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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
1
COMPARANDO AS GEOMETRIAS EUCLIDIANA E NÃO-EUCLIDIANAS
Luzia Dogani Garcia1
Dr. Doherty Andrade2
RESUMO:
O presente artigo é o resultado final obtido na Implementação do Projeto de
Intervenção Pedagógica do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da
Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED), aplicado no Colégio
Estadual José Luiz Gori Ensino Fundamental, Médio e Profissionalizante de
Mandaguari. Considerando que a Matemática não é um conjunto de
conhecimentos universais e teoricamente definidos, mas sim uma disciplina com
saber dinâmico, e em construção pretendeu-se abordar a Geometria de maneira
significativa, fazendo comparações, entre a Geometria Euclidiana e a Geometria
Não-Euclidiana com o emprego de Recursos Didáticos como mediadores dos
processos e construção do conhecimento. O Projeto inclui, entre outras ações, a
execução de atividades no laboratório de informática com o software GEOGEBRA
com a intenção de oferecer aos alunos do Ensino Médio, confiança para buscar
novas experiências de aprendizagem, despertando o interesse por um conteúdo
pouco explorado e tornando as aulas mais criativas e contextualizadas
_________________________________________________________________
1 Professora da rede Pública Estadual, graduada em Ciências com Habilitação em Matemática e
Especialista em Fundamentos e Ensino da Matemática. E-mail; [email protected].
2 Professor Dr. Orientador do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá,
graduado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo (UFES), Mestrado em
Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC/RJ), doutorado em
Matemática pela Universidade de São Paulo (USP) e Pós-Doutorado pelo Laboratório Nacional de
Computação Científica (LNCC). E-mail: [email protected].
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Palavras-chave: Geometria Euclidiana; Geometria Esférica; Geometria
Hiperbólica; Comparando; Geogebra.
COMPARING THE EUCLIDEAN GEOMETRY AND NON-EUCLIDEAN
ABSTRACT:
The present article is the final result obtained in the Implementation of the
Pedagogic Intervention Project in the Educational Development Program (EDP) of
Parana State Department applied in the State School Jose Luiz Gori Mandaguari
Elementary School, High and Vocational. Considering that the Mathematics is not
a universal knowledge group and theoretically defined, but a discipline with
dynamic knowing, and in construction, intended to approach the Geometry in a
significant way, making comparisons between the Euclidean Geometry and Non-
Euclidean Geometry, in the plan spaces, spherical and hyperbolic with the Didactic
Resources add, as teach and learn processes mediators, looking for to be biased
toward the understanding and knowledge construction. The Project includes,
among other actions, the execution of activities in the computer science laboratory
with the GEOGEBRA software with the propose of offering to the High School
students, self-confidence to look for new learning experiences, arousing interest
for a content less explored and to make most creative classes and contextualized.
Key Words: Euclidean Geometry. Spherical Geometry. Hyperbolic Geometry.
Comparing. Geogebra.
INTRODUÇÃO
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A função da Escola além de transmitir conteúdos está em socializar os
conhecimentos científicos produzidos pela humanidade nas diferentes áreas,
levando os alunos a se tornarem cidadãos autônomos, empregando os
conhecimentos acadêmicos em suas vidas. Na era tecnológica, as informações e
os saberes, estão acessíveis a todos, sejam por meios eletrônicos ou impressos,
portanto, o preparo do professor torna-se cada vez mais complexo, com a
necessidade de uma reestruturação no processo de ensinar e aprender
Matemática.
Nesse sentido, a presença das Geometrias no currículo escolar é de grande
relevância para a formação do educando, por favorecer o desenvolvimento de um
tipo de pensamento que possibilita a compreensão e a representação de modo
sistematizado de elementos do cotidiano, contribuindo para o desenvolvimento da
capacidade de observar o espaço tridimensional, adquirindo habilidade em
resolução de problemas.
Cumpre destacar que a Secretaria do Estado do Paraná (SEED) incluiu nas
Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do
Paraná, noções básicas de Geometria Não-euclidianas para o Ensino Médio. No
entanto, a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas
vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas.
