NE 2855.249 2855.192 0.057
DELTA-20 - NP_A49-NE 3041.666 3041.427 0.239
DELTA-21 - NP_A49-NE 3042.869 3042.659 0.210
DELTA-22 - NP_A49-NE 3036.061 3035.858 0.203
DELTA-23 - NP_A49-NE 2850.768 2850.797 0.030
DELTA-24 - NP_A49-NE 2906.774 2906.681 0.092
DELTA-25 - NP_A49-NE 2951.814 2951.583 0.231
GPS-3 - NP_A49-NE 2861.186 2861.034 0.152
GPS-4 - NP_A49-NE 2956.651 2956.512 0.139
NP_41-NE - NP_A49-NE 2710.937 2710.973 0.036
MEDIA 0.169
Tabla 10. Cálculo de las alturas GPS niveladas iniciales (HGPSi) de los puntos a determinar para los
modelos geoidales EGM2008 y GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
Frente a lo presentado anteriormente, se puede analizar que los valores obtenidos a partir de
los dos (2) modelos gravimétricos utilizados (EGM2008 y GEOCOL 2004), difieren en el orden
del decímetro con una media aritmética de 0.169 metros.
Se puede observar que las diferencias entre las alturas niveladas iniciales para un modelo y
otro se encuentra en un intervalo entre los 10 y 40 cm.
44
En la Tabla 11 se presentan los resultados obtenidos para la determinación de las diferencias
de alturas niveladas GPS iniciales (H°GPSi) entre estaciones consecutivas a partir de los modelos
gravimétricos EGM2008 y GEOCOL2004 respectivamente, así como la diferencia entre éstos.
Estaciones ΔH°GPS = ΔHi - ΔHi-1
EGM2008 (m)
ΔH°GPS = ΔHi - ΔHi-
1
GEOCOL2004 (m)
ΔH°GPS EGM2008-
ΔH°GPS
GEOCOL2004 (m)
NP_A49-NE Base
GPS-1 - NP_A49-NE 2.147 2.106 0.041
GPS-2 - NP_A49-NE 16.891 16.867 0.024
DELTA-3 - NP_A49-NE 30.760 30.726 0.034
DELTA-4 - NP_A49-NE 81.873 81.828 0.045
DELTA-5 - NP_A49-NE 136.386 136.332 0.054
DELTA-6 - NP_A49-NE -22.778 -22.792 0.014
DELTA-7 - NP_A49-NE -39.057 -39.060 0.003
DELTA-8 - NP_A49-NE 8.811 8.828 0.017
DELTA-9 - NP_A49-NE 64.267 64.181 0.086
DELTA-10 - NP_A49-NE 42.243 42.249 0.006
DELTA-11 - NP_A49-NE 45.117 45.077 0.040
DELTA-12 - NP_A49-NE -36.234 -36.079 0.155
DELTA-13 - NP_A49-NE -10.336 -10.567 0.231
DELTA-14 - NP_A49-NE -26.602 -26.454 0.148
DELTA-15 - NP_A49-NE -75.761 -75.650 0.111
DELTA-16 - NP_A49-NE 18.937 18.871 0.066
DELTA-17 - NP_A49-NE -1.652 -1.714 0.062
DELTA-18 - NP_A49-NE -12.425 -12.102 0.323
DELTA-19 - NP_A49-NE 2.371 2.256 0.115
DELTA-20 - NP_A49-NE 186.417 186.235 0.182
DELTA-21 - NP_A49-NE 1.203 1.232 0.029
DELTA-22 - NP_A49-NE -6.808 -6.801 0.007
DELTA-23 - NP_A49-NE -185.293 -185.061 0.232
e. Determinación de las diferencias de alturas niveladas GPS iniciales (H°GPSi) entre
estaciones consecutivas:
ΔH°GPS = ΔHi - ΔHi-1 (5)
éstas deben ser ajustadas a partir de los valores de altura nivelados en las bases.
45
Estaciones ΔH°GPS = ΔHi - ΔHi-1
EGM2008 (m)
ΔH°GPS = ΔHi - ΔHi-
1
GEOCOL2004 (m)
ΔH°GPS EGM2008-
ΔH°GPS
GEOCOL2004 (m)
DELTA-24 - NP_A49-NE 56.006 55.884 0.122
DELTA-25 - NP_A49-NE 45.040 44.901 0.138
GPS-3 - NP_A49-NE -90.628 -90.549 0.079
GPS-4 - NP_A49-NE 95.465 95.478 0.013
NP_41-NE - NP_A49-NE -245.714 -245.539 0.175
MEDIA 0.091
Tabla 11. Determinación de las diferencias de alturas nivelas GPS iniciales (H°GPSi) entre
estaciones consecutivas para los diferentes modelos EGM2008 y GEOCOL2004. Fuente: Elaboración
propia, 2015
Frente a lo mostrado anteriormente, se puede analizar que los valores obtenidos a partir de los
dos (2) modelos gravimétricos utilizados (EGM2008 y GEOCOL 2004), difieren en el orden del
decímetro con una media aritmética de 0.091 metros.
Se puede observar que las diferencias entre las alturas niveladas iniciales para un modelo y
otro se encuentra en un intervalo entre los 0.3 y 35 cm.
46
5.4.OBJETIVO ESPECÍFICO No. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Con los resultados obtenidos a partir del desarrollo de los pasos anteriores a continuación se
presenta, el cálculo de ajuste por mínimos cuadrados para la cadena de los veintisiete (27) vértices
que componen la poligonal topográfica, dando cumplimiento al tercer objetivo específico
planteado en el presente estudio.
El ajuste por mínimos cuadrados de ΔH°GPS de acuerdo con el modelo matemático del
método correlativo para los datos obtenidos a partir del modelo GEOCOL2004, se presenta a
continuación:
En la Ecuación 1 se presenta la ecuación de condición de las variables a determinar:
Ecuación 1. Ecuación de Condición de las variables a determinar GEOCOL2004. Fuente:
Elaboración propia, 2015
f. Ajuste por mínimos cuadrados de ΔH°GPS de acuerdo con el modelo matemático
del método correlativo (Sánchez & Martínez, 1997):
BV + W = 0 (6)
Siendo
V = P-1 BT (BP-1 BT)-1 W (7)
W = C-BLb (8)
Donde:
B=b m,n : Matriz de los coeficientes de las observaciones en las ecuaciones de condición,
P=p n,n: Matriz de los pesos de las observaciones, L = lm,1 : Vector de las observaciones, C=cm,1: Vector de los términos independientes en las ecuaciones de condición y
V=(vi)(i=1,2,...,n): Vector de las desviaciones de las cantidades observadas.
