SOLUCIÓNES

BLOQUE 1 ARITMÉTICA A

Ejercicio nº 1.-

a Clasifica como naturales, enteros, racionales o irracionales los siguientes números:

2 31

1,3; ; 1,3; 3 ; 33

b Representa sobre la recta los números:

3

2,6; ; 45

Solución:

2

2

2

3

a) Naturales 3

Enteros 31

Racionales 1,3; ; 1,3; 33

Irracionales 3

b

Ejercicio nº 2.-

a Expresa en forma decimal:8 35

;45 20

b Pasa a forma de fracción irreducible los números:

23,b.2)3,26b.1)

Solución:

a Efectuamos la división en cada caso:

80,17

4535

1,7520

b

50163

1003263,26b.1)

b.2) 10 32,222... 3,222...

299 29

9

NN

N N

Ejercicio nº 3.-

a Efectúa y simplifica:

22 1 2 1 1:

5 5 3 2 5

b Calcula:

3 42 2b.1) :

5 5

2 23 2b.2)

2 3

Solución:

22 1 2 1 1 4 1 2 5a) :

5 5 3 2 5 25 5 3 2

4 1 4 15 4 1 19 4 1925 5 6 6 25 5 6 25 30

24 95 71150 150 150

b3 4 12 2 2 5

b.1) :5 5 5 2

2 2 2 2 43 2 2 2 2 16b.2.)

2 3 3 3 3 81

Ejercicio nº 4.-

En el trayecto de vuelta del trabajo a su casa, Antonio ha hecho dos paradas. Llevando 2/5 del camino, paró en la gasolinera y, cuando llevaba 1/3 más del camino, paró a comprar pan. Sabiendo que le faltan 11,2 km para llegar, ¿cuál es la distancia de su casa al trabajo?

Solución:

Lleva recorrido:

camino del 1511

155

156

31

52

4Le faltan para llegar, que son 11,2 km; es decir:15

4 11,2 15 de 11,2 42 km15 4

x x

De su casa al trabajo hay 42 km de distancia.

Ejercicio nº 5.-

En unos zapatos de 65 € nos aplican un descuento del 15%. Calcula el precio que pagamos por los zapatos.

Solución:

Si nos descuentas el 15% pagamos el 85%

85% de 65 0,85 · 65 55,25

Pagamos por los zapatos 55,25 €.

Ejercicio nº 6.-

El precio de una cámara de fotos es de 145 € ya aplicado el 16% de IVA. ¿Cuánto cuesta la cámara sin IVA?

Solución:

Precio con IVA 145 €

16% de IVA I.V. 1,16

145Precio inicial 1,16 145 Precio inicial 125 1,16

El precio de la cámara sin IVA es de 125 €.

Ejercicio nº 7.-

Halla la suma de los quince primeros términos de una progresión aritmética en la que

a5 9,7 y a9 17,7.

Solución:

a9 a5 4d 17,7 9,7 4d 8 4d d 2

a1 a5 4d 9,7 8 1,7 a1 1,7

a15 a1 14d 1,7 28 29,7 a15 29,7

1 1515

15 1,7 29,7 15235,5

2 2a a

S

Ejercicio nº 8.-

Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética. Sabiendo que el menor mide 2 cm y que el perímetro es de 15,2 cm, ¿cuánto miden los otros tres lados?

Solución:

Los lados del cuadrilátero miden:

a1 2, a2 2 d, a3 2 2d y a4 2 3d

Su suma el perímetro es igual a 15,2 cm; es decir:

2 2 d 2 2d 2 3d 15,2

8 6d 15,2 6d 7,2 d 1,2 cm

Por tanto, los lados miden:

a1 2 cm

a2 2 1,2 3,2 cm

a3 3,2 1,2 4,4 cm

a4 4,4 1,2 5,6 cm

Ejercicio nº 9.-

El radio, elemento radiactivo, se descompone a razón del 4% por siglo. Si inicialmente partimos de 1 kg de radio, ¿cuántos gramos habrá al cabo de 1 000 años?¿Y al cabo de 2 000 años?

Solución:

La cantidad de radio que hay en cada siglo es una progresión geométrica, en la que sabemos que a1 1 000 g y r 0,96 Si se descompone el 4%, lo que queda es el 96%.