Deste modo o Projeto de Intervenção aplicado no Colégio Estadual José Luiz Gori
Ensino Médio de Mandaguari, apresentou uma nova visão de que a Matemática
não é um conjunto de conhecimentos universais e teoricamente definidos, mas
sim uma disciplina com saber dinâmico, e em construção. Levou-se em
consideração que na natureza, com sua forma elipsoidal, as montanhas, as ondas
do mar, nem tudo é tão regular. Fez-se necessário a abordagem desses
conteúdos com novas formas de compreensão, de modo que se construiu e
sistematizou conceitos de um mundo com diferentes espaços geométricos,
possibilitando o desenvolvimento da argumentação, da formulação de conjecturas
e do raciocínio dedutivo na prática pedagógica.
Esta Produção foi construída, após muita pesquisa, com a abordagem centrada
no histórico de cada geometria, contendo textos de fundamentação com as
respectivas atividades, envolvendo recursos de materiais manipuláveis e do
Software GEOGEBRA, que deram suporte para uma aprendizagem significativa e
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viável comparando as geometrias nos três espaços uniformes: Espaço Euclidiano,
Espaço Esférico e Espaço Hiperbólico.
Com o uso da Geometria dinâmica, foi possível não apenas oferecer a
possibilidade de efetuar qualquer construção geométrica de modo mais rápido e
preciso do que no ambiente papel e lápis, mas também permitiu uma visualização
de maneira mais agradável das propriedades e relações geométricas.
Com a realização dessas e ainda outras ações que foram oportunas no decorrer
do Programa acreditaram-se estar otimizando o processo de ensinar e aprender
Geometria, levando o aluno a fazer reflexões e comparações dos conceitos
geométricos nos três espaços – plano, hiperbólico e esférico.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Geometria Euclidiana
A Geometria Euclidiana surge com Euclides, matemático da biblioteca de
Alexandria, cerca de 300 anos a.C., responsável pela compilação de praticamente
toda a matemática desenvolvida em uma grandiosa obra de treze volumes
chamada “Os Elementos”.
Na obra de Euclides temos dez axiomas, sendo cinco “noções comuns” que
segundo ele seriam verdades aceitas sem contestações em qualquer ciência, e
cinco “postulados” que, seriam preposições específicas da geometria e que
também deveriam ser aceitas sem contestações. Os treze volumes dos
Elementos contem 465 proposições, sendo 93 problemas e 372 teoremas. Do
volume I ao VI trata-se da Geometria Plana; do volume VII ao X a Teoria dos
Números e do XI ao XIII a Geometria Espacial.
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No Ensino Médio são apresentados aos alunos em atividades os cinco famosos
postulados do volume I dos Elementos:
1º Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhido à vontade.
2º Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3º Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários.
4º Todos os ângulos retos são iguais.
5º Num plano, por um ponto fora de uma reta existe uma e somente uma paralela
à reta dada.
A complexidade de formulação do quinto postulado fez com que diversos
matemáticos tentassem deduzi-lo dos demais axiomas e postulados, buscando
demonstrá-lo como um teorema. Porém, essa pretensão não foi alcançada,
porque o 5º Postulado não é uma consequência lógica dos quatro anteriores.
Se a Geometria Euclidiana é válida para superfícies planas, então como podemos
definir situações geométricas sobre uma superfície curva, como por exemplo, a
superfície da Terra? Para isso a Geometria Euclidiana com certeza não é
satisfatória.
Sabemos que na Geometria Euclidiana a soma dos ângulos internos de um
triângulo é sempre igual a 180°. Quando traçamos o mesmo ângulo sobre uma
superfície curva, isso já não é verdade. Era preciso então estabelecer uma nova
geometria que pudesse resolver essa questão. Para desenvolver uma geometria
de espaços curvos foi necessária a colaboração de pesquisadores que marcaram
a história da matemática. Entre esses nomes estavam Gauss, Bolyai,
Lobachevsky e Riemann. Basicamente, o que esses pesquisadores investigaram
era o que ocorreria se eles desprezassem o quinto postulado de Euclides e
considerassem exatamente o oposto, ou seja, que através de um ponto C não
situado sobre uma linha reta AB, pudéssemos traçar não uma, mas duas, e
consequentemente um número infinito, de linhas paralelas a AB. A tarefa agora
passava a ser construir uma Geometria baseada nesse novo axioma. Após anos
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de estudos os matemáticos descobriram que tinham uma nova e elegante
Geometria com várias características interessantes e únicas. Surgia assim a
Geometria Não-euclidiana.