(𝑙𝑎 + 𝑣𝑎) + (𝑙𝑏 + 𝑣𝑏) +(𝑙𝑐 + 𝑣𝑐) + (𝑙𝑑 + 𝑣𝑑) + (𝑙𝑒 + 𝑣𝑒) − (𝑙𝑓 + 𝑣𝑓) − (𝑙𝑔 + 𝑣𝑔) + (𝑙ℎ + 𝑣ℎ) +
(𝑙𝑖 + 𝑣𝑖) + (𝑙𝑗 + 𝑣𝑗) + (𝑙𝑘 + 𝑣𝑘) − (𝑙𝑙 + 𝑣𝑙) − (𝑙𝑚 + 𝑣𝑚) − (𝑙𝑛 + 𝑣𝑛) − (𝑙𝑜 + 𝑣𝑜) + (lp+vp) −
(lq + vq) − (lr + vr) + (ls + vs) + (lt + vt) + (lv + vv) − (lw + vw) −
(lx + vx) + (ly + vy) + (lz + vz) − (laa + vaa) + (lbb + vbb) − (lcc + vcc) = (X)
47
A continuación se presenta la B=Matriz de los coeficientes de las observaciones en las ecuaciones de
condición.
B= 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1
(1 X 28)
Matriz 1. B=b m, n: Matriz de los coeficientes GEOCOL2004. Fuente: Elaboración
propia, 2015
En la Matriz 2, se muestra L =Vector de las observaciones, el cual se obtiene a partir de las
diferencias de alturas niveladas GPS iniciales (H°GPSi) entre estaciones consecutivas ΔH°GPS =
ΔHi - ΔHi-1
Matriz 2. Vector de las observaciones (L) GEOCOL2004 Fuente: Elaboración propia, 2015
2.12
16.86
30.73
81.83
136.33
22.79
39.06
8.83
64.18
42.25
45.08
L = 36.08
10.57
26.45
75.65
18.87
1.71
12.10
2.26
186.24
1.23
6.80
185.06
55.88
44.90
90.55
95.48
245.54
(28X1)
48
A continuación se presenta P= Matriz de los pesos de las observaciones, la cual se obtiene con el cálculo del inverso del cuadrado de las
diferencias entre las ondulación geoidales (N): ΔNi = NRi - Nbase
Matriz 3. P=Matriz de los pesos de las observaciones GEOCOL2004. Fuente Elaboración propia, 2015
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18 L19 L20 L21 L22 L23 L24 L25 L26 L27 L28
2.12 10000.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16.86 0 2500.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30.73 0 0 123.457 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
81.83 0 0 0 44.444 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
136.33 0 0 0 0 17.361 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
22.79 0 0 0 0 0 12.76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
39.06 0 0 0 0 0 0 11.111 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.83 0 0 0 0 0 0 0 11.891 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
64.18 0 0 0 0 0 0 0 0 9.77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
42.25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
45.08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.183 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
L = 36.08 P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10.57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.77 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
26.45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9.766 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
75.65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11.891 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18.87 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12.755 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14.793 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12.10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17.361 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2.26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0
186.24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 34.602 0 0 0 0 0 0 0 0
1.23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 39.062 0 0 0 0 0 0 0
6.80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 39.062 0 0 0 0 0 0
185.06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30.864 0 0 0 0 0
55.88 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27.701 0 0 0 0
44.90 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27.701 0 0 0
90.55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25.000 0 0
95.48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25.000 0
245.54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 156.250
(28 X 28)
49
A continuación se muestra el cálculo para C= Vector de los términos independientes en las
ecuaciones de condición.
C= (H)NP_A49-NE - (H) NP_41-NE
C= 2630.291- 2710.721
C= 80.430
Vector 1. Términos independientes en la ecuación de condición GEOCOL2004. Fuente:
Elaboración propia, 2015
Teniendo las variables C, B y L se adelanta el cálculo de W, como se presenta a continuación:
W = C-BLb (8)
W= C-BL
W= 80.430- 80.682
W= -0.252100
Matriz 4. Cálculo de la variable W GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
Una vez obtenidas las matrices B, P, L y W se procede a calcular la inversa para la matriz P
(P-1) y la transpuesta para la matriz B (BT) con el fin de poder realizar el cálculo de la variable V
denominada Vector de los residuales de las cantidades observadas. (Ecuación 7)
V = P-1 BT (BP-1 BT)-1 W (7)
50
En la Matriz 5 se muestran los cálculos resultantes para la Matriz inversa de la variable P
Matriz 5. Matriz Inversa de P GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0004 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0081 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.0225 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.0576 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.0784 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.0841 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.1024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1089 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1089 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1089 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P-1
= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0841 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0784 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0676 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0576 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0289 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0256 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0256 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0324 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0361 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0361 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0064
(28 X 28)
51
En la Matriz 6 se presenta el resultante de la Matriz transpuesta de los coeficientes de las
observaciones BT.
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
BT = -1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
(28X1)
Matriz 6. Matriz transpuesta de los coeficientes de las observaciones BT
GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
52
Una vez halladas las variables de la ecuación (7) se procede a calcular el valor de la variable
V denominada Vector de los residuales de las cantidades observadas en la Matriz V.
0.0000
-0.0001
-0.0013
-0.0036
-0.0092
0.0126
0.0144
-0.0135
-0.0164
-0.0174
-0.0174
V=(P-1 BT(BP-1BT)-1)W= 0.0174
0.0164
0.0164
0.0135
-0.0126
0.0108
0.0092
-0.0064
-0.0046
-0.0041
0.0041
0.0052
-0.0058
-0.0058
0.0064
-0.0064
0.0010
(28 X 1)
Matriz 7. Vector de los residuales de las cantidades observadas (V) GEOCOL2004. Fuente:
Elaboración propia, 2015
53
Una vez obtenidas los resultados para las variables de las ecuaciones (7) y (8) procedemos a
calcular el valor de L* = lecturas de desnivel corregidas y Hc = altitudes ortométricas ajustadas.
(Matriz 8)
2.12 2632.41
16.86 2649.26
30.72 2679.99
81.82 2761.81
136.32 2898.14
-22.78 2875.36
-39.05 2836.31
8.81 2845.13
64.16 2909.29
42.23 2951.52
45.06 2996.58
L* = L+V = -36.06 Hc = H + L* 2960.52
-10.55 2949.97
-26.44 2923.53
-75.64 2847.89
18.86 2866.75
-1.70 2865.05
-12.09 2852.96
2.25 2855.20
186.23 3041.44
1.23 3042.66
-6.80 3035.87
-185.06 2850.81
55.88 2906.69
44.90 2951.58
-90.54 2861.04
95.47 2956.51
-245.54 2710.98
(28 X 1) (28 X 1)
Matriz 8. Lecturas de desnivel corregidas (L*) y altitudes ortométricas ajustadas (Hc)
GEOCOL2004. Fuente: Elaboración propia, 2015
54
Además del desarrollo de la metodología propuesta por Sánchez & Martínez, (1997) para el
calculo de los valores de altura ortometrica (H) ajustados y calculados a partir del modelo geoidal
para Colombia GEOCOL 2004, a continuación se presenta el ajuste por mínimos cuadrados de
ΔH°GPS de acuerdo con el modelo matemático del método correlativo para los datos obtenidos a
partir del modelo geoidal EGM2008.
En la Ecuación 2 se presenta la ecuación de condición de las variables a determinar:
Ecuación 2. Ecuación de condición de las variables a determinar EGM2008. Fuente: Elaboración
propia, 2015
En la Matriz 9 se presenta la B=Matriz de los coeficientes de las observaciones en las
ecuaciones de condición.
