Descriptive methods

for spatial statistics

Kirsi Virrantaus

GIS-E1060 Spatial Analytics

Department of Built Environment

Aalto University

27.10.2020

Kuvailevat tilastolliset

menetelmät

spatiaalianalyysissä

Kirsi Virrantaus

GIS-E1060 Spatial Analytics

Rakennetun ympäristön laitos

Aalto-yliopisto

27.10.2020

1. Descriptive spatial statistics

• Use of quantitative measures, simple summaries

• Apply them to sample data sets

• Utilization of visual methods

• Used also in so-called explorative analysis

• Difference to statistical inference – no hypothesis testing

• Examples of simple spatial measures:

1. Kuvaileva spatiotilastotiede

• Kvantitatiivisten tunnuslukujen käyttö

• Otosaineiston kuvaamiseen

• Visuaalisten menetelmien käyttö

• Käytetään ns. eksploratiivisessa/tutkivassa analyysissä

• Ero tilastolliseen päättelyyn, ei hypoteesin testausta

• Esimerkkejä spatiaalisista tunnusluvuista:

Simple indices of descriptive spatial

statistics

– frequency• amount of the objects in the study area

– intensity• amount of objects per unit area

– mean center • is the point whose coordinates are the mean of the

corresponding coordinates of all the events of the pattern; average x, average y;

– median center• is the location to which the sum of traveled distances from

points is shortest; shortest total distance to all other features in the study area

– distance• in larger scales, assumption that the world is flat: most often

Euclidian distance

– standard distance• shows how dispersed the points are around the mean center

Yksinkertaisia kuvailevan

spatiotilastotieteen tunnuslukuja

– frekvenssi (tilastotieteessä) (esiintymistiheys)

• (samanarvoisten) pisteiden määrä tutkimusalueella

– tiheys

• kohteiden lukumäärä alueyksikössä

– keskiarvopiste

• piste, jonka koordinaatit ovat pistejoukon vastaavien koordinaattien keskiarvot

– mediaanipiste

• piste, josta etäisyyksien summa toisiin pisteisiin tutkimusalueella on pienin

– etäisyys

• tavallisesti Euklidinen etäisyys (muitakin on)

– keskietäisyys

• kuvaa pisteiden hajontaa keskiarvopisteen ympärillä

2. Some descriptive spatio-statistical

methods

• Descriptive methods

– Kernel density estimation

• Density/intensity based

– G-, F-, K-function

• Use distances between points/objects

– can used for point sets, also for areas and lines

2. Spatiotilastollisia kuvailevia menetelmiä

• Kuvailevia menetelmiä– Kernel tiheysestimointi

• Perustuu pistetiheyteen

– G-, F- ja K-funktiot

– Perustuu pisteiden/kohteiden välisiin etäisyyksiin

– Voidaan käyttää pistejoukoille, alueille ja viivoille

Density estimation

Naive Kernel method

• basic idea is that the point pattern has intensity in each location, not only in the event point

• by the “naive method”

– in each location of the study region the intensity is calculated inside for example a circle

– the amount of points inside kernel gives the value at each point directly

– compare Focal mean (in Map Algebra) (comes later)

– compare the floating average quadrat method (comes later)

Tiheyden estimointi

yksinkertainen Kernel menetelmä

• perusajatus on että pistekuviolla on tiheys jokaisessasijainnissa tutkimusalueella, ei ainoastaantapahtumapisteissä

• yksinkertaisin menetelmä

– jokaisessa tason sijainnisssa (esim. gridinpisteessä) lasketaan ympyrän sisälle jäävienpisteiden määrästä tiheyttä kuvaava arvo, pikselille tulee suoraan tämä tiheysarvo

– vrt FocalMean (Kartta-algebrassa)

– vrt. liukuvan keskiarvon tutkimusalamenetelmä

Variations of Kernel estimation

• a mathematical function can be used for weightingaccording to the inverse distance

– a suitable bivariate function is selected (kernel), for weighting every known value location, max weight in thecenter, on the edge 0;

– every cell is then visited and the weighted values aresummed up to the location

– bandwidth defines the region for the function; suitablewidth is important, if b is too big the result is flat, it is istoo small too many details

– ”dark” areas when points are clustering

Kernel-tiheysestimointi

• käytetään matemaattista funktiota painotukseen

– valitaan k, 2-ulotteinen tiheysfunktio (kernel, ydin),

jonka avulla pisteet painotetaan, keskipisteessä

paino max, reunalla 0;