Al cabo de 1 000 años 10 siglos, habrá:

1 000 · 0,9610 664,83 g

Al cabo de 2 000 años 20 siglos, habrá:

1 000 · 0,9620 442 g

Ejercicio nº 10.-

De los siguientes números, indica cuáles son naturales, enteros, racionales o irracionales:

;; ; ; ; ; 3 6 3 3 510 25 64 105 18 1000 54

Solución:

2

6 66

33 3

25 5 5

64 2 2

1000 10 10

6

6 3

6 3

3 3 5

Naturales 25, 64

Enteros 25, 64, 1000

Racionales 25, 64, 1000

Irracionales 10, 105, 18, 54

ÁLGEBRA OPCIÓN A

Ejercicio nº 1.-

Efectúa y simplifica el resultado:

2 23a) 2 1 1 1 24

x x x x x

2b) 3 2 3 2 3 2 1x x x x

Solución:

2 2

3 2 2 2 3 2

3a) 2 1 1 1 243 3 5 52 2 2 24 4 4 4

x x x x x

x x x x x x x x x

2 2 2

3 2 3 2

b) 3 2 3 2 3 2 1 3 4 9 4 4 1

12 27 4 4 1 12 4 31 1

x x x x x x x x

x x x x x x x

Ejercicio nº 2.-

Efectúa y simplifica:

2 1a)1 1

x xx x x

22 2b) :1 1

x xx x

Solución:

2 2

2 2

2

2 1 2 1a)1 1 1 1 1

2 1 3 11

x x x x x xx x x x x x x x x

x x x x xx x x x

2 22 2 12b) : 21 1 1 2

x x xx xx x x x

Ejercicio nº 3.-

Resuelve esta ecuación:

3 2 1 7 83 1042 55 3 3 15 15x xx x

Solución:

3 2 1 7 83 1042 55 3 3 15 15x xx x

6 3 3 2 7 56 104105 3 3 15 15

x x x x

18 9 5 15 10 150 7 56 10415 15 15 15 15 15x x x x

18x 9 5x 15 10x 150 7x 56 104

18x 5x 10x 7x 56 104 9 15 150

16x 16 x 1

Ejercicio nº 4.-

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a 2x2 5x 3 0

b 2x2 3x 0

c) x2 100 0

Solución:

a 2x2 5x 3 03

5 25 24 5 49 5 74 4 4

1 2

xx

x

ƒ‚

b 2x2 3x 0

0

2 3 02 3 0 3 2

xx x

x x

ƒ‚

c) x2 100 0 x2 100. No tiene solución.

Ejercicio nº 5.-

Resuelve la siguiente ecuación:

22 1 73 2

3 2 3 3x x x x x x

Solución:

22 1 73 2

3 2 3 3x x x x x x

2 224 4 73 6

3 2 3 3x x x x x x x

2 2 22 8 8 3 3 2 18 36 146 6 6 6 6 6

x x x x x x x

2x2 8x 8 3x2 3x 2x 18x2 36x 14

2x2 3x2 18x2 8x 3x 2x 36x 8 14 0

13x2 29x 6 0

3 1329 841 312 29 529 29 23

26 26 262

xx

x

ƒ‚

Ejercicio nº 6.-

Resuelve estos sistemas:

a) 5 3 92 6 2

x yx y

b) 2 54 2 8

x yx y

Solución:

a) 5 3 92 6 2

x yx y

5 3 93 1

x yx y

5 1 3 3 9 5 15 3 9 12 41 3

y y y y yx y

4 112 3

y

11 3 1 3 1 1 23

x y

1 2 ;3

Solución : x y

2b) 2 5 4 2 104 2 8 4 2 8 Sumando: 0 18 No tiene solución.

x y x yx y x y

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

3 1 2 3 42 3 3

263 2 53 3

x y

xx y

Solución:

3 1 2 3 42 3 3

263 2 53 3

x y

xx y

3 3 2 6 42 3 3

263 2 103 3

x y

xx y

9 9 4 12 8

9 6 30 26

x y

x y x

9 4 13

10 6 4

x y

x y

13 413 4 4 69

4 6 9 1010

yxy y

yx

130 40 36 54 94 94 1y y y y

13 4 13 4 9 19 9 9

yx

Solución: x 1 ; y 1

Ejercicio nº 8.-

En un triángulo, sabemos que el mediano de sus ángulos mide el doble que el pequeño. Además, el mayor de ellos excede en 5 al mediano. ¿Cuánto miden sus ángulos?

