Dec 5 Shell Model Final

8/3/2019 Dec 5 Shell Model Final

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A S h e l l M o d e l S t u d y o f

6L i

P e i - L u a n T a i , J o e B e l a r g e

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , F l o r i d a S t a t e U n i v e r s i t y , T a l l a h a s s e e , F L 3 2 3 0 6 , U S A .

T h e s t a t e s o f

6L i l i m i t e d i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e d i s c u s s e d , i n c l u d i n g t h e s y m m e t r y o f t h e s t a t e s

b y j - j c o u p l i n g a n d L S c o u p i n g . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f

6L i i n t h e c l o s e d p - s h e l l a r e c o m p u t e d

a n a l y t i c a l l y b y u s i n g t h e p a r a m e t e r s f r o m C K I i n t e r a c t i o n [ 1 ] . T h e e n e r g y o f t h e s t a t e s o f

6L i a r e

c o m p u t e d v i a C o S M o c o d e [ 2 ] a n d c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o l l e c t e d f r o m N N D C [ 3 ] a n d

T U N L [ 4 ] . I n a d d i t i o n w e m o d i e d t h e s i n g l e s t a t e e n e r g y w i t h i n t h e C K I P N i n t e r a c t i o n a n d c o m p a r e

t h e m o d i e d r e s u l t w i t h o u r h a n d c a l c u l a t i o n s w h i l e d i s c u s s i n g t h e b r e a k i n g i s o s p i n s y m m e t r y [ 7 ] .

I . I N T R O D U C T I O N

M a n y e x p e r i m e n t s h a v e s h o w n t h e n u c l e u s

p o s s e s s e s t h e s h e l l s t r u c t u r e . O n e o f t h e m a i n

i n d i c a t i o n s c a n b e s e e n f r o m s t u d y i n g n e u t r o n

a n d p r o t o n s e p a r a t i o n e n e r g y . I t h a s b e e n o b -

s e r v e d t h a t w h e n n e u t r o n a n d / o r p r o t o n n u m -

b e r s e q u a l t o 2 , 8 , 2 0 , 2 8 , 5 0 , 8 2 a n d 1 2 6

( c a l l e d m a g i c n u m b e r s ) , t h e s e p a r a t i o n e n e r g y i s

l a r g e c o m p a r e d t o t h e n e a r e s t i s o t o p e . I n o t h e r

w o r d s , a n u c l e u s w i t h a p r o t o n o r n e u t r o n n u m -

b e r e q u a l t o a m a g i c n u m b e r c o r r e s p o n d s t o a

f u l l y o c c u p i e d s h e l l .

I n 1 9 4 9 M a y e r , H a x e l , S u e s s a n d J e n s e n

s h o w e d t h a t t h e i n c l u s i o n o f a s p i n - o r b i t p o -

t e n t i a l c o u l d g i v e t h e p r o p e r s e p a r a t i o n o f t h e

s u b s h e l l a n d r e p r o d u c e t h e m a g i c n u m b e r s [ 5 ] .

T h e H a m i l t o n i a n o f a s i n g l e p a r t i c l e i s

H 0 = p22m

+ V 1(r) + V 2(r)σ l ( I . 1 )

T h e V 1(r) t e r m i s g i v e n b y t h e W o o d s - S a x o n

p o t e n t i a l ; i t h a s t h e f o r m

V 1(r) =−V 0

1 + exp((r −R)/a)( I . 2 )

W h e r e R = 1.25A1

3a n d a = 0 . 5 2 4 f m , V 0 i s t h e

o r d e r o f 5 0 M e V [ 6 ] . V 2 p o t e n t i a l i s w r i t t e n a s

V 2 = −V ls

d

drV 1(r) ( I . 3 )

w h e r e V ls i s a s t r e n g t h f a c t o r .

