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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÂO
Desenvolvimento de Antenas de Microfita com Patch em Anel Utilizando Materiais Ferrimagnéticos e Metamateriais
Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos
Orientador: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva
Co-orientadores: Profª. Dra. Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque
Prof. Dr. José de Ribamar Silva Oliveira
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.
Número de ordem PPgEE: Natal, RN, Abril de 2010
Desenvolvimento de Antenas de Microfita com
Patch em Anel Utilizando Materiais
Ferrimagnéticos e Metamateriais
Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos
Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede
Vasconcelos, Cristhianne de Fátima Linhares de. Desenvolvimento de antenas de microfita com Patch em anel
utilizando materiais ferrimagnéticos e metamateriais / Cristhianne de Fátima Linhares de Vasconcelos. – Natal, RN, 2010.
116 f. : il.
Orientador: Sandro Gonçalves da Silva.
Co-orientador: Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque e José de Ribamar Silva Oliveira.
Tese (doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.
1. Antenas de microfita com Patch em anel – Tese. 2. Materiais ferrimagnéticos – Tese. 3. Metamateriais – Tese. I. Silva, Sandro Gonçalves da. II. Albuquerque, Maria Rosa Medeiros Lins de. III. Oliveira, José de Ribamar Silva. IV. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. V. Título.
“O valor das coisas não está no tempo em que elas duram,
mas na intensidade com que acontecem. Por isso existem momentos inesquecíveis,
coisas inexplicáveis e pessoas incomparáveis."
(Fernando Pessoa)
Agradecimentos
Agradeço a Deus, que me deu força nos momentos de fraqueza, coragem nos
momentos difíceis e determinação nos momentos incertos, para alcançar este objetivo tão
esperado por mim e todos ao meu redor;
Aos meus pais, Oriel e Fátima, ao meu irmão, Webervann, meus agradecimentos a
todos pelo amor, confiança, incentivo e por serem sempre o meu refúgio;
Ao meu esposo, Sérgio, pelo amor, compreensão, paciência e companheirismo ao
longo desses anos. Em especial, às minhas filhas Marília e Milenna, estímulos que me
impulsionaram a buscar vida nova a cada dia, aceitando se privar de minha companhia
pelos estudos, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais;
A todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a realização deste sonho,
em especial, todos os meus avós e tios;
À minha sogra, Lucy, e meu sogro, Valfredo (in memoriam), que cuidaram das
netas muitas vezes durante minha ausência;
Ao orientador Sandro e ao co-orientador Ribamar, pela dedicação, compreensão e
amizade comprovada no transcorrer deste trabalho, sempre me apoiando e incentivando;
À co-orientadora Maria Rosa, por todo apoio, incentivo, compreensão,
solidariedade e por todos os conhecimentos e momentos compartilhados durante todo o
nosso convívio, sendo parte fundamental na concretização deste trabalho;
Ao professor Adaildo, pelo seu otimismo, disposição, solidariedade e incentivo;
Aos demais mestres, colegas e funcionários da UFRN, bem como todos os colegas e
mestres do IFPB;
A CAPES, pelo suporte financeiro concedido para a realização deste trabalho.
Resumo
Em geral, os materiais utilizados como substratos no projeto de antenas de microfita
são: dielétricos isotrópicos, dielétricos anisotrópicos e ferrimagnéticos (anisotrópicos
magnéticos). No entanto, o uso de materiais ferrimagnéticos em substratos de antenas de
microfita do tipo patch tem-se concentrado em análises que utilizam geometrias circulares e
retangulares. Na última década, uma nova classe de materiais com características
bianisotrópicas, apresentando permissividade e permeabilidade tensoriais, tem surgido e
despertado bastante interesse, sendo denominados metamateriais. Portanto, este trabalho
apresenta uma análise teórica e numérica das características ressonantes de uma antena de
microfita com patch em anel, utilizando como substratos materiais ferrimagnéticos e
metamateriais. A análise utiliza o formalismo de onda completa através da aplicação do
método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel. A
definição dos potenciais vetoriais de Hertz e a imposição das condições de contorno
adequadas à estrutura permitem determinar as funções diádicas de Green, relacionando as
componentes da densidade de corrente no patch com as componentes tangenciais do campo
elétrico. O método de Galerkin é então usado para obter a equação matricial, cuja solução
não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena. A partir da modelagem, é
possível obter resultados para a freqüência de ressonância em função de vários parâmetros
da antena de microfita com patch em anel, para diferentes configurações e substratos, além
do diagrama de radiação, perda de retorno e da largura de banda. São consideradas
estruturas de antenas de microfita com patch em anel sobre múltiplas camadas
ferrimagnética/metamaterial sobre dielétrico isotrópico. A análise numérica para antenas
com uma única camada ferrimagnética ou metamaterial e para antenas suspensas são
obtidas como casos particulares.
Abstract
In general, the materials used as substrates in the project of microstrip antennas are:
isotropic, anisotropic dielectrics and ferrimagnetic materials (magnetic anisotropy). The use
of ferrimagnetic materials as substrates in microstrip patch antennas has been concentrated
on the analysis of antennas with circular and rectangular patches. However, a new class of
materials, called metamaterials, has been currently the focus of a great deal of interest.
These materials exhibit bianisotropic characteristics, with permittivity and permeability
tensors. The main objective of this work is to develop a theoretical and numerical analysis
for the radiation characteristics of annular ring microstrip antennas, using ferrites and
metamaterials as substrates. The full wave analysis is performed in the Hankel transform
domain through the application of the Hertz vector potentials. Considering the definition of
the Hertz potentials and imposing the boundary conditions, the dyadic Green’s function
components are obtained relating the surface current density components at the plane of the
patch to the electric field tangential components. Then, Galerkin’s method is used to obtain
a system of matrix equations, whose solution gives the antenna resonant frequency. From
this modeling, it is possible to obtain numerical results for the resonant frequency, radiation
pattern, return loss, and antenna bandwidth as a function of the annular ring physical
parameters, for different configurations and substrates. The theoretical analysis was
developed for annular ring microstrip antennas on a double ferrimagnetic/isotropic
dielectric substrate or metamaterial/isotropic dielectric substrate. Also, the analysis for
annular ring microstrip antennas on a single ferrimagnetic or metamaterial layer and for
suspended antennas can be performed as particular cases.
i
Sumário
Sumário i
Lista de Figuras iv
Lista de Tabelas ix
Lista de Símbolos e Abreviaturas x
Capítulo 1 Introdução 1
Capítulo 2 Materiais Ferrimagnéticos 8
2.1 Histórico
8
2.2 Antenas de Microfita com Patch em Anel sobre Ferrita
9
2.3 Representações dos Campos Através do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz
13
2.4 Aplicação do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz no Domínio da Transformada de Hankel
19
2.5 Modelamento da Antena de Microfita com Patch em Anel com Ferrita e Dielétrico Isotrópico
23
2.6 Aplicação do Método de Galerkin
28
2.7 Conclusão
31
ii
Capítulo 3 Resultados Numéricos – Ferrimagnéticos
32
3.1 Introdução
32
3.2 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato Ferrimagnético
33
3.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre duas camadas Ferrimagnética/Dielétrica
44
3.4 Conclusão
50
Capítulo 4 Metamateriais
51
4.1 Introdução
51
4.2 Metamateriais: Uma nova classe de materiais
54
4.3 Projeto do Meio Metamaterial 4.3.1 Modelo Drude-Lorentz 4.3.2 Meios SRR e fios milimétricos
57
58
61
4.4 Antenas de Microfita com Patch em Anel sobre Substratos Metamaterial
63
4.5 Conclusão 77
Capítulo 5 Resultados Numéricos – Metamateriais
78
5.1 Introdução
78
5.2 Caracterização do Substrato Metamaterial
82
5.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato Metamaterial 5.3.1 Caso 1 5.3.2 Caso 2 5.3.3 Caso 3
88
89
92
94
iii
5.3.4 Caso 4
97
5.4 Resultado Comparativo 100 5.5 Conclusão 102
Capítulo 6 Conclusões
103
Referências Bibliográficas 108
iv
Lista de Figuras
Capítulo 1
1.1 Antena de microfita com patch em anel. 3
1.2 Estrutura de um metamaterial projetado pelo grupo de D.R. Smith. 5
Capítulo 2
2.1 Antena de microfita com patch em anel sobre substrato com duas camadas, sendo uma anisotrópica ferrimagnética e outra dielétrica isotrópica.
11
2.2 Freqüência de ressonância em função do campo magnetostático de polarização aplicado em uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas.
12
2.3 Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de microfita com patch em anel.
16
2.4 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas, sendo ferrita suspensa por um dielétrico isotrópicas.
23
Capítulo 3
3.1 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético.
33
3.2 Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático externo.
34
3.3 Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático externo.
35
3.4 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel.
35
3.5 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel e
36
v
magnetização de saturação.
3.6 Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático externo.
37
3.7 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
38
3.8 Perda de retorno para 12,7 GHz para a antena de microfita com patch em anel sobre ferrita.
38
3.9 Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.
39
3.10 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
40
3.11 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
41
3.12 Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.
42
3.13 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
43
3.14 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
43
3.15 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre duas camadas (ferrita/dielétrico).
44
3.16 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
45
3.17 Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC.
45
3.18 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
46
3.19 Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de altura da camada dielétrica, d3.
47
3.20 Diagrama de radiação (Eφ) para dois valores diferentes de altura da camada dielétrica, d3.
47
3.21 Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de permissividade para a camada dielétrica, d3.
47
vi
3.22 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada
dielétrica.
48
3.23 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
49
3.24 Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
49
Capítulo 4
4.1 Arranjo de fios condutores para produzir um meio efetivo com permissividade negativa
52
4.2 Ressoador em anel dividido (SRR) para produzir um meio efetivo com permeabilidade negativa.
52
4.3 Arranjo de SRR e fios metálicos criando um meio efetivo com ε e µ negativos.
53
4.4 Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios.
55
4.5 Ilustração da propagação em um meio (a) com índice de refração positivo (RHM) e (b) com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o ângulo de refração.
56
4.6 Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poynting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM.
57
4.7 (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire - TW). (b) estrutura composta pelos SRRs.
58
4.8 Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude, com Γ = 0.5 GHz.
59
4.9 Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude.
60
4.10 Permeabilidade elétrica relativa modelada pelo modelo de Lorentz.
60
4.11 Formas de arranjo geométrico.
61
4.12 Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b) Estrutura LH bidimensional.
66
vii
4.13 Antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial. 67
Capítulo 5
5.1 Primeira estrutura metamaterial. Reproduzido de (SMITH et al., 2000)
81
5.2 Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.
82
5.3 Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.
83
5.4 Geometria de um SRR.
83
5.5 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
84
5.6 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
85
5.7 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
85
5.8 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
86
5.9 Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
87
5.10 Curva da freqüência de ressonância em função do meio composto por SRR+TW.
87
5.11 Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial.
88
5.13 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
90
5.14 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
91
5.15 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
91
5.16 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
93
5.17 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
93
5.18 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância. 94
viii
5.19 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
96
5.20 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
96
5.21 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
98
5.22 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
98
5.23 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
99
5.24 Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
99
5.25 Perda de retorno em função da freqüência de ressonância. 100
5.26 Freqüência de ressonância em função do raio externo 101
x
Lista de Símbolos e Abreviaturas
φ Ângulo de azimute
θ Ângulo de elevação
φΕ Componente de campo elétrico na direçãoφ
ρΕ Componente de campo elétrico na direção ρ
zΕ Componente de campo elétrico na direção z
φΗ Componente de campo magnético na direçãoφ
ρΗ Componente de campo magnético na direção ρ
zΗ Componente de campo magnético na direção z
φφε Componente do tensor permissividade relativa na direção φ
ρρε Componente do tensor permissividade relativa na direção ρ
zzε Componente do tensor permissividade relativa na direção z
−Ι Componente anti-horária da densidade de corrente superficial
−Ε Componente negativa do campo elétrico
−Η Componente negativa do campo magnético
+Ι Componente horária da densidade de corrente superficial
+Ε Componente positiva do campo elétrico
+Η Componente positiva do campo magnético
γh Constante de propagação na direção z para o modo TE
γe Constante de propagação na direção z para o modo TM
xi
γ0 Constante de propagação no espaço livre
γ1 Constante de propagação no meio 1
γ2 Constante de propagação no meio 2
γ3 Constante de propagação no meio 3
Dr
Intensidade de fluxo elétrico
Br
Densidade de fluxo magnético
∂ Derivada parcial
d Espessura do substrato dielétrico
d1 Espessura do substrato dielétrico na região 1
d2 Espessura do substrato dielétrico na região 2
d3 Espessura do substrato dielétrico na região 3
ω Freqüência angular
Fr Freqüência de ressonância
Jn Função de Bessel de primeiro tipo e ordem n
eφ Função escalar qualquer
Αr
Função vetorial qualquer
j Imaginário igual a 1−
[ ]Z~
Matriz impedância
kj Número de onda na região j
k0 Número de onda no espaço livre
π Número pi
∇ Operador nabla
Fimag Parte imaginária da freqüência de ressonância
Freal Parte real da freqüência de ressonância
µ0 Permeabilidade magnética no vácuo
ε0 Permissividade elétrica no vácuo
εr Permissividade elétrica relativa
µr Permeabilidade magnética relativa
eπr Potencial vetorial elétrico de Hertz
xii
e~π Potencial vetorial elétrico de Hertz no domínio da Transformada de
Hankel
hπr Potencial vetorial magnético de Hertz
h~π Potencial vetorial magnético de Hertz no domínio da Transformada de
Hankel
r2 Raio externo do anel
r1 Raio interno do anel
Knm Raiz da derivada da função de Bessel de ordem n, sendo m o número
da raiz
εt Tensor permissividade elétrica
µt Tensor permeabilidade magnética
22211211 Z~
,Z~
,Z~
,Z~
Transformada de Fourier das componentes da função diádica de Green
Ω~ Transformada de Hankel da função Ω
c Velocidade da luz no espaço livre
Er
Vetor intensidade de campo elétrico
Hr
Vetor intensidade de campo magnético
aφr
Vetor unitário na direção φ
ρar
Vetor unitário na direção ρ
zar
Vetor unitário na direção z
W Largura do patch
L Comprimento do patch
kr Componente do tensor permeabilidade magnética
γ Razão giromagnética
4πMs Magnetização de saturação da ferrita
H0 Intensidade de campo magnético de polarização aplicado
εeff Permissividade elétrica efetiva
µeff Permeabilidade magnética efetiva
n Índice de refração
xiii
θ1 Ângulo de incidência
θ2 Ângulo de refração
λg Comprimento de onda guiada
p Período do arranjo
ωep Freqüência do plasma elétrica
Γe Freqüência de amortecimento
ωe0 Freqüências de ressonância elétrica
ωm0 Freqüências de ressonância magnética
TW Fios milimétricos
SRR Anéis partidos
r Raio dos fios ou dos anéis
σ Condutividade do metal
ζe Fator de perdas do metal
F Fator geométrico da célula
d Distancia entre os anéis
w Largura dos anéis
c Largura dos anéis
ζm Fator de perdas do metal
R’ Resistência do metal
1D Unidimensional
2D Bidimensional
LHM Left-handed Materials
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
1
CAPÍTULO 1
Introdução
Nas últimas décadas, vivenciamos uma nova revolução, a Revolução da Informação.
O avanço tecnológico, sem precedentes, faz-se presente nos diversos setores da sociedade,
tais como: nas telecomunicações, na indústria eletrônica, na informática, na logística,
dentre outros. As mais diversas tecnologias têm sido desenvolvidas e disponibilizadas,
citando-se, a telefonia móvel, os sistemas de acesso remoto (wireless), a internet, a TV a
cabo e os sistemas digitais de captação e tratamento de imagens e sons. A maioria dos
novos serviços e produtos é capaz de trocar informações entre si, permitindo a
convergência de voz, dados e imagens entre os diversos sistemas, exigindo taxas de
transmissão elevadas. Em outras palavras, deseja-se ter flexibilidade total para acessar e
processar informações em quaisquer que sejam as situações, em qualquer ponto do planeta.
O tamanho reduzido é uma exigência importante para equipamento de comunicação
portátil, como satélite de posicionamento global (GPS) e várias aplicações de comunicações
móveis. Dentro deste cenário, destaca-se a utilização cada vez maior de estruturas planares,
em especial, as antenas do tipo patch de microfita. Desde a sua criação na década de 50
(DESCHAMPS, 1953), as antenas de microfita do tipo patch têm encontrado numerosas
aplicações por sua simplicidade de fabricação, compatibilidade com circuito planar, baixo
perfil e capacidade de radiação unidirecional. Além disso, a tecnologia das antenas de
microfita responde à demanda de miniaturização dos dispositivos, seguindo a tendência
atual das indústrias de comunicações.
Apesar das atrativas características mecânicas e elétricas das antenas de microfita, o
seu uso em várias aplicações esteve, principalmente, limitado à sua largura de banda
estreita. Assim, surgiram várias propostas de eliminação ou redução destas características
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
2
indesejáveis do dispositivo. Uma prática comum utilizada é a modificação da sua
geometria. Deste modo, foram consideradas várias formas para o patch e introduzidas
variações no número de camadas dos substratos (NELSON et al., 1990; VASCONCELOS
et al., 2006). Outra alternativa é a utilização de substratos com características especiais
como os anisotrópicos dielétricos, os materiais ferrimagnéticos e, mais recentemente, os
metamateriais (ALBUQUERQUE et al., 2005; MOSALLAEI et al., 2007).
O projeto e a análise de antenas de microfita estão relacionados às características da
estrutura, tais como o tipo de substrato, dimensões e geometria do patch. Esses três fatores
são de grande importância na busca da miniaturização dos dispositivos. Quanto à geometria
dos patches das antenas planares, estes podem, tecnicamente, assumir qualquer forma.