Geometria Não-euclidiana
Suponha que a terra é perfeitamente esférica e que ela é habitada por “seres
planos”. Lembre-se que estas criaturas se deslocam se arrastando sobre a
superfície terrestre.
O método usado por estas criaturas para identificar “linhas retas”, aquelas linha
de mais curta distância entre dois pontos, consiste em estender linhas através da
superfície conectando dois pontos quaisquer. Para essas criaturas essa linha
parece ser uma reta à medida que elas se movem ao longo delas, uma vez que
as direções de chegada ou de partida dessas criaturas em qualquer ponto sobre a
linha têm ângulo zero entre elas.
Baseados nesta ideia os “seres planos” descobrem que todas as linhas retas se
interceptam e que se movendo ao longo de qualquer linha reta eles finalmente
retornam ao seu ponto de partida. Eles descobrem também que a soma de três
ângulos internos de qualquer triângulo que eles desenham sobre a Terra não é
mais 180°, em vez disso sempre excede dois ângulos retos.
Ao contrário da Geometria Euclidiana, passamos agora a representar geometria
sobre a superfície de uma esfera ou de um hiperbolóide.
Em uma superfície esférica tem-se uma curvatura positiva enquanto que a
superfície de um hiperbolóide tem-se curvatura negativa.
Em uma superfície com curvatura positiva a soma dos ângulos internos de um
triângulo traçado nessa superfície é maior que 180 graus.
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No caso da superfície com curvatura negativa a soma desses ângulos será menor
que 180 graus.
De todos os possíveis espaços Não-euclidianos existem somente dois que
também são uniformes do mesmo modo que o espaço Euclidiano. Ambos foram
descobertos no século XIX. O primeiro tem uma Geometria Hiperbólica e o
segundo tem a Geometria Esférica.
Comparando as Geometrias
O desafio hoje é a busca de um Ensino Médio que ofereça uma formação não
mais voltada para a teoria da atividade, mas sim para a teoria da criatividade.
Hoje vivemos uma situação diferente. Entre os objetivos de pesquisa estão o
papel das motivações e das emoções nos atos de formulação e valorização dos
resultados.
O desenvolvimento da tecnologia, da informática, da informação produz não
somente mudanças consideráveis na atividade humana, mas passa a ter uma
nova função que é o aprimoramento do educando como pessoa humana,
incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do
pensamento crítico.
Só será possível a formação de alunos críticos se as aulas forem ministradas com
a função de instigá-los a pesquisarem utilizando os mais variados recursos, para
enriquecer o processo de investigação e produção de conhecimento. Não se trata
de ditar receitas para serem seguidas, mas de explicitar possíveis caminhos.
Introduzir o conteúdo da Geometria fazendo comparações entre as mesmas
implica mudança de ação docente, pois requer uma postura que tenha como foco
a aprendizagem significativa, conectada com o interesse dos alunos e articulada
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com a busca, a reflexão, a pesquisa, favorecendo uma visão mais ampla,
relacionando conhecimentos prévios com os novos.
Na aprendizagem significativa é viável comparar as geometrias nos três espaços
uniformes.
Espaço Euclidiano
- através de um ponto dado podemos traçar somente uma paralela a uma
linha reta.
- a soma dos ângulos interiores de um triângulo é igual a dois ângulos
retos.
- a circunferência de um círculo é igual a vezes o seu diâmetro.
Espaço Esférico
- através de um ponto dado não podemos traçar nenhuma paralela a uma
linha reta.
- a soma dos ângulos interiores de um triângulo é maior do que dois
ângulos retos.
- a circunferência de um círculo é menor que π vezes o seu diâmetro.
Espaço Hiperbólico
- através de um ponto dado podemos traçar mais de uma paralela a uma
linha reta.
- a soma dos ângulos interiores de um triângulo é menor do que dois
ângulos retos.
- a circunferência de um círculo é maior do que π vezes o seu diâmetro.
