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Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación
ISSN: 1133-8482
Universidad de Sevilla
España
Martínez Pons, José A.
Uso de la hoja de calculo en la resolucion de problemas sencillos de campo electrostático
Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación, núm. 25, enero, 2005, pp. 19-31
Universidad de Sevilla
Sevilla, España
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=36802502
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Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
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Pixel-Bit. Revista de Medios y Educación
USO DE LA HOJA DE CALCULO EN LA RESOLUCIONDE PROBLEMAS SENCILLOS DE CAMPO
ELECTROSTÁTICO
USE OF THE SPREADSHEET IN THERESOLUTION OF SIMPLE PROBLEMS OF
ELECTROSTATIC FIELD
José A. Martínez Pons
Universidad Alcalá (España - UE)
Resumen.En una línea general de trabajo de usar la hoja de cálculo como recurso didáctico en laresolución de problemas tradicionales, se presentan algunos modelos de aplicación a laresolución de problemas sencillos de campos
AbstractIn a general line of work of using the spreadsheet like didactic resource in the resolution oftraditional problems, some application models are presented to the resolution of simpleproblems of fields.
Palabras clave: Hoja de cálculo, recursos didácticos, resolución de problemas.
Keywords: Spreadsheet, didactic resources, resolution of problems.
Nº 25 Enero 2005 pp. 19-31
1. Introducción.
Cuando se enseña Física es muy comúnencontrarse con problemas queconceptualmente son comprendidos por losalumnos sin embargo para su resolucióntropiezan con el grave escollo del formalismomatemático y sobre todo carecen de bagajematemático suficiente para resolver estosproblemas y llegar a una solución.
La hoja de cálculo permite considerar elproblema liberando del cálculo tedioso,centrándose en los aspectos físicos ygeométricos del problema. Por otra parte, alno ser una «caja negra» exige un manejo delas ecuaciones y fórmulas con corrección yseguridad. Como valor añadido, la hoja permiteun tratamiento gráfico de los problemas muyenriquecedor.
Inclusive es posible resolver el problema
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por métodos «clásicos» y comparar losresultados, lo que constituye una buenaactividad de repaso.
Aunque es posible aplicar programas enun dialecto de visual basic e introducirformularios y botones en este trabajo no seprocede de este modo
1) Porque, como se ha dicho, se pretendeeliminar «cajas negras» se trata de que elalumno comprenda lo que está haciendo, lasleyes físicas que aplica , incluso el propioproceso de cálculo.
2) Existen en el mercado programas,escritos en lenguajes de programaciónavanzados, por programadores profesionalesque mejoran los posibles resultados que seobtendrían con macros y módulos de Excel.Este tipo de programas tiene su campo deaplicación posiblemente complementario delque aquí se propone.
3) No plantea graves problemas utilizarmétodos de resolución numérica deecuaciones diferenciales como los típicosRunge Kutta. En este trabajo, en aras desimplicidad y adecuación al nivel de losestudiantes, no se han utilizado.
El método se ha aplicado con estudiantesde bachillerato con buenos conocimientos deExcel.
Aunque la hoja se puede aplicar a múltiplescampos de la física y de la química (MartínezPons, 1995, 98, 2002) se propone como ejemplosu aplicación a la resolución de problemas decampos electrostáticos sencillos
El estudio de los campos electrostáticossuele iniciarse por el análisis de potenciales ycampos creados por distribuciones discretasde cargas puntuales en el vacío o en el aire.
El problema básico consiste en analizar elcampo creado por cada una de las cargas enel punto objeto de análisis, y, aplicando elprincipio de superposición, sumarvectorialmente, normalmente previa
proyección sobre unos ejes coordenados, loscampos individuales.
En distribuciones continuas, el problema secomplica algo, puesto que hay que elegir unelemento diferencial de carga, analizar elcampo diferencial creado por este elemento,proyectar sobre unos ejes y , salvo que algunaconsideración de simetría simplifique elcálculo, proceder a integrar en cada eje.