T h e s h e l l m o d e l c a n b e e e c t i v e l y u s e d t o

s t u d y t h e e n e r g y l e v e l s o f n u c l e i . W e c a n t h i n k

o f

63 L i 3 a s t w o v a l e n c e n u c l e o n s s u r r o u n d i n g a

42 H e 2 i n e r t c l o s e d s h e l l c o r e . W e a s s u m e t h a t t h e

v a l e n c e n u c l e o n s a r e c o n n e d t o t h e p 3/2 a n d

p 1/2 s i n g l e p a r t i c l e s t a t e s . U s i n g t h e s e a s s u m p -

t i o n s w e c a n u s e L S a n d j j c o u p l i n g s c h e m e s t o

a n a l y z e t h e s t a t e s o f

63 L i 3 .

I I . L S C O U P L I N G O F

6L I

W e b e g i n b y i n v e s t i g a t i n g t h e n u m b e r o f w a y s

t o g e t t h e t o t a l a n g u l a r m o m e n t u m I . F o r a t w o -

n u c l e o n s y s t e m w e d e n e l1 a n d l2 a s t h e o r -

b i t a l a n g u l a r m o m e n t u m , a n d s1 a n d s2 a r e t h e

i n t r i n s i c s p i n a n g u l a r m o m e n t u m f o r t h e t w o

p a r t i c l e s . A p p l y i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e w e

c o u p l e l1 w i t h l2 t o L , a n d c o u p l e s1 w i t h s2 t o

S . F i n a l l y , w e c o u p l e L a n d S t o I . F o r

6L i t h e t w o v a l e n c e n u c l e o n s a r e n o n -

i d e n t i c a l ; t h e r e i s o n e n e u t r o n a n d o n e p r o t o n .

W e l i m i t t h a t b o t h o f t h e m r e s i d e i n t h e p -

s h e l l w h i c h h a s a n g u l a r m o m e n t u m 1 a n d e a c h

n u c l e o n h a s i n t r i n s i c s p i n = 1 / 2 , t h e r e f o r e w e

s e e : l1 = l2 = 1 a n d s1 = s2 = 12 . S o L= 2 , 1 , 0

a n d S = 1 , 0 . W e c a n i n t r o d u c e a n o t h e r d e g r e e

o f f r e e d o m a n d t h e n v i e w t h e n e u t r o n a n d p r o -

t o n a s t h e s a m e p a r t i c l e , n u c l e o n , i n d i e r e n t

i s o s p i n s t a t e s . U s i n g t h e L S c o u p l i n g s c h e m e

w e n d t h a t t h e r e a r e 1 0 l e v e l s , T = 0 I = 3 , 2 ,

1

3

a n d T = 1

I = 2

2

, 1 , 0

2

, d i s p l a y e d i n T a b l e 1 .

I I I . J J C O U P L I N G O F

6L I

I n t h e j j c o u p l i n g s c h e m e w e c o u p l e l1 a n d s1t o j1 , a n d t h e n c o u p l e l2 a n d s2 t o j2 s e p a r a t e l y .



2

T a b l e I . T h e L S c o u p l i n g r e s u l t .

L S I T

2 1 3 , 2 , 1 0

1 1 2 , 1 , 0 1

0 1 1 0

2 0 2 1

1 0 1 0

0 0 0 1

F i n a l l y , w e c o u p l e j1 a n d j2 t o I . S i n c e w e l i m i t

6L i t o t h e p - s h e l l , t h e o n l y t w o s t a t e s f o r t h e

p a r t i c l e s t o o c c u p y a r e p 3/2 a n d p 1/2 , l e a d i n g

t o :

j1 , j1 = 32o r 12

F o r t h e s i m p l e s t c a s e , w e l o o k a t t h e I = 3

s t a t e b e c a u s e i t c a n o n l y b e f o r m e d f r o m t h e

c o u p l i n g o f

32 ⊗

32 . M o r e s p e c i c a l l y , b o t h p a r -

t i c l e s 1 a n d 2 h a v e t o b e i n t h e p 3/2 s t a t e a n d

c o u p l e t o t h e m a x i m u m

I = 3 . T h e r e f o r e , t h e s e

t w o s i n g l e p a r t i c l e a n g u l a r m o m e n t a j1 , j2 n e e d

t o b e p a r a l l e l t o e a c h o t h e r , s o t h e s p a c e - s p i n

p a r t o f t h e w a v e f u n c t i o n i s s y m m e t r i c f o r e v e r y

|I = 3 , M s t a t e . T h e r e f o r e , t h e i s o s p i n p a r t

o f t h e w a v e f u n c t i o n m u s t b e a n t i s y m m e t r i c :

T = 0 . A f t e r c o n s t r u c t i n g I = 3 , t h e I = 2 s t a t e

f r o m 32 ⊗ 32 c a n b e d e d u c e d . F r o m c o n s i d e r -

i n g t h a t t h e s p a c e - s p i n p a r t o f |I = 2 , M = 2 h a s t o b e o r t h o g o n a l t o |I = 3 ,