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Ensinar contextualmente constrói o entendimento
A maioria das aulas do Ensino Médio é ministrada fora de contextos, onde os
alunos são induzidos a aprender/memorizar processos algorítmicos, vocabulários
e conceitos abstratos, com exercícios de repetição, fixação, sendo avaliados com
questões que testam suas habilidades em recordar e reproduzir.
O objetivo fundamental do ensino contextualizado é fornecer ingredientes que
aumente o interesse dos alunos, que conseguem visualizar a transferência do
conteúdo acadêmico a novas situações.
A metodologia do ensino contextualizado visa estimular cinco formas essenciais
de aprendizado, conhecida como estratégia R.E.A.C.T.: Relacionar; Experimentar;
Aplicar; Cooperar e Transferir.
Relacionar: O ideal seria que professores conduzissem os alunos de uma
atividade para outras, encorajando-os a relacionar o que estão aprendendo
com experiências reais.
Experimentar: O aluno deixa de ser passivo e passa a manipular
equipamentos, materiais e se interessam ativamente por novas pesquisas.
Aplicar: Levar os estudantes a um futuro imaginário, adquirindo uma
noção realista, que faça conexão entre a atividade escolar e a vida
profissional.
Cooperar: Estratégia fundamental não só para a aprendizagem de
conteúdos, mas para desenvolver habilidades de dividir informações
livremente, de trabalhar em equipe, de se comunicar efetivamente.
Transferir: Ajuda a manter a segurança e aumentar a auto-confiança, pois
a construção de novos conhecimentos são baseadas no que eles já
sabem.
Podemos citar um simples exemplo da distinção entre ignorar e aproveitar-se da
experiência dos alunos.
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As crianças vivenciam linhas paralelas muito antes de entrar na escola. Quando
as linhas paralelas são ensinadas em Geometria, o aluno já viu vários exemplos
em cercas, janelas, brinquedos mecânicos, quadros e outros. Ao invés de
referirem-se as linhas paralelas dialogando sobre conceitos já existentes, é,
comum professores desenharem linhas paralelas no quadro-negro e fornecer uma
definição. Os alunos, obedientemente, irão copiar essa nova informação no
caderno, e decorá-la para a prova. Linhas paralelas torna-se de repente uma nova
informação abstrata armazenada no cérebro como um fato isolado.
Muitos conceitos ensinados são baseados na crença equivocada de que se
podem ensinar os alunos a ler e escrever, separando o significado e o objeto. As
transformações a serem feitas na educação requer de educadores, mudanças
consideravelmente perceptíveis.
O aluno precisa estar envolvido com o falar, ouvir, ler, opinar, atuar e avaliar, e
não simplesmente estar preocupado em estudar para a prova.
De acordo com a teoria da aprendizagem contextualizada alunos só aprendem
quando processa nova informação ou conhecimento que faz sentido para ele em
sua própria estruturação de referência (seu mundo interior de memória; Carl
Sagan (1977), assim se posiciona em relação ao ensino e aprendizagem.
“Como uma consequência das enormes mudanças sociais e
tecnológicas dos últimos séculos, o mundo não está funcionando bem.
Nós não vivemos em sociedades tradicionais e estáticas. Mas nossos
governantes, em oposição, agem como se vivêssemos. Ao menos que
nos destruamos completamente, o futuro pertencerá àquelas sociedades
que, embora não ignorem a parte réptil e mamífero de nosso ser,
permitam que os componentes de nossa sociedade caracteristicamente
humana prosperem: àquelas sociedades estimulem a diversidade ao
invés do conformismo; àquelas sociedades dispostas a investir em uma
variedade de experimentos sociais, políticos, econômicos e culturais e
preparadas para sacrificar vantagens a curto prazo por benefícios a
longo prazo; àquelas que tratem novas ideias como trilhas delicadas,
frágeis e imensamente valiosas para o futuro”. (p.203-204).
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O aluno precisa estar envolvido com o falar, ouvir, ler, opinar, atuar e avaliar, e
não simplesmente estar preocupado em estudar para a prova.
No Ensino Médio, aprofundam-se os estudos das noções de geometria não-
euclidiana ao abordar a geometria dos fractais, geometria hiperbólica e elíptica.