En este trabajo, dirigido a problemassencillos, no se utiliza el teorema de Gauss nilas ecuaciones de Lapalace y Poisson,limitándose a aplicaciones de la ley deCoulomb, ello no es obstáculo paraposteriores desarrollos.
2. Bases teóricas.
En este trabajo salvo que se diga lo contrario,se considerará medio el vacío cuya constatedieléctrica muy aproximadamente correspondea la del aire seco.
Sea una carga puntiforme q que ubicada enun punto cuyo vector posición es r . Si se deseacalcular el campo electrostático E en un puntocualquiera P, cuyo vector posición es r, comoconsecuencia de la ley de Coulomb, vale.
)'('4
13
0
rrrr
qE
'4
1
0 rr
qV
Se ha expresado el campo en forma vectorialporque de este modo se introducirá en la hojade cálculo, además esta particularidad desdeel punto de vista didáctico refuerza la idea deque el campo electrostático es una magnitudvectorial.
Por otra parte, el potencial en P debido a lacarga q valdrá.
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Para calcular el campo y el potencial en unpunto cualquiera debido a un conjuntodiscreto de cargas puntuales basta, como sedijo más arriba, calcular la contribución de cadauna de las cargas y sumar, aplicando elprincipio de superposición, que los alumnosentenderán previamente.
Bueno será recordar que los vectores ycampo electrostático es una magnitudvectorial, deben sumarse componente acomponente, lo que Sears en su libro clásicollama «suma geométrica». Los escalares, y elpotencial es un escalar, se sumandirectamente, no tienen «componentes», eslo que Sears «suma aritmética». La experienciadel autor indica que nunca se insistesuficientemente en que los alumnosprincipiantes y no tan principiantes, distinganclaramente ambos tipos de magnitudes y laforma de operar con ellas, y no sólo en elelectromagnetismo.
3. Estrategia Operativa.
En la hoja de cálculo la tarea es sencilla,pero es preciso
a) Verificar que es de aplicación la ley deCoulomb, es decir, que se trata de cargaspuntiformes o casi puntiformes.
b) Determinar un sistema coordenado alque referir los puntos fuente, donde se ubicanlas cargas que crean el campo, y los puntoscampo.
c) Asignar a cada uno de los puntos suscorrespondientes coordenadas. Es indistintoque se trabaje en una dos o tres dimensiones
d) Calcular para cada caso el vector (r-r )
e) Calcular cada uno de los camposindividuales y cada uno de los potenciales
f) Sumar.Para ello se preparará una hoja de modo
semejante al siguiente.
Se define el punto campo con suscoordenadas
Se establece una matriz sobre la hoja quecontenga el valor de cada carga fuente y susrespectivas coordenadas. Es importanterotular las magnitudes que se escriben encada celda y sobre todo, las unidades en quese escriben. En este trabajo se utiliza siempreel S.I.
Se insiste en la conveniencia de dejar losdatos fuera de las fórmulas y definir estassiempre con referencia a celda, con lo cual lasmodificaciones o los análisis ¿»Qué pasaríasi....»? de tanta riqueza didáctica, soninmediatas
El campo y el potencial creado por cada unade las cargas individuales se calculará:
1) Determinando el módulo del vector (r-r ) no olvidando referirse al punto campo comoreferencia
2) Cada una de las componentes delcampo individual a partir de la ley de Coulombescrita en forma vectorial, será necesarioestablecer una columna para cada componenteindividual, otra para el módulo de cada campoindividual y otra para el potencial creado porcada carga fuente en el punto campo
3) Aplicación de principio desuperposición, sumando vectorialmente loscampos y escalarmente los potenciales. ( dichode otro modo , sumando las columnas Ex, Eyy Ez. y la columna V ) Se puede comprobar demodo inmediato que en general la suma dlosmódulos no es el módulo de la suma
Definidas las fórmulas correspondientespara la primera carga, basta con usar la función«llenar hacia abajo» o sencillamente, hacerdoble clic en el cuadrito correspondiente yse tiene calculada la contribución de cadacarga.
