VORLESUNGXXI13

.

VI. 17

Kouvagewttirnhe Different Vafalwen

Diagonal dominate Mother

Definition XXI AE Rut "

hefst diagonal dominant

falls ( nnondmalauoh

c i ) -2 loypl < last HEI stand diagonal .

BIX dominant )REI

und irreduziibeldiagonaldomiuat falls

Cii ) A isfiweduribel Cmandnala Schwad

"

ciii ) -2 laxpl E law faeI and diagonal -

Btx dominate )

BEI

( iv ) C i ) gilt fiirmnud .eina Index XEI Dae

Bemerkiy : Lavon obenistirredwtibeldiagoualdominat .

Satre XTXIZ Sei A diagonal dominant odor irred .

diagonaldourinatind aufgespaltentn A =D - Bmif

D= drag (A) . Dan gilts CDT B) < 1.

0 a =pBareis : setae C =D " B

. cap = {. age xp p

axx

a) sei A diagonal dominant,

dan gilt

last

raafeukxs'=E+aYI¥a=a÷a¥iaxH<amMit salt XXI . 4 gilt

⇒Xedf± BCCI)=←Y±BCqzTnitr×< 1 ⇒ 1*1<1

b) Sei A irredwtibel diagonal dominant . Dan gilt

rg E 1 VTNEI end rd < 1 for mind ein XEI.

Da A-

cured .Est Variants b) van SATAXXUI .

4 amwadbar :

a) 7 X e U BCO , z ) U N OB ( 0, a )

XEI XEI-

Zweiroghdhete= B ( 0

, 1) a) alle Radin gleich .Da mind

liner < 1 foegfalle mind kleiner 1.

b) Radian uehtdlle gleich ,dan

ist n...

= 01 .18

XGI

Satin XXII .

3 ( Alternative Charakterisieryvoen M - Mabrize )

See A aufgespalten in A =D - B met D= drag (A) end

Aeofiille die Vorteichenbedingy .Don gilt

A ist M - Matrix geuan dam won SCDTB ) < 1.

Beevers :

u⇐"

Z it.

: aus SCDTB ) < 1 ⇒ M - Matrix bzw .A "

70 .

Sein C : =D " B .

G gilt SCC) < 1 .

Dam konvergiat die geometrised Reihe S : a ¥oC°and es est S = ( I - C)

' 1:

CI- a.y¥o÷

a Ike "Ya¥O¥ltf¥. d. ...

to@= I . cents

Fiir m→a gilt Cnt'

→ 0 also CI- c) S = I .

Weiter gilt D > 0 nd B ? 0 wg .

VZ - Bedimgyend damnit and C= D- 11370 ,

Cuzco, 5=[020 .

sohliephid :

I = ( I - C)"

CI - C) = 5 ( I - It B) = 5 ( I - D' '

( D - A) )= S D-1 A

- + -

= 5 A =D - B I - I + D ' A TATalso A

"= SD "

Z 0 !

a⇒

"-2.1 . A isf M - Matrix ⇒ 5 ( DT B) < 1 .

See D- ' Bu = Xu net in 40 d. h.

( Xiu ) EP von D- ' B .

bompouentenweise : ZOWGVZ - Bed .

1×114×1 = I Xuxl = 1(D¥Iu)×I=l§⇐4s%I±pE⇐&sluslHAI

Sette 1 ul = ( lad , ...

,lunl )t

,dam kiirmawirsbreiba

a ,1 XI 1 4 E D

' '

B 14 ( dies mind msinmetane Urge ! )

Nvmvedwe :

14 = At 'A 14 = A

"

( D - B) 14 = A'

DCI - DB ) lul

= A 'D 14 - A'DDtB1#E←A"

D 14 - AD tylulCr )

- D-'

B 14 E - 1×114

= (1-1×1) At Dlul

d. h.

1 ul E A - Hl ) At D 14To To To

Per widrspnedarhalbe wir doss 1×1<1 nein runs ! *

Salt XXI . 4 Ist A diagonal dam .

odor irreduz . diagdon

end afiillt die VZ - Bedyy dam it A M - Mathis .

+ VZ - Bed,Bareis :

Add .virred .

dd¥¥gCD' B) 4××¥3

A - M - Matrix a

Banerkiy :

- La lou oben it M - Matrix

- Esgilt die Vasdiarfy : Ist A M -Matrix and

irredwtibel so gilt A " 2 0, ( Siebe Xaohbusd

'86

sate 4. 3. in )=> u Allee Randeverte / Quelled Senhaleeaifhnse

die CEng an Jedan Puuhf'

'.

Gatt XXI . 5 ( Sfabilitoif von M - Mahtiza )

Sei AE Ruth eiue M - Matrix under sei we R"

net

Aw 71 = ( A,

...

,15 ,

dam gilt HAT Hat Hwlbo .

Barris : true Rn : lul E 114ft E Kuka AW.

Wegen At 30 C M - Matrix ) gilt

I A- 'ul E At 14 EA " Kubo AW = Hullo W

.

Nun :

11AMukooaateb = sarong = E.at#IYotttellYYu9Yawhawb.

Satre XXI .

6 ( Stabilisation La )

Ist La die Matrix aim der Diskvetisieryoon - d

der oh den 5- Puuhte - Stern dam gilt :

" take FBeweisideei Walle we = Rawcx, y) unit way )=×h¥- .

→ Einsette end maohnedna,

Da

Satre XXII .7 ( Konvagewtdes FD - Verfahras )

Sein die Klamische L5sz der Poissongleiohy net

Diridlet - RB nd La ua= 9h does CGS aus der FD -

Dishnetisiery ,dam gilt fir eat Ran - Ua :

Healla ± HLI'

HaiOCHYBareis : La ( Rau ) = qatza net 11 talk = OCHY

Lee na = 9h

=) La ea = za = , ea= Lee Za⇒ lkaltohlkatbkdb.

Bomerhnge :

- Iiir den lohalen Feller Ta ones der Taylor enter. gilt

Hello t C like Hoya,d

. h.

es it eiue relative fovhe Awake an die

a Regularity9 eofordalich !

- F andere Vefabve ,2- -13

. IinnfeElevate" die nolde

starter Voraun .melt beusfigen !

Yay- Bu = - P . Du-

0 0

- §. Du ) .vdx = [ f. vdx

I( ,

[ Tin . irvdx

- It - Verfahaliefern in Spatial faille dieselbe Matrix

La end damit dieselbe discrete leg !

- For Feller Oct ) it bei FD ein EquidistantGi Her pro Really or for derlid

.

FE - Vafahon ereanba allg . Gitter end viel allgemeineGebiete

.