Solución:

Llamamos x al ángulo pequeño; el mediano será 2x; y el mayor será 2x 5.

Por tanto:x 2x 2x 5 180

1755 175 35

5x x

Los ángulos miden 35, 70 y 75.

Ejercicio nº 9.-

Una piscina dispone de dos desagües. Si abrimos solamente el primero, la piscina se vacía en 3 horas; y, si abrimos los dos a la vez, se vacía en 2 horas. ¿Cuánto tardaría en vaciarse si abriéramos solamente el segundo desagüe?

Solución:

1Primer desagüe 3 horas vacía de piscina en 1 hora.31Segundo desagüe horas vacía de piscina en 1 hora.

1Los dos a la vez 2 horas vacía de piscina en 1 hora.2

xx

Por tanto:

1 1 1 1 1 1 1 1 63 2 2 3 6

xx x x

Si abriéramos solamente el segundo desagüe, la piscina se vaciaría en 6 horas.

Ejercicio nº 10.-

Resuelve la ecuación:

21 1 5

4x x

x x

Solución:

2

1 1 54

x xx x

2

2 2 2

4 1 4 1 54 4 4

x x x xx x x

2 24 4 4 4 5x x x x

2

24 4

2

xx x

x

ƒ‚

Las dos soluciones son válidas.

FUNCIONES OPCIÓN A

Ejercicio nº 1.-

Esta mañana, Elvira y sus padres fueron a casa de sus abuelos para pasar con ellos el fin de semana. La siguiente gráfica corresponde al viaje:

a ¿A qué distancia está la casa de los abuelos y cuánto tardaron en llegar?

b) Tuvieron que realizar tres paradas ¿en qué momentos y a qué distancia de su casa?

c) En el primer lugar que pararon dejaron olvidada una maleta y tuvieron que volver a recogerla. ¿Cuándo se dieron cuenta? ¿Cuánto tardaron en volver a por ella?

d) Describe el recorrido completo.

Solución:

a) Esta a 200 km de distancia y tardaron 5 horas en llegar.

b 1.a parada Al cabo de 1 hora, a 100 km de distancia.2.a parada Entre las 2,5 h y las 3 h del viaje, a 150 km de distancia.3.a parada Entre las 3,5 h y las 4 h del viaje, a 100 km de distancia.

c Se dieron cuenta en t 3 h. Tardaron media hora en volver a por ella.

d Salieron de su casa. Al cabo de 1 hora, cuando llevaban 100 km recorridos, hicieron una parada de media hora. Reanudaron la marcha y tardaron 1 h en llegar a un lugar, a 150 km de distancia de su casa, donde descansaron durante media hora. Se dieron cuenta de que les faltaba la maleta y volvieron a por ella, tardando media hora en llegar. Se quedaron otra media hora parados. Salieron de nuevo hacia su destino y tardaron 1 hora en llegar.

Ejercicio nº 2.-

La siguiente gráfica representa el caudal de agua de un río durante un cierto tiempo:

a ¿Durante cuánto tiempo se han tomado las medidas?b Describe el crecimiento y el decrecimiento del caudal.c ¿En qué momento el caudal es máximo? ¿Cuándo es mínimo?

Solución:

a Durante 1 año.

b Creciente Desde enero hasta abril y desde agosto hasta finales de año.Decreciente Desde abril hasta agosto.

c El caudal es máximo en abril y mínimo en agosto.

Ejercicio nº 3.-

Representa las siguientes funciones:

3a) 22

y x

b 3x 2y 1c y 2

Solución:

a Pasa por 0, 2 y 2, 1.

3 1b)2xy

Pasa por 1, 1 y 1, 2.

c Paralela al eje X.