M = 2 a n d

|I = 3 , M = 2 i s a n t i s y m m e t r i c i n s p a c e - s p i n ,

i s o s p i n m u s t t h u s T = 1 . W e c o n c l u d e t h a t f o r

t w o p a r t i c l e s o c c u p i e d a t t h e s a m e s i n g l e p a r t i -

c l e s t a t e (

32 ⊗

32

a n d

12 ⊗ 1

2) , t h e a n g u l a r m o -

m e n t u m

I f o l l o w s t h e r u l e : T = 0 f o r o d d

I , a n d

T = 1 f o r e v e n I . W h e n u s i n g i s o s p i n , s t a t e s f o r m e d v i a

12 ⊗

32

a n d

32 ⊗

12

a r e i n d i s t i n g u i s h a b l e a n d h e n c e a r e

t r e a t e d a s o n e c a s e . F o r

12 ⊗ 3

2 t o f o r m I = 2 o r

I = 1 t h e s p a c e - s p i n w a v e f u n c t i o n h a s n o s y m -

m e t r y . T h e r e f o r e , t h e a s s i g n m e n t o f T f o r t h e m

i s w i t h o u t r e s t r i c t i o n a n d c a n b e b o t h 1 a n d 0 .

T h e j j - c o u p l i n g r e s u l t i s s u m m a r i z e d i n T a b l e

2 . W e c a n s e e f r o m c o m p a r i n g o u r v a l u e s f r o m

T a b l e I I . T h e J J c o u p l i n g r e s u l t .

jp =

1

2jn =

1

2I

= 0 T = 1

I = 1 T = 0

jp=

3

2 jn=

3

2 I = 3 T = 0

I = 2 T = 1

I = 1 T = 0

I = 0 T = 1

jp =

1

2jn =

3

2I

= 2 T = 1 a n d 0

I = 1 T = 1 a n d 0

J - J a n d L S c o u p l i n g t h a t w e h a v e a g r e e m e n t ,

n a m e l y T = 0 I = 3 , 2 , 1

3

a n d T = 1 I = 2

2

, 1 , 0

2

.

I V . H A M I L T O N I A N

I n t h e p r e s e n c e o f t w o - b o d y i n t e r a c t i o n , o u r

H a m i l t o n i a n i s

H =n

(H 0)n +i<j

V ij ( I V . 1 )

w h e r e

H 0 i s t h e s i n g l e p a r t i c l e H a m i l t o n i a n

f r o m I . 1 , V ij i s t h e r e s i d u a l t w o - b o d y i n t e r a c -

t i o n , a n d t h e i n d e x

ni s f o r t h e n t h v a l e n c e n u -

c l e o n . I t i s c o n v e n i e n t t o e x p r e s s t h e H a m i l -

t o n i a n i n t h e l a n g u a g e o f s e c o n d q u a n t i z a -

t i o n u s i n g c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s . n

(H 0)n c a n b e e x p r e s s e d a s H 0 = ν 3

2

a†

ν 3

2

aν 3

2

+

π 3

2

a†

π 3

2

aπ 3

2

+ ν 1

2

a†

ν 1

2

aν 1

2

+ π 1

2

a†

π 1

2

aπ 1

2

i n t h e c a s e

o f

63 L i . W e d e n e t h e o p e r a t o r P †IT j1j2

a s t h e

c r e a t i o n o p e r a t o r o f a p a i r o f p a r t i c l e s i n t h e

φj1 a n d φj2 s t a t e w i t h c o u p l i n g t o t o t a l a n g u l a r

m o m e n t u m I a n d i s o s p i n T : [φj1 ⊗ φj2]IT . S i m -

i l a r l y w e d e n e P IT j1j2 a s t h e c o r r e s p o n d i n g a n -

n i h i l a t i o n o p e r a t o r . N o w w e c a n e x p r e s s

i<j

V ij

a s IT

j1<j2

j3<j4

V j1j2j3j4IT P †(IT );j1j2

P (IT );j3j4 .

I n t h e c a s e o f

63 L i w e s e e :



3

T a b l e I I I . T h e C K I i n t e r a c t i o n v a l u e .