– kuljetaan jokaisen pisteen kautta ja summataan

pisteen arvoksi

– bandwidth (ytimen leveys) määrittää alueen, jolle

funktio ulottuu; haettava sopiva leveys, kun b kasvaa

tulos on ”litteä”, kun b on pieni paljon detaljeja

– syntyy ”tummia” alueita kun pisteet klusteroituu

Kernel-menetelmän käyttö (Krisp, 2006)

• Kernel menetelmä

• yksittäisistä

havainnoista

• tiheyspinnaksi

yksittäiset havainnot tiheyspinta

Valittava oikea pikselikoko

Selecting the pixel size

• Laskennansolukoonpäättäminen –pieni solukokovaatii paljonlaskentaa muttatulos on visuaalisestiparempi

• Decision on the pixel size – small pixels require a lot of computation but result is visually better

• (Krisp,2006)a. Solukoko 250 pikseliä b. Solukoko 25 pikseliä

Kernel-säteen valinta (Krisp)

• Mitä suurempi säde sitäyleistetympi esitys

• Pieni säde näyttää enemmänyksityiskohtia

• Kernel-mentelmä on yksinkertainen ja helppokäyttää, mutta oikea käyttövaatii menetelmänkäyttäytymisen ymmärtämistä

• The bigger the radius the moregeneralized the presentation is

• Small radius shows moredetails

• Method is easy to use butinterpretation needs expertice

Visualisointi: aikasarjat• Hirvitiheysaineistoja vuosilta 2001, 2002, 2003

kaksidimensioisina tiheyskarttoina• Väriskaala punaisesta (korkea tiheys), oranssi, keltainen,

vihreään (alhainen tiheys); hirvitiheys = hirveäneliökilometrille

• Tiheyskartat tuottanut Jukka Krisp (TKK) väitöskirjatutkimuksessaan

Moose per km2

Muita visualisointimahdollisuuksia

Korkeuskäyräesitys

TIN-mallin avulla tuotettu

3d-kuvaHirvitiheys

Mathematics behind

• Kernel density estimation is a smoothing method that is based on

a sample of data

• Mathematically Kernel density estimation is actually a non-

parametric method to estimate probability density based on a data

sample

• Kernel density method is a kind of generalization of histogram

• A histogram

– a graphical presentation of the distribution of the data, graph showing the

frequencies of the values at specified intervals

– a histogram can also be seen as a simple kernel density estimation of the

function behind the data

• The naive Kernel density method is based on the so-called naive

estimator based on histogram

• In the spatial case Kernel density estimation is applied in 2d form

• Softwares offer Kernel density estimation function for points and

lines; you can find Kernel in R and in ArcGIS

https://www.wikiwand.com/fi/Histogrammi

Kernel density estimation is non-parametric estimation

method of distribution. Kernel density estimation can be seen

as generalization of histogram.