Coutinho (2001,p.36) salienta a importância da nova geometria:
A Geometria Euclidiana, transmitida de geração a geração por mais de
dois mil anos, não era única. As mentes criativas dos matemáticos
Bolyai, Lobachewsky, Gauss e Riemann lançaram as bases de outras
geometrias tão logicamente aceitas quanto a Euclidiana. Uma dessas
geometrias não-euclidianas encontra aplicação na Teoria da relatividade,
o que se justifica, pois sendo curvo o universo eisteniano, a Geometria
Euclidiana não é adequada.
As Mídias na Educação Matemática.
A criança, ao chegar à escola, já passou por processos de educação importantes:
pelo familiar e pela mídia eletrônica. Diante dessa nova realidade o ensino da
Matemática, não pode continuar pautado, na prática que valoriza a memorização
de fórmulas, regras, definições e resolução de baterias de exercícios mecânicos,
com problemas resolvidos através de modelos.
Nesse sentido, Pais (2002), alerta para a urgência da superação dessa prática,
abrindo espaço para uma educação de significados, alegando estar longe das
necessidades atuais essa concepção de ensinar e aprender Matemática.
O baixo índice de aproveitamento em avaliações como a Olimpíada Brasileira de
Matemática e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), talvez se deva ao fato,
de as escolas continuarem ministrando conteúdos dentro de uma tendência
tradicional onde o aluno é levado a decorar conteúdos sem significados, com
avaliações que não requer raciocínio lógico.
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As tecnologias quando empregadas no ensino podem facilitar o trabalho do
professor no processo de ensino-aprendizagem e são pontes que abrem a sala de
aula para o mundo, mas é fundamental que esse profissional esteja preparado
para adequar cada habilidade a cada situação de aprendizagem, fazendo
questionamentos, incentivando a visualização dos conteúdos por novos ângulos,
a relativizar dados e tirar conclusões.
A educação deve ser vista como um processo de construção da consciência
crítica e a escola precisa exercitar as novas linguagem que sensibilizam e
motivam os alunos conseguindo através das mídias contrapor à educação
convencional, educando com entretenimento.
Moran (2007) argumenta:
“A simples introdução dos meios e das tecnologias na escola pode ser a
forma mais enganosa de ocultar seus problemas de fundo sob a égide da
modernização tecnológica. O desafio é como inserir na escola um
ecossistema comunicativo que contemple ao mesmo tempo:
experiências culturais heterogêneas, o entorno das novas tecnologias da
informação e da comunicação, além de configurar o espaço educacional
como um lugar onde o processo de aprendizagem conserve seu
encanto”.
Portanto, a utilização de recursos tecnológicos, deve estar em consonância com
os objetivos propostos pelo professor em seu planejamento e com conteúdos que
atendam as diretrizes curriculares.
Para que os recursos selecionados não se tornem improdutivos por problemas de
mau emprego, previamente devem-se tomar alguns cuidados como:
- examinar o funcionamento de aparelhos;
- utilizar no momento oportuno;
- integrar com o conteúdo do momento;
- controlar o tempo disponível;
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- estudar todas as fontes que expliquem maneiras mais efetivas e eficientes de
utilização.
A posição do professor no processo educativo com meios tecnológicos deve
mostrar sempre que os meios nunca podem substituí-lo, para tanto o ato
educativo não deve ser direcionado como transmissão de sentido único,
mostrando que os recursos não são panacéias e desempenha uma função num
determinado momento de uma atividade.
Especificamente no estudo da Geometria um instrumento fantástico para
visualização geométrica é o Geogebra, um software de Matemática Dinâmica que
simultaneamente realiza operações de geometria, álgebra e cálculo. Foi
desenvolvido, visando principalmente o ensino e aprendizagem da matemática
nas escolas básicas e secundárias, por Markus Holenwarter, e sua utilização será
de grande valia no decorrer desse projeto.
Este projeto foi idealizado, concordando que a geometria não tem sido valorizada
no ensino da Matemática, mas, que é possível e necessário que o ensino dessa
parte tão importante seja enfatizado, porque, sem experiência geométrica não se
consegue raciocinar geometricamente e, por consequência, se constrói uma visão
capenga e incompleta da Matemática. (LORENZATO, 2006).
APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Foi muito gratificante a Implementação do Projeto de Intervenção do PDE, com a
concretização das fases que foram planejadas
Para iniciar o trabalho com os alunos os mesmos formaram grupos de quatro
pessoas, pois como as atividades eram executadas com o uso de material
manipulável essa didática facilitou a compreensão dos conhecimentos e os
debates entre aluno/professor permitindo um maior entrosamento, facilitando a
troca de informações e a condução do aprendizado.
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A metodologia aplicada, conforme o planejado teve inicio com a fundamentação
teórica repassada com auxilio da TV Pendrive, abordando os conceitos das três
Geometrias e o histórico da dificuldade de aceitação das novas Geometrias. A
seguir foram executadas as atividades com material manipulável e com o software
Geogebra.
As atividades planejadas com a utilização do software Geogebra foram as que
mais agradaram os alunos, pois com o movimento das figuras e com os
resultados aparecendo na janela de álgebra à certificação dos pressupostos
teóricos ficou evidente. Mesmo as figuras dos triângulos mudando a forma e o
tamanho, a soma dos ângulos internos na Geometria Plana permaneceu
constante e igual a 180°. As atividades de Geometria Não-Euclidianas não foi
possível de serem executadas no software Geogebra, pois o departamento de
informática da SEED não conseguiu efetuar a atualização do mesmo e faltaram
“ferramentas” para a construção das “macros” que seriam utilizadas para
movimento no plano esférico e hiperbólico.
Um ponto que merece destaque é o fato de que os alunos não precisaram copiar
conceitos que já estavam prontos, à medida que as atividades eram realizadas os
conceitos eram verificados e assimilados. Portanto, ficou para mim comprovado
que a metodologia tradicional aplicada em sala de aula precisa ser revista e o
professor que ainda não se rendeu as novas tecnologias precisa rever seus
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conceitos, pois novas práticas despertam o interesse e participação dos alunos.
Com a aplicação desse Projeto foi possível inovar a maneira de ensinar
Geometria.
DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES COM OS ALUNOS
A primeira atividade proposta foi a construção de cartazes que comprovaram que
a soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre igual a 180°,
independente da forma e tamanho. Nessa atividade os alunos desenharam três
triângulos (um equilátero, um isósceles e um escaleno) de tamanho a escolher,
marcaram os ângulos, recortaram e colaram formando um ângulo raso, obtendo
assim que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Para realizar essa atividade foi resgatado os conceitos de classificação dos
triângulos quanto aos lados e quanto aos ângulos, os conceitos de vértices e de
arestas.
Outra atividade de destaque foi adaptada do livro “Convite às Geometrias Não-
Euclidianas de Lázaro Coutinho, que é o famoso problema do urso.
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Um urso saiu de sua casa e caminhou 100 km para o Sul. Depois virou ao Oeste e
caminhou por mais 100 km. Então virou novamente e caminhou por mais 100 km ao
Norte. Qual não foi a sua surpresa quando descobriu que voltara novamente a sua casa.
Qual a cor do urso?
Desenvolvimento:
- Esboce em uma folha o trajeto percorrido pelo urso.
- Foi possível o urso chegar ao mesmo lugar após uma caminhada como a
descrita acima?
- Esboce agora em uma bola ou balão de ar o trajeto do urso.
- Foi possível o urso chegar ao mesmo lugar na superfície esférica? Agora é
possível definir a cor do urso?
Para a realização dessa atividade foi necessário resgatar os conceitos
geográficos de norte, sul, leste, oeste e geodésicas, sendo a mesma o marco
para despertar o interesse pelos alunos de conhecer as novas Geometrias Não-
Euclidianas.
Para trabalhar o conceito de soma dos ângulos internos nos planos esféricos e
hiperbólicos os alunos usaram como material manipulável, cornetas de brinquedo,
transferidores de papel, balões de ar e bolas de isopor. Desenhando triângulos na
bola de isopor e na parte hiperbolóide da corneta, usando os transferidores de
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papel os mesmos mediram os valores de seus ângulos, efetuaram a soma e
concluíram que na esfera a soma dos ângulos internos é sempre maior que 180°
e na região hiperbólica esta soma é sempre menor que 180°.
Nessa atividade os alunos formaram os conceitos de soma dos ângulos internos
nos planos esféricos e hiperbólicos partindo de descobertas através de
experimentos e não simplesmente copiando teorias do quadro negro.