Embora os patches retangulares e circulares sejam as formas geométricas convencionais
mais utilizadas (OLIVEIRA et al., 1995; ARAKI et al., 1981), as antenas com patch em
anel (ALI et al., 1982; FAN et al., 1991) merecem atenção especial, pois quando operam no
modo fundamental apresentam dimensões menores que aquelas com patch circular, para
uma dada freqüência (CHEW et al., 1982). Essa característica permite que os elementos,
em projetos de arranjos, estejam mais compactados, favorecendo a flexibilidade e a
miniaturização da estrutura. Quando comparadas às antenas com patch circular, as antenas
com patch em anel têm menos energia armazenada e, assim, um fator de qualidade Q
menor, resultando em uma maior largura de banda (FAN et al., 1991b).
Na sua configuração mais simples, a antena de microfita com patch em anel possui
um elemento radiador, com raio interno r1 e raio externo r2, sobre um substrato dielétrico
isotrópico apoiado sobre um plano de terra, como mostra a Fig. 1.1. Em determinadas
aplicações, estas antenas planares podem operar em duas bandas de freqüência, seja como
um único radiador (CHEN et al, 1996) ou em conjunto com outros elementos impressos, na
forma de anéis concêntricos (BHATTACHARYYA et al., 1985). Estas estruturas foram
inicialmente analisadas através de técnicas aproximadas baseadas no modelo da cavidade
(BHATTACHARYYA et al., 1985b, c). Posteriormente, o modelo foi modificado, de modo
a considerar o efeito da dispersão e das perdas (BHATTACHARYYA et al., 1988; NURIE
et al., 1990). Resultados mais rigorosos e precisos foram obtidos, para antenas com
substratos isotrópicos (LIU et al., 1996; PIRINOLI et al., 2004), adotando-se os modelos
de onda completa, no domínio da transformada de Hankel, onde a solução numérica é
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
3
implementada por meio da aplicação do método de Galerkin (VASCONCELOS et al.,
2006).
Fig. 1.1 – Antena de microfita com patch em anel.
Estruturas com duas camadas dielétricas isotrópicas e uma sobrecamada foram
analisadas através de modelos aproximados (FAN et al.; PATHAK et al., 1994; GUREL et
al., 1995; DAMIANO et al., 1997). Uma análise de antenas de microfita com patch em anel
sobre substratos dielétricos anisotrópicos uniaxiais e com sobrecamada foi apresentada em
(VASCONCELOS et al., 2007; 2009). A análise utilizou o formalismo de onda completa
através da aplicação do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da
transformada de Hankel, sendo possível observar a aplicação da estrutura em ondas
milimétricas.
Quanto à alimentação do patch das antenas de microfita, esta pode ser feita através
de linhas de microfita, cabo coaxial, acoplamento eletromagnético, linhas de fenda, entre
outras.
A escolha do material a ser utilizado como substrato no projeto de antenas de
microfita é também muito importante. São, em geral, materiais dielétricos isotrópicos,
dielétricos anisotrópicos, ferrimagnéticos e metamateriais. Inicialmente, os dielétricos
isotrópicos, que são caracterizados por uma permissividade elétrica relativa escalar, foram
largamente utilizados nos projetos de estruturas planares (BERGMAN et al., 1955; BAHL
et al., 1980; DAMAVANDI, 1997). Entretanto, certos materiais podem apresentar
características anisotrópicas quando operam em altas freqüências. Essa propriedade
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
4
anisotrópica nos dielétricos, com permissividade elétrica tensorial, pode ser devido à sua
natureza cristalina ou ser resultado do processo de fabricação. Os efeitos decorrentes da
anisotropia dielétrica e a viabilidade do uso desses materiais como substratos no projeto dos
componentes de circuitos integrados de microondas e antenas de microfita, têm sido
largamente investigados (ALBUQUERQUE et al., 2001, 2001b; GÜREL et al., 2004). As
pesquisas indicam que o comportamento operacional de estruturas projetadas para altas
freqüências se distancia do esperado, quando a anisotropia dos substratos é ignorada.
Devido a este fato, é necessário o cuidadoso estudo do substrato dielétrico utilizado no
projeto dos componentes de microondas, para que se possa beneficiar de suas vantagens e
evitar a degradação no desempenho dos componentes.
Os substratos ferrimagnéticos apresentam propriedades não encontradas nos
substratos dielétricos, como a presença de uma anisotropia magnética associada à
permeabilidade magnética. Em geral, os materiais ferrimagnéticos apresentam uma
permissividade alta que contribui para a redução nas dimensões do patch. A possibilidade
de obter características de propagação diferentes através da variação do campo magnético
estático de polarização aplicado externamente à estrutura é uma propriedade muito atrativa,
principalmente, em projetos que necessitem de uma sintonia externa da freqüência de
ressonância para melhor adequá-los à sua utilização (POZAR, 1983). Diversos trabalhos
são reportados na literatura para a caracterização das antenas de microfita sobre substratos
ferrimagnéticos (VICTORIAL et al.; LANGLEY et al., 1994; MEDINA et al., 2002;
VASCONCELOS et al., 2009).
Os metamateriais são materiais artificiais que apresentam propriedades
eletromagnéticas que não ocorrem naturalmente nos materiais encontrados na natureza
(VESELAGO, 1967). São constituídos de arranjos periódicos metálicos, com dimensões
muito menores que o comprimento de onda em questão, embebidos em um meio material
dielétrico de tal forma que simulam um meio efetivo com parâmetros constitutivos
específicos, diferentes dos materiais que os compõem (PENDRY et al., 1998; SMITH et
al., 2000; MOSALLAEI et al., 2004).
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
5
Fig. 1.2 – Estrutura de um metamaterial projetado pelo grupo de D.R. Smith. Reproduzido de (SMITH et al., 2000).
O crescente interesse pelo estudo dos metamateriais se dá pelas características de
propagação totalmente diferentes dos chamados materiais convencionais, tais como: índice
de refração negativo, inversão de fase, inversão do deslocamento Doppler, etc. A
possibilidade do desenvolvimento de dispositivos com propriedades eletromagnéticas
excepcionalmente melhoradas é promissora em diversas áreas tecnológicas, tais como,
telecomunicações, engenharia biomédica, engenharia aeroespacial, etc.
Embora os metamateriais tenham sido inicialmente idealizados tendo por objetivo a
obtenção de permissividade e permeabilidade com valores negativos, sua função vai além
dessa propriedade, pois é possível trabalhar na faixa de freqüência onde a permissividade
e/ou a permeabilidade apresentam valores positivos elevados, o que acarreta uma
miniaturização da estrutura. Os metamateriais surgem como substratos adequados para uma
nova geração de antenas de baixo perfil e componentes para tecnologia de microondas e
ondas milimétricas.
É importante ressaltar que existe uma grande demanda científica no
desenvolvimento de diversos métodos e técnicas de análise capazes de modelar
eficientemente os fenômenos eletromagnéticos presentes tanto nos materiais convencionais,
como é o caso dos ferrimagnéticos, quanto nos materiais mais complexos, como no caso
dos metamateriais, na busca de explorar e/ou descobrir novas aplicações.
As técnicas de análise usadas para o modelamento de antenas com patch em anel
são semelhantes àquelas empregadas para estruturas com patches retangulares ou
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
6
circulares. A complexidade do modelo e o tempo computacional despendido são
proporcionais à precisão desejada e à complexidade do material utilizado como substrato na
antena. Os métodos de onda completa possuem formulações matemáticas rigorosas,
exigindo maior esforço analítico e computacional. Uma das técnicas empregadas nos
modelos de onda completa é a análise no domínio espectral. Nesta análise, os parâmetros da
antena são obtidos resolvendo-se, inicialmente, a equação de onda com as condições de
contorno apropriadas. As componentes de campo são obtidas em função das componentes
da densidade de corrente no patch. A solução para as componentes desconhecidas da
densidade de corrente é obtida utilizando o método dos momentos, chegando-se a uma
equação matricial cuja solução não-trivial é a freqüência de ressonância complexa.
Em virtude do grande interesse nos materiais com propriedades magnéticas e/ou
dielétricas, surge a necessidade de uma análise, rigorosa e precisa, para a aplicação destes
como substratos em antenas de microfita do tipo patch em anel. Portanto, este trabalho tem
como objetivos:
• Realizar a análise utilizando um procedimento de onda completa, através do método
dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, associado
ao método dos momentos, de antenas de microfita com patch em anel sobre
múltiplas camadas (ferrimagnético/dielétrico isotrópico e metamaterial/dielétrico
isotrópico).
• Determinar as características de irradiação das antenas de microfita com patch em
anel em função de vários parâmetros da estrutura e dos substratos, avaliando seus
efeitos na melhoria do desempenho das estruturas, bem como na eliminação ou
redução de características indesejáveis.
• Apresentar resultados numéricos para antenas de microfita com patch em anel sobre
uma camada ferrimagnético/metamaterial e antenas de microfita com patch em anel
sobre substrato ferrimagnético/metamaterial suspenso, como casos particulares.
• Desenvolver programas computacionais para a simulação de resultados e validação
das equações obtidas, comparando com resultados obtidos através do software
comercial Ansoft HFSS® para verificação da eficiência computacional e, quando
possível, com resultados da literatura especializada.
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
7
O texto desta tese está organizado como mostrado a seguir.
O Capítulo 2 apresenta uma introdução aos materiais ferrimagnéticos, destacando-se
suas características mais relevantes. É desenvolvida uma análise rigorosa da antena de
microfita com patch em anel com substrato ferrimagnético sobre/suspenso por uma camada
dielétrica isotrópica, através do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da
transformada de Hankel. São determinadas as equações de onda e as expressões para as
componentes de campos elétricos e magnéticos no domínio espectral.
O Capítulo 3 apresenta os resultados numéricos da teoria desenvolvida para antenas
de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético/dielétrico. São mostrados
resultados para a freqüência de ressonância, diagrama de radiação e largura de banda em
função de parâmetros estruturais, variações do campo magnético DC de polarização
aplicado e magnetização de saturação. Antenas de microfita sobre substratos
ferrimagnéticos suspensos e com apenas uma camada ferrimagnética são também
analisadas, como casos particulares. Os resultados numéricos obtidos através da formulação
de onda completa e os resultados simulados em software comercial são discutidos e, em
determinados casos, comparados com outros publicados na literatura especializada.
No Capítulo 4, uma introdução aos metamateriais é apresentada. São consideradas
antenas de microfita com patch em anel sobre múltiplas camadas, compostas por
metamateriais e dielétricos isotrópicos, utilizando o método dos potenciais vetoriais de
Hertz, no domínio da transformada de Hankel.
No Capítulo 5, são apresentados os resultados numéricos obtidos para antenas de
microfita com patch em anel utilizando metamateriais como substratos. Curvas são
apresentadas em função de parâmetros estruturais do patch e dos parâmetros constitutivos
do substrato. São discutidos os resultados numéricos e simulados para a freqüência de
ressonância, diagrama de radiação e largura de banda.
No Capítulo 6, são apresentadas as conclusões do trabalho, enfatizando-se os
principais aspectos abordados e sugestões de continuidade do trabalho.
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
8
CAPÍTULO 2
Materiais Ferrimagnéticos
2.1 Histórico
A utilização de materiais ferrimagnéticos, em especial as ferritas, como substrato de
antenas do tipo patch de microfita possui um longo histórico de desenvolvimento. Muitos
artigos têm sido publicados nesse contexto e os mais relevantes, para este trabalho, serão
comentados a seguir.
Em (DAS et al., 1980) foi realizado um trabalho experimental no qual determinava
o comprimento ressonante do patch, através da definição de uma permissividade elétrica e
uma permeabilidade magnética efetivas. Resultados de uma pesquisa experimental para a
determinação da freqüência de ressonância e diagrama de radiação de um patch retangular
de microfita foram apresentados em (POZAR, 1988).
O método dos momentos foi usado (POZAR, 1992) para caracterizar uma antena de
microfita sobre um substrato de ferrita com polarização perpendicular ao plano de terra.
Resultados com modelo dinâmico para as características de propagação de linhas de
microfita e linhas de lâminas bilaterais sobre substratos ferrimagnéticos utilizando o
método dos potenciais vetoriais de Hertz foi proposto em (ALBUQUERQUE, 1993).
A freqüência de ressonância e o fator de qualidade para antena de microfita com
patch retangular sobre múltiplas camadas ferrimagnéticas foram obtidos (OLIVEIRA,
1996), também utilizando o método dos potenciais vetoriais de Hertz. Os resultados para
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
9
antenas de microfita com patch circular sobre ferrita utilizando o modelo da cavidade
foram apresentados por (LANGLEY, 1998).
O método de Galerkin, no domínio da transformada de Hankel, foi aplicado
apresentando resultados para as freqüências ressonantes, fator de qualidade e diagramas de
radiação para os modos ressonantes da antena de microfita com patch circular sobre ferrita,
considerando a presença de aberturas no plano de terra da antena (LOSADA, 2000).
Em (ALBUQUERQUE et al., 2005), foi avaliado o efeito da utilização do substrato
em rampa no desempenho de antenas de microfita com patch retangular sobre substratos
ferrimagnéticos.
2.2 Antena de microfita com patch em anel sobre ferrita
Na busca por dispositivos com dimensões reduzidas, operando em multi-bandas, o
interresse na utilização de substratos para as antenas de microfita que possam promover tais
características vem tendo, nos últimos anos, uma grande atenção por parte dos
pesquisadores (WAKI et al., 2005; NEFEDOV et al., 2007). A combinação do patch em
anel com o substrato de ferrita se apresenta como uma alternativa vantajosa e eficiente nos
projetos de antenas de microfita, visando à miniaturização da estrutura e a flexibilidade no
projeto.
As ferritas têm grande aplicabilidade como substratos em antenas planares, pois
apesar destas exibirem larguras de faixa estreitas, suas freqüências de ressonância podem
ser sintonizadas variando-se o campo magnético DC de polarização aplicado ao substrato.
Isto é importante nos projetos de dispositivos que necessitam de uma sintonia externa para
melhor adequá-los à sua utilização. Este processo é feito, em geral, submetendo o
dispositivo a um campo magnetostático externo que, dependendo de sua intensidade e
direção, afeta diretamente alguns parâmetros do material e, como conseqüência, as
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
10
propriedades da estrutura. Além disso, as antenas impressas sobre substratos
ferrimagnéticos apresentam várias propriedades que não são encontradas nos substratos
dielétricos comuns, como exemplo, a permissividade elevada da ferrita que contribui para a
redução das dimensões da antena e a presença de uma anisotropia magnética.
A ferrita é um material do tipo cerâmico com resistividade muito alta,
permissividade elétrica relativa escalar, entre 10 e 15, e permeabilidade magnética
tensorial. É descrita pelo tensor de Polder que estabelece as propriedades magnéticas do
material de acordo com a orientação do campo magnético de polarização aplicado. Para um
campo magnetostático aplicado segundo as direções x, y e z, o tensor permeabilidade
magnética é dado, respectivamente, por (LAX et al., 1962):
µ−µµ=µ
rr
rr0
jk0
jk0
001
;
(2.1)
µ
−µµ=µ
rr
rr
0
0jk
010
jk0
;
(2.2)
µ−µ
µ=µ100
0jk
0jk
rr
rr
0 . (2.3)
Para as três direções, os termos µr e kr nas expressões acima podem ser escritos
como:
;)H(f
Ms4H1
20
20
2
r γ−πγ−=µ (2.4)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
11
.)H(f
Ms4k
20
2r γ−πγ= (2.5)
onde γ é a razão giromagnética da ferrita, em MHz/Oe, 4πMs é a magnetização de saturação
do material, em Gaus, H0 é a intensidade do campo magnetostático aplicado, em Oester, e f
é a freqüência de operação em GHz.
A estrutura analisada neste trabalho está mostrada na Fig. 2.1, consistindo de uma
antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético suspenso por um
substrato dielétrico isotrópico que estão apoiados sobre um plano de terra.
Fig. 2.1 – Antena de microfita com patch em anel sobre substrato ferromagnético suspenso
por um dielétrico isotrópico.
As dimensões do patch em anel são definidas pelos raios externo r2 e interno r1. A
região 1 é o ar, com permissividade elétrica ε0 e permeabilidade magnética µ0. A camada de
ferrita (região 2) possui altura d2, permissividade escalar ε2 e permeabilidade tensorial µ . A
região 3 possui altura d3 e é constituída por um dielétrico isotrópico com permissividade
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
12
elétrica ε3 e permeabilidade magnética µ0. O patch e o plano de terra são considerados
condutores perfeitos.
Neste trabalho, considera-se a aplicação de um campo magnético de polarização,
H0, orientado segundo a direção z, como mostrado na Fig.2.1, cujo tensor permeabilidade
magnética, µ , é dado por (2.3).
Observa-se que as expressões de µr e kr em (2.4) e (2.5) apresentam uma
singularidade quando f se aproxima de γH0, assumindo assim, valores elevados tanto
positivamente como negativamente. Este fenômeno é conhecido como ressonância
giromagnética da ferrita e deve-se evitar essa faixa de freqüência para a maioria das
aplicações. Um exemplo desse comportamento pode ser visto na Fig. 2.2.
Fig. 2.2 – Freqüência de ressonância em função do campo magnetostático de polarização
aplicado em uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas.