Ejercicio nº 4.-

Halla la ecuación de cada una de estas rectas:

a Pasa por los puntos P1, 2 y Q1, 8.b Es paralela a 4x 2y 1 y pasa por el punto A0, 4.

Solución:

8 2 8 2 10a) 51 1 1 1 2

m

Ecuación puntopendiente:

8 5 1 5 3y x y x

b Paralela a 4x 2y 1 Tienen la misma pendiente.4 1 4 1 14 2 1 2 2

2 2 2 2xx y y x x m

Por pasar por A(0, 4) n 4La ecuación será: y 2x 4

Ejercicio nº 5.-

Un depósito contenía inicialmente 20 litros de agua cuando abrimos un grifo que arroja un caudal de 10 litros por minuto dejamos el grifo abierto durante 6 minutos.

a Halla la ecuación de la recta que nos da el contenido de agua del depósito en función del tiempo, desde que abrimos el grifo hasta que lo cerramos.

b Represéntala gráficamente.

c ¿Cuánta agua había en el depósito al cabo de los 5 minutos?

Solución:

a y 20 10x x desde 0 hasta 6 minutos

b

c Si x 5 minutos: y 20 10 · 5 20 50 70 litros

Ejercicio nº 6.-

Un ciclista sale a hacer ejercicio y pedalea a 15 km/h. Media hora más tarde sale en su busca un motorista a 60 km/h.a) Representa las funciones que dan el espacio recorrido por cada uno en función del

tiempo y escribe sus expresiones analíticas.b) ¿Cuánto tardará el motorista en alcanzar al ciclista?

Solución:

a) Espacio recorrido por el ciclista ( )15

en función del tiempo, en horas, transcurrido ( ). y

y xx

Espacio recorrido por el motorista ( ) 160en función del tiempo, en horas, transcurrido ( ). 2

yy x

x

Representamos ambas funciones:

115 60 60 302

y x y x y x

0 1 1 2 10 15 0 30

x xy y

b) El encuentro se producirá cuando ambos hayan recorrido la misma distancia, en este caso, a los 40 minutos de salir el ciclista.

GEOMETRÍA OPCIÓN A

Ejercicio nº 1.-

Indica el valor de los ángulos que faltan en las siguientes figuras:

Solución:

a) 50 ; 180 50 130 ; 130ˆˆ ˆB A C

b) 90 37 53 ; 90ˆ ˆX Y

c) 35 ; 2 35 70

Ejercicio nº 2.-

Observa la figura y dibuja el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de ambas rectas.

Solución:

ˆEl lugar geométrico obtenido es la bisectriz del ángulo .O

Ejercicio nº 3.-

Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En las que sean falsas, explica por qué:

a En un poliedro simple, la suma del número de caras, el de vértices y el de aristas es siempre igual a 2.

b El cubo y el dodecaedro son poliedros duales.

c El tetraedro es dual de sí mismo.

d La siguiente figura es un poliedro regular pues todas sus caras son triángulos equiláteros:

Solución:

a Falsa. En un poliedro simple, el número de caras, más el número de vértices, menos el número de aristas es siempre igual a 2 fórmula de Euler.

b Falsa. Son duales el cubo y el octaedro. También lo son el dodecaedro y el icosaedro.

c Verdadera.

d Falsa. Aunque todas sus caras sean polígonos regulares idénticos, en algunos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.

Ejercicio nº 4.-

a La siguiente figura es un ortoedro con dos dimensiones iguales. ¿Cuáles son sus planos de simetría?

b Dibuja una semiesfera e identifica sus ejes de simetría.

Solución:

a El ortoedro con dos dimensiones iguales es un prisma cuadrangular regular. Tiene cuatro planos de simetría, uno por cada eje de simetría de sus bases cuadrados. Y otro plano paralelo a las dos bases por los puntos medios de las aristas laterales.

b

Este eje pasa por el centro de la esfera y es perpendicular a la base de la semiesfera. Es de orden infinito.

Ejercicio nº 5.-

Halla la longitud de la apotema de un hexágono regular de 8 cm de lado.

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:2 2 2 2 28 4 64 16 64 16a a a

2 48 48 6,93 cma a

Ejercicio nº 6.-

Halla la generatriz de un tronco de cono de 15 cm de altura en el que la longitud de la base mayor es de 50,24 cm, y la de la base menor, 18,84 cm.