Sumando las respectivas columnas se tienelas componentes del campo total y elpotencial.
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También puede calcularse fuerzas.Ejemplo. 1En los vértices A, B y C de un triángulo
equilátero de 1 m de lado se colocan sendascargas de -q, +2q y +2q C respectivamente.Hállese el valor del campo electrostático E ydel potencial V en el punto M, medio de BC.Calcúlese la fuerza que sufre la carga situadaen M.
Por comodidad se tomará el vértice A comoorigen De este modo las coordenadas de losrespectivos puntos serán A (0; 0) ; B ( 0,5 ;sen 60) ; C ( 1; 0) y las del punto campo M (0,75 ; (sen60)/2) como es fácil ver en la figura.
y
x
B
C A
M
Figura 1
En las dos columnas siguientes se escribi-rá las coordenadas respectivas de los pun-tos.
Las columnas siguientes servirán para elcálculo de las componentes de los camposrespectivos. El módulo de cada uno se cal-culará por el procedimiento habitual.
Las fórmulas informáticas básicas sonPuesto que estas son las fórmulas bá-
sicas, mutatis mutandis, de todo el tra-bajo, no se repetirán si no es imprescin-dible.
Obsérvese que en estas fórmulas (abajo)no aparece el valor de la carga campo, pues-to que para el cálculo de éste se toma comopatrón la unidad de carga positiva
El cálculo de los módulos de las respec-tivas fuerzas es inmediato.
Evidentemente puede mejorarse calcu-lando cada componente por separado.
Se puede representar gráficamente le pro-blema en la misma hoja aunque debe tener-se cuidado con la escala que Excel poneautomáticamente y que puede deformar enapariencia la geometría del problema. La ad-vertencia vale para todo el trabajo.
E1x (E4) =9000000000*$B4/(($C4-$C$2)^2+($D4-$D$2)^2)^(3/2)*($C$2-C4)
E1y (F4)=9000000000*$B4/(($C4-$C$2)^2+($D4-$D$2)^2)^(3/2)*($D$2-D4)
E1 (G4) = RAIZ(E4^2+F4^2)
V1 (H4)=9000000000*B4/RAIZ((C4-$C$2)^2+(D4-$D$2)^2)
Evidentemente el método.- Libera del tedioso cálculo algebraico.- Resalta el carácter vectorial del campo y el
carácter escalar del potencial.- Exige una buena comprensión de la geo-
metría del sistema, puesto que es necesarioasignar unas coordenadas a cada punto.
- Diferencia de forma clara los que son
Puesto que en el enunciado las cargasaparecen en función de un valor q se in-troducirán tomando este como unidad. Na-turalmente , si el valor hubiese sido con-creto se utilizaría este valor.
Se preparará la tabla correspondiente. En una columna se definirán los pun-
tos. En otra las correspondientes cargas.
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Figura 2. Diseño de la geometría del problema realizada en la propia Hoja Excel. La flechas querepresentan los vectores campo no están a escala rigurosa.
minar algunas (basta con introducir el valor«0» en la celda correspondiente).
- Con las modificaciones oportunas se pue-den calcular campos y potenciales enpuntos diferentes y haciendo uso delcarácter conservativo del campo, calcu-lar trabajos.
- Es un excelente medio de autoaprendizaje,que permite al estudiante comparar la solución
«puntos fuente» de los «puntos campo»- Distingue las magnitudes vectoriales de
las escalares. Es inmediato comprobar, porejemplo, que el módulo de la suma no es lasuma de los módulos.
- Permite fáciles y rápidas modificacionesdel problema con resultados rápidos y claros,como modificar los valores o las posicionesde las cargas, introducir nuevas cargas o eli-
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que le da el ordenador con la que él obtienepor medios «clásicos».