B= 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1
(1 X 28)
Matriz 9. B=b m,n: Matriz de los coeficientes EGM2008. Fuente: Elaboración propia, 2015
(𝑙𝑎 + 𝑣𝑎) + (𝑙𝑏 + 𝑣𝑏) +(𝑙𝑐 + 𝑣𝑐) + (𝑙𝑑 + 𝑣𝑑) + (𝑙𝑒 + 𝑣𝑒) − (𝑙𝑓 + 𝑣𝑓) − (𝑙𝑔 + 𝑣𝑔) + (𝑙ℎ + 𝑣ℎ) +
(𝑙𝑖 + 𝑣𝑖) + (𝑙𝑗 + 𝑣𝑗) + (𝑙𝑘 + 𝑣𝑘) − (𝑙𝑙 + 𝑣𝑙) − (𝑙𝑚 + 𝑣𝑚) − (𝑙𝑛 + 𝑣𝑛) − (𝑙𝑜 + 𝑣𝑜) + (lp+vp) −
(lq + vq) − (lr + vr) + (ls + vs) + (lt + vt) + (lv + vv) − (lw + vw) −
(lx + vx) + (ly + vy) + (lz + vz) − (laa + vaa) + (lbb + vbb) − (lcc + vcc) = (X)
55
En la Matriz 10 se muestra L =Vector de las observaciones, el cual se obtiene a partir de las
diferencias de alturas niveladas GPS iniciales (H°GPSi) entre estaciones consecutivas ΔH°GPS =
ΔHi - ΔHi-1
Matriz 10. Vector de las observaciones (L) EGM2008. Fuente: Elaboración propia, 2015
2.15
16.89
30.76
81.87
136.39
22.78
39.06
8.81
64.27
42.24
45.12
L = 36.23
10.34
26.60
75.76
18.94
1.65
12.43
2.37
186.42
1.20
6.81
185.29
56.01
45.04
90.63
95.46
245.71
(28X1)
56
A continuación se presenta P= Matriz de los pesos de las observaciones, la cual se obtiene con el cálculo del inverso del cuadrado de las
diferencias entre las ondulación geoidales (N): ΔNi = NRi - Nbase
Matriz 11. P=Matriz de los pesos de las observaciones EGM2008. Fuente: Elaboración propia, 2015
L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 L16 L17 L18 L19 L20 L21 L22 L23 L24 L25 L26 L27 L28
2.15 1000000.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16.89 0 40000.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30.76 0 0 1040.583 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
81.87 0 0 0 355.999 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
136.39 0 0 0 0 141.723 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
22.78 0 0 0 0 0 123.46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
39.06 0 0 0 0 0 0 106.281 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.81 0 0 0 0 0 0 0 110.803 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
64.27 0 0 0 0 0 0 0 0 89.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
42.24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.95 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
45.12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73.051 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
L = 36.23 P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 67.19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10.34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 65.04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
26.60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 62.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
75.76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50.299 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18.94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50.299 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1.65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50.299 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12.43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 54.870 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2.37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 66.098 0 0 0 0 0 0 0 0 0
186.42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70.616 0 0 0 0 0 0 0 0
1.20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 74.316 0 0 0 0 0 0 0
6.81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 76.947 0 0 0 0 0 0
185.29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 104.123 0 0 0 0 0
56.01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 126.247 0 0 0 0
45.04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 177.778 0 0 0
90.63 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 236.686 0 0
95.46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 452.694 0
245.71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 516.529
(28 X 28)
57
A continuación se muestra el cálculo para C= Vector de los términos independientes en las
ecuaciones de condición.
C= (H)NP_A49-NE - (H) NP_41-NE
C= 2630.291- 2710.721
C= 80.430
Vector 2. Términos independientes en la ecuación de condición EGM2008. Fuente: Elaboración
propia, 2015
Teniendo las variables C, B y L se adelanta el cálculo de W, como se presenta a continuación
W = C-BLb (8)
W= C-BL
W= 80.430- 80.646
W= -0.216100
Matriz 12. Cálculo de la variable W EGM2008. Fuente: Elaboración propia, 2015
Una vez obtenidas las matrices B, P, L y W se procede a calcular la inversa para la matriz P
(P-1 ) y la transpuesta para la matriz B (BT) con el fin de poder realizar el cálculo de la variable V
denominada Vector de las desviaciones de las cantidades observadas. (Ecuación 7)
V = P-1 BT (BP-1 BT)-1 W (7)
58
En la Matriz 13 se muestran los cálculos resultantes para la Matriz inversa de la variable P
Matriz 13. Matriz Inversa de P EGM2008. Fuente: Elaboración propia, 2015
0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0.0010 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.00281 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.00706 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0.00810 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0.0094 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0.0090 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0.0112 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0130 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0137 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0149 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0154 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0161 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P-1
= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0199 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0199 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0199 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0182 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0151 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0142 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0135 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0130 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0096 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0079 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0056 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0042 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0022 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0019
(28 X 28)
59
En la Matriz 14 se presenta la resultante de la Matriz transpuesta de los coeficientes de las
observaciones BT.
Matriz 14. Matriz transpuesta de los coeficientes de las observaciones BT EGM2008. Fuente:
Elaboración propia, 2015
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
BT = -1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
(28X1)
60
Una vez halladas las variables de la ecuación (7) se procede a calcular el valor de la variable
V denominada Vector de los residuales de las cantidades observadas en la Matriz V.
0.0000
0.0000
-0.0007
-0.0021
-0.0053
0.0061
0.0071
-0.0068
-0.0085
-0.0098
-0.0103
V=(P-1 BT(BP-1BT)-1)W= 0.0112
0.0116
0.0122
0.0150
-0.0150
0.0150
0.0137
-0.0114
-0.0107
-0.0101
0.0098
0.0072
-0.0060
-0.0042
0.0032
-0.0017
0.0015
(28 X 1)
Matriz 15. Vector de los residuales de las cantidades observadas (V) EGM2008. Fuente:
Elaboración propia, 2015
61
Una vez obtenidas los resultados para las variables de las ecuaciones (7) y (8) procedemos a
calcular el valor de L* = lecturas de desnivel corregidas y Hc = altitudes ortométricas ajustadas.
(Matriz 16)
Matriz 16.Lecturas de desnivel corregidas (L*) y altitudes ortométricas ajustadas (Hc) EGM2008.
Fuente: Elaboración propia, 2015
2.15 2632.44
16.89 2649.33
30.76 2680.09
81.87 2761.96
136.38 2898.34
-22.77 2875.57
-39.05 2836.52
8.80 2845.32
64.26 2909.58
42.23 2951.81
45.11 2996.92
L* = L+V = -36.22 Hc = H + L* 2960.70
-10.32 2950.37
-26.59 2923.78
-75.75 2848.04
18.92 2866.96
-1.64 2865.32
-12.41 2852.91
2.36 2855.27
186.41 3041.68
1.19 3042.87
-6.80 3036.07
-185.29 2850.79
56.00 2906.79
45.04 2951.82
-90.62 2861.20
95.46 2956.66
-245.71 2710.95
(28 X 1) (28 1)
62
6. RESULTADOS
A continuación se presentan los resultados obtenidos en el desarrollo de cada uno de los
objetivos específicos planteados para el presente estudio.