Kernel menetelmän

matematiikka

• Kernel tiheysmenetelmä on pehmennysmenetelmä, joka

perustuu otokseen

• Voidaan verrata histogrammimenetelmään, jossa esitetään

graafisesti aineiston jakautuminen eri arvoalueille

• Histogrammia voidaan pitää yksinkertaisena Kernel

tiheysestimaattina datan edustamasta funktiosta

• Tämän naiivi estimaattori on myös käyttämämme Kernel

tiheysmenetelmän idea, joten matemaattisesti ajateltuna se on

ei-parametrinen tiheysfunktion estimointimenetelmä

• Spatiaalisissa sovelluksissa Kernel-menetelmää käytetään 2d

muodossa, pistemäisille ja viivamaisille kohteille

• Kernel menetelmä löytyy mm. R-ohjelmistosta ja ArcGIS –

ohjelmistosta

More descriptive spatial statistic tools

Cluster analysis by using distances

• Nearest neighbor

• Distance functions

– G-function

– F-function

– K-function

Muita kuvailevia spatiotilaston työkaluja

Etäisyyksiin perustuvat klusteroinnin

analyysimenetelmät

• Lähin naapuri

• Etäisyysfunktiot

– G-funktio

– F-funktio

– K-funktio

Clustering: nearest neighbours,

G-,F- and K-functions

• analysis of the phenomenon by the

– distances between events

– 1) w = distance between a datapoint and the nearest

neighbour (another datapoint) of it, cumulative, empirical

distribution function G(w), visual analysis and

interpretation

– distances between events and random locations

– 2) x = distance between a randomly selected location and

the nearest datapoint, distribution function F(x), visual

analysis and interpretation

Lähimmät naapurit, G-, F- ja K-

funktiot

• ilmiöiden tutkiminen

– datapisteiden keskinäisten etäisyyksien avulla

– 1) w = etäisyys datapisteen ja sen lähimmän naapurin välillä, lasketaan kumulatiivinen, empiirinen tiheysfunktio G(w), visuaalinen tarkastelu ja tulkinta

– satunnaisen sijainnin ja datapisteen etäisyyksien avulla

– 2) x = etäisyys satunnaisen pisteen ja sen lähimmän naapurin (datapisteen) välillä, tiheysfunktio F(x), visuaalinen tarkastelu ja tulkinta

• by describing the distribution functions in a suitableway clustering or regular/random distribution can beanalysed visually

• if the function climbs very steeply in the early partbefore flattening out; high probability to short nearestneighbour distances that would suggest clustering

• empiirisiä tiheysfunktioita havainnollistamalla sopivalla tavalla, voidaan tulkita klusteroitumista tai tasaista jakautumista

• jos funktio nousee hyvin jyrkkänä ja sitten tasoittuu on aineistossa paljon lyhyitä etäisyyksiä naapuriin => klusteroituminen

(O´Sullivan & Unwin)

Formulas from the text book

G-function

𝐺 𝑑 = 𝑛𝑜. (𝑑𝑚𝑖𝑛 𝑠𝑖 < 𝑑)/𝑛

-distance to the nearest neighbour

F-function

𝐹 𝑑 = 𝑛𝑜. (𝑑𝑚𝑖𝑛 𝒑𝑖 , 𝑆 </𝑚

-minimum distance to a randomly selected point p in

the study region to any event in the point pattern S

Comparing G-function and F-function

• In G-function the cumulative frequency graph is calculated by

making a graph based on the empirical data

• Distances to nearest neighbour are calculated from each point and

the function gets value per each shortest distance; the value tells

for each d what fraction of all nearest neighbour distances are less

than d (see the formula on page 89; O´Sullivan&Unwin)

• In F-function the principle is the same but the nearest neighbour

distances are calculated from random points in the study area (p.

91)

• G-function tells how close together points are

• F-function tells how far from arbitrary location points are

G-funktion ja F-funktion vertailua

• G-funktio kertoo kaikille etäisyyksille d, kuinka monta sellaista

lähintä pisteparia aineistossa on, joiden etäisyys on pienempi kuin

d; määrä ilmaistaan suhteessa koko pisteparimäärään (ks. Kaava

sivulla 89, O´Sullivan&Unwin)

• F-funktio toimii samalla tavalla, mutta etäisyydet lasketaan

jokaiseen pisteeseen satunnaisista pisteistä (s. 91)

• G-funktio kertoo kuinka lähellä toisiaan pisteet ovat

• F-funktio kertoo kuinka kaukana pisteet ovat satunnaisesta

sijainnista

K-function, so-called Ripley´s K-fuction

– In nearest neighbor methods only nearest are studied

– K-function analyses the distribution in bigger area

– Principle:

• Imagine that around each point circles are created at distance d

• Count the number of points in each d and then calculate the average

• Divide the empirical average by the density of points

– 𝐾 𝑑 = σ𝑖=1𝑛 𝑛𝑜. (𝑆 ∈ 𝐶(𝑠𝑖 , 𝑑))/𝑛𝜆

• C in the formula is the area at distance d from point s

• λ is the point density

– K value can be interpreted: clustered or not

– See Fig. O´Sullivan&Unwin, s. 94

– K-function is revisited in next lecture when we look at statistical inference and hypothesis testing in more detail

(O´Sullivan & Unwin)

K-funktio – lähimmän naapurin menetelmän ongelma – tutkitaan vain lähimpiä

– K-funktio ilmaisee spatiaalisen riippuvuuden laajemmalla alueella

– Periaate:

• Ajatellaan, että jokaisen pisteen ympärille on luotu ympyränkaariasäteellä d

• Lasketaan pisteiden lukumäärä jokaisella etäisyydellä ja lasketaansiitä keskiarvo