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
13
2.3 Representação dos Campos Através do Método dos
Potenciais Vetoriais de Hertz
O método dos potenciais vetoriais de Hertz é usado no modelamento de antenas de
microfita com patch em anel sobre substratos ferrimagnéticos magnetizados. Nesta análise,
a ferrita possui tensor permeabilidade magnética orientado segundo a direção z, ou seja,
perpendicular ao plano de terra (Fig. 2.1), sendo dado por:
µ−µ
µ=µ100
0jk
0jk
rr
rr
0 (2.6)
e a permissividade elétrica é dada por:
0rεε=ε (2.7)
As equações de Maxwell para a região da ferrita, considerada livre de fontes e
correntes, são escritas como (BALANIS, 1997):
BjErr
ω−=×∇ (2.8)
DjHrv
ω=×∇ (2.9)
0D =⋅∇r
(2.10)
0B =⋅∇r
(2.11)
onde Er
é o vetor intensidade de campo elétrico, Hr
é o vetor intensidade de campo
magnético, Dr
é o vetor intensidade de fluxo elétrico, Br
é o vetor densidade de fluxo
magnético, ω = 2πf é a freqüência angular, estando implícita uma dependência temporal do
tipo exp (jωt).
As relações constitutivas, para um meio ferrimagnético (região 2 na Fig. 2.1), são
dadas por:
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
14
ED 02r
rrεε= (2.12)
HBrr
µ= (2.13)
onde ε0 é a permissividade elétrica no espaço livre, εr2 e µ são, respectivamente, a
permissividade elétrica relativa e a permeabilidade magnética da ferrita.
Na análise da estrutura, os potenciais de Hertz são considerados orientados segundo
a direção de magnetização (direção z) da ferrita. Assim, os potenciais vetoriais de Hertz
elétrico e magnético são definidos, respectivamente, por:
zieei arr π=π (2.14)
zihhi arr π=π (2.15)
onde πei e πhi representam, respectivamente, os potenciais escalares de Hertz, elétrico e
magnético, definidos para cada região i (i = 1, 2, 3), sendo zar
o vetor unitário na direção do
eixo óptico.
Usando as equações de Maxwell, é possível empregar o princípio da superposição e
expressar o vetor intensidade de campo elétrico em função de hπr . Admitindo que o campo
elétrico na direção z é nulo, obtém-se o chamado modo de propagação elétrico transversal
ou modo TE.
Usando o potencial de Hertz magnético hπr , define-se:
h2r0jE π×∇µωµ−= rr (2.16)
A substituição de (2.12) e (2.16) em (2.9) conduz a:
hh2r02r02H φ∇+πεεµµω= rr (2.17)
onde φh é uma função escalar definida por:
hh π⋅∇=φ r (2.18)
Com a substituição de (2.18) em (2.17) tem-se que:
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
15
hh2r02r02H π⋅∇∇+πεεµµω= rrr (2.19)
A parte dos campos determinada a partir do potencial de Hertz magnético [eqs.
(2.16) e (2.19)] é chamada de onda ordinária, pois apresenta um comportamento similar ao
das ondas planas em um meio isotrópico.
Analogamente, para o modo TM, os campos elétrico e magnético são expandidos
usando o potencial de Hertz elétrico, eπr , a partir da equação (YANG et al., 1987):
e2r022r
2r
22r
0
kjB π×∇εε
µ−µωµ= rr (2.20)
Substituindo-se (2.20) em (2.8), obtém-se:
ee22r
2r
22r
2r002 k
E φ∇+π
µ−µεεµω= rr
(2.21)
onde φe é uma função escalar definida por:
e2r
e
1 π⋅∇µ
=φ r (2.22)
Desenvolvendo a equação (2.21), chega-se a:
e2r
e22r
2r
22r
2r002 1k
E π⋅∇∇µ
+π
µ−µεεµω= rrr
(2.23)
Substituindo (2.13) em (2.20), tem-se que:
e1
2r022r
2r
22r
0 )(k
jH π×∇µεε
µ−µωµ= − rr
(2.24)
As expressões (2.23) e (2.24) representam a onda extraordinária, derivadas do
potencial de Hertz elétrico.
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
16
A solução completa dos campos é uma superposição dos modos TE e TM. Assim,
as expressões para as componentes de campo elétrico e campo magnético totais, no matérial
ferrimagnético, são dadas por:
e2r
e22r
2r
22r
2r002
h2r0
1kjE π⋅∇∇
µ+π
µ−µεεµω+π×∇µωµ−= rrrr
(2.25)
hh2r02r02
e1
2r022r
2r
22r
0 )(k
jH π⋅∇∇+πεεµµω+π×∇µεε
µ−µωµ= − rrrr (2.26)
Os potenciais de Hertz, eπr e hπr , devem satisfazer, respectivamente, às equações de
onda:
0k
e22r
2r
22r
2r002
e2 =π
µ−µεεµω+π∇ rr
(2.27)
0z
kh2
2
22r
2r
22r
h2r002
h2 =π
∂∂
µ−µ−πεεµω+π∇ rrr (2.28)
Devido à forma geométrica do patch em anel, será adotado o sistema de
coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z), ilustrado na Fig. 2.3, para a expansão dos campos totais.
Fig. 2.3 – Sistema de coordenadas cilíndricas adotado na modelagem da antena de microfita com patch em anel.
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
17
Desenvolvendo as equações (2.25) e (2.26), obtêm-se as componentes de campo
elétrico e magnético na camada de ferrita (região 2, na Fig. 2.1) para cada direção do eixo
de coordenadas cilíndricas:
z
11jE e
2
2r
h2r02 ∂ρ∂
π∂µ
+φ∂
π∂ρ
µωµ−=ρ ; (2.29)
z
1jE e
2
2r
h2r02 ∂φ∂
π∂ρµ
+ρ∂π∂µωµ=φ ; (2.30)
2e
2
2re2
2r
2r
22r
2r002
2z z
1kE
∂π∂
µ+π
µ−µεεµω= ; (2.31)
z
kj
1jH h
2e
22r
re
2r2r002 ∂ρ∂
π∂+
ρ∂π∂
µ−
φ∂π∂
ρµεεωµ=ρ ; (2.32)
z
1kjjH h
2e
2r
e22r
r2r02 ∂φ∂
π∂+
ρ∂π∂
µ−
φ∂π∂
ρµ−εωε=φ ; (2.33)
2h
2
h2r02r02
2z zH
∂π∂+πεεµµω= . (2.34)
Para o dielétrico isotrópico (região 3, na Fig. 2.1), as componentes dos campos
elétrico e magnético são obtidas de modo semelhante, bastando fazer µr2 = 1, kr = 0 e εr2 =
εr3 . Então,
z
1jE e
2h
03 ∂ρ∂π∂+
φ∂π∂
ρωµ−=ρ ; (2.35)
z
1jE e
2h
03 ∂φ∂π∂
ρ+
ρ∂π∂ωµ=φ ; (2.36)
2e
2
e3r002
3z zE
∂π∂+πεεµω= ; (2.37)
z
1jH h
2e
3r003 ∂ρ∂π∂+
φ∂π∂
ρεεωµ=ρ ; (2.38)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
18
zjH h
2e
3r03 ∂φ∂π∂+
ρ∂π∂εωε−=φ ; (2.39)
2h
2
h3r002
3z zH
∂π∂+πεεµω= . (2.40)
2.4 Aplicação do Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz no
Domínio da Transformada de Hankel
Devido ao fato da estrutura possuir simetria cilíndrica, os potenciais πe e πh podem
ser representados em termos de funções cilíndricas (GERARDI, 1959), como segue:
;d)(J)z,(~e)z,,(0
ne
jn
e ∫∞
φ αααραπ=φρπ (2.41)
.d)(J)z,(~e)z,,(0
nh
jn
h ∫∞
φ αααραπ=φρπ . (2.42)
onde )(Jn αρ é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e e( ,z)π α% é a transformada
de Hankel de eπ .
As equações de onda dos modos TE e TM são dadas a seguir. Para a região 2, tem-
se que:
0k
k e22r
2r
22r2
2e2 =π
µ−µ+π∇ rr
; (2.43)
e
0z
kk h2
2
22r
2r
22r
h22h
2 =π∂∂
µ−µ−π+π∇ rrr
. (2.44)
onde
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
19
2r002k εεµω= ; (2.45)
Substituindo o potencial eπr em termos de funções cilíndricas na equação (2.43) e
desenvolvendo a equação, chega-se a:
0k
k]z
1)(
1[ ei2
2r
2r
22r2
22e
2e
2
2e =π
µ−µ+
∂π∂+
φ∂π∂
ρ+
ρ∂π∂ρ
ρ∂∂
ρ. (2.46)
Resolvendo a equação (2.44), substituindo-se a equação (2.41) e considerando que
,s αρ= tem-se que:
0d)s(J~kk)s(J
z
~)s(J~n
s
)s(J
s
)s(J~
0
ne22r
2r
22r2
2n2e
2
ne2
2n
2n
22
e =α
απ
µ−µ+α
∂π∂+απ
ρ−
∂∂+
∂∂αρ
ραπ∫
∞
. (2.47)
As funções de Bessel de primeiro tipo Jn(s) são definidas como as soluções da
equação diferencial de Bessel, que pode ser escrita como (ABRAMOWITZ, 1970):
22 2 2n n
n2
J (s) J (s)s s (s n ) J (s) 0
s s
∂ ∂+ + − =∂ ∂
. (2.48)
Logo, a equação de onda para ,~
eπ no domínio da transformada de Hankel, é:
0~z e
22e2
2
=π
γ−
∂∂
(2.49)
onde
µ−µεεµω−α=γr
2r
22r
2r00222
2e
k. (2.50)
Analogamente, substituindo-se (2.42) em (2.44) e realizando o mesmo
procedimento utilizado para o potencial e~π , obtém-se a equação de onda para h
~π , no
domínio da transformada de Hankel.
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
20
0~z h
22h2
2
=π
γ−
∂∂
(2.51)
com
( )2r0022
2r2
2h εεµω−αµ=γ . (2.52)
Substituindo (2.41) e (2.42) nas equações das componentes tangenciais (2.29),
(2.30), (2.32) e (2.33), obtêm-se as componentes no domínio espectral, com duas funções
de Bessel de ordens diferentes. Isto se deve ao fato da derivada da função de Bessel de
ordem n poder ser representada por funções de Bessel de ordem n-1 e n+1, ou seja
(ABRAMOWITZ, 1970):
nn 1 n 1
J (s) 1(J (s) J (s))
s 2 − +∂
= −∂
; (2.53)
)s(J)s(Js
n2)s(J 1nn1n ±± −= . (2.54)
Para facilitar a análise, é desejável tratar fatores contendo funções de Bessel de
mesma ordem. Para isto, a obtenção de Eρ e Eφ é realizada substituindo-se (2.41) e (2.42)
nas componentes dadas em (2.29) e (2.30) fazendo uso das fórmulas de recorrência (2.53) e
(2.54), obtendo-se, respectivamente:
αα
−
∂π∂
µ+πµωµα=Ε ∫
∞
+−φ
ρ d))s(J)s(J(2
1
z
~1)s(J~
s
ne
0 1n1ne
2rnh
2r02jn ; (2.55)
e
αα
∂π∂
µ+−πµωµα=Ε ∫
∞
+−φ
φ d)s(Jz
~
s
jn))s(J)s(J(
2
1~je0 n
e
2r1n1nh2r0
2jn . (2.56)
Aplicando o mesmo procedimento, a partir de (2.41) e (2.42), as componentes
transversais do campo magnético são dadas por:
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
21
αα
−
∂π∂+−π
µεωε+π
µεωε−α= ∫
∞
+−+−φ
ρ d))s(J)s(J(z
~
2
1))s(J)s(J(
2
~k)s(J~
s
neH
0 1n1nh
1n1ne
22r
r2r0ne
2r
2r02jn ; (2.57)
e
αα
∂π∂+−
µπεωε−π
µεωεα= ∫
∞
+−φ
φ d)s(Jz
~
s
nj))s(J)s(J(
2
~j)s(J~
s
nkjeH
0 nh
1n1n22r
e2r0ne2
2r
r2r02jn . (2.58)
A componente de campo elétrico, definida como sendo φρ± Ε±Ε=Ε j , é dada por:
αα
∂π∂
µπµωµα=Ε ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~1~e 1n0
e
2rh2r0
jnm . (2.59)
Analogamente, o campo magnético, definido como sendo φρ± ±= HjHH , é
expresso por:
αα
∂π∂±π
µεωε±
µπεωε−α=Η ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~k~
e 1n0
he
2r
r2r0
2r
e2r0
jn . (2.60)
A análise pode ser feita para cada região separadamente, no entanto, as regiões 1 e 3
são consideradas como casos particulares de região 2 (Fig. 2.1). Desta forma, para um
dielétrico isotrópico, tem-se que:
αα
∂π∂πωµα=Ε ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
eh0
jnm ; (2.61)
αα
∂π∂±πεωε−α=Η ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
her0
jn . (2.62)
Desta forma, as componentes dos campos elétrico e magnético, no dominio da
transformada de Hankel, para cada região, são dadas por:
• Para a região 1 (ar):
αα
∂π∂πωµα=Ε ±
∞φ± ∫ d)s(J
ze 1n0
1e1h0
jn1 m ; (2.63)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
22
αα
∂π∂±πεωε−α=Η ±
∞φ± ∫ d)s(J
ze 1n0
1h1e1r0
jn1 ; (2.64)
• Para a região 2 (Ferrita):
αα
∂π∂
µπµωµα=Ε ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~1~e 1n0
2e
2r2h2r0
jn2 m ; (2.65)
αα
∂π∂±π
µεωε±
µπεωε−α=Η ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~k~
e 1n0
2h2e
2r
r2r0
2r
2e2r0
jn2 . (2.66)
• Para a região 3 (dielétrico isotrópico):
αα
∂π∂πωµα=Ε ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
3e3h0
jn3 m ; (2.67)
αα
∂π∂±πεωε−α=Η ±
∞φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
3h3e3r0
jn3 . (2.68)
2.5 Modelamento da Antena de Microfita com Patch em Anel
com Ferrita e Dielétrico Isotrópico
Realizada a análise utilizando o formalismo de onda completa através da aplicação
do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, inicia-
se a imposição das condições de contorno adequadas à estrutura. Isto permitirá determinar
as funções diádicas de Green, que relacionam as componentes da densidade de corrente no
patch com as componentes tangenciais do campo elétrico.
A Fig. 2.3 ilustra a estrutura considerada nesta análise, que consiste de três camadas
dielétricas. O patch condutor em anel tem raio interno r1 e raio externo r2 e está impresso
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
23
sobre duas camadas constituídas de ferrita e dielétrico isotrópico (camadas 2 e 3), com
alturas d2 e d3, respectivamente, suportado por um plano de terra. O meio 1 é o ar. Na
análise da estrutura, as perdas condutoras e dielétricas são desprezadas.
d2 2
z
y 3 d3
1
d23
r1
r2
µε ,2r
03r ,µε
00,µε
r1
r2
Fig. 2.4 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel com duas camadas, sendo ferrita suspensa por um dielétrico isotrópico.
As soluções para as equações de onda, nas regiões definidas por i (i = 2, 3), da Fig.
2.1, são dadas por:
)zcosh(A)z(senhA~ih
'iihihi γ+γ=π ; (2.69)
)zcosh(B)z(senhB~ie
'iieiei γ+γ=π ; (2.70)
e, na região dielétrica i = 1 (ar), são:
( )230 dz11h e~ −γ−Α=π ; (2.71)
( )230 dz11e e~ −γ−Β=π . (2.72)
onde 3223 ddd += .
Desta forma, as componentes dos campos elétrico e magnético no dominio da
transformada de Hankel para cada região, são dadas por:
• Para a região 1 (ar):
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
24
( ) ( ) αα
Β∂∂Αωµα=Ε ±
∞ −γ−−γ−φ± ∫ d)s(Je
zee 1n0
dz1
dz10
jn1
230230 m ;
(2.73)
( ) ( ) αα
Α∂∂±Βεωε−α=Η ±
∞ −γ−−γ−φ± ∫ d)s(Je
zee 1n0
dz1
dz13r0
jn1
230230 ; (2.74)
• Para a região 2 (Ferrita):
[∫∞φ
± γ+γµωµα=Ε0 2h
'22h22r0
jn2 ))zcosh(A)z(senhA(e
αα
γ+γ
∂∂
µ ± d)s(J))zcosh(B)z(senhB(z
11n2e
'22e2
2r
;
(2.75)
γ+γ
µεωε−α=Η ∫
∞φ± ))zcosh(B)z(senhB(
1e 2e
'22e2
2r2r00
jn2
))zcosh(B)z(senhB(k
2e'22e2
2r
r2r0 γ+γ
µεωε±
αα
γ+γ∂∂± ± d)s(J))zcosh(A)z(senhA(z 1n2h
'22h2 .
(2.76)
• Para a região 3 (dielétrico isotrópico):
[ ))zcosh(A)z(senhA(e 3h'33h300
jn3 γ+γωµα=Ε ∫
∞φ±
αα
γ+γ∂∂
± d)s(J))zcosh(B)z(senhB(z 1n3e
'33e3m ;
(2.77)
[ ))zcosh(B)z(senhB(e 3e'33e33r00
jn3 γ+γεωε−α=Η ∫
∞φ±
αα
γ+γ∂∂± ± d)s(J))zcosh(A)z(senhA(z 1n3h
'33h3
.