6.1. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 1 OCUPACIÓN DE LOS VEINTISIETE (27)
VÉRTICES DE LA POLIGONAL TOPOGRÁFICA UTILIZANDO
TECNOLOGÍA GNSS.
El resultado obtenido para el objetivo específico No. 1 se cumplió, la ocupación realizada a
los veintisiete (27) vértices que componen la poligonal topográfica con receptores satelitales
GNSS doble frecuencia se realizó el día ocho (8) de febrero del año 2015, además de toda la
logística de campo necesaria para dar desarrollo a ello, como resultado de esto, se cuenta con
información en formato Rinex la cual fue insumo base para realizar el cálculo de postproceso y
ajuste a cada uno de los vértices que componen la poligonal topográfica.
6.2. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 2. DETERMINACIÓN DE ALTITUDES
ORTOMÉTRICAS, ELIPSOIDALES Y SEPARACIÓN GEOIDAL DE LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Los resultados obtenidos para dar alcance al objetivo específico No. 2 se presentan a
continuación en la Tabla 12 utilizando el modelo geoidal para Colombia GEOCOL 2004.
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación (N)
GEOCOL_2004
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 26.0700 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
GPS-1 2654.9494 26.0800 A determinar 5° 09' 00.21974" N 73° 40' 46.62515" W
GPS-2 2671.8260 26.0900 A determinar 5° 08' 46.04695" N 73° 41' 20.43868" W
DELTA-3 2702.6216 26.1600 A determinar 5° 08' 56.68637" N 73° 42' 01.58581" W
DELTA-4 2784.5096 26.2200 A determinar 5° 09' 20.49766" N 73° 42' 16.40584" W
DELTA-5 2920.9320 26.3100 A determinar 5° 09' 58.39533" N 73° 42' 38.06286" W
DELTA-6 2898.1800 26.3500 A determinar 5° 10' 05.05423" N 73° 43' 04.82907" W
63
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación (N)
GEOCOL_2004
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
DELTA-7 2859.1400 26.3700 A determinar 5° 10' 17.25945" N 73° 43' 19.18565" W
DELTA-8 2867.9582 26.3600 A determinar 5° 10' 10.59461" N 73° 43' 36.94697" W
DELTA-9 2932.1689 26.3900 A determinar 5° 10' 31.83463" N 73° 43' 55.64476" W
DELTA-10 2974.4278 26.4000 A determinar 5° 10' 45.29693" N 73° 44' 14.04312" W
DELTA-11 3019.5044 26.4000 A determinar 5° 10' 50.12997" N 73° 44' 32.82454" W
DELTA-12 2983.4250 26.4000 A determinar 5° 11' 00.95955" N 73° 44' 45.29810" W
DELTA-13 2972.8483 26.3900 A determinar 5° 11' 04.62528" N 73° 45' 01.00686" W
DELTA-14 2946.3942 26.3900 A determinar 5° 11' 15.22955" N 73° 45' 03.59334" W
DELTA-15 2870.7141 26.3600 A determinar 5° 11' 56.15069" N 73° 45' 13.53116" W
DELTA-16 2889.5752 26.3500 A determinar 5° 12' 03.98599" N 73° 45' 25.85974" W
DELTA-17 2887.8409 26.3300 A determinar 5° 12' 09.18050" N 73° 45' 33.63550" W
DELTA-18 2875.7186 26.3100 A determinar 5° 12' 05.88878" N 73° 45' 50.51021" W
DELTA-19 2877.9343 26.2700 A determinar 5° 12' 00.49998" N 73° 46' 30.48066" W
DELTA-20 3064.1394 26.2400 A determinar 5° 12' 03.68563" N 73° 46' 52.95441" W
DELTA-21 3065.3612 26.2300 A determinar 5° 11' 57.66163" N 73° 46' 57.03297" W
DELTA-22 3058.5603 26.2300 A determinar 5° 11' 52.94796" N 73° 46' 57.62633" W
DELTA-23 2873.5197 26.2500 A determinar 5° 11' 17.95825" N 73° 47' 26.42156" W
DELTA-24 2929.4137 26.2600 A determinar 5° 10' 48.80661" N 73° 47' 35.14323" W
DELTA-25 2974.3152 26.2600 A determinar 5° 10' 03.18727" N 73° 47' 55.51053" W
GPS-3 2883.7758 26.2700 A determinar 5° 09' 34.49593" N 73° 47' 41.75113" W
GPS-4 2979.2539 26.2700 A determinar 5° 08' 51.48717" N 73° 47' 40.63842" W
NP_41-NE 2733.4354 25.9900 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 12. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N GEOCOL) de todos los puntos utilizados y
la altura nivelada (H) de los puntos NP. Fuente: Elaboración propia, 2015
Además de los resultados presentados en la tabla anterior se muestra a continuación en la
Tabla 13 los resultados obtenidos utilizando el modelo geoidal para el planeta tierra EGM 2008.
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación
(N) EGM2008
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
NP_A49-NE 2652.8333 22.1470 2630.291 5° 09' 00.26776" N 73° 40' 48.15530" W
GPS-1 2654.9790 22.1460 A determinar 5°09'00.21838"N 73°40'46.62587"W
GPS-2 2671.8760 22.1520 A determinar 5°08'46.04706"N 73°41'20.43841"W
DELTA-3 2702.6620 22.1780 A determinar 5°08'56.68793"N 73°42'01.58590"W
DELTA-4 2784.5570 22.2000 A determinar 5°09'20.49703"N 73°42'16.40527"W
DELTA-5 2920.9740 22.2310 A determinar 5°09'58.39557"N 73°42'38.06314"W
64
PUNTO
Altura (h)
Elipsoidal
(m)
Ondulación
(N) EGM2008
(m)
Altura (H)
Geométrica
(m)
Latitud Longitud
DELTA-6 2898.2020 22.2370 A determinar 5°10'05.05405"N 73°43'04.82901"W
DELTA-7 2859.1520 22.2440 A determinar 5°10'17.25721"N 73°43'19.18519"W
DELTA-8 2867.9610 22.2420 A determinar 5°10'10.59433"N 73°43'36.94674"W
DELTA-9 2932.2390 22.2530 A determinar 5°10'31.83424"N 73°43'55.64590"W
DELTA-10 2974.4900 22.2610 A determinar 5°10'45.29545"N 73°44'14.04271"W
DELTA-11 3019.6100 22.2640 A determinar 5°10'50.13031"N 73°44'32.82447"W
DELTA-12 2983.3810 22.2690 A determinar 5°11'00.95988"N 73°44'45.29798"W
DELTA-13 2973.0470 22.2710 A determinar 5°11'04.62785"N 73°45'01.00971"W
DELTA-14 2946.4480 22.2740 A determinar 5°11'15.23085"N 73°45'03.59379"W
DELTA-15 2870.7010 22.2880 A determinar 5°11'56.15314"N 73°45'13.53063"W
DELTA-16 2889.6380 22.2880 A determinar 5°12'03.98633"N 73°45'25.85934"W
DELTA-17 2887.9860 22.2880 A determinar 5°12'09.18426"N 73°45'33.62922"W
DELTA-18 2875.5550 22.2820 A determinar 5°12'05.88265"N 73°45'50.51401"W
DELTA-19 2877.9140 22.2700 A determinar 5°12'00.50008"N 73°46'30.48067"W
DELTA-20 3064.3270 22.2660 A determinar 5°12'03.68552"N 73°46'52.94967"W
DELTA-21 3065.5270 22.2630 A determinar 5°11'57.66221"N 73°46'57.03102"W
DELTA-22 3058.7170 22.2610 A determinar 5°11'52.95375"N 73°46'57.62751"W
DELTA-23 2873.4080 22.2450 A determinar 5°11'17.96025"N 73°47'26.42314"W
DELTA-24 2929.4050 22.2360 A determinar 5°10'48.80953"N 73°47'35.14431"W
DELTA-25 2974.4310 22.2220 A determinar 5°10'03.18845"N 73°47'55.51259"W
GPS-3 2883.7930 22.2120 A determinar 5°09'34.49582"N 73°47'41.75161"W
GPS-4 2979.2400 22.1940 A determinar 5°08'51.48770"N 73°47'40.63914"W
NP_41-NE 2733.4354 22.1030 2710.721 5° 04' 59.20195" N 73° 43' 35.99598" W
Tabla 13. Altura elipsoidal (h) y ondulación geoidal (N EGM2008) de todos los puntos utilizados y
la altura nivelada (H) de los puntos NP. Fuente: Elaboración propia, 2015
6.3. OBJETIVO ESPECÍFICO No. 3. AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS A LA
CADENA DE NIVELACIÓN DE LOS 27 VÉRTICES QUE COMPONEN LA
POLIGONAL TOPOGRÁFICA.