T I

j1 j2 j3 j4 ( M e V )

1 2 2 2 2 2 - 0 . 6 4 8 9 8

1 2 2 2 2 1 - 2 . 2 0 5 5 1

1 2 2 1 2 1 - 1 . 1 4 0 7 6

1 1 2 1 2 1 0 . 8 6 2 9 5

1 0 2 2 2 2 - 2 . 7 3 5 1 6

1 0 2 2 1 1 - 5 . 3 2 2 9 4

1 0 1 1 1 1 0 . 3 3 9 7 4

0 3 2 2 2 2 - 6 . 6 7 7 8 6

0 2 2 1 2 1 - 4 . 2 2 4 5 8

0 1 2 2 2 2 - 3 . 1 3 9 8 4

0 1 2 2 2 1 4 . 0 2 3 7 8

0 1 2 2 1 1 1 . 0 8 9 3 2

0 1 2 1 2 1 - 6 . 5 3 6 4 9

0 1 2 1 1 1 1 . 3 9 2 0 0

0 1 1 1 1 1 - 4 . 2 5 6 7 5

i<j

V ij =

V 3

2

3

2; 32

3

2

01 P †32

3

2

P 32

3

2

+ V 1

2

1

2; 12

1

2

01 P †12

1

2

P 12

1

2

+

V 3

2

3

2; 12

1

2

01 P †32

3

2

P 12

1

2

+V 1

2

3

2; 12

3

2

11 P †12

3

2

P 12

3

2

+

V 1

2

3

2; 12

3

2

21 P †12

3

2

P 12

3

2

+ V 3

2

3

2; 32

3

2

21 P †32

3

2

P 32

3

2

+

V 3

2

3

2; 12

3

2

21 P †32

3

2

P 12

3

2

+V 3

2

3

2; 32

3

2

10 P †32

3

2

P 32

3

2

+

V 3

2

1

2 ;3

2

1

2

10 P †32

1

2

P 32

1

2+ V

1

2

1

2 ;1

2

1

2

10 P †12

1

2

P 12

1

2+

V 3

2

3

2; 32

1

2

10 P †32

3

2

P 32

1

2

+ V 1

2

1

2; 32

1

2

10 P †12

1

2

P 32

1

2

+

V 3

2

3

2; 12

1

2

10 P †32

3

2

P 12

1

2

+V 3

2

1

2; 32

1

2

20 P †32

1

2

P 32

1

2

+

V 3

2

3

2; 32

3

2

30 P †32

3

2

P 32

3

2

B e c a u s e t h e p o t e n t i a l i s r e a l V j1j2;j3j4IT =

V j3j4;j1j2IT . W e h a v e 1 5 i n d e p e n d e n t t e r m s i n

t h e t w o - b o d y r e s i d u a l i n t e r a c t i o n . H e r e w e u s e

t h e C K I i n t e r a c t i o n [ 1 ] t o p a r a m e t e r i z e t h e s e 1 5

i n t e r a c t i o n t e r m s , s e e T a b l e 3 .

F o r s i n g l e p a r t i c l e s t a t e e n e r g y , w e c a n u t i -

l i z e t h e b i n d i n g e n e r g y m e a s u r e d f r o m e x p e r -

i m e n t . T h e s i n g l e p a r t i c l e s t a t e s f o r n e u -

t r o n ( ν ) a n d p r o t o n ( π) c a n b e f o u n d b y

ν 3

2

= BE (52He3)−BE (42He2) = 8 9 0 k e V , π 3

2

=

T a b l e I V . T h e S i n g l e s t a t e e n e r g y .

n e u t r o n p r o t o n

M e v M e v

P 3/20 . 8 9 0 2 . 1 6 0

P 1/2 1 . 9 6 5 3 . 4 5 5

BE (53Li2)−BE (42He2) = 1 9 6 5 k e V , a n d w e a d d

t h e r s t e x c i t e d s t a t e e n e r g y f o r g e t t i n g t h e p 1/2

s t a t e s :

ν 1

2

= 2 1 6 0 k e V ,

π 1

2

= 3 4 5 5 k e V [ 3 , 4 ] .

H o w e v e r , w e s h o u l d n o t e

5H e a n d

5L i a r e u n -

b o u n d a n d u n s t a b l e n u c l e i . T h e i r e x c i t a t i o n e n -

e r g y o f t h e r s t e x c i t e d s t a t e s , a n d t h e g r o u n d

s t a t e s a r e k n o w n w i t h l i m i t e d a c c u r a c y .