Solución:

Hallamos el radio de la base mayor:

50,24 50,242 50,24 cm 8 cm2 6,28

R R

Hallamos el radio de la base menor:

18,84 18,842 18,84 cm 3 cm2 6,28

r r

Por tanto:

2 22 215 8 3 250 15,81cmg h R r

Ejercicio nº 7.-

Halla el área de la parte coloreada:

10 cm16 cm

5 cm

ABCDAC BD

Solución:

2 22

18 60Área del sector circular 33,51cm

360 360r A

hÁrea del triángulo equilátero2

B

2 2h 8 4 64 16 48 6,93 cm

22

8 6,93Área del triángulo 27,72 cm2

A

Área del trapecio

2B b H

2 25 3 25 9 16 4 cmH

23

16 10 4Área del trapecio 52 cm

2A

2 2 24Área del círculo 2 4 12,57 cmR A

Área total A1 A2 A3 A4 33,51 27,72 52 12,57 45,22 cm2

Ejercicio nº 8.-

Halla el área total de un tronco de pirámide de 9 cm de altura cuyas bases son cuadrados de lados 15 cm y 12 cm, respectivamente.

Solución:

2 21Área de la base menor 12 144 cm A

2 22Área de la base mayor 15 225 cm A

Área de una cara lateral

2B b H

Altura de una cara lateral:

2 29 1,5 81 2,25 83,25 9,12 cmH

215 12 9,12Área de una cara lateral 123,12 cm

2

Área de las cuatro caras laterales 4 · 123,12 492,48 cm2 A3

Área total A1 A2 A3 144 225 492,48 861,48 cm2

Ejercicio nº 9.-

Halla el volumen de cada uno de los siguientes cuerpos geométricos:

a El mayor cilindro inscrito en este prisma:

b

diámetro 7 m

Solución:

a El radio de la base del cilindro coincide con la apotema de la base del prisma:

2 2 26 3 36 9 27r

La altura del cilindro coincide con la altura del prisma.2 3Volumen h 27 10 270 847,8 cmr

b Radio de la esfera 7 : 2 3,5 m

3 3 34 4Volumen 3,5 179,50 m3 3

R

Ejercicio nº 10.-

Dibuja la figura, F, de vértices A3, 1, B1, 1, C1, 3 y D4, 3.

a) Obtén la figura, , que resulta al aplicarle a una traslación de vector 7, 3 .F F t

b Aplica a F ' una simetría cuyo eje sea el eje X.

Solución:

Ejercicio nº 11.-

a Describe un movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F2.

b Describe otro movimiento que transforme el triángulo F1 en el triángulo F3.

Solución:

a Simetría de eje e.

b) Traslación de vector 2, 3 .t

Hay otras soluciones.

Ejercicio nº 12.-

a Completa el siguiente friso e indica cuál es el motivo mínimo:

¿Cuál es la translación que transforma la figura en sí misma?

b Completa el siguiente rosetón e indica cuál es su orden de giro:

Solución:

a

La parte señalada, es el motivo mínimo.Es invariante ante la traslación de vector .u

b

El orden de giro de este rosetón es 4.

ESTADÍSTICA Y AZAR OPCIÓN A

Ejercicio nº 1.-

a Haz una tabla de frecuencias en la que se refleje el número de veces que aparece repetida cada una de las vocales en esta frase:

"La felicidad no consiste en tener siempre lo que se quiere, sino en querer siempre lo que se tiene".

b Representa gráficamente la distribución anterior.

Solución:

aVOCAL fi

a 2 e 20 i 8 o 5 u 4 39

b

Ejercicio nº 2.-

Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse o no en esa revista. Las respuestas obtenidas se reflejan en esta tabla:

EDAD 10 - 13 13 - 16 16 - 19 19 - 22 22 - 25 25 - 28

N. DE LECTORES 110 248 115 20 4 3

a Calcula la media y la desviación típica.

b Calcula qué porcentaje de lectores tiene menos de 19 años. ¿Qué observas?c En otra encuesta realizada, la edad media era de 30,4 años y la desviación típica, de

3,2. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara las dispersiones.