(2.78)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
25
A determinação das constantes ii
'ii ',,, ΒΒΑΑ é feita através da aplicação das
condições de contorno. Para a estrutura considerada (Fig. 2.3), as condições de contorno
são as seguintes:
03 =Ε± em z = 0; (2.79)
23 ±± Ε=Ε em z = d3 (2.80)
23 ±± Η=Η em z = d3 (2.81)
12 ±± Ε=Ε em z = d23 (2.82)
±±± Ι=Η−Η j21 m em z = d23 (2.83)
Aplicando-se as condições de contorno, as constantes iiii ',,', ΒΒΑΑ são obtidas
em cada região i ( i = 1, 2 e 3 ) segundo as seguintes expressões:
50
112r
6
32r1 P2
P)~~
(j
P2
P)~~
(j
αωεµΙ−Ι+
αµΙ+Ι−=Α +−+− (2.84)
−
αωεΙ−Ι+
αΙ+Ι−=Α +−+−
6
1109
506
12 P
PPP
P2
)~~
(j
P2
P)~~
(j (2.85)
650
10
62 PP2
P)~~
(j
P2
)~~
(j'
αωεΙ−Ι−
αΙ+Ι−=Α +−+− (2.86)
−γ
αωεµΙ−Ι+
αµΙ+Ι−=Α +−+−
6
71032h9
50
2r
6
72r3 P
PP)d(senhP
P2
)~~
(j
P2
P)~~
(j (2.87)
0'3 =Α (2.88)
502r0
42e1 P2
P)~~
(j
γµαωεγΙ−Ι−
=Β +− (2.89)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
26
50
22 P2
P)~~
(j
αωεΙ−Ι
=Β +− (2.90)
502 P2
)~~
(j'
αωεΙ−Ι
=Β +− (2.91)
52r0
82r3 P2
P)~~
(j
µαωεεΙ−Ι
=Β +− (2.92)
0'3 =Β (2.93)
Onde
)dcosh()dcoth()d(senh
)d(senh)dcoth()dcosh(P
32h3h33h32h2e2r
32h2h33h32h3h2r1 γγ+γγγµ
γγ+γγγµ−= (2.94)
)dcosh()dcoth()d(senh
)d(senh)dcoth()dcosh(P
32h3h33h32h2e2r
32h2h33h32h3h2r2 γγ+γγγµ
γγ+γγγε−= (2.95)
)dcosh()d(senhPP 232h232h13 γ+γ= (2.96)
)dcosh()d(senhPP 232e232e24 γ+γ= (2.97)
γ
γεγ++γ
γεγ+
µε= )dcosh(P)d(senh
P1P 232e
02r
2e2232e
02r
2e2
2r
2r5 (2.98)
( ) ( ) )dcosh(P)d(senhPP 232h12h2r0232h2h2r106 γγ+µγ+γγ+µγ= (2.100)
)d(senh
)dcosh()d(senhPP
33h
32h32h17 γ
γ+γ= (2.101)
)dcosh(
)d(senh)dcosh(PP
33e
32e32e28 γ
γ+γ= (2.102)
[ ][ ])dcosh()dcoth()d(senh
)d(senh)dcosh(PkP
32h2h33h32h3h2r22r
32e32e2r2r09 γγ−γγγµµ
γ+γεωε= (2.103)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
27
)dcosh(Pk
P)d(senhk
PP 232e222r
r2r092h232e2
2r
r2r092r010 γ
µεωε+γ+γ
µεωε+µγ= (2.104)
6
310232h911 P
PP)d(senhPP −γ= (2.105)
sendo +I~
e −I~
as componentes horária e anti-horária, respectivamente, da corrente de
superfície no anel. Isto conduz a equações lineares para as constantes iiii ',,', ΒΒΑΑ , de
tal forma que é possível expressar as transformadas de Hankel dos campos elétricos em
função das correntes, como sendo:
=
−
+
−
+
I~I~
Z~
Z~
Z~
Z~
E~E~
2221
1211
; (2.106)
onde 211211
~,
~,
~ ΖΖΖ e 22
~Ζ são as transformadas das componentes da função diádica de Green
da estrutura considerada.
Os elementos da matriz impedância[ ]Ζ~ são dadas por:
εµµ+
µωεγ−µωµ=
50
112r0
52r0
42e
6
32r011 P
P
P
P
P
P
j2
1Z~ ; (2.107)
εµµ−
µωεγ+µωµ=
50
112r0
52r0
42e
6
32r012 P
P
P
P
P
P
j2
1Z~ ; (2.108)
εµµ+
µωεγ+µωµ=
50
112r0
52r0
42e
6
32r021 P
P
P
P
P
P
j2
1Z~ ; (2.109)
εµµ−
µωεγ−µωµ=
50
112r0
52r0
42e
6
32r022 P
P
P
P
P
P
j2
1Z~ . (2.110)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
28
Na obtenção dos diagramas de radiação das estruturas analisadas, foram utilizadas
as seguintes expressões (FAN et al., 1991):
( ) ( )θΕ−∞→φθΕφ−
θ senk~
2
ej
R
ek~R,,R 00
jnnRjk
0
0
; (2.111)
( ) ( )θΕθ+∞→φθΕφ+−
φ senk~
cos2
ej
R
ek~R,,R 0e
jn1nRjk
0
0
, (2.112)
onde
−+ Ε−Ε=Ε ~~~0 (2.113)
e
−+ Ε+Ε=Ε ~~~e . (2.114)
Combinando-se a matriz [ ]Ζ~ , dada por (2.106), com o método de Galerkin, torna-se
possível determinar a freqüência de ressonância da antena, cujo procedimento será descrito
a seguir.
2.6 Aplicação do Método de Galerkin
O método de Galerkin é um caso particular do método dos momentos, cujas funções
peso são iguais às funções de expansão, tendo sido empregado com eficiência na análise
numérica de estruturas planares nas freqüências de microondas e ondas milimétricas
(ITOH, 1981).
As componentes ±E~
e ±I~
da matriz de impedância, definidas em (2.106), são
funções desconhecidas. Como os campos elétricos e as correntes são diferentes de zero em
regiões complementares na interface do dielétrico, então, pode-se eliminar ±E~
usando o
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
29
método de Garlekin e o teorema de Parseval. O procedimento de análise consiste em
expandir as correntes ±I~
em termos de funções de base conhecidas mI~
± , com coeficientes
de expansão mc± , desconhecidos, de acordo com a expressão:
∑=
±±± α=αM
1mmm )(I
~c)(I
~. (2.115)
Fazendo-se os produtos internos das equações resultantes em (2.106) com as
funções de expansão que, pelo método de Galerkin, são tomadas iguais às funções de base,
para diferentes valores de i (i = 1, 2 ... M), obtêm-se:
(2.116)
onde:
(2.117)
(2.118)
(2.119)
Uma solução não-nula para a equação matricial dada em (2.106) é obtida fazendo-se
o determinante da matriz [K] igual a zero. As raízes complexas obtidas da equação
11 11 12 1211 1 11 1 1
11 11 12 121 1
21 21 22 2211 1 11 1 1
21 21 22 221 1
. 0
+
+
−
−
Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ = Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ
L L
M MM
L L
L L
M M M
L L
m m
m mm m mmm
m m
mm mm m mm
c
c
c
c
11 1111
0
;im i m midα α∞
+ +Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %
12 2112
0
;im i m midα α∞
+ −Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %
22 2222
0
.im i m midα α∞
− −Κ = Ι Ζ Ι = Κ∫ % % %
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
30
característica det [K] = 0 são as freqüências de ressonância da estrutura analisada, que são
expressas como:
Fres = Fr + jFi. (2.120)
Para uma antena com patch em anel, com raio interno r1 e raio externo r2, as funções
de base, no domínio espacial, são dadas por (FAN et al., 1991):
)rK(Y)rK(Y
)rK(J)rK(J)r(I nm1n
1nm'n
1nm'n
nm1nm ±±± −= (2.121)
onde Jn(.) e Yn(.) são, respectivamente, a função de Bessel e a função de Neuman de
primeira e segunda espécie, de ordem n, e Knm é o número de onda ressonante. O valor de
Knm é a solução da expressão:
0)rK(Y)rK(J)rK(Y)rK(J 2nm'n1nm
'n1nm
'n2nm
'n =− . (2.122)
A transformada de Hankel de )r(I m± é dada por:
)]r(J)r(JK)r(J)r(J[r)(I~
2'
m21nnm2'
1n2m2m ±±±±± α−αα=α
)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22nm1
'm11nnm1
'1n1m1 α−α−αα− ±±±±
(2.124)
No modo fundamental de propagação, o valor de n nas funções correspondentes às
transformadas de Hankel das correntes será igual a 1, e o modo de propagação é
denominado TM11, onde o primeiro índice representa a ordem da função de Bessel e o
segundo corresponde ao número da raiz. Desta forma, as correntes +I~
e −I~
, obtidas de
(2.124), fazendo m = n = 1, são dadas por:
)]r(J)r(JK)r(J)r(J[r)(I~
2'122112
'2212 α−αα=α+
(2.125)
CAPÍTULO 2. FERRIMAGNÉTICOS
31
)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22111
'112111
'2111 α−α−αα−
e
)]r(J)r(JK)r(J)r(J[r)(I~
2'120112
'0212 α−αα=α−
)K/()]r(J)r(JK)r(J)r(J[r 22111
'110111
'0111 α−α−αα− .
(2.126)
Nesta análise, a eficiência numérica do método empregado depende basicamente da
escolha das funções de base, as quais devem representar as características físicas das
distribuições de corrente no patch em anel.
2.7 Conclusão
Neste capítulo, a análise de antena de microfita com patch em anel sobre substrato
ferrimagnético e dielétrico isotrópico, ressaltando o efeito da anisotropia magnética, foi
realizada utilizando o método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da
transformada de Hankel, para determinar as componentes da matriz de impedância da
estrutura modelada. O Método de Galerkin foi então usado para obter a equação matricial,
cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da antena. A partir da
modelagem, é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em função de
vários parâmetros da antena de microfita com patch em anel. Os resultados numéricos são
obtidos a partir da elaboração de rotinas computacionais que permitam a obtenção das
características ressonantes da antena modelada.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
32
CAPÍTULO 3
Resultados Numéricos – Ferrimagnéticos
3.1 Introdução
O Capítulo 2 apresentou a formulação do problema para a determinação das funções
diádicas de Green, efetuada através do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no
domínio da transformada de Hankel. A obtenção da freqüência de ressonância da antena de
microfita envolveu um problema numérico, cuja solução foi determinada através da
aplicação da técnica numérica de Galerkin. Conhecidas as componentes da matriz
impedância, após a definição das expressões de corrente no condutor em anel e a escolha de
funções de base adequadas, definidas em (2.107) a (2.110), foram elaborados programas
computacionais utilizando Matlab®, para a obtenção das freqüências de ressonância de cada
estrutura modelada.
Como a análise foi desenvolvida considerando que a antena de microfita com patch
em anel é constituída de multicamadas ferrimagnético/dielétrico, então é possível
determinar a freqüência de ressonância para diferentes configurações. Assim, são também
obtidos resultados para antenas de microfita com uma camada ferrimagnética e para antenas
com substratos ferrimagnéticos suspensos.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
33
3.2 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato
Ferrimagnético
A estrutura básica de uma antena de microfita com patch condutor em anel, de raio
interno r1 e raio externo r2, está ilustrada na Fig. 3.1. O patch está impresso sobre uma
camada ferrimagnética (camada 2), de altura d2, apoiada sobre um plano de terra. Para esse
tipo de estrutura, os resultados foram obtidos convergindo-se, numericamente, a altura da
camada 3 (Fig. 2.1) para um valor infinitesimal.
Fig. 3.1 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre substrato
ferrimagnético.
Para validação desta análise, foram obtidos resultados considerando o caso
particular em que o raio interno do anel, r1, tende a zero (r1 = 10-6 cm), simulando um patch
circular (VASCONCELOS, 2008), como mostra a Fig. 3.2. O substrato ferimagnético tem
altura d2 = 0,127 cm, permissividade elétrica relativa εr2 = 15, magnetização de saturação
4πMs = 650 G e razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe. Os resultados obtidos para a
freqüência de ressonância são comparados, através da equivalência das áreas, com os
resultados obtidos para uma antena de microfita com patch quadrado (POZAR, 1992),
fazendo-se r1 = 0, cmLr π/2 = , verificando-se uma boa concordância.
d2 2 εr2 , µ
z
y
1 r2
r1
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
34
Fig. 3.2 - Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático
externo.
A Fig. 3.3 mostra os resultados obtidos para uma antena de microfita com patch em
anel sobre substrato ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,130 cm), permissividade elétrica
εr2 = 15, magnetização de saturação 4πMs = 650 G e razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe.
Nessa segunda validação da análise, também foram obtidos resultados para uma antena
com patch circular, fazendo-se numericamente r1 tender a zero (r1 = 10-6 cm). A
comparação com os resultados obtidos para patch circular (POZAR, 1992) mostraram uma
boa concordância.
Na Fig. 3.4, o comportamento da freqüência de ressonância de uma antena patch em
anel sobre ferrita é mostrado em função da intensidade do campo magnético DC
normalizado, (H0/4πMs), para diferentes dimensões de patch em anel. A magnetização de
saturação 4πMs é igual a 650 Gauss, enquanto H0 é variado de modo que H0/4πMs assuma
valores entre 2,5 e 8,5. Observa-se que a freqüência de ressonância aumenta à medida que
as dimensões do patch diminuem.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
35
Fig. 3.3 - Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático
externo.
Fig. 3.4 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo
magnético DC normalizado, para diferentes dimensões de anel.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
36
A dependência da freqüência de ressonância com a intensidade do campo magnético
DC normalizado é ilustrada na Fig. 3.5. O campo magnético de polarização varia de modo
que H0/4πMs assuma valores entre 0,25 e 2,75. As curvas foram traçadas para dois valores
de magnetização de saturação 4πMs (1200 Gauss e 650 Gauss) e duas dimensões de raios
do patch em anel (patch 1: r2 = 0,2 cm e r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm).
Verifica-se que a freqüência de ressonância aumenta com a magnetização de saturação e é
inversamente proporcional à dimensão do anel. Assim, é possível observar a aplicação da
antena de microfita em anel sobre ferrita em freqüências elevadas.
Fig. 3.5 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade de campo
magnético DC normalizado.
Na Fig. 3.6, a freqüência de ressonância é calculada em função do campo
magnetizado H0, para dois valores de magnetização. A freqüência de ressonância aumenta
quando H0 muda de 1200 G para 1780 G. Para um caso particular, H0 = 2000 Oe e 4πMs =
1780 G, os resultados obtidos usando o método de Galerkin e a simulação com o Ansoft
HFSS são comparados e apresentam uma boa convergência. A perda de retorno
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
37
correspondente para H0 igual a 2000 Oe é apresentada na Fig. 3.7. A curva indica que a
freqüência de ressonância da antena proposta para ressoar em 12,7 GHz apresenta uma
perda de retorno de -34,37 dB e pode alcançar uma largura de banda de aproximadamente
550 MHz.
Fig. 3.6 - Curva da freqüência de ressonância em função do campo magnético estático
externo.
A Fig. 3.8 mostra a variação da perda de retorno com a freqüência de ressonância
para dois diferentes valores de largura de linha (linewidth), ∆H. Simulações numéricas
usando Ansoft HFSS® são obtidas para antena de microfita com patch em anel impresso
sobre ferrita com H0 = 5000 Oe e 4πMs = 1780 G. Os resultados simulados indicam que
existem três possíveis freqüências de ressonância para a estrutura considerada. Essas
freqüências de ressonância correspondentes a 8,25 GHz, 8,75 GHz, e 11,1 GHz estão
associadas a perdas de retorno de -42 dB, -25 dB, e -21,44 dB, para ∆H = 10 Oe, e -25,5
dB, -21,6 dB, e -15,32 dB, para ∆H = 45 Oe, respectivamente.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
38
Fig. 3.7 – Perda de retorno para 12,7 GHz para a antena de microfita com patch em anel
sobre ferrita.
Fig. 3.7 – Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
39
A Fig. 3.9 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função da
razão r2/r1 (r1 = 0,35 cm e r2 variando), para diferentes valores de H0. É possível observar
que a freqüência de ressonância da antena projetada aumenta à medida que o campo
magnético de polarização aplicado aumenta, aproximando-se do caso isotrópico. Para um
valor particular da freqüência, verifica-se que a freqüência de ressonância aumenta com a
redução das dimensões de anel.
Fig. 3.9 - Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.
Como forma de investigar a precisão das equações obtidas neste trabalho e
considerando a falta de resultados para confrontação na literatura, mais uma vez é utilizada
a relação da equivalência das áreas dos patches. Assim, na Fig. 3.10, os resultados obtidos
para o patch quadrado (VITTORIA et al., 1994) são comparados com os resultados obtidos
para o patch circular simulados neste trabalho, fazendo-se numericamente r10,
observando-se uma boa concordância. Os resultados foram obtidos para antenas de
microfita com patch em anel sobre substrato ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,03 cm). A
ferrita tem permissividade elétrica εr2 = 11,41, magnetização de saturação 4πMs = 985 G e
razão giromagnética γ = 2,85 MHz/Oe.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
40
Fig. 3.10 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
Considerando, ainda, a mesma ferrita utilizada na Fig. 3.10, o comportamento da
freqüência de ressonância em função da intensidade do campo magnético DC, H0, é
observada na Fig. 3.11. Os resultados são simulados para dois valores de altura d2 do
substrato ferrimagnético (0,03 cm e 0,13 cm) e para duas dimensões do patch em anel
(patch 1: r2 = 0,2 cm e r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm). Com a
diminuição do patch e da altura do substrato ferrimagnético, a freqüência de ressonância
aumenta, favorecendo, com isso, a miniaturização da estrutura.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
41
Fig. 3.11 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
A Fig. 3.12 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função da
razão dos raios do anel (r1 = 0,35 cm) para diferentes valores de campo magnético estático
de polarização aplicado. Observa-se que, à medida que a intensidade de H0 aumenta, as
curvas se aproximam daquela do caso isotrópico. Os resultados mostram que a freqüência
de ressonância cresce quando a intensidade do campo DC de polarização aumenta,
permitindo uma sintonia externa da antena.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
42
Fig. 3.12 - Curva da freqüência de ressonância em função da razão dos raios do anel.