Puede objetarse, no obstante, que se correel riesgo de convertir la hoja de cálculo enuna caja negra en el cual el estudianteintroduce los valores y obtiene los resultados.Ello se evitará si son los propios alumnosquienes programan la hoja y comprenden loque están haciendo
Ejemplo 2:En los vértices A, y D de un cuadrado de
1,2 m de lado se sitúan sendas cargas igualesde 5µC y en B, y C de -2µC.
Hállese la fuerza que actuará sobre la cargaA debida a las restantes a sí como el trabajonecesario para llevar esta carga desde suposición inicial al centro de simetría delcuadrado.
El problema se representa esquemá-ticamente en la figura 2. Su solución tiene dosetapas.
En la primera y procediendo como en el caso
A
B C
D
M
Figura 3.
anterior se obtiene la fuerza que actúa sobrela carga campo. Resáltese que su valor noinfluye para el cálculo del campo en suposición.
En la segunda etapa se calcula el potencialen M. ( En la solución se utiliza toda la matriz)
El trabajo es inmediato recordando que elcampo es conservativo y en consecuencia
W = q(VM
VA) =>
W = -0,00643 J
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El signo negativo del trabajo indica quees el campo quien lo realiza, es decir que lacarga se movería espontáneamente
3.1. Extensión a sistemas continuos.
El método es una extrapolación del ante-rior, y hace uso de integración numérica,los resultados serán por tanto, aproxima-dos, tanto más exactos cuanto más fina seala partición del conjunto fuente.
Por el momento se limita a conjuntosunidimensionales: líneas de carga y sóloen casos sencillos puede aplicarse abidimensionales, cuando estos sean sus-ceptibles de descomponerse en bandas deanchura infinitesimal, cuyo valor de campoy potencial se conozcan o puedan calcu-larse previamente
Con los ordenadores actuales la soluciónde los problemas es prácticamente instan-tánea , se tomen lo puntos que se tomen.Puede compararse el resultado con el queobtendría de la aplicación de las fórmulasconseguidas del modo tradicional: integra-ción o aplicación del Teorema de Gauss.
Los pasos a seguir son los siguientes.1) Definir el conjunto fuente y descom-
ponerlo en elemento «quasiinfinitesimales».
2) Asignar una carga a cada elementoy tratar cada una de estas de modo indivi-dual de modo análogo al problema de car-gas discretas.
3) Sumar las contribuciones quasiinfinitesimales.
4) Siempre es conveniente hacer unprimer tanteo con un problema cuyo resul-tado se conozca de antemano, para verifi-car posibles errores
Muchas veces será conveniente el empleode coordenadas polares, lo que permitirá el
calculo de sistemas «fuente» infinitos.Ejemplo 3Calcúlese potencial y campo creado por
un segmento rectilíneo de 20 cmde longitud, cargada con 10 µC/m, uni-
formemente distribuidos en el punto A re-presentado en la figura.
15
20
5
A
dE
dq
Figura 4.
La solución informática del problema, quede modo clásico requeriría dos integracioneses sencilla.
Se trata de tomar un número de elementosquasi diferenciales, dq, en este caso se hantomado 4000.
Se divide pues el segmento fuente en 4000partes y se asigna a cada una de ellas unacarga dq = sdl El cálculo se efectúa como enel caso finito pero extendiendo la fórmula alos 4000 puntos.
Por comodidad se resumen los resultadosen la cabecera de la tabla. Se sigue insistien-do en la conveniencia de rotular adecuada-mente las magnitudes con sus unidades y dedejar fuera de la zona de cálculo los valoresde los datos
Verificación con el punto campo sobre lamediatriz de la línea de cargas. Obsérvesecomo Ey es prácticamente cero.
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E(N/C)
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E(N/C)
Tabla definitiva
dE
dq = dl
A
Ejemplo 4.El ejemplo anterior podía realizarse de for-
ma relativamente sencilla utilizando cálculointegral. El ejemplo que se propone a conti-nuación es bastante más complejo.