Los resultados obtenidos para dar alcance al objetivo específico No. 3 se presentan a
continuación en la Tabla 14 donde se observan los valores de altura ortométrica (H) ajustados para
la cadena de los veintisiete (27) vértices que componen la poligonal topográfica, utilizando el
modelo geoidal para Colombia GEOCOL 2004.
65
PUNTO Altura (H)
GEOCOL_2004
NP_A49-NE 2630.291
GPS-1 2632.407
GPS-2 2649.264
DELTA-3 2679.988
DELTA-4 2761.812
DELTA-5 2898.135
DELTA-6 2875.356
DELTA-7 2836.310
DELTA-8 2845.125
DELTA-9 2909.289
DELTA-10 2951.521
DELTA-11 2996.580
DELTA-12 2960.518
DELTA-13 2949.968
DELTA-14 2923.530
DELTA-15 2847.894
DELTA-16 2866.752
DELTA-17 2865.049
DELTA-18 2852.956
DELTA-19 2855.205
DELTA-20 3041.435
DELTA-21 3042.663
DELTA-22 3035.866
DELTA-23 2850.811
DELTA-24 2906.689
DELTA-25 2951.585
GPS-3 2861.042
GPS-4 2956.513
NP_41-NE 2710.976
Tabla 14. Valores de altura ortométrica (H) ajustados utilizando el modelo geoidal (GEOCOL
2004). Fuente: Elaboración propia, 2015
66
Se presenta a continuación en la Figura 13 el perfil longitudinal para los valores de altura
ortométrica (H) utilizando el modelo geoidal para Colombia (GEOCOL 2004).
Figura 13. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) GEOCOL2004. Fuente: Elaboración
propia, 2015
Además de lo presentado anteriormente a continuación en la Tabla 15 se observan los
resultados obtenidos para los valores de altura ortométrica (H) ajustados, ésto sobre la cadena de
los veintisiete (27) vértices que componen la poligonal topográfica, utilizando el modelo geoidal
para el planeta tierra EGM 2008.
PUNTO Altura (H)
EGM2008
NP_A49-NE 2630.291
GPS-1 2632.438
GPS-2 2649.329
DELTA-3 2680.088
DELTA-4 2761.959
DELTA-5 2898.340
DELTA-6 2875.568
DELTA-7 2836.518
DELTA-8 2845.322
67
PUNTO Altura (H)
EGM2008
DELTA-9 2909.580
DELTA-10 2951.814
DELTA-11 2996.920
DELTA-12 2960.698
DELTA-13 2950.373
DELTA-14 2923.783
DELTA-15 2848.037
DELTA-16 2866.959
DELTA-17 2865.322
DELTA-18 2852.911
DELTA-19 2855.271
DELTA-20 3041.677
DELTA-21 3042.870
DELTA-22 3036.072
DELTA-23 2850.786
DELTA-24 2906.786
DELTA-25 2951.822
GPS-3 2861.197
GPS-4 2956.660
NP_41-NE 2710.948
Tabla 15. Valores de altura ortométrica (H) ajustados utilizando el modelo geoidal (EGM 2008).
Fuente: Elaboración propia, 2015
68
Se presenta a continuación en la Figura 14 el perfil longitudinal para los valores de altura
ortométrica (H) utilizando el modelo geoidal para el planeta tierra (EGM 2008).
Figura 14. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) EGM2008. Fuente: Elaboración propia,
2015
69
7. ANALISIS DE RESULTADOS
En el presente capítulo se aborda el análisis de los resultados obtenidos, se muestra la
diferencia encontrada para el cálculo de postproceso con los dos software utilizados para tal fin
(Leica GeoOffice y TopconTools) así como el error medio cuadrático (RMS) para los resultados
obtenidos con el software TopconTools, de igual manera, se presenta la comparación de las alturas
ortométricas calculadas utilizando los dos modelos geoidales expuestos a lo largo del desarrollo
del trabajo (GEOCOL2004 y EGM2008) y por último se realiza la comparación de las alturas
ortométricas arrojadas por cada modelo con datos de un levantamiento con estación total de la
poligonal topográfica, realizado por el grupo de investigación GEOTOPO, con el fin de medir las
diferencias entre las alturas ortométricas de cada modelo y la altura trigonométrica arrojada del
levantamiento con estación total.
En la Tabla 16 se observan los resultados para los vectores líneas base con el software
TopconTools y el correspondiente RMS para cada uno, esto entre los NPs: NPA_49NE,
NP_41NE y cada uno de los puntos vértices que componen la poligonal topográfica.