• Jaetaan keskiarvoluku koko tarkastelualueen pistetiheydellä

• Tämä tehdään jokaisella etäisyydellä

– 𝐾 𝑑 = σ𝑖=1𝑛 𝑛𝑜. (𝑆 ∈ 𝐶(𝑠𝑖 , 𝑑))/𝑛𝜆

• C on kaavassa d-etäisyydellä oleva ympyrä keskipisteenä s

• λ on pistetiheys koko alueella

– K:n arvo kertoo klusteroituneen tai säännöllisen tapauksen

– Ks. kuva O´Sullivan&Unwin, s. 94

Comparing the distribution of two phenomena

– two point patterns(O´Sullivan, Unwin, pp. 123…)

• for example pollution and diseases

• the distances of points in two point sets are analysed by using K-function

– randomness of the distances

• the simple test:

– calculate K-function for both point patterns and interpret theresult

Kahden ilmiön – kahden pistekuvion vertailu(O´Sullivan, Unwin, pp. 123…)

• esim. sairaustapaukset ja ympäristöhaitat

• tutkitaan kahden pistejoukon pisteiden välisiä etäisyyksiä K-funktion avulla

– tutkitaan ovatko etäisyydet satunnaisia

• yksinkertaisin testi:

– lasketaan K-funktio kummallekin aineistolle ja tulkitaan

Applying G-function for spatial

dependency of two datasets

• G-function can be applied for two datasets

• The distances are calculated from each point on layer 1 to the nearest

point on layer 2

• Otherwise the methods is used as for one data set

• Spatenkova used this in her doctoral thesis work

G-funktio kahden datasetin välisen

riippuvuuden tutkimiseen

• Lasketaan etäisyydet jokaisesta tason 1 pisteestä lähimpään

naapuriin tasolla 2

• Muutoin käytetään G-funktiota kuten yhdelle aineistolle

• Spatenkova käytti tätä väitöskirjatutkimuksessaan

Reading material

• O´Sullivan & Unwin: Geographic Information Analysis, Chapters:1, 4.1-4.4

– There are newer versions of the book but references made in the slides to the 2003 edition

• Very good reading material on spatial analysis for example in

https://mgimond.github.io/Spatial/point-pattern-analysis.html

What happens in tomorrow´s exercises• Using ArcGISPro software

• You may also use for example QGIS if you want, but guidelines are

only for ArcGISPro

• Because computer classes are not available, you have to use your

own computer (detailed guidelines in exercises)

– 1)download ArcGISPro to your own computer (Windows environment, VPN on)

– 2) use ArcGISPro by remote access

• 1. Use of Moran´s I for autocorrelation identification

• 2. Use of ANN (average nearest neighbour) for identification of

clustering

• 3. Use of (Ripley´s) K-function for identifying clustering

• Note: in this lecture G-, F-, and K-functions are used by utilizing cumulative

frequency graph and visual interpretation, these methods can be used in more

exact way by using hypothesis of CSR

Average nearest neighbour –

Nearest neighbour analysis

• Distances from each point to the nearest neighbour

point is calculated and the mean of them is calculated

• The expected mean distance – in the case of random

distribution of points – is calculated

– Based on the CSR (complete spatial randomness) assumptions

• The ratio between the empirical average mean and the

expected mean is calculated

– If the ratio is <1 then the patterns is towards clustering

– If the ratio is >1 then the pattern is towards dispersion

• See for example:

http://ceadserv1.nku.edu/longa//geomed/ppa/doc/NNA/NNA.htm

Average nearest neighbour –

Lähimmän naapurin analyysi

• Lasketaan etäisyys jokaisesta pisteestä sen lähimpään

naapuriin ja niistä keskiarvo

• Lasketaan lähimmän etäisyyden odotusarvojen

keskiarvo – täydellisen satunnaisuuden tapauksessa

– perustuu CSR (complete spatial randomness) oletukseen

– pisteiden määrä ja tarkasteltava alue tunnetaan

• Empiirisen keskiarvon ja oletuskeskiarvon suhde

– jos <1 pistekuvio klusteroituva

– jos >1 pistekuvio

• Katso esimerkiksi:

http://ceadserv1.nku.edu/longa//geomed/ppa/doc/NNA/NNA.htm

Ripley´s K-function

• K-function as presented in the lecture