T o c a l c u l a t e t h e m e a n i n g f u l q u a n t i t i e s w e

m u s t d i a g o n a l i z e t h e H a m i l t o n i a i n ; w e u s e

T = 1 , I = 2 a s a n e x a m p l e . W e h a v e t w o

s t a t e s t h a t c a n c o u p l e t o T = 1 I = 2 , n a m e l y φ 3

2

⊗ φ 3

2

I =2,T =1

a n d

φ 3

2

⊗ φ 1

2

I =2,T =1

. I n

t h e a b s e n c e o f t w o - b o d y r e s i d u a l i n t e r a c t i o n ,

t h e s e t w o s t a t e s a r e e i g e n f u n c t i o n s o f t h e H a m i l -

t o n i a n m a t r i x . H o w e v e r , i n t h e p r e s e n c e o f i n -

t e r a c t i o n t h e e i g e n f u n c t i o n s o f t h e H a m i l t o n i a n

b e c o m e l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e s e t w o s t a t e s .

W e s e t Ψ=

α|φ 3

2

φ 3

2

+

β|φ 3

2

φ 1

2

a n d w e s o l v e t h e

e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r T = 1 , I = 2 c a s e . H e r e w e

u s e t h e n e u t r o n s i n g l e s t a t e e n e r g y :

V

3

2

3

2; 32

3

2

21 + 2ν 3

2

V 3

2

3

2; 32

1

2

21

V 3

2

1

2; 32

3

2

21 V 3

2

1

2; 32

1

2

21 + ν 3

2

+ ν 1

2

α

β

= E

α

β

W e c a n a l s o u s e p r o t o n s i n g l e s t a t e e n e r g y

i n s t e a d o f t h a t o f t h e n e u t r o n i n t h e e q u a t i o n

a b o v e , b u t t h e w h o l e e n e r g y i s s i m p l y s h i f t e d b y

c o n s t a n t a m o u n t . T h i s c o n s t a n t s h i f t p h e n o m -

e n a i s k n o w n a s t h e C o u l o m b s h i f t a n d r e s u l t s i n

n o c h a n g e i n e n e r g y l e v e l s e p a r a t i o n s . W e k n o w

t h a t α2a n d β2 a r e t h e p r o b a b i l i t y o f n d i n g t h e

s t a t e s o f φ 3

2

⊗ φ 3

2 2,1 a n d φ 3

2

⊗ φ 1

2 2,1 r e s p e c -

t i v e l y , a n d c a n u s e t h i s i n f o r m a t i o n t o c a l c u l a t e

t h e o c c u p a t i o n n u m b e r f o r e n e r g y l e v e l p 3/2 a n d

p 1/2 .



4

V . O C C U P A T I O N N U M B E R A N D

B R E A K I N G I S O S P I N S Y M M E T R Y

U s i n g t h e a b o v e T = 1 , I = 2 c a s e t o d e m o n -

s t r a t e , w e o b t a i n a n e i g e n v a l u e o f 3 . 7 6 c o r r e -

s p o n d i n g t o Ψ= −0.64|φ 3

2

φ 3

2

+ 0.77|φ 3

2

φ 1

2

. I n

o t h e r w o r d s , w e h a v e a p r o b a b i l i t y 0 . 4 1 t o n d

b o t h p a r t i c l e s i n p 3/2 l e v e l ; c o n v e r s e l y t h e r e i s

a p r o b a b i l i t y o f 0 . 5 9 t o n d o n e p a r t i c l e i n p 3/2

l e v e l a n d o n e p a r t i c l e i n p 1/2 l e v e l a t t h e s a m e

t i m e . H e n c e t h e o c c u p a t i o n n u m b e r f o r p 3/2 i s

2 × (0.41) + 1 × (0.59) = 1.41 , a n d f o r p 1/2 i s

1 × (0.59) . W e n o t e t h a t 1 . 4 1 + 0 . 5 9 = 2 , a s e x -

p e c t e d . T h e r e s u l t s o f t h e o c c u p a t i o n n u m b e r

c a l c u l a t i o n s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 6 .