Solución:

a Hallamos la marca de clase, xi, de cada intervalo y hacemos la tabla:

Intervalo xi fi fixi fixi2

10 13 11,5 110 1 265 14 547,5

13 16 14,5 248 3 596 52 142

16 19 17,5 115 2 012,5 35 218,75

19 22 20,5 20 410 8 405

22 25 23,5 4 94 2 209

25 28 26,5 3 79,5 2 106,75

500 7 457 114 629

Media:

7457 14,914500

i if xxn

Desviación típica:

22 2114629 14,914 6,83 2,61

500i if x

xn

b Por debajo de 19 años hay 110 248 115 473 lectores de 500. Luego:

473 100 94,6500

El 94,6% de los lectores tiene menos de 19 años. Por tanto, es una revista dedicada a adolescentes.

11

1

22

2

2,61c) C.V 0,17514,914

3,2C.V. 0,10530,4

.x

x

La variación es algo mayor en el primer caso.

Ejercicio nº 3.-

En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul. Sacamos una bola y anotamos su color. Escribe el espacio muestral y califica cada suceso según su probabilidad:

TIPO DE SUCESO SUCESO

Seguro Sacar bola roja o azul.

Sacar bola azul.

Sacar bola verde.

Sacar bola roja.

Solución:

E R, A

TIPO DE SUCESO SUCESO

Seguro Sacar bola roja o azul.

Posible Sacar bola azul.

Imposible Sacar bola verde.

Muy probable Sacar bola roja.

Ejercicio nº 4.-

En un bombo se introducen 100 bolas numeradas del 0 al 99. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a La bola extraída contenga un número de dos cifras.

b El número extraído sea menor que 10.

Solución:

S90a) 0,9

100P

S10b) 0,1

100P

Ejercicio nº 5.-

Al lanzar 1 000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:

a ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 6?

b Calcula las frecuencias relativas de cada suceso.

c Estima la probabilidad de obtener par con ese dado.

Solución:

a 171

b CARA FREC. FRECUENCIAS RELATIVAS

1 175 175/1 000 0,175

2 166 166/1 000 0,166

3 171 171/1 000 0,171

4 160 160/1 000 0,160

5 157 157/1 000 0,157

6 171 171/1 000 0,171

PAR PAR166 160 171 497c) 0,497

1000 1000rP f

Ejercicio nº 6.-

Hemos preguntado a 1 600 personas por el número de viajes que realizan anualmente por motivos laborales y las respuestas fueron:

N. DE VIAJES 0 1 2 3 4 o más

N. DE PERSONAS 224 320 768 192 96

a Haz una taba de frecuencias.

b Expresa el número de personas en porcentaje y representa gráficamente la distribución. ¿Qué porcentaje viaja como mínimo 2 veces al año?

Solución:

a xi n. de viajes

xi fi 0 224 1 320 2 768 3 192

4 96

224 100b) No viajan en todo el año 224 personas de 1600 14% 1600

320 1001 viaje al año lo hacen 320 personas 20% 1600

768 1002 viajes al año los realizan 768 personas 48% 1600

192 1003 viajes al año los hacen 192 personas 12%1600

96 1004 viajes anuales o más los hacen 96 personas 6%1600

Representamos los resultados obtenidos en un diagrama de barras verticales:

Los que viajan como mínimo 2 veces al año son los que viajan 2, 3, 4 o más veces, es decir, 48% 12% 6% 66% de los encuestados.

DE LOS 5 BLOQUES SOL A

Ejercicio nº 1.-

a Dados los siguientes números, clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

7 124,375; 8,37; 36; 34; ;4 6

b Representa los siguientes números sobre la recta:

4 ; 3; 3,23

Solución:

a) Naturales 3612

Enteros 36;6

7 12Racionales 4,375 ; 8,37 ; 36 ; ;

4 6Irracionales 34

b

Ejercicio nº 2.-

Expresa en notación científica y calcula:

211,3 0,0030,000125

Solución:

Expresamos los números en notación científica:

11,3 1,13 · 10

0,003 3 · 103

0,000125 1,25 · 104

Por tanto:

22 3 6 51

4 4 4

1,13 10 3 1011,3 0,003 1,13 10 9 10 10,17 10 8,136 100,000125 1,25 10 1,25 10 1,25 10

Ejercicio nº 3.-

a Calcula y simplifica el resultado:

23 5 1 12,164 2 2 4

b Simplifica:

4 2

13 9

3

Solución:

a) Expresamos N 2,16 en forma de fracción:

100 N 216,66610 N 21,666

195 1390 N 195 N90 6

Operamos y simplificamos:

213 3 5 1 1 13 15 1 1 13 15 2 52 45 12 56 4 2 2 4 6 8 4 4 6 8 4 24 24 24 24

4 2 4 41

1 1

3 9 3 3b) 3 33 3

Ejercicio nº 4.-

El precio de un artículo, con IVA, era de 1 444,2 €.

a Si lo rebajan en un 8%, ¿cuál será su precio actual?b Halla cuál era su precio sin IVA, antes de la rebaja, sabiendo que el IVA es el 16%.

Solución:

a 1 444,2 · 0,92 1 328,664 1 328,66 €

b 1 444,2 : 1,16 1 245 €

Ejercicio nº 5.-

En una progresión aritmética, a8 22 y a12 32. Halla la suma de los dieciseis primeros términos.

Solución:

a12 a8 4d 32 22 4d 10 4d d 2,5

a1 a8 7d 22 7 · 2,5 22 17,5 4,5 a1

a16 a1 15d 4,5 15 · 2,5 4,5 37,5 42

1 1616

16 4,5 42 16372

2 2a a

S

Ejercicio nº 6.-

Opera y simplifica:

222 3 1 2 1 2 1 2 1x x x x x

Solución:

22 3 2 2 2

3 2 2 2 3 2

2 3 1 2 1 2 1 2 1 6 2 4 4 1 4 1

6 2 4 4 1 4 1 6 2 4 2

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

Ejercicio nº 7.-

Resuelve:

3 1 2 5 1 1 3a) 54 5 4 2 8

x x x x

2b) 2 3 3 5 2 2x x x

c) 4 12 23 6 2

x yy x

Solución:

3 1 2 5 1 1 3a) 54 5 4 2 8

x x x x

3 3 2 5 1 5 34 5 4 8 1 8

30 30 16 40 10 5 200 1540 40 40 40 40 40

x x x x

x x x x

30 30 16 40 10 5 200 15x x x x

30 16 10 200 30 40 5 15x x x x

176 0 0x x

2 2b) 2 3 3 5 2 2 2 5 0 2 5 0x x x x x x x

1

2

052 5 0 2 52

x

x x x

ƒ‚

c) 4 12 2 4 2 12 2 63 6 2 2 3 6 2 3 6

Sumando: 2 0 0

x y x y x yy x x y x y

y y

124 12 2 12 3 34

x y x x

Solución: x 3 ; y 0

Ejercicio nº 8.-

En un rectángulo de 120 cm2 de área, la base excede al triple de la altura en 2 unidades. Halla la longitud de la base y la de la altura.

Solución:

2

2 2

Base 3 2 Área 3 2 120 cmAltura 3 2 120 3 2 120 0

x x xx x x x x

402 4 1440 2 1444 (no válida)2 386

6 6 6 6

xx

x

ƒ‚

3 2 18 2 20x

Solución: La base mide 20 cm y la altura, 6 cm.

Ejercicio nº 9.-

Halla el valor de los ángulos señalados en cada figura:

Solución:

ˆ ˆa) 90 ; 90 28 62x y

ˆˆ ˆb) 180 58 122 ; 58A B C

c) 27 ; 2 27 54

Ejercicio nº 10.-

Halla la altura de este tronco de cono:

Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

2 2h 15 9 225 81 144 12 cm

Ejercicio nº 11.-

a Halla el área de esta figura:

b Halla el volumen de un cono de 16 cm de generatriz cuya circunferencia básica mide 18,84 cm.