Una circunferencia de 0,2 m de radio secarga con 10 µC/m, uniformemente distribui-
dos. Calcúlese potencial y campoelectrostáticos en un punto situado a 0,5 mdel centro .
El problema se esquematiza en el ejemplo,sin perdida de generalidad se ubica el puntocampo A sobre el eje OX
En este problema es conveniente, aunqueno imprescindible, describir lacircunferencia de forma polar, asícon pocas variaciones puederesolverse el problema para unarco y para una elipse
De este modo dq = sdl =sR dá; x = r cosá ; y = r sená El restodel problema es inmediato.
Las fórmulas informáticas queFigura 5
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se han utilizado:Para el cálculo de dá, (E4) =(D4-D5)/4000Serie á ( A9) =A8+$E$4 y llenado hasta
4000 valoresDq (B8) =$I$7*$E$4Serie x (C8) =$B$1*COS(A8) y llenado has-
ta 4000 valores
E(N/C)
Serie y (D8) =$B$2*seno(A8) y llenado has-ta 4000 valores
Obviamente para una elipse se modificaríael valor de de B1 y B2, que corresponderían alos semiejes de la elipse.
Para un arco se procedería operando sobreel ángulo inicial y final.
En la tabla adjunta se presenta el cálculo para un arco comprendido entre 0 y 175º
E(N/C)
3.2. Sistemas tridimensionales
El problema no implica mayores dificulta-des que introducir una tercera coordenada.Por lo demás se procede de igual modo, unavez más es posible resolver con una buenaaproximación problemas que de modo tradi-cional resultarían altamente dificultosos decálculo como el ejemplo siguiente.
A
0,
0,
R=0,2
Figura 6
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Ejemplo 5: Una circunferencia de radio 0,2m se carga con 5 µC/m. Calcúlese el campo yel potencial electrostáticos en un punto si-tuado a 0,2 del plano de la circunferencia y a0,1 m del su eje de simetría vertical
El problema se complica, aunque, al menosen lo que se refiere a campos es posible llegara una discreta aproximación si se dispone deun ordenador y una hoja suficientemente po-tentes. Se trataría de extender el campo devalores hasta unos números muy grandes, al
propio tiempo que se conserva el incrementopequeño, lo cual requiere, por tanto muchapotencia de cálculo en la hoja aunque mu-chas veces un cambio a coordenadas polaressoluciona el problema. En este caso se ha pre-parado la hoja con tres coordenadas, tomadocomo origen el centro de la circunferencia decargas. El resto del problema es inmediato.
Para verificar el método, primero se ha cal-culado el campo en un punto del eje de sime-tría vertical
La solución al problema propuesto implica simplemente cambiar las coordenadas del puntode referencia.
Obsérvese como partiendo de la tabla pre-parada de antemano es fácil modificar la for-ma del dispositivo fuente, que puede ser unaelipse, modificando los valores de a o b o unarco, cambiando el ángulo, y la posición delpunto campo.
En general se procurará preparar la hoja lomás general posible, de modo que seaposiblea plicarla al mayor número de proble-mas tipo, realizar modificaciones sobre los
datos y ver los resultados de forma inmediata
3.3. Fuerzas centrales.
Trayectorias de partículas.El problema que a continuación se analiza,
es el de la trayectoria que describirá una par-tícula cargada al ser lanzada con una determi-nada velocidad contra otra partícula tambiéncargada. En general este tipo de problemas
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son conceptualmente sencillos, sin embargode cálculo complejo, la hoja de cálculo simpli-fica grandemente el problema.
Los parámetros a tener en cuenta son lascargas de ambas partículas, las posicionesrelativas iniciales y la velocidad inicial de lapartícula proyectil. Normalmente las contribu-ciones gravitatorias son despreciables, com-paradas con las electrostáticas.
Como es sabido, en estas circunstancias latrayectoria descrita por la partícula es unacónica: elipse, hipérbola o parábola.