I n t h e C K I i n t e r a c t i o n , w e t r e a t b o t h p r o -

t o n a n d n e u t r o n a s h a v i n g t h e s a m e s i n g l e s t a t e

e n e r g y . A l t h o u g h t h i s a s s u m p t i o n g i v e s u s a

f a i r l y g o o d p r e d i c t i o n , w e c a n o f t e n h a v e a b e t -

t e r e s t i m a t i o n b y b r e a k i n g i s o s p i n a n d t r e a t i n g

t h e p r o t o n a n d n e u t r o n a s d i e r e n t p a r t i c l e s .

T h e r e f o r e , w e c h o o s e C K I P N i n t e r a c t i o n w h i c h

a l l o w s u s t o h a v e d i e r e n t s i n g l e s t a t e e n e r g y

f o r p r o t o n a n d n e u t r o n . M o r e o v e r , w e c h a n g e

t h e d e f a u l t v a l u e s i n t h e c k i p n . i n t l e w h e n w e

r u n C o S M o t o o u r c a l c u l a t e d s i n g l e p a r t i c l e e n -

e r g i e s . T h e r e s u l t s o f h a n d c a l c u l a t i o n , C o S M o

w i t h c k i , a n d C o S M o w i t h m o d i e d c k i p n . i n t

a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 6 .

V I . C O M P A R I S O N

F i g u r e 1 s h o w s t h e r e s u l t i n g e n e r g y l e v e l s

f r o m d i a g o n a l i z i n g t h e H a m i l t o n i a n m a t r i x , a n d

i n c l u d e s t h e c o m p a r i s o n o f e x p e r i m e n t a l d a t a ,

a n d t h e r e s u l t f r o m u s i n g C o s M o c o d e .

W e c a n s e e t h e C o S M o c a l c u l a t i o n s g i v e r e a -

s o n a b l e p r e d i c t i o n s f o r l o w - l y i n g s t a t e s u n d e r 6

M e V , b u t t h e r e a r e l i m i t a t i o n s . I n b o t h c a l c u -

l a t e d c a s e s w e n d t h e 3 + a n d 0 + l e v e l s b e l o w

w h e r e t h e y a r e e x p e c t e d f o r m e x p e r i m e n t , a n d

t h e t w o 2 + s t a t e s a r e h i g h e r t h a n e x p e c t e d .

T h e r e a s o n w e d o n o t o b s e r v e s t a t e s a b o v e

6 M e V i n t h e e x p e r i m e n t a l d a t a i s t h a t w h e n

w e p e r f o r m t h e c a l c u l a t i o n , w e l i m i t o u r m o d e l

s p a c e s t r i c t l y t o t h e p - s h e l l , a n d i n r e a l i t y o n c e

v a l a n c e n u c l e o n s g e t h i g h e r e n e r g i e s t h e y a r e

T a b l e V . T h e r e s u l t o f d i a g o n a l i z i n g H a m i l t o n i a n

w i t h C K I i n t e r a c t i o n

U s i n g

ν 3

2

a n d

ν 1

2

U s i n g

π 3

2

a n d

π 1

2

E i g e n v a l u e E x c i t a t i o n e n e r g y E i g e n v a l u e R e l a t i v e E n e r g y

- 6 . 6 1 5 0 - 4 . 3 2 4 0

- 4 . 8 9 8 1 . 7 1 8 - 2 . 7 4 8 1 . 5 7 7

- 4 . 1 6 5 2 . 4 5 0 - 1 . 9 0 1 2 . 4 2 4

- 1 . 1 7 5 5 . 4 4 1 1 . 1 9 6 5 . 5 2 0

- 0 . 9 8 1 5 . 6 3 5 1 . 4 9 3 5 . 8 1 2

- 0 . 7 1 9 5 . 8 9 6 1 . 5 2 0 5 . 8 4 4

2 . 8 1 3 9 . 4 2 8 5 . 1 5 9 9 . 4 8 4

3 . 7 5 9 1 0 . 3 7 4 6 . 0 4 1 1 0 . 3 6 6

3 . 9 1 1 0 . 5 2 5 6 . 2 8 0 1 0 . 6 0 5

7 . 8 7 7 1 4 . 4 9 2 1 0 . 3 4 6 1 4 . 6 7 1

T a b l e V I . T h e r e s u l t o f o c c u p a t i o n n u m b e r c a l c u l a -