Todos os resultados numéricos apresentados e discutidos até então, foram obtidos
considerando ferritas comerciais que tiveram um bom desempenho, alcançando altas faixas
de freqüências. No entanto, também existem ferritas comerciais com especificações
adequadas para aplicações na faixa de ondas milimétricas. As Figs. 3.13 e 3.14 apresentam
o comportamento da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC aplicação, H0, variando de 250 Oe a 1250 Oe na Fig. 3.14, e de 250 Oe a
1000 Oe na Fig. 3.15. São consideradas duas dimensões de patches (patch 1: r2 = 0,2 cm e
r1 = 0,1 cm; patch 2: r2 = 0,15 cm e r1 = 0,075 cm). O substrato ferrimagnético magnetizado
tem espessura d2 = 0,13 cm, permissividade elétrica εr2 = 12,5, magnetização de saturação
4πMs = 5000 G e razão giromagnética γ = 2,9 MHz/Oe.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
43
Fig. 3.13 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
Fig. 3.14 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
44
3.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre duas camadas
Ferrimagnética/Dielétrica
A Fig. 3.15 mostra a seção transversal da antena de microfita com patch em anel
sobre duas camadas ferrita/dielétrico, na qual o patch condutor em anel, de raio interno r1 e
raio externo r2, está impresso sobre uma camada de substrato ferrimagnético (camada 2), de
altura d2, suspenso por uma camada de dielétrico isotrópico (camada 3), de altura d3,
apoiada sobre um plano de terra.
d2 2 ε2 , µ
z
y
1 r2
r1
3 ε3 , µ0 d3
Fig. 3.15 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre duas
camadas (ferrita/dielétrico).
As Fig. 3.16 e 3.17 mostram a influência da adição de uma subcamada no
comportamento da antena de microfita sobre ferrita. Verifica-se que a freqüência de
ressonância cresce em função da intensidade do campo magnetico DC aplicado. Foram
obtidos resultados para antenas de microfita com patch em anel sobre substrato
ferrimagnético magnetizado (d2 = 0,03 cm), com permissividade elétrica εr2 = 12,5,
magnetização de saturação 4πMs = 5000 G e razão giromagnética γ = 2,9 MHz/Oe. Na Fig.
3.16, os resultados são obtidos considerando o substrato com uma camada de ferrita (d3 =
0) e com a ferrita suspensa por um dielétrico isotrópico (d3 = 0,03 e εr3 = 2,32). Na Fig.
3.17, a ferrita está suspensa por uma camada de ar (d3 = 0,03 e εr3 = 1,0).
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
45
Fig. 3.16 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
Fig. 3.17 - Curva da freqüência de ressonância em função da intensidade do campo
magnético DC.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
46
Na Fig. 3.18, observa-se o comportamento da freqüência de ressonância em função
da altura da camada dielétrica, d3, variando de 0,01 cm a 0,045 cm, para dois tipos de
dielétricos (εr3 = 2,32 e εr3 = 4,4). Como esperado, a antena apresenta valores mais elevados
de freqüência de ressonância à medida que as permissividades diminuem.
Fig. 3.18 - Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
As Figs. 3.19 e 3.20 mostram, respectivamente, os resultados para o diagrama de
radiação (componentes de campo elétrico, Eθ e Eφ), para a estrutura considerada na Fig.
3.17. Observa-se, na Fig. 3.19, que a diretividade da antena aumenta com a altura da
camada de isotrópica. Entretanto, o efeito dessa variação é praticamente nulo no diagrama
de radiação Eφ, como mostra a Fig. 3.20.
Pode ser observado, na Fig. 3.21, que com a diminuição do valor da permissividade
da camada dielétrica, a diretividade da antena aumenta.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
47
Fig. 3.19 – Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de altura da camada
dielétrica, d3.
Fig. 3.20 – Diagrama de radiação (Eφ) para dois valores diferentes de altura da camada
dielétrica, d3.
Fig. 3.21 – Diagrama de radiação (Eθ) para dois valores diferentes de permissividade para a
camada dielétrica, d3.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
48
A Fig. 3.22 apresenta as curvas para a freqüência ressonância em função da altura
de camada dielétrica, d3, para diferentes tipos de dielétricos. Como esperado, variando-se a
permissividade de um valor mais baixo, εr3 = 1,0 (ar), simulando o caso suspenso, para um
valor de permissividade mais alta, εr3 = 9,8, a freqüência ressonância diminui com o
aumento da permissividade da camada dielétrica.
Fig. 3.22 - Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
As Figs. 3.23 e 3.24 mostram o comportamento da freqüência de ressonância para
uma antena de microfita em anel com ferrita, em função da altura de camada dielétrica, d3,
para valores diferentes de campo magnético DC aplicado. A altura da camada dielétrica (εr3
= 2,32) varia de 0,01 cm a 0,045 cm, enquanto o raio externo do patch é r2 = 0,15 cm. Na
Fig. 3.24, o raio externo do anel igual a r2 = 0,1 cm. Os resultados mostram que a
freqüência de ressonância aumenta com a intensidade do campo magnético DC aplicado e
com a altura da camada dielétrica, permitindo uma sintonia externa à estrutura. À medida
que o campo magnético aumenta, a freqüência de ressonância tende ao caso isotrópico.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
49
Fig. 3.23 - Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
Fig. 3.24 - Curva da freqüência de ressonância em função da altura da camada dielétrica.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS NUMÉRICOS FERRIMAGNÉTICOS
50
3.4 Conclusão
Neste capítulo, foram apresentados os resultados numéricos para uma antena com
patch em anel de microfita com multicamadas, constituídas por materiais
ferrimagnético/dielétrico. Observou-se nos resultados que, quando o campo magnético
aplicado externamente é variado, obtém-se também uma variação no comportamento da
freqüência de ressonância. Com isto, é possivel realizar-se uma sintonia externa da antena,
sem alterar suas caracteristicas físicas. Foram feitas comparações com resultados de outros
trabalhos publicados para o caso de patch circular e quadrado, convergindo numericamente
o raio interno a um valor infinitesimal nos programas elaborados utilizando Matlab®.
Observou-se uma boa concordância com resultados obtidos através do Ansoft HFSS®.
Quando comparado ao software HFSS, o método de Galerkin permitiu uma melhor
investigação da região de ressonância giromagnética da ferrita, por ser mais sensível às
variações do campo magnético DC aplicado.
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
51
CAPÍTULO 4
Metamateriais
4.1 Introdução
As propriedades elétricas e magnéticas dos materiais podem ser determinadas por
dois parâmetros constitutivos denominados permissividade elétrica (ε) e permeabilidade
magnética (µ). Em conjunto, a permeabilidade e a permissividade determinam a resposta do
material quando uma onda eletromagnética se propaga através do mesmo. Geralmente, ε e
µ são ambos positivos em meios convencionais. Enquanto ε pode ser negativo em alguns
materiais (por exemplo, ε pode apresentar valores negativos abaixo da freqüência de
plasma dos metais), nenhum material natural com µ negativo é conhecido. Porém, certos
materiais, chamados de materiais LHM (Left-Handed Materials), possuem permissividade
efetiva (εeff) e permeabilidade efetiva (µeff) apresentando, simultaneamente, valores
negativos. Em tais materiais, o índice de refração (n) é negativo, fator este que resulta na
inversão de fenômenos eletromagnéticos conhecidos, os quais foram investigados,
teoricamente, pelo físico russo Veselago em 1967 (VESELAGO, 1967). Na época da
publicação do estudo, o próprio Veselago ressaltou que tais materiais não estavam
disponíveis na natureza, o que fez com que suas observações ficassem apenas no território
das curiosidades.
A princípio, materiais com permissividade negativa puderam ser obtidos através de
um arranjo periódico de fios condutores milimétricos alinhados ao longo da direção de
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
52
propagação, como mostra a Fig. 4.1. Entretanto, para que o estudo de Veselago fosse
comprovado, faltava fabricar um material com permeabilidade negativa.
Fig. 4.1 – Arranjo de fios condutores para produzir um meio efetivo com
permissividade negativa. Reproduzido de (SARTORI, 2004).
O desafio, então, era construir um meio que apresentasse uma permeabilidade
magnética efetiva negativa. Em 1999, Pendry demonstrou que uma estrutura em anel aberto
(na forma de “C”), denominada ressoador em anel dividido (Split Ring Resonator – SRR),
podia promover uma permeabilidade negativa (PENDRY et al., 1999), conforme a Fig. 4.2.
Combinando as duas estruturas de Pendry em um único arranjo, dado pela Fig. 4.3, de
modo que o comprimento de onda a ser utilizado fosse maior que os elementos e o
espaçamento do arranjo compreendido pelos mesmos, o comportamento left-handed foi
alcançado por Smith, confirmando o estudo realizado, há três décadas, por Veselago.
Fig. 4.2 – Ressoador em anel dividido (SRR) para produzir um meio efetivo com
permeabilidade negativa. Reproduzido de (SARTORI, 2004).
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
53
Fig. 4.3 – Arranjo de SRR e fios metálicos criando um meio efetivo com ε e µ negativos.
Reproduzido de (SARTORI, 2004).
Esses novos materiais são denominados de metamateriais, onde o prefixo meta é
uma alusão à natureza excêntrica de seus parâmetros eletromagnéticos. Entretanto, existem
outras denominações para estes meios, na literatura, de acordo com as propriedades do
material, tais como materiais left-handed (LHM), materiais de índice de refração negativo
(NRI), materiais de índices negativos (NIM), materiais duplo-negativos (DNG), dentre
outros.
O Departamento de Defesa Norte-Americano (DARPA) tem uma definição para os
metamateriais: “Metamaterial é uma nova classe de nano-inclusões artificiais ordenadas
numa estrutura que apresenta propriedades excepcionais não observadas na natureza.
Estas propriedades também não são observadas nos materiais constituintes dessas
estruturas e resultam das respostas eletromagnéticas dessas inclusões extrínsecas, não-
homogêneas e fabricadas artificialmente”.
Um ponto é de extrema importância diante desta definição. A citação “não
observadas nos materiais que os constituem” diz respeito ao fato de que não se considera o
caráter microscópico dos materiais que constituem o metamaterial, mas somente é
considerado que no composto há materiais homogêneos com parâmetros eletromagnéticos
bem definidos de ε e µ. De acordo com o eletromagnetismo clássico, pode-se dizer que o
comprimento de onda determina se uma coleção de átomos ou de outros objetos quaisquer
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
54
pode ser considerada um material. Os parâmetros eletromagnéticos ε e µ não precisam
surgir estritamente da resposta de átomos e moléculas. Qualquer coleção de objetos cujo
tamanho e o espaçamento sejam muito menores do que o comprimento de onda pode ser
descrita por um ε e um µ, cujos valores são determinados pelas propriedades de
espalhamento das estruturas dos objetos. Portanto, uma onda eletromagnética passando
através desse arranjo não distingue a diferença, embora tal coleção não-homogênea não
satisfaça a definição intuitiva de um material. Do ponto de vista do eletromagnetismo, trata-
se de um material artificial, ou um metamaterial.
Os metamateriais surgiram como a mais promissora tecnologia, capaz de atender às
exigências excepcionais dos sistemas atuais e futuros de comunicações. Baseados em uma
atraente e revolucionária classe de materiais que possuem novas e poderosas propriedades
de propagação eletromagnética, eles foram considerados pela revista Science como sendo
um dos 10 maiores avanços da ciência no ano de 2006 (SCIENCE, 2006). Vários trabalhos
têm sido publicados na literatura procurando explorar novos efeitos e descobrir novas
aplicações para este “fantástico” material. Como exemplos, destacam-se o desenvolvimento
de superlentes capazes de fornecer imagens de objetos ou estruturas que são muito menores
do que o comprimento de onda da luz e mecanismos de invisibilidade, para determinadas
freqüências de oscilações eletromagnéticas, capazes de tornar objetos invisíveis ao olho
humano. Outras aplicações dos LHMs incluem a fabricação de antenas com propriedades
novas, nanolitografia óptica, microscópios de altíssima resolução, nanocircuitos para
supercomputadores, dispositivos MIMO WiFi, ultra-compactos, de várias bandas e modos
com velocidade de comunicação, alcance e mobilidade superiores (RASPEN, 2010).
4.2 Metamateriais: Uma nova classe de materiais
As características desses meios artificiais vão além de sua funcionalidade, já que é
permitida a combinação de sinais entre os parâmetros de permissividade e permeabilidade.
É possível encontrar meios naturais que apresentem uma permissividade negativa, como é o
caso de alguns metais para freqüências próximas a ressonância de plasma. Alguns cristais
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
55
como SiC, LiTaO3, LiF and ZnSe também podem apresentar, para certas freqüências, uma
permissividade negativa. Já os materiais com permeabilidade negativa não ocorrem na
natureza e precisam ser fabricados.
A Fig. 4.4 ilustra uma representação gráfica de quatro diferentes possibilidades de
materiais para aplicações eletromagnéticas, baseados em suas permissividades e
permeabilidades. São também ilustradas a refração e a reflexão considerando uma interface
entre o ar e cada meio em questão. Há quatro regiões no diagrama.
Fig. 4.4 – Diagrama de permissividade (ε) e permeabilidade (µ) para os quatro tipos de meios. Reproduzido de (WILTSHIRE, 2001).
O plasma encontra-se na região onde ε é negativo e µ positivo, que também é o caso
das estruturas compostas de fios milimétricos. O arranjo composto por anéis divididos SRR
e as ferritas (ressonância giromagnética da ferrita) encontram-se na região onde ε é positivo
e µ é negativo. Veselago determinou que se ε ou µ fossem negativos, ou seja, tivessem
sinais opostos, o material não suportaria a propagação de ondas eletromagnéticas. Este
fenômeno veio a ser conhecido como “band gap eletromagnético (EBG)”. Ainda temos a
região onde ε e µ são positivos, que é o caso dos materiais convencionais (RHM – Right-
Handed Materials) onde a refração ocorre positivamente; e a região onde ε e µ são
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
56
negativos, simultaneamente, onde se encontram os metamateriais (LHM – Left-Handed
Materials), nos quais a refração ocorre negativamente.
A presença de índice de refração negativo nos meios LH implica em uma
velocidade de grupo anti-paralela à velocidade de fase, causando interessantes efeitos,
como por exemplo, uma inversão de direção do efeito Doppler ou uma inversão do raio
refratado na Lei de Snell comparados aos meios convencionais (índice de refração
negativo). Como Veselago apontou, estas reversões da onda eletromagnética contem
implicações para muitos fenômenos. Muitos dos efeitos do índice de refração negativo têm
sido examinados pelos pesquisadores, do ponto de vista experimental ou computacional.
O índice de refração determina como o feixe é defletido na interface de separação
entre dois meios distintos. Se o índice é positivo, o feixe é defletido no lado oposto da
normal à superfície em relação ao feixe incidente. Enquanto se o índice é negativo, ele é
defletido no mesmo lado da normal à superfície. Considerado um prisma de RHM e LHM,
Fig. 4.5, é possível observar o fenômeno da refração nos dois meios. Para o prisma RHM, o
raio refratado produz um ângulo positivo com a normal, no prisma de LHM, o raio
refratado produz um ângulo negativo com a normal. Além disso, a velocidade de grupo,
que caracteriza o fluxo de energia, e a velocidade de fase, que caracteriza o movimento das
frentes de onda, aponta em direções opostas, como mostra a Fig. 4.6.
Fig. 4.5 – Ilustração da propagação em um meio (a) com índice de refração positivo (RHM) e (b) com índice de refração negativo (RHM). θ1 é o ângulo de incidência e θ2 é o
ângulo de refração. Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006).
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
57
Fig. 4.6 – Ilustração das direções do campo elétrico, do campo magnético, do vetor de Poynting e do vetor de onda (a) RHM e (b) LHM.
Reproduzido de (SUDHAKARAN, 2006).
Vale ressaltar que estes materiais artificiais, com índice de refração negativo,
possuem os valores de ε e µ dependentes da freqüência, ou seja, são meios dispersivos,
sendo simultaneamente negativos dentro de uma estreita faixa de freqüência.
Os metamateriais também podem ser projetados de modo que possam apresentar os
mesmos parâmetros eletromagnéticos dos materiais pertencentes aos outros três quadrantes.
Daí, muitos trabalhos têm sido desenvolvidos e validados experimentalmente (SMITH et
al., 2000; SHELBY et al., ZIOLKOWKSI et al., 2001).
4.3 Projeto do Meio Metamaterial
Os metamateriais são considerados estruturas artificiais eletromagnéticas
homogêneas com propriedades incomuns que não estão naturalmente disponíveis na
natureza. Uma estrutura efetivamente homogênea é uma estrutura cujo tamanho da célula
comum estrutural p é muito menor que o comprimento de onda guiada λg (ITOH et al.,
2006).
Então, este tamanho de célula comum deverá ser menor que um quarto de
comprimento de onda guiado, p < λg /4. A condição de p = λg /4 é considerada o limite de
homogeneidade efetiva ou condição de homogeneidade efetiva, assegurando que o
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
58
fenômeno da refração domine sobre o fenômeno de espalhamento e/ou difração quando
uma onda se propaga através do meio. A Fig. 4.7 mostra o primeiro metamaterial proposto
por Pendry, constituído de metais e dielétricos e seguindo a condição de homogeneidade
efetiva (p < λg /4).
Fig. 4.7 – (a) estrutura composta por fios milimétricos (thin wire - TW). (b) estrutura composta pelos SRRs. Reproduzido de (ITOH et al., 2006).
Os meios metamateriais apresentam um comportamento dispersivo, ou seja, os
parâmetros constitutivos do meio variam em função da freqüência. Por isso, é necessário o
conhecimento da faixa de freqüência na qual a permissividade (ε) e/ou a permeabilidade (µ)
tornam-se efetivamente negativos. Esse estudo pode ser realizado utilizando modelos
analíticos para a determinação da permissividade e da permeabilidade efetivas do meio
metamaterial. Os modelos mais empregados para essa finalidade são o modelo de Drude-
Lorentz, o modelo para o meio de SRR e fios metálicos de Pendry, para citar alguns
(ZIOLKOWSKI et al., 2006).