Solución:

a

Hallamos la longitud de la base mayor del trapecio:

2 25 4 25 16 9 3 cmx

Base mayor 4 2x 4 6 10 cm

21

h 10 4 4Área del trapecio 28 cm

2 2b b

A

2 22

25Área del semicírculo 12,5 39,25 cm

2 2r A

Área total A1 A2 28 39,25 67,25 cm2

b

Hallamos el radio de la base:

18,84 18,842 18,84 cm 3 cm2 6,28

r r

Hallamos la altura del cono:

2 2h 16 256 9 247 15,72 cmr

2 2 31 1Volumen h 3 15,72 148,08 cm3 3

r

Ejercicio nº 12.-

a Obtén la figura transformada de F al aplicarle un giro de centro O0, 0 y ángulo 90.

b Describe un movimiento que transforme F1 en F2:

Solución:

a

b Simetría cuyo eje es el eje Y.

Ejercicio nº 13.-

La siguiente gráfica muestra el peso de un chico desde que nace hasta que cumple 20 años:

a ¿Cuál es el dominio de definición?

b ¿Es una función continua o discontinua?

c ¿Cuál es el peso a los 3 años de edad?

d ¿A qué edad pesa 55 kg?

e Explica si es una función creciente o decreciente.

Solución:

a De 0 a 20 años.

b Es continua.

c 10 kg, aproximadamente.

d A los 15 años, aproximadamente.

e Es una función creciente porque al aumentar la edad, aumenta el peso.

Ejercicio nº 14.-

a Representa gráficamente la función 3x 4y 2, y comprueba si el punto 2,64; 2,48pertenece o no a la recta.

b Observa la gráfica y escribe la ecuación correspondiente:

Solución:

3 2a) 3 4 24xx y y

Pasa por 2, 1 y 2, 2:

Comprobamos si el punto 2,64; 2,48 cumple la ecuación de la recta:

3 · 2,64 4 · 2,48 7,92 9,92 2

Luego el punto si pertenece a la recta.

b Como no pasa por el origen, la ecuación de dicha recta será de la forma y mx n:

El punto de corte con el eje Y es 0, 3 n 3

Por cada unidad que se avanza en la x , se bajan 2 unidades en la y m 2

La ecuación es y 2x 3.

Ejercicio nº 15.-

Un fontanero nos cobra por venir a nuestro domicilio 10 € más 8 € por cada hora de trabajo.

a Halla la ecuación de la recta que relacione el coste, y, de una reparación en función del tiempo que tarde en hacer el trabajo, x. Represéntala gráficamente.

b Si tarda tres horas y media en realizar el trabajo, ¿cuánto pagaremos?

Solución:

a y 10 8x

b Si x 3,5 y 10 8x 10 8 · 3,5 10 28 38

Pagaremos 38 €.

Ejercicio nº 16.-

a) En una bolsa hay cuatro bolas, cada una con uno de los números 1, 2, 3, 4. Extraemos dos bolas y sumamos los números obtenidos. Hemos repetido la experiencia 60 veces, obteniendo los siguientes resultados:

SUMA 3 4 5 6 7 N. DE VECES 8 12 21 9 10

Halla la media y la desviación típica de esta distribución.

b Hemos lanzado dos dados 200 veces, anotando la suma que obteníamos. La media ha sido 7 y la desviación típica 2,43. Calcula el coeficiente de variación en este caso y en el anterior y di en cuál de ellos la variación relativa es mayor.

Solución:

a)xi fi fixi fixi

2

3 8 24 72

4 12 48 192

5 21 105 525

6 9 54 324

7 10 70 490

60 301 1 603

Media:

301 5,0260

i if xxn

Desviación típica:

22 21603 5,02 1,52 1,23

60i if x xn

11

1

22

2

1,23C.V. 0,245b)5,02

La dispersión es mayor en el segundo caso.2,43C.V. 0,347

7

x

x

Ejercicio nº 17.-

En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos una bola al azar y anotamos su número.

a Escribe el espacio muestral.

b Describe los sucesos:A "obtener número par"B "obtener menos de 5"C "obtener un número de dos cifras"

Solución:

a E {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b A {2, 4, 6, 8, 10} ; B {1, 2, 3, 4} ; C {10}

Ejercicio nº 18.-

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Halla la probabilidad de que:

a Sea un as.

b No sea un rey.

Solución:

AS4 1a) 0,1

40 10P

NO REY36 9b) 0,940 10

P