Nombre dN (m) dE (m) dHt (m) Horz RMS (m) Vert RMS (m)
GPS-1−NPA_49NE 1.44 -47.111 -2.181 0.054 0.075
GPS-1−NP_41NE -7406.622 -5212.342 78.46 0.016 0.027
GPS-2−NPA_49NE 437.443 994.014 -19.045 0.002 0.004
GPS-2−NP_41NE -6970.628 -4171.178 61.592 0.009 0.016
DELTA-3−NPA_49NE 111.334 2261.507 -49.829 0.003 0.005
DELTA-3−NP_41NE -7296.698 -2903.697 30.764 0.015 0.027
DELTA-4−NPA_49NE -619.763 2718.356 -131.713 0.013 0.028
DELTA-4−NP_41NE -8027.923 -2446.909 -51.256 0.044 0.101
DELTA-5−NPA_49NE -1783.554 3386.053 -268.14 0.003 0.006
DELTA-5−NP_41NE -9191.668 -1779.191 -187.591 0.035 0.063
DELTA-6−NPA_49NE -1987.622 4210.502 -245.351 0.008 0.019
DELTA-6−NP_41NE -9395.726 -954.737 -164.85 0.016 0.042
DELTA-7−NP-41NE -9770.455 -512.393 -125.497 0.263 0.265
DELTA-7−NPA_49NE -2362.23 4652.85 -206.319 0.003 0.005
DELTA-8−NPA_49NE -2157.254 5199.749 -215.148 0.011 0.022
DELTA-8−NP_41NE -9565.384 34.555 -134.167 0.047 0.092
DELTA-9−NPA_49NE -2809.392 5775.937 -279.344 0.017 0.035
DELTA-9−NP_41NE -10217.503 610.844 -198.893 0.02 0.042
70
Nombre dN (m) dE (m) dHt (m) Horz RMS (m) Vert RMS (m)
DELTA-10−NPA_49NE -3222.555 6342.783 -321.571 0.017 0.026
DELTA-10−NP_41NE -10630.742 1177.565 -241.16 0.018 0.029
DELTA-11−NPA_49NE -3370.771 6921.288 -366.633 0.016 0.037
DELTA-11−NP_41NE -10778.92 1756.062 -286.222 0.008 0.021
DELTA-12−NPA_49NE -3703.246 7305.611 -330.537 0.023 0.05
DELTA-12−NP_41NE -11111.424 2140.473 -249.947 0.045 0.021
DELTA-13−NPA_49NE -3815.662 7789.58 -320.255 0.019 0.03
DELTA-13−NP_41NE -11223.809 2624.212 -239.484 0.037 0.052
DELTA-14−NPA_49NE -4141.265 7869.283 -293.491 0.021 0.039
DELTA-14−NP_41NE -11549.47 2704.065 -213.033 0.009 0.016
DELTA-15−NPA_49NE -5398.248 8175.933 -217.879 0.023 0.049
DELTA-15−NP_41NE -12806.356 3010.73 -137.265 0.004 0.009
DELTA-16−NPA_49NE -5638.669 8555.765 -236.804 0.003 0.007
DELTA-16−NP_41NE -13046.787 3390.512 -156.222 0.016 0.034
DELTA-17−NPA_49NE -5798.265 8795.135 -235.179 0.008 0.016
DELTA-17−NP_41NE -13206.282 3629.92 -154.541 0.016 0.01
DELTA-18−NPA_49NE -5696.539 9315.06 -222.694 0.005 0.013
DELTA-18−NP_41NE -13104.658 4149.823 -142.2 0.011 0.022
DELTA-19−NPA_49NE -5530.599 10545.795 -225.08 0.004 0.009
DELTA-19−NP_41NE -12938.657 5380.584 -144.512 0.033 0.058
DELTA-20−NPA_49NE -5628.122 11237.811 -411.497 0.015 0.024
DELTA-20−NP_41NE -13036.249 6072.49 -330.877 0.037 0.063
DELTA-21−NPA_49NE -5443.081 11363.404 -412.807 0.021 0.038
DELTA-21−NP_41NE -12851.091 6198.159 -331.91 0.024 0.049
DELTA-22−NPA_49NE -5298.404 11381.697 -405.871 0.004 0.008
DELTA-22−NP_41NE -12706.428 6216.5 -325.295 0.018 0.009
DELTA-23−NPA_49NE -4223.04 12268.147 -220.584 0.013 0.009
DELTA-23−NP_41NE -11631.184 7102.76 -139.956 0.008 0.012
DELTA-24−NPA_49NE -3327.482 12536.312 -276.543 0.071 0.106
DELTA-24−NP_41NE -10735.598 7370.954 -195.972 0.009 0.02
DELTA-25−NPA_49NE -1925.859 13162.853 -321.6 0.016 0.025
DELTA-25−NP_41NE -9333.921 7997.614 -240.996 0.009 0.017
GPS-3−NPA_49NE -1044.638 12738.662 -230.941 0.004 0.008
GPS-3−NP_41NE -8452.736 7573.425 -150.373 0.004 0.008
GPS-4−NPA_49NE 276.468 12703.812 -326.383 0.005 0.009
GPS-4−NP_41NE -7131.634 7538.58 -245.819 0.004 0.007
MEDIA 0.022 0.034
Tabla 16. Resultados de vectores líneas base TopconTools con RMS. Fuente: Elaboración propia,
2015
71
En la tabla anterior se observa que los valores para el error medio cuadrático RMS toman su
máximo valor para el cálculo de la línea entre el DELTA-7 y el NP-41NE arrojando un resultado para
el RMS horizontal de 0.263 m y para el RMS vertical un resultado de 0.265 m, siendo este un caso particular
para los valores resultantes. Se obtuvieron valores para la media aritmética de 0.022 m en el error medio
cuadrático horizontal y de 0.034 m en el error medio cuadrático vertical, resultados que son bastante
aceptables para el ajuste de postproceso de la cadena de vértices que componen la poligonal topográfica.
En la Tabla 17 se muestra el resultado para la diferencia de coordenadas hallada en el cálculo de
postproceso entre los dos software utilizados (Leica GeoOffice y TopconTools) respectivamente.
Coor. Planas de Gauss Leica GeoOffice Coor. Planas de Gauss TopconTools Diferencia Leica-Topcon
No. Punto Este Norte h. elipsoidal Este Norte h. elipsoidal dE dN dh
GPS-1 1044115.623 1061260.930 2654.949 1044115.601 1061260.889 2654.979 0.022 0.041 0.030
GPS-2 1043074.472 1060824.925 2671.826 1043074.481 1060824.929 2671.876 0.009 0.004 0.050
DELTA-3 1041806.991 1061150.990 2702.622 1041806.988 1061151.038 2702.662 0.003 0.048 0.040
DELTA-4 1041350.124 1061882.162 2784.510 1041350.142 1061882.143 2784.557 0.018 0.019 0.047
DELTA-5 1040682.451 1063045.923 2920.932 1040682.443 1063045.931 2920.974 0.008 0.008 0.042
DELTA-6 1039857.992 1063250.002 2898.180 1039857.994 1063249.997 2898.202 0.002 0.005 0.022
DELTA-7 1039415.631 1063624.675 2859.140 1039415.646 1063624.607 2859.152 0.015 0.068 0.012
DELTA-8 1038868.738 1063419.640 2867.958 1038868.745 1063419.632 2867.961 0.007 0.008 0.003
DELTA-9 1038292.534 1064071.779 2932.169 1038292.499 1064071.767 2932.239 0.035 0.012 0.070
DELTA-10 1037725.691 1064485.009 2974.428 1037725.704 1064484.964 2974.490 0.013 0.045 0.062
DELTA-11 1037147.198 1064633.164 3019.504 1037147.200 1064633.174 3019.610 0.002 0.010 0.106
DELTA-12 1036762.874 1064965.626 2983.425 1036762.878 1064965.636 2983.381 0.004 0.010 0.044
DELTA-13 1036279.034 1065077.979 2972.848 1036278.946 1065078.058 2973.047 0.088 0.079 0.199
DELTA-14 1036199.210 1065403.681 2946.394 1036199.196 1065403.721 2946.448 0.014 0.040 0.054
DELTA-15 1035892.515 1066660.543 2870.714 1035892.531 1066660.618 2870.701 0.016 0.075 0.013
DELTA-16 1035512.719 1066901.035 2889.575 1035512.732 1066901.045 2889.638 0.013 0.010 0.063