Outra atividade em que os alunos puderam observar e contextualizar os conceitos
de raio, diâmetro e círculos máximos foi a atividade de fatiar laranjas no sentido
dos gomos e observar os três conceitos
Após serem concluídas as atividades com material manipulável foi possível
perceber que essas atividades proporcionaram aos alunos a oportunidade de
aprender significativamente, de trabalhar em grupo respeitando a opinião do
outro, almejando assim que se tornem pessoas capazes de discernir conceitos e
prever resultados.
Sobre as atividades no laboratório de informática no software Geogebra os alunos
inicialmente, para se familiarizarem com as ferramentas, começaram construindo
figuras planas como quadrados, retângulos, círculos e polígonos de n lados. Essa
fase de atividades no laboratório foi a mais gratificante na Implementação do
Projeto de Intervenção do PDE, pois foram realizadas sem necessidade de
adequações e com a participação ativa dos alunos. Adquirindo habilidade no
manuseio das ferramentas do software os alunos passaram a utilizar a janela de
álgebra e puderam calcular a soma dos ângulos internos do triângulo. Com a
figura em movimentos esse conceito ficou evidenciado e os alunos ficaram
maravilhados em ver que a cada movimento da figura a forma e as medidas eram
alteradas o valor da soma continuava constante, ou seja, igual a 180°. Os alunos
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tiveram também um momento livre para usarem a criatividade e descobrirem
outras funções do software.
Nas aulas seguintes às atividades no laboratório vários alunos fizeram relatos de
que tinham baixado o software em seus computadores e que estavam fazendo
outras atividades em casa como, por exemplo, construções de gráficos de
funções.
Para finalizar as atividades propostas, os alunos construíram um material em que
foi possível visualizar a soma dos ângulos internos do triângulo nos três espaços.
Material este composto por uma bola de isopor cortada ao meio, fixada na base
de uma corneta.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Um dia ouvi a frase “Deixem as crianças e jovens desabrochar”. Quando escutei a
frase me questionei se em se tratando de educação a mesma seria válida. O
tempo e a experiência foram mostrando que certas práticas pedagógicas podem
estorvar o desenvolvimento intelectual do aluno. Não podemos estar desligados
neste universo contraditório, pois educar não pode ser razão de tanto conflito com
tantos resultados melancólicos como os que muitas vezes se vêem por aí. Há
uma necessidade de amparar quando for preciso, colocando limites, mas com
cuidado para não interferir gravemente diminuindo talentos e acentuando
dificuldades.
Com certeza com a realização desse projeto foi possível mudar as práticas
pedagógicas e observar nos alunos a motivação em aprender Geometria,
atingindo o objetivo de tornar a disciplina de Matemática mais agradável e
prazerosa. Não é aceitável mais, repassar conteúdos de forma mecânica, quando
se sabe que existem meios e tecnologias que podem levar a uma aprendizagem
significativa, onde seja respeitado o fluxo em que o aluno observa, pensa e
precisa se desenvolver.
A participação no Programa de Desenvolvimento Educacional proporcionou uma
oportunidade de crescimento pessoal e profissional, onde desde o início com os
cursos, palestras e trocas de experiências o enriquecimento de conhecimentos
teóricos e práticos levou a uma nova visão das práticas pedagógicas. Foi possível
perceber que o professor pode fazer a diferença na vida do seu aluno
conhecendo diferentes maneiras de ensinar e aprender matemática.
Nada mais empolgante para os jovens do Ensino Médio do que serem desafiados.
Por isso as questões selecionadas para esse projeto estimularam a criatividade, a
intuição e a capacidade de análise. Os recursos didáticos foram assertivamente
empregados, provocando uma postura diferente dos alunos na participação e
conclusão das atividades.
Espera-se que a partir da aplicação desse trabalho o conteúdo de Geometria
possa ser mais explorado e a inclusão das Geometrias Não-Euclidianas não faça
parte apenas das Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do
Estado do Paraná mas seja uma prática aplicada anualmente no Colégio Estadual
José Luiz Gori de Mandaguari visto que o mesmo foi repassado a todos os
professores da disciplina de Matemática.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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2001.
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MORAN, J. M. Desafios da televisão e do vídeo à escola. Disponível em:
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