4.3.1 Modelo Drude-Lorentz
A determinação da permissividade elétrica ε através do modelo de Drude é dada por
( ))i(
1e
2ep
r Γ−ωωω
−=ωε (4.1)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
59
onde ωep representa a freqüência do plasma elétrico (freqüência natural de oscilação do
material) e Γe representa a freqüência de amortecimento (perda do sistema). Para ω < ωep a
permissividade se torna negativa.
Na Fig. 4.8 podemos observar a variação da parte real da permissividade elétrica
relativa, modelada pelo modelo de Drude, para diferentes valores da freqüência de plasma.
Fig. 4.8 – Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude,
com Γ = 0,5 GHz.
A expressão (4.2) representa a análise da µ por meio do modelo de Lorentz:
( )2
m2
0m
2mp
r i1
ω−ωΓ−ωω
−=ωµ (4.2)
Neste caso, ωe0 e ωm0 são as freqüências de ressonância elétrica e magnética,
respectivamente, que são determinadas pela geometria da rede, pela densidade, massa
efetiva e carga dos elétrons, como acontece no caso dos materiais comuns. Para freqüências
entre ω0 ≤ ω ≤ ωp, o meio apresenta uma permissividade negativa.
O estudo desses modelos pode ser realizado de forma similar em qualquer faixa de
freqüência desejada (microonda, onda milimétrica ou óptica) com a utilização de valores
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
60
adequados de freqüência. As Figs. 4.9 e 4.10 mostram o comportamento da freqüência de
ressonância para o caso em que a permissividade segue o modelo de Drude (Fig. 4.9) e a
permeabilidade segue o modelo de Lorentz (Fig. 4.10).
Fig. 4.9 – Permissividade elétrica relativa modelada pelo modelo de Drude.
Fig. 4.10 – Permeabilidade elétrica relativa modelada pelo modelo de Lorentz.
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
61
4.3.2 Meios SRR e fios metálicos
O meio constituído por fios milimétricos (TW) e por anéis divididos (SRR) são os
blocos constituintes da estrutura metamaterial (Fig. 4.7). Normalmente a permeabilidade
magnética relativa é igual a um (µr = 1), para maioria dos materiais. O meio TW responde
ao campo elétrico e apresenta uma permissividade elétrica que se torna negativa abaixo da
freqüência de plasma dos fios. Mas, estas estruturas de fios metálicos não respondem ao
campo magnético. Logo, para se obter uma permeabilidade negativa é necessário que se
entenda as propriedades magnéticas dos materiais. Pendry (PENDRY et al., 1999)
aumentou a resposta magnética dos materiais projetados artificialmente introduzindo
elementos capacitivos na estrutura, os SRRs. O SRR exibe uma resposta magnética
ressonante às ondas eletromagnéticas quando o vetor campo magnético H for paralelo ao
eixo dos SRRs. Estes anéis (SRRs) podem ser construídos usando várias formas
geométricas, onde cada anel pode ser visto como o equivalente metamaterial de um átomo
magnético, conforme mostra a Fig. 4.11.
Fig. 4.11 – Formas de arranjo geométrico.
Como mencionado anteriormente, o Prof. J. B. Pendry foi o primeiro a comprovar
as propriedades duplo-negativas dos metamateriais LH através de simulações e
considerações teóricas. Para a estrutura TW, a permissividade negativa é obtida
teoricamente a partir de (PENDRY et al., 1999):
( ))(
12
2
e
epeff jωζω
ωωε
+−= (4.3)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
62
onde ωep é a freqüência de plasma, a qual é dada por:
)r
pln(p
c2
2
202
ep
π=ω (4.4)
sendo c0 a velocidade da luz no espaço livre, p é o período do arranjo e r é o raio dos fios.
Logo, é possível manipular a freqüência de plasma meramente através das dimensões dos
fios, p e r.
O fator de perdas do metal ζe, é dado por:
πσ
ωε
=ζ
2
ep0
e
r
p
(4.5)
onde σ é a condutividade do metal.
Para 0)Re( r <ε temos que )( 2e
2ep
2 ζ−ω<ω . Reduzindo ζe = 0 temos que 0r <ε
quando epω<ω .
Um arranjo periódico de SRRs apresenta uma permeabilidade magnética efetiva
dada por (PENDRY et al., 1999):
mmeff j
F
ωζωωωωµ
+−−=
20
2
2
1)( (4.6)
onde ωep é a freqüência de ressonância magnética, F é o fator geométrico da célula, ζe é a
energia dissipada e r é o raio interno do anel menor.
2
2
p
rF
π= (4.7)
32
302
m0
r)dw2
ln(
pc3
π=ω
(4.8)
onde d é a distância entre os anéis e w é a largura dos anéis. ζm é o fator de perdas do metal,
dado por:
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
63
0
'
m r
pR2
µ=ζ (4.9)
sendo R’ a resistência do metal.
Das considerações feitas, podemos dizer que para 0r <µ temos que
mpm0m0 )F1(/ ω=−ω<ω<ω .
Portanto, um material com valores de ε e µ negativos pode ser fabricado para certa
faixa de freqüência.
4.4 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato
Metamaterial
Em aplicações de baixas perdas para a região de microondas, as escolhas são
limitadas aos materiais naturais dielétricos não-magnéticos. Infelizmente, para materiais
magnéticos, como é o caso das ferritas, a freqüência de ressonância é limitada pela região
de ressonância giromagnética, como visto no Capítulo 2. Daí a necessidade de se obter
materiais que apresentem valores elevados de permissividade e, principalmente,
permeabilidade, como é o caso dos metamateriais.
Como foi descrito, os metamateriais obedecem a uma condição de homogeneidade
efetiva, ou seja, a estrutura é considerada uniforme em relação à direção de propagação
eletromagnética. Em conseqüência, são meios que exibem parâmetros constitutivos
efetivos, caracterizados por uma permissividade elétrica relativa efetiva e por uma
permeabilidade magnética efetiva, dadas pelos modelos apresentados na seção 4.4 deste
capítulo.
Recentemente, novos substratos artificiais com propriedades dielétricas e/ou
magnéticas têm sido empregados para a miniaturização de antenas e circuitos planares de
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
64
microondas (MOSALLAEI et al., 2007). O uso destes materiais também é investigado em
antenas de microfita com patch retangular (BUELL et al., 2007).
Neste trabalho, será utilizado o metamaterial na faixa de freqüência onde a
permeabilidade e a permissividade possuem valores altos positivos, para aplicações em
antenas de microfita. No contexto dos metamateriais, devido ao fato de apresentarem uma
anisotropia tanto dielétrica quanto magnética, estes meios podem ser considerados como
meios bianisotrópicos. Com isto, a inclusão destes metamateriais em formalismos
numéricos, tais como, MoM, FDTD, entre outros, pode ser realizada.
Na análise, utilizando o método de onda completa dos Potenciais Vetoriais de Hertz
é preciso que os parâmetros constitutivos do meio sejam definidos. Neste caso, o
metamaterial considerado é caracterizado por permissividade e permeabilidade tensoriais
(ITOH et al., 2006):
εε
εε=ε
=
zz
yy
xx
0
00
00
00 (4.10)
µµ
µµ=µ
=
zz
yy
xx
0
00
00
00 (4.11)
Quando uma estrutura LH é unidimensional (1D) somente uma direção é permitida
para a dupla ( H,Err
). Tem-se então que εxx ( peω<ω ) < 0 e εyy = εzz > 0, µxx > 0 e µyy = µzz
( mpm0 ω<ω<ω ) < 0. Logo, o tensor para o metamaterial 1D, é dado por (ITOH et al.,
2006):
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
65
ωεε
εε=ε
=
)(00
00
00
eff
r
r
0 (4.12)
µωµ
µµ=µ
=
r
eff
r
0
00
0)(0
00 (4.13)
No caso de uma estrutura bidimensional (2D), embora Er
tenha que ser orientado ao
longo do eixo dos fios, são possíveis duas direções para ;Hr
o [ε] é inalterado, mas µxx = µyy
( mpm0 ω<ω<ω ) < 0 e µzz > 0. Portanto, o tensor para o metamaterial 2D, é dado por
(ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004):
ωεε
εε=ε
=
)(00
00
00
eff
r
r
0 (4.14)
µωµ
ωµµ=µ
=
r
eff
eff
0
00
0)(0
00)( (4.15)
Exemplos de estrutura unidimensional (a) e bidimensional (b) são apresentadas na
Fig. 4.12 (ITOH et al., 2006). Vale ressaltar que o SRR exibe uma resposta magnética
ressonante às ondas eletromagnéticas quando o vetor campo magnético Hr
for paralelo ao
eixo dos SRRs.
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
66
Fig. 4.12 – Primeiras estruturas LH de TW e SRRs. (a) Estrutura LH unidimensional. (b)
Estrutura LH bidimensional. Reproduzido de (ITOH et al., 2006).
Neste trabalho, o modelo de onda completa é aplicado na análise de antenas de
microfita com patch em anel, como mostra a Fig. 4.13. O patch está impresso sobre um
substrato metamaterial bianisotrópico uniaxial, com estrutura bidimensional (2D)
homogênea. Uma camada de material dielétrico separa o substrato metamaterial do plano
de terra. A bianisotropia uniaxial é semelhante à anisotropia uniaxial, ou seja, o eixo para o
qual o elemento da matriz é diferente dos outros dois é chamado de eixo de simetria, ou
eixo óptico. Considerando, neste trabalho, que o eixo óptico está na direção perpendicular
ao plano de terra, ou seja, na direção z, então, os tensores, em coordenadas cilíndricas,
correspondentes à camada de metamaterial, são definidos como:
εε
εε=ε ρρ
ρρ=
zzi
i
i
0
00
00
00
(4.16)
µµ
µµ=µ ρρ
ρρ=
zzi
i
i
0
00
00
00
(4.17)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
67
Em (4.16), εzz é a componente da permissividade relativa na direção z, e ερρ é a
componente da permissividade relativa na direção ρ, que é a mesma da direção φ,
equivalendo a x e y no sistema de coordenadas retangulares, respectivamente. A constante
ε0 é a permissividade elétrica do espaço livre. Analogamente, o tensor permeabilidade
magnética é definido em (4.17), onde µ0 é a permeabilidade do espaço livre.
Fig. 4.13 – Antena de microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial.
As dimensões do patch em anel são definidas pelos raios externo r2 e interno r1. A
região 1 é o ar, com permissividade elétrica ε0 e permeabilidade magnética µ0. A camada de
metamaterial (região 2) possui altura d2, permissividade tensorial ε , e permeabilidade
tensorial µ . A região 3 representa a camada de dielétrico isotrópico que possui altura d3,
permissividade elétrica 3ε , e permeabilidade magnética 0µ . Na análise, o patch e o plano
de terra são considerados condutores perfeitos e o metamaterial é um meio efetivo
homogêneo.
O formalismo usado na análise de antenas sobre substratos metamateriais
bianisotrópicos é análogo ao procedimento usado para o modelamento de antenas de
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
68
microfita com patch em anel sobre substrato com anisotropia dielétrica ou anisotropia
magnética. A aplicação dos potenciais de Hertz permite determinar os campos elétricos e
magnéticos para cada região i.
Os potenciais vetoriais de Hertz elétrico e magnético são definidos,
respectivamente, na direção do eixo optico do material, dados por (POZAR, 1983):
ziee arr π=π (4.18)
zihh arr π=π (4.19)
onde πei e πhi representam, respectivamente, os potenciais escalares de Hertz, elétrico e
magnético, sendo zar
o vetor unitário na direção z.
Partindo das equações de Maxwell, considerado o meio livre de fontes e correntes,
que são escritas como (BALANIS, 1997):
BjErr
ω−=×∇ (4.20)
DjHrv
ω=×∇ (4.21)
0D =⋅∇r
(4.22)
0B =⋅∇r
(4.23)
onde Er
é o vetor intensidade de campo elétrico, Hr
é o vetor intensidade de campo
magnético, Dr
é o vetor intensidade de fluxo elétrico, Br
é o vetor densidade de fluxo
magnético, ω = 2πf é a freqüência angular, estando implícita uma dependência temporal do
tipo exp (jωt).
Adicionalmente, temos a definição das relações constitutivas, as quais relacionam
os vetores de campo elétrico e magnético aos vetores densidade de fluxo elétrico e
densidade de fluxo magnético, respectivamente. Para um meio metamaterial bianisótropico,
então,
EDrr
ε= (4.24)
HBrr
µ= (4.25)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
69
onde ε é o tensor permissividade elétrica e µ é o tensor permeabilidade magnética do
metamaterial.
Usando (4.24) e (4.25), as equações (4.20) a (4.23) podem ser reescritas:
HjErr
µω−=×∇ (4.26)
EjHrv
εω=×∇ (4.27)
0E =⋅∇r
(4.28)
0H =⋅∇r
(4.29)
Usando o potencial de Hertz magnético, hπr , definimos:
hijE π×∇ωµ−= ρρrr
(4.30)
Substituindo (4.30) em (4.27), obtém-se:
hhi2H ϕ∇+πεµω= ρρ
rv (4.31)
sendo hzzi
ih π⋅∇
µµ
=ϕ ρρ r (4.32)
Assim, tem-se que:
)(H hzzi
ihi
2 π⋅∇∇µµ
+πεµω= ρρρρ
rrv (4.33)
Portanto, as equações (4.30) e (4.33) correspondem à onda ordinária.
Para o cálculo da onda extraordinária, usando o potencial de Hertz elétrico, eπr ,
definimos:
eizzijB π⋅∇εωµ= ρρrr
(4.34)
Substituindo (4.25) em (4.34), tem-se que:
e1
izzi )(jH π×∇µεωµ= −ρρ
rr (4.35)
Substituindo (4.33) em (4.20), obtém-se:
eeizzi2E ϕ∇+πεµω= ρρ
rr (4.36)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
70
onde ezzi
ie π⋅∇
εε
=ϕ ρρ r (4.37)
Assim, tem-se que:
)(E ezzi
ieizzi
2 π⋅∇∇εε
+πεµω= ρρρρ
rrr
(4.38)
A partir de (4.30), (4.33), (4.35) e (4.38), são obtidas as ondas extraordinárias dadas
por (4.35) e (4.38).
Portanto, as expressões para as componentes do campo elétrico e campo magnético
totais para um metamaterial são definidas como seguem:
)(jE ezzi
ieizzi
2hi π⋅∇∇
εε
+πεµω+π×∇ωµ−= ρρρρρρ
rrrr (4.39)
)()()(jH hzzi
ihi
2e
1izzi π⋅∇∇
µµ
+πεµω+π×∇µεωµ= ρρρρ
−ρρ
rrrv (4.40)
As equações de onda para eπr e hπr , respectivamente, são dadas por:
0kzyx e
2ei2
e2
zzi
i2e
2
2e
2
=π+∂
π∂εε
+∂
π∂+∂
π∂ ρρ (4.41)
0kzyx h
2hi2
h2
zzi
i2h
2
2h
2
=π+∂
π∂µµ
+∂
π∂+∂
π∂ ρρ (4.42)
sendo
izzi22
eik ρρεµω=
ii22
hik ρρρρ εµω=
(4.43)
(4.44)
Para uma região dielétrica isotrópica (i = 1, 3, na Fig. 4.13), as componentes dos
campos elétricos e magnéticos são obtidas fazendo µρρi = µzzi = 1 e ερρi = εzzi, = εri, nos
tensores definidos em (4.16) e (4.17).
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
71
Considerando a forma geométrica do patch em anel, as componentes de campo
H,Err
para o metamaterial (região 2, na Fig. 4.13), em coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z), são
obtidas das equações (4.39) e (4.40), sendo escritas como:
z
1jE 2e
2
2zz
22h22 ∂ρ∂
π∂εε
+φ∂
π∂ρ
ωµ−= ρρρρρ ; (4.45)
z
1jE 2e
2
2zz
22h22 ∂φ∂
π∂ρε
ε+
ρ∂π∂ωµ= ρρ
ρρφ ; (4.46)
22e
2
2zz
22e22zz
22z z
E∂
π∂εε
+πεµω= ρρρρ ; (4.47)
z
1jH 2h
2
2zz
22e22 ∂ρ∂
π∂µµ
+φ∂
π∂ρ
ωε= ρρρρρ ; (4.48)
z
1jH 2h
2
2zz
22e22 ∂φ∂
π∂ρµ
µ+
ρ∂π∂ωε−= ρρ
ρρφ ; (4.49)
22h
2
2zz
22h22
22z z
H∂π∂
µµ
+πεµω= ρρρρρρ . (4.50)
Os potenciais eiπr e hiπr podem ser representados em termos de funções cilíndricas
(GERARDI, 1959), como seguem:
;d)(J)z,(~e)z,,(0
neijn
ei ∫∞
φ αααραπ=φρπ (4.51)
.d)(J)z,(~e)z,,(0
nhijn
hi ∫∞
φ αααραπ=φρπ . (4.52)
onde )(Jn αρ é a função de Bessel de primeiro tipo e ordem n, e e( ,z)π α% é a transformada
de Hankel de eiπ . Convém observar que as funções de Bessel de primeiro tipo são definidas
como as soluções da equação diferencial de Bessel, dada por (ABRAMOWITZ, 1970):
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
72
22 2 2n n
n2
J (s) J (s)s s (s n ) J (s) 0
s s
∂ ∂+ + − =∂ ∂
. (4.53)
Substituindo (4.51) em (4.43), considerando s = αr e fazendo uso de (4.53), obtém-se a seguinte equação de onda de ei
~π , no domínio da transformada de Hankel:
0z
~ 2ei2
2
ei =
γ−
∂∂π (4.54)
onde
zzi
i2ei
22ei )k(
εε
−α=γ ρρ . (4.55)
Analogamente, substituindo-se (4.52) em (4.44) e realizando o mesmo
procedimento utilizado para o potencial ei~π , obtém-se a equação de onda para hi
~π , no
domínio da transformada de Hankel.