Si no se dice lo contrario se tomará la partí-cula central como fija. Esta es evidentementeuna aproximación.
Aunque lo ideal sería trabajar con átomosy partículas subatómicas, ellos requeriríaunos valores muy pequeños por tanto, muypoco intuitivos, por ellos se ofrecen ejemploscon valores macroscópicos.
En los ejemplos que siguen se estudiaráalgunos casos, primero de partículas carga-das con cargas del mismo signo, por tantofuerzas repulsivas y después de signo con-trario, fuerzas atractivas.
Tal como se prepara la hoja es muy fácilinvestigar que ocurriría si se cambiaran algu-nos valores.
En principio se dejan como parámetros:A) Posición inicial de la partícula proyec-
til ( Ya se dijo que la partícula de referencia ,fuente, se consideraba fija)
B) Carga y masa de ambas partículasC) Velocidad inicial de la partícula proyec-
til.Ejemplo 6.Contra una partícula de de 4 mg de masa y
+2 mC de carga eléctrica situada en el origende coordenadas se lanza otra partícula de 1mg de masa y 1 µC desde el punto (10 ; 0,2) mcon una velocidad de 50 m/s paralela al eje deabscisas.
Descríbase la trayectoria de la partícula eindíquese si chocará con la partícula blancoy en caso negativo, cual será la máxima dis-tancia de aproximación.
Para la solución se prepara una hoja comola que se muestra a continuación
Figura 7
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Las tres primeras filas se utilizan para intro-ducir los datos, la partícula a es el blanco y lab el proyectil.
El incremento temporal se determina portanteo, siempre muy pequeño.
Las fórmulas con las que se resuelve elproblema se escriben en las filas 6 y 7
La columna A es la serie temporalA6= 0A7 = 0 + $H$2 es decir , la columna tempo-
ral se reconstruye con a partir de la referenciade dt
En B 6 y C6 se sitúa la posición inicial de lapartícula : B6 = D3 y C6= E3 y en las siguien-tes la velocidad inicial. En F6 y G6 se calculala aceleración
F6 ( ax) ==9000000000*$C$2*$C$3/($B$3*(($B6-$D$2)^2+($C6-$E$2)^2)^(3/2))*(B6-$D$2)
G6(ay) =9000000000*$C$2*$C$3/($B$3*(($B6-$D$2)^2+($C6-$E$2)^2)^(3/2)*(C6-$E$2), como se puede observar, se re-pite el modelo de los problemas anteriores,multiplicando por la carga de la partícula cam-po y dividiendo por su masa.
Las dos columnas siguientes sirven paracalcular el módulo de la velocidad y la dis-
tancia al centro del modo habitualH6 =RAIZ(D6^2+E6^2) ;
I6=RAIZ(B6^2+C6^2)En la fila siguiente se calcula la velocidad
instantánea o mejor dicho, quasi instantáneascomo vi = v i-1 + a i-1* Ät
D7= D6+F6*$H$2E7 = E6 + G6 *$H$2Para el calculo de la siguiente posición de
la partícula se aproximará la velocidad por suvalor medio en los extremos del intervalo tem-poral
ri = r i-1 + (vi + v i-1) * Ät/2.InformáticamenteB7 =B6+(D7+D6)/2*$H$2 ; C7 =
C6+(E7+E6)/2*$H$2. El resto del problema esinmediato, basta extender las fórmulas hastaunos 4000 valores y realizar las correspon-dientes gráficas. Los valores de máxima velo-cidad y mínimo alejamiento se calculan con lautilidad «max» y «min» de Excel aplicada a losrangos correspondientes. En la figura se ob-serva la trayectoria de la partícula .
Intentar encontrar su ecuación es posiblepero requiere unos conocimientos de cónicasque se escapan de lo que se considera desti-natarios de este trabajo.
Figura 8: Cambio de los parámetros: carga, masa, posiciones o velocidades iniciales se resuelven demodo gráfico de forma inmediata.
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