t i o n s

H a n d c a l c u l a t i o n C o S M o C o s M o m o d i e d

I T p3/2 p1/2 p3/2 p1/2 p3/2 p1/2

1 0 1 . 3 5 0 . 6 5 1 . 3 1 0 . 6 9 1 . 3 6 0 . 6 4

3 0 2 . 0 0 0 . 0 0 2 . 0 0 0 . 0 0 2 . 0 0 0 . 0 0

0 1 1 . 4 7 0 . 5 3 1 . 3 8 0 . 6 2 1 . 4 8 0 . 5 2

2 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 1 0 . 9 9

1 0 0 . 5 0 1 . 5 0 0 . 3 6 1 . 6 4 0 . 5 3 1 . 4 7

2 1 1 . 5 9 0 . 4 1 1 . 5 2 0 . 4 8 1 . 5 8 0 . 4 2

1 0 1 . 1 5 0 . 8 5 1 . 3 3 0 . 6 7 1 . 1 1 0 . 8 9

2 1 1 . 4 1 0 . 5 9 1 . 4 8 0 . 5 2 1 . 4 0 0 . 6 0

1 1 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0 1 . 0 0

0 1 0 . 5 3 1 . 4 7 0 . 6 2 1 . 3 8 0 . 5 2 1 . 4 8

a b l e t o g o t o h i g h e r s h e l l s , a n d h e n c e i n t h e

e x p e r i m e n t w e d o n o t o b s e r v e a p u r e c l o s e d p -

s h e l l s p e c t r u m .

V I I . C O N C L U S I O N

W e c o n c l u d e t h a t t h e l o w l y i n g s t a t e s i n

6L i

c a n b e w e l l d e s c r i b e d b y t h e S h e l l M o d e l . I t



5

F I G U R E I . C o m p a r i s o n o f t h e o r e t i c p r e d i c t i o n a n d

e x p e r i m e n t a l d a t a . F r o m t h e l e f t t o r i g h t a r e t h e

r e s u l t s f r o m C K I i n t e r a c t i o n , t h e e x p e r i m e n t a d a t a ,

a n d t h e r e s u l t f o r m C o S M o c o d e i n k e V .

i s a n i n t e r e s t i n g r e s u l t t h a t w h e n i s o s p i n s y m -

m e t r y i s b r o k e n , t h e S h e l l M o d e l t s

6L i l e s s

w e l l . W e b e l i e v e t h a t t h e r e i s a s p e c i c r e a s o n

f o r t h i s d i s c r e p a n c y , a n d i t i s d u e t o t h e n a t u r e

o f

5H e a n d

5L i . S i n c e t h e y a r e u n b o u n d a n d

w e u s e d e x p e r i m e n t a l d a t a w h e r e w e a n t i c i p a t e

e r r o r s , a n d t h e y a r e m a n i f e s t e d i n t h e i s o s p i n

b r e a k i n g s t u d y . O v e r a l l , w e c a n c o n c l u d e t h a t

t h e s t u d y p r o v i d e d v a l u a b l e i n s i g h t i n t o t h e l o w

l y i n g s t r u c t u r e o f

6L i . W e a r e t h a n k f u l t o A .

V o l y a , S . L . T a b o r , J . V o n M o s s f o r t h e i r h e l p f u l

d i s c u s s i o n s .

[ 1 ] S . C o h e n a n d D . K u r a t h , S p e c t r o s c o p i c F a c t o r s

f o r t h e 1 p S h e l l , N u c l . P h y s . A 1 0 1 , 1 ( 1 9 6 7 ) .

[ 2 ] h t t p : / / w w w . v o l y a . n e t /

[ 3 ] h t t p : / / w w w . n n d c . b n l . g o v /

[ 4 ] h t t p : / / w w w . t u n l . d u k e . e d u / n u c l d a t a / c h a i n / 0 5 . s h t m l

[ 5 ] P . R i n g a n d P . S c h u c k , T h e N u c l e a r M a n y B o d y

P r o b l e m , 4 3 , ( 2 0 0 4 )

[ 6 ] K e n n e t h S . K r a n e , I n t r o d u c t o r y N u c l e a r

P h y s i c s , 1 2 2 , ( 1 9 8 8 )

[ 7 ] S . C o h e n a n d D . K u r a t h , E e c t i v e I n t e r a c t i o n s

f o r t h e 1 p S h e l l , N u c l . P h y s . A 7 3 , 1 ( 1 9 6 5 )

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