0z
~ 2hi2
2
hi =
γ−
∂∂π . (4.56)
com
zzi
i2hi
22hi )k(
µµ
−α=γ ρρ . (4.57)
As soluções para as equações de onda, nas regiões i = 2 e 3, da Fig. 4.13, são dadas
por:
)zcosh(A)z(senhA~ih
'iihihi γ+γ=π ; (4.58)
)zcosh(B)z(senhB~ie
'iieiei γ+γ=π ; (4.59)
e, na região 1 (ar), são: ( )20 dz
11h e~ −γ−Α=π ; (4.60)
( )20 dz11e e~ −γ−Β=π . (4.61)
Substituindo (4.51) e (4.52) nas equações das componentes tangenciais (4.45),
(4.46), (4.48) e (4.49), visando a obtenção dessas no domínio espectral, surgem duas
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
73
funções de Bessel de ordens diferentes. Isto se deve ao fato da derivada da função de Bessel
de ordem n poder ser representada por funções de Bessel de ordem n-1 e n+1, ou seja
(ABRAMOWITZ, 1970):
nn 1 n 1
J (s) 1(J (s) J (s))
s 2 − +∂
= −∂
; (4.62)
)s(J)s(Js
n2)s(J 1nn1n ±± −= . (4.63)
Para simplificar a análise é desejável tratar fatores contendo funções de Bessel de
mesma ordem. Para isto, definem-se as seguintes componentes de campo (FAN et al.,
1991):
iii j φρ± Ε±Ε=Ε ; (4.64)
iii HjHH φρ± ±= . (4.65)
Para isto, a obtenção de Eρi e Eφi é realizada substituindo-se (4.51) e (4.52) nas
componentes dadas em (4.45) e (4.46), fazendo uso de fórmulas de recorrência, obtendo-se
respectivamente:
αα
−
∂π∂
εε+π
ωµα=Ε ∫
∞
+−ρρφ
ρ d))s(J)s(J(2
1
z
~)s(J~
s
ne
0 1n1nei
zzi
xxinhi
i2jni ; (4.66)
e
αα
∂π∂
εε
+−πωµα=Ε ∫∞ ρρ
+−ρρφ
φ d)s(Jz
~
sjn
))s(J)s(J(21~je
0 nei
zzi
i1n1nhii
2jni . (4.67)
Aplicando o mesmo procedimento em (4.48) e (4.49), as componentes transversais
do campo magnético são dadas por:
αα
−
∂π∂
µµ
+πωε
−α= ∫∞
+−ρρρρφ
ρ d))s(J)s(J(z
~
2
1)s(J~
s
neH
0 1n1nhi
zzi
inei
i2jni ; (4.68)
e
αα
∂π∂
µµ
+−πωε−α= ∫∞ ρρ
+−ρρφ
φ d)s(Jz
~
s
nj))s(J)s(J(
2
1~jeH0 n
hi
zzi
i1n1neii
2jni . (4.69)
Então, a componente de campo elétrico, definida em (4.64) é dada por:
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
74
αα
∂π∂
εε
πωµα=Ε ±
∞ ρρρρ
φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
ei
zzi
ihii
jni m . (4.70)
Analogamente, o campo magnético, definido em (4.65) é expresso por:
αα
∂π∂
µµ
±πωε−α=Η ±
∞ ρρρρ
φ± ∫ d)s(J
z
~~e 1n0
hi
zzi
ieii
jni . (4.71)
Realizada a análise utilizando o formalismo de onda completa através da aplicação
do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, inicia-
se a imposição das condições de contorno adequadas à estrutura. Isto permitirá determinar
as funções diádicas de Green, que relacionam as componentes da densidade de corrente no
patch com as componentes tangenciais do campo elétrico.
As constantes 2'112
'11 ,B,,,A, ΒΒΑΑ são determinadas a partir da aplicação das
condições de contorno. Para a estrutura considerada na Fig. 4.13, as condições de contorno
são as seguintes:
03 =Ε± em z = 0; (4.72)
23 ±± Ε=Ε em z = d3 (4.73)
23 ±± Η=Η em z = d3 (4.74)
12 ±± Ε=Ε em z = d23 (4.75)
±±± Ι=Η−Η j21 m em z = d23 (4.76)
Aplicando as condições de contorno, as constantes 'ii
'ii B,,A, ΒΑ são obtidas em
cada região segundo as seguintes expressões:
1zz6
31 P2
P)~~
(j
µαΙ+Ι−=Α +− (4.77)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
75
1zz6
12 P2
P)~~
(j
µαΙ+Ι−=Α +− (4.78)
1zz6
'2 P2
)~~
(j
µαΙ+Ι−=Α +− (4.79)
1zz6
73 P2
P)~~
(j
µαΙ+Ι−=Α +− (4.80)
0'3 =Α (4.81)
5020
41 P2
P)~~
(j
γεαωεΙ−Ι−
=Βρρ
+− (4.82)
52zz0
22 P2
P)~~
(j
εαωεΙ−Ι
=Β +− (4.83)
52zz0
'2 P2
)~~
(j
εαωεΙ−Ι
=Β +− (4.84)
52zz0
83 P2
P)~~
(j
εαωεΙ−Ι
=Β +− (4.85)
0'3 =Β (4.86)
onde
)dcosh()dcoth()d(senh
)d(senh)dcoth()dcosh(P
32h02h33h32h3h2
32h02h33h32h3h21 γµγ−γγγµ
γµγ+γγγµ−=
ρρ
ρρ (4.87)
)d(senh)dtanh()dcosh(
)dcosh()dtanh()d(senhP
32e2e3r33e32e3e2
32e2e3r33e32e3e22 γγε−γγγε
γγε+γγγε−=
ρρ
ρρ (4.88)
[ ])dcosh()d(senhPP 232h232h12zz3 γ+γµ= (4.89)
)dcosh()d(senhPP 232e232e24 γ+γ= (4.90)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
76
)dcosh(P)d(senhP
1P 232e02zz
2e2232e
02zz
2e25 γ
γεγ++γ
γεγ+= (4.91)
)dcosh(P
)d(senhPP 232h02zz
12h232h
2zz
2h106 γ
γ+
µγ+γ
µγ+γ= (4.92)
[ ])d(senh
)dcosh()d(senhPP
33h
32h32h127 γ
γ+γµ= ρρ (4.93)
[ ])dcosh(
)d(senh)dcosh(PP
33e
32e32e228 γ
γ+γε= ρρ (4.94)
A substituição das constantes obtidas em (4.77) a (4.86) nos campos Ε+ e Ε− na
interface dos dois dielétricos, ou seja, em z = d2, permite expressar as Transformadas de
Hankel dos campos elétricos em função das correntes +I~
e −I~
. Esses campos são dados por:
−++ += I~
Z~
I~
Z~
E~
1211 (4.95)
−+− += I~
Z~
I~
Z~
E~
2221 (4.96)
onde 211211
~,
~,
~ ΖΖΖ e 22
~Ζ são as transformadas das componentes da função diádica de Green
da estrutura considerada.
Os elementos da matriz impedância[ ]Ζ~ são dadas por:
ωεγ−ωµ==
ρρ 52
2e4
6
302211 P
P
P
P
j2
1Z~
Z~ ; (4.97)
ωεγ+ωµ==
ρρ 52
2e4
6
302112 P
P
P
P
j2
1Z~
Z~ ; (4.98)
CAPÍTULO 4. METAMATERIAIS
77
Combinando-se a matriz [ ]Ζ~ , dada por (4.97) e (4.98), com o método de Galerkin,
torna-se possível determinar a freqüência de ressonância da antena. O procedimento é
análogo ao utilizado para a antena de microfita com ferrita desenvolvido no Capítulo 2.
4.5 Conclusão
Neste capítulo, o efeito da bianisotropia do metamaterial foi levado em
consideração na análise de antena de microfita com patch em anel sobre substrato
metamaterial e dielétrico isotrópico. O modelamento foi realizado utilizando o método dos
potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel, para determinar as
componentes da matriz de impedância da estrutura modelada. O Método de Galerkin foi
então usado, de maneira análoga ao procedimento realizado para antenas com ferritas, para
obter a equação matricial, cuja solução não trivial fornece a freqüência de ressonância da
antena. O passo seguinte consiste na obtenção de resultados numéricos a partir da
elaboração de rotinas computacionais com o método desenvolvido, que permitam a
obtenção das características ressonantes da antena modelada para determinar as
características ressonantes dos metamateriais utilizando a teoria abordada. A partir da
modelagem realizada, é possível obter resultados para a freqüência de ressonância em
função de vários parâmetros da antena de microfita com patch em anel sobre substrato
metamaterial.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
78
CAPÍTULO 5
Resultados Numéricos – Metamateriais
5.1 Introdução
A caracterização de antenas de microfita contendo metamateriais é efetuada através
do método dos potenciais vetoriais de Hertz, no domínio da transformada de Hankel.
Seguindo o mesmo procedimento adotado no Capítulo 3, para a análise de antenas de
microfita com ferrita, a freqüência de ressonância da antena de microfita com metamaterial
é determinada através da aplicação da técnica numérica de Galerkin. Portanto, conhecidas
as componentes da matriz impedância, após a definição das expressões de corrente no
condutor em anel, são escolhidas funções de base adequadas considerando a geometria de
patch, conforme definidas em (2.107) a (2.110).
A análise desenvolvida para antena de microfita com patch em anel, constituída de
multicamadas metamaterial/dielétrico, permite determinar a freqüência de ressonância de
antenas de microfita contendo uma camada de substrato metamaterial e antenas de
microfita sobre substrato metamaterial suspenso.
A caracterização do substrato metamaterial depende da determinação de seus
parâmetros constitutivos. Por isso, foram elaborados programas computacionais utilizando
Matlab® para a obtenção da permissividade e permeabilidade efetivas do metamaterial,
através do modelo analítico descrito no Capítulo 4.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
79
Na análise, considera-se que os metamateriais, usados como substratos no projeto de
antenas de microfita, são anisotrópicos uniaxiais e caracterizados pelos tensores
permissividade elétrica e permeabilidade magnética dados, respectivamente, por:
εε
ε=ε ρρ
ρρ=
zz00
00
00
(5.1)
µµ
µ=µ ρρ
ρρ=
zz00
00
00
(5.2)
A investigação numérica pode ser realizada de duas formas, levando-se em
consideração as características do metamaterial. No primeiro caso (CASO 1), considera-se
que os elementos do tensor permissividade assumam valores εzz = εeff e ερρ = 1. De maneira
oposta, µzz = 1 e µρρ = µeff. Portanto, para o CASO 1, os tensores permissividade e
permeabilidade passam a ser definidos, respectivamente, por:
ε=ε
=
eff00
010
001
(5.3)
µµ
=µ=
100
00
00
eff
eff
(5.4)
No segundo caso (CASO 2), considera-se que εzz = εeff e ερρ = εr , µzz = µeff e µρρ =
1. Portanto, para o CASO 2, os tensores permissividade e permeabilidade passam a ser
representados por:
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
80
εε
ε=ε
=
eff
r
r
00
00
00
(5.5)
µ=µ
=
eff00
010
001
(5.6)
Ainda é possível considerar, como caso particular do CASO 2, que ερρ = 1 e µρρ = 1.
Logo, para o CASO 3, os tensores permissividade elétrica e permeabilidade magnética são
dados por:
ε=ε
=
eff00
010
001
(5.7)
µ=µ
=
eff00
010
001
(5.8)
Todas essas variações são introduzidas como dados de entrada do programa
utilizando MoM e do Ansoft HFSS®. Para a validação da análise realizada no Capítulo 4, os
resultados obtidos utilizando estes dois métodos são, sempre que possível, comparados
entre si.
O presente estudo não tem como objetivo o projeto detalhado do meio periódico
metamaterial. A análise visa o desempenho de antenas de microfita com patch em anel
utilizando metamateriais como substratos. A primeira parte do trabalho consiste em
determinar as curvas para a permissividade elétrica ε e permeabilidade magnética µ. Em
seguida, os valores de ε e µ são usados como dados de entrada dos programas para a
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
81
simulação da freqüência de ressonância, diagrama de radiação, largura de banda e perda de
retorno das estruturas modeladas.
A obtenção das propriedades inerentes aos meios metamateriais, dadas pela
permissividade e permeabilidade efetivas, é realizada considerando um meio periódico
composto por SRR e fios metálicos (TW), como mostra a Fig. 5.1. São simuladas antenas
de microfita com patch em anel, propostas no Capítulo 4, cujos parâmetros podem ser
variados em função da faixa de freqüência aplicada. Das fontes literárias consultadas, ficou
óbvio que materiais com valores de permissividade e permeabilidade negativos podem ser,
de fato, fabricados para certa faixa de freqüência. Porém, é importante ressaltar que quando
um metamaterial LH é produzido, estamos nos referindo ao que seria uma combinação das
duas estruturas periódicas (SRR+TW) e as interações dessa combinação renderiam
propriedades totalmente diferentes das propriedades de cada estrutura considerada
separadamente.
Fig. 5.1 – Primeira estrutura metamaterial. Reproduzido de (SMITH et al., 2000).
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
82
5.2 Caracterização do Substrato Metamaterial
A Fig. 5.2 apresenta o comportamento da permissividade relativa efetiva em função
da freqüência de ressonância considerando um arranjo periódico de fios milimétricos (TW)
com perímetro p = 50 mm, condutividade σ = 100 Ω/m e raio dos fios variando com os
seguintes valores: r = 10 mm, r = 20 mm e r = 30 mm. Das curvas, observa-se que
aumentando o raio dos fios, valores mais baixos negativos de permissividade relativa
efetiva são apresentados pelo material.
O mesmo comportamento acontece quando a variação ocorre com o perímetro do
arranjo, p, variando de 10 a 50 mm. É possível observar, na Fig. 5.3, que a permissividade
relativa efetiva assume valores cada vez mais negativos.
Fig. 5.2 - Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
83
Fig. 5.3 - Curva da freqüência de ressonância em função da permissividade relativa efetiva.
Utilizando as expressões para o cálculo da permeabilidade relativa efetiva do meio
periódico constituído por SRRs, é possivel observar o comportamento do material em
função da variação de diversos parâmetros da célula SRR, como ilustrado na Fig. 5.4.
Fig. 5.4 – Geometria de um SRR.
A Fig. 5.5 mostra o efeito da variação na dimensão do raio interno a do anel menor
da célula SRR. À medida que o raio diminui, aumenta a faixa de freqüência onde é possível
obter tanto valores positivos quanto valores negativos para a permeabilidade relativa
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
84
efetiva. Ou seja, quanto menor o arranjo de SRR, mais alta é a faixa de freqüência onde se
pode observar a presença da permeabilidade efetiva.
A Fig. 5.6 mostra o comportamento da freqüência de ressonância com a
permeabilidade relativa efetiva, tendo a espessura do anel c como parâmetro (Fig. 5.4).
Observa-se que variando o parâmetro c da célula SRR, a freqüência de ressonância também
varia.
Fig. 5.5 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
No projeto, tanto das estruturas de TW quanto nos SRR, é importante levar em
consideração a resistência elétrica, R, e a condutividade, σ, do material. A dependência da
freqüência de ressonância da antena com a variação da resistência dos SRR pode ser
observada na Fig. 5.7.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
85
Fig. 5.6 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
Fig. 5.7 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
86
A influência do perímetro p do arranjo SRR pode ser analisada na Fig. 5.8, sendo
possível observar o comportamento da freqüência de ressonância em função da
permeabilidade relativa efetiva, para diferentes valores de p. Quanto maior o número de
elementos SRR no arranjo, maior será a faixa de freqüência onde a permeabilidade relativa
apresentará valores efetivos.
Fig. 5.8 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
No projeto do meio metamaterial, um aspecto importante é a definição do substrato
que acomoda os elementos de SRRs, caracterizados por uma permissividade relativa εr. Os
resultados apresentados na Fig. 5.9 mostram que a freqüência de ressonância de um SRR
diminui quando εr aumenta. Este resultado é importante e deve ser observado quando da
escolha do substrato para o projeto final da antena.
A Fig. 5.10 mostra o comportamento da freqüência de ressonância em função do
arranjo composto, simultaneamente, por SRR e fios milimétricos. As curvas mostram que,
na freqüência de ressonância de 2,1 GHz, o metamaterial apresenta índice de refração
negativo, como esperado para esse tipo de material.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
87
Fig. 5.9 - Curva da freqüência de ressonância em função da permeabilidade relativa efetiva.
Fig. 5.10 - Curva da freqüência de ressonância em função do meio composto por SRR+TW.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
88
5.3 Antena de Microfita com Patch em Anel sobre Substrato
Metamaterial
A Fig. 5.11 ilustra a estrutura básica de uma antena de microfita com patch
condutor em anel, de raio interno r1 e raio externo r2. O patch está impresso em uma
camada de metamaterial (camada 2), com altura d2, apoiada sobre um plano de terra.
Fig. 5.11 – Seção transversal de uma antena de microfita com patch em anel sobre
substrato metamaterial.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
89
5.3.1 CASO 1
Os primeiros resultados considerados para o CASO 1, com tensores dados por (5.3)
e (5.4), compreendem valores efetivos para permissividade e permeabilidade do
metamaterial obtidos por (BUELL et al., 2006) e valores obtidos neste trabalho para
materiais com bianisotropia uniaxial.
ε=ε
=
eff00
010
001
(5.9)
µµ
=µ=
100
00
00
eff
eff
(5.10)
É importante ressaltar que o índice de refração do meio bianisotrópico apresenta
apenas valores efetivos, característica essa também inerente ao metamaterial
(MOSALLAEI et al., 2007).