DELTA-17 1035273.176 1067060.479 2887.841 1035273.369 1067060.595 2887.986 0.193 0.116 0.145
DELTA-18 1034753.553 1066959.104 2875.719 1034753.436 1066958.916 2875.555 0.117 0.188 0.164
DELTA-19 1033522.701 1066792.971 2877.934 1033522.701 1066792.974 2877.914 0.000 0.003 0.020
DELTA-20 1032830.552 1066890.500 3064.139 1032830.698 1066890.497 3064.327 0.146 0.003 0.188
DELTA-21 1032705.035 1066705.396 3065.361 1032705.095 1066705.414 3065.527 0.060 0.018 0.166
DELTA-22 1032686.829 1066560.593 3058.560 1032686.793 1066560.771 3058.717 0.036 0.178 0.157
DELTA-23 1031800.534 1065485.372 2873.520 1031800.485 1065485.434 2873.408 0.049 0.062 0.112
DELTA-24 1031532.338 1064589.772 2929.414 1031532.304 1064589.861 2929.405 0.034 0.089 0.009
DELTA-25 1030905.701 1063188.161 2974.315 1030905.637 1063188.197 2974.431 0.064 0.036 0.116
GPS-3 1031329.849 1062307.009 2883.776 1031329.834 1062307.006 2883.793 0.015 0.003 0.017
72
Coor. Planas de Gauss Leica GeoOffice Coor. Planas de Gauss TopconTools Diferencia Leica-Topcon
No. Punto Este Norte h. elipsoidal Este Norte h. elipsoidal dE dN dh
GPS-4 1031364.704 1060985.884 2979.254 1031364.681 1060985.900 2979.240 0.023 0.016 0.014
COEF. CORR 1.000 1.000 1.000
MEDIANA 0.016 0.019 0.050
MEDIA 0.037 0.044 0.073
DESVEST 0.047 0.050 0.060
MIN 0.000 0.003 0.003
MAX 0.193 0.188 0.199
Tabla 17. Diferencias de coordenadas entre distinto software de postproceso. Fuente: Elaboración
propia, 2015
En la tabla anterior se observa los resultados obtenidos para el cálculo de las diferencias entre
las coordenadas, además se muestra el análisis de los datos estadísticos para el coeficiente de
correlación con un valor de uno (1) lo que arroja una correlación perfecta positiva entre los valores
de las coordenadas Norte, Este y Altura Elipsoidal, mostrando una estrecha relación y similitud
entre los valores obtenidos. Los resultados para la media aritmética son 0.037 m en la columna dE,
0.034 m en la columna dN y 0.073 m en la columna dh, evidenciando que existen diferencias entre
los resultados arrojados por un software y otro, que si bien no son diferencias grandes, se traducen
en cambios para las coordenadas espaciales de los proyectos.
En la Tabla 18 se muestran las diferencias encontradas entre las alturas ortométricas
calculadas a partir de las ondulaciones geoidales generadas utilizando los modelos gravimétricos
GEOCOL2004 y EGM2008 y la aplicación de la Guía Metodológica para la obtención de alturas
sobre el nivel medio del mar utilizando el sistema GPS propuesta por Sánchez & Martínez, (1997)
PUNTO Altura (H) GEOCOL_2004 Altura (H) EGM2008 Diferencia GEOCOL-EGM
NP_A49-NE 2630.291 2630.291 0.000
GPS-1 2632.407 2632.438 0.031
GPS-2 2649.264 2649.329 0.065
DELTA-3 2679.988 2680.088 0.100
DELTA-4 2761.812 2761.959 0.147
DELTA-5 2898.135 2898.340 0.204
DELTA-6 2875.356 2875.568 0.212
DELTA-7 2836.310 2836.518 0.207
DELTA-8 2845.125 2845.322 0.197
73
PUNTO Altura (H) GEOCOL_2004 Altura (H) EGM2008 Diferencia GEOCOL-EGM
DELTA-9 2909.289 2909.580 0.291
DELTA-10 2951.521 2951.814 0.293
DELTA-11 2996.580 2996.920 0.340
DELTA-12 2960.518 2960.698 0.179
DELTA-13 2949.968 2950.373 0.405
DELTA-14 2923.530 2923.783 0.253
DELTA-15 2847.894 2848.037 0.144
DELTA-16 2866.752 2866.959 0.207
DELTA-17 2865.049 2865.322 0.274
DELTA-18 2852.956 2852.911 0.045
DELTA-19 2855.205 2855.271 0.066
DELTA-20 3041.435 3041.677 0.242
DELTA-21 3042.663 3042.870 0.207
DELTA-22 3035.866 3036.072 0.205
DELTA-23 2850.811 2850.786 0.025
DELTA-24 2906.689 2906.786 0.097
DELTA-25 2951.585 2951.822 0.237
GPS-3 2861.042 2861.197 0.155
GPS-4 2956.513 2956.660 0.147
NP_41-NE 2710.976 2710.948 0.028
COEF. CORR 1.000
MEDIANA 0.197
MEDIA 0.172
DESVEST 0.100
MIN 0.028
MAX 0.405
Tabla 18. Diferencias entre alturas ortométricas Geocol 2004 y EGM 2008 Fuente: Elaboración
propia, 2015
En la tabla anterior se tiene el resultado comparativo para las alturas ortométricas generadas
a partir de las ondulaciones geoidales utilizando los dos modelos gravimétricos, el primero el
modelo geoidal oficial para Colombia GEOCOL2004 y el segundo el último modelo geoidal
oficial calculado para el planeta tierra EGM2008, los resultados oscilan entre los valores 0.028 m
y 0.405 m, resultados esperados ya que los valores calculados utilizando el modelo geoidal
GEOCOL2004 ofrecen resultados en el orden del centímetro, mientras los valores calculados con
el modelo geoidal EGM2008 ofrecen resultados en el orden del milímetro, además de las
74
diferencias arrojadas en el cálculo de la altura elipsoidal (h) para el procedimiento de postproceso
con cada software (Leica GeoOffice y TopconTools).
El resultado para el coeficiente de correlación muestra un valor de uno (1) evidenciando una
correlación perfecta positiva, significando una estrecha relación y similitud entre los valores de
altura ortométrica obtenidos para cada modelo, otro valor importante de resaltar es la media
aritmética con un resultado de 0.172 m.
En la Figura 15 presentada a continuación se observan los perfiles longitudinales resultantes,
a partir de la definición de las alturas ortométricas (H) calculadas para los modelos gravitacionales
utilizados en el desarrollo del presente estudio (GEOCOL2004 y EGM2008).
Figura 15. Perfil longitudinal de alturas ortométricas (H) GEOCOL2004 Y EGM2008. Fuente:
Elaboración propia, 2015
En la figura presentada anteriormente se observa la estrecha relación y consistencia
encontrada entre los valores resultantes para el cálculo de alturas ortométricas (H) utilizando los
modelos gravitacionales disponibles hasta el momento para tal fin (GEOCOL2004 y EGM2008),
75
siendo ambos perfiles estrechamente paralelos y similares entre sí en cuanto a su valor de altura
ortométrica (H) respecta.