Neste caso (BUELL et al., 2006), o meio periódico não é composto por SRR e fios
metálicos, mas por um arranjo periódico de linhas de transmissão compostas por indutores
e capacitores. O material é caracterizado por εeff = 9,8 e µeff = 3,1 para uma freqüência de
ressonância igual a 250 MHz. A Fig. 5.12 mostra o comportamento da freqüência de
ressonância, em função do raio externo do patch em anel, para um substrato dielétrico
isotrópico e um substrato metamaterial. Observa-se que à medida que aumenta a dimensão
do anel, a freqüência de ressonância diminui, como esperado. Os resultados gerados com o
Ansoft HFSS® indicam uma boa convergência dos resultados.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
90
Fig. 5.12 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
É possível também realizar uma investigação da variação dos valores efetivos das
componentes do tensor (5.9) e (5.10). Assim, é possível observar quais são os parâmetros
que mais interferem no desempenho da antena de microfita sobre substrato bianisotrópico.
O comportamento da freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em
anel é analisado, considerando o raio interno r1 = 3,5 cm e a altura do substrato d = 0,159
cm. A Fig. 5.14 mostra o comportamento da antena em função da variação da
permissividade efetiva. Verifica-se que a antena impressa em um substrato com constante
dielétrica elevada apresenta uma freqüência de ressonância baixa, o que contribui para a
miniaturização do dispositivo. Para se obter uma freqüência mais alta, utilizando uma
permissividade alta, é necessária uma redução nas dimensões do dispositivo, através da
variação dos raios. O comportamento da freqüência de ressonância quando a variação
ocorre ao longo de µeff é análogo ao observado na εeff, como mostra a Fig. 5.15. A perda de
retorno das estruturas é obtida através de simulações no HFSS®. No entanto, para εeff = 4,4
e µeff = 3,1, o resultado apresentou maior significância, indicando uma perda de retorno de
aproximadamente -14 dB.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
91
Fig. 5.14 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
Fig. 5.15 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
92
5.3.2 CASO 2
Para o CASO 2, a análise considera o valor da permissividade elétrica relativa, εr,
do material dielétrico no qual o arranjo periódico de elementos metálicos é embutido. Logo
o tensor passa a ser caracterizado por:
εε
ε=ε
=
eff
r
r
00
00
00
(5.11)
µ=µ
=
eff00
010
001
(5.12)
Portanto, a antena de microfita com patch em anel está impressa sobre uma camada
de substrato bianisotrópico com os seguintes valores: εr = 3,38, εeff = 9,8, µr = 1 e µeff = 3,1.
Observa-se que ao contrário do anterior, CASO 1, os valores efetivos estão no mesmo eixo
óptico, neste caso, ao longo do eixo z. Esse tipo de caracterização é bastante utilizado
(ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004).
A Fig. 5.16 apresenta o comportamento da freqüência de ressonância em função da
variação nas dimensões do patch em anel, com r1 = 1 cm e o raio externo r2 variando de 2,5
a 3,5 cm. É possível observar que a antena com substrato isotrópico apresenta maior
freqüência de ressonância quando comparada à antena com material bianisotrópico
uniaxial, para uma determinada dimensão de patch em anel e altura de substrato. O mesmo
comportamento pode ser observado na Fig. 5.17, para uma relação de raios diferente.
Usando-se o Ansoft HFSS®, obtém-se a perda de retorno da estrutura com substrato
bianisotrópico (d = 0,159 cm), como mostra a Fig. 5.18. Verifica-se que para o patch em
anel, com r1 = 3,5 cm e r2 = 7 cm, a perda de retorno é de -33,44 dB.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
93
Fig. 5.16 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
Fig. 5.17 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
94
Fig. 5.18 – Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
5.3.3 CASO 3
Um caso particular do CASO 2 é considerado quando o tensor (5.1) e (5.2) são
definidos de forma que:
εε
ε=ε
=
r
eff
eff
00
00
00
(5.13)
µ=µ
=
eff00
010
001
(5.14)
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
95
Para este caso em particular, o tensor exibe uma similaridade com a formulação
adotada por (BUELL et al., 2006), pois as componentes iguais da permissividade são dadas
por εeff, enquanto as componentes iguais da permeabilidade são dadas por µr = 1.
O metamaterial é caracterizado por apresentar εeff = 9,8, εr = 3,38, µr = 1 e µeff = 3,1,
sendo o tamanho ressonante do patch em anel calculado para a freqüência de 250 MHz.
A Fig. 5.19 apresenta o comportamento da freqüência de ressonância em função do
raio externo do patch em anel, com r1 = 1 cm. São apresentados resultados para a antena
impressa em substrato dielétrico isotrópico εr = 3,38 e d = 0,159 cm e para a mesma
configuração de antena impressa em substrato bianisotrópico uniaxial, caracterizado pelo
tensor (5.13) e (5.14), com a mesma altura d = 0,159 cm. Os resultados demonstram uma
boa concordância em relação aos obtidos por simulações no HFSS®.
A Fig. 5.20 mostra a perda de retorno para a antena de microfita com patch em anel
impressa no substrato metamaterial caracterizado acima, com raio externo r2 = 9,3 cm, raio
interno r1 = 4,65 cm e altura do substrato d = 2 cm. A perda de retorno simulada, através do
software HFSS®, é de -27,24 dB em 375 GHz. Esta mesma freqüência de ressonância,
calculada pelo Matlab®, é de aproximadamente 380 MHz, validando a metodologia e as
técnicas desenvolvidas e utilizadas neste trabalho.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
96
Fig. 5.19 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
Fig. 5.20 – Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
97
5.3.4 CASO 4
Utilizando a formulação adotada em (ITOH et al., 2006; MOSALLAEI et al., 2004)
para os tensores definidos por (5.1) e (5.2), podemos definir o CASO 4 como sendo:
ε=ε
=
eff00
010
001
(5.15)
µ=µ
=
eff00
010
001
(5.16)
Nesse caso, as componentes do eixo óptico (direção z) são efetivas (εeff, µeff),
enquanto as demais componentes são iguais à permissividade e à permeabilidade do espaço
livre (εr = µr = 1). Considerando essa condição nas simulações numéricas e atribuindo
valores já conhecidos às componentes efetivas, podemos observar o comportamento da
freqüência de ressonância em função das diferentes dimensões do patch em anel, nas Fig.
5.21 a 5.24. As curvas mostram que, para esse tipo de configuração do tensor, os resultados
são bem próximos daqueles do caso isotrópico, ou seja, esse tipo de material pouco altera o
desempenho da antena. Mais uma vez, foi observada uma boa concordância com os
resultados obtidos pela simulação da estrutura no Ansoft HFSS®.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
98
Fig. 5.21 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
Fig. 5.22 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
99
Fig. 5.23 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
Fig. 5.24 – Freqüência de ressonância em função do raio externo do patch em anel.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
100
As perdas de retorno para uma antena de microfita patch em anel impressa sobre um
substrato metamaterial (εeff = 9,8 e µeff = 3,1) e para uma antena de microfita patch em anel
impressa em um dielétrico isotrópico (εr = 9,8) são mostradas na Fig. 5.25. O tamanho
ressonante do patch em anel (r1 = 4,65 cm, r2 = 9,3 cm) é calculado para a freqüência de
250 MHz, de acordo com o metamaterial utilizado em (BUELL et al., 2006). Os resultados
usando HFSS® indicam uma freqüência de ressonância igual a 220 MHz. As perdas de
retorno são iguais a -13,32 dB e -4 dB para a antena sobre substrato metamaterial e
isotrópico, respectivamente.
Fig. 5.25 – Perda de retorno em função da freqüência de ressonância.
5.4 Resultado Comparativo
Esta seção mostra, através do formalismo de onda completa, um estudo comparativo
do desempenho de antenas de microfita com patch em anel sobre quatro diferentes tipos de
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
101
substrato. O comportamento da freqüência de ressonância em função das dimensões do
radiador em anel é analisado.
São considerados substratos do tipo dielétrico isotrópico, dielétrico anisotrópico,
ferrimagnético (ferrita) e metamaterial. Neste estudo, os substratos apresentam a mesma
altura d1 = 0,159 cm. Cada patch em anel possui raio interno fixo (r1 = 1,5 cm), enquanto o
raio externo r2 varia, conforme a Fig. 5.26.
É possível observar que as antenas com substratos dielétricos isotrópicos e
anisotrópicos apresentam freqüências de ressonância muito elevadas quando comparadas
com as antenas impressas em substratos apresentando anisotropia magnética, como é o caso
das ferritas e dos metamateriais. Observa-se ainda que uma redução nas dimensões do
radiador em anel, nas antenas com anisotropia magnética, levará a faixas de freqüência de
ressonância mais elevadas, favorecendo a opção de utilização desses substratos em projetos
de antenas com tamanhos miniaturizados.
Fig. 5.26 – Freqüência de ressonância em função do raio externo.
CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMERICOS METAMATERIAIS
102
5.5 Conclusões
Este capítulo reuniu os resultados mais significantes obtidos para antenas de
microfita com patch em anel sobre substrato metamaterial, tendo sido realizado um estudo
de caso para as quatro diferentes configurações dos tensores ε e µ, conforme a análise
teórica realizada no Capítulo 4. Foi efetuada uma caracterização do metamaterial a partir de
modelos analíticos existentes na literatura especializada. Todos os resultados foram
discutidos detalhadamente, com a finalidade de possibilitar um entendimento completo do
que foi proposto neste trabalho. Observou-se que a definição adequada da bianisotropia do
metamaterial possibilita uma redução significativa na faixa de operação da antena, o que
acarreta uma miniaturização da estrutura, além de apresentar uma maior largura de banda,
comparado ao uso de substratos dielétricos isotrópicos. Foram feitas comparações com
resultados simulados no software HFSS®, para validação da análise realizada neste
trabalho.
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES
103
CAPÍTULO 6
Conclusões
Este trabalho apresentou uma análise teórica e numérica das características
ressonantes da antena de microfita com patch em anel, através de um formalismo rigoroso
de onda completa, utilizando como substratos materiais ferrimagnéticos e metamateriais,
com suas respectivas anisotropia magnética e bianisotropia magnético-dielétrica.
Após definidas as propriedades anisotrópicas de cada tipo de substrato, a antena foi
então modelada através do método dos potenciais vetoriais de Hertz e do método de
Galerkin, onde as componentes de campo elétrico e magnético foram determinadas em
função dos potenciais vetoriais de Hertz, orientados na direção perpendicular ao plano de
terra. As componentes da matriz impedância, no domínio da transformada de Hankel,
foram obtidas solucionando o problema de contorno da estrutura. A freqüência de
ressonância foi determinada com a aplicação do método numérico de Galerkin.
O método adotado neste trabalho tem sido amplamente utilizado na modelagem das
características de irradiação das antenas de microfita do tipo patch em meios dielétricos
iso/anisotrópicos. No entanto, seu uso em estruturas com materiais mais complexos,
particularmente, os materiais ferrimagnéticos, tem-se concentrado em análises que utilizam
formas geométricas de patch circular e retangular. Outra contribuição importante deste
trabalho foi empregar o mesmo procedimento de análise teórica e numérica, desenvolvido
para antenas com materiais dielétricos iso/anisotrópicos e ferrimagnéticos, no estudo de
antenas de microfita com patch em anel contendo uma nova classe de materiais, os
chamados metamateriais, considerando suas propriedades bianisotrópicas.
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES
104
Neste trabalho, foi possível observar que o patch em anel sobre substratos
ferrimagnéticos é tão, ou mais, vantajoso que as formas geométricas retangulares e
circulares apresentadas na literatura. O estudo de antenas com patch em anel sobre
substratos metamateriais comprova a versatilidade do método e sua aplicação na
modelagem de vários tipos de estruturas.
Resultados foram apresentados para a freqüência de ressonância, diagrama de
radiação, perda de retorno e largura de banda para antenas de microfita com patch em anel
sobre uma camada de substrato ferrimagnético ou metamaterial e para antenas sobre
substratos contendo duas camadas, usando a composição ferrita/dielétrico isotrópico.
Foram também consideradas estruturas sobre substratos suspensos, com a incorporação de
uma camada de ar entre o substrato ferrimagnético e o plano de terra.
Os programas computacionais, para a simulação de resultados e validação das
equações obtidas nas respectivas análises teóricas, foram desenvolvidos utilizando Matlab®,
considerando cada tipo de substrato, permitindo o modelamento de estruturas com
dimensões e materiais diferentes, através da mudança dos parâmetros de entrada nas rotinas
computacionais.
Os resultados apresentados mostraram a possibilidade de variação da freqüência de
ressonância a partir da variação da intensidade do campo magnético H0 de polarização
aplicado externamente às estruturas com substratos ferrimagnéticos. Esta característica é
importante, considerando que não são necessárias alterações físicas na estrutura. Deste
modo, é possível realizar sintonias externas na freqüência de ressonância da antena.
Observou-se ainda que a freqüência de ressonância da antena cresce à medida que o campo
magnético de polarização aplicado aumenta, aproximando-se do caso isotrópico, porém, é
inversamente proporcional à dimensão do anel.
O emprego de múltiplas camadas na fabricação de antenas do tipo patch tem a
vantagem de permitir um aumento na largura da faixa de operação da antena. Esse
comportamento foi observado para antenas com camadas ferrimagnética/dielétrica,
verificando-se que a largura da faixa de operação da estrutura analisada depende da altura
da camada dielétrica, bem como do tipo de dielétrico utilizado, onde as freqüências de
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES
105
ressonância mais elevadas são obtidas com a diminuição dos valores de permissividade da
camada dielétrica.
Os resultados deste trabalho evidenciaram que o método desenvolvido apresenta
maior precisão às variações dos parâmetros característicos das ferritas, em comparação com
a utilização do software comercial Ansoft HFSS®, que demonstrou pouca sensibilidade às
variações de campo magnético de polarização aplicado.
Entretanto, a principal contribuição deste trabalho foi desenvolver uma análise
rigorosa, a partir dos potenciais vetoriais de Hertz, para antenas de microfita com patch em
anel sobre substrato metamaterial, através do estudo de seus parâmetros constitutivos,
permissividade tensorial e permeabilidade tensorial.
O conceito da obtenção dos meios efetivos foi introduzido e alguns exemplos foram
abordados. Foi possível observar as características de permissividade e permeabilidade
efetivas negativas do metamaterial. Resultados para a permissividade e permeabilidade
efetivas foram apresentados, considerando a variação de vários parâmetros geométricos do
arranjo periódico composto por SRR e TW, observando-se o comportamento da freqüência
de ressonância e a faixa onde o meio efetivo apresenta valores negativos e valores positivos
elevados.
Após a caracterização do meio, a análise numérica se estendeu para a obtenção de
resultados para a freqüência de ressonância e perda de retorno da antena de microfita com
patch em anel sobre uma camada de substrato bianisotrópico magnético-dielétrico
(metamaterial). A análise teórica possibilitou a investigação de quatro diferentes
configurações do par de tensor do metamaterial, através da variação dos valores efetivos de
permissividade e permeabilidade nos respectivos eixos do tensor. Essas variações foram
realizadas numericamente utilizando rotinas desenvolvidas no Matlab®, a partir da análise
teórica, e comparadas com resultados gerados pelo Ansoft HFSS®.
Foram apresentadas curvas para a freqüência de ressonância em função dos
parâmetros estruturais do patch em anel e curvas para perda de retorno, considerando os
diversos casos de tensor mencionados.
Foi possível observar que os resultados que apresentaram maior significância foram
os considerados nos CASOS 1, 2 e 3, pois demonstraram que o metamaterial realmente
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES
106
promove uma redução na faixa de freqüência de operação, tornando assim evidente sua
contribuição para uma miniaturização da estrutura. Verificou-se que o método é eficiente
em todas as faixas de freqüência simuladas para a antena e que a definição adequada dos
valores de permissividade e permeabilidade efetivas do meio metamaterial contribui para
uma maior perda de retorno da estrutura, o que acarreta uma melhora na largura de banda,
que é naturalmente estreita nas antenas de microfita.
Foi observado nos resultados apresentados pelo CASO 4 que com a definição do
tensor da maneira adotada, os resultados não são satisfatórios, pois o comportamento se
assemelha ao comportamento da estrutura para o caso isotrópico. Assim, nenhum benefício
é acrescentado ao projeto, já que o meio metamaterial exige que seja fabricado um arranjo
periódico milimétrico composto por circuitos (SRR e TW, por exemplo) embutidos em um
meio dielétrico comum, para a obtenção das características de permissividade e
permeabilidade efetivas do meio. No entanto, é possível observar que para determinados
casos o substrato metamaterial apresenta um aumento acentuado na perda de retorno
comparado ao substrato dielétrico.
O método de análise mostrou-se eficiente e preciso, podendo ser aplicado a outros
tipos de geometria dos patches, modificando-se as condições de contorno e
implementando-se a distribuição de corrente inerente a cada estrutura. A análise teórica e
numérica desenvolvidas permitiram caracterizar um determinado metamaterial e aplicá-lo
como substrato da antena, a partir da definição de seus parâmetros constitutivos efetivos,
levando em consideração as possibilidades de configuração dos tensores. Uma boa
concordância foi observada entre os resultados obtidos neste trabalho, mesmo
considerando-se, na análise numérica, apenas uma função de base.
Como continuidade deste trabalho, sugere-se:
• Análise numérica para a antena de microfita em anel sobre substrato
metamaterial suspenso por um dielétrico isotrópico;
• Determinação de outras características ressonantes da antena, como
impedância de entrada, ganho e diretividade;
• Desenvolvimento de diversas configurações de substratos metamateriais a
partir de arranjos periódicos milimétricos;
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES
107
• Análise de antenas de microfita com outras formas de patch sobre substrato
metamaterial;
• Investigação da adaptação do método teórico desenvolvido para análise de
antenas com substratos metamateriais que utilizam valores negativos para a
permissividade elétrica e permeabilidade magnética.
108
Referências Bibliográficas
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