Por último, se presenta la comparación realizada entre los datos de altura ortométrica hallados
utilizando cada uno de los modelos geoidales (GEOCOL2004 y EGM2008) versus la altura
trigonométrica de los vértices de la poligonal hallada a partir del levantamiento topográfico de la
misma con estación total.
En la Tabla 19 se muestra la diferencia entre la altura ortométrica (H) calculada a partir del
modelo geoidal GEOCOL2004 y la altura trigonométrica obtenida a partir del levantamiento
topográfico de la poligonal con estación total.
PUNTO H ORTOMETRICA
GEOCOL2004
H
TRIGONOMETRICA
Diferencia (H)ORTO -
(H)TRIGO
GPS-1 2632.407 2632.203 0.204
GPS-2 2649.264 2649.264 0.000
DELTA-3 2679.988 2680.029 0.041
DELTA-4 2761.812 2761.909 0.097
DELTA-5 2898.135 2898.288 0.153
DELTA-6 2875.356 2875.491 0.135
DELTA-7 2836.310 2836.443 0.133
DELTA-8 2845.125 2845.279 0.154
DELTA-9 2909.289 2909.520 0.231
DELTA-10 2951.521 2951.690 0.169
DELTA-11 2996.580 2996.778 0.198
DELTA-12 2960.518 2960.666 0.148
DELTA-13 2949.968 2949.941 0.027
DELTA-14 2923.530 2923.543 0.013
DELTA-15 2847.894 2847.922 0.028
DELTA-16 2866.752 2866.838 0.086
DELTA-17 2865.049 2865.216 0.167
DELTA-18 2852.956 2852.755 0.201
DELTA-19 2855.205 2855.221 0.016
DELTA-20 3041.435 3041.541 0.106
DELTA-21 3042.663 3042.911 0.248
DELTA-22 3035.866 3036.084 0.218
76
PUNTO H ORTOMETRICA
GEOCOL2004
H
TRIGONOMETRICA
Diferencia (H)ORTO -
(H)TRIGO
DELTA-23 2850.811 2850.759 0.052
DELTA-24 2906.689 2906.619 0.070
DELTA-25 2951.585 2951.620 0.035
GPS-3 2861.042 2861.042 0.000
GPS-4 2956.513 2956.377 0.136
MEDIA 0.114
COEF. CORR 1.000 Tabla 19. Diferencia altura ortométrica H GEOCOL2004 VS altura H trigonométrica. Fuente:
Elaboración propia, 2015
En la tabla anterior se observan valores de diferencia entre las dos alturas, nueve (9) de estos
oscilan en el orden del centímetro, quince (15) oscilan en el orden del decímetro, con una media
aritmética de 0.114 m lo cual es un valor que ofrece una muy buena confiabilidad para los datos
obtenidos con nivelación utilizando tecnología GNSS, ya que se comprueba que esta puede estar
o acercarse con gran precisión a la nivelación trigonométrica, el coeficiente de correlación muestra
un valor de uno (1) lo que significa que existe una correlación perfecta positiva, al presentarse una
estrecha relación y similitud entre los datos obtenidos mediante los dos métodos comparados.
En la Tabla 20 se muestra la diferencia entre la altura ortométrica (H) calculada a partir del
modelo geoidal EGM2008 y la altura trigonométrica obtenida a partir del levantamiento
topográfico de la poligonal con estación total.
PUNTO H ORTOMETRICA EGM2008 H TRIGONOMETRICA Diferencia (H)ORTO - (H)TRI
GPS-1 2632.438 2632.268 0.170
GPS-2 2649.329 2649.329 0.000
DELTA-3 2680.088 2680.096 0.008
DELTA-4 2761.959 2761.982 0.023
DELTA-5 2898.340 2898.372 0.032
DELTA-6 2875.568 2875.576 0.008
DELTA-7 2836.518 2836.531 0.013
DELTA-8 2845.322 2845.368 0.046
DELTA-9 2909.580 2909.614 0.034
DELTA-10 2951.814 2951.787 0.027
DELTA-11 2996.920 2996.878 0.042
77
PUNTO H ORTOMETRICA EGM2008 H TRIGONOMETRICA Diferencia (H)ORTO - (H)TRI
DELTA-12 2960.698 2960.769 0.071
DELTA-13 2950.373 2950.045 0.328
DELTA-14 2923.783 2923.649 0.134
DELTA-15 2848.037 2848.034 0.003
DELTA-16 2866.959 2866.951 0.008
DELTA-17 2865.322 2865.329 0.007
DELTA-18 2852.911 2852.869 0.042
DELTA-19 2855.271 2855.335 0.064
DELTA-20 3041.677 3041.669 0.008
DELTA-21 3042.870 3043.039 0.169
DELTA-22 3036.072 3036.212 0.140
DELTA-23 2850.786 2850.902 0.116
DELTA-24 2906.786 2906.766 0.020
DELTA-25 2951.822 2951.770 0.052
GPS-3 2861.197 2861.042 0.155
GPS-4 2956.660 2956.534 0.126
MEDIA 0.068
COEF. CORR 1.000
Tabla 20. Diferencia altura ortométrica H EGM2008 VS altura H trigonométrica. Fuente:
Elaboración propia, 2015
En la tabla anterior se observan valores de diferencia entre las dos alturas, dieciséis (16) de
estos oscilan en el orden del centímetro, ocho (8) oscilan en el orden del decímetro, con una media
aritmética de 0.068 m lo cual es un valor que ofrece una confiabilidad alta para los datos obtenidos
con nivelación utilizando tecnología GNSS, ya que se comprueba que esta puede acercarse con
gran precisión a la nivelación trigonométrica, el coeficiente de correlación muestra un valor de
uno (1) lo que significa que existe una correlación perfecta positiva, al presentarse una estrecha
relación y similitud entre los datos obtenidos mediante los dos métodos comparados.
78
8. CONCLUSIONES
Con un diseño en oficina eficiente de la logística y tiempos de ocupación de los vértices,
se puede lograr obtener la información de campo necesaria y suficiente, que arroje el
resultado esperado del estudio o proyecto desarrollado.
Las altitudes ortométricas obtenidas con tecnología GNSS, resultan equivalentes a las
obtenidas por traslado de cotas utilizando métodos trigonométricos, ya que la diferencia
entre los valores obtenidos a partir de los dos métodos comparados arrojan una media
aritmética de 0.068 m (Tabla 20)
El ajuste por mínimos cuadrados aplicado al traslado de cotas es eficiente, ya que permite
hallar y conocer las desviaciones o residuales (errores) en cada vértice ocupado;
permitiendo que los resultados obtenidos sean consistentes.
El ajuste por mínimos cuadrados aplicado a datos de ondulación geoidal (N) calculados a
partir del modelo gravimétrico para el planeta tierra (EGM 2008), presenta un mejor
comportamiento de los resultados, ya que la media aritmética hallada entre las diferencias
calculadas para el modelo EGM2008 y los valores de altura por métodos trigonométricos
fue de 0.068 m (Tabla 20), mientras que la media aritmética hallada para el modelo
GEOCOL2004 y los valores de altura por métodos trigonométricos fue de 0.114 m (Tabla
19).
79
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